江苏省昆山市锦溪中学2014届九年级中考一轮复习课件：第20课时 等腰三角形
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《等腰三角形》教学PPT课件【初中数学】公开课
B
C
D
B
A
E
D
F
C
“三线合一”的操作
1.等腰三角形的顶角一定是锐角. 2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、
钝角都可以. 3.钝角三角形不可能是等腰三角形. 4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边. 5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合. 6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.
（X）
（X） （X） （√） （X） （√）
角的度数．
A
A
A
BD
CB
F
CB
如图，作△ABC
如图， 作△ABC
的中线AD.
的高AF.
E
C
如图，作顶角
的平分线AE.
议一议：
说说为什么在添加辅助线时，作顶角平分线，底边中线， 底边上的高都能使分成的两个三角形全等？
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高相互重合。（等腰三角形“三线合一”）
13.3.1 等腰三角形（1）
B
A
AB=AC
等腰三角形
C
折一折：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴 是什么？
B
A
D
C
等腰三角形是轴对称图形. 折痕所在的直线是它的对称轴.
找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折， 找出其中重合的线段和角.
重合的线段
重合的角
A
AB与AC
∠B 与∠C.
BD与CD
思考：有其他方法吗？
方法二： 作底边BC的高AD
A
方法三： 作顶角∠BAC的平分线AD
A
12
B
DC
B
`
C
D
归纳结论
等腰三角形的复习ppt课件
特点
等腰三角形是轴对称图形，有一条对称 轴，即底边的垂直平分线（或底边的中 垂线）。
等腰三角形性质
等腰三角形的两个底角相等 （简写成“等边对等角”）。
等腰三角形的顶角的平分线， 底边上的中线，底边上的高的 重合（简写成“三线合一”）。
等腰三角形是轴对称图形，对 称轴是底边的垂直平分线。
判定方法
在一个三角形中，如果一个角的 平分线与它所对边的高重合，那
么这个三角形是等腰三角形。
在一个三角形中，如果一条边上 的中线等于这条边的一半，那么
这个三角形是等腰三角形。
在一个三角形中，如果两个角的 度数相等，那么这两个角所对的 边也相等，即这个三角形是等腰
三角形。
02
等腰三角形面积与 周长计算
面积计算公式
等腰三角形面积公式
01
$S = frac{1}{2} times 底 times 高$
题目2 已知等腰三角形ABC的周长为16cm，AD是底边 BC上的中线，AD∶AB = 3∶5，且△ABD的周长 为12cm，求△ABC的各边长及AD的长．
题目3 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 45°，且腰长为6，则其面积为多少？
THANKS
感谢您的观看
善于利用图形中的隐含条件，如公共边、公共角等。
辅助线构造方法
等腰三角形中的高
连接顶点与底边中点，构 造出高，利用高的性质进 行证明。
中位线
连接两腰中点，构造出中 位线，利用中位线的性质 进行证明。
角平分线
若题目中涉及到角的平分， 可以构造角平分线，利用 角平分线的性质进行证明。
典型例题解析
解析
根据等腰三角形的性质， 我们知道∠B=∠C。又因 为AD是BC边上的高， 所以 ∠ADB=∠ADC=90°。 根据三角形的全等判定， 我们可以证明 △ABD≌△ACD，从而得 出∠BAD=∠CAD。
等腰三角形是轴对称图形，有一条对称 轴，即底边的垂直平分线（或底边的中 垂线）。
等腰三角形性质
等腰三角形的两个底角相等 （简写成“等边对等角”）。
等腰三角形的顶角的平分线， 底边上的中线，底边上的高的 重合（简写成“三线合一”）。
等腰三角形是轴对称图形，对 称轴是底边的垂直平分线。
判定方法
在一个三角形中，如果一个角的 平分线与它所对边的高重合，那
么这个三角形是等腰三角形。
在一个三角形中，如果一条边上 的中线等于这条边的一半，那么
这个三角形是等腰三角形。
在一个三角形中，如果两个角的 度数相等，那么这两个角所对的 边也相等，即这个三角形是等腰
三角形。
02
等腰三角形面积与 周长计算
面积计算公式
等腰三角形面积公式
01
$S = frac{1}{2} times 底 times 高$
题目2 已知等腰三角形ABC的周长为16cm，AD是底边 BC上的中线，AD∶AB = 3∶5，且△ABD的周长 为12cm，求△ABC的各边长及AD的长．
题目3 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 45°，且腰长为6，则其面积为多少？
THANKS
感谢您的观看
善于利用图形中的隐含条件，如公共边、公共角等。
辅助线构造方法
等腰三角形中的高
连接顶点与底边中点，构 造出高，利用高的性质进 行证明。
中位线
连接两腰中点，构造出中 位线，利用中位线的性质 进行证明。
角平分线
若题目中涉及到角的平分， 可以构造角平分线，利用 角平分线的性质进行证明。
典型例题解析
解析
根据等腰三角形的性质， 我们知道∠B=∠C。又因 为AD是BC边上的高， 所以 ∠ADB=∠ADC=90°。 根据三角形的全等判定， 我们可以证明 △ABD≌△ACD，从而得 出∠BAD=∠CAD。
中考数学复习讲义：等腰三角形.doc
中考数学复习讲义：等腰三角形
第六讲等腰三角形
要点归纳
1．有两条边相等的三角形，叫做三角形．
2．等腰三角形的两个两个相等，简称为“等边对”．
3．等腰三角形的顶角平分线、、底边上的高互相重合，简称为“ ”．
4．如果一个三角形有两个相等，那么这两个角所对的边也相等，简称为“ ”．
5．等腰三角形时图形，底边上的中线所在的直线是它的对称轴．
6．三条边相等的三角形时三角形．
7．等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于．8．都相等的三角形时等边三角形．
9．有一个角是60°的三角形是等边三角形．
10．等边三角形每条边上的高线、中线及所对角的平分线，它们所在的直线都是三角形的．
11．在直角三角形中，30°角所对的直角边等于．。
2014届中考数学第一轮基础课件(第20讲等腰三角形)
第20讲┃ 归类示例
等边三角形中隐含着三边相等和三个角都等于60° 的结论，所以要充分利用这些隐含条件，证明全等或者 构造全等．
定义
性质
判定 实质 构成
第20讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 等腰三角形的性质的运用 命题角度： 1. 等腰三角形的性质； 2. 等腰三角形“三线合一”的性质； 3. 等腰三角形两腰上的高(中线)、两底角的平分线的性质.
例1 [2013·镇江] 如图20－1，在四边形ABCD中， AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F ，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF. (1)求证：△ADE≌△BFE； (2)连接EG，判断EG与DF的位置关系， 并说明理由． 图20－1
图20－3
第20讲┃ 归类示例 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： (1)特殊情况，探索结论 当点E为AB的中点时，如图20－4①，确定线段 AE与DB的大小关系，请你直接写出结论： ＝ AE________DB(填“>”“<”或“＝”)
① 图20－4
②
第20讲┃ 归类示例
(2)特例启发，解答题目 解：题目中，AE与DB的大小关系是： AE________DB(填“>”“<”或“＝”)．理由如下 ＝ ：如图20－4②，过点E作EF∥BC，交AC于点F. (请你完成以下解答过程) (3)拓展结论，设计新题 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D 在直线BC上，且ED＝EC.若△ABC的边长为1， AE＝2，求CD的长(请你直接写出结果)． (3)1或3.
第20讲┃ 归类示例
[解析] 先通过平行条件得到两对内错角相等，结合线段 中点得到的线段相等，可证明两个三角形全等；由角相等 的条件可证明△DFG是等腰三角形，再结合点E是DF的中点 ，根据等腰三角形“三线合一”的性质可证明结论．
中考复习课件_等腰三角形
互相重合 （简称为“三线合一”）. 3.等腰三角形的判定 判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为
“等角对等边”）. 注意：要正确区别等腰三角形的性质和判定.“性质”指的是由边相等得出角相 等，即“等边对等角”； 而“判定”指的是根据一些条件来判定三角形是不是等腰三角形, 即最后得出边相等.
1.在一次数学课上,王老师在黑板上画出 图,并写下了四个等式:
①AB=DC,②BE=CE,
③∠B=∠C,④∠BAE=∠CDE. 要求同学从这四个等式中选出两个作为条件,推出△AED是 等腰三角形.请你试着完成王老师提出的要求,并说明理由 (写出一种即可).
已知:
求证:△AED是等腰三角形. 证明:
［预测变形1］［2010· 烟台］如图27-2，等腰△ ABC中， AB=AC，∠A=20°，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC C 于E，连接BE，则∠CBE等于 （ ） A.80° B.70° C.60° D.50°
【解析】∵DE垂直平分AB，∴∠DBE=∠A=20°, ∴∠CBE=(180°-∠A)×1/2-∠A=60°.
解析】已知:①③(或①④,或②③,或②④)BE≌△DCE,∴AE=DE,
即△AED是等腰三角形.
易错分析
2．若等腰三角形两边长分别是9和4，则它的周长 是 22 ．
等腰三角形边 有腰、底之分， 构成三角形要 满足三边关系 定理
50° 3．已知等腰三角形的一个内角为100° 则它的另外两角 等腰三角
等腰三角形
----复习课
等边三角形 等腰三角形
三角形
课前检测
1.等腰三角形的概念 定义：有两边 相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边叫做腰，另 一边叫做底边，两腰的夹角叫做 顶角 ，腰与底边的夹角叫做底角.
“等角对等边”）. 注意：要正确区别等腰三角形的性质和判定.“性质”指的是由边相等得出角相 等，即“等边对等角”； 而“判定”指的是根据一些条件来判定三角形是不是等腰三角形, 即最后得出边相等.
1.在一次数学课上,王老师在黑板上画出 图,并写下了四个等式:
①AB=DC,②BE=CE,
③∠B=∠C,④∠BAE=∠CDE. 要求同学从这四个等式中选出两个作为条件,推出△AED是 等腰三角形.请你试着完成王老师提出的要求,并说明理由 (写出一种即可).
已知:
求证:△AED是等腰三角形. 证明:
［预测变形1］［2010· 烟台］如图27-2，等腰△ ABC中， AB=AC，∠A=20°，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC C 于E，连接BE，则∠CBE等于 （ ） A.80° B.70° C.60° D.50°
【解析】∵DE垂直平分AB，∴∠DBE=∠A=20°, ∴∠CBE=(180°-∠A)×1/2-∠A=60°.
解析】已知:①③(或①④,或②③,或②④)BE≌△DCE,∴AE=DE,
即△AED是等腰三角形.
易错分析
2．若等腰三角形两边长分别是9和4，则它的周长 是 22 ．
等腰三角形边 有腰、底之分， 构成三角形要 满足三边关系 定理
50° 3．已知等腰三角形的一个内角为100° 则它的另外两角 等腰三角
等腰三角形
----复习课
等边三角形 等腰三角形
三角形
课前检测
1.等腰三角形的概念 定义：有两边 相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边叫做腰，另 一边叫做底边，两腰的夹角叫做 顶角 ，腰与底边的夹角叫做底角.
中考数学专题复习课件(第20讲_等腰三角形)
举 一 反 三
考 点 训 练
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考 点 知 识 精 讲 中 考 典 例 精 析
2．(2011 中考预测题)在△ABC 中，AB＝AC，点 D 在 AC 上，且 BD ＝BC＝AD ，则∠A 等于( ) A．30° B．40° C．45° D．36°
举 一 反 三
【解析】AD＝ BD， ∴∠ABD＝ ∠A.∵BD＝ BC， ∴∠BCD＝ ∠BDC＝ ∠A＋ ∠ABD＝ 2∠A.∵AB＝ AC， ∴∠ABC＝ ∠C＝ 2∠A， ∵∠A＋ ∠ABC＋ ∠C＝ 180°， ∴∠A＋ 2∠A＋ 2 ∠ A ＝ 180° ， ∴∠ A ＝ 36° . 考
点 训 练
【答案】D
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3． (2009 中考变式题 )若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半， 则这个等腰三角形的底 考 点 角为( ) 知 A．75° 或 15° B．36° 或 60° 识 C．75° D ．30° 精 讲 【解析】注意分情况讨论：①若等腰三角形为锐角三角形，底角为 75° ；②若等腰三角
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考 点 知 识 精 讲 中 考 典 例 精 析
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考 点 知 识 精 讲 中 考 典 例 精 析
举 一 反 三
5．下面给出的几种三角形：(1)有两个角为 60°的三角形；(2)三个外角都相等的三角形； (3)一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形；(4)有一个角为 60°的等腰三角形．其中一定 是等边三角形的有( B ) A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
中考总复习《等腰三角形》课件
个 D．0个
4、如图，在△ABC中，AB＝AC，BF＝CD，BD＝CE， ∠FDE＝α，则下列结论正确的是( ) A．2α＋∠A＝180° B．α＋∠A＝90° C．2α＋∠A＝90° D．α＋∠A＝180°
整合提升 冲刺中考
5、在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点Q是 线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交直线AB 于点P. 当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．
考点梳理 聚焦中考
考点1 等腰三角形的概念与性质
常见 结论
(1)等腰三角形两腰上的高相等 (2)等腰三角形两腰上的中线相等 (3)等腰三角形两腰上的角平分线相等 (4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于 顶角的一半
(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行
(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离 之和等于一腰上的高
归类探究 点击中考
考点3 等边三角形
2、[2015·铜仁] 如图，点D在等边三角形ABC的边AB 上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E， EF＝FD.
求证：AD＝CE.
考点梳理 聚焦中考
考点4 线段的垂直平分线
经过线段的中点与这条 定义 线段垂直的直线叫做这
条线段的垂直平分线 线段垂直平分线上的 性质 点与这条线段两个端 点的距离相等
整合提升 冲刺中考
1、若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个
等腰三角形的底角为
.
2、在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在坐
标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的
点P共有
个．
整合提升 冲刺中考
3、如图,△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分 别与CD、CE交于点M、N，有如下结论，其中结论正确 的有( ) ①△ACE≌△DCB； ②CM＝CN；
4、如图，在△ABC中，AB＝AC，BF＝CD，BD＝CE， ∠FDE＝α，则下列结论正确的是( ) A．2α＋∠A＝180° B．α＋∠A＝90° C．2α＋∠A＝90° D．α＋∠A＝180°
整合提升 冲刺中考
5、在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点Q是 线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交直线AB 于点P. 当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．
考点梳理 聚焦中考
考点1 等腰三角形的概念与性质
常见 结论
(1)等腰三角形两腰上的高相等 (2)等腰三角形两腰上的中线相等 (3)等腰三角形两腰上的角平分线相等 (4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于 顶角的一半
(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行
(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离 之和等于一腰上的高
归类探究 点击中考
考点3 等边三角形
2、[2015·铜仁] 如图，点D在等边三角形ABC的边AB 上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E， EF＝FD.
求证：AD＝CE.
考点梳理 聚焦中考
考点4 线段的垂直平分线
经过线段的中点与这条 定义 线段垂直的直线叫做这
条线段的垂直平分线 线段垂直平分线上的 性质 点与这条线段两个端 点的距离相等
整合提升 冲刺中考
1、若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个
等腰三角形的底角为
.
2、在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在坐
标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的
点P共有
个．
整合提升 冲刺中考
3、如图,△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分 别与CD、CE交于点M、N，有如下结论，其中结论正确 的有( ) ①△ACE≌△DCB； ②CM＝CN；
中考数学复习课件：第20讲 等腰三角形教材
【解答】(1)根据“三角形任意两边之和大于第三边”知腰应为 7，该三角形三边为 7、7、 3.故选 B.
(2)当 40°为底角时，顶角为 100°；40°也可以为顶角．故选 C. (3)∵DE 垂直平分 AB，∴EA＝EB，∴∠EBD＝∠A＝20°.∵∠A＝20°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝80°，∴∠CBE＝80°－20°＝60°，故选 C. (4)等腰三角形分别是△ABC、△ABD、△BCD、△BCE、△CDE.故选 A.
A．80°
B．70° C．60°
D．50°
例 1(3)题
例 1(4)题
(4)(2010·宁波)如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE 分别是△ABC、△BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有( )
A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个
【点拨】本组题主要考查等腰三角形的有关性质和判定．
【解答】满足①③、①④、②③、②④，可判定△ABC 是等腰三角形．
1．等腰△ABC 的两边长分别为 2 和 5，则第三边的长为 5.
2．某等腰三角形的两条边长分别为 3 cm 和 6 cm，则它的周长为( C )
A．9 cm
B．12 cm
C．15 cm
D．12 cm 或 15 cm
3．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为 1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为
C．70°
D．50°
7．如图，在边长为 4 的正三角形 ABC 中，AD⊥BC 于点 D，以 AD 为一边向右作正三 角形 ADE.
(1)求△ABC 的面积 S； (2)判断 AC、DE 的位置关系，并给出证明．
答案：(1)S＝4 3 (2)AC⊥DE
考点训练 20
(2)当 40°为底角时，顶角为 100°；40°也可以为顶角．故选 C. (3)∵DE 垂直平分 AB，∴EA＝EB，∴∠EBD＝∠A＝20°.∵∠A＝20°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝80°，∴∠CBE＝80°－20°＝60°，故选 C. (4)等腰三角形分别是△ABC、△ABD、△BCD、△BCE、△CDE.故选 A.
A．80°
B．70° C．60°
D．50°
例 1(3)题
例 1(4)题
(4)(2010·宁波)如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE 分别是△ABC、△BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有( )
A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个
【点拨】本组题主要考查等腰三角形的有关性质和判定．
【解答】满足①③、①④、②③、②④，可判定△ABC 是等腰三角形．
1．等腰△ABC 的两边长分别为 2 和 5，则第三边的长为 5.
2．某等腰三角形的两条边长分别为 3 cm 和 6 cm，则它的周长为( C )
A．9 cm
B．12 cm
C．15 cm
D．12 cm 或 15 cm
3．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为 1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为
C．70°
D．50°
7．如图，在边长为 4 的正三角形 ABC 中，AD⊥BC 于点 D，以 AD 为一边向右作正三 角形 ADE.
(1)求△ABC 的面积 S； (2)判断 AC、DE 的位置关系，并给出证明．
答案：(1)S＝4 3 (2)AC⊥DE
考点训练 20
(初中)九年级数学《轴对称、等腰三角形》中考专题阶段复习讲解教学课件
（初中）数学中考专题阶段复习讲解教学课件
⑪_等__边__对__等__角__; ⑫三__线__合__一___； ⑬定__义__法___； ⑭等__角__对__等__边___； ⑮_三__边__相__等__的__三__角__形__； ⑯_三__边__都__相__等__，__三__个__内__角__都__相__等__，__并__且__每__一__个__内_角__都__等__于___ _6_0_°__； ⑰_定__义__法__； ⑱三__个__角__都__相__等__的__三__角__形___； ⑲_有__一__个__角__是__6_0_°__的__等__腰__三__角__形__； ⑳_在__直__角__三__角__形__中__，__如__果__一__个__锐__角__等__于__3_0_°__，__那__么_它__所__对__的___ _直__角__边__等__于__斜__边__的__一__半__.
（初中）数学中考专题阶段复习讲解教学课件
⑤_对__应__线__段__相__等__，__对__应__角__相__等__； ⑥_对__称__轴__垂__直__平__分__连__接__对__应__点__的__线__段__； ⑦_选__取__特__殊__点__，__再__画__特__殊__点__的__对__称__点__，__最__后__连__接__这__些__对__称__点__； ⑧_(_x_,_-_y_)_;⑨_(_-_x_,_y_)_;⑩_有__两__边__相__等__的__三__角__形__；
谢谢
合，因此不是轴对称图形.
4.(中考)下列各图，不是轴对称图形的是( )
【解析】选A.如图，将A中图形沿直线折叠，直线两旁部分不 能完全重合，所以该图形不是轴对称图形，将B中图形折叠， 直线两旁部分能够完全重合，可判断该图形是轴对称图形，将 C中图形折叠，直线两旁部分能够完全重合，可判断该图形是 轴对称图形，将D中图形折叠，直线两旁部分能够完全重合， 可判断该图形是轴对称图形，综上，不是轴对称图形的应是A 中图形.
等腰三角形复习PPT课件
说明 本题易明显得出DG和EG所在的△DBG和△ECG不全等，故要构造三 角形的全等，本题的另一种证法是过E作EF∥BD，交BC的延长线于F，证明 △DBG≌△EFG，同学们不妨试一试。
例8 如图2-8-6，在△ABC中，AB=AC=CB，AE=CD，AD、 BE相交于P，BQ⊥AD于Q. 求证：BP=2PQ
Ｄ
150°
Ｈ
Ｏ
ＣＥ
Ｆa
请把这个等腰三角形纸片折成两个等腰
三角形！
A
A
A
36°
36°
D
36°
D
B
CB
CB
C
请把这个三角形纸片折成两个等腰三角形！
20°
B
A
120°
40°
C
A
120°
20°
B
D
40°
20°
CB
A
120°
40°
DC
在下图三角形的边上找出一点，使得该点与 三角形的其中两顶点构成等腰三角形！
例7 如图2-8-1,中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线 上一点，且BD=CE，DE交BC于G 求证：DG=EG
• 思路 因为△GDB和△GEC不全等，所以考虑在△GDB内 作出一个与△GEC全等的三角形。
证明：过D作DH∥AE，交BC于H ∴ ∵AB=AC ∴ ∴ ∴DB=DH 又∵DB=CE ∴DH=CE 又∵ ∴ ∴DG=EG.
AD=DE=EB.
• 分析：求本∠A题的有度较数多.的等腰三角形的条件，最好用列方程组 的方法来求解，应当在图形上标出各未知数，可使解题过
程清晰明了。
解：设∠A=x ，∠EBD=y，∠C=z
∵AB=AC
A
例8 如图2-8-6，在△ABC中，AB=AC=CB，AE=CD，AD、 BE相交于P，BQ⊥AD于Q. 求证：BP=2PQ
Ｄ
150°
Ｈ
Ｏ
ＣＥ
Ｆa
请把这个等腰三角形纸片折成两个等腰
三角形！
A
A
A
36°
36°
D
36°
D
B
CB
CB
C
请把这个三角形纸片折成两个等腰三角形！
20°
B
A
120°
40°
C
A
120°
20°
B
D
40°
20°
CB
A
120°
40°
DC
在下图三角形的边上找出一点，使得该点与 三角形的其中两顶点构成等腰三角形！
例7 如图2-8-1,中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线 上一点，且BD=CE，DE交BC于G 求证：DG=EG
• 思路 因为△GDB和△GEC不全等，所以考虑在△GDB内 作出一个与△GEC全等的三角形。
证明：过D作DH∥AE，交BC于H ∴ ∵AB=AC ∴ ∴ ∴DB=DH 又∵DB=CE ∴DH=CE 又∵ ∴ ∴DG=EG.
AD=DE=EB.
• 分析：求本∠A题的有度较数多.的等腰三角形的条件，最好用列方程组 的方法来求解，应当在图形上标出各未知数，可使解题过
程清晰明了。
解：设∠A=x ，∠EBD=y，∠C=z
∵AB=AC
A
中考数学总复习第四章图形的性质第20课时等腰三角形课件
◆知识清单 ◆考点突破 ◆课堂练兵
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第20课时 等腰三角形 课件 2025年中考数学一轮总复习
等以及两条直线互相垂直的重要依据.3. 分类讨论和方程思想是解决等腰三角
形多解问题的两大法宝，画出图形，数
形结合是解这类题目ຫໍສະໝຸດ 基本方法.考虑全面，分类讨论，逐一解决，不要漏解.4. 重要结论：
考点一 角平分线的性质与判定
例1 （1）如图1，AE，BE，CE分别
平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，
ED⊥BC于点D，ED＝3，△ABC的面
点D为AF的中点，连接CD. 求证：
∠ACD＝∠BCE.
图3
[答案]解： ②证明：∵∠ACE＝∠B，∴∠ACE＋∠BCE＝∠B＋∠BCE，∴∠ACB＝∠AEC. ∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC，∴∠AEC＝∠BAC，
∴AC＝EC. 如答案图，延长BC至点G，使CG＝CF，连接AG. ∵CG＝CF，且点D为AF的中点，∴CD∥AG，
①②④
考点二 线段垂直平分线的性质与判定例2 （1）如图1，在△ABC中，AB，
AC的中垂线DM，EN分别交BC于点
M，N，连接AM，AN. 若∠BAC＝
79°，则∠MAN的度数为（ C ）
C
A. 20°
B. 21°
C. 22°
D. 23°
图1
（2）（2024·眉山）如图2，在△ABC
中，AB＝AC＝6，BC＝4，分别以点
图示
结论
等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行，即AD∥BC
等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高，即DE＋DF＝BG
图示
结论
等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于腰上的高，即DF－DE＝BG
名师指津1. 等角对等边是证边相等的常用办法.2. 三线合一是证两条边相等、两个角相
形多解问题的两大法宝，画出图形，数
形结合是解这类题目ຫໍສະໝຸດ 基本方法.考虑全面，分类讨论，逐一解决，不要漏解.4. 重要结论：
考点一 角平分线的性质与判定
例1 （1）如图1，AE，BE，CE分别
平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，
ED⊥BC于点D，ED＝3，△ABC的面
点D为AF的中点，连接CD. 求证：
∠ACD＝∠BCE.
图3
[答案]解： ②证明：∵∠ACE＝∠B，∴∠ACE＋∠BCE＝∠B＋∠BCE，∴∠ACB＝∠AEC. ∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC，∴∠AEC＝∠BAC，
∴AC＝EC. 如答案图，延长BC至点G，使CG＝CF，连接AG. ∵CG＝CF，且点D为AF的中点，∴CD∥AG，
①②④
考点二 线段垂直平分线的性质与判定例2 （1）如图1，在△ABC中，AB，
AC的中垂线DM，EN分别交BC于点
M，N，连接AM，AN. 若∠BAC＝
79°，则∠MAN的度数为（ C ）
C
A. 20°
B. 21°
C. 22°
D. 23°
图1
（2）（2024·眉山）如图2，在△ABC
中，AB＝AC＝6，BC＝4，分别以点
图示
结论
等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行，即AD∥BC
等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高，即DE＋DF＝BG
图示
结论
等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于腰上的高，即DF－DE＝BG
名师指津1. 等角对等边是证边相等的常用办法.2. 三线合一是证两条边相等、两个角相
精选-中考数学总复习第四单元三角形第20课时等腰三角形课件
A.17
B.15
C.13
D.13 或 17
最新
精选中小学课件
9
课前双基巩固
6. [2018·山西] 如图 20-5,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,
[答案] D
∠ A=60°,AC=6,将△ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转得到 [解析] 连接 B'B.
△A'B'C,此时点 A'恰好在 AB 边上,则点 B'与点 B 之间 ∵将△ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转得到△A'B'C,
等于 ( C )
A.40°
B.55°
C.70°
D.110°
图 20-1
图 20-2
2. 如图 20-2 所示,△ABC 是等边三角形,且 BD=CE,∠1=15°,则∠2 的度数为 ( D )
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
最新
பைடு நூலகம்
精选中小学课件
6
课前双基巩固
3. 如图 20-3,A,B 两点在正方形网格的格点上,每个小方格都是边长为 1 的正方形,点 C 也在格点上,且△ABC 是 等腰三角形,则符合条件的点 C 共有( B ) A.8 个 B.9 个 C.10 个 D.11 个
(1)等腰三角形两腰上的高相等
(2)等腰三角形两腰上的中线相等 常
(3)等腰三角形两底角的平分线相等 见
(4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半 结
(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行 论
(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高
最新
(7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高
【苏科版】2014届中考数学第一轮夯实基础《第20讲 等腰三角形》(课本回归+考点聚焦+典例题解析,
第20讲┃ 归类示例
解： (1)证明：∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠BFE，∠DAE＝∠FBE. ∵E是AB的中点， ∴AE＝BE. ∴△ADE≌△BFE. (2)EG与DF的位置关系是EG⊥DF. ∵∠GDF＝∠ADF， 又∵∠ADE＝∠BFE， ∴∠GDF＝∠BFE， ∴GD＝GF. 由(1)得，DE＝EF， ∴EG⊥DF.
图20－2
第20讲┃ 归类示例
[解析] (1)利用△BDC≌△CEB 证明 ∠DCB＝∠EBC；(2)连接AO，通过HL证明 △ADO≌△AEO，从而得到∠DAO＝∠EAO，
利用角平分线上的点到两边的距离相等， 证明结论．
解：(1)证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝ ∠OCB.
∵BD、CE是两条高，∴∠BDC＝∠CEB＝
90°.
又∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB (AAS)． ∴∠DBC＝∠ECB, ∴AB＝AC. ∴△ABC是等腰三角形．
第20讲┃ 归类示例
(2)点O是在∠BAC的平分线上． 连接AO. ∵△BDC≌△CEB，∴DC＝EB. ∵OB＝OC，∴ OD＝OE. 又∵∠BDC＝∠CEB＝90°，AO＝AO， ∴△ADO≌△AEO(HL)． ∴∠DAO＝∠EAO. ∴点O是在∠BAC的平分线上．
第20讲┃ 等腰三角形
第20讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 等腰三角形的概念与性质
定义 性质
有两__边__相等的三角形是等腰三角形．相等的两 边叫腰，第三边为底
轴对 称性
等腰三角形是轴对称图形，有_一___ 条对称轴
定理1
等腰三角形的两个底角相等(简称为： _等__边__对__等__角_)
定理2
等腰三角形顶角的平分线、底边上 的_中__线_____和底边上的高互相重合，
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考点聚焦
归类探究
回归教材
第20课时┃归类探究
解 析
如图②，AC＝BC，
∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°. 1 1 ∵AD＝ BC，∴AD＝ AC，∴∠C＝30°. 2 2 180°－∠C ∴∠CAB＝∠B＝ ＝75°， 2 即此时△ABC 底角的度数为 75°. 综上，△ABC 底角的度数为 45°或 75°. 故选 C.
考点聚焦
归类探究
回归教材
第20课时┃归类探究
解
析
先根据两直线平行内错角相等，得到∠DBC＝∠ADB.
再根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠DBC，根据等量代换得到 ∠ABD＝∠ADB，最后根据等角对等边证得结论． 证明：∵AD∥BC， ∴∠DBC＝∠ADB.
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC. ∴∠ABD＝∠ADB，
考点聚焦
归类探究
回归教材
第20课时┃归类探究
解 析
首先根据题意画出图形，注意分别从∠BAC 是顶角
与∠BAC 是底角去分析． 如图①：AB＝AC， ∵AD⊥BC， 1 ∴BD＝CD＝ BC，∠ADB＝90°. 2 1 ∵AD＝ BC，∴AD＝BD，∴∠B＝45°， 2 即此时△ABC 底角的度数为 45°；
定理
拓展
考点聚焦
归类探究
回归教材
第20课时┃考点聚焦
考点3
定义
等边三角形
三边相等的三角形是等边三角形
等边三角形的各角都______ 相等 ，并且每一个角都等于
性质 ______ 60°
3 条对称轴 等边三角形是轴对称图形，有______
(1)三个角都相等的三角形是等边三角形 判定 (2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
考点聚焦 归类探究 回归教材
第20课时┃归类探究
图20－1
解 析 先通过平行条件得到两对内错角相等，结合线段中点 得到的线段相等，可证明两个三角形全等；由角相等的条件可证 明△DFG是等腰三角形，再结合点E是DF的中点，根据等腰三角 形“三线合一”的性质可证明结论．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第20课时┃归类探究
(1)证明：∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠BFE，∠DAE＝∠ FBE. ∵E 是 AB 的中点， ∴AE＝BE. ∴△ADE≌△BFE. (2)EG 与 DF 的位置关系是 EG⊥DF . ∵∠GDF＝∠ADF， 又∵∠ADE＝∠BFE， ∴∠GDF＝∠BFE， ∴GD＝GF . 由(1)得，DE＝EF， ∴EG⊥DF .
考点聚焦
命题角度： 1．遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底之分，角有 底角和顶角之分； 2．遇到高线的问题要考虑高在形内和形外两种情况． 例3．[2012•广安] 已知等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D， 且AD＝1/2BC，则△ABC底角的度数为( C ) A．45° B．75° C．45°或75° D．60°
解 析
考点聚焦
归类探究
回归教材
第20课时┃归类探究
方法点析
(1)利用线段的垂直平分线进行等线段转换，
进而进行角度转换；
(2)在同一个三角形中，等角对等边与等边对等角进行互相
转换．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第20课时┃归类探究
探究二、等腰三角形的判定
命题角度： 等腰三角形的判定． 例2．[2013•淄博] 如图20－2所 示，AD∥BC，BD平分∠ABC. 求证：AB＝AD. 图20－2
∴AB＝AD.
考点聚焦
归类探究
回归教材
第20课时┃归类探究
方法点析
要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到
两边相等，而得到两边相等的方法主要有(1)通过等角对等 边得两边相等；(2)通过三角形全等得两边相等；(3)利用 垂直平分线的性质得两边相等．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第20课时┃归类探究
探究三、等腰三角形的多解问题
判定
实质 构成
考点聚焦
归类探究
回归教材
第20课时┃归类探究
归 类 探 究
探究一、等腰三角形的性质的运用
命题角度： 1．等腰三角形的性质； 2．等腰三角形“三线合一”的性质；
3．等腰三角形两腰上的高(中线)、两底角的平分线的性质．
例1．[2012•镇江] 如图20－1，在四边形ABCD中，AD∥BC， E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边 BC上，且∠GDF＝∠ADF. (1)求证：△ADE≌△BFE； (2)连接EG，判断EG与DF的位置关系，并说明理由．
(7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等 于一腰上的高
考点聚焦
归类探究
回归教材
第20课判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也 相等(简写成：等角对等边 ____________)
(1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形 (2)一边上的高与这边所对的角的平分线重合的三角形是等 腰三角形 (3)一边上的中线与这边所对的角的平分线重合的三角形是 等腰三角形
第20课时 等腰三角形
第20课时┃考点聚焦
考 点 聚 焦
考点1
定义
等腰三角形的概念与性质 两边 相等的三角形是等腰三角形，相等的两边叫腰，第 有______ 三边为底
轴对称性 等腰三角形是轴对称图形，有____ 1 条对称轴 等腰三角形的两个底角相等(简称为： ________________) 等边对等角 等腰三角形顶角的平分线、底边上的______ 中线 和 底边上的高互相重合，简称“三线合一”
考点聚焦 归类探究 回归教材
性质
定理1
定理2
第20课时┃考点聚焦
(1)等腰三角形两腰上的高相等
(2)等腰三角形两腰上的中线相等
(3)等腰三角形两底角的平分线相等 (4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半 拓展 (5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行 (6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一 腰上的高
考点聚焦 归类探究 回归教材
第20课时┃考点聚焦
考点4
线段的垂直平分
定义
经过线段的中点与这条线段垂直的直线叫做这条线 段的垂直平分线
性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 相等 ________
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 垂直平分线 上 ________________ 线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点 ______________ 距离相等 的所有点的集合