信号与系统结课论文

窗函数对间谐波分析的影响

1 引言

随着电力电子技术和器件的发展，非线性负荷在电力系统中的应用越来越广泛，电力系统谐波和间谐波(包括次谐波)污染日益严重，间谐波现象,正受到人们的日益重视,本文在简单介绍和分析间谐波的来源和危害后， 详细分析了加各种窗的插值算法进行了仿真、分析、推导。 2 间谐波的来源、危害

间谐波的来源主要有以下几个方面：⑴变频装置，主要包括交―直―交变频器和交―交变频器；⑵波动负荷，主要是指工业电弧炉、晶闸管整流供电的轧钢机等快速变化的冲击负荷；⑶铁磁谐振，主要是指电感两端电压升高或涌流时，电感电容满足谐振条件的现象；⑷同步串级调速装置，如绕线式异步电动机的低同步串级转速；⑸感应电动机，主要是在铁芯饱和产生不规则磁化电流产生间谐波。

间谐波的危害主要有：⑴波形畸变；⑵闪变（闪烁）；⑶影响测量仪器结果和准确度；⑷影响电动机的运行性能；⑸ 降低负荷的功率因素，增加损耗。

3 DFT 变换、分析

为分析谐波和叙述方面，先只考虑某一特定间谐波分量在对应谱线上的值时，可以忽略其它谐波的影响。设第i 个间谐波分量的表示为：

()()11112cos ϕπ+=t f A t x

以s f 对上式中的信号进行等间隔采样，信号的采样值可表示为：

()()1112cos ϕπ+=s s nT f A nT x

因为12f f s >=，不妨设1kf f s =（2>=k ）

()()11/2cos ϕπ+=k n A nT x s

加窗截断后的信号为：

()()11/2cos ϕπ+=∧

k n A nT x s ()1,,2,1,0-=N n ()()()11/21/21ϕπϕπ+-+∧+=k n j k n j s e A e A nT x

记成：()()

()

()()n x n x e

A e

A n x k n j k n j 21/21/2111+=+=∆

+-+∧

ϕπϕπ

对序列()s nT x 加长度为N （N 通常为2的整数次幂）的对称窗序列()n N ω（如

矩形、汉宁窗、汉明窗，布莱克曼窗）进行加权截断。

()()

()

()()n x n x e

A e

A n x k n j k n j 21/21/2111+=+=∆

+-+∧

ϕπϕπ ()1,,2,1,0-=N n

先分析 ()()1/211ϕπ+=k n j e A n x 的DFT 变换。

()()()()()∑-=-+==1

/2/21111N n N nl j k n j e e A n x DFT l X πϕπ

()∑-=-=1

/2/211N n N nl k n j j e e A ππϕ

()∑-=-=1

//1211N n N l k n j j e e A πϕ

① 当N 为k 的整数倍，信号在时域的截断为整周期截取。 不妨设mk N =，代入上式，得：

()()∑-=-=1

0//12111N n mk l k n j j e e A l X πϕ

()∑-=-=1

//1211N n k m l n j j e e A πϕ

当m l =时，()()1111ϕj e NA m X l X ==； 当m l ≠时，由对称性可知，()01=l X

也就是说，m 次谐波的频谱为：11ϕj e NA ，其它次谐波分量为0。 同时，分析 ()()1/212ϕπ+-=k n j e A n x ，我们可以得到： 当m l -=时，()()1222ϕj e NA m X l X -=-=； 当m l -≠时，由对称性可知，()0=l X ２。 又因为对称性：()()m N X m X -=-

所以有：()()()12222ϕj e NA m N X m X l X -=-=-=； 综上考虑：

对于原信号：()()11112cos ϕπ+=t f A t x

在满足采样定理条件12f f s >=下，我们以s f 对上式中的信号进行等间隔采样

()()1112cos ϕπ+=s s nT f A nT x

记成：

()()

()

()()n x n x e

A e

A n x k n j k n j 21/21/2111+=+=∆

+-+∧

ϕπϕπ ()1,,2,1,0-=N n

DFT 变换结果为：信号除m 和m -（或者m N -）次谐波外，其它次波的频谱为0,与原信号相吻合。

② 假设信号在时域的截断为非周期截取，这个时候就会存在频谱泄露。

()()

()

()()n x n x e

A e

A n x k n j k n j 21/21/2111+=+=∆

+-+∧

ϕπϕπ ()1,,2,1,0-=N n

上式中，k 为整数，N 为k 的非整数倍。 先分析 ()()1/211ϕπ+=k n j e A n x 的DFT 变换。

()()()()()∑-=-+==1

0/2/21111N n N nl j k n j e e A n x DFT l X πϕπ

()∑-=-=1

/2/211N n N nl k n j j e e A ππϕ

()∑-=-=1

//1211N n N l k n j j e e A πϕ

N 为k 的整数倍，不妨设1k mk N +=，()k k <<10代入上式，得：

()()()∑-=+-=1

0//121111N n k mk l k n j j e e A l X πϕ

我们可以得出，对于每个l ，()l X 1都不为0. 同理对于()l X 2也都不为零。 4 仿真结果

()()t t x 602cos 502cos ππ+=300

=s f 20

=N