江苏省昆山市锦溪中学2014届九年级中考一轮复习课件：第20课时 等腰三角形

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解
析
先根据两直线平行内错角相等，得到∠DBC＝∠ADB.
再根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠DBC，根据等量代换得到 ∠ABD＝∠ADB，最后根据等角对等边证得结论． 证明：∵AD∥BC， ∴∠DBC＝∠ADB.
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC. ∴∠ABD＝∠ADB，
命题角度： 1．遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底之分，角有 底角和顶角之分； 2．遇到高线的问题要考虑高在形内和形外两种情况． 例3．[2012•广安] 已知等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D， 且AD＝1/2BC，则△ABC底角的度数为( C ) A．45° B．75° C．45°或75° D．60°
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图20－1
解 析 先通过平行条件得到两对内错角相等，结合线段中点 得到的线段相等，可证明两个三角形全等；由角相等的条件可证 明△DFG是等腰三角形，再结合点E是DF的中点，根据等腰三角 形“三线合一”的性质可证明结论．
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定理
拓展
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考点3
定义
等边三角形
三边相等的三角形是等边三角形
等边三角形的各角都______ 相等 ，并且每一个角都等于
性质 ______ 60°
3 条对称轴 等边三角形是轴对称图形，有______
(1)三个角都相等的三角形是等边三角形 判定 (2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
解 析
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方法点析
(1)利用线段的垂直平分线进行等线段转换，
进而进行角度转换；
(2)在同一个三角形中，等角对等边与等边对等角进行互相
转换．
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探究二、等腰三角形的判定
命题角度： 等腰三角形的判定． 例2．[2013•淄博] 如图20－2所 示，AD∥BC，BD平分∠ABC. 求证：AB＝AD. 图20－2
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解 析
首先根据题意画出图形，注意分别从∠BAC 是顶角
与∠BAC 是底角去分析． 如图①：AB＝AC， ∵AD⊥BC， 1 ∴BD＝CD＝ BC，∠ADB＝90°. 2 1 ∵AD＝ BC，∴AD＝BD，∴∠B＝45°， 2 即此时△ABC 底角的度数为 45°；
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性质
定理1
定理2
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(1)等腰三角形两腰上的高相等
(2)等腰三角形两腰上的中线相等
(3)等腰三角形两底角的平分线相等 (4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半 拓展 (5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行 (6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一 腰上的高
判定
实质 构成
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归 类 探 究
探究一、等腰三角形的性质的运用
命题角度： 1．等腰三角形的性质； 2．等腰三角形“三线合一”的性质；
3．等腰三角形两腰上的高(中线)、两底角的平分线的性质．
例1．[2012•镇江] 如图20－1，在四边形ABCD中，AD∥BC， E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边 BC上，且∠GDF＝∠ADF. (1)求证：△ADE≌△BFE； (2)连接EG，判断EG与DF的位置关系，并说明理由．
∴AB＝AD.
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方法点析
要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到
两边相等，而得到两边相等的方法主要有(1)通过等角对等 边得两边相等；(2)通过三角形全等得两边相等；(3)利用 垂直平分线的性质得两边相等．
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探究三、等腰三角形的多解问题
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考点4
线段的垂直平分
定义
经过线段的中点与这条线段垂直的直线叫做这条线 段的垂直平分线
性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 相等 ________
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 垂直平分线 上 ________________ 线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点 ______________ 距离相等 的所有点的集合
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考 点 聚 焦
考点1
定义
等腰三角形的概念与性质 两边 相等的三角形是等腰三角形，相等的两边叫腰，第 有______ 三边为底
轴对称性 等腰三角形是轴对称图形，有____ 1 条对称轴 等腰三角形的两个底角相等(简称为： ________________) 等边对等角 等腰三角形顶角的平分线、底边上的______ 中线 和 底边上的高互相重合，简称“三线合一”
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解 析
如图②，AC＝BC，
∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°. 1 1 ∵AD＝ BC，∴AD＝ AC，∴∠C＝30°. 2 2 180°－∠C ∴∠CAB＝∠B＝ ＝75°， 2 即此时△ABC 底角的度数为 75°. 综上，△ABC 底角的度数为 45°或 75°. 故选 C.
(7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等 于一腰上的高
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考点2
等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也 相等(简写成：等角对等边 ____________)
(1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形 (2)一边上的高与这边所对的角的平分线重合的三角形是等 腰三角形 (3)一边上的中线与这边所对的角的平分线重合的三角形是 等腰三角形
(1)证明：∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠BFE，∠DAE＝∠ FBE. ∵E 是 AB 的中点， ∴AE＝BE. ∴△ADE≌△BFE. (2)EG 与 DF 的位置关系是 EG⊥DF . ∵∠GDF＝∠ADF， 又∵∠ADE＝∠BFE， ∴∠GDF＝∠BFE， ∴GD＝GF . 由(1)得，DE＝EF， ∴EG⊥DF .