高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结91876

圆锥曲线

1、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

在椭圆122

22=+b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0

202y a x b ； 在双曲线22

221x y a b -=中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0

202y a x b ；在抛物线22(0)y px p =>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0

p y 。 提醒：因为0∆>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0∆>！

2．了解下列结论

（1）双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为02

222=-b y a x ； （2）以x a b y ±=为渐近线（即与双曲线12222=-b

y a x 共渐近线）的双曲线方程为λλ(2222=-b y a x 为参数，λ≠0）。 （3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为22

1mx ny +=； （4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为22b a ，焦准距（焦点到相应准线的距离）为2

b c

，抛物线的通径为2p ，焦准距为p ；

（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；

（6）若抛物线22(0)y px p =>的焦点弦为AB ，1122(,),(,)A x y B x y ，则①12||AB x x p =++；②2

21212,4

p x x y y p ==- （7）若OA 、OB 是过抛物线22(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p

3、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：

（1）在ABC ∆中，给出()12AD AB AC =+,等于已知AD 是ABC ∆中BC 边的中线; （2）在ABC ∆中，给出222==，等于已知O 是ABC ∆的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外

心是三角形三边垂直平分线的交点）；

（3）在ABC ∆中，给出=++，等于已知O 是ABC ∆的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；

（4）在ABC ∆中，给出⋅=⋅=⋅，等于已知O 是ABC ∆的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；

（5） 给出以下情形之一：①//；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线. （6） 给出0=⋅,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=⋅m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=⋅m ,等于已知AMB ∠是锐角,

（8

）

给出=⎫⎛+λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/ （9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-⋅+，等于已知ABCD 是菱形;

（10） 在平行四边形ABCD 中，给出||||AB AD AB AD +=-，等于已知ABCD 是矩形;

4.圆锥曲线中线段的最值问题：

例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42) (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =，共线时，距离和最小。

（2）B 在抛物线内，如图，作QR ⊥l 交于R ，则当B 、Q 、R 解：（1）（2，2）（2）（1,4

1） 1、已知椭圆C 1的方程为14

22

=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 的左、右焦点。

(1) 求双曲线C 2的方程；

(2) 若直线l ：2+=kx y 与椭圆C 1及双曲线C 2恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 满足6<⋅(其中O 为原点)，求k 的取值范围。

解：（Ⅰ）设双曲线C 2的方程为12222=-b

y a x ，则.1,31422222==+=-=b c b a a 得再由 故C 2的方程为22 1.3x y -=（II ）将.0428)41(14

22222

=+++=++=kx x k y x kx y 得代入 由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得

,0)14(16)41(16)28(22221>-=+-=∆k k k 即21.4

k >① 0926)31(13

22222

=---=-+=kx x k y x kx

y 得代入将.由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A ，B 得2222222130,1 1.3()36(13)36(1)0.

k k k k k ⎧-≠⎪≠<

⎨∆=-+-

=->⎪⎩

即且 2

9(,),(,),1366,(A A B B A B A B A B A B A B A B A B A B A x y B x y x x x x k OA OB x x y y x x y y x x kx kx -+=

⋅=-⋅<+<+=++设则由得而

2

2

22

2

2

(1)()2

9

(1)2

1313

37

.

31

A B A B

k x x x x

k

k k

k

k

=+++

-

=+⋅+⋅+

--

+

=

-

22

22

371513

6,0.

3131

k k

k k

+-

<>

--

于是即解此不等式得22

131

.

153

k k

><

或③

由①、②、③得.1

15

13

3

1

4

1

2

2<

<

<

k或

故k

的取值范围为

311313

(1,(,)(,)(,1)

2215

---

2.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MB//OA， MA•AB = MB•BA，M点的轨迹为曲线C。

（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l 为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。

(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以MA=（-x,-1-y）,MB=(0,-3-y),AB=(x,-2).再由愿意得知（MA+MB）•AB=0,即（-x,-4-2y）•(x,-2)=0.

所以曲线C的方程式为y=

1

4

x2-2. (Ⅱ)设P(x

,y

)为曲线C：y=

1

4

x2-2上一点，因为y'=

1

2

x,所以l的斜率为

1

2

x

因此直线l的方程为

000

1

()

2

y y x x x

-=-，即2

00

220

x x y y x

-+-=。

则O点到l的距离

2

d=

.又2

1

2

4

y x

=-，所以

2

1

41

2,

2

x

d

+

==≥

当2

x=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.

3.设双曲线

22

22

1

x y

a b

-=（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( )

4.过椭圆

22

22

1

x y

a b

+=(0

a b

>>)的左焦点

1

F作x轴的垂线交椭圆于点P，

2

F为右焦点，若

12

60

F PF

∠=，则椭圆的离心率为

5.已知双曲线)0

(1

22

2

2

>

=

-b

b

y

x

的左、右焦点分别是

1

F、

2

F，其一条渐近线方程为x

y=，点)

,3

(

y

P在双曲线

上.则

1

PF·

2

PF＝( )0