贝特朗奇论悖论
贝特朗概率悖论的解释
贝特朗概率悖论的解释贝特朗概率悖论的解释贝特朗概率悖论是一个著名的悖论题，与其他的集合悖论不一样，这个悖论只是我们看起来“错”而已，也并没有像集合悖论一样带来一次数学危机，正确审视它，就是让我们对“几何概型”这一概念更加地深入了解而已。
我就不废话，我们直接来看什么是贝特朗概率悖论，百度上有很多，随便一搜就到处都是题目是这样子滴：在圆中做弦MN，求使MN的长大于圆内接正三角形边长的概率。
这道题若从不同的角度看，就有几种不同的答案，百度百科里有，我就不想在这里多费口舌，希望各位先到那里去看看具体的答案，我把图片下来，大家可以自己看：百度百科词条解释虽然这多种解法各有各得说法，似乎每一个都对，但是悖论毕竟是悖论，他终究是错的。
概率问题一个基本的原则就是，不管从哪个角度看，答案只能有一个，否则一件事情的概率都不一致，这问题要么就是本身就有问题，要么就是条件不够。
而对于贝特朗概率悖论所涉及到的问题，正是如此，因为其条件不够。
首先我们看第一种“解法”。
解法1的思路是，在于AB平行的弦中，只有与PQ交点落在MN上的，弦长才大于根号3。
弦与PQ的交点肯定就是落在能分布于以O为圆心，半径为1/2的圆中，而该圆的面积占据大圆的1/4，故概率为1/4.学夫子自己的看法来说，这种解法最牵强，他将弦的分布划归为其中点在圆中的分布，认为“一个中点M只对应于一条弦”，显然这是错误的，因为圆心O所对应的弦有无数条，而对于非圆心的点M，以M为中点的弦只有一条。
所以这本身就不是等可能的，这种解法就是错误，他就跟前两种解法不一样，加上条件就是对的，这种解法无论加什么条件都是错的，因为不是条件缺与不缺的问题，而是犯了概率论中最基本的前提错误——等可能分布。
不过网络上更倾向于第二种方法的答案作为这道题的“标准答案”，因为任意给一条弦，他应该由圆周上的两点决定。
文章。
贝特朗悖论之争的终极原因
贝特朗悖论之争的终极原因贝朗特1.贝特朗悖论的产生背景人们对概率的研究有着悠久的历史。
公元1494年意大利的帕奇欧里（paciuolo）提出了了关于“分赌金”的问题，这个问题直到16世纪才有巴斯卡（1623～1662）、费尔马（1601～1665，费马大定理的提出者）、惠更斯（荷兰数学家1629～1695）联合解决。
转眼到了1812年,法国数学家拉普拉斯撰写了《分析概率论》这一著作,概率的古典定义在书中被首次完整而系统地提出.作为对古典定义的补充和推广,在无限样本空间背景下的几何概率也得到了广泛的应用。
正当古典概率和几何概率在各自的研究领域内迅猛发展时,1899年,法国数学家贝特朗（nsephBertrand,l822-1900）提出一个“简单”的问题:在圆内任作一弦,求其长超过圆内接正三角形边长的概率是多少？按照几何概率的定义进行计算,竟然可以求得3个不同的概率,这与概率的性质是背道而驰的.这就是著名的“贝特朗悖论”矛头直指几何概率概念本身.贝特朗悖论说明原来关于概率的定义带有很大的局限性,迫切需要一种公理化体系改造概率论.1933年,前苏联数学家科尔莫戈洛夫提出了概率的公理化体系,迅速获得举世的认可,使得古典概率和几何概率具有了更加严密的逻辑基础,像“贝特朗悖论”这类自相矛盾的问题也得到了合理的解释。
华罗庚说：“新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要”。
2.相关的概念古典概型2.1古典概型①定义如果一个随机试验所有可能出现的结果只有有限个,即基本事件总数是有限的,并且每个基本事件发生的可能性相同,那么称这样的随机试验为古典概型试验,简称古典概型.古典概型的特点:(i)有限性一试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (ii)等可能性——每个基本事件出现的可能性相等.②概率计算公式P(A)=m/n=(事件A包含的基本事件数)/(基本事件总数)2.2几何概型①定义对于一个随机试验,将基本事件理解为从某个可度量的几何区域G内随机地取一点,该区城中每一个点被取到的机会都一样;而随机事件A的发生则理解为恰好取到区域G内的某个指定区域g中的点,则称这个随机试验为几何概型随机试验,简称几何概型③率计算公式P(A)=(g的度量)/(G的度量)g的度量为构成事件A的区域的长度、面积或体积,G的度量为试验的全部结果所构成的区域的长度、面积或体积.一切推理都必须从观察与实验中得来。
几何“贝特朗概率悖论问题”的一点思考
几何“贝特朗概率悖论问题”的一点思考几何“贝特朗概率悖论问题”的一点思考郑甜（贵州省贵阳市第一中学）度中引入了古典概型和几何概型的概念，并从古典概型入手，要求学生能够对基本事件进行准确的计数和合理的描述。
学生要能够掌握几何概型中的具体情境分析，能够对基本事件的发生进行转换，将其转变为特定区域内的随机取点。
教材在几何概型这方面旨在对学生的建模能力和类比猜想能力进行培养和提高，并在其中渗透了丰富的数形结合思想和等价转换思想，是新课标人教A版高中数学教材中的一项难点内容。
在教学的过程中，几何概型的教学难点就在于如何让学生把握住几何概型的定义和特征，不要出现类似贝特朗概率悖论的问题。
二、贝特朗概率悖论问题贝特朗概率悖论问题是一个着名的问题，其内容为“有一个半径为1的圆，在圆内随机地将一条弦去除，那么弦的长度超过圆的内接等边三角形边长的概率有多大？”1.长度，y，2.60°角和，弦与该成样本空间Ω2。
两变量的变化率不一样，所以不能用弦与切线成60°角和120°角之间的概率取代弦长度大于三角形边长的概率。
3.如图1第三幅图，当弦的中点在阴影标记的圆内时，弦的长度大于三角形的边长，而大圆的弦中点一定在圆内，大圆的面积是πr2，小圆的面积是π（r/2）2。
所以概率P=1/4，假定弦的中点在大圆内均匀分布，大圆内的点组成样本空间Ω3。
三、对贝特朗概率问题的分析每一个弦都可以被其中点唯一决定。
上述三种方法会给出不同中点的分布。
方法1和方法2会给出两种不同不均匀的分布，而方法3则会给出一个均匀的方法。
在几何概型中，对某一随机事件的概率可以用体积、面积和长度来进行计算，其中的基本原理就在于每个基本事件都与一个点相互对应，这些点均匀分布，构成了空间几何体、平面区域或者曲线段。
但仍然可问题，。
贝特朗悖论
贝特朗悖论在第一次世界大战时，意大利军队里流行着一种反常的现象：意大利士兵受伤后不去医院治疗，而是要求服用大量的止痛片。
这使人费解，军方将领也莫衷一是。
英国海军少将贝特朗认为，这种看似矛盾的现象有它合理的一面。
因为他发现，如果不进行必要的止痛治疗，很多士兵都会在作战中牺牲。
从20世纪开始，对于贝特朗悖论产生了各种不同的观点和解释。
1909年，爱尔兰数学家波利亚最先提出，士兵因为怕被俘，宁愿死于敌手，也不愿治疗疾病。
这被称为“假死说”。
但是，美国医生杜南和拉斯马丁，为寻找原因，深入研究，终于揭开了这个奥秘：原来，当士兵受伤后，生命特征就已经消失了。
如果去治疗，那么生命活动仅存于人体的某些器官，就不能在行军或作战中发挥积极作用了。
为此，医生们便采取了“假死说”的治疗方法，让士兵不用去接受手术等治疗，可以保存下更多的体力。
1910年，德国医生冯·贝克曼德尔首先向公众宣布了这个奥秘。
这种假死说在医学上被称为“灵魂出壳说”。
这个学说的前提是，人受伤以后，其实就是“灵魂”离开身体。
这种灵魂虽然没有肉体，却仍然具有思维，并且对自己的行为负责任。
由于灵魂与肉体不在一起，当伤愈之后，对自己所造成的伤害，则难以恢复。
为此，在重伤初愈后，我们必须对伤口进行必要的处理。
1912年，英国医生洛伍德正式向公众宣布了这个奥秘，他称之为“拟态说”。
他认为，人体内每一个器官、每一根神经都相当于一个独立的人，每一个器官都有一个生命，即具有特殊性质的“灵魂”。
因此，身体各部位不应该互换，医生只能对受伤的器官进行抢救，而不能移动“灵魂”。
1916年，法国外科医生皮纳尔提出，人体有两种系统在控制人体的正常功能。
一种是靠内部神经来指挥的。
另一种则是依靠来自外界刺激来指挥的。
这两种系统既独立又相互联系，同时也相互转化。
他把这种相互转化叫做“拟态”。
他把人体分成两个不同的部分，即“身体”和“灵魂”。
灵魂处于一种休息状态，通过“拟态”来适应环境，接受指令。
贝特朗悖论
贝特朗悖论
1899年，法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖论”，使我们对概率的定义有了更深的认识。
同一个问题，得出了三种答案，所以该问题一经提出就被人称为“悖论”。
其实，该问题的答案已经被人们证明有无数多个。
现在我们要考虑，同一个问题，为什么答案会有这么多?
之所以被人称之为“悖论”，并不是因为这个问题错了，也不是解答错误，每种答案都对。
但是结果不一样，这是因为人们忽略了概率中的一个定义。
样本空间定义
一个随机试验可能出现不同的结果，这些结果称之为样本点，样本点的全体所构成的集合称之为样本空间Ω，事件A定义为样本空间Ω的一个子集，它包含了若干的样本点。
所以我们要求概率，首先考虑这个试验的样本空间是什么，选择不同的样本空间，会得出不同的答案，我们针对上面三种解法考虑其样本空间：
上面三种解法得出不同答案的实质是因为求解概率的样本空间不同，换句话说就是弦是怎么做出来的，不同的作弦方式会得到不同的样本空间。
该问题之所以称之为悖论，仅仅是因为该问题中并没有阐述圆中的弦是怎么做出来的。
而我们知道，做弦的方式有无数多种，所以贝特朗提出的这个问题有无数种答案。
以下用两题对比来体会样本空间这一概念：
两个题目做出线段CM的方式不同：。
贝特朗悖论
贝特朗悖论贝特朗悖论是一个有关几率论的传统解释会导致的悖论。
约瑟·贝特朗于1888年在他的著作《Calcul des probabilités》中提到此悖论，用来举例说明，若产生随机变数的“机制”或“方法”没有清楚定义好的话，几率也将无法得到良好的定义。
贝特朗悖论的内容如下：考虑一个内接于圆的等边三角形。
若随机选圆上的弦，则此弦的长度比三角形的边较长的几率为何？贝特朗给出了三个论证，全都是明显有效的，但导致的结果都不相同：1.“随机端点”方法：在圆周上随机选给两点，并画出连接两点的弦。
为了计算问题中的几率，可以想像三角形会旋转，使得其顶点会碰到弦端点中的一点。
可观察到，若另一个弦端点在弦会穿过三角形的一边的弧上，则弦的长度会比三角形的边较长。
而弧的长度是圆周的三分之一，因此随机的弦会比三角形的边较长的几率亦为三分之一。
图1 随机的弦，方法1；红=比三角形的边较长，蓝=比三角形的边较短2.“随机半径”方法：选择一个圆的半径和半径上的一点，再画出通过此点并垂直半径的弦。
为了计算问题的几率，可以想像三角形会旋转，使得其一边会垂直于半径。
可观察到，若选择的点比三角形和半径相交的点要接近圆的中心，则弦的长度会比三角形的边较长。
三角形的边会平分半径，因此随机的弦会比三角形的边较长的几率亦为二分之一。
图2 随机的弦方法23.“随机中点”方法：选择圆内的任意一点，并画出以此点为中点的弦。
可观察到，若选择的点落在半径只有大圆的半径的二分之一的同心圆之内，则弦的长度会比三角形的边较长。
小圆的面积是大圆的四分之一，因此随机的弦会比三角形的边较长的几率亦为四分之一。
图3 随机的弦方法3上述方法可以如下图示。
每一个弦都可以被其中点唯一决定。
上述三种方法会给出不同中点的分布。
方法1和方法2会给出两种不同不均匀的分布，而方法3则会给出一个均匀的方法。
但另一方面，若直接看弦的分布，方法2的弦会看起来比较均匀，而方法1和方法3的弦则较不均匀。
贝特朗悖论(几何概型).doc
一个几何概型试题的题源探究《中学教研》2010年第09期 第38页 《福建中学数学》2010年第05期 第23页1 题目点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为 .（2009年福建省数学高考文科试题）解：如图1，另一端点B 只能在优弧上运动，因此所求概率为1223B B P ==优弧长圆周长.2 题源2.1 源于历史名题初看此题以为是数学史上得一个经典的悖论——贝特朗悖论，其实这是一个根据贝特朗悖论改编的题目.贝特朗悖论：“在半径为1的圆周上任取两点，连成一条弦，问弦长超过其内接正三角形的边长的概率是多少？”从不同方向考虑这道试题，可得不同结果：解法1 如图2，满足条件得弦为AP .不失一般性，先固定其中一点A 于圆周上，则另一端点P 只能在弧BC 上运动，因此所求概率1=3BC P =圆周长.2BB1BBB BB B 图1AC图2AB PPPP解法2 如图3，应用对称性.可预先固定直径AB ，点,C D 为AB 的四等分点.作垂直于直径AB的弦，若弦长要大于内接正三角形边长，则半弦长>12≤，即弦的中点须在线段CD 上运动（弦中点与弦一一对应），故所求概率为12CD P AB ==.解法3 如图4所示，弦长要大于内接正三角形边长，则半弦长2>，于是弦心距12≤，即弦中点必须在以O 为圆心、半径为12的圆内或圆上，故所求概率21()124P ππ==. 这导致同一事件有不同概率，因此为悖论.同一问题有3中不同的答案，原因在于取弦时采取不同的等可能性假设！解法1假设端点在圆周上是均匀分布的；解法2假设弦中点在直径上是均匀分布的；解法3是假设弦的中点在圆内是均匀分布的.这3种解答是针对3种不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的.因此，在试验术语“随机”、“等可能”、“均匀分布”等时，应明确指明其含义，这又因试验而异.几何概率是19世纪末新发展起来的一门学科，使很多概率问题的解决变得简单而不用运用微积分的知识。
贝特朗悖论与概率论的公理化_冯变英
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克莱悖论的出现, 使得极限概念由模糊变得清 晰, 由直
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觉变得严密; 罗素悖论的出现, 使得建立在集合 论基础
频率反应了事件发生的可 能性大小, 但用频 率反 上的数学大厦摇摇 欲坠, 人们在 不断 的做出 努力 来构 应事件发生的可能 性大 小有不 确定的 缺点。同样 是对 建和加固数学大厦, 数学 大厦也 就在 人们的 不断 加固
概率趋于 0 来描 述。人 们不 由 的要 问: 概 率究 竟是 什
么?
3) 弦可以 由中点 唯一 确定。 当弦 的中 点落 在半 径为大圆半径一半的同心圆内时, 其长才合乎要求 (如 图 4)。设中点位于圆内哪一 点是等可 能的, 则所 求概 率为 1 /4。
此问题从三个不同的角度来考虑, 做出三种不同的 答案。这严重违背了常理。这就是贝特朗悖论。
三、概率论发展历程中的疑惑 概率论的 发 展经 历 了一 个 漫长 而 曲折 的 历史 过 程。 300 年 前, 西 方 贵族 在 利 用纸 牌、骰 子 进行 赌 博 时, 遇到了许多无法解决的问题, 例如赌博中断 问题等 等。由于输赢无法预知, 又涉及金钱得失, 人们 试图了 解其中的规律。 梅尔向 朋友 Pasca l请 教了 一些 问题, Pasca l以及当时欧洲一些有声望 的数学 家参加了 有关 讨论, 由此产生了一 些概率论 的基 本概念 ( 频率、概率 等等 )。 频率是研究事件发生可能性大小时的基本 概念之 一。当初, 人们为了研究事件发生可能性大 小的规律, 做了许多的试验。抛硬币的试验便是其中之一 [ 2] 。
贝特朗奇论(Bertrand’s paradox)
几何概率在现代概率概念的发展中起到了非常重大的作用。
曾经的一篇博客 用概率来计算∏（德布封的针问题） 就是一个例子。
在19世纪，人们一度认为任何概率问题都有唯一的解答。
然而Joseph Bertrand 在1888年提出的一个问题改变了人们的想法。
在半径为1的圆内随机取一条弦，问其长度超过该圆内接等边三角形变长(根号3)的概率是多少？【解法1】由于弦交圆于两点。
我们先固定弦的一个端点。
以此端点做一个等边三角形(如图)。
显然，只有穿过此三角形内的弦才符合要求。
而符合条件的弦的另一端正好占整个圆弧的1/3。
并且，不论固定的那个端点在圆上的哪个位置，情况都是一样的。
所以结果为1/3。
【解法2】由于弦长只和圆心到它的距离有关。
所以固定圆内一条半径。
当且仅当圆心到它的距离小于1/2才满足条件。
并且，不论固定的是哪条半径，情况都是一样的。
所以结果为1/2。
【解法3】弦被其中点唯一确定。
当且仅当其中点在半径为1/2的圆内时才满足条件。
此小圆面积为大圆的1/4。
所以结果为1/4。
——————————————————————三个看似都有道理的解法却得到了不同的结果，所以我们称其为paradox 。
其实，这些结果都是对的。
因为它们采用了不同的等可能性假定。
解法一假定端点在圆上均匀分布。
解法二假定半径在圆内均匀分布以及弦的中点在半径上均匀分布。
解法三假定弦的中点在圆内均匀分布。
这三种解法针对三种不同的随机实验，对于各自的随机实验它们都是正确的。
现在，如果我们假定弦的中点在圆内均匀分布。
那么前两种假设中弦的中点便不是均匀分布了。
它们的分布情况如下： 解法1的弦中点分布：Posted by Charlesgao ---> 概率统计(Prob&Stat)贝特朗奇论(Bertrand ’s paradox)解法1的弦分布：解法2的弦中点分布：解法2的弦分布：解法3的弦中点分布：解法3的弦分布：贝特朗的这个悖论以及他的《概率论》对几何概率的不确定性提出的批评大大推动了概率论向公理化方向的发展。
贝特朗悖论
19世纪末，概率论的广泛应用提出了对概率论的基础概念与原理进行解释的需要．另外，科学家发现的一些概率悖论提示了古典概率论的基本理论所存在的矛盾，其中最著名的是贝特朗悖论．悖论提出后，在数学界引起了很大震动，促使数学家理性反思概率论的基础理论．1932年，这个问题才由前苏联的数学家柯尔莫哥洛夫解决，他在其经典的著作《概率论基础》中建立了在测度论的基础上的概率论公理系统，从而把概率论建立在完全严格的数学基础之上，那么什么是贝特朗悖论呢？下面我将简要向同学们介绍一下．贝特朗悖论是法国数学家贝特朗提出的关于几何概型的悖论．1889年贝特朗在著作《概率计算》中提出：在圆内作任一弦，求其长超过圆内接正三角形边长的概率．现按几何概型的计算方法，可毫无计算错误地求得三种不同的结果，从而使几何概型陷入逻辑矛盾之中．（1） 如图1，弦l BC ∥，由ABC △是正三角形知，2R OD OD '==，OE d =，有PQ BC >，2R d <． 由Ｅ点在圆Ｏ直径上的等可能性，因此所求概率为21222RP R ⨯==． （2）如图2，弦l 的弦切角为α，由ABC △是正三角形知，60MAB ∠=°，120MAC ∠=°，有AP AB >，60120α<<°°．由于弦l 在圆内的等可能性，因此所求概率为1206011803P -==°°°． （3）如图3，弦l 的弦心距OE 为d ，ABC △的内切圆半径为，由于弦l 在大圆内和交点Ｅ在小圆内的等可能性，因此所求概率为 22π12π4R P R ⎛⎫ ⎪⎝⎭==． 出现以上三种不同结果的根本原因不是别的，就是本题进行了无穷多个等可能性随机试验，而“等可能”概念缺乏一个明确的客观标准．这一悖论揭示了几何概率在19世纪刚兴盛时期存在着其逻辑基础的脆弱性，也反映出古典概率有着相当的局限．这也推动了20世纪概率论合理化工作的早日到来． 当然这也提醒我们在解决几何概型问题时，必须找准观察角度、明确随机选择的意义、判断好基本事件的等可能性．。
贝特朗悖论与概率论的公理化
贝特朗悖论与概率论的公理化
贝特朗悖论和概率论在数学方面可以说是共同的、交叉的学科，它们有着共同的公理化过程，可以用于描述相近的客观现象。
一、贝特朗悖论
1、首先，必须对Decision Problem进行分析和定义，包括测定可用来解决决策问题的异质变量，以及针对每一异质变量所要考虑的多个取值情况；
2、其次，识别出实际决策中相关概率变化，将决策问题定义成一组事件发生概率的期望值；
3、然后，计算可能的决策方案，通过对每一方案的风险可视化，明确方案的最优化；
4、最后，完成贝特朗悖论的公理化，可以用于描述决策过程中负担的收益和可能的后果。
二、概率论
1、首先，通过对诸如抛硬币的实验的实验分析，可以确定给定实验的概率，并使用数学表示法来估计实验的概率；
2、其次，基于概率或概率分布，可以确定随机变量和确定性变量之间存在的关系；
3、然后，利用数学表达式建模和求解，能够识别出和计算出解决问题所需要的最优解，或者最有价值的解；
4、最后，完成概率论的公理化，可以用于预测要解决问题的范围、成功机率和结果的可能性。
贝特朗悖论和概率论的公理化是进行决策分析的重要基础，因此，在利用它们来解决实际决策问题时，需要充分考虑其以上提到的方面，以满足确定最优选择的要求。
贝特朗悖论与随机模拟方法
两个端 点在单 位圆周上 的位置为
ｘ Ｙ ａ ｙ ， 如 图１ ， 则事＂ ｌ ｅ Ａ等价 于 ：
随机模拟方法是利用计算 机或者计算器模 拟试验 从 而计算事件发生概率 的一种方法 ． 在模拟试验过程 中我们 会重复产生 随机数模拟事件是否发生 ． 利用事件发生的频 率作 为事件 发生概率 的近似估计 ． 这里的随机数是在一定
（ １ ） 产 生一组０ ～ １ 区 间的均匀 随机数 （ 共 有Ⅳ 个） ， ＝
ＲＡＮＤ ， ｙ ｌ ＝ ＲＡＮＤ ；
任一弦长度 的取值范 围为 （ ０ ， ２ ］ ． 那 么事件“ 弦的长度大于
圆的 内接正三角形边长” （ 记为事４ ￣ Ａ） 发生 的概率是不是 为
Ｚ
（ ２ ） 经伸 缩变换 ： １ × ２ １ Ｔ ， ｙ ＝ ｙ ｌ ｘ ２ ＂ ｒ ｒ ；
率．
试 验 次数 为 １ ０ ０ ０ ０ 时 模 拟事
．
二、 问题 转化 考虑用 计算机或者计算器模 拟这个 试验 ：从单位 圆
件发生 的概率 近似值为０ ． ３ ３ ７ ３ ．
情形２ 弦由它 的中点确定
１ ． 设 弦的 中点 等可能地 出现
在单位 圆周 内．而事件Ａ等 价 于 图３
会诊， 并给 出相应 的一些 对策． 从 而期 望能 够达 到改变我 们 的教学方 法 ， 提 高课 堂教 学效 率 ， 启迪 学生 的数 学思
维， 最终达到优化 学生思维 品质 的 目的．
“ 弦 的中点位于半径 为 １的 圆内” （ 如 图３ 所示 ） ，因此事
计算 器或计 算机模 拟步骤 如下 ：
题 中的体现． 在本文中我们用随机模 拟方法来讨论几何 概
型 问题 ．
几何概型和贝特朗悖论
２ ． Ｌ＞、 ／ 了 ，如果 ｒ ＜ ／ ，其 发生的
概 率 为 ｉ．
随机试验是不够的 ， 还必须考 虑有无限多 个试验结果 的情 况． 例如一个人 到单位 的 时 间可能 是 ８ ： Ｏ ０至 ９ ： ０ ０之 间的任何 一 个 时刻 ； 往一个方格 中投一 个石子 ， 石子 的圆内， 其发生的概率为 １ ． 悖论分析 （ １） 由于对称性 ， 可预 先 固定弦 的～ 端．仅 当弦与 过此端 点的切 线 的交角在 ６ Ｏ 。 ～１ ２ ０ ｏ之 间， 其 长才合 乎要求． 所有
过 对 贝 特 朗 问题 的解 法 进 行 深 入 剖 析 ， 总
于 ｝ 点 与 手 点 间 的 弦 ， 其 长 才 大 于 内 接
正三角形边长．所有交 点是等可能 的， 则 所求概率 为 ／． 此时假定弦的 中心在直径
［
上 均 匀分 布 ． （ ３ ） 弦被 其 中点位置 唯一确 定 ． 只 有
学生学习数学存在许 多不 良习惯 ， 例 老师 的心 理 ， 做作业不 讲究效率 ， 心 思不 集 中， 学 习效率不高等。 建立 良好的学习数学习惯 ， 会使 自己 学 习感到有序而轻松。在学习数学过程中
提 态 ， 勤奋 学 习， 日积月 累， 就一 定能成功 。 如遇到问题不能独 立思考 ， 养成一种依赖 我评判能力 ；要养成善于交流 的习惯 ，
高表 达能力 ：要养成独立思考的 习惯 ， 提 许 多事情我们不可能一蹴而就。 同学们肯 高分析问题、 解决 问题的能 力。 日积月累，
习方 法。
定有这样的体验 ，学 习不 纯粹在于 方法 ， 要有一颗坚定不移的心 ， 持之以恒地坚持 下去 ， 每天进步一 点点 ， 这样才能 实现 自 己的梦想。
哲学中常见的十大悖论
哲学中常见的十大悖论哲学中有许多悖论，那么比较常见的悖论都有哪些呢？以下列举十个常见的悖论，供您参考。
1、赫拉克利特的悖论：悖论内容：赫拉克利特认为一切都在不断变化，但他同时也提出了“人不能踏入同一条河流两次”这一观点，即认为河流是不变的。
这个悖论揭示了存在变与不变的矛盾，并引发了对于变与恒的哲学思考。
2、康德的反射悖论：悖论内容：康德认为，我们无法通过理性思考来认识自身的理性能力，因为我们的理性能力正是用于进行理性思考的。
这个悖论暗示了我们对于自身认知的局限性，以及理性思考的边界。
3、贝利塔的悖论：悖论内容：贝利塔悖论是集合论中的一个悖论，指的是一个集合既不属于自身，也不不属于自身。
这个悖论揭示了集合论中的一些逻辑矛盾，对于集合的定义和性质提出了挑战。
4、肯特悖论：悖论内容：肯特悖论指的是一个陈述既不能被证明为真，也不能被证明为假。
这个悖论暗示了陈述和证明之间的复杂关系，以及我们对于真理和证明的认知局限。
5、孔子的悖论：悖论内容：孔子曾说“我知道我什么都不知道”，这表明他意识到自己的无知，但同时他也知道自己的无知。
这个悖论揭示了人类对于知识和无知的认知困境，以及对于认知能力的反思。
6、彭罗斯悖论：悖论内容：彭罗斯悖论是一个关于真理和谬误的悖论，指的是一个陈述既不能被证明为真，也不能被证明为谬误。
这个悖论挑战了真理的定义和确定性，引发了对于真理和知识的思考。
7、狄尔斯悖论：悖论内容：狄尔斯悖论是一个关于自指的悖论，指的是一个陈述既不能被证明为真，也不能被证明为假。
这个悖论揭示了自指陈述的复杂性，对于逻辑和语言的理解提出了挑战。
8、神谕悖论：悖论内容：神谕悖论是一个关于预言的悖论，指的是一个预言的内容既不能发生，也不能不发生。
这个悖论对于预言和命运的解释提出了疑问，引发了对于自由意志和确定性的讨论。
9、隐形狮子悖论：悖论内容：隐形狮子悖论是一个关于存在性的悖论，指的是一个隐形狮子既存在，也不存在。
关于贝特朗悖论
关于贝特朗悖论从法国学者贝特朗(Joseph Bertrand)提出“贝特朗悖论”至今，已经过了一个多世纪。
在这漫长的一百多年中，贝特朗悖论得到了各层次数学爱好者的热切关注，人们穿越时空，从不同的角度对此悖论进行了争论、辨析及交流……首先来看一下贝特朗悖论:在圆内任作一弦,求其长超过圆内接正三角形边长的概率. 此问题可以有三种不同的解答:面对同一问题的三种不同的答案。
人们往往这样来解释:得到三种不同的结果，是因为在取弦时采用了不同的等可能性假设:在第一种解法中则假定弦的中点在直径上均匀分布;在第二种解法中假定端点在圆周上均匀分布，而第三种解法中又假定弦的中点在圆内均匀分布。
这三种答案是针对三种不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的。
三个结果都正确～——这就是让老师和学生感到迷惑不解的原因。
显然这样的解释是不正确的。
上述解法看似是用了严密的理论来论述，但有的解法与问题的本质是脱节的，即理论是正确的，但却不合题意:因为不同的解法所阐述的相应点的均匀分布只是一个必要条件，而此问题的条件是在圆内任作一条弦(或是从圆内任取一条弦)，所以只有任取的弦与这些相应的均匀分布的点一一对应时，才能使整个的随机试验过程具有等可能性，否则，运用几何概型思想方法求出的结果一定是错误的。
找到了问题的本质，我们就容易分析上面三种解法中，哪种解法是错误的了，实际上，找出错误，只要举出一个反例即可，下面我们把目光指向圆心:第一种解法中，除了圆心外，圆内的点都和唯一的一条弦(与相应的直径垂直)对应，即一一对应。
但是，圆心却与无数条弦(即与直径垂直的任何方向都有过圆心的弦，其长度满足题意)对应。
这样，圆心——这个圆内的点与相应的弦就不是一一对应了，为此，用此种思想所构造的试验过程中的基本事件就不是等可能的了，所以运用几何概型思想方法求出的结果也一定是错误的。
有了这种认识，大家会马上发现第三种解法也是不正确的。
而第二种解法，所构造的均匀分布的点是在圆周上，没有圆心，用此种思想所构造的试验过程中的基本事件是等可能的，所以结果是正确的。
贝特朗悖论
贝特朗数学悖论在一个圆内随机地画一条弦。
它的长度大于该圆内接等边三角形边长的概率是多少？算法1：由于对称性，可将弦的方向固定，考虑它与垂直于它的直径的交点。
当这个焦点是半径的中点时，长度小于内接等边三角形边长的弦达到最大长度。
因此所求概率是1/2。
算法2：考虑弦的中点。
对于长度大于内接等边三角形边长的弦，这个中点必定落在一个半径为原来一半的同心圆内。
这个新圆的面积只有原来那个院的1/4，因此所求的概率为1/4。
算法3：由于对称性，可从弦的一个交点以及弦与此点切线的夹角着手。
这条弦必定位于三个60°角的一个角内。
因此这概率必为1/3。
算法4：让我们设想把所有能作为弦的线段放在一起，它的长度从0到d(即圆的直径长度)。
那些符合要求的弦其长度将落在(√3)d/2与d之间。
因此概率是(2-√3)/2。
贝特郎（Joseph Bertrand, 1822-1900, 法国数学家）在1889年提出了这个问题，用以批评连续型概率，并提出了第三种算法。
R. J. Denichou博士提出了第四种算法。
事实上，这道题的答案不是唯一的，除非明确规定了随机变量。
本题中并没有这样做。
几中算法对应于几种不同的随机变量：(1) 弦到圆心的距离；(2) 弦的中心位置；(3) 弦与切线的夹角；(4) 弦的长度。
《世界报》的一位读者证明，如果死抱着导致这种悖论的诡辩推理不放，那么可以使这个概率在0到1之间连续变化。
令ABC为一等边三角形，ON为垂直于OA的半径。
S是OA所在直线上位于O点上方的一点。
SN交AC于C'，交圆在A点的切线于N'。
由于对称性，可仅考虑左半圆。
经过A的一条弦相应于SN上的一个点，因此弦的长度大于这个等边三角形边长的概率是SC'/SN'。
但是S的位置是可以随意变化的，于是这个概率可以取0（S趋于O时）与1（S无限上升时）之间任何值。
贝特朗悖论
贝特朗悖论有一位美国年轻人，毕业后去参军，因训练不合格，退伍回家。
一天，他站在一座桥上，面对滔滔河水，想起自己没有文化、不懂技术，只能靠做苦力赚钱。
为了使自己成为有知识、懂技术的人，他毅然决定从明天起学习。
但是他一没有钱，二没有时间，三没有任何基础。
要实现这一目标谈何容易！他坐在河边思考，又来到河边散步，他看见一位老人在钓鱼，手持钓杆，注视水面，非常专注。
过了一会儿，老人慢慢收起鱼竿，放进鱼篓里，望着水面若有所思地说：“真正想要学会钓鱼，就要像我一样静心观察水面，专心致志。
”年轻人恍然大悟，当即找来笔墨纸砚，把老人的话记录下来，重新坐在河边思考起来。
他目不转睛地盯着水面，专心致志地读书、写字，渐渐地忘记了时间。
后来，他终于用辛勤劳动换得了一笔钱，买了许多书籍和文具。
于是，他废寝忘食地攻读，先后掌握了电工、木工等技术，通过了自学考试。
由于他有一定的文化功底，工作起来得心应手，很快成了单位的技术骨干。
但是他并不满足于现状，一心想寻求更高深的知识。
于是他买了一些专业书，一有空就埋头钻研，逐渐掌握了许多知识，成了远近闻名的专家。
贝特朗这时做了一个奇怪的举动：跳入水中，接受了一次又一次严峻的挑战。
在水中，贝特朗凭借自己过硬的本领和坚强的意志，顽强拼搏，越过一道又一道障碍，终于成为闻名遐迩的游泳健将。
他也再一次证明：自学能使人走向成功，学习是成功之母。
很多科学家、文学家、艺术家都是经过刻苦自学，掌握了精湛的本领。
比如说法国的科学家居里夫人，她自幼父母双亡，后被送进教会学校。
中学毕业后，她考入巴黎大学[gPARAGRAPH3]学医，希望能用学到的知识救治像妈妈一样病重的人们。
为什么会发生这种现象呢？原来，居里夫人选择了一条正确的道路。
在学医的路上，她把许多知识与实践结合起来，使自己成长为世界著名的科学家。
贝特朗和居里夫人都是经过自学才成为优秀的人才。
这也说明：自学能够改变人的命运。
人们在自学的过程中，必须有目标，也就是说你要给自己定好方向。
贝特朗奇论之辩析
贝特朗奇论之辩析
贝特朗奇论是维特根斯坦在《论精神病理学》中提出的一种心理学理论。
它认为，精神病的发生不仅受到环境和遗传因素的影响，而且受到固有的心理动机因素的影响，这些心理动机因素是个体心理活动的根源。
因此，贝特朗奇论将精神病的发生归因于个体的内在心理活动，而不单独把精神病归因于环境和遗传因素。
贝特朗奇论强调个体的内在心理活动，认为精神病的发生是由个体的内在心理动机和社会环境冲突所引起的，并提出人们应该更关注个体内心的情感和体验，以便更加有效地处理精神病。
贝特朗奇论也提出了一种治疗精神病的方法，即精神分析，即探索个体内心的情感和体验，以帮助患者解决内心的冲突，恢复精神健康。
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贝特朗奇论
2 . 1 “贝特朗奇论” 的 数学表示 在单位圆内随机取一条弦,弦 长超过3(单位圆内 接等 边三角形的边长)的概率是多少? 这个问题有三种解法, 答案互相矛盾 。
解法一:设弦AB 的一端A 固定于圆周上,另一端B 任意(图1)。
对于等边三角形ACD , 若B 落在劣弧CD 上,则AB > 3 ,
P = CD 弧长圆周长 = 13 解法二 : 设弦 AB 垂直于直径 EF , C D = DO( 图 2) , 若 AB
的中点落在线段 C D 上 , 则 AB> 3 , 故 P = CD EF = 12 。
解法三 : 作半径为 1/ 2 的 同心圆( 图 3) 。
若 A B 的中 点
落在此圆内 , 则 AB> 3 , 故 P =小圆面积大圆面积
= 14 。
2. 2 “贝特朗奇论” 的数学辨析
同一问题有三种不同的答案, 究其原因, 是在取弦时采用了不同的等可能性的假定。
解法一假定端点在圆周上的落点处处等可能 , 解法二假定中点在直径上的落点处处等可能, 解法三假定中点在圆 内的落点处处等可能。
三种答案对于各自的假定都是正确的。
这样的
解释显得似是而非, 但又找不到反驳的理由, 故名奇论。
其实弊病出在概率定义本身。
我们先看看有关概率的三个定义: 概率的统计定义: 在条件相同的n 次试验中事件 A 出现m 次, 如果加大n 时, A 的频率m
n逐渐稳定在一个常数附近, 就把这个常数叫做事件 A 的概率。
概率的古典定义:如果一个试验满足两条：（1）试验只有有限个基本结果；（2）试验的每个基本结果出现的可能性是一样的。
这样的试验，成为古典试验。
对于古典试验中的事件A，它的概率定义
为：P(A)= m
n，n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目。
m表示事件A包含的试验基本结果数。
这种定义概率的方法称为概率的古典定义。
概率的几何定义:若试验结果只能出现于区域Ω内的某一点,且出现于每一点的可能性相等,又区域A包含于区域Ω中,那么试验结果出现于区域A的概率,即事件A R 的概率P( A ) =区域A的测度/区域Ω的测度。
概率的统计定义虽然直观, 但据此计算某事件的概率是困难的, 仅能以A的频率作为P( A) 的近似值。
然而n要多大,准确到什么程度,都没有确切的说明,在概率的古典定义中,不需要试验即可直接根据公式求出事件的概率, 这是它的最大优点, 但是它也有局限性, 因为它要求试验的全部可能结果的数目是有限的, 而且每个试验结果出现的可能性相等。
如果试验的全部可能结果是无限的,古典定义就不适用了。
概率的几何定义虽然不要求试验结果有限,但同样强调
试验结果的等可能性。
可是怎样才算等可能性? 这都无从回答。
即便古典定义的提出者拉普拉斯本人对此也是含糊其词: “ 如果找不到可能性大小不等的任何理由, 就可以看作是等可能的。
” 当然这种说法欠妥, 并且招致许多矛盾。
如果进一步分析,所谓“等可能性” 就是“等概率”。
这无异于用概率去定义概率, 逻辑上出现了循环。
正是因为这种矛盾的存在, 人们希望找一个一般的概型, 以便更广泛更确切地描述随机现象, 通过对随机现象的数学本质的研究和对上述三个定义的分析知道了概率具有一些基本性质并由此得到概率的公理化定义。