高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结91876

圆锥曲线
1、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

在椭圆122
22=+b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0
202y a x b ； 在双曲线22
221x y a b -=中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0
202y a x b ；在抛物线22(0)y px p =>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0
p y 。

提醒：因为0∆>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0∆>！
2．了解下列结论
（1）双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为02
222=-b y a x ； （2）以x a b y ±=为渐近线（即与双曲线12222=-b
y a x 共渐近线）的双曲线方程为λλ(2222=-b y a x 为参数，λ≠0）。

（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为22
1mx ny +=； （4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为22b a ，焦准距（焦点到相应准线的距离）为2
b c
，抛物线的通径为2p ，焦准距为p ；
（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；
（6）若抛物线22(0)y px p =>的焦点弦为AB ，1122(,),(,)A x y B x y ，则①12||AB x x p =++；②2
21212,4
p x x y y p ==- （7）若OA 、OB 是过抛物线22(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p
3、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：
（1）在ABC ∆中，给出()12AD AB AC =+,等于已知AD 是ABC ∆中BC 边的中线; （2）在ABC ∆中，给出222==，等于已知O 是ABC ∆的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外
心是三角形三边垂直平分线的交点）；
（3）在ABC ∆中，给出=++，等于已知O 是ABC ∆的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；
（4）在ABC ∆中，给出⋅=⋅=⋅，等于已知O 是ABC ∆的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；
（5） 给出以下情形之一：①//；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线. （6） 给出0=⋅,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=⋅m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=⋅m ,等于已知AMB ∠是锐角,
（8
）
给出=⎫⎛+λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/ （9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-⋅+，等于已知ABCD 是菱形;
（10） 在平行四边形ABCD 中，给出||||AB AD AB AD +=-，等于已知ABCD 是矩形;
4.圆锥曲线中线段的最值问题：
例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42) (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =，共线时，距离和最小。

（2）B 在抛物线内，如图，作QR ⊥l 交于R ，则当B 、Q 、R 解：（1）（2，2）（2）（1,4
1） 1、已知椭圆C 1的方程为14
22
=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 的左、右焦点。

(1) 求双曲线C 2的方程；
(2) 若直线l ：2+=kx y 与椭圆C 1及双曲线C 2恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 满足6<⋅(其中O 为原点)，求k 的取值范围。

解：（Ⅰ）设双曲线C 2的方程为12222=-b
y a x ，则.1,31422222==+=-=b c b a a 得再由 故C 2的方程为22 1.3x y -=（II ）将.0428)41(14
22222
=+++=++=kx x k y x kx y 得代入 由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得
,0)14(16)41(16)28(22221>-=+-=∆k k k 即21.4
k >① 0926)31(13
22222
=---=-+=kx x k y x kx
y 得代入将.由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A ，B 得2222222130,1 1.3()36(13)36(1)0.
k k k k k ⎧-≠⎪≠<
⎨∆=-+-
=->⎪⎩
即且 2
9(,),(,),1366,(A A B B A B A B A B A B A B A B A B A B A x y B x y x x x x k OA OB x x y y x x y y x x kx kx -+=
⋅=-⋅<+<+=++设则由得而
2
2
22
2
2
(1)()2
9
(1)2
1313
37
.
31
A B A B
k x x x x
k
k k
k
k
=+++
-
=+⋅+⋅+
--
+
=
-
22
22
371513
6,0.
3131
k k
k k
+-
<>
--
于是即解此不等式得22
131
.
153
k k
><
或③
由①、②、③得.1
15
13
3
1
4
1
2
2<
<
<
<k
k或
故k
的取值范围为
311313
(1,(,)(,)(,1)
2215
---
2.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MB//OA， MA•AB = MB•BA，M点的轨迹为曲线C。

（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l 为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。

(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以MA=（-x,-1-y）,MB=(0,-3-y),AB=(x,-2).再由愿意得知（MA+MB）•AB=0,即（-x,-4-2y）•(x,-2)=0.
所以曲线C的方程式为y=
1
4
x2-2. (Ⅱ)设P(x
,y
)为曲线C：y=
1
4
x2-2上一点，因为y'=
1
2
x,所以l的斜率为
1
2
x
因此直线l的方程为
000
1
()
2
y y x x x
-=-，即2
00
220
x x y y x
-+-=。

则O点到l的距离
2
d=
.又2
1
2
4
y x
=-，所以
2
1
41
2,
2
x
d
+
==≥
当2
x=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.
3.设双曲线
22
22
1
x y
a b
-=（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( )
4.过椭圆
22
22
1
x y
a b
+=(0
a b
>>)的左焦点
1
F作x轴的垂线交椭圆于点P，
2
F为右焦点，若
12
60
F PF
∠=，则椭圆的离心率为
5.已知双曲线)0
(1
22
2
2
>
=
-b
b
y
x
的左、右焦点分别是
1
F、
2
F，其一条渐近线方程为x
y=，点)
,3
(
y
P在双曲线
上.则
1
PF·
2
PF＝( )0
6.已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2
:8C y x =相交于A B 、两点，F 为C 的焦点，若||2||FA FB =，则k =( )
7.设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1，0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点。

若AB 的中点为（2，2），则直线l 的方程为_____________.
8.椭圆22
192
x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF =；12F PF ∠的大小为.。