三角形的五心向量结论证明
完整版三角形的五心向量结论证明
三角形的五心向量结论证明1. O是RP2R的重心UJU uuir umr rOp OP, OP3 0(其中a,b,c 是PP2P3 三边)P2 PP3uu uur uur r证明：充分性：OR OF2 OP30 O是PP2F3的重心uuu uir uur r uur uur uur uuur uur若OR OP，OP3 0 ，则O R OP2 OR，以OR，OF2OP1P3 ' P2，设OP3与RP2交于点P3，则F3为RF2的中点，有即O,R, P,p四点共线，故PP2P3的中线，同理,uur uuuOP3 OP3 ，为邻边作平行四边形uurOP1uur uuur,OP2OP3，得PO, P2O亦为PP2P3的中线，所以，O为的重心。
2•在ABC中，给uurADuur uuuAB AC ,等于已知AD是ABC 中BC边的中线；————uur* △ ABC中AB AC 一定过BC的中点，通过△ABC的重心luuAPuuBP*PUG1 uuu(AB31 uuu-(BA31 uur -(PAuurAC),uurBC),P为VABC的重心uur uirPB PC)uuu uu uur uur uur urir uur uur uur uur uuu uuu uuu uurPG PA AG PB BG PC CG 3PG (AG BG CG) (PA PB PC)-G是厶ABC的重心uur uuu uuu r UU uur uuu r 亦uur uuu uuu uuu-GA GB GC = 0 AG BG CG : =0，即3PG PA PB PCG ABC的重心（P是平面上任意点）.证明（反之亦然（证略））uurPBuirPC).uur 1 uur 由此可得PG (PA3S*若O是ABC的重心，则BOC S AOC S AOB1SS ABC3uuu umrAPgBC 0 2. uuu uuirBPgAC 0则0是厶ABC 的垂心证明：由 OA '\BC 3 = 003 +CA J ,得 -0?)3 = OB \COC -OA )2 ,所以.■ .' ■''"。
三角形五心的向量表示
三角形五心的向量表示J DZ 小飞在空间中，如果一个向量所在直线平行于一个平面或在一个平面内，则称这个向量平行于该平面.我们把平行于同一平面的一组向量称为共面向量，不平行于同一平面的一组向量称为不共面向量.定理1（平面向量基本定理）：如果向量,a b 不共线，那么向量r 与向量,a b 共面的充要条件是λµ=+r a b ，（1）其中,λµ是被向量,a b 和r 唯一确定的数量.推论1：三个向量a b c 、、共面的充要条件是存在三个不全为零....的实数λµν、、，使λµν++=a b c 0.（2）推论2：三个向量a b c 、、其中无二者共线，则共面的充要条件是存在三个全不为零....的实数λµν、、，使λµν++=a b c 0.（3）推论3：如果三个不共面向量a b c 、、满足：λµν++=a b c 0，其中,,R λµν∈，那么0λµν===.推论4：平面O 、A 、B 三点不共线，则点C 在平面OAB 上的充要条件是OC OA OB λµ=+������������，（4）其中,λµ是被向量OA ����，OB ����和OC ����唯一确定的数量.【注意】《共面向量·推论4》与《共线向量·推论4》是有区别的。
《共线向量·推论4》：平面O 、A 、B 三点不共线，则点C 在直线AB 上的充要条件是OC OA OB λµ=+������������，其中,λµ是被向量OA ����，OB ����和OC ����唯一确定的数量，且1λµ+=.定理2(平面向量基本定理的面积表示)：已知ABC ∆，则点M 在平面ABC 上的充要条件是.AMC ABMABC ABCS S AM AB AC S S ∆∆∆∆=+�������������i i （5）其中ABM S ∆、AMC S ∆和ABC S ∆是有向面积。
初中的几何三角形五心及定理性质
初中几何三角形五心定律及性质三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。
5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。
外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
5、外心到三顶点的距离相等垂心定理图1 图2三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
推论：1. 若D 、E 、F 分别是△ABC 三边的高的垂足，则∠1 = ∠2 。
完整版三角形的五心向量结论证明
三角形的五心向量结论证明1. O是RP2R的重心UJU uuir umr rOp OP, OP3 0(其中a,b,c 是PP2P3 三边)P2 PP3uu uur uur r证明：充分性：OR OF2 OP30 O是PP2F3的重心uuu uir uur r uur uur uur uuur uur若OR OP，OP3 0 ，则O R OP2 OR，以OR，OF2OP1P3 ' P2，设OP3与RP2交于点P3，则F3为RF2的中点，有即O,R, P,p四点共线，故PP2P3的中线，同理,uur uuuOP3 OP3 ，为邻边作平行四边形uurOP1uur uuur,OP2OP3，得PO, P2O亦为PP2P3的中线，所以，O为的重心。
2•在ABC中，给uurADuur uuuAB AC ,等于已知AD是ABC 中BC边的中线；————uur* △ ABC中AB AC 一定过BC的中点，通过△ABC的重心luuAPuuBP*PUG1 uuu(AB31 uuu-(BA31 uur -(PAuurAC),uurBC),P为VABC的重心uur uirPB PC)uuu uu uur uur uur urir uur uur uur uur uuu uuu uuu uurPG PA AG PB BG PC CG 3PG (AG BG CG) (PA PB PC)-G是厶ABC的重心uur uuu uuu r UU uur uuu r 亦uur uuu uuu uuu-GA GB GC = 0 AG BG CG : =0，即3PG PA PB PCG ABC的重心（P是平面上任意点）.证明（反之亦然（证略））uurPBuirPC).uur 1 uur 由此可得PG (PA3S*若O是ABC的重心，则BOC S AOC S AOB1SS ABC3uuu umrAPgBC 0 2. uuu uuirBPgAC 0则0是厶ABC 的垂心证明：由 OA '\BC 3 = 003 +CA J ,得 -0?)3 = OB \COC -OA )2 ,所以.■ .' ■''"。
三角形五心(外心内心重心旁心)相关结论与应用汇总(精品)
(h
a)
b
(h
b)
a
h
(b
a)
0.
(h b) a 0
AH BC.
垂心
又∵点D在AH的延长线上，∴AD、BE、CF相交于一点．
例2．已知O为⊿ABC所在平面内一点，且满足:
证明外心定理
证明: 设AB、BC的中垂线交于点O，
则有OA=OB=OC，
A
故O也在AC的中垂线上， 因为O到三顶点的距离相等，
A
故点O是ΔABC外接圆的圆心．
O
因而称为外心．
O
B
C
B
C
若 O 为 ABC内一点，OA OB OC
则 O 是 ABC 的（ B ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
可以大显神通了.
思考练习 3. AB 为半圆 O 的直径，其弦 AF、BE 相交于 Q， 过 E、F 分别作半圆的切线得交点 P，求证：PQ⊥AB.
3答案
思考练习 3. AB 为半圆 O 的直径，其弦 AF、BE 相交于 Q， 过 E、F 分别作半圆的切线得交点 P，求证：PQ⊥AB. 分析：延长 EP 到 K，使 PK=PE，连 KF、AE、EF、BF， 直线 PQ 交 AB 于 H.因∠EQF=∠AQB =( 90 －∠1)+( 90 +∠2) =∠ABF+∠BAE=∠QFP+∠QEP， 又由 PK=PE=PF 知∠K=∠PFK， ∴∠EQF+∠K=∠QFK+∠QEK= 180 ， 从而 E、Q、F、K 四点共圆. 由 PK=PF=PE 知，P 为△EFK 的外心，显然 PQ=PE=PF.于 是∠1+∠AQH=∠1+PQF=∠1+∠PFQ=∠1+∠AFP=∠1+∠ ABF=90º .由此知 QH⊥AH，即 PQ⊥AB.
三角形各个心的有关向量结论
三角形各个心的有关向量结论三角形是初中数学的重点之一，它们在几何的许多领域都有应用。
除了三条边之外，三角形还有很多其他有趣的属性和结论。
今天，我们将重点关注与三角形各个心的有关向量结论。
首先，让我们来介绍一下三角形的“心”。
一个三角形的“心”是它的重心、外心、内心、垂心和费马点。
这五个点都具有特殊的几何意义，它们与三角形的性质密切相关。
现在，我们来看一些关于这五个“心”的向量结论。
这些结论包括：1. 重心：三角形的三条中线的交点是三角形的重心。
向量表示为$$\overrightarrow{G}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{A}+\overrigh tarrow{B}+\overrightarrow{C})$$其中，A、B、C分别是三角形的三个顶点的向量表示。
2. 外心：三角形外接圆的圆心是三角形的外心。
向量表示为$$\overrightarrow{O}=\frac{\overrightarrow{a}\times\overright arrow{b}+\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{c}+\overrigh tarrow{b}\times\overrightarrow{c}}{2\overrightarrow{a}\cdot\o verrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}}$$其中，a、b、c分别是三角形的三个边的向量表示。
3. 内心：三角形内切圆的圆心是三角形的内心。
向量表示为$$\overrightarrow{I}=\frac{a\overrightarrow{A}+b\overrightarr ow{B}+c\overrightarrow{C}}{a+b+c}$$其中，a、b、c分别是三角形的三个边的长度；A、B、C分别是三角形的三个顶点的向量表示。
4. 垂心：三角形的三条高线交于垂心，它与对应的顶点相连的线段垂直。
三角形的五心在向量的结论
三角形的五心在向量的结论三角形的五心是指三角形的外心、内心、垂心、重心和旁心。
这五个特殊的点在三角形中有着重要的几何性质和向量关系。
本文将通过向量的角度来探讨这五个特殊点之间的关系。
我们先来介绍一下五个特殊点。
外心是通过三角形三个顶点的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离都相等。
内心是通过三角形三个边的角平分线的交点，它到三角形三个边的距离都相等。
垂心是通过三角形三个顶点与对边垂直的高的交点，它到三角形三个顶点的距离满足垂心定理。
重心是通过三角形三个顶点的中线的交点，它到三角形三个顶点的距离满足重心定理。
旁心是通过三角形的一条边的垂直平分线的延长线与对边的交点，它到三角形的一条边的距离相等。
现在，我们来探讨这五个特殊点之间的向量关系。
我们可以将三角形的顶点表示为向量A、B、C，那么外心O可以表示为向量O=（A+B+C）/3，内心I可以表示为向量I=（aA+bB+cC）/（a+b+c），垂心H可以表示为向量H=A+B+C，重心G可以表示为向量G=(A+B+C)/3，旁心J可以表示为向量J=(2A+B+C)/4。
根据向量的定义，我们可以得到以下结论：1. 外心O到三个顶点的向量和为零，即AO+BO+CO=0。
这是因为外心是通过三个顶点的垂直平分线的交点，所以它到三个顶点的距离相等，即向量AO=向量BO=向量CO，因此它们的和为零。
2. 内心I到三个边的向量和为零，即aIA+bIB+cIC=0。
这是因为内心是通过三个边的角平分线的交点，所以它到三个边的距离相等，即向量IA=向量IB=向量IC，因此它们的和为零。
3. 垂心H到三个顶点的向量和为零，即AH+BH+CH=0。
这是因为垂心是通过三个顶点与对边垂直的高的交点，所以它到三个顶点的距离满足垂心定理，即向量AH=向量BH=向量CH，因此它们的和为零。
4. 重心G到三个顶点的向量和为零，即AG+BG+CG=0。
这是因为重心是通过三个顶点的中线的交点，所以它到三个顶点的距离满足重心定理，即向量AG=向量BG=向量CG，因此它们的和为零。
平面向量基本定理中关于三角形五“心”的向量性质及推论
AP PO
| |
2 1
，由定理知
x
y
=
| |
AP AO
| |
2 3
；
（2）若 P为 ABC 的内心，由文[2]中性质2的
证明过程知
| |
PO AP
| |
sin
sin B
A sin
C
，故
x
y
| |
AP AO
| |
sin
sin A
B sin
sin C B sin
C
；
（3）若 P为 ABC 的外心，由文[2]中性质1的
（1）若
P
为
ABC
的重心，则
4 3
；
（2）若 P 为 ABC 的内心，
则
2sin A sin B sin C sin A sin B sin C
；
（3）若 P 为 ABC 的外心，
则
2sin 2A sin 2B sin 2C sin 2A sin 2B sin 2C
；
（4）若 P 为非直角 ABC 的垂心，
一个关于方差不等式的再加强
王恒亮 李一淳 广东省珠海市实验中学高中部（519090）
对于数组 x1 ，x2 ，，xn ，记 M max{x1 ，x2 ，，xn} ，
m
min{x1
，x2
，，xn} ，R
M
m ， 2
1 n
n
(xj
j 1
x)2
，
其中
x
1 n
n
xj
j 1
，则关于方差有如下的一个加强型不
A P
B OC 图1
A F PE BDC 图2Fra bibliotekA P
(完整版)三角形的五心向量结论证明
三角形的五心向量结论证明1. O 是123PP P ∆的重心⇔1230OP OP OP ++=(其中,,a b c 是123PP P ∆三边)证明：充分性: 1230OP OP OP ++=⇒O 是123PP P ∆的重心若1230OP OP OP ++=，则123OP OP OP +=-，以1OP，2OP 为邻边作平行四边形132'OPP P ，设3OP 与12PP 交于点3P '，则3P '为12PP 的中点，有'123OPOP OP +=，得'33OP OP =-，即'33,,,O P P P 四点共线，故3P P 为123PP P ∆的中线，同理，12,PO P O 亦为123PP P ∆的中线，所以，O 为的重心。
* △ABC 中AC AB +一定过BC 的中点，通过△ABC 的重心1(),31()3AP AB AC P ABC BP BA BC ⎧=+⎪⎪⇒⎨⎪=+⎪⎩为的重心， *1()3PG PA PB PC =++⇔G 为△ABC 的重心(P 是平面上任意点).证明 PG PA AG PB BG PC CG =+=+=+⇒3()()PG AG BG CG PA PB PC =+++++∵G 是△ABC 的重心∴GA GB GC ++=0⇒AG BG CG ++=0，即3PG PA PB PC =++ 由此可得1()3PG PA PB PC =++.(反之亦然(证略))*若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===P 12PP 3O PABC∆()1,2AD AB AC =+ABC ∆2.在中，给等于已知AD 是中BC 边的中线;2. 00AP BC P ABC BP AC ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩为的垂心* 点O 是123PP P ∆的垂心⇔122331OPOP OP OP OP OP ⋅=⋅=⋅ 证明：O 是123PP P ∆的垂心⇔312OPPP ⊥, 31232132310()0OP PP OP OP OP OP OP OP OP ⋅=⇔⋅-=⇔⋅=⋅同理123OP P P ⊥⇔3112OP OP OP OP ⋅=⋅ 故当且仅当122331OP OP OP OP OP OP ⋅=⋅=⋅.* O 是△ABC 所在平面内一点222222→→→→→→+=+=+ACOB BA OC BC OA则O 是△ABC 的垂心 证明：由，得，所以。
三角形五心分别为
三角形五心及定律三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，内心定理，垂心定理，旁心定理的总称一、重心定理1.定义：三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
2.重心的性质：（1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点。
EC、FB交于G。
求证：EG=1/2CG。
证明：过E作EH∥BF交AC于H。
∵AE=BE，EH//BF；∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)又∵AF=CF，∴HF=1/2CF，∴HF:CF=1/2；∵EH∥BF∴EG:CG=HF:CF=1/2，∴EG=1/2CG（2）重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
证明方法：在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线。
根据重心性质知：OA'=1/3AA'OB'=1/3BB'OC'=1/3CC'过O，A分别作a边上高OH'，AH可知OH'=1/3AH则，S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC同理可证S△AOC=1/3S△ABCS△AOB=1/3S△ABC所以，S△BOC=S△AOC=S△AOB（3）重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
（4）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。
（5.）以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。
二、外心定理1.定义：三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
（三角形有且只有一个外接圆。
）2.外心的性质：（1）三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。
三角形的五心向量结论证明
三角形的五心向量结论证明1.O 是123PP P ∆的重心⇔1230OP OP OP ++=(其中,,a b c 是123PP P ∆三边)证明：充分性: 1230OP OP OP ++=⇒O 是123PP P ∆的重心若1230OP OP OP ++=，则123OP OP OP +=-，以1OP，2OP 为邻边作平行四边形132'OPP P ，设3OP 与12PP 交于点3P '，则3P '为12PP 的中点，有'123OPOP OP +=，得'33OP OP =-，即'33,,,O P P P 四点共线，故3P P 为123PP P ∆的中线，同理，12,PO P O 亦为123PP P ∆的中线，所以，O 为的重心。
2. 点O 是123PP P ∆的垂心⇔122331OPOP OP OP OP OP ⋅=⋅=⋅ 证明：O 是123PP P ∆的垂心⇔312OPPP ⊥, 31232132310()0OP PP OP OP OP OP OP OP OP ⋅=⇔⋅-=⇔⋅=⋅同理123OP P P ⊥⇔3112OP OP OP OP ⋅=⋅ 故当且仅当122331OP OP OP OP OP OP ⋅=⋅=⋅.*222222→→→→→→+=+=+ACOB BA OC BC OA则O 是△ABC的垂心 证明：由，得，所以。
同理可证。
容易得到由以上结论知O 为△ABC 的垂心。
* 设()+∞∈,0λ，则向量+λ必垂直于边BC ，该向量必通过△ABC的垂心P 12PP 3O P⎪⎭⎝cos cos C AC B* 若H 是△ABC(非直角三角形)的垂心， 则S △BHC ：S △AHC ：S △AHB =tanA ：tanB ：tanC 故tanA·HA +tanB·HB +tanC·HC =0 3.点O 是123PP P ∆的外心⇔23OP OP OP ==． 证明：O 是△ABC 的外心⇔|OA |=|OB |=|OC |(或OA 2=OB 2=OC 2)(点O 到三边距离相等)⇔(OA +OB )·AB =(OB +OC )·BC =(OC +OA )·CA =0(O 为三边垂直平分线的交点)*若点O 为△ABC 所在的平面内一点，满足，则点O 为△ABC 的外心。
高中数学平面几何--三角形的五心的重要结论及经典例题
三角形“五心”的重要结论及经典例题1．重心(中线交点)①G 是△ABC 的重心⇔0GA GB GC ++= 证明 作图如右，图中GB GC GE +=连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将GB GC GE +=代入GA GB GC ++=0，得GA EG +=0⇒2GA GE GD =-=-，故G 是△ABC 的重心.(反之亦然(证略))②1()3PG PA PB PC =++⇔G 为△ABC 的重心(P 是平面上的点).证明 PG PA AG PB BG PC CG =+=+=+⇒3()()PG AG BG CG PA PB PC =+++++ ∵G 是△ABC 的重心∴GA GB GC ++=0⇒AG BG CG ++=0，即3PG PA PB PC =++由此可得1()3PG PA PB PC =++.(反之亦然(证略)例、已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证 △P 1P 2P 3是正三角形.(《数学》第一册(下)，复习参考题五B 组第6题)证明 由已知1OP +2OP =-3OP ，两边平方得1OP ·2OP =12-， 同理2OP ·3OP =3OP ·1OP =12-， ∴|12P P |=|23P P |=|31P P△P 1P 2P 3是正三角形.反之，若点O 是正三角形△P 1P 2P 3的中心，则显然有1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |.即O 是△ABC 所在平面内一点，1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |⇔点O 是正 △P 1P 2P 3的中心.三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.例．AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在△PAD ，△PBE ，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和. (第26届莫斯科数学奥林匹克)分析：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB，BC 相交.从A ，C ，D ，E ，F 分别 作该直线的垂线，垂足为A ′，C ′， D ′，E ′，F ′. 易证AA ′=2DD ′，CC ′=2FF ′，2EE ′=AA ′+CC ′，∴EE ′=DD ′+FF ′. 有S △PGE =S △PGD +S △PGF .两边各扩大3倍，有S △PBE =S △PAD +S △PCF . 例．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′.G 为重心，连DE 到H ，使EH =DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF . (1)a 2，b 2，c 2成等差数列⇒△∽△′. 若△ABC 为正三角形，易证△∽△′.AA 'F F 'GE E 'D 'C 'P C B D不妨设a ≥b ≥c ，有CF =2222221c b a -+， BE =2222221b ac -+，AD =2222221a cb -+.将a 2+c 2=2b 2，分别代入以上三式，得 CF =a 23，BE =b 23，AD =c 23. ∴CF :BE :AD =a 23:b 23:c 23=a :b :c .故有△∽△′.(2)△∽△′⇒a 2，b 2，c 2成等差数列. 当△中a ≥b ≥c 时， △′中CF ≥BE ≥AD . ∵△∽△′， ∴∆∆S S '＝(aCF )2. 据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的43”，有∆∆S S '=43.∴22aCF =43⇒3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c 2⇒a 2+c 2=2b 2.2．垂心(高线交点)三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.H 是△ABC 的垂心⇔HA HB HB HC HC HA •=•=• 由()00HA HB HB HC HB HC HA HB AC HB AC ⋅=⋅⇔⋅-=⇔⋅=⇔⊥, 同理HC AB ⊥，HA BC ⊥.故H 是△ABC 的垂心.(反之亦然(证略))若H 是△ABC (非直角三角形)的垂心，则 S △BHC ：S △AHC ：S △AHB =tanA ：tanB ：tanC 故tanA ·HA +tanB ·HB +tanC ·HC =0 例、设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△A 1A 2A 3的垂心.求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置. (1992，全国高中联赛) ABC DH ABCDO A A 12分析：连接A 2H 1，A 1H 2，H 1H 2，记圆半径为R .由△A 2A 3A 4知13212sin H A A H A ∠=2R ⇒A 2H 1=2R cos ∠A 3A 2A 4；由△A 1A 3A 4得A 1H 2=2R cos ∠A 3A 1A 4.但∠A 3A 2A 4=∠A 3A 1A 4，故A 2H 1=A 1H 2. 易证A 2H 1∥A 1A 2，于是，A 2H 1 A 1H 2，故得H 1H 2 A 2A 1.设H 1A 1与H 2A 2的交点为M ，故H 1H 2与A 1A 2关于M 点成中心对称. 同理，H 2H 3与A 2A 3，H 3H 4与A 3A 4，H 4H 1与A 4A 1都关于M 点成中心对称.故四边形H 1H 2H 3H 4与四边形A 1A 2A 3A 4关于M 点成中心对称，两者是全等四边形，H 1，H 2，H 3，H 4在同一个圆上.后者的圆心设为Q ，Q 与O 也关于M 成中心对称.由O ，M 两点，Q 点就不难确定了.例、H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心.一个以H 为圆心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2. 求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2.(1989，加拿大数学奥林匹克训练题) 分析：只须证明AA 1=BB 1=CC 1即可.设 BC =a ， CA =b ，AB =c ，△ABC 外接圆半径为R ，⊙H 的半径为r . 连HA 1，AH 交EF 于M . A 21A =AM 2+A 1M 2=AM 2+r 2-MH 2=r 2+(AM 2-MH 2)， ①又AM 2-HM 2=(21AH 1)2-(AH -21AH 1)2 =AH ·AH 1-AH 2=AH 2·AB -AH 2=cos A ·bc -AH 2， ② 而ABH AH∠sin =2R ⇒AH 2=4R 2cos 2A ,Aasin =2R ⇒a 2=4R 2sin 2A . ∴AH 2+a 2=4R 2，AH 2=4R 2-a 2. ③ 由①、②、③有 A 21A=r 2+bca cb 2222-+·bc -(4R 2-a 2)=21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2. 同理，21BB =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2，21CC =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2.∥=∥=H H HM AB B A A BC CC F12111222D E故有AA 1=BB 1=CC 1.3．外心(边垂直平分线交点，外接圆圆心)三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理. O 是△ABC 的外心⇔|OA |=|OB |=|OC |(或OA 2=OB 2=OC 2)(点O 到三边距离相等) ⇔(OA +OB )·AB =(OB +OC )·BC =(OC +OA )·CA =0(O 为三边垂直平分线) 若O 是△ABC 的外心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =sinBOC ：sinAOC ：sinAOB =sin 2A ：sin 2B ：sin 2C故sin 2A ·OA 2sin 2B ·OB +sin 2C ·OC =0 例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N .作点P 关于MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上. (杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析：由已知可得MP ′=MP =MB ，NP ′=NP=NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点N 是△P ′PC 的外心.有∠BP ′P =21∠BMP =21∠BAC ，∠PP ′C =21∠PNC =21∠BAC .∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC .从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上. 由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有 P ′B :P ′C =BP :PC .例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似. (B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心，作出六边形O 1PO 2QO 3S 后再由外心性质可知 ∠PO 1S =2∠A ， ∠QO 2P =2∠B ， ∠SO 3Q =2∠C .∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°.从而又知∠O 1PO 2+∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360°将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△O 2PO 1，同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3. ∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=21∠O 2O 1K =21(∠O 2O 1S +∠SO 1K ) =21(∠O 2O 1S +∠PO 1O 2)=21∠PO 1S =∠A ；A B C PP MN 'A B C QK P O O O ....S 123同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC .4．内心(角平分线交点，内切圆圆心)三角形内切圆的圆心，简称为内心. O 是△ABC 的内心充要条件是()()()0||||||||||||AB ACBA BCCA CBOA OB OC AB AC BA BC CA CB •-=•-=•-=引进单位向量，使条件变得更简洁。
三角形的五心向量结论证明
三角形的五心向量结论证明三角形是几何学中重要的一个概念，它由三条边组成，并具有许多有趣的性质。
而在三角形中，五心向量是一个常见的概念，指的是根据三角形的五个特殊点所得到的向量。
在本文中，我们将证明三角形的五心向量的一些重要结论。
首先，让我们回顾一下五心向量的定义。
三角形有五个特殊的点，分别是垂心、重心、外心、内心和旁心。
而五心向量则是由这五个特殊点所决定的向量。
具体来说，垂心向量是垂直三角形三边的向量和，重心向量是三角形三个顶点的向量和的三分之一，外心向量是以三角形三个顶点为圆心的外接圆的向量和，内心向量是以三角形三个内切圆的圆心为向量的和，旁心向量是以三角形三个外切圆的圆心为向量的和。
接下来，我们将证明三角形的五心向量有以下结论：1. 五心向量的和为零向量。
这一结论可以通过向量的性质来证明。
既然五心向量是由特殊点所决定的向量的和，那么根据向量的加法交换律和结合律，我们可以将五心向量的和重新排列。
由于重心和旁心向量的和为零向量，同时外心和垂心向量的和也为零向量，那么根据这两个结论，重心、旁心、外心、垂心的向量和为零向量。
另外，由于内心向量的和与其他四个向量的和相反，所以五心向量的总和为零向量。
2. 重心向量和垂心向量的和为外心向量的两倍。
在证明这个结论之前，我们需要明确重心、垂心和外心的几何性质。
重心是三角形三个顶点的向量和的三分之一，垂心是垂直于三角形三边的向量和，而外心是以三角形三个顶点为圆心的外接圆的向量和。
根据这些性质，我们可以得出结论：重心和垂心向量的和恰好是外心向量的两倍。
这是因为重心向量将三个顶点的向量和等分为三份，而垂心向量则是将垂直三边的向量和居中分割。
因此，外心向量恰好是重心向量和垂心向量的和的两倍。
3. 旁心向量和内心向量的和为零向量。
为了证明这个结论，我们需要利用旁心和内心的性质。
旁心是以三角形三个外切圆的圆心为向量的和，而内心是以三角形三个内切圆的圆心为向量的和。
根据这些性质，我们可以得出结论：旁心向量和内心向量的和为零向量。
三角形五心的证明
三角形五心的证明
三角形五心证明
三角形五心是一个普遍存在的几何定理，它说明在任何一个三角形中，其内部总是存在三条中垂线相交的心形，在每个角上还有两个凹点，就形
成了五点的心形。
在推导三角形五心定理前，我们先来看看三角形的基本概念：
定义1：三角形是由三条有限直线构成的面，这三条直线两两相交构
成三个点。
定义2：三角形的角是三条有限直线在其共同点处所形成的角，三角
形的三个角一定都是小于180°的角。
定义3：三角形的高是连接其三个顶点的直线与其对边的中垂线，每
一条高垂线将它所连接的对边截成两部分，称之为垂足。
现在我们开始推导三角形五心定理：
步骤一：证明存在三角形内部心形
同样，我们也可以在三角形B和三角形C的内角处做高为b/2和c/2
的垂线。
(完整版)三角形五心的证明
三角形五心内心：内切圆的圆心,即三条角平分线的交点.外心:外切圆的圆心,即三条中垂线的交点。
旁心：旁切圆的圆心，即三条角平分线的交点。
（类似、但不同于内心）垂心：三条高的交点.重心：三条中线的交点。
注：红线为所要证明的线，绿线为辅助线。
内心：三条角平分线的交点证：过点O作三边的垂线，垂足分别为D、E、F。
由角平分线定理(角平分线上一点到两边的距离相等）得：OD=OF,OF=OE∴ OD=OE∴AO为角BAC的平分线外心：三条中垂线的交点证：连结OA、OB、OC，并过O点作OF⊥BC于点F。
由线段中垂线定理（线段中垂线上一点到两端点的距离相等），得：OA=OB，OA=OC.∴OB=OC∴点O在线段BC的中垂线上∴OF为线段BC的中垂线旁心：证：过点O作三边的垂线,垂足分别为D、E、F。
由角平分线定理（角平分线上一点到两边的距离相等）得：OD=OF，OD=OE∴ OF=OE∴BO为角ABC的平分线垂心:三条高的交点证：连结DE，连结AO交BC于F点。
∵角BDC=角BEC=90°∴B、D、E、C四点共圆（以BC为直径的圆)。
∴角FBO=角CDE ······①（同弦(弧)所对圆周角相等)又∵角ODA=角AEO=90°∴O、D、A、E四点共圆（以AO为直径的圆）.∴角AOE=角ADE （同弦(弧）所对圆周角相等)且角AOE=角BOF∴角ADE=角BOF ······②由①②可知，角OFB=角ODA=90°∴AF为BC边上的高。
重心:三条中线的交点方法一：证：连结AO交BC于点F。
∵D为AB的中点∴S△ACD=S△BCD （S△表示三角形的面积）（底相等（AD=BD），高相同（都为点C到AB的距离)）S△AOD=S△BOD∴S△AOC=S△BOC ······①同理可得:S△BOC=S△AOB ······②由①②得,S△AOC=S△AOB又∵△AOC与△AOB底都为AO∴它们高相等，即:点B和点C到AF的距离相等.对于△AFB和△AFC，底相同(为AF）,高相等（分别为点B和点C到AF的距离）。
三角形五心及证明
O ，A ，B ，C 对应的复数分别为O Z ，A Z ，B Z ，C Z 1，若O 是ABC ∆的重心，则：3A B CO Z Z Z Z ++= （式1）2，若O 是ABC ∆的内心，则： O A B C a bcZ Z Z Z a b c a b ca b c=++++++++ （式2）其中 ()()B C B C a Z Z Z Z =-- ()()A C A C b Z Z Z Z =-- ()()A B A B c Z Z Z Z =--3，若O 是ABC ∆的垂心，则：c o t c o t c ot c o t c o tc o t O A B C Z B C Z A C Z A B Z =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ （式3）其中 a r ga r g ()a r g ()C AC A B A B AZ Z A Z Z Z Z Z Z -==----argarg()arg()C BC B A B A BZ Z B Z Z Z Z Z Z -==----argarg()arg()A CA CBC B CZ Z C Z Z Z Z Z Z -==----4，若O 是ABC ∆的外心，则： c o s c o sc o s2s i n s i n 2s i ns i n2s i n s i nO A B C AB C Z Z Z Z B C C A A B =++⋅⋅⋅ （式4）其中 A ，B ，C 同3，5，旁心：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点． 记A O 为ABC ∆中A 的内角平分线和,B C 两顶点处的外角平分线的交点， B O 为ABC ∆中B 的内角平分线和,A C 两顶点处的外角平分线的交点，FDECABO图1C O 为ABC ∆中C 的内角平分线和,A B 两顶点处的外角平分线的交点，A ABC a b cO Z Z Z a b c a b c a b c =-++-++-++-++ （式5）B A B Ca b cO Z Z Z a b c a b c a b c=-+-+-+-+ C A B Ca b cO Z Z Z a b c a b c a b c=-+-+-+-+- 证明如下：ABC ∆，O 为非顶点的任一点，连接,A O 交BC 于点D ，连接,B O 交AC 于点E ，连接,C O 交AB 于点F记：1AF FB λ= ，2BD DC λ= ，3CE EA λ= ， 4A O A D λ= ，5BO BE λ= ，6CO CF λ= ，22222221()1111AD AB BDAB BCAB AC AB AB AC λλλλλλλ=+=++=+-+=+++同理：333111BE BC BA λλλ=+++111111CF CA CB λλλ=+++由于B ，O ，E 共线，5BO BE λ=FDECABO图155553()1(1)1AO AB BOAB BE AB AE AB AB ACλλλλλ=+=+=+-=-+⋅+由于C ，O ，F 共线，6CO CF λ=661661()(1)1AO AC COAC CF AC AF AC AC ABλλλλλλ=+=+=+-=-+⋅+所以156165311111λλλλλλλ⎧-=⋅⎪+⎪⎨⎪-=⋅⎪+⎩⇒ 3531331631311(1)1λλλλλλλλλλλ+⎧=⎪++⎪⎨+⎪=⎪++⎩ 从而有553333133133133133131(1)1111(1)111111AO AB ACAB AC AB AC λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ=-+⋅+++=-+⋅+++++=+++++又因为：O A AO Z Z =- ，B A AB Z Z =- ，C A AC Z Z =-所以： 3133133133131111O A B C Z Z Z Z λλλλλλλλλλλλ+=+++++++ （式6）1，O 为重心时，则1231λλλ===，带入（式6）有 1()3O A B C Z Z Z Z =++2，O 为内心时，由角平分线定理知：1b a λ=，2c b λ=，3a cλ= 带入（式6）有 O A B Ca bcZ Z Z Z a b c a b c a b c=++++++++ 3，O 为垂心时，若ABC ∆不是直角三角形时，1c o s c o s b A a B λ=，2cos cos a B b C λ=，3cos cos a Cc Aλ=2s i n a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =带入（式6）有c o s c o sc o s c o s c o s c o s c o s c o sc o s c o sc o s c o s c o s c o s c o s c o sc o s c o sc o s c o s c o s c o s c o s c o ss i n c o s c o ss i n c o s c o s s i n c o s c o s s i n c o s c o ss O AB C A a C B Z Z a C B b C A c A B b C A Z a C B b C A c A B c A B Z a C B b C A c A B A C B Z A C B B C A C A B ⋅=⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+in cos cos sin cos cos sin cos cos sin cos cos sin cos cos sin cos cos sin cos cos sin cos cos cot cot cot cot cot cot cot cot cot cot cot cot cot cot cot cot BC A B C AZ A C B B C A C A BC A BZ A C B B C A C A BC BZ C B A C A BA CC B A C A B⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅cot cot cot cot cot cot cot cot cot cot cot cot cot cot B C A B CZ A BZ C B A C A BC B Z A C Z A B Z ⋅+⋅+⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ 其中：cot cot cot cot cot cot 1A B A C B C ⋅+⋅+⋅=这是因为：tan tan(())tan()tan tan 1tan tan C A B A B A B A Bπ=-+=-++=--⋅⇒tan tan tan tan tan tan A B C A B C ⋅⋅=++两边同时除以tan tan tan A B C ⋅⋅即可 若ABC ∆是直角三角形时，以A 为直角，则点A 为ABC ∆的垂心，cot 0A =，cot cot O A A Z Z B C Z ==⋅⋅ 满足（式3）；同理以B 为直角和以C 为直角也满足（式3）。
三角形各心的向量表示及证明
【一些结论】：以下皆是向量1 若P是△ABC的重心PA+PB+PC=02 若P是△ABC的垂心PA•PB=PB•PC=PA•PC(内积）3 若P是△ABC的内心aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）4 若P是△ABC的外心|PA|²=|PB|²=|PC|²（AP就表示AP向量|AP|就是它的模）5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）或AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞) 经过重心8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点【以下是一些结论的有关证明】1.O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量充分性：已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量，延长CO交AB于D，根据向量加法得：OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0,因为OD与OC共线，所以可设OD=kOC,上式可化为(ka+kb+c) OC+( aDA+bDB)=0向量,向量DA与DB共线，向量OC与向量DA、DB不共线，所以只能有：ka+kb+c=0，aDA+bDB=0向量,由aDA+bDB=0向量可知：DA与DB的长度之比为b/a,所以CD为∠ACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线。
必要性：已知O是三角形内心,设BO与AC相交于E，CO与AB相交于F，∵O是内心∴b/a=AF/BF，c/a=AE/CE过A作CO的平行线，与BO的延长线相交于N，过A作BO的平行线，与CO的延长线相交于M，所以四边形OMAN是平行四边形根据平行四边形法则，得向量OA=向量OM+向量ON=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量02.已知△ABC 为斜三角形,且O是△ABC所在平面上的一个定点,动点P满足向量OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},求P点轨迹过三角形的垂心OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},OP-OA=入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},AP=入{(AB /|AB|＾2*sin2B)+AC /(|AC|＾2*sin2C)},AP•BC=入{(AB•BC /|AB|＾2*sin2B)+AC•BC /(|AC|＾2*sin2C)}, AP•BC=入{|AB|•|BC|cos(180°-B) / (|AB|＾2*sin2B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*sin2C)},AP•BC=入{-|AB|•|BC| cos B/ (|AB|＾2*2sinB cos B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*2sinC cosC)},AP•BC=入{-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )},根据正弦定理得：|AB|/sinC=|AC|/ sinB,所以|AB|*sinB=|AC|*sinC∴-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )=0，即AP•BC=0，P点轨迹过三角形的垂心3.OP=OA+λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))OP-OA=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))AP=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))AP与AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共线根据正弦定理：|AB|/sinC=|AC|/sinB,所以|AB|sinB=|AC|sinC,所以AP与AB+AC共线AB+AC过BC中点D，所以P点的轨迹也过中点D，∴点P过三角形重心。
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三角形的五心向量结论证明1. O 是123PP P ∆的重心⇔1230OP OP OP ++=(其中,,a b c 是123PP P ∆三边)证明：充分性: 1230OP OP OP ++=⇒O 是123PP P ∆的重心若1230OP OP OP ++=，则123OP OP OP +=-，以1OP，2OP 为邻边作平行四边形132'OPP P ，设3OP 与12PP 交于点3P '，则3P '为12PP 的中点，有'123OPOP OP +=，得'33OP OP =-，即'33,,,O P P P 四点共线，故3P P 为123PP P ∆的中线，同理，12,PO P O 亦为123PP P ∆的中线，所以，O 为的重心。
* △ABC 中AC AB +一定过BC 的中点，通过△ABC 的重心1(),31()3AP AB AC P ABC BP BA BC ⎧=+⎪⎪⇒⎨⎪=+⎪⎩为的重心， *1()3PG PA PB PC =++⇔G 为△ABC 的重心(P 是平面上任意点).证明 PG PA AG PB BG PC CG =+=+=+⇒3()()PG AG BG CG PA PB PC =+++++∵G 是△ABC 的重心∴GA GB GC ++=0⇒AG BG CG ++=0，即3PG PA PB PC =++P 1 2PP 3OPABC∆()1,2AD AB AC =+ABC ∆2.在 中，给等于已知AD 是中BC 边的中线;由此可得1()3PG PA PB PC =++.(反之亦然(证略))*若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===2. 0AP BC P ABC BP AC ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩为的垂心 * 点O 是123PP P ∆的垂心⇔122331OPOP OP OP OP OP ⋅=⋅=⋅ 证明：O 是123PP P ∆的垂心⇔312OPPP ⊥, 31232132310()0OP PP OP OP OP OP OP OP OP ⋅=⇔⋅-=⇔⋅=⋅同理123OP P P ⊥⇔3112OP OP OP OP ⋅=⋅ 故当且仅当122331OP OP OP OP OP OP ⋅=⋅=⋅.* O 是△ABC 所在平面内一点222222→→→→→→+=+=+ACOB BA OC BC OA则O 是△ABC 的垂心 证明：由，得，所以。
同理可证。
容易得到由以上结论知O 为△ABC 的垂心。
* 设()+∞∈,0λ，则向量cos cos (CAC BAB +λ必垂直于边BC ，该向量必通过△ABC 的垂心[)+∞∈⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→→→→→,0,cos cos λλC AC AC B AB AB AP()||cos ||cos ||cos ||cos AB AC BC AB BC ACBC AB B AC C AB B AC C⋅⋅⋅+=+||||cos()||||cos ||||0||cos ||cos BC AB B BC AC CBC BC AB BAC Cπ⋅-⋅=+=-+=* 若H 是△ABC(非直角三角形)的垂心， 则S △BHC ：S △AHC ：S △AHB =tanA ：tanB ：tanC故tanA ·HA +tanB ·HB +tanC ·HC =03.点O 是123PP P ∆的外心⇔23OP OP OP ==． 证明：O 是△ABC 的外心⇔|OA |=|OB |=|OC |(或OA 2=OB 2=OC 2)(点O 到三边距离相等)⇔(OA +OB )·AB =(OB +OC )·BC =(OC +OA )·CA =0(O 为三边垂直平分线的交点)*若点O 为△ABC 所在的平面内一点，满足，则点O 为△ABC 的外心。
证明：因为，所以同理得由题意得，所以，得。
故点O 为△ABC 的外心。
*D E 、两点分别是ABC 的边BC CA 、上的中点,且()||cos ||cos AB AC BC AB B AC C ⊥+ABCDODP PB DP PCP ABC EP PC EP PA⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩为的外心 若O 是△ABC 的外心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =sin ∠BOC ：sin ∠AOC ：sin ∠AOB=sin ∠2A ：sin ∠2B ：sin ∠2C 故sin ∠2A ·OA +sin ∠2B ·OB +sin ∠2C ·OC =● 证明：设O 点在ABC ∆内部，由向量基本定理，有()+∈=++R r n m OCr OB n OA m ,,0，则r n m S S S AOB COA BOC ::::=∆∆设：OF OC r OE OB n OD OA m ===,,，则点O 为△DEF 的重心， 又EOF BOC S nr S ∆∆=1，DOF AOC S mr S ∆∆=1，DOE AOB S mnS ∆∆=1，∴r n m S S S AOB COA BOC ::::=∆∆● 若O 是△ABC 的外心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =sin ∠BOC ：sin ∠AOC ：sin∠AOB =sin ∠2A ：sin ∠2B ：sin ∠2C故sin ∠2A ·OA +sin ∠2B ·OB +sin ∠2C ·OC =04.O 是123PP P ∆的内心⇔1230a OP b OP c OP ⋅+⋅+⋅=。
(其中,,a b c 是123PP P ∆三边)证明：充分性： 1230⋅+⋅+⋅=a OP b OP c OP ⇒O 是123PP P ∆的内心1231112113()()a OP b OP c OP a OP b OP PP c OP PP ⋅+⋅+⋅=⋅+⋅++⋅+=11213()0++⋅+⋅+⋅=a b c OP b PP c PP所以13121()PP PP bc PO a b c c b =+++，而12P Pc ，13P P b分别是12PP ，13PP 方向上的单位向量，所以向量1312PP PP c b+平分213P P P ∠，即1PO 平分213P P P ∠，同理2P O 平分123PP P ∠，得到点O 是123PP P ∆的内心。
*O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=. 内心（角平分线交点）证明：b c 、分别为方向上的单位向量，∴b c +平分BAC ∠, (λ=∴b ACc AB +)， 同理：()BC BABO u a c=+ 11(()[()]())BC BA u AB AO OB u AB AC a c c a c AB AC u bc a b λλλ=+=+++--++=11()10u c a cu a bλλ⎧++=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得a u b λ=代入11()1u c a c λ++=解得c b a bc ++=λ， ∴c b a bc ++=（bc +) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c ba ，∴0=++OC c OB b OA a* 设()+∞∈,0λ，则向量+λ必平分∠BAC ，该向量必通过△ABC 的内心;* 设()+∞∈,0λ，则向量-λ必平分∠BAC 的邻补角*(),0()0AB ACAP AB AC P ABC BA BC BP t t BA BC λλ⎧=+>⎪⎪⎪⇒⎨⎪=+>⎪⎪⎩为的内心，*O 是△ABC 的内心充要条件是()()()0||||||||||||AB ACBA BCCA CBOA OB OC AB AC BA BC CA CB •-=•-=•-=*若O 是△ABC 的内心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =a ：b ：c故a ·OA +b ·OB +c ·OC =0或sinA ·OA +sinB ·OB +sinC ·OC =0;*设O 为△ABC 所在平面内任意一点，I 为△ABC 的内心，* cb a OCc OB b OA a ++++=内心I （aX A + bX B + cX C a+b+c ，ay A + by B + cy Ca+b+c）证明：由I 是ABC ∆的内心⇔0a IA b IB c IC ⋅+⋅+⋅=。
(其中,,a b c 是ABC ∆三边)（见内心的充要条件的证明）OI OA AI OB BI OC CI =+=+=+()()()()a b c OI a OA AI b OB BI c OC CI ++=+++++=()aOA bOB cOC aAI bBI cCI aOA bOB cOC +++++=++cb ac b a OI ++++=, ∴I （aX A + bX B + cX C a+b+c ，ay A + by B + cy C a+b+c ）.O 是123PP P ∆的内心⇔1230a OP b OP c OP ⋅+⋅+⋅=。
(其中,,a b c 是123PP P ∆三边)5.若o 为三角形的旁心，则a →OA =b →OB +c →OC (abc 是三边)*已知O 为△ABC 的外心，求证：sin sin sin 0OA BOC OB AOC OC AOB ++=．分析 构造坐标系证明．如图３，以A 为坐标原点，B 在x 轴的正半轴，C 在x 轴的上方．2012AOB S x y =△，直线BC 的方程是32323()0y x x x y x y +--=，由于点A 与点O 必在直线BC 的同侧，且230x y -<，因此有033020230x y x y x y x y -+-<，得302303201()2BOC S x y x y x y x y =+--△．直线AC 的方程是330y x x y -=，由于点(1,0)与点O 必在直线AC 的同侧，且33100y x ⨯-⨯>，因此有03300x y x y ->，得03301()2AOC S x y x y =-△． 于是，容易验证，0BOC AOC AOB OA S OB S OC S ⨯+⨯+⨯=△△△， 又1||||sin 2BOC S OB OC BOC =△，1||||sin 2BOA S OB OA AOB =△，yA00(,)O x yx 22(,)B x y图３33(,)C x y1||||sin 2AOC S OA OC AOC =△， 又||||||OA OB OC ==， 则所证成立． 与三角形“四心”相关的向量结论随着新课程对平面几何推理与证明的引入，三角形的相关问题在高考中的比重有所增加。