数学归纳法导学案

主备人： 审核： 包科领导： 年级组长： 使用时间：

4数学归纳法

【教学目标】

1.了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。

2.掌握数学归纳法证明问题的方法。

3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

【重点、难点】

重点：数学归纳法。

难点：用数学归纳法证明题目。

【学法指导】

1根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；

2用红笔勾出疑难点，提交小组讨论；

3预习p16-p18

【自主探究】不看不讲

1、数学归纳法是用来证明某些与--------------有关的数学命题的一种方法。如果问题中存在可利用的递推关系，那么数学归纳法有用武之地，否则使用数学归纳法就很困难。

2、数学归纳法的基本步骤是：

（1）验证：-------时，命题成立。

（2）在假设当----------时命题成立的前提下，推出当---------时，命题成立。 根据（1）（2）可断定命题对一切正整数n 都成立。

3、用数学归纳法证明n

n N n ≥++++∈1

31

21

11

,* 时，从“k n =”到“1+=k n ”，左边需添加的代数式为： ；

4、如果命题)(n p 对k n =成立，则它对2+=k n 也成立，又命题)(n p 对2=n 成立，则下列结论正确的是( )

A ．命题)(n p 对所有正整数n 成立

B ．命题)(n p 对所有大于2的正整数n 成立

C ．命题)(n p 对所有奇正整数n 成立

D ．命题)(n p 对所有偶正整数n 成立

【合作探究】不议不讲

例1、比较2n 与 n 2 的大小

例2、求证：a n+1+(a+1)2n-1能被a 2+a+1整除,n ∈N +

例1、 （课本21页16题）证明：凸n 边形的对角线的条数f(n)=

12n(n-3)(n ≧4))

【巩固提高】不练不讲

1、课本p19,

21n + （n ∈N *），某学生的证明过程如下：

（1）111n =+ 当时, 不等式成立。

（2）假设

)(*N k k n ∈=时不等式成立，即,12+<+k k k 时

则当1+=k n ()1)1()2()2()23(23)1(12222++=+=++++<++=+++k k k k k k k k k 时，1+=∴k n 不等式成立。

由上述（1）．（2）得原不等式成立（ ）

A ． 过程全部正确

B ． n=1时验证不正确

C ． 归纳假设不正确

D ． 从n=k 到n=k+1的推理不正确

3用数学归纳法证明32n+2-8n-9,(n ∈N)能被64整除.

1、 已知函数f(x)=22x

x +，x 1=1,x n =f(x n-1)(n ≧2, n ∈N +).则x 2,x 3.x 4的值分别是多少？再推

测通项x n 的公式

【方法小结】：1数学归纳法是一种通过“有限”的步骤，证明与自然数 有关的“无限”数学命题成立的方法，可以证明下列问题，与自然数 有关的恒等式、不等式、数列通项公式、几何计数问题、整除性问题等等。

2、用数学归纳法证明命题的过程可以概括为“两个步骤、一个结论”：归纳基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。

3、在数学归纳法中最困难的一步是证明当n=k+1 时命题也成立，分析n=k+1 命题是什么，并找出与n=k 时命题形式的差别，弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握代数变形的常用方法：乘法公式、因式分解、配方、添项、拆项、放缩等。 4“归纳——猜想——证明”的方法可以解决许多与自然数有关的探索性问题，如根据递推公式求数列的通项公式。