08-二维线性系统分析4-线性不变系统、抽样定理
信号与系统中抽样定理的教学探讨
ｆ ｎ ￣Ｓ ［ｏ（ 凡 ） （ Ｔ）ａ ｏ 一 ］
２ ２ 案例 法 ．
（） ６
则 抽样 信号 （） ｔ频谱 ：
１
』 ｇ
理论分 析讲 解 比较抽象 ， 生 的理 解不 够透 彻 。 学 如果 对实 际案例 的应用 采 用 直 观形 象 的方 法 说 明 ，
曲
Ｆ （ ） 音 ∑ Ｆ 一 ｏ ） ∞ ＝ （ ｎ ）
取 得 很 好 的教 学 效 果 。
关键词 ： 信号与系统 ； 抽样定理 ； 教学方法
中 图 分 类 号 ：６ ２ ０ Ｇ ４ ． 文献标识码 ： Ａ 文章 编 号 ：０ ８０ ８ （０ ２ ０ －１９ ３ １０ －６ ６ ２ １ ） ３ ０ － ０ ０
Ｔｈ ａ ｈｉ ｅ ｈ ｄｓａ ｏ ｍ ｐｌ ｅ ｒ ｍ ｎ Ｓ ｇ ａ ｎ ｙ ｔ ｍ ｅ Ｔｅ ｃ ｎｇ Ｍ ｔ ｏ ｂ ｕｔＳａ ｉ Ｔｈ ｏ ｅ ｉ ｉ ｎ ｌａ ｄ Ｓ ｓｅ ｎｇ
ａ ｘ ｅｌｎ ｅ ｕ ｔｉ ｅ ｃ ｉ ｇ ｐ ｏ ｒ ｍ ｎ ｅ ｃ ｌｅ ｔｒ ｓ ｌ ｎ ｔ ａ ｈ ｎ ｒ ｇ ａ
Ｋｅ ｗｏ ｄ ：ｓ ｎ ｌａ ｄ ｓ ｓｅ ；ｓ ｍｐ ｉ ｇ ｔ ｅ ｒ ｍ ；ｔ ａ ｈ ｎ ｔ ｏ ｙ ｒ ｓ ｉ ａ ｎ ｙ ｔ ｍ ｇ ａ ｌ ｏｅ ｎ ｈ ｅ ｃ ｉ ｇ ｍｅｈ ｄ
图 ２所 示 是不 同抽样 率 下 图像 的效 果 ， 含 图 包
像失真严重 、 不失 真及 处于两者之 间的图像效果 。
这些 图像 让学 生直 观看 到抽样 率 的大小对 信 号 的影
ｔ ｋ ｔ ｄ ｎ ｓｕｎ ｅ ｓａ ｄ ｉ ｅ ｐ ｙ ｉ ｈ ｙ ｉｓ ｅ ｉ ｈ ｅ ｃ ｉ ｇ ｐｒ ｃ ｅ ｏ ｍａ ｅ ｓｕ ｅ ｔ ｄ ｒ ｔｎ ｔｄ ｅ ｌ ｓｔ ｅ ｋｅ ｓ ｕ ｎ ｔ ｅ ｔ ａ ｈ ｎ ｏ ｅ ｄ． Ｉ ｈｉ ａ ｅ ｎ ｔ ｓｐ ｐ ｒ，ｔ ｅ ｃ ｎ ｅ ｔｏ ａ ｈ ｏ ｃ ｐ ｆｓ ｍ— ｐ ｉ ｇ ｔ ｅ ｒ ｍ ｓａ ａ ｙ ｅ ｉｎ ｈ ｏ ｅ ｉ ｎ ｌｚ ｄ．Ｔｈ ｏ ｈ ｓ ｖ ｒ ｌｔ ａ ｈ ｎ ｔ ｏ ，ｉ ｅ．ｔ ｘ ｍｐ ｉ ｇ ｍｅｈ ｄ，ｔ ｅ ｑ ｅ ｔ ｎ ｎ ｔ ｏ ｒ ｕｇ ｅ ｅ ａ ｅ ｃ ｉ ｇ ｍｅ ｈ ｄｓ ． ｈｅｅ ａ ｌｎ ｔ ｏ ｈ ｕ ｓｉ ｉ ｇ ｍｅ ｈ ｄ， ｏ ｔ ｅ ｐｒ ｃｉｉ ｇ ｍｅｈ ｄ ａ ｄ ｔ ｒ ｐ ｉ ａ ｅ ｅ ｔ ｔ ｎ ｍｅｈ ｄ，ｔ ｅ ｃ ｎ ｅ ｔｏ ａ ｌｎ ｈ ｏｅ ｉ ｘ ｌ ｉｅ ｈ ａ ｔｃｎ ｔ ｏ ｎ ｈｅｇ ａ ｈ ｃ ｌｐｒ ｓ ｎ ａ ｉ ｔ ｏ ｏ ｈ ｏ ｔ ｎ ｆｔ ｓ ｍｐ ｉ ｇ ｔ ｅ ｒ ｍ ｓｅ ｐ ａｎ ｄ，ａ ｈｅ ｎｄ ｉｓｕｓ ｇ ｓ ｓ ｗｎ．Ｉ ｓｈｅｐ ｕ ｏ ｈ ｔ ｄ ｎ ｓｔ ｄ ｒｔｎｄ ａ ｄ ａ ｐｌ ｈｅ ｓ ｍｐ ｉ ｇ ｔ ｅ ｒ ｍ．Ｔｈ ｓ ｔ ｄ ｅ ｔ ａ ｅ ｉ ｈｏ ｔｉ ｌ ｆ ｌｆ ｒｔ ｅ ｓｕ ｅ ｔ ｏ ｕｎ ｅ ｓａ ｎ ｐ ｙ ｔ ａ ｌｎ ｈ ｏ ｅ ｅ ｅ ｍｅｈｏ ｓ ｇ ｔ
chap1常用函数及其傅立叶变换
在空域中 g s(x,y)h (x,y)g (x,y)
所以有：
nm
n
m
g ( x ,y ) n m g ( 2 B x ,2 B y ) s i n c [ 2 B x ( x 2 B x ) ] s i n c [ 2 B y ( y 2 B y ) ]
F(u)
sinc( u ) sinc 2 ( u ) 1 (u u 0 ) 1 / j u comb( u )
函数
函数的定义：
(t ) lim Ne N 2t2 N
(t) lim N rect( Nt ) N
(t) lim N sinc( Nt ) N
则 F . T . g ( x , y ) h ( x , y ) G ( f x ,f y ) H ( f x ,f y )
No
四、常用函数及其傅立叶变换式
矩形函数 rect(
1
x)
1
/
2
0
x 1/2 x 1/2 x 1/2
Sinc函数 sinc( 符号函数 sgn(
则系统称为线性空间不变系统。
对于线性空 间不变系统，叠加积分：
g (x ,y ) f(,)h (x ,y )d d f(x ,y ) h (x ,y )
1.3 二维线性不变系统
二、二维线性不变系统的传递函数 1、空间频率
F(fx,fy) f(x,y)ej2(xx fyy f)dxdy
其中 H (fx ,fy ) F .T . h ( x ,y ) 叫线性空间不变系统的传
递函数
1.3 二维线性不变系统
抽样定理的理论证明与实际应用分析
信号与线性系统分析综合练习题目：抽样定理的理论证明与实际应用一、抽样和抽样定理数字信号处理技术的优势和快速发展使得数字设备和数字媒体广泛应用，如手机、MP3、CD 和DVD 等。
抽样定理是通信理论中的一个重要定理，是模拟信号数字化的理论依据，包括时域抽样定理和频域抽样定理两部分，又称取样定理、采样定理，是由奈奎斯特(Nyquist)和香农(Shannon)分别于1928年和1949年提出的，故又称为奈奎斯特抽样定理或香农抽样定理。
“抽样”就是利用周期抽样脉冲p(t)从连续信号f(t)中抽取离散样值的过程，得到的离散信号为抽样信号，也称为抽样信号，以ƒs (t )表示。
抽样过程的数学模型就是连续信号与抽样脉冲序列相乘。
抽样过程所应遵循的规律，称抽样定理。
抽样定理说明抽样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。
在进行模A/D 转换过程中，当抽样频率f s.max 大于信号中最高频率f max 的2倍时(f s.max >2f max )，抽样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息，一般实际应用中保证抽样频率为信号最高频率的5～10倍。
抽样定理描述了在一定条件下，一个连续的信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时样本值表示，这些样本值包含了该连续时间信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原来的连续信号。
也就是说，抽样定理将连续信号与离散信号之间紧密的联系起来，为连续信号与离散信号的相互转换提供了依据。
通过观察抽样信号的频谱，发现它只是原信号频谱的线性重复搬移，只要给它乘以一个门函数，就可以在频域恢复原信号的频谱，然后再利用频域时域的对称关系，就能在时域上恢复原信号。
二、时域抽样定理的理论证明时域抽样定理的完整描述是这样：一个频谱在区间（-ωm ，ωm ）以外为零的频带有限信号ƒ(t),可唯一地由其在均匀间隔T s （T s<1/2ƒm ）上的样点值ƒs (t )=ƒ（nT s ）确定。
傅立叶光学
Linear Systems
1．线性系统 3）线性系统的定义 g(x, y) = {f(x, y)}
定义: 如果 g1(x, y) = 输入
f(x, y)
{
}
输出
g(x, y)
{f1(x, y)}， g2(x, y) =
{f2(x, y)}
若对任意复常数a1， a2有： {a1 f1 (x, y) + a2 f2 (x, y) } =
2.2 线性不变系统
输入输出关系: 空域
Linear Shift-Invariant System
2．二维线性空不变系统 2-D Linear Space Invariant Systems
+∞
∵ f ( x, y ) = f ( x, y ) ∗ δ ( x, y ) = ∫
∴ g (x, y) =
逆傅立叶变换的物理意义：物函数f(x,y)可看作是无数振幅不同 ( F ( f x , f y )df x df y） 方向不同（ cosα＝λfx cosβ＝ λ fy ）的平面波线性叠加的结果。 这种方法通常称为傅立叶分解
1.线性系统
2.1 线性系统 Linear Systems
4)线性系统的分析与综合：
g(x, y) =
=
叠加积分
{f(x, y)}
+∞
∫∫ ∫∫
f (ξ ,η )
{ δ ( x − ξ , y − η ) }d ξ d η
−∞ +∞
=
f (ξ ,η ) h ( x , y ; ξ ,η ) d ξ dη
−∞
只要知道各个脉冲响应函数(点扩散函数), 系统 的输出即为脉冲响应函数的线性组合. 问题是如 何求对任意点的脉冲δ (x-ξ, y- η)的响应h(x, y;Linear Space Invariant Systems
二维线性系统
H(fx,fy)的模称振幅传递函数. H(fx,fy)的复角称相位传递函数. 的模称振幅传递函数 振幅传递函数. 的复角称相位传递函数 相位传递函数.
2.2. 3. 二维线性不变系统的本征函数: 二维线性不变系统的本征函数 本征函数
若ℜ{f(x ,y)}=a f(x ,y), 式中a为复常数，则称 ,y) 为算 , 式中a为复常数，则称f(x }表征的系统的本征函数 表征的系统的本征函数。 符ℜ{ }表征的系统的本征函数。 系统的本征函数是一特定的输入函数， 系统的本征函数是一特定的输入函数，输入输出之间仅差 别一个复常数，复指数基元就是线性空不变系统的本征函数。 别一个复常数，复指数基元就是线性空不变系统的本征函数。
叠加积分 一般写成
)
∫
∞
−∞
f (ξ 2 , η 2 )h ( x 2 − ξ 2 , y 2 − η 2 ) d ξ 2 d η 2
= f ( x2 , y2 ) ∗ h( x2 , y2 )
g(x, y) = f (x, y) ∗ h(x, y)
线性空不变系统
2.2. 2. 二维线性不变系统的传递函数: 二维线性不变系统的传递函数 传递函数
F( f x , f y ) = ∫
逆变换: 逆变换
若输入空间域函数f(x,y)，其付里变换为: ，其付里变换为 若输入空间域函数
∫ f ( x, , y) = ∫ ∫
∞
∞
−∞ −∞ ∞ ∞
f ( x, y) exp − j2π ( f x x + f y y) dxdy
[
−∞ −∞
F( f x , f y )exp j2π ( f x x + f y
[
] y)]df df
第二章 二维线性系统
第一节 线性系统
举例：选取基元函数为脉冲函数 (函数) 根据脉冲函数的筛选性质，可将任意函数分解为：
f x, y
f(x) f( ) f() .......................................... x
f , x , y d d
第二节 线性不变系统
g x, y G f x , f y exp j 2p f x x f y y df x df y
G fx , f y H fx , f y F fx , f y
x y x y x y x y
∴ H (fx,fy)反映了系统对不同频率成分的 响应, 即频率响应
第二节 线性不变系统
对于线性不变系统，可以找到更适合的“基元函数”，即复指数函数。 根据傅立叶逆变换有：
f x, y
F f , f exp j 2p f x f y df df
第二节 线性不变系统
三 线性不变系统的本征函数
脉冲响应为实函数的线性不变系统（非相干成像系统）
H f x , f y =H - f x , - f y
H f x , f y 为厄米函数
用A(fx,fy),φ(fx,fy)分别表示传递函数的模（振幅传递函数）和辐角 （相位传递函数）
第二节 线性不变系统
二、 线性不变系统的传递函数
脉冲响应 点扩散函数
g x, y f x, y h x, y
卷积定理
G fx , f y H fx , f y F fx , f y
线性移不变系统课件
05
线性移不变系统的设计方 法
状态反馈控制
状态反馈控制是线性移不变系统设计中常用的一种方法，通过将系统的 状态变量反馈到输入端，实现对系统的精确控制。
状态反馈控制器的设计通常采用状态空间法，通过构造状态反馈矩阵， 使得闭环系统满足特定的性能指标，如稳定性、跟踪性能等。
状态反馈控制适用于各种类型的线性移不变系统，具有较好的鲁棒性和 适应性。
GPU（图形处理器） GPU具有并行处理能力，可用于加速线性移不变 系统的计算和数据处理。
系统实现中的关键技术
数字信号处理
数字信号处理技术是实现线性移 不变系统的关键，包括信号的采
样、量化、滤波、频谱分析等。
算法优化
针对线性移不变系统的算法进行优 化，以提高系统的实时性和能效。
硬件描述语言
使用硬件描述语言（如VHDL或 Verilog）进行系统设计和实现，能 够提高系统的可重用性和可维护性。
能观性判定
对于线性移不变系统，可以通过判断系统的可观性矩阵是否满秩来确定系统是否 具有能观性。可观性矩阵是系统状态矩阵A的转置与输出矩阵C的乘积。如果可 观性性移不变系统，如果该系统既是能控的又是能 观的，则称该系统是能对偶的。
对偶性的意义
对偶性是线性移不变系统的一个重要性质，它表明系统的控 制性能和观测性能之间存在一定的关系。在实际应用中，了 解系统的对偶性有助于更好地设计控制系统和观测系统，以 达到更好的控制效果和观测效果。
06
线性移不变系统的实现与 应用
系统实现的硬件平台
1 2 3
FPGA（现场可编程门阵列） FPGA是一种高度灵活的硬件平台，适用于实现 线性移不变系统的硬件描述语言（如VHDL或 Verilog）编程。
信号与系统(郑君里)复习要点
信号与系统复习书中最重要的三大变换几乎都有。
第一章 信号与系统 1、信号的分类①连续信号和离散信号 ②周期信号和非周期信号 连续周期信号f (t )满足f (t ) = f (t + m T )， 离散周期信号f(k )满足f (k ) = f (k + m N )，m = 0,±1,±2,…两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T 1和T 2，若其周期之比T 1/T 2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T 1和T 2的最小公倍数。
③能量信号和功率信号 ④因果信号和反因果信号2、信号的基本运算（+ - × ÷） 2.1信号的（+ - × ÷）2.2信号的时间变换运算 （反转、平移和尺度变换） 3、奇异信号3.1 单位冲激函数的性质f (t ) δ(t ) = f (0) δ(t ) ， f (t ) δ(t –a) = f (a) δ(t –a)例： 3.2序列δ(k )和ε(k ) f (k )δ(k ) = f (0)δ(k ) f (k )δ(k –k 0) = f (k 0)δ(k –k 0) 4、系统的分类与性质4.1连续系统和离散系统4.2 动态系统与即时系统 4.3 线性系统与非线性系统 ①线性性质 T [a f (·)] = a T [ f (·)](齐次性) T [ f 1(·)+ f 2(·)] = T[ f 1(·)]+T[ f 2(·)] （可加性）②当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：)0(d )()(f t t t f =⎰∞∞-δ)(d )()(a f t a t t f =-⎰∞∞-δ?d )()4sin(91=-⎰-t t t δπ)0('d )()('f t t f t -=⎰∞∞-δ)0()1(d )()()()(n n n f t t f t -=⎰∞∞-δ4)2(2])2[(d d d )(')2(0022=--=--=-==∞∞-⎰t t t t tt t t δ)(1||1)()()(t a a at n n n δδ⋅=)(||1)(t a at δδ=)(||1)(00a t t a t at -=-δδ)0()()(f k k f k =∑∞-∞=δy (·) = y f (·) + y x (·) = T[{ f (·) }, {0}]+ T[ {0}，{x (0)}] (可分解性) T[{a f (·) }, {0}] = a T[{ f (·) }, {0}]T[{f 1(t ) + f 2(t ) }, {0}] = T[{ f 1 (·) }, {0}] + T[{ f 2 (·) }, {0}](零状态线性)T[{0},{a x 1(0) +b x 2(0)} ]= aT[{0},{x 1(0)}] +bT[{0},{x 2(0)}](零输入线性) 4.4时不变系统与时变系统T[{0}，f (t - t d )] = y f (t - t d)(时不变性质)直观判断方法：若f (·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。
第03讲二维线性不变系统
g x,y F 1 G fx ,fy
系统输出函数相应为
非相干成像系统的本征函数（3）
因而有：
L cos f a x f b y A f a , f b cos f a x f b y f a , f b
这表明，对于脉冲响应是实函数的空间不变线性系统，余弦输入 将产生同频率的余弦输出。 同时产生与频率有关的振幅衰减和相位移动，其大小决定于传递 函数的模和幅角。 非相干光学成象系统的脉冲响应是实函数，对这一类空间不变线 性系统的分析是建立光学传递函数理论的基础。
叠加积分变为“卷积积分”
g x , y
f , hx , y dd
f x, y h x, y
光学成象系统可以把物平面划分为若干个等晕区，把每个等晕区 当作空间不变线性系统处理
二维线性不变系统的传递函数
如果不变线性系统的输入是空域函数，其傅里叶变换为
光学信息技术原理及应用
线性系统与线性空不变系统
线性系统的叠加性质
二维不变线性系统的定义
一个二维脉冲函数在输入平面上位移时，线性系统的响应函数形 式始终与在原点处输入的二维脉冲函数的响应函数形式相同，仅 造成响应函数相应的位移，即
L x ,y h x2 ,y ; ,
f
n 2 f 25 f * sinc 50 f sinc 3、得到乘积 2
画出传递函数
f H f rect 2
2 2
n f 2 画出输出函数版的频谱（近似） 25 f * sinc50 f sinc f rect
二维线性系统分析傅里叶变换
bn
t t
2
t
g ( x) sin(2nf0 x)dx 0
采用指数傅里叶级数展开，可以使展开系数的表达式统一而简洁。
§1-2 二维傅里叶变换
指数傅里叶级数
满足狄氏条件的函数 g(x) 具有有限周期t,可以在(-,+ )展为 指数傅里叶级数:
g ( x)
n
c
cos( 2 x )
2 cos( 6 x) 3
前3项的和
1/2
an
2/ 频谱图
1 2 2 cos( 2x) cos( 6x) ...... 2 3
…
fn
0
1
3
-2/3
三角傅里叶展开的例子
练习 0-15：求函数 g(x)=rect(2x)*comb(x) 的傅里叶级数展开系数 宽度 =1/2 周期 t =1
展开系数Cn 频率为n/t的分量
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
从傅里叶级数到傅里叶变换
非周期函数可以看作周期为无限大的周期函数:
1 1 1 t 2 g ( x) lim t g ( x) exp( j 2 n x)dx exp( j 2 n x) t t t 2 n t
傅里叶-贝塞尔变换
例: 利用F-B变换求圆域函数的F.T.
1, r 1 定义: circ(r ) , 0, 其它 称函数
1
r x2 y 2
是圆对
{circ(r )} 2 rJ 0 (2r )dr
0
作变量替换, 令r’ =2r, 并利用:
J
0
《现代光学》教学大纲.doc
课程编号:SC4321147 课程名称：现代光学 学 时：46课程类型：任选 适用专业：应用物理学《现代光学》教学大纲英文名称：Modern Optics 学 分：3课程性质：专业课先修课程：光学、电动力学或电磁场与微波一、 课程的教学目标与任务本课程为物理系各专业的一门专业选修课，在经典光学基础上，利用线性系统理论和傅 里叶分析方法分析光学问题，从光的物理本质电磁波出发，系统学习现代光学的基础理论, 其中包括标量衍射理论，光学成像系统频率特性，部分相干光理论以及光学全息等；介绍晶 体光学、光学信息处理等应用技术原理以及最新技术进展。
二、 本课程与其它课程的联系和分工前修课程：光学，信号与系统，电动力学或电磁场与微波技术三、 课程内容及基本要求（-）二维线性系统分析（2学时）线性系统，二维线性不变系统，二维傅里叶变换，抽样定理 1. 基本要求 （1） 掌握二维线性不变系统特点和分析方法。
（2）熟练掌握傅里叶变换性质和常用函数的傅里叶变换。
2. 重点、难点重点：二维线性不变系统的定义、传递函数以及本征函数 难点：将线性系统理论应用于光学系统分析的条件3. 说明：本章主要复习线性系统理论和傅里叶变换相关概念，初步了解光学系统可用线形系统理论方法研究的条件和特点。
（二）标量衍射的角谱理论（8学时）光波数学描述，复振幅分布的角谱及角谱传播，标量衍射的角谱理论，菲涅耳衍射和夫 琅和费衍射1. 基本要求 （1） 熟练掌握平面波空间频率的概念和计算方法。
（2） 熟练掌握标量衍射的角谱理论（基尔霍夫衍射、菲涅耳衍射和夫琅和费衍射） （3） 掌握夫琅和费衍射与傅里叶变换关系 （4）了解菲涅耳衍射与分数傅里叶变换关系开课学期：第七学期技术、信号与系统 开课院系：理学院2.重点、难点重点：平面波空间频率概念和标量衍射角谱理论难点：（1）函数抽样公式和傅里叶变换公式的光学物理意义（2）复振幅分布和标量衍射理论的角谱理论物理意义3.说明：本章主要介绍光波传播过程中的空间域以及空间频域描述方法，是本课程理论基础，其研究方法、研究特点以及结论和公式是此后各章都要用到的，本章掌握程度直接影响到本课程理解和掌握程度。
清华大学信号与系统2008年试题回忆
清华大学信号与系统2008年试题回忆1.1 Fn和F(w)的物理意义1.2 DFT是否正交变换1.3 FT和LT的关系1.4 fir滤波器的时域对称性的表达式2.1 希尔伯特正变换和反变换级联后是一个冲击2.2 f(x)=e^(-x)u(x),求f(ax)卷积f(bx),a>0,b>0(s^2+3s+3)/(s^2+2s+2)整体再乘e^(-s)2.3 delta(t)+t*delta'(t)2.4 给出H(z)的表达式，求逆系统的冲击响应2.5 证明一个bibo线性定常系统可以表为一个最小相位系统和全通系统级联3.1 证明：实信号幅度谱和相位谱的奇偶性3.2 证明：自相关推导出来的帕斯瓦尔方程4.1 1/给出一个反馈框图，求H(s)2/根据bibo稳定，判断参数K1 K2满足的约束条件3/画出bibo稳定的H(s)的极点分布4/输入e(t)=u(t)-u(t-T/2),求r(t),并且画图(画图这个做得太少)5/一个电感和电阻串联的滤波器(1)用冲击不变法求H(n)(2)用IIR实现该数字滤波器(3)画出H(jw)的幅度谱(凡是画图的都砸了)(3)截取h(n)冲击响应的幅度不少于10%的窗函数，画FIR结构6/x(n),0<=n<=7，h(n),0<=n<=1023(1)求输出y(n)的加法和乘法次数(2)用DFT和FFT推导一种快速算法，不需要画蝶形图(3)估算这种方法的乘法和加法次数注：程佩清的信号处理第4章第10节就有具体解法7/这道题在奥本海默数字信号处理有出现定义Wf,自相关宽度，wf=R(t)从负无穷到正无穷的积分除以R(0) f(t)=u(t+1/2)-u(t-1/2),R(t)是f(t)的自相关1/求f(t)的wf大小2/求f(t)的能谱密度一．证明解答下列各题1 输入信号x(t)=u(t)-u(t-1) 通过系统函数为∑(-1)^n δ(t-n)e^-3t 的零状态响应y(t)(1)求y(t)及图形(2)求y(t)的拉式变换.2.LT[f(t)]=？求f（t）3.电视调制测试信号f(t)=A{m+c[u(t)-1)}cosw0t 求F.T.4.5.已知x(n)的ZT X(z)，证明ZTx*(n)= X*(z*)6.x(n)y(n)互相关函数的Z.T.(Rxy)=X(z)Y(1/z) 二．|X(w)|为介于1000pi-2000pi的关于纵轴对称的三角波 w=1.5kpi时最大值为1 x(t)-> 乘法器 -> 加法器->截止频率为2000pi的理想带阻滤波器-r(t)| |cos3000pit--1）画出输出r(t)的频谱及加法器输出信号2）要解调出预调制前的基带信号请画出框图并给出解调出来的信号频谱三．非均匀抽样四．采样矩形脉冲先时域抽样再频域抽样类似于第五章的例题1 画出采样后的图型2 写出表达式的FT3 一般意义下这样采样后DFT不考虑舍入误差情况下能不能准确得到等间隔DFT采样值五．已知n点DCT ，IDCT定义式x(n) 0=<n-1< p="">y(n)= {x(2N-1-n) N=<2n-1< p="">1)证明 W^(k+1/2)DFT[y(n)]=DCT[x(n)] W下标是2N2)证明X=(X1,X2,X3…XN) x=(x1,x2,x3…xn) X 为x的DCT=K 其中K为一常数六．问答题1）什么是Gibbs现象？存在的充要条件是什么？如何消除？3已知f1(t)的傅立叶变换为F1(ω),求的傅立叶变换F2(ω)=?4求的拉普拉斯变换。
抽样定理
抽样定理例题（1）解
证明：
线脉冲实质上也是二维的函数，只是沿 y 方向函数值不变，是常 数1。
f x, y x 1
系统对线脉冲的输出响应，即线响应也是二维的函数，可表示为
Lx L x δx hx, y
线响应的一维傅里叶变换则为
F L x F δ x h x, y fy H fx , fy H fx ,0
式中 XY 表示函数在空域覆盖的面积, B x B y 表示函数在频域中覆 盖的面积。在该区域的函数可由数目为 XYBx B y 的抽样值来 近似表示。 空间带宽积 SW 就定义为函数在空域和频域中所占有的面积之积：
SW XYBx B y
空间带宽积的意义
空间带宽积描述空间信号（如图象，场分布）的信息量，也可用来 描述成象系统、光信息处理系统的信息容量，即传递与处理信息 的能力。
f H f x , f y rect x 2B x f rect y 2B y
滤波过程可写作
f G s f x , f y rect x 2B x
fy rect 2B y
G f x , f y
Y ，并且 ，则 2By 2Bx
n m sinc2Bx x - n gx, y g , 2B 2B 2B n m x y x
m sinc2By y 2 B y
信息光学
抽样定理
1)分离方式取样; 2)进行信息处理; 3)再现原来的图形。 问题: • 怎么取样（选取样函数）？ • 取样必须满足什么条件才能恢复图象；
08-二维线性系统分析4-线性不变系统、抽样
1/X
+∞ +∞
Gs(fx) 0
1/X
fx
Gs(fx) 0 fx
只有使这些频谱函数互不重叠, 只有使这些频谱函数互不重叠 才有可 能用滤波的方法,从中提取出原函数的 能用滤波的方法 从中提取出原函数的 频谱, 进而求出原函数. 频谱 进而求出原函数
g ( x, y ) = f ( x , y ) h ( x, y )
G(fx, fy) = F (fx, fy) H (fx, fy)
二维线性不变系统 例: P22 1.4(2)
输入: 输入
1 x x g ( x) = comb rect ∧ ( x) 3 50 3
间隔为3的 间隔为 的 脉冲阵列, 脉冲阵列 基频为1/3 基频为 g(x) 1 在有限空间 区域不为零, 区域不为零 |x|<25 三角波, 三角波 底宽为2 底宽为
§1.4 抽样定理 二,函数的抽样
由抽样值还原出原函数的条件
1 ≥ 2 Bx , X 1 ≥ 2 By Y
中各个区域(间隔为 间隔为1/X,1/Y) 则Gs中各个区域 间隔为 Gs(fx) 的频谱就不会重叠, 的频谱就不会重叠 有可能用滤 波的方法,提取出原函数的频谱 波的方法 提取出原函数的频谱 -Bx 0 Bx fx G, 进而求出原函数 进而求出原函数. 1/X 1 1 X ≤ , Y ≤ 称为奈奎斯特(Niquest)间隔 间隔 2Bx 2 B y 称为奈奎斯特
此理想低通滤波器的频率 特性为频域中的门函数
第2章二维线性系统分析-PPT课件
§2-2 二维线性不变系统
二、二维线性空不变系统
推广到二维空间函数
一个二维脉冲函数在输入面上位移时，线性系统的
响应函数形式始终与在原点处输入的二维脉冲函数的响 应函数形式相同，仅造成响应函数相应的位移，即：
{d(x-x, y-h)}=h (x-x, y-h)
脉冲分解
脉冲响应
叠加积分
§2-2 二维线性不变系统
一、二维线性时不变系统
设系统在 t = 0时刻对脉冲的响应为 h(t)，即:
{d(t)}=h (t)
若输入脉冲延迟时间 t ，其响应只有相应的时 间延迟t ，而函数形式不变，即
{d (t - t )}=h (t - t )
则此线性系统称为时不变系统。系统的性质不随 所考察的时间而变，是稳定的系统。时间轴平移 了，响应也随之平移同样的时间，即具有平移不 变性。
这样的系统称为二维线性空不变系统。
线性不变系统 h (x, y; x, h) = h (x-x, y-h)
的脉冲响应：
观察点 输入脉冲 坐标 坐标
二个坐标的 相对间距
线性不变系统的输入--输出变换关系不随空间位置变化。
d (x,y)
§2-2 二维线性不变系统
二、二维线性空不变系统 例：
空不变(二维)系统：等晕成像系统
= {a1 f1 (x, y)} + {a2 f2 (x, y) } = a1 {f1 (x, y)} + a2 {f2 (x, y) } = a1 g1 (x, y) + a2 g2 (x, y)
则称该系统为线性系统。
§2-1 线性系统
线性系统具有叠加性质
第二章 二维线性系统
令
ℒ h( x, y; ,) ( x , y )
g ( x, y )
系统的脉冲响应
则
f ( , )h( x, y; , )d d
对空间的一个点（函数），经过线性系统后变
为 h( x, y; ,) ，它不再是一个点，称为“晕”。
i 1
n
即系统对线性叠加的作用等于对每个分函数作用的 线性叠加，称这种系统为线性系统。
如果输入函数f(x,y)是非常复杂的函数，可以将 f(x,y)分
解成某些“基元”函数（基本函数）的线性组合，则f(x,y) 通过线性系统后，输出函数可以是系统对“基元”函数作 用后的线性组合。常用的“基元”函数有函数、余弦函数、 复指数函数。 二、线性系统的脉冲响应 根据函数的筛选性，f(x,y)可以写为
f ( x, y; f a , f b ) 称为线性不变系统的本征函数，H(fa,fb)是本征值。
四、线性不变系统的滤波特性
空间域 频率域
g ( x, y) f ( x, y) h( x, y)
G( f x , f y ) F ( f x , f y ) H ( f x , f y )
从频率域可以看出，通过系统后，F(fx,fy) 被改变了，改变了多少由 H(fx,fy)决定。即不同 fx、fy 值的H值不同，该频率的输入函数经过系 统后变化不同，即某些频率分量被滤除、衰减或发生相移等。所以 系统就好象一个滤波器，滤波特性决定于 H(fx,fy)。
§2—2 线性不变系统
一、线性不变系统定义 当 有
ℒ f ( x, y ) g ( x, y) ℒ f ( x x0 , y y0 ) g ( x x0 , y y 0 )
859《信号与系统》考试大纲
中国科学院大学硕士研究生入学考试《信号与系统》考试大纲一、考试科目基本要求及适用范围本《信号与系统》考试大纲适用于中国科学院大学信号与信息处理等专业的硕士研究生入学考试。
信号与系统是电子通信、控制科学与工程等许多学科专业的基础理论课程，它主要研究信号与系统理论的基本概念和基本分析方法。
认识如何建立信号与系统的数学模型，通过时间域与变换域的数学分析对系统本身和系统输出信号进行求解与分析，对所得结果给以物理解释、赋予物理意义。
要求考生熟练掌握《信号与系统》课程的基本概念与基本运算，并能加以灵活应用。
二、考试形式和试卷结构考试采取闭卷笔试形式，考试时间180分钟，总分150分。
试卷分为填空、选择及计算题几个部分。
三、考试内容（一）概论1.信号的定义及其分类；2.信号的运算；3.系统的定义与分类；4.线性时不变系统的定义及特征；5.系统分析方法。
（二）连续时间系统的时域分析1.微分方程的建立与求解；2.零输入响应与零状态响应的定义和求解；3.冲激响应与阶跃响应；4.卷积的定义，性质，计算等。
（三）傅里叶变换1.周期信号的傅里叶级数和典型周期信号频谱；2.傅里叶变换及典型非周期信号的频谱密度函数；3.傅里叶变换的性质与运算；4.周期信号的傅里叶变换；5.抽样定理；抽样信号的傅里叶变换；6.能量信号，功率信号，相关等基本概念；以及能量谱，功率谱，维纳－欣钦公式。
（四）拉普拉斯变换1.拉普拉斯变换及逆变换；2.拉普拉斯变换的性质与运算；3.线性系统拉普拉斯变换求解；4.系统函数与冲激响应；5.周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换。
（五）S域分析、极点与零点1.系统零、极点分布与其时域特征的关系；2.自由响应与强迫响应，暂态响应与稳态响应和零、极点的关系；3.系统零、极点分布与系统的频率响应；4.系统稳定性的定义与判断。
（六）连续时间系统的傅里叶分析1.周期、非周期信号激励下的系统响应；2.无失真传输；3.理想低通滤波器；4.佩利－维纳准则；5.希尔伯特变换；6.调制与解调。
第5讲抽样定理-资料
则Gs fx, fy 各个频谱不重叠
的条件为2Bx
X1、 2By
1。 Y
由 于 G sfx ,fy各 个 频 谱 不 重 叠 ， 这 样 我 们 可 以 很 容 易 过 滤 掉
除 中 心 外 所 有 无 用 的 频 谱 部 分 。
一旦过滤掉无用频谱部分后，可以认为
此时的Gs fx, fy 等于G fx, fy ，从而
惠 特 克 － 香 农 定 理 （ W h i t t a k e r - S h a n n o n ） 对 于 有 限 带 宽 （ 限 带 ） 函 数 ， 可 以 用 离 散 的 抽 样 值 恢 复 一 个 连 续 的 函 数 。
抽样的数学模型
最 简 单 的 操 作 方 法 ： 利 用 二 维 梳 状 函 数 与 被 抽 样 函 数 相 乘 ， 得 到 抽 样 函 数 。 即
2 、 空 间 带 宽 积 决 定 了 图 象 最 低 必 须 分 辨 的 像 素 数 ， 如 数 码 相 机 的 技 术 指 标 。
3 、 空 间 带 宽 积 表 达 图 像 的 自 由 度 或 自 由 参 数 数
课后作业：
逆水行舟用力撑, 一篙松劲退千寻; 古云此日足可惜, 吾辈更应惜秒阴。
董比武
让 绝 大 部 分 存 在 于 这 个 有 限 区 间 内 ； 该 区 间 外 的 占 量 非 常 小 。
这 时 候 ， 我 们 可 以 用 有 限 数 个 样 品 取 值 来 准 确 地 表 示 函 数 g 。
若 限 带 函 数 g x,y在 频 域 中
fx
B
、
x
?
f
y
B
以
y
外
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Gs(fx)
-Bx 0 Bx
1/X
fx
用频域中宽度2Bx和2By的 位于原点的矩形函数作为 滤波函数:
滤波过程 :
fx H f x ,f y rect 2B x
G f x ,f y
fy rect 2B y
x comb X
y comb G ( f x , f y ) Y
n m d f x , f y G( f x , f y ) X Y n m n m G f x , f y X Y n m
经过抽样后函数的频谱,是原连续函数的 频谱以间隔1/X, 1/Y重复平移并叠加.
n m Gs(fx, fy) G f x , f y X Y n m
①.如果G (fx, fy)频带无限制, 则 这些频谱函数必然会叠加。 ②.即使G (fx, fy)是频带有限的函 数, 若X,Y取值不合适, 这些重复 的频谱函数之间也会互相重叠。
第一章复习 一、基本概念
• • • • 频谱, 振幅谱, 位相谱 线性系统, 脉冲响应，线性空不变系统，传递函数 滤波（高通滤波, 低通滤波） 抽样定理, 奈奎斯特间隔
第一章复习 二、基本技能
•
• •
简单和复合孔径的数学描述：矩孔、圆孔、单 缝、多缝、线光栅、位相板等； 脉冲函数的运算，卷积和相关的运算，图解表 示； 常用基本函数的傅里叶变换和逆变换，利用傅 里叶变换的性质和定理求较复杂函数的傅里叶 变换，图解表示。
G(fx) fx 0 Bx
(1) g(x,y)是限带函数, 其频谱G (fx, fy)仅 -Bx 在频率平面上一个有限区域 上不为零. 2 Bx, 2 By : 带宽: 包围 的最小矩形在 fx 和 fy方向上的宽度. (2) 原函数抽样时,在x方向和y方向抽样点的间隔 Gs(fx) X 和Y不得大于1/(2 Bx)和1/(2 By),
Gs(fx,fy)
comb(x/X)comb(y/Y) 抽样定理表明: 在一定条件下可以由插值准确恢复原函数。 一个连续的限带函数可以由其离散的抽样序列代替，而不丢 失任何信息。
抽样定理的适用性
①在数学上, 限带函数在空域上一定是无限扩展的函数
函数不可能在空域和频域都被限制在某一范围内.只要 信号存在于有限的时空范围,就会有所有的频率分量. 严格的限带函数在物理上是不存在的.
-Bx 0 Bx
1/X
fx
1 X , 2Bx
1 Y 2By
称为奈奎斯特(Niquest)间隔
只要以小于或等于奈奎斯特间隔对g(x,y)抽样,则gs(x,y) 的频谱就是G (fx, fy)的周期性复现,包含了g(x,y)的全部 信息.
理想低通滤波
为了从gs(x,y)中还原出g(x,y), 将gs(x,y)通 过一个理想低通滤波器,只允许所有频率 |fx|<Bx, |fy|<By 的频率分量无畸变地通过, 而将此区域以外的频率分量完全阻塞.
1 2Bx , X 1 2 By Y
-Bx 0 Bx
1/X
fx
则Gs中各个区域(间隔为1/X,1/Y)的频谱就不会重叠 有可能用滤波的方法,提取出原函数的频谱G, 进而求出原函数.
1 2Bx , X
1 2 By Y
Gs(fx)
则Gs中各个区域(间隔为1/X,1/Y) 的频谱就不会重叠, 有可能用滤 波的方法,提取出原函数的频谱 G, 进而求出原函数.
y comb g x,y Y
g nX,mY δ x nX,y mY
f y fx rect hx,y F rect 2 B 2 Bx y 4 Bx By s inc2 Bx x sinc 2 By
• 空间信号(图像、场分布)的信息容量 • 成像系统、信息存储、处理系统，存储和处理信息的能力
例
液晶显示屏尺寸为250×250(mm2), 每个像元的 尺寸为0.25 × 0.25 (mm2), 计算: 1.像元总数 2.最高空间频率 3. 空间带宽积
作业
P22 ： 1.5
2X 2Y 4 XY 4 Bx B y 16 XYB x B y 1 1 2 Bx 2 By
fy fx Gs f x ,f y rect 2 B rect 2 B x y
根据卷积定理，在空间域得到:
x g s x,y comb X XY
n m
g s x, y hx, y gx, y
线性系统
线性系统对几个激励的线性组合的整体响 应等于单个激励所产生的响应的线性组合
脉冲响应 系统对输入脉冲函数的响应 线性不变系统
输入脉冲位移时, 仅使响应函数产生相应的 位移，则此线性系统称为线性不变系统
传递函数 线性不变系统脉冲响应函数的 F.T.即为传递函数
线性不变系统的输入输出关系
空域
g ( x, y) f ( x, y) h( x, y)
②实际信号的大部分能量被一定范围的频率分量所携带. 高频分量携带的能量甚少.由于忽略高频分量, 所引入的误差 可以忽略, 故可近似看作限带函数.
因而抽样理论在信息的传输和处理中有重要的意义.
3、空间带宽积
若 限带函数g(x,y)在频域中|fx|<Bx, |fy|<By 以外恒等于零, 即函数的带宽为Bx 和By, 则函数在空域中|x| <X 和|y| <Y 的范围内最少的抽样点数为:
...
0 抽样
.Bx * -1/X
= -3Bx -Bx
-1/X
fx . 0 Bx
1/X
3Bx
fx = fx -Bx 0 Bx -Bx 0 Bx 还原
gs(x) x
-2X -X
gs(x) x Sinc函数称为 内插函数 频域滤波相当于 空域的插值运算
0X
2X
2Bxsinc(2Bx) fx 0
③.只有使这些频谱函数互不重叠, 才有 可能用滤波的方法,从中提取出原函数 的频谱, 进而求出原函数。 Gs(fx)
0
1/ X 1/X
fx
Gs(fx) 0 fx
由抽样值还原出原函数的条件
n m Gs(fx, fy) n m G f x X , f y Y
空域中等效于：
g x,y 4 Bx By XY
sinc 2 Bx x-nX sinc 2 By y mY
若取最大允许的抽样间隔，即X =1/(2 Bx)，Y=1/(2 By) ，则用函 数的抽样值计算出原函数：
n m
g nX,mY
但h(x,y)的频谱已经改变成H (fx,fy)
∴ H (fx,fy)反映了系统对不同频率成分的 响应, 即频率响应
第一章 二维线性系统分析
Analysis of 2-Dimensional Linear System §1.4 抽样定理 Sampling Theorem
问题的提出: 对于一个连续的信号(模拟信号), 是否 必须连续地发送,才能传递信号所包含的全部信息? 答:为了完全描述一个频带受限制的信号(带限信号), 可以对它在离散点(时间或空间点)进行抽样. 抽样定理
G(fx, fy) = F (fx, fy) • H (fx, fy)
频域
§1-3 二维线性不变系统
传递函数－频率响应
注意 H (fx,fy) 是 h(x,y) 的F.T.,即h(x,y)的频谱函数 h(x,y)是对d(x,y)函数的响应
d 函数的频谱恒为1, 即含有所有频率成分,
并且各频率成分的权重都相等(=1).
原函数在分立点上的抽样值
插值函数
插值:由抽样点函数值计算非抽样点函数值
抽样和还原的图示
g(x) x 0
comb(x/X)
gs(x) x 0 F.T. Gs(fx)
.
0
x =
X<1/(2Bx)
?
F.T. rect(fx/2Bx) F.T. G(fx)
F.T. G(fx) fx
F.T. Xcomb(Xfx)
g(x)
comb(x/X)
gs(x)
x
0
.
0
x =
x
0 #
1、函数的抽样：二维情形
抽样函数gs(x,y)的频谱
x y g s ( x, y) comb comb g ( x, y) X Y
Gs ( f x , f y )
XY comb Xf x combYf y G ( f x , f y )
第一章复习 三、综合能力
• 利用傅里叶变换及其定理求解一些特殊函数的 积分； • 会用解析法和图解法处理线性空不变系统的输 入输出问题（空域、频域）.
2X 2Y 4XY 4 Bx B y 16 XYBx B y 1 1 2 Bx 2 By
空域中的面积 频域中的面积
在该区域中函数可以用16XYBxBy个值近似表示. 定义: 空间带宽积SW (SBP)= 16XYBxBy
空间带宽积的物理意义
• 空间信号(图像、场分布)的信息容量 • 成像系统、信息存储、处理系统，存储和处理信息 的能力 • 空间物体的自由度数或自由参数数N 若g(x,y)为实函数， 每个抽样值为一个实数， N=SW 若g(x,y)为复函数， 每个抽样值为一个复数， N=2SW • 不变性， 不随空间位移或频移变化 (空间尺度变化引起频谱尺寸相反变化.)
0
*
1 1 2Bx 2Bx