三角形的五心向量结论证明

三角形的五心向量结论证明

1. O 是123PP P ∆的重心⇔1230OP OP OP ++=(其中,,a b c 是123PP P ∆三边)

证明：充分性: 1230OP OP OP ++=⇒O 是123PP P ∆的重心

若1230OP OP OP ++=，则123OP OP OP +=-，以1OP

，2OP 为邻边作平行四边形132'OPP P ，设3OP 与12PP 交于点3P '，则3P '为12PP 的中点，有'123OP

OP OP +=，得'33OP OP =-，即'

33,,,O P P P 四点共线，故3P P 为123PP P ∆的中线，同理，1

2,PO P O 亦为123PP P ∆的中线，所以，O 为的重心。

* △ABC 中AC AB +一定过BC 的中点，通过△ABC 的重心

1(),3

1()3AP AB AC P ABC BP BA BC ⎧=+⎪⎪⇒⎨

⎪=+⎪⎩

为的重心， *1()3

PG PA PB PC =++⇔G 为△ABC 的重心(P 是平面上任意点).

证明 PG PA AG PB BG PC CG =+=+=+⇒3()()PG AG BG CG PA PB PC =+++++

∵G 是△ABC 的重心

∴GA GB GC ++=0⇒AG BG CG ++=0，即3PG PA PB PC =++

P 1 2

P

P 3

O

P

ABC

∆()

1

,

2

AD AB AC =+ABC ∆2.在 中，给等于已知AD 是

中

BC 边的中线;

由此可得1

()3

PG PA PB PC =++.(反之亦然(证略))

*若O 是ABC ∆的重心，则

ABC AOB AOC BOC S 31

S S S ∆∆∆∆=

==

2. 0

AP BC P ABC BP AC ⎧=⎪⇒⎨

=⎪⎩为的垂心 * 点O 是123PP P ∆的垂心⇔122331OP

OP OP OP OP OP ⋅=⋅=⋅ 证明：O 是123PP P ∆的垂心⇔312OP

PP ⊥, 31232132310()0OP PP OP OP OP OP OP OP OP ⋅=⇔⋅-=⇔⋅=⋅

同理123OP P P ⊥⇔3112OP OP OP OP ⋅=⋅ 故当且仅当122331OP OP OP OP OP OP ⋅=⋅=⋅.

* O 是△ABC 所在平面内一点2

2

22

2

2

→

→→→

→

→+=+=+AC

OB BA OC BC OA

则O 是△ABC 的垂心 证明：由

，得

，所以

。同理可证

。容易得到

由以上结论知O 为△ABC 的垂心。

* 设()+∞∈,0λ，则向量cos cos (

C

AC B

AB +

λ必垂直于边BC ，

该向量必通过△ABC 的垂心

[)+∞∈⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=→

→→→→,0,cos cos λλC AC AC B AB AB AP

()||cos ||cos ||cos ||cos AB AC BC AB BC AC

BC AB B AC C AB B AC C

⋅⋅⋅+=+

||||cos()

||||cos ||||0

||cos ||cos BC AB B BC AC C

BC BC AB B

AC C

π⋅-⋅=

+

=-+=

* 若H 是△ABC(非直角三角形)的垂心， 则

S △BHC ：S △AHC ：S △AHB =tanA ：tanB ：tanC

故tanA ·HA +tanB ·HB +tanC ·HC =0

3.点O 是123PP P ∆的外心⇔

23OP OP OP ==． 证明：O 是△ABC 的外心⇔|OA |=|OB |=|OC |(或OA 2=OB 2=OC 2)(点O 到三边距离相等)

⇔(OA +OB )·AB =(OB +OC )·BC =(OC +OA )·CA =0(O 为三边垂直平分线的交

点)

*若点O 为△ABC 所在的平面内一点，满足

，则点O 为△ABC 的外心。

证明：因为，所以

同理得

由题意得

，所以

，得

。故点O 为△ABC 的外心。

*D E 、两点分别是ABC 的边BC CA 、上的中点,且

()||cos ||cos AB AC BC AB B AC C ⊥+A

B

C

D

O

DP PB DP PC

P ABC EP PC EP PA

⎧=⎪⇒⎨

=⎪⎩为的外心 若O 是△ABC 的外心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =sin ∠BOC ：sin ∠AOC ：sin ∠AOB=sin ∠2A ：sin ∠2B ：sin ∠2C 故sin ∠2A ·OA +sin ∠2B ·OB +sin ∠2C ·OC =

● 证明：设O 点在ABC ∆内部，由向量基本定理，有

()

+∈=++R r n m OC

r OB n OA m ,,0，则r n m S S S AOB COA BOC ::::=∆∆设：OF OC r OE OB n OD OA m ===,,，则点O 为△DEF 的重心， 又

EOF BOC S nr S ∆∆=

1，DOF AOC S mr S ∆∆=1，DOE AOB S mn

S ∆∆=1

，∴r n m S S S AOB COA BOC ::::=∆∆

● 若O 是△ABC 的外心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =sin ∠BOC ：sin ∠AOC ：sin

∠AOB =sin ∠2A ：sin ∠2B ：sin ∠2C

故sin ∠2A ·OA +sin ∠2B ·OB +sin ∠2C ·OC =0

4.O 是123PP P ∆的内心⇔1230a OP b OP c OP ⋅+⋅+⋅=。(其中,,a b c 是123PP P ∆三边)