不等式的证明测试题与答案

不等式的证明

班级 ＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） １．若a >0, b >0,则)11)((b

a b a ++ 的最小值是 （ ）

A ．2

B ．22

C ．24

D ．4

2．分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻求使不等式成立的

（ ）

A ．必要条件

B ．充分条件

C ．充要条件

D ．必要或充分条件

3．设a 、b 为正数，且a + b ≤4，则下列各式中正确的一个是

（ ）

A ．

111<+b

a B ．

111≥+b

a C ．

21

1<+b a D ．

21

1≥+b

a 4．已知a 、

b 均大于1，且log a C ·log b C=4，则下列各式中，一定正确的是

（

） A ．a c ≥b

B ．a b ≥c

C ．bc ≥a

D ．a b ≤c

5．设a =2，b=37-，26-=

c ，则a 、b 、c 间的大小关系是

（ ）

A ．a >b>c

B ．b>a >c

C ．b>c>a

D ．a >c>b 6．已知a 、b 、m 为正实数，则不等式

b

a

m b m a >++

（ ）

A ．当a < b 时成立

B ．当a > b 时成立

C ．是否成立与m 无关

D ．一定成立

7．设x 为实数，P=e x +e -x ，Q=(sin x +cos x )2，则P 、Q 之间的大小关系是

（ ）

A ．P ≥Q

B ．P ≤Q

C ．P>Q

D ． P b 且a + b <0，则下列不等式成立的是

（ ）

A ．

1>b

a B ．

1≥b

a C ．

1

a D ．

1≤b

a 9．设a 、

b 为正实数，P=a a b b ，Ｑ=a b b a ，则P 、Q 的大小关系是

（

）

A ．P ≥Q

B ．P ≤Q

C ．P=Q

D ．不能确定

10．甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半

时间以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，若m ≠n ，则甲、乙两人到达指定地点的情况是 （ ）

A ．甲先到

B ．乙先到

C ．甲乙同时到

D ．不能确定

二、填空题

11．若实数,,x y z 满足23()x y z a a ++=为常数，则2

2

2

x y z ++的最小值为

12．函数212

()3(0)f x x x x =+

>的最小值为_____________。 13．使不等式a 2>b 2，1>b

a

，lg(a －b )>0， 2a >2b-1同时成立的a 、b 、1的大小关系

是 ．

14．建造一个容积为8m 3，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米

分别为120元和80元，则水池的最低总造价为 元． 三、解答题

15．（1）若a 、b 、c 都是正数，且a +b+c=1，

求证： (1–a )(1–b)(1–c)≥8a bc ．

（2）已知实数,,a b c 满足a b c >>，且有2

2

2

1,1a b c a b c ++=++=

求证：4

13

a b <+<

16．设2

1

log log 21,0,1,0+>≠>t t t a a a a 与试比较的大小．（12分）

17．(1)3

a b c

++≥

(2)已知a ，b ，c 都是正数，且a ，b ，c 成等比数列，求证：2

2

2

2

)(c b a c b a +->++

18．(1)已知x 2 = a 2 + b 2，y 2 = c 2 + d 2，且所有字母均为正，求证：xy ≥ac + bd ．

(2) 已知,,x y z R ∈，且2228,24x y z x y z ++=++=

求证：444

3,3,3333

x y z ≤≤≤≤≤≤

19．设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm 2，画面的宽与高的比为λ（λ<1），画面的

上下各留8cm 空白，左、右各留5cm 空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸面积最小？

20．数列{x n }由下列条件确定：N n x a

x x a x n

n n ∈+=

>=+),(21,011． （Ⅰ）证明：对n ≥2，总有x n ≥a ； （Ⅱ）证明：对n ≥2，总有x n ≥1+n x ．

参考答案

一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

11．2

14

a 12．9 13．a >b>1 14．1760

三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．（12分）

[证明]：因为a 、b 、c 都是正数，且a +b+c=1，

所以(1–a )(1–b)(1–c)=(b+c)( a +c)( a +b)≥2

bc ·2ac ·2ab =8a bc ．

16．（12分）

[解析 ]： t

t t t a

a

a 21log log 2

1log +=-+ t t t

21,0≥+> （当且仅当t=1时时等号成立） 121≥+∴

t t （1） 当t=1时，t t a a

log 2

1

log =+ （2） 当1≠t 时，

121

>+t

t ，

若t t t

t a a

a a log 2

12

1log ,021log ,1>+>+>则

若t t t t a a

a a log 2

121log ,021log ,10<+<+<<则 17．（12分）

[证明]：左－右=2（ab +bc －ac ） ∵a ，b ，c 成等比数列，

ac b =2

又∵a ，b ，c 都是正数，所以ac b =

<0≤c a c a +<+2

∴b c a >+

∴0)(2)(2)(22>-+=-+=-+b c a b b bc ab ac bc ab ∴2222)(c b a c b a +->++

18．（12分）

[证法一]：（分析法）∵a , b , c , d , x , y 都是正数 ∴要证：xy ≥ac + bd

只需证：(xy )2≥(ac + bd )2 即：(a 2 + b 2)(c 2 + d 2)≥a 2c 2 + b 2d 2 + 2abcd