数学归纳法导学案
导学案：数学归纳法
数学归纳法【学习目标】1.了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。
2.掌握数学归纳法证明问题的方法。
3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
【重点、难点】重点：数学归纳法。
难点：用数学归纳法证明题目。
【学法指导】1根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；2用红笔勾出疑难点，提交小组讨论；【自主探究】1、数学归纳法是用来证明某些与--------------有关的数学命题的一种方法。
如果问题中存在可利用的递推关系，那么数学归纳法有用武之地，否则使用数学归纳法就很困难。
2、数学归纳法的基本步骤是：（1）验证：-------时，命题成立。
（2）在假设当----------时命题成立的前提下，推出当---------时，命题成立。
根据（1）（2）可断定命题对一切正整数n 都成立。
3、用数学归纳法证明nn N n ≥++++∈1312111,* 时，从“k n =”到“1+=k n ”，左边需添加的代数式为： ；4、如果命题对k n =成立，则它对2+=k n 也成立，又命题对2=n 成立，则下列结论正确的是( )A ．命题对所有正整数n 成立B ．命题对所有大于2的正整数n 成立C ．命题对所有奇正整数n 成立D ．命题对所有偶正整数n 成立【合作探究】例1用数学归纳法证明：如果 是一个等差数列，那么()11n a a n d =+- 对于一切*n ∈都成立.例2已知数列其通项公式为21,n a n =-试猜想该数列的前项和公式并用数学归纳法证明你的结论.【巩固提高】1.课本2.1n +（nN ），某学生的证明过程如下：（1）111n =+当, 不等式成立。
（2）假设)(*N k k n ∈=时不等式成立，即,12+<+k k k 时则当1+=k n ()1)1()2()2()23(23)1(12222++=+=++++<++=+++k k k k k k k k k 时，1+=∴k n 不等式成立。
《2.3.1数学归纳法》导学案(新部编)2
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《2.3数学归纳法理》导学案学法指导：认真自学，激情讨论，愉快收获.●为必背知识教学目标：1．了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力．2．了解数学归纳法的原理，能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤．教学重点与难点重点：借助具体实例了解数学归纳的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n(n取无限多个值)有关的数学命题.难点：1、学生不易理解数学归纳的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；2、运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系.教学过程：一：回顾预习案1.阅读课本92页-93页2.完成下列填空a n1=这个猜想用多米诺骨牌原理解决数学问题.思考：你认为证明数列的通过公式是n与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？行：(1)(归纳奠基) ；(2)(归纳递推) .只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从0n开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做 . 注意：(1)这两步步骤缺一不可.(2)用数学归纳法证明命题时，难点和关键都在第二步，而在这一步主要在于合理运用归纳假设，结合已知条件和其他数学知识，证明“当n =k +1时命题成立”.(3)数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析.4、例题讲解 例1 课本P 94例2 课本P 94当堂检测： 1．观察式子：213122+<，221151233++<，222111712344+++<，L ，则可归纳出式子为( )Ａ．22211111(2)2321n n n ++++<-L ≥ Ｂ．22211111(2)2321n n n ++++<+L ≥ Ｃ．222111211(2)23n n n n -++++<L ≥ Ｄ．22211121(2)2321n n n n ++++<+L ≥ 2．用数学归纳法证明)14(31)12(53122222-=-++++n n n Λ过程中，由n =k 递推到n =k +1时，不等式左边增加的项为 ( )A .2)2(kB .2)32(+kC . 2)12(+kD . 2)22(+k 3．用数学归纳法证明不等式)2(241321312111≥>++++++n n n n n Λ的过程中，由n =k 递推到n =k +1时，不等式左边 ( )A .增加了一项)1(21+k B .增加了一项)1(21121+++k kC .增加了“)1(21121+++k k ”，又减少了“11+k ” D .增加了“)1(21+k ”，又减少了“11+k ”4．若f (k )=++-+-Λ4131211 ,21121kk --则)1(+k f = )(k f + _______． 二 ，讨论展示案 合作探究，展示点评 展示一，课本96页A 组1(1)展示二，课本96页A 组1(2)展示三，课本96页A 组1(3)展示四，课本96页A 组2。
数学归纳法导学案
数学归纳法 导学案【学习目标】借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n （n 取无限多个值）有关的数学命题． 【学习任务单】 一、引入1. 本章知识结构图2. 练习已知数列}{n a 的首项11=a ，且满足），，，（ 32111=+=+n a a a n nn ，求数列}{n a的前四项，并以此猜想数列}{n a 的通项公式.分析：可求得数列}{n a 的前四项依次是：4131211，，，；并猜想其通项公式na n 1=. 3. 多米诺骨牌游戏这是一种码放骨牌的游戏，码放时保 证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下. 只要推倒第一块骨牌，由于第一块骨牌倒下，就可导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就可导致第三块骨牌倒下……最后，不论有多少块骨牌，都能全部倒下.思考1：这个游戏中，能使多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？可以看出，只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：（1） 第一块骨牌倒下;（2） 任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下. 思考2: 你认为条件（2）的作用是什么？可以看出，条件（2）事实上给出了一个递推关系： 当第k 块倒下时，相邻的第1+k块也倒下.这样，只要第1块骨牌倒下，其他所有的骨牌就能够相继倒下. 事实上，无论有多少块骨牌，只要保证（1）（2）成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下.思考3: 你认为上述练习中证明数列的通项公式是na n 1=这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？由条件容易知道，1=n 时猜想成立. 这就相当于游戏的条件（1）. 类比条件（2），可以考虑证明一个递推关系： 如果kn =时猜想成立，即ka k 1=，那么当1+=k n 时猜想也成立，即111+=+k a k . 事实上，如果ka k 1=，那么1111111+=+=+=+k kka a a k k k ， 即1+=k n 时猜想也成立.这样，对于猜想，由已知1=n 成立，就有2=n 也成立；2=n 成立，就有3=n 也成立；3=n 成立，就有4=n 也成立；4=n 成立，就有5=n 也成立……所以，对任意的正整数n ，猜想都成立，即数列的通项公式是na n 1=.二、新课一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值）（*00N n n ∈时命题成立； （2）（归纳递推）假设），（*0N k n k k n ∈≥=时命题成立，证明当1+=k n 时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立. 上述证明方法叫做数学归纳法. 用框图表示就是：三、例题讲解例1. 用数学归纳法证明).N (6)12)(1(21*222∈++=+++n n n n n证明：（1）当1=n 时，左边112==， 右边161)1(21)(11=+⨯⨯+⨯=，等式成立.（2）假设当)N (*∈=k k n 时等式成立，即 )N (6)12)(1(21*222∈++=+++k k k k k ，那么，2222)1(21+++++k k21)(6)12)(1(++++=k k k k6)32)(2)(1(+++=k k k，6]1)1(2][1)1)[(1(+++++=k k k 即当1+=k n 时等式也成立.根据（1）和（2），可知等式对任何*N ∈n 都成立. 例2. 已知数列n S n n ，，，，，， )13)(23(11071741411+-⨯⨯⨯表示其前n 项和. 计算4321S S S S ，，，，根据计算结果，猜想n S 的表达式，并用数学归纳法进行证明.解：可求得.13410372414321====S S S S ，，， 由此猜想 .13n +=n nS下面我们用数学归纳法证明这个猜想. （1）当1=n 时，左边411==S ， 右边41113113=+⨯=+=n n ， 猜想成立.（2）假设当)N (*∈=k k n 时猜想成立，即，13)13)(23(11071741411+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k 那么1+=k n 时，]1)1(3][2)1(3[1)13)(23(11071741411++-+++-++⨯+⨯+⨯k k k k )43)(13(113++++=k k k k 431++=k k，1)1(31+++=k k所以，当1+=k n 时猜想也成立.根据（1）和（2），可知猜想对任何*N ∈n 都成立. 归纳小结：。
《2.3.1数学归纳法》导学案.doc
临沂四中高二年级数学导学案§2.3数学归纳法(1)编写：杨祥明审核：魏宝玲编写时间：2014年3月20日班级姓名学习目标1.了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写；3.数学归纳法中递推思想的理解.学习过程—、课前准备复习：在数列｛%｝中，％ =l,a,s =—eN*),计算队，时S的值，猜测0｝的通项公式.1 +勺二、新课导学学习探究探究任务：数学归纳法思考1：在多米诺骨牌游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?思考2：你认为证明数列的通项公式是勾=上这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？n 你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？试一试：你能证明数列的通项公式与=1这个猜想吗？总结数学归纳法两大步:(1)归纳奠基：(2)归纳递推:典型例题例1.用数学归纳法证明<2 与2 c2 2〃(乃 + 1)(2〃 + 1)I2 + 22 + 32 + ... + n2 = ------------ -------- - -------- ,n G N6跟踪练习：l + x + x2 H ----- X n = —.（〃G TV*,且尤丰 1）1-X（1）当n = 1时该等式的左端为___________________（2）当〃=上+ 1时该等式的左端为例2用数学归纳法证明：首项是为,公差是d的等差数列的通项公式是％ =为+(”-l)d，前〃项和的公式是c工n(n -1),S, = na. H ---------- a ." 1 2跟踪练习：用数学归纳法证明：首项是％ ,公比是q的等差数列的通项公式是a n =财心，前n项和的公式是S,=竺二^2.(g N 1 )。
i — q三、总结提升1.数学归纳法的步骤:2.数学归纳法是一种特殊的证明方法，主要用于研究与正整数有关的数学问题..当堂检测1.用数学归纳法证明〃边形的内角和为（〃一2）・180°时，需要验证的第一个值为.2.-------------------------------------------- 设f (幻=(* +1) + (* + 2) (k + k) k e N*时，贝U f(k +1) =L1 _ 〃〃+2在验证〃=1时，左端计算所得项为（). 3. 1 + a+a2+■■■ + a"+1 =—-—(ml),1 —CLA.1B. 1 +。
学案1：2.3数学归纳法
《数学归纳法》导学案【学习目标】了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.【重点难点】重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.难点：数学归纳法中递推思想的理解.模块一：自主学习，明确目标一．知识链接1综合法：2分析法:3反证法:阅读教材思考并回答以下问题1.多米诺骨牌全部的条件是什么:2.数学归纳法的定义？3.数学归纳法适用范围是什么?4.数学归纳法的步骤(原理)是什么?5.数学归纳法的步骤 (原理)中关键及难点是什么?6.有人说:“数学归纳法使无限与有限间实现了平衡”, 你怎样理解这句话？. 模块二：合作释疑例1、在数列{n a }中, 1a ＝1, n n n a a a +=+11(n ∈*N ), 先计算2a ，3a ，4a 的值，再推测通项n a 的公式, 最后证明你的结论．模块三：巩固训练，整理提高例2. 用数学归纳法证明6)12)(1(21222++=+++n n n n (nϵN ∗)．变式迁移2：数学归纳法证明13+23+33+⋯+n 3=14n 2(n +1)2二．课堂总结通过本节课的学习，你有哪些收获？1．知识上2．思想方法上3.反思三．当堂检测：1．用数学归纳法证明)14(31)12(53122222-=-++++n n n 过程中，由n =k 递推到n =k +1时，不等式左边增加的项为 （ ）A. 2)2(kB.2)32(+kC. 2)12(+kD. 2)22(+k 2．数列｛a n ｝的通项公式为a n =()211+n ()N ∈n ，记f(n) =（1－a 1）（1－a 2）…（1－a n ），求f (1)，f (2)，f (3)．推测f (n)的表达式，并证明你的结论．(实验班)3．用数学归纳法证明不等式 )2(241321312111≥>++++++n n n n n 的过程中，由n=k 递推到n=k+1时，不等式左边（ ）A.增加了一项)1(21+kB. 增加了“)1(21121+++k k ”，又减少了“11+k ” C. 增加了一项)1(21121+++k k D.增加了“)1(21+k ”，又减少了“11+k ”【作业】答案例1【解析】a 2=12 ,a 3=13 ,a 4=14推测a n =1n 假设a k =1k 成立a k+1=a ka k +1=1k 1k +1=1k+1 由此可得a n =1n 对任意的n ∈N ∗都成立 例2【解析】n=1时，左边=右边，等式成立假设n=k 成立12+22+⋯+k 2=16k (k +1)(2k +1) 则n =k +112+22+⋯+k 2+(k +1)2=16k (k +1)(2k +1)+(k +1)2=16(k +1)(2k 2+7k +6)=16(k +1)(k +2)(2k +3) =(k +1)[(k +1)+1][2(k +1)+1]综上6)12)(1(21222++=+++n n n n (nϵN ∗)变式迁移2【答案】n=1时，显然成立假设n =k 时， 13+23+33+⋯+k 3=14k 2(k +1)2 成立 则n =k +1时，13+23+33+⋯+k 3+(k +1)3=14k 2(k +1)2+(k +1)3 =14(k +1)2(k 2+4k +4)=14(k +1)2[(k +1)+1]2 综上13+23+33+⋯+n 3=14n 2(n +1)2当堂检测1【答案】 C2【解析】f(1)=34, f(2)=23,f(3)=58推测f(n)=2+n2(n+1)n=1时显然成立，假设n=k时，f(k)=2+k2(k+1)成立，则n=k+1时, f(k+1)=2+k2(k+1)(1−a k+1)=2+k2(k+1)(1−1(k+2)2)=2+k2(k+1)(k+1)(k+3)(k+2)2=2+(k+1)2[(k+1)+1]综上f(n)=2+n2(n+1)成立3【答案】B。
数学归纳法导学案
数学归纳法导学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN【学习目标】1. 了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤;2. 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;3. 数学归纳法中递推思想的理解. 【自主学习】（阅读教材P92—P95，独立完成下列问题）问题：在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么新知：1.定义: ⑴设(){}p n 是一个与正整数相关的命题集合,如果(1)证明起始命题1p (或0p )成立; (2)在假设p ｋ成立的前提下，推出p ｋ+１也成立，()p n 对一切正整数都成立.2．数学归纳法两大步：（1）归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0时命题成立;（2）归纳递推：假设n =k （k ≥n 0， k ∈N*）时命题成立；证明当n =k +1时命题也成立（此步一定要在假设的基础上证明）. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立.原因：在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立.3.用数学归纳法证明1 + 2 + 22+…+2n –1 = 2n – 1(n ∈N*)的过程如下： ①当n = 1时，左边 = 20 = 1，右边 = 21 – 1 = 1，等式成立； ②假设n = k 时，等式成立，即1 + 2 + 22 +…+2k –1 = 2k – 1. 则当n = k + 1时，1 + 2 + 22+…+2k –1+ 2k=11122112k k ++-=--，所以n = k + 1时等式成立.由此可知对任何自然数n ，等式都成立. 上述证明错在何处 .【合作探究】例1 用数学归纳法证明：2222*(1)(21)123,6n n n n n N ++++++=∈变式1：用数学归纳法证明：2*1427310(31)(1),n n n n n N ⨯+⨯+⨯+++=+∈例2：在数列{}n a 中，*111,,()1nn na a a n N a +==∈+，先算出a 2，a 3，a 4的值，再猜想通项a n 的公式，并用数学归纳法证明你的猜想。
【新教材精创】5.5 数学归纳法 导学案(人教B版 高二 选择性必修第三册)
5.5 数学归纳法导学案1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.重点：用数学归纳法证明数学命题难点：数学归纳法的原理.1.数学归纳法的定义一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:归纳奠基→（1）证明当n取第一个值n0(n∈N*)时命题成立归纳递推→（2）以当“n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立”为条件,推出“当n=k+1时命题也成立”只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.一、问题探究探究1. 已知数列{a n}中，a1=1,且a n+1= 4n2−1a n,求出这个数列的第2、3、4、5项，你能由此猜出数列的通项公式并给出证明吗？有人认为可以借助多米诺骨牌来理解数学归纳法，如图所示，一列排好的多米诺骨牌，如果推倒第1张，而且后续的每一张倒下时能够导致下一张也倒下，则所有的骨牌都能倒下，你觉得这种理解方式怎么样？问题1：多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？问题2：你认为条件（2）的作用是什么？如何用数学语言来描述它？探究2.以下是某人给出的关于2+4+6+⋯+2n=n2+ n+1②对所有正整数都成立的证明，这个证明有问题吗？由此你能得到什么启发?二、典例解析例1. 用数学归纳法证明，对任意的正整数n，都有12+22+32+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6用数学归纳法证明恒等式时,应关注以下三点:(1)弄清n取第一个值n时等式两端项的情况;(2)弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;(3)证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形.跟踪训练1求证:1-12+13−14+…+12n-1−12n=1n+1+1n+2+…+12n(n∈N*).例2.求证：平面上n个圆把平面最多分成n2−n+2个区域.用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k增加到k＋1时，所证的几何量增加多少，同时要善于利用几何图形的直观性，建立k与k＋1之间的递推关系.跟踪训练2．平面内有n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证：交点的个数f(n)＝n(n+1)2.例3.求证：当n是大于或等于5的正整数时，2n>n2.利用数学归纳法比较大小,关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系,猜测出证明的方向,再用数学归纳法证明结论成立.跟踪训练3. 设P n=(1+x)n,Q n=1+nx+n(n-1)2x2,n∈N+,x∈(-1,+∞),试比较P n与Q n的大小,并加以证明.1.用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1=1-a n+21-a(a≠1,n∈N*),在验证n=1成立时,左边计算所得的项是()A.1B.1+aC.1+a+a 2D.1+a+a2+a32.用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,从“n=k ”到“n=k+1”,左边需增添的代数式是( )A.(2k+1)+(2k+2)B.(2k-1)+(2k+1)C.(2k+2)+(2k+3)D.(2k+2)+(2k+4)3.已知f (n )=1+12+13+…+1n (n ∈N *),计算得f (2)=32,f (4)>2,f (8)>52,f (16)>3,f (32)>72,由此推测,当n>2时,有 .4.用数学归纳法证明:122+132+…+1(n+1)2>12−1n+2.假设n=k 时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是 .5.用数学归纳法证明:当n ≥2,n ∈N *时,(1-14)(1-19)(1-116)…(1-1n 2)=n+12n .参考答案：知识梳理学习过程一、 问题探究探究1. 由已知可得，a 2= 4×12−1a 1 =31 =3，a 3= 4×22−1a 2 =153 =5，a 4=7，a 5=9， 这就是说，数列{a n }的前5项分别为1，3，5，7，9，因此，可以猜测{a n }是一个等差数列，且通向公式为a n =2n −1 ①怎样才能证明这一点呢？我们已经知道前面5项都是满足①式的，所以原则上需要对后面的每一项都进行验证，但因为后面有无数项，所以一一验证是不可能的，不过用下述方法可以给出后面的每一项也满足的严格证明。
导学案：数学归纳法
首项是,公比是的等差数列的通项公式是 ,前项和的公式是
小结：数学归纳法经常证明数列的相关问题
例2 用数学归纳法证明：
※动手试试
练1 用数学归纳法证明:当为整数时,
练2求证: … ＞ ,n≥2,n∈N*
【学习小结】
1 数学归纳法的步骤
2 数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题
数学归纳法
学习目标:1了解数学归纳法的理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤;
2能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;
3数学归纳法中递推思想的理解
学 习 过 程
【复习引入】
复习1：在数列中， ，先算出a2，a3，a4的值，再推测通项an的公式
复习2： ，当n∈N时，是否都为质数
【新知探究】
探究任务：数学归纳法
问题：在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么
新知：数学归纳法两大步：
（1）归纳奠基：证明当n取第一个值n0时命题成立;
（2）归纳递推：假设n=（≥n0， ∈N*）时命题成立，证明当n=1时命题也成立 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立
【反馈检测】
1 用数学归纳法证明： ，在验证时，左端计算所得项为（ ）
B CD
2 用数学归纳法证明 时，从n=到n=1，左端需要增加的代数式为（ ）
A B C D
3 设 ，那么 等于（）
A B C D
4 已知数列的前n项和 ，而 ，通过计算 ，猜想
5 数列满足 ，且 （），则
【课后作业】
1 用数学归纳法证明:
【导学案】《数学归纳法》学案
6.3数学归纳法（1）【学习目标】了解数学归纳法原理及其本质，掌握它的基本步骤与方法．能较好地理解“归纳奠基”和“归纳递推”两者缺一不可。
【学习重点】数学归纳法原理与其证题步骤。
【学习难点】理解数学归纳法原理及其本质。
【学习过程】 问题的提出：观察以下等式：11=123+= 1236++=123410+++= 1234515++++=311=33129+= 33312336++= 33331234100+++= 3333312345225++++=可以推测3333123...n ++++= （*）（用含有n 的式子表示，其中n 为正整数）。
要证明公式（*）成立，原则上要对每一个正整数n 实施证明。
这个证明步骤是无限的，逐一证明不现实，有其它方法吗？【思考与讨论】你看过或玩过的多米诺骨牌游戏吧，要保证你码放的骨牌都能倒下，必须满足什么条件？一般地，多米诺骨牌游戏的原理是什么？多米诺骨牌游戏的原理对证明一个与正整数n *)(N n ∈有关的命题有何启示？能类比此游戏原理证明猜想：,4)1( (3212)23333+=+++n n n *)(N n ∈吗？请填写下表：多米诺骨牌游戏原理证明猜想：,4)1( (3212)23333+=+++n n n *)(N n ∈第一步 （1）第1块能倒下第二步 （2）如果前一块倒下，则其能够推倒相邻下一块结论 根据（1）和（2），可知不论有多少骨牌都能全部倒下思考：当一个命题满足上述（1）、（2）两个条件时，能否把证明无限问题解决了？【结论与新知】证明一个与正整数n 有关的命题)(n P 的步骤： (1)验证当n 取第一个值0n *)(0N n ∈时命题成立；（2）假设k n =*),(0N k n k ∈≥时命题成立，可证明当1+=k n 时命题也成立．由（1）（2）可知命题)(n P 对从0n 开始的所有正整数n 都正确． 这种方法就是所谓的数学归纳法（递推原理）。
4.2数学归纳法2导学案
例 2.用数学归纳法证明： （1+α ）n≥1+nα (其中α >-1，n 是正整数)
【导学点拨】 1.数学归纳法的两个步骤中第一步 n 的初始值是否一定为 1?
阳光“学-导-练”导学案
年级 高二
学科 数学
姓名
提示：不一定,如证明 n 边形的内角和为(n-2)·180°中,第一个值 3. 2.数学归纳法的两个步骤之间有怎样的联系? 提示：第一步是验证命题递推的基础,第二步是论证命题递推的依据 ,这 两个步骤缺一不可 3.应用数学归纳法要特别注意哪些问题？ 提示：一、要注意数学归纳法的起点，数学归纳法的第一步是递推的基 础，有了此基础，在第二步中的假设才能成立，才不是真正意义上的纯 粹假设；二、要注意如何添项：在证明 n=k+1 命题成立要用到 n=k 命题 成立时，要分析命题的结构特点，分析“n=k+1”时命题是什么，并找出 与“n=k”时命题形式的差别，弄清右端应增加的项. 【达标训练】 a 1. 对于数列an ,已知a1 1，an1 n n 1, 2, ... 猜想其通项公式 1 an 并给出证明
【引学独学】 1.利用数学归纳法证明 1+a+a2+„+an+1= ______ （a≠1，a∈N+）时，在 验证 n=1 成立时，左边应该是（ ） 2 （A）1 （B）1+a（C）1+a+a （D）1+a+a2+a3 2.用数学归纳法证明 n(n+1)(2n+1)能被 6 整除时,由归纳假设推证 n=ห้องสมุดไป่ตู้+1 时命题成立,需将 n=k+1 时的原式表示成（ ） （A）k(k+1)(2k+1)+6(k+1) （B）6k(k+1)(2k+1) 2 （C）k(k+1)(2k+1)+6(k+1) （D）以上都不对 【对学群学】 1 例 1. 已知数列{an}满足 an+1= ,a1=0，试猜想{an}通项公式并用数学 (2-an) 归纳法证明.
3.1.1 数学归纳法原理 导学案 2
3.1.1 数学归纳法原理 导学案 2学习目标:1.了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题2.进一步熟练使用数学归纳法证解决基本问题的步骤、并进一步培养相关的基本技能 自主学习:1.进一步理解数学归纳法原理：验证P ()0n 成立确立了递推的起点；使用归纳假设P ()()*0,k k n k N ≥∈成立，通过推理证明P ()1k +也成立，建立了递推的依据.这两步的完成实现了无限的推理：()()()00012P n P n P n →+→+→2.数学归纳法解决数学问题的使用范围和各种数学问题的类型务必要心中有数，请你自我总结.3.彻底的弄清n =k 时的项、弄清n =k 时的项与n =k +1时的项的区别是保证实施建立递推依据的关键.特别是用P ()k 表示P ()1k +是能够使用归纳假设的立足点，这一点请你认真体会！学习过程：【自主检测】1.下列四个判断，正确的是( )A .式子()2*1n k k k n N ++++∈当n =1时恒为1B .式子()21*1n k k k n N -++++∈当n =1时恒为1+kC .式子()*111112321n N n ++++∈+当n =1时恒为11123++ D .式子()()*111112331f n n N n n n n =++++∈++++，则()()1111323334f k f k k k k +=+++++++ 2.用数学归纳法证明()221*111,1n n a a a a a n N a++-++++=≠∈-，在验证n =1成立时，左边计算所得项是__________. 3.某个命题与正整数有关，若n =k ()*k N ∈时该命题成立，那么可推得当n =k +1时该命题也成立，现已知n =5时该命题不成立，那么一定可推得n ==_______时命题也不成立.【典型例题】例1.用数学归纳法证明：()*111111111234212122n N n n n n n -+-++-=+++∈-++.例2.求证：()()()()()2121*111n n a a a a n N -+++++∈()()()*11112.112331f n n N n n n n =++++≥∈++++例3.已知正数数列{}n a 中，前n 项和112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1)求1234,,,a a a a (2)推测{}n a 的通项公式，并用数学归纳法给予证明例4.平面内有n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这 n 条直线把平面分割成()2122n n ++个区域【课堂检测】1.如果命题P ()n 对n =k 成立，那么它对n =k 成立，又若P ()n 对n =2成立，则P ()n 对所有( ) A .正整数n 成立 B . 正偶数n 成立 C . 正奇数n 成立 D .大于1的正整数n 成立.2.记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k +1边形的内角和为f (k +1)= f (k )+_________.3.用数学归纳法证明()()()()1221321n n n n n n +++=∙∙∙-，从k 到k +1左端需增乘的代数式为__________.4.已知()()()2739n f n n n N +=+∙+∈，是否存在自然数m ，使对一切正整数n ，都有()m f n .如果存在，求出最大的m 值并证明你的结论；若不存在，说明理由. 【总结提升】1.数学归纳法的基本思想是先验证使结论成立的最小的正整数0n 时结论成立；再证明假设当n =k ()0k n ≥时结论正确，根据这个假设，去推证n =k 1+时结论正确.这就把无限的递推用这两步给表示出来了.2.数学归纳法的两步缺一不可，缺乏验证递推失去起点，缺乏论证递推的依据正确，递推就无法进行.3.数学归纳法的主要解决与正整数有关的数学问题的解决，应用十分广泛.可以证明恒等式、不等式、整除问题、几何中与正整数有关的问题，还可以解决数学中的一些猜想.。
数学归纳法导学案
2.3数学归纳法(导学案)主备人：韩爱芳 高二数学组【本课时知识目标】(1)了解数学推理的常用方法（归纳法）(2)了解数学归纳法的原理及使用范围(3)掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论 (4)会用数学归纳法证明一些简单的等式问题【教学重点】 理解数学归纳法的实质意义，掌握数学归纳法的证题步骤。
【教学难点】 递推步骤中归纳假设的利用。
【教学过程】一、创设问题情境情境一：问题1:袋中有5个小球，如何证明它们都是红色的？问题2.某人站在13-1班门口，看到连续有20个男生进入1班，于是深有感触的说：“这个班的学生都是男生”。
你认为正确吗？问题3.对于数列{}n a ,已知111,1n n na a a a +==+, 通过对n=1,2,3,4前4项的归纳，猜想其通项公式。
这个猜想是否正确，如何证明？情境二: 多米诺骨牌游戏 问题4.要使所有的多米诺骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？二、探索新知思考：你能类比多米诺骨牌游戏解决问题3吗？三、知识应用 例1.用数学归纳法证明: *)(N n ∈6)12)(1(3212222++=++++n n n n例2．用数学归纳法证明：2462(1)n n n +++=+ *)(N n ∈四﹑课堂练习 ①用数学归纳法证明：()N n a aa a a a n n ∈≠-+=++++++,1111212 在验证n=1成立时，左边计算所得的结果是（ ）A ．1 B.a +1 C ．21a a ++ D.321a a a +++ ②用数学归纳法证明命题时，假设111()122k S k N k k k+=+++∈++ 那么 ______________________1+=+K K S S (不需要化简)③判断下面的证明过程是否正确，如果不正确错在哪？证明：2222(1)(21)123()6n n n n n N +++++++=∈ 证明：（1）当1n =时，左边=1，右边=(11)(21)16++=等式成立 （2）假设当n k =时等式成立即2222(1)(21)1236k k k k ++++++= 当1n k =+时代入2222(1)(21)1236n n n n ++++++=得 [][]22222123(1)(1)(2)(23)6(1)(1)12(1)16k k k k k k k k +++++++++=+++++= 所以当1n k =+时等式成立由（1）和（2）可知等式对一切正整数均成立。
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主备人： 审核： 包科领导： 年级组长： 使用时间：
4数学归纳法
【教学目标】
1.了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。
2.掌握数学归纳法证明问题的方法。
3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
【重点、难点】
重点：数学归纳法。
难点：用数学归纳法证明题目。
【学法指导】
1根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；
2用红笔勾出疑难点，提交小组讨论；
3预习p16-p18
【自主探究】不看不讲
1、数学归纳法是用来证明某些与--------------有关的数学命题的一种方法。
如果问题中存在可利用的递推关系，那么数学归纳法有用武之地，否则使用数学归纳法就很困难。
2、数学归纳法的基本步骤是：
（1）验证：-------时，命题成立。
（2）在假设当----------时命题成立的前提下，推出当---------时，命题成立。
根据（1）（2）可断定命题对一切正整数n 都成立。
3、用数学归纳法证明n
n N n ≥++++∈1
31
21
11
,* 时，从“k n =”到“1+=k n ”，左边需添加的代数式为： ；
4、如果命题)(n p 对k n =成立，则它对2+=k n 也成立，又命题)(n p 对2=n 成立，则下列结论正确的是( )
A ．命题)(n p 对所有正整数n 成立
B ．命题)(n p 对所有大于2的正整数n 成立
C ．命题)(n p 对所有奇正整数n 成立
D ．命题)(n p 对所有偶正整数n 成立
【合作探究】不议不讲
例1、比较2n 与 n 2 的大小
例2、求证：a n+1+(a+1)2n-1能被a 2+a+1整除,n ∈N +
例1、 （课本21页16题）证明：凸n 边形的对角线的条数f(n)=
12n(n-3)(n ≧4))
【巩固提高】不练不讲
1、课本p19,
21n + （n ∈N *），某学生的证明过程如下：
（1）111n =+ 当时, 不等式成立。
（2）假设
)(*N k k n ∈=时不等式成立，即,12+<+k k k 时
则当1+=k n ()1)1()2()2()23(23)1(12222++=+=++++<++=+++k k k k k k k k k 时，1+=∴k n 不等式成立。
由上述（1）．（2）得原不等式成立（ ）
A ． 过程全部正确
B ． n=1时验证不正确
C ． 归纳假设不正确
D ． 从n=k 到n=k+1的推理不正确
3用数学归纳法证明32n+2-8n-9,(n ∈N)能被64整除.
1、 已知函数f(x)=22x
x +，x 1=1,x n =f(x n-1)(n ≧2, n ∈N +).则x 2,x 3.x 4的值分别是多少？再推
测通项x n 的公式
【方法小结】：1数学归纳法是一种通过“有限”的步骤，证明与自然数 有关的“无限”数学命题成立的方法，可以证明下列问题，与自然数 有关的恒等式、不等式、数列通项公式、几何计数问题、整除性问题等等。
2、用数学归纳法证明命题的过程可以概括为“两个步骤、一个结论”：归纳基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。
3、在数学归纳法中最困难的一步是证明当n=k+1 时命题也成立，分析n=k+1 命题是什么，并找出与n=k 时命题形式的差别，弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握代数变形的常用方法：乘法公式、因式分解、配方、添项、拆项、放缩等。
4“归纳——猜想——证明”的方法可以解决许多与自然数有关的探索性问题，如根据递推公式求数列的通项公式。