第二章算法

在离散化后，泊松方程和连续性方程就共同构成一个非 线性方程组，总方程数为3N个（N为格点数）。如果在格 点1和格点N 处的、n、p为已知，则总方程数为（3N-2） 个，且有3（N-2）个变量

求解（3N-2）个方程
(1)
n(1) P(1)
(i-1) (i)
n(i-1) n(i) P(i-1) P(i)
int rinsic A D
J p q p E p p qDp p J n qn En n qDnn En E p E
其中n和p是电子和空穴迁移率 ， Dn 和 Dp 电子和空穴的扩散 常数，不考虑能带变窄效应 和假定载流子为波耳兹曼分 布，电场为（2.1-6）
(2.1-17)
除欧姆接触区和绝缘界面区外，器件的其它边界都 假设为反射边界，这时符合
jn n j p n n 0
(2.1-18)
即电流只能从接触区流进或流出。这种假设会引起一定的误 差，但只要反射边界远离器件的有源区，这种误差可减小到 被忽略的程度。
连续方程对时间的离散化可以采用后向欧拉法如式中， n(i,t+t)是在位置x(i)和时间t+t时的电子浓度

j n n U t x
1 1 jn (i , t t ) jn (i , t t ) n(i, t t ) n(i, t ) 2 2 U (i, t t ) 1 t [x(i 1) x(i)] 2
G n ( s )s Qint di
jn n qRs
(2.1-15)
式中，ψG为栅极的静电势；di为绝缘层厚度(指MOS管)。 对于绝缘界面，假设在界面处存在表面复合，且表面复合 速率为Rs，则电流密度应服从 (2.1-16)
j p n qRs
格点化（续）


变步长和矩形、三角网格应用于 MOS 器件的一个 例子示于图2.1－4。网格的间距在x方向和y方向都 是可变的。 在器件模拟时，由于程序的执行时间和存储量 的需求直接与离散空间的格点数有关，因而在模 拟时，减少格点的数目就成为一个重要的问题。
图2.1－4 变步长和 矩形、三 角网格应 用于MOS 器件
(i+1)
n(i+1) P(i+1)
(N)
n(N) P(N)
已知
未知 未知 未知
已知
3．边界条件 器件的边界通常包括欧姆接触、绝缘材料界面和反射边界。 对于欧姆接触，我们假设符合热平衡状态和电中性条件，即有 np=ni2 (2.1-7) n-p-N=0 (2.1-8) 求解上述方程，可得欧姆接触处的载流子浓度ns和ps
(2.1-4)
(2.1-5) (2.1-6)

输运方程不独立， 以一维方程为例
d 2 d 从 2 可知 dx dx dn 从两格子n的差可知 dx d E , dx
二．基本方程的离散化


为了求得数值解，首先要对偏微分方程进行 空间和时间的离散化。我们可以把空间的离 散化看作是在有限的求解空间中布上网格， 然后用中心差分法把微分方程转换成差分方 程。 在一维情况下，可将被分析的器件划分成 若干个格点，如图 2.1 － 1 所示。网格的示意 图，见图2.1－2。
ns
N 4n N
2 2 i
2
(2.1-9)
ps
N 4n N
2 2 i
2
(2.1-10)

由于热平衡，故准费米势n＝p。对于玻尔兹曼统计，有 n=nieq(-n)/(kT) (2.1-11) p=nieq(p-)/(kT) (2.1-12) 如取p＝n＝且等于零，就可得到欧姆接触处的静电势
格点示意图

图2.1-1把求 解空间划分成 N个格点 图 2.1-2 网格 的示意图 图 2.1-3 矩形 和三角形二维 网格


格点化

现将基本变量静电势ψ、n、p定义在 格点上，并认为jn、jp、μn、μp、E各 变量在第 i 格点和第 i＋1 格点间为常 数，即定义在辅格点上。最简单的 为等步长差分网格。但由于器件内 部ψ、n和p的变化在某些区域会非常 剧烈，而在其它某些区域其变化又 会非常缓慢，为了得到足够的求解 精度，往往采用变步长的差分网格。

模拟程序的基本功能是自洽地解这三 个微分方程对给定的电势 和电子 n 和 空穴p浓度, 在模拟程序中总是定 义为内费米势，即。 N 和N 是离化的掺杂浓度， s是由绝缘材 料中的固定电荷和有电荷填充的表面 态密度造成的表面电荷密度，介电常 数，Jn , Jp电子和空穴电流密度，通常 可以表示为漂移流和扩散流之和
4、基本变量的选择 至今有三组基本变量可供选择。最通常是采用直接出现 的基本方程中的变量，即ψ、n和p。它的优点是：经过离散 化后的差分方程，对方程的基本变量来说具有对称、正定的 系数矩阵。其主要缺点是：变量的变化范围过大，从几个数 量级甚至到十几个数量级的变化。因为ψ线性变化时，载流 子浓度将按指数规律变化。 第二组基本变量是ψ、φn和φp。选用这组变量的明显优点是它 们都按线性变化，变化范围均匀。但是除泊松方程保留对称 、正定系数矩阵外，连续方程将失去这一特点。 第三组基本变量是ψ、u和υ，常被称作Slotboom变量。u和 υ分别被定义为 u=e-qn/(kT) (2.1-19) v=e-qp/(kT) (2.1-20) 变量ψ、u、υ与变量ψ、n、p之间有下列关系 n=niue-q/(kT) (2.1-21) p=nive-q/(kT) (2.1-22)
对一维泊松方程 2
x

2
n pN
采用中心差分法进行离散化（把微分方程用+、-、 、 表示）
1 1 (i 1) (i) (i) (i 1) x(i 1) x(i) n(i) p(i) N (i) 1 x(i 1) x(i) 2
格点化（续）

在二维器件模拟程序中，最常用的网格有两种：矩 形和三角形。如图2.1－3所示。矩形网格中最典型 的是变步长差分网格，每个格点与周围的4个格点 相联。这种网格简单、规则性强，由于可以变步长， 网格的效率有所改善，但在处理非平面边界时这种 网格会遇到较大困难。三角形网格则能克服这些缺 点，可很方便地处理各种非平面问题，此外，由于 能够进行局部加密，因此网格的效率很高。对三角 形网格，每个格点和与此格点相毗邻的三角形有关。
器件模拟的数值计算基于半导体器件的基本方程，半导 体器件中的载流子的输运过程可由泊松方程、电子和空穴 的连续性方程和电子空穴电流密度输运方程来描述

半导体器件基本方程
2 q( p n N D N A ) s
(2.1-1)
n 1 J n U n Fn ( , n, p ) t q (2.1-2) p 1 J p U p Fp ( , n, p ) (2.1-3) t q




这组变量在本质上与第一组变量具有相同的特点， 但在某种情况下具有较好的收敛性质。 5、典型算法 前面谈到，泊松方程和连续性方程在离散化后得到 一组非线性代数方程组。目前，求解这组非线性代 数方程组的方法主要有两种：一种为解耦法（或称 Gummel 法），它是对泊松方程和连续性方程依次 顺序求解，再重复循环直到收敛。（小信号法运算 速度快，精度低）。另一种为耦合法（或称 Newton 法）。它是将三个方程作为一个整体，并 用牛顿一拉夫森法进行求解（大信号法运算速度慢， 精度高） 。
第二章 模拟所用的工具和方法 §1 模拟软件的数值计算方法

本课中的器件模拟主要采用了SILVACO中的ATLAS， Silvaco 是加拿大 Silvaco Intenational 公司开发的二维器 件模拟软件 ,是商用化的器件模拟软件 ,本章的论述主要 参考了SILVACO使用手册。
一、基本方程
kT ns kT ps s ln ln q ni q ni kT ns 如加电压 s v ln q ni
(2.1-13)

对于绝缘界面（半导体和绝缘材料界面），电位移满足下列 公式
n ( s )s n( i )i Qint
式中，为从硅向外的单位法向矢量；εs、εi分别为半导 (2.1-14) 体和绝缘层的介电常数；Qint为单位界面电荷。 通常不解绝缘层中的泊松方程，而用一垂直于界面 的电位降来代替，故（2.1-14）式改为
§2 模拟软件Silvaco 简介 一、 界面
简 介2 一模 界拟 软 面 件 （ 续 ）
§
Silvaco
一 界 面 （ 续 ）
二、建立网格
三、显示材料参数
四、显示特性
显示特性（续）
五、显示二维结果
显示二维结果（续）
显示二维结果ຫໍສະໝຸດ Baidu续）
显 示 结 果