08-二维线性系统分析4-线性不变系统、抽样定理
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g(x)
comb(x/X)
gs(x)
x
0
.
0
x =
x
0 #
1、函数的抽样：二维情形
抽样函数gs(x,y)的频谱
x y g s ( x, y) comb comb g ( x, y) X Y
Gs ( f x , f y )
XY comb Xf x combYf y G ( f x , f y )
③.只有使这些频谱函数互不重叠, 才有 可能用滤波的方法,从中提取出原函数 的频谱, 进而求出原函数。 Gs(fx)
0
1/ X 1/X
fx
Gs(fx) 0 fx
由抽样值还原出原函数的条件
n m Gs(fx, fy) n m G f x X , f y Y
G(fx) fx 0 Bx
(1) g(x,y)是限带函数, 其频谱G (fx, fy)仅 -Bx 在频率平面上一个有限区域 上不为零. 2 Bx, 2 By : 带宽: 包围 的最小矩形在 fx 和 fy方向上的宽度. (2) 原函数抽样时,在x方向和y方向抽样点的间隔 Gs(fx) X 和Y不得大于1/(2 Bx)和1/(2 By),
第一章复习 三、综合能力
• 利用傅里叶变换及其定理求解一些特殊函数的 积分； • 会用解析法和图解法处理线性空不变系统的输 入输出问题（空域、频域）.
fy fx Gs f x ,f y rect 2 B rect 2 B x y
根据卷积定理，在空间域得到:
x g s x,y comb X XY
n m
g s x, y hx, y gx, y
n m sinc 2Bx x- n gx, y g , 2B 2B 2B n m x y x
m sinc 2By y 2 By
若函数g (x, y) 不包括高于Bx 和By 的频率分量,则此函 数可以由一系列间隔(X, Y )等于或小于1/(2Bx)和1/(2By) 处的函数值完全决定.
X, Y: 时/空域, 间隔; Bx , By :频域, 带宽
§1.4 抽样定理
1、函数的抽样
将连续函数g(x,y)在间隔为X和Y的分立的空间 点上抽样, 就是与梳函数相乘的过程.抽样后的 函数系列用gs(x,y)表达: x y g s ( x, y) comb comb g ( x, y) X Y 上式表明,抽样后的函数gs(x,y)由间距分别为X和 Y 的d 函数阵列构成, 每个d 函数下的体积正比于该 点的函数值.
...
0 抽样
...
1/X fx
-Bx 0 Bx * -1/X
= -3Bx -Bx
-1/X
fx . 0 Bx
1/X
3Bx
fx = fx -Bx 0 Bx -Bx 0 Bx 还原
gs(x) x
-2X -X
gs(x) x Sinc函数称为 内插函数 频域滤波相当于 空域的插值运算
0X
2X
2Bxsinc(2Bx) fx 0
②实际信号的大部分能量被一定范围的频率分量所携带. 高频分量携带的能量甚少.由于忽略高频分量, 所引入的误差 可以忽略, 故可近似看作限带函数.
因而抽样理论在信息的传输和处理中有重要的意义.
3、空间带宽积
若 限带函数g(x,y)在频域中|fx|<Bx, |fy|<By 以外恒等于零, 即函数的带宽为Bx 和By, 则函数在空域中|x| <X 和|y| <Y 的范围内最少的抽样点数为:
• 空间信号(图像、场分布)的信息容量 • 成像系统、信息存储、处理系统，存储和处理信息的能力
例
液晶显示屏尺寸为250×250(mm2), 每个像元的 尺寸为0.25 × 0.25 (mm2), 计算: 1.像元总数 2.最高空间频率 3. 空间带宽积
作业
P22 ： 1.5
2X 2Y 4 XY 4 Bx B y 16 XYB x B y 1 1 2 Bx 2 By
经过抽样后函数的频谱,是原连续函数的 频谱以间隔1/X, 1/Y重复平移并叠加.
n m Gs(fx, fy) G f x , f y X Y n m
①.如果G (fx, fy)频带无限制, 则 这些频谱函数必然会叠加。 ②.即使G (fx, fy)是频带有限的函 数, 若X,Y取值不合适, 这些重复 的频谱函数之间也会互相重叠。
空域中等效于：
g x,y 4 Bx By XY
sinc 2 Bx x-nX sinc 2 By y mY
若取最大允许的抽样间隔，即X =1/(2 Bx)，Y=1/(2 By) ，则用函 数的抽样值计算出原函数：
n m
g nX,mY
-B来自百度文库 0 Bx
1/X
fx
1 X , 2Bx
1 Y 2By
称为奈奎斯特(Niquest)间隔
只要以小于或等于奈奎斯特间隔对g(x,y)抽样,则gs(x,y) 的频谱就是G (fx, fy)的周期性复现,包含了g(x,y)的全部 信息.
理想低通滤波
为了从gs(x,y)中还原出g(x,y), 将gs(x,y)通 过一个理想低通滤波器,只允许所有频率 |fx|<Bx, |fy|<By 的频率分量无畸变地通过, 而将此区域以外的频率分量完全阻塞.
G(fx, fy) = F (fx, fy) • H (fx, fy)
频域
§1-3 二维线性不变系统
传递函数－频率响应
注意 H (fx,fy) 是 h(x,y) 的F.T.,即h(x,y)的频谱函数 h(x,y)是对d(x,y)函数的响应
d 函数的频谱恒为1, 即含有所有频率成分,
并且各频率成分的权重都相等(=1).
Gs(fx,fy)
comb(x/X)comb(y/Y) 抽样定理表明: 在一定条件下可以由插值准确恢复原函数。 一个连续的限带函数可以由其离散的抽样序列代替，而不丢 失任何信息。
抽样定理的适用性
①在数学上, 限带函数在空域上一定是无限扩展的函数
函数不可能在空域和频域都被限制在某一范围内.只要 信号存在于有限的时空范围,就会有所有的频率分量. 严格的限带函数在物理上是不存在的.
此理想低通滤波器的频率 特性为频域中的门函数
Gs(fx)
-Bx 0 Bx
1/X
fx
用频域中宽度2Bx和2By的 位于原点的矩形函数作为 滤波函数:
滤波过程 :
fx H f x ,f y rect 2B x
G f x ,f y
fy rect 2B y
1 2Bx , X 1 2 By Y
-Bx 0 Bx
1/X
fx
则Gs中各个区域(间隔为1/X,1/Y)的频谱就不会重叠 有可能用滤波的方法,提取出原函数的频谱G, 进而求出原函数.
1 2Bx , X
1 2 By Y
Gs(fx)
则Gs中各个区域(间隔为1/X,1/Y) 的频谱就不会重叠, 有可能用滤 波的方法,提取出原函数的频谱 G, 进而求出原函数.
原函数在分立点上的抽样值
插值函数
插值:由抽样点函数值计算非抽样点函数值
抽样和还原的图示
g(x) x 0
comb(x/X)
gs(x) x 0 F.T. Gs(fx)
.
0
x =
X<1/(2Bx)
?
F.T. rect(fx/2Bx) F.T. G(fx)
F.T. G(fx) fx
F.T. Xcomb(Xfx)
0
*
1 1 2Bx 2Bx
=
连续函数具有的信息内容等效于一系列的信息抽样.重新恢 复连续函数所必需的离散值的最小数目由抽样定理决定.
抽样 空域 g(x,y) 频域 G(fx,fy) gs(x,y)
还原 h(x,y) 低通滤波器 H(fx,fy) g(x,y)= gs(x,y)* h(x,y) G(fx,fy)= Gs(fx,fy)· x,fy) H(f
线性系统
线性系统对几个激励的线性组合的整体响 应等于单个激励所产生的响应的线性组合
脉冲响应 系统对输入脉冲函数的响应 线性不变系统
输入脉冲位移时, 仅使响应函数产生相应的 位移，则此线性系统称为线性不变系统
传递函数 线性不变系统脉冲响应函数的 F.T.即为传递函数
线性不变系统的输入输出关系
空域
g ( x, y) f ( x, y) h( x, y)
x comb X
y comb G ( f x , f y ) Y
n m d f x , f y G( f x , f y ) X Y n m n m G f x , f y X Y n m
第一章复习 一、基本概念
• • • • 频谱, 振幅谱, 位相谱 线性系统, 脉冲响应，线性空不变系统，传递函数 滤波（高通滤波, 低通滤波） 抽样定理, 奈奎斯特间隔
第一章复习 二、基本技能
•
• •
简单和复合孔径的数学描述：矩孔、圆孔、单 缝、多缝、线光栅、位相板等； 脉冲函数的运算，卷积和相关的运算，图解表 示； 常用基本函数的傅里叶变换和逆变换，利用傅 里叶变换的性质和定理求较复杂函数的傅里叶 变换，图解表示。
2X 2Y 4XY 4 Bx B y 16 XYBx B y 1 1 2 Bx 2 By
空域中的面积 频域中的面积
在该区域中函数可以用16XYBxBy个值近似表示. 定义: 空间带宽积SW (SBP)= 16XYBxBy
空间带宽积的物理意义
• 空间信号(图像、场分布)的信息容量 • 成像系统、信息存储、处理系统，存储和处理信息 的能力 • 空间物体的自由度数或自由参数数N 若g(x,y)为实函数， 每个抽样值为一个实数， N=SW 若g(x,y)为复函数， 每个抽样值为一个复数， N=2SW • 不变性， 不随空间位移或频移变化 (空间尺度变化引起频谱尺寸相反变化.)
y comb g x,y Y
g nX,mY δ x nX,y mY
f y fx rect hx,y F rect 2 B 2 Bx y 4 Bx By s inc2 Bx x sinc 2 By
但h(x,y)的频谱已经改变成H (fx,fy)
∴ H (fx,fy)反映了系统对不同频率成分的 响应, 即频率响应
第一章 二维线性系统分析
Analysis of 2-Dimensional Linear System §1.4 抽样定理 Sampling Theorem
问题的提出: 对于一个连续的信号(模拟信号), 是否 必须连续地发送,才能传递信号所包含的全部信息? 答:为了完全描述一个频带受限制的信号(带限信号), 可以对它在离散点(时间或空间点)进行抽样. 抽样定理
comb(x/X)
gs(x)
x
0
.
0
x =
x
0 #
1、函数的抽样：二维情形
抽样函数gs(x,y)的频谱
x y g s ( x, y) comb comb g ( x, y) X Y
Gs ( f x , f y )
XY comb Xf x combYf y G ( f x , f y )
③.只有使这些频谱函数互不重叠, 才有 可能用滤波的方法,从中提取出原函数 的频谱, 进而求出原函数。 Gs(fx)
0
1/ X 1/X
fx
Gs(fx) 0 fx
由抽样值还原出原函数的条件
n m Gs(fx, fy) n m G f x X , f y Y
G(fx) fx 0 Bx
(1) g(x,y)是限带函数, 其频谱G (fx, fy)仅 -Bx 在频率平面上一个有限区域 上不为零. 2 Bx, 2 By : 带宽: 包围 的最小矩形在 fx 和 fy方向上的宽度. (2) 原函数抽样时,在x方向和y方向抽样点的间隔 Gs(fx) X 和Y不得大于1/(2 Bx)和1/(2 By),
第一章复习 三、综合能力
• 利用傅里叶变换及其定理求解一些特殊函数的 积分； • 会用解析法和图解法处理线性空不变系统的输 入输出问题（空域、频域）.
fy fx Gs f x ,f y rect 2 B rect 2 B x y
根据卷积定理，在空间域得到:
x g s x,y comb X XY
n m
g s x, y hx, y gx, y
n m sinc 2Bx x- n gx, y g , 2B 2B 2B n m x y x
m sinc 2By y 2 By
若函数g (x, y) 不包括高于Bx 和By 的频率分量,则此函 数可以由一系列间隔(X, Y )等于或小于1/(2Bx)和1/(2By) 处的函数值完全决定.
X, Y: 时/空域, 间隔; Bx , By :频域, 带宽
§1.4 抽样定理
1、函数的抽样
将连续函数g(x,y)在间隔为X和Y的分立的空间 点上抽样, 就是与梳函数相乘的过程.抽样后的 函数系列用gs(x,y)表达: x y g s ( x, y) comb comb g ( x, y) X Y 上式表明,抽样后的函数gs(x,y)由间距分别为X和 Y 的d 函数阵列构成, 每个d 函数下的体积正比于该 点的函数值.
...
0 抽样
...
1/X fx
-Bx 0 Bx * -1/X
= -3Bx -Bx
-1/X
fx . 0 Bx
1/X
3Bx
fx = fx -Bx 0 Bx -Bx 0 Bx 还原
gs(x) x
-2X -X
gs(x) x Sinc函数称为 内插函数 频域滤波相当于 空域的插值运算
0X
2X
2Bxsinc(2Bx) fx 0
②实际信号的大部分能量被一定范围的频率分量所携带. 高频分量携带的能量甚少.由于忽略高频分量, 所引入的误差 可以忽略, 故可近似看作限带函数.
因而抽样理论在信息的传输和处理中有重要的意义.
3、空间带宽积
若 限带函数g(x,y)在频域中|fx|<Bx, |fy|<By 以外恒等于零, 即函数的带宽为Bx 和By, 则函数在空域中|x| <X 和|y| <Y 的范围内最少的抽样点数为:
• 空间信号(图像、场分布)的信息容量 • 成像系统、信息存储、处理系统，存储和处理信息的能力
例
液晶显示屏尺寸为250×250(mm2), 每个像元的 尺寸为0.25 × 0.25 (mm2), 计算: 1.像元总数 2.最高空间频率 3. 空间带宽积
作业
P22 ： 1.5
2X 2Y 4 XY 4 Bx B y 16 XYB x B y 1 1 2 Bx 2 By
经过抽样后函数的频谱,是原连续函数的 频谱以间隔1/X, 1/Y重复平移并叠加.
n m Gs(fx, fy) G f x , f y X Y n m
①.如果G (fx, fy)频带无限制, 则 这些频谱函数必然会叠加。 ②.即使G (fx, fy)是频带有限的函 数, 若X,Y取值不合适, 这些重复 的频谱函数之间也会互相重叠。
空域中等效于：
g x,y 4 Bx By XY
sinc 2 Bx x-nX sinc 2 By y mY
若取最大允许的抽样间隔，即X =1/(2 Bx)，Y=1/(2 By) ，则用函 数的抽样值计算出原函数：
n m
g nX,mY
-B来自百度文库 0 Bx
1/X
fx
1 X , 2Bx
1 Y 2By
称为奈奎斯特(Niquest)间隔
只要以小于或等于奈奎斯特间隔对g(x,y)抽样,则gs(x,y) 的频谱就是G (fx, fy)的周期性复现,包含了g(x,y)的全部 信息.
理想低通滤波
为了从gs(x,y)中还原出g(x,y), 将gs(x,y)通 过一个理想低通滤波器,只允许所有频率 |fx|<Bx, |fy|<By 的频率分量无畸变地通过, 而将此区域以外的频率分量完全阻塞.
G(fx, fy) = F (fx, fy) • H (fx, fy)
频域
§1-3 二维线性不变系统
传递函数－频率响应
注意 H (fx,fy) 是 h(x,y) 的F.T.,即h(x,y)的频谱函数 h(x,y)是对d(x,y)函数的响应
d 函数的频谱恒为1, 即含有所有频率成分,
并且各频率成分的权重都相等(=1).
Gs(fx,fy)
comb(x/X)comb(y/Y) 抽样定理表明: 在一定条件下可以由插值准确恢复原函数。 一个连续的限带函数可以由其离散的抽样序列代替，而不丢 失任何信息。
抽样定理的适用性
①在数学上, 限带函数在空域上一定是无限扩展的函数
函数不可能在空域和频域都被限制在某一范围内.只要 信号存在于有限的时空范围,就会有所有的频率分量. 严格的限带函数在物理上是不存在的.
此理想低通滤波器的频率 特性为频域中的门函数
Gs(fx)
-Bx 0 Bx
1/X
fx
用频域中宽度2Bx和2By的 位于原点的矩形函数作为 滤波函数:
滤波过程 :
fx H f x ,f y rect 2B x
G f x ,f y
fy rect 2B y
1 2Bx , X 1 2 By Y
-Bx 0 Bx
1/X
fx
则Gs中各个区域(间隔为1/X,1/Y)的频谱就不会重叠 有可能用滤波的方法,提取出原函数的频谱G, 进而求出原函数.
1 2Bx , X
1 2 By Y
Gs(fx)
则Gs中各个区域(间隔为1/X,1/Y) 的频谱就不会重叠, 有可能用滤 波的方法,提取出原函数的频谱 G, 进而求出原函数.
原函数在分立点上的抽样值
插值函数
插值:由抽样点函数值计算非抽样点函数值
抽样和还原的图示
g(x) x 0
comb(x/X)
gs(x) x 0 F.T. Gs(fx)
.
0
x =
X<1/(2Bx)
?
F.T. rect(fx/2Bx) F.T. G(fx)
F.T. G(fx) fx
F.T. Xcomb(Xfx)
0
*
1 1 2Bx 2Bx
=
连续函数具有的信息内容等效于一系列的信息抽样.重新恢 复连续函数所必需的离散值的最小数目由抽样定理决定.
抽样 空域 g(x,y) 频域 G(fx,fy) gs(x,y)
还原 h(x,y) 低通滤波器 H(fx,fy) g(x,y)= gs(x,y)* h(x,y) G(fx,fy)= Gs(fx,fy)· x,fy) H(f
线性系统
线性系统对几个激励的线性组合的整体响 应等于单个激励所产生的响应的线性组合
脉冲响应 系统对输入脉冲函数的响应 线性不变系统
输入脉冲位移时, 仅使响应函数产生相应的 位移，则此线性系统称为线性不变系统
传递函数 线性不变系统脉冲响应函数的 F.T.即为传递函数
线性不变系统的输入输出关系
空域
g ( x, y) f ( x, y) h( x, y)
x comb X
y comb G ( f x , f y ) Y
n m d f x , f y G( f x , f y ) X Y n m n m G f x , f y X Y n m
第一章复习 一、基本概念
• • • • 频谱, 振幅谱, 位相谱 线性系统, 脉冲响应，线性空不变系统，传递函数 滤波（高通滤波, 低通滤波） 抽样定理, 奈奎斯特间隔
第一章复习 二、基本技能
•
• •
简单和复合孔径的数学描述：矩孔、圆孔、单 缝、多缝、线光栅、位相板等； 脉冲函数的运算，卷积和相关的运算，图解表 示； 常用基本函数的傅里叶变换和逆变换，利用傅 里叶变换的性质和定理求较复杂函数的傅里叶 变换，图解表示。
2X 2Y 4XY 4 Bx B y 16 XYBx B y 1 1 2 Bx 2 By
空域中的面积 频域中的面积
在该区域中函数可以用16XYBxBy个值近似表示. 定义: 空间带宽积SW (SBP)= 16XYBxBy
空间带宽积的物理意义
• 空间信号(图像、场分布)的信息容量 • 成像系统、信息存储、处理系统，存储和处理信息 的能力 • 空间物体的自由度数或自由参数数N 若g(x,y)为实函数， 每个抽样值为一个实数， N=SW 若g(x,y)为复函数， 每个抽样值为一个复数， N=2SW • 不变性， 不随空间位移或频移变化 (空间尺度变化引起频谱尺寸相反变化.)
y comb g x,y Y
g nX,mY δ x nX,y mY
f y fx rect hx,y F rect 2 B 2 Bx y 4 Bx By s inc2 Bx x sinc 2 By
但h(x,y)的频谱已经改变成H (fx,fy)
∴ H (fx,fy)反映了系统对不同频率成分的 响应, 即频率响应
第一章 二维线性系统分析
Analysis of 2-Dimensional Linear System §1.4 抽样定理 Sampling Theorem
问题的提出: 对于一个连续的信号(模拟信号), 是否 必须连续地发送,才能传递信号所包含的全部信息? 答:为了完全描述一个频带受限制的信号(带限信号), 可以对它在离散点(时间或空间点)进行抽样. 抽样定理