整除的数字特征_小学数学教学中的初等数论问题_于庆
整除的性质和特征
整除的性质和特征整除是数论中的一个重要概念，它描述了一个整数能够被另一个整数整除，也就是除法运算的结果是整数。
整除有着许多重要的性质和特征，下面将详细介绍。
1.定义：整数a能够被整数b整除，即b是a的因数，记作b，a，当且仅当存在一个整数c，使得a=b·c。
其中，c称为a除以b的商，b称为a的约数，a称为b的倍数。
2.可加性：如果c是a的一个约数，那么c也是a的倍数。
换句话说，如果一个整数能够整除a，那么它也能够整除a的倍数。
3.可乘性：如果b，a且c，a，那么b·c也，a。
换句话说，如果一个整数能够整除a和b，那么它也能够整除a与b的乘积。
4.整除的传递性：如果b，a且c，b，那么c，a。
换句话说，如果一个整数能够整除a和b，那么它也能够整除a。
5.算术基本定理：任意一个大于1的整数，都可以表达为多个质数的积。
这意味着，如果一个整数可以整除另一个整数，那么它必然可以整除这个整数的所有质因数。
6. 两个非零整数的最大公约数和最小公倍数：两个非零整数a和b的最大公约数（记作gcd(a,b)）是能够同时整除a和b的最大正整数。
两个非零整数a和b的最小公倍数（记作lcm(a,b)）是能够同时被a和b整除的最小正整数。
于是有gcd(a,b)·lcm(a,b)=a·b。
7.唯一分解定理：任何一个整数都能够唯一地分解为几个质数的乘积。
这个定理也说明了一个数的因数有限，不会无限增多。
8. 整除与除法的关系：一个整数a能够被b整除，相当于a除以b 的余数为0。
对于任意的整数a和b，总能够找到唯一的两个整数商q和余数r，使得a=bq+r，其中r满足0≤r<，b。
9. 整除与模运算的关系：一个整数a能够被b整除，等价于a除以b的余数为0，即a mod b = 0。
在模运算中，a mod b表示a除以b的余数。
10. 除法的消去律：如果一个整数a能够被b整除，那么对于任意的整数c，ac也能够被bc整除。
小学数学知识点除法的整除和余数
小学数学知识点除法的整除和余数小学数学知识点：除法的整除和余数在小学学习数学时，我们会接触到除法这个概念。
除法是一种数学运算方法，用以求出两个数之间的商和余数。
在本文中，我们将探讨除法的整除和余数的概念、应用以及一些解题技巧。
1. 整除当一个数可以被另一个数整除时，我们称这个数为被除数，而除以的数为除数。
当除法的余数为0时，我们称这个除法为整除。
例如，当我们将12除以3时，得到的商为4，余数为0，因此12可以被3整除。
在解决实际问题时，我们经常会遇到整除的情况。
例如，将一些糖果平均分给一群学生，如果每个学生获得相同数量的糖果且没有剩余，那么我们可以说这个数能够整除学生的数量。
2. 余数当一个数不能被另一个数整除时，我们会得到一个余数。
例如，当我们将17除以5时，得到的商为3，余数为2。
这意味着17不能被5整除，但我们可以得到商3和余数2。
余数在日常生活中也有一些应用。
例如，将苹果分给一些小朋友，每个小朋友可以获得3个苹果，但是还剩下2个苹果无法平均分配。
这里的2就是一个余数。
3. 解题技巧为了更好地应用除法，我们有一些解题技巧可以帮助我们更容易地理解和计算除法。
3.1 试除法试除法是一种常用的方法，用于找到一个数是否可以整除另一个数。
例如，我们要判断121是否可以被11整除，我们可以用11去除121，如果得到的余数为0，则可以确定121可以被11整除。
3.2 除法的性质除法具有一些性质，这些性质可以帮助我们更好地理解除法的概念。
其中一些性质包括：- 任何数除以1都等于自身。
- 一个数除以自身等于1。
- 偶数除以2，余数为0；奇数除以2，余数为1。
3.3 应用问题除法在解决实际问题时非常有用。
例如，我们可以使用除法来计算周长、面积、速度等。
在解决这些问题时，我们需要将数学概念与实际应用相结合，从而找到适当的解法。
4. 总结通过掌握除法的整除和余数的概念，以及使用相关的解题技巧，我们可以更好地理解和应用除法。
除法的整除与余数知识点总结
除法的整除与余数知识点总结除法是数学中的一种基本运算，它涉及到整除和余数的概念。
在本文中，我将对除法的整除与余数进行知识点的总结，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、整除的定义与性质整除是指一个数能够被另一个数整除，即没有余数。
对于两个整数a和b，若存在一个整数c，使得a = b * c，我们说a能够被b整除，记作b|a。
下面是整除的一些重要性质：1. 任何数都可以被1整除，即1|a，其中a为任意整数。
2. 任何整数a能够被自身整除，即a|a。
3. 若a能够被b整除，并且b能够被c整除，则a也能够被c整除，即若b|a且c|b，则c|a。
4. 若a能够被b整除，并且b不为0，则a/b是整数，即若b|a且b≠0，则a/b为整数。
这些性质在解题和证明中经常应用，对于理解整除概念起到重要作用。
二、余数的定义与应用余数是指在进行除法运算时，被除数除以除数后所剩下的未被整除的部分。
对于两个整数a和b，其中a为被除数，b为除数，我们用符号a%b表示a除以b的余数。
下面是余数的一些重要性质：1. 若a能够被b整除，则a%b等于0。
2. 余数不可为负数，即对于任意整数a，a%b的值在0到b-1之间。
3. 若a>b，则a%b的值小于b。
余数在解决问题时具有广泛的应用，例如：1. 判断一个数的奇偶性：若一个整数a%2的余数为0，则a为偶数，否则为奇数。
2. 进行模运算：模运算是指将一个数除以另一个数的余数，常用符号为a≡b(mod m)表示a和b对模m同余，也即a% m = b% m。
3. 判断能否整除：若余数为0，则被除数能够被除数整除。
通过了解余数的定义和应用，我们能够更好地理解和利用除法运算。
三、应用举例为了加深对整除与余数的理解，下面举两个具体的例子进行说明。
例1：判断一个数是否能够被5整除。
解析：我们只需要判断这个数的个位上的数字是否是0或5，如果是，则这个数能够被5整除。
例如，对于数字155，它的个位数字为5，所以能够被5整除。
数字的整除和余数整除和余数的概念和应用
数字的整除和余数整除和余数的概念和应用数字的整除和余数：概念和应用整数的运算是数学中一个基本的概念，在现实生活中也有着广泛的应用。
在整数的运算中，整除和余数是常见的概念和运算方式。
本文将介绍数字的整除和余数的概念以及它们在实际生活中的一些应用。
一、整除和余数的概念整除是指一个数能够被另一个数整除，即余数为0。
假设有两个整数a和b，如果a能够被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的约数。
可以用符号“|”来表示整除关系，即a|b表示a能够整除b。
余数是指一个数除以另一个数得到的剩下的部分。
假设有两个整数a和b，如果a除以b得到的余数为r，那么r就是a对b取余得到的余数。
可以用符号“%”来表示取余运算，即a%b表示a对b取余。
例如，假设有整数a=15，b=3。
由于b能够整除a，所以15是3的倍数，3是15的约数；同时，15除以3得到的余数为0。
二、整除和余数的应用1. 分配物品在实际生活中，我们常常需要将一些物品进行平均分配。
假设有m 件物品需要分配给n个人，我们可以利用整除和余数的概念来进行分配。
首先，将m除以n，得到商q和余数r。
商q表示每个人至少可以分到的物品数量，余数r表示还剩下的物品数量。
然后，将q件物品平均分给n个人，剩余的r件物品可以按照一定的规则进行分配（例如，可以再平均分给几个人，或者按照某种特定的规则分配给特定的人）。
2. 数字运算在数学运算中，整除和取余也常常被使用。
例如，判断一个数是否是偶数可以利用取余的方法。
如果一个数除以2得到的余数为0，那么这个数就是偶数；反之，余数为1则表示它是奇数。
3. 日历计算日历中经常需要进行日期的计算和判断。
对于某些特定的问题，可以利用整除和余数的概念来进行计算。
例如，判断某一年是否是闰年可以通过它能否被4整除来判断；判断某一个日期是星期几可以通过计算与某一个基准日相差的天数，然后对7取余来得到。
4. 数据存储和编码在计算机科学中，整除和余数的概念经常被用于数据存储和编码。
小学数学点知识归纳除法的余数与整除性质
小学数学点知识归纳除法的余数与整除性质在小学数学学习中，除法是一个重要的概念。
除法涉及到数的整除性质和余数的概念。
本文将对除法的余数与整除性质进行归纳总结。
一、整除性质整除性质是除法中最基本的概念之一。
当两个数a和b满足$a\bmod b=0$时，我们可以说b整除a，记作$b|a$。
整除性质具有以下几个特点：1. 自反性：对于任意的正整数a，有$a|a$；2. 传递性：对于任意的正整数a、b和c，如果$a|b$且$b|c$，则$a|c$；3. 反对称性：对于任意的正整数a和b，如果$a|b$且$b|a$，则a=b。
二、余数的概念当两个数a和b满足$a\bmod b=r$，其中r为一个非负整数，我们将r称为a除以b的余数。
余数的性质如下：1. 常见余数：对于除数为10的整数，其余数范围一定是0~9之间的数字；2. 零除法无意义：任何数除以0都没有意义，因为不存在一个数乘以0能得到非零的结果；3. 余数的唯一性：当a和b固定时，a除以b的余数是唯一确定的；4. 余数和商的关系：对于任意的正整数a、b和c，有$a=b\timesc+r$，其中r为a除以b的余数；5. 余数的性质综合：对于正整数a、b和c，如果$a\bmod b=0$且$b\bmod c=0$，则$a\bmod c=0$。
三、应用举例除法的余数与整除性质在实际问题中有广泛的应用。
下面通过一些例子来说明其应用：1. 求整数的奇偶性：当一个整数a除以2的余数为0时，可以判断a为偶数；当a除以2的余数为1时，可以判断a为奇数；2. 商数的应用：有时候除法的商数也会被运用，比如计算某个物品的平均分配数量等；3. 寻找规律：通过观察除数和余数之间的关系，可以寻找数列的规律或者解决一些数学问题。
综上所述，除法的余数与整除性质是小学数学中的基础知识之一。
它们在数学运算以及实际问题中都扮演着重要的角色。
通过了解和掌握这些知识，可以帮助学生更好地理解数学概念，提高数学运算能力。
除法的整除与余数知识点
除法的整除与余数知识点在数学中，除法是一种基本运算符，用于将一个数（称为被除数）除以另一个数（称为除数），并得到商和余数。
除法的整除与余数是除法运算中的两个重要概念。
本文将详细介绍除法的整除与余数的相关知识点。
一、整除的概念及性质1. 整除的定义：如果一个数a可以被另一个数b整除（即a除以b的余数为0），则称a能够被b整除，记作b | a，读作“b整除a”或“a是b的倍数”。
例如，4 | 12，表示4可以整除12。
2. 整除的性质：a）对于任意的整数a，满足1 | a和a | a。
b）若a | b且b | c，则a | c。
（整除具有传递性）c）若a | b且a | c，则a | (mb + nc)，其中m和n为任意整数。
（整除具有线性性质）二、余数的概念及计算方法1. 余数的定义：在除法运算中，如果被除数a不能被除数b整除，那么a除以b所得到的余数就是a对b的余数。
余数通常用r表示，即a modb = r。
例如，13 ÷ 5 = 2 余 3，因此13对5的余数为3。
2. 余数的计算方法：假设被除数为a，除数为b，商为q，余数为r，那么有以下公式成立：a =b * q + r三、整除与余数的求解方法1. 判断整除：当一个数a能够被另一个数b整除时（即a mod b = 0），我们可以通过判断a与b的关系来确定是否整除。
如果两个数之间存在整数倍关系，即b = ka（k为整数），则a能够被b整除。
2. 求解余数：为了计算a除以b的余数r，我们可以将a除以b并取其余数部分。
常用的方法有：a）短除法：将a除以b的过程简化为手算的步骤，依次从高位到低位进行计算，最终得到余数r。
b）取模运算：利用计算机编程中的取模运算符（%）可以直接得到a mod b的结果。
四、应用举例1. 判断整除：a）判断一个数是否是另一个数的倍数：若一个数a能够被另一个数b整除，则a是b的倍数。
例如，判断36是否是9的倍数，可以计算9 | 36，如果结果为真，则36是9的倍数。
数字的整除性质
数字的整除性质数字的整除性质是数学中的一个重要概念，它描述了一个数能否被另一个数整除。
在这篇文章中，我们将讨论整数除法的基本原理，并探讨一些与整除性质相关的重要概念和性质。
1. 整数除法的基本原理整数除法是指将一个整数（被除数）除以另一个整数（除数），得到的商也是整数的运算过程。
在整数除法中，如果被除数能够被除数整除，那么我们说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。
例如，当10除以2时，10能够被2整除，所以2是10的因数，10是2的倍数。
2. 整除与余数在整数除法中，有两个重要的概念，即整除和余数。
当一个整数能够被另一个整数整除时，我们称它们之间存在整除关系。
例如，12能够被3整除，所以3整除12。
而当一个整数不能被另一个整数整除时，我们说它们之间不存在整除关系。
例如，13不能被5整除，所以5不能整除13。
除了整除关系，整数除法还有一个关联的概念，即余数。
余数是指在整数除法中，被除数除以除数后所得到的剩余数。
例如，当17除以5时，17除以5的商是3余2，即17 = 3 * 5 + 2。
3. 整除性质与判定在实际问题中，我们常常需要判定一个数是否能被另一个数整除。
为了方便判定，我们可以利用一些整除性质。
以下是几个常见的整除性质：3.1. 偶数的整除性：如果一个整数的个位数字是0、2、4、6、8中的任意一个，那么它一定能被2整除。
3.2. 5的整除性：如果一个整数的个位数字是0或者5，那么它一定能被5整除。
3.3. 10的整除性：如果一个整数以0结尾，那么它一定能被10整除。
3.4. 除法性质：如果一个整数能被另一个整数整除，那么它也能被这个整数的约数整除。
例如，如果一个整数能被6整除，那么它一定也能被2和3整除。
4. 应用举例下面是一些应用整除性质的例子：4.1. 判断一个数能否被2整除：只需要判断该数的个位数字是否是0、2、4、6、8中的一个。
4.2. 判断一个数能否被3整除：只需要将该数的所有位上的数字相加，然后判断和是否能被3整除。
备课讲解数论中的整除与同余
备课讲解数论中的整除与同余数论是数学的一个分支，研究的是整数的性质和关系。
在数论中，整除和同余是重要且常见的概念。
本文将详细介绍整除与同余的定义、性质以及应用。
一、整除的定义与性质整除是数论中最基本的概念之一，它描述的是一个整数是否能够被另一个整数整除。
具体来说，如果整数a能被整数b整除，则称a能被b整除，记作b|a。
反之，如果a不能被b整除，则记作b∤a。
1. 整除的传递性：如果a能被b整除，b能被c整除，则a能被c整除。
这是整除关系的一个重要性质，可以简单地通过数学归纳法证明。
2. 整除的性质：对于任意的整数a和b，有以下性质成立：（1）a|a，即任何整数都能被它自身整除；（2）1|a，即任何整数都能被1整除；（3）如果a|b且b|c，则a|c，即整除关系满足传递性；（4）如果a|b且a|c，则a|(bx+cy)，其中x和y为任意整数。
3. 整数的因子与倍数：如果a能被b整除且a≠b，则b称为a的因子，a称为b的倍数。
例如，4能被2整除，2是4的因子，4是2的倍数。
二、同余的定义与性质同余是数论中另一个重要的概念，它描述的是两个整数在除以同一个数后得到相同的余数。
具体来说，如果两个整数a和b除以正整数m得到的余数相等，则称a与b关于模m同余，记作a≡b(mod m)。
1. 同余的性质：对于任意的整数a、b和正整数m，有以下性质成立：（1）自反性：a≡a(mod m)；（2）对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)；（3）传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)；（4）同余关系的加减法：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a±c≡b±d(mod m)；（5）同余关系的乘法：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd(mod m)。
2. 同余类：对于给定的正整数m，每个整数a都与某个在0到m-1之间的整数对应。
数论中的整除性质与除法算法
数论中的整除性质与除法算法数论是数学的一个分支，研究的是整数的性质和它们之间的关系。
在数论中，整除性质是一个非常重要的概念，它与除法算法密切相关。
本文将介绍数论中的整除性质和除法算法，并探讨它们在数学和实际应用中的意义。
一、整除性质在数论中，我们使用符号“|”表示整除关系。
如果一个整数a除以另一个整数b，得到的商为整数且余数为0，我们就说a可以被b整除，记作b|a。
例如，4|12表示4可以被12整除。
整除性质有以下几个重要性质：1. 传递性：如果a|b且b|c，那么a|c。
这表示如果一个整数可以整除另外两个整数，则它也可以整除它们的乘积。
2. 反对称性：如果a|b且b|a，那么a=b或a=-b。
这表示如果两个整数互相整除，则它们必须相等或相反。
3. 整除的性质：如果a|b且a|c，那么a|(bx+cy)，其中x和y是任意整数。
这表示如果一个整数同时整除两个整数，则它也可以整除它们的线性组合。
4. 整除的性质：如果a|b且a|c，那么a|(b±c)，其中±表示加法或减法。
这表示如果一个整数同时整除两个整数，则它也可以整除它们的和或差。
二、除法算法除法算法是从给定的被除数和除数中计算商和余数的方法。
在数论中，我们常用的算法有两种：带余除法和终止除法。
1. 带余除法带余除法是最基本的除法算法，它描述了如何计算商和余数。
给定两个整数a和b（b≠0），我们要找到整数q和r，使得a=bq+r，其中0≤r<|b|。
带余除法的步骤如下：步骤1：令r=a。
步骤2：找到一个整数q，满足0≤r<|b|。
步骤3：计算商q和余数r。
例如，我们要计算15÷4的商和余数：步骤1：令r=15。
步骤2：找到一个整数q，使得0≤r<4。
我们找到的q=3。
步骤3：根据商q和余数r，计算15÷4的商为3，余数为3。
2. 终止除法终止除法是一种更高效的除法算法，它使用整除性质来求解商和余数。
数的整除特征
数的整除特征首先，我们来定义一下整除的概念。
对于任意两个整数a和b，如果存在一个整数k，使得a=k*b，那么我们称b整除a，记作b，a。
其中，整数k就是a除以b的商。
例如，2整除8，可以表示为2，8，因为8=2*4有了整除的定义，我们就可以讨论整除的一些基本特征了。
首先，任何数都能被1整除。
这是因为对于任意一个整数a，都存在一个整数k=1，使得a=k*a，即a，a。
其次，对于任意一个整数a，a除以a的商为1，即a=a*1、因此，任何一个数都能被自身整除，即a，a。
接下来，我们来讨论一下整除特征中的一个重要性质，即整除的传递性。
如果整数a能够被整数b整除，而整数b能够被整数c整除，那么整数a也能够被整数c整除。
这是因为如果有a=k*b和b=m*c，其中k和m都是整数，那么可以将a表示为a=(k*m)*c，即a=k'*c（其中，k'=k*m），这样就证明了a能够被c整除，即a，c。
最大公约数在整数的整除特征中有很重要的应用。
一个重要的结论是，如果整数a能够被整数b整除，那么a和b的最大公约数就是b。
即，如果a，b，则GCD(a,b)=b。
这可以通过a=k*b和b=m*b，其中k和m都是整数，来进行证明。
因此，对于整除的判断可以使用最大公约数的概念来简化。
最后，我们谈到了整除特征在分解因式和求解方程中的应用。
通过观察一个数的因子和倍数的关系，可以将一个数进行因式分解，找到它的素数因子。
而有一些数论定理也基于整除特征，如唯一分解定理，它指出每个大于1的整数都可以唯一地分解为素数的乘积。
在求解方程中，对于形如ax≡b (mod n)的同余方程，如果数x满足这个方程，那么a和n都能够整除(ax-b)。
根据同余方程的性质，我们可以利用整除特征来求解方程。
总结一下，整除特征是研究整数之间整除关系的基本性质。
它涉及到整除的定义、整除的传递性、最大公约数、最小公倍数以及整除在因式分解和求解方程中的应用等。
第29讲数的整除特征
第29讲数的整除特征在数学中，整除是一个重要的概念。
如果一个数能够被另一个数整除，那么后者称为前者的倍数，前者称为后者的因数。
整除可以用来帮助我们解决一些问题，例如求解最大公约数、判断质数等等。
在本讲中，我们将探讨数的整除特征。
首先，我们来看一个例子。
假设我们要找出100以内能够整除6的所有数，我们可以通过求余运算来判断是否整除。
如果一个数能够被另一个数整除，则它们的余数为0。
因此，我们可以用100除以6，得到商为16余4，即100除以6等于16加上4/6、也就是说，100不能被6整除。
我们继续用99除以6，得到商为16余3，即99除以6等于16加上3/6，也就是说，99不能被6整除。
我们继续用98除以6，得到商为16余2，即98除以6等于16加上2/6，也就是说，98不能被6整除。
我们继续重复这个过程，直到找出所有能够被6整除的数。
通过这个例子，我们可以发现能够整除6的所有数具有一些特征。
数的整除特征一：能够整除一个数的数也能够整除它的倍数。
例如，在上面的例子中，如果一个数能够整除6，那么它也能够整除6的倍数。
也就是说，6、12、18、24等都能够被6整除。
数的整除特征二：如果一个数能够整除两个数的积，那么它也能够整除这两个数。
例如，在上面的例子中，如果一个数能够整除6和8的积，即48，那么它也能够整除6和8、这是因为48能够整除6和8的倍数。
数的整除特征三：如果一个数能够整除两个数中较大的数，那么它也能够整除较小的数。
例如，在上面的例子中，如果一个数能够整除8，那么它也能够整除6、这是因为8能够整除6的倍数。
除了这些整除特征外，我们还可以通过数的质因数分解来判断一个数是否能够整除另一个数。
质因数分解是将一个数分解成质数的乘积的过程。
例如，48可以分解成2的5次方乘以3，即2^5*3、如果一个数能够整除另一个数，那么它的质因数也必须是另一个数的质因数。
例如，6能够整除48，因为6的质因数2和3是48的质因数。
整除的性质和特征
整除的性质和特征整除问题是整数内容最基本的问题。
理解掌握整除的概念、性质及某些特殊数的整除特征，可以简单快捷地解决许多整除问题，增强孩子的数感。
一、整除的概念：如果整数a除以非0整数b，除得的商正好是整数而且余数是零，我们就说a能被b整除（或b能整除a），记作b/a，读作“b整除a”或“a能被b整除”。
a叫做b的倍数，b叫做a的约数（或因数）。
整除属于除尽的一种特殊情况。
二、整除的五条基本性质：（1）如果a与b都能被c整除，则a+b与a-b也能被c整除；（2）如果a能被b整除，c是任意整数，则积ac也能被b整除；（3）如果a能被b整除，b能被c整除，则积a也能被c整除；（4）如果a能同时被b、c整除，且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反之也成立；（5）任意整数都能被1整除，即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除，即0是任意非0整数的倍数。
三、一些特殊数的整除特征：根据整除的基本性质，可以推导出某些特殊数的整除特征，为解决整除问题带来方便。
（1）如果一个数是整十数、整百数、整千数、……的因数，可以通过被除数末尾几位数字确定这个数的整除特征。
①若一个整数的个位数字是2的倍数（0、2、4、6或8）或5的倍数（0、5），则这个数能被2或5整除；②若一个整数的十位和个位数字组成的两位数是4或25的倍数，则这个数能被4或25整除；③若一个整数的百位、十位和个位数字组成的三位数是8或125的倍数，则这个数能被8或125整除。
【推理过程】：2、5都是10的因数，根据整除的基本性质（2），可知所有整十数都能被10、2、5整除。
任意一个整数都可以看作一个整十数和它的个位数的和，如果一个数的个位数字也能被2或5整除，根据整除的基本性质（1），则这个数能被2或5整除。
又因为4、25都是100的因数，8、125都是1000的因数，根据整除的基本性质（2），可知任意整百数都能被4、25整除，任意整千数都能被8、125整除。
四年级奥数专题之整除与余数
四年级奥数专题之整除与余数四年级奥数整除与余数【导言】我们学习的除法算式有两种情况，一种是被除数除以除数以后，余数为0，即数的整除性；另一种是被除数除以除数以后，余数不为0，即有余数的除法。
一个有余数的除法包括四个数：被除数÷除数=商……余数。
这个关系也可以表示为：被除数=除数×商+余数。
下面来总结一下整除和有余数除法的特征：1、整除：（1）能被2整除的特征：如果一个数的个位数字是偶数，那么这个数能被2整除。
（2）能被3整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被3整除，那么这个数能被3整除。
（3）能被4（或25）整除的特征：如果一个数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数能被4（或25）整除。
（4）能被5整除的特征：如果一个数的个位数字是0或5，那么这个数能被5整除。
（5）能被8（或125）整除的特征：如果一个数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数能被8（或125）整除。
（6）能被9整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除。
（7）能被11整除的特征：如果一个数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。
2、有余数的除法：（1）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。
（2）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。
（3）一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。
（4）一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差除以11的余数相同。
（如果奇位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，可用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得的余数与11的差即为所求）。
【经典例题1】已知一个6位数14A52B能被5和9整除，求这个6位数。
【解题步骤】能被5整除的数的末位是0或5，能被9整除的末位是各位上的数字之和能被9整除，即1+4+A+5+2+B能被9整除。
当B=0时，A取6；当B=5时，A取1。
常见整除数的特征
常见整除数的特征能被2整除的数：个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被3整除的数：各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被4整除的数：个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除能被5整除的数: 个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除能被6整除的数: 个数位上的数字和能被3整除的偶数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除能被7整除的数: 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
能被8整除的数：百位、个位和十位所组成的三位数能被8整除，那么这个数能被8整除能被9整除的数：各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数能被9整除能被10整除的数：如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能被10整除（即个位数为零）能被11整除的数：奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除，则该数就能被11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！能被12整除的数：若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除能被13整除的数：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
能被17整除的数：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
小学数学知识点数的整除
小学数学知识点数的整除小学数学知识点汇总数的整除在我们上学期间，大家最不陌生的就是知识点吧！知识点就是“让别人看完能理解”或者“通过练习我能掌握”的内容。
哪些知识点能够真正帮助到我们呢？下面是店铺帮大家整理的小学数学知识点数的整除，希望能够帮助到大家。
小学数学知识点数的整除篇1整除的意义整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a）除尽的意义甲数除以乙数，所得的商是整数或有限小数而余数也为0时，我们就说甲数能被乙数除尽，（或者说乙数能除尽甲数）这里的甲数、乙数可以是自然数，也可以是小数（乙数不能为0）。
因数和倍数1、如果整数a乘整数b整除等于整数C，a和 b就是C的因数，C就是a和b的倍数。
（a.b.c都为非0整数）2、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
3、一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的是它本身，它没有最大的倍数。
奇数和偶数1、能被2整除的数叫偶数。
例如：0、2、4、6、8、10……注：0也是偶数2、不能被2整除的数叫奇数。
例如：1、3、5、7、9……整除的特征1、能被2整除的数的特征：个位上是0、2、4、6、8。
2、能被5整除的数的特征：个位上是0或5。
3、能被3整除的数的特征：一个数的各个数位上的数之和能被3整除，这个数就能被3 整除。
质数和合数1、一个数只有1和它本身两个约数，这个数叫做质数（素数）。
2、一个数除了1和它本身外，还有别的约数，这个数叫做合数。
3、1和0既不是质数，也不是合数。
4、自然数按约数的个数可分为：质数、合数0和15、自然数按能否被2整除分为：奇数、偶数分解质因数1、每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数叫做这个合数的质因数。
例如：18=3×3×2，3和2叫做18的质因数。
2、把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
通常用短除法来分解质因数。
数的整除特征基础篇
数的整除特征(上)什么是整除？若整数a 除以大于0的整数b，商为整数，且余数为零。
我们就说a能被b整除(或说b能整除a)，记作b|a，读作b整除a或a能被b整除。
常见数的整除特征：末位系：2，5：看末一位4，25：看末两位8，125：看末三位数字和系：3，9：看数字和数字差系：11：看奇位和与偶位和的差7，11，13系列：⑴看多位数的末三位和前面部分之差能否被7，11，13整除；⑵把数从末三位开始，三位为一段断开，只需看奇数段的和与偶数段的和的差是否为7，11，13的倍数。
常见整除性质：⑴如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
⑵如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
⑶如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。
例(★★★)四位偶数64WW能被11整除，求出所有满足要求的四位数。
(★★★)两个四位数275A 和275B 相乘，要使它们的乘积能被72整除，求A 和B 。
(★★)在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。
例例例(★★★)在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？例(★★★★)请用1，2，5，7，8，9这六个数字(每个数字至多用一次)来组成一个五位数，使得它能被75整除，并求出这样的五位数有几个？例(★★★)能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？【先睹为快】。
初等数论讲稿几种常见数的整除特征
初等数论讲稿几种常见数的整除特征初等数论是数论的一部分，主要研究自然数的性质和整数之间的关系。
在初等数论中，我们经常遇到一些特殊的数，它们具有特定的整除特征。
本文将介绍几种常见的数的整除特征。
首先，我们来讨论质数。
质数是只能被1和自身整除的自然数，比如2、3、5、7等。
质数的整除特征有两个：首先，任何自然数都可以被质数整除，这是因为质数本身没有其他的因数；其次，一个大于1的自然数若没有被小于等于它的任何一个质数整除，那就是质数，这就是质数的唯一性。
质数在密码学和随机数生成等领域有广泛的应用。
接下来，我们来讨论完全平方数。
完全平方数是可以写成一些自然数的平方形式的数，比如1、4、9、16等。
完全平方数的整除特征是，完全平方数的因数一定是成对出现的，即一个数的平方根之间的所有数都是它的因数。
例如，16的因数是1、2、4、8、16，可以看到它们是成对出现的。
然后，我们来讨论因子个数为奇数的数。
因子个数为奇数的数是指它的所有因数的个数是奇数的数。
例如，6的因数是1、2、3、6，共有4个，是偶数个；而9的因数是1、3、9，共有3个，是奇数个。
那么，什么样的数的因子个数为奇数呢？经过观察可以发现，只有完全平方数的因子个数为奇数。
因为对于一个完全平方数n，它的因数可以写成k的平方形式，其中k是小于等于n的自然数。
当n是完全平方数时，k的平方根只有一个，所以因子个数为奇数。
最后，我们来讨论约数和倍数。
一个数可以被另一个数整除，我们称之为约数。
而一个数可以整除另一个数，我们称之为倍数。
任何一个正整数都可以写成质数的乘积形式，所以对于给定的一个数，它的约数个数可以通过质因数分解的方式计算得到。
例如，对于数24，它的质因数分解是2^3*3^1，其中^表示幂。
那么它的约数个数可以计算为(3+1)(1+1)=8，其中3+1和1+1分别是2和3的幂次加1、而倍数则是一个数乘以任意整数得到的数，一个数的倍数个数是无穷大的。
例如，给定数3，它的倍数为3、6、9、12、15等。
能被优选范文新编整除的数的特征
1671-1×5=1666
166-6×5=136
到这里如果你仍然观察不出来，就继续……
6×5=30，现在个位×5=30>剩下的13，就用大数减去小数，30-13=17，17÷17=1；所以1675282能被17整除。
能被19整除的数的特征
把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被19整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
例1：判断1059282是否是7的倍数？
例2：判断3546725能否被13整除？
能被17整除的数的特征
把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
例如：判断1675282能不能被17整除。
167528-2×5=167518
能被5整除的数个位上的数为0或5，
能被7整除的数的特征
若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
能被9整除的数的特征是所有位数的和是9的倍数
能被11整除的数的特征
把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除。
例如：判断491678能不能被11整除。
奇位数字的和9+6+8=23
偶位数位的和4+1+7=12
23-12=11
因此,491678能被11整除。这种方法叫“奇偶位差法”。
能被13整除的数的特征
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过同余的知识，那在课堂上应该的数字特征。
的数字特征呢？这需要教师对整除的性质有一个全面的了解。
最后列举几个可以利用整除的数字特征解决的题目：（１）已知
我们先来讨论整除的性质 （１），事实上，任何一个自然数 ３３｜ｘ２８５７ｙ，求 ｘ，ｙ（． ２）已知 ９９｜１４１ｘ２８ｙ３，求 ｘ，ｙ。（３）一个 ５ 位数，它
征［２］有：
来理解。这就要思考如何从自然数 Ｎ 中分离出能被 １１ 整除的一
（１）一个自然数能被 ２（或 ５）整除，当且仅当它的末位数字能被 部 分 。 通 过 观 察 与 计 算 可 以 类 比 发 现 ： 对 于 计 数 单 位
２ 或 ５ 整除；
１０，１００，１０００，１００００，……，只要从中依次加上 １，减去 １，再加上 １，
（２）一个自然数能被 ４ 整除，当且仅当它的末两位数字所组成 再减去 １，……，剩下的部分 １１，９９，１００１，９９９９，……，就都能被 １１
的数能被 ４ 整除；
整除了。一般地，
（３）一个自然数能被 ８ 整除，当且仅当它的末三位数字所组成 的数能被 ８ 整除；
Ｎ＝ａｎａｎ－ １…ａ１ａ０＝ａ０＋ａ１×１０＋ａ２×１０２＋ａ３×１０３＋ａ４×１０４＋…ａｎ×１０ｎ ＝ ［ａ１ ×（１０＋１）＋ａ２ ×（１０２－ １）＋ａ３ ×（１０３＋１）＋ａ４ ×（１０４－ １）＋ … ］＋ （ａ０－
初等数论中的一些基本知识在小学数学教学中的用途是十分广泛 然数 Ｎ，都可以写成
的，在初等数论的课堂教学中注重与小学数学教育结合起来，渗透
Ｎ＝ａｎａｎ－ １…ａ１ａ０＝１００×ａｎａｎ－ １…ａ２＋ａ１ａ０＝１０００×ａｎａｎ－ １…ａ３＋ａ２ａ１ａ０。
小学数学教学方法，提高学生的教学能力显得尤为重要。作为一名
Ｎ＝ａｎａｎ－１…ａ１ａ０，都可以写成 Ｎ＝ａｎａｎ－１…ａ１ａ０＝１０×ａｎａｎ－１…ａ１＋ａ０ 的形式。 的各个数位的数字之和是 ４３，并且能被 １１ 整除，求出所有满足条
显然由 １０＝５×２ 知 １０ 能被 ２ 和 ５ 整除，于是只要 ａ０ 能被 ２ 或 ５ 件的 ５ 位数。
整除 Ｎ 就能被 ２ 或 ５ 整除，即看一个数能否被 ２ 或 ５ 整除只要看 参考文献：
由此可见，要判断一个数 ａ 是否能被另一个数 ｂ 整除，只要从
数学教师，站在教学要游刃有余的角度上是必须掌握基本的初等 数 ａ 中分离出能被数 ｂ 整除的一部分，只要看剩下的部分能否被
数论知识的［１］。因此，与小学数学联系紧密的内容要放慢节奏详细 数 ｂ 整除就可以了［３］。而与整除的特征（１）～（３）不同，被 ３（或 ９）整除
是作除法。但对于一些特殊的数，只要利用可以被特殊数字整除的
但是被 １１ 整除的数字特征（５）仅仅靠观察与思考不易发现，研
数字特征就能判断出来，而且这种判断方法比较简捷、迅速，具有 究如何在课堂中引导学生理解这一整除的特征尤为重要。而这实
广泛的实用价值。比如我们常用的可以被特殊数字整除的数字特 际上也可利用上述“分离一部分能整除的，再看另一部分”的思路
讲解。
的数字特征（４）很难发现，那么应该如何利用上述思路来引导学生
整除的数字特征是与小学数学教学密切相关的内容，许多时 理解呢？我们可以如下列式分析：
候需要学生直接借助概念进行思维，而对于以形象思维为主的小 学生来说，这部分内容是难点。针对整除的数字特征这一教学内
Ｎ＝ａｎａｎ－ １…ａ１ａ０＝ａｎ×１０ｎ＋ａｎ－ １×１０ｎ－ １＋…＋ａ１×１０＋ａ０ ＝［ａｎ×（１０ｎ－１）＋ａｎ－１×（１０ｎ－１－ １）＋…＋ａ１×（１０－ １）］＋ａｎ＋ａｎ－１＋…＋ａ１＋ａ０
色，培养学生的授课能力做了一些有效的探索。
关键词：初等数论； 小学数学教学； 整除
中图分类号：G623．5
文献标识码：A
文章编号：1006- 3315（2012）08- 073- 001
高等师范学校的小学教育专业培养的是未来的小学教师。而 被 ８ 或 １２５ 整除只要看末三位？事实就是如此， 因为任何一个自
和与偶数位上的数字之和的差能被 １１ 整除。
把一个判断整除的问题转化成一个更小的判断整除的问题，这种
初等数论的教材中［２］要利用同余的知识证明上述整除的性质， 化难为易的做法使得判断方法具有了实用价值。理解了这个共同
而这在小学数学教学中显然是不适用的，小学生大多还没有接触 点，我们甚至可以自己研究一些判断一个数能否被另一个数整除
DOI:10.16728/ki.kxdz.2012.08.067
总第 ７００ 期
课堂经纬
整除的数字特征
—— —小学数学教学中的初等数论问题
于庆
（徐州高等师范学校数理系，江苏省 ２２１１１６）
摘 要：整除的数字特征是与小学数学教学密切相关的内容。本文针对这一教学内容就如何在初等数论的课堂教学中突出师范特
末位即可。
［１］潇湘数学教育工作室．站在皇冠顶上看风景（二）— ——数学教师要
小学教材中整除的特征（１）～（３）通常是独立安排的，在教学中 掌握一点初等数论知识［Ｊ］．湖南教育（下），２０１１（０５）
我们可以通过实例让学生体会到这三个特征的统一性。注意到 ［２］单墫主编．初等数论［Ｍ］．南京：南京大学出版社，２０００．２０－ ２７
容，本文就如何在初等数论的课堂教学中突出师范特色，培养学生
显然，只要从 １０，１００，１０００，……中拿出 １，剩下的 ９，９９，９９９，
的授课能力做了一些有效的探索。
……就都能被 ３ 和 ９ 整除了。于是，要看一个数能否被 ３（或 ９）整
众所周知，判断一个数能否被另一个数整除，最自然的办法就 除，只要看各数位上的数字之和能否被 ３（或 ９）整除即可。
（４）一个自然数能被 ３（或 ９）整除，当且仅当它的各数位上的数 ａ１＋ａ２－ ａ３＋ａ４－ …）
字之和能被 ３（或 ９）整除；
以上这些方法的共同点是为了判断一个数 ａ 是否能被另一个
（５）一个自然数能被 １１ 整除，当且仅当它的奇数位上的数字之 数 ｂ 整除，都是通过判断一个比 ａ 小的数能否被 ｂ 整除来实现，即
１００＝２５×４，这是否告诉我们看一个数能否被 ４ 或 ２５ 整除只要看 ［３］潇湘数学教育工作室．站在皇冠顶上看风景（一）— ——数学教师要
末两位？马上想到 １０００＝１２５×８，这又是否告诉我们看一个数能否 掌握一点初等数论知识［Ｊ］．湖南教育（下），２０１１（０４）
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