二次根式a的双重非负性
二次根式及其运算
(2)原式＝( 10－3)2016×( 10＋3)2016×( 10－3) ＝[( 10－3)( 10＋3)]2016×( 10－3) ＝[( 10)2－32]2016×( 10－3) ＝(10－9)2016×( 10－3)＝1×( 10－3) ＝ 10－3.
★名师指津 最简二次根式成立的条件缺一不可，而二次 根式在表达形式上，容易导致认识错误，例如 0.2b和 x2－y2，会误以为前者不含分母、后者含有能开方的因 式．应注意对数学概念的理解：小数可以转化成分数， 因式和项有区别．
易错点3
二次根式的性质
＝|a|
1 1 1 2 【典例 3】 化简并求值：a＋ a ＋ 2－2，其中 a＝ . a 5 12 a － 1 1 1 【错解】 原式＝ ＋ a ＝ ＋a－ ＝a. a a a 1 1 当 a＝ 时，原式＝a＝ . 5 5 12 a － 1 【析错】 化简 a2＋ 2－2＝ 根据 a2＝|a|， a 时， a 可知结果一定是非负数． 12 1 a－ a－ 1 1 1 ∵当 a＝ 时，a－ <0，∴ a ＝ a ＝ －a， 5 a a 1 而不是 a－ . a
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x≤ 9
x－ 1 【类题演练 1】 (2016· 怀化)函数 y＝ 中， 自变量 x x－ 2 的取值范围是 ( ) A. x≥0 B. x＞1 C. x≥1 且 x≠2 D. x≠2
【解析】 根据二次根式有意义的条件，得 x－1≥0，由 分式有意义的条件，得 x－2≠0， ∴x≥1 且 x≠2.
【答案】 D
2．(2016· 自贡)下列根式中，不是最简二次根式的是( A. 10 B. 8 C. 6 D. 2
部编人教版八年级数学下册重点强化专题一：二次根式的非负性
部编人教版八年级数学下册重点强化专题一（含答案）二次根式的非负性【方法技巧】 a 表示非负数a 算术平方根，它具有双重非负性：（1）二次根式的结果是非负数，即a ≥ 0.（2）二次根式的被开方数是非负数，即a ≥0.一、利用二次根式的非负性求范围1. 二次根式4-x 有意义，则实数x 的取值范围是 .2. 若m m -=-1)1(2 ， 则m 的取值范围是 .二、利用二次根式的非负性化简3. 若a>2，则=+---12)2(22a a a . 4.化简：yy 1-- ＝ . 5.当 x<0时，化简 ： xx x x 24422-+-＝ 6.实数在数轴上的位置如图所示，化简：222)()2()2(b a b a ++--+三、利用二次根式的非负性求值7. 若| x+y-1|+0102=+-y x , 则4y-3x 的平方根是8. 311+=-+-a a a 求a 值。
9. 若433+---=x x y ， 求222244()2(y xy x y xy x +-++-的值.10. 已知实数x 、y 满足,0256102=+++-y x x ，求2020)(y x +的值.b-2-112参考答案1.∵ x-4≥0 ∴x ≥42.∵0)1(2≥-m 1.∴1-m ≥0 ∴m ≤1 3. ∵a >2 ∴=+---12)2(22a a a 22)1()2(---a a =1)1()2(-=---a a 4.∵01≥-y ∴y <0 ∴ y y y y y -=-=--215.∵x<0时x x x x x x x x x x x 1)2(2)2()2(244222-=--=--=-+-6. 如图可知:a+2>0 b-2<0 :a+b>0∴a b a b a b a b a 2)()2()2()()2()2(222=++--+=++--+ 7. ∵| x+y-1|≥0 ,0102≥+-y x∴ | x+y-1|＝0且 0102=+-y x∴ x+y-1＝0，2x-y+10=0解之得： x= -3 , y=4 , ∴4y-3x =25,则4y-3x 的平方根是58. 由，1≥a ,有321111+==-+-=-+-a a a a a a3=a 9. 由433+---=x x y 得4,3==y x O x ba -2-112321)2()(44()2(222222=+=-+-=+-++-y x y x y xy x y xy x 10. 1)y x (,6y ,5x ,0)6(y )5x (,025*********=+∴-===++-=+++-所以有：得：由y x x。
中考数学总复习第5课 二次根式
的值为
()
A．－15
B．15
C．－125
D.125
解析：由二次根式的定义，得 2x－5≥0 且 5－2x≥0，∴x
≥5且 2
x≤52，∴x＝52，∴y＝－3，∴2xy＝2×52×(－3)＝－
15.
答案：A
【预测演练 1－3】 化简：( 3－x)2－ x2－10x＋25.
解析：∵3－x≥0，∴x≤3，原式＝3－x－|x－5|＝3－x－ (5－x)＝3－x－5＋x＝－2.
解析：(1)4 1－ 8＝4× 2－2 2＝2 2－2 2＝0.
2
2
(2)原式＝( 2＋1)( 2－1)× 2＝(2－1)× 2＝ 2.
(3)原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1]
＝18－1－8＋4 2－1＝8＋4 2.
(4)原式＝( 10－3)2013·( 10＋3)2013·( 10＋3)
∴a＝m 2＋2n 2，b＝2m n . 这样，小明找到了把部分 a＋b 2的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决问题： (1)当 a，b，m，n 均为正整数时，若 a＋b 3＝(m＋n 3)2，用含 m，n 的
式子分别表示 a，b 得，a＝________，b＝________； (2)利用所探索的结论，找一组正整数 a，b，m，n 填空： ______＋______ 3＝(______＋______ 3)2； (3)若 a＋4 3＝(m＋n 3)2 且 a，b，m，n 均为正整数，求 a 的值．
解析：x－3≥0, ∴x≥3.
答案：x ≥3
【预测演练 1－1】
等式 2k－1＝ k－3
数 k 的取值范围是
2k－1成立，则实 k－3
()
第二十一章 二次根式
第二十一章 二次根式知识点归纳1．定义：形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式。
2．二次根式a 有意的条件：3．性质：（1）双重非负性：即a ≥0且a ≥0（2）⎩⎨⎧<-≥==0,0,2a a a a a a（3）2)(a =a (a ≥0)4．同类二次根：被开方数相同的二次根式最简同类二次根式：⎩⎨⎧尽的因数或因式被开方数不含开方开得或分母不含根号被开方数不含分母）（5．把根号外面的因数或因式移到根号内：()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=--=≥≥=0,00,0222b a b a b a b a b a b a b a 6．二次根式的大小比较：先把根号外的因数或因式全部移到根号内，再进行大小比较。
7．分母有理化： （1）()01>=∙=a a aa a a a（2）()()()0,0,01≠-≥≥-+=+-+=-b a b a ba ba ba ba ba b a（3）()()()0,0,01≠-≥≥--=-+-=+b a b a ba ba ba ba b a ba8．运算法则：（1）加减法则：将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式（2）乘除法则：()()⎪⎩⎪⎨⎧<≥=≥≥=∙0,00,0b a b ab a b a ab b a （3）混合运算法则。
复习题1．已知a, b, c 满足04122212=+-+++-c c c b b a ，求)(c b a +-的值。
2．已知y=32552--+-x x ，求2xy 的值。
3．已知a （a －3）≤0，若b=2－a ，求b 的取值范围。
4．已知点P （x,y ）在函数x xy -+=21的图象上，那么点P 应在平面直角坐标系中的哪个像限？ 5．若()a a 21122-=-，求a 的取值范围。
6．已知实数a, b, c 满足32388++-+--=--+-+c b a c b a b a b a 请问：长度分别为a, b, c 的三条线段能否构成一个三角形？若能，求出该三角形的面积。
专题06 二次根式篇(解析版)
专题06 二次根式考点一：二次根式之定义与有意义的条件1. 二次根式的定义：形如()0≥aa的式子叫做二次根式。
2. 二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数大于等于0。
即a中，0≥a。
1．（2022•湘西州）要使二次根式63-x有意义，则x的取值范围是（ ）A．x＞2B．x＜2C．x≤2D．x≥2【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．【解答】解：∵3x﹣6≥0，∴x≥2，故选：D．2．（2022•广州）代数式11+x有意义时，x应满足的条件为（ ）A．x≠﹣1B．x＞﹣1C．x＜﹣1D．x≤﹣1【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：代数式有意义时，x+1＞0，解得：x＞﹣1．故选：B．3．（2022•贵阳）代数式3-x在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）A．x≥3B．x＞3C．x≤3D．x＜3【分析】直接利用二次根式的定义得出x﹣3≥0，进而求出答案．【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，∴x ﹣3≥0，解得：x ≥3，∴x 的取值范围是：x ≥3．故选：A ．4．（2022•绥化）若式子21-++x x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＞﹣1B ．x ≥﹣1C ．x ≥﹣1且x ≠0D ．x ≤﹣1且x ≠0【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，a ﹣p ＝（a ≠0）即可得出答案．【解答】解：∵x +1≥0，x ≠0，∴x ≥﹣1且x ≠0，故选：C ．5．（2022•雅安）使2-x 有意义的x 的取值范围在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据二次根式有意义的条件，得出关于x 的不等式，解不等式，即可得出答案．【解答】解：∵∴x ﹣2≥0，∴x ≥2，故选：B ．6．（2022•菏泽）若31-x 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 ．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得，x ﹣3＞0，解得x ＞3．故答案为：x ＞3．7．（2022•青海）若式子11-x 有意义，则实数x 的取值范围是 ．【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不等于零列式计算可求解．【解答】解：由题意得x ﹣1＞0，解得x ＞1，故答案为：x ＞1．8．（2022•包头）若代数式x x 11++在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ．【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零，列不等式组，解出即可．【解答】解：根据题意，得，解得x ≥﹣1且x ≠0，故答案为：x ≥﹣1且x ≠0．9．（2022•常德）要使代数式4-x x 有意义，则x 的取值范围为 ．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x ﹣4＞0，解得：x ＞4，故答案为：x ＞4．10．（2022•邵阳）若21-x 有意义，则x 的取值范围是 ．x 的不等式组，求出x 的取值范围即可．【解答】解：∵有意义，∴，解得x ＞0．故答案为：x ＞2．考点二：二次根式之性质与化简1. 二次根式的性质：①二次根式的双重非负性：二次根式本身是一个非负数，恒大于等于0。
浙教版八年级下专题一 二次根式的双重非负性
一a(a≥0)的双重非负性教材P5课内练习第1题)求下列二次根式中字母x的取值范围：(1)x－1.(2)4x2.(3)11＋3x. (4)－5x.解：(1)x≥1；(2)x为全体实数；(3)x>－13；(4)x≤0.【思想方法】此类有意义的条件问题主要是根据：(1)二次根式的被开方数大于或等于零；(2)分式的分母不为零等列不等式组，然后求不等式组的解集．[2012·青海]函数y＝x＋4x－2中，自变量x的取值范围是__x≥－4且x≠2__．使a＋－a有意义的a的取值范围为(C) A．a＞0B．a＜0C．a＝0 D．不存在【解析】根据二次根式的定义，被开方数大于等于0，可知a≥0，且－a ≥0即a≤0，所以a＝0.化简(2a－5)2－(2a＋1)的结果是(B) A．－4 B．－6 C．4a－4 D．4a－6【解析】根据二次根式有意义，可知2a－5≥0，∴原式＝(2a－5)2－(2a ＋1)＝2a－5－2a－1＝－6.已知实数x满足|2 013－x|＋x－2 014＝x，求x－2 0132的值．解：∵x－2 014有意义，∴x≥2 014，∴|2 013－x |＝|x －2 013|＝x －2 013， ∴|2 013－x |＋x －2 014＝x 可化简为x －2 013＋x －2 014＝x ， 即x －2 014＝2 013，两边平方，得x －2 014＝2 0132， ∴x －2 0132＝2 014.已知a ，b 为实数，且a －5－25－a ＝b ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求a －b 的算术平方根．【解析】 (1)根据被开方数大于等于0列式求出a 的值，再代入即可求出b 的值；(2)先代入a ，b 的值求出a －b ，然后根据算术平方根的定义解答． 解：(1)根据题意，得a －5≥0且5－a ≥0， 解得a ≥5且a ≤5，所以a ＝5， 所以b ＋4＝0，解得b ＝－4； (2)a －b ＝5－(－4)＝5＋4＝9. ∵32＝9，∴a －b 的算术平方根是3.若a ，b 为实数，且b ＝a 2－4＋4－a 2a ＋2＋7，求a ＋b 的值．解：∵b ＝a 2－4＋4－a 2a ＋2＋7有意义，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4≥0，4－a 2≥0，a ＋2≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4≥0，a 2－4≤0，a ＋2≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＝0，a ≠－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2或a ＝－2，a ≠－2，∴a ＝2，∴b ＝7，∴a ＋b ＝2＋7＝3. 二a 2的化简(教材P7课内练习第1题)(口答)填空：(1)（－1）2＝__1__，(－3)2＝__3__，⎝ ⎛⎭⎪⎫1132＝__113__，（－4）2＝__4__．(2)数a 在数轴上的位置如图1所示，则a 2＝__－a __.图1【思想方法】 根据二次根式的性质(a )2＝a (a ≥0)，a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a >0），0（a ＝0），－a （a <0），进行化简． 化简4x 2－4x ＋1－(2x －3)2得( A )A ．2B ．－4x ＋4C ．－2D ．4x －4【解析】 由题意，得2x －3≥0.由于2x －1＞2x －3，所以2x －1＞0，故原式＝（2x －1）2－(2x －3)＝2x －1－2x ＋3＝2.[2012·呼和浩特]实数a ，b 在数轴上的位置如图2所示，则（a ＋b ）2＋a 的化简结果为__－b __．图2(1)当a <0时，化简a 2－2a ＋1a 2－a；(2)已知x 满足的条件为⎩⎨⎧x ＋1>0，x －3<0，化简x 2－6x ＋9＋x 2＋2x ＋1；(3)实数a ，b 在数轴上的位置如图3所示，化简（a ＋2）2－（b －2）2＋（a ＋b ）2.图3解：(1)∵a <0， ∴a －1<0， ∴原式＝（a －1）2a （a －1）＝1－a a （a －1）＝－1a ；(2)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －3<0，得－1<x <3，且原式＝（x －3）2＋（x ＋1）2.∵－1<x <3， ∴x －3<0，x ＋1>0， ∴原式＝3－x ＋x ＋1＝4； (3)观察数轴可得b <－2，1<a <2， ∴a ＋2>0，b －2<0，a ＋b <0， ∴原式＝a ＋2－(2－b )＋(－a －b )＝0.三 非负数a (a ≥0)、|a|及a 2的综合运用教材P8作业题第3题)计算：(1)(－5)2－16＋（－2）2. (2)⎝⎛⎭⎪⎫252－0.12－14.(3)(a )2＋a 2(a ≥0)． 解：(1)3；(2)－0.2；(3)2a .【思想方法】 本题主要考查二次根式的非负性，灵活运用公式a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a >0），a （a ＝0），－a （a <0），几个非负数的和为零，则这几个数都为零．[2012·青海]若m ，n 为实数，且|2m ＋n －1|＋m －2n －8＝0，则(m ＋n )2 012的值为__1__．【解析】 根据非负数的性质得到⎩⎪⎨⎪⎧|2m ＋n －1|＝0，m －2n －8＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n －1＝0，m －2n －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝－3， ∴(m ＋n )2 012＝(2－3)2 012＝1.[2013·新疆]若a ，b 为实数，且|a ＋1|＋b －1＝0，则(ab )2 013的值是( C )A ．0B ．1C ．－1D ．±1【解析】 根据题意，得a ＋1＝0，b －1＝0， 解得a ＝－1，b ＝1，所以(ab )2 013＝(－1×1)2 013＝－1. 故选C.[2013·攀枝花]已知实数x ，y ，m 满足x ＋2＋|3x ＋y ＋m |＝0，且y 为负数，则m 的取值范围是( A )A ．m >6B ．m <6C ．m >－6D ．m <－6【解析】 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，3x ＋y ＋m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝6－m .根据题意，得y ＝6－m <0， 解得m >6. 故选A.已知S 1＝1＋112＋122，S 2＝1＋122＋132，S 3＝1＋132＋142，…，S n ＝1＋1n 2＋1（n ＋1）2.设S ＝S 1＋S 2＋…＋S n ，求S . 解：∵S n ＝1＋1n 2＋1（n ＋1）2＝1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n －1（n ＋1）2＋2·1n （n ＋1）＝1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n （n ＋1）2＋2·1n （n ＋1）＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1n （n ＋1）2， ∴S n ＝1＋1n （n ＋1），∴S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12×3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13×4＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1n （n ＋1）＝n ＋⎝⎛1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －⎭⎪⎫1n ＋1＝n ＋1－1n ＋1＝n 2＋2n n ＋1.。
初二数学二次根式知识点大全
初二数学二次根式知识点大全知识点1 二次根式1.二次根式的定义一般地，我们把形如 $\sqrt{a}$（$a\geq0$）的式子叫做二次根式。
其中，$\sqrt{}$ 称为二次根号，$a$（$a\geq0$）是一个非负数。
2.二次根式有意义的条件二次根式的概念是形如 $\sqrt{a}$（$a\geq0$）的式子叫做二次根式。
二次根式中被开方数是非负数，且具有非负性，即 $a\geq0$。
3.二次根式的双重非负性二次根式的双重非负性包括被开方数的非负性和算数平方根的非负性，即 $a\geq0$ 和 $\sqrt{a}\geq0$。
4.二次根式化简化简二次根式的方法包括把被开方数分解因式，利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来，化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数 2.题型1 二次根式定义例1】在式子 $\pi$，$a^2+b^2$，$a+5$，$-3y(y\geq0)$，$m^2-1$ 和 $ab$（$a<0,b<0$）中，是二次根式的有()A。
3个B。
4个C。
5个D。
5个解答】解：式子 $\pi$，$a^2+b^2$，$-3y(y\geq0)$，$ab$（$a<0,b<0$）是二次根式，共 4 个，故选 B。
点评】此题主要考查了二次根式定义，关键是注意被开方数为非负数。
题型2 二次根式有意义的条件例2】若 $\frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{y}}$ 是二次根式，则下列说法正确的是()A。
$x<y$B。
$x$ 且 $y>\frac{2x^2}{y^2}$C。
$x$、$y$ 同号D。
$x,y>0$ 或 $x,y<0$解答】解：依题意有 $\frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{y}}$，即$\sqrt{\frac{2x}{y}}$，是二次根式。
则 $\frac{2x}{y}>0$，即$x,y$ 同号且 $y\neq0$。
二次根式的性质(1)
都是这些大计策？又是朝廷，又是官场，你壹个姑娘家家的，怎么这么多主意？唉，是不是《三国》看的太多了？不是权术，就是谋略，你真 是枉生了女儿身了！啧，啧，怪不得连二哥都佩服你，还没见二哥说他服过谁呢。”“哪里是我的主意多啊，爹爹当了壹辈子的大官，大哥二 哥少年就考取功名，凝儿出身官宦世家，从小潜移默化、耳濡目染，就算是没吃过猪肉，还没有见过猪跑？”“你敢说爹爹和大哥二哥是 猪？”“玉盈姐姐，你真坏啊！”“这明明是你自己说的，又不是我逼的你，怎么我又成了是坏人了？”年总督听了夫人的壹番话，跟夫人如 出壹辙，对凝儿大赞不已，真没想到，怎么这个闺女就能另辟蹊径，想出这么壹个万全之策呢？既然已经身处险境，年总督当即决定，险境也 只能用险招，也算是铤而走险，希望能够绝境逢生、出奇制胜！而且事不宜迟，现在日头已经偏西了，于是赶快写下帖子，差年峰立即亲自递 送到雍亲王府。年峰都出发了，年总督才腾出空儿来，把两个公子叫到跟前，说了冰凝的主意。大公子年希尧自是交口称赞：“凝儿这姑娘小 时候就爱弄个稀其古怪的，没想到大姑娘了，都能为父兄排忧解难了。”“大哥，你别再夸了，再夸她就敢跟我邀功请赏，说她能当花木兰 了！”二公子这回被冰凝这丫头抢了头功，嘴上虽然没说什么，心里倒也甜丝丝的：这丫头从来都是鬼怪得很，败给凝儿，不算没面子。几个 人正沉浸在难题迎刃而解的喜悦之中，还没有来得及开始猜测王府那边会是什么情况呢，好像也就是壹眨眼的功夫，眼见着年峰就回来了，把 众人都吓了壹跳，二公子更是即刻就从椅子上站了起来，冲到门口：“年峰，你怎么又回来了，出了什么岔子？”第壹差 第二十章 备礼“不 是，不是，没有，没出岔子！老爷夫人，大爷二爷，王府允了！”年峰的壹句话说完，众人的那颗悬了半天的心也算是踏踏实实地落了地，大 家都如释重负地松了口气。只是这口气刚松下来，另个壹口气又提了起来：礼单！原本早早就备好了礼单，可是，那是为了拜见王爷，完全照 着王爷的喜好置备的，而且大年初六的时候还要送到王府。明天要拜见的是福晋，就必须重新置办壹份新的礼物。内容上，要针对福晋的喜好， 而在份量上，却又是丝毫不能比给王爷的那份差。眼看着天都黑了，明天壹大早就要用，年家虽然家大业大，可是要在这么短的时间里，置办 起壹套既体面又能讨福晋欢心的见面礼，可真真地是巧妇难为无米之炊！没办法，年夫人只得先让年峰去库房里捡贵重的、能送给女宾的礼品 先挑出来，她和老爷再从这些物件里逐壹仔细甄选。望着这些绫罗绸缎、珍珠玛瑙、玉石古玩，左挑右选，年老夫妇壹直拿不定主意，总感觉 缺少壹件最贵
第01讲二次根式的性质
第01讲二次根式的性质第1讲二次根式的性质知识导航1．二次根式的概念与被开方数中字母的取值范围；2．二次根式的双重非负性；3．开平方与平方两种运算的关系【板块一】二次根式的概念与基本性质方法技巧一般地，我们把形如(a0)的式子叫做二次根式，”称为二次根号．开平方时，被开方数a的取值范围是a0，二次根式有两个非负性，也叫二次根式的双重非负性，即被开方数a的取值范围是a0，算术平方根的结果0．题型一判断式子是否为二次根式【例1】下列式子中是二次根式的有()；；－；；；(x＞1)；A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】形如(a0)的式子叫做二次根式，被开方数a的取值范围是a0；不符合被开方数a的取值范围是a0，是开3次方，为二次根式，故选C．【解答】C题型二二次根式有意义的字母的取值范围【例2】在下列式子：；(x－2)0；中，x不可以取2的是()A．只有 B．只有 C．和 D．和【分析】二次根式中被开方数大于等于零，零指数幂的底数不为零，分母的值不为零．，x－20，则x2；(x－2)0，x－20，则x2；中，x－20，解得x2，故x不可以取2的是和，故选C【解谷】C题型三二次根式的双重非负性【例3】若x，y为实数，y＝，则4y－3x的平方根是．【分析】，故只有x2－4＝0，即x＝±2，又x－2≠0，x＝－2，y＝＝－，4y－3x＝－1－(－6)＝5，故4y－3r的平方根是±．【解答】士．【例4】已知|7－9m|＋(n－3)2＝9m－7－，求(n－m)2019的值．【分析】非负数有三种呈现形式：绝对值，平方，算术平方根，几个非负数的和一定是非负数，若几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0．【解答】＋(n－3)2＝9m－7－，＋(n－3)2＋＝9m－70，9m－7＋(n－3)2＋＝9m－7，(n－3)2＋＝0，n－3＝0，m－4＝0，n＝3，m＝4，(n－m)2019＝(－1)2019＝－1．题型四二次根式中的隐含条件的运用【例5】若实数x，y，m适合关系式＋＝·，求m的值．【分析】由(x＋y)－200，20－(x＋y)0，所以x＋y＝20．再利用两个二次根式的和等于0，即每一个被开方数等于0．【解答】x＋y－200，20－(x＋y)0，x＋y＝20．＋＝0，≥0，0，3x＋3y－m＝0，m＝3(x＋y)＝3×20＝60．针对练习11．x取何值时，下列各式有意义(1)；(2)；－；(4)．【解答】(1)x＞；(2)x4且x－5；(3)1x≤2；(4)x5且x6．2．代数式＋＋的最小值是()A．0 B．1＋ C．1 D．不存在【解答】B．3．方程＋＝0的解是．【解答】，或4．已知x，y为实数，且满足－(3y－1)＝0，则(xy)2019＝．【解答】－15．如果x，y，z为实数，且满足＋＋z2－z＋＝0，求(y＋z)x2的值．【解答】|4x－4y＋1|＋＋(z－)2＝0，又≥0，0，(z－)20，4x－4y＋1＝0，2y＋z＝0，z－＝0，x＝－，y＝－，z＝，(y＋z)x2＝(－＋)(－)2＝．6．若m适合关系式：－＝－，求m的值．【解答】由条件得x＋y－1160，116－(x＋y)0，116≤x＋y116，x＋y＝116，＝－，≥0，－0，，＋得5(x＋y)＋18＝2m，2m＝5×116＋18，m＝299．【板块二】二次根式的两个基本性质的综合运用方法技巧二次根式的两个性质()2＝a(a≥0)和＝，可以运用上述两个性质进行有关计算和化简．题型五＝的运用【例1】已知0＜a＜1，化简－＝．【分析】a＝()2，＝，又0＜a＜1，()2＜，即＜．原式＝－＝－＝＋－（－）＝2．【解答】2．【例2】若化简－的结果为2x－5，则x的取值范围是．【分析】根据x的取值化简绝对值和二次根式的性质分析．－＝－＝2x－5，则－＝x－1＋x－4，即1－x0，x－40，解得1x≤4．【解答】1x≤4．题型六()2＝a(a0)的运用【例3】已知ABC的三边a，b，c满足关系式a＋b＋c－2－4－6＋4＝0，试求ABC的周长．【分析】根据式子的结构特点，运用a＝()2配方，然后利用非负性解题．【解答】a＋b＋c－2－4－6＋4＝0，(a－5)－2＋1＋(b－4)－4＋4＋(c－1)－6＋9＝0，(－1)2＋(－2)2＋(－3)2＝0，a－5＝1，b－4＝4，c－1＝9．a＝6，b＝8，c＝10，ABC的周长为6＋8＋10＝24．题型七二次根式的规律探究【例4】观察分析，探求出规律，然后填空：，2，，2，，，…，(第n个数)．【分析】由题意可知，被开方数是2的倍数，由此即可求解＝，2＝，＝，2＝，＝，第6个数是＝2，第n个数是．【解答】2，．【例5】观察下列各式：＝2；＝3；＝4；，请你猜想⑴＝，＝；(2)计算(请写出推导过程)：；(3)请你将猜想到的规律用含有自然数n(n≥1)的代数式表达出来．【分析】先将被开方数化为假分数，再用二次根式的性质化简．【解答】＝5，＝6；(2)＝＝＝14；＝(n＋1)（n1）．题型八求值【例6】已知：x＝2－，求代数式x2－4x－6的值．【分析】由x＝2－得x－2＝－，两边平方可得二次式．【解答】x＝2－，x－2＝－，(x－2)2＝(－)2，x2－4x＋4＝10，x2－4x＝6，x2－4x－6＝0．【例7】已知x＝2－，那么x4－8x3＋16x2－x＋1的值是．【分析】由x＝2－得出x2－4x－1＝0，用x2－4x－1除x4－8x3＋16x2－x＋1，得出商和余数，利用：被除数＝除数×商十余数，将多项式化简，再代值计算．【解答】由x＝2－得x－2＝－，两边平方，得x2－4x＋4＝5，x2－4x－1＝0，x4－8x3＋16x2－x＋1＝(x2－4x－1)(x2－4x＋1)＋(－x＋2)＝2－x＝．题型九复合二次根式的化简【例8】先阅读下面的解答过程，然后作答：形如的化简，只要我们找到两个非负数a，b，使a＋b＝m，ab ＝n，这样()2＋()2＝m，(＝，那么便有＝＝(a＞b)．例如：化简．首先把化为，这里m＝7，n＝12；由于4＋3＝7，43＝12，即()2＋()2＝7，(＝，＝＝＝2＋．由上述例题的方法化简：(1)；(2)；(3)．【分析】由例题所给信息知关键是要找到两个合适的非负数．【解答】(1)＝＝；(2)＝＝＝－；(3)＝＝(＝(－1)＝－．＝＝＝＝1＋．解决问题：(1)在括号内填上适当的数：＝＝＝＝________；(2)根据上述思路，试将予以化简．【分析】通过完全平方公式，将被开方数化成平方的形式，再根据二次根式的性质，化去里面的一层根号．【解答】(1)＝＝＝＝3＋；(2)＝＝＝＝5－．针对训练21．a，b，＋＋－a－．a，b在数轴上的位置可得a＜0a＋b＜0－a＞0b－＜0．－a|－|b －|＝－a－a－b＋－a＋b－＝－3a．2．＝·，－2＋．＝·3x＋10，2－x0，∴－≤x≤2，x－2＋＝x－2＋3x＋1＝－(x－2)＋(3x＋1)＝2x＋3．＋＋1，试化简代数式：|x－1|－－．【解答】∵－x≥0，x－≥0，－x＝，y＞0＋0＋1，y＞1y－1＞，＝－＝－14．当1＜x＜5时，化简：－．【解答】原式＝－＝|x－1|－|x－5|，又∵1＜x＜5，原式＝(x－1)－[－(x－5)]＝2x－6．5．若x，y为实数，且y＝＋＋，求－的值．【解答】∵1－4x≥0，4x－1≥0，∴1－4x＝0，∴x＝，∴y＝，＋＝2＋＝．∴原式＝－＝＝．6．已知a为偶数，且＝，求－的值．【解答】∵＝，∴a－1≥0，3－a＞0，∴1≤a＜3，又∵a为偶数，∴a＝2，又∵－＝－，∵a＝2，a－3＜0，∴原式＝a－1－＝a－1＋＝2－1＋＝．7．对于题目“化简求值：＋，其中a＝”甲、乙两人的解答不同．甲的解答是：＋＝＋＝＋－a＝－a＝；乙的解笞是：＋＝＋＝＋a－＝a＝，谁的解答是错误的?为什么?【解答】乙的解答是错误的．∵当a＝时，－a＞0，∴＝－a．8．化简：(1)；(2)．【解答】(1)原式＝＝＝；(2)原式＝＝＝(＋1)＝＋．9．已知a＋b＋c＝2＋4＋6－14，求a(b＋c)＋b(c＋a)＋c(a＋b)的值．【解答】依题意得(a＋1)－2＋1＋(b＋1)－4＋4＋(c－2)－6＋9＝0，∴(－1)2＋(－2)2＋(－3)2＝0，∴＝1，＝2，＝3，∴a＝0，b＝3，c＝11．a(b＋c)＋b(c＋a)＋c(a＋b)＝0＋33＋33＝66．10．利用“≥0”解答下列问题：(1)若＋＋＝0，求a，b，c的值；(2)若a＋b＋c＝4＋6＋2，求a，b，c的值．【解答】(1)∵≥0，≥0，≥0．＋＋＝＝0，＝0＝0，a＝1b＝4，c ＝9；(2a－2＋b－4＋c－6＝0，[()2－2＋1]＋[()－4＋4]＋[()－6＋9]＝0，(－1＋(－2)＋(－3)＝0，(－10，(－2)0，(－3)0．－1＝0，－2＝0－3＝0，a＝2，b＝8，c＝18．11．＋＝a－2017＝__．a－2018≥0，即a≥2018，则原方程可化为|2017－a＋＝aa－2017＋＝a＝2017a－2018＝201720172＝2018．2018．。
八年级数学《二次根式》知识点归纳和题型归类
二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二.知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.； 2.； 3.；4. 积的算术平方根的性质：；5. 商的算术平方根的性质：.6.若，则.知识点二、二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2) 注意每一步运算的算理； (3) 乘法公式的推广：(4)注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．2．二次根式的加减运算 需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
3．二次根式的混合运算(1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；(2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. (3)二次根式运算结果应化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数或小数． 4.简化二次根式的被开方数，主要有两个途径： ○1因式的内移：因式内移时，若，则将负号留在根号外．即：．○2因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即： 三.典型题训练一. 利用二次根式的双重非负性0≥a （a ≥0），1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。
A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
（1） （2）121+-x （3）45++x x （4）（5）(6). （7）若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是（8）若1313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。
3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 ； 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________．1213-+-x x4.当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。
二次根式知识点及习题【范本模板】
二次根式知识点一: 二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中,被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式,而，等都不是二次根式。
知识点二:取值范围1。
二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知,当a≧0时,有意义,是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2. 二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当a﹤0时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，()是一个非负数，即0(）。
注:因为二次根式（)表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0,所以非负数（)的算术平方根是非负数,即0（)，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0，b=0；若，则a=0，b=0；若,则a=0,b=0.知识点四：二次根式（)的性质()文字语言叙述为:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用:若，则，如:，.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数—a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：与的异同点1、不同点:与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根;在中,而中a可以是正实数，0，负实数。
但与都是非负数，即，。
因而它的运算的结果是有差别的,，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义,而. 知识点七：二次根式的性质和最简二次根式如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√2、√3、√a（a≥0)、√x+y 等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√4、√9、√a^2、√(x+y）^2、√x^2+2xy+y^2等(3）最终结果分母不含根号。
二次根式性质与运算
（1） 2(a 1) 2a 4
xy y2 （2）
x y
（3） 1 2 1
（4） 3 5 2 3 3 52 3
【例7】 若最简二次根式 2 3
3m2 2 与 n21 4m2 10 是同类二次根式，求 m、n 的值．
计算：
【例8】
化简
1
1
1
n2 (n 1)2
，所得的结果为（
）
A．1 1 1 n n1
C．1 1 1 n n1
B． 1 1 1 n n1
D．1 1 1 n n1
1.【难度】1 星
【解析】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或
0．
【答案】二次根式有： 2 、 x(x 0) 、 0 、 x y （x≥0，y≥0）；不是二次根式的
(3 5 2 3)2
19 4 15
3 5 2 3 (3 5 2 3) (3 5 2 3)
11
【答案】（1） (a 1) 2a 4 ；（2） y x y ；（3） 2 1；（4） 19 4 15 ．
a2
11
.7【难度】2 星
【解析】依题意，得
3m2 2 n2 1
或
m
2
2．
n 3 n 3 n 3
n 3
8..【难度】1 星 【解析】待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．
(1
1 )2 n
2 n
(n
1 1)2
(
n 1)2 n
2 n
(n
1 1)2
湘教版八上数学-巧用二次根式的非负性解题
巧用二次根式的非负性解题
曹经富 二次根式a 表示非负数a 的算术平方根，它具有双重非负性：（１）a ≥0；（２）a ≥０．这两个“非负性”是二次根式的隐含条件，经常从以下角度来命题考查．
一、求解字母的取值范围
例1 使式子211
x x +-有意义的x 取值范围是（ ） A. 12x ≥-，且1x ≠ B. 1x ≠ C. 12x ≥- D. 12
x >-，且1x ≠ 解析：由题意知210,10,
x x +≥⎧⎨-≠⎩解得12x ≥-，且1x ≠．故选A ． 点评：本题考查了二次根式、分式有意义的理解与运用.一是分式的分母不能为0，二是二次根式的被开方数必须是非负数，进而构建不等式（组）求解.
二、求解相关字母的值 例2 已知实数x ，y ，m 满足 2x ++|3x+y+m|=0，且y 为负数，则m 的取值范围是（ ）
A ．m ＞6
B ．m ＜6
C ．m ＞-6
D ．m ＜-6
解析：根据题意，结合非负数的性质，得2x +=0，|3x+y+m|=0.
所以x 203x y m 0.+=⎧⎨++=⎩，解得26.x y m =-⎧⎨=-⎩
， 所以6-m ＜0，解得m ＞6．故选A. 点评：两个或多个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0，本质上是解方程（不等式）与代数式求值. 这类题型一般有如下形式：,0||,0=+=+b a b a 0||,022=++=+c b a b a 等.。
二次根式知识点总结及常见题型
二次根式知识点总结及常见题型二次根式知识点总结及常见题型一、二次根式的定义形如$a\sqrt{a}$的式子叫做二次根式。
其中$\sqrt{a}$叫做二次根号，$a$叫做被开方数。
1) 二次根式有意义的条件是被开方数为非负数。
据此可以确定字母的取值范围。
2) 判断一个式子是否为二次根式，应根据以下两个标准判断：①是否含有二次根号“$\sqrt{}$”；②被开方数是否为非负数。
若两个标准都符合，则是二次根式；若只符合其中一个标准，则不是二次根式。
3) 形如$m\sqrt{a}$的式子也是二次根式，其中$m$叫做二次根式的系数，它表示的是：$m\sqrt{a}=m\cdot\sqrt{a}$。
4) 根据二次根式有意义的条件，若二次根式$A-B$与$B-A$都有意义，则有$A=B$。
二、二次根式的性质二次根式具有以下性质：1) 双重非负性：$a\geq0$，$\sqrt{a}\geq0$。
（主要用于字母的求值）2) 回归性：$(\sqrt{a})^2=a$，其中$a\geq0$。
（主要用于二次根式的计算）begin{cases}sqrt{a}(a\geq0)\\sqrt{a}(a\leq0)end{cases}$（主要用于二次根式的化简）重要结论：1) 若几个非负数的和为0，则每个非负数分别等于0.若$A+B^2+C=0$，则$A=0$，$B=0$，$C=0$。
应用与书写规范：$\because A+B^2+C=0$，$A\geq0$，$B^2\geq0$，$C\geq0$，$\therefore A=0$，$B=0$，$C=0$。
该性质常与配方法结合求字母的值。
2) $\begin{cases}A-B(A\geq B)\\frac{(A-B)^2}{A+B}\end{cases}$（主要用于二次根式的化简）3) $AB=\begin{cases}A\cdot B(A>0)\\A\cdot B(A<0)\end{cases}$，其中$B\geq0$。
[大全]二次根式专题双重非负性化简
![[大全]二次根式专题双重非负性化简](https://img.taocdn.com/s3/m/76b0ed3d3069a45177232f60ddccda38366be157.png)
0b a 专题一
0)a ≥
例1、 求下列二次根式中字母x 的取值范围：
（1
（2
（3
（4
变形1：
函数2y x =-中，自变量x 的取值范围是 ；
a 的取
值范围是
；化简2(21)a -+的结果是 。
变形2：已知实数x
满足2013x x -=，求22013x -的值。
变形3、已知a 、b
4b =+，求a b -的算数平方根。
变形4、已知a 、b
为实数，且72b a =++
的值。
例2、填空：（1
）=
2
(=
=
=
说说
2的区别：（1）从a 的范围看：
（2）从运算结果看：
（3）从运算顺序看 变形1
2= ；
变形2：实数a 、b
在数轴上的位置如图所示，则a 的化简结果为
变形3：（
1）当0a <时，化简
2a a - ；
（2）已知x 满足的条件为1030
{
x x +>-
<；
（3）实数a 、
b
在数轴上的位置如图所示，化简
0)a ≥、a 及2a 的综合运用
计算：
（1
）2(
2
）2
3）2
变形1、若210m n +-+=，则2014()m n += 。
变形
2、已知实数x 、y 、m 30x y m ++=，且y 为负数，则m 的取值范围
是 。
变形3、已知12322222222
111111111,S 1,S 1,1122334(n 1)n S S n =++=++=++=+++ ，
设S S = 求.。
二次根式总复习
a (a≥0)的式子叫做二次根式.
a 中，被开方数必须非负，即a≥0，
注意：
（1）二次根式
同时
a 具有双重非负性。
（ 1） ( a ) 2 = a ì ï a, a ³ 0 2 （ 2） a = a = í ï î - a, a < 0
（2）其中的被开方数a可以是数，也可以是代数式 （3）、两个公式
x 彻0且x
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方法技巧 对代数式是否有意义或求函数的自变量的取值范围， 一般从以 下几个方面考虑：(1)当字母在分母上时，必须满足的条件是分母 不等于零；(2)当字母在二次根式的被开方数中时，必须满足的条 件是被开方数大于或等于零；(3)零指数幂、负整数指数幂的底数 不等于零；(4)在实际问题中求字母的取值范围时，要同时考虑实 际问题有意义．
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考点7：二次根式的混合运算 1、合并同类二次根式的方法
与合并同类项类似,把同类二次根式的 系数相加减,做为结果的系数,根号及根 号内部都不变。
2、二次根式加减运算的步骤: (1)把各个二次根式化成最简二次根式 (2)把各个同类二次根式合并. 注意:不是同类二次根式的二次根式 (如
2019/3/1032、二次根的运算 （1）、算术平方根的积
即：算术平方根的积，等于各被开方数积的
算术平方根.
公式为：a ? b
ab (a 吵 0, b 0)
（2）、积的算术平方根 即：积的算术平方根，等于积中各因式 算术平方根的积。
公式为：ab = a 壮b (其中a 0, b ? 0)
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（3）原式
=- -
1 ?( a b) 2 a- b