第17课时：抛物线与几何图形(3)
新教材2023版高中数学第二章平面解析几何2.7抛物线及其方程2.7.1抛物线的标准方程课件
答案： C
解析：如图所示，过点P作PM⊥准线l，垂足为M， 则|PF|＝|PM|，当且仅当A，P，M三点共线时， |PF|＋|PA|取得最小值|AM|＝2＋32＝3.5.
(3)若位于y轴右侧的动点M到F(12，0)的距离比它到y轴的距离大12.求 点M的轨迹方程．
解析：设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，
由抛物线定义得5＝|AF|＝
m
+
p 2
.
又(－3)2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9，
故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
题型2 抛物线定义的应用 【思考探究】
1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，这句话的含义是什么？ [提示] 抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M； 一个定点F，即抛物线的焦点；一条定直线l，即为抛物线的准线；一个定 值，即点M与点F的距离和M到l的距离之比等于1.定点F不能在直线上，否 则，动点M的轨迹就不是抛物线． 2．如何通过抛物线定义实现距离转化？ [提示] 根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准 线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从 而简化某些问题． 3．如何利用抛物线定义解决与抛物线有关的最值问题？ [提示] 在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用 抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
方向也随之确定．
基础自测
1.抛物线x＝－18y2的焦点坐标是(
)
A．(－2，0) B．(2，0)
C．(0，312)
D．(0，－312)
答案：A
2．抛物线x2＝4y的准线方程是( ) A．x＝1 B．x＝－1 C．y＝1 D．y＝－1
抛物线实践应用教学反思(3篇)
第1篇一、教学背景抛物线是高中数学中重要的几何图形之一，它不仅具有丰富的几何性质，而且在实际生活中也有着广泛的应用。
为了提高学生对抛物线的认识和应用能力，我在教学过程中，结合教材内容，设计了一系列的实践应用活动。
以下是对这节课的教学反思。
二、教学目标1. 让学生了解抛物线的定义、性质和图形特点。
2. 培养学生运用抛物线知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生的创新思维和团队合作精神。
三、教学过程1. 导入新课通过展示生活中常见的抛物线图形，如滑梯、抛物线桥等，激发学生的学习兴趣，引出抛物线的概念。
2. 探究抛物线的性质通过引导学生观察、分析，总结出抛物线的性质，如对称性、开口方向、顶点坐标等。
3. 实践应用（1）设计抛物线桥让学生分组讨论，设计一座抛物线桥，要求桥面平滑，连接两端的直线段。
在设计中，要考虑抛物线的开口方向、顶点坐标等因素。
（2）分析抛物线运动轨迹让学生观察篮球在空中的运动轨迹，分析其是否为抛物线，并解释原因。
4. 总结与反思引导学生总结本节课所学内容，回顾抛物线的性质和应用，并对自己的学习进行反思。
四、教学反思1. 教学方法本节课采用了启发式教学和合作学习的方式，让学生在探究、讨论中主动学习。
通过实践应用，使学生将理论知识与实际生活相结合，提高了学生的学习兴趣和积极性。
2. 教学内容教学内容贴近生活，具有实际意义。
通过设计抛物线桥、分析抛物线运动轨迹等活动，使学生更好地理解抛物线的性质和应用。
3. 学生参与度学生在课堂上的参与度较高，能够积极参与讨论和实践活动。
但在设计抛物线桥时，部分学生存在思维定势，未能充分发挥创新思维。
4. 教学效果通过本节课的学习，学生对抛物线的性质和应用有了更深入的认识，能够运用所学知识解决实际问题。
但在课堂实践活动中，部分学生的合作能力有待提高。
五、改进措施1. 加强学生创新思维的培养在实践活动设计中，鼓励学生从不同角度思考问题，提出更多有创意的设计方案。
抛物线过焦点弦性质PPT教学课件
淮海战役
1948年11月6日至1949年1月10 日，邓小平、刘伯承、陈毅、 粟裕、谭震林等，统一指挥中 原解放军和华东解放军，在以 徐州为中心的广大地区，展开 了淮海战役。解放军先后在碾 庄、双堆集顽强作战，歼灭大 量敌军。徐州的国民党军队见 大势已去，向西南逃窜。人民 解放军解放徐州后，进行围歼， 在河南东部陈官庄全歼敌军。
●淮海战役
支援前线的民工小车队
●淮海战役
民工大车运输队，为解 放军运送军需物资
民工组成担架队，帮助子弟兵运送伤员
●淮海战役
淮海战役烈士纪念塔塔身浮雕
淮海战役烈士纪念塔，1959年4月4日由国务院决定在江苏省徐州市兴 建；1960年4月5日奠基；1965年10月1日建成开放。
淮海战役共歼敌五十万 多人，基本解放了长江 以北的华东、中原地区， 奠定了解放长江以南各 省的基础。
●辽沈战役
人民解放军强渡辽河，追歼向营口逃窜的国民党军队
●辽沈战役
辽沈战役纪念馆
原辽沈战役纪念馆始建于1958年，1988年重建新馆。新馆坐落在锦州 市区北部青松翠柏掩映的辽沈战役烈士陵园，总建筑面积1.3万平方米，主 体建筑8600平方米。在展厅正面建有一座中国特色的牌坊式的凯旋门。馆 内建有全景画馆，用绘画再现锦州攻坚战的全景。各展厅向人们展示了中 国现代东北解放战争时期珍贵的历史实物和照片。
●淮海战役
淮海战役总前委
淮海战役总前委合影。自左向右：粟裕、邓小平、刘伯承、陈 毅、谭震林。
●淮海战役
华东野战军部队经鲁西南地区向徐州挺进的情形
●淮海战役
国民党徐州守敌狼狈逃窜的情形
碾庄战场
●淮海战役
淮海战役的胜利，是人民群众 用小车推出来的。
——陈毅
高中数学高考17第一部分 板块二 专题五 解析几何 第3讲 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题(大题)
设M(x1，y1)，M′(x2，y2)， 设 MF1 的方程为 x＝my－ 3，
x＝my－ 3，
由x42＋y2＝1
得(m2＋4)y2－2 3my－1＝0，
故yy11＋y2＝y2＝－mm2 221＋＋3m44.，
设F1M与F2N的距离为d，四边形F1F2NM的面积为S，
则 S＝12(|F1M|＋|F2N|)d＝12(|F1M′|＋|F1M|)d＝12|MM′|d＝ S△MF2M′,
2
PART TWO
真题体验 押题预测
真题体验 (2018·全国Ⅰ，文，20)设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2,0)，过点A的直线l与 C交于M，N两点. (1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
解 当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2， 可得点M的坐标为(2,2)或(2，－2). 所以直线 BM 的方程为 y＝12x＋1 或 y＝－12x－1. 即x－2y＋2＝0或x＋2y＋2＝0.
所以 y1＋y2＝2k，y1y2＝－4.
直线 BM，BN 的斜率之和 kBM＋kBN＝x1y＋1 2＋x2y＋2 2＝x2y1＋x1x＋1y22＋x22＋y12＋ y2.
①
将 x1＝yk1＋2，x2＝yk2＋2 及 y1＋y2，y1y2 的表达式代入①式分子，
可得 x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝2y1y2＋4kky1＋y2＝－8k＋8＝0.
当且仅当 t2＝92，即 t＝±322时取等号.
故△BPQ
的面积的最大值为
2 2.
热点二 范围问题
圆锥曲线的范围问题的常见解法 (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形 性质来解决； (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系或不等关系或已知 参数与新参数之间的等量关系等，则可利用这些关系去求参数的范围.
【课件】抛物线的几何性质课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
它的焦点坐标为6, 0,准线方程为x 6,
当p 4时,抛物线的方程为y2 8x,
它的焦点坐标为2, 0,准线方程为x 2.
标准 方程
图形
y
焦点
准线 范围
对称 顶 轴点
离心 率
oF x
例3.(抛物线的焦点弦问题)
已知过抛物线y2 2 px p 0的焦点F的直线l交抛 物线于A x1, y1 , B x2 , y2 两点.
问题1:求证 :| AB | x1 x2 p
解 : AB AF BF
p
p
( x1
2
) ( x2
) 2
x1 x2 p
例3.(抛物线的焦点弦问题)
物线于A x1, y1 , B x2 , y2 两点.
问题4 : 求证 : x1
x2
p2 4 , y1
y2 p2 .
解 :由问题2的解法知:y1 y2 p2 ,
x1
y12 2p
,
x2
y22 2p
,
x1x2
( y1 y2 )2 4P2
P2 4
例3.(抛物线的焦点弦问题)
已知过抛物线y2 2 px p 0的焦点F的直线l交抛 物线于A x1, y1 , B x2 , y2 两点.
(5) AM1 2 M1B 2 AB 2 AF BF 2
AA1 BB1
2
2 MM1
2 4 MM1 2
例3.(抛物线的焦点弦问题)
已知过抛物线y2 2 px p 0的焦点F的直线l交抛
物线于A x1, y1 , B x2 , y2 两点.
问题9 : (1)A,O, B1三点共线;(2)B,O, A1三点共线;
关于在高二数学教案：抛物线的简单几何性质及方程
一．课题：抛物线及其标准方程（1）二．教学目标：1.使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．2.要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．3.通过一个简单实验引入抛物线的定义，可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育．三．教学重、难点：1. 重点：抛物线的定义和标准方程．(解决办法：通过一个简单实验与椭圆、双曲线的定义相比较引入抛物线的定义；通过一些例题加深对标准方程的认识)．2. 难点：抛物线的标准方程的推导．(解决办法：由三种建立坐标系的方法中选出一种最佳方法，避免了硬性规定坐标系．)四、教学过程(一)导出课题：我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线．今天我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程．课题是“抛物线及其标准方程”．请大家思考两个问题：问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形．引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线．(二)抛物线的定义1．回顾：平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？2．简单实验如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A 到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结．3．定义：平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．(三)抛物线的标准方程设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结建立直角坐标系的几种方案：方案1：(由第一组同学完成，请一优等生演板．)以l为y轴，过点F与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系(图2-30)．设定点F(p，0)，动点M的坐标为(x，y)，过M作MD⊥y轴于D，抛物线的集合为：p={M||MF|=|MD|}．化简后得：y2=2px p2(p＞0)．方案2：(由第二组同学完成，请一优等生演板)以定点F为原点，平行l的直线为y轴建立直角坐标系(图2-31)．设动点M的坐标为(x，y)，且设直线l的方程为x=-p，定点F(0，0)，过M作MD⊥l于D，抛物线的集合为：p={M||MF|=|MD|}．化简得：y2=2px+p2(p＞0)．方案3：(由第三、四组同学完成，请一优等生演板．)取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(图2-32)．抛物线上的点M(x，y)到l的距离为d，抛物线是集合p={M||MF|=d}．化简后得：y2=2px(p＞0)．比较所得的各个方程，应该选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢？引导学生分析出：方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程．这是因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的2倍．由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：由学生讲清为什么会出现四种不同的情形，四种情形中P＞0；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆．即：当对称轴为x轴时，方程等号右端为±2px，相应地左端为y2；当对称轴为y轴时，方程等号的右端为±2py，相应地左端为x2．同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号．(四)四种标准方程的应用例题：(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2)，求它的标准方程．方程是x2=-8y．练习：根据下列所给条件，写出抛物线的标准方程：(1)焦点是F(3，0)；答案是：(1)y2=12x；(2)y2=-x；(3)焦点到准线的距离是2．(3)y2=4x，y2=-4x，x2=4y，x2=-4y．由三名学生演板，教师予以订正．这时，教师小结一下：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数p，因此只要给出确定p的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程．当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解．(五)小结：本次课主要介绍了抛物线的定义，推导出抛物线的四种标准方程形式，并加以运用．五、作业：到准线的距离是多少？点M的横坐标是多少？2．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)x2=2y；(2)4x2+3y=0；(3)2y2+5x=0；(4)y2-6x=0．3．根据下列条件，求抛物线的方程，并描点画出图形：(1)顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6；(2)顶点在原点，对称轴是y轴，并经过点p(-6，-3)．4．求焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程．作业答案：3．(1)y2=24x，y2=-2x，(2)x2=-12y(图略)4．分别令x=0，y=0得两个焦点F1(0，-3)，F2(4，0)，从而可得抛物线方程为x2=-12y或y2=16x.一．课题：抛物线及其标准方程（2）二．教学目标：1.会用定义法、直译法、参数法，求与抛物线有关的动点的轨迹方程；2.会判断直线与抛物线的位置关系；3.会求解与抛物线的焦点弦有关的问题.三．教学重、难点：目标1，2，3。
抛物线课件及练习题含详解
为 y k(x p).
2
又因为A,B两点是直线AB与抛物线的交点，则
y k(x y2 2px
p ), 2
x2
(
2p k2
p)x
p2 4
0,
所以x1·x2=p2 .
4
由|AF|·|BF|=
x1
x2
p 2
x1
x
2
p2 4
1. 3
得 p2 p (4 p) 1 ,
2 23
3
即 2p 所1 ,以 p 1 ,
2p y21p2y1y1y1 y2
x
x1
,
= 2p x y1y2 2p (x y1y2 ),
y1 y2 y1 y2 y1 y2
2p
将y1·y2=-4p2代入上式得y 2p x 2p,
y1 y2
故直线AB恒过定点(2p,0).
【方法技巧】利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题. (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题. (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题. (4)焦点：解决焦点弦问题.
|AF|=1，|BF|= 1，求抛物线及直线AB的方程.
3
【解题指南】设出A，B两点的坐标，根据抛物线定义可分别表
示出|AF|和|BF|，进而可求得|AF|+|BF|，求得x1+x2的表达
式，表示出|AF|·|BF|，建立等式求得p，则抛物线方程可得.
再由|AB|=
2p sin 2
得4， sin2θ=
(2)y2=2px(p＞0)的焦点为( p，0)，由题意得
2
( p 2)2 解9 得 5p，=4或p=-12(舍去).
2
抛物线定义
M H
问题:如果变换抛物线的位置会有几种情况?
y
y
y
y
图形
OF
x
FO
x
F
l O
x
F
3. l
O
x
l
l
引
深 拓
标准 方程
y2 2 px
y 2 2 px x 2 2 py
x2 2 py
宽. 加 深
焦点 位置
X轴的正半轴
X轴的负半轴
y轴的正半轴
y轴的负半轴
理 解
焦点 坐标
F ( p ,0) 2
培养观察能力和概括能力，突出重点、突破难 点。
3.引深拓宽. 加深理解
培养比较分析、归纳总结的能力。全面的认识 理解抛物线。
4.小试身手. 巩固知识
巩固抛物线的概念和标准方程。
5.自主探究 .提升能力
6.回顾小结
培养自主探究意识和运用知识的能力。 回顾、再现本节的重要知识点
1.创设情景.导入新课
问题： 生活中许多现象都能形成轨迹，那么
二、 教学目标
1.知识目标：掌握抛物线的定义，掌握抛物线的四种 标准方程形式，及其对应的焦点、准线。 2.能力目标：通过对抛物线概念和标准方程的学习， 进一步提高用坐标法解决几何问题的能力。培养学生 分析、对比和概括的能力。 3.德育目标：通过抛物线概念和标准方程的学习，培 养学生勇于探索、严密细致的科学态度，通过提问、 多媒体演示、讨论、思考等教学活动，调动学生积极 参与教学的积极性，培养良好的学习习惯。
（1）焦点是F（3，0）；y2 = 12x
（2）准线方程是y = 1 4
x2 = y
（3）焦点到准线的距离是2。 y2 = ±4x x2 = ±4y
3.3.2抛物线简单几何性质 课件(共21张PPT)
2
y2
2
2
3 ，∴ 2 0 y 0 3 ∴y =2
1
2
的距离 d=1-（-
或 y =-6（舍去）
，∴x=
2
3
1
=
.
）
2
2
∵点 M 到抛物线焦点的距离等于点 M 到抛物线 y2=2x 的准线的距离，
3
∴点 M 到该抛物线焦点的距离为 2 .
y2
2
=1
7.设 P 是抛物线 y 2 4 x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点.
(x2, y2)
即时巩固
过点M(2,0)作斜率为1的直线l，交抛物线y2=4x于两点A、B，求焦点，求|AB|．
解：设A(1 ,1 ), B(2 ,2 ),
直线l为 = − 2，代入抛物线方程，得x2-8x+4=0，
∴ 1 +2 =8, 1 2 =4
∴ =
1 + 2 ∙
线准线的距离等于（
A.2
B.1
C ）
C.4
D.8
3.已知抛物线 y 2 2 px( p 0) 的准线与圆 ( x 3) 2 y 2 16 相切，则 p 的值为（ C ）
A.
1
2
B.1
C.2
D.4
4.抛物线 x 2 8 y 焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点， PA l ，A 为垂足，如果直线 AF 的倾
第一章
3.3
抛物线
3.3.2 抛物线的简单几何性质
学习目标
1.了解抛物线的简单几何性质.
2.能运用抛物线的几何性Байду номын сангаас解决相关问题.
3.3.2抛物线的简单几何性质PPT课件(人教版)
OF
x
B
6、通径 通径的长度：2p
通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交 于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。
思考?：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？
是
归纳特点
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 限延伸,但它没有渐近线;
2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线; 4.抛物线的离心率是确定的,为1;
1.解：设两交点为A(x1 , y1) , B(x2 , y2) ，抛物线
方程为
y2=2px
(p>0),
则焦点
F
p 2
,
0
,
AB
:
y
k(
x
p 2
)
y2 2 px y k( x
p) 2
k2x2
p(k 2
2) x
k2 p2 4
0
p(k 2 2)
p2
x1 x2
k2
, x1 x2 4
2
点M在抛物线上，所以 -2 2 2 p 2
即p=2
因此，所求抛物线标准方程是 y2 4 x
说明：当焦点在 x(y)轴上,开口方向不定时, 设为 y2=2mx(m ≠0) (x2=2my (m≠0)), 可避免讨论.
思考
顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴 ,并且经过点
M(2 , 2 2) 的抛物线有几条?求它的标准方程
在方程①中，当 y=0时，x=0， O F
x
因此抛物线①的顶点就是坐标原点。
4、离心率 e=1.
抛物线上的点p到焦点 的距离和它到准线的距
离之比，叫做抛物线的离心率，用e表示。由抛物
高中数学_抛物线的几何性质教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计板书：§8.6 抛物线的简单几何性质抛物线的几何性质 例题 练习 课时小结 教 学 过 程教学内容 教师导拨与学生活动 设计意图 一、知识回顾1、 抛物线的定义：平面内与一个点F 和一条定直线L 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点F →焦点，直线L →准线。
2、 抛物线的标准方程。
图形 标准方程焦点坐标准线方程抛物线的定义及标准方程由学生口述，老师展示结论提出这一问题的研究方法——对比、数形结合二、引入课题若大桥的桥拱为抛物线型，其水面宽度为8米，拱顶离水面4米，方形货船宽4米，高2.6米. 问：能安全通过大桥吗?提出问题由学生完成，引导学生由“数学模型”到“数学问题”通过“过桥”事件模型引发学生探究问题本质的)0(22>=p px y )0,2(p2p x -=)0(22>-=p px y )0,2(p-2p x =)0(22>=p py x )2,0(p2p y -=)0(22>-=p py x )2,0(p -2p y =的解决问题的方法。
并思考抛物线的几何性质。
热情，同时巩固抛物线方程的知识并提出本节课的标题，起着承上启下的自然过度。
三、讲授新课我们根据抛物线的标准方程)0(22 p px y =来研究它的几何性质。
1、 范围：0≥x2、 对称性：关于x 轴对称抛物线的对称轴叫做抛物线的轴3、 顶点：（0，0）抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的的顶点。
4、 离心率：e=1抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示。
标准 方程图形范围 0≥x 0≤x0≥y0≤y对称 轴 关于x 轴对称 关于x 轴对称关于y 轴对称关于y 轴对称顶点 （0，0） 离心率ｅ＝１补充说明：1、抛物线只位于半个平面坐标内，虽然他可以无通过类比椭圆与双曲线的几何性质，从范围、对称性、顶点、离心率方面研究抛物线的几何性质，并由学生归纳总结出其他三种标准方程的几何性质。
抛物线及其标准方程(课件)-高二数学同步精品课件(人教A版2019选择性必修第一册)
分析：建系→设方程→求抛物线方程→解决实际问题．
解析：如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x2＝－
2py(p>0)，由题意，将B(4，－5)代入方程得p＝
8 5
，∴抛物线方程
为x2＝－156y.
∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航．
设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)， 由22＝－156yA，得yA＝－54.
故抛物线的标准方程为y2＝－4x或x2＝4y.故选C.
答案：(1)C
(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线标准方程为 ________.
解析：(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝ 2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满 足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－ 10y.
变式训练 3 如图是抛物线型拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水 面 2 米，水面宽 4 米，若水面下降 0.42 米后，则水面宽为( )
A．2.2 米 B．4.4 米 C．2.4 米
D．4 米
解析：如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝my，将 A(2，－2)代入x2＝my，得m＝－2，
∴x2＝－2y，代入B(x0，－2.42)得x0＝2.2， 故水面宽为4.4 m，故选B. 答案：B
探究 2 待定系数法求抛物线方程
例 2 (1)顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是
() A．y2＝－4x
B．x2＝4y
C．y2＝－4x 或 x2＝4y
D．y2＝4x 或 x2＝－4y
解析：(1)设抛物线方程为y2＝－2p1x(p1>0)或x2＝2p2y(p2>0)， 把(－4,4)代入得16＝8p1或16＝8p2，即p1＝2或p2＝2.
高考数学一轮专项复习ppt课件-抛物线(北师大版)
抛物线准线的垂线，垂足为D，
则|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.
当点M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小.
由最小值为 41，得 20＋p2＝41，解得 p＝42；
①
当点M(20,40)位于抛物线外时，如图②，当点P， M，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小.
2 则该抛物线C的方程为__x_2_＝__2_y或__x_2_＝__8_y__.
由题意设抛物线方程为 x2＝2py(p>0)，P(x0，y0)，F0，p2，圆的半径为45， 由焦半径公式可知 y0＋p2＝52，得 y0＝5－2 p， 并且线段 PF 中点的纵坐标是y0＋2 p2＝54，
所以以线段PF为直径的圆与x轴相切，切点坐标为(－1,0)或(1,0)，
即 p2＝p2×6，解得 p＝3 或 p＝0(舍去)， 所以 C 的准线方程为 x＝－32.
(2)已知 F 是抛物线 y2＝16x 的焦点，M 是抛物线上一点，FM 的延长线 交 y 轴于点 N，若 3F→M＝2M→N，则|NF|＝__1_6___.
易知焦点F的坐标为(4,0)，准线l的方程为x＝－4， 如图，抛物线准线与x轴的交点为A，作MB⊥l 于点B，NC⊥l于点C，AF∥MB∥NC， 则||MNFN||＝|BM|O|－F||CN|， 由 3F→M＝2M→N，得||MNFN||＝35，
A.0
B.1
√C.2
D.3
由抛物线的定义可知， 抛物线y2＝2px(p>0)上的点到焦点的距离等于其到准线的距离， 则最短距离为p2＝1，所以 p＝2.
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第二部分
探究核心题型
题型一 抛物线的定义及应用
例1 (1)(2024·南昌模拟)设圆O：x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点(A在B的
高中数学_抛物线的标准方程和简单几何性质教学设计学情分析教材分析课后反思
§2.4抛物线及其标准方程一：教学目标:1.知识与技能：（1）理解抛物线的定义，画出图形，并掌握其标准方程；（2）利用定义求标准方程，焦点，准线；（3）掌握简单运用。
2. 过程与方法：（1）根据抛物线特征选择不同解决方法；（2）从具体情境中抽象出抛物线模型；（3）用数学的思维和方法解决生活中与抛物线相关的问题。
3. 情感态度与价值观：在学习抛物线中，体会数形结合处理问题的好处。
二、学习者特征分析：1.学生有一定的圆锥曲线的基础，在此前学习过圆，椭圆的知识；2.清楚初中二次函数的图像是抛物线；3.有很强的求知欲望，思维活跃。
三：教学策略选择与设计1.采用启发式教学；创设情境，引导学生发现问题，运用类比，归纳的数学方法解决问题，是学生有被动接受转向主动学习；2.通过类比椭圆的学习体系及运用的方法，进而学习抛物线体系；3.适当的例题讲解，一方面巩固所学知识，另一方面培养自主思考解决问题能力。
教学重点：抛物线定义及如何建立适当坐标系，完成标准方程的推导过程。
教学难点：抛物线标准方程的推导过程。
四、教学资源与工具设计1. 一个多媒体教室；2. 课前制作的ppt；3.学生人手一本北师大版高中数学选修2-1；4.事先准备好的纸板、直尺、三角板、细线、胶带。
五、教学过程1.创设情境，引出课题利用PPT给出嫦娥一号飞船的运行轨迹图，引起注意，同时简单复习上节椭圆的相关知识。
今天我们一起深入来研究抛物线。
2.动手实验，概括定义师：初中，我们从函数的角度学习过抛物线，这一节课我们会冲破限界从另一个角度来认识抛物线。
下面请大家一起动手做一做：（同桌一组）把一根直尺固定在纸板上面，把一块三角板地一条直角边紧靠在支持的边缘，取一根直线，它的长度与另一直角边相等，细绳的一端固定在顶点A 处，另一端固定在纸板上点F 处。
用笔尖扣紧绳子，靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，画出抛物线。
（走下讲台，及时对学生给予适当指导）师：思考一下，这个过程中有什么不变量？生：点P 到F 的距离和点P 到直尺的距离相等。
2.7.2 抛物线的几何性质(教学课件)-高中数学人教B版(2019)选择性必修第一册
顶点 对称轴 e x轴
(0,0)
1
y轴
O
课堂总结
y²=2px (p>0) ① (3)顶点
在方程①中，令y=0,得 x=0;令 x=0,得 y=0.
可知抛物线C 与 x 轴 、y 轴都交于原点(0,0).
此时，称原点是抛物线的顶点.
学习目标
新课讲授
O
O
课堂总结
y²=2px (p>0) ①
(2)离心率 抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之 比称为抛物线的离心率，用e 表示. 根据抛物线的定义可知，抛物线的离心率
AF=dA=x₁+1,BF=dp=X₂+1
于是
|AB|=|AF|+|BF|=x+x₂+2,
O
O
学习目标
新课讲授
O
O
课堂总结
例4 斜率为1的直线l经过抛物线y²=4x 的焦点F, 且与抛物线相 交于A,B 两点，求线段AB的长.
因为直线l的斜率为1,且过焦点F(1,0), 所 以
直线l的方程为 y=x-1
通过抛物线方程可以研究抛物线的范 围，对称性，顶点，离心率等性质.
O
O
学习目标
新课讲授
O
O
课堂总结
思考：已知抛物线C的方程为y²=2x, 根据方程回答下列问题： (1)方程中x 与 y 取值范围是多少?
∵y²≥0,∴2x≥0,即x≥0,y∈R.
由此可知，抛物线C 位于y 轴及y 轴的 右侧，如图所示.
①
将①代入方程y²=4x, 得(x-1)²=4x, 化简，得
x²-6x+1=0.
所以 x+x₂=6,AB=x+x₂+2=8.
高中数学《抛物线的简单几何性质》课件
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
探究 3 抛物线中的定值、定点问题 例 3 已知抛物线 x2＝2py(p>0)，其焦点 F 到准线的距离为 1.过 F 作抛物 线的两条弦 AB 和 CD(点 A，C 在第一象限)，且 M，N 分别是 AB，CD 的中 点． (1)若 AB⊥CD，求△FMN 面积的最小值； (2)设直线 AC 的斜率为 kAC，直线 BD 的斜率为 kBD，且 kAC＋4kBD＝0，求 证：直线 AC 过定点，并求此定点．
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋ x2＋p2＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，
所以 x1＋x2＝6.于是线段 AB 的中点 M 的横坐标是 3，又准线方程是 x＝ －32，所以 M 到准线的距离等于 3＋32＝92.
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
解析
课堂互动探究
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
探究 1 抛物线的简单几何性质 例 1 (1)已知抛物线 y2＝8x，求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称 轴、变量 x 的范围； (2)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆 9x2＋4y2＝36 短轴所在的直 线，抛物线的焦点到顶点的距离为 3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．
又 F32，0，
所以直线 l 的方程为 y＝ 3x－32.
y2＝6x， 联立y＝ 3x－32，
消去 y 得 x2－5x＋94＝0.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝5，而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2 ＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8.
(完整版)抛物线的几何性质
抛 物 线一、抛物线22(0)y px p =>的简单几何性质1、范围：因为0p >，由方程22y px =可知，这条抛物线上任意一点M 的坐标(),x y 满足不等式0x ≥，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，y 也增大，这说明抛物线向上方和右下方无限延伸，它的开口向右.2、对称性：以y -代y ，方程22(0)y px p =>不变，因此这条抛物线是以x 轴为对称轴的轴对称图形.抛物线的对称轴叫作抛物线的轴3、顶点：抛物线和它的轴的焦点叫作抛物线的顶点.在方程22(0)y px p =>中，当0y =时，0x =，因此这条抛物线的顶点就是坐标原点.4、离心率：抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比，叫作抛物线的离心率，用e 表示.按照抛物线的定义，1e =知识剖析：抛物线的通径：过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线与抛物线交于点12,M M ，线段12M M 叫作抛物线的通径，将02px =代入22y px =得y p =±，故抛物线22y px =的通径长为2p例1、已知点(),M x y 在抛物线28y x =上，则()22,129f x y x y x =-++的取值范围？ 分析：本题的实质是将(),f x y 转化为关于x 的二次函数，求二次函数在区间[)0,+∞上的最值. ()()22,812925f x y x x x x =-++=++，又[)0,x ∈+∞，所以当0x =时，(),f x y 取得最小值9，当[)0,x ∈+∞时，()()2,25f x y x =++，无最大值.故()22,129f x y x y x =-++的取值范围为[)9,+∞答案：[)9,+∞二、抛物线的四种标准方程相应的几何性质：知识剖析：（1）通过上表可知，四种形式的抛物线的顶点相同，均为()0,0O ，离心率均为1，它们都是轴对称图形，但是对称轴不同.（2）抛物线和椭圆、双曲线的几何性质的差异：①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形，抛物线不是中心对称图形； ②顶点个数不同：椭圆有4个顶点、双曲线有2个顶点、抛物线只有1个顶点； ③焦点个数不同：椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；④离心率的取值范围不同：椭圆的离心率的取值范围是01e <<，双曲线离心率的取值范围是1e >，抛物线的离心率是1e =；⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线，由于抛物线没有渐近线，因此在画抛物线时切忌将其画成双曲线例2、某抛物线的顶点是椭圆22169144x y +=的中心，而焦点为椭圆的左顶点，求此抛物线的标准方程.分析：因为该椭圆的中心在坐标原点，左顶点为()3,0-，所以可直接设抛物线的标准方程，求得p 后可得方程.答案：解：由22169144x y +=得：221169y x +=，所以椭圆的左顶点为()3,0-.由题意设所求抛物线的标准方程为()220y px p =->，由32p=，得6p =，故所求抛物线的标准方程为212y x =-.三、焦点弦问题及其应用 1、焦点弦如图，AB 是抛物线()220y px p =>过焦点F 的一条弦.设点()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，过,,A B M 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为111,,A B M ，则根据抛物线的定义有11AF BF AA BB +=+.又1MM 是梯形11AA B B 的中位线，1112AB AA BB MM ∴=+=.综上可得以下结论： ①121212,,2222p p p p AF x BF x AB x x x x p ⎛⎫⎛⎫=+=+∴=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其常被称作抛物线的焦点弦长公式.②022p AB x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（焦点弦长与中点的关系）③若直线AB 的倾斜角为α，则22sin pAB α= 推导：12AB AF BF x x p =+=++由④的推导知，当AB 不垂直于x 轴时，()1220py y k k+=≠1212122222y y y y p p p x x p p k k k k+∴+=+++=+=+ 222212212tan sin p p AB p p k αα⎛⎫∴=+=+= ⎪⎝⎭当k 不存在时，即90α=时，22sin pAB α=亦成立 ④A B 、两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即2124p x x =，212y y p =-分析：利用点斜式写出直线AB 的方程，与抛物线方程联立后进行证明.要注意直线斜率不存在的情况. 推导：焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，当AB 不垂直于x 轴时，可设直线AB 的方程为：()02p y k x k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，由222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得：2220ky py kp --= ()2224212212121222,22444y y y y p p y y p x x p p p p ∴=-==== 当AB 垂直于x 轴时，直线AB 的方程为：2px =则222212121212,,224y y p y p y p y y p x x p p ==-⇒=-==⑤11AF BF +为定值2p推导：由焦半径公式知，12,22p pAF x BF x =+=+ ()12212121211112224x x p p pp p AF BF x x x x x x ++∴+=+=+++++又21212,4p x x x x AB p =+=-，代入上式得：()22112424AB p p p AF BF p AB p +==+-+为常数 故11AF BF +为定值2p.2、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质（1）抛物线以过焦点的弦为直径的圆和准线相切（2）抛物线()220y px p =>中，设AB 为焦点弦，M 为准线与x 轴的交点，则AMF BMF ∠=∠ （3）设AB 为抛物线的焦点弦.① 点A B 、在准线上的射影分别为点11A B 、，若P 为11A B 的中点，则PA PB ⊥；②O 为抛物线的顶点，若AO 的延长线交准线于点C ，连接BC ，则BC 平行于x 轴，反之，若过点B 作平行于x 轴的直线交准线于点C ，则,,A O C 三点共线. （4）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦.例3、已知抛物线的顶点在原点，x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为4π的直线，被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线方程.解：当抛物线的焦点在x 轴正半轴上时，可设抛物线的标准方程为()220y px p =>，则焦点F的坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的方程为2p y x =-.设直线l 与抛物线的交点为()()1122,,,A x y B x y ，过点,A B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点11A B 、，则有：111212+=622p p AB AF BF AA BB x x x x p ⎛⎫⎛⎫=+=+++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y ，得222p x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即22304p x px -+= 123x x p ∴+=，代入①式得：336,2p p p +=∴= ∴所求抛物线的标准方程为23y x =当抛物线的焦点在x 轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是：23y x =-例4、已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，点()()()111222333,,,P x y P x y P x y 、、在抛物线上，且2132x x x =+，则有（ ）123.A FP FP FP += 222123.B FP FP FP += 213.2C FP FP FP =+ 2213.D FPFP FP =解析：123P P P 、、在抛物线上，且2132x x x =+，两边同时加上p ，得2132()222p p p x x x +=+++ 即2132FP FP FP =+ 答案：C例5、过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，如果126x x +=，那么AB =?解析：由抛物线定义，得12628AB AF BF x x p =+=++=+=。
抛物线的简单几何性质(教学设计)高二数学 (人教A版2019选择性 必修第一册)
3.3.2 抛物线的简单几何性质教学设计本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第三章《圆锥曲线的方程》的第三节《抛物线》。
以下是本节的课时安排：学生已经学习了直线与圆的方程，已经具备了坐标法研究解析几何问题的能力。
本章学习圆锥曲线方程及几何性质，进一步提升用代数方法研究解析几何问题的方法。
1.了解抛物线的简单几何性质,培养数学抽象的核心素养．2.能利用性质解决与抛物线有关的问题．3.能利用方程与数形结合思想解决焦点弦问题,培养数学运算的核心素养.重点：抛物线的标准方程及其推导过程难点：求抛物线标准方程（一）新知导入已知抛物线y2＝8x，其轨迹如图所示．(1)观察抛物线y2＝8x轨迹可知其上的点的坐标的范围是怎样的？(2)观察抛物线y2＝8x的轨迹有什么对称性？【提示】(1)抛物线上的点的横坐标x≥0，纵坐标y∈R.(2)关于x轴对称．（二）抛物线的几何性质知识点一抛物线的几何性质◆抛物线的几何性质向右向左向上向下【点睛】1.对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析,其共同点:(1)顶点都为原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别关于原点对称,它们与原点的距离都等于一;次项系数的绝对值的14(4)焦点到准线的距离均为p.其不同点:(1)对称轴为x轴时,方程的右端为±2px,左端为y2;对称轴为y轴时,方程的右端为±2py,左端为x2;2.只有焦点在坐标轴上,顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程.【思考】怎样根据抛物线的标准方程判断抛物线的对称轴和开口方向?【提示】开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,方程的右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号.【做一做1】(教材P134例3改编)已知抛物线关于y轴对称，顶点在原点，且经过点P(23，－2 )，则抛物线的标准方程是()A．y2＝－6x B．x2＝－4yC．x2＝－6y D．x2＝6y解析：由题意，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．23，－2在抛物线上，所以12＝4p，解得p＝3.因为点P()∴抛物线的标准方程为x2＝－6y.答案：C知识点二 抛物线的焦点弦长【探究2】斜率为k 的直线l 经过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，你能想到哪些求弦长|AB |的方法？【提示】法一：利用两点间的距离公式； 法二：利用弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|； 法三：|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p . ◆焦点弦直线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，由抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，故|AB |＝x 1＋x 2＋p .【做一做2】过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝( )A ．10B ．8C ．6D ．4解析：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 答案：B（三）典型例题1.利用抛物线的几何性质求标准方程例1.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交的公共弦长等于23，求这条抛物线的方程．[分析] 因为圆和抛物线都关于x 轴对称，所以它们的交点也关于x 轴对称，即公共弦被x 轴垂直平分，于是由弦长等于23，可知交点纵坐标为± 3.[解析] 如图，设所求抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)或y 2＝－2px (p >0)，设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)， 则|y 1|＋|y 2|＝23，即y 1－y 2＝2 3. 由对称性知y 2＝－y 1，∴y 1＝ 3. 将y 1＝3代入x 2＋y 2＝4得x ＝±1，∴点(1，3)，(－1，3)分别在抛物线y 2＝2px ，y 2＝－2px 上．∴3＝2p 或3＝(－2p )×(－1)，p ＝32.故所求抛物线的方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x .【类题通法】根据抛物线的几何性质求抛物线的方程，一般利用待定系数法，先“定形”，再“定量”．但要注意充分运用抛物线定义，并结合图形，必要时还要进行分类讨论．【巩固练习1】1.抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．[解析] 椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上， ∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p2＝3， ∴p ＝6.∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ， 其准线方程分别为x ＝－3或x ＝3.2.已知A 、B 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)上两点，O 为坐标原点，若|OA |＝|OB |，且△ABO 的垂心恰是此抛物线的焦点F ，求直线AB 的方程．[解析] 抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 ∵抛物线关于x 轴对称，|OA |＝|OB |，∴△ABO 为等腰三角形． ∴A 、B 两点关于x 轴对称． 设A (x 0，y 0)，则B (x 0，－y 0)，∵△ABO 的垂心恰为抛物线的焦点，∴BF ⊥OA . 则k BF ·k OA ＝－1，即－y 0－0x 0－p 2·y 0x 0＝－1.又∵y 20＝2px 0，∴x 0＝52p .∴直线AB 的方程为x ＝5p2. 2.直线与抛物线的位置关系例2.已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴上，且抛物线上有一点P (4，m )到焦点F 的距离为5.(1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 与直线y ＝x －4相交于不同的两点A 、B ， 求证：OA ⊥OB .[分析] (1)可转化为点P 到准线的距离． (2)OA ⊥OB ⇔OA →·OB →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0. [解析] (1)解：由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，其准线方程为x ＝－p2，∵P (4，m )到焦点的距离等于P 到其准线的距离， ∴4＋p2＝5，∴p ＝2，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －4，消去y ，得x 2－12x ＋16＝0，Δ>0，∵直线y ＝x －4与抛物线相交于不同两点A 、B ， ∴可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16， ∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1－4)(x 2－4)＝x 1x 2＋x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16 ＝16＋16－4×12＋16＝0， ∴OA→⊥OB →，即OA ⊥OB . 轨迹是以C (0，－3)为焦点，以y ＝3为准线的一条抛物线，其方程为x 2＝－12y .【类题通法】将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解．【巩固练习2】1.(多选题)过点(－2,1)作直线l ，与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，则下列直线l 的方程满足条件的是( )A ．y ＝1B ．x ＋2y ＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －2y ＋4＝0解析：由题意知直线l 的斜率存在，设其方程为y －1＝k (x ＋2)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x ＋2)，y 2＝4x ，(*)可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.①当k ＝0时，由方程①得y ＝1，把y ＝1代入y 2＝4x ，得x ＝14，这时，直线l 与抛物线只有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，此时直线l 的方程为y ＝1.当k ≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)．当Δ＝0时，即2k 2＋k －1＝0，解得k ＝－1或k ＝12，方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解，这时直线l 与抛物线只有一个公共点． 此时直线l 的方程为y －1＝－1(x ＋2)或y －1＝12(x ＋2) 即x ＋y ＋1＝0或x －2y ＋4＝0. 答案：ACD2.已知A ，B 为抛物线E 上不同的两点，若抛物线E 的焦点为(1,0)，线段AB 恰被M (2,1)所平分．(1)求抛物线E 的方程； (2)求直线AB 的方程．[解析] (1)由于抛物线的焦点为(1,0)，∴p2＝1，p ＝2，所求抛物线方程为y 2＝4x .(2)法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1，① y 22＝4x 2，②且x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，由②－①得(y 1＋y 2)(y 2－y 1)＝4(x 2－x 1)， ∴y 2－y 1x 2－x 1＝2， 所以所求直线AB 的方程为y －1＝2(x －2)， 即2x －y －3＝0.法二：显然AB 不垂直于x 轴，故可设弦AB 所在的直线方程为y －1＝k (x －2)，k ≠0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －2)，y 2＝4x ， 消去x 整理得ky 2－4y －8k ＋4＝0，∴y 1＋y 2＝4k ，又M 点是AB 的中点，∴y 1＋y 2＝2，∴k ＝2，故直线AB 的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0.3. 抛物线的焦点弦例3.抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程．[解析] 如图，依题意可设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，则直线方程为y ＝－x ＋12p .设直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则由抛物线定义得|AB |＝|AF |＋|FB |＝|AC |＋|BD |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2，即x 1＋x 2＋p ＝8.①又A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是抛物线和直线的交点，由⎩⎨⎧ y ＝－x ＋12p y 2＝2px ，消去y 得x 2－3px ＋p 24＝0，∴x 1＋x 2＝3p ，将其代入①得p ＝2，∴所求抛物线方程为y 2＝4x .当抛物线方程设为y 2＝－2px (p ＞0)时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x .∴抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x .【类题通法】1．过抛物线焦点的直线与抛物线相交所截得的弦叫作抛物线的焦点弦．2．对于抛物线的焦点弦，利用抛物线的定义，结合平面几何知识可以得出抛物线焦点弦的许多性质，应用起来非常方便．如图，已知线段AB 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点弦，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，点F 是抛物线的焦点，过A ，B 两点分别作准线l 的垂线AC ，BD ，垂足分别为点C ，D ，点M 为线段AB 的中点，点M ′为线段CD 的中点．(1)几何性质①以过焦点F 的弦AB 为直径的圆与抛物线的准线相切于点M ′，∠AM ′B＝90°；②以线段CD 为直径的圆与弦AB 相切于点F ，∠CFD ＝90°；③通径(过抛物线的焦点且与轴垂直的弦)是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦．(2)代数性质①y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；②|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2θ(θ为AB 的倾斜角)；③1|FA |＋1|FB |＝2p (定值)．【巩固练习3】如图，斜率为43的直线l 经过抛物线y 2＝2px 的焦点F (1,0)，且与抛物线相交于A 、B 两点．(1)求该抛物线的标准方程和准线方程；(2)求线段AB 的长．[解析] (1)由焦点F (1,0)，得p 2＝1，解得p ＝2.所以抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．直线l 的方程为y ＝43(x －1)．与抛物线方程联立，得⎩⎨⎧ y ＝43(x －1)y 2＝4x ，消去y ，整理得4x 2－17x ＋4＝0，由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝174＋2＝254.所以，线段AB 的长为254.（四）操作演练 素养提升1.顶点在原点，焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3xC ．y 2＝6xD ．y 2＝－6x2．边长为1的等边三角形AOB ，O 为坐标原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A ，B 的抛物线方程是( )A ．y 2＝36x B ．y 2＝－33xC．y2＝±36x D．y2＝±33x3．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为()A．213 B．215C．217 D．2194．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A 为垂足，如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝________.答案：1.C 2.C 3.B 4. 8【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
2015年广西中考数学总复习课件第17课时_二次函数的应用
第17课时
二次函数的应用
4 ．某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为 40 元．经过市场调查，一周的销售量 y( 件 ) 与销售单价 x( 元 / 件
)(x≥50)的关系如下表：
销售单价x(元/件) 一周的销售量y(件) „ „ 55 450 60 400 70 300 75 250 „ „
＝－5(x－80)2＋4500.
∵a＝－5＜0，∴抛物线开口向下．
∵ 50≤x≤100 ，对称轴是直线 x ＝ 80 ，∴当 x＝ 80 时，y 最大值
＝4500.
即当销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是 4500元．
第17课时
二次函数的应用
(3)当y＝4000时，－5(x－80)2＋4500＝4000，
二次函数的应用
图3－17－3
第17课时
二次函数的应用
3．今年，6月12日为端午节．在端午节前夕，三位同学到某 超市调研一种进价为 2元的粽子的销售情况．请根据小丽提供的
信息，解答小华和小明提出的问题．
图3－17－4 第17课时 二次函数的应用
解：(1)设实现每天800元利润的定价为x元/个，根据题意，得 x－3 (x－2)(500－ ³10)＝800. 0.1 整理得x －10x＋24＝0.解得x1＝4，x2＝6. ∵物价局规定，售价不能超过进价的240%，即2³240%＝ 4.8(元)． ∴x2＝6不合题意，舍去，得x＝4. 答：应定价4元/个，才可获得每天800元的利润．
第17课时
二次函数的应用
(1)直接写出y与x之间的函数关系式：________；
(2)设一周的销售利润为S元，请求出S与x之间的函数关系式
，并确定销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销
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第17课时：抛物线与几何图形(3)班级_________ 姓名__________学号学习目标：经历探索抛物线与圆有关问题的过程，体会知识之间的相互联系，综合运用所学的知识，提高分析和解决问题的能力，感受数形结合等思想方法． 探索活动： 问题一．抛物线y ＝41x 2＋mx ＋n 经过点(0，23)与(4，23)． (1)求这条抛物线的解析式，并写出它的顶点坐标；(2)现有一半径为1，圆心P 在抛物线上运动的动圆，当⊙P 与坐标轴相切时，求圆心P 的坐标．问题二．如图，在直角坐标系中，⊙A 的半径为4，A 的坐标为(2，0)，⊙A 与x 轴交于E 、F 两点，与y 轴交于C 、D 两点，过点C 作⊙A 的切线BC 交x 轴于B ．(1)求直线BC 的解析式；(2)若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点在直线BC 上，与x 轴的交点恰为⊙A 与x 轴的交点，求抛物线的解析式； (3)试判断点C 是否在抛物线上，并说明理由．问题三．已知：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过原点(0，0)和A (1，－3)，B (－1，5)两点． (1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线与x 轴的另一个交点为C ，以OC 为直径作⊙M ，如果过抛物线上一点P 作⊙M 的切线PD ，切点为D ，且与y 轴的正半轴交点为E ，连结MD ，已知点E 的坐标为(0，m )，求四边形EOMD 的面积(用含m 的代数式表示)；(3)延长DM 交⊙M 于点N ，连结ON ，OD ，当点P 在(2)的条件下运动到什么位置时，能使得S 四边形PCMD ＝S △DON ，请求出此时点P 的坐标．问题四．如图，已知直线y ＝x ＋6交x 、y 轴于A 、C 两点，经过A 、O 两点的抛物线 y ＝ax 2＋bx (a ＜0)的顶点B 在直线AC 上. (1)求A 、C 两点的坐标；(2)求出抛物线的函数关系式；(3)以B 点为圆心，以AB 为半径作⊙B ，将⊙B 沿x 轴翻折得到⊙D ，试判断直线AC 与⊙D 的位置关系，并求出BD 的长；(4)若E 为⊙B 优弧ACO 上一动点，连结AE 、OE ，问在抛物线上是否存在一点M ，使 ∠MOA ︰∠AEO ＝2︰3，若存在，试求出点M第六章 二次函数B P ED M C O Axy课后作业：1、如图，P 是射线y ＝53x (x ＞0)上的一动点，以P 为圆心的圆与y 轴相切于C 点，与x 轴的正半轴交于A 、B 两点.(1)若⊙P 的半径为5，则P 点坐标是( ， )；A 点坐标是( ， )；以P 为顶点，且经过A 点的抛物线的解析式是 ；(2)在(1)的条件下，上述抛物线是否经过点C 关于原点的对称点D ，请说明理由；(3)试问：是否存在这样的直线l ，当P 在运动过程中，经过A 、B 、C 三点的抛物线的顶点都在直线l 上？若存在，请求出直线l 的解析式；若不存在，请说明理由.2、如图，直角坐标系中，O 为坐标原点，A 点坐标为(－3，0)，B 点坐标为(12，0)，以AB 的中点P 为圆心，AB 为直径作OP 与y 轴的负半轴交于点C ，抛物线2y ax bx c =++经过A 、B 、C 三点，其顶点为M 点． (1)求此抛物线的解析式；(2)设点D 是抛物线与⊙P 的第四个交点(除A 、B 、C 三点外)，求直线MD 的解析式； (3)判定(2)中的直线MD 是⊙P 的位置关系，并说明理由．3、如图，在平面直角坐标系中，已知点(B -，(0)A m，(0)m <，以AB 为边在x 轴下方作正方形ABCD ，点E 是线段OD 与正方形ABCD 的外接圆除点D 以外的另一个交点，连结BE 与AD 相交于点F ． (1)求证：BF ＝DO ；(2)设直线l 是BDO △的边BO 的垂直平分线，且与BE 相交于点G ．若G 是BDO △的外心，试求经过B F O ，，三点的抛物线的解析表达式；(3)在(2)的条件下，在抛物线上是否存在点P ，使该点关于直线BE 的对称点在x 轴上？若存在，求出所有这样的点的坐标；若不存在，请说明理由．例3、如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 点坐标为(－8，0)，B 点坐标为(2，0)以AB 的中点P 为圆心，AB 为直径作⊙P 与y 轴的负半轴交于点C .① 求图象经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式； ② 设M 点为①中抛物线的顶点，求出顶点M 的坐标和直线MC 的解析式； ③ 判定②中的直线MC 和⊙P 的位置关系，并说明理由；④ 过坐标原点O 作直线BC 的平行线OG ，与②中的直线MC 相交于点G ，连结AG ，求出点G 的坐标，并证明AG ⊥MC .三、学生练习1、如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，D 是抛物线上一点，其坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-47,21，B 点坐标为(1，0).① 求抛物线的解析式；② 经过A 、B 、D 三点的圆交AC 于点F ，交直线y ＝x ＋3于点E .试判断△BEF 的形状，并加以证明.2、已知：半径为1的⊙O 1与X 轴交于A 、B 两点，圆心O 1的坐标为(2， 0)，二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象经过A 、B 两点，其顶点为F . (1)求 b 、c 的值及二次函数顶点F 的坐标；(2)写出将二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象向下平移1个单位再向左平移2个单位的图象的函数表达式；(3)经过原点O 的直线l 与⊙O 相切，求直线l 的函数表达式.3、已知一个二次函数的图象经过A (4，－3)，B (2，1)和C (－1，－8)三点. ① 求这个二次函数的解析式以及它的图象与x 轴的交点M ，N (M 在N 的左边)的坐标； ② 若以线段MN 为直径作⊙G ，过坐标原点O 作⊙G 的切线OD ，切点为D ，求OD 的长；③ 在直线OD 上是否存在点P ，使得△MNP 是直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.问题三．如图，等边△ABC的边长为BC 边所在直线为x 轴，BC 的边上的高线AO所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系． (1)求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；(2)设⊙P 是△ABC 的内切圆，点D 为y 轴上一动点，以D 点为圆心，3为半径的⊙D 与直线．．AB 、AC 都相切时，试判断⊙O 与⊙P 的位置关系，并简要说明理由；(3)若(2)中⊙P 的大小不变，圆心P 沿y 轴运动，设P 点坐标为(0，a )，则⊙P 与直线AB 、AC 有几种位置关系？并写出相应位置关系时，a 的取值范围．图4、如图，在直角坐标系中，以点A 为圆心，以x 轴相交于点BC ，，与y 轴相交于点DE ，.(1)若抛物线213y x bx c =++经过C D ，两点，求抛物线的解析式，并判断点B 是否在该抛物线上.(2)在(1)中的抛物线的对称轴上求一点P ，使得PBD △ 的周长最小.(3)设Q 为(1)中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上 是否存在这样的点M ，使得四边形BCQM 是平行四边形.若 存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.已知：如图，抛物线m x x y +-=332312与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，∠ACB ＝90°，⑴求m 的值及抛物线顶点坐标；⑵过A 、B 、C 的三点的⊙M 交y 轴于另一点D ，连结DM 并延长交⊙M 于点E ，过E 点的⊙M 的切线分别交x 轴、y 轴于点F 、G ，求直线FG 的解析式；⑶在条件⑵下，设P 为 CBD上的动点(P 不与C 、D 重合)，连结P A 交y 轴于点H ，问是否存在一个常数k ，始终满足AH ·AP ＝k ，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由.例1、如图，在平面直角坐标系中，以点M (0，1)为圆心，以2为半径作⊙M 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 、D 两点，连结AM 并延长交⊙M 于P 点，连结PC 交x 轴于E .(1)求出CP 所在直线的解析式； (2)连结AC ，求△ACP 的面积.(3)求出过A 、B 、C 三点的抛物线解析式(4)在过A 、C 、B 三点的抛物线上是否存在点Q ，使△ABQ 与△ABC 相似？(5)在过A 、C 、B 三点的抛物线上是否存在点Q ，使△ABQ 为等腰三角形？例3、如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的⊙O 分别交x 轴、y 轴于A 、B 、C 、D 四点，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点C 且与直线AC 只有一个公共点.(1)求直线AC 的解析式(2)求抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的解析式(3)点P 为(2)中y 轴左边抛物线上的点，由点P 作x 轴的垂线，垂足为点Q ，问：此抛物线上是否存在这样的点P ，使△PQB ~ADB ？若存在，求出PD三、学生练习1、已知抛物线2y ax bx c =++，经过点A (0，5)和点B (3 ，2)① 求抛物线的解析式：② 现有一半径为1，圆心P 在抛物线上运动的动圆，问⊙P 在运动过程中，是否存在⊙P 与坐标轴相切的情况？若存在，请求出圆心P 的坐标：若不存在，请说明理由； ③ 若⊙ Q 的半径为r ，点Q 在抛物线上、⊙Q 与两坐轴都相切时求半径r 的值2、OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点O 为原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，OA ＝10，OC ＝6．(1)如图，在AB 上取一点M ，使得△CBM 沿CM 翻折后，点B 落在x 轴上，记作B ′点，求B ′点的坐标；(2)求折痕CM 所在直线的解析式；(3)作B 'G //AB 交CM 于G ，若抛物线m x y +=261过点G ，求抛物线解析式，并判断以原点O 为圆心，OG 为半径的圆与抛物线除交点G 外，是否还有交点？若有，请直接写出交点坐标．3、已知抛物线21y ax bx =+-经过点A (－1，0)、B (m ，0)(m ＞0)，且与y 轴交于点C ． (1)求a 、b 的值(用含m 的式子表示)；(2)如图所示，⊙M 过A 、B 、C 三点，求阴影部分扇形的面积S (用含m 的式子表示)；(3)在x 轴上方，若抛物线上存在点P ，使得以A 、B 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求m 值．。