将军饮马系列---最值问题
最值问题----将军饮马(一)
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【问题解析】 △PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处 M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P'、P''， 化PM+PN+MN为P'N+MN+P''M．当P'、N、M、P''共线时， 得△PMN周长的最小值，即线段P'P''长，连接OP'、OP''， 可得△OP'P''为等边三角形，所以P'P''=OP'=OP=8．
【问题解析】：此处点P为折点，可以作点D关于折点P 所在直线OA的对称： 也可以作点C的对称：
05 正方形中的将军饮马。
【问题描述】：如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，
DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【问题解析】：作点C关于P点 所在直线AB的对称点C'，当C'、 P、D共线时，PC+PD最小， 最小值为5，故选B．
05 正方形中的将军饮马。
【问题描述】：如图，正方形ABCD的边长是4，M在DC上，且DM=1， N是AC边上 的一动点，则△DMN周长的最小值是________。
【问题解析】：考虑DM为定值， 故求△DMN周长最小值即求 DN+MN最小值．点N为折点， 作点D关于AC的对称点，即点B， 连接BN交AC于点N，此时 △DMN周长最小．
04 将军饮马模型系列“一定两动”之点到线。
【问题描述】：在OA、OB上分别取点M、N，使得PM+MN最小。
2020中考数学复习 最值问题-将军饮马问题 (51张PPT)
02、将军饮马模型系列 ————“一定两动”之点到点
当P'、N、M、P''共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P'P''长，连接OP'、 OP''，可得△OP'P''为等边三角形，所以P'P''=OP'=OP=8．
02、将军饮马模型系列 ————“两定两动”之点到点
在OA、OB上分别取点M、N使得四边 形PMNQ的周长最小。
05、将军过桥
【分析】 考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可。问题 在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与 NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A 点落在A'位置。
问题化为求A'N+NB最小值，显 然，当共线时，值最小，并得出 桥应建的位置．
05、将军过桥
通过几何变换将若干段原本彼此分离线段组合到一起，是解决问题的关键~
此处M点为折点，作点P关于OA对称 的点P'，将折线段PM+MN转化为 P'M+MN，即过点P'作OB垂线分别 交OA、OB于点M、N，得PM+MN 最小值（点到直线的连线中，垂线段 最短）
03、几何图形中的将军饮马
寻找几何图形中 端点关于折点所在直线的对称点位置
03、几何图形中的将军饮马 ----正方形中的“将军饮马”
则PC+PD的最小值为（ ）
A．4
B．5 C．6
D．7
03、几何图形中的将军饮马 ----正方形中的“将军饮马”
【分析】作点C关于P点所在直线AB的对称点C'，当C'、P、D共线时， PC+PD最小，最小值为5，故选B．
“将军饮马”解决线段最值问题
微专题 利用“将军饮马”解决线段最值问题
针对训练 8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2，点G，H分别是边BC、 CD上的动点，则四边形EFGH周长的最小值为_2__5___1_0_．
第8题图
微专题 利用“将军饮马”解决线段最值问题
针对训练 5. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是AC的中点，M是AD上一 点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM－PO的最大值为( A ) A. 13 B. 13 C. 7 D.3
2
第4题图
类微型专4 题异侧利差用最“大将值军问饮题 马”解决线段最值问题
利用“将军饮马”解决线段最值问题
微专题 利用“将军饮马”解决线段最值问题 模型一 “一线两点”型(一动点＋两定点)
类型1 异侧线段和最小值问题 【问题】两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小．
【解决思路】根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB长．连接AB交 直线l 于点P，点P即为所求．
且AC＝12.点P在正菱方形形的边上，则满足PE＋PF＝9的点P的个数是( D )
A. 0
B. 4
C. 6
D. 8
类型微3 专同题侧差利最用大“值将问军题饮马”解决线段最值问题
【问题】两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大． 【解决思路】根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，当A，B，P三点 共线时，等号成立，即|PA－PB|的最大值为线段AB的长．连接AB并延长，与直线l的 交点即为点P.
微专题 利用“将军饮马”解决线段最值问题
针对训练
7. 如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，
将军饮马等8类常见最值问题(原卷版)
将军饮马等8类常见最值问题题型一 两定一动型（线段和差最值问题） 题型二 双动点最值问题（两次对称）题型三 动线段问题：造桥选址（构造平行四边形） 题型四 垂线段最短题型五 相对运动平移型将军饮马 题型六 通过瓜豆得出轨迹后将军饮马 题型七 化斜为直，斜大于直 题型八 构造二次函数模型求最值一、单动点问题【问题1】在直线l 上求一点P ，使PA ＋PB 最小问题解决：连接AB ，与l 交点即为P ，两点之间线段最短PA ＋PB 最小值为AB【问题2】在直线l 上求一点P ，使PA ＋PB 最小lA l问题解决：作B 关于l 的对称点B '⇒PB ＝PB '，则PA ＋PB ＝PA ＋PB '，当A ，P ，B '共线时取最小，原理：两点之间线段最短，即PA ＋PB 最小值为AB '【问题3】在直线l 上求一点P ，使|PA －PB |最大 问题解决：连接AB ，当A ，B ，P 共线时取最大原理：三角形两边之和大于第三边，在△AB 'P 中，|PA －PB '|≤AB '【问题4】在直线l 上求一点P ，使|PA －PB |最大问题解决：作B 关于直线l 的对称点B '⇒PB ＝PB '，|PA －PB |＝|PA －PB '| 原理：三角形两边之和大于第三边，连接AB '，在△AB 'P 中|PA －PB '|≤AB 'llllll二、双动点问题（作两次对称）【问题5】在直线1l ，2l 上分别求点M ，N ，使△PMN 周长最小问题解决：分别作点P 关于两直线的对称点P ’和P ''，PM ＝P 'M ，PN ＝P ''N ，原理：两点之间线段最短，P '，P ''，与两直线交点即为M ，N ，则AM ＋MN ＋PN 的最小值为线段P 'P ''的长【问题6】P ，Q 为定点，在直线1l ，2l 上分别求点M ，N ，使四边形PQMN 周长最小 问题解决：分别作点P ，Q 关于直线1l ，2l 的对称点P ’和Q '，PM ＝P 'M ，QN ＝Q 'N原理：两点之间线段最短，连接P 'Q '，与两直线交点即为M ，N ，则PM ＋MN ＋QN 的最小值为线段P 'Q '的长，周长最小值为P 'Q '＋PQl 1l 1l 1l 1【问题7】A ，B 分别为1l ，2l 上的定点，M ，N 分别为1l ，2l 上的动点，求AN MN BM ＋＋最小值 问题解决：分别作A ，B 关于1l ，2l 的对称点'A ，'B ，则'AN A N ＝，'BM B M ＝，''A B 即所求 原理：两点之间距离最短，A '，N ，M ，B '共线时取最小，则AN ＋MN ＋BM ＝A 'N ＋MN ＋B 'M ≤A 'B '三、动线段问题（造桥选址）【问题8】直线m ∥n ，在m ，n 上分别求点M ，N ，使MN ⊥m ，且AM ＋MN ＋BN 的最小值 问题解决：将点B 向上平移MN 的长度单位得B '，连接B 'M ，当AB 'M 共线时有最小值 原理：通过构造平行四边形转换成普通将军饮马，AM ＋MN ＋BN ＝AM ＋MN ＋B 'M ≤AB '＋MNl 2l 2n mn m【问题9】在直线l 上求两点M ，N (M 在左）且MN ＝a ，求AM MN BN ＋＋的最小值问题解决：将B 点向左移动a 个单位长度，再作B '关于直线l 的对称点B ''，当''AB M 共线有最小值原理：通过平移构造平行四边''''BB MN BN B M B M ⇒＝＝，''''AM MN BN AM MN B M AB ≤＋＋＝＋＋四、垂线段最短【问题10】在直线1l ，2l 上分别求点A ，B ，使PB ＋AB 最小问题解决：作P 关于2l 的对称点'P ，作1'P A l ⊥于A ，交2l 于B ，'P A 即所求 原理：点到直线，垂线段最短，''PB AB P B AB P A ≤＋＝＋lll1l 1五、相对运动，平移型将军饮马【问题11】在直线l 上求两点M ，N (M 在左）且MN ＝a ，求AM ＋AN 的最小值问题解决：相对运动或构造平行四边形 策略一：相对运动思想过点A 作MN 的平行线，相对MN ，点A 在该平行线上运动，则可转化为普通饮马问题策略二：构造平行四边形等量代换，同问题9.六、瓜豆轨迹，手拉手藏轨【问题12】如图，点P 在直线BC 上运动，将点P 绕定点A 逆时针旋转90°，得到点Q ，求Q 点轨迹？问题解决：当AP 与AQ 夹角固定且AP :AQ 为定值的话，P 、Q 轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q 点的位置，连线即可，比如Q 点的起始位置和终点位置，连接即得Q 点轨迹线段．llA''Q 2Q 1ABC原理：由手拉手可知12ABC AQ Q △≌△，故21CB AQ Q A =∠∠,故Q 点轨迹为直线七、化斜为直，斜大于直【问题13】已知：AD 是Rt ABC △斜边上的高 （1）求ADBC的最大值；（2）若2AD =，求BC 的最大值问题解决：取BC 中点M ，（1）则12AD AM BC BC ≤=；（2）224BC AM AD =≤= 八、构造二次函数求最值这类问题一般无法通过纯几何方法来解决或几何方法比较复杂，需要通过面积法或者构造全等、相似建立等量关系，将待求的线段或图形的面积用含有自变量的式子来表示，一般是一个二次函数或者换元后是一个二次函数，然后通过配方得到最值．当然，配方的目的是为了避开基本不等式这个超纲的知识点，如果是选择题或填空题，你可以直接用基本不等式来秒杀，不需要配方．【问题14】正方形ABCD 的边长为6，点Q 在边CD 上，且3CD CQ =，P 是边BC 上一动点，连接PQ ，过点P 作EP PQ ⊥交AB 边于点E ，设BP 的长为x ，则线段BE 长度的最大值为 .问题解决：根据题意，作出图形，根据两个三角形相似的判定得到∽△△PCQ EBP ，进而根据相似比得到()219322BE x =−−+，利用二次函数求最值方法求解即可得到答案 【详解】易知∽△△PCQ EBP ∴，QC PCBP BE ∴=， 3CD CQ =，6CD =，∴2QC =，26x x BE−∴=， ∴()()()()221119663062222BE x x x x x x =−=−−=−−+≤≤，BB102−< ，∴()219322BE x =−−+在3x =时有最大值，最大值为92题型一 两定一动型（线段和差最值问题）2．透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm ，底面周长为10cm ，在容器内壁离底部3cm的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm 的点A 处．求蚂蚁吃到饭点C 的坐标为（1，0），且∠AOB =30°点P 为斜边OB 上的一个动点，则P A +PC 的最小值为（ ）4．如图，点A ，B 在直线MN 的同侧，A 到MN 的距离8AC =，B 到MN 的距离5BD =，已知4CD =，5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5．动点P 满足S △PBC ＝S 矩形ABCD ．则点P 到B ，C 两点距离之和PB+PC 的最小值为 。
专题64 将军饮马模型与最值问题(解析版)
专题64 将军饮马模型与最值问题【模型引入】 什么是将军饮马？“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。
而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【模型描述】如图，将军在图中点A 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？【模型抽象】如图，在直线上找一点P 使得P A +PB 最小？这个问题的难点在于P A +PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段． 【模型解析】作点A 关于直线的对称点A ’，连接P A ’，则P A ’=P A ，所以P A +PB =P A ’+PB当A ’、P 、B 三点共线的时候，P A ’+PB =A ’B ，此时为最小值（两点之间线段最短）AB 将军军营河【模型展示】【模型】一、两定一动之点点在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小．此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OA （折点M 所在直线）、OB （折点N 所在直线）的对称点，化折线段PM +MN +NP 为P ’M +MN +NP ’’，当P ’、M 、N 、P ’’共线时，△PMN 周长最小．【精典例题】如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．【分析】△PMN 周长即PM +PN +MN 的最小值，此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OB 、OA 对称点P ’、P ’’，化PM +PN +MN 为P ’N +MN +P ’’M ．当P ’、N 、M 、P ’’共线时，得△PMN 周长的最小值，即线段P ’P ’’长，连接OP ’、OP ’’，可得△OP ’P ’’为等边三角形，所以P ’P ’’=OP ’=OP =8．BBP OBAMNP''A【模型】二、两定两动之点点在OA 、OB 上分别取点M 、N 使得四边形PMNQ 的周长最小。
初中数学最值系列之将军饮马
最值系列之——将军饮马一、什么是将军饮马？【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。
而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【问题描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？A B将军军营河【问题简化】如图，在直线上找一点P使得P A+PB最小？【问题分析】这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【问题解决】作点A关于直线的对称点A’，连接P A’，则P A’=P A，所以P A+PB=P A’+PB当A’、P、B三点共线的时候，P A’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）【思路概述】作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．二、将军饮马模型系列【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．B B此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．P O B AMN【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．P''A当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．A【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。
初中数学—最全将军饮马问题（最值问题）
初中数学—最全将军饮马问题（最值问题）（word电⼦资料⽂末领取）唐朝诗⼈李颀的诗《古从军⾏》开头两句说:'⽩⽇登⼭望烽⽕，黄昏饮马傍交河。
'诗中隐含着⼀个有趣的数学问题。
传说亚历⼭⼤城有⼀位精通数学和物理的学者，名叫海伦。
⼀天，⼀位罗马将军专程去拜访他，向他请教⼀个百思不得其解的问题。
将军每天从军营A出发，先到河边饮(yìn)马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样⾛才能使路程最短?从此，这个被称为'将军饮马'的问题⼴泛流传。
这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决了它。
抽象为数学模型：直线l同侧有两个定点A、B,请在直线l上找⼀点C,使AC+BC最⼩。
假设点A、B在直线l的⼀侧就好了，这样我们就可以利⽤【点到点最值模型：两点之间线段最短】找到点C的位置了。
即连接AB交直线l于点C。
因此，我们可以找点A关于直线l的对称点，再连接A’B交直线l于点C，点C即为所求！如果将军在河边的另外任⼀点C'饮马，所⾛的路程就是AC'+C'B但是，AC'+C'B=A'C'+C'B>A'B=A'C+CB=AC+CB.故在点C处饮马，路程最短。
掌握了这个“将军饮马模型”的原理和结论后，我们来具体挑战⼀下吧！第⼀关：⾓中应⽤1、如图，已知两点P、Q在锐⾓∠AOB内，分别在OA、OB上求点M、N，使PM＋MN＋NQ最短．解析：如图，分别作点P、点Q关于OA、OB的对称点P’,Q’,分别交OA、OB于点M、点N。
PM＋MN＋NQ=P’M+MN+N’Q,当点Q’,P’,M,N共线时，最⼩为P’Q’。
第⼆关：三⾓形中应⽤2、已知，如图△ABC为等边三⾓形，⾼AH=10cm，P为AH上⼀动点，D为AB的中点，则PD+PB的最⼩值为______cm.解析：连接PC，∵△ABC为等边三⾓形，D为AB的中点，∴PD+PB的最⼩值为：PD+PB=PC+PD=CD=AH=10cm.第三关：四边形中应⽤3、如图,正⽅形ABCD的边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上⼀动点,则DN+MN的最⼩值为解析：如图，连接BM，∵点B和点D关于直线AC对称，∴NB=ND，则BM就是DN+MN的最⼩值，∵正⽅形ABCD的边长是8，DM=2，∴CM=6，∴由勾股定理得BM=10，∴DN+MN的最⼩值是10.第四关：圆中应⽤4、如图,MN是O的直径,MN=2,点A在O上,∠AMN=30∘，B为弧AN的中点，P是直径MN上⼀动点，则PA+PB的最⼩值为___.解析：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点。
专题64 将军饮马模型与最值问题(解析版)
∴ OD AD 3，即 A(3,3)
把点 A(3,3) 代入的 y k 得， k 9 x
∴反比例函数的解析式为： y 9 ． x
答：反比例函数的解析式为： y 9 ． x
（2）过点 B 作 BE AD 垂足为 E ，
∵∠B 90 ， AB BD ， BE AD
∴ AE ED 1 AD 3 ，
【专题说明】
这类问题的解法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两定点中的一个映射到直线的另一侧，转 化为两点之间线段最短问题。
1、如图，在
中，
，
是
的两条中线， 是 上一个动点，则下列线段的
长度等于
最小值的是（ ）
3
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
在
中，
，AD 是
的中线，可得点 B 和点 D 关于直线 AD 对称，连结 CE，交 AD 于
点 P，此时
最小，为 EC 的长，故选 B.
2、如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，BE＝2，AB＝8，P 是 AC 上一动点，则 PB+PE 的最小值_____．
【答案】10 【详解】 解：如图：
连接 DE 交 AC 于点 P，此时 PD＝PB， PB+PE＝PD+PE＝DE 为其最小值， ∵四边形 ABCD 为正方形，且 BE＝2，AB＝8， ∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝8，AE＝AB-BE＝6， 在 Rt△ADE 中，根据勾股定理，得
【分析】△PMN 周长即 PM+PN+MN 的最小值，此处 M、N 均为折点，分别作点 P 关于 OB、OA 对称点 P’、 P’’，化 PM+PN+MN 为 P’N+MN+P’’M．
最值系列之将军饮马
最值系列之——将军饮马一、什么是将军饮马？【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。
而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【问题描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？【问题简化】如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？【问题分析】这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【问题解决】作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）【思路概述】作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．二、将军饮马模型系列【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。
将军饮马等8类常见最值问题(原卷版)
将军饮马等8类常见最值问题题型一 两定一动型（线段和差最值问题） 题型二 双动点最值问题（两次对称）题型三 动线段问题：造桥选址（构造平行四边形） 题型四 垂线段最短题型五 相对运动平移型将军饮马 题型六 通过瓜豆得出轨迹后将军饮马 题型七 化斜为直，斜大于直 题型八 构造二次函数模型求最值一、单动点问题【问题1】在直线l 上求一点P ，使PA ＋PB 最小问题解决：连接AB ，与l 交点即为P ，两点之间线段最短PA ＋PB 最小值为AB【问题2】在直线l 上求一点P ，使PA ＋PB 最小lA l问题解决：作B 关于l 的对称点B '⇒PB ＝PB '，则PA ＋PB ＝PA ＋PB '，当A ，P ，B '共线时取最小，原理：两点之间线段最短，即PA ＋PB 最小值为AB '【问题3】在直线l 上求一点P ，使|PA －PB |最大 问题解决：连接AB ，当A ，B ，P 共线时取最大原理：三角形两边之和大于第三边，在△AB 'P 中，|PA －PB '|≤AB '【问题4】在直线l 上求一点P ，使|PA －PB |最大问题解决：作B 关于直线l 的对称点B '⇒PB ＝PB '，|PA －PB |＝|PA －PB '| 原理：三角形两边之和大于第三边，连接AB '，在△AB 'P 中|PA －PB '|≤AB 'llllll二、双动点问题（作两次对称）【问题5】在直线1l ，2l 上分别求点M ，N ，使△PMN 周长最小问题解决：分别作点P 关于两直线的对称点P ’和P ''，PM ＝P 'M ，PN ＝P ''N ，原理：两点之间线段最短，P '，P ''，与两直线交点即为M ，N ，则AM ＋MN ＋PN 的最小值为线段P 'P ''的长【问题6】P ，Q 为定点，在直线1l ，2l 上分别求点M ，N ，使四边形PQMN 周长最小 问题解决：分别作点P ，Q 关于直线1l ，2l 的对称点P ’和Q '，PM ＝P 'M ，QN ＝Q 'N原理：两点之间线段最短，连接P 'Q '，与两直线交点即为M ，N ，则PM ＋MN ＋QN 的最小值为线段P 'Q '的长，周长最小值为P 'Q '＋PQl 1l 1l 1l 1【问题7】A ，B 分别为1l ，2l 上的定点，M ，N 分别为1l ，2l 上的动点，求AN MN BM ＋＋最小值 问题解决：分别作A ，B 关于1l ，2l 的对称点'A ，'B ，则'AN A N ＝，'BM B M ＝，''A B 即所求 原理：两点之间距离最短，A '，N ，M ，B '共线时取最小，则AN ＋MN ＋BM ＝A 'N ＋MN ＋B 'M ≤A 'B '三、动线段问题（造桥选址）【问题8】直线m ∥n ，在m ，n 上分别求点M ，N ，使MN ⊥m ，且AM ＋MN ＋BN 的最小值 问题解决：将点B 向上平移MN 的长度单位得B '，连接B 'M ，当AB 'M 共线时有最小值 原理：通过构造平行四边形转换成普通将军饮马，AM ＋MN ＋BN ＝AM ＋MN ＋B 'M ≤AB '＋MNl 2l 2n mn m【问题9】在直线l 上求两点M ，N (M 在左）且MN ＝a ，求AM MN BN ＋＋的最小值问题解决：将B 点向左移动a 个单位长度，再作B '关于直线l 的对称点B ''，当''AB M 共线有最小值原理：通过平移构造平行四边''''BB MN BN B M B M ⇒＝＝，''''AM MN BN AM MN B M AB ≤＋＋＝＋＋四、垂线段最短【问题10】在直线1l ，2l 上分别求点A ，B ，使PB ＋AB 最小问题解决：作P 关于2l 的对称点'P ，作1'P A l ⊥于A ，交2l 于B ，'P A 即所求 原理：点到直线，垂线段最短，''PB AB P B AB P A ≤＋＝＋lll1l 1五、相对运动，平移型将军饮马【问题11】在直线l 上求两点M ，N (M 在左）且MN ＝a ，求AM ＋AN 的最小值问题解决：相对运动或构造平行四边形 策略一：相对运动思想过点A 作MN 的平行线，相对MN ，点A 在该平行线上运动，则可转化为普通饮马问题策略二：构造平行四边形等量代换，同问题9.六、瓜豆轨迹，手拉手藏轨【问题12】如图，点P 在直线BC 上运动，将点P 绕定点A 逆时针旋转90°，得到点Q ，求Q 点轨迹？问题解决：当AP 与AQ 夹角固定且AP :AQ 为定值的话，P 、Q 轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q 点的位置，连线即可，比如Q 点的起始位置和终点位置，连接即得Q 点轨迹线段．llA''Q 2Q 1ABC原理：由手拉手可知12ABC AQ Q △≌△，故21CB AQ Q A =∠∠,故Q 点轨迹为直线七、化斜为直，斜大于直【问题13】已知：AD 是Rt ABC △斜边上的高 （1）求ADBC的最大值；（2）若2AD =，求BC 的最大值问题解决：取BC 中点M ，（1）则12AD AM BC BC ≤=；（2）224BC AM AD =≤= 八、构造二次函数求最值这类问题一般无法通过纯几何方法来解决或几何方法比较复杂，需要通过面积法或者构造全等、相似建立等量关系，将待求的线段或图形的面积用含有自变量的式子来表示，一般是一个二次函数或者换元后是一个二次函数，然后通过配方得到最值．当然，配方的目的是为了避开基本不等式这个超纲的知识点，如果是选择题或填空题，你可以直接用基本不等式来秒杀，不需要配方．【问题14】正方形ABCD 的边长为6，点Q 在边CD 上，且3CD CQ =，P 是边BC 上一动点，连接PQ ，过点P 作EP PQ ⊥交AB 边于点E ，设BP 的长为x ，则线段BE 长度的最大值为 .问题解决：根据题意，作出图形，根据两个三角形相似的判定得到∽△△PCQ EBP ，进而根据相似比得到()219322BE x =−−+，利用二次函数求最值方法求解即可得到答案 【详解】易知∽△△PCQ EBP ∴，QC PCBP BE ∴=， 3CD CQ =，6CD =，∴2QC =，26x x BE−∴=， ∴()()()()221119663062222BE x x x x x x =−=−−=−−+≤≤，BB102−< ，∴()219322BE x =−−+在3x =时有最大值，最大值为92题型一 两定一动型（线段和差最值问题）2．透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm ，底面周长为10cm ，在容器内壁离底部3cm的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm 的点A 处．求蚂蚁吃到饭点C 的坐标为（1，0），且∠AOB =30°点P 为斜边OB 上的一个动点，则P A +PC 的最小值为（ ）4．如图，点A ，B 在直线MN 的同侧，A 到MN 的距离8AC =，B 到MN 的距离5BD =，已知4CD =，5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5．动点P 满足S △PBC ＝S 矩形ABCD ．则点P 到B ，C 两点距离之和PB+PC 的最小值为 。
中考数学复习专题之二“将军饮马”模型解决最值问题
专题二 “将军饮马”模型解决最值问题【实战精例1】（2019•广西）如图，AB 为O 的直径，BC 、CD 是O 的切线，切点分别为点B 、D ，点E 为线段OB 上的一个动点，连接OD ，CE ，DE ，已知AB =2BC =，当CE DE +的值最小时，则CEDE的值为( )A ．910B ．23C D 【实战精例2】 （滨州·中考真题）如图，等边ABC ∆的边长为6，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 上的动点，E 是AC 边上一点，若2AE =，EM CM +的最小值为 ．一、“将军饮马”模型问题：如图，在定直线l上找一动点P，使点P到两定点A和B的距离之和最小，即PA+PB 最小。
【简析1】如图，作出定点B关于定直线l的对称点C，连接AC与定直线l的交点Q即为所要寻找的点，且最小值等于AC。
类型一：“两定一动“--和最小【经典剖析1】（2021秋•官渡区期末）如图，已知点D、E分别是等边三角形ABC中+的最小值为()AD=，点F是线段AD上的动点，则BF EFBC、AB边的中点，6A．3 B．6 C．9 D．12【经典剖析2】如图，直线8=+分别与x轴、y轴交于点A和点B，点C，D分别y x为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，当PC PD+值最小时，点P的坐标为()A．(4,0)−−D．(1,0)−C．(2,0)−B．(3,0)【经典剖析3】 已知(1,1)A −、(2,3)B 两点，在y 轴上存在点P 使得AP BP +的值最小，则点P 的坐标为( ) A ．1(0,)4B ．1(0,)3C ．1(0,)4−D ．1(0,)3−【经典剖析4】如图，边长为a 的等边ABC ∆中，BF 是AC 上中线且BF b =，点D 在BF上，连接AD ，在AD 的右侧作等边ADE ∆，连接EF ，则AEF ∆周长的最小值是( )A ．1223a b +B ．12a b +C ．12a b +D ．32a类型二：两定一动“--差最大--定点同侧类型三：“两定一动“--差最大【经典剖析1】（2019秋•龙口市期末）如图，已知点(0,1)B−，点P为x轴上一A，(2,3)点，当||−最大值时，点P的坐标为．PB PA类型四：“两动一定“--最短距离【经典剖析1】如图，四边形ABCD中，130∠=∠=°，在BC，CD上B DBAD∠=°，90分别找一点M，N，使AMN∠+∠的度数为()∆的周长最小时，则ANM AMNA．80°B．90°C．100°D．130°【经典剖析2】如图，30=，点E，F分别是BA，∠=°，点D是它内部一点，BD mABC∆周长的最小值为()BC上的两个动点，则DEFA．0.5m B．m C．1.5m D．2m类型五：“两动两定“--最短距离【经典剖析1】（2021春•江岸区校级月考）如图所示，50AOB ∠=°，30BOC ∠=°，12OM =，4ON =．点P 、Q 分别是OA 、OB 上动点，则MQ PQ NP ++的最小值是 ．类型六：“两定点一定长①”【类型七】“两定点一定长②”【经典剖析1】如图，在矩形ABCD 中，4AB = ，7BC= ，E 为CD 的中点，若P Q 、为BC 边上的两个动点，且2PQ =，若想使得四边形APQE 的周长最小，则BP 的长度应为__________.问题作法图形原理在直线l 上求两点M,N （M 在N 左侧），使MN=a ，使AM+MN+NB 最短将A 向右移a 个单位到A’，作A ’关于l 对称点A’’，连接A’’B 与交点即为N ，左移a 个单位，即为M 。
将军饮马问题的11个模型及例题
将军饮马问题问题概述路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题方法原理1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.基本模型1.已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小）解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，点P即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则需PA´+PB值最小，从而转化为模型1.已知：如图，定点A、B分布在定直线l的同侧（A、B两点到l的距离不相等）要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大解：连接BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求；理由：此时︱PA-PB︱=AB，在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，由三角形的三边关系知︱P´A-P´B︱<AB，即︱P´A-P´B︱<︱PA-PB︱4. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l的两侧（A、B两点到l的距离不相等）要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大解：作点B关于直线l的对称点B´，连接B´A并延长交于点P，点P即为所求；理由：根据对称的性质知l为线段BB´的中垂线，由中垂线的性质得：PB=PB´，要使︱PA-PB︱最大，则需︱PA-PB´︱值最大，从而转化为模型3.典型例题1-1如图，直线y=*+4与*轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为_________，此时PC+PD的最小值为_________.【分析】符合基本模型2的特征，作点D关于*轴的对称点D'，连接CD'交*轴于点P，此时PC+PD值最小，由条件知CD为△BAO的中位线，OP为△CDD'的中位线，易求OP长，从而求出P点坐标；PC+PD的最小值即CD'长，可用勾股定理（或两点之间的距离公式，实质相同）计算.【解答】连接CD，作点D关于*轴的对称点D′，连接CD′交*轴于点P，此时PC+PD 值最小．令y=*+4中*=0，则y=4，∴点B坐标（0，4）；令y=*+4中y=0，则*+4=0，解得：*=﹣6，∴点A的坐标为（﹣6，0）．∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，∴CD为△BAO的中位线，∴CD ∥*轴，且CD=21AO=3， ∵点D ′和点D 关于*轴对称，∴O 为DD ′的中点，D ′（0，-1），∴OP 为△CDD ′的中位线，∴OP=21CD=23，∴点P 的坐标为（﹣，0）．在Rt △CDD ′中，CD ′=22D D CD '+=2243+=5，即PC+PD 的最小值为5.【小结】还可用中点坐标公式先后求出点C 、点P 坐标；若题型变化，C 、D 不是AB 和OB 中点时，则先求直线CD ′的解析式，再求其与*轴的交点P 的坐标.典型例题1-2如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为（0，1），点B的坐标为（，﹣2），点P 在直线y=﹣*上运动，当|PA ﹣PB|最 大时点P 的坐标为_________，|PA ﹣PB|的最大值是_________.【分析】符合基本模型4的特征，作A 关于直线y=﹣*对称点C ，连接BC ，可得直线BC 的方程；求得BC 与直线y=﹣*的交点P 的坐标；此时|PA ﹣PB|=|PC ﹣PB|=BC 取得最大值，再用两点之间的距离公式求此最大值.【解答】作A 关于直线y=﹣*对称点C ，易得C 的坐标为（﹣1，0）；连接BC ，可得直线BC的方程为y=﹣54*﹣54，与直线y=﹣*联立解得交点坐标P 为（4，﹣4）；此时|PA﹣PB|=|PC ﹣PB|=BC 取得最大值，最大值BC=2223)2()1(-++=241；【小结】"两点一线”大多考查基本模型2和4，需作一次对称点，连线得交点.变式训练1-1已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A （5，0），OB=4，点P 是对角线OB 上的一个动点，D （0，1），当CP+DP 最短时，点P 的坐标为（ ）A．（0，0） B．（1，）C．（，） D．（，）变式训练1-2如图，菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=2，BD=2,E为AB的中点，P为对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为__________.变式训练1-3如图，已知直线y=*+1与y轴交于点A，与*轴交于点D，抛物线y=*2+b*+c 与直线交于A、E两点，与*轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM﹣MC|的值最大，求出点M的坐标.拓展模型1.已知：如图，A为锐角∠MON外一定点；要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使AP+PQ的值最小.解：过点A作AQ⊥ON于点Q，AQ与OM相交于点P，此时，AP+PQ最小；理由：AP+PQ≧AQ，当且仅当A、P、Q三点共线时，AP+PQ取得最小值AQ，根据垂线段最短，当AQ⊥ON时，AQ最小.2.已知：如图，A为锐角∠MON内一定点；要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使AP+PQ的值最小.解：作点A关于OM的对称点A′，过点A′作AQ⊥ON 于点Q，A′Q交OM于点P，此时AP+PQ最小；理由：由轴对称的性质知AP=A′P，要使AP+PQ最小，只需A′P+PQ最小，从而转化为拓展模型13.已知：如图，A为锐角∠MON内一定点；要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使△APQ的周长最小解：分别作A点关于直线OM的对称点A1,关于ON的对称点A2，连接 A1A2交OM于点P，交ON于点Q，点P和点Q即为所求，此时△APQ周长最小，最小值即为线段A1A2的长度；理由：由轴对称的性质知AP=A1P，AQ=A2Q，△APQ的周长AP+PQ+AQ=A1P+PQ+A2Q，当A1、P、Q、A2四点共线时，其值最小.4. 已知：如图，A、B为锐角∠MON内两个定点；要求：在OM上找一点P，在ON上找一点Q，使四边形APQB的周长最小解：作点A关于直线OM的对称点A´，作点B关于直线ON的对称点B´，连接A´B´交OM于P，交ON于Q，则点P、点Q即为所求，此时四边形APQB周长的最小值即为线段AB和A´B´的长度之和；理由：AB长为定值，由基本模型将PA转化为PA´,将QB转化为QB´，当A´、P、Q、B´四点共线时，PA´+PQ+ QB´的值最小，即PA+PQ+ QB的值最小.5.搭桥模型已知：如图，直线m∥n,A、B分别为m上方和n下方的定点，（直线AB不与m垂直）要求：在m、n之间求作垂线段PQ，使得AP+PQ+BQ最小.分析：PQ为定值，只需AP+BQ最小，可通过平移，使P、Q"接头”，转化为基本模型解：如图，将点A沿着平行于PQ的方向，向下平移至点A′，使得AA′=PQ，连接A′B交直线n于点Q，过点Q作PQ⊥n，交直线m于点P，线段PQ即为所求，此时AP+PQ+BQ最小.理由：易知四边形QPAA′为平行四边形，则QA′=PA，当B、Q、A′三点共线时，QA′+BQ最小，即AP+BQ最小，PQ长为定值，此时AP+PQ+BQ最小.6.已知：如图，定点A、B分布于直线l两侧，长度为a(a为定值)的线段PQ在l上移动（P在Q左边）要求：确定PQ的位置，使得AP+PQ+QB最小分析：PQ为定值，只需AP+QB的值最小，可通过平移，使P、Q"接头”，转化为基本模型解：将点A沿着平行于l的方向，向右移至A´，使AA´=PQ=a,连接A´B交直线l于点Q，在l上截取PQ=a（P在Q左边），则线段PQ即为所求，此时AP+PQ+QB的最小值为A´B+PQ，即A´B+a理由：易知四边形APQA´为平行四边形，则PA=QA´，当A´、Q、B三点共线时，QA´+QB最小，即PA+QB最小，又PQ长为定值此时PA+PQ+QB值最小.7.已知：如图，定点A、B分布于直线l的同侧，长度a(a为定值)的线段PQ在l上移动（P在Q左边）要求：确定PQ的位置，使得四边形APQB周长最小分析：AB长度确定，只需AP+PQ+QB最小，通过作A点关于l的对称点，转化为上述模型3解：作A点关于l的对称点A´，将点A´沿着平行于l的方向，向右移至A´´，使A´A´´=PQ=a，连接A´´B交l于Q，在l上截取QP=a（P在Q左边），线段PQ即为所求，此时四边形APQB周长的最小值为A´´B+AB+PQ，即A´´B+AB+a典型例题2-1如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，若点M、N分别是线段AC、AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为．【分析】符合拓展模型2的特征，作点B关于AC的对称点E，再过点E 作AB 的垂线段，该垂线段的长即BM+MN 的最小值，借助等面积法和相似可求其长度.【解答】作点B 关于AC 的对称点E ，再过点E 作EN ⊥AB 于N ，则BM+MN=EM+MN ，其最小值即EN 长；∵AB=10，BC=5，∴AC=22BC AB +=55，等面积法求得AC 边上的高为55510⨯=25，∴BE=45， 易知△ABC ∽△ENB ，∴，代入数据解得EN=8． 即BM+MN 的最小值为8．【小结】该类题的思路是通过作对称，将线段转化，再根据定理、公理连线或作垂线；可作定点或动点关于定直线的对称点，有些题作定点的对称点易解，有些题则作动点的对称点易解.典型例题2-2如图，∠AOB=60°，点P 是∠AOB 内的定点且OP=，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是（ ）A ．B ．C ．6D ．3【分析】符合拓展模型3的特征；作P 点分别关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连接CD 分别交OA 、OB 于M 、N ，此时△PMN 周长最小，其值为CD 长；根据对称性连接OC 、OD ，分析条件知△OCD 是顶角为120°的等腰三角形，作底边上高，易求底边CD.【解答】作P 点分别关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连接CD 分别交OA 、OB 于M 、N ，如图，则MP=MC ，NP=ND ，OP=OD=OC=，∠BOP=∠BOD ，∠AOP=∠AOC ，∴PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC ，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，∴此时△PMN 周长最小，作OH ⊥CD 于H ，则CH=DH ，∵∠OCH=30°，∴OH=OC=，CH=OH=，∴CD=2CH=3． 即△PMN 周长的最小值是3；故选：D ．【小结】根据对称的性质，发现△OCD 是顶角为120°的等腰三角形，是解题的关键，也是难点.典型例题2-3如图，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为*轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PM⊥*轴于点M点，点E与E′关于*轴对称，连接BP、E′M．（1）请直接写出点A坐标为，点B坐标为；（2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请求出点P的坐标.【分析】（1）解直角三角形求出OD，BD的长即可解决；（2）符合"搭桥模型”的特征；首先证明四边形OPME′是平行四边形，可得OP=EM，PM是定值，PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，此时P点为直线OB与EF的交点，结合OB的解析式可得P点坐标；【解答】（1）在Rt△ADO中，∵∠A=60°，AD=2，∴OD=2•tan60°=2，∴A（﹣2，2），∵四边形ABCO是平行四边形，∴AB=OC=6，∴DB=6﹣2=4，∴B（4，2）（2）如图，连接OP．∵EF垂直平分线段OD，PM⊥OC，∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°，∴四边形OMPE是矩形，∴PM=OE=，∵OE=OE′，∴PM=OE′，PM∥OE′，∴四边形OPME′是平行四边形,∴OP=EM，∵PM是定值，∴PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，∴当O、P、B共线时，BP+PM+ME′的长度最小，∵直线OB的解析式为y=*，∴P（2，）．【小结】求没有公共端点的两条线段之和的最小值，一般通过作对称和平移（构造平行四边形）的方法，转化为基本模型.典型例题2-4如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（﹣2，0），O（0，0），B（0，4），把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△COD．（1）求C、D两点的坐标；（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上取两点E、F（点E在点F的上方），且EF=1，使四边形ACEF的周长最小，求出E、F两点的坐标．【分析】符合拓展模型7的特征，通过作对称、平移、连线，可找出E、F点，结合直线的解析式和抛物线的对称轴可解出E、F坐标.【解答】（1）由旋转的性质可知：OC=OA=2，OD=OB=4,∴C点的坐标是（0，2），D点的坐标是（4，0），（2）设所求抛物线的解析式为y=a*2+b*+c，4a-2b+c=0由题意，得 16a+4b+c=0c=4解得a=-b=1，c=4，∴所求抛物线的解析式为y=-；（3）只需AF+CE最短，抛物线y=-的对称轴为*=1，将点A向上平移至A1（﹣2，1），则AF=A1E，作A1关于对称轴*=1的对称点A2（4，1），连接A2C，A2C与对称轴交于点E，E为所求，可求得A2C的解析式为y=-，当*=1时，y=，∴点E的坐标为(1,)，点F的坐标为(1,)．【小结】解决此类题的套路是"对称、平移、连线”；其中，作对称和平移的顺序可互换. 变式训练2-1几何模型：条件：如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A’，连接A’B交l于点P，即为所求.（不必证明）模型应用：（1）如图2，已知平面直角坐标系中两定点A（0，﹣1）和B（2，﹣1），P为*轴上一动点，则当PA+PB 的值最小是点P 的横坐标是，此时PA+PB=．（2）如图3，正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点，连接BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称．连接ED 交AC 于P ，则PB+PE 的最小值是．（3）如图4，在菱形ABCD 中，AB=10，∠DAB=60°，P 是对角线AC 上一动点，E ，F 分别是线段AB 和BC 上的动点，则PE+PF 的最小值是．（4）如图5，在菱形ABCD 中，AB=6，∠B=60°，点G 是边CD 边的中点，点E ．F 分别是AG ，AD 上的两个动点，则EF+ED 的最小值是．变式训练2-2如图，矩形ABCD 中，AD=15，AB=10，E 为AB 边上一点，且DE=2AE ，连接CE 与对角线BD 交于F ；若P 、Q 分别为AB 边和BC 边上的动点，连接EP 、PQ 和QF ；则四边形EPQF 周长的最小值是___________.变式训练2-3如图，已知直线l 1∥l 2，l 1、l 2之间的距离为8，点P 到直线l 1的距离为6，点Q 到直线l 2的距离为4，PQ=4，在直线l 1上有一动点A ，直线l 2上有一动点B ，满足AB ⊥l 2，且PA+AB+BQ 最小，此时PA+BQ=．变式训练2-4如图，已知在平面直角坐标系*Oy 中，直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在*轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、*轴的正半轴于点E 和F ．（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P 、Q （点Q 在点P 的上方），且PQ=1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P 、Q 两点的坐标． 中考真题1. 要在街道旁建奶站，向居民区A 、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A 、B 到它的距离之和最短？小聪以街道为*轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，A 点坐标为（0，3），B 点坐标为（6，5），则A 、B 两点到奶站距离之和的最小值是．2.如图，矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（﹣4，5），D 是OB 的中点，E 是OC 上的一点，当△ADE 的周长最小时，点E 的坐标是（ ）A ．（0，）B ．（0，）C ．（0，2）D ．（0，）3.如图，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=3，动点P 满足S △PAB =31S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和PA+PB的最小值为（）A．B．C．5D．4.已知抛物线y=*2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到*轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线y=*2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．65.如图，点A（a，3），B（b，1）都在双曲线y=上，点C，D，分别是*轴，y轴上的动点，则四边形ABCD周长的最小值为（）A．B．C． D．6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D、E分别是AB、BC边上的动点，则AE+DE的最小值为（）A．B．C．5 D．7.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为．8.如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为．9.如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当PB+PM的值最小时，PM的长是（）A．B．C．D．10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（）A．B．C．D．611.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（*＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N 两点．△OMN的面积为10．若动点P在*轴上，则PM+PN 的最小值是（）A．6B．10 C．2D．212.如图，△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是形，P、E、F分别为线段AB、AD、DB上的任意点，则PE+PF的最小值是．13.如图，已知抛物线y=*2+b*+c与直线y=*+3交于A，B两点，交*轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．14.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD．（1）用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE；②若CD=2，AB=4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值．15.如图，抛物线y=a*2+b*+c（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC=S△ABC时，求N点的坐标；（3）在（2）问的条件下，过点C作直线l∥*轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在*轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN的和最小，并求出PM+PQ+QN 和的最小值．16.如图，直线y=5*+5交*轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y=a*2+4*+c的图象交*轴于另一点B．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥*轴交二次函数的图象于点D，求线段ND 长度的最大值；（3）若点H为二次函数y=a*2+4*+c图象的顶点，点M（4，m）是该二次函数图象上一点，在*轴、y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标．17.如图1，已知抛物线y=（*﹣2）（*+a）（a＞0）与*轴从左至右交于A，B两点，与y轴交于点C．（1）若抛物线过点T（1，﹣），求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．（3）如图2，在（1）的条件下，点P的坐标为（﹣1，1），点Q（6，t）是抛物线上的点，在*轴上，从左至右有M、N两点，且MN=2，问MN在*轴上移动到何处时，四边形PQNM 的周长最小？请直接写出符合条件的点M的坐标．18.如图，对称轴为直线*=2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与*轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），P是第一象限内抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．19.探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（*1，y1），P2（*2，y2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：P1P2=他还利用图2证明了线段P1P2的中点P（*，y）P的坐标公式：*=，y=．（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；运用：（2）①已知点M（2，﹣1），N（﹣3，5），则线段MN长度为；②直接写出以点A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），D为顶点的平行四边形顶点D的坐标：；拓展：（3）如图3，点P（2，n）在函数y=*（*≥0）的图象OL与*轴正半轴夹角的平分线上，请在OL、*轴上分别找出点E、F，使△PEF的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．20.如图，直线y=k*+b（k、b为常数）分别与*轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣*2+2*+1与y轴交于点C．（1）求直线y=k*+b的函数解析式；（2）若点P（*，y）是抛物线y=﹣*2+2*+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于*的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；（3）若点E在抛物线y=﹣*2+2*+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．21.如图①，在平面直角坐标系中，OA=6，以OA为边长作等边三角形ABC，使得BC∥OA，且点B、C落在过原点且开口向下的抛物线上．（1）求这条抛物线的解析式；（2）在图①中，假设一动点P从点B出发，沿折线BAC的方向以每秒2个单位的速度运动，同时另一动点Q从O点出发，沿*轴的负半轴方向以每秒1个单位的速度运动，当点P 运动到A点时，P、Q都同时停止运动，在P、Q的运动过程中，是否存在时间t，使得PQ⊥AB，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）在BC边上取两点E、F，使BE=EF=1个单位，试在AB边上找一点G，在抛物线的对称轴上找一点H，使得四边形EGHF的周长最小，并求出周长的最小值．本人所著《初中几何模型与解题通法》已发行，可在当当、淘宝和京东搜索购买特色：1.由一线名师编写，更专业权威，各地历年中考压轴题几乎都能在书中找到对应的模型和方法，甚至出现大量高度类似题。
最值系列之将军饮马 - 解析
最值系列之——将军饮马一、什么是将军饮马？【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。
而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【问题描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？A B将军军营河【问题简化】如图，在直线上找一点P使得P A+PB最小？P【问题分析】这个问题的难点在于P A+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【问题解决】作点A关于直线的对称点A’，连接P A’，则P A’=P A，所以P A+PB=P A’+PB当A’、P、B三点共线的时候，P A’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）【思路概述】作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．二、将军饮马模型系列【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．B B此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB 上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．P O B AMN【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．AP''当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．A【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。
中考数学二次函数压轴题突破最值问题之将军饮马
O
x
5 二次函数
（2019•青海）如图 1（注：与图 2 完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点 A（1，0）、 B （5，0）、C（0，4）三点．
（1）求抛物线的解析式和 对称轴； （2）P 是抛物线对称轴上的一点，求满足 PA+PC 的值为最小的点 P 坐标（请在图 1 中 探索）；
解：（1）将点 A 、B 的坐标代入二次函数表达式得：y＝a（x﹣1）（x﹣5）＝a（x2﹣6x+5）， 则 5a＝4，解得：a＝ ， 抛物线的表达式为：y＝ （x2﹣6x+5）＝ x2﹣ x+4， 函数的对称轴为： x ＝3， 顶点坐标为（3，﹣ ）；
B N
P
O
M
A
【分析】△PMN 周长即 PM+PN+MN 的最小值，此处 M、N 均为折点，分别作点 P 关于
OB、OA 对称点 P’、P’’，化 PM+PN+MN 为 P’N+MN +P’’M．
P' B
N P
O
M
A
P''
当 P’、N、M、P’’共线时，得△PMN 周长的最小值，即线段 P’P’’长，连接 OP’、OP’’，可 得△OP’P’’为等边三角形，所以 P’P’’=OP’=OP=8．
O
N
P''
此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N
所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、
N、P’’共线时，△PMN周长最小．
【例题】如图，点 P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．
中考专题系列之最值——将军饮马
中考专题系列之最值——将军饮马一、什么是将军饮马？【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。
而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【问题描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？A B将军军营河【问题简化】如图，在直线上找一点P使得P A+PB最小？【问题分析】这个问题的难点在于P A+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【问题解决】作点A关于直线的对称点A’，连接P A’，则P A’=P A，所以P A+PB=P A’+PB当A’、P、B三点共线的时候，P A’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）【思路概述】作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．二、将军饮马模型系列【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．B B此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．P O B AMN【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．P''A当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．A【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。
最值问题之将军饮马-2023年中考数学重难点专题(解析版)
最值问题之将军饮马一、模型精讲最小？基础模型：如图，在直线上找一点P使得PA+PB模型解析：作点A关于直线的对称点A'，连接PA'，则PA'=PA，所以PA+PB=PA'+模型变式：1.两定一动之点点周长最小．在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN2.两定两动之点点的周长最小。
在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ3.一定两动之点线12在OA 、OB 上分别取M 、N 使得PM +MN最小。
此处M 点为折点，作点P 关于OA 对称的点P '，将折线段PM +MN 转化为P 'M +MN ，即过点P '作OB 垂线分别交OA 、OB 于点M 、N ，得PM +MN 最小值(点到直线的连线中，垂线段最短)二、针对训练一、单选题1如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在DC 上，且DM =1，N 是AC 上一动点，则DN +MN 的最小值为()A.4B.42C.25D.5【答案】D【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与D 关于直线AC 对称，∴DN =BN ，连接BD ，BM 交AC 于N ′，连接DN ′，∴当B 、N 、M 共线时，DN +MN 有最小值，则BM 的长即为DN +MN 的最小值，∴AC 是线段BD 的垂直平分线，又∵CD =4，DM =1∴CM =CD -DM =4-1=3，在Rt △BCM 中，BM =CM 2+BC 2=32+42=5故DN +MN 的最小值是5．故选：D ．2如图所示，在△ABC 中，∠ABC =68°，BD 平分∠ABC ，P 为线段BD 上一动点，Q 为 边AB 上一动点，当AP +PQ 的值最小时，∠APB 的度数是()A.118°B.125° C.136° D.124°3【答案】D【详解】解：在BC 上截取BE =BQ ，连接PE ，如图：∵BD 平分∠ABC ，∠ABC =68°，∴∠ABD =∠CBD =12∠ABC =34°，∵BP =BP ，∴△PBQ ≌△PBE SAS ，∴PE =PQ ，∴AP +PQ =AP +PE ，∴当A 、P 、E 在同一直线上，且AE ⊥BC 时，AP +PE 最小，即AP +PQ 最小，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，交BD 于点P ，如图：∵∠AEB =90°，∠CBD =34°，∴∠APB =∠AEB +∠CBD =124°．故选：D ．3如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =3，点P 为AC 边上的动点，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，则PB +PD 的最小值为()A.154B.245C.5D.203【答案】B【详解】解：如下图，作点B 关于AC 的对称点B ，过点B 作B D ⊥AB 于点D ，交AC 于点P ，连接AB ，点P 即为所求作的点，此时PB +PD 有最小值，根据对称性的性质，可知：BP =B P ，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°,AC =4,BC =3，∴AB =AC 2+BC 2=5，根据对称性的性质，可知：△ABC ≅△AB C ，∴S △ABB =S △ABC +S △ABC=2S △ABC ，即12×AB ⋅B D =2×12BC ⋅AC ，∴5B D =24，∴B D =245，故选：B ．44如图所示，已知A (1，y 1)，B (2，y 2)为反比例函数y =2x图象上的两点，动点P (x ，0)在x 轴正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大值时，点P 的坐标是()A.(3，0) B.72，0 C.53，0 D.52，0【答案】A 【详解】∵把A (1，y 1)，B (2，y 2)代入反比例函数y =2x得：y 1=2，y 2=1，∴A (1，2)，B (2，1)，∵在△ABP 中，由三角形的三边关系定理得：|AP -BP |<AB ，∴延长AB 交x 轴于P ′，当P 在P ′点时，PA -PB =AB ，即此时线段AP 与线段BP 之差达到最大，设直线AB 的解析式是y =kx +b ，把A 、B 的坐标代入得：k +b =22k +b =1 ，解得：k =-1，b =3，∴直线AB 的解析式是y =-x +3，当y =0时，x =3，即P (3，0)．故选：A ．5如图，如图，⊙M 的半径为2，圆心M 的坐标为(3,4)，点P 是⊙M 上的任意一点，PA ⊥PB ，PA，PB 与x 轴分别交于A ，B 两点，若点A 、点B 关于原点O 对称，则AB 的最小值为()A.3B.4C.5D.6【答案】D 【详解】解：连接OP ，∵PA ⊥PB ，∴∠APB =90°，∵AO =BO ，5∴AB =2PO ，若要使AB 取得最小值，则PO 需取得最小值，连接OM ，交⊙M 于点P ′，当点P 位于P ′位置时，OP ′取得最小值，过点M 作MQ ⊥x 轴于点Q ，则OQ =3、MQ =4，∴OM =5，又∵MP ′=2，∴OP ′=3，∴AB =2OP ′=6，故选：D ．6如图，等边△ABC 的边长为6，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 上的动点，E 是边AC 上一点，若AE =2，则EM +CM 的最小值为()A.26B.33C.27D.42【答案】C【详解】解：连接BE ，交AD 于点M ，过点E 作EF ⊥BC 交于点F ，∵△ABC 是等边三角形，AD 是BC 边上的中线，∴B 点与C 点关于AD 对称，∴BM =CM ，∴EM +CM =EM +BM =BE ，此时EM +CM 的值最小，∵AC =6，AE =2，∴EC =4，在Rt △EFC 中，∠ECF =60°，∴FC =2，EF =23，在Rt △BEF 中，BF =4，∴BE =27，故选：C ．7如图，点M 是菱形ABCD 的边BC 的中点，P 为对角线BD 上的动点，若AB =2，∠A =120°，则PM +PC的最小值为()A.2B.3C.2D.1【答案】B【详解】解：连接AM 、AC ，AM 交BD 于P ，此时PM +PC 最小，连接CP ，6∵四边形ABCD 是菱形，∴OA =OC ，AC ⊥BD ，∴C 和A 关于BD 对称，∴AP =PC ，∵∠A =120°，∴∠ABC =60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AC =AB =2，∵M 是BC 的中点，∴AM ⊥BC ，∴∠BAM =30°，∴BM =1，∴AM =AB 2-BM 2=3，∴PM +PC =AM =3．故选B ．8如图1，正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上的一个动点，设AP =x ，PB +PE =y ，当点P 从A 向点C 运动时，y 与x 的函数关系如图2所示，其中点M 是函数图象的最低点，则点M 的坐标是()A.42，35B.22,35C.35,22D.35,42【答案】A【详解】如图，根据图像，当P 与C 重合时，PB +PE =9即CB +CE =9，∵点E 是BC 的中点，∴BC =6，连接DE 交AC 于点G ，当点P 与点G 重合时，PE +PB 最小，且为DE 的长即点M 的纵坐标，∵四边形ABCD 是正方形，AB =6，∴CE ∥AD ，AC =62+62=62，DE =62+32=35，∴△CGE ∽△AGD ，∴CG AG =CE AD=12，7∴AC AG=32，∴AG =42，故点M 的坐标为(42，35)，故A 正确．故选：A．9如图，E 为正方形ABCD 边AD 上一点，AE =1，DE =3，P 为对角线BD 上一个动点，则PA +PE 的最小值为()A.5B.42C.210D.10【答案】A【详解】连接EC ，交BD 于P 点∵四边形ABCD 为正方形∴A 点和C 点关于BD 对称∴PA =PC∴PA +PE =PC +PE =EC根据“两点之间线段最短”，可知PA +PE 的最小值即为线段EC 的长.∵AE =1，DE =3∴AD =4∴DC =4∴CE =DE 2+CD 2=32+42=5∴PA +PE 的最小值为5故选：A10如图，在矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，点E 是矩形ABCD 内部一动点，且∠BEC =90°，点P 是AB 边上一动点，连接PD 、PE ，则PD +PE 的最小值为()A.8 B.45 C.10 D.45-2【答案】A【详解】解：如图，设点O 为BC 的中点，由题意可知，8点E 在以BC 为直径的半圆O 上运动，作半圆O 关于AB 的对称图形(半圆O ')，点E 的对称点为E 1，连接O 'E 1,则PE =PE 1，∴当点D 、P 、E 1、O '共线时，PD +PE 的值最小，最小值为DE 1的长，如图所示，在Rt △DCO '中，CD =8，CO '=6，∴DO '=82+62=10，又∵O 'E 1=2，∴DE 1=DO '-O 'E 1=8，即PD +PE 的最小值为8，故选：A ．二、填空题11如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =3，AC =4，EF 垂直平分BC ，点P 为直线EF 上任意一点，则AP +BP 的最小值是．【答案】4【详解】解：连接PC ．∵EF 是BC 的垂直平分线，∴BP =PC ，∴PA +BP =AP +PC ，∴当点A ，P ，C 在一条直线上时，PA +BP 有最小值，最小值为AC =4．故答案为：4．12如图，在等边△ABC 中，BD ⊥AC 于D ，AD =3cm ．点P ,Q 分别为AB ,AD 上的两个定点且BP =AQ =1cm，点M为线段BD上一动点，连接PM,QM，则PM+QM的最小值为cm．【答案】5【详解】解：如图所示，作点P关于BD的对称点P ，∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=12×600=300，∴点P 在BC上，∴P M=PM，则PM+QM=P M+QM，当P ,M,Q在同一条直线上时，有最小值，∵点P关于BD的对称点P ，∠ABD=∠DBC=30°，∴PP ⊥BM，BP=BP =1cm，∴∠BP P=60°，∴△BPP 是等边三角形，即∠BP P=∠C=60°，∴PP ∥AC，且PP =AQ=1cm，∴四边形PP QA是平行四边形，∴P Q=AP=AB-BP，在Rt△ABD中，∠ABD=30°，AD=3，∴AB=2AD=2×3=6，∴AP=P Q=P M+QM=PM+QM=AB-BP=6-1=5，故答案为：5．13如图，牧童在A处，A、B处相距河岸的距离AC，BD的长分别为700m和500m，且C，D两地距离为500m，天黑前牧童从A处将牛牵到河边饮水，再赶回家，那么牧童最少要走．9【答案】1300m【详解】解：作点A关于CD的对称点A ，连接A B，则A B的长即为AP+BP的最小值，过点B作BE⊥AC，垂足为E，∵CD=500m，BD=500m，AC=700m，∴A′C=AC=700m，CE=BD=500m，CD=BE=500m∴A′E=A′C+CE=700+500=1200(m)，在Rt△A′EB中，A B=12002+5002=1300(m)．即牧童最少要走1300m ．故答案为：1300m．14如图，菱形草地ABCD中，沿对角线修建60米和80米两条道路AC<BD，M、N分别是草地边BC、CD的中点，在线段BD上有一个流动饮水点P，若要使PM+PN的距离最短，则最短距离是米．【答案】50【详解】解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P ，连接MP ，当P点与P 重合时，MP+NP=MP +NP =NQ的值最小，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，即Q在AB上，∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ，∴M为BC中点，∴Q为AB中点，∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，BQ=CN，∴四边形BQNC是平行四边形，10∴NQ =BC ，设AC 与BD 的交点为点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OC =12AC =30米，OB =12BD =40米，∴BC =OB 2+OC 2=50米，∴PM +PN 的最小值是50米．故答案为：50．15在平面直角坐标系中，点A 0,-3 ，点O 0,0 ，若有一点B 2a +1,-2a +2 ，当BA +BO 的值最小时，a =．【答案】12【详解】如下图所示：因为B 2a +1,-2a +2 的坐标满足关系：2a +1与-2a +2的和为3，即点B 在直线y =-x +3上，作点O 关于直线y =-x +3对称的点O ，得出点O 坐标为3,3 ，连接O A 交直线y =-x +3于点B ，此时BA +BO 最小，设直线O A 的解析式为y =kx -3，将O 3,3 代入y =kx -3，得：3=3k -3，解得k =2，即直线O A 的解析式为y =2x -3，联立两直线方程得：y =-x +3y =2x -3 ，解得：x =2y =1 ，即点B 坐标为2,1 ，即2a +1=2，-2a +2=1，解得a =12，故答案为：12．16如图，直线y =x +4与x 轴，y 轴分别交于A 和B ，点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，P 为OA 上一动点，当PC +PD 的值最小时，点P 的坐标为．【答案】-1，0【详解】解：作点D 关于x 轴的对称点D ′，连接CD ′交x 轴于点P ，此时PC +PD 值最小，最小值为CD ′，如图．令y =x +4中x =0，则y =4，∴点B 的坐标为0，4 ；令y =x +4中y =0，则x +4=0，解得：x =-4，∴点A 的坐标为-4，0 ．∵点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，∴点C -2，2 ，点D 0，2 ．∵点D ′和点D 关于x 轴对称，∴点D ′的坐标为0，-2 ．设直线CD ′的解析式为y =kx +b ，∵直线CD ′过点C -2，2 ，D ′0，-2 ，∴-2k +b =2b =-2，解得k =-2b =-2 ，∴直线CD ′的解析式为y =-2x -2．令y =0，则0=-2x -2，解得：x =-1，∴点P 的坐标为-1，0 ．故答案为：-1，0 ．17如图，点P 是∠AOB 内任意一点，OP =3cm ，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，∠AOB =30°，则△PMN 周长的最小值是．【答案】3cm【详解】解：分别作点P 关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连接CD ，分别交OA 、OB 于点M 、N ，连接OP 、OC 、OD 、PM 、PN ．∵点P 关于OA 的对称点为C ，关于OB 的对称点为D ，∴PM =CM ，OP =OC ，∠COA =∠POA ；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OD=OP=3cm，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，∴△COD是等边三角形，∴CD=OC=OD=3cm．∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3cm．故答案为：3cm．18如图，在周长为12的菱形ABCD中，DE=1，DF=2，若P为对角线AC上一动点，则EP+FP的最小值为．【答案】3【详解】解：作F点关于BD的对称点F ，则PF=PF ，连接EF'交BD于点P．∴EP+FP=EP+F P．由两点之间线段最短可知：当E、P、F'在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F P=EF ．∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF D是平行四边形，∴EF =AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故答案为：3．19如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点C在直线MN上，∠BCN=30°，点P为MN上一动点，连接AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为度．【答案】15【详解】如图，作B关于MN的对称点D，连接AD,BD,CD，∵AP+BP的值最小，则MN交AD于P，由轴对称可知：CB=CD，PB=PD，∴∠CBD=∠CDB,∠PBD=∠PDB,∴∠CBP=∠CDP，∵∠BCN=30°，∴∠BCD=2∠BCN=60°，∴△BCD是等边三角形，∵AC=BC，∴AC=CD，∴∠CAD=∠CDA，∵∠ACB=90°，∠BCD=60°，∴∠CAD=∠CDA=12180°-∠ACB-∠BCD=15°，∴∠CBP=∠CDP=15°，故答案为：15．20如图，抛物线y=x2-4x+3与x轴分别交于A,B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接MA,MC,AC，则△MAC周长的最小值是．【答案】32+10【详解】解：∵抛物线y=x2-4x+3与x轴分别交于A,B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，∴当y=0时，0=x2-4x+3解得x=1或x=3，即A1,0，,B3,0；当x=0时，y=3，即C0,3由二次函数对称性，A,B关于对称轴对称，即MA=MB，∴C△MAC=CA+CM+MA=CA+CM+MB，∵AC=OA2+OC2=10，∴△MAC周长的最小值就是CM+MB的最小值，根据两点之间线段最短即可得到CM+MB的最小值为C,M,B三点共线时线段CB长，∵CB=OC2+OB2= 32，∴△MAC周长的最小值为CA+CB=32+10，故答案为：32+10．三、解答题21如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A-1，0两点．，B3，0(1)求该抛物线的解析式；(2)观察函数图象，直接写出当x取何值时，y>0？(3)设(1)题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线的解析式为y=x2-2x-3；(2)当x<-1或x>3时，y>0；(3)Q点坐标为1，-2．【详解】(1)解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A-1，0，B3，0，∴1-b+c=09+3b+c=0，解得b=-2c=-3，∴所求抛物线的解析式为y=x2-2x-3；(2)解：观察函数图象，当x<-1或x>3时，y>0，故答案为x<-1或x>3；(3)解：在抛物线对称轴上存在点Q，使△QAC的周长最小．∵AC长为定值，∴要使△QAC的周长最小，只需QA+QC最小，∵点A关于对称轴直线x=-b2a=1的对称点是3，0，∴Q是直线BC与对称轴直线x=1的交点，设过点B，C的直线的解析式y=kx-3，把3，0代入，∴3k-3=0，∴k=1，∴直线BC的解析式为y=x-3，把x=1代入上式，∴y=-2，∴Q点坐标为1，-2．22教材呈现：下图是华师版八年级下册数学教材第111页的部分内容．(1)问题解决：请结合图①，写出例1的完整解答过程．(2)问题探究：在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=4，∠BAD=2∠ABC．过点D作DE⎳AC交BC 的延长线于点E．如图②，连结OE，则OE的长为．(3)如图③，若点P是对角线BD上的一个动点，连结PC、PE，则PC+PE的最小值为．【答案】(1)见解析；(2)27；(3)43【详解】(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AD⎳BC，∴∠BAD+∠B=180°．∵∠BAD=2∠B，∴∠B=60°．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC．∴△ABC是等边三角形．(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AD⎳BC，又∵DE⎳AC，∴四边形ACED是平行四边形，由(1)可得，AB=AC=AD故四边形ACED是菱形；则∠ADE=120°，DE=AD=4，∠BDC=30°，OA=2，∴OD=AD2-OA2=42-22=23∠ODE=120°-30°=90°则OE=OD2+DE2=(23)2+42=27．(3)如图所示，过A作BE的垂线交BE于点F，连接AE，A点关于BD的对称点为点C，则PC+PE的最小值为AE；∵△ABC为等边三角形，∴∠BAF=30°，∴AF=23，CF=2，EF=6AE=AF2+EF2=(23)2+62=43则PC+PE的最小值为43．23在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A (3，0)，B (0，4)，D 为边OB 的中点.(1)若E 为边OA 上的一个动点，求△CDE 的周长最小值；(2)若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF =1，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标.【答案】(1)13+35；(2)23,0 ，53,0 【详解】(1)解：如图，作点D 关于x 轴的对称点D ，连接CD 与x 轴交于点E ，连接DE ，由模型可知△CDE 的周长最小，∵在矩形OACB 中，OA =3，OB =4，D 为OB 的中点，∴D (0，2)，C (3，4)，D (0，-2)，设直线CD 为y =kx +b ，把C (3，4)，D (0，-2)代入，得3k +b =4，b =-2，解得k =2，b =-2，∴直线CD 为y =2x -2，令y =0，得x =1，∴点E 的坐标为(1，0).∴OE =1，AE =2，利用勾股定理得CD =32+22=13，DE =12+22=5，CE =22+42=25，∴△CDE 周长的最小值为：13+5+25=13+35．(2)解：如图，将点D 向右平移1个单位得到D (1,2)，作D 关于x 轴的对称点D (1,-2)，连接CD 交x 轴于点F ，将点F 向左平移1个单位到点E ，此时点E 和点F 为所求作的点，连接D F ，此时四边形CDEF 周长最小，理由如下：∵四边形CDEF 的周长为CD +DE +EF +CF ，CD 与EF 是定值，∴DE +CF 最小时，四边形CDEF 周长最小，∵DD ∥EF ，且DD =EF ，∴四边形DD FE 为平行四边形，∴DE =D F ，根据轴对称可知，D F =D F ，∴DE +CF =D F +CF =FD +CF =CD ，设直线CD 的解析式为y =kx +b ，把C (3，4)，D (1,-2)代入，得3k +b =4k +b =-2，解得k =3b =-5 ，∴直线CD 的解析式为y =3x -5，令y =0，得x =53，∴点F 坐标为53,0 ，∴点E 坐标为23,0 ．24如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，斜边AB =8，AB 经过原点O ，点C 在y 轴的正半轴上，AC 交x 轴于点D ，且CD :AD =4:3，反比例函数y =k x的图象经过A 、B 两点．(1)求反比例函数的解析式．(2)点P 为直线AC 上一动点，求BP +OP 的最小值．【答案】(1)y =-37x；(2)42【详解】(1)解：如图①，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，∵AB 经过原点O ，∴A 、B 关于原点对称，∴O 为AB 的中点，∵∠ACB =90°，AB =8，∴AO =CO =BO =12AB =4，∵OD ∥EA ，∴CO OE =CD DA =43，∴4OE =43，∴OE =3，∴AE =AO 2-OE 2=42-32=7，∴点A 的坐标为7,-3 ，∴k =7×-3 =-37，∴反比例函数的解析式为y =-37x ．(2)解：如图②，延长BC 至点F ，使得FC =BC ，连接OF 交直线AC 于点P ，连接BP ，∵BC ⊥AC ，FC =BC ，∴AC 垂直平分BF ，∴BP =FP ，∴BP +OP =FP +OP =OF ，由“两点间线段最短”可得BP +OP 的最小值为线段OF 的长，由(1)得A 、B 关于原点对称，∴B -7,3 ，∵C 为线段BF 的中点，∴x B +xF 2=x C ，yB +yF 2=y C ，即-7+xF 2=0，3+yF 2=4，解得x F =7，y F =5，∴点F 的坐标为7,5 ，∴OF =7 2+52=32=42，即BP +OP 的最小值为42．25如图，已知抛物线y =ax 2+bx -6与x 轴的交点A (-3，0)，B (1，0)，与y 轴的交点是点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线对称轴上一点，当PB +PC 的值最小时，求点P 的坐标；(3)点M 在抛物线上运动，点N 在y 轴上运动，是否存在点M ，N ，使得∠CMN =90°且以点C ，M ，N 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，求出点M 和点N 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)y =2x 2+4x -6；(2)P (-1，-4)；(3)M (-1，-8)，N 0，-172或M -74,-558 ，N 0，-838 ．【详解】(1)解：将A (-3，0)，B (1，0)代入y =ax 2+bx -6，得：0=a ×(-3)2+b ×(-3)-60=a ×12+b ×1-6，解得：a =2b =4 ，∴抛物线的解析式为y =2x 2+4x -6；(2)解：∵点P 是抛物线对称轴上一点，∴PA =PB ，∴PB +PC =PA +PC ≥AC ，∴连接AC ，AC 与对称轴的交点即为点P ，如图．∵对于y =2x 2+4x -6，令x =0，则y =-6，∴C (0，-6)，设直线AC 的解析式为y =kx +b (k ≠0)，∴0=-3k +b -6=b，解得：k =-2b =-6 ，∴直线AC 的解析式为y =-2x -6．∵抛物线对称轴为x =-42×2=-1，∴对于y =-2x -6，令x =-1，则y =-2×(-1)-6=-4，∴P (-1，-4)；(3)解：设M点的坐标为(t，2t2+4t-6)，当点M在点C下方时，过M点作MD⊥y轴于点D，当△CMN∽△COA时，∠MCD=∠OCA，∵∠CMN=∠MDN=90°，∴∠CMD+∠NMD=∠CMD+∠MCD=90°，∴∠NMD=∠MCD，∴△CMN∽△MDN，tan∠MCD=tan∠OCA=tan∠DMN=AOOC=1 2，即MDCD=DNMD=12，∴CD=2t ，DN=12t ，则OD=OC+CD=2t2+4t-6，即6+2t =2t2+4t-6，即6-2t=-2t2-4t+6，解得t=-1，点M和点N的坐标分别为M(-1，-8)，N0，-17 2当△CMN∽△AOC时，可得CD=-12t，则-12t+6=-2t2-4t+6，解得t=-74，点M和点N的坐标分别为M-74,-558，N0，-838当t >0时，没有符合的点，存在点M ，N ，使得∠CMN =90°，点M 和点N 的坐标分别为M (-1，-8)，N 0，-172 或M -74,-558 ，N 0，-838 ．26如图，直线l 1经过A 92,0 、B 2,-5 两点，直线l 2:y =-x +3与直线l 1交于点C ，与x 轴交于点D ．(1)求点C 的坐标；(2)点P 是y 轴上一点，当四边形PDCB 的周长最小时，求四边形PDCB 的面积；(3)把直线l 1沿y 轴向上平移9个单位长度，得到新直线l 3与直线l 2交于点E ，试探究在x 轴上是否存在点Q ，在平面内存在点F 使得以点D ，Q ，E ，F 为顶点的四边形是菱形(含正方形)？若存在，直接写出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)点C 的坐标为4,-1 ；(2)S 四边形PDCB =9；(3)存在，点Q 的坐标为：1，0 ，3-22，0 ，3+22，0 ，-1，0 【详解】(1)解：设直线l 1的解析式为y =kx +b ，由直线l 1经过A 92,0、B 2,-5 两点可得：92k +b =02k +b =-5，解得k =2b =-9 ，∴直线l 1的解析式为y =2x -9，又∵直线l 2:y =-x +3与直线l 1交于点C ，∴-x +3=2x -9，解得x =4，当x =4时，则y =-1，∴点C的坐标为4,-1；(2)解：如图，作点D关于y轴的对称点D ，连接BD 交y轴于点P，连接DP，根据两点之间“线段最短”可知，当P、B、D 三点共线时，四边形PDCB的周长最小，直线l2:y=-x+3与x轴的交点为D3,0，又∵点D和点D 关于y轴对称，∴点D -3,0，∴DD =-3-3=6，设直线BD 的解析式为y=kx+b，可得-3k+b=02k+b=-5，解得k=-1b=-3，∴直线BD 的解析式为y=-x-3，令x=0，则y=-3，得点P0,-3，∴S△PDD=12DD ⋅y P =12×6×3=9，又∵AD =-3-9 2=152，AD=3-92=32，∴S△ABD=12AD ⋅y B =12×152×5=754，∴S△ACD=12AD⋅y C =12×32×1=34，∴S四边形PDCB =S△ABD-S△PDD-S△ACD=754-9-34=9；(3)解：由题意可得直线l3的解析式为y=2x，联立线l3与直线l2，即y=2xy=-x+3，解得x=1y=2，∴E(1,2)，设Q(m,0)，①当ED为菱形对角线时，QE=QD，即(m-1)2+(0-2)2=(3-m)2，解得m=1，∴Q(1,0)；②当EQ为菱形对角线时，DE=DQ，∵DE=(3-1)2+(0-2)2=22，∴DQ=|3-m|=22，解得m=3-22或3+22，∴Q(3-22,0)，Q(3+22,0)；③当EF为菱形对角线时，EQ=ED，即(1-m)2+(2-0)2=(22)2，解得m=-1，∴Q(-1,0)，综上：存在，点Q的坐标为：(1,0)，(3-22,0)，(3+22,0)，(-1,0)．27如图，已知一次函数y=kx+b的图像经过A(1，4)，B(4，1)两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．(1)求该一次函数的表达式；(2)若y 轴存在一点P 使PA +PB 的值最小，求此时点P 的坐标及PA +PB 的最小值；(3)在x 轴上是否存在一点M ，使△MOA 的面积等于△AOB 的面积；若存在请直接写出点M 的坐标，若不存在请说明理由．【答案】(1)y =-x +5；(2)P 0,175 ；34；(3)存在，-154,0 或154,0 【详解】(1)把A (1，4)，B(4，1)代入y =kx +b 中，得4=k +b 1=4k +b ，解得k =-1b =5 ，∴一次函数的表达式为：y =-x +5；(2)作A (1，4)关于y 轴的对称点A ′(-1，4)，连接A ′B 交y 轴于P 点，连接PA ，此时PA +PB 的值最小，且PA +PB =PA ′+PB =A ′B ，设A ′B 的表达式为y =mx +n ，则4=-m +n 1=4m +n ，解得m =-35n =175，∴直线A ′B 的表达式为y =-35x +175，当x =0时，y =175，∴P 0，175，且A B =(-1-4)2+(4-1)2=34，∴PA +PB 的最小值为34；(3)由y =-x +5得C (5，0)，∴S △AOB =S △AOC -S △BOC=12×5×4-12×5×1=152，设M (xM ，yM )，∵S △MOA =S △AOB ，12x M ·y A =152，∴x M =154，∴x M =154或x M =-154，∴M 154，0 或-154，0 ，∴存在一点M ，使△MOA 的面积等于△AOB 的面积，且M 点的坐标为154，0或-154，0 ．28如图，在平面直角坐标系中，直线AB 分别与x 轴的负半轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，其中OA =2，S △ABC =12，点C 在x 轴的正半轴上，且OC =OB ．(1)求直线AB 的解析式；(2)将直线AB 向下平移6个单位长度得到直线l 1，直线l 1与y 轴交于点E ，与直线CB 交于点D ，过点E 作y 轴的垂线l 2，若点P 为y 轴上一个动点，Q 为直线l 2上一个动点，求PD +PQ +DQ 的最小值；(3)若点M 为直线AB 上的一点，在y 轴上是否存在点N ，使以点A 、D 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =2x +4；(2)45；(3)存在以点A 、D 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，N 的坐标为(0，-2)或(0，10)【详解】(1)解：(1)设OB =OC =m ，∵OA =2，∴AC =m +2，A (-2，0)，∵S △ABC =12，∴12AC •OB =12，即12m •(m +2)=12，解得m =4或m =-6(舍去)，∴OB =OC =4，∴B (0，4)，设直线AB 解析式为y =kx +b ，∴0=-2k +b 4=b，解得k =2b =4 ，∴直线AB 解析式为y =2x +4；(2)将直线ABy =2x +4向下平移6个单位，则直线l 1解析式为y =2x -2，令x =0得y =-2，∴E (0，-2)，垂线l 2的解析式为y =-2，∵B (0，4)，C (4，0)，设直线BC 解析式为y =px +q ，∴0=4p +q 4=q，解得p =-1q =4 ，∴直线BC 解析式为y =-x +4，由y =-x +4y =2x -2得：x =2y =2 ，∴D (2，2)，作D 关于y 轴的对称点D '，作D 关于直线y =-2对称点D ''，连接D 'D ''交y 轴于P ，交直线y =-2于Q ，此时PD +PQ +DQ 的最小，如图：∴D '(-2，2)，D ''(2，-6)，设直线D 'D ''解析式为y =sx +t ，则2=-2s +t -6=2s +t，解得s =-2t =-2 ，∴直线D 'D '解析式为y =-2x -2，令x =0得y =-2，即P (0，-2)，令y =-2得x =0，即Q (0，-2)，∴此时PD =25，PQ =0，DQ =25，∴PD +PQ +DQ 的最小值为45．(3)存在，理由如下：设P (p ，2p +4)，N (0，q )，而A (-2，0)，D (2，2)，①以AD 、MN 为对角线，如图：此时AD 中点即为MN 中点，∴-2+2=p +00+2=2p +4+q，解得p =0q =-2 ，∴N (0，-2)；②以AM 、DN 为对角线，如图：同理可得：-2+p =2+00+2p +4=2+q ，解得p =4q =10 ，∴N (0，10)；③以AN 、DM 为对角线，如图：同理可得-2+0=p +20+q =2+2p +4，解得p =-4q =-2 ，∴N (0，-2)，综上所述，以点A 、D 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，N 的坐标为(0，-2)或(0，10)．29在Rt △ABC 中，AB =BC ，在Rt △CEH 中，∠CEH =45°，∠ECH =90°，连接AE ．(1)如图1，若点E 在CB 延长线上，连接AH ，且AH =6，求AE 的长；(2)如图2，若点E 在AC 上，F 为AE 的中点，连接BF 、BH ，当BH =2BF ，∠EHB +12∠HBF =45°时，求证：AE =CE；(3)如图3，若点E在线段AC上运动，取AE的中点F，作FH'∥BC交AB于H，连接BE并延长到D，使得BE=DE，连接AD、CD；在线段BC上取一点G，使得CG=AF，并连接EG；若点E在线段AC上运动的过程中，当ACD的周长取得最小值时，△AED的面积为25，请直接写出GE+BH′的值．【答案】(1)AE=6；(2)见解析；(3)GE+BH′=15+5102【详解】(1)解：在Rt△ABC中，AB=BC，∴∠BAC=∠ACB=45°，∵∠ECH=90°，∴∠ACH=45°，∴∠ACE=∠ACH，在Rt△CEH中，∠CEH=45°，∴∠CHE=45°，∴CE=CH，∵AC=AC，∴△ACE≌△ACH(SAS)，∴AE=AH=6；(2)证明：如图1，连接BE，设BH与AC交于点G，∵∠BCE=∠CEH=45°，∴EH⎳BC，∴∠EHB=∠CBG，∵∠ABC=90°，∴12∠CBG+12∠HBF+12∠ABF=45°，∵∠EHB+12∠HBF= 45°，∴∠EHB=12∠CBG+12∠ABF，∴∠CBG=∠ABF，∵AB=AC，∠A=∠ACB=45°，∴△ABF≌△CBG(ASA)，∴BG=BF，∵BH=2BF，∴BH=2BG，∵∠HEG=∠BCG=45°，∠EGH=∠CGB，∴△EGH≌△CGB(AAS)，∴EG=CG，∴四边形EBCH是平行四边形，∴BE⎳CH，∴∠BEG=∠ECH=90°，∴AE=CE；(3)解：如图2，作DN∥AC，作点A关于直线DN′的对称点A′，连接A′C交DN于D′，连接BD′，交AC与E′，则当点D在D′处，点E在点E′处时，△ACD的周长最小，此时△ACD为等腰直角三角形，∵S△ADE=12AE2=25，∴AE′=52，∴AC=2AE′=102，∴AB=BC=22AC=10，∵AF=12AE=522，∴H′F=AH′=22AF=52，∴BH′=10-52=152，∵AF=CG，∠BAF=∠BCA=45°，AB=CE′，∴△ABF≌△CE′G(SAS)，∴BF=E′G，∴E′G=BF=BH 2+FH 2=1522+52 2=5210，∴GE+BH′= 15+5102．。
最值问题----将军饮马(三)
----之将军饮马（三）
什么是将军饮马？
【问题描述】： 如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河 边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？
【问题简化】： 如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？
【问题分析】：这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结 果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段 最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．
【问题解决】作点A关于直线的 对称点A'，连接PA'，则PA'=PA， 所以PA+PB=PA'+PB.
当A'、P、B三点共线的时 候，PA'+PB=A'B，此时为最小 值（两点之间线段最短）
09 将军饮马（面积与折点）。
【问题描述】：如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，动点P满足△APB的面积是矩形 ABCD面积的三分之一，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为_________．
【解析】:此处点P为折点， 作点M关于OA的对称对称点 M'如图所示，连接PM'，化 PM+PN为PM'+PN．
当M'、P、N共线时，得最 小值，又∠M'ON=60°且 ON=2OM'，可得∠OM'N=90°， 故P点坐标可求。
13 将军饮马（ 20°角的对称）。
【问题描述】：如图，已知正比例函数y=kx（k>0）的图像与x轴相交所成的锐角为 70°，定点A的坐标为（0，4），P为y轴上的一个动点，M、N为函数y=kx（k>0）的图 像上的两个动点，则AM+MP+PN的最小值为___________ ．
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实用标准
“将军饮马”系列最值问题
1. 两点之间，线段最短.
2. 点到直线的距离，垂线段最短.
3. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小鱼第三边.
-
知识讲解
古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦.
有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题: 饮马，然后再到B 地军营视察，显然有许多走法.问怎样走路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索, 作了完善的回答.这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题.
F 面我们来看看数学家是怎样解决的.海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题. 根据公理：连接两点的所有线中，线段最短.
若A 、B 在河流的异侧，直接连接 AB , AB 与I 的交点即为所求.
若A 、B 在河流的同侧，根据两点间线段最短，那么显然要把折线变成直线再解.
4. A B 分别为同一圆心0半径不等的两个圆上的一点，
如图，将军从A 出发到河边
海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线
现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理，即轴对称思想
轴对称及其性质:
把一个图形沿某一条直线折叠， 如果直线两旁的部分能够互相重合，
那么这个图形就叫做轴对称图
形.这条直线就是它的对称轴. 这时我们就说这个图形关于这条直线 （或轴）对称.如等腰 ABC 是轴对
称图形.
把一个图形沿着某一条直线折叠， 如果它能够与另一个图形重合， 那么就是说这两个图形关于这条 直线对称，这
条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.
如下图，
ABC 与 A'B'C'关于直线I 对称，I 叫做对称轴.A 和A , B 和B' , C 和C'是对称点.
轴对称的两个图形有如下性质:
① 关于某条直线对称的两个图形是全等形; ② 对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线;
③
两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.
线段垂直平分线:
垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等;
到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.
AP-aP^A B
实用标准
当已知条件出现了等腰三角形、角平分线、高，或者求几条折线段的最小值等情况, 对称变换，以“补齐”图形，集中条件。
所有的轴对称图形（角、线、等腰三角形、等边三角形、
标轴），都可以考察“将军饮马”问题。
题考查。
常见模型:
(1)PA PB最小
同侧异侧
A
B
图1
A
通常考虑作轴菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆、坐
考察知识点: “两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
解题总思路: 找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问构建“对称模型”实现转化
A M /
A A B
I
【变形】异侧时，也可以问：在直线 I 上是否存在一点
周长最短
类型二
实用标准 ）①PA PB 最小
同侧 异侧
异侧
②PA 同侧
I
PB 最大
B /
异侧
A
I
类型一 类型二 (4) A
B
“过河”最短距离 A'
类型三
B'
P 使的直线I 为APB 的角平分线
类型一
线段和最小
I
E
1
2
\1
I
F
(6 )在直角坐标系里的运用
E
1
2
A I
A I
E
i'
I F
B'
EF=1 APE= BPE 【例11尺规作图，作线段AB的垂直平分线，作COD的角平分线.
实用标准
所在的直线的距离相等.
【例2】已知点A 在直线I 外，点P 为直线I 上的一个动点，探究是否存在一个定点
B ，当点 上运动时，点P 与A 、B 两点的距离总相等，如果存在，请作出定点 B ;若不存在,
由.
【例3】如图，在公路a 的同旁有两个仓库 A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到 A 、B 两仓库的距
离和最短，这个中转站 M 应建在公路旁的哪个位置比较合理?
A.
【变式练习】如图， M 、N 为 ABC 的边AC 、BC 上的两个定点，在 AB 上求一点P ，使 PMN 的周
长最短.
实用标准 【变式练习】已知：如图, ABC 及两点 M 、N .求作：点P ，使得PM PN ，且P 点到
ABC 两边
P 在直线I 请说明理
如图， AOB 45，角内有点P ，在角的两边有两点 Q 、R （均不同于0点），求作Q 、
使得PQR 的周长的最小.
使从A 点到M 点及N 点的距离和为最小；在直线 0Q 上也取B 点，使从B 点到M 点和
OA 的边的距离和最小.
【例4】 【例5】
如图，在 POQ 内部有M 点和N 点，同时能使 MOP NOQ ，这时在直线 0P 上再取
A 点,
【例6】 的距离和也最小.证明:
AM AN
BM BN
.
已知如图，点M 在锐角
AOB 的内部, 在OB 边上求作一点P ，使点 P 到点M 的距离与点P 到
【例7】 已知：A 、B 两点在直线
l 的同侧，在I 上求作一点M ，使得|AM
BM |最小值和最大值.
B
A
实用标准
如图，在等腰 Rt ABC 中，CA CB 3 , E 的BC 上一点，满足 BE 2，在斜边 AB 上求作
如图，菱形 ABCD 的两条对角线分别长 6和8，点M 、N 分别是变AB 、BC 的中点，在对
【变式练习】（07年三帆中学期中试题）如图，正方形ABCD 中，AB 8 , M 是DC 上的一点，且DM 2 ,
N 是AC 上的一动点.
求（1） DN MN 的最小值与最大值.
（2） I DN MN \的最小值与最大值.
N \ N \
【例8】如图△ ABC , D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上的点（均不与点A 、B 、C 重合），记△DEF
的周长为P ，请作出周长最小的 △DEF .
【习题1】
一点
P 使得PC PE 长度之和最小
.
【习题 C
实用标准
角线AC 求作一点P 使得PM PN 的值最小.
【习题6】如图，在平面直角坐标系中，直线
I 是第一、三象限的角平分线.
【习题3】如图，在锐角 △ ABC 中，AB
4罷, BAC 45?
BAC 的平分线交 BC 于点D , M 、
N 分别是AD 和AB 上的动点，则 BM 【习题4】已知O O 的直径CD 为4 ,
AOD 的度数为 60 °，点B 是的中点，在直径 CD 上找一点 P , 使BP AP 的值最小,
并求BP
AP 的最小值.
【习题5】如图所示，正方形
ABCD 的面积为12 , △ ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线AC 上有一点
P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为（
C
MN 的最小值是
B
B D
D
C
D
C
D . 76
实用标准
实验与探究:
(1 )由图观察易知A 2 ,0关于直线I的对称点A'的坐标为2 ,0 ,请在图中分别标
运用与拓广: (3)已知两点D 1，3、E 1，4，试在直线I上找一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最
小.
B 5 ,3、
C 2 ,5关于直线I的对称点B'、C'的位置，并写出它们的坐标: B' C'
归纳与发现:
(2)结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P a，b关于第一、三象限的
角平分线I的对称点P'的坐标为(不必证明)；
文档。