导数在因式分解中的应用(论文)

第19卷第5期长春师范学院学报2000年9月V ol.19　N o.5Journal of Chang Chun T eachers College Sep　2000

导数在因式分解中的应用

陈良云,徐晓宁

(东北师范大学数学系,吉林长春　130024)

[摘　要]分解因式方法灵活多变,技巧性强,尤其是多元项式的因式分解更为复杂。目前,还没有一种统

一的方法可行。本文给出了多元多项式能因式分解的必要条件和操作步骤,使多元多项式的分解变得简

单。

[关键词]因式分解;导数;多元多项式

[中图分类号]O171 [文献标识码]A [文章编号]1008-178X(2000)05-0019-02引理:设f(x1,x2,……x n)为n元多项式,若存在某个x i,使f′xi(x1,x2,…,x n)与f(x1,x2,…,x i-1, 0,x i+1,…,x n)有公因式。则F(x1,x2,…,x n)=∫f′xi(x1,x2,…,x n)d x i与f(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…, x n)有公因式。

证明:令[f′xi(x1,x2,…,x n),f(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)]=d(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)。即f′xi(x1,x2,…,x n)=d(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)·h(x1,x2,…,x n);f(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…, x n)=d(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)g(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)。

则:F(x1,x2,…,x n)=∫f′xi(x1,x2,…,x n)dx i

=∫d(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n) h(x1,x2,…,x n)d xi

=d(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)∫h(x1,x2,…,x n)d x i

因此f(x1,x2,…,x n)与f(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)有公因式d(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)定理:若f′xi(x1,x2,…,x n)与f(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)有公因式,则f(x1,x2,…,x n)可以因式分解,且至少有公因式d(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)。

证明:若f′xi(x1,x2,…,x n)与f(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)有公因式d(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n),由引理可知∫f′x i(x1,x2,…,x n)与f(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)有公因式d(x1,x2,…,x i-1, 0,x i+1,…,x n)。而f(x1,x2,…,x n)=∫f′xi(x1,x2,…,x n)d x i+f(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)=d(x1, x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)∫h(x1,x2,…,x n)d x i+g(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)

故n元多项式f(x1,x2,…,x n)能因式分解,且因式中含d(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)公因子。

例1.因式分解:(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2

解若把y看作变量,x看作常量。

设f(y)=(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2

则f′(y)=2(1+y)-4x2y-2x4(1-y)

=2(1-x4)+(1-x2)2·2y

[收稿日期]2000-04-05

[作者简介]陈云良(1973-　),男,四川邻水人,东北师范大学硕士研究生,从事基础数学研究。

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=2(1-x2)[1+x2+2y(1-x2)]

=2(1+x)(1-x)[1+x2+2y(1-x2)]

当y=0时

f(0)=1-2x2+x4=(1-x2)2=(1+x)2(1-x)2,由于f′(y)与f(0)有公因式(1+x)(1-x),则可以利用导数的方法进行因式分解。

又由于f(y)=∫f′(y)dy+f(0)

=∫2(1-x2)[1+x2+2y(1-x2)]dy+(1-x2)2

=2(1-x2)[(1+x2) y+(1-x2) y2]+(1-x2)2

=(1+x)(1-x)(2y+2yx2+y2-x2y2-x2+1)

上式第三因子仍可用同样的方法进行因式分解

令g(x)=2y+2y x2+y2-x2y2-x2+1

g′(x)=-2x(1-y)2=-(1+y)(1-y)·2x

g(0)=2y+y2+1=(y+1)2

由于g′(x)与g(0)有公因式y+1,则可利用导数的方法进行分解。

g(x)=∫g′(x)dx+g(0)

=∫-(1+y)(1-y) 2x dx+(y+1)2

=(1+y+x-x y)(1+y-x+x y)

综上所述可得:

f(y)=(1+x)(1-x)(1+x+y-xy)(1-x+y+x y)

例2.因式分解:(a+b)2(b+c-a)(c+a-b)+(a-b)2(a+b+c)(a+b-c)

解:若把c看作变量,a、b看作常量

令f(c)=(a+b)2(b+c-a)(c+a-b)+(a-b)2(a+b+c)(a+b-c)

f′(c)=(a+b)2[(c+a-b)+(b+c-a)]+(a-b)2[(a+b-c)-(a+b+c)]

=8abc

当c=0时:

f(0)=(a+b)2(b-a)(a-b)+(a-b)2(a+b)2=0

所以f′(c)与f(c)有公因式8abc

故可利用导数方法进行因式分解。

f(c)=∫f′(c)dx+f(0)

=∫8abcdx+0

=4abc2

故(a+b)2(b+c-a)(c+a-b)+(a-b)2(a+b+c)(a+b-c)=4abc2

说明:(1)此定理是一个多元多项式能因式分解,且可以利用导数方法分解因式的必要条件,而不是充分条件。即若一个多元多项式能因式分解,但f′x i(x1,x2,…,x n)与f(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)可能无公因式,所以此法不一定适用。例如因式分解:(x-2y)2x+7x-14y+12,若选x为变元f′(x)=2 (x-2y)+7,f(0)=4y2-14y+12,f′(x)与f(0)无公因式;同样选y为变元g′(y)与g(0)也无公因式,因此不能用此法因式分解。但(x-2y)2x+7x-14y+12=(x-2y)2-7(x-2y)+12=(x-2y+3)(x -2y+4)。

(2)此定理不仅提供了一种分解多元多项式的方法,还提供了判断一个多项式能否因式分解的必要条件。

(3)此方法还可用于化简多元多项式,例如2所示。(下转第3页)·

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