浙江大学远程考试-工程数学练习题库(2018版)
2018年成考数学真题及答案
绝密★启用前2018年成人高等学校招生全国统一考试数 学 （理工农医类）一、选择题：本大题共17小题，每小题5分，共85分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将所选项前的字母填涂在答题卡相应题号的信息点上．．．．．．．．．．．．。
（1）函数24x y -=的定义域是（A ）（—∞，0） （B ）[0，2] （C ）[—2，2] （D ）(—∞，—2]∪[2，+∞] （2）已知向量a =（2，4），b =（m ，—1），且a ⊥b ，则实数m= （A ）2 （B ）1 （C ）—1 （D ）—2 （3）设角α是第二象限角，则（A ）cos α＜0，且tan α＞0 （B ）cos α＜0，且tan α＜0 （C ）cos α＞0，且tan α＜0 （D ）cos α＞0，且tan α＞0（4）一个小组共有4名男同学和3名女同学，4名男同学的平均身高为1.72m ，3名女同学的平均身高为1.61m ，则全组同学的平均身高约为（精确到0.01m ） （A ）1.65m （B ）1.66m （C ）1.67m （D ）1.68m（5）已知集合A={1，2，3，4}，B={x ∣—1＜x ＜3}，则A ∩B=（A ）{0，1，2} （B ）{1，2} （C ）{1，2，3} （D ）{—1，0，1，2} （6）若直线l 与平面M 平行，则在平面M 内与l 垂直的直线 （A ）有无数条 （B ）只有一条 （C ）只有两条 （D ）不存在 （7）i 为虚数单位，若i （m —i ）=1—2i ，则实数m= （A ）2 （B ）1 （C ）—1 （D ）—2（8）已知函数y=f(x)是奇函数，且f （—5）=3，则f （5）= （A ）5 （B ）3 （C ）—3 （D ）—5（9）若5)1(m =a，则=-ma2 （A ）251 （B ）52（C ）10 （D ）25 （10）21log 4= （A ）2 （B ）21 （C ）21- （D ）-2（11）已知25与实数m 的等比中项是1，则m= （A ）251 （B ）52（C ）10 （D ）25 （12）已知正三棱锥P-ABC 的体积为3，底面边长为32，则该三棱锥的高为（A ）3 （B ）3 （C ）23 （D ）33（13）曲线y=2x 2+3在点（—1，5）处切线的斜率是（A ）4 （B ）2 （C ）—2 （D ）—4 （14）函数21+=x y （x ≠—2）的反函数的图像经过点（A ）），（241（B ）），（9441 （C ）），（614 （D ）），（412 （15）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，3）为减函数的是 （A ）y=cosx （B ）y=log 2x （C ）y=x 2—4 （D ）x)31(y =(16)一位篮球运动员投篮两次，若两投全中得2分，若两投一中得1分，若两投全不中得0分.已知该运动员两投全中的概率为0.375，两投一中的概率为0.5，则他投篮两次得分的期望值是 （A ）1.625 （B ）1.5 （C ）1.325 （D ）1.25（17）已知A ，B 是抛物线y 2=8x 上两点，且此抛物线的焦点在线段AB 上，若A ，B 两点的横坐标之和为10，则∣AB ∣= （A ）18 （B ）14 （C ）12 （D ）10二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
浙大远程教育入学测试题-高等数学
浙江大学远程教育学院模拟试题卷 高等数学（2）（专本）一、判断题（正确的填A ，不正确的填B ）1) 函数x x f 2)(=，则2)2(±=f 。
( )2) 函数1+=x y 的反函数是1-=x y 。
( ) 3) 1tan lim 0=→x x x 。
( ) 4) e x x x =-→/10)1(lim 。
( )5）设)(x f 在0x x =点左连续, 则)(x f 在0x x =点连续。
( ) 6)1sin lim =+∞→xx x 。
( ) 7）设)(x f 在0x x =点连续, 则)(x f 在0x x =点左连续。
( )8) 当0→x 时，x 2cos 是无穷小量。
( )9) )1ln(+x 是无穷小量。
( )10）初等函数在定义域内是处处可导。
( )11）设 )1ln(x y -= , 则xdx dy -=1。
( ) 12）设 x y tan = , 则x y 2sec ='。
( )13) )(x f y =在其定义域内的极大值有可能小于极小值。
( )14）函数x y ln =在其定义域内是下凹的。
( )15）设 2222++=x x y , 则42ln 22++='x x y 。
( )16) 若)(x f 在0x 点0)(0='x f ，则)(x f 在0x 点可能取极值。
( ) 17) =dx e x x de 。
( )18) 不定积分 ⎰+-=-c t dt t arccos 112。
( ) 19) 定积分 0cos 11=⎰-dx x x 。
( ) 20) 定积分 dt t f dx x f ba b a)()(⎰⎰=。
( )21）设x x f +=+1)1(，则x x f =)(。
（ ）22）212sin lim 0=→x x x 。
（ ） 23）设 y = x e 3 , 则dx e dy x 33=。
（ ）24）设2x y =，则在2=x 点的导数是0)2(2='。
2018届浙江省普通高等学校全国招生统一考试数学模拟测试卷
2018年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题（浙江卷）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.2. 双曲线的离心率是（）A. B. C. D.3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）学+科+网...A. B. C. D.4. 若满足约束条件，则的最小值是（）A. B. C. D.5. 在等差数列中，若，且它的前项和有最小值，则当时，的最小值为（）A. B. C. D.6. 如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点是在第一象限的公共点.若，则的离心率是（）A. B. C. D.7. 已知二次函数，则“与有相同的零点”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 已知随机变量的分布列如表所示：若，则（）A. B.C. D.9. 已知得内角所对的边分别为，且，点在所在平面上的投影恰好是的重心，设平面与底面所成的锐二面角分别为，则（）A. B. C. D.10. 已知为锐角的外心，，若，且.记，，，则（）A. B. C. D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11. 若复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为__________；_________．12. 已知函数，则__________；函数的单调递减区间是__________．13. 多项式的展开式中，含的系数是__________；常数项是__________．14. 在中，角所对的边分别为，已知，，，点满足，则__________；__________．15. 分配名水暖工去个不同的民居家里检查暖气管道，要求名水暖工部分配出去，并每名水暖工只能去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有__________种（用数字作答）.16. 已知向量满足，则的取值范围是__________．17. 已知，则的最大值是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18. 已知函数（1）若，求的值域；（2）若的最大值是，求的值.19. 设平面平面，，，，，，（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.20. 已知函数.（1）求的导函数；（2）求的定义域及值域.21. 设抛物线的焦点为，过点的动直线交抛物线于不同两点，线段中点为，射线与抛物线交于点.（1）求点的轨迹方程；（2）求面积的最小值.22. 已知数列满足：. 证明：当时，（1）；（2）；（3）.2018年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题（浙江卷）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：求出中不等式解集，找出解集中的整数解确定出，找出中不等式的整数解确定出，求出与的交集即可．详解：∵集合∴集合又∵∴集合∴故选A.点睛：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2. 双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：直接利用双曲线方程，求出实轴长以及焦距的长，即可得到双曲线的离心率．详解：∵双曲线的方程为∴，∵∴∴故选C.点睛：本题考查了双曲线简单性质的应用，离心率的求法.求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由已知中的三视图，可知该几何体右边是三棱锥，左边是直三棱柱，分别计算出体积，相加即可.详解：由三视图知：几何体右边是三棱锥，其底面为腰长为1的等腰直角三角形，高为1，其体积为；左边为直三棱柱，其底面为腰长为1的等腰直角三角形，高为1，其体积为.∴该几何体的体积为.故选B.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.4. 若满足约束条件，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据约束条件作出平面区域，化为，从而结合图象，即可求得最小值．详解：由约束条件作出平面区域如图所示：化为，由，解得.由图可得，当直线经过点时，直线在轴上的截距最大，此时有最小值，即. 故选B.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5. 在等差数列中，若，且它的前项和有最小值，则当时，的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据题设条件，利用等差数列的性质推导出，，由此能求出时，的最小值．详解：∵数列是等差数列，它的前项和有最小值∴公差，首项，为递增数列∵∴，由等差数列的性质知：，.∵∴当时，的最小值为16．故选C.点睛：本题考查等差数列的前项和的应用，考查数列的函数特性，是中档题．解答本题的关键是根据，，确定时，的最小值.6. 如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点是在第一象限的公共点.若，则的离心率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意知，，∵，∴，∴，∵，∴的离心率是，选考点：椭圆离心率【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.7. 已知二次函数，则“与有相同的零点”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：若是函数与函数相同的零点可推出，即，再根据充要条件的定义判断即可.详解：若是函数与函数相同的零点，则，.∴，即.∴二次函数，则“与有相同的零点”是“”的充要条件.故选C.点睛：充分、必要条件的判断方法（1）利用定义判断：直接判断“若p，则q”和“若q，则p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么．（2）从集合的角度判断：利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题．（3）利用等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假．8. 已知随机变量的分布列如表所示：若，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：根据定义用表示出，，根据函数单调性得出结论．详解：由题意得.∵∴∵∴设，则在上单调递减.∵∴故选D.点睛：求离散型随机变量均值与方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解．(2)已知随机变量的均值、方差，求的线性函数的均值、方差，可直接用的均值、方差的性质求解．(3)如果所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，利用它们的均值、方差公式求解．9. 已知得内角所对的边分别为，且，点在所在平面上的投影恰好是的重心，设平面与底面所成的锐二面角分别为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意画出图形，分别求出平面，，与底面所成的锐二面角，根据为的重心，可得，再由的大小关系可得到三边的距离关系，在直角三角形中由、、的大小得到三个角的大小关系．详解：根据题意画出如图所示的图形：∵为的重心∴过分别作、、垂直于、、，连接、、，可知、、分别为平面，，与底面所成的锐二面角，分别为.在、、中，，且.∴在、、中，，.∴，即.∵正切函数在上为增函数∴故选A.点睛：线面角找垂线，即通过线面垂直关系确定射影，再根据解直角三角形确定大小，二面角找垂面，即找棱垂直的平面，得到平面角之后再解三角形即可.10. 已知为锐角的外心，，若，且.记，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由已知结合数量积的几何意义列关于，，的方程组，求得，再由余弦定理求得，展开数量积，结合，且余弦函数在上为减函数即可得答案．详解：分别取，的中点为，，连接，，根据题设条件可得，.∴，.∵∴①②∵③∴由①②③得根据余弦定理可得∴在中，由大边对大角得：.∵，且余弦函数在上为减函数∴∴故选D.点睛：(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11. 若复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为__________；_________．【答案】(1). 3(2).【解析】分析：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得虚部，再由模的计算公式求模．详解：∵∴∴复数的虚部为，.故答案为，.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为12. 已知函数，则__________；函数的单调递减区间是__________．【答案】(1). 1(2).【解析】试题分析：因为，所以；当时，为单调递增函数；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数的单调递减区间为．考点：1、分段函数的求值；2、对数的运算；3、函数的单调性．13. 多项式的展开式中，含的系数是__________；常数项是__________．【答案】(1). 200(2). 144【解析】分析：根据题意，由二项式定理分析可得的展开式的通项为，进而令、3、0、1，求出对应的值，分析可得答案．详解：根据题意，的展开式的通项为.∴当时，有；当时，有；当时，有；当时，有.∴多项式的展开式中，含的项为，即含的系数是；常数项是.故答案为，．点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.14. 在中，角所对的边分别为，已知，，，点满足，则__________；__________．【答案】(1). 8(2).【解析】分析：由已知利用余弦定理即可求得的值，进而求得的值，利用余弦定理可求的值.详解：如图，，，.∴根据余弦定理得，即.∴或（舍去）∵点满足∴∴在中，由余弦定理可得.∴故答案为，.点睛：本题主要考查余弦定理解三角形. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.15. 分配名水暖工去个不同的民居家里检查暖气管道，要求名水暖工部分配出去，并每名水暖工只能去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有__________种（用数字作答）.【答案】36【解析】分析：根据题意，分2步分析：①，将4名水暖工分成3组，②，将分好的三组全排列，对应3个不同的居民家，由分步计数原理计算可得答案．详解：根据题意，分2步分析：①将4名水暖工分成3组，有种分组方法；②将分好的三组全排列，对应3个不同的居民家，有种分配方法.∴共有6×6=36种不同的分配方案故答案为36．点睛：解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手；(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．16. 已知向量满足，则的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：根据绝对值三角不等式即可求出.详解：∵∴∴，即；，即.∴的取值范围是故答案为.点睛：本题考查向量的模，解答本题的关键是利用绝对值三角不等式，即.17. 已知，则的最大值是__________．【答案】【解析】分析：将通分后，再将分子分母同时除以，再设，根据对勾函数的性质，即可求得的最大值.详解：∵∴令，则.∵∴∴又∵在上为单调递增∴∴的最大值是故答案为.点睛：解答本题的关键是将等式化简到，再通过换元将其形式进行等价转化，最后运用对勾函数的单调性求出该函数的最值，从而使得问题获解.形如的函数称为对勾函数，其单调增区间为，；单调减区间为，.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18. 已知函数（1）若，求的值域；（2）若的最大值是，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）时，化简函数，利用三角函数的性质求出的值域；（2）化简函数，根据三角函数的图象与性质求出的值．详解：（1）由题意.∴函数的值域为.（2）由题意.∵函数的最大值为∴∴又∵∴.点睛：对三角函数考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心在研究三角函数的图象和性质问题时，一般先运用三角恒等变形，将表达式转化为一个角的三角函数的形式求解.19. 设平面平面，，，，，，（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）由于，，可得，进而可得四边形是平行四边形．可得，利用线面平行的判定定理可得平面；（2）取中点，连结交于点，连结，先证与平面所成角等于与平面所成角，再证平面平面，然后作,交直线于点，得平面，即可得是与平面所成角，再求出、，即可得直线与平面所成角的正弦值.详解：（1）∵，∴.又∵∴四边形是平行四边形∴，因此平面.（2）取中点，连结交于点，连结.∵∴与平面所成角等于与平面所成角.∵，平面平面∴平面.又∵∴平面∴.在正方形中，，故平面.∴平面平面.在平面中，作,交直线于点，得平面.∴是与平面所成角.过点作.∵∴∵∴点睛：本题主要考查线面平行的判定定理、直线和平面成的角的定义及求法，属于难题.求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.20. 已知函数.（1）求的导函数；（2）求的定义域及值域.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）根据复合函数以及幂函数的求导公式进行运算；（2）根据根式的性质以及二次函数的值域求出函数的定义域，对函数求导，判断出单调性求出函数的极大值，即函数的最大值，再由根式的性质得出函数的值域．详解：（1）对求导得：.（2）∵∴对一切恒成立∴的定义域为.令，即，解得（舍去），或.当时，，；当时，，.∴当时，取最大值又∵，所以∴的值域为点睛：利用导数解答函数最值或值域的一般步骤：第一步：先求出函数的定义域；第二步：利用或求单调区间；第三步：解得两个根；第四步：比较两根同区间端点的大小；第五步：求极值；第六步：比较极值同端点值的大小．21. 设抛物线的焦点为，过点的动直线交抛物线于不同两点，线段中点为，射线与抛物线交于点.（1）求点的轨迹方程；（2）求面积的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）设直线方程为，代入，消去，运用韦达定理和中点坐标公式，再运用代入法消去，即可得到的轨迹方程；（2）设，根据（1）可得，由点在抛物线上，化简可得，由点到直线的距离公式，以及弦长公式，求出的面积，再构造新函数，利用导数即可求得的面积的最小值.详解：（1）设直线方程为，代入得设，则，，.∴.设，由消去得中点的轨迹方程为（2）设.∵，∴由点在抛物线上，得.又∵∴，点到直线的距离又.所以，面积设，有，故在上是减函数，在上是增函数，因此，当时取到最小值.所以，面积的最小值是.点睛：在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.22. 已知数列满足：.证明：当时，（1）；（2）；（3）.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】分析：（1）用数学归纳法和反证法证明即可；（2）由数列的递推式以及作差法可得，构造函数，利用导数求出函数函数的单调性，从而可以证明；（3）由数列的递推式，以及（2）的结论可得，根据等比数列的通项公式即可证明，再结合已知可得，即可证明不等式成立.详解：（1）数学归纳法证明：当时，成立假设时，成立，那么时，假设，则，矛盾所以，故得证所以，故（2）由得设则由于与在上单调递增，所以故在上单调递增，所以所以即（3）由（2）得，则所以又，所以，所以，故所以，所以点睛：1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算的不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值．第(2)步，证明时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法.。
浙江大学大一桥梁工程专业《工程数学》考试A卷及答案
第 1 页 共2页 第 1 页 共2页工程数学试卷 A适用专业： 考试日期：试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一． 填空题（每题3分，共计3⨯8＝24分）1、设行列式123020001D =, 则D =2、设,9,3,A B A B ==三阶方阵有则 1AB -=3、设向量,101,121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=βα 则αβ+=4、设向量111,0,11αβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则内积[],αβ=5、已知2BA B E =+,2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭, 则 B =6、设矩阵A =220210⎛⎫ ⎪⎝⎭,则矩阵的秩()TR A =7. 设A 的列向量为123,,ααα，且1A =，则132,,ααα=8、设123012111D =，则111213A A A ++=二.选择题（3分⨯4＝12分）1、 设α是矩阵A 对应于λ的特征向量，则1P AP -对应的特征向量为（ ）（A ）1P α- （B ）P α （C ） T P α （D ） α2、 设n 阶矩阵A 的行列式1A =，下列说法错误的是（ ）（A ）存在B 使AB E = （B ）1T A = （C ）A 能相似于对角阵 (D) ()r A n = 3、设四阶方阵A ，B 有秩()4,()3R A R B ==，则()R AB =（ ）。
（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 44、设A 为m n ⨯的矩阵，()R A n =，则非齐次线性方程组Ax b =的解为 （ ） （A ）一定有唯一解（B ）一定无解 （C ）一定有无穷多解 （D ）可能有解三. 设矩阵方程254621321X -⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求矩阵X （8分）四、设矩阵31111311,11311113A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦求（1）行列式A ；（2）秩()R A （12分）第 2 页 共2页第 2 页 共2页五、已知向量组123423240,1,1,22100αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（1）求向量组的秩；（2）向量组的一个最大无关组；（3）将其余向量用最大无关组线性表示。
2018年普通高等学校招生全国统一考试数学(浙江卷)
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试数学(浙江卷)本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页,选择题部分1至2页;非选择题部分2至4页.满分150分,考试时间120分钟.考生注意:1.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2.答题时,请按照答题纸上“注意事项”的要求,在答题纸相应的位置上规范作答.在本试题卷上的作答一律无效.参考公式:若事件A,B互斥,则柱体的体积公式P(A+B)=P(A)+P(B) V=Sh若事件A,B相互独立,则其中S表示柱体的底面积,h表示柱体的高P(AB)=P(A)P(B) 锥体的体积公式若事件A在一次试验中发生的概率是p,则n次V=13Sh独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中S表示锥体的底面积,h表示锥体的高P n(k)=C n k p k(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n) 球的表面积公式台体的体积公式S=4πR2V=13(S1+√S1S2+S2)h球的体积公式其中S1,S2分别表示台体的上、下底面积, V=43πR3h表示台体的高其中R表示球的半径选择题部分(共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则∁U A=()A.⌀B.{1,3}C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5}2.双曲线x 23-y2=1的焦点坐标是()A.(-√2,0),(√2,0)B.(-2,0),(2,0)C.(0,-√2),(0,√2)D.(0,-2),(0,2)3.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.2B.4C.6D.8(i为虚数单位)的共轭复数是()4.复数21-iA.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i5.函数y=2|x|sin 2x的图象可能是()6.已知平面α,直线m,n满足m⊄α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.设0<p<1,随机变量ξ的分布列是则当p在(0,1)内增大时,()A.D(ξ)减小B.D(ξ)增大C.D(ξ)先减小后增大D.D(ξ)先增大后减小8.已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形,侧棱长均相等,E是线段AB上的点(不含端点).设SE与BC所成的角为θ1,SE与平面ABCD所成的角为θ2,二面角S-AB-C的平面角为θ3,则()A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小9.已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为π3值是()A.√3-1B.√3+1C.2D.2-√310.已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,则()A.a1<a3,a2<a4B.a1>a3,a2<a4C.a1<a3,a2>a4D.a1>a3,a2>a4非选择题部分(共110分)二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.11.我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题:“今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何?”设鸡翁,鸡母,鸡雏个数分别为x ,y ,z ,则{x +y +z =100,5x +3y +1z =100,则z=81时,x= ,y= .12.若x ,y 满足约束条件{x -y ≥0,2x +y ≤6,x +y ≥2,则z=x+3y 的最小值是 ,最大值是 .13.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.若a=√7,b=2,A=60°,则sin B= ,c= . 14.二项式(√x 3+12x)8的展开式的常数项是 .15.已知λ∈R ,函数f (x )={x -4,x ≥λ,x 2-4x +3,x <λ.当λ=2时,不等式f (x )<0的解集是 .若函数f (x )恰有2个零点,则λ的取值范围是 .16.从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成 个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 17.已知点P (0,1),椭圆x 24+y 2=m (m>1)上两点A ,B 满足AP⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则当m= 时,点B 横坐标的绝对值最大.三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(本题满分14分)已知角α的顶点与原点O 重复,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点P (-35,-45).(1)求sin(α+π)的值;(2)若角β满足sin(α+β)=513,求cos β的值. 19.(本题满分15分)如图,已知多面体ABCA 1B 1C 1,A 1A ,B 1B ,C 1C 均垂直于平面ABC ,∠ABC=120°,A 1A=4,C 1C=1,AB=BC=B 1B=2. (1)证明:AB 1⊥平面A 1B 1C 1;(2)求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值.20.(本题满分15分)已知等比数列{a n }的公比q>1,且a 3+a 4+a 5=28,a 4+2是a 3,a 5的等差中项.数列{b n }满足b 1=1,数列{(b n+1-b n )a n }的前n 项和为2n 2+n. (1)求q 的值;(2)求数列{b n }的通项公式. 21.(本题满分15分)如图,已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点,抛物线C :y 2=4x 上存在不同的两点A ,B 满足PA ,PB 的中点均在C 上.(1)设AB 中点为M ,证明:PM 垂直于y 轴; (2)若P 是半椭圆x 2+y 24=1(x<0)上的动点,求△PAB 面积的取值范围.22.(本题满分15分)已知函数f (x )=√x -ln x.(1)若f (x )在x=x 1,x 2(x 1≠x 2)处导数相等,证明:f (x 1)+f (x 2)>8-8ln 2;(2)若a ≤3-4ln 2,证明:对于任意k>0,直线y=kx+a 与曲线y=f (x )有唯一公共点.数学(浙江卷)1.C ∵A={1,3},U={1,2,3,4,5},∴∁U A={2,4,5},故选C .2.B ∵a 2=3,b 2=1,∴c 2=a 2+b 2=3+1=4.∴c=2.又焦点在x 轴上,∴焦点坐标为(-2,0),(2,0). 3.C 由三视图可知该几何体为直四棱柱.∵S 底=12×(1+2)×2=3,h=2, ∴V=Sh=3×2=6.4.B ∵21-i =2(1+i )(1-i )(1+i )=2(1+i )2=1+i, ∴复数21-i 的共轭复数为1-i .5.D 因为在函数y=2|x|sin 2x 中,y 1=2|x|为偶函数,y 2=sin 2x 为奇函数, 所以y=2|x|sin 2x 为奇函数.所以排除选项A,B .当x=0,x=π,x=π时,sin 2x=0,故函数y=2|x|sin 2x 在[0,π]上有三个零点,排除选项C,故选D .6.A 当m ⊄α,n ⊂α时,由线面平行的判定定理可知,m ∥n ⇒m ∥α;但反过来不成立,即m ∥α不一定有m ∥n ,m 与n 还可能异面.故选A .7.D 由题意可知,E (ξ)=0×(1-p 2)+1×12+2×p 2=12+p ,D (ξ)=(0-12-p)2×1-p 2+(1-12-p)2×12+(2-12-p)2×p2=12(-2p 2+2p +12)=-(p 2-p +14-12) =-(p -12)2+12,p ∈(0,1).故当p 在(0,1)内增大时,D (ξ)先增大后减小. 8.D当点E 不是线段AB 的中点时,如图,点G 是AB 的中点,SH ⊥底面ABCD ,过点H 作HF ∥AB ,过点E 作EF ∥BC ,连接SG ,GH ,EH ,SF.可知θ1=∠SEF ,θ2=∠SEH ,θ3=∠SGH. 由题意可知EF ⊥SF ,故tan θ1=SFEF =SFGH >SHGH =tan θ3.∴θ1>θ3.又tan θ3=SHGH >SHEH =tan θ2,∴θ3>θ2.∴θ1>θ3>θ2.当点E 是线段AB 的中点时,即点E 与点G 重合,此时θ1=θ3=θ2. 综上可知,θ1≥θ3≥θ2.9.A ∵e 为单位向量,b 2-4e ·b+3=0,∴b 2-4e ·b+4e 2=1. ∴(b-2e )2=1.以e 的方向为x 轴正方向,建立平面直角坐标系,如图. OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OA⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,α=π. 由(b -2e )2=1,可知点B 在以点E 为圆心,1为半径的圆上.由|a -b |=|OA⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |, 可知|a-b |的最小值即为|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值,即为圆上的点B 到直线OA 的距离. 又直线OA 为y=√3x ,点E 为(2,0),∴点E 到直线OA 的距离d=2√3=√3.∴|BA⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为√3-1,即|a -b |的最小值为√3-1.10.B 设等比数列的公比为q ,则a 1+a 2+a 3+a 4=a 1(1-q 4)1-q ,a 1+a 2+a 3=a 1(1-q 3)1-q. ∵a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3), ∴a 1+a 2+a 3=e a 1+a 2+a 3+a 4,即a 1(1+q+q 2)=e a 1(1+q+q 2+q 3).又a 1>1,∴q<0.假设1+q+q 2>1,即q+q 2>0,解得q<-1(q>0舍去). 由a 1>1,可知a 1(1+q+q 2)>1,∴a 1(1+q+q 2+q 3)>0,即1+q+q 2+q 3>0,即(1+q )+q 2(1+q )>0,即(1+q )(1+q 2)>0,这与q<-1相矛盾.∴1+q+q 2<1,即-1<q<0.∴a 1>a 3,a 2<a 4.11.8 11 由{x +y +z =100,5x +3y +1z =100,且z=81, 可得{x +y =19,5x +3y =73,解得{x =8,y =11.12.-2 8由约束条件{x -y ≥0,2x +y ≤6,x +y ≥2画出可行域,如图所示的阴影部分.由z=x+3y , 可知y=-13x+z3.由题意可知,当目标函数的图象经过点B 时,z 取得最大值,当目标函数的图象经过点C 时,z 取得最小值. 由{y =x ,2x +y =6,得{x =2,y =2,此时z 最大=2+3×2=8, 由{2x +y =6,x +y =2,得{x =4,y =-2,此时z 最小=4+3×(-2)=-2.13.√213 由正弦定理a =b,可知sin B=bsinA=√7=2×√32√7=√21.∵a=√7>b=2,∴B 为锐角. ∴cos B=√1-sin 2B =√47=2√77. ∴cos C=-cos(A+B )=sin A sin B-cos A cos B=√32×√217−2√77×12=3√7-2√714=√714.由余弦定理,得c 2=a 2+b 2-2ab cos C=7+4-2×2×√7×√714=7+4-2=9.∴c=3.14.7二项式(√x 3+12x)8的通项为T r+1=C 8r(x 13)8-r (12x -1)r =(12)r C 8r x 8-r 3-r =(12)r C 8r x 8-4r 3,当r=2时,8-4r3=0.故展开式的常数项为(12)2C 82=14×8×72=7.15.(1,4) (1,3]∪(4,+∞) 当λ=2时,f (x )={x -4,x ≥2,x 2-4x +3,x <2.当x ≥2时,f (x )=x-4<0,解得x<4,∴2≤x<4.当x<2时,f (x )=x 2-4x+3<0,解得1<x<3,∴1<x<2.综上可知,1<x<4,即f (x )≤0的解集为(1,4).分别画出y 1=x-4和y 2=x 2-4x+3的图象如图,由函数f (x )恰有2个零点,结合图象可知1<λ≤3或λ>4. 故λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞). 16.1 260 分两类: 第一类:从0,2,4,6中取到0,则没有重复数字的四位数有C 31C 52A 31A 33=540;第二类:从0,2,4,6中不取0,则没有重复数字的四位数有C 32C 52A 44=720.所以没有重复数字的四位数共有540+720=1 260种.17.5 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).∵P (0,1),∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x 1,1-y 1),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2-1). ∵AP⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴{-x 1=2x 2,1-y 1=2(y 2-1),即{x 1=-2x 2,y 1=3-2y 2.又x 124+y 12=m ,∴(-2x 2)24+(3-2y 2)2=m ,即4x 224+4y 22-12y 2+9=m. 又x 224+y 22=m ,∴4m-12y 2+9=m ,即12y 2=3m+9,4y 2=m+3.∴x 224+(m+34)2=m , 即x 22+m 2+6m+94=4m ,即x 22=-m 24+52m-94.∴当m=5时,x 22的最大值为4,即点B 横坐标的绝对值最大.18.解 (1)由角α的终边过点P (-35,-45),得sin α=-45,所以sin(α+π)=-sin α=45. (2)由角α的终边过点P (-35,-45),得cos α=-35,由sin(α+β)=513,得cos(α+β)=±1213.由β=(α+β)-α,得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α, 所以cos β=-5665或cos β=1665.19.解法一 (1)证明:由AB=2,AA 1=4,BB 1=2,AA 1⊥AB ,BB 1⊥AB ,得AB 1=A 1B 1=2√2,所以A 1B 12+A B 12=A A 12,故AB 1⊥A 1B 1.由BC=2,BB 1=2,CC 1=1,BC 1⊥BC ,CC 1⊥BC ,得B 1C 1=√5, 由AB=BC=2,∠ABC=120°,得AC=2√3,由CC 1⊥AC ,得AC 1=√13,所以A B 12+B 1C 12=A C 12,故AB 1⊥B 1C 1.因此AB 1⊥平面A 1B 1C 1.(2)如图,过点C 1作C 1D ⊥A 1B 1,交直线A 1B 1于点D ,连接AD. 由AB 1⊥平面A 1B 1C 1,得平面A 1B 1C 1⊥平面ABB 1, 由C 1D ⊥A 1B 1,得C 1D ⊥平面ABB 1, 所以∠C 1AD 是AC 1与平面ABB 1所成的角. 由B 1C 1=√5,A 1B 1=2√2,A 1C 1=√21, 得cos ∠C 1A 1B 1=√6√7,sin ∠C 1A 1B 1=√7,所以C 1D=√3,故sin ∠C 1AD=C 1D AC 1=√3913.因此,直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值是√3913.解法二(1)证明:如图,以AC 的中点O 为原点,分别以射线OB ,OC 为x ,y 轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知各点坐标如下:A (0,-√3,0),B (1,0,0),A 1(0,-√3,4),B 1(1,0,2),C 1(0,√3,1). 因此AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,2),A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,-2),A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√3,-3). 由AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得AB 1⊥A 1B 1. 由AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得AB 1⊥A 1C 1. 所以AB 1⊥平面A 1B 1C 1.(2)设直线AC 1与平面ABB 1所成的角为θ. 由(1)可知AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√3,1),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0),BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2). 设平面ABB 1的法向量n =(x ,y ,z ).由{n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x +√3y =0,2z =0,可取n =(-√3,1,0).所以sin θ=|cos <AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·n ||AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|·|n |=√3913. 因此,直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值是√39.20.解 (1)由a 4+2是a 3,a 5的等差中项,得a 3+a 5=2a 4+4, 所以a 3+a 4+a 5=3a 4+4=28, 解得a 4=8.由a 3+a 5=20,得8(q +1q )=20, 解得q=2或q=12, 因为q>1,所以q=2.(2)设c n =(b n+1-b n )a n ,数列{c n }前n 项和为S n , 由c n ={S 1,n =1,S n -S n -1,n ≥2,解得c n =4n-1.由(1)可知a n =2n-1, 所以b n+1-b n =(4n-1)·(12)n -1.故b n -b n-1=(4n-5)·(12)n -2,n ≥2,b n -b 1=(b n -b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b 3-b 2)+(b 2-b 1) =(4n-5)·(12)n -2+(4n-9)·(12)n -3+…+7·12+3.设T n =3+7·12+11·(12)2+…+(4n-5)·(12)n -2,n ≥2, 12T n =3·12+7·(12)2+…+(4n-9)·(12)n -2+(4n-5)·(12)n -1, 所以12T n =3+4·12+4·(12)2+…+4·(12)n -2-(4n-5)·(12)n -1, 因此T n =14-(4n+3)·(12)n -2,n ≥2,又b 1=1,所以b n =15-(4n+3)·(12)n -2.21.(1)证明 设P (x 0,y 0),A (14y 12,y 1),B (14y 22,y 2).因为PA ,PB 的中点在抛物线上, 所以y 1,y 2为方程(y+y 02)2=4·14y 2+x 02,即y 2-2y 0y+8x 0-y 02=0的两个不同的实根.所以y 1+y 2=2y 0, 因此,PM 垂直于y 轴.(2)解 由(1)可知{y 1+y 2=2y 0,y 1y 2=8x 0-y 02,所以|PM|=18(y 12+y 22)-x 0=34y 02-3x 0,|y 1-y 2|=2√2(y 02-4x 0).因此,△PAB 的面积S △PAB =12|PM|·|y 1-y 2|=3√24(y 02-4x 0)32. 因为x 02+y 024=1(x 0<0), 所以y 02-4x 0=-4x 02-4x 0+4∈[4,5],因此,△PAB 面积的取值范围是[6√2,15√104]. 22.证明 (1)函数f (x )的导函数f'(x )=2√x 1x , 由f'(x 1)=f'(x 2),得2x 1x 1=2x 1x 2, 因为x 1≠x 2,所以x x =12. 由基本不等式,得12√x 1x 2=√x 1+√x 2≥2√x 1x 24,因为x 1≠x 2,所以x 1x 2>256.由题意得f (x 1)+f (x 2)=√x 1-ln x 1+√x 2-ln x 2=12√x 1x 2-ln(x 1x 2).设g (x )=12√x -ln x ,则g'(x )=14x (√x -4),所以所以g (x )在[256,+∞)上单调递增,故g (x 1x 2)>g (256)=8-8ln 2,即f (x 1)+f (x 2)>8-8ln 2.(2)令m=e -(|a|+k ),n=(|a |+1k )2+1,则f (m )-km-a>|a|+k-k-a ≥0,f (n )-kn-a<n (√n a n -k)≤n (|a |+1√n k)<0,所以,存在x 0∈(m ,n ),使f (x 0)=kx 0+a.所以,对于任意的a ∈R 及k ∈(0,+∞),直线y=kx+a 与曲线y=f (x )有公共点. 由f (x )=kx+a ,得k=√x -lnx -a x . 设h (x )=√x -lnx -a x,则h'(x )=lnx -√x 2-1+a x 2=-g (x )-1+a x 2. 其中g (x )=√x 2-ln x. 由(1)可知g (x )≥g (16).又a ≤3-4ln 2,故-g (x )-1+a ≤-g (16)-1+a=-3+4ln 2+a ≤0,所以h'(x )≤0,即函数h (x )在(0,+∞)上单调递减.因此方程f (x )-kx-a=0至多1个实根.综上,当a ≤3-4ln 2时,对于任意k>0,直线y=kx+a 与曲线y=f (x )有唯一公共点.。
浙江大学数学试题及答案
浙江大学数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. 2B. πC. 0.5D. √4答案：B2. 函数f(x)=x^2的反函数是？A. f^(-1)(x)=√xB. f^(-1)(x)=x^2C. f^(-1)(x)=1/xD. f^(-1)(x)=x答案：A3. 集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，A∩B的结果是？A. {1}B. {2,3}C. {3,4}D. {1,2,3}答案：B4. 以下哪个命题是假命题？A. 所有偶数都是整数B. 所有的整数都是有理数C. 无理数不能表示为两个整数的比D. 所有实数都是有理数或无理数答案：D二、填空题（每题5分，共20分）5. 若函数f(x)=2x+3，求f(-1)的值为______。
答案：-16. 圆的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=9，则圆心坐标为______。
答案：(2,3)7. 矩阵A=\[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\]的行列式值为______。
答案：-28. 已知等差数列的首项a1=3，公差d=2，求第5项a5的值为______。
答案：11三、解答题（每题15分，共30分）9. 证明：如果一个数列是单调递增且有界的，那么它必定收敛。
证明：设数列{a_n}是单调递增的，即对任意的n，有a_n ≤ a_{n+1}。
又设该数列有上界M，即对任意的n，有a_n ≤ M。
由于数列是单调递增的，因此存在一个子列{a_{n_k}}，使得a_{n_k} ≤ a_{n_{k+1}}。
因为数列有界，所以子列{a_{n_k}}也是有界的。
根据单调有界定理，子列{a_{n_k}}收敛，设其极限为L。
由于{a_{n_k}}是{a_n}的子列，因此数列{a_n}也收敛，且极限也为L。
10. 计算定积分∫(0到π) sin(x) dx。
解：根据定积分的基本定理，我们有∫(0到π) sin(x) dx = [-cos(x)](0到π) = -cos(π) - (-cos(0)) = 2。
2018版浙江《学业水平考试》数学-知识清单与冲A训练：10直线与方程含解析
知识点一直线的倾斜角1．倾斜角的定义(1)当直线l与x轴相交时，取x轴作基准,x轴________与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．(2）当直线l与x轴重合时,规定它的倾斜角为________．2．倾斜角的范围直线的倾斜角α的取值范围________________．知识点二直线的斜率1．定义一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝________，倾斜角是90°的直线斜率不存在．2．过两点的直线的斜率公式经过两点P1（x1，y1)，P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝________________.知识点三直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式不含垂直于x轴的直线斜截式不含垂直于x轴的直线两点式不含直线x＝x1（x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式平面直角坐标系内的直线都适用特别关注：过P1（x1，y1)，P2（x2，y2）的直线方程（1）若x1＝x2，且y1≠y2时,直线垂直于x轴，方程为________；（2）若x1≠x2，且y1＝y2时,直线垂直于y轴，方程为________；(3）若x1＝x2＝0，且y1≠y2时，直线即为y轴,方程为________；（4)若x1≠x2，且y1＝y2＝0时，直线即为x轴,方程为________．知识点四两条直线平行与垂直的判定1．两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2,其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔____________.特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时,l1与l2________.2．两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率存在，设为k1,k2，则l1⊥l2⇔________________，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线________．知识点五两直线相交交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组错误!的解一一对应．知识点六三种距离公式1．点A（x1，y1）,B（x2,y2）间的距离|AB｜＝________________________.2．点P（x0,y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝________________________.3．两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0 （C1≠C2）间的距离d＝________________________。
精品解析：2018年全国普通高等学校招生统一考试数学(浙江卷)(解析版)
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式：选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}1,3A =，则U A =ð（ ）A. ∅B. {}1,3C. {}2,4,5D. {}1,2,3,4,5【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的定义可得结果.【详解】因为全集{1,2,3,4,5}U =，{1,3}A =，所以根据补集的定义得{}2,4,5U A =ð，故选C. 【点睛】若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解．2.双曲线221 3x y -=的焦点坐标是（ ）A. ()，)B. ()2,0-，()2,0C. (0,，(D. ()0,2-，()0,2【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据222c a b =+求焦点坐标【详解】因为双曲线方程为2213x y -=，所以焦点坐标可设为(,0)c ±，因为222314,2c a b c =+=+==，所以焦点坐标为(20)?，选B.【点睛】由双曲线方程22221(0,0)x y a b a b-=>>可得焦点坐标为(,0)(c c ±=，顶点坐标为(,0)a ±，渐近线方程为b y x a=±.3.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ） A. 2 B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】 【分析】先还原几何体为一直四棱柱，再根据柱体体积公式求结果.【详解】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1、2，梯形的高为2，因此几何体的体积为()1122262⨯+⨯⨯=，选C. 【点睛】先由几何体的三视图还原几何体的形状，再在具体几何体中求体积或表面积等. 4.复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是 A. 1+i B. 1−iC. −1+iD. −1−i【答案】B 【解析】分析：化简已知复数z ，由共轭复数的定义可得．详解：化简可得z=21i -()()()21+=111i i i i =+-+ ∴z 的共轭复数为1﹣i. 故选：B ．点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．5.函数y =2x sin2x 的图象可能是 A. B. C. D.【答案】D 【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令()2sin 2xf x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以()2sin 2xf x x =为奇函数，排除选项A,B; 因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．6.已知直线m ，n 和平面α，n ⊂α，则“m n P ”是“m αP ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】试题分析：直线，平面，且，若，当时，，当时不能得出结论，故充分性不成立；若，过作一个平面，若时，则有，否则不成立，故必要性也不成立．由上证知“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D ． 考点：1、线面平行；2、命题的充分必要条件．7.设01p <<，随机变量ξ的分布列如图，则当p 在()0,1内增大时，（ ）A. ()D ξ减小B. ()D ξ增大C. ()D ξ先减小后增大D. ()D ξ先增大后减小【答案】D 【解析】 【分析】先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性. 【详解】111()0122222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=+Q ， 2222111111()(0)(1)(2)2222224p p D p p p p p ξ-∴=--+--+--=-++，1(0,1)2∈Q ，∴()D ξ先增后减，因此选D. 【点睛】222111(),()(())().n nni iii i i i i i E x p D x E p x p E ξξξξ=====-=-∑∑∑8.已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C --的平面角为3θ，则（ ） A. 123θθθ≤≤ B. 321θθθ≤≤C. 132θθθ≤≤D. 231θθθ≤≤【答案】D 【解析】 【分析】分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系. 【详解】设O 为正方形ABCD 的中心，M 为AB 中点，过E 作BC 的平行线EF ，交CD 于F ，过O 作ON 垂直EF 于N ，连接SO 、SN 、OM ，则SO 垂直于底面ABCD ，OM 垂直于AB ，因此123,,,SEN SEO SMO θθθ∠=∠=∠= 从而123tan ,tan ,tan ,SN SN SO SOEN OM EO OMθθθ==== 因为SN SO EO OM ≥≥，，所以132tan tan tan ,θθθ≥≥即132θθθ≥≥，选D.【点睛】线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.9.已知a r 、b r 、e r 是平面向量，e r 是单位向量．若非零向量a r 与e r的夹角为3π，向量b r 满足2430b e b -⋅+=r r r ，则a b -r r的最小值是（ ）A.1B.1C. 2D. 2【答案】A 【解析】 【分析】先确定向量a r 、b r所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.【详解】设()()(),,1,0,,a x y e b m n ===r r r，则由π,3a e =r r 得πcos ,3a e e x y a ⋅=⋅=∴=r r r r ， 由2430b e b -⋅+=r r r 得()2222430,21,m n m m n +-+=-+=因此，a b -r r 的最小值为圆心()2,0到直线y =1 1.选A.【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.10已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则（ ） A. 1324,a a a a << B. 1324,a a a a >< C. 1324,a a a a <> D. 1324,a a a a >>【答案】B 【解析】 【分析】先证不等式ln 1x x +≥，再确定公比的取值范围，进而作出判断.【详解】令()ln 1,f x x x =--则1()1f x x'=-，令()0,f x '=得1x =，所以当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，因此()(1)0,ln 1f x f x x ≥=∴≥+，若公比0q >，则1234123123ln()a a a a a a a a a a +++>++>++，不合题意；若公比1q ≤-，则212341(1)(1)0,a a a a a q q +++=++≤ 但212311ln()ln[(1)]ln 0a a a a q q a ++=++>>，即12341230ln()a a a a a a a +++≤<++，不合题意； 因此210,(0,1)q q -<<∈，22113224,0a a q a a a q a ∴>=<=<，选B.【点睛】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如ln 1,x x ≥+2e 1,e 1(0).x x x x x ≥+≥+≥非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
浙江大学数学试题及答案
浙江大学数学试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是正确的？A. \(\sqrt{2}\)是有理数B. \(\pi\)是无理数C. \(e\)是有理数D. \(0.3333...\)是无理数答案：B2. 函数\(f(x) = x^2 - 4x + 4\)的顶点坐标是？A. (2, 0)B. (-2, 0)C. (2, 4)D. (-2, 4)答案：A3. 以下哪个级数是发散的？A. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\)B. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\)C. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}\)D. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}\)答案：B4. 矩阵\(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)的行列式是？A. 5B. -5C. 2D. -2答案：B5. 函数\(y = \sin(x)\)的周期是？A. \(\pi\)B. \(2\pi\)C. \(\frac{\pi}{2}\)D. \(\frac{2\pi}{3}\)答案：B6. 以下哪个函数是奇函数？A. \(f(x) = x^2\)B. \(f(x) = x^3\)C. \(f(x) = \cos(x)\)D. \(f(x) = \sin(x)\)答案：D7. 已知\(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 2\)，则\(\lim_{x \to 0} f(x)\)是？A. 0B. 2C. -2D. 不存在答案：A8. 以下哪个选项是正确的？A. \(\int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3}\)B. \(\int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{2}\)C. \(\int_0^1 x^2 dx = 1\)D. \(\int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{6}\)答案：A9. 以下哪个选项是正确的？A. \(\ln(e^x) = x\)B. \(\ln(e^x) = e^x\)C. \(\ln(e^x) = e\)D. \(\ln(e^x) = \ln(x)\)答案：A10. 以下哪个选项是正确的？A. \(\frac{d}{dx}(x^2) = 2x\)B. \(\frac{d}{dx}(x^2) = x^2\)C. \(\frac{d}{dx}(x^2) = 2\)D. \(\frac{d}{dx}(x^2) = x\)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数\(f(x) = x^3 - 3x\)的导数是\(f'(x) =\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\ _\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\ _\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\。
浙江远程教育工程数学作业答案
工程数学 答案1.1计算下列各式： （2）、（a-bi ）3解（a-bi ）3=a 3-3a 2bi+3a(bi)2-(bi)3=a 3-3ab 2+i(b 3-3a 2b) ；（3）、ii −1 (i −2)；解 ii −1 (i −2)=i i 2−2i −i+2=i1−3i=i(1+3i)10=−310+i 101.2、证明下列关于共轭复数的运算性质：（1）（z 1±z 2）=z 1±z 2；证 （z 1±z 2）= x 1+iy 1 ±(x 2+iy 2)=(x 1±x 2)-i(y 1±y 2) =x 1− iy 1±x 2±iy 2=z 1±z 2 （2） z 1z 2 =z 1 z 2 ；证 z 1z 2 =（x 1+iy 1）（x 2+iy 2） = x 1x 2−y 1y 2 +i （x 1y 2+y 1x 2） =x 1x 2-y 1y 2- i （x 1y 2+y 1x 2）z 1 z 2=（x 1+iy 1）（x 2+iy 2）=(x 1−iy 1)( x 2−iy 2) =x 1x 2-iy 1x 2- ix 1y 2−y 1x 2 即左边=右边，得证。
（3） Z 1Z 2 =Z 1Z 22≠0)证 Z1Z 2=（x 1+iy 1x 2+iy 2）=（（x 1+iy 1）（x 2−iy 2）x 22+y 22）=（x 1−iy 1）（x 2+iy 2）x 22+y 22=（x 1−iy 1）（x 22+y 22）（x 22+y 22）（x 2−iy 2）=x 1−iy 1x 2−iy 2=Z 1Z 21.4、将直线方程ax+by+c=0 (a 2+b 2≠0)写成复数形式［提示：记x+iy=z ］ A z+A z +B=0，其中A=a+ib ，B=2C(实数) 。
解 由x=z+z 2，y=z −z 2i代入直线方程，得a 2(z +z )+b 2i(z −z )+c=0, az+az -bi(z −z )+2c=0,(a- ib)z+( a+ib) z +2c=0,故A z+A z +B=0，其中A=a+ib ，B=2C1.5、将圆周方程a(x 2+y 2)+bx+cy+d=0 (a ≠0)写成复数形式（即用z 与z 来表示，其中z=x+iy ） 解：x=z+z 2，y=z −z 2i，x 2+y 2=z z 代入圆周方程，得az z +b2(z +z )+c 2i(z −z )+d=0，2az z +(b-ic)z+(b+ic) z +2d=0故Az z +Bz +B z +C=0，其中A=2a ，C=2d 均为实数，B=b+ic 。
浙江大学远程模拟试卷1-5答案
模拟试卷参考答案模拟试卷一：一、判断题（共10小题，每小题2分，共20分，正确的打“√”，错误的打“×”。
请将答案填写在答题框内。
）二、程序填空题（共5小题，10个空格，每空格3分，共30分。
答案请填写在答题表格中。
）三、程序阅读题（共3题，每题8分，共24分。
答案请填写在答题表格中。
）四、程序设计题（共26分，第1题12分，第2题14分）1．编写程序，以下列格式输出0-127等价的ASCII编码。
#include<stdio.h>int main(){int i;for(i=0;i<128;i++)printf("%2c",i);return 0;}2.在有序排列的数组中查找某数，可采用二分法（又称“折半查找法”）查找，以提高查找的效率。
例如，在降序排列的数组a[SIZE]={200,153,120,115,100,98,76,70,68,60,-90,-312}中查找关键字为68，如果找到，则输出其下标；否则，输出无此数提示。
#include <stdio.h>#define SIZE 12int main(){int a[SIZE]={200,153,120,115,100,98,76,70,68,60,-90,-312};int m,found=0;int low=0,high=SIZE-1,mid;printf("输入查找的数：");scanf("%d",&m);while((low <=high)&&(found==0)){mid=(low+high)/2;if(m<a[mid])low=mid+1;else if(m>a[mid])high=mid-1;elsefound=1;}if(found==1)printf("此数组中已找到数%d，它的下标为%d\n",m,mid);elseprintf("此数组中没有所查找的数:%d\n",m);return 0;}模拟试卷二：一、判断题（共10小题，每小题2分，共20分，正确的打“√”，错误的打“×”。
工程数学练习题(附答案版)
（一）一、单项选择题（每小题2分，共12分）1. 设四阶行列式bccad c d b b c a ddc b aD =，则=+++41312111A A A A （ ）.A.abcdB.0C.2)(abcd D.4)(abcd2. 设(),0ij m n A a Ax ⨯==仅有零解，则 （ ）(A) A 的行向量组线性无关; (B) A 的行向量组线性相关; (C) A 的列向量组线性无关; (D) A 的列向量组线性相关;3. 设8.0)(=A P ，8.0)|(=B A P ，7.0)(=B P ，则下列结论正确的是（ ）.A.事件A 与B 互不相容；B.B A ⊂；C.事件A 与B 互相独立；D.)()()(B P A P B A P +=4. 从一副52张的扑克牌中任意抽5张，其中没有K 字牌的概率为（ ）.A.552548C CB.5248 C.554855C D.5555485. 复数)5sin 5(cos5ππi z --=的三角表示式为（ ）A ．)54sin 54(cos 5ππi +-B ．)54sin 54(cos 5ππi -C ．)54sin 54(cos 5ππi +D ．)54sin 54(cos 5ππi --6. 设C 为正向圆周｜z+1|=2,n 为正整数，则积分⎰+-c n i z dz1)(等于（ ）A ．1；B ．2πi ；C ．0；D ．iπ21 二、填空题（每空3分，共18分） 1. 设A 、B 均为n 阶方阵，且3||,2||==B A ，则=-|2|1BA .2. 设向量组()()()1231,1,1,1,2,1,2,3,TTTt α=α=α=则当t = 时,123,,ααα线性相关.3. 甲、乙向同一目标射击，甲、乙分别击中目标概率为0.8， 0.4，则目标被击中的概率为4. 已知()1,()3E X D X =-=，则23(2)E X ⎡⎤-=⎣⎦______.5. 设)(t f 是定义在实数域上的有界函数，且在0=t 处连续，则=⎰+∞∞-dt t f t )()(δ .6. 函数)2)(1(15)(-+-=s s s s F 的Laplace 逆变换为()f t = .三、计算题（每小题10分，共70分）1. 设423110123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 而B 满足关系式2AB A B =+,试求矩阵B .2．当λ为何值时,⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=++=+324622432132131λλλx x x x x x x x 无解,有解，并在有解时求出其解.3、设在15只同类型的零件中有两只是次品，在其中取3次，每次任取一只，作不放回抽样，以 X 表示取出次品的只数，求X 的分布律。
创新设计2018版浙江数学大一轮检测：第三章导数及其应用第2讲含解析
基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、选择题1。
函数f(x)＝x ln x，则( )A.在（0，＋∞)上递增B.在（0,＋∞）上递减C。
在错误!上递增D。
在错误!上递减解析f（x）的定义域为(0，＋∞)，f′（x）＝ln x＋1，令f′(x)〉0得x〉错误!，令f′（x）<0得0<x<错误!，故选D.答案D2。
下面为函数y＝x sin x＋cos x的递增区间的是( )A.错误!B。
(π，2π) C。
错误! D.（2π，3π）解析y′＝（x sin x＋cos x)′＝sin x＋x cos x－sin x＝x cos x，当x∈错误!时，恒有x cos x>0.答案C3.已知函数f(x）＝错误!x3＋ax＋4，则“a>0”是“f(x)在R上单调递增"的（)A。
充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析f′（x）＝错误!x2＋a，当a≥0时,f′（x）≥0恒成立，故“a>0”是“f(x)在R上单调递增"的充分不必要条件.答案A4.已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y＝f′（x）的图象如图所示,则该函数的图象是( ）解析由y＝f′（x）的图象知，y＝f（x)在［－1，1］上为增函数，且在区间(－1，0)上增长速度越来越快，而在区间（0，1)上增长速度越来越慢。
答案B5.设函数f(x）＝错误!x2－9ln x在区间[a－1,a＋1］上单调递减，则实数a的取值范围是( )A。
（1，2］B。
[4，＋∞)C.(－∞,2]D.（0,3]解析∵f（x)＝错误!x2－9ln x,∴f′(x）＝x－错误!（x>0)，当x－错误!≤0时，有0<x≤3,即在（0,3]上原函数是减函数，则［a－1，a＋1]⊆（0，3］，∴a－1〉0且a＋1≤3，解得1<a≤2.答案A二、填空题6.(2017·台州调研)函数f(x）＝错误!的单调递增区间为________；递减区间是________.解析函数的定义域为{x|x≠0}，且f′(x）＝错误!，令f′(x)>0得x>1，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，令f′（x)〈0，得x〈1且x≠0，f(x)的单调减区间为（－∞，0)和（0，1）。
2018年11月浙江数学学考试题(含答案)x3
2018年11月浙江省高中学业水平考试数学试题一、选择题1.已知集合{1,2,3,4}A =，{1,3,5}B =，则A B =（ ）A.{1,2,3,4,5}B.{1,3,5}C.{1,4}D.{1,3}【答案】D【解析】因为{1,2,3,4}A =，{1,3,5}B =，所以{1,3}AB =.2.函数()cos 2f x x =的最小正周期是（ ） A.4π B.2π C.π D.2π 【答案】C【解析】()cos 2f x x =，因为2ω=，所以22T ππ==. 3.计算129()4=（ ） A.8116 B.32 C.98 D.23【答案】B【解析】1293()42==. 4.直线210x y +-=经过点（ ）A.(1,0)B.(0,1)C.11(,)22D.1(1,)2【答案】A【解析】把四个选项的横纵坐标代入直线方程210x y +-=中，可知选项A 可使等式成立.5.函数2()log f x x 的定义域是（ ）A.(0,2]B.[0,2)C.[0,2]D.(0,2)【答案】A【解析】20020x x x -≥⎧⇒<≤⎨>⎩，故函数()f x 的定义域为(0,2].6.对于空间向量(1,2,3)a =，(,4,6)b λ=，若//a b ，则实数λ=（ ）A.2-B.1-C.1D.2【答案】D【解析】因为//a b ，所以12346λ==，即112λ=，所以2λ=. 7.渐近线方程为43y x =±的双曲线方程是（ ） A.221169x y -= B.221916x y -= C.22134x y -= D.22143x y -= 【答案】B 【解析】依题可设双曲线方程为22221x y a b -=，因为渐进线方程为43y x =±，所以43b a =，即22169b a =，只有B 选项221916x y -=符合. 8.若实数x ，y 满足101010x x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则y 的最大值是（ ）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】由约束条件101010x x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，作出可行域如图，由图易知y 的最大值为2.9.某简单几何体的三视图（俯视图为等边三角形）如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）为（ ）A.18B.【答案】C【解析】该几何体为正三棱柱，其底面积为24S ===3h =，所以体积V Sh ==10.关于x 的不等式13x x +-≥的解集是（ ）A.(,1]-∞-B.[2,)+∞C.(,1][2,)-∞-+∞D.[1,2]-【答案】C【解析】当1x ≥时，1132x x x x x +-=+-≥⇒≥；当11x -<<时，1113x x x x x +-=+-=≥⇒无解；当1x ≤时，1131x x x x x +-=--+≥⇒≤-；综上可得，2x ≥或1x ≤-.11.下列命题为假命题的是（ ）A.垂直于同一直线的两个平面平行B.垂直于同一平面的两条直线平行C.平行于同一直线的两条直线平行D.平行于同一平面的两条直线平行【答案】D【解析】平行于同一平面的两条直线除了平行外，还可以异面，可以相交.12.等差数列{}()n a n N *∈的公差为d ，前n 项和为n S ，若10a >，0d <，39S S =，则当n S 取得最大值时，n =（ ）A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】∵10a >，0d <，∴n a 是递减数列.又∵3993987654763()0S S S S a a a a a a a a =⇒-=+++++=+=，∴760a a +=，67a a >，∴60a >，70a <，∴max 6()n S S =.13.对于实数a 、b ，则“0a b <<”是“1ba <”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】充分性：由0a b <<，得01ba <<，故充分性成立； 必要性：由1ba <，得0ab a >⎧⎨<⎩或0a b a <⎧⎨>⎩，故必要性不成立.所以“0a b <<”是“1ba <”的充分不必要条件.14.已知函数()y f x =的定义域是R ，值域为[1,2]-，则值域也为[1,2]-的函数是（）A.2()1y f x =+B.(21)y f x =+C.()y f x =-D.()y f x =【答案】B【解析】分析四个选项可知只有(21)y f x =+是由()y f x =的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12之后再将图像向左平移12个单位得到，故(21)y f x =+和()y f x =的值域是相同的. 15.函数2()()a f x x a R x=+∈的图象不可能是（ ） A. B.C.D.【答案】A 【解析】当0a =时，函数22()(0)a f x x x x x=+=≠，函数图象可以是B. 当1a =时，函数221()a f x x x x x=+=+，函数可以类似于D. 当1a =-时，221()a f x x x x x =+=-，0x >时，210x x-=只有一个实数根1x =，图象可以是C.所以函数图象不可能是A. 16.若实数a ，b 满足0ab >，则2214a b ab ++的最小值为（ ） A.8 B.6 C.4 D.2【答案】C【解析】因为0ab >，所以2211444a b ab ab ab ++≥+≥=，当且仅当214a b ab ab =⎧⎪⎨=⎪⎩，即1a =，12b =时取等号，所以最小值为4. 17.如图，在同一平面内，A ，B 是两个不同的定点，圆A 和圆B 的半径为r ，射线AB 交圆于点P ，过P 作圆A 的切线l ，当1()2r r AB ≥变化时，l 与圆B 的公共的轨迹是（ ）A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线【答案】D【解析】设直线l 与圆B 的交点为M ，过点M 作与过点A 平行于l 的直线的垂线，垂足为N ，易知MN PA MB r ===，即点M 到定直线AN 的距离等于其到定点B 的距离，所以点M 的轨迹是抛物线.18.如图，四边形ABCD 是矩形，沿AC 将ADC ∆翻折成AD C '∆，设二面角D AB C '--的平面角为θ，直线AD '与直线BC 所成角为1θ，直线AD '与平面ABC 所成的角为2θ，当θ为锐角时，有（ ）A.21θθθ≤≤B.21θθθ≤≤C.12θθθ≤≤D.21θθθ≤≤【答案】B【解析】由二面角的最大性与最小角定理可知，答案在A ，B 选项中产生.下面比较1θ和θ的大小关系即可.过D '作平面ABC 垂线，垂足为O ，过O 作OE AB ⊥，垂足为E ，连结D E '，则 D EO θ'=∠可以认为是OE 与平面AD E '所成的线面角，1θ可以认为是OE 与平面AD E '内的AD '所成的线线角，所以1θθ≤，综上，21θθθ≤≤.二、填空题19.已知函数2,0()1,0x f x x x ≥⎧=⎨+<⎩，则(1)f -= ，(1)f = . 【答案】0,2【解析】因为10-<，故(1)110f -=-+=；又10>，故(1)2f =. 20.已知O 为坐标原点，B 与F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上顶点与右焦点，若OB OF =，则该椭圆的离心率是 .【解析】因为B ，F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上顶点和右焦点，故设OB b =，OF c =，又OB OF =，所以b c =，因为a a ==，所以椭圆的离心率2c b e a a ====. 21.已知数列{}()n a n N *∈满足：11a =，12n n n a a +⋅=，则2018a = .【答案】10092【解析】1122n n n a a +++=，12n n n a a +=，22n na a +=，数列21{}n a -和2{}n a 均为等比数列，且公比均为2，首项分别是121,2a a ==，所以数列{}n a 的通项为，故100920182a =.22.如图，O 是坐标原点，圆O 的半径为1，点(1,0)A -，(1,0)B ，点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，在圆O 上按逆时针方向运动，若点P 的速度大小是点Q 的两倍，则在点P 运动一周的过程中，AP AQ ⋅的最大值为 .【答案】2【解析】设(cos ,sin )([0,])Q θθθπ∈，由P 点的速度是点Q 的两倍，即(cos 2,sin 2)P θθ--，(cos 21,sin 2)(cos 1,sin )AP AQ θθθθ⋅=-+-⋅+(cos 21)(cos 1)(sin 2)sin θθθθ=-+++-cos2cos cos cos21sin 2sin θθθθθθ=-+-+-cos(2)cos cos21θθθθ=--+-+cos 21θ=-+22sin 2θ=≤.三、解答题23.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且222b a c ac =+-. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2a c ==，求ABC ∆的面积；（Ⅲ）求sin sin A C +的取值范围.【答案】（Ⅰ）60︒; ; （Ⅲ）. 【解析】（Ⅰ）由222cos 2a c b B ac +-=，可知1cos 2B =，所以60B =︒. （Ⅱ）由（Ⅰ）得60B ∠=︒，又2a c ==，所以11sin 22sin 6022ABC S ac B ∆==⨯⨯⨯︒=（Ⅲ）由题意得3sin sin sin sin(120)sin 30)2A C A A A A A +=+︒-=+=+︒，因为0120A ︒<<︒，所以3030150A ︒<+︒<︒30)A <+︒≤值范围是2. 24.已知抛物线2:4C y x =的焦点是F ，准线是l .（Ⅰ）写出F 的坐标和l 的方程；（Ⅱ）已知点(9,6)P ，若过F 的直线交抛物线C 于不同的两点A ，B （均与P 不重合），直线PA ，PB 分别交l 于点M ，N .求证：MF NF ⊥.【答案】（Ⅰ）(1,0)F ，1x =-; （Ⅱ）略.【解析】（Ⅰ）因为抛物线24y x =是焦点在x 轴正半轴的标准方程，所以2p =，所以焦点为(1,0)F .准线方程为1x =-.（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y （16y ≠±且26y ≠±），AB 直线方程为1x my =+（m 是实数），代入24y x =，得2440y m y --=，于是124y y m +=，124y y ⋅=-.由(9,6)P ，得146PA k y =+，直线PA 的方程为146(9)6y x y -=-+，令1x =-，得1164(1,)6y M y --+，同理可得2264(1,)6y N y --+，所以12121296()41(6)(6)F N F M MF NF F M F N y y y y y y y y k k x x x x y y ---++⋅=⋅==---++，故MF NF ⊥. 25.已知函数()()a f x x a R x =+∈. （Ⅰ）当1a =时，写出()f x 的单调递增区间（不需写出推证过程）；（Ⅱ）当0x >时，若直线4y =与函数()f x 的图象相交于A ，B 两点，记()AB g a =，求()g a 的最大值；（Ⅲ）若关于x 的方程()4f x ax =+在区间(1,2)上有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）[1,0)-，[1,)+∞; （Ⅱ）4;（Ⅲ）15()22--. 【解析】（Ⅰ）()f x 的单调递增区间为[1,0)-，[1,)+∞（Ⅱ）因为0x >，所以（ⅰ）当4a >时，()y f x =的图象与直线4y =没有交点；（ⅱ）当4a =或0a =时，()y f x =的图象与直线4y =只有一个交点；（ⅲ）当04a <<时，0()4g a <<；（ⅳ）当0a <时，由4a x x +=，得240x x a -+=，解得2A x =由4a x x+=-，得240x x a ++=，解得2B x =-所以()4A B g a x x =-=，故()g a 的最大值是4.（Ⅲ）要使关于方程4(12)()a x ax x x +=+<<*有两个不同的实数根1x ，2x ，则0a ≠，且1a ≠±.（ⅰ）当1a >时，由()*得2(1)40a x x a -+-=，所以1201a x x a =-<-，不符合题意； （ⅱ）当01a <<时，由()*得2(1)40a x x a -+-=，其对称轴221x a =>-，不符合题意； （ⅲ）当0a <，且1a ≠-时，由()*得2(1)40a x x a +++=，又因为1201a x x a =>+，所以1a <-.所以函数a y x x=+在(0,)+∞是增函数. 要使直线4y ax =+与函数a y x x =+图象在(1,2)内有两个交点，则(1)11f a a =+=--，只需14164(1)0a a a a -->+⎧⎨-+>⎩，解得1522a --<<-.综上所述，实数a 的取值的范围为15()22--.。
浙大《工程数学》在线作业
B. 可以逐项求导数
C. 可以逐项求积分
D. 以上都对
满分：2 分
23. 设f(z)在单连通域B内处处解析，C为B内任何一条简单闭曲线，∮cRe[f(z)]dz=0是否成立？( )
A. 是
B. 否
C. 不一定
满分：2 分
24.
1. 两个函数的卷积满足交换律、结合律、分配律。
A. 错误
B. 正确
满分：2 分
2. ∫c zdz=(3+4i)^2/2，c为从原点到点3+4i的直线段(^2表示平方)。
A. 错误
B. 正确
满分：2 分
3. 若函数f(z)在区域D内有定义，且Re(f(z))在D内是一常数，则f(z)在D内也是一常数。
4. 函数f(z)在点z可导是f(z)在点z解析的( )。
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既非充分条件也非必要条件
满分：2 分
5. 若f（z）在复平面解析，g(z)在复平面上连续，则f(z)+g(z)在复平面上（ ）。
A. 解析
B. 可导
12. 关于幂级数，下列说法错误的是（ ）。
A. 幂级数在收敛圆内处处解析
B. 幂级数在收敛圆内有任意阶导数
C. 幂级数的每一阶导数依然解析
D. 幂级数在收敛圆上一定收敛
满分：2 分
13. 设f(z)＝sinz，则下列命题中，不正确的是( )。
A. f(z)在复平面上处处解析
A. 错误
B. 正确
满分：2 分
10. 若z0是f(z)的m阶极点，则z0是1/f(z)的m阶零点。
浙江大学远程考试-工程数学练习题库(2018版)
浙江大学远程教育学院 《工程数学》练习题一、填空题：1. 设2iz e-=，那末z =____________，arg z =______________。
2. 设21()2z f z z =-－,那么函数()f z 除了点z =______外处处解析,且()f z '=____________。
3. 微分方程1/y x '=的通解y =_________，当满足条件(1)0y =时，y =__________。
4. 设已知方程()()y p x y f x '+=的齐次方程一解为x 、非齐次方程一解为2x ，则方程的通解为y =__________________________。
5. 积分()()j t F f t e dt ωω+∞--∞=⎰称为()f t 的______变换，()f t 称为()F ω的_____函数。
6. 傅里叶变换有微分性质Φ[()]f t '=__________________。
7. 设12iz e-=，那末z =____________，arg z =______________。
8. 设1()cos()f z z=,那么函数()f z 除了点z =_____外处处解析,且()f z '=___________。
9. 微分方程xy e '=的通解y =________，当满足条件(0)1y =时，y =__________。
10. 设已知方程()()y p x y f x '+=的齐次方程一解为2x 、非齐次方程一解为x ，则方程的通解为y =_________________________。
11. 积分0()()st F s f t e dt +∞-=⎰称为()f t 的______变换，()f t 称为()F s 的_____函数。
12. 拉普拉斯变换有线性性质: Λ[()()]f t g t αβ+=________________________。
【统一】2018年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江卷精编版含答案
A. −1B. +1C. 2D. 2−
10.已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)，若a1>1，则( )
A. a1<a3，a2<a4B. a1>a3，a2<a4C. a1<a3，a2>a4D. a1>a3，a2>a4
(1)求q的值
(2)求数列{bn}的通项公式
21.(15分)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上
(1)设AB中点为M，证明：PM笔直于y轴
(2)若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围
22.(15分)已知函数f(x)=−lnx
综上可知， 时， 与 有唯一公共点.
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2.双曲线−y2=1的焦点坐标是( )
A. (−，0)，(，0)B. (−2，0)，(2，0)C. (0，−)，(0，)D. (0，−2)，(0，2)
3.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
4.复数(i为虚数单位)的共轭复数是( )
13.答案：
解答：
由正弦定理 ，得 ，所以 .
由余弦定理， ，得 ，所以 .
14.答案：
解答：
通项 .
，∴ .∴常数项为 .
浙江大学2018年数学分析考研试题及解答
{xn} 收敛到 x0. 由 f (xn) = 0 以及 f (x) 的连续性, 取极限得 f (x0) = 0, 因此 x0 ∈ (0, 1). 前面的数列 {xn} 可以取成单调数列, 用罗尔定理可以得到一个趋于 x0 的单调数列 {yn}, 使得 f ′(yn) = 0. 如果 f ′(x0) = 0, 则得到矛盾. 最后用反证法来证明前一句话, 从而完成证 明.
|f ′(x) − f ′(y)| < L|x − y|.
证明: (f ′(x))2 < 2Lf (x).
2
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浙江大学 2018 年数学分析试题参考解答
小花爱数学
浙江大学 2018 年数学分析考研试题参考解答
1. (1) 因为 故 于是
(2) (3)
sin kπ = kπ + O n2 n2
.
(3) 求
Rxdydz + (z + R)2dxdy
,
Σ
x2 + y2 + z2
其中 Σ 为 x2 + y2 + z2 = R2 的下半球面的上侧, R 为一常数.
2. (10 分)
(1) 用极限定义叙述 limx→+∞ f (x) ̸= +∞.
(2)
证明
limx→+∞
x√sin x x+1
̸=
+∞.
原式 = 1
Rx dy dz + (z + R)2 dx dy
RΣ
1 =−
Rx dy dz + (z + R)2 dx dy + 1
R Σ∪{z=0}
R
1 =−
[R + 2(z + R)] dx dy dz + πR3
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浙江大学远程教育学院《工程数学》练习题一、填空题：1. 设2iz e-=，那末z =____________，arg z =______________。
2. 设21()2z f z z =-－,那么函数()f z 除了点z =______外处处解析,且()f z '=____________。
3. 微分方程1/y x '=的通解y =_________，当满足条件(1)0y =时，y =__________。
4. 设已知方程()()y p x y f x '+=的齐次方程一解为x 、非齐次方程一解为2x ，则方程的通解为y =__________________________。
5. 积分()()j t F f t e dt ωω+∞--∞=⎰称为()f t 的______变换，()f t 称为()F ω的_____函数。
6.·7.傅里叶变换有微分性质[()]f t '=__________________。
8. 设12iz e -=，那末z =____________，arg z =______________。
9. 设1()cos()f z z=,那么函数()f z 除了点z =_____外处处解析,且()f z '=___________。
10. 微分方程xy e '=的通解y =________，当满足条件(0)1y =时，y =__________。
11. 设已知方程()()y p x y f x '+=的齐次方程一解为2x 、非齐次方程一解为x ，则方程的通解为y =_________________________。
12. 积分0()()st F s f t e dt +∞-=⎰称为()f t 的______变换，()f t 称为()F s 的_____函数。
13. 拉普拉斯变换有线性性质:[()()]f t g t αβ+=________________________。
14. 设(1)(1)z i i i =-+，那末z =____________，arg z =______________。
15. 设22 (0)x iyz x y x iy -=+≠+,则z 的模 | z| =______________________。
16. 设21()1z f z z +=-,那么函数()f z 除了点z =_____外处处解析,且()f z '____________。
17. <18.设C 是：连接1-到2的任意曲线，则(2cos )Cz z dz +⎰=_______________。
19. 222511(1)(1)z z z z ze ze dz dz z z ==++-++⎰⎰=__________________________。
20. 221cos 0()sin zz f z z z-==是函数 的_____阶极点,且其留数Re ((),0)s f z =________。
21. 1()1f z z=-函数 在0z =处展开的泰勒级数为________________________。
22. 设()i z i =-，那末z =____________，arg z =______________。
23. 设22 (0)x iyz x y x iy -=+≠+,则z 的模 | z| =______________________。
24. 设21()1z f z z +=-,那么函数()f z 除了点z =_____外处处解析,且()f z '____________。
25. 设3z i =+，那末z =____________，arg z =______________。
26. 设()2ze f z z =-,那么函数()f z 除了点z =______外处处解析,且()f z '=________。
27. 微分方程23y x '=的通解y =_________，当满足条件(0)1y =时，y =__________。
28. '29.设已知方程()()y p x y f x '+=的齐次方程一解为3x 、非齐次方程一解为x ，则方程的通解为y =__________________________。
30. 傅里叶变换性质：[()]f t '= ______，[()]f x a +=_____。
31. 拉普拉斯变换有延迟性质：设1[()](),0F s f t a -=>,则1[()]as e F s --=______。
32. 设sin()z i =，那末Re z =____________，Im z =______________。
33. 设()cos(1/)f z z =,那么函数()f z 除了点z =____外处处解析,且()f z '=_________。
34. 微分方程20y y '-=的通解y =_________，当满足条件(0)1y =时，y =__________。
35. 设已知方程()()y p x y f x '+=的齐次方程一解为1、非齐次方程一解为2x ，则方程的通解为y =__________________________。
36. 拉氏变换[()]tu t =______，拉氏逆变换1-1[]1s =-_____。
37. 傅氏变换有相似性质:0,a >[()]f at =________________________。
38. 设2iz e +=，那末Re z =____________，Im z =______________。
39. \40.设sin ()1zf z z =-,那么函数()f z 除了点z =______外处处解析,且()f z '=____________。
41. 微分方程cos y x '=的通解y =_________，当满足条件(0)1y =时，y =__________。
42. 设已知方程()()y p x y f x '+=的齐次方程一解为3x 、非齐次方程一解为2x ，则方程的通解为y =__________________________。
43. 傅里叶变换性质：12[()*()]f t f t = ______，1-12[]F F =_____。
44. 拉普拉斯变换有微分性质：[()]f t '=_________________。
45. 设()iz i =，那末Re z =____________，Im z =______________。
46. 设()sin(1/)f z z =,那么函数()f z 除了点z =____外处处解析,且()f z '=_________。
47. 微分方程y y '=的通解y =_________，当满足条件(0)1y =时，y =__________。
48. 设已知方程()()y p x y f x '+=的齐次方程一解为2x 、非齐次方程一解为1，则方程的通解为y =__________________________。
49. 拉氏变换[()]u t =______，拉氏逆变换1-1[]1s =+_____。
50. 、51.傅氏变换有线性性质:[()()]f t g t αβ+=________________________52. 设sin()z i =，那末Re z =____________，Im z =______________。
53. 设()cos(1/)f z z =,那么函数()f z 除了点z =____外处处解析,且()f z '=_________。
54. 微分方程20y y '-=的通解y =_________，当满足条件(0)1y =时，y =__________。
55. 设已知方程()()y p x y f x '+=的齐次方程一解为1、非齐次方程一解为2x ，则方程的通解为y =__________________________。
56. 拉氏变换[()]tu t =______，拉氏逆变换1-1[]1s =-_____。
57. 傅氏变换有相似性质:0,a >[()]f at =________________________。
58. 设3z i =+，那末 z =____________，arg z =______________。
59. 设11()1zf z e z=--,那么函数()f z 有奇点z =______ , 且奇 点类型是________。
60. 微分方程2y x '=的通解y =_________，当满足条件(0)1y =时，y =__________。
61. 【62.设已知常线数方程0y py qy '''++=的二解为x xe e -、，p =_____ ,q =___ ___。
63. 傅里叶变换性质：[()]tf t = _________。
64. 拉普拉斯变换：()[1]u t -=______。
65. 设Ln(34)z i =-+，那末Re z =____________，Im z =______________。
66. 设3sin ()zf z z=,那么函数()f z 有奇点z =______ , 且是________级极点。
67. 微分方程20xy '-=的通解y =_________，当满足条件(1)2y =时，y =__________。
68. 设已知常线数方程0y py qy '''++=的二解为xxe xe 、，p =_____ ,q =___ ___。
69. 拉氏变换[()]tu t =______。
70. 傅氏变换有性质:[()]f t a -=_______________________。
71. 设13z i =+ z =____________，arg z =______________。
72. $73.设11()z f z e-=,那么函数()f z 有奇点z =______ , 且是________奇点。
74. 微分方程xy e '=的通解y =_________，当满足条件(0)1y =时，y =__________。
75. 设已知常线数方程0y py qy '''++=的二解为2xxe e-、，p =_____ ,p =___ ___。