导数在因式分解中的应用(论文)
导数在高中数学解题中的合理应用
导数在高中数学解题中的合理应用[摘要] 导数在高中数学解题过程中的运用，最基本的作用是将解题过程变得简单高效，将复杂的高中数学问题简单化，为学生下一阶段的数学学习做一个铺垫.教师在在导数的教学过程中，将理论知识形象化，结合一定的图片表格，让学生能更直观的感受到导数的各性质之间的区别，同时也要注意引导学生将数学知识生活化，这样也能更好地提高学生导数学习的效率.[关键词] 导数高中数学合理应用[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674 6058（2016）17 0000导数是高考出题的热点，这让教师和学生对导数学习的意识也逐渐加强.导数在数学教学中的引入，加深了学生对函数的理解，激发了学生的创新思维，同时引导学生将导数解题的方式运用到实际生活中去，并且对激发学生学习数学的积极性有一定的作用.所以导数是数学教学中有利的辅助工具.注重引导学生用导数进行解题，并且能熟练掌握已成为数学教学的教学目标之一.一、导数在代数中的应用导数不是很复杂难学的知识，只要将公式、法则、性质牢记于心，多做练习，自然就能熟练应用.运用导数求极值一般有固定的解题步骤：首先求出f′（x）的根值，根据所得数值，确定根两侧的函数单调性，再根据单调性呈现出来的递增或递减状态，得到相应的最大值或最小值.如果两侧单调性相同，则说明此根处没有相应的极值.例如，用导数求函数f（x）=-x3+3x2+9x在单调区间[1，5]上的最大值.解：函数f（x）的导数为f′（x）=-3x2+6x+9，所以在区间（-1，3）上是单调递增的，即f′（x）>0.在区间（-∞，-1），（3，+∞）上是单调递减的；对于区间[1，5]在[1，3]的范围内f′（x）>0，即是递增，在[3，5]范围内f′（x）这类题目在高中是常见的基础题型，在某一区间内求取极值的问题，根据导数的定义，在区间内如果两侧符号不同，那就说明这个区间存在极值，以此为根据，有清晰的解题思路，就能快速地解出答案.二、导数在几何中的应用导数在几何题目的解答上都能使解题变得更高效简单.学生在导数知识章节的学习中，对于导数的公式和两个函数之间的四种求导法则，可以不用加以过多的证明，但一定要将公式和法则熟记于心，在遇到难题时，能够正确使用相应的步骤和法则.学生在导数知识的学习过程中，也要注意适时的进行总结，对知识有一个连贯性.注重知识的全面运用，可以提升学生自身的综合学习能力.导数在几何解题的应用也可以有效地提高解题效率.比如常见的给出某M点坐标和曲线c方程，求出最终的切线方程.解题基本上也是有固定的步骤：首先确定M点是否在相应的曲线c上，另外要求得相应的导数f′（x）；根据题目的实际情况会得出不一样的数值，然后结合导数知识根据具体的情况运用相应的方程公式.如果点在曲线上，那么需要用的方程为y-y0=f′（x0）（x-x0）；如果点不在曲线上，那么需要用到的方程为y1=f（x1），y0-y1=f′（x1）（x0-x1），以此为根据，得出具体的x1的值，这样就能求得切线方程.在几何题目的解答中，合理的应用导数可以使计算方法变得更加简单，通过这种方式可以提高数学题目解答的效率.在高中数学中我们经常会遇到坐标系中切线方程求解.一般的题目都是给出曲线外的一个坐标点，让学生来求解过这个点的曲线的切线方程，这些题目的解答都是通过导数来实现的.例如：已知一条直线p：x+4y-4=0，以及曲线y=x4，直线p与曲线的一条切线n相互垂直，求切线n的方程.这是一道典型的采用导数来进行解答的曲线切线题目.在解题的过程中，我们要对题目所给的信息进行分析，根据直线x+4y-4=0与切线n相互垂直这一信息，来计算出n这条直线的斜率，然后再求出曲线的导函数.当导函数取具体值的时候，我们就可以将其对应的点坐标求出，这样就可以根据斜率和点的坐标来得出直线的方程.具体解题步骤为：y=x4，求导结果为y′=4x3，直线x+4y-4=0的斜率为-1/4，那么与这条直线垂直的直线n的斜率就是4.我们令y=4x3=4，就可以得出x=1，由此可知，这条直线与曲线的交点，也就是切点的位置就是（1，1），那么对应的切线方程就为y-1=4（x-1），即为y=4x-3.学生要想在数学解题中很好地应用导数，必须是建立再对导数的概念、性质以及法则等有深刻理解的基础上的.通过导数典型性的应用，可以使一些题目变得一题多解，帮助学生对各个知识点有更加深层的掌握，并在此基础上选择较为简单的方法，更好的解决问题.总之，导数在高数解题中的运用，有效地帮助学生更快速地解答难题；在有些包含导数、方程组、数列等方面的综合题目，通过使用导数进行解题，可以考察学生的综合思考能力，提高高中数学教学有效性.[ 参考文献 ][1]吴龙福.例析导数在高中数学题目解答中的典型性应用[J].数学大世界：教师适用，2012，（11）：62-62.[2]郝利军.关于高中数学导数公式的应用研究[J].文理导航（中旬），2014，（8）：19-19.建议先理论分析，再列举一个具体的例子.。
导数在高中数学解题中的应用分析
教学信息新教师教学导数是微分的初步知识，同时也是新教材的新增内容，是研究函数、解决实际问题的有力工具，在近年的高考中已占有突出的地位，是高考和各地模拟考试的热点。
近几年全国各地高考试卷中均有与导数有关的综合问题，经常是导数与不等式、方程、解析几何、数列、函数等其他知识的交汇进行命题，从不同的角度灵活考查了综合利用所学知识解决数学问题的能力。
因此，在复习时要增强运用导数知识解决数学问题的意识。
一、导数在求函数极值中的应用函数的最值问题是高中数学中的一个重点，也是一个难点，在导数引入高中课本以前，求函数最值的方法有很多种，但是导数引入高中课本后，对很多求最值类型的题目不仅多了一种解题的方法与思路，而且更是解决问题的简便方法之一。
由于最值问题中二次函数的最值比较典型，本文就以导数在求二次函数最值中的应用为例。
在大部分高考题目中，二次函数的区间最值是指二次函数在某个特定区间上的最大（小）值，这类题往往含有参数，是高考的热点与难点。
如果用数形结合的思想和方法来解答，则十分麻烦，但利用导数来解答，则简洁明了。
导数的作用主要是判断函数在此区间上的单调性与函数的极值点，解题的关键在于考察二次函数的极值点与区间的相对位置关系。
例1：已知函数f （x ）=x 2（x +1），求函数f （x ）在R 上的极值。
其相应的求解的过程如下：解：f ′（x ）=2x （x +1）+x 2=3x 2+2x ，令f ′（x ）=0，得到x 1=0，x 2=- 。
当x ∈（-∞，- ）时，f ′（x ）＞0，即f （x ）为单调递增；当x ∈（- ，0）时，即f ′（x ）＜0，即f （x ）为单调递减；当x ∈（0，+∞）时，f ′（x ）＞0，即f （x ）单调递增。
所以当x =- 时，f （x ）取得相应的极大值f （- ）= ，当x =0时，f （x ）取得相应的极小值f （0）=0。
二、利用导数判断函数的单调性在导数被引进高中数学课本以前，判断函数的单调性最常规的方法就是定义法，但是定义法一般常常用来判断一些简单函数的单调性，遇到稍微复杂一点的函数，在利用定义法判断的时候比较繁琐。
《导数在函数中的应用实例》
摘要：导数是高等数学中一个重要的概念，它在研究函数的性质、解决实际问题等方面具有广泛的应用。
本文将通过几个具体的实例，详细阐述导数在函数中的应用，包括求切线、研究函数的单调性、求极值和最值等。
一、引言导数是函数在某一点的瞬时变化率，它反映了函数在该点的局部性质。
导数在数学分析、物理、工程等领域有着广泛的应用。
本文将通过实例，展示导数在函数中的应用，以帮助读者更好地理解导数的概念和意义。
二、导数在求切线中的应用1. 实例一：求函数f(x) = x²在点P(2,4)处的切线方程。
解：首先，求出函数f(x)的导数f'(x)。
根据求导法则，f'(x) = 2x。
将x=2代入f'(x)，得到f'(2) = 4。
因此，点P(2,4)处的切线斜率为4。
接下来，利用点斜式方程求出切线方程。
点斜式方程为y - y₁ = m(x - x₁)，其中m为切线斜率，(x₁, y₁)为切点坐标。
将切点坐标和斜率代入，得到切线方程为y- 4 = 4(x - 2)，即y = 4x - 4。
2. 实例二：求函数f(x) = ln(x)在点A(1,0)处的切线方程。
解：求出函数f(x)的导数f'(x)。
根据求导法则，f'(x) = 1/x。
将x=1代入f'(x)，得到f'(1) = 1。
因此，点A(1,0)处的切线斜率为1。
利用点斜式方程求出切线方程。
将切点坐标和斜率代入，得到切线方程为y - 0 = 1(x - 1)，即y = x - 1。
三、导数在研究函数单调性中的应用1. 实例一：研究函数f(x) = x³在区间(-∞, +∞)上的单调性。
解：求出函数f(x)的导数f'(x)。
根据求导法则，f'(x) = 3x²。
由于x²≥0，所以f'(x)≥0。
因此，函数f(x)在区间(-∞, +∞)上单调递增。
导数在因式分解中的应用
对积 分 ｃ，得
０得 Ｃ＝ 一 ，所 以
ｆ（ ｃ ） ＝（ ａ ｃ —ｂ ＋ｂ ｄ— ａ ） ＋Ｃ
于是 有
厂 （ ） ＝ （ — ｚ ） 一 （ ３ 一 ｚ ） ＋ｙ ｚ （ ｙ 一 ｚ ）
＝
（ — ｚ ） （ 一 ｘ ｙ 一 ｘ ｙ ｚ — Ｘ ｚ ２ ＋ ｙ ２ ｚ ＋ ｚ ２ ）
第 ８ 卷 第 ４期 ２ ０ １ ５ 年 ｌ ２月
汉 口 学 院 学 报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｈａ ｎ ｋ ｏ ｕ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
ｖ０ ｌ ８ Ｎｏ ． ４
Ｄｅ ｃ． ２０１ ５
文章 编号 ：２ ０ ３ ２ ／ Ｚ Ｙ（ ２ ０ １ ５ ） ０ ４ － ０ ０ ５ ３ — ０ ２
： 一
２ ａ 一２ ａ ｂ ＋２ ａ ｃ＋２ ６ ｃ＋２ ａ ｂ ｄ一２ ｂ２ ｃ
。 （ —ｚ ） ＋ （ ｚ — ） ＋ｚ 。 （ ｘ —Ｙ ） ＝Ｘ ３ （ － －Ｚ ） －（ ｙ 一Ｚ ３ ） ＋Ｃ
＝
＝
２ ａ （ ａ ｃ —ｂ ＋ｂ ｄ—ａ ）
时在形式上比该 函数要简单得多，因而很容易求 出它的积分 ，这样就可 以得 出已知代数式或三角
函数式 通过 变 形后 的式 子 。应 当指 出 的是 ，给 出
中设 ａ＝０得 出 ６ ｃ ２ 一ｃ ｂ Ｃ，于是 有
厂 （ 口 ） ＝ （ ６ 一 ｃ ） 『 ＋ ｃ ） ａ － ａ ２ ］ ＋ ６ ｃ 一 ｃ ｂ
解 将ａ 看作变量 ，ｂ ￣ ＇ ｌ ｌ ｃ 看作 固定的常量 ，设
这个题 目，如果把所给代数式看作关于 ａ的
二次 三项 式 ，用 因式 分解 的一 般 方法 （ 不 应用 导 数 ），也 容易做 出 。 在例 ２ 中 ，如果 用 因 式分 解 的一 般 方 法 来 分
浅谈导数在高中数学解题中的有效应用
181神州教育浅谈导数在高中数学解题中的有效应用张晓天张家口市第一中学摘要：导数是高中数学知识的重点内容在，蕴含丰富的数学思想，可以有效的帮助学生解决相关的数学问题，进而提升解题效率与准确率。
将导数作为辅助方式进行解题是现阶段高中生常用的方式，也是一种简便的解题工具，基于此，作者结合自身学习经验，对导数在高中数学解题中的有效应用进行详细的分析研究，以供参考。
关键词：导数；高中数学；解题引言：随着新课改的不断深化，导数在高中数学知识中的地位越来越突出，学生在学习过程中，逐渐将导数作为重要的辅助解题工具，进而将遇到的较难习题进行合理的简化，达到解题的目的。
现阶段，新课标体系对于学生的综合解题能力越来越重视，并逐渐培养学生形成良好的综合素养，进而促使学生在学习过程中逐渐加强对导数的应用。
一、导数分析导数是高中数学的重点知识内容，尤其是对于导数的概念、理论、公式以及几何意义等内容，需要学生进行灵活的掌握，明确知识的内涵与实质，进而在学习过程中，灵活应用导数进行解题，提升解题效率。
例如，在高中数学中，导数与函数、方程组、几何图形、数列以及不等式等相关知识的结合较为普遍，学生通过灵活的掌握导数知识内容，可以从根本上提升自身的解题能力，进而强化自身的数学综合素养，全面发展，提升自身的数学学习能力。
二、导数在高中数学解题中的有效应用导数在函数知识中的应用较为普遍，尤其是在函数值、函数单调性以及函数图像等方面的应用较为灵活，因此，作者从以下几方面进行分析：(一)利用导数解决函数单调性问题现阶段，高中生在进行函数单调性问题解决过程中，通常选择函数自身的图像，并以图像为基础，进行问题解决，例如，学生通过对函数图像的观察，利用函数的递增、递减以及增减函数的定义等对问题函数自身的单调性进行合理的判断，进而解决遇到的问题。
但实际上，该解题方式存在一定的局限性，仅仅适用于简单的函数，而对于复杂的函数来说，难以进行判断。
通过灵活的应用导数，可以有效的对问题进行简化，进而对问题函数的单调性进行有效的分析，利用函数导数将其作为独立的函数，通过求解函数的导数，将零作为参考，进行对比，进而促使学生明确在不同区间中导数自身的大小关系。
导数在解析几何中的应用论文
导数思想在解析几何的一个简单应用导数隶属于函数内容，看似与解析几何毫无关联。
但是导数的几何意义是切线斜率，我们常用求导的方法求解函数的切线。
而某些曲线方程本身是函数解析式或者曲线某一部分能够写成函数解析式，因此求曲线的切线问题也可以理解成求函数切线问题。
下面通过几道例题来说明导数在解析几何中的应用： 例1、（07安徽）过点()4,0-P 作抛物线y x G 42=：的切线，求切线方程解：设切点2004x Q x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由2x y '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x故所求切线方程为2000()42x x y x x -=- 即42200x x x y -= 因为点(0)P -4，在切线上 所以2044x -=-，2016x =，04x =±所求切线方程为042=--y x 042=++y x 。
【小结】本小题也可以用常规的方法，点斜式设直线，与抛物线联立，利用0=∆求出斜率，写出直线。
（变式）在点()2,1P 处作抛物线x y G 42=：的切线，求切线方程解：抛物线x y G 42=：在第一象限的方程为x y 2=由xy 1/-=，知抛物线在P 点处的切线斜率为1-故所求切线方程为()12:1--=-x y l 即03=-+y x【小结】本小题的出题目的是，只有将曲线方程变形为函数解析式后，才能用求导的方法求切线。
例2、（07韶关调研）已知()2,0-M ，点A 在x 轴上，点B 在y 轴正半轴上，点P 在直线AB 上，且满足=、0=⋅。
当A 在x 轴上移动时，设动点P 的轨迹为C 。
⑴求C 的方程⑵过点()0,2-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，分别过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l 。
当21l l ⊥时，求直线l 的方程。
解：⑴设()y x P , ()0,a A ()()0,0 b b B()()y b x PB y a x AP --=-=,, ()02,2 y y b x a PB AP ==∴=则()()()y x AP x a MA ,2,22,-=== ()002 y y x AP MA =∴=⋅⑵设()()2211,,y x F y x E 易知221122x k x k == 412121-=∴⊥x x l l显然AB 斜率存在，设()2:+=x k y AB ，与y x =2联立得022=--k kx x由082k k +=∆得8- k 或0 k 8124121=∴-=-=k k x x ()281+=∴x y 即028=+-y x例3、（08广州调研）已知过点()1,0-P 的直线l 与抛物线y x 42=交于两点()11,y x A 、()22,y x B 。
浅谈导数在解题中的应用
浅谈导数在解题中的应用1 引言导数是微分学的理论基础，它的思想最初是由法国数学家费马为研究极值问题而引入的．导数作为研究客观世界物质变化的有力工具，在现代化建设的各个领域内有着广泛的应用．现在高中数学教材已引入了导数的内容，这不仅丰富了中学数学知识， 也为中学数学问题的研究提供了新的视角、新的方法和新的途径，同时优化了解题思维，简化了运算过程，拓宽了解题思路．本文就导数在解题中的应用进行总结，同时对部分问题通过初等数学解法和导数解法比较，进一步说明利用导数解题的优越性．2 导数的基本理论2.1导数的定义设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，若极限000()()limx x f x f x x x →--存在,则称函数f 在点0x 处可导，并称该极限为函数f 在点0x 处的导数，记作0()f x '．2.2 导数的几何意义函数f 在点0x 的导数)(0x f '是曲线)(x f y =在点),(00y x 处的切线斜率． 2.3 导数的相关结论[1](P93;123-124;142-143)．3 导数在解题中的应用3.1 导数在求极限中的应用在求解极限的问题时，主要是用导数的定义式，即0000()()lim ()x x f x f x f x x x →-'=-来解决，所以导数的概念是应用导数求解问题的基础．例1[2](P23) 设函数0()f x 在0x 处可导，试求下式的极限值．000()()lim2h f x h f x h h→+--解 000()()lim 2h f x h f x h h →+--00000()()()()lim 2h f x h f x f x f x h h→+-+--=00000000()()()()11lim[][()()]()22h f x h f x f x f x h f x f x f x h h →+---'''=+=+= 已知导数概念的变形式，通过加减同一式子或分子分母同乘一式子，化成导数定义式的和差，或导数定义式与函数的极限的和差等形式，从而求出所要求的极限值．3.2 导数在函数单调性中的应用定理1[1](P123) 设()f x 在区间I 上可导，则()f x 在I 上递增（减）的充要条件是()0f x '≥（0)(≤'x f ）．例2[3](P207) 已知可导函数()f x 对任意实数12,x x 都有1212()()()f x x f x f x +=，若存在实数a ,b ,使()0f a ≠且()0f b '>．证明：(1) ()0f x >；(2) ()f x 在),(+∞-∞上单调递增．证明 (1) 2()()()()[()]22222xx x x x f x f f f f =+==，又因为0)2()2()]2(2[)(≠-=-+=xa f x f x a x f a f ．所以 0)2(≠x f ，0)]2([2>x f ， 所以 ()0f x >．(2) 因为00()()()()()()(()1)()limlim limx x x f b x f b f b f x f b f b f x f b x x x∆→∆→∆→+∆-∆-∆-'===∆∆∆． 又因为00()()()()()()(()1)()limlim limx x x f x x f x f x f x f x f x f x f x x x x∆→∆→∆→+∆-∆-∆-'===∆∆∆ 0()()(()1)()lim ()()()x f x f b f x f x f b f b x f b ∆→∆-'=⋅=⋅∆ 因为 ()0f x >，()0f b >，()0f b '>， 所以 ()()()0()f x f x f b f b ''=⋅> 所以 ()f x 在),(+∞-∞上单调递增．例3[4](P25) 已知a R ∈，求函数2()axf x x e =的单调区间． 解 函数()f x 的导数 22()2(2)axax ax f x xeax e x ax e '=+=+．(1) 当0a =时，若0x <，则()0f x '<，若0x >，则()0f x '>．所以当0a =时，函数()f x 在区间(,0)-∞内为减函数，在区间(0,)+∞内为增函数；(2) 当0a >，由220x ax +>，解得2x a <-或0x >，由220x ax +<，解得20x a-<<．所以当0a >时，函数()f x 在区间2[,]a -∞-内为增函数，在区间2[,0]a-内为减函数，在区间(0,)+∞内为增函数；(3) 当0a <时，由220x ax +>，解得20x a <<-．由220x ax +<，解得0x <或2x a>-． 所以当0a <时，函数()f x 在区间(,0)-∞内为减函数，在区间2[0,]a-内为增函数，在区间2[,]a-+∞内为减函数． 例4[5](P13) 设函数()f x 与数列{}n a 满足关系： ① 1a α>，其中α是方程()f x x =的实数根；② )(1n n a f a =+，N n ∈；③()f x 的导数()()0,1f x '∈． (1) 证明：n a α>，N n ∈；(2) 判断n a 与1n a +的大小，并证明你的结论．解 (1) (用数学归纳法) 当1n =时，由题设知1a α>，所以原式成立． 假设 当n k =时，k a α>成立．因为 ()0f x '>，所以()f x 是单调递增函数．所以 1()()k k a f a f αα+=>=（因为α是方程()f x x =的实数根）． 即 当1n k =+时原式成立．故对于任意自然数N n ∈，原式均成立．(2) 设()()g x x f x =-，x α≥．所以()1()g x f x ''=-， 又因为 0()1f x '<<，所以()0g x '>． 所以 ()g x '在[),α+∞上是单调递增函数．而()()0g f ααα=-=，所以 ()()g x g α>． 即 ()x f x >． 又由(1) 知n a α>，所以 1()n n n a f a a +>=通过上述例题的解决可以看出，利用导数理论讨论函数的单调性问题，优势是非常明显的，它将求单调区间的问题直接转化为解不等式的问题，因此降低了题目的难度，而且只要是可导函数，均适合此方法．3.3 导数在函数极值(最值)中的应用定理2[1](P93) 设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，且在点0x 可导．若点0x 为f 的极值点，则必有 0()0f x '=．定理3[1](P142-144) (极值的第一充分条件) 设f 在点0x 连续，在某邻域);(00δx U 内可导．(1) 若当),(00x x x δ-∈时0()0f x '≤，当),(00δ+∈x x x 时，0()0f x '≥，则f 在点0x 取得极小值．(2) 若当),(00x x x δ-∈时0()0f x '≥，当),(00δ+∈x x x 时，0()0f x '≤，则f 在点0x 取得极大值．定理4[1](P142-144) (极值的第二充分条件) 设f 在点0x 的某邻域);(00δx U 内一阶可导，在0x x =处二阶可导，且0()0f x '=，0()0f x ''≠．(1) 若 0()0f x ''<，则f 在点0x 取得极大值． (2) 若 0()0f x ''>，则f 在点0x 取得极小值．定理５[1](P142-144) (极值的第三充分条件) 设f 在点0x 的某邻域内存在直到1n -阶导函数，在0x 处n 阶可导，且()0()0k f x = (1,2,,1)k n =-…，()0()0n f x ≠，则(1) 当n 为偶数时，f 在点0x 取得极值，且当()0()0n f x <时取极大值，()0()0n f x >时取极小值．(2) 当n 为奇数时，f 在0x 处不取极值．例5[1](P143) 求()(2f x x =-的极值点与极值．解 5233()(225f x x x x =-=-在),(+∞-∞上连续，且当0x ≠时，有21331010()33f x x x -'=-=．易见， 1x =为f 的稳定点，0x =为f 的不可导点．（表中↗表示递增，表示↘递减）；由上表可见：0x =为f 的极大值点，极大值(0)0f =；1x =为f 的极小值点，极小值(1)3f =-．例6[1](P144) 试求函数43(1)x x -的极值．解 由于 32()(1)(74)f x x x x '=--，因此0x =，1x =，74=x 是函数的三个稳定点． f 的二阶导数为 22()6(1)(782)f x x x x x ''=--+，由此得，(0)(1)0f f ''''==及4()07f ''>．所以 ()f x 在47x =时取得极小值．求三阶导数 32()6(3560304)f x x x x x '''=-+-，有(0)0,(1)0f f ''''''=>．由于3n =为奇数， 由定理知f 在1x =不取极值．再求f 的四阶导数(4)32()24(3545151)f x x x x =-+-，有(4)(0)0f<．因为4n =为偶数，故f 在0x =取得极大值．综上所述，(0)0f =为极大值，434436912()()()777823543f =-=-为极小值．在求函数的最值中，若函数f 的最大（小）值点0x 在区间),(b a 内，则0x 必定是的极大（小）值点．若f 在0x 可导，则0x 还是一个稳定点．所以我们只要比较f 在所有稳定点、不可导点和区间端点上的函数值，就能从中找到f 在[],a b 上的最大值与最小值．例7[1](P147) 求函数543551y x x x =-++在闭区间[]1,2-上的最大值与最小值．解 4322520155(1)(3)y x x x x x x '=-+=--． 令0y '=，解得0x =，1x =，3x =． 因为 []31,2∉-，故3x =舍去．由于 1)0(=y ，2)1(=y ，10)1(-=-y ，7)2(-=y ，比较大小得，函数在1x =-时取最小值10-，在1x =处取最大值2．例8[4](P25-26)已知a 为实数,2()(4)()f x x x a =--(1) 求()f x '；(2) 若(1)0f '-=，求()f x 在[]2,2-上的最大值和最小值； (3) 若()f x 在]2,(-∞和),2[+∞上都是递增的，求a 的取值范围． 解 (1) 由原式得 32()44f x x ax x a =--+．则2()324f x x ax '=--．(2) 由(1)0f '-=，得12a =，此时有 321()422f x x x x =--+，2()34f x x x '=--．令 ()0f x '=得43x =或1x =-．又450()327f =-，9(1)2f -=，(2)0f -=． 所以 ()f x 在[]2,2-上的最大值为92，最小值为5027-．(3) 2()324f x x ax '=--的图象为开口向上且过点()0,4-的抛物线，由条件得 (2)0f '-≥，(2)0f '≤，即480a +≥ 且 840a -≥，解得 22a -≤≤．所以a 的取值范围为[]2,2-．通过上述例题的解题过程可知,在求解函数的极值(最值)的问题中需要考虑函数各阶导数的情况(一般1—4阶导数即可)，并根据充分和必要条件进行判断，比较各点函数值之间的大小关系，求出极值(最值)．在应用导数解题的过程中,导数不仅能解决有关函数的一些问题，或是简化一些问题的运算，优化解题思维，也为数学解题提供了一种新的方法，拓宽了解题的思路.3.4 导数在证明不等式中的应用例9[6](P33) 设1x >-，n 是不小于2的正整数，求证：(1)1nx nx +≥+（贝努利不等式）． 证明 (数学归纳法) 当2n =时，22(1)1212x x x x +=++≥+． 所以原式成立．假设 当n k =时，(1)1kx kx +≥+ 成立． 当1n k =+时，12(1)(1)(1)(1)(1)1(1)1(1)k k x x x kx x k x kx k x ++=++≥++=+++≥++即 1(1)1(1)k x k x ++≥++ 成立．所以1x >-，n 是不小于2的正整数时，(1)1nx nx +≥+成立．证明 (导数法) 设 ()(1)(1)nf x x nx =+-+，则11()(1)(1)1n n f x n x n n x --'⎡⎤=+-=+-⎣⎦．当 0x >，()0f x '>； 当 0x =时，()0f x '=； 当 10x -<<时，()0f x '<；故当 0x =时，min ()0f x =．即 (1)1nx nx +≥+．在证明不等式时常用的方法有分析法、比较法、重要不等式法、综合法、数学归纳法等等，这道题采用了数学归纳法和导数两种方法进行了证明，从证明的过程可以看出用导数的方法进行证明方法较为简单．例10[7](P95) 证明：当1x >时，不等式2(1)ln 1x x x ->+恒成立． 证明 令 2(1)()ln 1x f x x x -=-+ 2212(1)2(1)14()(1)(1)x x f x x x x x +--'=-=-++2222(1)4(1)(1)(1)x x x x x x x +--==++ 因为 1x >，所以 ()0f x '>．即当 1x >时，()f x 为增函数． 所以 2(11)()(1)ln10(11)f x f ⨯->=-=+， 即 2(1)ln 01x x x -->+．所以 2(1)ln 1x x x ->+． 有些不等式用初等数学的方法证明非常困难，甚至是不能证明．若恰当构造辅助函数，将不等式两边看作函数在某两点的函数值，通过判断函数单调性就可以得到一种新的证明方法．例11 (2007年山东高考题)设函数)1ln()(2++=x b x x f ,其中0≠b ． (1) 当21>b 时,判断函数)(x f 在定义域上的单调性. (2) 求函数)(x f 的极值点.(3) 证明对任意正整数n ，不等式 3211)11ln(nn n ->+都成立． 解 (1) (2) 略．(3) 当1-=b 时，函数)1ln()(2+-=x x x f ． 令函数 )1ln()()(233++-=-=x x x x f x x h ，则1)1(31123)(232+-+=++-=x x x x x x x h ，所以 当),0[+∞∈x 时，0)(>'x h ，从而函数)(x h 在),0[+∞上单调递增， 又 0)0(=h ,所以 ),0(+∞∈x 时，恒有 0)0()(=>h x h ， 即 )1ln(23+->x x x 恒成立．故当),0(+∞∈x 时，有 32)1ln(x x x ->+． 所以对任意正整数n ，取 ),0(1+∞∈=nx ， 则有 3211)11ln(nn n ->+，所以结论成立． 这是一道高考题，在第三问中证明不等式似乎和题中所给的函数联系不上，但把n1看作一个整体，就和已知所给的函数联系在了一起，把函数、导数和不等式三者联系了起来．3.5 导数在证明组合恒等式中的应用例12[6](P33) 求证：1231232n n n n n n C C C nC n -++++=⋅…．证明 设12323nn n n n S C C C nC =++++… ①因为 n n n C C =0，11-=n n n C C ，…所以 1212)1(n n n n n n C C C n nC S +++-+=-Λ，122102)2()1(--+++-+-+=n n n n n n n C C C n C n nC S Λ ② ①＋②得 nn n n n n n n n nC nC nC nC nC S 2212210⋅=+++++=--Λ所以 12-⋅=n n S所以 1231232n n n n n n C C C nC n -++++=⋅…证明 (导数法)设()(1)1nf x x =+-，则12233()(1)1n n nn n n n f x x C x C x C x C x =+-=++++…，两边求导有：123211()23(1)n n n n n n n f x C C x C x nC x n x --'=++++=+…．在上式中取1x =，则有 1231232n n n n n n C C C nC n -++++=⋅…成立．本题采用倒序相加的方法，并且结合组合数和等差数列的性质即可解决该问题，但其过程较为复杂．如果通过构造函数并用求导的解法，那么问题就会变的简单，而且还会得出很多意想不到的结论．3.6 导数在数列求和中的应用例13[6](P33) 求和：21123n S x x nx -=++++…．解 21123n S x x nx-=++++… ①2323n xS x x x nx =++++… ②①－②得 21(1)1n n x S x x x nx --=++++-…当1x =时，则(1)2n n S +=； 当1x ≠时，则()121(1)1n n n x nx S x +-++=-综上，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-+--=+=+1,)1()1(11,2)1(21x x nx x n x n n S n n解 (导数法) 当1x =时，(1)1232n n S n +=++++=…； 当1x ≠时，设 23(1)()1n nx x f x x x x nx x-=++++=-…，两边求导，则有()12121(1)()1231n n n n x nx f x x x nxx +--++'=++++=-…综上，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-+--=+=+1,)1()1(11,2)1(21x x nx x n x n n S n n本题利用错位相减的方法，并结合等比数列的前n 项和的公式去解决．也可利用导数的方法去解决．从本题可以看出，利用导数法求解问题为解题提供了一种新的方法．3.7 导数在方程求解中的应用例14[8] 已知函数432()410125f x x x x x =-+-+,则方程()0f x =在]5,2[上的根的个数是多少?解 )52()1(512104)(22234+--=+-+-=x x x x x x x x f )21)(21()1(2i x i x x +----=所以方程有四个根，分别为11=x ，12=x ，i x 213+=，i x 214-=． 而[]5,21∉，且i 是一个虚数单位，i 21+，i 21-无法与2、5比较大小， 所以无法判断方程()0f x =在]5,2[上的根的个数．解 (导数法) 因为322()41220124(1)(23)f x x x x x x x '=-+-=--+．令 ()0f x '=，得 24(1)(23)0x x x --+=．因为 223x x -+无实数解，所以1x =， 所以 ()f x 的图象的驻点只有一个1x =．当 1x >时，2()4(1)(23)0f x x x x '=--+>，所以()f x 在),1(+∞上是增函数． 所以 ()f x 在]5,2[上是增函数． 因为 (2)30f =-<，(5)0f >． 所以 ()f x 在]5,2[上有且只有一个根．本题是一个关于x 的四次函数，要讨论根的问题就要去看这个函数所构成的方程的解的情况．用初等数学的方法得到的根含有复数，这时无法判断根的情况．而利用导数的方法去求解方程就避免了去求出方程的根，从而根据函数的性质就可以判断根的情况．例15[8](P17) 证明：方程1sin 02x x -=只有一个根． 证明 构造函数 1()sin 2f x x x =-，x R ∈．因为 1()1cos 02f x x '=->，所以()f x 在R 上是单调递增的．又(0)0f =，所以曲线 ()y f x =与x 轴有且仅有一个交点，即方程 1sin 02x x -=有唯一的一个根． 本题是一个含有三角函数的超越方程，在中学所学习的过程中没有涉及超越方程的解法，所以只能采取作图象的方法，但实际操作较难．而构造函数进行求导则简化了作题的难度．3.8 导数在几何中的应用例16[9](P11) (2003年全国高考题)已知抛物线1C ：x x y 22+=和2C ：a x y +-=2，如果直线l 同时是1C 和2C 的切线，称l 是1C 和2C 的公切线，a 为何值时，1C 和2C 有且仅有一条公切线？写出公切线的方程．解 函数x x y 22+=的导数是22+='x y ，曲线1C 在点)2,(1211x x x P +的切线方程是))(22()2(11121x x x x x y -+=+-，即 211)22(x x x y -+= ①函数a x y +-=2的导函数是x y 2-='，曲线2C 在点),(222a x x Q +-的切线方程是)(2)(2222x x x a x y --=+--，即 a x x x y ++-=2222 ② 如果l 是过P 和Q 的公切线，则①和②都是l 的方程，则有 ⎩⎨⎧+=--=+a x x x x 2221211． 消去2x ，得 0122121=+++a x x ． 0)1(244=+⨯-=∆a ，即 21-=a 时，211-=x ，此时P 、Q 重合． 所以 21-=a 时，1C 和2C 有且仅有一条公切线，公切线方程为 41-=x y ． 导数的几何意义为导数与解析几何结合奠定了基础，本题不仅引入公切线，同时又渗透了同一法的解题思想，把导数与解析几何、方程的联系更为紧密．3.9 导数在实际问题中的应用在注重培养能力的今天，学习理论知识不应只限于解答纯数学问题上，更应侧重于运用所学的知识解决现实生活中所遇到的问题，导数在解决实际问题中也有广泛的应用．例17[5](P15) 某汽车厂有一条价值为a 万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值．经过市场调查，产品的增加值y 万元与技术改造投入x 万元之间满足：① y 与()a x -和2x 的乘积成正比；② 当2a x =时，3y a =．并且技术改造投入比率：],0()(2t x a x ∈-，其中t 为常数且]2,0(∈t ． ⑴ 求()y f x =的解析式及定义域；⑵ 求出产品的增加值y 的最大值及相应的x 值．解 ⑴ 由已知，设2()()y f x k a x x ==-， 因为当2a x =时，3y a =，即 2324a a a k =⋅⋅, 所以 8k =．则 2()8()f x a x x =-．因为 02()x t a x <≤-，解得 2021at x t <≤+． 所以函数()f x 的定义域为 2021at x t <≤+． ⑵ 因为 2()2416(2416)f x x ax x x a '=-+=-+令 ()0f x '=,则 0x =(舍去)，23a x =． 当 203a x <<时，()0f x '>，此时()f x 在)32,0(a 上单调递增; 当 23a x >时，()0f x '<，此时()f x 是单调递减的． 所以 当22213at a t ≥+时，即 12t ≤≤时，3max 232()327a y f a ==． 当22213at a t <+时，即 01t <<时，32min 3232()21(21)at a t y f t t ==++． 综上所述，当12t ≤≤时，投入23a 万元，最大增加值是33227a ； 当01t <<时，投入221at t +万元，最大增加值是32332(21)a t t +． 例18[10](P24) 请你设计一个帐篷，它下部的形状是高1m 为的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥，问当帐篷的顶点O 到底面中心G 的距离为多少时，帐篷的体积最大？解 设OG x =，14x <<=设帐篷的体积为()V x ，则231()62)[(1)1]12)3V x x x x x x =+-⋅-+=+-． 2()(123)2V x x '=-． 令()0V x '=，得2x =-（舍去），所以2x =．当12x <<时，()0V x '>；当24x <<时，()0V x '<；所以当2x =时，()V x 最大．上述两题是求实际问题的最值，在求解之前首先应建立一个目标函数，并根据实际意义确定其定义域．若根据问题的本身就可以断定所建立的目标函数()f x 有最大或最小值，并且一定在所定义的区间内取得，这时如果()f x 在所定义区间的内部只有一个使0()0f x '=的点，那么不必判断0x 是否为极值点或取什么极值点，就可以判断0()f x 所求就是所求的最大或最小值．例19[4](P9-10) 如图所示,直线MN 为宽度忽略不计的一条小溪，小溪的一侧是沙地，另一侧是草地，沙地上的点A 到小溪MN 的距离20AC km =，草地上的点B 到小溪MN 的距离30BD km =，且70CD km =，现有一位骑士要把情报从A 送到B ，已知骑士在草地上的行进速度是在沙地上行进速度的２倍，骑士应选择怎样的行进路线才能尽快将情报送出？解 设骑士行进线路为AOB （O 在直线MN 上），以10km 为单位．令CO x =，则7OD x =-（07x ≤≤），不妨设骑士在沙地上的速度为1，则在草地上的速度为2，骑士行进的总时间为y =．从而 y '=令0y '=，得唯一的极值点1x =．当O 点选在离C 点10km 处时，能使骑士从A 到B 用时最少．本题主要考查学生的数学建模能力及应用导数求函数最值的能力．对于含有根式的函数求最值的问题可以运用导数求解，导数解题的优越性就更加明显了．4 综述通过上述例题的解答可以看出，导数在解题中的应用是非常广泛的．例如在证明不等式、组合恒等式和数列求和的应用中，通过初等数学和导数的方法进行比较得到，导数并不是最简单、也不是唯一的解题方法，它只是给我们提供了一种新的解题思路，使我们的思维模式不仅仅限于以前的做法，拓宽了解题的空间；而在求解和讨论高次和超越方程的根的情况中，初等数学大多采用因式分解和图象的方法，但它对运算能力和作图的准确性要求较高，所以采用导数的方法可以快速简洁地解决问题，而且还可深化和拓广对方程问题的研究．在应用导数解决实际问题时，关键是要建立恰当的数学模型（比如函数解析式，方程或不等式等等），然后再利用导数的定义或性质去解决问题，而且要注意实际问题中自变量的取值范围，符合实际问题中的情况．导数不仅在数学方面，而且各学科领域例如物理和现实生活的各个方面都有所涉及，新的高中课本引入导数这一数学工具，使得高中的很多问题变得好懂易学，因此，熟练掌握和深刻理解如何利用导数的方法去解决问题，对中学生来说是非常必要的，对提高他们的创新能力和实践能力也有着重要的意义．。
毕业论文答辩导数在中学数学中的应用
4、导数在解决实际问题中的应用 一些以函数为背景的实际问题，可通过函
数建立模型转化为利用倒数法解决最值问题。
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四、总结
前面我们以导数为主要工具,很容易解决了有 关求切线方程及曲线的相切问题、判断函数的单 调性及凹凸性,同时也提出了一些不等式的证明方 法和基本思路. 总之,导数的应用涉及到很多方面, 以上仅仅讨论了其中的几个方面,现在我们在中学 阶段学习导数的有关知识,可以开阔学生的视野, 今后导数的应用领域会越来越广泛,如导数在经济 领域、医学领域、以及在力学、物理、水力、控 制、生物工程、土木工程等的相关领域的应用.
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二、研究意义、研究方法
1、研究意义： 导数在中学数学中的应用非常广泛，涉及到中学
数学的各个方面。导数是我们研究中学数学的一 个有力工具，它使各个章节的内容联系得更紧密 ，有助于我们对中学数学的深入学习。
2、研究方法： 参考文献及经验总结法。
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三、研究内容
2.导数在函 数中的应用
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1.导数在解决
论文题目
导数在中学数学中的应用
答 辩 人：侯翔巧 专 业：数学与应用数学
指导教师：李友君 日 期：2012年6月2日
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一、研究背景
今天，导数作为研究函数性态的有力工具， 是对学生进行理性思维训练的良好素材，同时也 是我国高考命题的热点，高考中主要考察利用导 数求函数的单调性、单调区间、极值点、凹凸性 、画图像等许多性质。除此之外，导数在现实中 的重要性，也越来越得到人们的认肯，如在物理 运动学中和微观经济学中边值问题的应用。特别 的在中学利用导数建立数学模型解决优化设计问 题，有利于培养学生创新意识，提高学生分析问 题、解决问题的能力。
y-y0=f’(x0)(x-x0) 法线方程：
数学论文导数及应用范文（2）
数学论⽂导数及应⽤范⽂(2) 数学论⽂导数及应⽤篇三 摘要：⾼等数学是⼀门⽅法学科，因此可以说是许多专业课程的基础。
然⽽导数这⼀章节在⾼等数学中是尤为重要的，在⾼等数学的整个学习过程中，它起着承前启后的作⽤，是学习⾼等数学⾮常重要的任务。
本⽂详细地阐述了导数的求解⽅法和在实际中的应⽤。
关键词：⾼等数学导数求解应⽤ 导数的基本概念在⾼等数学中地位很⾼，是⾼等数学的核⼼灵魂，因此学习导数的重要性是不⾔⽽喻的。
然⽽这种重要性很多同学没有意识到，更不懂得如何求解导数以及运⽤导数来解决有关的问题。
我通过⾃⼰的学习和认识，举例⼦说明了⼏种导数的求解⽅法以及导数在实际中的应⽤。
⼀、导数的定义 1.导数的定义 设函数y=f(x)在点x0的某⼀邻域内有定义，如果⾃变量x在x0的改变量为△x(x0≠0，且x0±△x仍在该邻域内)时，相应的函数有增量△y=f(x0+△x)-f(x0)。
若△y与△x之⽐，当△x→0时，有极限lim =lim 存在，就称此极限为该函数y=f(x)在点x0的导数，且有函数y=f(x)在点x=x0处可导，记为f`(x0)。
2.导数的⼏何意义 函数y=f(x)在点x0处的导数在⼏何上表⽰曲线y=f(x)在点〔x0，f(x0)〕处的切线斜率，即f`(x0)=tan，其中是切线的倾⾓。
如果y=f(x)在点x0处的导数为⽆穷⼤，这时曲线y=f(x)的割线以垂直于x轴的直线x=x0为极限位置，即曲线y=f(x)在点〔x0，f(x0)〕处具有垂直于x轴的切线x=x0。
根据导数的⼏何意义并应⽤直线的点斜式⽅程，可知曲线y=f(x)在点〔x0，f(x0)〕处的切线⽅程。
⼆、导数的应⽤ 1.实际应⽤ 假设某⼀公司每个⽉⽣产的产品固定的成本是1000元，关于⽣产数量x的可变成本函数是0.01x2+10x元，若每个产品的销售价格是30元，求：总成本的函数，总收⼊的函数，总利润的函数，边际收⼊，边际成本及边际利润等为零时的产量。
因式分解论文初中数学论文：因式分解在初中数学中的重要作用
因式分解论文初中数学论文：因式分解在初中数学中的重要作用初中数学中，因式分解是最常用最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中。
例如，在八年级的《分式》教学中，处处让学生感受到因式分解的存在，不论是在约分、通分以及分式的各种运算中，都需要进行因式分解才能解答。
学生如果不能正确地进行多项式的因式分解，那将在分式学习中举步维艰，无从下手。
所以因式分解是我们解决许多数学问题的有力工具，而因式分解的方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用，也是发展学生智能、培养能力、深化学生逆向思维的良好载体。
一、因式分解在初中阶段最常用的方法有提取公因式法，运用公式法，分组分解法和十字相乘法等1．提公因式法如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
这种分解因式的方法叫做提公因式法。
am+bm+cm=m(a+b+c) 。
例如：-2x3-2x2 +8x=-2x(x2+x-4)2．运用公式法（1）平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)（2）完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2（3）立方和公式：a3+b3= (a+b)(a2-ab+b2)立方差公式:a3-b3= (a-b)(a2+ab+b2)例如： 3x6-3x2=3x2(x4 -1) = 3x2(x2 +1) (x2 -1) =3x2(x2 +1) (x +1) (x -1)3．分组分解法分组分解法：把一个多项式分组后再进行分解因式的方法。
分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式。
例如： m2+5n-mn-5m = m2-5m-mn+5n= (m2-5m )+(-mn+5n) = m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4．十字相乘法二次三项式x2+(p+q)x+pq型的特点是：二次项的系数是1，常数项是两个数的积，一次项系数是常数项的两个因数的和。
导数在函数中的应用[论文]
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导数在函数中的应用【内容摘要】新课标下，随着导数学习的不断深入，高考要求的不断的提高，导数在高考中显得越来越重要，它已经是高考必考内容之一，尤其在曲线切线方程，函数单调性，极值最值，不等式的证明中发挥重要作用。
【关键词】导数；单调性；切线；几何意义；最值。
导数是高中数学中一个重要内容，导数本身已经成为解决数学问题的重要工具，不论是研究函数的性质，还是解决不等式的问题和方程根的问题，还是解决曲线的切线问题，导数都发挥着非常重要的作用，在近几年的高考中，对导数的考查在逐步加强。
一般的高考对导数的考查形式多样，难易均有，可以在选择题和填空题中出现，主要以导数的运输、导数的几何意义、导数的应用为主，也更容易在解答题中出现，有时候作为压轴题，这是主要考查导数的综合应用，往往与函数、方程、不等式、数列、解析几何等联系在一起。
有关导数在函数中的应用主要类型有：求函数的切线，判断函数的单调性，求函数的极值和最值，利用函数的单调性证明不等式，这些类型成为近两年最闪亮的热点，是高中数学学习的重点之一，也是“新课标”下高考的重点。
一、用导数求函数的切线例题1：已知曲线y=13x3+43.（1）求曲线在点p（2，4）处的切线方程；（2）求曲线过点p（2，4）的切线方程；分析：根据导数的几何意义求解。
【解析】（1）∵y′=x2，∴在点p（2，4）处的切线的斜率k=y′|x=2=22=4，∴曲线在点p（2，4）处的切线方程为y-4=4（x-2），即4x-y-4=0；（2）设曲线y=13x3+43与过点p（2，4）的切线相切于点a（x0，13x30+43），则切线的斜率k=y′| x=x0=x20.∴切线方程为y-（13x30+43）=x20（x-x0），即y=x20·x-23x30+43.∵点p（2，4）在切线上，∴4=2x20-23x30+43，即x30-3x20+4=0，解得x0=-1或x0=2.故所求切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0；方法提升：①在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点p处的切线方程和求曲线过点p的切线方程，在点p处的切线，一定是以点p为切点，过点p的切线，不论点p在不在曲线上，点p不一定是切点.②求过点p的曲线的切线方程的步骤为：先设出切点坐标为（x0，y0），然后写出切线方程y-y0=f′（x0）·（x-x0），最后代入点p的坐标，求出（x0，y0）.注意：在解三次关于x0的方程时，学生困难很大，主要不知如何解。
导数在高中数学解题中的应用探究
导数在高中数学解题中的应用探究Introduction在高中数学中，导数的概念是至关重要的。
导数可以帮助我们研究函数的变化，在解决实际问题时提供有力的工具。
本文旨在探讨导数在高中数学解题中的应用，并提供具体的实例以帮助读者更好地理解此概念。
Part 1: 导数的定义和计算方法在开始讨论应用前，我们先来学习一下导数的定义和计算方法。
导数的定义是一个函数在某一点上的切线斜率，即：f'(x) = lim (f(x+h)-f(x))/h , 当 h → 0这个式子可以理解为，当自变量 x 微小的增加 h 个单位时，函数 f(x) 的变化量与 x 的变化量的比率就是导数。
计算下去，我们可以得出如下公式：f'(x) = lim (f(x+h)-f(x))/h= lim (f(x+h)-f(x))/(x+h-x)= lim (f(x+h)-f(x))/h由此，我们可以用这个公式计算导数。
Part 2: 实例分析现在，让我们看几个常见的高中数学问题，以了解导数如何在实际中应用。
1. 极值问题极值问题是数学中最基本的问题之一，当我们需要找到一个函数的最大值或最小值时，通常需要计算函数的导数。
举例如下：问题：已知函数 f(x) = x^2 - 2x + 1，求f(x) 的最小值和对应的 x 值。
解法：首先，我们计算导数 f'(x) = 2x - 2。
当 f'(x) = 0 时，函数 f(x) 的斜率为 0，即函数具有一个极值。
将 f'(x) = 2x - 2 置于零，我们得到 x = 1。
因此，函数 f(x) 在 x = 1 处有一个极小值。
将 x = 1 值带入方程，我们可以得到最小值：f(1) = 0。
2. 弹性问题弹性问题是在弹性力学中最基本的问题之一，通常在高中物理课程中研究。
让我们看一个简单的例子：问题：一个质量为 m 的球以 V0 速度射出，落地 bounceRatio 的高度后弹回，求第 n 次弹起的时间和高度。
数学论文导数及应用范文
数学论⽂导数及应⽤范⽂ 导数的⼏何意义伴随着导数进⼊⾼中数学教材后，给函数图象及性质的研究开辟了⼀条新的途径.下⾯是店铺为你整理的数学论⽂导数及应⽤，⼀起来看看吧。
数学论⽂导数及应⽤篇⼀ ⼀. 利⽤导数的⼏何意义求光滑曲线切线的斜率 函数y=f(x)在点的导数表⽰曲线y=f(x)在点处切线的斜率,这就是导数的⼏何意义。
我们通过例题看⼀下,如何利⽤导数的⼏何意义求光滑曲线切线的斜率。
例题1 求曲线y=x2在点(1,1)处切线的⽅程。
解:由导函数定义 应⽤点斜式⽅程,可得曲线在(1,1)处的切线⽅程:y-1=2(x-1) 即2x-y-1=0 . ⼆. 利⽤导数的物理意义求瞬时速度、加速度、电流强度等。
导数的物理意义没有统⼀的解释,对于不同的物理量,导数有不同的物理意义。
例如,变速直线运动路程函数S对时间t的导数就是瞬时速度;瞬时速度V对时间t的导数就是加速度;通过导体某截⾯的电量Q对时间t 的导数就是电流强度。
下⾯我们看⼀个具体的例题。
例题2 已知物体的运动规律为s=t3(⽶) ,求这个物体在t=2秒时的速度。
解:有导函数的定义 有运动物体运动路程对时间的物理意义可知 将t=2,带⼊上式,得 三. 利⽤导数的符号判别函数在某⼀区间的单调性及利⽤导数证明不等式 导数是对函数的图像与性质的总结与拓展,导数是研究函数单调性极佳、最佳的重要⼯具,⼴泛运⽤在讨论函数图像的变化趋势及证明不等式等⽅⾯。
具体例题如下: 例题3 讨论函数的单调性。
解: ,当x>0时, >0 ;当x<0时, <0 .函数的定义域为 ,因为在内 <0,所以函数在上单调减少;因为在内 >0,所以函数在上单调增加。
例题4 证明当x>0时, 解:设则 , 在x=0时为零,在内均⼤于零,故函数在上单调增加,对于任何x>0,有 .即 所以 四. 利⽤导数研究函数的极值 根据导数在驻点两侧的符号,可以判断函数在该驻点是极⼤值还是极⼩值。
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用导数是微积分中的一个基本概念，它描述了函数在其中一点的变化率。
由于函数在不同点的变化率是函数的重要性质之一，所以导数在研究函数中有着广泛的应用。
下面将从几个方面探讨导数在研究函数中的应用。
首先，导数可以用来求函数的最值。
在实际问题中，我们经常需要找到一个函数的最大值或最小值，这些最值往往代表了问题中的其中一种最优解。
通过计算函数的导数，我们可以找到函数在哪些点取得最大值或最小值，从而解决问题。
例如，在经济学中，我们利用导数来确定一个企业的生产量，以使其利润最大化。
在物理学中，我们利用导数来确定一个物体在何时达到最大速度。
其次，导数可以用来求函数的图像特征。
函数的导数可以描述函数在每一点的斜率，从而揭示函数的图像特征。
通过函数的导数，我们可以确定函数在哪些点上是递增的、递减的，从而得到函数的增减性质。
我们可以通过导数的符号和零点来确定函数的极值点和拐点，从而得到函数的凹凸性质。
例如，在物理学中，我们可以通过求一个物体的位移函数的导数来确定物体的速度函数。
进一步地，我们可以通过速度函数的导数来确定物体的加速度函数。
此外，导数还可以用来进行近似计算。
在很多实际问题中，往往难以通过精确计算来得到一个准确的结果。
然而，通过导数的概念，我们可以通过局部线性化来得到一个近似结果。
也就是说，我们可以用一个线性函数来替代原函数，从而得到一个较好的近似结果。
这种近似计算方法被广泛应用于物理、工程等领域。
例如，在计算器中，我们可以通过导数的近似计算方法来快速地计算一个函数的值。
最后，导数还可以用来研究函数的变化趋势。
函数的导数可以描述函数的变化趋势，它可以告诉我们函数在一些点上的变化速率。
通过导数的大小和正负号，我们可以确定函数是递增还是递减，从而得到函数的趋势。
例如，在金融学中，我们可以通过计算股票价格的导数来判断股票市场的走势。
总之，导数在研究函数中有着广泛的应用。
通过求函数的导数，我们可以求函数的最值，研究函数的图像特征，进行近似计算，以及研究函数的变化趋势。
导数公式与因式分解
导数公式与因式分解导数公式在微积分中，导数是用来描述函数在某一点的变化率的概念。
在求导的过程中，我们经常会用到一些导数公式，这些公式可以帮助我们简化求导的计算。
以下是一些常用的导数公式：1. 常数规则：对于任意常数 c，导数为 0。
$$\frac{d}{dx}(c) = 0$$2. 变量规则：对于自变量 x，导数为 1。
$$\frac{d}{dx}(x) = 1$$3. 幂规则：对于幂函数 $f(x) = x^n$（n 为常数），导数为 $f'(x) = nx^{n-1}$。
$$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$$4. 和差规则：对于函数 $f(x) = g(x) \pm h(x)$，导数为 $f'(x) = g'(x) \pm h'(x)$。
$$\frac{d}{dx}(g(x) \pm h(x)) = \frac{d}{dx}(g(x)) \pm\frac{d}{dx}(h(x))$$5. 乘法规则：对于函数 $f(x) = g(x) \cdot h(x)$，导数为 $f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)$。
$$\frac{d}{dx}(g(x) \cdot h(x)) = \frac{d}{dx}(g(x)) \cdot h(x) + g(x) \cdot \frac{d}{dx}(h(x))$$因式分解因式分解是将一个多项式表达式分解成若干个乘积的形式。
通过因式分解，我们可以更方便地理解和计算多项式的性质。
以下是一些常用的因式分解方法：1. 公因式法：找出多项式中的公因式，然后进行提取。
例如：$2x^2 - 4x$ 可以因式分解为 $2x(x-2)$。
2. 特殊公式法：利用一些特殊的公式进行因式分解。
例如：$x^2 - y^2$ 通过特殊公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ 可以因式分解为 $(x+y)(x-y)$。
高中许多导数计算需要用到因式分解,而大多答案都一笔带过,只给结果,请问应该用怎么样的思路去看待
高中许多导数计算需要用到因式分解，而大多答案都一笔带过，只给结果，请问应该用怎么样的思路去看待高中许多导数计算需要用到因式分解，而大多答案都一笔带过，只给结果，请问应该用怎么样的思路去看待？ -这篇文章是我的全部经验。
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总的来说，因式分解真的不总是容易的。
我在暴力解几何题的时候，碰到了一个九次方程。
这个方程大概（我通过各种方法凑出了这个式子让它跟我见到过的相类似）长这样（按实际意义，x是一个正数）：有奇次项偶次项，看不出系数有何种对称关系，就很硬的九次方程这个时候怎么解决这个公式的因式分解问题呢？方案一:猜根。
作为最常用的方案，猜根有其独特的作用。
因为问题的需要，方程往往在一定范围内有解。
在试图找到解决方法后，我们可以利用阶乘定理进一步运算方程。
猜根的技巧有很多：1.若所有项系数之和为0，则x=1为一个解，若奇次项系数之和与偶次项系数之和相等，则x=-1为一个解。
2.如果是整系数多项式（有理多项式也适用），并且可能在Q 内有根，用一个简单的定理就能看出该有理根最简分数形式的分子必整除常数项，分母必整除最高次项系数。
3.如果是类整系数多项式，比如我们举的例子，我们常常猜测它在Q(√3)内有根，即有形如a+b√3的根，其中a,b均为有理数。
4.利用题目原本意图。
比如证明题，我们就可以将“想要求出的x”代入到式子中辅助因式分解的进行，只要进一步说明其他解不可能发生就可以了。
另外这种情况下，还常常有多重根发生。
5.一元高次方程因式分解后除了带有你想要的解的一项之外的因式往往是恒大于零的，如果系数都不大，就有很大可能含有x^n+⋯+x+1的项，这时候不妨代入x^(n+1)=1，可以更快地看出这种关系。
（6.更进一步的关于复根的估计暂时不考虑）不过，虽然大量的因式分解题都利用了猜根（因为它无论针对高低次方程都适用），可猜根并不常常可靠，哪怕是最简单的x^3+x=1，想要靠猜根解决它都基本是不可想象的（但理论上没什么是不能猜出来的）。
导数在因式分解中的应用(论文)
第19卷第5期长春师范学院学报2000年9月V ol.19 N o.5Journal of Chang Chun T eachers College Sep 2000导数在因式分解中的应用陈良云,徐晓宁(东北师范大学数学系,吉林长春 130024)[摘 要]分解因式方法灵活多变,技巧性强,尤其是多元项式的因式分解更为复杂。
目前,还没有一种统一的方法可行。
本文给出了多元多项式能因式分解的必要条件和操作步骤,使多元多项式的分解变得简单。
[关键词]因式分解;导数;多元多项式[中图分类号]O171 [文献标识码]A [文章编号]1008-178X(2000)05-0019-02引理:设f(x1,x2,……x n)为n元多项式,若存在某个x i,使f′xi(x1,x2,…,x n)与f(x1,x2,…,x i-1, 0,x i+1,…,x n)有公因式。
则F(x1,x2,…,x n)=∫f′xi(x1,x2,…,x n)d x i与f(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…, x n)有公因式。
证明:令[f′xi(x1,x2,…,x n),f(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)]=d(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)。
即f′xi(x1,x2,…,x n)=d(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)·h(x1,x2,…,x n);f(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…, x n)=d(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)g(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)。
则:F(x1,x2,…,x n)=∫f′xi(x1,x2,…,x n)dx i=∫d(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n) h(x1,x2,…,x n)d xi=d(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)∫h(x1,x2,…,x n)d x i因此f(x1,x2,…,x n)与f(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)有公因式d(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)定理:若f′xi(x1,x2,…,x n)与f(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)有公因式,则f(x1,x2,…,x n)可以因式分解,且至少有公因式d(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)。
6导数在研究函数中的应用论文
目录1 导数的定义 (2)1.1导数的定义 (2)1.2导数的几何意义 (2)2 导数在研究一元函数上的应用 (3)2.1 利用导数知识描绘函数图象 (3)2.2利用导数证明不等式 (9)2.3 泰勒公式在研究一元函数上的应用 (10)3 导数在研究二元函数上的应用 (15)3.1 二元函数的偏导数在几何上的应用 (16)3.2 二元函数的偏导数在函数极值方面的应用 (17)3.3 泰勒公式在研究二元函数上的应用 (21)参考文献 (23)致谢 (25)导数在研究函数中的应用理学院 数学082 陆民明 指导师：杜鸿摘 要:导数是依照实际问题为背景提出的概念。
利用函数的导数可以用来研究函数，分析性质，诸如单调性、极值点、凹凸性、函数的渐进线、画图象等许多性质。
本文着重阐述运用导数来研究一元函数、二元函数以及泰勒公式与函数的关系等，目的是可以为解决数学问题拓展新的思路，可以使有些数学问题得到简化。
关键词:导数，一元函数，二元函数，泰勒公式，应用。
引言微积分的创立是数学发展的里程碑，它的发展和广泛应用为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。
而导数作为微积分学中最重要的基本概念之一，它反映了一个变量对另一个变量的变化率。
导数的概念是从很多实际的科学问题抽象而产生的，有着广泛的应用意义。
设函数()y f x =在点0x 的某个邻域内有定义。
如果极限()()0000limlim x x f x x f x yx x ∆→∆→+∆-∆=∆∆存在, 则称函数()f x 在点0x 处可导, 并称此极限值为函数()f x 在点0x 处的导数, 记为()0f x '， 即()()()00000limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆。
导数是对函数图象与性质的总结与拓展，它是研究函数单调性的重要工具，广泛应用在讨论函数图象的变化趋势及证明不等式等方面。
导数也是初等数学与高等数学的重要衔接点。
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第19卷第5期长春师范学院学报2000年9月V ol.19 N o.5Journal of Chang Chun T eachers College Sep 2000导数在因式分解中的应用陈良云,徐晓宁(东北师范大学数学系,吉林长春 130024)[摘 要]分解因式方法灵活多变,技巧性强,尤其是多元项式的因式分解更为复杂。
目前,还没有一种统一的方法可行。
本文给出了多元多项式能因式分解的必要条件和操作步骤,使多元多项式的分解变得简单。
[关键词]因式分解;导数;多元多项式[中图分类号]O171 [文献标识码]A [文章编号]1008-178X(2000)05-0019-02引理:设f(x1,x2,……x n)为n元多项式,若存在某个x i,使f′xi(x1,x2,…,x n)与f(x1,x2,…,x i-1, 0,x i+1,…,x n)有公因式。
则F(x1,x2,…,x n)=∫f′xi(x1,x2,…,x n)d x i与f(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…, x n)有公因式。
证明:令[f′xi(x1,x2,…,x n),f(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)]=d(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)。
即f′xi(x1,x2,…,x n)=d(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)·h(x1,x2,…,x n);f(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…, x n)=d(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)g(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)。
则:F(x1,x2,…,x n)=∫f′xi(x1,x2,…,x n)dx i=∫d(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n) h(x1,x2,…,x n)d xi=d(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)∫h(x1,x2,…,x n)d x i因此f(x1,x2,…,x n)与f(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)有公因式d(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)定理:若f′xi(x1,x2,…,x n)与f(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)有公因式,则f(x1,x2,…,x n)可以因式分解,且至少有公因式d(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)。
证明:若f′xi(x1,x2,…,x n)与f(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)有公因式d(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n),由引理可知∫f′x i(x1,x2,…,x n)与f(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)有公因式d(x1,x2,…,x i-1, 0,x i+1,…,x n)。
而f(x1,x2,…,x n)=∫f′xi(x1,x2,…,x n)d x i+f(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)=d(x1, x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)∫h(x1,x2,…,x n)d x i+g(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)故n元多项式f(x1,x2,…,x n)能因式分解,且因式中含d(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)公因子。
例1.因式分解:(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2解若把y看作变量,x看作常量。
设f(y)=(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2则f′(y)=2(1+y)-4x2y-2x4(1-y)=2(1-x4)+(1-x2)2·2y[收稿日期]2000-04-05[作者简介]陈云良(1973- ),男,四川邻水人,东北师范大学硕士研究生,从事基础数学研究。
··19=2(1-x2)[1+x2+2y(1-x2)]=2(1+x)(1-x)[1+x2+2y(1-x2)]当y=0时f(0)=1-2x2+x4=(1-x2)2=(1+x)2(1-x)2,由于f′(y)与f(0)有公因式(1+x)(1-x),则可以利用导数的方法进行因式分解。
又由于f(y)=∫f′(y)dy+f(0)=∫2(1-x2)[1+x2+2y(1-x2)]dy+(1-x2)2=2(1-x2)[(1+x2) y+(1-x2) y2]+(1-x2)2=(1+x)(1-x)(2y+2yx2+y2-x2y2-x2+1)上式第三因子仍可用同样的方法进行因式分解令g(x)=2y+2y x2+y2-x2y2-x2+1g′(x)=-2x(1-y)2=-(1+y)(1-y)·2xg(0)=2y+y2+1=(y+1)2由于g′(x)与g(0)有公因式y+1,则可利用导数的方法进行分解。
g(x)=∫g′(x)dx+g(0)=∫-(1+y)(1-y) 2x dx+(y+1)2=(1+y+x-x y)(1+y-x+x y)综上所述可得:f(y)=(1+x)(1-x)(1+x+y-xy)(1-x+y+x y)例2.因式分解:(a+b)2(b+c-a)(c+a-b)+(a-b)2(a+b+c)(a+b-c)解:若把c看作变量,a、b看作常量令f(c)=(a+b)2(b+c-a)(c+a-b)+(a-b)2(a+b+c)(a+b-c)f′(c)=(a+b)2[(c+a-b)+(b+c-a)]+(a-b)2[(a+b-c)-(a+b+c)]=8abc当c=0时:f(0)=(a+b)2(b-a)(a-b)+(a-b)2(a+b)2=0所以f′(c)与f(c)有公因式8abc故可利用导数方法进行因式分解。
f(c)=∫f′(c)dx+f(0)=∫8abcdx+0=4abc2故(a+b)2(b+c-a)(c+a-b)+(a-b)2(a+b+c)(a+b-c)=4abc2说明:(1)此定理是一个多元多项式能因式分解,且可以利用导数方法分解因式的必要条件,而不是充分条件。
即若一个多元多项式能因式分解,但f′x i(x1,x2,…,x n)与f(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)可能无公因式,所以此法不一定适用。
例如因式分解:(x-2y)2x+7x-14y+12,若选x为变元f′(x)=2 (x-2y)+7,f(0)=4y2-14y+12,f′(x)与f(0)无公因式;同样选y为变元g′(y)与g(0)也无公因式,因此不能用此法因式分解。
但(x-2y)2x+7x-14y+12=(x-2y)2-7(x-2y)+12=(x-2y+3)(x -2y+4)。
(2)此定理不仅提供了一种分解多元多项式的方法,还提供了判断一个多项式能否因式分解的必要条件。
(3)此方法还可用于化简多元多项式,例如2所示。
(下转第3页)··204.1 图1说明:催化剂用量为乙酸质量3%为宜。
4.2 影响反应的主要因素为酸醇摩尔比,由图可知:酸醇摩尔比为1.0∶1.7为宜。
此外,还做过酸醇摩尔比为1.0∶1.5的实验,产率不如前者。
4.3 由图可知,反应时间为120分钟为宜。
[参考文献][1]韩广甸等.有机制备化学手册(上卷)〔S〕石油化学工业出版社,1977(273).[2]谷亨杰,周锦成,丁金昌.有机化学实验〔S〕.北京:高等教育出版社,1991.[3]李晓莉,苏丽红.长春师院学报,1997(2):1.[4]邵作范,李明阳.辽宁化工.1997,9:286-287.Synthesis of Ethyl AcetateCatalyzed by Rare Earth Oxide Nd2O3LI Xiao-li,YANG Yue-j ie,REN Zhi-ying(Chemistr y depart ment,Changchun N o rmal Colleg e,130032,China)Abstract:T his paper introduced a new method on Synthesis of ethy l acetate cataly zed by rare ear th ox ide Nd2O3.By making ex periments o n v arious proportion of org anic acid to alcohol and different amount of cataly st dur ing different reaction tim e,the better reactio n condition w as fo und.Key words:ethyl acetate,esterification,Nd2O3,cataly st(上接第20页)(4)此法不适于一元多项式分解。
Applying derivative to factorizationC HEN Liang-yun,XU Xiao-ning(Department o f M athemat ics,N or theast N or mal U niver sity,Changchun,JiL in Pr ov ince130024China)Abstract:The w ay of fracto rizatio n is flex ible and skillful,especially the factorization o f m uitivariate po lynorm ial is more complex.At present,there is no unified w ay yet.T his paper gives the necessary co ndition and operating steps that help multivariate poly no mial to be factor ized,w hich make it simple in multivariate poly nom ial being facto rized.Key words:facto rization;der iv ative;m ultivarite Po lynomial·3·。