信号与系统结课论文

窗函数对间谐波分析的影响
1 引言
随着电力电子技术和器件的发展，非线性负荷在电力系统中的应用越来越广泛，电力系统谐波和间谐波(包括次谐波)污染日益严重，间谐波现象,正受到人们的日益重视,本文在简单介绍和分析间谐波的来源和危害后， 详细分析了加各种窗的插值算法进行了仿真、分析、推导。

2 间谐波的来源、危害
间谐波的来源主要有以下几个方面：⑴变频装置，主要包括交―直―交变频器和交―交变频器；⑵波动负荷，主要是指工业电弧炉、晶闸管整流供电的轧钢机等快速变化的冲击负荷；⑶铁磁谐振，主要是指电感两端电压升高或涌流时，电感电容满足谐振条件的现象；⑷同步串级调速装置，如绕线式异步电动机的低同步串级转速；⑸感应电动机，主要是在铁芯饱和产生不规则磁化电流产生间谐波。

间谐波的危害主要有：⑴波形畸变；⑵闪变（闪烁）；⑶影响测量仪器结果和准确度；⑷影响电动机的运行性能；⑸ 降低负荷的功率因素，增加损耗。

3 DFT 变换、分析
为分析谐波和叙述方面，先只考虑某一特定间谐波分量在对应谱线上的值时，可以忽略其它谐波的影响。

设第i 个间谐波分量的表示为：
()()11112cos ϕπ+=t f A t x
以s f 对上式中的信号进行等间隔采样，信号的采样值可表示为：
()()1112cos ϕπ+=s s nT f A nT x
因为12f f s >=，不妨设1kf f s =（2>=k ）
()()11/2cos ϕπ+=k n A nT x s
加窗截断后的信号为：
()()11/2cos ϕπ+=∧
k n A nT x s ()1,,2,1,0-=N n ()()()11/21/21ϕπϕπ+-+∧+=k n j k n j s e A e A nT x
记成：()()
()
()()n x n x e
A e
A n x k n j k n j 21/21/2111+=+=∆
+-+∧
ϕπϕπ
对序列()s nT x 加长度为N （N 通常为2的整数次幂）的对称窗序列()n N ω（如
矩形、汉宁窗、汉明窗，布莱克曼窗）进行加权截断。

()()
()
()()n x n x e
A e
A n x k n j k n j 21/21/2111+=+=∆
+-+∧
ϕπϕπ ()1,,2,1,0-=N n
先分析 ()()1/211ϕπ+=k n j e A n x 的DFT 变换。

()()()()()∑-=-+==1
/2/21111N n N nl j k n j e e A n x DFT l X πϕπ
()∑-=-=1
/2/211N n N nl k n j j e e A ππϕ
()∑-=-=1
//1211N n N l k n j j e e A πϕ
① 当N 为k 的整数倍，信号在时域的截断为整周期截取。

不妨设mk N =，代入上式，得：
()()∑-=-=1
0//12111N n mk l k n j j e e A l X πϕ
()∑-=-=1
//1211N n k m l n j j e e A πϕ
当m l =时，()()1111ϕj e NA m X l X ==； 当m l ≠时，由对称性可知，()01=l X
也就是说，m 次谐波的频谱为：11ϕj e NA ，其它次谐波分量为0。

同时，分析 ()()1/212ϕπ+-=k n j e A n x ，我们可以得到： 当m l -=时，()()1222ϕj e NA m X l X -=-=； 当m l -≠时，由对称性可知，()0=l X ２。

又因为对称性：()()m N X m X -=-
所以有：()()()12222ϕj e NA m N X m X l X -=-=-=； 综上考虑：
对于原信号：()()11112cos ϕπ+=t f A t x
在满足采样定理条件12f f s >=下，我们以s f 对上式中的信号进行等间隔采样
()()1112cos ϕπ+=s s nT f A nT x
记成：
()()
()
()()n x n x e
A e
A n x k n j k n j 21/21/2111+=+=∆
+-+∧
ϕπϕπ ()1,,2,1,0-=N n
DFT 变换结果为：信号除m 和m -（或者m N -）次谐波外，其它次波的频谱为0,与原信号相吻合。

② 假设信号在时域的截断为非周期截取，这个时候就会存在频谱泄露。

()()
()
()()n x n x e
A e
A n x k n j k n j 21/21/2111+=+=∆
+-+∧
ϕπϕπ ()1,,2,1,0-=N n
上式中，k 为整数，N 为k 的非整数倍。

先分析 ()()1/211ϕπ+=k n j e A n x 的DFT 变换。

()()()()()∑-=-+==1
0/2/21111N n N nl j k n j e e A n x DFT l X πϕπ
()∑-=-=1
/2/211N n N nl k n j j e e A ππϕ
()∑-=-=1
//1211N n N l k n j j e e A πϕ
N 为k 的整数倍，不妨设1k mk N +=，()k k <<10代入上式，得：
()()()∑-=+-=1
0//121111N n k mk l k n j j e e A l X πϕ
我们可以得出，对于每个l ，()l X 1都不为0. 同理对于()l X 2也都不为零。

4 仿真结果
()()t t x 602cos 502cos ππ+=300
=s f 20
=N
5
10 DFT 后信号(矩形窗) X 1(k)(20,5,6)k X 1(k )
5
10
DFT 后信号（汉宁窗） X 2(k) (20,5,6)k
X 2(k )
02
4
6 DFT 后信号（汉明窗）X 3(k) (20,5,6)k
X 3(k )
02
4
6 DFT 后信号 （布莱克曼窗）X 4(k) (20,5,6)k
X 4(k )
5 结语
窗函数的选取原则：
(1)窗函数的长度N 一般选充分大；
(2)信号的频谱比较密的时候，一般选汉明窗； (3)对于一个随意的信号，一般使用矩形窗；
(4)假如事先能肯定被分析的信号只有几个频率分量，且频谱分布比较分散，一 般选汉宁窗或布莱克曼窗。

6 参考文献
[1] 林海雪． 电力系统中的间谐波[J]． 供用电，2001，1 8(5)：6～9
[2] 郝江涛，刘念，幸晋渝等． 电力系统间谐波分析[J]．电力自动化设备，2004．24(12)：56～59 [5] 孙涛，王传胜，戴慧珠等． 风力发电引起的电压波动和闪变[J 】．电网技术，2003，27(1 2)：62～66。