角平分线与平角定义
八年级数学-第十一章-第3节-角平分线的性质-人教新课标版
初二数学第十一章第3节角平分线的性质人教新课标版一、学习目标：1. 了解角是轴对称图形和角平分线的定义，会用尺规作一个角的平分线；2. 掌握角平分线的性质和判定；3. 综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题。
二、重点、难点：重点：角平分线的性质和判定。
难点：角平分线的性质和判定的综合应用。
三、考点分析：对角平分线的定义及角平分线的作法进行单独命题在中考中是比较少见的，但这两个知识点属于基础知识，出题者往往将其与线段的垂直平分线、等腰三角形、四边形等知识综合在一起进行命题，题型多为作图题，属中档难度题。
角平分线的性质是本章的重要内容，它是除了用三角形全等证明线段相等之外的又一个证明线段相等的重要方法。
中考命题中，多将角平分线的作法及性质与其他知识点结合在一起进行考查，题型多为选择、填空、作图题，分值在3~6分。
这就要求学生必须熟练掌握用尺规作图法作角平分线的要领，并会应用角平分线的定义、性质解决相关问题。
1. 角平分线的定义2. 角平分线的尺规作法3. 角平分线的性质4. 角平分线的判定知识点一作角平分线例1：如图，已知点C为直线AB上一点，过C作直线CM，使CM AB⊥于C。
思路分析：由于AB是直线，要求作CM AB⊥，实际上就是要作平角ACB∠的平分线。
根据角平分线的尺规作图法就可以作出直线CM。
解答过程：作法：1、以C为圆心，适当的长为半径画弧，与CA、CB分别交于点D、E；2、分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，使两弧交于点M；3、作直线CM。
所以，直线CM即为所求。
解题后的思考：此题要求“大于12DE 的长为半径”的理由是：半径如果小于12DE ，则两弧无法相交；而半径如果等于12DE ，则两弧交点位于C 点处，无法作出直线CM 。
在数学学习中，不光要知道怎么做题，还要知道为什么要这样做。
小结：本题属于作图题。
在解决作图题时要求做到规范地使用尺规，规范地使用作图语言，规范地按照步骤作出图形，并且作图的痕迹要保留，不能擦掉。
初中数学《角的比较与运算》知识全解
《角的比较与运算》知识全解课标要求理解角的大小比较方法,掌握角的和差倍分计算与角平分线的概念与几何描述．知识结构角的比较度量法的方法叠合法：使两个角的顶点及一边重合，另一边落在重合这条边的同旁角定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的的射线，叫做这个角的平分线比性质：若是AOB∠的平分线较与角则12AOC BOC AOB∠=∠=∠22AOB AOC BOC∠=∠=∠运平或算分线平分角的方法有多种，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践度、分、秒互化：1周角=360°，1平角=180°，1°= 运算角的计算：角可以进行和、差、倍、分计算，加减时注意进位与错位，乘除时注意进位与错位，借助数与形的结合分析问题是这一部分的重点，利用图形中角的关系转化为算式去解决问题内容解析知识点1 角的比较比较法法：①测量法（用量角器度量角的度数）；②叠合法（把角叠合在一起，即角的顶点及一边重合，观察另一边的位置）.表示法：“>”“<”“=”.知识点2 角的和差倍分角的和差倍分仍然是一个角，具体的等式关系需借助相应的图形加以判断.角的平分线把角分成了两个相等的角，这两个角都等于原角的一半.知识点3 角的度分秒的加减乘除运算首先明确的度量单位之间是60进制，需要借位时借1作60，需要进位时满60进1，四种运算中，加减乘除都是相同单位间各自进行，最后进位，除法要从高位除起，余数化作下一级单位继续除.重点难点重点角的比较和角的和、差、倍、分运算及用几何语言表达角平分线的概念.难点角平分线的几何语言的表达方式的选择与借助几何图形进行的计算.教法导引角的比较和运算是在线段有关内容的基础上出现的又一个相类似的内容．教学的时候采用类比的方法。
引导学生对角的大小的认识从“数量”→→“形”的过渡．理解符号语言，在图形和等式之间建立一种关系，让学生了解两个角的和或差，仍是一个角，达到数与形的结合．对于角的平分线，主要是让学生结合图形来认识和理解，不要求用尺规作角平分线，用折叠法易于对角平分线的概念理解。
角的认识与度量
角的认识与度量角是我们学习数学中的一个基本概念，它在几何学中扮演着重要的角色。
通过对角的认识与度量，我们能够更好地理解几何图形以及解决相关的问题。
本文将对角的概念、性质以及度量方法进行探讨，旨在帮助读者深入了解角的本质及其应用。
一、角的基本概念角是由两条射线共同起点所形成的形状，射线的起点称为角的顶点，射线的端点则分别称为角的边。
角可以用大写字母表示，例如∠ABC，顶点为B，边为BA和BC。
角可以分为锐角、直角、钝角及平角四种类型。
锐角指角的度数小于90°，直角指角的度数为90°，钝角指角的度数大于90°但小于180°，平角指角的度数为180°。
二、角的性质1. 锐角的特点：锐角的度数小于90°，而且两边都在同一直线的同侧。
2. 直角的特点：直角的度数为90°，两边垂直于彼此。
3. 钝角的特点：钝角的度数大于90°，而且两边都在同一直线的同侧。
4. 平角的特点：平角的度数为180°，可以看作是两条平行线相交所形成的角。
三、角的度量方法为了度量角的大小，我们需要使用角度作为单位。
角度是一个用于度量角的量纲，通常用符号°表示。
1. 角度的刻度：角度刻度是将一个圆周等分为360等份，每等份被定义为一度，记作1°。
2. 弧度的刻度：弧度是另一种角度的度量方式，可以用来度量任何大小的角。
一个角的度数与相应的弧度之间存在一个固定的换算关系：360° = 2π弧度。
3. 角度与弧度的换算：要进行角度和弧度的换算，我们可以使用下面的公式：弧度 = 角度× π / 180角度 = 弧度× 180 / π四、角的应用角的概念和度量在几何学中被广泛应用，涉及到许多问题的解决。
1. 直角三角形：在直角三角形中，一个角为直角（即90°），而其他两个角可以由角的度数关系求得。
初中数学 什么是角
初中数学什么是角
角是平面几何中的一个重要概念，它是由两条射线共同形成的，其中一个射线称为角的边，另一个射线称为角的腿。
角是以顶点为中心，以边作为半径所围绕的部分。
角的度量单位有两种常见的形式：度和弧度。
度是最常用的单位，一个完整的角度为360度。
弧度是另一种度量角的方式，一个完整的角度为2π弧度。
在初中数学中，我们通常学习以下几个与角相关的概念和性质：
1. 角的分类：根据角的大小，角可以分为锐角、直角、钝角和平角。
锐角的度数小于90度，直角为90度，钝角的度数大于90度，而平角为180度。
2. 角的度数：角的度数是指角所占据的弧度或度数的大小。
例如，一个角为60度，意味着它所占据的弧度或度数为60。
3. 角的度数运算：在角度运算中，我们学习如何进行角的加法、减法、乘法和除法。
例如，两个角的度数相加可以得到它们的和。
4. 角的平分线：角的平分线是指将一个角平分为两个相等角的射线。
平分线一般通过角的顶点，并将角分为两个相等的部分。
5. 角的性质：根据角的性质，我们学习如何判断两个角是否相等、是否互补、是否补角等。
这些性质有助于我们解决角相关的问题。
这些只是初中数学中关于角的一些基本概念和性质。
如果你需要更深入的了解，还可以进一步学习三角函数、角度的弧度制和三角恒等式等内容。
《易错题》七年级数学上册第四单元《几何图形初步》-解答题专项知识点(含答案)
一、解答题1．小刚和小强在争论一道几何问题，问题是射击时为什么枪管上有准星．小刚说：“过两点有且只有一条直线，所以枪管上才有准星．”小强说：“过两点有且只有一条直线我当然知道，可是若将人眼看成一点，准星看成一点，目标看成一点，这样不是有三点了吗？既然过两点有且只有一条直线，那弄出第三点是为什么呢？”聪明的你能回答小强的疑问吗？ 解析：见解析【分析】根据直线的性质，结合实际意义，易得答案．【详解】解：如果将人眼看成一点，准星看成一点，目标看成一点，那么要想射中目标，人眼与目标确定的这条直线应与子弹所走的直线重合，即与准星和目标所确定的这条直线重合，即可看到哪儿打到哪儿．换句话说要想射中目标就必须使准星在人眼与目标所确定的直线上．【点睛】题考查直线的性质，无限延伸性即没有端点；同时结合生活中的射击场景，立意新颖，熟练掌握直线的性质是解题的关键．2．如图所示，长度为12cm 的线段AB 的中点为点M ，点C 将线段MB 分成:1:2MC CB =，求线段AC 的长度.解析：8cm【解析】【分析】设MC =xcm ，由MC ：CB =1：2得到CB =2xcm ，则MB =3x ，根据M 点是线段AB 的中点，AB =12cm ，得到AM =MB 12=AB 12=⨯12=3x ，可求出x 的值，又AC =AM +MC =4x ，即可得到AC 的长．【详解】设MC =xcm ，则CB =2xcm ，∴MB =3x ．∵M 点是线段AB 的中点，AB =12cm ，∴AM =MB 12=AB 12=⨯12=3x ， ∴x =2，而AC =AM +MC ，∴AC =3x +x =4x =4×2=8（cm ）．故线段AC 的长度为8㎝．【点睛】本题考查了两点间的距离：两点的连线段的长叫两点间的距离．也考查了方程思想的运用．3．如图，已知C是AB的中点，D是AC的中点，E是BC的中点．(1)若DE=9cm，求AB的长.(2)若CE=5cm，求DB的长．解析：（1）AB=18；（2）DB=15.【分析】（1）由线段中点的定义可得CD=12AC，CE=12BC，根据线段的和差关系可得DE=12AB，进而可得答案；（2）根据中点定义可得AC=BC，CE=BE，AD=CD，根据线段的和差关系即可得答案.【详解】（1）∵D是AC的中点，E是BC的中点．∴CD=12AC，CE=12BC，∵DE=CD+CE=9，∴12AC+12BC=12(AC+BC)=9，∵AC+BC=AB，∴AB=18.（2）∵C是AB的中点，D是AC的中点，E是BC的中点，∴AC=BC，CE=BE=12BC，，AD=CD=12AC，∴AD=CD=CE=BE，∴DB=CD+CE+BE=3CE，∵CE=5，∴DB=15.【点睛】本题主要考查中点的定义及线段之间的和差关系，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解题关键．4．已知直线l上有三点A、B、C，AB=3，AC=2，点M是AC的中点.(1)根据条件，画出图形；(2)求线段BM的长.解析：（1）见解析；（2）2或4.【分析】（1）分C点在线段AB上和C点在BA的延长线上两种情况画出图形即可；（2）利用（1）中所画图形，根据中点的定义及线段的和差故选，分别求出MB的长即可.【详解】（1）点C的位置有两种：当点C在线段AB上时，如图①所示：当点C在BA的延长线上时，如图②所示：（2）∵点M是AC的中点，AC=2，∴AM=CM=12AC=1，如图①所示，当点C在线段AB上时，∵AB=AM+MB，AB=3，∴MB=AB-AM=2.如图②所示：当点C在BA的延长线上时，MB=AM+AB=4.综上所述：MB的长为2或4.【点睛】本题主要考查中点的定义及线段之间的和差关系，灵活运用分类讨论的思想是解题关键. 5．如图，把下列物体和与其相似的图形连接起来．解析：见解析.【分析】根据圆锥，圆柱，球体，正方体的形状连接即可．【详解】连接如图．【点睛】此题考查认识立体图形，解题关键在于掌握立体图的概念.6．蜗牛爬树一棵树高九丈八，一只蜗牛往上爬．白天往上爬一丈，晚上下滑七尺八．试问需要多少天，爬到树顶不下滑？解析：蜗牛需41天才爬到树顶不下滑．【分析】根据题意可知蜗牛一个白天加一个晚上所爬行的路程，即蜗牛每天前进的路程，最后一天，也就是还剩下一丈的时候，他爬到树顶就不再往下滑了，在这之前都是白天爬一丈，晚上下滑七尺八；接下来设需要x天，爬到树顶不下滑,列出方程即可解答.【详解】设蜗牛需x天才爬到树顶不下滑，即爬到九丈八需x天，可列方程(10－7.8)(x－1)＋10＝98，解得x＝41.答：蜗牛需41天才爬到树顶不下滑．【点睛】此题考查一元一次方程的应用，解题关键在于理解题意找到等量关系列出方程.7．如图所示是一个正方体的表面展开图，请回答下列问题：（1）与面B、面C相对的面分别是和；（2）若A＝a3+15a2b+3，B＝﹣12a2b+a3，C＝a3﹣1，D＝﹣15（a2b+15），且相对两个面所表示的代数式的和都相等，求E、F代表的代数式．解析：（1）面F，面E；（2）F＝12a2b，E＝1【分析】（1）根据“相间Z端是对面”，可得B的对面为F，C的对面是E，（2）根据相对两个面所表示的代数式的和都相等，三组对面为：A与D，B与F，C与E，列式计算即可.【详解】（1）由“相间Z端是对面”，可得B的对面为F，C的对面是E.故答案为：面F，面E.（2）由题意得：A与D相对，B与F相对，C与E相对，A+D=B+F=C+E将A=a315+a2b+3，B12=-a2b+a3，C=a3﹣1，D15=-(a2b+15)代入得：a315+a2b+315-(a2b+15)12=-a2b+a3+F=a3﹣1+E，∴F12=a2b，E=1.【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，整式的加减，掌握正方体展开图的特点和整式加减的计算方法是正确解答的前提.8．如图，以直线AB 上一点O 为端点作射线OC ，使70AOC ∠=︒，在同一个平面内将一个直角三角板的直角顶点放在点O 处.（注：90DOE ∠=︒）（1）如图1，如果直角三角板DOE 的一边OD 放在射线OA 上，那么COE ∠的度数为______；（2）如图2，将直角三角板DOE 绕点O 按顺时针方向转动到某个位置，如果OC 恰好平分AOE ∠，求COD ∠的度数；（3）如图3，将直角三角板DOE 绕点O 任意转动，如果OD 始终在AOC ∠的内部，请直接用等式表示AOD ∠和COE ∠之间的数量关系.解析：（1）20︒；（2）20︒；（3）20COE AOD ∠-∠=︒或20COE AOD ∠=︒+∠.【分析】（1）如图1，如果直角三角板DOE 的一边OD 放在射线OA 上，则∠COE =20°； （2）由角平分线可得70COE AOC ∠=∠=︒，再利用角的和差进行计算即可； （3）分别用∠COE 及∠AOD 的式子表达∠COD ，进行列式即可．【详解】解：（1）∵90DOE ∠=︒，70AOC ∠=︒∴907020COE DOE AOC =∠-∠=︒-︒=︒∠故答案为：20︒（2）∵OC 平分AOE ∠，70AOC ∠=︒，∴70COE AOC ∠=∠=︒，∵90DOE ∠=︒，∴907020COD DOE COE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．（3）∵90COD DOE COE COE =∠-∠=︒-∠∠，70COD AOC AOD AOD =∠-∠=︒-∠∠∴9070COE AOD ︒-∠=︒-∠∴20COE AOD ∠-∠=︒或20COE AOD ∠=︒+∠．故答案为：20COE AOD ∠-∠=︒或20COE AOD ∠=︒+∠．【点睛】本题考查了角的和差关系，准确表达出角的和差关系是解题的关键．9．如图，平面上有四个点A ，B ，C ，D ．（1）根据下列语句画图:①射线BA ；②直线AD ，BC 相交于点E ；③延长DC 至F （虚线），使CF=BC ，连接EF （虚线）．（2）图中以E 为顶点的角中，小于平角的角共有__________个．解析：（1）见解析；（2）8【分析】（1） 根据直线、射线、线段的特点画出图形即可；（2）有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，根据角的概念数出角的个数即可．【详解】解：（1）画图如下：（2）(前面数过的不再重数)以EF 为始边的角有4个，以EC 为始边的角有1个，以EA 为始边的角有1个，以EC 的反向延长线为始边的有1个，以EA 的反向延长线为始边的有1个，所以以E 为顶点的角中，小于平角的角共有8个．【点睛】此题主要考查了角、直线、射线、线段，关键是掌握角的概念及直线、射线、线段的特点．10．如图，已知数轴上点A 表示的数为8，B 是数轴上位于点A 左侧一点，且22AB =，动点P 从A 点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为()0t t >秒．（1）数轴上点B 表示的数是___________；点P 表示的数是___________(用含t 的代数式表示)（2）动点Q 从点B 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P Q 、同时出发，问多少秒时P Q 、之间的距离恰好等于2？（3）若M 为AP 的中点，N 为BP 的中点，在点P 运动的过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段MN 的长．解析：（1）14-，85t -；（2）2.5秒或3秒；（3）线段MN 的长度不发生变化，其值为11，图形见解析．【分析】（1）根据点B 和点P 的运动轨迹列式即可．（2）分两种情况：①点P Q 、相遇之前；②点P Q 、相遇之后，分别列式求解即可． （3）分两种情况：①当点P 在点A B 、两点之间运动时；②当点P 运动到点B 的左侧时， 分别列式求解即可．【详解】（1）14-，85t -；（2）分两种情况：①点P Q 、相遇之前，由题意得32522t t ++=，解得 2.5t =．②点P Q 、相遇之后，由题意得32522t t -+=，解得3t =．答：若点P Q 、同时出发，2.5或3秒时P Q 、之间的距离恰好等于2；（3）线段MN 的长度不发生变化，其值为11，理由如下：①当点P 在点A B 、两点之间运动时： 11111()221122222MN MP NP AP BP AP BP AB =+=+=+==⨯=； ②当点P 运动到点B 的左侧时，1111()112222MN MP NP AP BP AP BP AB =-=-=-==； ∴线段MN 的长度不发生变化，其值为11．本题考查了数轴动点的问题，掌握数轴的性质是解题的关键．11．已知线段AB=12，CD=6，线段CD 在直线AB 上运动(C 、A 在B 左侧，C 在D 左侧)．(1)M 、N 分别是线段AC 、BD 的中点，若BC=4，求MN ；(2)当CD 运动到D 点与B 点重合时，P 是线段AB 延长线上一点，下列两个结论：①PA PB PC +是定值； ②PA PB PC -是定值，请作出正确的选择，并求出其定值． 解析：（1）MN =9；（2）①PA PB PC+是定值2． 【分析】（1）如图，根据“M 、N 分别为线段AC 、BD 的中点”，可先计算出CM 、BN 的长度，然后根据MN ＝MC +BC +BN 利用线段间的和差关系计算即可；（2）根据题意可得：当CD 运动到D 点与B 点重合时，C 为线段AB 的中点，根据线段中点的定义可得AC =BC ，此时①式可变形为()()PC AC PC BC PA PB PC PC ++-+=，进而可得结论．【详解】解：（1）如图，∵M 、N 分别为线段AC 、BD 的中点，∴CM =12AC =12（AB ﹣BC ）=12（12﹣4）=4， BN =12BD =12（CD ﹣BC ）=12（6﹣4）=1， ∴MN ＝MC +BC +BN ＝4+4+1＝9；（2）①正确，且PA PB PC+=2． 如图，当CD 运动到D 点与B 点重合时，∵AB =12，CD =6，∴C 为线段AB 的中点，∴AC =BC ，∴()()22PC AC PC BC PA PB PC PC PC PC ++-+===， 而()()212PC AC PC BC PA PB AC PC PC PC PC+---===，不是定值． ∴①PA PB PC +是定值2．本题考查了线段中点的定义和线段的和差计算等知识，正确画出图形、熟练掌握线段中点的定义是解题的关键．12．如图，在数轴上有A ，B 两点，点A 在点B 的左侧．已知点B 对应的数为2，点A 对应的数为a ．（1）若a ＝﹣1，则线段AB 的长为 ；（2）若点C 到原点的距离为3，且在点A 的左侧，BC ﹣AC ＝4，求a 的值．解析：（1）3；（2）﹣2【分析】（1）根据点A 、B 表示的数利用两点间的距离公式即可求出AB 的长度；（2）设点C 表示的数为c ，则|c|＝3，即c ＝±3，根据BC ﹣AC ＝4列方程即可得到结论．【详解】（1）AB ＝2﹣a ＝2﹣（﹣1）＝3，故答案为：3；（2）∵点C 到原点的距离为3，∴设点C 表示的数为c ，则|c|＝3，即c ＝±3，∵点A 在点B 的左侧，点C 在点A 的左侧，且点B 表示的数为2，∴点C 表示的数为﹣3，∵BC ﹣AC ＝4，∴2﹣（﹣3）﹣[a ﹣（﹣3）]＝4，解得a ＝﹣2．【点睛】本题主要考查数轴上两点之间的距离，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.13．如图，点C 在线段AB 上，点,M N 分别是AC BC 、的中点．（1）若9,6AC cm CB cm ==，求线段MN 的长；（2）若C 为线段AB 上任一点，满足AC CB acm +=，其它条件不变，你能求出MN 的长度吗？请说明理由． （3）若C 在线段AB 的延长线上，且满足,,AC BC bcm M N -=分别为 AC 、BC 的中点，你能求出MN 的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．解析：（1）7.5；（2）12a ，理由见解析；（3）能，MN=12b ，画图和理由见解析 【分析】（1）据“点M 、N 分别是AC 、BC 的中点”，先求出MC 、CN 的长度，再利用MN=CM+CN 即可求出MN 的长度即可．（2）据题意画出图形，利用MN=MC+CN 即可得出答案．（3）据题意画出图形，利用MN=MC-NC 即可得出答案．解：（1）点M、N分别是AC、BC的中点，∴CM=12AC=4.5cm，CN=12BC=3cm，∴MN=CM+CN=4.5+3=7.5cm．所以线段MN的长为7.5cm．（2）MN的长度等于12 a，根据图形和题意可得：MN=MC+CN=12AC+12BC=12（AC+BC）=12a；（3）MN的长度等于12 b，根据图形和题意可得：MN=MC-NC=12AC-12BC=12（AC-BC）=12b．【点睛】本题主要考查了两点间的距离，关键是掌握线段的中点把线段分成两条相等的线段，注意根据题意画出图形也是关键．14．如图是由几个完全相同的小立方体所搭成的几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，请你画出这个几何体从正面和左面看到的形状图.解析：见解析.【解析】【分析】由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方数形数目分别为１，４，２；从左面看有3列，每列小正方形数目分别为３，４，２．据此可画出图形．【详解】解：如图所示.【点睛】本题考查了作图-三视图， 由三视图判断几何体，能根据俯视图对几何体进行推测分析,有一定的挑战性,关键是从俯视图中得出几何体的排列信息.15．已知长方形纸片ABCD ，点E 在边AB 上，点F ，G 在边CD 上，连接EF ，EG ．将BEG ∠对折，点B 落在直线BG 上的点B '处，得折痕EM ；将AEF ∠对折，点A 落在直线EF 上的点A '处，得折痕EN ．（1）如图（1），若点F 与点G 重合，求MEN ∠的度数；（2）如图（2），若点G 在点F 的右侧，且30FEG ︒∠=，求MEN ∠的度数； （3）若MEN α∠=，请直接用含α的式子表示FEG ∠的大小．解析：（1）90︒；（2）105︒；（3）若点G 在点F 的右侧，2180FEG α︒∠=-；若点G 在点F 的左侧，1802FEG α︒∠=-【分析】（1）由题意根据角平分线的定义，平角的定义，角的和差定义计算即可．（2）由题意根据∠MEN=∠NEF+∠FEG+∠MEG ，求出∠NEF+∠MEG 即可解决问题． （3）根据题意分点G 在点F 的右侧以及点G 在点F 的左侧两种情形分别求解即可．【详解】解：（1）因为EN 平分AEF ∠，EM 平分BEF ∠， 所以12NEF AEF ∠=∠，12MEF BEF ∠=∠， 所以1111()2222MEN NEF MEF AEF BEF AEF BEF AEB ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠． 因为180AEB ︒∠=， 所以1180902MEN ︒︒∠=⨯=． （2）因为EN 平分AEF ∠，EM 平分BEG ∠，所以12NEF AEF ∠=∠，12MEG BEG ∠=∠， 所以1111()()2222NEF MEG AEF BEG AEF BEG AEB FEG ∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠． 因为180AEB ︒∠=，30FEG ︒∠=，所以()118030752NEF MEG ︒︒︒∠+∠=-=， 所以7530105MEN NEF FEG MEG ︒︒︒∠=∠+∠+∠=+=．（3）因为EN 平分AEF ∠，EM 平分BEG ∠，所以12NEF AEF AEN ∠=∠=∠，12MEG BEG BEM ∠=∠=∠， 若点G 在点F 的右侧，MEN NEF FEG MEG α∠=∠+∠+∠=， ()()(180)2180FEG NEF MEG AEN BEM ααααα︒︒∠=-∠+∠=-∠+∠=-=--；若点G 在点F 的左侧，MEN NEF MEG FEG α∠=∠+∠-∠=1801802FEG NEF MEG AEN BEM ααααα︒︒∠=∠+∠-=∠+∠-=--=-．【点睛】本题考查角的计算，翻折变换，角平分线的定义，角的和差定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．16．读下列语句，画出图形，并回答问题．（1）直线l 经过A ，B ，C 三点，且C 点在A ，B 之间，点P 是直线l 外一点，画直线BP ，射线PC ，连接AP ；（2）在（1）的图形中，能用已知字母表示的直线、射线、线段各有几条？写出这些直线、射线、线段．解析：（1）见解析；（2）直线有2条，分别是直线PB ，AB ；射线有7条，分别是射线PC ，PB ，BP ，AC ，CB ，BC ，CA ；线段有6条，分别是线段PA ，PB ，PC ，AB ，AC ，BC【分析】（1）根据直线、射线、线段的定义作图；（2）根据直线、射线、线段的定义解答．【详解】(1)如图所示．(2) 直线有2条，分别是直线PB ，AB ；射线有7条，分别是射线PC ，PB ，BP ，AC ，CB ，BC ，CA ；线段有6条，分别是线段PA ，PB ，PC ，AB ，AC ，BC ．【点睛】此题考查作图，确定图形中的直线、射线、线段，掌握直线、射线、线段的定义是解题的关键．17．如图，已知点O 为直线AB 上一点，将一个直角三角板COD 的直角顶点放在点O 处，并使OC 边始终在直线AB 的上方，OE 平分BOC ∠．（1）若70DOE ∠=︒，则AOC ∠=________；（2）若DOE α∠=，求AOC ∠的度数．（用含α的式子表示）解析：（1）140︒；（2）2α【分析】（1）由70DOE ︒∠=，90COD ︒∠=，可以推出COE ∠的度数，又因为OE 平分BOC ∠，所以可知BOC ∠的度数，180BOC ︒-∠的度数即可解决；（2）由DOE α∠=，90COD ︒∠=，可以推出COE ∠=90α︒-，又因为OE 平分BOC ∠，以可知BOC ∠=2COE ∠=1802α︒-，180BOC ︒-∠即可解决．【详解】解：（1）∵70DOE ︒∠=，90COD ︒∠=，∴907020COE ︒︒︒∠=-=．∵OE 平分BOC ∠，∴20COE BOE ︒∠=∠=，∴1801802140AOC BOC COE ︒︒︒∠=-∠=-∠=．故答案为140︒．（2）∵DOE α∠=，90COD ︒∠=，∴90COE α︒∠=-．∵OE 平分BOC ∠，∴21802BOC COE α︒∠=∠=-，∴()180********AOC BOC αα︒︒︒∠=-∠=--=．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平角和直角，熟练各概念是解决本题的关键． 18．如图，O 在直线AC 上，OD 是∠AOB 的平分线，OE 在∠BOC 内．（1）若OE是∠BOC的平分线，则有∠DOE=90°，试说明理由；（2）若∠BOE=12∠EOC，∠DOE=72°，求∠EOC的度数．解析：（1）见解析；（2）72°【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可以求得∠DOE=12∠AOC=90°；（2）设∠EOB=x度，∠EOC=2x度，把角用未知数表示出来，建立x的方程，用代数方法解几何问题是一种常用的方法．【详解】（1）如图，因为OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，所以∠BOD=12∠AOB，∠BOE=12∠BOC，所以∠DOE=12（∠AOB+∠BOC）=12∠AOC=90°；（2）设∠EOB=x，则∠EOC=2x，则∠BOD=12（180°–3x），则∠BOE+∠BOD=∠DOE，即x+12（180°–3x）=72°，解得x=36°，故∠EOC=2x=72°．【点睛】本题考查了角平分线的定义．设未知数，把角用未知数表示出来，列方程组，求解．角平分线的运用，为解此题起了一个过渡的作用．19．如图,已知A、B、C、D四点,根据下列要求画图:(1)画直线AB、射线AD；(2)画∠CDB；(3)找一点P，使点P既在AC上又在BD上.解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【分析】（1）利用直线以及射线的定义画出图形即可；（2）利用角的定义作射线DC，DB即可；（3）连接AC，与BD的交点即为所求．【详解】解：（1）如图所示：直线AB、射线AD即为所求；（2）如图所示：∠CDB即为所求；（3）如图所示：点P即为所求．【点睛】此题主要考查了直线、射线以及角的定义，正确把握相关定义是解题关键．20．如图，∠AOC：∠COD：∠BOD=2：3：4，且A，O，B三点在一条直线上，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，OG平分∠EOF，求∠GOF的度数。
线段、角的认识
线段、角的认识◆ 锐角：大于0°，小于90°的角 ◆ 直角：等于90°的角 ◆ 钝角：大于90°而小于180°的角 ◆ 平角：等于180°的角 ◆ 周角：等于360°的角 【与角相关的概念】◆ 角平分线：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
◆ 余角：如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角. 同（等）角的余角相等。
◆ 补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角。
同（等）角的补角相等。
【有关线段的计算】1. 延长线段AB 到C ，使AB BC 23=，反向延长线段AB 到D ，使BC DA 32=，若AB=10cm ，求CD 长。
2. 已知三条线段a 、b 、c 在同一条直线上，它们有共同的起点，线段a 的终点是线段b的中点，线段c 的中点是线段b 的终点，且cm c b a 7=++，求a 、b 、c 的长？3. 已知A 、B 、C 三点，在一条直线上，且线段AB 之长为16，当D 是BC 的中点时，线段AD 之长为12.5，试求BC 之长。
4. 已知：如图，AB=10cm ，C 为AB 上任一点，D 、E 分别为AC 、BC 中点，求DE 长。
5. 如图，线段AB 和CD 的公共部分CD AB BD 4131==，线段AB 、CD 中点分别为E 、F ，E 、F 两点间距离为20cm ，求AB 、CD 的长？【有关角度的计算】6. 如图：已知两直线AB 和CD 相交于O, OF 平分∠AOC, OE ⊥OF ，∠COE=20°，求∠AOD 的度数。
7. 如图，OM 是∠AOB 的平分线，射线OC 在∠BOM 内部，OE 是∠BOC 的平分线，已知∠AOC=80°，求∠MOE 的度数。
高中数学角平分线定理
高中数学角平分线定理角平分线定理是高中数学中一个重要的几何定理，它是在三角形中研究角平分线性质时的一个基本定理。
角平分线定理是指：若一条线段从一个角的顶点出发，平分这个角，并且与这个角的两边相交于两点，那么这条线段就称为这个角的角平分线，并且它将这个角分成两个相等的部分。
角平分线定理在解决三角形问题时具有重要的作用。
我们可以通过角平分线定理来证明一些性质或者解决一些问题。
下面我们将介绍角平分线定理的一些应用。
角平分线定理可以帮助我们证明两条角平分线互相垂直的性质。
假设在三角形ABC中，角BAD和角CAD的角平分线相交于点D，我们想要证明BD和CD相互垂直。
根据角平分线定理，我们知道角BAD和角CAD被角平分线BD所平分，所以角BAD和角CAD 的度数相等。
同样地，角BAD和角CAD被角平分线CD所平分，所以角BAD和角CAD的度数也相等。
因此，角BAD和角CAD的度数相等，从而BD和CD相互垂直。
角平分线定理还可以帮助我们解决一些关于角度比例的问题。
假设在三角形ABC中，角BAD和角CAD的角平分线相交于点D，我们想要求证BD和CD的长度比。
根据角平分线定理，我们知道角BAD和角CAD被角平分线BD所平分，所以角BAD和角CAD的度数相等。
根据三角形内角和定理，我们知道角BAD和角CAD的度数之和等于180度。
因此，角BAD和角CAD的度数都是90度。
根据三角形中角的度数之和等于180度，我们可以得知角ABC的度数为180度- 90度- 90度= 0度。
这意味着角ABC是一个平角，也就是说，角ABC是一条直线。
根据三角形内角和定理，我们知道角BAD和角CAD的度数之和等于180度，所以它们的度数都是90度。
因此，根据角平分线定理，BD和CD的长度比为1:1。
除了上述应用，角平分线定理还可以帮助我们证明一些关于相似三角形的性质。
假设在三角形ABC和三角形DEF中，角BAD和角CAD的角平分线分别与角EDF和角FDF的角平分线相交于点D和点E，我们想要证明三角形ABC和三角形DEF相似。
三角形角平分线专题讲解(精选.)
由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线一）、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试，种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律， 在解决几何问题中大 胆地去猜想， 按一定的规律去尝试。
下面就几何中常见的定理所 涉及到的辅助线作以介绍。
如图 1-1 ，∠∠，如取，并连接、 ，则有△≌△，从而为我们 证明线段、角相等创造了条件。
例1． 如图 1-2 ，，平分∠，平分∠， 点 E 在上，求证：。
分析：此题中就涉及到角平分线， 可以利用角平分线来构造全等三角形， 对称图形， 同时此题也是证明线段的和差倍分问题， 在证明线段 的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明， 延长 短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。
但无论 延长还是截取都要证明线段的相等， 延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等， 进而达到所证明的目的。
简证：在此题中可在长线段上截取，再证明，从而达到证明 的目的。
这里面用到了角平分线来构造全等三角形。
另外一个全 等自已证明。
此题的证明也可以延长与的延长线交于一点来证 明。
自已试一试。
例2． 已知：如图 1-3 ，2，∠∠，，求证⊥即利用解平分线来构造轴 图1-2分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。
构造的方法还是截取线段相等。
其它问题自已证明。
平行线知识点梳理
考点卡片1．角平分线的定义（1）角平分线的定义从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．（2）性质：若OC是∠AOB的平分线则∠AOC=∠BOC=∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC．（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．2．余角和补角（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．3．对顶角、邻补角（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．（3）对顶角的性质：对顶角相等．（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．4．垂线（1）垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．（2）垂线的性质在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”“过一点”的点在直线上或直线外都可以．5．点到直线的距离（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．6．同位角、内错角、同旁内角（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．7．平行线在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．记作：a∥b；读作：直线a平行于直线b．（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意：①前提是在同一平面内；②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．8．平行线的判定（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行．（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．（3）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．9．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．10．命题与定理1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．11．平移的性质（1）平移的条件平移的方向、平移的距离（2）平移的性质①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．。
角平分线的性质定理和判定
第一局部：知识点回忆1、角平分线：把一个角平均分为两个一样的角的射线叫该角的平分线；2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离；3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上第二局部：自我评测知识点掌握情况备注非常好一般有待提高角平分线的定义 角平分线的性质定理 角平分线的判定定理 角平分线的作图第三局部：例题剖析例1. ：在等腰Rt △ABC 中，AC=BC ∠C=90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，AB=15cm ，〔1〕求证：BD+DE=AC ． 〔2〕求△DBE 的周长．分析：〔1〕因为AC=BC=BD+CD ，只要证明CD=DE 即可，又因为AD 平分∠BAC ，那么CD=DE ；〔2〕由〔1〕可知AC=BD+DE ，由CD=DE ，AD=AD ，∠C=∠AED=90°，可证△ACD ≌△AED ，那么AC=AE ，所以BD+DE+BE=AC+BE=AE+BE=AB ．解答：解：〔1〕∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，∠C=90°， ∴CD=DE ，课题 11-4角平分线的性质定理和判定 学生XX年级八年级日期2021.9.22冯晓娟∴BC=BD+CD=BD+DE，AC=BC，∴AC=BD+DE；〔2〕∵CD=DE，AD=AD，∠C=∠AED=90°，∴△ACD≌△AED，∴AC=AE，∵AC=BD+DE，∴BD+DE=AE，∴△BDE周长=BD+DE+BE=AE+BE=AB=15cm．例2.如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB．分析：首先要作辅助线，ME⊥AD那么利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知ME=MC，再利用中点的条件可知ME=MB，再利用到角两边距离相等的点在角的平分线上的逆定理证明AM平分∠DAB．解答：证明：作ME⊥AD，∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，∴ME=MC，∵M为BC中点，∴MB=MC，又∵ME=MC，∴ME=MB，又∵ME⊥AD，MB⊥AB，∴AM 平分∠DAB ．例3.如图，△ABC 的周长是22，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD=3，△ABC 的面积是 多少？．分析：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O 到AB 、AC 、BC 的距离都相等，从而可得到△ABC 的面积等于周长的一半乘以OD ，然后列式进展计算即可求解．解答：解：如图，连接OA ，∵OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，∴点O 到AB 、AC 、BC 的距离都相等，∵△ABC 的周长是22，OD ⊥BC 于D ，且OD=3， ∴S △ABC =21×22×3=33． 故答案为：33． 第四局部：典型例题例1、：如下图，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE 、CD 交于点O ，且AO 平分∠BAC ，求证：OB=OC ．证明：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∴∠ADC=∠BDC=∠AEB=∠CEB=90°．∵AO 平分∠BAC ，∴∠1=∠2．在△AOD 和△AOE 中，∠ADC ＝∠AEB∠1＝∠2OA ＝OA，∴△AOD ≌△AOE 〔AAS 〕．∴OD=OE ．在△BOD 和△COE 中，∠BDC ＝∠CEBOD ＝OE ∠BOD ＝∠COE，∴△BOD ≌△COE 〔ASA 〕．∴OB=OC ．【变式练习】如图，∠1=∠2，P 为BN 上的一点，PF ⊥BC 于F ，PA=PC ， 求证：∠PCB+∠BAP=180º过点P 作PE ⊥BA 于E ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PF ，然后利用HL 证明Rt △PEA 与Rt △PFC 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠PAE=∠PCB ，再根据平角的定义解答．解答：证明：如图，过点P 作PE ⊥BA 于E ，∵∠1=∠2，PF ⊥BC 于F ，∴PE=PF ，∠PEA=∠PFB=90°，在Rt △PEA 与Rt △PFC 中PA ＝PCPE ＝PF∴Rt △PEA ≌Rt △PFC 〔HL 〕，∴∠PAE=∠PCB ，∵∠BAP+∠PAE=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°． 点评：此题考察了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．例2、：如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ． 〔1〕假设连接AM ，那么AM 是否平分∠BAD ？请你证明你的结论； 〔2〕线段DM 与AM 有怎样的位置关系？请说明理由．3〕CD 、AB 、AD 间？直接写出结果首先要作辅助线，ME ⊥AD 那么利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知ME=MC ，再利用中点的条件可知ME=MB ，再利用到角两边距离相等的点在角的平分线上的逆定理证明AM 平分∠DAB ．〔2〕根据平行线性质得出∠CDA+∠BAD=180°，求出∠1+∠3=90°，根据三角形内角和定理求出即可．〔3〕证Rt △DCM ≌Rt △DEM ，推出CD=DE ，同理得出AE=AB ，即可得出答案．解答：〔1〕证明：作ME ⊥AD 于E ，∵MC ⊥DC ，ME ⊥DA ，MD 平分∠ADC ，∴ME=MC ，∵M 为BC 中点，∴MB=MC ，又∵ME=MC ，∴ME=MB ，又∵ME ⊥AD ，MB ⊥AB ，∴AM 平分∠DAB ．〔2〕解：DM ⊥AM ，理由是：∵DM 平分∠CDA ，AM 平分∠DAB ，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵DC ∥AB ，∴∠CDA+∠BAD=180°，∴∠1+∠3=90°，∴∠DMA=180°-〔∠1+∠3〕=90°，21NPF CBA即DM⊥AM．〔3〕解：CD+AB=AD，理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD，∴∠C=∠DEM=90°，在Rt △DCM和Rt△DEM中DM＝DMEM＝CM∴Rt△DCM≌Rt△DEM〔HL〕，∴CD=DE，同理AE=AB，∵AE+DE=AD，∴CD+AB=AD．点评：此题考察了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理的应用，此题是一道比拟典型的题目，难度适中，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．【变式练习】1.如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求证：点P在∠C的平分线上．首先过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q，然后证明PQ=PN即可．解答：证明：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q，∵P在∠BAC的平分线AD上，∴PM=PQ，P在∠ABC的平分线BE上，∴PM=PN，∴PQ=PN，∴点P在∠C的平分线．点评：此题主要考察角平分线上的点到角两边的距离相等的性质．用此性质证明它的逆定理成立．角平分线性质的逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．正确作出辅助线是解答此题的关键例3.如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm，求△ABC 的面积．过点D作DF⊥BC于点F．根据角平分线的性质，得DE=DF=2，再根据三角形的面积公式分别求得△ABD和△BCD的面积即可．解答：解：过点D作DF⊥BC于点F．∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∴DF=DE=2．∴△ABC的面积为12(9×2+6×2)＝15cm2【变式练习】如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．首先过D作DN⊥AC，DM⊥AB，分别表示出再△DCE和△DBF的面积，再根据条件“△DCE和△DBF的面积相等〞可得到12BF•DM=12DN•CE，由于CE=BF，可得结论DM=DN，根据角平分线性质的逆定理进而得到AD平分∠BAC．解答：证明：过D作DN⊥AC，DM⊥AB，△DBF的面积为：12BF•DM，△DCE的面积为：12DN•CE，∵△DCE和△DBF的面积相等，∴12BF•DM=12DN•CE，∵CE=BF，∴DM=DN，∴AD平分∠BAC〔到角两边距离相等的点在角的平分线上〕例4.如图，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到公路距离为5cm．〔1〕在图上标出仓库G的位置．〔比例尺为1：10000，用尺规作图〕．〔2〕求出仓库G到铁路的实际距离。
2024中考数学常见几何模型归纳总结—三角形中的倒角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型
2024中考数学常见几何模型归纳总结—三角形中的倒角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。
熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
本专题“8”字模型、“A ”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、“8”字模型图1图28字模型（基础型）条件：如图1，AD 、BC 相交于点O ，连接AB 、CD ；结论：①A B C D ∠+∠=∠+∠；②AB CD AD BC +<+。
8字模型（加角平分线）条件：如图2，线段AP 平分∠BAD ，线段CP 平分∠BCD ；结论：2∠P =∠B +∠D例1．（2021·河北·统考中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE 与BD 的交点为C ，且A ∠，B ∠，E ∠保持不变．为了舒适，需调整D ∠的大小，使110EFD ∠=︒，则图中D ∠应（填“增加”或“减少”）度．【答案】减少10【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断．【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°-110°=70°，∴∠DCE=70°，如图，连接CF并延长，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，若只调整∠D的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠D+100°，因此应将∠D减少10度；故答案为：①减少；②10．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法．例2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H +∠K 的度数．【答案】540°【分析】如图所示，由三角形外角的性质可知：∠A ＋∠B ＝∠IJL ，∠C ＋∠D ＝∠MLJ ，∠H ＋∠K ＝∠GIJ ，∠E ＋∠F ＝∠GML ，然后由多边形的内角和公式可求得答案．【详解】解：如图所示：由三角形的外角的性质可知：∠A ＋∠B ＝∠IJL ，∠C ＋∠D ＝∠MLJ ，∠H ＋∠K ＝∠GIJ ，∠E ＋∠F ＝∠GML ，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＋∠K ＝∠IJL ＋∠MLJ ＋∠GML ＋∠G ＋∠GIJ ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°．【点睛】本题主要考查的是三角形外角的性质和多边形的内角和公式的应用，利用三角形外角和的性质将所求各角的和转化为五边形的内角和是解题的关键例3．（2023·山东德州·八年级校考阶段练习）如图1，已知线段,AB CD 相交于点O ，连接,AC BD ，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)求证：A C B D ∠+∠=∠+∠；(2)如图2，若CAB ∠和BDC ∠的平分线AP 和DP 相交于点P ，且与,CD AB 分别相交于点M N 、．①若100,120B C ∠=︒∠=︒，求P ∠的度数；②若角平分线中角的关系改为“11,33CAP CAB CDP CDB ∠=∠∠=∠”，试探究P ∠与,B C ∠∠之间的数量关系．【答案】(1)见解析(2)①110︒；②()123P B C ∠=∠+∠【分析】（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明；（2）①根据角平分线的定义得到CAP BAP ∠=∠，BDP CDP ∠=∠，再根据“8字形”得到,CAP C CDP P BAP P BDP B ∠+∠=∠+∠∠+∠=∠+∠，两等式相减得到C P P B ∠-∠=∠-∠，即()12P B C ∠=∠+∠，即可求解．②根据11,33CAP CAB CDP CDB ∠=∠∠=∠，可得23BAP BAC ∠=∠，23BDP BDC ∠=∠，再由三角形内角和定理和对顶角相等，可得()2C P P B ∠-∠=∠-∠，即可求解．【详解】（1）证明：在AOC 中，180A C AOC ∠+∠=︒-∠，在BOD 中，180B D BOD ∠+∠=︒-∠，∵AOC BOD ∠=∠，∴A C B D ∠+∠=∠+∠；（2）解：①∵CAB ∠和BDC ∠的平分线AP 和DP 相交于点P ，∴,CAP BAP BDP CDP ∠=∠∠=∠，∵CAP C CDP P ∠+∠=∠+∠①，BAP P BDP B ∠+∠=∠+∠②，由-①②，得：C P P B ∠-∠=∠-∠，即()12P C B ∠=∠+∠，∵100,120B C ∠=︒∠=︒，∴()11001201102P ∠︒=︒︒=+；②∵11,33CAP CAB CDP CDB ∠=∠∠=∠，∴23BAP BAC ∠=∠，23BDP BDC ∠=∠，∵CAP C CDP P ∠+∠=∠+∠，BAP P BDP B ∠+∠=∠+∠，∴()111333C P BDC BAC BDC BAC ∠-∠=∠-∠=∠-∠，()222333P B BDC BAC BDC BAC ∠-∠=∠-∠=∠-∠，∴()2C P P B ∠-∠=∠-∠，∴()123P B C ∠=∠+∠），故答案为：()123P B C ∠=∠+∠．【点睛】本题考查了三角形内角和、有关角平分线的计算，解题的关键是灵活运用“8字形”求解．例4．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边．(1)如图1，线段AD ，BC 交于点E ，连接AB ，CD ，判断AD BC +与AB CD +的大小关系，并说明理由；(2)如图2，OC 平分AOB ∠，P 为OC 上任意一点，在OA ，OB 上截取OE OF =，连接PE ，PF ．求证：PE PF =；(3)如图3，在ABC 中，AB AC >，P 为角平分线AD 上异于端点的一动点，求证：PB PC BD CD ->-．【答案】(1)AD BC AB CD +>+；理由见详解(2)证明见详解(3)证明见详解【分析】（1）根据三角形任意两边之和大于第三边知，AE BE AB +>，CE ED CD +>，两式相加即可得出结论；（2）根据SAS 证OEP OFP △≌△即可得出结论；（3）在AB 上取一点E ，使AE AC =，连接DE 交BP 于点F ，证APE APC ≌，即PC PE =，同理证CD DE =，然后同理（1）得PB CD PC BD +>+，变形不等式即可得出结论．【详解】（1）解：AD BC AB CD +>+，理由如下：AE BE AB +> ，CE ED CD +>，AE BE CE ED AB CD ∴+++>+，即AD BC AB CD +>+；（2）证明：OC 平分AOB ∠，EOP FOP ∴∠=∠，在OEP 和OFP △中，OE OF EOP FOP OP OP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()OEP OFP SAS ∴ ≌，PE PF ∴=；（3）证明：在AB 上取一点E ，使AE AC =，连接DE 交BP 于点F，AD 是BAC ∠的角平分线，EAP CAP ∴∠=∠，在APE V 和APC △中，AE AC EAP CAP AP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()APE APC SAS ∴ ≌，PE PC ∴=，同理可证DE DC =，EF PF EP +> ，BF FD BD +>，EF PF BF FD EP BD ∴+++>+，即PB DE EP BD +>+，PB CD PC BD ∴+>+，PB PC BD CD ∴->-．【点睛】本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握三角形的三边关系和全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．例5．（2023春·江苏苏州·七年级校联考期中）阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问题．我们将图1①所示的图形称为“8字形”．在这个“8字形”中，存在结论A B C D ∠+∠=∠+∠．我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论AOC A C P ∠=∠+∠+∠．(1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题：如图2，AP 、CP 分别平分BAD ∠、BCD ∠，说明：()12P B D ∠=∠+∠．(2)将图2看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题：①如图3，直线AP 平分BAD ∠的外角FAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，若30B ∠=︒，20D ∠=︒，求P ∠的度数．②在图4中，AP 平分BAD ∠的外角FAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，猜想P ∠与B ∠、D ∠的关系（直接写出结果，无需说明理由）．③在图5中，AP 平分BAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，猜想P ∠与B ∠、D ∠的关系（直接写出结果，无需说明理由）．【答案】(1)见解析(2)①25︒；②()11802P B D ∠=︒-∠+∠；③()190+2P B D ∠=︒∠+∠【分析】（1）根据角平分线的定义可得1234∠=∠∠=∠，，再根据题干的结论列出3214P ABC P ADC ∠+∠=∠+∠∠+∠=∠+∠，，相加得到22314P ABC ADC ∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠，继而得到2P ABC ADC ∠=∠+∠，即可证明结论；（2）①如图所示，分作BAD BCD ∠∠，的角平分线交于H ，根据（1）的结论得到()1252H B D ∠=∠+∠=︒，再由角平分线的定义和平角的定义证明90PCH ∠=︒，90PAH ∠=︒，再根据题干的结论可推出25P H ==︒∠∠；②如图所示，分作BAD BCD ∠∠，的角平分线交于H ，由（1）的结论可知()12H B D ∠=∠+∠，，同理可得90PCH ∠=︒，90PAH ∠=︒，则由四边形内角和定理可得()11802P B D ∠=︒-∠+∠；③由题干的结论可得P B BAP BCP =++∠∠∠∠，由角平分线的定义得到1122BAP BAO BCP BCE ==∠，∠，再求出1902BCP BCD =︒-∠，由题干的结论可知B BAO D BCD +=+∠∠∠∠，由此可得()1902P B BAP BCP B D =++=︒++∠∠∠∠∠∠．【详解】（1）解：∵AP CP 、分别平分BAD BCD ∠∠、，∴1234∠=∠∠=∠，，∴2314∠+∠=∠+∠，由题干的结论得：32P ABC ∠+∠=∠+∠，∠14P ADC +∠=∠+∠，∴21324P ABC ADC ∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠，∴2P ABC ADC ∠=∠+∠，∴()12P ABC ADC ∠=∠+∠，即()12P B D ∠=∠+∠；（2）解：①如图所示，分作BAD BCD ∠∠，的角平分线交于H ，由（1）的结论可知()1252H B D ∠=∠+∠=︒，∵PC HC ，分别平分BCE BCD ∠，∠，∴1122BCP BCE BCH BCD ==∠，∠，∵180BCD BCE ∠+∠=︒∴119022BCP BCH BCD BCE +=+=︒∠∠∠∠，∴90PCH ∠=︒，同理可得90PAH ∠=︒，由题干的结论可得P PAH H PCH +=+∠∠∠∠，∴25P H ==︒∠∠；②如图所示，分作BAD BCD ∠∠，的角平分线交于H ，由（1）的结论可知()12H B D ∠=∠+∠，，同理可得90PCH ∠=︒，90PAH ∠=︒，∴()13601802P PAH PCH H B D =︒---=︒-+∠∠∠∠∠∠；③由题干的结论可得P B BAP BCP =++∠∠∠∠，∵AP 平分BAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，∴1122BAP BAO BCP BCE ==∠∠，∠∠，∵180BCE BCD =︒-∠∠，∴1902BCP BCD =︒-∠∠，由题干的结论可知B BAO D BCD +=+∠∠∠∠，∴BAO D BCD B =+-∠∠∠∠，∴P B BAP BCP =++∠∠∠∠119022B BAO BCD =++︒-∠∠1111902222B D BCD B BCD =++-+︒-∠∠∠∠()1902B D =︒++∠∠．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，多边形内角和定理，准确识图并运用好“8”字形的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．模型2、“A ”字模型结论：①∠3+∠4=∠D +∠E ；②∠1+∠2=∠A +180°。
12.3 角平分线的定义及性质(九)
七年级数学暑假作业（九）12.3 角平分线的定义及性质命题人：牟丹丽一、知识梳理1.角的平分线的性质：角的平分线上的到角的两边的相等．用符号语言表示：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴．2.一般情况下，我们要证明一个几何命题的步骤如下：（1）明确命题中的和；（2）根据题意，画出图形，并用表示已知和求证；（3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程。
3.角平分线的判定：角的内部到角的两边的的点在角的平分线上．用符号语言表示：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴．4.三角形的角平分线的性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离。
二、典例探究【例1】如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．求证：∠PCB+∠BAP=180°．【思路点拨】过点P作PE⊥BA于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PF，然后利用HL证明Rt△PEA与Rt△PFC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠PAE=∠PCB，再根据平角的定义解答．练1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD交DC于点E，连接BE，且AD⊥DE，求证：AB=AD+BC．【例2】如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，求证：∠BAD+∠BCD=180°．【思路点拨】首先过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，由BD平分∠ABC，根据角平分线的性质，即可得DE=DF，又由AD=CD，即可判定Rt△CDE≌Rt△ADF，则可证得∠BAD+∠BCD=180°．练2．如图：在△ABC中，AD是它的角平分线．求证：S△ABD：S△ACD=AB：AC．三、巩固练习1. 已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E,且DE=3cm,则点D到AC的距离是( )A.2cm;B.3cm;C.4cm;D.6cm2．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A. 三条中线的交点B. 三条高的交点C. 三条边的垂直平分线的交点D.三条角平分线的交点3．如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D、C，AD与BC相交于点P，若PA=PB，则∠1与∠2的大小是（）A．∠1=∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．无法确定第3题图第4题图第5题图4. 如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA，过点D作DE⊥BC，交AB于E，则下列结论一定正确的是（）A． AE=BE B．D B=DE C．A E=BD D．∠BCE=∠ACE 5. 如图，△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A=40°，则∠BOC=（）A． 110°B．120°C．130°D．140°6.如图，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA=PB，∠MON=50°，∠OPC=30°，则∠PCA=°．第6题图第7题图第8题图7.如图，△ABC的∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P，若点P到AC的距离为4，则点P到AB的距离为.8.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D.若CD＝2 cm，则点D到直线AB的距离是__________ cm.9. 如图所示，BE＝CF，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE交于点D，求证：AD平分∠BAC.10. 如图，某考古队为进行研究，寻找一座古城遗址．根据资料记载，该城在森林附近，到两条河岸的距离相等，到古塔的距离是3 000 m．根据这些资料，考古队很快找到了这座古城的遗址．你能运用学过的知识在图中合理地标出古城遗址的位置吗？请你试一试．(比例尺为1∶100 000)11. 如图所示，有一名民警在值班，他位于到平行的大街两侧以及过街天桥AB的距离相等的点P处．此时，这位民警发现有一可疑分子从天桥A处走向B处，请问民警在注视可疑分子从A处走到B处时，他的视线转过了多大角度？12.如图，AP，CP分别是△ABC的外角∠MAC与∠NCA的平分线，它们相交于点P，PD⊥BM 于点D，PF⊥BN于点F，求证：BP为∠MBN的平分线．13. 如下图所示，三条公路l1，l2，l3两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，可供选择的地方有多少处？你能在图中找出来吗？七年级数学暑假作业（九）参考答案12.3 角平分线的定义及性质 命题人：牟丹丽一、知识梳理 1.点 距离 PD=PE ．2. 已知 求证 符号3. 距离相等 OP 平分∠AOB ．4. 相等 。
【初二数学复习精品课件】角平分线及性质
角平分线及性质知识集结知识元角平分线的性质知识讲解角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长度；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直；如果没有垂直则需要构造垂直后再使用该性质.例题精讲角平分线的性质例1.下列各图中，OP 是∠MON 的平分线，点E，F，G 分别在射线OM，ON，OP 上，则可以解释定理“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是（）【解析】题干解析:解：∵OP是∠MON 的平分线，且GE⊥OM，GF⊥ON，∴GE=GF（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），故选：D．例2.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC=8，DE=2，AB=5，则AC长是（）【解析】题干解析:解：过D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF=2，∵S△ADB=AB×DE=×5×2=5，∵△ABC的面积为8，∴△ADC的面积为8﹣5=3，∴AC×DF=3，∴AC×2=3，∴AC=3，故选D．例3.如图，AB∥CD，AE、CE分别平分∠BAC和∠ACD，BD过点E且垂直于AB，若点E到AC的距离为3，则BD=．【答案】6【解析】题干解析:解：过E作EF⊥AC于F，∵BD⊥AB，AB∥CD，∴BD⊥CD，∵AE、CE分别平分∠BAC和∠ACD，∴BE=EF=DE=3，∴BD=BE+DE=6，故答案为：6．角平分线的作图知识讲解在角平分线相关的作图问题中，一般常会用到的是角平分线的定义和角平分线的性质.例题精讲角平分线的作图例1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（）.【解析】题干解析:解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，又∵∠C=90°，∴DE=CD，∴△ABD的面积=AB•DE=×15×4=30．故选B．例2.观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（）【解析】题干解析:解：根据尺规作图的画法可知：OE是∠AOB的角平分线．A、OE是∠AOB的平分线，A正确；B、OC=OD，B正确；C、点C、D到OE的距离相等，C不正确；D、∠AOE=∠BOE，D正确．故选C．角平分线相关的面积计算知识讲解角平分线的性质能够为面积的计算直接提供现有的高以及高的具体值，所以涉及到角平分的计算也常会与面积结合.例题精讲角平分线相关的面积计算例1.如图，是某油路管道的一部分，延伸其中三条支路恰好构成一个直角三角形，其三边长分别为6cm，8cm，10cm，输油中心O在到三条支路距离相等的地方，则中心O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）为（）.【解析】题干解析:解：设点O到三边的距离为h，则S△ABC=×8×6=×（8+6+10）×h，解得h=2m，∴O到三条支路的管道总长为：3×2=6cm．故选D．例2.如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为15，AB=6，DE=3，则AC的长是（）【答案】D【解析】题干解析:解：如图，过D 作DF ⊥AC ，∵AD 是角平分线，DE ⊥AB ，∴DF=DE=3，∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ，∴15=×6×3+×AC×3，解得AC=4，故选D ．例3.如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，DE=2，AC=3，则△ADC 的面积是（ ）【解析】题干解析: 解：如图，过点D 作DF ⊥AC 于F ，∵AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，∴DE=DF=2．∴S △ACD =AC•DF=×3×2=3，故选A ．角平分线求点线距离知识讲解求点到线的距离问题在角平分线相关的部分是非常典型的一种类型题，其中需要明确的知识包括点到线的距离的标准定义、角平分线的性质，将两者结合来添加辅助线也是非常重要的一种处理手段.例题精讲角平分线求点线距离例1.如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是（）【解析】题干解析:解：作PE⊥OA于E，∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE=PD=2，故选：B．例2.如图，O是直线BC上的点，OM平分∠AOB，ON平分∠AOC，点E在OM上，过点E作EG⊥OA于点G，EP⊥OB于点P，延长EG，交ON于点F，过点F作FQ⊥OC于点Q，若EF=10，则FQ+EP的长度为（）.【解析】题干解析:解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠AOC，EG⊥OA，EP⊥OB，FQ⊥OC，∵FQ=FG，EG=PE，∵EF=FG+EG，∴FQ+EP=EF=10，故选B．例3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AM是∠BAC的平分线，CM=20cm，那么M到AB的距离为．【答案】20cm【解析】题干解析:解：如图，过点M作DM⊥AB于D，∵∠C=90°，AM是∠CAB的平分线，∴DM=CM=20cm，即M到AB的距离为20cm．故答案为：20cm．利用角平分线的性质求线段取值范围知识讲解求线段取值范围的问题，是利用角平分线的性质和垂线段最短这两个知识处理问题的一个典型题型，有线段的范围就能求出最值，所以求线段的最值问题也是此类型题目，处理方法相同.例题精讲利用角平分线的性质求线段取值范围例1.如图，OC平分∠AOB，点P是射线OC上的一点，PD⊥OB于点D，且PD=3，动点Q在射线OA上运动，则线段PQ的长度不可能是（）.【解析】题干解析:解：如图，过点P作PE⊥OA于E，∵OC平分∠AOB，PD⊥OB，∴PE=PD=3，∵动点Q在射线OA上运动，∴PQ≥3，∴线段PQ的长度不可能是2．故选A．例2.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（）.【解析】题干解析:解：∵垂线段最短，∴当PQ⊥OM时，PQ有最小值，又∵OP平分∠MON，PA⊥ON，∴PQ=PA=2，故选B．例3.如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（）【解析】题干解析:解：∵P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，∴∠AOP=AOB=30°，∵PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，∴OP=2DM=8，∴PD=OP=4，∵点C是OB上一个动点，∴PC的最小值为P到OB距离，∴PC的最小值=PD=4．故选C．角平分线的性质在几何问题中的应用知识讲解角平分线的性质为几何计算、证明题提供线段相等的条件，所以一般在题目中出现角平分线且有垂直条件出现时，常会考虑到角平分线的性质.例题精讲角平分线的性质在几何问题中的应用例1.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，点O到BC边的距离为3，且△ABC 的周长为20，则△ABC的面积为．【答案】30【解析】题干解析:解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，∵OB是∠ABC的平分线，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE=OD=3，同理OF=OD=3，△ABC的面积=×AB×3+×AC×3+×BC×3=30．故答案为：30．例2.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E．求证：△DBE的周长等于AB．【答案】证明：∵∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∴DC=DE；∴BD+DE=BD+CD=BC；∵AC2=AD2﹣CD2，AE2=AD2﹣DE2，∴AC=AE，而AC=BC，∴BC=AE，∴BD+DE+BE=AE+BE=AB，即△DBE的周长等于AB．【解析】题干解析:如图，证明DC=DE；进而证明BC=AE，即可解决问题．例3.如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，且BD⊥l于的D，CE⊥l于的E．（1）求证：BD+CE=DE；（2）当变换到如图②所示的位置时，试探究BD、CE、DE的数量关系，请说明理由．【答案】证明：（1）∵∠DAB+∠EAC=90°，∠DAB+∠ABD=90°，∴∠EAC=∠ABD，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD=AE，CE=AD，∵DE=AD+AE，∴DE=BD+CE；（2）BD-CE=DE，理由如下：∵CE⊥AN，BD⊥AN，∴∠AEC=∠BDA=90°，∴∠BAD+∠ABD=90°，∵∠BAC=90°，即∠BAD+∠CAE=90°，∴∠ABD=∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD=CE，BD=AE，∴BD-CE=AE-AD=DE．【解析】题干解析:（1）易证∠EAC=∠ABD，即可求证△ABD≌△CAE，根据全等三角形相等的性质即可解题；（2）先根据垂直的定义得到∠AEC=∠BDA=90°，再根据等角的余角相等得到∠ABD=∠CAE，则可利用“AAS”判断△ABD≌△CAE，所以AD=CE，BD=AE，于是有BD-CE=AE-AD=DE．角平分线的判定知识讲解1.角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.注意：①这是判定角平分线的一个标准判定方法；②如果强调了“在角的内部”，则满足判定条件的线是唯一的，尤其是在三角形中；如果没有强调“在角的内部”，则满足判定条件的线不唯一.例题精讲角平分线的判定例1.如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）.【解析】题干解析:解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知CD与∠AOB的平分线的交于点P．故选D．例2.已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF=PG，DF=EG．求证：OC是∠AOB的平分线．【答案】证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，，∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），∴PD=PE，∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，∴OC是∠AOB的平分线．【解析】题干解析:利用“HL”证明Rt△PFD和Rt△PGE全等，根据全等三角形对应边相等可得PD=PE，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．例3.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC，求证：AD是∠EAC的平分线．【答案】证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED=∠CFD，∴△BDE与△CDE是直角三角形，在Rt△BDE和Rt△CDF中，∴Rt△BDE≌Rt△CDF （HL），∴DE=DF，∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴AD是∠BAC的平分线．【解析】题干解析:首先证明Rt△BDE≌Rt△CDF，可得DE=DF，再根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得AD是∠EAC的平分线．角平分线在选址问题中的应用知识讲解对于选址问题，要能够将实际问题抽象成数学问题，到线性实体的距离相等即等价于到点到线的距离相等，这就是典型的对角平分线的判定方法的考查.例题精讲角平分线在选址问题中的应用例1.三条直线l1，l2，l3相互交叉，交点分别为A，B，C，在平面内找一个点，使它到三条直线的距离相等，则这样的点共有（）.【解析】题干解析:解：作直线l1，l2，l3所围成的△ABC的外角平分线和内角平分线，内角平分线相交于点P1，外角平分线相交于点P2、P3、P4，根据角平分线的性质可得，这4个点到三条直线的距离分别相等．故选：D．例2.A、B、C表示三个小城，相互之间有公路相连，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址可以是（）【解析】题干解析:解：∵货物中转站到三条公路的距离相等，∴可供选择的地址是三条角平分线的交点处．故选B．角平分线性质和判定的综合应用知识讲解根据角平分线的定义和性质可知，角平分线不仅能提供角的关系，还能提供边的关系：①角平分线将一个大角分成相等的两个小角；②角平分线上的点到角的两边距离相等.角平分线在几何计算和证明中被利用的频率比较高.例题精讲角平分线性质和判定的综合应用例1.如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90°②∠ADE=∠CDE ③DE=BE ④AD=AB+CD，四个结论中成立的是（）【解析】题干解析:解：过E作EF⊥AD于F，如图，∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，∴Rt△AEF≌Rt△AEB∴BE=EF，AB=AF，∠AEF=∠AEB；而点E是BC的中点，∴EC=EF=BE，所以③错误；∴Rt△EFD≌Rt△ECD，∴DC=DF，∠FDE=∠CDE，所以②正确；∴AD=AF+FD=AB+DC，所以④正确；∴∠AED=∠AEF+∠FED=∠BEC=90°，所以①正确．故选A．例2.如图，BF、CF分别是∠DBC和∠ECB的角平分线，则关于F的说法不正确的是（）【解析】题干解析:作FP⊥AE于P，FG⊥BC于G，FH⊥AD于H，根据角平分线的性质得到FP=FH，根据角平分线的判定定理判断即可．解：作FP⊥AE于P，FG⊥BC于G，FH⊥AD于H，∵CF是∠BCE的平分线，∴FP=FG，∵BF是∠CBD的平分线，∴FH=FG，∴FP=FH=FG，又FP⊥AE，FH⊥AD，∴AF平分∠BAC，故选：C．例3.如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．（1）求证：OC平分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）求证：AB+CD=AC．【答案】证明：（1）过点O作OE⊥AC于E，∵∠ABD=90゜，OA平分∠BAC，∴OB=OE，∵点O为BD的中点，∴OB=OD，∴OE=OD，∴OC平分∠ACD；（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，，∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），∴∠AOB=∠AOE，同理求出∠COD=∠COE，∴∠AOC=∠AOE+∠COE=×180°=90°，∴OA⊥OC；（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，∴AB=AE，同理可得CD=CE，∵AC=AE+CE，∴AB+CD=AC．【解析】题干解析:（1）过点O作OE⊥AC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OB=OE，从而求出OE=OD，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明；（2）利用“HL”证明△ABO和△AEO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOB=∠AOE，同理求出∠COD=∠COE，然后求出∠AOC=90°，再根据垂直的定义即可证明；（3）根据全等三角形对应边相等可得AB=AE，CD=CE，然后证明即可．角平分线性质模型知识讲解利用角平分线的性质构造辅助线，其最终的模型如下图：例题精讲角平分线性质模型例1.如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．求证：∠PCB+∠BAP=180°．【答案】证明：如图，过点P作PE⊥BA于E，∵∠1=∠2，PF⊥BC于F，∴PE=PF，∠PEA=∠PFB=90°，在Rt△PEA与Rt△PFC中，∴Rt△PEA≌Rt△PFC（HL），∴∠PAE=∠PCB，∵∠BAP+∠PAE=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°．【解析】题干解析:过点P作PE⊥BA于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PF，然后利用HL证明Rt△PEA与Rt△PFC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠PAE=∠PCB，再根据平角的定义解答．例2.四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°.求证：2AE=AB+AD．【答案】证明：过C作CF⊥AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC=∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠DFC=∠CEB=90°，∴△AFC≌△AEC，∴AF=AE，CF=CE，∵∠ADC+∠B=180°∴∠FDC=∠EBC，∴△FDC≌△EBC∴DF=EB，∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE∴2AE=AB+AD.【解析】题干解析:过C作CF⊥AD于F，由条件可证△AFC≌△AEC，得到CF=CE．再由条件∠ADC+∠B=180°证BE=DF，所以△CDF≌△CEB，由全等的性质可得DF=EB，问题可解．例3.在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．（1）①如图（1），当∠B=60°，∠ACB=90°，则∠AFC=；②如图（2），如果∠ACB不是直角，∠B=60°时，请问在①中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）如图（3），在②的条件下，请猜想EF与DF的数量关系，并证明你的猜想．【答案】解：（1）①∵∠B=60°，∠ACB=90°，∴∠BAC=90°﹣60°=30°，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴∠FAC=∠BAC=×30°=15°，∠FCA=∠ACB=×90°=45°，∴∠AFC=180°﹣15°﹣45°=120°；故答案为：120°．②∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴∠FAC+∠FCA=（∠BAC+∠ACB）=（180°﹣∠B），∴∠AFC=180°﹣（∠FAC+∠FCA）=180°﹣（180°﹣∠B）=90°+∠B，∵∠B=60°，∴∠AFC=90°+×60°=120°；（2）如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴FG=FH=FM，∵∠EFH+∠DFH=120°，∠DFG+∠DFH=360°﹣90°×2﹣60°=120°，∴∠EFH=∠DFG，在△EFH和△DFG中，，∴△EFH≌△DFG（AAS），∴EF=DF．【解析】题干解析:（1）①根据角平分线的定义求出∠FAC、∠FCA，再根据三角形的内角和定理列式计算即可得解；②根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出∠FAC、∠FCA，再利用三角形内角和定理列式计算即可得解；（2）过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得FG=FH=FM，再求出∠EFH=∠DFG，然后利用“角边角”证明△EFH 和△DFG全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．角平分线的对称模型知识讲解在利用角平分线的对称特点添加辅助线类的题目，常会与下一节要讲的截长补短的结构相关，所以在分析题目时，有时候可以从多个角度入手，拓展解题思路.例题精讲角平分线的对称模型例1.已知，如图，△ABC中，∠BAC=60°，AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求∠B的度数．【答案】解：如图，在AC上截取AE=AB，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED （SAS），∴BD=DE，∠B=∠AED，∵AC=AE+CE，AC=AB+BD，∴CE=BD，∴CE=DE，∴∠C=∠CDE，即∠B=2∠C，在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴60°+2∠C+∠C=180°，解得∠C=40°，∴∠B=2×40°=80°．【解析】题干解析:在AC上截取AE=AB，根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，然后利用“边角边”证明△ABD和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=DE，全等三角形对应角相等可得∠B=∠AED，再求出CE=BD，从而得到CE=DE，根据等边对等角可得∠C=∠CDE，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AED=2∠C，然后根据三角形的内角和定理列方程求出∠C，即可得解．例2.已知在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE交于点O．（1）如图1，若∠BAC=60°，求证：AC=AE+CD；（2）如图2，若∠BAC≠60°，（1）中的结论是否发生变化，请说明理由．【答案】解：（1）如图1中，在线段AC上截取AF=AE，连接OF．∵∠ABC=60°，∴∠BAC+∠ACB=120°，∴∠BAC+∠ACB=60°，∴∠OAC+∠OCA=60°，∴∠AOC=120°，∴∠AOE=∠COD=60°，在△AOE和△AOF中，，∴△AOE≌△AOF，∴∠AOE=∠AOF=60°，∴∠COF=∠COD=60°，在△COF和△COD中，，∴△COF≌△COD，∴CF=CD，∴AC=AF+CF=AE+CD．（2）如图2中，当∠ABC≠60°时，结论不成立．由（1）可知，假设结论成立．则有∠AOF=∠COF=∠COD=60°，∴∠AOC=120°，∴∠OAC+∠OCA=60°，∵∠BAC=2∠OAC，∠ACB=2∠OCA，∴∠BAC+∠BCA=120°，∴∠B=60°，这个与已知矛盾，∴结论不成立．【解析】题干解析:（1）如图1中，在线段AC上截取AF=AE，连接OF．只要证明△AOE≌△AOF，△COF≌△COD，即可解决问题．（2）结论不成立．用反证法证明即可．例3.在△ABC中，∠A=60°，BE，CF分别是∠ABC和∠ACB的平分线，CF与BE相交于点O．（1）如图1，若∠ACB=90°，求证：BF+CE=BC；（2）如图2，若∠ABC与∠ACB是任意角度，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．【答案】解：（1）在BC上找到D，使得BF=BD，∵∠A=60°，∠ACB=90°，∴∠ABC=30°，∵BE，CF分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠FBO=∠CBO=15°，∠ECO=∠BCO=45°，∴△BOC中，∠BOC=120°，∴∠BOF=∠COE=60°，由BF=BD，∠FBO=∠CBO，BO=BO可得△BOD≌△BOF（SAS），∴∠BOD=∠BOF=60°，∴∠COD=180°﹣60°﹣60°=60°，∴∠COD=∠COE，由∠COD=∠COE，CO=CO，∠ECO=∠BCO可得∴△OCE≌△OCD（ASA），∴CE=CD，∵BC=BD+CD，∴BC=BF+CE．（2）结论BC=BF+CE仍成立．在BC上找到D，使得BF=BD，∵∠A=60°，BD、CE是△ABC的角平分线，∴∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=120°，∠ECO=∠BCO，∴∠BOF=∠COE=60°，由BF=BD，∠FBO=∠CBO，BO=BO可得△BOD≌△BOF（SAS），∴∠BOD=∠BOF=60°，∴∠COD=180°﹣60°﹣60°=60°，∴∠COD=∠COE，由∠COD=∠COE，CO=CO，∠ECO=∠BCO可得∴△OCE≌△OCD（ASA），∴CE=CD，∵BC=BD+CD，∴BC=BF+CE．【解析】题干解析:（1）在BC上找到D，使得BF=BD，根据SAS易证△BOF≌△BOD，可得∠BOF=∠BOD=60°，进而得出∠COE=∠COD=60°，即可证明△OCE≌△OCD，可得CF=CD，根据BC=BD+CD即可得出结论；（2）在BC上找到D，使得BF=BD，易证△BOF≌△BOD，可得∠BOF=∠BOD=60°，进而得出∠COE=∠COD=60°，即可证明△OCE≌△OCD，可得CF=CD，根据BC=BD+CD即可得出结论．当堂练习单选题练习1.某地为了发展旅游业，要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村的选址地点共有（）处．【解析】题干解析:解：∵度假村在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等，∴度假村应该在围成的三角形三条角平分线的交点处．故选A．练习2.如图，BF、CF分别是∠DBC和∠ECB的角平分线，则关于F的说法不正确的是（）【解析】题干解析:解：作FP⊥AE于P，FG⊥BC于G，FH⊥AD于H，∵CF是∠BCE的平分线，∴FP=FG，∵BF是∠CBD的平分线，∴FH=FG，∴FP=FH=FG，又FP⊥AE，FH⊥AD，∴AF平分∠BAC，故选：A．练习3.观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（）【解析】题干解析:解：根据尺规作图的画法可知：OE是∠AOB的角平分线．A、OE是∠AOB的平分线，A正确；B、OC=OD，B正确；C、点C、D到OE的距离相等，C不正确；D、∠AOE=∠BOE，D正确．故选C．练习4.如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为15，AB=6，DE=3，则AC的长是（）【解析】题干解析:解：如图，过D作DF⊥AC，∵AD是角平分线，DE⊥AB，∴DF=DE=3，∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴15=×6×3+×AC×3，解得AC=4，故选D．练习5.如图，OP平分∠MON，PA⊥OA于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的值为（）【解析】题干解析:解：∵OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，PA=2，∴点P到OM的距离等于2，而点Q是射线OM上的一个动点，∴PQ≥2．故选D．练习6.如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（）【解析】题干解析:解：∵P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，∴∠AOP=AOB=30°，∵PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，∴OP=2DM=8，∴PD=OP=4，∵点C是OB上一个动点，∴PC的最小值为P到OB距离，∴PC的最小值=PD=4．故选C．练习7.A、B、C表示三个小城，相互之间有公路相连，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址可以是（）【解析】题干解析:解：∵货物中转站到三条公路的距离相等，∴可供选择的地址是三条角平分线的交点处．故选B．练习8.如图，AB⊥AC，AG⊥BG，CD、BE分别是∠ACB，∠ABC的角平分线，AG∥BC，下列结论：①∠BAG=2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG=∠ACB；④∠CFB=135°、其中正确的结论是（）【解析】题干解析:解：∵AG∥BC，∴∠BAG=∠ABC，∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠ABC=2∠ABF，∴∠BAG=2∠ABF，①正确；BA不一定平分∠CBG，②错误；∵AB⊥AC，AG⊥BG，∴∠BAG+∠ABG=90°，∠ABC+∠ACB=90°，∵AG∥BC，∴∠BAG=∠ABC，∴∠ABG=∠ACB，③正确；∵∠BAC=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∵CD、BE分别是∠ACD，∠ABC的角平分线，∴∠FBC+∠FCB=45°，∴∠CFB=135°，④正确，故选：C．练习9.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC=8，DE=2，AB=5，则AC长是（）【解析】题干解析:解：过D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF=2，∵S△ADB=AB×DE=×5×2=5，∵△ABC的面积为8，∴△ADC的面积为8﹣5=3，∴AC×DF=3，∴AC×2=3，∴AC=3，故选D．填空题练习1.在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，∠ACB的平分线交AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，连接DE，DF⊥BC于F，则∠EDC=°．【答案】30【解析】题干解析:解：过D作DM⊥AC交CA的延长线于M，DN⊥AE，∵CD平分∠ACB，∴DF=DM，∵∠BAC=120°，∴∠DAM=60°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=60°，∴∠DAM=∠BAE，∴DM=DN，∵DF⊥BC，∴DE平分∠AEB，∵AB=AC，AE平分∠BAC交BC于E，∴AE⊥BC，∴∠AEB=90°，∴∠DEF=45°，∵∠B=∠C=30°，∴∠DCF=15°，∴∠EDC=30°，故答案为：30．解答题练习1.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC，求证：AD是∠EAC的平分线．【答案】证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED=∠CFD，∴△BDE与△CDE是直角三角形，在Rt△BDE和Rt△CDF中，∴Rt△BDE≌Rt△CDF （HL），∴DE=DF，∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴AD是∠BAC的平分线．【解析】题干解析:首先证明Rt△BDE≌Rt△CDF，可得DE=DF，再根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得AD是∠EAC的平分线．练习2.已知在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE交于点O．（1）如图1，若∠BAC=60°，求证：AC=AE+CD；（2）如图2，若∠BAC≠60°，（1）中的结论是否发生变化，请说明理由．【答案】解：（1）如图1中，在线段AC上截取AF=AE，连接OF．∵∠ABC=60°，∴∠BAC+∠ACB=120°，∴∠BAC+∠ACB=60°，∴∠OAC+∠OCA=60°，∴∠AOC=120°，∴∠AOE=∠COD=60°，在△AOE和△AOF中，，∴△AOE≌△AOF，∴∠AOE=∠AOF=60°，∴∠COF=∠COD=60°，在△COF和△COD中，，∴△COF≌△COD，∴CF=CD，∴AC=AF+CF=AE+CD．（2）如图2中，当∠ABC≠60°时，结论不成立．由（1）可知，假设结论成立．则有∠AOF=∠COF=∠COD=60°，∴∠AOC=120°，∴∠OAC+∠OCA=60°，∵∠BAC=2∠OAC，∠ACB=2∠OCA，∴∠BAC+∠BCA=120°，∴∠B=60°，这个与已知矛盾，∴结论不成立．【解析】题干解析:（1）如图1中，在线段AC上截取AF=AE，连接OF．只要证明△AOE≌△AOF，△COF≌△COD，即可解决问题．（2）结论不成立．用反证法证明即可．练习3.观察、猜想、探究：在△ABC中，∠ACB=2∠B．（1）如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，求证：AB=AC+CD；（2）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（3）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．【答案】解：（1）过D作DE⊥AB，交AB于点E，如图1所示，∵AD为∠BAC的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE=DC，在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=AD，DE=DC，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE，∠ACB=∠AED，∵∠ACB=2∠B，∴∠AED=2∠B，又∵∠AED=∠B+∠EDB，∴∠B=∠EDB，∴BE=DE=DC，则AB=BE+AE=CD+AC；（2）AB=CD+AC，理由为：在AB上截取AG=AC，如图2所示，∵AD为∠BAC的平分线，∴∠GAD=∠CAD，∵在△ADG和△ADC中，，∴△ADG≌△ADC（SAS），∴CD=DG，∠AGD=∠ACB，∵∠ACB=2∠B，∴∠AGD=2∠B，又∵∠AGD=∠B+∠GDB，∴∠B=∠GDB，∴BE=DG=DC，则AB=BG+AG=CD+AC；（3）AB=CD﹣AC，理由为：在AF上截取AG=AC，如图3所示，∵AD为∠FAC的平分线，∴∠GAD=∠CAD，∵在△ADG和△ACD中，，∴△ADG≌△ACD（SAS），∴CD=GD，∠AGD=∠ACD，即∠ACB=∠FGD，∵∠ACB=2∠B，∴∠FGD=2∠B，又∵∠FGD=∠B+∠GDB，∴∠B=∠GDB，∴BG=DG=DC，则AB=BG﹣AG=CD﹣AC．【解析】题干解析:（1）过D作DE⊥AB，交AB于点E，理由角平分线性质得到ED=CD，利用HL得到直角三角形AED与直角三角形ACD全等，由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到AE=AC，∠AED=∠ACB，由∠ACB=2∠B，利用等量代换及外角性质得到一对角相等，利用等角对等边得到BE=DE，由AB=AE+EB，等量代换即可得证；（2）AB=CD+AC，理由为：在AB上截取AG=AC，如图2所示，由角平分线定义得到一对角相等，再由AD=AD，利用SAS得到三角形AGD与三角形ACD全等，接下来同（1）即可得证；（3）AB=CD﹣AC，理由为：在AF上截取AG=AC，如图3所示，同（2）即可得证．练习4.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．求证：AD是△ABC的角平分线．【答案】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴Rt△BDE和Rt△DCF是直角三角形．，∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），∴DE=DF，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是角平分线．【解析】题干解析:首先可证明Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）再根据三角形角平分线的逆定理求得AD是角平分线即可．练习5.如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．求证：∠PCB+∠BAP=180°．【答案】证明：如图，过点P作PE⊥BA于E，∵∠1=∠2，PF⊥BC于F，∴PE=PF，∠PEA=∠PFB=90°，在Rt△PEA与Rt△PFC中，，∴Rt△PEA≌Rt△PFC（HL），∴∠PAE=∠PCB，∵∠BAP+∠PAE=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°．【解析】题干解析:过点P作PE⊥BA于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PF，然后利用HL证明Rt△PEA与Rt△PFC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠PAE=∠PCB，再根据平角的定义解答．练习6.如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180°．【答案】证明：过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，∠DEC=∠F=90°，在RtCDE和Rt△ADF中，，∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），∴∠FAD=∠C，∴∠BAD+∠C=∠BAD+∠FAD=180°．【解析】题干解析:首先过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，由BD平分∠ABC，根据角平分线的性质，即可得DE=DF，又由AD=CD，即可判定Rt△CDE≌Rt△ADF，则可证得：∠A+∠C=180°．练习7.如图，在△ABC中，D为AB的中点，F为BC上一点，DF∥AC，延长FD至E，且DE=DF，联结AE、AF．（1）求证：∠E=∠C；（2）如果DF平分∠AFB，求证：AC⊥AB．【答案】证明：（1）∵D为AB的中点，∴BD=AD，在△AED与△BFD中，，∴△AED≌△BFD（SAS），∴∠E=∠DFB，∵DF∥AC，∴∠C=∠DFB，∴∠C=∠E；（2）∵DF平分∠AFB，∴∠AFD=∠DFB，∵∠E=∠DFB，∴∠AFD=∠AED，∵ED=DF，∴∠DAF+∠AFD=90°，∵EF∥AC，∴∠AFD=∠FAC，∴∠DAF+∠FAC=90°，∴AC⊥AB．【解析】题干解析:（1）根据SAS证明△AED与△BFD全等，再利用等量代换证明即可；（2）根据角平分线的定义和等腰三角形的性质进行证明即可．。
人教版角的平分线的性质(9)
4. 如 图 所 示 ， D 是 ∠ A C G 的 平 分 线 上 的 一 点 ． DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF.
证明：∵CD是∠ACG的平分 线，DE⊥AC，DF⊥CG，
∴DE＝DF. 在Rt△CDE和Rt△CDF中，
CDDE CDDF,,
∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)， ∴CE＝CF.
任意一点
1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作
PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.
将三次数据填入下表：
A
D
C
p
O
E
B
2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写
出猜结想：：_角P_D_的_=_平P_E_分__线_ 上的点到角的两边的距离相等.
验证猜想 角的平分线上的点到角的两边的距离相等
× ( 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 )
B
B
A
D A
D
C
(2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）C .
∴ BD = CD ,
× ( 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 )
典例精析
例1：已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线， 且BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F. 求证：EB=FC.
方法归纳
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可 以按照类似的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表 示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径， 写出证明过程.
知识要点
u 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
人教版八年级数学上册1角平分线的性质
因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的 作用．同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结 构合理，符合学生的心理特点和认知规律
2、教材目标
知识与技能: （1）掌握角平分线的作法 （2）理解角平分线的性质 （3）会运角平分线的性质解决问题 过程与方法: （1）经历角平分线的探究过程，增强学生的实验、猜 想、推理意识 （2）依据性质进行简单说理，培养学生动手操作能力、 逻辑推理能力 （3）初步了解角平分线的性质在生活、生产中的应用。 情感目标:激发学生学习兴趣,增强学生学好数学的信心.
A
N
D P
F
M
∟
点P在BM上,
B
∴ PD=PE. 同理 PE=PF.
C E
∴ PD=PE=PF. 即点P到三边AB,BC,CA的距离相等.
三.说教学过程
复
创
例
习
设
题
提
情
讲
问
景
解
导
探
形
入
究
成
新
新
技
课
知
能
合
课
作
堂
交
小
流
结
布
置
巩
达
作
固
标
业
提
测
高
试
自主探究 巩固提高
1.如图,E是∠AOB的角平分线OC上的一点,EM⊥OB垂足为M,
（ 2） 其次学生们的实际水平有所不 同，全面深入探究问题能力有所差异,他 们对问题的理性推理有待于提高。
二.说 教 学 法
采用“先学后教·当堂训练“ 教 学 法
一内一外角平分线证明过程 -回复
一内一外角平分线证明过程-回复如何证明一内一外角平分线？引言：在几何学中，我们经常会遇到平分角的概念。
平分角是指将一个角分为两个相等角的行为或直线。
在这篇文章中，我们将讨论如何证明一内一外角平分线的方法。
通过运用基本的几何定理和推理，我们将一步一步地介绍这个证明过程。
1. 定义一内一外角平分线：一内一外角平分线是指从一个角的内部点向外部划过一条射线，将该角分为两个相等的角度。
这个内部点称为角的内部点，外部射线与角的两边（射线）交于点上。
2. 假设：我们给定一个角ABC，我们假设BD是角ABC的一条射线，并且点D在AB上，点C在BD上，角DBC是角ABC的内角。
3. 证明：为了证明BD是角ABC的一内一外角平分线，我们需要证明两个条件：- 条件1：∠DBC = ∠CBA（角DBC与角ABC的内角相等）。
- 条件2：角DBC与角ABC的外角相等。
首先我们证明条件1。
根据证明几何的基本原理，我们知道如果一个角的两个内角相等，则这两个角是相等的。
因此，我们需要证明∠DBC = ∠CBA。
根据假设，我们可以得到两个条件：- ①∠ABC是一条直线，即∠ABC = 180。
- ②∠DBC是直线DB的内角，因此∠DBC < 180。
由于∠DBC和∠ABC都是角ABC的一个内角，它们的和应等于180。
所以我们可以得到等式：∠DBC + ∠ABC = 180。
同时，根据假设中的条件①，我们可以将等式中的∠ABC替换成180，得到∠DBC + 180 = 180。
再进一步简化等式得到∠DBC = 0。
所以，我们可以看到，∠DBC = 0，这意味着∠DBC是一个无角。
而无角的特性是它是一个平角，即∠DBC = ∠CBA。
接下来我们证明条件2，即角DBC与角ABC的外角相等。
根据几何定理，当一条直线与另一条直线垂直相交时，形成的四个角中，邻近的两个角（内角）与远离交叉点的两个角（外角）互补。
所以，我们需要证明∠CAD = ∠CDB。
边角的概念
边角的概念边角是指一个平面图形的外边缘或拐角处。
在数学中，边角的概念常常与几何形状和图形的研究相关。
一、边角的定义在数学中，我们将图形的边界或拐角处称为边角。
边是指连接图形上的两点的线段，角是指由两个边共同形成的空间形状。
边角可以用几何术语来描述和计算，如直角、钝角和锐角等。
二、边角的分类根据角度的大小和几何形状的性质，我们可以将边角分为以下几类：1. 直角：直角是指两条线相互垂直且相交于一点的角。
直角的度数为90，可以通过使用直角尺来检测和绘制。
例如，一个正方形的内角即为直角。
2. 锐角：锐角是指度数小于90的角。
这意味着锐角的两条边靠近于彼此，相对也更接近于平行。
例如，一个三角形的内角可以是锐角。
3. 钝角：钝角是指度数大于90但小于180的角。
这意味着钝角的两条边相对地离得较远，相对也更接近于相反方向。
例如，一个内角大于90的梯形。
4. 平角：平角是指度数为180的角，也就是一条线。
平角是最大的角度，两条边完全对齐在一起。
例如，一个圆的圆心角即为平角。
三、边角的性质边角有一些值得注意的性质：1. 外角和内角：在任何几何图形中，边角可以分为内角和外角。
内角是位于图形内部的角度；外角是与内角相对的角度，位于图形的外部。
外角和内角的和等于180。
2. 补角和余角：补角是指两个角的和为90，互为补角。
例如，如果一个角为30，它的补角为60。
余角是指两个角的和为180，互为余角。
3. 同位角和对应角：同位角是指两条直线被平行线割开的内角，它们分别位于平行线的同一边。
同位角具有相等性质，即它们的度数相等。
对应角是指两条平行线被一条截线割开的内角，它们分别位于平行线的相同位置。
对应角也具有相等性质。
4. 角平分线和角三等分线：角平分线是指将一个角分成两个度数相等的角的线。
例如，在一个直角三角形中，斜边可以将直角角分成两个45的角。
角三等分线是指将一个角分成三个度数相等的角的线。
例如，在一个正多边形中，各边的延长线会将内角三等分。
有关图形角的概念
有关图形角的概念角是平面上由两条射线或线段共同端点所围成的一部分，是几何学中的一个基本概念。
角的大小可以用度数、弧度或比例等方式来表示。
首先，我们先来了解一些基本的角度概念。
角分为锐角、直角、钝角和平角四种类型。
锐角是小于90度的角，直角是等于90度的角，钝角是大于90度小于180度的角，平角是等于180度的角。
角可以用两种方式来标记：角度制和弧度制。
在角度制中，一个圆被划分为360个等分，每个等分被称为一度，一个直角等于90度。
除了度数，角度制还可使用如分和秒这样的单位来进一步划分每个度。
在弧度制中，一个圆的周长是2π，一个圆的弧长等于圆心角被称为1弧度。
我们可以通过将角的度数乘以π/180来将角度制转换为弧度制。
接下来，让我们来了解一些关于角的基本性质。
1. 角的顶点是固定的，但角度可以根据两条射线或线段的位置而改变。
2. 两条射线或线段可以构成多个角，但它们共享的顶点只有一个。
3. 相互垂直的两条线段所构成的角是直角。
4. 角的两条射线或线段可以互换位置而不影响角的大小。
5. 同一个角的对顶角是相等的。
6. 两条平行线上的对应角、同位角和内错角是相等的。
7. 两条平行线上的同旁异位角互为补角。
8. 两条交叉线上的内角和等于180度。
除了这些基本性质外，角还有一些特殊的性质。
1. 角平分线：一条角的平分线将该角平分为两个相等的角。
2. 垂直角：两条相交直线的互为垂直角，垂直角的度数相等。
3. 顶角和底角：当两条直线相交时，两个相邻的内角（也称为顶角）和两个相邻的外角（也称为底角）之和等于180度。
4. 夹角：两条交叉直线之间的夹角，直线之间的夹角可以是锐角、直角或钝角。
5. 同位角：两条平行线上分别位于交叉线的同侧的角，称为同位角。
同位角之和等于180度。
6. 内错角和外错角：当两条平行线被一条直线所切割时，直线与平行线之间形成的相交角称为内错角和外错角。
内错角和外错角互为补角。
了解了这些基本概念和性质后，我们可以通过角度的计算和运用来解决一些几何问题。
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角平分线与平角的定义
如图，射线OC在∠AOB内，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC，问∠MON的度数。
解：∵OM平分∠AOC，ON平分∠COB（已知）
∴∠MOC=1/2∠AOC ∠CON=1/2∠COB(角平分线定义) ∴∠MOC=∠COM+∠CON
=1/2∠AOC+1/2∠COB
=1/2（∠AOC+∠COB）
=1/2∠AOB
=1/2×180°
=90°答：∠MON的度数为90°
解答过程如上。
同样的，如果我们拿到这样一道题：
将一张长方形纸沿一条直线对折，再由这线平分两个部分，得一个角，这个角是多少度呢？
如
图，同样
的，我们
也可以
将图中
AB看作
一个角
（平角），并为其标号—EFGO，那么当我们擦除线段CA、CD和DB后，图也就变成了图一，那么∠EOG的度数就为90°。
那么，现在还有一种题型—将图一与图二合并，答案如何呢？我们来看图三，一起来验证这个角是否为90°。
解：∵OC平分∠COF（已知）
∴∠COE=1/2∠COF（角平分线定义）
又∵OG平分∠FOD（已知）
∴∠FOG=1/2∠FOD（角平分线定义）
∴∠EOG=1/2∠COF+1/2∠FOD
=1/2（∠COF+∠FOD）
=1/2∠COD
=1/2×180°
=90°
答：∠EOG为90°。
∴综上所述，得出结论：
平角被一条射线分开，作为两个角的平分线，二平分线之间的角度就为90°。
虎台中学初一四班李韫。