梯度及其与方向导数的关系

f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) , , , x1 x2 xn
为函数 f
其中
称为向量微分算子或 Nabla算子.
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其中
称为向量微分算子或 Nabla算子.
它本身没有意义，将
作用于函数 f 就得到一向量，即
定理. 若 f x y ( x,y) 和 f y x ( x,y) 都在点 ( x0 , y0 ) 连续, 则
f x y ( x0 , y0 ) f y x ( x0 , y0 )
(证明略)
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立. 例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有
f y x (0,0) lim f y ( x, 0) f y (0, 0) x
lim x x
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f y ( x, y )
x
x 4x y y (x y )
2 2 2
4
,
x y 0
2 2
2
2
x 0
x 0
1
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二 者 不 等
结束19/22
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1 5
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u (1,1) u ( 1,1) , el l
(6 3)
3 5
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(1) 方向导数取最大值的方向即梯度方向，其单位向 量为
1 2 (1,1)
，方向导数的最大值为
1 2
u ( 1,1) 3 2.
(2) u 沿梯度的负向即
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结束 11/22
例3.
处矢径 r 的模 , 试证
x x y z
2 2 2
证:
f (r ) y
grad f (r )
f (r )
f ( r )
f (r ) x
f ( r )
x r
y r
,
f (r ) y
f (r ) z
j
f ( r )
其中 的单位向量。
为l 方向上
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n f ( x0 ) f ( x0 ) 方向导数公式 cos i xi l i 1
f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) , , , 令向量 g x1 x2 xn
1 沿方向 el (2,1) 的方向导数，并指出u 在该 5
点沿哪个方向的方向导数最大？这个最大的方向
导数值是多少？u 沿哪个方向减小的最快？沿着
哪个方向u 的值不变化？ 解： u
( 1,1)
( u , u ) x y
( 1,1)
(2x y , 2 y x ) ( 1,1) ( 3, 3)
如: 力场,速度场等
可微函数 f (P) (势) 梯度场 grad f (P) (向量场)
注意: 任意一个向量场不一定是梯度场.
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结束13/22
例4. 已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点
处所产生的电势为 u
grad u E
q 4π r
(r
2 2 2 x y z ), 试证
f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) g , , , x1 x2 xn
则称向量
在点 x0 处的梯度向量，简称梯度 (gradient), 记作 grad f ( x0 ),或 f ( x0 ), 即
f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) , , , x1 x2 xn
u y
2
2

2
1 r
3

3y r
2
5
,
2
u z
2
2

1 r
3

3z r
2
第三节 多元数量值函数的导数和微分
一、梯度 二、高阶偏导数
第五章
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1/22
一、梯度
则函数在该点 复习: 若 n 元函数 f 在点 x0 可微，
沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有
n f ( x0 ) f ( x0 ) cos i xi l i 1
f
)
x x0
(2) 或 f xi x j ( x0 ) 或 fij ( x0 )
其中 1 i n,1 j n
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结束15/22
例如：二元函数 z = f (x , y) 的二阶偏导数共有四个， 按求导顺序不同, 有
( z z )
z x
1. 定义 如果 n 元函数 u f ( x ) 的偏导函数 xi 在点 x0对变量 x j 的偏导数存在 ，则称这个偏导 数为f 在点 x0 先对变量 xi 再对变量 x j 的二阶偏导
f ( x )
数，记为：
f ( x0 )
2
x j xi


x j xi
(
2 2
(x y )
2 2 2 2
2

y x
2 2
2 2
(x y )
2
z y
2
x y y 2y (x y )
2 2 2
x y
2 2
2 2
(x y )
2
2 2

z x
2

z
2
y
2

y x
2 2
(x y )
2

x y
2 2
2 2
(x y )
2
2 2
x x x y (
f x x ( x, y );
f y x ( x, y );

y x
(
(
z
)
z x y
2
f x y ( x, y )
f y y ( x, y )
)
z y x
2
z
y y
)
z y
2
2
其中 f x y ( x, y ) 和 f yx ( x, y ) 为二阶混合偏导数。
y
x 4x y y (x y )
2 2 2
2
2
4
,
x y 0
2
2
0,
x y 0
2 2 4
2
2
x y 0 y f x (0, y ) f x (0, 0) lim 1 f x y (0,0) lim y 0 y y 0 y 0,
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结束16/22
类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶 偏导数为
y ( )
z x
n 1 n
y
二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。
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说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等
函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序.
证明 目录 上页 下页 返回 结束20/22
例6. 证明函数
z z
2
满足拉普拉斯方程
x
2

z
2
y
2
0
证：
z
2
x
2
2

2
x y x 2x
注意: 对三元函数, f f ( P) 5 与 f (P) 沿此方向的方向导数为 n P 垂直的方向 思考: f 在点P处沿什么方向变化率为0 ? 有无穷多
n f ( P) (2, 1, 0)
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2. 梯度的运算法则
(2) grad (c u ) c grad u 或 (c u ) c u
0
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结束21/22
例7. 证明函数
方程 u 证：
u x
2 2
满足拉普拉斯
u y
2 2


u z
2
2
0
r
2 3 x r 1 3x 1 u 4 3 5 2 3 r x r r x r
2
2
利用对称性 , 有
u x
2 2
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4
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例2. 设函数 (1) 求等值面 f ( x, y, z ) 2 在点 P(1,1,1) 处的切平面方程. (2) 求函数 f 在点 P (1,1,1) 沿增加最快方向的方向导数. 解: (1) 点P处切平面的法向量为 故所求切平面方程为 2( x 1) ( y 1) 0 ( z 1) 0 2x y 3 0 即 (2) 函数 f 在点P处增加最快的方向为
当 与 的方向一致时， 方向导数取最大值：
max f ( x0 ) l g
这说明
g
方向：f 变化率最大的方向
模 : f 的最大变化率之值
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1. 定义
设函数 u f ( x ) f ( x1 , x2 ,, xn ) 在点 x0 可微，
f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) , , , x1 x2 xn
同样可定义二元函数
在点 P( x, y ) 处的梯度
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5/22
n f ( x0 ) f ( x0 ) 方向导数公式 cos i xi l i 1
(1, 1) 的方向减小的最快。
(3) 下求使 u 的变化率为零的方向。令 el (cos , sin )
则：u
l
( 1,1)
u ( 1,1) , el 3cos 3sin
3 2 sin(

)
u 令 0 得 , ，此时u 的值不变化。 l 4 4
2

2

x y x
z y x
2
(
z
2
) 2e
x2y
注意:此处
z x y
, 但这一结论并不总成立.
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f 反例： ( x, y )
4
xy
x y
2
2 2
x y 0,
2
,
x y 0
2 2
x y 0
2 2
f x ( x, y )
(4) grad ( u v ) u grad v v grad u
或 (u v ) u v v u
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结束10/22
证明：设 u u ( x ) u ( x1 , x2 ,, xn ) 由一元函数的
链式法则，有
f (u ) f (u ) f (u ) , , , x2 xn x1 u u u f (u ) , f (u ) , , f (u ) x1 x2 xn u u u f (u ) , , , f (u )u xn x1 x2
(场强 E
q 4πεr
2
er )
证: 利用例3的结果 grad f (r ) f (r ) e r
grad u q 4 π r
er

q 4 π r
2
er E
这说明场强: 垂直于等势面,
且指向电势减少的方向.
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二、高阶偏导数
注：1. 方向导数可以表示成：
2. 若记 dx (dx1 , dx2 ,, dxn ) ，则利用梯度可将
f 在点 x 处的全微分写成：
df ( x ) f ( x ), dx
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例1. 求二元函数 u x 2 xy y 2 在点 P（-1，1）处
例5. 求函数 z e x 2 y 的二阶偏导数及
z y x
2
3
.
解:
z x
z x
2
2 2
e
x2y
z y
z x y
2
2 e x2y
2e
x2y
e
x2y
z y x
2e
3
x2y
z y
2
2
4e
x2y
z y x
k
z r
i
f (r ) z
z
r
O
P
y
f (r ) ( x i y j z k ) r 1 f ( r ) r f (r ) er r
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1
x
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3、物理意义
数量场 (数性函数)
函数
场
如: 温度场, 电势场等 向量场(矢性函数)
(物理量的分布)