微分方程第5章习题解

T
)
Ψ T (t )Φ (t ) = C ，
两边关于 t 求导数，有
d Ψ T (t )Φ (t ) ′ = Ψ T (t ) Φ (t ) + Ψ T (t )Φ ′(t ) dt
[
] (
(
)
′ = Ψ T (t ) Φ(t ) + Ψ T (t ) A(t )Φ (t ) = 0
)
即
(Ψ (Ψ
T
即
dΦ (t − t 0 ) = AΦ (t − t 0 ) ， dt
所以 Φ (t − t 0 ) 也是基本解矩阵。 由于线性齐次方程组任意两个基本解矩阵可以互相线性表示，故
Φ (t − t 0 ) = Φ (t )C ，
由条件 Φ ( 0 ) = E 得， Φ (t 0 )C = Φ ( 0) = E ，即得 C = Φ (t 0 ) ，所以有
可得原方程的特解为
~ (t ) = t (sin t cos s − cos t sin s ) 1 ds = t sin t + cos t ⋅ ln cos t ， ϕ ∫0 cos s
原方程的通解为 x = t sin t + cos t ⋅ ln cos t + C1 cos t + C 2 sin t 。 2） λ 3 − 8 = 0 ， λ1 = 2, λ 2 , 3 = −1 ± 3i ， 齐次方程基本解组为 x1 (t ) = e 2t , x 2 (t ) = e − t cos 3t, x3 (t ) = e − t sin 3t 。 利用常数变易公式，原方程满足初始条件的特解为：
x′′ + 8x′ + 7 x = f (t )
其中 f (t ) 在 0 ≤ t < ∞ 上连续，试利用常数变易公式，证明： 1）如果 f (t ) 在 0 ≤ t < ∞ 上有界，则上面方程的每一个解在 0 ≤ t < ∞ 上有界； 2） 如果当 t → ∞ 时 f (t ) → 0 ， 则上面方程的每一解 φ(t ) ， 满足 φ(t ) → 0(当t → ∞) 。
(0,0, ⋯,1)T 后得到的行列式。
经计算可得
W ( t ) = 12 3 , W 1 (t ) =
3e − 2 t , 3t − 3 cos 3t ), 3 t ),
W 2 ( t ) = e t ( 3 sin
W 3 (t ) = − e t ( 3 sin
3 t + 3 cos
~(t ) = 可得原方程的特解为 ϕ
′ (t ) = 所以 x ik
a ij ( t ) x jk ( t ), ( i , k = 1, 2 , ⋯ , n ) ，把这些等式代入（3）的右端， 化 ∑ j
=1
n
简计算每个行列式，如（ 3）式右端第一项等于
n
n
1j
∑a
j =1
(t ) x j1 (t ) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
2 2t
π π <t< ， 2 2
cos t
sin t
− sin t cos t
= 1 ，取 t 0 = 0 ，利用常数变易公式
~ (t ) = t x 2 (t ) x1 ( s ) − x1 (t ) x 2 ( s )] f ( s ) ds φ ∫t0 W [ x1 (s), x2 (s)]
即证明了 Ψ (t ) 为方程 y ′ = − A T (t ) y 的基本解矩阵。 评注：由证明过程可以看出，方程 y ′ = − A (t ) y 和 x ′ = A(t ) x 的解曲线之间满足
T
ψ T (t方程组
dx = Ax dt
~ (t ) = φ
3 =1
x k (t ) ∫ ∑ k
W k [ x1 ( s ), x 2 ( s ), x 3 ( s )] f ( s ) ds ， 0 W [ x ( s ), x ( s ), x ( s )] 1 2 3
t
其 中 W k [ x1 ( s ), x 2 ( s ), x 3 ( s )] 是 在 朗 斯 基 行 列 式 W [ x1 ( s ), x 2 ( s ), x3 ( s )] 中 的 第 k 列 代 以
类似地可以算出（ 3）式右端其它各项分别为 a 22 (t )W (t ),⋯ , a nn (t )W (t ) ，代入（ 3） 得
W ′ = [a11 (t ) + a 22 (t ) + ⋯ + a nn (t )]W
（2）
2）方程（ 2）是关于 W (t ) 的一阶线性微分方程，分离变量可求得通解为
∫t0 tr A ( s ) ds
t
记为 trA(t ) ，所以刘维尔公式又可表示为 W (t ) = W (t0 )e
。从公式中可以看出，线性
齐次方程组（1）的 n 个解构成的朗斯基行列式 W (t ) 或者恒为零，或者恒不为零。 5-2 设 A(t ) 为区间 a ≤ t ≤ b 上连续的 n × n 实矩阵， Φ (t ) 为方程 x ′ = A(t ) x 的基本解 矩阵，而 x = φ (t ) 为其一解。试证： 1） 对于方程 y ′ = − A (t ) y 的任一解 y = ψ (t ) 必有 ψ T (t ) φ(t ) = 常数； 2） Ψ (t ) 为方程 y ′ = − A (t ) y 的基本解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵 C ， 使 Ψ T (t )Φ (t ) = C 。 证 1） 由于 y = ψ (t ) 为方程 y ′ = − A (t ) y 的解，则
（ A 是 n × n 的常数矩阵）
的标准基本解矩阵， （即 Φ (0 ) = E ）证明
Φ (t )Φ −1 (t 0 ) = Φ (t − t 0 )
其中 t 0 为某一值。 证 因 Φ ( t ) 为基本解矩阵，则有
dΦ (t ) = AΦ(t ) ， det Φ ( t ) ≠ 0 dt dΦ (t − t 0 ) = AΦ (t − t 0 ) ， d (t − t 0 )
W [ x1 (t ), x 2 (t ),⋯, x n (t )] ≡ W (t ) 满足下面的一阶线性微分方程 W ′ = [a11 (t ) + a 22 (t ) + ⋯ + a nn (t )]W （2） ；
2）解上面的一阶线性微分方程，证明下面的公式：
W (t ) = W (t 0 ) e t 0
T T
(
)′ = −Ψ
T
(t ) A(t ) 。
d Ψ T (t )Φ (t ) ′ 因为 = Ψ T (t ) Φ(t ) + Ψ T (t )Φ ′(t ) dt
[
] (
(
)
= − Ψ T (t ) A(t ) Φ (t ) + Ψ T (t ) ( A(t )Φ(t ) )
。 = 0 （零矩阵） 所以 Ψ (t )Φ (t ) = C （常数矩阵） ，而 Ψ (t ) 和 Φ (t ) 都是基本解矩阵，因而 C 还为非 奇异矩阵。 充分性。由于存在非奇异的常数矩阵 C ，使
T T T
ψ ′(t ) = − AT (t )ψ (t ) ，
两边转置，得 (ψ ′(t ) ) = −ψ T (t ) A(t ) ，即 ψ T (t ) 因为
T
(
)′ = −ψ
T
(t ) A(t ) 。
′ d ψ T (t )φ (t ) = (ψ T (t ) ) φ(t ) + ψ T (t )φ ′(t ) dt
⎛ a11 (t ) ⎜ ⎜ a 21 (t ) x′ k (t ) = ⎜ ⋯ ⎜ ⎜ a (t ) ⎝ n1
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⎛ n ⎞ ⎜ ∑ a1 j (t ) x jk (t ) ⎟ ⎜ j =1 ⎟ a1n (t ) ⎞⎛ x1 k (t ) ⎞ ⎜ n ⎟ ⎟ ⎟⎜ a 2 n (t ) ⎟⎜ x 2 k (t ) ⎟ ⎜ ∑ a 2 j (t ) x jk (t ) ⎟ ⎟， ⎟ = ⎜ j =1 ⋯ ⎟⎜ ⋮ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⋯ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a nn (t ) ⎠⎝ x nk (t ) ⎠ ⎜ n ⎟ a ( t ) x ( t ) ⎜ ⎟ ∑ nj jk ⎜ ⎟ ⎝ j =1 ⎠
∑a
j =1
1j
(t ) x jn (t )
x 21 (t ) ⋯ x n1 (t )
x 2 n (t ) ⋯ x nn (t )
x11 (t ) x 21 (t ) = a11 (t ) ⋯ x n1 (t )
⋯ ⋯
x1n (t ) ⋯ ⋯ x 2 n (t ) = a11 (t )W (t ) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ x nn (t )
⋯ ⋯ x1n (t ) ⋯ ⋯ x′ 2 n (t )
x11 (t ) x (t ) + ⋯ + 21 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ x nn (t ) x′ n1 (t )
⋯ ⋯ x1n (t ) ⋯ ⋯ x 2 n (t ) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ x′ nn ( t )
（3）
由于 x1 (t ), x 2 (t ),⋯ , x n (t ) 是（1）的解，所以
第五章
5-1 考虑方程组
线性微分方程组
dx = A(t ) x dt
（1）
其中 A(t ) 是区间 a ≤ t ≤ b 上的连续 n × n 矩阵，它的元素为 a ij (t ), i, j = 1,2,⋯ , n ， 1）如果 x1 (t ), x 2 (t ),⋯ , x n (t ) 是（1）的任意 n 个解，那么它们的朗斯基行列式
t ∫ [ a11 ( s ) +⋯+ ann ( s )] ds