二次函数-用待定系数法求解二次函数解析式专题讲义
待定系数法求解析式
一、知识要点
近年高频考点中考频率所占分值
1、用待定系数法求解二次函数解析式 5~10分
1、设一般式y＝ax2＋bx＋c_用待定系数法求二次函数解析式
2、设顶点式y＝a(x－h)2＋k _用待定系数法求二次函数解析式
3、设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)_用待定系数法求二次函数解析式
知识点回顾：
二次函数的表达形式有那些？
二、知识要点详解
1、知识点一：设一般式y＝ax2＋bx＋c_用待定系数法求二次函数的解析式
什么叫做待定系数法？
一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
根据定义待定系数法求二次函数的解析式步骤如下：
（1）、找出符合方程的点；
（2）、根据相应的点设不同形式的函数方程；
（3）、将相应点的坐标带入（2）步骤所设的函数方程得到关于系数关系的方程或方程组；
（4）、解出方程或方程组得到相应的系数
（5）、将系数带入所设方程得到二次函数的解析式
如题：
二次函数的顶点为（2,1），函数图像经过点（1,0），求此二次函数的解析式。
解：∵二次函数的定点为（2,1）找点（1）∴设二次函数的解析式为：
y＝a(x－2)2＋1 根据相应的点设立方程（2）∵点（1,0）在函数图像上，即（1,0）满足方程y＝a(x－2)2＋1
∴0＝a(1－2)2＋1 将点带入得方程（3）
解之得：a=-1 解方程（4）
∴二次函数解析式为：y＝-(x－2)2＋1 将所求系数代入得方程解析式（5）
一般式y＝ax2＋bx＋c的求解方法：
若是已知条件是图像上的三个点，则设所求二次函数y＝ax2＋bx＋c，将已知条件代入解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组求出a、b、c的值，代入方程求得解析式
例题一
1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(－1，0)，(0，－2)，(1，－2)，则这个二次函数的解析式为____________．
2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝1；当x＝－1时，y＝6；当x＝1时，y＝0.求这个二次函数的解析式．
3．已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的解析式是( ) A．y＝2x2＋x＋2B．y＝x2＋3x＋2
C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－3x＋2
4．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点，
求出抛物线的解析式．
5.已知抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)．
(1)求抛物线C1的解析式；
(2)将抛物线C1向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线C2经过坐标原点，并写出C2的解析式．
顶点式y＝a(x－h)2＋k的求解方法：
若是已知条件是图像上的顶点（h，k）及另外一点（x，y），则设所求二次函数y＝a(x－h)2＋k，将已知条件（x，y）代入解析式，得到关于a的一元一次方程，解方程求出a的值，代入方程求得解析式
例题二
1．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为( )
A．y＝2(x＋1)2＋8
B．y＝18(x＋1)2－8
C．y＝2
9(x－1)
2＋8
D．y＝2(x－1)2－8
2．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的最高点是(－1，－3)，则b，c的值分别是( ) A．b＝2，c＝4B．b＝2，c＝－4
C．b＝－2，c＝4 D．b＝－2，c＝－4
3．在直角坐标平面内，二次函数的图象顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)，求该二次函数的解析式．
4．已知抛物线经过两点A(1，0)，B(0，3)，且对称轴是直线x＝2，求其解析式．
5.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，且抛物线经过
A(－1，0)，B(0，－3)两点，则这条抛物线的解析式为
交点式y＝a(x－x1)(x－x2)的求解方法：
若是已知条件是图像上抛物线与x轴的交点（x1，0）、（x2，0）及另外任意一点（x3，y3），则设所求二次函数y＝a(x－x1)(x－x2)，将已知条件（x3，y3）代入解析式，得到关于a的一元一次方程，解方程求出a的值，代入方程求得解析式
例题三
1．如图，抛物线的函数表达式是( )
A．y＝1
2x
2－x＋4
B．y＝－1
2x
2－x＋4
C．y＝1
2x
2＋x＋4
D．y＝－1
2x
2＋x＋4
2．已知一个二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(－1，0)和(2，0)，与y 轴的交点坐标为(0，－2)，求这个二次函数的解析式．
3．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是( )
A．y＝x2－x－2
B．y＝－1
2x
2－
1
2x＋2
C．y＝－1
2x
2－
1
2x＋1
D．y＝－x2＋x＋2
4．已知抛物线与x轴的交点是A(－2，0)，B(1，0)，且经过点C(2，8)，该抛物线的解析式为
5．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A(1，0)，B(3，0)，求这条抛物线的解析式．
3.把二次函数
25
3212++=x x y 的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，求所得二次函数的解析式。
4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，边长为2的正方形OABC 的顶点A ，C 分别在
x 轴、y 轴的正半轴上，二次函数y ＝－2
3x 2＋bx ＋c 的图象经过B ，C 两点．求该二次函数的解析式．
五、真题在线
1.（2008山东威海）已知二次函数
的图象过点A （1，2），B （3，2），C （5，7）．若
点M （-2，y 1），N （-1，y 2），K （8，y 3）也在二次函数
的图象上，则下列结论正确的是 A ．y 1＜y 2＜y 3
B ．y 2＜y 1＜y 3
C ．y 3＜y 1＜y 2
D ．y 1＜y 3＜y
2、(2008年浙江省绍兴市)已知点，
均在抛物线
上，下列说法中正确的
是（ ） A ．若，则 B ．若，则 C ．若
，则
D ．若
，则
3、(2008年天津市)把抛物线向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4、(2008年福建省福州市)10．已知抛物线与轴的一个交点为
，
则代数式
的值为（ ）
A ．2006
B ．2007
C ．2008
D ．2009
5、（2008年四川省宜宾市）已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D. （1） 求该抛物线的解析式；
（2） 若该抛物线与x 轴的另一个交点为E.
求四边形ABDE 的面积； （注：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为
）
六、作业设计：
经典在线
1.已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式。
2.已知抛物线的顶点（－1，－2）且图象经过（1，10），求此抛物线解析式。
能力拓展
1、二次函数y= ax2+bx+c，当x＜6时y随x的增大而减小，x＞6时y随x的增大而增大，其最小值为－12，其图象与x轴的交点的横坐标是8，求此函数的解析式。
2、二次函数的图象与x轴两交点之间的距离是2，且过（2，1）、（－1，－8）两点，求此二次函数的解析式。
真题在线
1、(2008 河南实验区)如图是二次函数图像的一部分，
该图在轴右侧与轴交点的坐标是
2、.(2008年乐山市)已知二次函数的图象如图所示，令
，则（）
A．M>0 B. M<0 C. M=0 D. M的符号不能确定
3、（2008年陕西省）已知二次函数（其中），
关于这个二次函数的图象有如下说法：
①图象的开口一定向上；
②图象的顶点一定在第四象限；
③图象与轴的交点至少有一个在轴的右侧．
以上说法正确的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
4、（2008年江苏省无锡市）已知抛物线与它的对称轴相交于点，与轴交
于，与轴正半轴交于．
（1）求这条抛物线的函数关系式；