数理方程试题

太 原 科 技 大 学

数学物理方程 课程试卷 卷

一．填空（每小题3分，共15分）

（1） 三维热传导方程的一般形式为_____________。 （2）设函数 的傅里叶变换为 , 则方程 的傅里叶变换 为______________。

（3）下列拉普拉斯方程的诺依曼问题

是否有解________。 （4）区域 的格林函数

在区域边界上 =______。 （5）一维热传导方程的基本解为_____________________。

二．化下列方程为标准型，说明其类型并求解此定解问题（15分）。

()u x t ,()U t α,2tt xx

u a u =222

0,sin 4r R u x y R u n θ=⎧=+⎪⎨∂=⎪∂⎩ Ω()0,G M M 21(,0)0,(,0)2xx xy yy y u u u u x u x x

--=⎧⎪⎨==⎪⎩

三．用行波法求下列初值问题的解（20分）。

241,,0,(,0),(,0)1,.tt xx t u u x R t u x x u x x x R =+∈⎧⎪⎨==+∈⎪⎩

四．用分离变量法求下列初边值问题的解（15分）。

22,01,0,(0,)1,(1,)0,0,(,0),.t xx u u x t u t u t t u x x x R =-⎧⎪=-=⎨⎪=∈⎩

五． 用拉普拉斯变换法求下列初边值问题的解（15分）。

六．证明题（20分）

（1）（5分）证明

9,0,0,(0,)cos ,lim (,)0,(,0)0,(,0)0,0.

tt xx x t u u x t u t t u x t u x u x x →+∞⎧=+∞⎪⎪==⎨⎪==+∞⎪⎩ ()()

x x x δδ'=-

（2）（8分）已知格林第二公式ds )n

u v n v u

(dxdy )u v v u (∂∂-∂∂=∆-∆⎰⎰⎰ΩΩ∂， 证明：二维调和函数的积分表达式为

01

1u 1u(,y )ln u (ln )ds 2r n n r 0x π∂Ω∂∂⎡⎤=-⎢⎥∂∂⎣

⎦⎰. 其中)y ,(00x 为区域Ω内任一点，22)()(r 00y y x x -+-=

，n 为区域边界的外法线方向。

（3）(7分) 设 是定解问题

的古典解，其中n 为边界曲线的外法线方向，已知函数 ， C 为一正常数，

证明在 上，必有 .

,(,),,(,),u cu f x y u g x y n

-∆+=∈Ω⎧⎪∂⎨=∈∂Ω⎪∂⎩0,0f g Ω,0u x y ≥（）u x y （,）