2019东城二模数学理科

高三数学（理）（东城） 第 1 页（共 11 页）北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（二）2019.5数学 （理科）本试卷共4页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合2{2,1,0,1,2},{20}A B x x x =--=--≤，则AB =R ð(A){2}- (B) {01}， (C) {2,1,2}-- (D) {1,0,1,2}- （2）执行如图所示的程序框图，输入2,5a b ==，那么输出的,a b 的值分别为（A ）7，3- （B ）3-，3- （C ）5，3- （D ）5， 2（3）已知向量a 与b 不共线，且AB m =+a b (1)m ≠，.AC n =+a b 若,,A B C 三点共线，则实数,m n 满足的条件为 (A)1m n +=(B) 1m n +=-(C) 1mn = (D)1mn =-（4）鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春 秋时代鲁国工匠鲁班所作. 右图是某个经典的六柱鲁班锁及其六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图（单位：mm ），则此构件的体积为（A ）334000mm （B ） 333000mm （C ） 332000mm （D ）330000mm高三数学（理）（东城） 第 2 页（共 11 页）（5）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则“n n S na >对2n ≥恒成立”是“34a a >”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件（6）教室的图书角摆放了一些阅读书目，其中有3本相同的论语、6本互不相同的近代文学名著，现从这9本书中选出3本，则不同的选法种数为(A) 84 (B) 42 (C) 41 (D)35（7）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是底面ABCD 上的动点，1PA PC ≥，则满足条件的点P 构成的图形的面积等于(A) 12 (B) 4π (C) 44π- (D) 72（8）在交通工程学中，常作如下定义：交通流量Q （辆/小时）：单位时间内通过某一道路横断面的车辆数； 车流速度V （千米/小时）：单位时间内车流平均行驶的距离；车流密度K （辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数. 一般的， V 和K 满足一个线性关系：00=(1)KV v k -（其中00,v k 是正数），则以下说法正确的是 (A) 随着车流密度的增大，车流速度在逐渐增大 (B) 随着车流密度的增大，交通流量在逐渐增大(C) 随着车流速度的增大，交通流量先减小、后增大 (D) 随着车流速度的增大，交通流量先增大、后减小第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（ 9 ）已知复数1i2iz -=在复平面内对应的点为Z ，则Z 关于虚轴对称的点位于第 象限. （ 10 ）已知2log 6a =，5log 15b =，若3log a m b >>，m *∈N ，则满足条件的m 可以为_____.（ 11）椭圆22124:1x y C b+=与曲线2C 关于直线y x =-对称，1C 与2C 分别在第一、二、三、四象限交于点1234,,,.P P P P 若四边形1234PP P P 的面积为4，则点1P 的坐标为_______, 1C 的离心率为__ ．高三数学（理）（东城） 第 3 页（共 11 页）（ 12）将函数sin 22y x x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则5()6g π= . （13）设关于,x y 的不等式组0,20,10x x y mx y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域为钝角三角形及其内部，则m 的取值范围是 .（14）已知函数()f x ，，对于任意实数[,]x a b ∈，当0a x b ≤≤时，记0|()()|f x f x -的最大值为[,]0()a b D x .①若2()(1)f x x =-，则[0,3](2)D = ；②若22,0,()21,0,x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩则[,2](1)a a D +-的取值范围是 .三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）如图，在四边形ABCD 中，2,AC CD AD ==2.3ADC π∠=（Ⅰ）求CAD ∠的正弦值；（Ⅱ）若2BAC CAD ∠=∠，且△ABC 的面积是△ACD 面积的4倍，求AB 的长.（16）（本小题13分）某工厂的机器上有一种易损元件A ，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修.工厂规定当日损坏的元件A 在次日早上8：30之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A 的维修工作.每个工人从这20天中随机选取一天，随机变量X 表示在维修处该天元件A 的维修个数. （Ⅰ）求X 的分布列与数学期望；（Ⅱ）若,a b *∈N ，且6b a -=，求()P a X b ≤≤最大值；（Ⅲ）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A 的个数的数学期望不超过4个，至少需要增加几名维修工人？ （只需写出结论）高三数学（理）（东城） 第 4 页（共 11 页）（17）（本小题14分）如图，四边形ABCD 和三角形ADE 所在平面互相垂直，AB ∥CD ，AB BC ⊥，60DAB ∠=，4AB AD ==，AE DE ⊥，AE DE =，平面ABE 与平面CDE 交于EF ．（Ⅰ）求证：CDEF ；（Ⅱ）若EF CD =，求二面角--A BC F 余弦值； （Ⅲ）在线段BC 上是否存在点M 使得AMEM ⊥？若存在，求BM 的长；若不存在，说明理由．（18）（本小题13分）已知点()1,2P 到抛物线()2:20C y px p =>准线的距离为2.（Ⅰ）求C 的方程及焦点F 的坐标；（Ⅱ）设点P 关于原点O 的对称点为点Q ，过点Q 作不经过点O 的直线与C 交于两点,A B ，直线,PA PB 分别交x 轴于,M N 两点.求MF NF ⋅的值.（19）（本小题14分）已知函数()sin f x x x =+．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(,())22f ππ处的切线方程；（Ⅱ）若不等式()cos f x ax x ≥在区间π[0,]2上恒成立，求实数a 的取值范围．（20）（本小题13分）若n 行n 列的数表111212122212n n n n nn a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭L L M M M L(2)n ≥满足：{}01ij a ∈，(12)i j n =L ，，，，，1n ik k a m ==∑(12,0)i n m n =<<，，，L ，10(,1,2,,,)nikjk k aa i j n i j =->=≠∑L ，记这样的一个数表为()n A m .对于()n A m 记集合1(,),,.ni j i ji k j kk T n m a a i j n i j σσ*=⎧⎫==≤<≤∈⎨⎬⎩⎭∑N ，1(,)T n m 表示集合(,)T n m 中元素的个数. （Ⅰ）已知3110(2)011,101A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭写出(13,)ij i j i j σ*≤<≤∈N ，的值；（Ⅱ）是否存在数表4(2)A 满足(42)1T =，？若存在，求出4(2)A ，若不存在，说明理由；（Ⅲ）对于数表()(0,)n A m m n m *<<∈N ，求证：(,)2nT n m ≤.高三数学（理）（东城） 第 5 页（共 11 页）北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（二）2019.5数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）D （3）C （4）C （5）C （6）B （7）A （8）D 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）四 （10）9（答案不唯一） （11）()1,1 （12）（13）()12,0(,)2-+∞ （14）3[1,4]三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）在△ACD 中，设(0)AD x x =>，由余弦定理得2227=422cos3x x x x +-⨯⋅π， 整理得277x =，解得1x =.所以1, 2.AD CD ==由正弦定理得2sin sin 3DC ACDAC=∠π，解得sin 7DAC ∠= ............................6分（Ⅱ）由已知得4ABC ACD S S ∆∆=，所以11sin 4sin 22AB AC BAC AD AC CAD ⋅⋅∠=⨯⋅⋅∠， 化简得sin 4sin .AB BAC AD CAD ⋅∠=⋅∠所以2sin cos 4sin ,AB CAD CAD AD CAD ⋅∠⋅∠=⋅∠于是cos 2.AB CAD AD ⋅∠=高三数学（理）（东城） 第 6 页（共 11 页）因为sin CAD ∠=，且CAD ∠为锐角，所以cos CAD ∠==.因此AB = ...............13分 （16）（共13分）解：（Ⅰ）由题意可知， X 的所有可能取值为 9,12,15,18,24，且3(9)20P X ==；5(12)20P X ==；7(15)20P X ==； 2(18)20P X ==；3(24)20P X ==.所以的分布列为：故X 的数学期望35723()9+12+15+18+24=152020202020E X =⨯⨯⨯⨯⨯.............................5分 （Ⅱ）当()P a X b ≤≤取到最大值时，,a b 的只可能为：9,15,a b =⎧⎨=⎩或12,18,a b =⎧⎨=⎩或18,24.a b =⎧⎨=⎩经计算15(915)20P X ≤≤=，14(1218)20P X ≤≤=，5(1824)20P X ≤≤=， 所以()P a X b ≤≤的最大值为153=204. ............................10分（Ⅲ）至少增加2人 ............................13分（17）（共14分） 解：（Ⅰ）在四边形ABCD 中，AB ∥CD ． 因为AB ⊂平面ABE ，CD ⊄平面ABE ， 所以CD ∥平面ABE ．因为CD ⊂平面CDE ，且平面ABE平面CDE EF =，所以CD ∥EF ． ............................4分（Ⅱ）如图，取AD 的中点N ，连接BN ，EN .在等腰△ADE 中，.EN AN ⊥因为平面ADE ⊥平面ABCD ，交线为AD ，高三数学（理）（东城） 第 7 页（共 11 页）又EN AD ⊥，所以EN ⊥平面ABCD . 所以.EN BN ⊥ 由题意易得.AN BN ⊥如图建立空间直角坐标系N xyz -，则(0,0,0),N (2,0,0)A，(0,B，(C -， (2,0,0)D -，(0,0,2)E ．因为EF CD =，所以(2)F -.设平面BCF 的法向量为(,,)x y z =，n (1,3,2),(3,BF BC =--=-则0,0,BF BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,30.x z x ⎧--+=⎪⎨--=⎪⎩ 令y =1,1x z =-=．于是(=-n ．又平面ABCD 的法向量为(0,0,2)NE =， 所以5cos ,5NE NE NE⋅〈〉==n n n ． 由题知二面角--ABC F 为锐角， 所以二面角--A BC F ............................9分 （Ⅲ）不存在满足条件的点M ，使AM EM ⊥，理由如下：若AM EM ⊥，则0EM AM ⋅=．因为点M 为线段BC 上的动点，设(01),CM tCB t =≤≤，(,,0)M u v ．则(3,uv t +=， 解得(3M t -．所以(32)EMt =--，(3,0)AM t=-．所以(3,2)(35,EM AM t t ⋅=--⋅-．整理得22330t t -+=，此方程无实根．所以线段BC 上不存在点M ，使AM EM ⊥. ............................14分高三数学（理）（东城） 第 8 页（共 11 页）（18）（共13分） 解：（Ⅰ）由已知得122p+=，所以 2.p = 所以抛物线C 的方程为24y x =，焦点F 的坐标为()1,0. ............................4分 （II ）设点11(,)A x y ,22(,)B x y ，由已知得(1,2)Q --，由题意直线AB 斜率存在且不为0.设直线AB 的方程为()12(0)y k x k =+-≠ .由()2412y x y k x ⎧=⎪⎨=+-⎪⎩，得24480ky y k -+-=， 则121248,4y y y y k k+==-. 因为点,A B 在抛物线C 上，所以2114y x =，2224y x =，1121112241214PA y y k x y y --===-+-，22224.12PB y k x y -==-+ 因为PF ⊥x 轴， 所以()()122244PAPBPA PB y y PF PF MF NF k k k k ++⋅=⋅==⋅ ()1212244y y y y +++=884424k k -++==.所以MF NF ⋅的值为2. ............................13分（19）（共14分）解： （Ⅰ）因为()sin f x x x =+，所以()1cos f x x '=+，()12f π'=，()122f ππ=+， 所以曲线()y f x =在点(,())22f ππ处的切线方程为 1.y x =+ ............................5分 （Ⅱ）因为[0,]2x π∈，所以sin 0x ≥，cos 0x ≥，高三数学（理）（东城） 第 9 页（共 11 页）当0a ≤时，()sin 0f x x x =+≥恒成立，cos 0ax x ≤恒成立， 所以不等式()cos f x ax x ≥在区间[0,]2π上恒成立.当0a >时，设()()cos sin cos g x f x ax x x x ax x =-=+-，()1cos cos sin 1(1)cos sin g x x a x ax x a x ax x '=+-+=+-+，若01a <≤，(1)cos 0a x -≥，sin 0ax x ≥， 所以()0g x '>在区间[0,]2π上恒成立；若12a <≤，110a -≤-<，1(1)cos 0a x +-≥，sin 0ax x ≥， 所以()0g x '>在区间[0,]2π上恒成立；所以()g x 在区间[0,]2π上单调递增，min ()(0)0,g x g ==所以当2a ≤时，不等式()cos f x ax x ≥在区间[0,]2π上恒成立；当2a >时，令()()1(1)cos sin h x g x a x ax x '==+-+，()(21)sin cos h x a x ax x '=-+，()0h x '>在区间[0,]2π上恒成立，所以()g x '在区间[0,]2π上单调递增，min ()(0)20g x g a ''==-<，max ()()1022a g x g ππ''==+>，所以存在0[0,]2x π∈，使得0()0g x '=.当00x x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当02x x π<<时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当0x x =时，()0g x '=，()g x 取得极小值；而(0)0g =，所以0()0g x <，所以不等式()0g x ≥在区间[0,]2π上不能恒成立，所以不等式()cos f x ax x ≥在区间[0,]2π上恒成立时实数a 的取值范围是(,2].-∞..............14分（20）（共13分）解：（Ⅰ） 1213231σσσ===. ............................3分（Ⅱ）不存在数表4(2)A ，使得(4,2)1T =.理由如下：高三数学（理）（东城） 第 10 页（共 11 页）假设存在4(2)A ，使得(4,2)1T =.不妨设21222324431323334414243441100(2)aa a a A a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， ij σ的可能值为01，. 当=0(14)ij i j σ≤<≤时，经验证这样的4(2)A 不存在.当=1(14)ij i j σ≤<≤时，有212231324142=1=1=1a a a a a a +⎧⎪+⎨⎪+⎩，这说明此方程组至少有两个方程的解相同，不妨设2324433344344110001(2)0110a a A a a a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，所以有232433344344=1=1=1a a a a a a +⎧⎪+⎨⎪+⎩， 这也说明此方程组至少有两个方程的解相同，这样的4(2)A 只能为1100010101011010⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭或1100010101101001⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭，这两种情况都与(4,2)1T =矛盾. ..............8分（Ⅲ） 在数表()n A m 中，将ij σ换成1ij σ-，这将形成()n A n m -，由于1122ij i j i j in jn a a a a a a σ=+++L ，可得1122(1)(1)(1)(1)(1)(1)i j i j in jn a a a a a a --+--++--L ,ij n m m σ=--+从而()(-)T n m T n n m =，，.当2nm ≤时，由于10(0N )nit jt t a a i j n i j *=->≤<≤∈∑，，，所以任两行相同位置的1的个数12n≤-. 又由于0ij σ≥，而从1到12n -的整数个数2n ≤，从而().2n T n m ≤， 0(,).2nm n T n m <<≤从而当时都有，..............13分高三数学（理）（东城）第11 页（共11 页）。