温度控制系统

∫
t
0
e (τ )d τ ≈
∑ e ( j )T
j=0

k
de ( t ) e ( n ) − e ( n − 1) ≈ dt T
其中，T 为采样周期， n 为采样序号， e( n − 1) 和 e( n) 分别为第 ( n − 1) 和第 n 次采样 所得的偏差。 由此，式（1-1）可写成：
⎧ T P ( n) = K p ⎨e(n) + Ti ⎩
其中， K i
= Kp ⋅
T 为积分系数， Ti
Td 为微分系数。 T
55
Kd = K p ⋅
整理后可得：
∆P (n) = q0 e(n) + q1e(n − 1) + q2 e(n − 2)
其中， q0
（1-7）
= K p (1 +
T Td + )， Ti T 2Td )， T
q1 = − K p (1 + q2 = K p ⋅ Td 。 T
f [e( n)] ，它是 e( n) 的函数。当 e( n) 的绝对值
f 减小，反之则增大。每次采样后用 f [e( n)] 乘以 e( n) ，再进行累加。 f 与 e( n) 之
间是线性的或高阶的关系。 一般设
f 为： e( n ) ≤ B B < e( n ) ≤ A + B e( n ) > A + B
比例
r (t ) +
e(t )
积分
+ +
+
P
c (t )
被控对象
−
微分
PID控制系统原理框图
53
制器是一种线性控制器，它根据给定值 r (t ) 与实际输出值 c(t ) 构成控制偏差：
e(t ) = r (t ) − c(t )
将偏差的比例（P） 、积分（I）和微分（D）通过线性组合构成控制量，对被控对象进行 控制，故称 PID 控制器。PID 控制器各校正环节的作用如下： 1. 比例环节： 比例调节的方程为：
的变化速度比较快， 被调参数在受到干扰的影响和调节作用的影响后， 能比较快地达到一个 峰值，然后马上下降，又较快地达到一个低峰值。 5． 稳定时间 从干扰开始作用起至被调参数又建立新的平衡状态为止， 这段时间称为稳定时间。 严格 地讲，被调参数完全达到新的稳定状态需要无限长的时间。实际上，由于测量仪表的灵敏度 限制，当被调参数靠近稳定值时，指示值就基本不再改变了。所以有必要时，在可以测量的 区域内，在稳定值上下规定一个小的范围，当指示值进入这一范围而不再越出时，就认为被 调参数已达到稳定值。 稳定时间短， 说明过渡过程进行得比较迅速， 这时即使干扰频繁出现， 系统也能适应，系统质量就高。 6． 振荡周期 振荡周期是指过渡过程中两个同向波峰之间的间隔时间， 其倒数称为振荡频率。 在衰减 比相同的条件下，振荡周期与稳定时间成正比。一般希望周期短些为好。 7． 振荡次数 稳定时间内被调参数振荡的次数称为振荡次数。较为理想的过渡过程，振荡两次就能达 到稳定状态。 8． 上升时间 从干扰变化时间起至第一个波峰时所需要的时间为振荡的上升时间。 上升时间以短些为 宜。 二） 、PID 控制原理 常规的 PID 控制系统原理框图如下图所示，系统由 PID 控制器和被控对象组成。PID 控
54
偏差增大，调节过程变长。 3. 微分环节： 微分调节的方程如下：
y = Td ⋅
de ( t ) dt
（1-3）
其中， Td 为微分时间。 微分调节的主要特点是输出可以反映偏差的变化速度。 因此， 对于一个固定不变的偏差， 不管其数值有多大，也不会有微分作用输出。所以微分作用不能消除静差，而只能在偏差发 生变化时，产生调节作用。 三） 、基本 PID 控制算法 对实际系统进行控制时， 常将比例、 积分和微分三种方法进行线性组合， 构成 PID 控制， 以达到较好的控制效果。一般模拟系统的 PID 方程为：
y = K
其中，
p
⋅ e (t )
p
（1-1） 为比例系数， e (t ) 为调节器的输入或偏差值。
y 为比例调节器的输出量， K
e(t ) = V0 − V (t ) ，
而 e (t ) 可表示成：
这里 V0 为设定的目标值， V (t ) 为 t 时刻的采样值。 比例调节器的输出变化与输入偏差成比例。比例调节作用的大小除了与偏差 e (t ) 有关 外，主要取决于比例系数 K p 的大小。 K p 越大，比例调节作用越强，反之则越弱。但对于 大多数系统来说， K p 太大时，会引起系统自激振荡。 比例调节的优点是调节及时，只要偏差 e (t ) 一出现，就能及时产生与之成比例的调节 作用。缺点是存在振荡，而且如果单纯采用比例调节，那么系统一定会存在静差。这是因为 比例调节的输出正比于偏差值，若偏差为零，则输出也为零，此时系统不可能达到平衡。比 例系数越小，过渡过程越平稳，但静差越大。比例系数越大，则过渡过程曲线振荡越厉害， 当比例系数过大时，甚至可能出现发散振荡的情况。因此，对于扰动较大，惯性也较大的系 统，若采用单纯的比例调节，就难以兼顾动态和静态的特性。 2. 积分环节： 积分调节的方程为：
y=
1 Ti
∫ e (t )dt
（1-2）
其中， Ti 为积分时间。 积分调节的主要特点是调节器的输出不仅取决于偏差信号的大小， 而且还主要与偏差存 在时间有关。只要有偏差存在，输出就会随时间不断增长，直到偏差消除后，调节器的输出 才不会变化。因此，积分作用能消除静差，这是它的主要优点。但是它的主要缺点是动作缓 慢。而且在偏差刚一出现时，积分作用很弱，不能及时克服扰动的影响，使被调参数的动态
f [e( n)] = 1 ⎧ ⎪ A + B − e( n) ⎪ ⎨ f [e(n)] = A ⎪ f [e(n)] = 0 ⎪ ⎩
f 的值在 0 ~ 1 之间变化，当偏差大于所给分离区间 A + B 后， f = 0 ，不再
56
进行累加；而小于 A +
B 时，偏差越小，则 f 越大，累加速度越快。当偏差小于 B 以后，
由上式 （1-7） 可以看出， 控制量的大小除了与偏差 e( n) 、e( n − 1) 和 e( n − 2) 有关外， 还与比例增益 K p 、积分时间 Ti 、微分时间 Td 和采样时间 T 有关。因此，如何确定这些参 数是实现 PID 控制的关键所在。
四） 、改进型 PID 控制算法 在实际应用当中，为了达到较高的调节品质，往往要对 PID 算法进行改进。改进型的 PID 控制算法主要有不完全微分法、积分分离法、变速积分法和 PID 比率控制法等等。这里 仅介绍变速积分法。 在标准的 PID 控制算法中，积分系数 K i 是常数，所以在整个调节过程中，积分增益不 变。而系统对积分项的要求是：系统偏差大时积分作用减弱以至全无，而在小偏差时则应加 强。否则积分系数取大了会产生超调，甚至积分饱和，取小了又迟迟不能消除静差。因此， 应根据系统的偏差大小改变积分速度，这对于提高调节品质是个至关重要的问题。 变速积分的基本思想是设法改变积分项的累加速度， 使之与偏差大小相对应： 偏差越大， 积分越慢，反之则越快。为此设置一个系数 增大时
52
衰减比是前后两个峰值的比，是表示衰减程度的指标。图中衰减比为 B : B ，习惯上用
'
n : 1 来表示。假若 n 只比 1 稍大一点，过渡过程的衰减程度很小，它与等幅振荡过程接近， 振荡过程过于频繁不够安全，一般不采用；如果 n 很大则又太接近于非振荡过程，通常也是 不希望的。一般取 n = 4 ~ 10 为宜。因为衰减比在 4 : 1 到 10 : 1 之间时，过渡过程开始阶段
温度控制系统
实验指导
控制系统主要由控制器和控制对象两部分组成， 通过一定的控制方法使系统达到所要求 的控制性能。控制模式有开环控制、闭环控制和复合控制三种。所谓的开环控制是控制器与 控制对象之间只有正向作用，没有反向联系，是一种单向的控制过程。如果控制器与控制对 象之间既有正向作用又有反向联系， 这种控制方式称为闭环控制或反馈控制。 在某种情况下， 为了达到较好的控制效果， 往往将开环控制和闭环控制结合起来， 这种控制方式称为复合控 制。 过程控制的基本算法很多，本实验主要采用 PID 控制算法。PID 控制是最早发展起来的 控制策略之一， 由于算法简单、 鲁棒性好和可靠性高， 被广泛应用于过程控制和运动控制中， 尤其适用于可建立精确数学模型的确定性控制系统。 随着计算机进入控制领域， 不仅可以用 软件实现 PID 控制，而且可以利用计算机的逻辑功能，使 PID 控制更加灵活。 一） 、控制过程的品质指标 一个受控系统的被控过程一般是一个衰减振荡的过渡过程，该过程可用曲线描述如下：
y
A
B
B'
C 给定值
t
衡量系统控制质量的品质指标主要有： 1． 最大偏差 偏差是指被调参数与给定值之差。对于一个衰减振荡过渡过程，其最大偏差是第一个波 的峰值，见图中用 A 表示。最大偏差表示系统瞬时偏离给定值的最大程度，若偏离越大，偏 离时间越长，系统离开规定的平衡状态越远，这是不希望出现的情况，一般要对最大偏差加 以限制。 2． 超调量 超调量是振荡的第一个峰值与新稳定值之差，用 B 表示。超调量也可以用来表征被调参 数的偏离程度。 3． 静差 静差是过渡过程终了时的残余偏差，也就是被调参数的稳定值与给定值之间的差值，在 图中用 C 表示。静差可正可负，被调参数越接近给定值越好，亦即静差绝对值越小越好。 4． 衰减比
累加速度达到最大值 1。由此可得变速积分的 PID 方程为：
P ( n) = P (n − 1) + K p [e(n) − e(n − 1)] + K i' f [e(n)]e(n) + K d [e( n) − 2e( n − 1) + e( n − 2)]