人教版初中数学第十八章平行四边形知识点

第十八章平行四边形

平行四边形

平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

平行四边形用“□”表示，读作“平行四边形”.平行四边形ABCD记作“□ABCD”.

平行四边形的性质

平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.

例、已知：□ABCD求证：AD=BC，AB=DC；∠A=∠C，∠B=∠D.

AD CD AD BC

证明：连接AC，//,//

'

∴∠=∠∠=∠

12,34

又AC是△ABC和△CDA的公共边，

∴△ABC≌△CDA，

AD CB AB CD B D

∴==∠=∠

,,

平行四边形性质1：平行四边形的两组对边分别相等.

平行四边形性质2：平行四边形的两组对角分别相等.

例、已知：如图：□ABCD的对角线AC、BD相交于点O.

求证：OA=OC，OB=OD.

[

证明：四边形ABCD是平行四边形

∴ AD=BC，AD∥BC.

∴∠1=∠2，∠3=∠4.

∴△AOD≌△COB（ASA）.

∴ OA=OC，OB=OD.

平行线之间的距离定义：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.

平行线之间的距离特征1：平行线之间的距离处处相等.

平行线之间的距离特征2：夹在两条平行线之间的平行线段相等.

'

平行四边形性质3：平行四边形的两条对角线互相平分.

例、如图，□ ABCD 中，BD ⊥AB ，AB=12cm ，AC=26cm ，求AD 、BD 长．

解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO=CO=2

1AC ，OB=OD ． ∵BD ⊥AB ，∴在Rt △A BO 中，AB=12cm ，AO=13cm ．

∴BO=522=-AB AO ．∴BD=2B0=10cm ．

∴在Rt △ABD 中，AB=12cm ，BD=10cm ．

∴AD=61222=+BD AB (cm)．

?

例、如图，在□ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，△AOB 的周长为25，

AB=12，求对角线AC 与BD 的和.

解：∵△AOB 的周长为25，

∴OA+BO+AB=25，

又AB=12，∴AO+OB=25-12=13，

∵平行四边形的对角线互相平分，∴AC+BD=2OA+2OB=2(0A+OB)=2×13=26

平行四边形的判定

平行四边形判定1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

平行四边形判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

/

平行四边形判定3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

平行四边形判定4：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.

平行四边形判定5：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.

例、 如图，在□ABCD 中，已知点E 和点F 分别在AD 和BC 上，且AE=CF ，连结CE 和AF ，试说明四边形AFCE 是平行四边形.

证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴AD 例、如图，E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AF=CE ，DF=BE ，DF ∥BE ．

【

求证：（1）△AFD ≌△CEB ．

（2）四边形ABCD 是平行四边形．

解：（1）∵DF ∥BE ， ∴∠AFD ＝∠CEB ． 又∵AF=CE ， DF=BE ，

∴△AFD ≌△CEB ．

（2）由(1)△AFD ≌△CEB 知AD=BC ，∠DAF ＝∠BCE ， ∴AD ∥BC ，

∴四边形ABCD 是平行四边形．

】

例、如图，平行四边形ABCD 中，E 、F 为边AD 、BC 上的点，且AE=CF ，连结AF 、EC 、BE 、DF 交于M 、N ，试说明：MFNE 是平行四边形．

解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ， AD ∥BC

又∵AE=CF ，∴ED=FB ，四边形AFCE 是平行四边形

∴AF ∥EC ．同理：BE ∥FD ．∴四边形MFNE 是平行四边形．

特殊的平行四边形

\

矩形

矩形定义1：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

矩形定义2：有三个角是直角的四边形叫做矩形

矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线.

矩形性质1：矩形的四个角都是直角.

矩形性质2：矩形的对角线相等且互相平分.

直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

矩形判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

/

矩形判定2：有三个角是直角的四边形是矩形.

N M F E A B . D

矩形判定3：对角线相等的平行四边形是矩形.

例、如图，已知AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE，

求证：四边形BCED是矩形．

证明：在△ABD和△ACE中，

，，

==∠=∠

AB AC AD AE BAD CAE

∴△ABD≌△ACE，

∴BD=CE，又DE=BC，

/

∴四边形BCED为平行四边形.

在△ACD和△ABE中，

∵AC=AB，AB=AE，

∠=∠+∠=∠+∠=∠，

CAD CAB BAD CAB CAE BAE

∴△ADC≌△AEB

∴CD=BE

∴四边形BCED为矩形

菱形

>

菱形定义1：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

菱形定义2：四条边都相等的四边形叫做菱形.

菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是对角线所在的直线.菱形性质1：菱形的四条边都相等.

菱形性质2：菱形的对角线互相垂直平分.

菱形性质3：菱形的每一条对角线平分一组对角.

菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半.

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推广：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半.

菱形判定1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

菱形判定2：四条边都相等的四边形是菱形.

菱形判定3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

菱形判定4：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形.