北师大版必修4高中数学第三章两角和与差的三角函数课件

想一想：公式有何特点？你如何记忆？
应用
1:已知四个单角函数值求差角的余弦。 例1，利用差角余弦公式求cos15°的值.
分析：怎样把15°表示成两个特殊角的差？
解： cos15 cos(45 30)
cos 45 cos 30 sin 45 sin 30
2 3 2 1 2 2 2 2 6 4 2
两角和与差的三角函数
两角差的余弦公式
探 如何用任意角α ,β的正弦、余弦值 来表示 究 1 cos(α -β)呢？
探究方 法指导 问题1: 你认为cos(α -β)=cosα -cosβ成立吗? 问题2: 你认为cos(α -β)=cosα cosβ+sinα sinβ成立吗? 第一步：探求表示结果 第二步：对结果的正确性加以证明
求 cos( )的值. 1 11 （4） 已知cos , cos , 且， 0， 7 14 2
求 cos 的值。
小结
差角与和角的余弦公式,
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
探究2 对任意α,β，如何证明它的正确性？ 议一议：
结合向量的数量积的定义和向量的工ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ性，
看能否用向量的知识进行证明？
问题3：
①结合图形，思考应选用哪几个向量？ y
A
OA=(cosα,sinα), OB=(cosβ,sinβ)
αβ
O
B
x
②怎样用向量数量积的运算和定义得到结果？
例 3： 1.求cos57°cos12° +sin57° sin12°的值
2.求cosxcos(x+45 ° ) +sinx sin(x+45° )的值 3.求cosxcos(x+y)+sinxsin(x+y)的值
应用4
3 4 已知 sin sin , sin sin ，求 cos( )的值 5 5
变式: 求cos75°和cos(-15°)的值.
2:已知两个单角函数值求差角的余弦。 4 例2、 已知sinα＝ ,α∈( 2 ,),cosβ= 5 , β是 5 13 第三象限角，求cos(α-β)的值。
3 4 2 sin , , cos 1 sin 解： 5 5 2 5 又 cos ，β是第三象限角 13 12 sin 1 cos 2 13
分析：解题的关键是找出cosα cosβ 和sinα sinβ 的值
练习
（1） sin 80 cos 55 cos 80 cos 35
（2）cos 80 cos 20 sin 100 sin 380 （3）已知 sin sin sin 0, cos cos cos 0,
应用
所以cos(α-β)＝ cosβcosα+sinβsinα
33 3 5 4 12 65 5 13 5 13
变式： 求cos(α+β)的值。
应用
3:公式的逆用
cosα cosβ+sinα sinβ=cos(α -β)
y
A
αβ
O
y
B
A
x
α
β
O 2-
B
x
于是，对于任意角α ，β都有 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 称为差角的余弦公式。 简记为Cα -β
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
Cα-β
cos(α+β)=cosαcosβ- sinαsinβ Cα+β
于是
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
当α-β为任意角时，由诱导公式，总可以找到一个 角∈[0,2),使cos=cos(α -β)
①若∈[0,], 则OA· OB=cos=cos(α -β) ②若∈(,2）,则2-∈(0,） 则OA· OB=cos(2-)=cos(α -β)