北师大版必修4高中数学第三章两角和与差的三角函数课件
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高中数学北师大版必修四 两角和与差的正切函数 课件(36张)
1．两角和的正切公式 tanα＋tanβ tan(α＋β)＝____________________ 1－tanαtanβ 2．两角差的正切公式 tanα－tanβ π tan(α－β)＝______________________( 其中α≠kπ＋ 2 (k∈ 1＋tanαtanβ π π Z)，β≠kπ＋2(k∈Z)，α± β≠kπ＋2(k∈Z))．
π π (3)tan(α＋4)＝tan[(α＋β)－(β－4)] π 2 1 tanα＋β－tanβ－4 5－4 3 ＝ π ＝ 2 1＝22. 1＋tanα＋βtanβ－4 1＋5×4 [规律总结] 对两角和与差的正切公式的正用、逆用、变
[答案] 3
1 tanα＋β－tan α 7＋2 [解析] tan β＝tan(α＋β－α)＝ ＝ 2＝ 1＋tanα＋βtan α 1－7 3.
5 ．设tanα，tanβ 是方程 x2 －3x ＋2 ＝ 0 的两根，则 tan(α ＋ β) 的值为________．
[答案] －3
[解析] 因为tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，所以 tanα＋tanβ tanα＋tanβ＝3，tanα· tanβ＝2，而tan(α＋β)＝ ＝ 1－tanα· tanβ 3 ＝－3. 1－2
1 1 tanα＋tanβ 2＋5 7 [解析] 因为 tan(α＋β)＝ ＝ ＝9， 1 1 1－tanαtanβ 1－2×5 7 1 tanα＋β＋tanγ 9＋8 tan[(α＋β)＋γ]＝ ＝ 7 1＝1. 1－tanα＋βtanγ 1－9×8
由已知可推得 γ<β<α， 1 3 又因为 0<tanα<2< 3 ， π π 所以 0<γ<β<α<6，即 0<α＋β＋γ<2. π 故 α＋β＋γ＝4.
高中数学必修四北师大版 第3章 2.3 两角和与差的正切函数ppt课件(37张)
【自主解答】 tan 60° ＋tan 15° (1)原式＝ 1－tan 60° tan 15°
＝tan 75° ＝tan(45° ＋30° ) 3 1＋ 3 3＋ 3 9＋3＋6 3 ＝ ＝ ＝ ＝2＋ 3. 6 3 3－ 3 1－ 3
(2)∵tan(23° ＋37° )＝tan 60° tan 37° ＋tan 23° ＝ ＝ 3， 1－tan 23° tan 37° ∴tan 23° ＋tan 37° ＝ 3(1－tan 23° tan 37° )， ∴原式＝ 3(1－tan 23° tan 37° )＋ 3tan 23° tan 37° ＝ 3.
名称 两角和 的正切 两角差 的正切
简记符号 T(α＋β)
公式 tan(α＋β)＝
使用条件 π α，β，α＋β≠kπ＋2(k
T(α－β)
tan α＋tan β tan β≠1 1－tan αtan β ∈Z)且tan α· tan(α－β)＝ π α，β，α－β≠kπ＋2(k tan α－tan β tan β≠－1 1＋tan αtan β ∈Z)且tan α·
[小组合作型]
两角和与差的正切公式的灵活运用
求下列各式的值． 3＋tan 15° (1) ； 1－ 3tan 15° (2)tan 23° ＋tan 37° ＋ 3tan 23 ° tan 37° .
【精彩点拨】 解决(1)题可考虑 3＝tan 60° ，再逆用公式，解决(2)题注意到 23° ＋37° ＝60° ，而tan 60° ＝ 3 ，故联想tan(23° ＋37° )的展开形式，并变形，即可 解决．
1.变形公式 tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)； tan α＋tan β tan αtan β＝1－ . tanα＋β
＝tan 75° ＝tan(45° ＋30° ) 3 1＋ 3 3＋ 3 9＋3＋6 3 ＝ ＝ ＝ ＝2＋ 3. 6 3 3－ 3 1－ 3
(2)∵tan(23° ＋37° )＝tan 60° tan 37° ＋tan 23° ＝ ＝ 3， 1－tan 23° tan 37° ∴tan 23° ＋tan 37° ＝ 3(1－tan 23° tan 37° )， ∴原式＝ 3(1－tan 23° tan 37° )＋ 3tan 23° tan 37° ＝ 3.
名称 两角和 的正切 两角差 的正切
简记符号 T(α＋β)
公式 tan(α＋β)＝
使用条件 π α，β，α＋β≠kπ＋2(k
T(α－β)
tan α＋tan β tan β≠1 1－tan αtan β ∈Z)且tan α· tan(α－β)＝ π α，β，α－β≠kπ＋2(k tan α－tan β tan β≠－1 1＋tan αtan β ∈Z)且tan α·
[小组合作型]
两角和与差的正切公式的灵活运用
求下列各式的值． 3＋tan 15° (1) ； 1－ 3tan 15° (2)tan 23° ＋tan 37° ＋ 3tan 23 ° tan 37° .
【精彩点拨】 解决(1)题可考虑 3＝tan 60° ，再逆用公式，解决(2)题注意到 23° ＋37° ＝60° ，而tan 60° ＝ 3 ，故联想tan(23° ＋37° )的展开形式，并变形，即可 解决．
1.变形公式 tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)； tan α＋tan β tan αtan β＝1－ . tanα＋β
高中数学北师大版必修四课件 §3.2.1两角差的余弦函数 两角和与差的正弦、余弦函数
sin(α－β)＝ sinαcosβ－cosαsinβ
.
1．cos(α－β)与cos α－cos β相等吗？是否有相等的情况？ 提示：一般情况下不相等，但在特殊情况下也有相等的时 候．例如：当取α＝0°，β＝60°时，cos(0°－60°)＝cos 0°－ cos 60°. 2．公式(Cα±β)和(Sα±β)中，对于角α与β的范围有没有规定？
∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) 4 12 3 5 63 ＝－5×13＋(－5)×13＝－65.
解答此类题目要注意以下两点： (1)拆拼角技巧 先分析已知角与所求角之间的关系， 再决定如何利用已 知角表示所求角，避免对已知条件用公式，造成不必要的麻 烦．常见的拆角、拼角技巧： α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；2α＝(α＋β)＋(α－β)； α＋β α－β β＝ 2 － 2 ；
§3.2.1两角差的余弦函数 两角和与 差的正弦、余弦函数
两角和与差的余弦、正弦公式 公式 cos(α＋β)＝ cosαcosβ＋sinαsinβ cos(α－β)＝ cosαcosβ－sinαsinβ sin(α＋β)＝ sinαcosβ＋cosαsinβ . . . 简记 (Cα＋β) (Cα－β) (Sα＋β) (Sα－β)
cos α.
π π π 12 π 5 解： 由于 0<α－6<3， cos(α－6)＝13， 所以 sin(α－6)＝13. π π π π π 所以 cos α=cosα－6＋6＝cosα－6cos 6－sinα－6 sin π 6 12 3 5 1 12 3－5 ＝13× 2 －13×2＝ 26 .
高中数学必修四北师大版 两角和与差的正弦、余弦函数ppt课件(23张)
要点一 利用和(差)角公式化简 例1 化简下列各式：
2π 3cos 3 －x；
π π (1)sinx＋3＋2sinx－3－
sin2α＋β (2) －2cos(α＋β)． sin α
π π π π 解 (1)原式＝sin xcos 3＋cos xsin 3＋2sin xcos 3－2cos xsin 3 2π 2π － 3cos 3 cos x－ 3sin 3 sin x 1 3 3 3 ＝ sin x＋ cos x＋sin x－ 3cos x＋ cos x－ sin x 2 2 2 2
[学习目标] 1．cos(α＋β)与cos α＋cos β相等吗？
答 一般情况下不相等，但在特殊情况下也有相等的时
候．例如，当α＝60°，β＝－60°时，cos(60°－60°)＝ cos 60°＋cos(－60°)．
2． 你能结合三角函数诱导公式， 由公式 C(α＋β)或 C(α－β)推导出公 式 S(α－β)吗？ 答
5 3 12 4 ＝ × －－13×－5 13 5 33 ＝－65.
规律方法 在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角
之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间
的关系，利用角的代换化异角为同角．具体做法是： (1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的 和或差． (2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知 角．
3π π 3 5 又∵sin 4 ＋α＝13，cos4－β＝5， 3π π 12 4 ∴cos 4 ＋α＝－ ，sin4－β＝－ ， 13 5 π ∴cos(α＋β)＝sin2＋α＋β 3π π ＝sin 4 ＋α－4－β 3π π 3π π ＝sin 4 ＋αcos4－β－cos 4 ＋αsin4－β
高中数学北师大版必修4《第3章22.3两角和与差的正切函数》课件
34
谢谢大家
1_＋__ta_n__α_ta_n_β__
使用条件
α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z) 且 tan α·tan β≠1
α，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z) 且 tan α·tan β≠－1
3
(1)变形公式
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)；
数学北师大版 高中数学
2.3 两角和与差的正 切函数
学习目标
核心素养
1.能利用两角和(或差)的正弦、
1.通过利用两角和(或差)的正弦、
余弦公式导出两角和(或差)的正
余弦公式导出两角和(或差)的正
切公式．(重点)
切公式，提升逻辑推理素养．
2.掌握公式 T(α±β)及其变形式，并 能利用这些公式解决化简、求
A＋tan B A＋ 3tan
＝ B
3 3.
又 0°<C<180°，∴C＝30°，∴B＝30°.
∴△ABC 是顶角为 120°的等腰三角形．
26
将例 3 中的条件变为“△ABC 中，∠C＝120°，tan A＋tan B＝ 23 3”，试求 tan A·tan B 的值．
[解] 因为 A＋B＋C＝180°，∠C＝120°，
第三个．( )
(2)tanπ2＋π3能用公式 tan(αR，使 tan(α＋β)＝tan α＋tan β 成立．( )
(4)公式 T(α±β)对任意 α，β 都成立．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
31
2．已知 A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为( )
谢谢大家
1_＋__ta_n__α_ta_n_β__
使用条件
α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z) 且 tan α·tan β≠1
α，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z) 且 tan α·tan β≠－1
3
(1)变形公式
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)；
数学北师大版 高中数学
2.3 两角和与差的正 切函数
学习目标
核心素养
1.能利用两角和(或差)的正弦、
1.通过利用两角和(或差)的正弦、
余弦公式导出两角和(或差)的正
余弦公式导出两角和(或差)的正
切公式．(重点)
切公式，提升逻辑推理素养．
2.掌握公式 T(α±β)及其变形式，并 能利用这些公式解决化简、求
A＋tan B A＋ 3tan
＝ B
3 3.
又 0°<C<180°，∴C＝30°，∴B＝30°.
∴△ABC 是顶角为 120°的等腰三角形．
26
将例 3 中的条件变为“△ABC 中，∠C＝120°，tan A＋tan B＝ 23 3”，试求 tan A·tan B 的值．
[解] 因为 A＋B＋C＝180°，∠C＝120°，
第三个．( )
(2)tanπ2＋π3能用公式 tan(αR，使 tan(α＋β)＝tan α＋tan β 成立．( )
(4)公式 T(α±β)对任意 α，β 都成立．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
31
2．已知 A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为( )
高中数学北师大版必修4 两角和与差的正切函数 课件(36张)
2． 3
两角和与差的正切函数
学习导航 1.了解两角和与差的正切公式的推导． 2．理解两角和与差的正切公式及其变形公 学习目标
式．(重点)
3．掌握两角和与差的正切公式及其变形形式 在三角函数式的化简、求值及证明中的应 用．(难点)
1.两角和与差的正切公式变形较多，这些变式在解决某些 问题时十分便捷，应当利用公式能熟练推导，务必熟悉它 们． 例如， tan α ＋ tan β ＝ tan(α＋β)(1－tan α tan β )， 学 tan α ＋ tan β tan α tan β ＝ 1－ ， tan（ α＋ β） 法 指 tan α ＋ tan β ＋ tan α tan β tan(α＋ β)＝ tan(α＋ β)等． 导 2．在三角函数题目中，有时，也对一些特殊的常数进行 π π 3 代换， 例如 1＝ tan 45°， 3＝ tan ， ＝ tan 等等． 这 3 3 6 样做的前提是识别出公式结构，凑出相应公式 .
两角和与差的正切公式
名称 两角和 的正切 两角差 的正切 公式 tan (α＋ β)
tan α ＋tan β ＝1 _______________ －tan α tan β
成立条件 α ，β ，α ＋ β≠kπ π ＋ (k∈ Z) 2 α ，β ，α － β≠kπ π ＋ (k∈ Z) 2
tan (α－ β) ＝_________________
化简求值
计算： sin 15°－ cos 15° (1) ； sin 15°＋ cos 15° (2)tan 10°＋tan 50°＋ 3tan 10° tan 50°； (3)(3＋tan 30°tan 40°＋ tan 40° tan 50°＋ tan 50° tan 60° )· tan 10° . (链接教材 P119 例 4)
两角和与差的正切函数
学习导航 1.了解两角和与差的正切公式的推导． 2．理解两角和与差的正切公式及其变形公 学习目标
式．(重点)
3．掌握两角和与差的正切公式及其变形形式 在三角函数式的化简、求值及证明中的应 用．(难点)
1.两角和与差的正切公式变形较多，这些变式在解决某些 问题时十分便捷，应当利用公式能熟练推导，务必熟悉它 们． 例如， tan α ＋ tan β ＝ tan(α＋β)(1－tan α tan β )， 学 tan α ＋ tan β tan α tan β ＝ 1－ ， tan（ α＋ β） 法 指 tan α ＋ tan β ＋ tan α tan β tan(α＋ β)＝ tan(α＋ β)等． 导 2．在三角函数题目中，有时，也对一些特殊的常数进行 π π 3 代换， 例如 1＝ tan 45°， 3＝ tan ， ＝ tan 等等． 这 3 3 6 样做的前提是识别出公式结构，凑出相应公式 .
两角和与差的正切公式
名称 两角和 的正切 两角差 的正切 公式 tan (α＋ β)
tan α ＋tan β ＝1 _______________ －tan α tan β
成立条件 α ，β ，α ＋ β≠kπ π ＋ (k∈ Z) 2 α ，β ，α － β≠kπ π ＋ (k∈ Z) 2
tan (α－ β) ＝_________________
化简求值
计算： sin 15°－ cos 15° (1) ； sin 15°＋ cos 15° (2)tan 10°＋tan 50°＋ 3tan 10° tan 50°； (3)(3＋tan 30°tan 40°＋ tan 40° tan 50°＋ tan 50° tan 60° )· tan 10° . (链接教材 P119 例 4)
高中数学必修四北师大版 两角和与差的三角函数 课件(54张)
cos 17 2
2.cos 165°=cos(45°+120°)=
cos 45°cos 120°-sin 45°sin 120°
2 1 2 3 6 2 ( ) . 2 2 2 2 4 答案： 6 2 4
=
3.(1)sin(α+30°)cos α+cos (α+30°)sin(-α) =sin(α+30°)cos(-α)+cos (α+30°)sin (-α) =sin(α+30°-α)=sin 30°= 1 .
答案：0
【要点探究】 知识点 两角和与差的正弦、余弦公式
1.公式的记忆
(1)对于两角和与差的余弦公式Cα±β可以简记为：“余余正正，
和差相反”.
(2)对于两角和与差的正弦公式Sα±β可以简记为：“正余余正，
和差相同”.
2.公式的适用条件 公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团 体”，如 cos( ) 中的“
的特例.如sin (2π-α)=sin 2πcos α-cos 2πsin α=0〓
cos α-1〓sin α=-sin α.当α或β中有一个角是 的整数
2
倍时，通常使用诱导公式较为方便 . (2)逆用公式的关键是什么？ 提示：关键是利用相关三角变换公式使其满足公式右边的结构 特征.
【即时练】
§2 两角和与差的三角函数 2.1 两角差的余弦函数
2.2 两角和与差的正弦、余弦函数
两角和与差的正弦、余弦函数 名称 差的正弦 差的余弦 和的正弦 和的余弦 公式 sin(α-β)= sin αcos β-cos αsin β __________________________ 简记 S α-β C α-β S α+β C α+β
2.cos 165°=cos(45°+120°)=
cos 45°cos 120°-sin 45°sin 120°
2 1 2 3 6 2 ( ) . 2 2 2 2 4 答案： 6 2 4
=
3.(1)sin(α+30°)cos α+cos (α+30°)sin(-α) =sin(α+30°)cos(-α)+cos (α+30°)sin (-α) =sin(α+30°-α)=sin 30°= 1 .
答案：0
【要点探究】 知识点 两角和与差的正弦、余弦公式
1.公式的记忆
(1)对于两角和与差的余弦公式Cα±β可以简记为：“余余正正，
和差相反”.
(2)对于两角和与差的正弦公式Sα±β可以简记为：“正余余正，
和差相同”.
2.公式的适用条件 公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团 体”，如 cos( ) 中的“
的特例.如sin (2π-α)=sin 2πcos α-cos 2πsin α=0〓
cos α-1〓sin α=-sin α.当α或β中有一个角是 的整数
2
倍时，通常使用诱导公式较为方便 . (2)逆用公式的关键是什么？ 提示：关键是利用相关三角变换公式使其满足公式右边的结构 特征.
【即时练】
§2 两角和与差的三角函数 2.1 两角差的余弦函数
2.2 两角和与差的正弦、余弦函数
两角和与差的正弦、余弦函数 名称 差的正弦 差的余弦 和的正弦 和的余弦 公式 sin(α-β)= sin αcos β-cos αsin β __________________________ 简记 S α-β C α-β S α+β C α+β
§2两角和与差的三角函数(第3课时) 课件(北师大版必修四)
.
理解： 1.两角和的正切值可以用α 和β 的正切值表示. 2.公式的右端是分式形式，它是两角正切的和比1减两角
正切的积.
3.公式成立的条件是： k 且 2 k 且 k (k∈Z). 2 2
二、 两角差的正切公式 在两角和的正切公式中用 代换
,
2.原式可化为:
sin(45 30 ) cos(45 30 )
sin 45 cos 30 cos 45 sin 30 cos 45 cos 30 sin 45 sin 30
,
是否太麻烦了?能否直接用角的正切来表示呢?
一、两角和的正切公式
sin( ) tan( ) cos( )
tan(20 40 )(1 tan 20 tan 40 ) 3 tan 20 tan 40 3.
3. 已知锐角 , ，满足 tan 3, tan 2，
3 求证： . 4
证明：因为 tan 3, tan 2，
tan tan 3 2 1， 所以 tan( ) 1 tan tan 1 3 2
5.已知 tan ， tan 是方程ax 2 bx c 0(a 0, a c) 的两根，求tan( + )的值.
b tan tan ， a 解：由根与系数的关系,得 tan tan c ， a tan tan 所以 tan( ) 1 tan tan
因为 , (0, ), 2 3 从而 .
4
所以 (0, ),
4.已知： tan 2,求tan( - )的值. 4
理解： 1.两角和的正切值可以用α 和β 的正切值表示. 2.公式的右端是分式形式，它是两角正切的和比1减两角
正切的积.
3.公式成立的条件是： k 且 2 k 且 k (k∈Z). 2 2
二、 两角差的正切公式 在两角和的正切公式中用 代换
,
2.原式可化为:
sin(45 30 ) cos(45 30 )
sin 45 cos 30 cos 45 sin 30 cos 45 cos 30 sin 45 sin 30
,
是否太麻烦了?能否直接用角的正切来表示呢?
一、两角和的正切公式
sin( ) tan( ) cos( )
tan(20 40 )(1 tan 20 tan 40 ) 3 tan 20 tan 40 3.
3. 已知锐角 , ，满足 tan 3, tan 2，
3 求证： . 4
证明：因为 tan 3, tan 2，
tan tan 3 2 1， 所以 tan( ) 1 tan tan 1 3 2
5.已知 tan ， tan 是方程ax 2 bx c 0(a 0, a c) 的两根，求tan( + )的值.
b tan tan ， a 解：由根与系数的关系,得 tan tan c ， a tan tan 所以 tan( ) 1 tan tan
因为 , (0, ), 2 3 从而 .
4
所以 (0, ),
4.已知： tan 2,求tan( - )的值. 4
高中数学第3章三角恒等变形23两角和与差的正切函数课件北师大版必修4
＝tan(45°＋75°)＝tan120°＝－ 3.
4.tant2a0n°2＋0°ttaann4400°°＋ tant1an2102°0°＝(
)
A．1
B．－1
C． 3
D．－ 3
解析：选 A ∵tan20°＋tan40°＋tan120°＝tan(20°＋40°)(1－ tan20°tan40°)＋tan120°＝tan60°－tan20°tan40°tan60°－tan60°
考试加油。
复习课件
高中数学第3章三角恒等变形2.3两角和与差的正切函数课件北师大版必修4
2021/4/17
高中数学第3章三角恒等变形23两角和与差的正切函数课件 北师大版必修4
第三章 三角恒等变形
§2 两角和与差的三角函数 2.3 两角和与差的正切函数
基础知识点对点 课后拔高提能练
基础知识点对点
知识点一 公式的直接应用
＝－tan20°tan40°tan60°， ∴原式＝－ －ttaann2200°°ttaann4400°°ttaann6600°°＝1.
知识点三 利用公式求角
5．若 α，β∈0，π2，tanα＝43，tanβ＝17，则 α－β 等于(
)
A．π3
B．π4
C．π6
D．π8
解析：选 B
∵tan(α－β)＝1t＋anαta－nαttaannββ＝1＋43－43×17 17＝2255＝1，
)
A．2＋ 3 C．1
B．2－ 3 D． 3
பைடு நூலகம்解析：选 B
∵tanπ4＋α＝1t－anπ4ta＋nπ4ttaannαα
＝11＋－ttaannαα＝2＋1 3＝2－ 3.
知识点二 公式的变形应用
北师大版数学必修四课件：3.1两角和与差的三角函数
3
求sinA和cosA的值. 【审题指导】该题中的前提条件“在△ABC中”实际上暗示 了角A∈(0,π)，又给出 tanA 2 ， 进一步明确了角A是锐
3
角，因此,在利用关系求解待求的三角函数值时应取正值 .
【规范解答】因为△ABC中 tanA 2 ＞0， 所以∠A是锐角，
22 sinA 2 sinA 由 tanA 解得 11 cosA 3 ， ， sin 2 A cos 2 A 1 cosA 3 11 11 所以 sinA 22 ,cosA 3 11 . 11 11
∴sinα＞0,cosα＜0,∴sinα-cosα＞0, sin cos 7 ,
1 sin cos 5 由 ， sin cos 7 5 4 sin 4 5 得 , tan . 3 cos 3 5
2 2 asin bcos asin bsin cos ccos 具体如下：(1)形如 、 csin dcos dsin 2 esincos fcos 2
的分式，分子、分母分别同时除以cosα 、cos2α ，将正、 余弦转化为正切或常数，从而求值. (2)形如asin2α +bsinα cosα +ccos2α 的式子，将其看成 分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α +cos2α ,转化为
25sin2α-5sinα-12=0. ∵α是三角形的内角，
4 sin 4 5 , tan . 3 cos 3 5
1 方法二： Q sin cos , 1 2 2 sin cos （ ） , 5 即 1 2sincos 1 , 2sincos 24 , 25 25 24 49 2 sin cos 1 2sincos 1 , 25 25 12 Q sincos ＜0，且0＜α＜π, 25 5
求sinA和cosA的值. 【审题指导】该题中的前提条件“在△ABC中”实际上暗示 了角A∈(0,π)，又给出 tanA 2 ， 进一步明确了角A是锐
3
角，因此,在利用关系求解待求的三角函数值时应取正值 .
【规范解答】因为△ABC中 tanA 2 ＞0， 所以∠A是锐角，
22 sinA 2 sinA 由 tanA 解得 11 cosA 3 ， ， sin 2 A cos 2 A 1 cosA 3 11 11 所以 sinA 22 ,cosA 3 11 . 11 11
∴sinα＞0,cosα＜0,∴sinα-cosα＞0, sin cos 7 ,
1 sin cos 5 由 ， sin cos 7 5 4 sin 4 5 得 , tan . 3 cos 3 5
2 2 asin bcos asin bsin cos ccos 具体如下：(1)形如 、 csin dcos dsin 2 esincos fcos 2
的分式，分子、分母分别同时除以cosα 、cos2α ，将正、 余弦转化为正切或常数，从而求值. (2)形如asin2α +bsinα cosα +ccos2α 的式子，将其看成 分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α +cos2α ,转化为
25sin2α-5sinα-12=0. ∵α是三角形的内角，
4 sin 4 5 , tan . 3 cos 3 5
1 方法二： Q sin cos , 1 2 2 sin cos （ ） , 5 即 1 2sincos 1 , 2sincos 24 , 25 25 24 49 2 sin cos 1 2sincos 1 , 25 25 12 Q sincos ＜0，且0＜α＜π, 25 5
北师大版高中数学必修四课件3.2两角和与差的三角函数(第三课时)
证明：
左边= (sin cos cos sin )(sin cos cos sin ) sin2 cos2
sin2 cos2 cos2 sin2
cos2 sin2
sin2 cos2
1 sin2 cos2
tan2
2 2(sin
2
cos
cos
sin
)
6
6
2sin( ) =右边 ∴等式成立.
练习2.填空：
6
(((132)))12ssiicnnosxxccoos2s3xxsin___2_2_s_si_in_s_ni_((_n_xx_(__-6___4___)__)___)___ _－__2___cc_2o_o_s_s_c_((o___3s__(___x__x__)_)__4__;;);
8 5 11
3
.
3
3
3.小结 （1）三角恒等式证明;
（2）形如的a三si角n函数 化b c简o;s a sin b cos a2 b2 sin( )
由确sc定ion,s称为辅助a角2ba. b2
a2 b2
sin B cos B B sin2 B
3,
1 3 sin A cos A 1 即 sin(
tan C A )
6
.
1 2
5
0 A A
A A .
6
66
1 62si6n B cos B3
(cos B sin B)2
1 tan2 =右边 ∴等式成立.
高中数学北师大版必修四 两角和与差的正切函数ppt课件(45 张)
(2)∵ tan120 tan(70 50) tan70 tan50 3,
1 tan70gtan50
tan70 tan50 3 3tan70gtan50，
所以原式 3 3tan70gtan50 3tan70gtan50 3.
利用公式求角
求角问题中的特别关注:
(1)角的变换
前面学习Sα±β、Cα±β的过程中运用的角的变换技巧仍然 适用于公式Tα±β，如2α-β=α+(α-β)，在求值过程中 要进一步掌握这些角的变换方法.
(2)函数名称的选取
在明确所求角是如何通过已知角变换之后,具体要根据题设 条件去选择恰当的函数. (3)角的范围的界定 根据求出的三角函数值确定所求的角时,角的范围会直接影 响解的个数,因此,角的范围的确定是求角问题中最为关键 的因素.
3 ”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角 3 的正切值去代换，如 “ 1＝tan ”,“ 3 tan ”，这 3 4
“ 3 ”“
样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值.
【例1】化简下列各式并求值 (1) cos75 sin75
cos75 sin 75
(2) tan70 tan50 3tan70gtan50
【规范解答】 Q 3tanA 3tanB tanAtanB 1，
3 tanA tanB tanAtanB 1， tanA tanB 3 ， 1 tanA gtanB 3 3 又∵0＜A+B＜π, tan A B . 3 5 3 A B , Q A B C , C , tanC . 6 6 3
(2)tan(2α-β)=tan[(α-β)+]
北师大版高中数学必修四第3章三角恒等变形3.2.3两角和与差的正切函数课件
典例透析
随堂演练
1.两角和的正切公式 tan(α+β)=1-tan ������ tan ������ .(Tα+β) 2.两角差的正切公式 tan(α-β)=1+tan ������ tan ������ .(Tα-β)
tan ������ -tan ������ tan ������ +tan ������
2.3
两角和与差的正切函数
-1-
2.3
两角和与差的正切函数
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
1.了解两角和与差的正切公式,并能运用它们进行简单的化简、 求值与证明. 2.了解两角和与差的正弦、余弦和正切公式的内在联系,完善知 识结构,培养逻辑思维能力.
-2-
2.3
两角和与差的正切函数
目标导航
知识梳理
名师点拨 1.公式成立的条件 π 在两角和与差的正切公式中,α±β,α,β 都不等于 kπ+ (k ∈Z),否则不成立.如果遇到正切值无意义的问题不能用两 角和与差的正切公式,那么可以用诱导公式去完成.比如化 简 tan
π 2 2
-������ ,由于 tan 不存在,故不能用两角差的正切公式
2
π
化简,可以改用诱导公式化简.
-8-
2.3
两角和与差的正切函数
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
题型四
【例 2】 已知 sin(π+θ)=− 5 , tan ������ = 2 , 且������是第二象限角, 求 tan(������ − ������)的值. 分析首先利用诱导公式求出 sin θ, 然后利用 sin2θ+cos 2θ=1 求出
高中数学北师大版必修四 两角和与差的正弦、余弦函数 课件(24张)
类型二
给值求值问题
3 12 【例 2】 (1)已知 sinα＝－ ，sinβ＝ ，且 180° ＜α＜270° ， 5 13 90° ＜β＜180° ，求 sin(α－β)，cos(α＋β)的值； 4 4 3π π (2)已知 cos(α＋β)＝ ，cos(α－β)＝－ ， ＜α＋β＜2π， ＜ 5 5 2 2 α－β＜π，求 cos2α 的值． 思维启迪：(1)求得 cosα，cosβ 的值，再用和角、差角公式 进行求解． (2)探寻 α＋β、α－β 与 2α 之间的关系，再利用两角和的余 弦公式求解．
(2)两角和与差的余弦公式不能按分配律展开，如： cos(α＋β)≠cosα＋cosβ. (3)对公式不但要会正用，还要学会逆用，如： 3 cos50° cos20° ＋sin50° sin20° ＝cos30° ＝ ， 2 cos50° cos20° －sin50° sin20° ＝cos70° .
类型一 给角求值问题 【例 1】 化简求值： (1)cos11° sin49° ＋sin11° cos49° ； (2)sin63° sin123° －cos117° sin33° ； (3)sin(α－30° )＋sin(α＋30° )； (4)sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα. 思维启迪：(1)逆用两角和的正弦公式；(2)式子特征不符合 公式，注意到 123° ＝90° ＋33° ，117° ＝180° －63° ，利用诱导公式 转化，再逆用公式求解；(3)按两角和、差的正弦展开；(4)观察 角的特征再逆用公式．
(4)原式＝sin70° cos25° －cos70° sin25° 2 ＝sin(70° －25° )＝sin45° ＝ . 2 (5)原式＝sin(29° ＋90° )sin(1° ＋180° )－sin(1° ＋90° )sin29° ＝cos29° (－sin1° )－cos1° sin29° ＝－(sin29° cos1° ＋cos29° sin1° ) 1 ＝－sin(29° ＋1° )＝－sin30° ＝－ . 2
北师大必修四：3.2.3《两角和与差的正切函数》ppt课件
思考: tan15o ?
1.将正切转化为正余弦:
代入 sin15o, cos15o.
tan15o
sin15o cos15o
,
2.原式可化为:
sin(45o 30o) sin 45o cos 30o cos 45o sin 30o , cos(45o 30o) cos 45o cos 30o sin 45o sin 30o
tan ( ) tan tan( ) tan tan .
1 tan tan( ) 1 tan tan
tan( ) tan tan 1 tan tan
请同学们说出对公式的理解：
1.两角差的正切值可以用α和β的正切值表示. 2.公式的右端是分数形式，它是两角正切的差与1加两角
三角函数值（如：sin A B 2 ,tan A B 1等），
2 再确定A B的范围即可.
证明:因为tan A 2,tan B 3, 所以 tan( A B) tan A tan B 2 3 1；
1 tan Atan B 1 2 3 又因为A，B都是锐角，所以 0 A B 180， 所以A B 135.
注意：公式的其他变形形式：
１ tan tan tan( )(1 tantan )； ２ tan tan 1 tan tan ；
tan( )
３ tan tan tan tan 1；
tan( )
４ tan( ) tan tan tan( ) tan tan ； 5 tan( ) tan tan tan( ) tan tan .
是否太烦琐了?能否直接用角的正切来表示呢?
1.掌握两角和与差的正切公式的推导及公式的正、 逆向变形及运用.（重点） 2.正确寻找角之间的关系，恰当选用公式形式解决 问题.（重点） 3.正确运用两角和与差的三角函数公式，进行简单 的三角函数式的化简、求值和恒等式证明.（难点）
高中数学北师大版必修四 两角和与差的正弦、余弦函数 课件(37张)
π (2)证明：右边＝cos2－α＋1＝1＋sin
α＝左边．
∴原式成立．
与三角函数性质有关的问题
(2014· 天津高考)已知函数 f(x)＝cos x· sin 3 3cos x＋ 4 ，x∈R.
2
π x＋ － 3
(1)求 f(x)的最小正周期； (2)求
π π f(x)在闭区间－4，4上的最大值和最小值．
2α
半角公式及其应用
θ 设 π<θ<2π，cos2＝a，求： (1)sin θ 的值；(2)cos θ 的值；(3)sin 4的值． θ θ θ 思路点拨：由 θ 范围求2范围，由 cos2的值求 sin2，再利用
2θ
半角公式及其变形求值．
π θ 解：(1)∵π<θ<2π，∴2<2<π. θ 又 cos2＝a， θ ∴sin2＝ 1－cos 2＝ 1－a2.
【互动探究】 θ 若本例条件不变，求 tan2的值．
解：方法一：由例题解题过程可知， θ sin2＝ 1－a2， θ sin2 1－a2 θ 故 tan2＝ θ＝ a . cos2
Hale Waihona Puke θ 2θ 方法二：由 cos2＝a，知 cos θ＝2cos 2－1＝2a2－1， θ 由例题解题过程，可知 sin2＝ 1－a2， θ θ 所以 sin θ＝2sin2cos2＝2a 1－a2.
α ∴sin2>0.
1 又 cos α＝1－2sin 2＝3， α ∴sin2＝
3 答案： 3
2α
1－cos α 3 ＝3. 2
(2)化简： 3sin α－cos α＝____________.
解析： 3sin α－cos α
＝2sin
α＝左边．
∴原式成立．
与三角函数性质有关的问题
(2014· 天津高考)已知函数 f(x)＝cos x· sin 3 3cos x＋ 4 ，x∈R.
2
π x＋ － 3
(1)求 f(x)的最小正周期； (2)求
π π f(x)在闭区间－4，4上的最大值和最小值．
2α
半角公式及其应用
θ 设 π<θ<2π，cos2＝a，求： (1)sin θ 的值；(2)cos θ 的值；(3)sin 4的值． θ θ θ 思路点拨：由 θ 范围求2范围，由 cos2的值求 sin2，再利用
2θ
半角公式及其变形求值．
π θ 解：(1)∵π<θ<2π，∴2<2<π. θ 又 cos2＝a， θ ∴sin2＝ 1－cos 2＝ 1－a2.
【互动探究】 θ 若本例条件不变，求 tan2的值．
解：方法一：由例题解题过程可知， θ sin2＝ 1－a2， θ sin2 1－a2 θ 故 tan2＝ θ＝ a . cos2
Hale Waihona Puke θ 2θ 方法二：由 cos2＝a，知 cos θ＝2cos 2－1＝2a2－1， θ 由例题解题过程，可知 sin2＝ 1－a2， θ θ 所以 sin θ＝2sin2cos2＝2a 1－a2.
α ∴sin2>0.
1 又 cos α＝1－2sin 2＝3， α ∴sin2＝
3 答案： 3
2α
1－cos α 3 ＝3. 2
(2)化简： 3sin α－cos α＝____________.
解析： 3sin α－cos α
＝2sin
高中数学北师大版必修四 两角和与差的正切函数ppt课件(48张)
3
(3)原式=tan(78°-18°)=tan 60°= 答案： (4)原式=tan(22°+23°)=tan 45°=1. 答案：1
3
.
3
【要点探究】 知识点 正切的和、差角公式Tα±β
1.公式成立的条件 角α,β以及α±β均不能等于kπ+ ≠1(或tan αtan β≠-1).
2
(k∈Z)，且tanαtanβ
1．判一判 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)tan(α±β)=tan α±tan β.(
(2)tan(α+β)= ( )
)
tan tan . 1 tan tan (3)tan(40°+50° )= ( ) tan 40 tan 50 . (4)tan 120°=tan(301 ° )= ( +90 tan ° 40 tan 50 tan 30 tan 90 . 1 tan 30tan 90
= =tan(45°-75°)= 答案：
2
3 . 3
3 3
【题型示范】 类型一 利用Tα±β求值
【典例1】 (1)(2014·渭南高一检测)已知
3 1 tan ,tan( ) , 那么 =_________. 5 6 4 tan( ) 6 (2)(2013·焦作高一检测)化简: 3 tan 15 =_________. 1 3tan 15
式右边的结构，再逆用公式.
【即时练】 1.tan(-165°)的值是( )
A.2 3 C.2 3
2.计算
B. 2 3 D. 3 2
的值为__________.
1 tan75 1 tan75
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想一想：公式有何特点？你如何记忆？
应用
1:已知四个单角函数值求差角的余弦。 例1，利用差角余弦公式求cos15°的值.
分析：怎样把15°表示成两个特殊角的差？
解： cos15 cos(45 30)
cos 45 cos 30 sin 45 sin 30
2 3 2 1 2 2 2 2 6 4 2
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
探究2 对任意α,β，如何证明它的正确性？ 议一议：
结合向量的数量积的定义和向量的工具性，
看能否用向量的知识进行证明？
问题3：
①结合图形，思考应选用哪几个向量？ y
A
OA=(cosα,sinα), OB=(cosβ,sinβ)
αβ
O
B
x
②怎样用向量(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
当α-β为任意角时，由诱导公式，总可以找到一个 角∈[0,2),使cos=cos(α -β)
①若∈[0,], 则OA· OB=cos=cos(α -β) ②若∈(,2）,则2-∈(0,） 则OA· OB=cos(2-)=cos(α -β)
例 3： 1.求cos57°cos12° +sin57° sin12°的值
2.求cosxcos(x+45 ° ) +sinx sin(x+45° )的值 3.求cosxcos(x+y)+sinxsin(x+y)的值
应用4
3 4 已知 sin sin , sin sin ，求 cos( )的值 5 5
求 cos( )的值. 1 11 （4） 已知cos , cos , 且， 0， 7 14 2
求 cos 的值。
小结
差角与和角的余弦公式,
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
y
A
αβ
O
y
B
A
x
α
β
O 2-
B
x
于是，对于任意角α ，β都有 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 称为差角的余弦公式。 简记为Cα -β
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
Cα-β
cos(α+β)=cosαcosβ- sinαsinβ Cα+β
变式: 求cos75°和cos(-15°)的值.
2:已知两个单角函数值求差角的余弦。 4 例2、 已知sinα＝ ,α∈( 2 ,),cosβ= 5 , β是 5 13 第三象限角，求cos(α-β)的值。
3 4 2 sin , , cos 1 sin 解： 5 5 2 5 又 cos ，β是第三象限角 13 12 sin 1 cos 2 13
应用
所以cos(α-β)＝ cosβcosα+sinβsinα
33 3 5 4 12 65 5 13 5 13
变式： 求cos(α+β)的值。
应用
3:公式的逆用
cosα cosβ+sinα sinβ=cos(α -β)
两角和与差的三角函数
两角差的余弦公式
探 如何用任意角α ,β的正弦、余弦值 来表示 究 1 cos(α -β)呢？
探究方 法指导 问题1: 你认为cos(α -β)=cosα -cosβ成立吗? 问题2: 你认为cos(α -β)=cosα cosβ+sinα sinβ成立吗? 第一步：探求表示结果 第二步：对结果的正确性加以证明
分析：解题的关键是找出cosα cosβ 和sinα sinβ 的值
练习
（1） sin 80 cos 55 cos 80 cos 35
（2）cos 80 cos 20 sin 100 sin 380 （3）已知 sin sin sin 0, cos cos cos 0,