将军饮马系列---最值问题

实用标准

“将军饮马”系列最值问题

1. 两点之间，线段最短.

2. 点到直线的距离，垂线段最短.

3. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小鱼第三边.

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知识讲解

古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦.

有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题: 饮马，然后再到B 地军营视察，显然有许多走法.问怎样走路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索, 作了完善的回答.这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题.

F 面我们来看看数学家是怎样解决的.海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题. 根据公理：连接两点的所有线中，线段最短.

若A 、B 在河流的异侧，直接连接 AB , AB 与I 的交点即为所求.

若A 、B 在河流的同侧，根据两点间线段最短，那么显然要把折线变成直线再解.

4. A B 分别为同一圆心0半径不等的两个圆上的一点，

如图，将军从A 出发到河边

海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线

现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理，即轴对称思想

轴对称及其性质:

把一个图形沿某一条直线折叠， 如果直线两旁的部分能够互相重合，

那么这个图形就叫做轴对称图

形.这条直线就是它的对称轴. 这时我们就说这个图形关于这条直线 （或轴）对称.如等腰 ABC 是轴对

称图形.

把一个图形沿着某一条直线折叠， 如果它能够与另一个图形重合， 那么就是说这两个图形关于这条 直线对称，这

条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.

如下图，

ABC 与 A'B'C'关于直线I 对称，I 叫做对称轴.A 和A , B 和B' , C 和C'是对称点.

轴对称的两个图形有如下性质:

① 关于某条直线对称的两个图形是全等形; ② 对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线;

③

两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.

线段垂直平分线:

垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等;

到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.

AP-aP^A B

实用标准

当已知条件出现了等腰三角形、角平分线、高，或者求几条折线段的最小值等情况, 对称变换，以“补齐”图形，集中条件。

所有的轴对称图形（角、线、等腰三角形、等边三角形、

标轴），都可以考察“将军饮马”问题。

题考查。

常见模型:

(1)PA PB最小

同侧异侧

A

B

图1

A

通常考虑作轴菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆、坐

考察知识点: “两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

解题总思路: 找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问构建“对称模型”实现转化

A M /

A A B

I

【变形】异侧时，也可以问：在直线 I 上是否存在一点

周长最短

类型二

实用标准 ）①PA PB 最小

同侧 异侧

异侧

②PA 同侧

I

PB 最大

B /

异侧

A

I

类型一 类型二 (4) A

B

“过河”最短距离 A'

类型三

B'

P 使的直线I 为APB 的角平分线

类型一

线段和最小

I

E

1

2

\1

I

F

(6 )在直角坐标系里的运用

E

1

2

A I

A I

E

i'

I F

B'

EF=1 APE= BPE 【例11尺规作图，作线段AB的垂直平分线，作COD的角平分线.

实用标准

所在的直线的距离相等.

【例2】已知点A 在直线I 外，点P 为直线I 上的一个动点，探究是否存在一个定点

B ，当点 上运动时，点P 与A 、B 两点的距离总相等，如果存在，请作出定点 B ;若不存在,

由.

【例3】如图，在公路a 的同旁有两个仓库 A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到 A 、B 两仓库的距

离和最短，这个中转站 M 应建在公路旁的哪个位置比较合理?

A.

【变式练习】如图， M 、N 为 ABC 的边AC 、BC 上的两个定点，在 AB 上求一点P ，使 PMN 的周

长最短.

实用标准 【变式练习】已知：如图, ABC 及两点 M 、N .求作：点P ，使得PM PN ，且P 点到

ABC 两边

P 在直线I 请说明理

如图， AOB 45，角内有点P ，在角的两边有两点 Q 、R （均不同于0点），求作Q 、

使得PQR 的周长的最小.

使从A 点到M 点及N 点的距离和为最小；在直线 0Q 上也取B 点，使从B 点到M 点和

OA 的边的距离和最小.

【例4】 【例5】

如图，在 POQ 内部有M 点和N 点，同时能使 MOP NOQ ，这时在直线 0P 上再取

A 点,

【例6】 的距离和也最小.证明:

AM AN

BM BN

.

已知如图，点M 在锐角

AOB 的内部, 在OB 边上求作一点P ，使点 P 到点M 的距离与点P 到

【例7】 已知：A 、B 两点在直线

l 的同侧，在I 上求作一点M ，使得|AM

BM |最小值和最大值.

B

A