二次函数-用待定系数法求解二次函数解析式专题讲义

待定系数法求解析式

一、知识要点

近年高频考点中考频率所占分值

1、用待定系数法求解二次函数解析式 5~10分

1、设一般式y＝ax2＋bx＋c_用待定系数法求二次函数解析式

2、设顶点式y＝a(x－h)2＋k _用待定系数法求二次函数解析式

3、设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)_用待定系数法求二次函数解析式

知识点回顾：

二次函数的表达形式有那些？

二、知识要点详解

1、知识点一：设一般式y＝ax2＋bx＋c_用待定系数法求二次函数的解析式

什么叫做待定系数法？

一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。

根据定义待定系数法求二次函数的解析式步骤如下：

（1）、找出符合方程的点；

（2）、根据相应的点设不同形式的函数方程；

（3）、将相应点的坐标带入（2）步骤所设的函数方程得到关于系数关系的方程或方程组；

（4）、解出方程或方程组得到相应的系数

（5）、将系数带入所设方程得到二次函数的解析式

如题：

二次函数的顶点为（2,1），函数图像经过点（1,0），求此二次函数的解析式。

解：∵二次函数的定点为（2,1）找点（1）∴设二次函数的解析式为：

y＝a(x－2)2＋1 根据相应的点设立方程（2）∵点（1,0）在函数图像上，即（1,0）满足方程y＝a(x－2)2＋1

∴0＝a(1－2)2＋1 将点带入得方程（3）

解之得：a=-1 解方程（4）

∴二次函数解析式为：y＝-(x－2)2＋1 将所求系数代入得方程解析式（5）

一般式y＝ax2＋bx＋c的求解方法：

若是已知条件是图像上的三个点，则设所求二次函数y＝ax2＋bx＋c，将已知条件代入解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组求出a、b、c的值，代入方程求得解析式

例题一

1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(－1，0)，(0，－2)，(1，－2)，则这个二次函数的解析式为____________．

2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝1；当x＝－1时，y＝6；当x＝1时，y＝0.求这个二次函数的解析式．

3．已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的解析式是( ) A．y＝2x2＋x＋2B．y＝x2＋3x＋2

C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－3x＋2

4．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点，

求出抛物线的解析式．

5.已知抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)．

(1)求抛物线C1的解析式；

(2)将抛物线C1向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线C2经过坐标原点，并写出C2的解析式．

顶点式y＝a(x－h)2＋k的求解方法：

若是已知条件是图像上的顶点（h，k）及另外一点（x，y），则设所求二次函数y＝a(x－h)2＋k，将已知条件（x，y）代入解析式，得到关于a的一元一次方程，解方程求出a的值，代入方程求得解析式

例题二

1．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为( )

A．y＝2(x＋1)2＋8

B．y＝18(x＋1)2－8

C．y＝2

9(x－1)

2＋8

D．y＝2(x－1)2－8

2．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的最高点是(－1，－3)，则b，c的值分别是( ) A．b＝2，c＝4B．b＝2，c＝－4

C．b＝－2，c＝4 D．b＝－2，c＝－4

3．在直角坐标平面内，二次函数的图象顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)，求该二次函数的解析式．

4．已知抛物线经过两点A(1，0)，B(0，3)，且对称轴是直线x＝2，求其解析式．

5.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，且抛物线经过

A(－1，0)，B(0，－3)两点，则这条抛物线的解析式为

交点式y＝a(x－x1)(x－x2)的求解方法：

若是已知条件是图像上抛物线与x轴的交点（x1，0）、（x2，0）及另外任意一点（x3，y3），则设所求二次函数y＝a(x－x1)(x－x2)，将已知条件（x3，y3）代入解析式，得到关于a的一元一次方程，解方程求出a的值，代入方程求得解析式

例题三

1．如图，抛物线的函数表达式是( )

A．y＝1

2x

2－x＋4

B．y＝－1

2x

2－x＋4

C．y＝1

2x

2＋x＋4

D．y＝－1

2x

2＋x＋4

2．已知一个二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(－1，0)和(2，0)，与y 轴的交点坐标为(0，－2)，求这个二次函数的解析式．

3．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是( )

A．y＝x2－x－2

B．y＝－1

2x

2－

1

2x＋2

C．y＝－1

2x

2－

1

2x＋1

D．y＝－x2＋x＋2

4．已知抛物线与x轴的交点是A(－2，0)，B(1，0)，且经过点C(2，8)，该抛物线的解析式为

5．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A(1，0)，B(3，0)，求这条抛物线的解析式．