九年级数学(学案)三角形的内切圆
青岛版数学九年级上册3.5《三角形的内切圆》教学设计
青岛版数学九年级上册3.5《三角形的内切圆》教学设计一. 教材分析《三角形的内切圆》是青岛版数学九年级上册3.5的内容。
本节课主要让学生掌握三角形的内切圆的定义、性质及求法，并能运用内切圆解决一些与三角形有关的问题。
教材通过实例引入内切圆的概念，引导学生探究内切圆的性质，最后通过例题和练习题巩固所学知识。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了相似三角形的性质、圆的性质等知识。
但内切圆是一个较为抽象的概念，学生可能难以理解。
因此，在教学过程中，教师需要善于利用生活中的实例、模型等直观教具，帮助学生建立直观的形象，降低学习难度。
三. 教学目标1.了解三角形的内切圆的定义、性质及求法。
2.能运用内切圆解决一些与三角形有关的问题。
3.培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.内切圆的定义及其性质。
2.内切圆在解决问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入内切圆的概念，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：在探究内切圆性质的过程中，引导学生主动思考、提问。
3.实践操作法：让学生动手操作模型，加深对内切圆的理解。
4.小组合作学习：引导学生分组讨论，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备内切圆的相关模型、图片等直观教具。
2.设计好PPT，展示教学过程和例题。
3.准备练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如花园里的花坛、水果店的苹果摆放等，引导学生思考：为什么这些形状看起来很协调？引入三角形的内切圆的概念，让学生初步了解内切圆。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示内切圆的定义、性质及求法。
让学生直观地感受内切圆的特点，并引导学生思考如何求一个三角形的内切圆。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个三角形，尝试求出它的内切圆。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成。
题目可以包括求三角形的内切圆半径、判断一个图形是否为某三角形的内切圆等。
九年级数学下册《三角形的内切圆》教案、教学设计
1.教学内容：学生通过小组讨论，探究三角形内切圆的性质，并尝试证明。
2.教学方法：采用小组合作学习法、探究式教学法。
3.教学步骤：
（1）教师将学生分成若干小组，每组学生通过画图、测量、计算等手段，探究三角形内切圆的性质。
（2）学生讨论如何证明三角形内切圆的性质，如内切圆的半径与三角形的面积、半周长之间的关系。
（3）教师布置课后作业，要求学生巩固所学知识，为下一节课的学习做好准备。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，培养学生的几何解题能力和数学素养，特布置以下作业：
1.必做题：
（1）完成课本第123页练习题第1、2、3题，要求学生独立完成，强化对三角形内切圆性质的理解。
（2）利用内切圆的性质，求解以下三角形内切圆的半径：①等边三角形；②等腰直角三角形；③一般三角形。
4.创新题：
（1）请学生尝试自己设计一道与三角形内切圆相关的题目，要求具有创新性和挑战性。
（2）将设计的题目与同学分享，互相解答，提高解题能力。
作业要求：
1.学生要认真完成作业，注意书写规范，保持卷面整洁。
2.遇到问题要主动思考，积极寻求解决方法，可向同学或老师请教。
3.小组合作题要充分发挥团队合作精神，共同解决问题。
（3）讲解：教师对三角形内切圆的性质进行总结和讲解，强调内切圆与三角形之间的关系，引导学生理解并掌握求解内切圆半径的方法。
（4）巩固：设计有针对性的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识，提高解题能力。
（5）拓展：引导学生将内切圆知识应用于解决实际问题，如求内切圆的周长、面积等，培养学生的数学应用意识。
（3）思考并证明：三角形内切圆的半径等于其半周长与面积之比。
2.选做题：
九年级数学下册2.5.4三角形的内切圆学案湘教版
2.5.4 三角形的内切圆1.了解三角形的内切圆及内心的特点,会画三角形的内切圆。
2。
会进行三角形内切圆的相关计算.自学指导阅读教材第72至74页，完成下列问题.知识探究1。
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫作三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形2.三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点.自学反馈1.如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠A BC=50°，∠ACB=80°,则∠BOC=115°。
2.⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F为切点，∠DOB=73°，∠DOE=120°，则∠DOF=146°,∠C=60°，∠A=86°。
3。
自学教材P74练习1、2、3。
活动小组讨论例1如图，已知⊙O是Rt△ABC(∠C=90°）的内切圆，切点分别为D、E、F.（1)求证：四边形ODCE是正方形。
（2)设BC=a，AC=b，AB=c，求⊙O的半径r.解:（1）证明略；（2)2a b c+-.这里（2）的结论可记住作为公式来用.例2 如图所示，点I 是△ABC 的内心,∠A=70°，求∠BIC 的度数.解：125°.若I 为内心，∠BIC=90°+12∠A;若I 为外心,∠BIC=2∠A 。
活动2 跟踪训练1。
如图，Rt △ABC 中，∠C=90°,AC=6，BC=8，则△ABC 的内切圆半径r=2。
2.如图，点O 为△ABC 的外心，点I 为△ABC 的内心，若∠BOC =140°，则∠BIC=125°。
3.△ABC 的内切圆⊙O 与BC ，CA ，AB 分别相切于点D ，E ，F,且AB ＝18 c m ，BC ＝28 cm ，CA ＝26 cm ，求AF ，BD ，CE 的长．解：根据切线长定理得AE ＝AF ，BF ＝BD ，CE ＝CD 。
九年级数学《三角形的内切圆》学案沪教版.doc
九年级数学《三角形的内切圆》学案沪教版、教材分析知识结构重点、难点分析重点：三角形内切圆的概念及内心的性质因为它是三角形的重要概念之一难点：①难点是“接”与“切”的含义，学生容易混淆②画三角形内切圆，学生不易画好2、教学建议本节内容需要一个时在教学中，组织学生自己画图、类比、分析、深刻理解三角形内切圆的概念及内心的性质开展活动式教学类比“三角形外接圆的画图、概念、性质”，在教学中,教学目标：、使学生了解尺规作的方法，理解三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形内心的概念;2、应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力3、激发学生动手、动脑主动参与堂教学活动教学重点: 三角形内切圆的作法和三角形的内心与性质教学难点: 三角形内切圆的作法和三角形的内心与性质教学活动设计类比联想，学习新知识、概念：和三角形各边都相切的圆叫做，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形2、类比: 名称确定方法图形性质外心三角形三边中垂线的交点A=B=;外心不一定在三角形的内部内心三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等；A、B、分别平分Z BA、ZAB、ZAB;内心在三角形内部3、概念推广：和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形4、概念理解: 引导学生理解及圆的外切三角形的概念，并与三角形的外接圆与圆的内接三角形概念相比较，以加深对这四个概念的理解使学生弄清“内”与“外”、“接”与“切”的含义“接” 与“切”是说明三角形的顶点和边与圆的关系：三角形的顶点都在圆上，叫做“接”；三角形的边都与圆相切叫做“切”,再由三角形的内角和定理易求出Z B的度数解：例3如图，△AB中，E是内心，Z A的平分线和△AB的外接圆相交于点求证：DE=DB分析：从条想，E是内心，则E在ZA的平分线上，同时也在Z AB 的平分线上，考虑连结BE,得出Z 3=Z4从结论想，要证DE=DB,只要证明BDE为等腰三角形, 同样考虑到连结BE于是得到下述法证明：连结BEE是Z\AB的内心Z1 + Z 3=Z4+Z.\ZBED=ZEBD.\DE=DB练习分析作岀已知的锐角三角形、直角三角形、钝角,并说明三角形的内心是否都在三角形内小结教师先向学生提出问题：这节学习了哪些概念？怎样作已知？学习时互该注意哪些问题？学习了三角形内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、2学生回答的基础上，归纳总结:多边形的内切圆、圆的外切多边形的概念利用作三角形的内角平分线，任意两条角平分线的交点就是内切圆的圆心，交点到任意一边的距离是圆的半径在学习有关概念时，应注意区别“内”与“外”，“接”与“切”；还应注意“连结内心和三角形顶点”这一辅助线的添加和应用作业教材PX习题中，A组仁10, 11, 12题;A层学生多做B组3题探究活动问题：如图1,有一张四边形ABD纸片，且AB=AD=6,B=D=8, ZB=9O°要把该四边形裁剪成一个面积最大的圆形纸片，你能否用折叠的方法找出圆心，若能请你度量出圆的半径计算出最大的圆形纸片的半径提示：由条可得A为四边形似的对称轴，存在内切圆,能用折叠的方法找出圆心:使折线过，且EB与EA边重合则点为所求圆的圆心, E为半如图2,①以A为轴对折；②对折Z AB,折线交A于；③如图3,设内切圆的半径为r,则通过面积可得：6r+8r=48 ,。
学案----3.2 三角形的内切圆
学案----3.2 三角形的内切圆姓名： 班级：【我们要掌握的】1、如图1，△ABC 是⊙O 的 三角形。
⊙ O 是△ABC 的 圆，点O 叫△ABC 的 它是三角形 ____的交点。
2、如图2，△DEF 是⊙I 的 三角形,⊙I 是△DEF 的 圆， 点I 是 △DEF 的 心， 它是三角形 的交点。
【我们要完成的】1．若⊙O 与∠ABC 的两边相切，那么圆心O 的位置有什么特点？2．如果⊙O 与△ABC 的内角∠ABC 的两边相切，且与内角∠ACB 的两边也相切，那么此⊙O 的圆心在什么位置？(画图)如何确定一个与三角形的三边都相切的圆心的位置与半径的长？ 你能作出几个与一个三角形的三边都相切的圆么？ 3、如图，在△ABC 中，∠ABC=50°，∠ACB ＝75°，点O 是内心，求∠BOC 的度数。
4、如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直棱柱．圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆．已知直三棱柱的底面等边三角形边长为３cm ，求圆柱底面的半径。
图1I DEF．图2ABCO．OCAB5、如图，设△ABC 的周长为c,内切⊙o 和各边分别相切于D,E,F 求证：AE+BC= C6、如图，如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC= ,AC= AB=7、如图，PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C ，DE 分别交PA ，PB 于D 、E ，已知P 到⊙O 的切线长为8CM ，则Δ PDE 的周长为（ ） A 、16cm B 、14cm C 、12cm D 、8cm（课堂小结）1、什么叫三角形的内切圆？怎样作三角形的内切圆？2、三角形的内切圆和三角形的外接圆的类比：图形⊙O 的名称△ABC 的名称⊙O 叫做△ABC 的内切圆△ABC 叫做⊙O 的外切三角形⊙O 叫做△ABC 的外接圆△ABC 叫做⊙O 的内接三角形圆心O 的名称[来源:21世纪教育网]圆心O 确定 “心”的性质 圆心 O 叫做△ABC 的内心 作两角的角平分线 内心O 到三边的距离相等 圆心 O 叫做△ABC 外心 作两边的中垂线外心O 到三个顶点的距离相等A CF E 2 74D C B E21ED FOABC。
九年级数学上册第3章《三角形的内切圆》教学案(青岛版)
3.5 三角形的内切圆教学案一、教与学目标：1.通过作图操作，让学生经历三角形内切圆的产生过程；2.通过作图和探索，体验并理解三角形内切圆的性质；3类比三角形内切圆与三角形外接圆，进一步理解三角形内心和外心所具有的性质.二、教与学重点难点：重点：三角形内切圆的概念和画法.难点：三角形内切圆有关性质的应用.三、教与学方法：合作交流，展示共享四、教与学过程：（一）、复习回顾Array 1、确定圆的条件有哪些？2、什么是角平分线？角平分线有哪些性质？3、右图中△ABC与⊙O有什么关系？（二）、创设情境，引入新课1、合作学习：李明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大.应该怎样画出裁剪图？探索：（1）当裁的圆最大时，圆与三角形的各边有什么位置关系？（2）与三角形的一个角的两边都相切的圆的圆心在哪里？（3）如何确定这个圆的圆心？设计意图：出示生活实例，激发学生的求知欲，同时利用问题进行引导。
另CCC一方面，让学生体会数学研究的对象来源于生活，很多数学研究的内容都能在生活找到模型，学会用数学眼光看待、解释生活中的某些现象。
（三）、探究新知：1、探究三角形内切圆的画法：（1）．如图1，若⊙O 与∠ABC 的两边相切，那么圆心O 的位置有什么特点？图1 图2（2）．如图2，如果⊙O 与△ABC 的内角∠ABC 的两边相切，且与内角∠ACB 的两边也相切，那么此⊙O 的圆心在什么位置？（3）．如何确定一个与三角形的三边都相切的圆心的位置与半径的长？（4）．你能作出几个与一个三角形的三边都相切的圆么？2、三角形内切圆的有关概念（1）定义：（2）三角形的内心是（3）连接内心和三角形的顶点的性质： 3、例题共析例1：如图，在△ABC 中，∠ABC=50°，∠ACB ＝75°，点O 是内心， 求∠BOC 的度数.C小结：（四）、巩固新知：1.锐角ΔABC中，∠B=80°，I是ΔABC的内心，则∠AIC=_____2.下列命题正确的是（）A．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等B．三角形的内心不一定在三角形的内部C．等边三角形的内心，外心重合D．一个圆一定有唯一一个外切三角形3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（）A．1.5，2.5 B．2，5 C．1，2.5 D．2，2.5（五）、能力提升：如图，△ABC中，∠A=m°．（1）如图（1），当O是△ABC的内心时，求∠BOC的度数；（2）如图（2），当O是△ABC的外心时，求∠BOC的度数；（3）如图（3），当O是高线BD与CE的交点时，求∠BOC的度数．（六）达标检测选择题1.下列命题正确的是（）A．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等B．三角形的内心不一定在三角形的内部C．等边三角形的内心、外心重合D．一个圆一定有唯一的一个外切三角形2. 下列图形中，一定有内切圆的四边形是（）（A）梯形（B）菱形（C）矩形（D）平行四边形填空题3. 圆外一点引圆的两条切线互相垂直，这点与圆心的距离为4，则此圆的半径长为4. 菱形ABCD中，周长为40，∠ABC=120°，则内切圆的半径为解答题5. ⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，∠A=50°，∠C=60°，则∠DOE的度数是多少？五、课堂小结：（1）谈一谈，这节课你有哪些收获？(2)对于本节所学内容你还有哪些疑惑？六、作业布置：配套练习册七、教学反思：。
3.5三角形的内切圆学案青岛版九年级数学上册
三、学习过程
任务一：知识要点
基本概念：三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形
(1)与三角形的圆，叫做三角形的内切圆，的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的.
(2)三角形的内心的性质：三角形的内心是三角形的交点，它到三角形的距离相等.
四、课堂小结
1、谈一谈，这节课你有哪些收获?
2、对于本节所学内容你还有哪些疑惑?
五、达标检测
1.选择题：如图，△ABC 的内切圆⊙0与各边分别相切于点
三角形的内切圆
一、学习目标
1.课标目标：了解三角形的内心
2.具体目标：(1)通过作图操作，经历三角形内切圆的产生过程；
(2)通过作图和探索，体验并理解三角形内切圆的性质考，感悟确定一个圆的关键是确定圆心的 位置和半径的大小。
2、在问题1 的基础上，引导学生探究问题2,引出与三角形的三边都相切 的圆的圆心应满足的条件。
注意：1.任何一个三角形有且只有一个内心，三角形的内心在三角形的内部.
任务二：精讲例题
怎样用尺规作一个圆，使它与△ABC的各边都相切呢?
已知：△ABC.
求作：⊙I,使它与△ABC各边都相切.
作法：
练习：分别作出Rt△ABC与钝角△DEF的内切圆.
E
.
例1.如图,在△ABC 中，∠A = 68°,点I是内心.求∠BIC的度数.
练习
1. 如图，⊙I是△ABC的内切圆，D,E,F为三个切点，若
∠DEF=52°,则∠A的度数为( )
°°C. 52°
任务三：挑战自我
(1)已知△ABC 的三边长分别为a,b,c,它的内切圆半径为r. 你会求△ABC的面积吗?
2.3三角形的内切圆 教案2022-2023学年浙教版九年级数学下册
2.3 三角形的内切圆教案2022-2023学年浙教版九年级数学下册一、教学目标1.理解什么是三角形的内切圆。
2.掌握内切圆的性质。
3.能够利用内切圆定理解决相关问题。
二、教学重点1.内切圆的定义和性质。
2.利用内切圆定理解决问题。
三、教学内容1. 内切圆的定义内切圆是指一个圆与三角形的三条边都有公共点，且其中一点是这个圆的圆心的圆。
内切圆示意图内切圆示意图如图所示，三角形ABC的内切圆O与三边AB、BC、CA相切于点D、E、F。
圆心O距离三边的距离分别为OD、OE、OF。
2. 内切圆的性质•内切圆的半径等于三角形三条边的三条线段的乘积的平方根的倒数。
即，设三角形ABC的三边分别为a、b、c，内切圆O的半径为r，则有以下关系式：r = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) / p其中，p = (a + b + c) / 2 是三角形的半周长。
3. 利用内切圆定理解决问题例题1：已知三角形ABC的边长分别为AB = 5cm，BC = 6cm，AC = 7cm，求内切圆的半径。
解：根据内切圆的性质，可以利用半周长和边长的关系计算内切圆的半径。
首先计算三角形ABC的半周长p = (5 + 6 + 7) / 2 = 9cm。
然后代入公式r = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) / p，代入 a = 5，b = 6，c = 7，p = 9，计算得到内切圆的半径r ≈ 1.5cm。
例题2：已知三角形的内切圆半径为4cm，且三角形的周长为24cm，求三角形的边长。
解：设三角形的三边分别为a、b、c。
根据内切圆的性质，可以利用内切圆的半径和边长的关系计算三角形的边长。
根据内切圆的性质r = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) / p，代入r = 4，p = (a +b + c) / 2，化简得到(a + b + c) / 2 = 4 * √(a + b + c) / 3。
由题意知，周长为24cm，即 a + b + c = 24，代入上式得到 24 / 2 = 4 *√(24) / 3。
人教版九年级数学下册《三角形的内切圆——内心(培优)》教学设计
人教版九年级数学下册《三角形的内切圆——内心（培优）》教学设计一. 教材分析人教版九年级数学下册《三角形的内切圆——内心（培优）》这一节，主要让学生了解三角形的内切圆及其性质，学会如何求解三角形的内切圆半径。
通过这一节的学习，学生可以更深入地理解三角形的几何性质，提高解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了基本的几何知识，对三角形有了一定的了解。
但是，对于三角形的内切圆及其性质，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生从已知的三角形性质出发，逐步探索内切圆的性质。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握三角形的内切圆的性质，学会求解三角形的内切圆半径。
2.过程与方法：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的几何思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的探究精神。
四. 教学重难点1.重点：三角形的内切圆的性质，求解三角形的内切圆半径。
2.难点：理解并证明三角形的内切圆半径与三角形边长、角度的关系。
五. 教学方法1.引导发现法：通过问题引导，让学生发现内切圆的性质。
2.几何画板辅助教学：利用几何画板展示内切圆的形成过程，增强学生的直观感受。
3.小组合作学习：引导学生分组讨论，共同解决问题。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示内切圆的性质和求解方法。
2.几何画板：准备几何画板，展示内切圆的形成过程。
3.练习题：准备相关的练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一个三角形，引导学生思考：如何求解这个三角形的内切圆半径？从而引出本节课题。
2.呈现（10分钟）利用几何画板展示三角形的内切圆形成过程，引导学生观察并总结内切圆的性质。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，如何求解三角形的内切圆半径。
教师巡回指导，帮助学生解决问题。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成。
教师选答部分题目，讲解解题思路。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：内切圆的性质还可以应用到其他几何问题中吗？举例说明。
2.3三角形的内切圆-浙教版九年级数学下册教案
2.3 三角形的内切圆-浙教版九年级数学下册教案
一、学习目标
1.掌握三角形的内切圆的定义；
2.了解三角形内切圆的性质；
3.能够根据内切圆的性质，解决相关的几何问题。
二、学习重点
1.三角形内切圆的定义；
2.三角形内切圆的性质。
三、学习难点
1.应用内切圆的性质解决问题。
四、课前准备
1.复习三角形的基本性质；
2.学习圆的基本知识。
五、教学过程
1. 导入
引导学生回顾三角形的基本性质，复习圆的基本知识，为学习三角形内切圆做好准备。
2. 讲解
1.三角形内切圆的定义
内切圆是指与三角形各边相切的圆，三角形内切圆的圆心称为内心，半径称为内切圆半径。
2.三角形内切圆的性质
•内切圆与三角形的三条边相切；
•内切圆的圆心是三角形角平分线的交点；
•内切圆的半径等于三角形面积除以半周长。
3.解决几何问题
基于内切圆的性质，可以解决与三角形的各边、角、面积等相关的几何问题。
3. 练习
练习学生对三角形内切圆的掌握情况，引导学生应用内切圆的相关性质，解决几何问题。
4. 总结
回顾本节课所学的知识点，巩固学生的学习成果。
六、作业
1.完成课堂练习；
2.整理笔记，复习本节课所学的知识点。
七、教学反思
本节课按照“导入-讲解-练习-总结”的教学流程展开，通过场景实际的案例和练习，提高了学生对内切圆的理解和应用能力。
下一步，可以采用探究式教学方法，引导学生在互动中深入理解内切圆的性质。
九年级数学上册35三角形的内切圆导学案1版
三角形的内切圆展示质疑1、画一画→议一议→点评→归纳：与三角形的三条边都相切的圆___________个。
2、三角形的内切圆等概念（内比三角形的外接圆）。
3、三角形内心有什么性质。
例：：设△ABC的内切圆的半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积S。
点拨拓展已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．求证：DC是⊙O的切线总结测评学生谈收获达标测评课本第103页练习题1——3题如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F.已知∠B=50°，∠C=60°，连结OE、OF、DE、DF，那么∠EDF等于（）A.40°B.55°C.65°D.70°疑问反思D中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举行定向越野挑战赛．路线图如图1所示，点E为矩形ABCD边AD的中点，在矩形ABCD的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员P从点B出发，沿着B﹣E﹣D的路线匀速行进，到达点D．设运动员P的运动时间为t，到监测点的距离为y．现有y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这一信息的来源是（）A．监测点A B．监测点B C．监测点C D．监测点D【答案】C【解析】试题解析：A、由监测点A监测P时，函数值y随t的增大先减少再增大．故选项A错误；B、由监测点B监测P时，函数值y随t的增大而增大，故选项B错误；C、由监测点C监测P时，函数值y随t的增大先减小再增大，然后再减小，选项C正确；D、由监测点D监测P时，函数值y随t的增大而减小，选项D错误．故选C．2．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②3b+2c＜0；③4a+c ＜2b；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】试题解析：∵图象与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，①正确；∵﹣=﹣1，∴b=2a ，∵a+b+c ＜0， ∴b+b+c ＜0，3b+2c ＜0，∴②是正确；∵当x=﹣2时，y ＞0，∴4a ﹣2b+c ＞0，∴4a+c ＞2b ，③错误；∵由图象可知x=﹣1时该二次函数取得最大值，∴a ﹣b+c ＞am 2+bm+c （m≠﹣1）．∴m （am+b ）＜a ﹣b ．故④正确∴正确的有①②④三个，故选C ．考点：二次函数图象与系数的关系．【详解】请在此输入详解！3．如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）A ．三棱柱B ．圆锥C ．四棱柱D ．圆柱【答案】A 【解析】侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱．【详解】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱．故选A ．【点睛】本题考查的是三棱柱的展开图，对三棱柱有充分的理解是解题的关键．．4．如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得30BAD ∠=︒，在C 点测得60BCD ∠=︒，又测得50AC =米，则小岛B 到公路l 的距离为（ ）米．A ．25B ．253C ．10033 D ．25253+【答案】B【解析】解：过点B 作BE ⊥AD 于E ．设BE=x ．∵∠BCD=60°，tan ∠BCE BECE =，33CE x ∴=，在直角△ABE 中，AE=3x ，AC=50米，则33503x x -=，解得253x =即小岛B 到公路l 的距离为253，故选B.5．如图，A 、B 两点在双曲线y=4x 上，分别经过A 、B 两点向轴作垂线段，已知S 阴影=1，则S 1+S 2=（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D【解析】欲求S 1+S 1，只要求出过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线y=4x的系数k ，由此即可求出S 1+S 1． 【详解】∵点A 、B 是双曲线y=4x 上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，∴S 1+S 1=4+4-1×1=2．故选D ．6．下列交通标志是中心对称图形的为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据中心对称图形的定义即可解答．【详解】解：A 、属于轴对称图形，不是中心对称的图形，不合题意；B 、是中心对称的图形，但不是交通标志，不符合题意；C 、属于轴对称图形，属于中心对称的图形，符合题意；D 、不是中心对称的图形，不合题意．故选C ．【点睛】本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．7．一次函数y kx b =+满足0kb <，且y 随x 的增大而减小，则此函数的图像一定不经过( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【解析】y 随x 的增大而减小，可得一次函数y=kx+b 单调递减，k ＜0，又满足kb<0，可得b>0，由此即可得出答案．【详解】∵y 随x 的增大而减小，∴一次函数y=kx+b 单调递减，∴k ＜0，∵kb<0，∴b>0，∴直线经过第二、一、四象限，不经过第三象限，故选C ．【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数y=kx+b(k≠0，k、b是常数)的图象和性质是解题的关键.8．下列各数中是有理数的是（）A．πB．0 C．2D．35【答案】B【解析】根据有理数是有限小数或无限循环小数，结合无理数的定义进行判断即可得答案．【详解】A、π是无限不循环小数，属于无理数，故本选项错误；B、0是有理数，故本选项正确；C、2是无理数，故本选项错误；D、35是无理数，故本选项错误，故选B．【点睛】本题考查了实数的分类，熟知有理数是有限小数或无限循环小数是解题的关键．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=5，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度的一半为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连接CD，则△ACD的周长为（）A．13 B．17 C．18 D．25【答案】C【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=5，根据勾股定理求得AB=13.根据题意可知，EF为线段AB的垂直平分线，在Rt△ABC中，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得CD=AD=12 AB，所以△ACD的周长为AC+CD+AD=AC+AB=5+13=18.故选C.10．A、B两地相距180km，新修的高速公路开通后，在A、B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h．若设原来的平均车速为xkm/h，则根据题意可列方程为A．1801801(150%)x x-=+B．1801801(150%)x x-=+C．1801801(150%)x x-=-D．1801801(150%)x x-=-【答案】A【解析】直接利用在A，B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h，利用时间差值得出等式即可．【详解】解：设原来的平均车速为xkm/h，则根据题意可列方程为：180 x ﹣180150%x+（）=1．故选A．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意得出正确等量关系是解题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=10，AC=6，则DF的长为__．【答案】1【解析】试题分析：如图，延长CF交AB于点G，∵在△AFG和△AFC中，∠GAF=∠CAF，AF=AF，∠AFG=∠AFC，∴△AFG≌△AFC（ASA）．∴AC=AG，GF=CF．又∵点D是BC中点，∴DF是△CBG的中位线．∴DF=12BG=12（AB﹣AG）=12（AB﹣AC）=1．12．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是．【答案】50°．【解析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD ，根据等边对等角可得∠A=∠ABD ，然后表示出∠ABC ，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠ABC ，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可：【详解】∵MN 是AB 的垂直平分线，∴AD="BD." ∴∠A=∠ABD.∵∠DBC=15°，∴∠ABC=∠A+15°. ∵AB=AC ，∴∠C=∠ABC=∠A+15°.∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，解得∠A=50°．故答案为50°．13．若m+1m =3，则m 2+21m =_____． 【答案】7【解析】分析：把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出答案．详解：把m+1m =3两边平方得：（m+1m ）2=m 2+21m +2=9， 则m 2+21m =7， 故答案为：7点睛：此题考查了分式的混合运算，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键． 14．如图，小军、小珠之间的距离为2.7 m ，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m ，1.5 m ，已知小军、小珠的身高分别为1.8 m ，1.5 m ，则路灯的高为____m.【答案】3【解析】试题分析：如图，∵CD ∥AB ∥MN ，∴△ABE ∽△CDE ，△ABF ∽△MNF ，∴,CD DE FN MN AB BE FB AB==， 即1.8 1.8 1.5 1.5,1.8 1.5 2.7AB BD AB BD ==++-， 解得：AB=3m ，答：路灯的高为3m ．考点：中心投影．15．因式分解：3a 2-6a+3=________．【答案】3(a －1)2 【解析】先提公因式，再套用完全平方公式.【详解】解：3a 2-6a+3=3（a 2-2a+1）=3(a-1)2. 【点睛】考点：提公因式法与公式法的综合运用．16．在我国著名的数学书《九章算术》中曾记载这样一个数学问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设羊价为x 钱，则可列关于x 的方程为______． 【答案】x 45x 357--= 【解析】设羊价为x 钱，根据题意可得合伙的人数为455x -或37x -，由合伙人数不变可得方程． 【详解】设羊价为x 钱，根据题意可得方程：45357x x --=， 故答案为：45357x x --=． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 17．分解因：22424x xy y x y --++=______________________．【答案】 (x-2y)(x-2y+1)【解析】根据所给代数式第一、二、五项一组，第三、四项一组，分组分解后再提公因式即可分解.【详解】22424x xy y x y --++=x 2-4xy+4y 2-2y+x=(x-2y)2+x-2y=(x-2y)(x-2y+1)18．在不透明的口袋中有若干个完全一样的红色小球，现放入10个仅颜色不同的白色小球，均匀混合后，有放回的随机摸取30次，有10次摸到白色小球，据此估计该口袋中原有红色小球个数为_____．【答案】20【解析】利用频率估计概率，设原来红球个数为x 个，根据摸取30次，有10次摸到白色小球结合概率公式可得关于x 的方程，解方程即可得.【详解】设原来红球个数为x 个， 则有1010x +=1030， 解得，x=20，经检验x=20是原方程的根.故答案为20.【点睛】本题考查了利用频率估计概率和概率公式的应用，熟练掌握概率的求解方法以及分式方程的求解方法是解题的关键.三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，有四张背面相同的卡片A 、B 、C 、D ，卡片的正面分别印有正三角形、平行四边形、圆、正五边形（这些卡片除图案不同外，其余均相同）．把这四张卡片背面向上洗匀后，进行下列操作：若任意抽取其中一张卡片，抽到的卡片既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是 ；若任意抽出一张不放回，然后再从余下的抽出一张．请用树状图或列表表示摸出的两张卡片所有可能的结果，求抽出的两张卡片的图形是中心对称图形的概率．【答案】（1）14；（2）16. 【解析】（1）既是中心对称图形又是轴对称图形只有圆一个图形，然后根据概率的意义解答即可； （2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．【详解】（1）∵正三角形、平行四边形、圆、正五边形中只有圆既是中心对称图形又是轴对称图形，∴抽到的卡片既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是14；（2）根据题意画出树状图如下：一共有12种情况，抽出的两张卡片的图形是中心对称图形的是B、C共有2种情况，所以，P（抽出的两张卡片的图形是中心对称图形）21 126．【点睛】本题考查了列表法和树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．如图，小巷左石两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A′D为1.5米，求小巷有多宽．【答案】2.7米．【解析】先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论．【详解】在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.2米，∴AB2＝0.72+2.22＝6.1．在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝1.5米，BD2+A′D2＝A′B′2，∴BD2+1.52＝6.1，∴BD2＝2．∵BD＞0，∴BD＝2米．∴CD＝BC+BD＝0.7+2＝2.7米．答：小巷的宽度CD为2.7米．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．21．计算：|2﹣π）0+2cos45°． 解方程：33x x - =1﹣13x- 【答案】（1）﹣1；（2）x=﹣1是原方程的根． 【解析】（1）直接化简二次根式进而利用零指数幂的性质以及特殊角三角函数值进而得出答案； （2）直接去分母再解方程得出答案．【详解】（1）原式1+2×2=﹣=﹣1；（2）去分母得：3x=x ﹣3+1，解得：x=﹣1，检验：当x=﹣1时，x ﹣3≠0，故x=﹣1是原方程的根．【点睛】此题主要考查了实数运算和解分式方程，正确掌握解分式方程的方法是解题关键．22．为支援雅安灾区，某学校计划用“义捐义卖”活动中筹集的部分资金用于购买A ，B 两种型号的学习用品共1000件，已知A 型学习用品的单价为20元，B 型学习用品的单价为30元．若购买这批学习用品用了26000元，则购买A ，B 两种学习用品各多少件？若购买这批学习用品的钱不超过28000元，则最多购买B 型学习用品多少件？【答案】（1）购买A 型学习用品400件，B 型学习用品600件．（2）最多购买B 型学习用品1件【解析】（1）设购买A 型学习用品x 件，B 型学习用品y 件，就有x+y=1000，20x+30y=26000，由这两个方程构成方程组求出其解就可以得出结论．（2）设最多可以购买B 型产品a 件，则A 型产品（1000﹣a ）件，根据这批学习用品的钱不超过210元建立不等式求出其解即可．【详解】解：（1）设购买A 型学习用品x 件，B 型学习用品y 件，由题意，得 x y 100020x 30y 26000+=⎧⎨+=⎩，解得：x 400y 600=⎧⎨=⎩． 答：购买A 型学习用品400件，B 型学习用品600件．（2）设最多可以购买B 型产品a 件，则A 型产品（1000﹣a ）件，由题意，得20（1000﹣a ）+30a≤210，解得：a≤1．答：最多购买B 型学习用品1件23．小明在热气球A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC ，并测得B 、C 两点的俯角分别为45°、35°．已知大桥BC 与地面在同一水平面上，其长度为100m ，求热气球离地面的高度．（结果保留整数）（参考数据：sin35°=0.57，cos35°=0.82，tan35°=0.70）【答案】热气球离地面的高度约为1米．【解析】作AD ⊥BC 交CB 的延长线于D ，设AD 为x ，表示出DB 和DC ，根据正切的概念求出x 的值即可．【详解】解：作AD ⊥BC 交CB 的延长线于D ，设AD 为x ，由题意得，∠ABD=45°，∠ACD=35°，在Rt △ADB 中，∠ABD=45°，∴DB=x ，在Rt △ADC 中，∠ACD=35°，∴tan ∠ACD=AD CD， ∴ 100x x = 710 ， 解得，x≈1．答：热气球离地面的高度约为1米．【点睛】考查的是解直角三角形的应用，理解仰角和俯角的概念、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，解答时，注意正确作出辅助线构造直角三角形．24．如图，正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，F 是AM 的中点，EF ⊥AM ，垂足为F ，交AD 的延长线于点E ，交DC 于点N ．求证：△ABM∽△EFA；若AB=12，BM=5，求DE的长．【答案】（1）见解析；（2）4.1【解析】试题分析：（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠B=10°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论；（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长．试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=10°，AD∥BC，∴∠AMB=∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE=10°，∴∠B=∠AFE，∴△ABM∽△EFA；（2）∵∠B=10°，AB=12，BM=5，∴22125+，AD=12，∵F是AM的中点，∴AF=12AM=6.5，∵△ABM∽△EFA，∴BM AM AF AE=，即513 6.5AE=，∴AE=16.1，∴DE=AE-AD=4.1．考点：1.相似三角形的判定与性质；2.正方形的性质．25．如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上. 填空：∠ABC= °，BC= ；判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论.【答案】 (1) 135;2 2. (2)△ABC ∽△DEF.【解析】（1）根据已知条件，结合网格可以求出∠ABC 的度数，根据，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段BC 的长；（2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明△ABC 与△DEF 相似．【详解】(1)9045135ABC ∠=+=，2222822BC +=；故答案为135;2 2.(2)△ABC ∽△DEF.证明：∵在4×4的正方形方格中， 135,9045135ABC DEF ∠=∠=+=，∴∠ABC=∠DEF. ∵2,22,2,2,AB BC FE DE ==== ∴222, 2.22AB BC DE FE ==== ∴△ABC ∽△DEF.【点睛】考查勾股定理以及相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.26．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A （2，2），B （4，0），C （4，﹣4）．请在图中，画出△ABC 向左平移6个单位长度后得到的△A 1B 1C 1； 以点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的12，得到△A 2B 2C 2，请在图中y 轴右侧，画出△A 2B 2C 2，并求出∠A 2C 2B 2的正弦值．【答案】（1）见解析（2）10 10【解析】试题分析：（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案．试题解析：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，由图形可知，∠A2C2B2=∠ACB，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，由A（2，2），C（4，﹣4），B（4，0），易得D（4，2），故AD=2，CD=6，AC==，∴sin∠ACB===，即sin∠A2C2B2=．考点：作图﹣位似变换；作图﹣平移变换；解直角三角形．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=12，AC=5，分别以点A ，B 为圆心，大于线段AB 长度的一半为半径作弧，相交于点E ，F ，过点E ，F 作直线EF ，交AB 于点D ，连接CD ，则△ACD 的周长为（ ）A ．13B ．17C ．18D ．25【答案】C 【解析】在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=12，AC=5，根据勾股定理求得AB=13.根据题意可知，EF 为线段AB 的垂直平分线，在Rt △ABC 中，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得CD=AD=12AB ，所以△ACD 的周长为AC+CD+AD=AC+AB=5+13=18.故选C.2．世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056用科学记数法表示为（ ） A ．5.6×10﹣1B ．5.6×10﹣2C ．5.6×10﹣3D ．0.56×10﹣1 【答案】B【解析】0.056用科学记数法表示为：0.056=-25.610 ，故选B.3．如图，E ，B ，F ，C 四点在一条直线上，EB ＝CF ，∠A ＝∠D ，再添一个条件仍不能证明△ABC ≌△DEF 的是（ ）A ．AB ＝DEB ．DF ∥AC C ．∠E ＝∠ABCD ．AB ∥DE【答案】A 【解析】由EB=CF ，可得出EF=BC ，又有∠A=∠D ，本题具备了一组边、一组角对应相等，为了再添一个条件仍不能证明△ABC ≌△DEF ，那么添加的条件与原来的条件可形成SSA ，就不能证明△ABC ≌△DEF 了．【详解】∵EB=CF ，∴EB+BF=CF+BF，即EF=BC，又∵∠A=∠D，A、添加DE=AB与原条件满足SSA，不能证明△ABC≌△DEF，故A选项正确．B、添加DF∥AC，可得∠DFE=∠ACB，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故B选项错误．C、添加∠E=∠ABC，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故C选项错误．D、添加AB∥DE，可得∠E=∠ABC，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故D选项错误，故选A.【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．4．如图,在△ABC中,∠ACB=90°, ∠ABC=60°, BD平分∠ABC ,P点是BD的中点,若AD=6, 则CP的长为( )A．3.5 B．3 C．4 D．4.5【答案】B【解析】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝10°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝12∠ABC＝10°，∴∠A＝∠ABD，∴BD＝AD＝6，∵在Rt△BCD中，P点是BD的中点，∴CP＝12BD＝1．故选B．5．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＜1 C．m＞﹣1 D．m＞1【答案】B【解析】根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出△=4-4m ＞0，解之即可得出结论．【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2-2x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=（-2）2-4m=4-4m ＞0，解得：m ＜1．故选B ．【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键． 6．将二次函数2y x 的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象对应的函数表达式是（ ）A ．2(1)2y x =++B ．2(1)2y x =+-C ．2(1)2y x =--D ．2(1)2y x =-+ 【答案】B【解析】抛物线平移不改变a 的值，由抛物线的顶点坐标即可得出结果．【详解】解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向下平移1个单位，那么新抛物线的顶点为（-1，-1），可设新抛物线的解析式为：y=（x-h ）1+k ，代入得：y=（x+1）1-1．∴所得图象的解析式为：y=（x+1）1-1；故选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象的平移规律；解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．7．甲、乙两人沿相同的路线由A 地到B 地匀速前进，A 、B 两地间的路程为40km ．他们前进的路程为s(km)，甲出发后的时间为t(h)，甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法不正确的是( )A ．甲的速度是10km/hB ．乙的速度是20km/hC．乙出发13h后与甲相遇D．甲比乙晚到B地2h【答案】B【解析】由图可知，甲用4小时走完全程40km，可得速度为10km/h；乙比甲晚出发一小时，用1小时走完全程，可得速度为40km/h．故选B8．下列条件中不能判定三角形全等的是( )A．两角和其中一角的对边对应相等B．三条边对应相等C．两边和它们的夹角对应相等D．三个角对应相等【答案】D【解析】解:A、符合AAS，能判定三角形全等；B、符合SSS，能判定三角形全等；；C、符合SAS，能判定三角形全等；D、满足AAA，没有相对应的判定方法，不能由此判定三角形全等；故选D．9．A、B两地相距180km，新修的高速公路开通后，在A、B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h．若设原来的平均车速为xkm/h，则根据题意可列方程为A．1801801(150%)x x-=+B．1801801(150%)x x-=+C．1801801(150%)x x-=-D．1801801(150%)x x-=-【答案】A【解析】直接利用在A，B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h，利用时间差值得出等式即可．【详解】解：设原来的平均车速为xkm/h，则根据题意可列方程为：180 x ﹣180150%x+（）=1．故选A．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意得出正确等量关系是解题的关键．10．通过观察下面每个图形中5个实数的关系，得出第四个图形中y的值是（）A ．8B ．﹣8C ．﹣12D ．12【答案】D 【解析】根据前三个图形中数字之间的关系找出运算规律，再代入数据即可求出第四个图形中的y 值．【详解】∵2×5﹣1×（﹣2）=1，1×8﹣（﹣3）×4=20，4×（﹣7）﹣5×（﹣3）=﹣13，∴y=0×3﹣6×（﹣2）=1．故选D ．【点睛】本题考查了规律型中数字的变化类，根据图形中数与数之间的关系找出运算规律是解题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）11．若式子2x x+有意义，则x 的取值范围是_____． 【答案】x≥﹣2且x≠1． 【解析】由2x +知20x +≥，∴2x ≥-，又∵x 在分母上，∴0x ≠．故答案为2x ≥-且0x ≠.12．如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm ，下雨前水面宽为60cm ，一场大雨过后，水面宽为80cm ，则水位上升______cm ．【答案】10或1【解析】分水位在圆心下以及圆心上两种情况，画出符合题意的图形进行求解即可得.【详解】如图，作半径OD AB ⊥于C ，连接OB ，由垂径定理得：BC=12AB=12×60=30cm，在Rt OBC中，22OC503040cm=-=，当水位上升到圆心以下时水面宽80cm时，则22OC'504030cm=-=，水面上升的高度为：403010cm-=；当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：403070cm+=，综上可得，水面上升的高度为30cm或1cm，故答案为：10或1．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理、灵活运用分类讨论的思想是解题的关键．13．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板一条直角边在同一条直线上，则∠1的度数为__________【答案】75°【解析】先根据同旁内角互补，两直线平行得出AC∥DF，再根据两直线平行内错角相等得出∠2=∠A=45°，然后根据三角形内角与外角的关系可得∠1的度数．【详解】∵∠ACB=∠DFE=90°，∴∠ACB+∠DFE=180°，∴AC∥DF，∴∠2=∠A=45°，∴∠1=∠2+∠D=45°+30°=75°．故答案为：75°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质，求出∠2=∠A=45°是解题的关键．14．如图，线段AB=10，点P在线段AB上，在AB的同侧分别以AP、BP为边长作正方形APCD和BPEF，点M、N分别是EF、CD的中点，则MN的最小值是_______.【答案】2【解析】设MN=y，PC=x，根据正方形的性质和勾股定理列出y1关于x的二次函数关系式，求二次函数的最值即可．【详解】作MG⊥DC于G，如图所示：设MN=y，PC=x，根据题意得：GN=2，MG=|10-1x|，在Rt△MNG中，由勾股定理得：MN1=MG1+GN1，即y1=21+（10-1x）1．∵0＜x＜10，∴当10-1x=0，即x=2时，y1最小值=12，∴y最小值=2．即MN的最小值为2；故答案为：2．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、二次函数的最值．熟练掌握勾股定理和二次函数的最值是解决问题的关键．15．如图，矩形ABCD中，BC＝6，CD＝3，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD则阴影部分的面积为____（结果保留π）【答案】94π． 【解析】如图，连接OE ，利用切线的性质得OD=3，OE ⊥BC ，易得四边形OECD 为正方形，先利用扇形面积公式，利用S 正方形OECD -S 扇形EOD 计算由弧DE 、线段EC 、CD 所围成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积．【详解】连接OE ，如图，∵以AD 为直径的半圆O 与BC 相切于点E ，∴OD ＝CD ＝3，OE ⊥BC ，∴四边形OECD 为正方形，∴由弧DE 、线段EC 、CD 所围成的面积＝S 正方形OECD ﹣S 扇形EOD ＝32﹣2903360π⋅⋅994π=-， ∴阴影部分的面积199369244ππ⎛⎫=⨯⨯--= ⎪⎝⎭， 故答案为94π． 【点睛】 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了矩形的性质和扇形的面积公式．16．如图，AB ∥CD ，BE 交CD 于点D ，CE ⊥BE 于点E ，若∠B=34°，则∠C 的大小为________度．【答案】56【解析】解：∵AB ∥CD,34B ∠=，∴34CDE B ∠=∠=，又∵CE ⊥BE ，∴Rt △CDE 中,903456C ∠=-=，故答案为56.17．已知点A(2,0),B(0,2),C(-1,m)在同一条直线上,则m 的值为___________.【答案】3【解析】设过点A （2，0）和点B （0，2）的直线的解析式为：y kx b =+，则202k b b +=⎧⎨=⎩，解得：12k b =-⎧⎨=⎩ ， ∴直线AB 的解析式为：2y x =-+，∵点C （-1，m ）在直线AB 上，∴(1)2m --+=，即3m =.故答案为3.点睛：在平面直角坐标系中，已知三点共线和其中两点的坐标，求第3点坐标中待定字母的值时，通常先由已知两点的坐标求出过这两点的直线的解析式，在将第3点的坐标代入所求解析式中，即可求得待定字母的值.18．如图,利用标杆BE 测量建筑物的高度,已知标杆BE 高1.2m ,测得 1.6,12.4AB m BC m ==,则建筑物CD 的高是__________m ．【答案】10.5【解析】先证△AEB ∽△ABC ，再利用相似的性质即可求出答案.【详解】解：由题可知，BE ⊥AC ，DC ⊥AC∵BE//DC ，∴△AEB ∽△ADC ， ∴BE AB CD AC=， 即：1.2 1.61.612.4CD =+， ∴CD ＝10.5（m ）.故答案为10.5.【点睛】本题考查了相似的判定和性质.利用相似的性质列出含所求边的比例式是解题的关键.三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，已知四边形ABCD 是矩形，把矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，连接DE ．若DE ：AC=3：5，求AD AB的值．【答案】12【解析】根据翻折的性质可得∠BAC=∠EAC ，再根据矩形的对边平行可得AB ∥CD ，根据两直线平行，内错角相等可得∠DCA=∠BAC ，从而得到∠EAC=∠DCA ，设AE 与CD 相交于F ，根据等角对等边的性质可得AF=CF ，再求出DF=EF ，从而得到△ACF 和△EDF 相似，根据相似三角形得出对应边成比，设DF=3x ，FC=5x ，在Rt △ADF 中，利用勾股定理列式求出AD ，再根据矩形的对边相等求出AB ，然后代入进行计算即可得解．【详解】解：∵矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，∴CE ＝BC ，∠BAC ＝∠CAE ，∵矩形对边AD ＝BC ，∴AD ＝CE ，设AE 、CD 相交于点F ，在△ADF 和△CEF 中，90ADF CEF AFD CFEAD CE ∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝＝， ∴△ADF ≌△CEF （AAS ），∴EF ＝DF ，∵AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACF ，又∵∠BAC ＝∠CAE ，∴∠ACF ＝∠CAE ，∴AF ＝CF ，。
沪科版数学九年级下册24.5《三角形的内切圆》教学设计
沪科版数学九年级下册24.5《三角形的内切圆》教学设计一. 教材分析《三角形的内切圆》是沪科版数学九年级下册第24.5节的内容。
本节内容主要介绍三角形的内切圆的概念、性质及其在几何中的应用。
通过本节的学习，学生能够理解三角形的内切圆的定义，掌握其基本性质，并能运用内切圆的知识解决一些几何问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角形的相关知识，对三角形的性质有一定的了解。
但是，对于三角形的内切圆这一概念，学生可能比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生从已知的三角形性质出发，逐步引入内切圆的概念，并引导学生探索内切圆的性质。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解三角形的内切圆的概念，掌握其基本性质，并能运用内切圆的知识解决一些几何问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等过程，学生能够培养自己的空间想象能力和几何思维能力。
3.情感态度与价值观：学生能够积极参与课堂讨论，培养自己的合作意识和团队精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：三角形的内切圆的概念及其性质。
2.教学难点：内切圆的性质的证明和运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法、探究学习法等教学方法，引导学生主动参与课堂讨论，提高学生的学习兴趣和积极性。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等教学手段，直观地展示三角形的内切圆的性质，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：通过复习三角形的相关知识，引导学生回顾已学的三角形性质，为新课的学习做好铺垫。
2.探究内切圆的概念：通过展示几何画板上的三角形，引导学生观察和操作，让学生自己发现三角形的内切圆的性质，并引导学生总结出内切圆的定义。
3.证明内切圆的性质：引导学生运用已学的三角形性质，证明内切圆的性质，如切线定理、角平分线定理等。
4.运用内切圆的知识解决几何问题：通过一些具体的例题，引导学生运用内切圆的知识解决一些几何问题，如求三角形的面积、证明几何定理等。
《三角形的内切圆》 学历案
《三角形的内切圆》学历案一、学习目标1、理解三角形内切圆的概念，掌握三角形内切圆的性质。
2、能够通过尺规作图作出三角形的内切圆。
3、会运用三角形内切圆的相关知识解决实际问题。
二、学习重难点1、重点（1）三角形内切圆的概念和性质。
（2）三角形内切圆的作法。
2、难点运用三角形内切圆的性质解决实际问题。
三、学习过程（一）知识回顾1、圆的相关概念：圆心、半径、直径、圆周率等。
2、直线与圆的位置关系：相离、相切、相交。
3、切线的性质和判定定理。
（二）引入新课我们已经学习了圆和三角形的一些知识，那么圆和三角形能否结合在一起呢？比如，在一个三角形内部能否存在一个圆，使得这个圆与三角形的三边都相切呢？这就是我们今天要学习的三角形的内切圆。
（三）三角形内切圆的概念1、定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
2、内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，它是三角形三条角平分线的交点。
（四）三角形内切圆的性质1、内心到三角形三边的距离相等，都等于内切圆的半径。
2、三角形的面积等于三角形周长与内切圆半径乘积的一半。
（五）三角形内切圆的作法1、准备工具：圆规、直尺。
2、步骤：（1）作三角形任意两个内角的平分线，交于一点，这点就是三角形的内心。
（2）以内心为圆心，以内心到三角形一边的距离为半径作圆，这个圆就是三角形的内切圆。
（六）例题讲解例 1：已知三角形 ABC 的三边分别为 5、12、13，求其内切圆的半径。
解：因为 5²＋ 12²＝ 13²，所以三角形 ABC 是直角三角形。
设内切圆的半径为 r，根据三角形的面积等于三角形周长与内切圆半径乘积的一半，可得：（5 ＋ 12 ＋ 13) × r ÷ 2 ＝ 5 × 12 ÷ 230r ＝ 30r ＝ 1答：三角形 ABC 的内切圆半径为 1。
例 2：如图，在△ABC 中，∠ABC ＝ 60°，∠ACB ＝ 80°，点 I 是△ABC 的内心，求∠BIC 的度数。
浙教版数学九年级下册2.3《三角形的内切圆》教学设计1
浙教版数学九年级下册2.3《三角形的内切圆》教学设计1一. 教材分析《三角形的内切圆》是浙教版数学九年级下册第2.3节的内容，主要介绍了三角形的内切圆的概念、性质和求法。
本节内容是在学生掌握了圆的定义、性质以及切线的性质的基础上进行的，是学生进一步学习几何图形的内在联系的重要环节。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何图形的基础知识，对圆的定义和性质有一定的了解。
但对于三角形的内切圆这一概念，学生可能较为陌生，因此需要教师通过生动的例子和形象的图形，帮助学生理解和掌握。
三. 教学目标1.了解三角形的内切圆的概念，掌握其性质。
2.学会求解三角形的内切圆的方法。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.三角形的内切圆的概念和性质。
2.求解三角形的内切圆的方法。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法和小组合作法进行教学。
通过生动的例子和形象的图形，引导学生探索和发现三角形的内切圆的性质，从而达到理解并掌握知识的目的。
六. 教学准备1.准备相关的多媒体教学课件。
2.准备一些实际的三角形案例，以便进行案例分析。
3.准备小组合作的学习材料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际的三角形案例，引导学生思考三角形的内切圆的概念。
例如，可以给学生展示一个三角形，然后问学生：“如果在这个三角形的内部画一个圆，使得这个圆与三角形的每条边都相切，那么这个圆叫做什么？”2.呈现（15分钟）在学生对三角形的内切圆有了初步的理解之后，教师可以呈现一些三角形的内切圆的图形，让学生观察和思考，引导学生发现三角形的内切圆的性质。
例如，可以让学生观察以下图形，并回答以下问题：(1)三角形的内切圆与三角形的三条边有什么关系？(2)三角形的内切圆与三角形的内心有什么关系？3.操练（10分钟）让学生通过实际的操作，进一步理解和掌握三角形的内切圆的性质。
可以给学生发放一些实际的三角形案例，让学生用直尺和圆规画出三角形的内切圆，并观察和分析三角形的内切圆的性质。
浙教版数学九年级下册2.3《三角形的内切圆》教案1
浙教版数学九年级下册2.3《三角形的内切圆》教案1一. 教材分析《三角形的内切圆》是浙教版数学九年级下册第2.3节的内容，本节主要让学生了解三角形的内切圆的概念，性质及其在几何中的应用。
通过学习，学生能更好地理解三角形的内心，提高解题能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了圆的基本概念和性质，对几何图形的认知有一定的基础。
但是，对于三角形的内切圆这一概念，学生可能较为陌生，需要通过实例和讲解让学生逐步理解和掌握。
三. 教学目标1.了解三角形的内切圆的定义及其性质。
2.学会运用三角形的内切圆解决相关几何问题。
3.提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.三角形的内切圆的定义及其性质。
2.运用三角形的内切圆解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、合作学习法等，引导学生探究、讨论，激发学生的学习兴趣，提高学生解决问题的能力。
六. 教学准备1.课件、教案。
2.三角板、直尺、圆规等几何画图工具。
3.相关例题和练习题。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）通过复习圆的定义和性质，引导学生思考：圆与三角形有什么联系？进而引入三角形的内切圆的概念。
2. 呈现（15分钟）利用课件展示三角形的内切圆的定义和性质，通过几何画图工具，演示内切圆的画法及其与三角形的关系。
同时，给出相关例题，让学生理解并掌握内切圆的性质。
3. 操练（15分钟）学生分组讨论，运用三角形的内切圆的性质解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4. 巩固（10分钟）教师给出一些有关三角形的内切圆的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
5. 拓展（10分钟）引导学生思考：内切圆与三角形的内心有什么关系？内切圆在实际问题中的应用。
可以给出一些相关的几何问题，让学生探讨。
6. 小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，让学生明确三角形的内切圆的定义、性质及其应用。
7. 家庭作业（5分钟）布置一些有关三角形的内切圆的练习题，让学生课后巩固所学知识。
沪科版数学九年级下册24.5《三角形的内切圆》教学设计
沪科版数学九年级下册24.5《三角形的内切圆》教学设计一. 教材分析《三角形的内切圆》是沪科版数学九年级下册第24.5节的内容，本节课主要学习了三角形内切圆的概念、性质及其应用。
通过本节课的学习，学生能够理解三角形内切圆的定义，掌握其与三角形的关系，并能运用内切圆的性质解决一些几何问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了圆的基本概念和性质，对圆的运算也有一些了解。
但是，对于三角形内切圆的概念和性质，学生可能较为陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生从已知的圆的知识出发，逐步过渡到三角形内切圆的学习。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解三角形内切圆的概念，掌握其性质，并能运用内切圆的性质解决一些几何问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学的美。
四. 教学重难点1.重点：三角形内切圆的概念及其性质。
2.难点：三角形内切圆与三角形的关系，以及运用内切圆的性质解决几何问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，引导学生思考三角形内切圆的概念。
2.启发式教学法：通过提问、讨论等方式，激发学生的思考，引导学生发现和总结三角形内切圆的性质。
3.实践活动法：让学生通过实际操作，加深对三角形内切圆性质的理解。
六. 教学准备1.准备相关的图片和实例，用于导入和新课的讲解。
2.准备一些练习题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如花园里的三角形花坛，引导学生思考三角形内切圆的概念。
提问：你们认为三角形内切圆是什么？它的位置在哪里？2.呈现（10分钟）通过多媒体展示三角形内切圆的图片，引导学生观察和思考。
提问：你们能总结出三角形内切圆的性质吗？3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组总结出三角形内切圆的性质，并准备进行汇报。
华师版九年级数学下册第27章圆【学案】三角形的内切圆
CBCB三角形的内切圆教学目标：⒈使学生掌握画三角形的内切圆的方法，了解三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形内心的概念；⒉应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力； ⒊通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进学生数学学习的信心。
教学重点、难点：三角形内切圆的作法和三角形的内心概念与性质． 学习过程： 一、情境创设 试一试：一张三角形铁皮，如何在它上面截一个面积最大的圆形铁皮。
分析：①让学生展开讨论，教师指导学生发现，实际上是作一个圆，使它和已知三角形铁皮的各边都相切．②让学生展开充分的讨论，如何确定这个圆的圆心及半径？③在此基础上，由学生形成作图题的完整过程。
二、探求新知 ⒈本课知识点：⑴和三角形各边都相切的圆叫做 ， 叫做三角形的内心，这个三角形叫做 ． ⑵分别画出直角三角形和钝角三角形的内切圆．小结：①一个三角形的内切圆是唯一的；②内心与外心类比：DC⒉典型例题例1、如图，△ABC 中，内切圆I 和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、 F,∠B=60°,∠C=70°.求∠EDF 的度数。
例2、⊙I 内切于△ABC ，切点分别为D 、E 、F ，试说明 （1）∠BIC ＝90°＋12∠BAC （2）△ABC 三边长分别为a 、b 、c ，⊙I 的半径r ，则有S △ABC ＝12r(a ＋b ＋c) （3）△ABC 中，若∠ACB ＝90°，AC ＝b , BC ＝a , AB ＝c,求内切圆半径r 的长。
（4）若∠ACB ＝90°，且BC ＝3，AC ＝4，AB ＝5，△ABC 的内切圆圆心I 与它的C外接圆圆心的O 距离。
三、再攀高峰 ⒈课本练习⒉探究活动一 问题：如图，有一张三角形纸片，其中BC=6cm ，AC=8cm ，∠C =90°．今需在△ABC 中剪出一个半圆，使得此半圆直径在三角形一边上，并且与另两边都相切，请设计出所有可能方案，并通过计算说明如何设计使得此半圆面积最大，最大为多少？⒊探究活动二问题：如图1，有一张四边形ABCD 纸片，且AB=AD=6cm ，CB=CD=8cm ，∠B=90°．Ｅ（1）要把该四边形裁剪成一个面积最大的圆形纸片，你能否用折叠的方法找出圆心，若能请你度量出圆的半径；（2）计算出最大的圆形纸片的半径（要求精确值）．四、总结反思：。
九年级数学下册 24 圆 课题 三角形的内切圆学案 (新版)沪科版
课题：三角形的内切圆【学习目标】1．理解三角形内切圆的概念及三角形内心的性质．2．掌握三角形内切圆的作法，会用三角形内心性质解决问题．【学习重点】三角形内切圆作法的理解及内心性质的应用．【学习难点】对三角形内切圆的唯一性的理解．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．解题思路：可结合切线的性质求出三角形内切圆相关的角以及通过切线长定理转化成求相应线段．情景导入生成问题旧知回顾：1．什么是切线长定理？答：从圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角．2．三角形三条角平分线交于一点吗？这一点有何性质？答：三角形三条角平分线交于一点，这一点到三边距离相等．自学互研生成能力知识模块一三角形的内切圆阅读教材P42～P43，完成以下问题：什么是三角形的内切圆？如何作出三角形的内切圆？答：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．做法：以三角形两内角平分线的交点为圆心，以这点到任一边距离为半径作圆即得三角形的内切圆．范例1：如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F，若∠BAC＝70°，则∠EDF等于(B)A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°仿例1：正三角形内切圆的半径为1，那么这个正三角形的边长为( D )A ．2B ．3C . 3D ．2 3仿例2：三角形ABC 的周长为10，且内切圆的半径为2，则这个三角形的面积为10．知识模块二 三角形内切圆的性质三角形的内切圆有何性质？ 答：三角形内切圆的圆心叫三角形的内心．三角形的内心到三角形三边距离相等．行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学．对照答案，提出疑惑，小组解决不了的问题，写在小黑板上，在小组展示的时候解决． 范例2：如图，在△ABC 中，∠B ＝43°，∠C ＝61°，点I 是△ABC 的内心，求∠BIC 的度数．解：连接IB ，IC.∵点I 是△ABC 的内心，∴IB ，IC 分别是∠B ，∠C 的平分线．在△IBC 中，有∠BIC ＝180°－(∠IBC＋∠ICB)＝180°－12(∠B＋∠C) ＝180°－12(43°＋61°) ＝128°.仿例1：如图，△ABC 的内切圆I 与边AB ，BC ，CA 分别切于点D ，E ，F ，若AB ＝10cm ，BC ＝6cm ，AC ＝8cm ，则AD ＝6cm ，BD ＝4cm ，CE ＝2cm .(仿例1图)(仿例2图)仿例2：如图，⊙I 为△ABC 的内切圆，AB ＝9，BC ＝8，AC ＝10，点D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且DE 为⊙I 的切线，则△ADE 的周长为11．交流展示生成新知1．将阅读教材时生成的新问题和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一三角形的内切圆知识模块二三角形内切圆的性质检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________。
《 三角形的内切圆》学案
2.3三角形的内切圆【要点预习】与三角形三边都相切的圆叫做, 内切圆的圆心叫做三角形的, 这个三角形叫做圆的. 三角形的内心是三角形的的交点. 【课前热身】1.三角形的内心到三角形的距离相等.答案：三边2. △ABC中, ∠ACB=56°, O是△ABC的内心, 则∠OCB= 度.答案：283. 在△ABC中，I为内心，若∠A=70°，则∠BIC= 度.答案：125【讲练互动】【例1】制作铁皮桶，需在一块三角形材料上截取一个面积最大的圆，请画出该圆.【解】作出三角形的角平分线BD、CE，角平分线交点O即为所画圆的圆心，过O作OF⊥BC，垂足为F，以O为圆心，OF为半径，作⊙O即为所求作的圆.【变式训练】1. 边长为6的正三角形纸片上截取一个面积最大的圆的半径是.【解析】即求等边三角形的内切圆半径.【例3】(2007陇南)如图，点I是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．求证：ID=BD.【证明】∵点I是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI.∵∠CBD=∠CAD，∴∠BAD=∠CBD.∴∠BID=∠ABI+∠BAD =∠CBI+∠CBD=∠IBD. ∴ID=BD.【变式训练】2.如图, △ABC 中, AB =10, BC =8, AC =7, ⊙O 为△ABC 的内切圆, 切点分别是D , E , F . 求AD 的长.【解】连结OD , OF , OA .∵AB , AC 是⊙O 的切线, ∴∠ODA =∠OF A =90°.又∵OD=OF , OA=OA , ∴Rt △OAD ≌Rt △OAF , ∴AD=AF . 同理, BD=BE , CE=CF .∵BE+CE =BC =8, ∴BD+BE+CE+CF =16. ∴2AD =(10+8+7)-16=9, 即AD =4.5.【同步测控】基础自测1.给出下列命题：①任一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中真命题共有………………………………………………………………………………（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：B2. （2007白银）正三角形内切圆半径r 与外接圆半径R 之间的关系为………………（ ） A ．4R =5r B ．3R =4r C ．2R =3r D ．R =2r 答案：D3. (2007成都)如图，O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．已知50B ∠=°，60C ∠=°，连结O E O F D E ，，，，那么EDF ∠等于………………（ ） A. 40° B.55° C. 65° D. 70°答案：B4. 若O 是△ABC 的内心，且∠BOC ＝100°，则∠A ＝………………………………（ ） A ．20° B ．30° C ．50° D ．60°答案：A5.若一个三角形的内心与外心重合, 则此三角形必是 三角形.答案：6.已知△ABC 的面积为8cm 2,周长为24cm,则△ABC 内切圆的半径为Dcm.答案：7. (2007徐州)如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，且∠ABC =︒50，∠ACB =︒80，则∠BOC = 度.8. 已知：如图，△ABC 中，内切圆I 和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，若∠F D E=70°，求∠A 的度数．9.如图,在△ABC 中，⊙O 截△ABC 三边所得的弦长相等. 求证：O 是△ABC 的内心.能力提升10. 若正方形的边长为a ，其内切圆的半径为r ，外接圆的半径为R ，则r ∶R ∶a ＝…（ ）A.B.2C.2:4 答案：D11. (2007天门)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，AB ＝10，点P 在AC 上，AP =2，若⊙O 的圆心在线段BP 上，且⊙O 与AB 、AC 都相切，则⊙O 的半径是……………………………………（ ）A. 1B. 54C. 127D.94第11题图答案：A12. 已知△ABC 的内切圆O 与各边相切于D 、E 、F ，那么点O 是△DEF 的…………（ ） A ．三条中线交点B ．三条高的交点C ．三条角平分线交点D ．三条边的垂直平分线的交点答案：D13.如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C =90度，OA 的延长线交BC 于点D ，AC =4，CD =1，则⊙O 的半径等于 .答案：4514.等腰直角△ABC 中, ∠C =90度，斜边AB =6,则此三角形的内心与外心之间的距离是 .答案：615. (2007年厦门) 已知：如图5,P A 、PB 是⊙O 的切线;A 、B 是切点;连结OA 、OB 、OP .(1)若∠AOP =60°，求∠OPB 的度数；(2)过O 作OC 、OD 分别交AP 、BP 于C 、D 两点. ①若∠COP =∠DOP ，求证：AC =BD ；②连结CD ，设△PCD 的周长为l ，若l =2AP ，判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由.解：(1)∵P A 、PB 是⊙O 的切线，∴∠OAP =90°. ∵∠AOP =60°，∴∠OP A =30°=∠OPB . (2) ①∵∠COP =∠DOP ，∠CPO =∠DPO ，PO=PO , ∴△OCP ≌△ODP ,∴CP=DP . 又可证△OP A ≌OPB 得P A=PB , ∴AC=BD .②作OE ⊥CD 于E ，设OE=d ，CE=x ，DE=y . 则d 2=AC 2+AO 2-x 2=BD 2+OA 2-y 2. ∴(AC+x )(AC-x )- (BD+y )(BD-y )=0, ∵l =2AP =2BP ，∴x+y=AC+BD , ∴AC-x=y-BD . ∴(AC+x )(y-BD )- (BD+y )(BD-y )=0, ∴(y-BD ) (AC+x +BD+y )=0. ∵AC+x +BD+y ≠0，∴y =BD , 即d=AO ，∴直线CD 与⊙O 相切.创新应用16.(2007临汾)阅读材料并解答问题：与正三角形各边都相切的圆叫做正三角形的内切圆，与正四边形各边都相切的圆叫做正四边形的内切圆，，与正n 边形各边都相切的圆叫做正n 边形的内切圆，设正(3)n n ≥边形的面积为n S 正边形，其内切圆的半径为r ，试探索正n 边形的面积．(1) 如图①，当3n =时，设AB 切P 于点C ，连结OC OA OB ，，O C A B ⊥∴，OA OB =∴，12AOC AOB ∠=∴，2AB BC =∴．在Rt AOC △中，1360602AOC ∠==°∵°3，OC r =，t a n 60A C r =∴°，2tan60AB r =∴°, 212tan60tan602OAB S r r r ==∴°°, 233t a n 60O A BS S r ==△正三角形∴°． (2) 如图②，当4n =时，仿照（1）中的方法和过程可求得：4OAB S S ==△正四边形 ； (3) 如图③，当5n =时，仿照（1）中的方法和过程求．S 正五边形； (4) 如图④，根据以上探索过程，请直接写出n S =正边形 ．解：(1) 24tan 45r °．(2) 如图③，当5n =时，设AB 切O 于点C ，连结,,OC OA OB ，OC AB ⊥∴.OA OB =∵，又13603625AOC ∠==°∵°，OC r =，tan36AC r =∴°，2tan36AB r =°.212tan36tan362OAB S r r r ==△∴°°，255tan 36OAB S S r ==△正五边形∴°． (3) 2180tan nr n°．BC图①BC图②图③图④。
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C
B
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2020-2021学年三角形的内切圆
教学目标：
⒈使学生掌握画三角形的内切圆的方法，了解三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形内心的概念；
⒉应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力； ⒊通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进学生数学学习的信心。
教学重点、难点：
三角形内切圆的作法和三角形的内心概念与性质．学习过程：一、情境创设试一试：
一张三角形铁皮，如何在它上面截一个面积最大的圆形
铁皮。
分析：①让学生展开讨论，教师指导学生发现，实际上是作一个圆，使它和已知三角形铁皮的各边都相切．②让学生展开充分的讨论，如何确定这个圆的圆心及半径？
③在此基础上，由学生形成作图题的完整过程。
二、探求新知⒈本课知识点：
⑴和三角形各边都相切的圆叫做 ， 叫做三角形的内心，这个三角形叫做 ． ⑵分别画出直角三角形和钝角三
角形的内切圆．
小结：①一个三角形的内切圆是唯一的；
②内心与外心类比：
D C
外心（三角形外接圆的圆心）
三角形三边中垂线的交点
（1）OA=OB=OC ；（2）外心不一定在三角形的内部．内心（三角形内切圆的圆心）
三角形三条角平分线的交点
（1）到三边的距离相等；
（2）OA 、OB 、OC 分别平分∠BAC 、∠ABC 、∠ACB ；
（3）内心在三角形内部．
⒉典型例题
例1、如图，△ABC 中，内切圆I 和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、
F,∠B=60°,∠C=70°.求∠EDF 的度
数。
例2、⊙I 内切于△ABC ，切点分别为D 、E 、F ，试说明
（1）∠BIC ＝90°＋1
2∠BAC
（2）△ABC 三边长分别为a 、b 、c ，⊙I 的半径r ，则有S △ABC ＝1
2r(a ＋b ＋c)（3）△ABC 中，若∠ACB ＝90°，AC ＝b , BC ＝a , AB ＝c,求内切圆半径r 的长。
（4）若∠ACB ＝90°，且BC ＝3，AC ＝4，AB ＝5，△ABC 的内切圆圆心I 与它的外接圆圆心的O 距离。