必修5教案2.2等差数列的概念(一)

§2.2第1 课时 等差数列的概念

教学目标

（1）能准确叙述等差数列的定义；

（2）能用定义判断数列是否为等差数列；

（3）会求等差数列的公差及通项公式。

教学重点，难点

等差数列的定义及等差数列的通项公式。

教学过程

一．问题情境

1．情境：观察下列数列：：

4，5，6，7，8，9，10，……； ①

3，0，3-，6-，……， ②

第23届到第28届奥运会举行的年份为：1984，1988，1992，1996，2000，2004 ③

某电信公司的一种计费标准是：通话时间不超过3分钟，收话费0.2元，以后每分钟收话费0.1元，那么通话费按从小到大的次序依次为：

0.2,0.20.1,0.20.12,0.20.13,++⨯+⨯ ④

如果1年期储蓄的月利率为1.65%，那么将10000元分别存1个月， 2个月 ， 3个月 ， …… 12个月，所得的本利和依次为

100001000016.5,1000016.52,1000016.512++⨯+⨯ ， ⑤

2．问题：上面这些数列有何共同特征？

二．学生活动

对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于1；

对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于3-；

对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于4；

对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于0.1；

对于数列⑤，从第2项起，每一项与前一项的差都等于16.5；

规律：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。

三．建构数学

1．等差数列定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么

这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥．

思考：

（1）你能再举出一些等差数列的例子吗？

（2）判断下列数列是否为等差数列：

①1，1，1，1，1； ②4，7，10，13，16； ③3,2,1---，1，2，3。

①②是等差数列，③不是等差数列。

（3）求出下列等差数列中的未知项：

①3，a ，5； ② 3，,b c ，9-

（4）已知等差数列{}n a ：4，7，10，13，16 ，如何写出它的第100项100a ？

2．等差数列的通项公式：已知等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，求n a ．

由等差数列的定义：21a a d -=，32a a d -=，43a a d -=，……

∴21a a d =+，3212a a d a d =+=+，413a a d =+，……

所以，该等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-．

另解：∵{}n a 是等差数列，∴当2n ≥时，有21a a d -=，32a a d -=，43a a d -=…… 1n n a a d --=，将上面1n -个等式的两边分别相加，得：1(1)n a a n d -=-

∴1(1)n a a n d =+-，当1n =时，上面的等式也成立。

说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，

0d < 为递减数列。

四．数学运用

1．例题：

例1．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次。奥运会如因故不能进行，届数照算。

（1）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；

（2）2008年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？

解：（1）由题意：举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项，4为公差的等差数列，∴*

18964(1)18924()n a n n n N =+-=+∈

（2）假设2008,n a =则200818924n =+，得29n =

假设2050n a =，205018924n =+无正整数解。

答：所求的通项公式是*18924()n a n n N =+∈，2008年北京奥运会是第29届奥运会，2050年不举行奥运会。

说明：由此例说明等差数列项的判断方法。

例2．在等差数列{}n a 中，已知310a =，928a =，求12a ．

解：由题意可知：11

210828a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得14a =，3d =， ∴124(121)337a =+-⨯=

例3．某滑轮组由直径成等差数列的6个滑轮组成。已知最小和最大的滑轮的直径分别为15cm 和25cm ，求。

解：用{}n a 表示滑轮的直径所构成的等差数列，则由已知得1615,25a a ==，6n =

由通项公式得：61(61)a a d =+-， 即25155d =+，∴2d =，

所以，217a =，319a =，421a =，523a =，．

答：中间四个滑轮的直径为17cm ，19 cm ，21 cm ，23 cm 。

例4．已知数列的通项公式为n a pn q =+，其中p ，q 是常数，且0p ≠，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，求它的首项与公差。

解：取数列{}n a 中的任意相邻两项1n a -与n a （2n ≥），

1()[(1)]n n a a pn q p n q --=+--+p =，

∵p 是一个与n 无关的常数，故{}n a 是等差数列，且公差是p ，

所以，这个等差数列的首项是1a p q =+，公差是p ．

例5．在1-与7中间插入三个数a ，b ，c ，使得这5个数成等差数列，求a ，b ，c ．

解：用{}n a 表示这5个数所成的等差数列，

由已知得：57a =，11a =- ，

∴71(51)d =-+-，2d =，

所以，1a =，3b =，5c =．

2．练习：课本36P 1，2，3，4，5，39P 1

五．回顾小结：

1．等差数列的定义：1(2)n n a a d n --=≥；

2．等差数列的通项公式及其推导方法；

3．等差数列中项的判断方法。