高等数学第七章定积分的应用

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第七章 定积分的应用

一、本章提要

1. 基本概念

微元法,面积微元,体积微元,弧微元,功微元,转动惯量微元,总量函数. 2. 基本公式 平面曲线弧微元分式. 3. 基本方法

(1) 用定积分的微元法求平面图形的面积, (2) 求平行截面面积已知的立体的体积, (3) 求曲线的弧长, (4) 求变力所作的功, (5) 求液体的侧压力, (6) 求转动惯量,

(7) 求连续函数f (x )在[]b a ,区间上的平均值, (8) 求平面薄片的质心,也称重心.

二、要点解析

问题1 什么样的量可以考虑用定积分求解?应用微元法解决这些问题的具体步骤如何?

解析 具有可加性的几何量或物理量可以考虑用定分求解,即所求量Q 必须满足条件:

(1)Q 与变量x 和x 的变化区间[]b a ,以及定义在该区间上某一函数f (x )有关;(2)

Q 在[]b a ,上具有可加性,微元法是“从分割取近似,求和取极限”的定积分基本思想方法中概括出来的,具体步骤如下:

(1)选变量定区间:根据实际问题的具体情况先作草图,然后选取适当的坐标系及适当的变量(如x ),并确定积分变量的变化区间[]b a ,;

(2)取近似找微分:在[]b a ,内任取一代表性区间[]x x x d ,+,当x d 很小时运用“以 直代曲,以不变代变”的辩证思想,获取微元表达式d =()d Q f x x ≈Q ∆(Q ∆为量Q 在小区间[]x x x d ,+上所分布的部分量的近似值);

(3)对微元进行积分得 =d ()d b b

a

a

Q Q f x x =⎰⎰.

下面举例说明.

例1 用定积分求半径为R 的圆的面积.

解一 选取如图所示的坐标系,取x 为积分变量,其变化区间为[]R R ,-,分割区间

[]R R ,-成若干个小区间,其代表性小区间[]x x x d ,+所对应的面积微元

x x R x x R x R A d 2d ))((d 222222-=----=,

于是

⎰---==R

R

R R

x x R A A d 2d 22=2πR .

解二 选取如图所示的坐标系,

取θ 为积分变量,其变化区间为[]π2,0.分割区间[]π2,0成若干个小区间,其代表性小区 间[]θθθd ,+所对应的面积微元θd 2

1d 2

R A =

,于是

22π

20

20

ππ22

1

d 21d R R R A A =⋅===⎰

⎰θ.

解三 选取r 为积分变量, 其变化区间为[]R ,0,如图,分割[]R ,0成若干个小区间,

其代表性小区间[]r r r d ,+所对应的面积微元r r A d π2d =,于是

20

2

π2

π2d π2R r r r A R

R =⋅

==

问题2 如何理解连续函数f (x ) 在闭区间[]b a ,上的平均值⎰-=b a

x x f a b u d )(1

是有限

个数的算术平均值的推广.

解析 首先,我们知道几个数 y y y n 12,,,⋅⋅⋅的算术平均值为

y y y y n n y n k k n

=++⋅⋅⋅+==∑()/121

1,

对于函数)(x f ,我们把区间[]b a , n 等分,设分点为a =x x x b n 01<<⋅⋅⋅<=.区间的长度(1,2,,)i b a

x i n n

-∆=

=⋅⋅⋅,各分点i x 所对应的函数值为12(),(),f x f x ,⋅⋅⋅()n f x ,其算术平均值 ∑=n

i i x f n 1)(1可近似地表达函数)(x f 在[]b a ,上取得一切值的平均值.显然,

n 越大,分点越多,这个平均值就越接近函数)(x f 在[]b a ,上取得一切值的平均值. 因此,

称极限

lim n →∞11

n f x i i n

()=∑

为函数)(x f 在闭区间[]b a ,上的平均值,记为[]b a y ,.

下面用定积分表示函数)(x f 在[]b a ,上的平均值[]b a y ,.在定积分定义中,若取

ξi i x =,∆x b a

n

i =-,则

∑∑⎰

=∞

→=→-=∆=n

i i n n i i i b a

n

a

b x f x f x x f 1

1

)

(lim )(lim d )(ξλ,

这里{}12max ,,,n b a

x x x n

λ-=∆∆∆=L . 因此

n a

b x f a b x f n n

i i n n i i n --=∑∑=∞→=∞→1

1)(lim 1)(1lim

1

1

lim ()n

i i n i f x x b a →∞==

∆-∑ ⎰-=b a x x f a

b d )(1

, 即 ⎰-=

b a b a x x f a

b y d )(1

],[. 在生产实践和科学研究中,有许多连续量的平均值需要计算,如平均电流强度、平均电

压、平均功率等等.

例2 求从0到T 这段时间内自由落体运动的平均速度. 解 因为自由落体运动的速度gt v =,所以

200

1111

d 022

T

T v gt t gt gT T T ⎛⎫

===

⎪-⎝⎭

⎰. 三、例题精解

例3 求纯电阻电路中正弦电流 t I t i m ωsin )(=在一个周期上的平均功率(其中m

I 及ω均为常数).

解 设电阻为R (R 为常数),则电路中的电压

t RI iR u m ωsin ==,

而功率 2

)sin (t I R iu p m ω==,

因此p 在2π0,

ω⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上的平均功率(功率的平均值) 2π

222

2π00

11cos 2sin d d 0

2π2

m m RI t

p R t t t I ωω

ωωωω-==-⎰⎰

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