测量误差理论及数据处理

第2章 测量误差理论及数据处理2.1 测量误差的基本概念教学目的1.掌握测量误差的分类，随机误差、系统误差、粗大误差的概念和来源。

2.了解准确度、精密度、精确度，及它们与系统误差、随机误差、总误差的关系。

教学重点及难点1. 根据误差的性质，将测量误差分为随机误差、系统误差、粗大误差三类，给出了这三类误差的概念和来源。

2.与测量结果有关的三个术语：准确度、精密度、精确度，及它们与系统误差、随机误差和总误差的关系。

教学方式：讲授教学过程：2.1.1 测量误差的定义.分类根据测量误差的性质，测量误差可分为随机误差、系统误差、粗大误差三类。

1．随机误差随机误差的定义：在同一测量条件下（指在测量环境、测量人员、测量技术和测量仪器都相同的条件下），多次重复测量同一量值时（等精度测量），每次测量误差的绝对值和符号都以不可预知的方式变化的误差，称为随机误差随机误差的产生原因：对测量值影响微小但却互不相关的大量因素共同造成。

这些因素主要是噪声干扰、电磁场微变、零件的摩擦和配合间隙、热起伏、空气扰动、大地微震、测量人员感官的无规律变化等。

随机误差的新定义：随机误差（i δ）是测量结果i x 与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值x 之差。

即i i x x δ=- （3－1）∑==+++=ni i n x n n x x x x 1211 （n →∞） （3－2）定义的意义：随机误差是测量值与数学期望之差，它表明了测量结果的分散性随机误差愈小，精密度愈高。

2．系统误差系统误差的定义：在同一测量条件下，多次测量重复同一量时，测量误差的绝对值和符号都保持不变，或在测量条件改变时按一定规律变化的误差，称为系统误差。

系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的因素造成的，这些因素主要有：1） 测量仪器方面的因素：仪器机构设计原理的缺点；仪器零件制造偏差和安装不正确；电路的原理误差和电子元器件性能不稳定等。

如把运算放大器当作理想运放，而被忽略的输入阻抗、输出阻抗等引起的误差。

2） 环境方面的因素：测量时的实际环境条件（温度、湿度、大气压、电磁场等）对标准环境条件的偏差，测量过程中温度、湿度等按一定规律变化引起的误差。

3） 测量方法的因素：采用近似的测量方法或近似的计算公式等引起的误差，4）测量人员方面的因素：由于测量人员的个人特点，在刻度上估计读数时，习惯偏于某一方向；动态测量时，记录快速变化信号有滞后的倾向。

系统误差（ε）的定量定义：在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果1x ，2x ，…，n x （n →∞）的平均值x 与被测量的真值0A 之差。

即0x A ε=- （3－3）在去掉随机因素（即随机误差）的影响后，平均值偏离真值的大小就是系统误差。

系差越小，测量就越准确。

所以，系统误差经常用来表征测量准确度的高低。

3．粗大误差粗大误差是一种显然与实际值不符的误差，又称疏失误差。

产生粗差的原因有：（1）测量操作疏忽和失误 如测错、读错、记错以及实验条件未达到预定的要求而匆忙实验等。

（2）测量方法不当或错误 如用普通万用表电压档直接测高内阻电源的开路电压，用普通万用表交流电压档测量高频交流信号的幅值等。

（3）测量环境条件的突然变化 如电源电压突然增高或降低，雷电干扰、机械冲击等引起测量仪器示值的剧烈变化等。

含有粗差的测量值称为坏值或异常值，在数据处理时，应剔除掉。

4．系差和随差的表达式测量中发现了粗差，数据处理时应将其剔除，这样要估计的误差就只有系统误差和随机误差两类。

将式（3－1）和式（3－2）等号两边分别相加，得i i i i x A x x x A x ∆=-=-+-=+δε （1~i n =） （3－4）即各次测得值的绝对误差等于系统误差ε和随机误差i δ的代数和。

在任何一次测量中，系统误差和随机误差一般都是同时存在的，而且两者之间并不存在绝对的界限。

2.1.2 测量结果的表征准确度——表示系统误差的大小。

系统误差越小，则准确度越高，即测量值与实际值符合的程度越高。

精密度——表示随机误差的影响。

精密度越高，表示随机误差越小。

随机因素使测量值呈现分散而不确定，但总是分布在平均值附近。

精确度——用来反映系统误差和随机误差的综合影响。

精确度越高，表示正确度和精密度都高，意味着系统误差和随机误差都小。

小结：本结应重点掌握随机误差、系统误差、粗大误差、准确度、精密度、精确度2.2测量误差的估计和处理教学目的1.了解随机变量的数字特征的意义和估算方法。

2.掌握算术平均值、实验标准偏差、置信概率、置信区间的概念。

3.灵活应用随机误差满足正态分布、均匀分布和t 分布时的处理方法。

4.掌握系统误差的分类、发现方法和消除方法。

5.掌握粗大误差的判断方法和消除方法。

6.掌握等精度时测量结果的处理，了解不等精度时测量结果的处理。

教学重点及难点1. 算术平均值、实验标准偏差、置信概率、置信区间的概念2. 系统误差的分类、发现方法和消除方法；粗大误差的判断方法和消除方法教学方式：讲授教学过程：2.2.1随机误差的统计特性及减少方法1．随机误差的分布规律测量值和测量误差都是随机变量。

在很多情况下，测量中随机误差的分布及测量数据的分布大多接近于服从正态分布。

随机误差和测量数据的分布形状相同，因为它们的标准偏差相同（都为σ），只是横坐标相差μ这一常数值。

随机误差具有以下规律：①对称性：绝对值相等的正误差与负误差出现的概率相同。

② 单峰性： 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大。

③ 有界性：绝对值很大的误差出现的概率接近于零，即随机误差的绝对值不会超过一定界限。

④抵偿性：当测量次数∞→n 时，全部误差的代数和趋于零。

标准偏差σ的意义：代表测量数据和测量误差分布离散程度的特征数。

σ值越小，则曲线形状尖锐，说明数据越集中；σ越大，则曲线形状越平坦，说明数据越分散。

2．有限次测量的数学期望和标准偏差的估计值在实际测量中只能进行有限次测量，不能准确地求出被测量的数学期望和标准偏差。

本节讨论如何根据有限次测量结果估计被测量的数学期望和标准偏差。

（1）有限次测量的数学期望的估计值——算术平均值被测量X 的数学期望就是当测量次数∞→n 时，各次测量值的算术平均值。

∑∑====ni i n i i xn n x X E 1111)( 当∞→n 时 （3-13）实际等精度测量时，测量次数n 为有限次，各次测量值为),,2,1(n i x i =，规定使用算术平均值x 为数学期望的估计值，并作为最后的测量结果。

即：∑==n i i xn x 11 （3-14）算术平均值是数学期望的无偏估计值、一致估计值和最大似然估计值。

（2）算术平均值的标准偏差因为是等精度测量，并假定n 次测量是独立的，那么这一系列测量就具有相同的数学期望和方差，又根据概率论中“几个相互独立的随机变量之和的方差等于各个随机变量方差之和”的定理，进行下面推导。

)]()()([1)(1)1()(222122122122n n i i n i i x x x n x n x n x σσσσσσ+++===∑∑==)(1)(1222X nX n n σσ==则 n X x )()(σσ= （3-15）式（3-15）说明，n 次测量值的算术平均值的方差比总体或单次测量值的方差小n 倍，或者说算术平均值的标准偏差比总体或单次测量值的标准偏差小n 倍。

这是由于随机误差的抵偿性，在计算x 的求和过程中，正负误差相互抵消；测量次数越多，抵消程度越大，平均值离散程度越小，这是采用统计平均的方法减弱随机误差的理论依据。

所以，用算术平均值作为测量结果，减少了随机误差。

（3）有限次测量数据的标准偏差的估计值以算术平均值代替真值，以测量值与算术平均值之差——残差ν来代替真误差，即x x i i -=ν（3-16） 显然，残差的代数和为零，即∑=0i ν。

贝塞尔公式：∑∑==--=-=n i i n i i x xn n x s 1212)(1111)(ν （3-17）式中，)(x s 为测量值标准偏差的估计值，通常又称为实验偏差。

)(x s 作为算术平均值标准偏差)(x σ的估计值n x s x s )()(= （3-19）2.2.2粗大误差及其判断准则大误差出现的概率很小，列出可疑数据，分析是否是粗大误差，若是，则应将对应的测量值剔除。

粗大误差的产生原因① 测量人员的主观原因：操作失误或错误记录；② 客观外界条件的原因：测量条件意外改变、受较大的电磁干扰，或测量仪器偶然失效等。

1．防止和消除粗大误差的方法对粗大误差，除了设法从测量数据中发现和鉴别而加以剔除外，重要的是采取各种措施，防止产生粗大误差。

① 要加强测量者的工作责任心和以严格的科学态度对待测量工作；② 保证测量条件的稳定，或者应避免在外界条件激烈变化时进行测量。

③ 在等精度条件下增加测量次数，或采用不等精度测量和互相之间进行校核的2. 粗大误差的判别准则根据统计学的方法来判别可疑数据是否是粗大误差。

这种方法的基本思想是：给定一置信概率，确定相应的置信区间，凡超过置信区间的误差就认为是粗大误差，并予以剔除。

常用的方法有：1）莱特检验法 若s i 3>ν，则该误差为粗大误差，所对应的测量值i x 为异常数据。

使用时要求测量次数充分大。

2）格拉布斯检验法 最大残差),max(max min max x x x x --=ν，若 s G ⋅>max ν ，则判断对应测量值为粗大误差，其中，G 值按重复测量次数n 及置信概率c p 确定（一般%95=c p 和%99=c p ），见表3－6。

3）应注意的问题①所有的检验法都是人为主观拟定的，至今尚未有统一的规定。

这些检验法又都是以正态分布为前提的，当偏离正态分布时，检验可靠性将受影响。

特别是测量次数少时更不可靠。

②若有多个可疑数据同时超过检验所定置信区间，应逐个剔除，重新计算x 和s ，再行判别。

若有两个相同数据超出范围时，也应逐个剔除。

③在一组测量数据中，可疑数据应很少。

反之，说明系统工作不正常。

因此剔除异常数据需慎重对待。

要对测量过程和测量数据进行分析，尽量找出产生异常数据的原因。

2.2.3系统误差的判断及消除方法1．系统误差的特征系统误差的特征是在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。

在多次重复测量同一量值时，系统误差不具有低偿性。

2．系统误差的发现方法（1）．不变的系统误差校准、修正、实验比对法（2）变化的系统误差①残差观察法残差观察法是将所测得的数据及其残差按测得的先后次序列表或作图，观察各数据的残差值的大小和符号的变化情况，从而判断是否存在系统误差及其规律。