压强公式及气体内能

压强公式

推导：已知某气体分子i 质量m 、在容器内有N 个分子、容器（长方体）的长l 1、宽l 2、高l 3

。

1. 分子m 碰撞容器壁A 1面一次动量的改变为：令X 方向为正方向，

)2(-ix ix ix mv mv mv p -=--==∆初动量末动量

2. 在A 1与A 2面往返一次的时间为：ix v l t 12=

可知：单位时间内分子与A 1碰撞的次数为12l v ix 。 3. 单位时间内动量的改变为： 1

2)2(l v mv p ix ix ⋅-=∙=∆单位时间内碰撞次数碰撞一次的动量改变

4. 由p t F I ∆=∆∙=，及F F -=，F 为分子对器壁的平均冲力

5. 单位时间内平均力的大小：对于一个分子1

2

1122l mv s t l v mv F ix ix ix ==∙⋅=）（，对于整体分子而言，A 1面单位时间内受到的力∑=N i ix l mv F 12 6. A 1面压强P 为： k x V N x N

N i ix n v m n v m v m n v V Nm N v l l l Nm l l F S F P ε32)21(32n 3122221232132========∑= 动能分子分母同乘，其中n 为分子数密度，n 在容器中是一个常数，：

322v v x =各个方向上速度分量平方的平均值是一样的。 说明：1> 压强具有统计意义：压力是大量分子对容器壁碰撞统计平均结果，它不是由分子的重量产生的 2> 适用于理想气体、平衡态 3> 与容器的形状无关 4> 分子间的碰撞对结论无影响

温度公式 温度的统计意义

)21(323122v m n v nm P nkT V NkT P ====，kT v m 2

3212=⇒，即：kT 23k =ε温度公式~~ 说明：1> 温度公式的适用条件：理想气体、平衡态 2> 温度的微观实质：分子热运动的平均动能的量度（分子热运动的剧烈程度）

能量按自由度均分原理、理想气体的内能

1. 自由度：自由度(degree of freedom, df)在数学中能够自由取值的变量个数，如有3个变量x 、y 、z ，

但x+y+z=18，因此其自由度等于2。在统计学中，自由度指的是计算某一统计量时，取值不受限制的变量个数。

1> 质点自由度

（1）一个质点在空间任意运动，需用三个独立坐标（x ，y ，z ）确定其位置。所以自由质点有三个平动自由度 i = 3。

（2）如果对质点的运动加以限制（约束），自由度将减少。如质点被限制在平面或曲面上运动，则 i= 2；如果质点被限制在直线或平面曲线（不是空间曲线）上运动，则其自由度 i = 1。

2> 刚体自由度

一个刚体在空间任意运动时，可分解为质心 O’ 的平动和绕通过质心某轴线的定点转动，它既有平动自由度还有转动自由度。确定刚体质心O’的位置，需三个独立坐标（x ，y ，z ）—自由刚体有三个平动自由度 t = 3；确定刚体通过质心轴的空间方位（三个方位角（α，β，γ）中只有其中两个是独立的——

由1cos cos cos 222=++θβα，确定了α、β就能知道θ）需两个转动自由度；另外还要确定刚体绕通过质心轴转过的角度θ──还需一个转动自由度。这样，确定刚体绕通过质心轴的转动，共有三个转动自由度 r = 3。所以，一个任意运动的刚体，总共有6个自由度，即3个平动自由度和3个转动自由度，即i = t + r = 3 + 3 = 6

3> 分子自由度

自由度是物体运动方程中可以写成的独立坐标数，单原子分子有3个自由度，双原子，三原子不考虑振动相当于刚体，分别有5个（3平2转）、6个自由度（3平3转），考虑振动后，双原子加1个，三原子加2个。

（1）单原子分子：如氦He 、氖Ne 、氩Ar 等分子只有一个原子，可看成自由质点，所以有3个平动自由度 i = t = 3。

（2）刚性双原子分子如氢 、氧 、氮 、一氧化碳CO 等分子，两个原子间联线距离保持不变。就像两个质点之间由一根质量不计的刚性细杆相连着（如同哑铃），确定其质心O’的空间位置，需3个独立坐标（x ，y ，z ）；确定质点联线的空间方位，需两个独立坐标（如α，β），而两质点绕联线的的转动没有意义。所以刚性双原子分子既有3个平动自由度，又有2个转动自由度，总共有5个自由度 i = t + r =3 + 2 = 5。 （

（3）刚性三原子或多原子分子：如 H2O 、氨 等，只要各原子不是直线排列的，就可以看成自由刚体，共有6个自由度，i = t + r = 3 + 3 = 6。 (4) 对于非刚性分子，由于在原子之间相互作用力的支配下，分子内部还有原子的振动，因此还应考虑振动自由度（以S 表示）。如非刚性双原子分子，好像两原子之间有一质量不计的细弹簧相连接，则振动自由度 S = 1。一般在常温下，气体分子都近似看成是刚性分子，振动自由度可以不考虑。

2. 能量按自由度均分原理 对理想气体kT v m 2

3212=，由统计规律知：222231v v v v z y x === 222221212121z y x v m v m v m v m ++=，故有：kT v m v m v m z y x 2

1212121222=== 由上式可知：在温度为T 平衡态下，分子的每一个自由度都具有相同的平均动能，其大小都等于kT/2。

3. 理想气体的内能：见课本P7

4.