动态几何(一)讲义及答案
专题01 几何动态问题(解析版)
专题01 几何动态问题1．小明发现，若一个三角形中，中线的存在会和三角形的面积有一定的关系．如图1，ABC D 中，CD 为AB 边的中线，可得AD BD =，过点C 作CM AB ^于M ，则1122ADC BDC S AD CM BD CM S D D =×=×=．在持续研究中，小明发现，这个研究可以运用到很多问题解决中，请你帮助小明完成下列任务：（1）如图2，矩形ABCD 中，点M ，N 分别为CD ，AB 上的动点，且DM AN =，AM 与DN 交于点E ．连接CE ．①判断DAE D 与DME D 的面积关系；②若3AD =，4AB =，当点M 为CD 的中点时，求四边形BCEN 的面积；（2）ABC D 中，30A Ð=°，6AB =，点D 为AB 的中点，连接CD ，将ACD D 沿CD 折叠，点A 的对应点为点E ，若ECD D 与ABC D 重合部分的面积为ABC D 面积的14，直接写出ABC D 的面积．【解答】解：（1）①连接MN ，作DP AM ^，垂足为P ，//DM AN Q ，DM AN =，90ADM Ð=°，\四边形ANMD 是矩形，AE EM \=，DE EN =，12DAE S AE DP D \=×，12DME S EM DP D =×，DAE DME S S D D \=；②DNA DEC BCEN ABCD S S S S D D =--四边形四边形，E Q 为AM 的中点，E \到DM 的距离为12AD ，11114332222DEC S DC AD D \=×=´´´=，111433222DAN S AN AD D =×=´´´=，4312ABCD S AB CD =×=´=Q 矩形，12336BCEN S \=--=四边形；（2）设ACD S D 的高为h ，由前面提到的发现可知，CD 作为中线，可得ACD CDB S S D D =，11132222ACD S AD h AB h h D =×=´×=Q ，23ABC ACD S S h D D \==，设BC 交DE 于点Q ，Q 重合部分面积为ABC S D 的14，即13344CDQ S h h D =´=，11111244222CDQ ABC ADC ADC CDE CDB S S S S S S D D D D D D \==´===，CQ Q 是中线，QD QE \=，1111322222QE DE AD AB \===´=，CDE D Q 是由ACD D 沿CD 折叠，30A E \Ð=Ð=°，cos30°=Q\QE CE ==CE \，根据勾股定理得，CQ ==，CQE CQD S S D D \==14ABC CQE S S D D \=2．【问题再现】苏科版《数学》八年级下册第94页有这样一题：如图1，在正方形ABCD 中，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，AD 上的点，GE BF ^，垂足为M ，那么GE = BF ．（填“<”、“ =”或“>” )【迁移尝试】如图2，在56´的正方形网格中，点A ，B ，C ，D 为格点，AB 交CD 于点M ．求AMC Ð的度数；【拓展应用】如图3，点P 是线段AB 上的动点，分别以AP ，BP 为边在AB 的同侧作正方形APCD 与正方形PBEF ，连接DE 分别交线段BC ，PC 于点M ，N ．①求DMC Ð的度数；②连接AC 交DE 于点H ，直接写出DH BC的值为 ．【解答】解：【问题再现】GE BF ^Q ，90BMG \Ð=°，将线段GE 向左平移至AL 处，交BF 于I ，AL GE \=，90AIB BMG Ð=Ð=°，90BAL ABI \Ð+Ð=°，Q 四边形ABCD 为正方形，AB BC \=，90ABC C Ð=Ð=°，90CBF ABI \Ð+Ð=°，BAL CBF \Ð=Ð，()ABL BCF ASA \D @D ，AL BF \=，GE BF \=，故答案为：=；【迁移尝试】将线段AB 向右平移至ND 处，使得点B 与点D 重合，连接PN ，如图2所示：AMC NDC \Ð=Ð，设正方形网格的边长为单位1，则由勾股定理可得：DN ==，PD ==，PN ==，222PN PD DN \+=，DPN \D 是直角三角形，90DPN Ð=°，且PN PD =，45AMC NDC \Ð=Ð=°；【拓展应用】①平移线段BC 至DK 处，连接KE ，如图3所示：则DMC KDE Ð=Ð，四边形DKBC 是平行四边形，DC KB \=，Q 四边形ADCP 与四边形PBEF 都是正方形，DC AD AP \==，BP BE =，90DAK KBE Ð=Ð=°DC AD AP KB \===，AG BP BE \==，在AKD D 和BEK D 中，AK BE DAK KBE AD KB =ìïÐ=Ðíï=î，()AKD BEK SAS \D @D ，DK EK \=，ADK EKB Ð=Ð，90EKB AKD ADK AKD \Ð+Ð=Ð+Ð=°，90EKD \Ð=°，45KDE KED \Ð=Ð=°，45DMC KDE \Ð=Ð=°；②如备用图所示：AC Q 为正方形ADCP 的对角线，45DAC PAC DMC \Ð=Ð=Ð=°，AC \=，HCM BCA Ð=ÐQ ，AHD CHM ABC \Ð=Ð=Ð，ADH ACB \D D ∽，\DH AD BC AC ==，．3．已知，矩形ABCD中，4=，AC的垂直平分线EF分别交AD、BCBC cmAB cm=，8于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；D和CDE（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿AFBD各边匀速运动一周．即点P自A F B A®®®停止．在运动过程中，®®®停止，点Q自C D E C①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，0)ab¹，已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．【解答】解：（1）①Q四边形ABCD是矩形，\，AD BC//Ð=Ð，CAD ACB\Ð=Ð，AEF CFEQ垂直平分AC，垂足为O，EF\=，OA OC\D@D，AOE COFOE OF \=，\四边形AFCE 为平行四边形，又EF AC ^Q ，\四边形AFCE 为菱形，②设菱形的边长AF CF xcm ==，则(8)BF x cm =-，在Rt ABF D 中，4AB cm =，由勾股定理得2224(8)x x +-=，解得5x =，5AF cm \=．（2）①显然当P 点在AF 上时，Q 点在CD 上，此时A 、C 、P 、Q 四点不可能构成平行四边形；同理P 点在AB 上时，Q 点在DE 或CE 上或P 在BF ，Q 在CD 时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．因此只有当P 点在BF 上、Q 点在ED 上时，才能构成平行四边形，\以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC QA =，Q 点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，5PC t \=，4124QA CD AD t t =+-=-，即124QA t =-，5124t t \=-，解得43t =，\以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，43t =秒．②由题意得，四边形APCQ 是平行四边形时，点P 、Q 在互相平行的对应边上．分三种情况：)i 如图1，当P 点在AF 上、Q 点在CE 上时，AP CQ =，即12a b =-，得12a b +=；)ii 如图2，当P 点在BF 上、Q 点在DE 上时，AQ CP =，即12b a -=，得12a b +=；)iii 如图3，当P 点在AB 上、Q 点在CD 上时，AP CQ =，即12a b -=，得12a b +=．综上所述，a 与b 满足的数量关系式是12(0)a b ab +=¹．4．（1）已知：如图1，ABC D 为等边三角形，点D 为BC 边上的一动点（点D 不与B 、C 重合），以AD 为边作等边ADE D ，连接CE ．求证：①BD CE =，②120DCE Ð=°；（2）如图2，在ABC D 中，90BAC Ð=°，AC AB =，点D 为BC 上的一动点（点D 不与B 、C 重合），以AD 为边作等腰Rt ADE D ，90DAE Ð=°（顶点A 、D 、E 按逆时针方向排列），连接CE ，类比题（1），请你猜想：①DCE Ð的度数；②线段BD 、CD 、DE 之间的关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，若D 点在BC 的延长线上运动，以AD 为边作等腰Rt ADE D ，90DAE Ð=°（顶点A 、D 、E 按逆时针方向排列），连接CE ．①则题（2）的结论还成立吗？请直接写出，不需论证；②连接BE ，若10BE =，6BC =，直接写出AE 的长．【解答】证明：（1）①如图1，ABC D Q 和ADE D 是等边三角形，AB AC \=，AD AE =，60ACB B Ð=Ð=°，60BAC DAE Ð=Ð=°，BAC DAC DAE DAC \Ð-Ð=Ð-Ð，BAD EAC \Ð=Ð．在ABD D 和ACE D 中，AB AC BAD EAC AD AE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD ACE SAS \D @D ，BD CE \=；②ABD ACE D @D Q ，60ACE B \Ð=Ð=°，6060120DCE ACE ACB \Ð=Ð+Ð=°+°=°；（2）90DCE Ð=°，222BD CD DE +=．证明：如图2，90BAC DAE Ð=Ð=°Q ，BAC DAC DAE DAC \Ð-Ð=Ð-Ð，即BAD CAE Ð=Ð，在ABD D 与ACE D 中，AB AC BAD CAE AD AE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD ACE SAS \D @D ，45B ACE \Ð=Ð=°，BD CE =，90B ACB ACE ACB \Ð+Ð=Ð+Ð=°，90BCE \Ð=°，Rt DCE \D 中，222CE CD DE +=，222BD CD DE \+=；（3）①（2）中的结论还成立．理由：90BAC DAE Ð=Ð=°Q ，BAC DAC DAE DAC \Ð+Ð=Ð+Ð，即BAD CAE Ð=Ð，在ABD D 与ACE D 中，AB AC BAD CAE AD AE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD ACE SAS \D @D ，45ABC ACE \Ð=Ð=°，BD CE =，90ABC ACB ACE ACB \Ð+Ð=Ð+Ð=°，90BCE ECD \Ð=°=Ð，Rt DCE \D 中，222CE CD DE +=，222BD CD DE \+=；②Rt BCE D Q 中，10BE =，6BC =，8CE \===，8BD CE \==，862CD \=-=，Rt DCE \D中，DE ===，D Q\AE ==．5．综合与实践动手操作利用正方形纸片的折叠开展数学活动．探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法．如图1，点E 为正方形ABCD 的AB 边上的一个动点，3AB =，将正方形ABCD 对折，使点A 与点B 重合，点C 与点D 重合，折痕为MN ．思考探索（1）将正方形ABCD 展平后沿过点C 的直线CE 折叠，使点B 的对应点B ¢落在MN 上，折痕为EC ，连接DB ¢，如图2．①点B ¢在以点E 为圆心， BE 的长为半径的圆上；②B M ¢= ；③△DB C ¢为 三角形，请证明你的结论．拓展延伸（2）当3AB AE =时，正方形ABCD 沿过点E 的直线l （不过点)B 折叠后，点B 的对应点B ¢落在正方形ABCD 内部或边上．①ABB ¢D 面积的最大值为 ；②连接AB ¢，点P 为AE 的中点，点Q 在AB ¢上，连接PQ ，AQP AB E ¢Ð=Ð，则2B C PQ ¢+的最小值为 ．【解答】解：（1）由折叠的性质知，BE BE =¢，BC B C =¢，1322MA MB NC ND AB =====，B EB C Ð=Т，①由题意得，点B ¢在以点E 为圆心，BE 的长为半径的圆上；②3MB MN MB MN ¢=-¢=-==；③BC B C CD =¢=Q ，而B D B C ¢===¢，\△DB C ¢为 等边三角形，故答案为①BE ；；③等边；（2）①33AB AE ==Q ，则1AE =，2BE =，Q 点B ¢在以点E 为圆心，BE 的长为半径的圆上，如图1，ABB ¢\D 面积的最大时，只要AB 边上的高最大即可，\当B E AB ¢^时，ABB ¢D 面积的最大，ABB ¢\D 面积1132322AB B E =´´¢=´´=，故答案为3；②AQP AB E ¢Ð=ÐQ ，//PQ B E \¢，P Q 是AE 的中点，PQ \是AEB D ¢的中位线，如图2，12PQ B E \=¢，即2B C PQ B C B E ¢+=¢+¢，E \、B ¢、C 三点共线时，2B C PQ ¢+取得最小值为CE ，则CE ===，．6．（1）如图1，菱形ABCD 中，4AB =，60ABC Ð=°，点M ，N 分别为边AD ，DC 上的动点，且4DM DN +=，则四边形BMDN 的面积为 （2）如图2，平行四边形ABCD 中，3AB =，5BC =，60ABC Ð=°，点M ，N 分别为边AD 、DC 上的动点，且4DM DN +=，则四边形BMDN 的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请求出最值；（3）如图3，四边形ABCD 中，AB AD =，1CD =，90A C Ð=Ð=°，60ABC Ð=°，点M 、N 分别为边AD 、DC 上的动点，且2DM DN +=，是否存在M 、N ，使得四边形BMDN 面积最大且DMN D 的周长最小？若存在，求出DMN D 的周长最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）过点B 作BE DA ^延长线于点E ，过点B 作BF DC ^延长线于点F ，则90BEA BFC Ð=Ð=°，Q 四边形ABCD 是菱形，//AB CD \，//AD BC ，60ABC D Ð=Ð=°，60BAE BCF \Ð=Ð=°，BE BF \==，连接BD ，设DM x =，则4DN x =-，BMD BNDBMDN S S S D D =+四边形1122MD BE DN BF =××+××11(4)22x =´+´-=故四边形BMDN 的面积为，故答案为：；（2）过点B 作BP DA ^延长线于点P ，过点B 作BQ DC ^延长线于点Q ，则90BPA BQC Ð=Ð=°，设DM x =，则4DN x =-，5AM AD DM BC DM x =-=-=-，3(4)1CN CD DN AB DN x x =-=-=--=-，Q 四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC \，//AB CD ，60BAP ABC \Ð=Ð=°，60BCQ ABC Ð=Ð=°，在Rt ABP D 中，sin 60BP AB =×°=，在Rt BCQ D 中，sin 60BQ BC =×°=ABCD ABM BCNBMDN S S S S D D =--Y 四边形115(5)(1)22x x =-´-´-=-，3DN DC =Q …，43x \-…，1x \…，0k =<Q ，S \随着x 的增大而减小，1x \=时，四边形BMDN 的面积最大为=（3）连接BD ，AB AD =Q ，90A Ð=°，45ADB ABD \Ð=Ð=°，60ABC Ð=°Q ，15DBC \Ð=°，又90BCD Ð=°Q ，75BDC \Ð=°，120ADC Ð=°，设DM x =，则2DN x =-，21x \-…，1x \…，过点M 作MH BD ^，过点N 作NJ BD ^，BMD BDNBMDN S S S D D =+四边形1122BD MH BD NJ =´´+´´1[sin 45(2)sin 75]2BD x x =×××°+-°1[(sin 45sin 75)2sin 75]2BD x =×°-°+°，sin 45sin 750°-°<Q ，\当1x =时，BMDN S 四边形存在最大值，过点M 作CD 的垂线交于延长线于点K ，60MDK \Ð=°，12DK x \=，MK =，112222NK x x x =-+=-，在Rt MKN D 中，22221)(2)(1)32MN x x =+-=-+，当1x =时，2MN 存在最小值，最小值为3，MN \\存在M 、N ，使得四边形BMDN 面积最大且DMN D 的周长最小，DMN D 的周长最小为2+．7．阅读材料如图1，在ABCD中，D，E分别是边AB，AC的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使EF DE=，连接CF，证明ADE CFED@D，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．类比迁移（1）如图2，AD是ABCD的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE EF=，求证：AC BF=．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD至点M，使MD FD=，连接MC，¼¼请根据小明的思路完成证明过程．方法运用（2）如图3，在等边ABCD中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE．F是线段BE的中点，连接DF，CF．①请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明；②若4AB=，12CF CD=请直接写出CF的长．【解答】（1）证明：延长AD至M，使MD FD=，连接MC，在BDFD和CDMD中，BD CD BDF CDM DF DM =ìïÐ=Ðíï=î，()BDF CDM SAS \D @D ，MC BF \=，M BFM Ð=Ð，AE EF =Q ，EAF EFA \Ð=Ð，EFA BFM Ð=ÐQ ，M MAC \Ð=Ð，AC MC \=，AC BF \=；（2）①解：线段DF 与AD 的数量关系为：2AD DF =，证明如下：延长DF 至点M ，使DF FM =，连接BM 、AM ，如图2所示：Q 点F 为BE 的中点，BF EF \=，在BFM D 和EFD D 中，BF EF BFM EFD FM DF =ìïÐ=Ðíï=î，()BFM EFD SAS \D @D ，BM DE \=，MBF DEF Ð=Ð，//BM DE \，Q 线段CD 绕点D 逆时针旋转120°得到线段DE ，CD DE BM \==，120BDE Ð=°，18012060MBD \Ð=°-°=°，ABC D Q 是等边三角形，AB AC \=，60ABC ACB Ð=Ð=°，6060120ABM ABC MBD \Ð=Ð+Ð=°+°=°，180********ACD ACB Ð=°-Ð=°-°=°Q ，ABM ACD \Ð=Ð，在ABM D 和ACD D 中，AB AC ABM ACD BM CD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABM ACD SAS \D @D ，AM AD \=，BAM CAD Ð=Ð，60MAD MAC CAD MAC BAM BAC \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°，AMD \D 是等边三角形，2AD DM DF \==；②解：CF 的长为1或2．当CF 为BDE D 的中位线时，1122CF CD DE ==，C \为BD 的中点，4CD BC \==，122CF CD \==，如图3，当CF 不是BDE D 的中位线时，连接CE ，取BC 的中点N ，连接FN ，过点D 作DG CE ^，过点G 作GI CD ^于点I ，过点F 作FH BC ^于点H ，CDE D Q 为等腰三角形，120CDE Ð=°，30DCE \Ð=°，12DG CD \=，12CG CE =，12CF CD =Q ，DG CF \=，N Q 为BC 的中点，F 为BE 的中点，NF \是BCE D 的中位线，//NF CE \，12NF CE CG ==，30CNF DCE \Ð=Ð=°，12HF NF \=，12GI CG =，HF GI \=，NH CI =，FC GD =Q ，Rt FCH Rt GDI(HL)\D @D ，CH DI \=，NH CH CI DI \+=+，即NC CD =，2CD \=，即1CF =，综上所述，CF 的长为1或2．8．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，点G 在边BC 上，连接AG ，作DE AG ^于点E ，BF AG ^于点F ，连接BE 、DF ，设EDF a Ð=，EBF b Ð=，tan tan k a b =×．（1）求证：DE EF BF =+．（2）求证：BG k BC=．（3）若点G 从点C 沿BC 边运动至点B 停止，求点E ，F 所经过的路径与边AB 围成的图形的面积．【解答】（1）证明：Q 四边形ABCD 是正方形，AB BC AD \==，90BAD ABC Ð=Ð=°，DE AG ^Q ，BF AG ^，90AED BFA \Ð=Ð=°，90ADE DAE \Ð+Ð=°，90BAF DAE Ð+Ð=°Q ，ADE BAF \Ð=Ð，在AED D 和BFA D 中，ADE BAF AED BFA AD BA Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AED BFA AAS \D @D ，AE BF \=，DE AF =，DE AF AE EF BF EF \==+=+；（2）证明：在Rt DEF D 和Rt EFB D 中，tan tan EF EDF DE a Ð==，tan tan EF EBF BF b Ð==，\tan tan EF BF BF DE EF DEa b =×=，由（1）可知，ADE BAG Ð=Ð，90AED GBA Ð=Ð=°，AED GBA \D D ∽，\AE DE GB AB=，由（1）可知，AE BF =，\DE BF AB GB =，\BF GB DE AB=，tan tan k a b =×Q ，\GB k AB=，AB BC =Q ，\BG BG BF k BC AB DE===；（3）解：DE AG ^Q ，BF AG ^，90AED BFA \Ð=Ð=°，\当点G 从点B 沿BC 边运动至点C 停止时，点E 经过的路径是以AD 为直径，圆心角为90°的圆弧，同理可得点F 经过的路径，两弧交于正方形的中心点O ，如图所示：4AB AD ==Q ，\所围成的图形的面积14444AOB S S D ==´´=．9．如图，射线AB 和射线CB 相交于点B ，(0180)ABC a a Ð=°<<°，且AB CB =．点D 是射线CB 上的动点（点D 不与点C 和点B 重合），作射线AD ，并在射线AD 上取一点E ，使AEC a Ð=，连接CE ，BE ．（1）如图①，当点D 在线段CB 上，90a =°时，请直接写出AEB Ð的度数；（2）如图②，当点D 在线段CB 上，120a =°时，请写出线段AE ，BE ，CE 之间的数量关系，并说明理由；（3）当120a =°，1tan 3DAB Ð=时，请直接写出CE BE的值．【解答】解：（1）连接AC ，如图①所示：90a =°Q ，ABC a Ð=，AEC a Ð=，90ABC AEC \Ð=Ð=°，A \、B 、E 、C 四点共圆，AEB ACB \Ð=Ð，90ABC Ð=°Q ，AB CB =，ABC \D 是等腰直角三角形，45ACB \Ð=°，45AEB \Ð=°；（2）AE CE =+，理由如下：在AD 上截取AF CE =，连接BF ，过点B 作BH EF ^于H ，如图②所示：ABC AEC Ð=ÐQ ，ADB CDE Ð=Ð，180180ABC ADB AEC CDE \°-Ð-Ð=°-Ð-Ð，A C \Ð=Ð，在ABF D 和CBE D 中，AF CE A C AB CB =ìïÐ=Ðíï=î，()ABF CBE SAS \D @D ，ABF CBE \Ð=Ð，BF BE =，ABF FBD CBE FBD \Ð+Ð=Ð+Ð，ABD FBE \Ð=Ð，120ABC Ð=°Q ，120FBE \Ð=°，BF BE =Q ，11(180)(180120)3022BFE BEF FBE \Ð=Ð=´°-Ð=´°-°=°，BH EF ^Q ，90BHE \Ð=°，FH EH =，在Rt BHE D 中，12BH BE =，FH EH ===，22EF EH \===，AE EF AF =+Q ，AF CE =，AE CE \=+；（3）分两种情况：①当点D 在线段CB 上时，在AD 上截取AF CE =，连接BF ，过点B 作BH EF ^于H ，如图②所示：由（2）得：FH EH ==，1tan 3BH DAB AH Ð==Q ，332AH BH BE \==，32CE AF AH FH BE \==-=-=，\CE BE =②当点D 在线段CB 的延长线上时，在射线AD 上截取AF CE =，连接BF ，过点B 作BH EF ^于H ，如图③所示：同①得：FH EH ==，332AH BH BE ==，32CE AF AH FH BE \==+==，\CE BE =；综上所述，当120a =°，1tan 3DAB Ð=时，CE BE ．10．如图，直线:2l y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，C 为线段OA 的一个动点，以A 为圆心，AC 长为半径作A e ，A e 交AB 于点D ，连接OD 并延长交A e 于点E ，连接CD ．（1）当2AC =时，证明：OBD D 是等边三角形；（2）当OCD ODA D D ∽时，求A e 的半径r ；（3）当点C 在线段OA 上运动时，求OD DE g 的最大值．【解答】解：（1）Q 直线:2l y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，\点A ，0)，点(0,2)B ，OA \=2OB =，tan OB BAO OA \Ð==30BAO \Ð=°，24AB OB \==，60ABO Ð=°，2AC AD ==Q ，2BD BO \==，且60ABO Ð=°，BDO \D 是等边三角形；（2）如图1，过点D 作DH AO ^于H ，OCD ODA D D Q ∽，30ODC OAB \Ð=Ð=°，AC AD =Q ，30BAO Ð=°，75ACD \Ð=°，45DOH ACD ODC \Ð=Ð-Ð=°，DH AO ^Q ，30DAO Ð=°，12DH r \=，AH ==，DH AO ^Q ，45DOH Ð=°，12DH OH r \==，AO OH AH =+=Q ，12r \=，6r \=-（3）如图2，连接EH ，过点O 作OG AB ^于G ，OG AB ^Q ，30BAO Ð=°，12OG AO \==3AG ==，3GD AD \=-，DH Q 是直径，90DEH OGD \Ð=°=Ð，又ODG HDE Ð=ÐQ ，ODG HDE \D D ∽，\GD OD DE DH=，239(3)22()22OD DE GD DH AD AD AD \==-=--+g g g ，\当32AD =时，OD DE g 的最大值为92．11．[问题提出]（1）如图1，已知线段4AB =，点C 是一个动点，且点C 到点B 的距离为2，则线段AC 长度的最大值是 6 ；[问题探究]（2）如图2，以正方形ABCD 的边CD 为直径作半圆O ，E 为半圆O 上一动点，若正方形的边长为2，求AE 长度的最大值；[问题解决]（3）如图3，某植物园有一块三角形花地ABC ，经测量，AC =120BC =米，30ACB Ð=°，BC 下方有一块空地（空地足够大），为了增加绿化面积，管理员计划在BC 下方找一点P ，将该花地扩建为四边形ABPC ，扩建后沿AP 修一条小路，以便游客观赏．考虑植物园的整体布局，扩建部分BPC D 需满足60BPC Ð=°．为容纳更多游客，要求小路AP 的长度尽可能长，问修建的观赏小路AP 的长度是否存在最大值？若存在，求出AP 的最大长度；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当C 在线段AB 延长线上时，AC 最大，此时426AC AB BC =+=+=，故答案为：6；（2）连接AO 并延长交半圆O 于F ，如图：Q 正方形ABCD 的边CD 为直径作半圆O ，边长为2，90ADO \Ð=°，2AD =，1OD OD OF ===，当E 运动到F 时，AE 最大，AF 的长度即是AE 的最大值，Rt AOD D 中，AO ==1AF AO OF \=+=，即AE 1；（3）作BC 的垂直平分线DE ，在BC 下方作30BCO Ð=°，射线CO 交DE 于O ，以O 为圆心，OC 为半径作O e ，连接OB 、连接AO 并延长交O e 于P ，则AP 为满足条件的小路，过A 作AF OC ^于F ，如图：30BCO Ð=°Q ，30ACB Ð=°，60ACF \Ð=°，Rt ACF D 中，sin 6030AF AC =×°=，cos60CF AC =×°=DE Q 垂直平分BC ，120BC =，60CE \=，90OEC Ð=°，cos30CE OC OP \===°，OF OC CF \=-=，Rt AOF D 中，60OA ==，60AP OA OP \=+=+．即小路AP 的长度最大为60+12．在O e 中，弦CD 平分圆周角ACB Ð，连接AB ，过点D 作//DE AB 交CB 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是O e 的切线；（2）若1tan 3CAB Ð=，且B 是CE 的中点，O e DE 的长．（3）P 是弦AB 下方圆上的一个动点，连接AP 和BP ，过点D 作DH BP ^于点H ，请探究点P 在运动的过程中，BH AP BP+的比值是否改变，若改变，请说明理由；若不变，请直接写出比值．【解答】证明：（1）如图1，连接OD 交AB 于点F ，连接OA ，OB ，AD ，CD Q 平分ACB Ð，ACD BCD \Ð=Ð，\AD BD =，AOD BOD \Ð=Ð，OA OB =Q ，OD AB \^，//AB DE Q ，OD DE \^，DE \是O e 的切线．解：（2）如图2，连接OC ，OD ，OE ，过点O 作OF BC ^于点F ，2BOC BAC \Ð=Ð，OB OC =Q ，OF BC ^，12COF COB CAB \Ð=ÐÐ=Ð，1tan tan 3CF COF CAB OF \Ð==Ð=，设CF x =，3OF x =，O Qe ，OC \=，222OF CF +Q ，222(3)x x \=+，解得：12x =，12CF \=，32OF =，1BC \=，B Q 是CE 的中点，1BE BC \==，32EF \=，222OE OF EF =+Q ，2223318((224OE \=+=，222OD DE OE +=Q ，DE \===（3）解法一：如图3，延长BP 至Q 使得PQ AP =，连接AQ ，OC ，连接OB ，BD ，连接OD 交AB 于点K ，连接HK ，A Q ，P ，B ，C 四点共圆，APQ ACB \Ð=Ð，AP PQ =Q ，Q QAP \Ð=Ð，1902Q ACB \Ð=°-Ð，DE Q 是O e 的切线，OD DE \^，//DE AB Q ，OD AB \^，K \是AB 的中点，DH BH ^Q ，90BHD \Ð=°，90BKD Ð=°Q ，B \，K ，H ，D 四点共圆，BHK ODB \Ð=Ð，BOD ACB Ð=ÐQ ，OB OD =，1902ODB ACB \Ð=°-Ð，ODB Q \Ð=Ð，BHK Q \Ð=Ð，//AQ HK \，\12BH BK BQ AB ==，BQ BP QP =+Q ，QP AP =，BQ BP AP \=+，\12BH BP AP =+．解法二：如图4，在BP 上截取BM AP =，连接DM ，BD ，DP ，AD ，Q 弦CD 平分圆周角ACB Ð，AD BD \=，Q AP AP =，PAD PBD MBD \Ð=Ð=Ð，()APD BMD SAS \D @D ，DP DM \=，AP BM =，DH BP ^Q ，DH \为PDM D 的中线，HP HM \=，2BP BM PM BM HM \=+=+，BH BM HM =+Q ，\122BH BM HM AP BP BM BM HM +==+++．13．在ABC D 中，90ACB Ð=°，AC BC =，点D 是直线AB 上的一动点（不与点A ，B 重合）连接CD ，在CD 的右侧以CD 为斜边作等腰直角三角形CDE ，点H 是BD 的中点，连接EH ．【问题发现】（1）如图（1），当点D 是AB 的中点时，线段EH 与AD 的数量关系是 12EH AD =， ．EH 与AD 的位置关系是 ．【猜想论证】（2）如图（2），当点D 在边AB 上且不是AB 的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图（2）中的情况给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展应用】（3）若AC BC ==，其他条件不变，连接AE 、BE ．当BCE D 是等边三角形时，请直接写出ADE D 的面积．【解答】解：（1）如图1中，CA CB=Q，90ACBÐ=°，AD BD=，CD AB\^，CD AD DB==，45A B\Ð=Ð=°，45DCB ACDÐ=Ð=°，45DCEÐ=°Q，\点E在线段CB上，DE BC^Q，45EDB B\Ð=Ð=°，DH HB=Q，EH DB \^，1122EH DB AD==，故答案为12EH AD=，EH AD^．（2）结论仍然成立：理由：如图2中，延长DE到F，使得EF DE=，连接CF，BF．DE EF=Q．CE DF^，CD CF\=，45CDF CFD\Ð=Ð=°，45ECF ECD\Ð=Ð=°，90ACB DCF\Ð=Ð=°，ACD BCF\Ð=Ð，CA CB=Q，()ACD BCF SAS\D@D，AD BF \=，45A CBF Ð=Ð=°，45ABC Ð=°Q ，90ABF \Ð=°，BF AB \^，DE EF =Q ，DH HB =，12EH BF \=，//EH BF ，EH AD \^，12EH AD =．（3）如图31-中，当BCE D 是等边三角形时，过点E 作EH BD ^于H ．90ACB Ð=°Q ，60ECB Ð=°，30ACE \Ð=°，AC CB CE EB DE =====Q 75CAE CEA \Ð=Ð=°，45CAB Ð=°Q ，30EAH \Ð=°，90DEC Ð=°Q ，60CEB Ð=°，150DEB \Ð=°，15EDB EBD \Ð=Ð=°，EAH ADE AED Ð=Ð+ÐQ ，15ADE AED \Ð=Ð=°，AD AE \=，设EH x =，则2AD AE x ==，AH =，222EH DH DE +=Q ，22(2)8x x \+=，1x \=-，2AD \=-，112)1)422ADE S AD EH D \=××=´×-=-如图32-中，当BCE D 是等边三角形时，过点E 作EH BD ^于H ．同法可求：1EH =，2AD =，111)422ADE S AD EH D \=××=´+=+综上所述，满足条件的ADE D 的面积为4-或4+．14．在正方形ABCD 中，点G 是边AB 上的一个动点，点F 、E 在边BC 上，BF FE AG ==，且12AG AB …，GF 、DE 的延长线相交于点P ．（1）如图1，当点E 与点C 重合时，求P Ð的度数；（2）如图2，当点E 与点C 不重合时，问：（1）中P Ð的度数是否发生变化，若有改变，请求出P Ð的度数，若不变，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作DN GP ^于点N ，连接CN 、BP ，取BP 的中点M ，连接MN ，在点G 的运动过程中，求证：MN NC 为定值．==Q，E与C重合，BF CF BG AG\===，\Ð=°，BGF45//Q，AB CD\Ð=Ð=°．45P BGF（2）不变．理由如下：如图所示，连接BD，取BD中点O，连接OG，OF，OC．在正方形ABCD中，有：Ð=Ð=°，OC OBOCF OBG=，45又AG BF=Q，\=，BG CF\D@D．OCF OBG SAS()Ð=Ð，\=，COF BOGOG DF\Ð=Ð=°，GOF BOC90GOF\D为等腰直角三角形．又OQ，F分别是BD，BE的中点，\，//OF DE\Ð=Ð=°．P OFG45（3）如图所示，取DP 中点Q ，连接NQ ，BD ，MQ ，由题意可得，DNP D 为等腰直角三角形，Q Q 为DP 中点，NQ DP \^．设CDP a Ð=，则45NDC a Ð=°+，45BDP a Ð=°-，M Q ，Q 分别是BP ，DP 的中点，//MQ BD \，45MQP BDP a \Ð=Ð=°-，90(45)45NQM a a \Ð=°-°-=°+，NQM NDC \Ð=Ð．，CD BD \又NQD D Q 为等腰直角三角形，\NQ ND =\NQ MQ ND CD ==，NQM NDC \D D ∽．\MN NQ NC ND ==\MNNC为定值．15．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将BCED绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF 是 （填“是”或“不是”)“直等补”四边形；（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，10AB BC==，2CD=，AD AB>，过点B作BE AD^于E．①过C作CF BF^于点F，试证明：BE DE=，并求BE的长；②若M是AD边上的动点，求BCMD周长的最小值．【解答】解：（1）Q将BCED绕B点旋转，BC与BA重合，点E的对应点F在DA的延长线上，ABF CBE \Ð=Ð，BF BE =，Q 四边形ABCD 是正方形，90ABC D \Ð=Ð=°，90ABE CBE \Ð+Ð=°，90ABE ABF \Ð+Ð=°，即90EBF D Ð=Ð=°，180EBF D \Ð+Ð=°，90EBF Ð=°Q ，BF BE =，\四边形BEDF 是“直等补”四边形．故答案为：是；（2）①证明：Q 四边形ABCD 是“直等补”四边形，10AB BC ==，2CD =，AD AB >，90ABC \Ð=°，180ABC D Ð+Ð=°，90D \Ð=°，BE AD ^Q ，CF BE ^，90DEF \Ð=°，90CFE Ð=°，\四边形CDEF 是矩形，DE CF \=，2EF CD ==，90ABE A Ð+Ð=°Q ，90ABE CBE Ð+Ð=°，A CBF \Ð=Ð，90AEB BFC Ð=Ð=°Q ，AB BC =，()ABE BCF AAS \D @D ，BE CF \=，AE BF =，DE CF =Q ，BE DE \=；Q 四边形CDEF 是矩形，2EF CD \==，ABE BCF D @D Q ，AE BF \=，2AE BE \=-，设BE x =，则2AE x =-，在Rt ABE D 中，222(2)10x x +-=，解得：8x =或6x =-（舍去），BE \的长是8；②BCM D Q 周长BC BM CM =++，\当BM CM +的值最小时，BCM D 的周长最小，如图，延长CD 到点G ，使DG CD =，连接BG 交AD 于点M ¢，过点G 作GH BC ^，交BC 的延长线于点H ，90ADC Ð=°Q ，\点C 与点G 关于AD 对称，BM CM BM MG BG \+=+…，即BM CM BM M C +¢+¢…，\当点M 与M ¢重合时，BM M C ¢+¢的值最小，即BCM D 的周长最小，在Rt ABE D 中，6AE ===，Q 四边形ABCD 是“直等补”四边形，180A BCD \Ð+Ð=°，180BCD GCH Ð+Ð=°Q ，A GCH \Ð=Ð，90AEB H Ð=Ð=°Q ，ABE CGH \D D ∽，\10542BE AE ABGH CH CG====，即88252GH CH-==，165GH\=，125CH=，12621055BH BCCH\=+=+=，BG\===，BCM\D周长的最小值为10+．16．如图，正方形ABCD中，AB=O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，2OE=，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．（1）求证：AE CF=；（2）若A，E，O三点共线，连接OF，求线段OF的长．（3）求线段OF长的最小值．【解答】（1）证明：如图1，由旋转得：90EDFÐ=°，ED DF=，Q四边形ABCD是正方形，90ADC\Ð=°，AD CD=，ADC EDF\Ð=Ð，即ADE EDC EDC CDFÐ+Ð=Ð+Ð，ADE CDF\Ð=Ð，在ADED和CDFD中，QAD CDADE CDFDE DF=ìïÐ=Ðíï=î，()ADECDF SAS\D@D，AE CF\=；（2）解：如图2，过F作OC的垂线，交BC的延长线于P，O Q 是BC 的中点，且AB BC ==A Q ，E ，O 三点共线，OB \=由勾股定理得：5AO =，2OE =Q ，523AE \=-=，由（1）知：ADE CDF D @D ，DAE DCF \Ð=Ð，3CF AE ==，BAD DCP Ð=ÐQ ，OAB PCF \Ð=Ð，90ABO P Ð=Ð=°Q ，ABO CPF \D D ∽，\2AB CP OB PF ===，2CP PF \=，设PF x =，则2CP x =，由勾股定理得：2223(2)x x =+，x =（舍)，\，OP ==，由勾股定理得：OF ==，（3）解：如图3，由于2OE =，所以E 点可以看作是以O 为圆心，2为半径的半圆上运动，延长BA 到P 点，使得AP OC =，连接PE ，AE CF =Q ，PAE OCF Ð=Ð，()PAE OCF SAS \D @D ，PE OF \=，当PE 最小时，为O 、E 、P 三点共线，OP===，\==-=-，PE OF OP OE2\的最小值是2．OF17．ABC=，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重Ð=°，AB ACBACD中，90合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为： 垂直 ．②BC，CD，CF之间的数量关系为： ；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE ．若已知AB =，14CD BC =，请求出GE 的长．【解答】解：（1）①正方形ADEF 中，AD AF =，90BAC DAF Ð=Ð=°Q ，BAD CAF \Ð=Ð，在DAB D 与FAC D 中，AD AF BAD CAF AB AC =ìïÐ=Ðíï=î，()DAB FAC SAS \D @D ，B ACF \Ð=Ð，90ACB ACF \Ð+Ð=°，即BC CF ^；故答案为：垂直；②DAB FAC D @D ，CF BD \=，BC BD CD =+Q ，BC CF CD \=+；故答案为：BC CF CD =+；（2）CF BC ^成立；BC CD CF =+不成立，CD CF BC =+．Q 正方形ADEF 中，AD AF =，90BAC DAF Ð=Ð=°Q ，BAD CAF \Ð=Ð，在DAB D 与FAC D中，AD AF BAD CAF AB AC =ìïÐ=Ðíï=î，()DAB FAC SAS \D @D ，ABD ACF \Ð=Ð，90BAC Ð=°Q ，AB AC =，45ACB ABC \Ð=Ð=°．18045135ABD \Ð=°-°=°，1354590BCF ACF ACB \Ð=Ð-Ð=°-°=°，CF BC \^．CD DB BC =+Q ，DB CF =，CD CF BC \=+．（3）解：过A 作AH BC ^于H ，过E 作EM BD ^于M ，EN CF ^于N ，90BAC Ð=°Q ，AB AC =，4BC \==，122AH BC ==，114CD BC \==，122CH BC ==，3DH \=，由（2）证得BC CF ^，5CF BD ==，Q 四边形ADEF 是正方形，AD DE \=，90ADE Ð=°，BC CF ^Q ，EM BD ^，EN CF ^，\四边形CMEN 是矩形，NE CM \=，EM CN =，90AHD ADE EMD Ð=Ð=Ð=°Q ，90ADH EDM EDM DEM \Ð+Ð=Ð+Ð=°，ADH DEM \Ð=Ð，在ADH D 与DEM D 中，ADH DEM AHD DME AD DE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()ADH DEM AAS \D @D ．3EM DH \==，2DM AH ==，3CN EM \==，3EN CM ==，45ABC Ð=°Q ，45BGC \Ð=°，BCG \D 是等腰直角三角形，4CG BC \==，1GN \=，EG \==．18．如图（1），已知正方形ABCD 在直线MN 的上方，BC 在直线MN 上，E 是BC 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ．（1）连接GD ，求证：ADG ABE D @D ；（2）连接FC ，观察并猜测FCN Ð的度数，并说明理由；（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD 改为矩形ABCD ，AB a =，(BC b a =、b 为常数），E 是线段BC 上一动点（不含端点B 、)C ，以AE 为边在直线MN 的上方作矩形AEFG ，使顶点G 恰好落在射线CD 上．判断当点E 由B 向C 运动时，FCN Ð的大小是否总保持不变？若FCN Ð的大小不变，请用含a 、b 的代数式表示tan FCN Ð的值；若FCN Ð的大小发生改变，请举例说明．【解答】（1）证明：Q四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，\=，AE AGAB ADÐ=Ð=°，BAD EAG=，90\Ð+Ð=Ð+Ð，BAE EAD DAG EADBAE DAG\Ð=Ð，\D@D．BAE DAG（2）解：45Ð=°，FCN理由是：作FH MN^于H，Q，Ð=Ð=°AEF ABE90Ð+Ð=°，FEH AEB90\Ð+Ð=°，90BAE AEB\Ð=Ð，FEH BAEQ，90又AE EF=Ð=Ð=°，EHF EBA\D@D，EFH ABE\=，EH AB BCFH BE==，\==，CH BE FHÐ=°Q，FHC90\Ð=°．FCN45（3）解：当点E由B向C运动时，FCNÐ的大小总保持不变，理由是：作FH MN^于H，由已知可得90Ð=Ð=Ð=°，EAG BAD AEF结合（1）（2）得FEH BAE DAGÐ=Ð=Ð，又GQ在射线CD上，。
重庆南开中学2020年九年依据特征作图——动态几何讲义(含答案)
依据特征作图——动态几何（讲义）精讲精练1. （1）如图1，将矩形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，折痕为BE，点C落在点C′处，若∠ADB=46°，则∠DBE的度数为___________°．（2）小明手中有一张矩形纸片ABCD，AB=4，AD=9．【画一画】如图2，点E在这张矩形纸片的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CE所在直线上，折痕设为MN（点M，N分别在边AD，BC上），利用直尺和圆规画出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）．【算一算】如图3，点F在这张矩形纸片的边BC上，将纸片折叠，使FB落在射线FD 上，折痕为GF，点A，B分别落在点A′，B′处，若AG=，求B′D的长．【验一验】如图4，点K在这张矩形纸片的边AD上，DK=3，将纸片折叠，使AB落在CK所在直线上，折痕为HI，点A，B分别落在点A′，B′处，小明认为B′I 所在直线恰好经过点D，他的判断是否正确？请说明理由．2. 如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连接BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连接AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设．（1）当点F落在AC上时，用含n的代数式表示的值；（2）若AD=4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值．3. 如图，已知平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，∠A=60°，点E为AB中点，过点E作l⊥AB，垂足为点E，点M是直线l上的一点．（1）若平面内存在点N，使得以A，D，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有______个．（2）连接MA，MD，若∠AMD不小于60°，且设符合题意的点M在直线l 上可移动的距离为t，求t的范围．4. 如图，点A在数轴上对应的数为26，以原点O为圆心，OA为半径作优弧︵，使点B在O右下方，且．在优弧︵上任取一点P，且能过P作直线l∥OB交数轴于点Q，设Q在数轴上对应的数为x，连接OP．（1）若优弧︵上一段︵的长为13π，求∠AOP的度数及x的值；（2）求x的最小值，并指出此时直线l与︵所在圆的位置关系；（3）若线段PQ的长为12.5，直接写出这时x的值．5. 如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA=6，OB=8，半径为2的动圆圆心Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P 从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5）．以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB，OA的另一个交点分别为C，D，连接CD，QC．（1）当t为何值时，点Q与点D重合？（2）当⊙Q经过点A时，求⊙P被OB截得的弦长；（3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围．6. 如图1和2，□ABCD中，AB=3，BC=15，tan∠DAB=，点P为AB延长线上一点，过点A作⊙O切CP于点P，设BP=x．（1）如图1，x为何值时，圆心O落在AP上？若此时⊙O交AD于点E，直接指出PE与BC的位置关系；（2）当x=4时，如图2，⊙O与AC交于Q，求∠CAP的度数，并通过计算比较弦AP与劣弧︵长度的大小；（3）当⊙O与线段AD只有一个公共点时，直接写出x的取值范围．函数图象的分析与作图1. 已知在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=-x2+bx+c经过点A(2，2)，对称轴是直线x=1，顶点为B．（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；（2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，连接AM，用含m的代数式表示∠AMB的正切值；（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上．原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP=OQ，求点Q的坐标．2. 在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，1)，取一点B(b，0)，连接AB，作线段AB的垂直平分线l1，过点B作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P．（1）当b=3时，在图1中补全图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．（2）小慧多次取不同数值b，得出相应的点P，并把这些点用平滑的曲线连接起来发现：这些点P竟然在一条曲线L上．①设点P的坐标为(x，y)，试求y与x之间的关系式，并指出曲线L是哪种曲线；②设点P到x轴、y轴的距离分别是d1，d2，求d1+d2的范围，当d1+d2=8时，求点P的坐标；③将曲线L在直线y=2下方的部分沿直线y=2向上翻折，得到一条“W”形状的新曲线，若直线y=kx+3与这条“W”形状的新曲线有4个交点，直接写出k的取值范围．图13. 已知二次函数y=ax2-2ax+c（a＜0）的最大值为4，且抛物线过点，点P(t，0)是x轴上的动点，抛物线与y轴交点为C，顶点为D．（1）求该二次函数的解析式及顶点D的坐标；（2）求|PC-PD|的最大值及对应的点P的坐标；（3）设Q(0，2t)是y轴上的动点，若线段PQ与函数y=a|x|2-2a|x|+c的图象只有一个公共点，请直接写出t的取值．4. 如图，抛物线L：（常数t＞0）与x轴从左到右的交点为B，A，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线（k＞0，x＞0）于点P，且．（1）求k的值；（2）当t=1时，求AB的长，并求直线MP与L对称轴之间的距离；（3）把L在直线MP左侧部分的图象（含与直线MP的交点）记为G，用t表示图象G最高点的坐标；（4）设L与双曲线有个交点的横坐标为x0，且满足4≤x0≤6，通过L位置随t变化的过程，直接写出t的取值范围．5. 在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为(-1，2)，(2，1)，若抛物线y=ax2-x+2（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A．a≤-1或 B．C．或D．或6. 已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(0，2)．（1）若点(，0)也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；（2）若该抛物线上任意不同两点M(x1，y1)，N(x2，y2)都满足：当x1＜x2＜0时，(x1-x2)(y1-y2)＞0；当0＜x1＜x2时，(x1-x2)(y1-y2)＜0．以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．①求抛物线的解析式；②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．7. 如图，二次函数y=x2-3x的图象经过O(0，0)，A(4，4)，B(3，0)三点，以点O为位似中心，在y轴的右侧将△OAB按相似比2:1放大，得到△OA′B′，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过O，A′，B′三点．（1）画出△OA′B′，试求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的表达式．（2）点P(m，n)在二次函数y=x2-3x的图象上，m≠0，直线OP与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交于点Q（异于点O）．①求点Q的坐标（横、纵坐标均用含m的代数式表示）；②连接AP，若2AP＞OQ，求m的取值范围；③当点Q在第一象限内，过点Q作QQ′平行于x轴，与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交于另一点Q′，与二次函数y=x2-3x的图象交于点M，N（M 在N的左侧），直线OQ′与二次函数y=x2-3x的图象交于点P′，△Q′P′M∽△QB′N，则线段NQ的长度等于___________．参考答案1. （1）抛物线的表达式为y=-x2+2x+2；点B(1，3)；（2）tan∠AMB=；（3）点Q的坐标为(，)，(，)．2. （1）作图略；（2）①，曲线L是抛物线；②d1+d2≥；P1(3，5)，P2(-3，5)；③k的取值范围为．3. （1）二次函数的解析式为y=-x2+2x+3；顶点D(1，4)；（2）|PC-PD|的最大值为，对应的点P坐标为(-3，0)；（3）≤t＜3，或t≤-3．4. （1）k的值为6；（2）直线MP与L对称轴之间的距离为；（3）图象G最高点的坐标为(，)；（4）t的取值范围为5≤t≤，7≤t≤．5. A6. （1）；（2）①抛物线的解析式为y=-x2+2；②证明略；7. （1）图略，二次函数的表达式为；（2）①Q(2m，2m2-6m)；②m的取值范围是且m≠0；③6．。
动态几何(讲义及答案)
《动态几何》预习指南【预习阶段】一、 以下内容是我们已经学过的，检测一下 图形运动处理框架 1．研究____________研究边、角、对角线、特殊图形等． 2．______________，分段、定范围分析时借助运动状态分析图，关注四要素： __________________________________________、 __________________________________________、 __________________________、________________． 3．分段画图，设计方案表达面积． 借助上面填写的内容，做下面的小题如图，四边形OABC 为矩形，A (6，0)，C (0，23)，D (0，33)，OA 的中点为E ，射线l 过点D 且与x 轴平行，点P ，Q 分别是l 和x 轴正半轴上的动点，初始时刻点P 与点D 重合，点Q 与点E 重合，将线段PQ 沿x 轴正方向平移，平移过程中，△OPQ 与矩形OABC 重叠部分的面积为S ，设点P 的横坐标为x ，尝试画出运动状态分析图，并求出第一段内S 关于x 的函数关系式．P (D )Q (E )y lBCO A xE y D lBCO A x第一步：找碰撞点、碰撞时x的值碰撞点，碰撞时x的值P（D）0Q（E）0_______，_______，_______，_______，_______，_______．第二步：根据上述碰撞点，画出运动状态分析图第三步：求出第一段时间内，S关于x的函数关系式及自变量的取值范围．第四步：若对上述分析框架不清楚，要求动作完成不下来，建议学习2015中考数学专题复习（十）图形运动产生的面积问题2015中考数学专题复习（十二）动态几何综合若无问题，可进入下面的预习环节．四、建议按照下面三个要求去做：①预习时用铅笔，将计算、演草都保留在讲义上；②预习时间控制在一个小时，每题10-15分钟；③每天预习时，看知识点睛→做题，思路受阻时（某个点做了2-3分钟）→再看知识点睛，再做题（再做2-3分钟），如果还不行就放弃，课堂重点听讲．五、小结基础平台篇一、综述动态几何问题，是在动态背景下，探究图形性质和图形间关系的问题．动态背景主要涉及图形运动（点、线、形）及图形变换（平移、旋转、对称）．常考查重叠部分面积、特殊位置关系、图形存在性等问题．此类问题，通常需要分析运动过程、分段画图，进而将整个运动过程拆分为几段逐一解决．函数综合问题，是在函数背景下，探究函数与几何间关系的问题．常考查几何图形间的函数关系或函数图象中的几何图形问题，以存在性问题为主．此类问题，通常从研究坐标、表达式入手，结合背景图形的几何信息，借助函数特征与几何特征的相互转化来解决．二、能力储备1.动点处理框架[1]➢研究背景图形．➢分析运动过程，分段、定范围．➢分析几何特征、表达、设计方案求解．分析运动过程常借助运动状态分析图，需关注四要素：①起点、终点——确定时间范围；②速度（注意速度是否变化）；③状态转折点——确定分段，常见状态转折点有拐点、碰撞点等；④所求目标——明确方向．2.图形运动处理框架[2]➢研究背景图形．➢分析运动过程，分段、定范围．➢分段画图，设计方案表达面积．分析运动过程常借助运动状态分析图，需关注四要素：①起始位置、终止位置——确定时间范围；②速度（注意速度是否变化）；③状态转折点——确定分段，状态转折通常是边与顶点碰撞的时刻；④所求目标——明确方向．3.函数处理框架[3]➢研究坐标、表达式，分析背景图形．➢梳理条件、整合信息．要借助横平竖直线段长，将函数特征与几何特征结合在一起进行研究．➢设计方案求解．常见处理思路：①根据几何特征表达点坐标，代入函数表达式求解；②由函数表达式设出点坐标，借助几何特征求解；③函数表达式联立求解．4.面积处理思路[4]公式法：常用于规则图形，如三角形面积12S ah=，梯形面积12()S a b h =+．割补法：常用于不规则图形，如坐标系背景下斜三角形面积常采用铅垂法．转化法：等底类、等高类、相似类．5.存在性问题——等腰三角形[5]①两定一动（两圆一线）②夹角固定、两点动（借助三线合一找相似）③三动点（分析不变特征，表达边或角）6.存在性问题——直角三角形从直角入手，确定分类．常利用勾股定理逆定理、三等角模型、121k k⋅=-解决问题．7.存在性问题——等腰直角三角形[6]从直角入手，确定分类．常构造弦图模型解决问题．参考：[1] 2015中考数学专题复习（九）动点问题[2] 2015中考数学专题复习（十）图形运动产生的面积问题2015中考数学专题复习（十二）动态几何综合[3] 2015中考数学专题复习（十一）反比例函数与几何综合2015中考数学专题复习（十四）二次函数与几何综合[4] 2015中考数学专题复习（十）图形运动产生的面积问题2015中考数学专题复习（十三）二次函数之面积问题[5] 2015中考数学专题复习（十二）动态几何综合2015中考数学专题复习（十五）四边形的存在性[6] 2015中考数学专题复习（十四）二次函数与几何综合动态几何（讲义）一、知识点睛解决动态几何问题要注意分段和线段长表达． ①分段关键是找状态转折点或碰撞点．②线段长表达要找准对应的速度和时间．尤其注意起始时刻不同、往返运动、运动过程中速度变化等情形．二、精讲精练1. 如图，已知一次函数7y x =-+与正比例函数43y x =的图象交于点A ，且与x 轴交于点B . （1）求点A 和点B 的坐标．（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l ∥y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度，沿O →C →A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同的速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 的运动时间为t 秒． ①当t 为何值时，以A ，P ，R 为顶点的三角形的面积为8？ ②是否存在以A ，P ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．l P R QC AB xyOOy xB ACO y xB ACO y xB ACO y xB AC2. 如图，在□OABC 中，点A 在x 轴正半轴上，∠AOC =60°，OC =4cm ，OA =8cm ．动点P 从点O 出发，以1cm/s 的速度沿折线OA -AB 运动；动点Q 同时．．从点O 出发，以a cm/s 的速度沿折线OC -CB 运动，当其中一点到达终点B 时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t 秒．（1）当a =1时，设△OPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关 系式，并直接写出当t 为何值时，S 的值最大？（2）当点P 在OA 边上，点Q 在CB 边上时，线段PQ 与对角 线OB 交于点M ．若以O ，M ，P 为顶点的三角形与△OAB 相 似，求a 与t 之间的函数关系式，并直接写出t 的取值范围．x PQ BAC OyyO CA BxyO CABxyO CABxyO CABx3. 如图1，矩形OABC 的顶点B 的坐标为(8，3)，定点D 的坐标为(12，0)．动点P 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿x 轴的正方向匀速运动；动点Q 从点D 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴的负方向匀速运动，P ，Q 两点同时出发，相遇时停止．在运动过程中，以PQ 为斜边在x 轴上方作等腰直角三角形PQR ．设运动时间为t 秒． （1）当t =______时，△PQR 的边QR 经过点B ．（2）设△PQR 和矩形OABC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式．（3）如图2，过定点E (5，0)作EF ⊥BC ，垂足为F ，当△PQR 的顶点R 落在矩形OABC 的内部时，过点R 作x 轴、y 轴的平 行线，分别交EF ，BC 于点M ，N ．若∠MAN =45°，求t 的值．图1DQ xBROC yA P图2MN FE DQxBR OCyA PA yC O BxD A yC O BxD A yC O BxD4. 如图，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =3，点O 为对角线BD的中点，点P 从点A 出发，沿折线AD -DO -OC 以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动，当点P 与点A 不重合时，过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ，以PQ 为边向右作正方形PQMN ，设正方形PQMN 与△ABD 重叠部分的面积为S ，点P 运动的时间为t 秒．（1）当点N 落在BD 上时，求t 的值；（2）当点P 在折线AD -DO 上运动时，求S 与t 之间的函数关 系式；（3）直接写出直线DN 平分△BCD 面积时t 的值．N M A (Q )D BP COA DB COA DB COA D BCOA D BCOA DB CO【参考答案】1．（1）(34)(70)A B ，，，．（2）①2t =时，△APR 的面积为8．②存在，t 的值为2264115438或或或时，△APQ 是等腰三角形． 2．（1）223(04)43(48)333(812)4t t S t t t t t ⎧<⎪⎪⎪=<⎨⎪⎪-+<⎪⎩≤≤≤t =8时，S 的值最大．（2）21(68)a t t =-<<或41(08)a t t =+<<．3．（1）1．（2）22396(01)21519(12)271428(24)4t t S t t t t t t ⎧-+⎪⎪⎪=--+<⎨⎪⎪-+<⎪⎩≤≤≤≤（3）t =827-． 4．（1）t =127．（2）22212(0)7251276(3)2479187211(3)40552t t S t t t t t t ⎧<⎪⎪⎪=-+-<⎨⎪⎪-+<⎪⎩≤≤≤（3）存在，t 的值为2436171173或或．。
动态几何一
班级_____________________ 姓名____________________ 考场号____________ 考号___________----------------------------------------------------密--------------------------------封--------------------------------线------------------------------------------------ 动态几何1. (2010 福建省福州市) 如图，在△ABC 中，45C ∠=，10BC =，高8AD =，矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E 、F 两点分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H . （1）求证：AH EFAD BC=； （2）设EF x =，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大？并求其最大值；（3）当矩形EFPQ 的面积最大时，该矩形EFPQ 以每秒１个单位的速度沿射线QC 匀速运动（当点Q 与点C 重合时停止运动），设运动时间为t 秒，矩形EFPQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式．2. (2010 福建省龙岩市) 如图，抛物线交x 轴于点()20A-，，点()40B ，，交y 轴于点()04C -，． （1）求抛物线的解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）若直线y x =-交抛物线于M ，N 两点，交抛物线的对称轴于点E ，连接BC EB EC ，，．试判断EBC △的形状，并加以证明；（3）设P 为直线MN 上的动点，过P 作PF ED ∥交直线MN 下方的抛物线于点F ．问：在直线MN 上是否存在点P ，使得以P E D F 、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P 及相应的点F 的坐标；若不存在，请说明理由.3. (2010 广东省广州市) 如图，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0）、（0，1），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线12y x b =-+交折线OAB 于点E.（1）记ODE △的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形1111O A B C ，试探究四边形1111O A B C 与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.4. (2010 广东省茂名市) 如图，在直角坐标系x O y 中，正方形OCBA 的顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴上，点B 坐标为（6，6），抛物线c bx ax y ++=2经过点A 、B 两点，且13-=-b a ． （1）求a ，b ，c 的值； （3分） （2）如果动点E 、F 同时分别从点A 、点B 出发，分别沿A →B 、B →C 运动，速度都是每秒1个单位长度，当点E 到达终点B 时，点E 、F 随之停止运动．设运动时间为t 秒，EBF ∆的面积为S ．①试求出S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值； （2分）②当S 取得最大值时，在抛物线上是否存在点R ，使得以E 、B 、R 、F 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点R 的坐标；如果不存在，请说明理由．（3分）Q PH FEDCB A（第21题）班级_____________________ 姓名____________________ 考场号____________ 考号___________----------------------------------------------------密--------------------------------封--------------------------------线------------------------------------------------5. (2010 吉林省吉林市) 矩形OBCD 在如图所示的平面直角坐标系中，其中三个顶点分别为(00)(03)O B ，，，， (20)D -，.直线AB 交x 轴交于点(10)A ，. （1）求直线AB 的解析式；（2）求过A B C 、、三点的抛物线的解析式，并写出其顶点E 的坐标； （3）过点E 作x 轴的平行线EF 交AB 于点F .将直线AB 沿x 轴向右平移2个单位，与x 轴交于点G ，与EF 交于点H .请问过A B C 、、三点的抛物线上是否存在点P ，使得PAG S △=34PEH S △.若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由.6. (2010 山东省菏泽市) 如图所示，抛物线2y axbx c =++经过原点O ，与x 轴交于另一点N ，直线4y kx =+与两坐标轴分别交于A 、D 两点，与抛物线交于(1,)B m 、(2,2)C 两点.（1）求直线与抛物线的解析式.（2）若抛物线在x 轴上方的部分有一动点(,)P x y ，设PON ∠=α，求当PON △的面积最大时tan α的值.（3）若动点P 保持（2）中的运动路线，问是否存在点P ，使得POA △的面积等于PON △面积的815？若存在，请求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由.7. (2010 黑龙江省哈尔滨市) 如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形AOCB 是梯形，AB OC ∥，点A 的坐标为(08)，，点C 的坐标为(100)，，OB OC =．（1）求点B 的坐标；（2）点P 从C 点出发，沿线段CO 以5个单位/秒的速度向终点O 匀速运动，过点P 作PH OB ⊥，垂足为H ，设H B P △的面积为(0)S S ≠，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（直接写出自变量t 的取值范围）； （3）在（2）的条件下，过点P 作PM CB ∥交线段AB 于点M ，过点M 作MR OC ⊥，垂足为R ，线段MR 分别交直线PH OB 、于点E G 、，点F 为线段PM 的中点，连接EF ．当t为何值时，EF EG =？8. (2010 山西省) 如图1，已知正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边DE 上，连接AE GC ，．（1）试猜想AE 与GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论.（2）将正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转，使点E 落在BC 边上，如图2，连接AE和GC ．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.x备用图备用图D A CBGF 图2A BD G FE C图1HE班级_____________________ 姓名____________________ 考场号____________ 考号___________----------------------------------------------------密--------------------------------封--------------------------------线------------------------------------------------ 9. (2010 山西省) 在直角梯形OABC 中，903CB OA COA CB ∠=︒=∥，，，6OA =，BA =分别以OA OC 、边所在直线为x 轴、y 轴建立如图1所示的平面直角坐标系.（1）求点B 的坐标；（2）已知D E 、分别为线段OC OB 、上的点，52OD OE EB ==，，直线DE 交x 轴于点.F 求直线DE 的解析式；（3）点M 是（2）中直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一个点N ，使以O D M N 、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.10. (2010 山东省青岛市) 已知：把Rt △ABC 和Rt △DEF 按如图（1）摆放（点C 与点E 重合），点B 、C （E ）、F 在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = 8 cm ，BC = 6 cm ，EF= 9 cm ．如图（2），△DEF 从图（1）的位置出发，以1 cm/s 的速度沿CB 向△ABC 匀速移动，在△DEF 移动的同时，点P 从△ABC的顶点B出发，以2 cm/s 的速度沿BA向点A 匀速移动.当△DEF 的顶点D 移动到AC 边上时，△DEF 停止移动，点P 也随之停止移动．DE 与AC 相交于点Q ，连接PQ ，设移动时间为t （s ）（0＜t ＜4.5）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，点A 在线段PQ 的垂直平分线上？ （2）连接PE ，设四边形APEC 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；是否存在某一时刻t ，使面积y 最小？若存在，求出y 的最小值；若不存在，说明理由．（3）是否存在某一时刻t ，使P 、Q 、F 三点在同一条直线上？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由．（图（3）供同学们做题使用）11. (2010 湖南省长沙市) 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上，OA =cm ， OC=8cm ，现有两动点P 、Q 分别从O 、C 同时出发，P 在线段OA 上沿OA 方cm 的速度匀速运动，Q 在线段CO 上沿CO 方向以每秒1 cm 的速度匀速运动．设运动时间为t 秒．（1）用t 的式子表示△OPQ 的面积S ；（2）求证：四边形OPBQ 的面积是一个定值，并求出这个定值；（3）当△OPQ 与△P AB 和△QPB 相似时，抛物线214y x bx c =++经过B 、P 两点，过线段BP上一动点M 作y 轴的平行线交抛物线于N ，当线段MN 的长取最大值时，求直线MN 把四边形OPBQ 分成两部分的面积之比．12. (2010 山东省烟台市) 如图，△ABC 中，AB=AC ，BC =6，点D 为BC 中点，连接AD ， AD =4，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为E .（1）试判断四边形ADCE 的形状并说明理由.（2）将四边形ADCE 沿CB 以每秒1个单位长度的速度向左平移，设移动时间为t （0≤t ≤6）秒，平移后的四边形A ′D ′C ′E ′与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数表达式，并写出相应的t 的取值范围.A D C F （ E ） 图（1）图（2）（备用图1） （备用图2）班级_____________________ 姓名____________________ 考场号____________ 考号___________----------------------------------------------------密--------------------------------封--------------------------------线------------------------------------------------13. (2010 江苏省徐州市) 如图①，梯形ABCD 中，∠C =90°．动点E 、F 同时从点B 出发, 点E 沿折线BA -AD -DC 运动到点C 时停止运动, 点F 沿BC 运动到点C 时停止运动,它们运动时的速度都是1 cm/s ．设E 、F 出发t s 时, EBF ∆的面积为y cm 2．已知y 与 t 的函数图象如图②所示，其中曲线OM 为抛物线的一部分，MN 、NP 为线段．请根据图中的信息，解答下列问题： （1）梯形上底的长AD = cm ，梯形ABCD 的面积= cm 2；（2）当点E 在BA 、DC 上运动时, 分别求出y 与 t 的函数关系式(注明自变量的取值范围)； （3）当t 为何值时，EBF ∆与梯形ABCD 的面积之比为1:2？14. (2010 内蒙古呼和浩特市) 如图，等边ABC △的边长为12cm ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且4AD AE ==cm ，若点F 从点B 开始以2cm/s 的速度沿射线BC 方向运动，设点F 运动的时间为t 秒，当0t >时，直线FD 与过点A 且平行于BC 的直线相交于点G ，GE 的延长线与BC 的延长线相交于点H ，AB 与GH 相交于点O ．（1）设EGA △的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；（2）在点F 运动过程中，试猜想GFH △的面积是否改变．若不变，求其值；若改变，请说明理由． （3）请直接写出t 为何值时，点F 和点C 是线段BH 的三等分点．15. (2010 广西梧州市) 如图，在平面直角坐标系中，点A （10，0），∠OBA ＝90°，BC ∥OA ， OB＝8，点E 从点B 出发，以每秒1个单位长度沿BC 向点C 运动，点F 从点O 出发，以每秒2个单位长度沿OB 向点B 运动. 现点E 、F 同时出发，当F 点到达B 点时，E 、F 两点同时停止运动. （1）求梯形OABC 的高BG 的长.（2）连接EF 并延长交OA 于点D ，当E 点运动到几秒时，四边形ABED 是等腰梯形.（3）动点E 、F 是否会同时在某个反比例函数的图象上？如果会，请直接写出这时动点E 、F 运动的时间t 的值；如果不会，请说明理由.16. (2010 甘肃省天水市) 已知矩形纸片OABC 的长为4，宽为3，以长OA 所在的直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系；点P 是OA 边上的动点（P 与点O 、A 不重合）．现将POC △沿PC 翻折得到PEC △，再在AB 上选取适当的点D ，将PAD △沿PD 翻折，得到PFD △，使得直线PE 、PF 重合．（1）若点E 落在BC 边上，如图①，求点P 、C 、D 的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式； （2）若点E 落在矩形纸片OABC 的内部，如图②，设OP x =，AD y =，当x 为何值时，y 取得最大值？（3）在（1）的情况下，过点P 、C 、D 三点的抛物线上是否存在点Q ，使PDQ △是以PD 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．A GBC F HDE O图①图②班级_____________________ 姓名____________________ 考场号____________ 考号___________----------------------------------------------------密--------------------------------封--------------------------------线------------------------------------------------ 17. (2010 湖北省武汉市) 如图．抛物线212y ax ax b =-+经过A （－1，0），C （2，32）两点，与x 轴交于另一点B ．(1) 求此地物线的解析式；(2) 若抛物线的顶点为M ，点P 为线段OB 上一动点 (不与点B 重合)，点Q 在线段MB 上移动，且∠MPQ =45°，设线段OP =x ，MQ=22y ，求y 2与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；(3) 在同一平面直角坐标系中，两条直线x=m ，x=n 分别与抛物线交于点E ，G ，与(2)中的函数图象交于点F ，H ．问四边形EFHG 能否为平行四边形? 若能，求m ，n 之间的数量关系；若不能，请说明理由．备用图18. (2010 浙江省义乌市) 如图1，已知梯形OABC ，抛物线分别过点O （0，0）、A （2，0）、B （6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标；（2）将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O 1、A 1、C 1、B 1，得到如图2的梯形O 1A 1B 1C 1．设梯形O 1A 1B 1C 1的面积为S ，A 1、 B 1的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2）．用含S 的代数式表示2x －1x ，并求出当S =36时点A 1的坐标； （3）在图1中，设点D 坐标为（1，3），动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC 运动，动点Q 从点D 出发，以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动．P 、Q 两点同时出发，当点Q 到达点M 时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 两点的运动时间为t ，是否存在某一时刻t ，使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴．．．围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．19. (2010 浙江省台州市) 如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6，AC =8．点P ，Q 都是斜边AB 上的动点，点P 从B 向A 运动（不与点B 重合），点Q 从A 向B 运动，BP=AQ ．点D ，E 分别是点A ，B 以Q ，P 为对称中心的对称点， HQ ⊥AB 于Q ，交AC 于点H ．当点E 到达顶点A 时，P ，Q 同时停止运动．设BP 的长为x ，△HDE 的面积为y ． （1）求证：△DHQ ∽△ABC ；（2）求y 关于x 的函数解析式并求y 的最大值； （3）当x 为何值时，△HDE 为等腰三角形？20. (2010 湖北省荆门市) 如图，圆O 的直径为5，在圆O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ，已知43BC CA =∶∶，点P 在半圆弧AB 上运动（不与A B 、两点重合），过C 点作CP 的垂线CD交PB 的延长线于D 点（1）求证：ACCD PC BC =··； （2）当点P 运动到AB 弧中点时，求CD 的长；（3）当点P 运动到什么位置时，PCD △的面积最大？并求这个最大面积S .图1图2H。
动态几何问题
(二)双动点问题 6．(2015· 荆州)如图，正方形 ABCD 的边长为 3 cm，动点 P 从 B 点出发以 3 cm/s 的速度沿着边 BC－CD－DA 运动，到达 A 点停止运动；另一动点 Q 同时从 B 点出发，以 1 cm/s 的速度沿着边 BA 向 A 点运动，到达 A 点停止运动．设 P 点 运动时间为 x(s)，△BPQ 的面积为 y(cm2)，则 y 关于 x 的函数图象是( C )
6 8 3 5 (2)存在，如图 2，连结 CQ，PQ，QE＝ t，CE＝AC－AE＝8－ t，PQ＝ 5 5 5 6 2 8 2 128 2 2 2 t ， ∴CQ ＝ QE ＋CE ＝ （ t） ＋（8－ t） ＝ 4t － t＋64 ＝ 5 5 5 32 32 48 2 2 2 t － t＋16，①当 CQ＝CP 时，即：2 t － t＋16＝8－t，解得；t＝ ， 5 5 15 3 5 32 40 88 2 ②当 PQ＝CQ 时，即： t＝2 t － t＋16，解得：t＝ ，t＝ (不合题意舍 5 5 11 11 3 5 48 去)，③当 PQ＝PC 时，即 t＝8－t，解得：t＝3 5－5；综上所述：当 t＝ ， 5 15 40 t＝ ，t＝3 5－5 时，△PQC 为等腰三角形． 11
10.(2014· 怀化)如图①，在平面直角坐标系中，AB＝OB＝8，∠ABO＝90° ， ∠yOC＝45° ，射线 OC 以每秒 2 个单位长度的速度向右平行移动，当射线 OC 经 过点 B 时停止运动，设平行移动 x 秒后，射线 OC 扫过 Rt△ABO 的面积为 y.
(1)求 y 与 x 之间的函数关系式； (2)当 x＝3 秒时，射线 OC 平行移动到 O′C′，与 OA 相交于 G，如图②，求经 过 G，O，B 三点的抛物线的解析式；
动态几何答案
１一、动态几何 第1题答案. 解：（1）∵12D C Q S C Q C D =⋅⋅△，又CD ＝3，CQ ＝x ，∴x y 231=．3分 图象如图所示．4分（2）方法一：∵12PC Q S C Q C P =⋅⋅△，又CP ＝8k －xk ，CQ ＝x ， ∴()kx kx x kx k y 42182122+-=⋅-⨯=．7分∵抛物线顶点坐标是（4，12）， ∴12444212=⋅+⋅-k k ．解这个方程，得23=k ．则点P 的速度是每秒23厘米，AC ＝12厘米．9分方法二：观察图象知当x =4时，△PCQ 面积为12．此时PC ＝AC －AP ＝8k －4k ＝4k ，CQ ＝4． ∴由12PC Q S C Q C P =⋅⋅△，得12244=⨯k ．8分解这个方程，得23=k ．则点P 的速度每秒23厘米，AC ＝12厘米．9分 方法三：设y 2的图象所在抛物线的解析式是c bx ax y ++=2．∵图象过（0，0），（4，12），（8，0），∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=.0864124160c b a c b a c ，， 解得 3460.a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，， ∴x x y 64322+-=． ① 6分 ∵CP CQ S PCQ ⋅⋅=∆21，CP ＝8k －xk ，CQ ＝x ，∴kx kx y 42122+-=． ② 8分比较①②，得23=k ．则点P 的速度是每秒23厘米，AC ＝12厘米．9分（3）①观察图象，得EF ＝y 2－y 1，所以EF 的长表示△PCQ 与△DCQ 的面积差（或△PDQ 面积）． 11分 ②由（2）得 x x y 64322+-=．（方法二，x x x x y 643232382122+-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯=） ∵EF ＝y 2－y 1，∴EF ＝x x x x x 29432364322+-=-+-， ∵二次项系数小于０，∴在06x <<范围，当3=x 时，427=EF 最大．说明：1y 图象画成线段不扣分．第2题答案.解：（1）依题意可知，折痕A D 是四边形OAED 的对称轴，∴在Rt ABE △中，5AE AO ==，4AB =．3BE ∴===．2CE ∴=．E ∴点坐标为（2，4）．在Rt DCE △中，222D C CE D E +=， 又DE OD = ．222(4)2OD OD ∴-+= ． 解得：52C D =．D ∴点坐标为502⎛⎫⎪⎝⎭，（2）如图①PM ED ∥，APM AED ∴△∽△．P M A PE D A E ∴=，又知AP t =，52ED =，5AE =5522t tPM ∴=⨯=， 又5PE t =- ．而显然四边形PMNE 为矩形．215(5)222PM N E t S PM PE t t t ∴==⨯-=-+ 矩形21525228PM N E S t ⎛⎫∴=--+ ⎪⎝⎭四边形，又5052<< ∴当52t =时，PM NE S 矩形有最大值258．（3）（i ）若以A E 为等腰三角形的底，则M E M A =（如图①）在Rt AED △中，M E M A =，PM AE ⊥ ，P ∴为A E 的中点，1522t A P A E ∴===．又PM ED ∥，M ∴为A D 的中点． 过点M 作MF OA ⊥，垂足为F ，则M F 是OAD△的中位线，1524M F O D ∴==，1522O F O A ==， ∴当52t =时，5052⎛⎫<< ⎪⎝⎭，AME △为等腰三角形．２此时M 点坐标为5524⎛⎫⎪⎝⎭，．8分（ii ）若以A E 为等腰三角形的腰，则5AM AE ==（如图②） 在Rt AOD△中，2AD ===过点M 作MF OA ⊥，垂足为F ．PM ED ∥，APM AED ∴△∽△．A P A M A E A D∴=．55A M A E t A P A D⨯∴====，12P M t ∴==．M F M P ∴==，5OF OA AF OA AP =-=-=-，∴当t =时，（05<<），此时M点坐标为(5-．11分 综合（i ）（ii ）可知，52t =或t =以A M E，，为顶点的三角形为等腰三角形，相应M 点的坐标为5524⎛⎫⎪⎝⎭，或(5-． 12分第3题答案.．解：（1）2分 （2）共有9对相似三角形．（写对3－5对得1分，写对6－8对得2分，写对9对得3分） ①△DCE 、△ABE 与△ACD 或△BDC 两两相似，分别是：△DCE ∽△ABE ，△DCE ∽△ACD ，△DCE ∽△BDC ，△ABE ∽△ACD ，△ABE ∽△BDC ；(有5对)②△ABD ∽△EAD ，△ABD ∽△EBC ；(有2对)③△BAC ∽△EAD ，△BAC ∽△EBC ；(有2对) 所以，一共有9对相似三角形． 5分 （3）由题意知，FP ∥AE ，∴ ∠1＝∠PFB ， 又∵ ∠1＝∠2＝30°， ∴ ∠PFB ＝∠2＝30°，∴ FP ＝BP 6分过点P 作PK ⊥FB 于点K ，则12F K B K F B ==． ∵ AF ＝t ，AB ＝8，∴ FB ＝8－t ，1(8)2B K t =-． 在Rt △BPK 中，1tan 2(8)tan 30)26P K B K t t =⋅∠=-︒=-． 7分∴ △FBP 的面积113(8)(8226S F B PK t =⋅⋅=⋅-， ∴ S 与t 之间的函数关系式为：2(8)12S t =-，或24123S t t =-+t第4题答案.（1）证法一：① ∵ ∴ ∵ PC =∴ △PBC ≌△PDC （SAS ）. ∴ PB =PD ， ∠PBC =∠PDC .又∵ PB = PE ，∴ PE =PD . ② （i ）当点E 在线段BC 上(E 与B 、C 不重合)时，∵ PB =PE ，∴ ∠PBE =∠PEB ， ∴ ∠PEB =∠PDC ，∴ ∠PEB +∠PEC =∠PDC +∠PEC =180°，∴ ∠DPE =360°-(∠BCD +∠PDC +∠PEC )=90°，∴ PE ⊥PD .（ii ）当点E 与点C 重合时，点P 恰好在AC 中点处，此时，PE ⊥PD .（iii ）当点E 在BC 的延长线上时，如图. ∵ ∠PEC =∠PDC ，∠1=∠2， ∴ ∠DPE =∠DCE =90°， ∴ PE ⊥PD .综合（i ）（ii ）（iii ）, PE ⊥PD . ………（7分） （2）① 过点P 作PF ⊥BC ，垂足为F ，则BF =FE .∵ AP =x ，AC =2，∴ PC =2- x，PF =FC =x x 221)2(22-=-.BF =FE =1-FC =1-(x 221-)=x 22.∴ S △PBE =BF ·PF =x 22(x 221-)x x 22212+-=. 即x x y 22212+-= (0＜x ＜2).② 41)22(21222122+--=+-=x x x y .∵ 21-=a ＜0，∴ 当22=x 时，y 最大值41=. ……………………………（7分） （2）①∵ AP =x ，３∴ BF =PG =x 22，PF =1-x 22. ∴S △PBE =BF ·PF =x 22(x 221-)x x 22212+-=. 即x x y 22212+-= (0＜x ＜2). ② 41)22(21222122+--=+-=x x x y .∵ 21-=a ＜0， ∴ 当22=x 时，y 最大值41=.第5题答案.（1）将0y =代入443y x =-+，得3x =，∴点B 的坐标为(30)，； 将0x =代入443y x =-+，得4y =，∴点C 的坐标为(04)，．在Rt OBC △中，4OC = ，3OB =，5BC ∴=．又(20)A -，，5AB ∴=，AB BC ∴=，ABC ∴△是等腰三角形．（2）5AB BC == ，故点M N ，同时开始运动，同时停止运动．过点N 作ND x ⊥轴于D ， 则4sin 5N D B N O B C t =∠= ，①当02t <<时（如图甲），2OM t =-，114(2)225S O M N D t t ∴==-22455t t =-+．当25t <≤时（如图乙），2OM t =-，114(2)225S O M N D t t ∴==-22455t t =-． （注：若将t 的取值范围分别写为02t ≤≤和25t ≤≤，不扣分） ②存在4S =的情形．当4S =时，224455t t -=．解得11t =+，21t =-（不合题意，舍去）． 15t =+<，故当4S =时，1t =+秒．10分 ③当MN x ⊥轴时，MON △为直角三角形．3cos 5M B BN M BN t =∠=，又5MB t =-．355t t ∴=-，258t ∴=．当点M N ，分别运动到点B C ，时，MON △为直角三角形，5t =．故MON △为直角三角形时，258t =秒或5t =秒．第6题答案.（1）解：过P 点分别作PM AB ⊥于M ，PN OB⊥于N ，BC 平分ABO ∠，PM PN ∴=． OA OB ，的长分别是方程式214480x x -+=的两根，且OA OB >， 86OA OB ∴==，，10AB ∴=．112S A B P M = ，212S O B PN = ， 12::10:65:3S S AB OB ∴===．…………………，作142O Q O A ∴==，1P O PA ∴=．∴当t =时，0PA PO -=，即0m =．当0t <<时，即P 处于1B P ，之间时， 在B A上截取B E B O =，连接P E ，则xOPB EPB△≌△．PE PO∴=．在PAE△中，PA PE AE-<，而4AE=．4PA PO∴-<，即4m<．作PR OA⊥于R，则R处于线段O Q上，此时OR AR<．P A=PO=，PA PO∴>，0PA PO∴->，即0m>．综上所述，当0t<≤04m<≤．11分②当t>0m<．12分第7题答案.（1）作P K M⊥于K，则122P K K M N M===．6KO∴=，(62)P∴，．1分（4）b的值为4，5，8±．10分（提示：当PC PD=时，4b=．当PC C D=时，12b=（舍），25b=．当P D C D=时，8b=±．）（写对2个得1分，写对3个得2分，写对4个得3分）第8题答案.解：（1）A B y∥轴．1分理由： Rt OAB△中，t a nA B O A O B∠=13=30ABO∴∠= ．2分设A B交OP于点Q，交x轴于点S， 矩形的对角线互相平分且相等，则Q O Q B=，30QOB∴∠= ，过点M作MT x⊥轴于T，则t a n13M O T∠=，30M O T∴∠= ，60BO S∴∠= ，90BSO∴∠= ，AB y∴∥轴．（2）设l在运动过程中与射线OM交于点C，过点A且垂直于射线OM的直线交OM于点D，过点B且垂直于射线OM的直线交OM于点E，则OC t=．2OP t=+，(2)2O B t∴=+，3(2)4O E t=+，1(2)2O A t=+，1(2)4O D t=+．①当10(2)4t t<+≤，即23t<≤时，2S=．t，，26t-3解：（1）令y=0，解得11x=-或23x=∴A（-1，0）B（3，0）；将C点的横坐标x=2代入223y x x=--得y=-3，∴C（2，-3）∴直线AC的函数解析式是y=-x-1（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）（注：x的范围不写不扣分）则P，E的坐标分别为：P（x，-x-1），E（2(23)x x x--，∵P点在E点的上方，PE=22(1)(23)2x x x x x-----=-++４５∴当12x =时，PE 的最大值=94（1分） （3）存在4个这样的点F ，分别是1234(10)(30)(4(4F F F F -+-，，，，，，，第10题答案. 解：（1）由题意知重叠部分是等腰直角三角形，作GH OE ⊥．2OE x ∴=，GH x =，211222y O E G H x x x === （03x ≤≤）5分 （2）(66)A ，） 当2x =时，224OE =⨯=．22OH GH ∴==，，(22)G ∴，． 16366412424b c b c⎧=++⎪⎪∴⎨⎪=++⎪⎩ ， 13b c =-⎧∴⎨=⎩， 2134y x x ∴=-+．5分 （3）设()P m n ，．当点P 到y 轴的距离为2时，有||2m =，∴2m =±． 当2m =时，得2n =， 当2m =-时，得6n =．当点P 到x 轴的距离为2时，有||2n =．2134y x x =-+21(2)204x =-+>2n ∴=．当n 2=时，得2m =．综上所述，符合条件的点P 有两个，分别是1(22)(26)P P -，，，． 4分 第11题答案.解：（1）当点P 在AC 上时，A M t =，tg 60PM AM ∴==．21(01)22y t t ∴==≤≤．2分当点P在BC上时，t a30(4)3P M B t =-．21(4)(13)2363y t t t t t =-=-+≤≤．4分（2）2AC = ，4A B ∴=．413BN AB AM MN t t ∴=--=--=-．tan 30(3)3Q N B N t ∴==-． 由条件知，若四边形M N Q P 为矩形，需PM Q N =，(3)3t =-，34t ∴=．∴当34t =s 时，四边形M N Q P 为矩形．（3）由（2）知，当34t =s 时，四边形M N Q P 为矩形，此时PQ AB ∥，PQ C ABC ∴△∽△．除此之外，当30CPQ B ∠=∠=时，Q P C A △∽△，此时tan 303C Q C P==．1cos 602A MA P ==，22AP AM t ∴==．22CP t ∴=-．cos 302BN BQ==，)32BQ t ∴==-．又BC =，)33C Q t ∴=--=．3223t ∴=-，12t =．∴当12t =s 或34s 时，以C P Q ，，为顶点的三角形与ABC △相似．。
动态几何(含答案)
【2013年中考攻略】专题20：动态几何之存在性问题探讨动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
前面我们已经对最值问题、面积问题、和差问题、定值问题进行了探讨，本专题对存在性问题进行探讨。
结合2012年全国各地中考的实例，我们从七方面进行动态几何之存在性问题的探讨：（1）等腰（边）三角形存在问题；（2）直角三角形存在问题；（3）平行四边形存在问题；（4）矩形、菱形、正方形存在问题；（5）梯形存在问题；（6）全等、相似三角形存在问题；（7）其它存在问题。
一、等腰（边）三角形存在问题： 典型例题：例1：（2012广西崇左10分）如图所示，抛物线c bx ax y ++=2（a≠0）的顶点坐标为点A （－2，3），且抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交于点B （0，2）. （1）求该抛物线的解析式；（2）是否在x 轴上存在点P 使△PAB 为等腰三角形，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说 明理由；（3）若点P 是x 轴上任意一点，则当PA －PB 最大时，求点P 的坐标.【答案】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为A(－2，3)，∴可设抛物线的解析式为2y a(x 2)3=++。
由题意得 2a (02)32++=，解得1a 4=-。
∴物线的解析式为21y (x 2)34=-++，即21y x x 24=--+。
（2）设存在符合条件的点P ，其坐标为（p ，0），则PA 2=22(2p)3--+，PB=22p 2+，AB 2=22(32)25-+= 当PA=PB 时，22(2p)3--+=22p 2+，解得9p 4=-； 当PA=PB 时，22(2p)3--+=5，方程无实数解；当PB=AB 时，22p 2+=5，解得p 1=±。
动态几何问题(课件)
THANK YOU
动态几何问题的实 际应用案例分析
实际应用案例的选择标准
代表性：案例应具有代表性，能够反映动态几何问题的普遍性和特殊性 实用性：案例应具有实用性，能够解决实际问题，具有实际应用价值 创新性：案例应具有创新性，能够展示动态几何问题的新方法和新思路 教育性：案例应具有教育性，能够帮助学生理解和掌握动态几何问题的基本概念和方法
动态几何问题的应 用
在数学竞赛中的应用
动态几何问题在数学竞赛中的 重要性
动态几何问题的解题技巧和方 法
动态几何问题在数学竞赛中的 常见题型和解题思路
动态几何问题在数学竞赛中的 创新应用和挑战
在实际生活中的应用
建筑设计：利 用动态几何问 题进行空间布 局和结构设计
机械制造：利 用动态几何问 题进行机械零 件设计和装配
力。
激发学习兴趣： 动态几何问题具 有趣味性和挑战 性，有助于激发 学生的学习兴趣， 提高学习积极性。
对学生思维发展的影响
提高空间思维能 力：通过动态几 何问题的解决， 学生可以更好地 理解和掌握空间 关系，提高空间
思维能力。
培养逻辑思维能 力：动态几何问 题的解决需要学 生运用逻辑推理 和数学思维，有 助于培养学生的 逻辑思维能力。
研究方法和成果
研究方法：动态几何问题的研究方法主要包括几何分析、代数方法、微 分几何等。
成果：动态几何问题的研究成果包括发现了许多新的几何结构、证明了 许多重要的几何定理、解决了许多重要的几何问题等。
第七章 §7.10 立体几何中的动态、轨迹问题-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版
§7.10立体几何中的动态、轨迹问题重点解读“动态”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，它渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题型更新颖．同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋多元化，将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问题之间建立桥梁，使得它们之间灵活转化．题型一平行、垂直中的动态轨迹问题例1如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，N 分别是CC 1，C 1D 1，DD 1，CD ，BC 的中点，M 在四边形EFGH 边上及其内部运动，若MN ∥平面A 1BD ，则点M 轨迹的长度是()A.3aB.2aC.3a 2D.2a 2答案D 解析连接HN ，GN (图略)，∵在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，N 分别是CC 1，C 1D 1，DD 1，CD ，BC 的中点，则GH ∥BA 1，HN ∥BD ，又GH ⊄平面A 1BD ，BA 1⊂平面A 1BD ，∴GH ∥平面A 1BD ，同理可证得NH ∥平面A 1BD ，又GH ∩HN ＝H ，GH ，HN ⊂平面GHN ，∴平面A 1BD ∥平面GHN ，又∵点M 在四边形EFGH 上及其内部运动，MN ∥平面A 1BD ，则点M 在线段GH 上运动，即满足条件，又GH ＝22a ，则点M 轨迹的长度是2a 2.思维升华动点轨迹的判断一般根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程．跟踪训练1正四棱锥S －ABCD 的底面边长为2，高为2，E 是边BC 的中点，动点P 在正四棱锥表面上运动，并且总保持PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹的周长为()A.6＋2B.6－2C ．4D.5＋1答案A 解析如图，设AC ，BD 交于O ，连接SO ，由正四棱锥的性质可得SO ⊥平面ABCD ，因为AC ⊂平面ABCD ，故SO ⊥AC .又BD ⊥AC ，SO ∩BD ＝O ，SO ，BD ⊂平面SBD ，故AC ⊥平面SBD .由题意，PE ⊥AC 则动点P 的轨迹为过E 且垂直AC 的平面与正四棱锥S －ABCD 的交线，即平面EFG ，则AC ⊥平面EFG .由线面垂直的性质可得平面SBD ∥平面EFG ，又由面面平行的性质可得EG ∥SB ，GF ∥SD ，EF ∥BD ，又E 是边BC 的中点，故EG ，GF ，EF 分别为△SBC ，△SDC ，△BCD 的中位线．由题意BD ＝22，SB ＝SD ＝22＋2＝6，故EG ＋EF ＋GF ＝12×(6＋6＋22)＝6＋ 2.即动点P 的轨迹的周长为6＋ 2.题型二距离、角度有关的动态轨迹问题例2已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的外接球的表面积为5π，AA 1＝2，点P 在四边形A 1ACC 1内，且直线BP 与平面A 1ACC 1所成的角为π4，则长方体的体积最大时，动点P 的轨迹长为()A ．πB.2π2C.π2D.2π4答案C解析因为长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的外接球的表面积为5π，设外接球的半径为R ，所以4πR 2＝5π，解得R ＝52R ＝－52(舍去)，即外接球的直径为5，设AB ＝a ，BC ＝b ，则a 2＋b 2＋22＝5，可得a 2＋b 2＝1，所以V ＝2ab ≤a 2＋b 2＝1，当且仅当a ＝b ＝22时，等号成立．如图，设AC ，BD 相交于点O ，因为BO ⊥AC ，BO ⊥AA 1，AC ∩AA 1＝A ，AC ，AA 1⊂平面A 1ACC 1，所以BO ⊥平面A 1ACC 1，因为直线BP 与平面A 1ACC 1所成的角为π4，所以∠BPO ＝π4，故OP ＝12，则点P 的轨迹是以O 为圆心，半径r ＝12的半圆弧，所以动点P 的轨迹长为πr ＝π2.思维升华距离、角度有关的轨迹问题(1)距离：可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹．(2)角度：直线与面成定角，可能是圆锥侧面；直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面．跟踪训练2已知三棱锥P －ABC 的外接球O 的半径为13，△ABC 为等腰直角三角形，若顶点P 到底面ABC 的距离为4，且三棱锥P －ABC 的体积为163，则满足上述条件的顶点P 的轨迹长度是________．答案43π解析设底面等腰直角三角形ABC 的直角边的边长为x (x >0)，∵顶点P 到底面ABC 的距离为4且三棱锥P －ABC 的体积为163，∴13×12x 2×4＝163，解得x ＝22，∴△ABC 的外接圆半径为r 1＝12×2×22＝2，∴球心O 到底面ABC 的距离d 1＝R 2－r 21＝13－22＝3，又∵顶点P 到底面ABC 的距离为4，∴顶点P 的轨迹是一个截面圆的圆周(球心在底面ABC 和截面圆之间)且球心O 到该截面圆的距离d 2＝1，∵截面圆的半径r 2＝R 2－d 22＝13－1＝23，∴顶点P 的轨迹长度是2πr 2＝2π×23＝43π.题型三翻折有关的动态轨迹问题例3在矩形ABCD 中，E 是AB 的中点，AD ＝1，AB ＝2，将△ADE 沿DE 折起得到△A ′DE ，设A ′C 的中点为M ，若将△ADE 沿DE 翻折90°，则在此过程中动点M 形成的轨迹长度为________．答案2π8解析如图，设AC 的中点为M 0，△ADE 沿DE 翻折90°，此时平面A ′DE ⊥平面ABCD ，取CD 中点P ，CE 中点Q ，PQ 中点N ，连接PQ ，MP ，MQ ，MN ，M 0P ，M 0Q ，M 0N .MP ＝M 0P ＝12AD ＝12，MQ ＝M 0Q ＝12AE ＝12，PQ ＝12DE ＝22，△MPQ 和△M 0PQ 是等腰直角三角形，且在旋转过程中保持形状大小不变，故动点M 的轨迹是以N 为圆心，12PQ 为半径的一段圆弧，又MP ∥A ′D ，MP ⊄平面A ′DE ，A ′D ⊂平面A ′DE ，∴MP ∥平面A ′DE ，同理MQ ∥平面A ′DE ，又∵MP ∩MQ ＝M ，∴平面MPQ ∥平面A ′DE ，又平面A ′DE ⊥平面ABCD ，故平面MPQ ⊥平面ABCD ，又平面MPQ ∩平面ABCD ＝PQ ，MN ⊥PQ ，故MN ⊥平面ABCD ，又M 0N ⊂平面ABCD ，∴MN ⊥M 0N ，故动点M 形成的轨迹长度为14π·PQ ＝2π8.思维升华翻折有关的轨迹问题(1)翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹．(2)翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹．(3)可以利用空间坐标运算求轨迹．跟踪训练3(2024·连云港模拟)在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，点E 在CD 上，现将△AED 沿AE 折起，使平面AED ⊥平面ABC ，当E 从D 运动到C 时，求点D 在平面ABC 上的射影K 的轨迹长度为()A.22 B.223 C.π2 D.π3答案D解析由题意，将△AED 沿AE 折起，使平面AED ⊥平面ABC ，在平面AED 内过点D 作DK ⊥AE ，垂足K 为D 在平面ABC 上的射影，连接D ′K ，由翻折的特征知，则∠D ′KA ＝90°，故K 点的轨迹是以AD ′为直径的圆上一段弧，根据长方形知圆半径是12，如图当E 与C 重合时，∠D ′AC ＝60°，所以AK ＝12，取O 为AD ′的中点，得到△OAK 是正三角形．故∠KOA ＝π3，所以∠KOD ′＝2π3，射影K 的轨迹长度为12×2π3＝π3.课时精练一、单项选择题1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，Q 是正方形B 1BCC 1内的动点，A 1Q ⊥BC 1，则Q 点的轨迹是()A ．点B 1B ．线段B 1C C ．线段B 1C 1D ．平面B 1BCC 1答案B 解析如图，连接A 1C ，因为BC 1⊥A 1Q ，BC 1⊥A 1B 1，A 1Q ∩A 1B 1＝A 1，A 1Q ，A 1B 1⊂平面A 1B 1Q ，所以BC 1⊥平面A 1B 1Q ，又B 1Q ⊂平面A 1B 1Q ，所以BC 1⊥B 1Q ，又BC 1⊥B 1C ，所以点Q 在线段B 1C 上．2.(2023·佛山模拟)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 为正方形A 1B 1C 1D 1内的动点，满足直线BP 与下底面ABCD 所成角为60°的点P 的轨迹长度为()A.33B.3π6 C.3 D.3π2答案B 解析直线BP 与下底面ABCD 所成的角等于直线BP 与上底面A 1B 1C 1D 1所成的角，连接B 1P ，如图，因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，PB 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以BB 1⊥PB 1，故∠BPB 1为直线BP 与上底面A 1B 1C 1D 1所成的角，则∠BPB 1＝60°，因为BB 1＝1，所以PB 1＝BB 1tan 60°＝33，故点P 的轨迹为以B 1为圆心，33为半径，位于平面A 1B 1C 1D 1内的14圆，故轨迹长度为14×2π×33＝3π6.3.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 为A 1C 1的中点，N 为侧面BCC 1B 1上的一点，且MN ∥平面ABC 1，若点N 的轨迹长度为2，则()A ．AC 1＝4B ．BC 1＝4C ．AB 1＝6D ．B 1C ＝6答案B 解析如图，取B 1C 1的中点D ，BB 1的中点E ，连接MD ，DE ，ME ，由MD ∥A 1B 1∥AB ，DE ∥BC 1，又MD ⊄平面ABC 1，AB ⊂平面ABC 1，所以MD ∥平面ABC 1，同理可得DE ∥平面ABC 1，又MD ∩DE ＝D ，MD ，DE ⊂平面MDE ，所以平面MDE ∥平面ABC 1，又MN ∥平面ABC 1，故点N 的轨迹为线段DE ，又由DE ＝12BC 1＝2，可得BC 1＝4.4.已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为正方形，侧棱与底面垂直，点P 是侧棱DD 1上的点，且DP ＝2PD 1，AA 1＝3，AB ＝1.若点Q 在侧面BCC 1B 1(包括其边界)上运动，且总保持AQ ⊥BP ，则动点Q 的轨迹长度为()A.3B.2C.233D.52答案D 解析如图，在侧棱AA 1上取一点R ，使得AR ＝2RA 1，连接PR ，BR ，过点A 作AN ⊥BR 交BR 于点M ，交BB 1于点N ，连接AC ，CN ，BD ，由PR ∥AD ，可知PR ⊥AN ，BR ，PR ⊂平面BPR ，BR ∩PR ＝R ，从而AN ⊥平面BPR ，BP ⊂平面BPR ，所以BP ⊥AN ，又由BP 在平面ABCD 内的射影BD ⊥AC ，所以BP ⊥AC ，AN ，AC ⊂平面ACN ，AN ∩AC ＝A ，知BP ⊥平面ACN ，CN ⊂平面ACN ，所以BP ⊥CN ，所以动点Q 的轨迹为线段CN ，在Rt △ABN ，Rt △RAB 中，∠BAN ＝∠ARB ，所以Rt △ABN ∽Rt △RAB ，则BN AB ＝AB RA ，得BN ＝12，易得CN ＝BN 2＋BC 2＝122＋12＝52.5.如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱AD ，B 1C 1的中点．若点P 为侧面正方形ADD 1A 1内(含边界)动点，且B 1P ∥平面BEF ，则点P 的轨迹长度为()A.12B ．1C.52D.π2答案C 解析取A 1D 1的中点M ，连接AM ，B 1M ，AB 1，EM ，FM ，如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥B 1C 1且AD ＝B 1C 1，因为E ，F 分别是棱AD ，B 1C 1的中点，则AE ∥B 1F 且AE ＝B 1F ，所以四边形AB 1FE 为平行四边形，则AB 1∥EF ，因为AB 1⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，所以AB 1∥平面BEF ，同理可证AM ∥平面BEF ，因为AB 1∩AM ＝A ，AB 1，AM ⊂平面AB 1M ，所以平面AB 1M ∥平面BEF ，因为AM ⊂平面AA 1D 1D ，若P ∈AM ，则B 1P ⊂平面AB 1M ，所以B 1P ∥平面BEF ，所以点P 在侧面AA 1D 1D 内的轨迹为线段AM ，由勾股定理可得AM ＝AA 21＋A 1M 2＝52.6．已知菱形ABCD 边长为2，∠ABC ＝60°，沿对角线AC 折叠成三棱锥B ′－ACD ，使得二面角B ′－AC －D 为60°，设E 为B ′C 的中点，F 为三棱锥B ′－ACD 表面上动点，且总满足AC ⊥EF ，则点F 轨迹的长度为()A ．23B ．33 C.3 D.332答案D 解析连接AC ，BD 交于点O ，连接OB ′，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，所以AC ⊥BD ，OB ′⊥AC ，△ABC ，△ACD ，△AB ′C 均为正三角形，所以∠B ′OD 为二面角B ′－AC －D 的平面角，于是∠B ′OD ＝60°，又因为OB ′＝OD ，所以△B ′OD 为正三角形，所以B ′D ＝OB ′＝OD ＝2×32＝3，取OC 的中点P ，取CD 的中点Q ，连接EP ，EQ ，PQ ，所以PQ ∥OD ，EP ∥OB ′，所以AC ⊥EP ，AC ⊥PQ ，EP ∩PQ ＝P ，所以AC ⊥平面EPQ ，所以在三棱锥B ′－ACD 表面上，满足AC ⊥EF 的点F 轨迹为△EPQ ，因为EP ＝12OB ′，PQ ＝12OD ，EQ ＝12B ′D ，所以△EPQ 的周长为3×32＝332，所以点F 轨迹的长度为332.二、多项选择题7．(2024·济南模拟)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的各顶点均在表面积为12π的球面上，P 为该球面上一动点，则()A ．存在无数个点P ，使得PA ∥平面A 1B 1C 1D 1B ．当平面PAA 1⊥平面CB 1D 1时，点P 的轨迹长度为2πC ．当PA ∥平面A 1B 1CD 时，点P 的轨迹长度为2πD ．存在无数个点P ，使得平面PAD ⊥平面PBC答案ACD 解析因为该球的表面积为4πr 2＝12π，故半径r ＝3，且正方体的棱长满足(2r )2＝3a 2＝12，故棱长a ＝2，选项A ，由题意可知平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，且PA ∥平面A 1B 1C 1D 1，故PA ⊂平面ABCD ，则P 的轨迹为正方形ABCD 的外接圆，故有无数个点P 满足，故A 正确；选项B ，易知AC 1⊥平面CB 1D 1，且平面PAA 1⊥平面CB 1D 1，PA ⊂平面PAA 1，故P 的轨迹为矩形AA 1C 1C 的外接圆，其周长为2πr ＝23π，故B 错误；选项C ，因为PA ∥平面A 1B 1CD ，设过PA 且与平面A 1B 1CD 平行的平面为α，则P 的轨迹为α与外接球的交线，其半径为a 2＝1，周长为2π，故C 正确；选项D ，若平面PAD ⊥平面PBC ，则点P 在以四边形ABCD 为轴截面的某个圆柱面上，该圆柱面与球面交线为曲线，故有无数个点P 满足，故D 正确．8．(2023·长沙模拟)在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为正方体表面上的动点，N 为线段AC 1上的动点，若直线AM 与AB 的夹角为π4，则下列说法正确的是()A ．点M 的轨迹确定的图形是平面图形B ．点M 的轨迹长度为π2＋22C ．C 1M 的最小值为2－1D ．当点M 在侧面BB 1C 1C 上时，33AN ＋MN 的最小值为1答案BCD 解析如图，建立空间直角坐标系，则D (0,1,0)，C 1(1,1,1)，∵直线AM 与AB 的夹角为π4，当点M 在侧面AA 1D 1D 上时，AB ⊥AM ，不合题意；当点M 在底面A 1B 1C 1D 1和侧面CC 1D 1D (不包含边界)上时，点M 到直线AB 的距离大于AB 的长度，此时，AM 与AB 的夹角大于π4；当点M 在侧面AA 1B 1B 和底面ABCD 上时，可知线段AB 1，AC 满足题意；当点M 在侧面BCC 1B 1上时，由AB ⊥BM ，可知BM ＝AB ，此时弧B 1C 为所求．∴M 点的轨迹为线段AC ，AB 1，弧B 1C ，显然线段AC ，AB 1，弧B 1C 不共面，∴A 错误；对于B ，点M 的轨迹长度为π2＋22，∴B 正确；对于C ，若M 在线段AC 上，则C 1M 的最小值为1，同理，若M 在线段AB 1上，则C 1M 的最小值也为1，若M 在弧B 1C 上，则C 1M 的最小值为C 1B －1＝2－1，∴C 正确；对于D ，M (1，y ，z )(0≤y ≤1,0≤z ≤1)，且y 2＋z 2＝1，由题意设N (λ，λ，λ)，λ∈[0,1]，则33AN ＋MN ＝λ＋(1－λ)2＋(y －λ)2＋(z －λ)2≥λ＋(1－λ)2＝λ＋(1－λ)＝1，当且仅当y ＝z ＝λ，且y 2＋z 2＝1，即y ＝z ＝λ＝22时，等号成立，∴D 正确．三、填空题9．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 为棱B 1C 1的中点，N 为底面正方形ABCD上一动点，且直线MN 与底面ABCD 所成的角为π3，则动点N 的轨迹长度为________．答案43π9解析如图所示，取BC 中点G ，连接MG ，NG ，由正方体的特征可知，MG ⊥底面ABCD ，故MN 与底面ABCD 的夹角即为∠MNG ，所以∠MNG ＝π3，则MG NG ＝tan π3⇒NG ＝233，故点N 在以G 为圆心，233为半径的圆上，又N 在底面正方形ABCD 上，即点N 的轨迹为图示中的圆弧 EF ，易知BG EG ＝1233＝32⇒∠EGB ＝π6⇒∠EGF ＝π－π6－π6＝2π3，所以动点N 的轨迹长度为233×2π3＝43π9.10.如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，DE ⊥AB ，DC ＝8，DE ＝6.沿着DE 将△ADE 折起，使A 到达点A ′的位置，且平面A ′DE ⊥平面ADE .设P 为△A ′DE 内的动点，若∠EPB ＝∠DPC ，则点P 的轨迹长度为______．答案4π3解析建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，C (0,8,0)，E (6,0,0)，B (6,4,0)，设P (x ,0，z )，则PD →＝(－x ,0，－z )，PC →＝(－x ,8，－z )，PE →＝(6－x ,0，－z )，PB →＝(6－x ,4，－z )，∴cos ∠EPB ＝cos 〈PE →，PB →〉＝PE →·PB →|PE →||PB |→＝(6－x )2＋z 2(6－x )2＋z 2(6－x )2＋16＋z 2，cos ∠DPC ＝cos 〈PD →，PC →〉＝PD →·PC →|PD →||PC |→＝x 2＋z 2x 2＋z 2x 2＋64＋z 2，∵∠EPB ＝∠DPC ，∴cos ∠EPB ＝cos ∠DPC ，∴(6－x )2＋z 2(6－x )2＋z 2(6－x )2＋16＋z 2＝x 2＋z 2x 2＋z 2x 2＋64＋z 2，整理化简得x 2＋z 2－16x ＋48＝0，即(x －8)2＋z 2＝16，∴点P 的轨迹为圆弧，所在圆交A ′E 于P 1(6,0,23)，交DE 于P 2(4,0,0)，则|P 1P 2—→|＝(6－4)2＋(0－0)2＋(23－0)2＝4，∴ 12PP 所对应的圆心角α＝π3，∴弧长l ＝αr ＝π3×4＝4π3，即点P 的轨迹长度为4π3.。
依据特征作图——动态几何(讲义及答案)
2.（1）如图1，将矩形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，折痕为BE，点C落在点C′处，若∠ADB=46°，则∠DBE的度数为___________°．（2）小明手中有一张矩形纸片ABCD，AB=4，AD=9．【画一画】如图2，点E在这张矩形纸片的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CE所在直线上，折痕设为MN （点M ，N 分别在边AD ，BC 上），利用直尺和圆规画出折痕MN （不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）． 【算一算】如图3，点F 在这张矩形纸片的边BC 上，将纸片折叠，使FB 落在射线FD上，折痕为GF ，点A ，B 分别落在点A′，B′处，若AG =73，求B′D 的长．【验一验】如图4，点K 在这张矩形纸片的边AD 上，DK =3，将纸片折叠，使AB 落在CK 所在直线上，折痕为HI ，点A ，B 分别落在点A′，B′处，小明认为B′I 所在直线恰好经过点D ，他的判断是否正确？请说明理由．图1C′ABCDE图2ABDGA′B′图3ABDF KHA′B′图4AB CDI3. 如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上的一个动点，连接BE ，作点A 关于BE 的对称点F ，且点F 落在矩形ABCD 的内部，连接AF ，BF ，EF ，过点F 作GF ⊥AF 交AD 于点G ，设ADn AE． （1）当点F 落在AC 上时，用含n 的代数式表示ADAB的值； （2）若AD =4AB ，且以点F ，C ，G 为顶点的三角形是直角三角形，求n 的值．GFE DCB ADCB ADCB A4. 如图，已知平行四边形ABCD 中，AB =3，AD =2，∠A =60°，点E 为AB 中点，过点E 作l ⊥AB ，垂足为点E ，点M 是直线l 上的一点．（1）若平面内存在点N ，使得以A ，D ，M ，N 为顶点的四边形为菱形，则这样的点N 共有______个．（2）连接MA ，MD ，若∠AMD 不小于60°，且设符合题意的点M 在直线l 上可移动的距离为t ，求t 的范围．【参考答案】1. （1）四边形ABCD 为平行四边形，证明略；（2）①作图略；②AP PB =时，B′P ⊥AB ． 2. （1）23；（2）【画一画】延长CE 交BA 的延长线于点G ，作∠BGC 的角平分线，分别交AD ，BC 于点M ，N ，则M ，N 即为所求，图略； 【算一算】B′D 的长为3；【验一验】小明的判断不正确，理由略．3. （1）ADAB=（2）n 的值为16或8+ 4. （1）5；（2）0≤t ≤3．5. 线段AG 的长为83，2+4．。
2022中考数学压轴题之动态几何专题《动态几何问题探究》PPT讲义 - 副本
从点B开始沿BC向点C以2 cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CA边向
点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，第几秒时
PQ∥AB?
A
（陕西省咸阳市中考试题）
Q
B
P
C
图9—2
分析：如图9—2，假设运动开始后t秒时，PQ∥AB根据这时图形的特殊位置， 利用平行线分线段成比例定理求解．
(3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能，请说明 理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点0顺时针旋转的度数。
中考动态几何问题探索
线动实质就是点动，即点动带动线 动，进而还会产生面动，因而线动型几 何问题可以通过转化成点动型问题来求 解.解决此类题的关键是要把握图形运 动与变化的全过程，抓住其中的等量关 系和变量关系.从运动变化得图形的特 殊位置，进而探索出一般的结论或者从 中获得解题启示，这种由特殊到一般的 思想对我们解决运动变化问题是极为重 要的.
2、图形旋转型
例7（临沂）
如图1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的三角板
DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为
DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转。
⑴在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N。①证明DM＝DN；②在这一过程中，
B P RC （图2）
D
变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边 A
E
形PQED的面积；
②当线段BP的长为何值时，△PQR与△BOC相
O
似？
B
C
D
（备用图）
1
中考动态几何问题探索
（眉山）、如图：∠MON = 90°，在∠MON的内部有一个 正方形AOCD，点A、C分别在射线OM、ON上，点B1是ON上的 任意一点，在∠MON的内部作正方形AB1C1D1。
2019中考数学专题复习 动态几何专题一(附答案详解)
2019中考数学专题复习 动态几何专题一（附答案详解）所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静,解决这类问题的基本思路是以静制动，抓住移动过程中的一个瞬间，找出各组量之间的数量关系，利用对应的知识的构建方程或函数关系式解决问题.数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式1.如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2.(2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==. 在Rt △MPH 中,.∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6). (3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, 2336312=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意. ③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2. 二、应用比例式建立函数解析式2.ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y .(1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函2222233621419x x x MH PH MP +=-+=+=HM NGPOAB图1x y数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴ACBD CE AB =,∴11x y =, ∴xy 1=. (2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立, ∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90. 当=-2αβ︒90时,函数解析式xy 1=成立. 例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.(1)求证: △ADE ∽△AEP.(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.(3)当BF=1时,求线段AP 的长. 解:(1)连结OD.根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴53x OD =,54xAD =,∴OD=x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 58. ∵△ADE ∽△AEP, ∴AE AD AP AE =, ∴x x yx 585458=. ∴x y 516= (8250≤<x ). (3)当BF=1时，①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE, ∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE. ∴5-x 58=4,得85=x .可求得2=y ,即AP=2. ②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2.A3(2)3(1)类似①,可得CF=CE. ∴5-x 58=2,得815=x . 可求得6=y ,即AP=6.综上所述, 当BF=1时,线段AP 的长为2或6.三、应用求图形面积的方法建立函数关系式3.如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x .∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x . 此时,△AOC 的面积y =21274=-. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21.AB CO 图8H。
几何动态型问题(解析版)
几何动态型问题（解析版）专题诠释：几何图形动态变化型问题是中考的热点问题。
对于图形运动与变化型试题，要用运动的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系，并特别关注一些特别的量，不变的关系或特殊关系，善于化动为静。
有特殊情形（特殊点、特殊位置、特殊值、特殊图形）逐步过渡到一般情形，再综合运用各种相关的数学知识，以及数形结合、分类讨论、转化等数学思想加以解决。
第一部分典例剖析+针对练习类型一动点问题典例1（2021•铜仁市模拟）如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x 的函数关系图象如图②所示，则对角线BD的长为（）A．3B．4C．5D．6思路引领：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP面积最大为3，得到AB与BC的积为12；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，得到AB与BC的和为7，构造关于AB的一元二方程可求解．解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为3．∴12AB•12BC＝3，即AB•BC＝12．当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，∴AB+BC＝7．则BC＝7﹣AB，代入AB•BC＝12，得AB2﹣7AB+12＝0，解得AB＝4或3，∵AB＜AD，即AB＜BC，∴AB＝3，BC＝4．∴AD＝BC＝4，∴BD＝5．故选：C．点睛：本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．针对训练11．（2019•本溪）如图，点P是以AB为直径的半圆上的动点，CA⊥AB，PD⊥AC于点D，连接AP，设AP＝x，P A﹣PD＝y，则下列函数图象能反映y与x之间关系的是（）A．B．C．D．思路引领：设圆的半径为R，连接PB，则sin∠ABP=AP2R=12R x，则PD＝AP sinα＝x×12R x=12R x2，即可求解．设：圆的半径为R，连接PB，则sin∠ABP=AP2R=12R x，∵CA⊥AB，即AC是圆的切线，则∠P AD＝∠PBA＝α，则PD＝AP sinα＝x×12Rx=12R x2，则y＝P A﹣PD=−12R x2+x，图象为开口向下的抛物线，故选：C．点睛：本题考查的动点的函数图象，涉及到解直角三角形、圆的切线的性质、二次函数基本性质等，关键是找出相应线段的数量关系，列出函数表达式．典例2（2021•中原区校级四模）如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE的面积取得最小值时，tan∠BAD＝．思路引领：如图，设直线x＝5交x轴于K．由题意KD=12CF＝5，推出点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，推出当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，作EH⊥AB于H．求出EH，AH即可解决问题．解：如图，设直线x＝5交x轴于K，连接DK，由题意KD=12CF＝5，∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，∵AD是切线，点D是切点，∴AD⊥KD，∵AK＝13，DK＝5，∴AD＝12，∵tan∠EAO=OEOA=DKAD，∴OE8=512，∴OE=10 3，∴AE=√OE2+OA2=26 3，作EH⊥AB于H．∵S△ABE=12•AB•EH＝S△AOB﹣S△AOE，∴EH=7√2 3，∴AH=√AE2−EH2=17√2 3，∴tan∠BAD=EHAH=7√2317√23=717．点睛：本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．针对练习22．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1．动点D在边AC上，以BD为边作等边△BDE （点E、A在BD的同侧）．在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路径长为√3．思路引领：取特殊点寻找点E的运动轨迹，利用等边三角形的性质即可解决问题；解：当点D与C重合时，点E与AB的中点M重合，当点D与A重合时，点E与等边三角形△ABN的顶点N重合，所以点E的运动轨迹是△ABN的中线MN，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，∴AB＝2BC＝2，∴MN=√3，故答案为√3．点睛：本题考查轨迹、等边三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会取特殊点寻找点的运动轨迹，所以中考常考题型．类型二动图问题典例3 （2021秋•高州市期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°，矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．（1）如图，求点E的坐标；（2）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C'O'D'E'，点D，O，C，E的对应点分别为C'，O'，D'，E'．设OO'＝t，矩形C'O'D'E'与△ABO重叠部分的面积为s．如图，当矩形C'O'D'E'与△ABO 重叠部分为五边形时，C'E'、D'E'分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示s，并直接写出t的范围．思路引领：（1）由已知得出AD＝OA﹣OD＝4，再由含30°角的直角三角形的性质得AE＝2AD＝8，由勾股定理得出ED＝4√3，即可得出答案；（2）由平移的性质得：O′D′＝2，E′D′＝4√3，ME′＝OO′＝t，D′E′∥O′C′∥OB，则∠E′FM＝∠ABO＝30°，再由含30°角的直角三角形的性质得MF＝2ME′＝2t，FE′=√3t，求出S△MFE′=12√3t2，S矩形C′O′D′E′＝8√3，即可得出答案．解：（1）由点A（6，0）得OA＝6，又OD＝2，∴AD＝OA﹣OD＝4，在矩形CODE中，由DE∥CO，得∠AED＝∠ABO＝30°，∴在Rt△AED中，AE＝2AD＝8，由勾股定理得：ED=√AE2−AD2=4√3，又CO＝4√3，∴点E的坐标为（2，4√3）；（2）由平移可知，O'D'＝OD＝2，E'D'＝ED＝4√3，ME'＝OO'＝t．由E'D'∥BO，得∠E'FM＝∠ABO＝30°，在Rt△MFE'中，MF＝2ME'＝2t．∴由勾股定理得FE′=√MF2−ME′2=√3t，∴S△MFE′=12ME′⋅FE′=12t⋅√3t=√32t2，S矩形C′O′D′E′=O′D′⋅E′D′=8√3，∴s=−√32t2+8√3（0＜t＜2）．点睛：本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握矩形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．针对训练33．（2019•宁夏）将直角三角板ABC按如图1放置，直角顶点C与坐标原点重合，直角边AC、BC 分别与x轴和y轴重合，其中∠ABC＝30°．将此三角板沿y轴向下平移，当点B平移到原点O 时运动停止．设平移的距离为m，平移过程中三角板落在第一象限部分的面积为s，s关于m的函数图象（如图2所示）与m轴相交于点P（√3，0），与s轴相交于点Q．（1）试确定三角板ABC的面积；（2）求平移前AB边所在直线的解析式；（3）求s关于m的函数关系式，并写出Q点的坐标．思路引领：（1）与m轴相交于点P（√3，0），可知OB=√3，OA＝1；（2）设AB 的解析式y ＝kx +b ，将点B （0，√3），A （1，0）代入即可； （3）在移动过程中OB =√3−m ，则OA ＝tan30°×OB =√33×（√3−m ）＝1−√33m ，所以s =12×（√3−m ）×（1−√33m ）=√36m 2−m +√32，（0≤m ≤√3）；当m ＝0时，s =√32，即可求Q （0，√32）． 解：（1）∵与m 轴相交于点P （√3，0）， ∴OB =√3， ∵∠ABC ＝30°， ∴OA ＝1， ∴S =12×1×√3=√32； （2）∵B （0，√3），A （1，0）， 设AB 的解析式y ＝kx +b ， ∴{b =√3k +b =0， ∴{k =−√3b =√3， ∴y =−√3x +√3；（3）在移动过程中OB =√3−m ，则OA ＝tan30°×OB =√33×（√3−m ）＝1−√33m ，∴s =12×（√3−m ）×（1−√33m ）=√36m 2−m +√32，（0≤m ≤√3） 当m ＝0时，s =√32，∴Q （0，√32）． 点睛：本题考查直角三角形平移，一次函数的性质；能够通过函数图象得到B （0，√3）是解题的关键．典例4 如图，等边△ABC 边长为2，四边形DEFG 是平行四边形，DG ＝2，DE ＝3，∠GDE ＝60°，BC 和DE 在同一条直线上，且点C 与点D 重合，现将△ABC 沿D →E 的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点B 与点E 重合时停止，则在这个运动过程中，△ABC 与四边形DEFG 的重合部分的面积S 与运动时间t 之间的函数关系图象大致是（ ）A．B．C．D．思路引领：分三种情况：①0≤t≤2时，由重叠部分为边长为t的等边三角形可得S=√34t2；②2＜t≤3时，由重叠部分即为△ABC得S=√34×22=√3；③3＜t≤5时由重叠部分是S△ABC﹣S△HEC且△HEC边长为t﹣3可得S=−√34t2+3√32t−5√34，据此可得答案．解：①当0≤t≤2时，如图1，由题意知CD＝t，∠HDC＝∠HCD＝60°，∴△CDH是等边三角形，则S=√34t2；②当2＜t≤3时，如图2，S=√34×22=√3；③当3＜t≤5时，如图3，根据题意可得CE＝CD﹣DE＝t﹣3，∠C＝∠HEC＝60°，∴△CEH为等边三角形，则S＝S△ABC﹣S△HEC=√34×22−√34（t﹣3）2=−√34t2+3√32t−5√34；综上，0≤t≤2时函数图象是开口向上的抛物线的一部分，2＜t≤3时函数图象是平行于x轴的一部分，当3＜t≤5时函数图象是开口向下的抛物线的一部分；故选：B．点睛：本题主要考查动点问题的函数图象，根据重叠部分形状的变化情况分类讨论是解题的关键．针对训练44．（2020•滁州模拟）在△EFG中，∠G＝90°，EG=FG=2√2，正方形ABCD的边长为1，将正方形ABCD和△EFG如图放置，AD与EF在一条直线上，点A与点E重合．现将正方形ABCD沿EF方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点A与点F重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（）A．B．C．D．思路引领：分0≤t≤1、1＜t≤2、2＜t≤3、3＜t≤4分别求出函数表达式即可求解．解：EG=FG=2√2，则EF＝4，①当0≤t≤1时，如图1，设AB交EG于点H，则AE＝t＝AH，S=12×AE×AH=12t2，函数为开口向上的抛物线，当t＝1时，y=12；②当1＜t≤2时，如图2，设直线EG交BC于点G，交CD于点H，则ED＝AE﹣AD＝t﹣1＝HD，则CH＝CD﹣HD＝2﹣t＝CG，S＝S正方形ABCD﹣S△CGH＝1−12×CH×CG＝1−12（2﹣t）2，函数为开口向下的抛物线，当t＝2时，y＝1；③当2＜t≤3时，S＝S正方形ABCD＝1，④当3＜t≤4时，同理可得：S＝1−12（t﹣3）2，为开口向下的抛物线；故选：C．点睛：本题考查动点问题的函数过图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．第二部分专题提优练习1．（2021•罗湖区校级模拟）如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+√32PD的最小值等于（）A．√3B．3C．3√3D．2+2√3思路引领：过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，有锐角三角函数可得EP=√32PD，即PB+√32PD＝PB+PE，则当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE．解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，∵AB∥CD，∴∠EDP＝∠DAB＝60°，∴sin∠EDP=EPDP=√32，∴EP=√32PD∴PB+√32PD＝PB+PE∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，∵sin∠A=BEAB=√32，∴BE＝3√3，故选：C．点睛：本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．2．（2019•泰安）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2B．4C．√2D．2√2思路引领：根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2=12CE，当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP，由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P=12CF，∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值，∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2，∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°，∴∠DP2P1＝90°，∴∠DP1P2＝45°，∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长，在等腰直角△BCP1中，CP1＝BC＝2，∴BP1＝2√2，∴PB的最小值是2√2．故选：D．点睛：本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．3．（2019•潍坊）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△P AB的周长最小时，S△P AB＝125．思路引领：根据轴对称，可以求得使得△P AB 的周长最小时点P 的坐标，然后求出点P 到直线AB 的距离和AB 的长度，即可求得△P AB 的面积，本题得以解决． 解：{y =x +1y =x 2−4x +5，解得，{x =1y =2或{x =4y =5，∴点A 的坐标为（1，2），点B 的坐标为（4，5）， ∴AB =√(5−2)2+(4−1)2=3√2，作点A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′B 与y 轴的交于P ，则此时△P AB 的周长最小， 点A ′的坐标为（﹣1，2），点B 的坐标为（4，5）， 设直线A ′B 的函数解析式为y ＝kx +b ， {−k +b =24k +b =5，得{k =35b =135， ∴直线A ′B 的函数解析式为y =35x +135， 当x ＝0时，y =135， 即点P 的坐标为（0，135），将x ＝0代入直线y ＝x +1中，得y ＝1， ∵直线y ＝x +1与y 轴的夹角是45°， ∴点P 到直线AB 的距离是：（135−1）×sin45°=85×√22=4√25， ∴△P AB 的面积是：3√2×4√252=125，故答案为：125．点睛：本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称﹣最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．4．（2020•长春一模）如图，直线y ＝x +1与抛物线y ＝x 2﹣4x +5交于A ，B 两点，点P 是y 轴上的一个动点，当△P AB 的周长最小时，点P 的坐标为 ．思路引领：首先确定点A 和点B 的坐标，然后根据轴对称，可以求得使得△P AB 的周长最小时点P 的坐标．解：{y =x +1y =x 2−4x +5，解得，{x =1y =2或{x =4y =5，∴点A 的坐标为（1，2），点B 的坐标为（4，5）， ∴AB =√(5−2)2+(4−1)2=3√2，作点A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′B 与y 轴的交于P ，则此时△P AB 的周长最小， 点A ′的坐标为（﹣1，2），点B 的坐标为（4，5）， 设直线A ′B 的函数解析式为y ＝kx +b ， {−k +b =24k +b =5，得{k =35b =135，∴直线A ′B 的函数解析式为y =35x +135， 当x ＝0时，y =135， 即点P 的坐标为（0，135），故答案为：（0，135）．点睛：本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称﹣最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．5．（2021春•汉阴县月考）如图，在三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，BC ＝11，把三角形ABC 向下平移至三角形DEF 后，AD ＝CG ＝6，则图中阴影部分的面积为 ．思路引领：先根据平移的性质得到AD ＝BE ＝6，EF ＝BC ＝11，S △ABC ＝S △DEF ，则BG ＝5，由于S阴影部分＝S 梯形BEFG ，所以利用梯形的面积公式计算即可．解：∵三角形ABC 向下平移至三角形DEF ， ∴AD ＝BE ＝6，EF ＝BC ＝11，S △ABC ＝S △DEF ， ∵BG ＝BC ﹣CG ＝11﹣6＝5， ∴S 梯形BEFG =12（5+11）×6＝48， ∵S 阴影部分+S △DBG ＝S △DBG +S 梯形BEFG ， ∴S 阴影部分＝S 梯形BEFG ＝48． 故答案为48．点睛：本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．6．（2021•仪征市二模）如图，Rt △ABC ≌Rt △FDE ，∠ABC ＝∠FDE ＝90°，∠BAC ＝30°，AC ＝4，将Rt △FDE 沿直线l 向右平移，连接BD 、BE ，则BD +BE 的最小值为 ．思路引领：根据平面直角坐标系，可以假设E（m，√3），则D（m+1，2√3），则BD+BE=√(m+1)2+(2√3)2+√m2+(√3)2，欲求BD+BE的最小值，相当于在x轴上找一点R（m，0），使得R到M（﹣1，2√3），N（0，√3）的距离和的最小值，如图1中，作点N关于x轴的对称点N′，连接MN′交x轴题意R，连接RN，此时RM+RN的值最小，最小值＝MN′的长．解：建立如图坐标系，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝4，∠BAC＝30°，∴BC=12AC＝2，AB=√3BC＝2√3，∴斜边AC上的高=2×2√34=√3，∵△ABC≌△FDE，∴EF＝AC＝4，斜边EF上的高为√3，∴可以假设E（m，√3），则D（m+1，2√3），∴BD+BE=√(m+1)2+(2√3)2+√m2+(√3)2，欲求BD+BE的最小值，相当于在x轴上找一点R（m，0），使得R到M（﹣1，2√3），N（0，√3）的距离和的最小值，如图1中，作点N关于x轴的对称点N′，连接MN′交x轴题意R，连接RN，此时RM+RN的值最小，最小值＝MN′=√12+(3√3)2=2√7，∴BD+BE的最小值为2√7，故答案为：2√7．点睛：本题考查轴对称最短问题，平面直角坐标系，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．7．（2019•乐山）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝30°，直线l⊥AB．当直线l沿射线BC方向，从点B开始向右平移时，直线l与四边形ABCD的边分别相交于点E、F．设直线l向右平移的距离为x，线段EF的长为y，且y与x的函数关系如图2所示，则四边形ABCD的周长是．思路引领：根据题意和函数图象中的数据，可以得到AB、BC、AD的长，再根据平行线的性质和图形中的数据可以得到CD的长，从而可以求得四边形ABCD的周长．解：∵∠B＝30°，直线l⊥AB，∴BE＝2EF，由图可得，AB＝4cos30°＝4×√32=2√3，BC＝5，AD＝7﹣4＝3，由图象可得，AN＝5﹣4＝1，ND＝CM＝7﹣5＝2，DM＝2，∵∠B＝30°，EF⊥AB，∴∠M＝60°，又∵DM＝MC＝2，∴△DMC是等边三角形，∴DC＝DM＝2，∴四边形ABCD的周长是：AB+BC+AD+CD＝2√3+5+3+2＝10+2√3，故答案为：10+2√3．点睛：本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8．（2019•大庆）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？思路引领：（1）由平行线得△ABC∽△ADE，根据相似形的性质得关系式；（2）由S=12•BD•AE；得到函数解析式，然后运用函数性质求解．解：（1）动点D运动x秒后，BD＝2x．又∵AB＝8，∴AD＝8﹣2x．∵DE∥BC，∴ADAB=AEAC，∴AE=6(8−2x)8=6−32x，∴y关于x的函数关系式为y=−32x+6（0＜x＜4）．（2）解：S△BDE=12⋅BD⋅AE=12×2x(−32x+6)=−32x2+6x（0＜x＜4）．当x=−62×(−32)=2时，S△BDE最大，最大值为6cm2．点睛：本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题，找到等量比是解题的关键．9．已知，大正方形的边长为4厘米，小正方形的边长为2厘米，状态如图所示．大正方形固定不动，把小正方形以1厘米/秒的速度向大正方形的内部沿直线平移，设平移的时间为t秒，两个正方形重叠部分的面积为S厘米2，完成下列问题：（1）平移到1.5秒时，重叠部分的面积为厘米2．（2）求小正方形在平移过程中，S与t的关系式．思路引领：（1）1.5秒时，小正方形向右移动1.5厘米，即可计算出重叠部分的面积；（2）分情况讨论：当0≤t＜2时，当2≤t≤4时，当4＜t≤6时，当t＞6时，分别用t表示出S即可．解：（1）1.5秒时，小正方形向右移动1.5厘米，S＝2×1.5＝3（厘米2）；故答案为：3；（2）分情况讨论：当0≤t＜2时，小正方形未完全进入大正方形，此时S＝2t；当2≤t≤4时，小正方形完全在大正方形内，此时S＝2×2＝4；当4＜t≤6时，小正方形逐渐离开大正方形，此时S＝2×2﹣2（t﹣4）＝12﹣2t；当t＞6时，无重叠部分，此时S＝0．综上所述：小正方形在平移过程中，当0≤t＜2时，S＝2t；当2≤t≤4时，S＝4；当4＜t≤6时，S＝12﹣2t；当t＞6时，S＝0．点睛：本题考查了正方形的性质，平移的性质，解决本题的关键是计算各个阶段S随t的变化规律．10．（2021•南通一模）如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝6cm，D是BC的中点．点E从A出发，以acm/s（a＞0）的速度沿AC匀速向点C运动，点F同时以1cm/s的速度从C出发，沿CB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，过点E作AC的垂线，交AD于点G，连接EF，FG．设它们运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当t＝2时，△ECF∽△BCA，求a的值；（2）当a=12时，以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形，求t的值；（3）当a＝2时，是否存在某个时间t，使△DFG是直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．思路引领：（1）先表示出CF ，AE ，EC ，由相似三角形的性质得出比例式建立方程求解即可得出结论；（2）先判断出△AEG ∽△ACD ，得出EG ，再判断出EG ＝DF ，最后分两种情况讨论，建立方程求解即可得出结论；（3）先表示出AG =52t 厘米，EG =32t ，DF ＝3﹣t 厘米，DG ＝5−52t （厘米），再分两种情况讨论，建立方程求解即可得出结论． 解：（1）∵t ＝2，∴CF ＝2厘米，AE ＝2a 厘米， ∴EC ＝（4﹣2a ） 厘米， ∵△ECF ∽△BCA ． ∴EC CB =CF AC．（2分）∴4−2a6=24．∴a =12．（2）由题意，AE =12t 厘米，CD ＝3厘米，CF ＝t 厘米． ∵EG ∥CD ， ∴△AEG ∽△ACD ． ∴EG CD=AEAC ，EG3=12t 4．∴EG =38t ．∵以点E 、F 、D 、G 为顶点的四边形是平行四边形， ∴EG ＝DF ．当0≤t ＜3时，38t =3−t ，∴t =2411．（7分）当3＜t ≤6时，38t =t −3，21 ∴t =245． 综上，t =2411或245 （3）∵点D 是BC 中点，∴CD =12BC ＝3，在Rt △ACD 中，根据勾股定理得，AD ＝5，由题意，AE ＝2t 厘米，CF ＝t 厘米，由（2）知，△AEG ∽△ACD ，∴AE AC =AG AD =EG CD ， ∴2t 4=AG 5=EG 3∴AG =52t 厘米，EG =32t ，DF ＝3﹣t 厘米，DG ＝5−52t （厘米）．若∠GFD ＝90°，则EG ＝CF ，32t =t ． ∴t ＝0，（舍去）若∠FGD ＝90°，则△ACD ∽△FGD ．∴AD CD=FD GD ， ∴53=3−t 5−52t ． ∴t =3219． 综上：t =3219，△DFG 是直角三角形．点睛：此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，分类讨论是解本题的关键．。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第27讲动态几何问题透视(1)
第二十七讲动态几何问题透视动态几何问题，是指以几何知识和图形为背景，渗入运动变化观点的一类问题，常见的形式是：点在线段或弧线上运动、图形的翻折、平移、旋转等，解这类问题的根本策略是：1．动中觅静这里的“静〞就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性．2．动静互化“静〞只是“动〞的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静〞的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动〞与“静〞的关系．3．以动制动注：几何动态既是一类问题，也是一种观点与思维方法，运用几何动态的观点，可以把外表看来不同的定理统一起来，可以找到探求几何中的最值、定值等问题的方法；更一般情况是，对于一个数学问题，努力去开掘更多结论，不同解法，通过弱化或强化条件来探讨结论的状况等，这就是常说的“动态思维〞．【例题求解】【例1】如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线上，按顺时针方向在上转动两次，使它转到A″B″C″的位置，设BC=1，AC=，那么顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线所围成的面积是．思路点拨解题的关键是将转动的图形准确分割．RtΔABC的两次转动，顶点A所经过的路线是两段圆弧，其中圆心角分别为120°和90°，半径分别为2和，但该路线与直线所围成的面积不只是两个扇形面积之和．【例2】如图，在⊙O中，P是直径AB上一动点，在AB同侧作AA′⊥AB，BB′⊥AB，且AA′=AP，BB′=BP，连结A′B′，当点P从点A移到点B时，A′B′的中点的位置( ) A．在平分AB的某直线上移动B．在垂直AB的某直线上移动⌒C．在AmB上移动D．保持固定不移动思路点拨画图、操作、实验，从中发现规律．【例3】如图，菱形OABC的长为4厘米，∠AOC＝60°，动点P从O出发，以每秒1厘米的速度沿O→A→B路线运动，点P出发2秒后，动点Q从O出发，在OA上以每秒1厘米的速度，在AB上以每秒2厘米的速度沿O→A→B路线运动，过P、Q两点分别作对角线AC的平行线．设P点运动的时间为秒，这两条平行线在菱形上截出的图形(图中的阴影局部)的周长为厘米，请你答复以下问题：(1)当=3时，的值是多少?(2)就以下各种情形：①0≤≤2；②2≤≤4；③4≤≤6；④6≤≤8．求与之间的函数关系式．(3)在给出的直角坐标系中，用图象表示(2)中的各种情形下与的关系．思路点拨本例是一个动态几何问题，又是一个“分段函数〞问题，需运用动态的观点，将各段分别讨论、画图、计算．注：动与静是对立的，又是统：一的，无论图形运动变化的哪一类问题，都真实地反映了现实世界中数与形的变与不变两个方面，从辩证的角度去观察、探索、研究此类问题，是一种重要的解题策略．建立运动函数关系就更一般地、整体-地把握了问题，许多相关问题就转化为求函数值或自变量的值．【例4】如图，正方形ABCD中，有一直径为BC的半圆，BC=2cm，现有两点E、F，分别从点B、点A同时出发，点E沿线段BA以1m／秒的速度向点A运动，点F沿折线A—D—C以2cm／秒的速度向点C运动，设点E离开点B的时间为2 (秒)．(1)当为何值时，线段EF与BC平行?(2)设1<<2，当为何值时，EF与半圆相切?(3)当1≤<2时，设EF与AC相交于点P，问点E、F运动时，点P的位置是否发生变化?假设发生变化，请说明理由；假设不发生变化，请给予证明，并求AP：PC的值．思路点拨动中取静，根据题意画出不同位置的图形，然后分别求解，这是解本例的根本策略，对于(1)、(2)，运用相关几何性质建立关于的方程；对于(3)，点P的位置是否发生变化，只需看是否为一定值．注：动态几何问题常通过观察、比拟、分析、归纳等方法寻求图形中某些结论不变或变化规律，而把特定的运动状态，通过代数化来定量刻画描述也是解这类问题的重要思想．【例5】⊙O1与⊙O2相交于A、B两点；如图(1)，连结O2 O1并延长交⊙O1于P点，连结PA、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点，连结C O2并延长交⊙O2于E点．⊙O2的半径为R，设∠CAD=．(1)求：CD的长(用含R、的式子表示)；(2)试判断CD与PO1的位置关系，并说明理由；(3)设点P′为⊙O1上(⊙O2外)的动点，连结P′A、P′B并分别延长交⊙O2于C′、D′，请你探究∠C′AD′是否等于? C′D′与P′O l的位置关系如何?并说明理由．学力训练1．如图，ΔABC中，∠C=90°，AB=12cm，∠ABC=60°，将ΔABC以点B为中心顺时针旋转，使点C旋转到AB延长线上的D处，那么AC边扫过的图形的面积是cm (π=3.14159…，最后结果保存三个有效数字)．2．如图，在RtΔABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC= cm，将ΔABC绕点B旋转至ΔA'BC'的位置，且使A、B、C'三点在同一条直线上，那么点A经过的最短路线的长度是cm．3．一块等边三角形的木板，边长为l，现将木板沿水平线翻滚，那么B点从开始至结束走过的路径长度为( )A．B．C．4 D．4．把ΔABC沿AB边平移到ΔA'B'C'的位置，它们的重叠局部的面积是ΔABC的面积的一半，假设AB=，那么此三角形移动的距离AA'是( )A．B．C．1 D．5．如图，正三角形ABC的边长为6厘米，⊙O的半径为r厘米，当圆心O从点A出发，沿着线路AB—BC—CA运动，回到点A时，⊙O随着点O的运动而移动．(1)假设r=厘米，求⊙O首次与BC边相切时AO的长；(2)在O移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况?写出不同的情况下，r的取值范围及相应的切点个数；(3)设O在整个移动过程中，在ΔABC内部，⊙O未经过的局部的面积为S，在S>0时，求关于r的函数解析式，并写出自变量r的取值范围．6．：如图，⊙O韵直径为10，弦AC=8，点B在圆周上运动(与A、C两点不重合)，连结BC、BA，过点C作CD⊥AB于D．设CB的长为，CD的长为．(1)求关于的函数关系式；当以BC为直径的圆与AC相切时，求的值；(2)在点B运动的过程中，以CD为直径的圆与⊙O有几种位置关系，并求出不同位置时的取值范围；(3)在点B运动的过程中，如果过B作BE⊥AC于E，那么以BE为直径的圆与⊙O能内切吗?假设不能，说明理由；假设能，求出BE的长．7．如图，A为∠POQ的边OQ上一点，以A为顶点的∠MAN的两边分别交射线OP于M、N两点，且∠MAN=∠POQ=(为锐角)．当∠MAN以点A为旋转中心，AM边从与AO重合的位置开始，按逆时针方向旋转(∠MAN保持不变)时，M、N两点在射线OP上同时以不同的速度向右平移移动．设OM=，ON= (>≥0)，ΔAOM的面积为S，假设cos、OA是方程的两个根．(1)当∠MAN旋转30°(即∠OAM=30°)时，求点N移动的距离；(2)求证：AN2=ON·MN；(3)求与之间的函数关系式及自变量的取值范围；(4)试写出S随变化的函数关系式，并确定S的取值范围．8．：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3cm，∠C＝60°，BD⊥CD．(1)求BC、AD的长度；(2)假设点P从点B开始沿BC边向点C以2cm／s的速度运动，点Q从点C开始沿CD 边向点D以1cm／s的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD 的面积S与运动时间之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围(不包含点P在B、C两点的情况)；(3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻，使线段PQ把梯形ABCD分成两局部的面积比为1：5？假设存在，求出的值；假设不存在，请说明理由．9．：如图①，E、F、G、H按照AE=CG，BF=DH，BF＝nAE(n是正整数)的关系，分别在两邻边长、的矩形ABCD各边上运动．设AE=，四边形EFGH的面积为S．(1)当n=l、2时，如图②、③，观察运动情况，写出四边形EFGH各顶点运动到何位置，使?(2)当n=3时，如图④，求S与之间的函数关系式(写出自变量的取值范围)，探索S随增大而变化的规律；猜测四边形EFGH各顶点运动到何位置，使；(3)当n=k (k≥1)时，你所得到的规律和猜测是否成立?请说明理由．10．如图1，在直角坐标系中，点E从O点出发，以1个单位／秒的速度沿轴正方向运动，点F从O点出发，以2个单位／秒的速度沿轴正方向运动，B(4，2)，以BE为直径作⊙O1．(1)假设点E、F同时出发，设线段EF与线段OB交于点G，试判断点G与⊙O1的位置关系，并证明你的结论；(2)在(1)的条件下，连结FB，几秒时FB与⊙O1相切?(3)如图2，假设E点提前2秒出发，点F再出发，当点F出发后，E点在A点左侧时，设BA⊥轴于A点，连结AF交⊙O1于点P，试问PA·FA的值是否会发生变化?假设不变，请说明理由，并求其值；假设变化，请求其值的变化范围．参考答案。
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动态几何（一）（讲义）
一、知识点睛
1.题型特点
动态几何问题，是在几何知识和具体的几何图形背景下，通过点、线、形的运动，图形的平移、旋转、对称等来探究图形有关性质和图形之间的数量关系、位置关系的问题．常结合图形面积、存在性问题等考查．
2.处理原则
①研究基本图形，分析运动状态，确定分段；
②画图，表达线段长；
③借助几何特征建等式．
3.难点拆解
解决动态几何问题需要注意分段和线段长表达．
①分段关键是找状态转折点．
动点问题状态转折点通常是折线转折处或动点相遇处；
图形运动问题状态转折点通常是边与顶点的交点．
②线段长表达的方法有：s vt，线段和差、边角关系、勾股
定理及相似．
二、精讲精练
1.（2011山西太原改编）如图，在平面直角坐标系中，四边
形OABC是平行四边形，直线l经过O，C两点，点A的坐标为(8，0)，点B的坐标为(11，4)．动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C的方向向点C运动．过点P作PM垂直于x轴，与折线OC CB 相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也
t），△MPQ 随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒（>0
的面积为S．
（1）点C的坐标为________，直线l的解析式为__________．（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．
（3）随着P，Q两点的运动，当点M在线段CB上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N．试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？
2.（2012重庆）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠
B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．
（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求线段BE的长．
（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFG为正方形B'EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B'EFG的边EF与AC 交于点M，连接B'D，B'M，DM，是否存在这样的t，使△B'DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B'EFG与△ADC 重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．
△中，∠C=90°，AB=50，3.（2008河北）如图，在Rt ABC
AC=30，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点．点P从点D 出发，沿折线DE-EF-FC-CD以每秒7个单位长度的速度匀速运动；点Q从点B出发，沿BA方向以每秒4个单位长度的速度匀速运动．过点Q作射线QK⊥AB，交折线BC-CA 于点G．点P，Q同时出发，当点P绕行一周回到点D时，
t>）．P，Q两点都停止运动，设点P，Q运动的时间是t秒（0
（1）D，F两点间的距离是__________________．
（2）射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分？
若能，求出相应的t值；若不能，说明理由．
（3）当点P运动到折线EF-FC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值．
（4）连接PG，当PG∥AB时，请直接
．．写出t的值．
4.（2012江苏无锡）如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠BAD=
60°．点P从点A出发，以3cm/s的速度，沿AC向点C 做匀速运动；与此同时，点Q也从点A出发，以1cm/s的速度，沿射线AB做匀速运动，当点P运动到点C时，P，Q两点都停止运动．设点P的运动时间为t（s）．
（1）当点P异于A，C时，请说明PQ∥BC；
（2）以点P为圆心、PQ的长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？
5.（2012广东梅州）如图，四边形OABC为矩形，A(6，0)，
C(0，23)，D(0，33)，射线l过点D且与x轴平行，点P，Q分别是l和x轴正半轴上的动点，且满足∠PQO=60°．
（1）①点B的坐标是____________；②∠CAO=_______度；
③当点Q与点A重合时，点P的坐标为_____________；
（2）设OA的中点为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形？若存在，请求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．
（3）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．
三、回顾与思考
______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________
【参考答案】
1.（1）（3，4），4=3y x ．（2）当502t ＜≤时，2216=+153S t t ；当532t ＜≤时，23223S t t =-+；当1633t ＜＜时，=6+32S t -．（3）60=13t ．
2.（1）BE =2．（2）存在，20=7t 或=3+17t -．（3）当403t ≤≤时，21=4S t ；当423t ＜≤时，212=+83S t t --；当1023t ＜≤时，235=+283S t t --；当1043t ＜≤时，15=+22S t -．
3.（1）25；（2）57=8t ；（3）185=41t 或15=2t ；（4）5=3t 或340=43
t ．4.
（1）证明略；（2）当=436t -或=2t 或133t -＜≤时，有一个交点；当4361t -＜≤时，有两个交点．
5.（1）①（6，23）；②30；③（3，33）．
（2）存在，点P 的横坐标为0或2或33-．
（3）当0≤x ≤3时，343
34+=x S ；当3＜x ≤5时，2
33313232-+-=x x S ；当5＜x ≤9时，312332+-
=x S ；
当x ＞9时，x
S 354 ．。