人教版初中数学第十八章平行四边形知识点

第十八章平行四边形
平行四边形
平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
平行四边形用“□”表示，读作“平行四边形”.平行四边形ABCD记作“□ABCD”.
平行四边形的性质
平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.
例、已知：□ABCD求证：AD=BC，AB=DC；∠A=∠C，∠B=∠D.
AD CD AD BC
证明：连接AC，//,//
'
∴∠=∠∠=∠
12,34
又AC是△ABC和△CDA的公共边，
∴△ABC≌△CDA，
AD CB AB CD B D
∴==∠=∠
,,
平行四边形性质1：平行四边形的两组对边分别相等.
平行四边形性质2：平行四边形的两组对角分别相等.
例、已知：如图：□ABCD的对角线AC、BD相交于点O.
求证：OA=OC，OB=OD.
[
证明：四边形ABCD是平行四边形
∴ AD=BC，AD∥BC.
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
∴△AOD≌△COB（ASA）.
∴ OA=OC，OB=OD.
平行线之间的距离定义：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.
平行线之间的距离特征1：平行线之间的距离处处相等.
平行线之间的距离特征2：夹在两条平行线之间的平行线段相等.
'
平行四边形性质3：平行四边形的两条对角线互相平分.
例、如图，□ ABCD 中，BD ⊥AB ，AB=12cm ，AC=26cm ，求AD 、BD 长．
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO=CO=2
1AC ，OB=OD ． ∵BD ⊥AB ，∴在Rt △A BO 中，AB=12cm ，AO=13cm ．
∴BO=522=-AB AO ．∴BD=2B0=10cm ．
∴在Rt △ABD 中，AB=12cm ，BD=10cm ．
∴AD=61222=+BD AB (cm)．
?
例、如图，在□ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，△AOB 的周长为25，
AB=12，求对角线AC 与BD 的和.
解：∵△AOB 的周长为25，
∴OA+BO+AB=25，
又AB=12，∴AO+OB=25-12=13，
∵平行四边形的对角线互相平分，∴AC+BD=2OA+2OB=2(0A+OB)=2×13=26
平行四边形的判定
平行四边形判定1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
平行四边形判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
/
平行四边形判定3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
平行四边形判定4：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
平行四边形判定5：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
例、 如图，在□ABCD 中，已知点E 和点F 分别在AD 和BC 上，且AE=CF ，连结CE 和AF ，试说明四边形AFCE 是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD 例、如图，E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AF=CE ，DF=BE ，DF ∥BE ．
【
求证：（1）△AFD ≌△CEB ．
（2）四边形ABCD 是平行四边形．
解：（1）∵DF ∥BE ， ∴∠AFD ＝∠CEB ． 又∵AF=CE ， DF=BE ，
∴△AFD ≌△CEB ．
（2）由(1)△AFD ≌△CEB 知AD=BC ，∠DAF ＝∠BCE ， ∴AD ∥BC ，
∴四边形ABCD 是平行四边形．
】
例、如图，平行四边形ABCD 中，E 、F 为边AD 、BC 上的点，且AE=CF ，连结AF 、EC 、BE 、DF 交于M 、N ，试说明：MFNE 是平行四边形．
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ， AD ∥BC
又∵AE=CF ，∴ED=FB ，四边形AFCE 是平行四边形
∴AF ∥EC ．同理：BE ∥FD ．∴四边形MFNE 是平行四边形．
特殊的平行四边形
\
矩形
矩形定义1：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
矩形定义2：有三个角是直角的四边形叫做矩形
矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线.
矩形性质1：矩形的四个角都是直角.
矩形性质2：矩形的对角线相等且互相平分.
直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
矩形判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
/
矩形判定2：有三个角是直角的四边形是矩形.
N M F E A B . D
矩形判定3：对角线相等的平行四边形是矩形.
例、如图，已知AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE，
求证：四边形BCED是矩形．
证明：在△ABD和△ACE中，
，，
==∠=∠
AB AC AD AE BAD CAE
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，又DE=BC，
/
∴四边形BCED为平行四边形.
在△ACD和△ABE中，
∵AC=AB，AB=AE，
∠=∠+∠=∠+∠=∠，
CAD CAB BAD CAB CAE BAE
∴△ADC≌△AEB
∴CD=BE
∴四边形BCED为矩形
菱形
>
菱形定义1：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形定义2：四条边都相等的四边形叫做菱形.
菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是对角线所在的直线.菱形性质1：菱形的四条边都相等.
菱形性质2：菱形的对角线互相垂直平分.
菱形性质3：菱形的每一条对角线平分一组对角.
菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半.
#
推广：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半.
菱形判定1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
菱形判定2：四条边都相等的四边形是菱形.
菱形判定3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
菱形判定4：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形.
正方形 正方形定义1：有一组邻边相等的矩形叫做正方形. 正方形定义2：有一个角是直角的菱形叫做正方形.
]
正方形定义3：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
正方形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线和对角线所在的直线.
正方形性质1：正方形的四个角都是直角.
正方形性质2：正方形的四条边都相等.
正方形性质3：正方形的两条对角线互相垂直平分且相等.
正方形判定1：有一组邻边相等的矩形是正方形.
正方形判定2：有一个角是直角的菱形是正方形.
正方形判定3：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
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正方形判定4：对角线垂直平分且相等的四边形是正方形.
例、如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ＝8 cm ，
BD ＝6 cm ， DH ⊥AB 于H ，求：DH 的长.
∵四边形ABCD 是菱形，
1
AC BD OA OC AC 4cm OB OD 3cm 2∴⊥=====，，，
∴AB=5cm ，
ABCD S AC BD AB DH ∴=⋅=⋅菱形，
{
4.82AC BD
DH cm AB ⋅∴==．
例、已知：如图，菱形ABCD 的周长为16 cm ，∠ABC ＝60°，对角线AC 和BD 相
交于点O ，求AC 和BD 的长.
解：∵菱形ABCD 的周长为16cm ，060ABC ∠=
∴AB=BC=4cm ，△ABC 是等边三角形，
∴AC=4cm ，
∵AC ，BD 互相垂直平分，
~
∴OA=2
22
4223
OB cm
∴=-=
43
BD cm
∴=
例、如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，PE⊥BC，垂足为E， PF⊥CD，垂足为F，
求证：EF＝AP
：
证明：连接PC，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，四边形ABCD是正方形，
∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴PC=EF，
∵P是正方形ABCD对角线上一点，
∴AD=CD，∠PDA=∠PDC，
在△PAD和△PCD中， AD＝CD，∠PDA＝∠PDC，PD＝PD，
；
∴△PAD≌△PCD，
∴PA=PC，
∴EF=AP，
例、在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E，F.试说明:DE=DF
解：∵AB=AC，∠B=∠C
∵DE⊥ AB，DF⊥ AC
%
∴∠DEB≌DFC= 90°
∵D是BC的中点
∴BD=DC
∴△BDE≌△CDF
∴DE=DF.
例、如图，ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，EF∥AB交AD于F，
试问：四边形ABEF是什么图形吗
请说明理由.A
B C D
E
F
解：四边形ABEF是菱形．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∵EF∥AB，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠FAE，
∵AD∥BC，
∴∠FAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴▱ABEF是菱形．。