高中数学解析几何练习题
高中数学解析几何大题(附有答案及详解)
47． 已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，其短轴为2．（1）求椭圆E 的方程；（2）设椭圆E 的右焦点为F ，过点()2,0G 作斜率不为0的直线交椭圆E 于M ，N 两点，设直线FM 和FN 的斜率为1k ，2k ，试判断12k k +是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．48． 如图，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>⎛ ⎝⎭，P 为椭圆上的一动点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设圆224:5O x y +=，过点P 作圆O 的两条切线1l ，2l ，两切线的斜率分别为1k ，2k . ①求12k k 的值；①若1l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，与圆O 切于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，且满足OPA OQB S S =△△，求1l 的方程.49． 已知椭圆E ：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分別为12,F F ，离心率为e =左焦点1F 作直线1l 交椭圆E 于A ，B 两点，2ABF 的周长为8. （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线2l ：y =kx +m (km <0)与圆O ：221x y +=相切，且与椭圆E 交于M ，N 两点，22MF NF +是否存在最小值？若存在，求出22MF NF +的最小值和此时直线2l 的方程.50． 已知动点M 与两个定点()0,0O ，()3,0A 的距离的比为12，动点M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的轨迹方程，并说明其形状；（2）过直线3x =上的动点()()3,0P p p ≠分别作C 的两条切线PQ 、PR （Q 、R 为切点），N 为弦QR 的中点，直线l ：346x y +=分别与x 轴、y 轴交于点E 、F ，求NEF 的面积S的取值范围.51． 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：20x y ++=和圆O ：221x y +=，P 是直线l 上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B . （1）若PA PB ⊥，求点P 的坐标； （2）求线段PA 长的最小值；（3）设线段AB 的中点为Q ，是否存在点T ，使得线段TQ 长为定值？若存在，求出点T ；若不存在，请说明理由.52． 已知以1C 为圆心的圆221:1C x y +=.（1）若圆222:(1)(1)4C x y -+-=与圆1C 交于,M N 两点，求||MN 的值；（2）若直线:l y x m =+和圆1C 交于,P Q 两点，若132PC PQ ⋅=，求m 的值. 53． 已知圆()22:21M x y +-=，点P 是直线:20l x y +=上的一动点，过点P 作圆M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ．（1）当切线P A P 的坐标；（2）若PAM △的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）求线段AB 长度的最小值．54． 已知圆22:2O x y +=，直线:2l y kx =-．（1）若直线l 与圆O 交于不同的两点,A B ，当90AOB ∠=︒时，求实数k 的值；（2）若1,k P =是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC 、PD ，切点为C 、D ，试探究：直CD 是否过定点．若存在，请求出定点的坐标；否则，说明理由．55． 在平面直角坐标系xOy中，(A，B ，C 是满足π3ACB ∠=的一个动点． （1）求ABC 垂心H 的轨迹方程；（2）记ABC 垂心H 的轨迹为Γ，若直线l ：y kx m =+（0km ≠）与Γ交于D ，E 两点，与椭圆T ：2221x y +=交于P ，Q 两点，且||2||DE PQ =，求证：||k > 56． 平面上一动点C的坐标为),sin θθ.（1）求点C 轨迹E 的方程；（2）过点()11,0F -的直线l 与曲线E 相交于不同的两点,M N ，线段MN 的中垂线与直线l 相交于点P ，与直线2x =-相交于点Q .当MN PQ =时，求直线l 的方程.答案及解析47．（1）2212x y +=；（2）是定值，该定值为0．【分析】（1）依题意求得,a b ，进而可得椭圆E 的方程；（2）设直线MN 的方程为()()20y k x k =-≠，与椭圆E 方程联立，利用韦达定理和斜率公式即可求得12k k +的值. 【详解】（1）由题意可知：22b =，1b =，椭圆的离心率c e a ==a =①椭圆E 的标准方程：2212x y +=；（2）设直线MN 的方程为()()20y k x k =-≠．22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得：()2222128820k x k x k +-+-=．设()11,M x y ，()22,N x y ， 则2122812k x x k +=+，21228212k x x k -=+，()()()1212121212121212222211111k x k x y y x x k k k x x x x x x x x ⎡⎤--+-+=+=+=-⎢⎥-----++⎢⎥⎣⎦222222228242122208282111212k k k k k k k k k k ⎡⎤-⎢⎥⎛⎫-+=-=-=⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥-+⎢⎥++⎣⎦． ①120k k +=为定值．【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键点是：得出()12121212221x x k k k x x x x ⎡⎤+-+=-⎢⎥-++⎢⎥⎣⎦.48．（1）2214x y +=；（2）①14- ；①yy =+【分析】（1）根据已知条件结合222c a b =-列关于,a b 的方程，解方程即可求解；（2）①设()00,P x y ，切线:l 00()y y k x x -=-，利用圆心到切线的距离列方程，整理为关于k 的二次方程，计算两根之积结合点P 在椭圆上即可求12k k ；①由OPA OQB S S =△△可得PA BQ =，可转化为A B P Q x x x x +=+，设1l ：y kx m =+，与椭圆联立可得P Q x x +，再求出A x 、B x ，即可求出k 的值，进而可得出m 的值，以及1l 的方程. 【详解】（1）因为22222234c a b e a a -===，所以2a b =，因为点⎛ ⎝⎭在椭圆上，所以221314a b +=即2213144b b +=， 解得：1b =，2a =，所以椭圆方程为：2214x y +=；（2）①设()00,P x y ，切线:l 00()y y k x x -=-即000kx y y kx -+-= 圆心()0,0O到切线的距离d r ==整理可得：2220000442055x k x y k y ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭，所以2020122200441451544455x y k k x x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭===---，①因为OPA OQB S S =△△所以PA BQ =，所以A P Q B x x x x -=-，所以A B P Q x x x x +=+， 设切线为1:l y kx m =+，由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得：()222418440k x kmx m +++-= 所以2841P Q kmx x k -+=+， 令0y =可得B mx k=-，设(),A A A x kx m +， 则1A OA A kx m k x k +==-，所以21A km x k -=+， 所以228411P Q km m kmx x k k k --+==-+++， 整理可得：()()()2222814121k k k k +=++，所以221k =，解得：k =， 因为圆心()0,0O 到1:l y kx m =+距离d ，所以mm =，因为0B mx k=->，所以当k =m =k =时，m =；所以所求1l的方程为y =或y = 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中解决定值、定点的方法（1）从特殊入手，求出定值、定点、定线，再证明定值、定点、定线与变量无关； （2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量是此类问题的特点，设而不求的方法、整体思想和消元思想的运用可以有效的简化运算.49．（1）2214x y +=；（2）最小值为2，0x =或0x +-=.【分析】(1)由椭圆定义结合已知求出a ，半焦距c 即可得解；(2)由直线2l 与圆O 相切得221m k =+，联立直线2l 与椭圆E 的方程消去y ，借助韦达定理表示出22MF NF +，利用函数思想方法即可作答. 【详解】（1）依题意，结合椭圆定义知2ABF 的周长为4a ，则有4a =8，即a =2，又椭圆的离心率为c e a =c =2221b a c =-=， 所以椭圆E 的方程为2214x y +=；（2）因直线2l ：y =kx +m (km <0)与圆O ：221x y +=1=，即221m k =+，设()()()112212,,,,2,2M x y N x y x x ≤≤，而点M 在椭圆E 上，则221114x y +=，即221114x y =-，又2F ，21|2|MF x =-=12x -，同理222NF x =，于是得)22124MF NF x x +=+， 由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：()222148440k x kmx m +++-=，显然Δ0>，则122814km x x k +=-+， 又km <0，且221m k =+，因此得1228||14km x x k +=+令2411t k =+≥，则12x x +=113t =，即t =3时等号成立，于是得22MF NF +存在最小值，且)221242MF NF x x +=+≥，22MF NF +的最小值为2，由2221413m k k ⎧=+⎨+=⎩，且km <0，解得k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 所以所求直线2l的方程为y x =y x =0x =或0x +=.【点睛】关键点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 50．（1）()2214x y ++=，曲线C 是以1,0为圆心，半径为2的圆；（2）5542⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【分析】（1）设出动点M 坐标，代入距离比关系式，化简方程可得；（2）先求切点弦方程，再根据切点弦过定点及弦中点性质得出N 点轨迹，然后求出动点N 到定直线EF 的距离最值，最后求出面积最值.切点弦方程的求法可用以下两种方法.法一：由两切点即为两圆公共点，利用两圆相交弦方程（两圆方程作差）求出切点弦方程；法二：先分别求过Q 、R 两点的切线方程，再代入点P 坐标，得到Q 、R 两点都适合的同一直线方程，即切点弦方程. 【详解】解：（1）设(),M x y ，由12MO MA =12=. 化简得22230x y x ++-=，即()2214x y ++=. 故曲线C 是以1,0为圆心，半径为2的圆.（2）法一(由两圆相交弦方程求切点弦方程)：由题意知,PQ 、PR 与圆相切，Q 、R 为切点，则DQ PQ ⊥，DR PR ⊥，则D 、R 、P 、Q 四点共圆，Q 、R 在以DP 为直径的圆上(如图).设()1,0D -，又()()3,0P p p ≠，则DP 的中点为1,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，DP .以线段DP 为直径的圆的方程为()22212p x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得22230x y x py +---=①(也可用圆的直径式方程()()()()1300x x y y p +-+--=化简得. ) 又Q 、R 在C ：22230x y x ++-=①上， 由两圆方程作差即①-①得：40x py +=. 所以，切点弦QR 所在直线的方程为40x py +=. 法二(求Q 、R 均满足的同一直线方程即切点弦方程)： 设()1,0D -，()11,Q x y ，()22,R x y .由DQ PQ ⊥，可得Q 处的切线上任一点(,)T x y 满足0QT DQ ⋅=(如图)， 即切线PQ 方程为()()()()1111100x x x y y y -++--=.整理得()221111110x x y y x y x ++---=.又22111230x y x ++-=，整理得()111130x x y y x +++-=.同理，可得R 处的切线PR 方程为()222130x x y y x +++-=. 又()3,P p 既在切线PQ 上，又在切线PR 上，所以()()11122231303130x py x x py x ⎧+++-=⎪⎨+++-=⎪⎩，整理得11224040x py x py +=⎧⎨+=⎩. 显然，()11,Q x y ，()22,R x y 的坐标都满足直线40x py +=的方程. 而两点确定一条直线，所以切点弦QR 所在直线的方程为40x py +=. 则QR 恒过坐标原点()0,0O .由()2240,14x py x y +=⎧⎪⎨++=⎪⎩消去x 并整理得()22168480p y py +--=. 设()11,Q x y ，()22,R x y ，则122816py y p +=+.点N 纵坐标1224216N y y py p +==+. 因为0p ≠，显然0N y ≠，所以点N 与点()1,0D -，()0,0O 均不重合.(或者由对称性可知，QR 的中点N 点在x 轴上当且仅当点P 在x 轴上，因为0p ≠，点P 不在x 轴上，则点N 也不在x 轴上，所以点N 与D 、O 均不重合.) 因为N 为弦QR 的中点，且()1,0D -为圆心，由圆的性质，可得DN QR ⊥，即DN ON ⊥(如图).所以点N 在以OD 为直径的圆上，圆心为1,02G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径12r =.因为直线346x y +=分别与x 轴、y 轴交于点E 、F ，所以()2,0E ，30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，52EF =.又圆心1,02G ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线3460x y +-=的距离32d ==. 设NEF 的边EF 上的高为h ，则点N 到直线346x y +=的距离h 的最小值为31122d r -=-=； 点N 到直线346x y +=的距离h 的最大值为31222d r +=+=(如图).则S 的最小值min 1551224S =⨯⨯=，最大值max 1552222S =⨯⨯=.因此，NEF 的面积S 的取值范围是5542⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【点睛】设00(,)P x y 是圆锥曲线外一点，过点P 作曲线的两条切线，切点为A 、B 两点，则 A 、B 两点所在的直线方程为切点弦方程.常见圆锥曲线的切点弦方程有以下结论： 圆222()()x a y b r -+-=的切点弦方程：200()()()()x a x a y b y b r --+--=， 圆220x y Dx Ey F ++++=的切点弦方程： 0000022x x y yx x y y D E F ++++++= 椭圆22221x y a b+=的切点弦方程：00221x x y y a b +=；双曲线22221x y a b-=的切点弦方程：00221x x y y a b -=；抛物线22y px =的切点弦方程为：00()y y p x x =+.特别地，当00(,)P x y 为圆锥曲线上一点时，可看作两切线重合，两切点A 、B 重合，以上切点弦方程即曲线在P 处的切线方程.51．（1）()1,1P --；（2）1；（3）存在点11,44T ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，使得线段TQ 长为定值.理由见解析.【分析】（1）依题意可得四边形PAOB 为正方形，设(),2P x x --，利用平面直角坐标系上两点的距离公式得到方程，计算可得；（2）由221PA PO =-可知当线段PO 长最小时，线段PA 长最小，利用点到线的距离公式求出PO 的最小值，即可得解；（3）设()00,2P x x --，求出以OP 为直径的圆的方程，即可求出公共弦AB 所在直线方程，从而求出动点Q 的轨迹方程，即可得解； 【详解】解：（1）若PA PB ⊥，则四边形PAOB 为正方形， 则P①P 在直线20x y ++=上，设(),2P x x --，则OP =，解得1x =-，故()1,1P --.（2）由221PA PO =-可知当线段PO 长最小时，线段PA 长最小. 线段PO 长最小值即点O 到直线l的距离，故min PO ==所以min 1PA =.（3）设()00,2P x x --，则以OP 为直径的圆的方程为()2222000022224x x x x x y +----⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得()220020x x x x y y -+++=，与221x y +=联立，可得AB 所在直线方程为()0021x x x y -+=，联立()002221,1,x x x y x y ⎧-+=⎨+=⎩得()222000002443024x x x x x x x ++----=， ①Q 的坐标为002200002,244244x x x x x x --++++⎛⎫⎪⎝⎭，可得Q 点轨迹为22111448x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，圆心11,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径R =.其中原点()0,0为极限点（也可以去掉）.故存在点11,44T ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，使得线段TQ 长为定值.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、方程思想、数形结合方法、转化方法，考查运算求解能力和应用意识．52．（1；（2）m = 【分析】（1）由两个圆相交，可将两个圆的方程相减求得直线MN 的方程.利用圆心到直线的距离，结合垂径定理即可求得||MN 的值.（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，利用向量的坐标运算表示出1,PC PQ .将直线方程与圆的方程联立，化简后由>0∆求得m 的取值范围，并表示出12x x +，12x x ，进而由直线方程表示出12y y .根据平面向量数量积的坐标运算，代入化简计算即可求得m 的值. 【详解】（1）直线MN 的方程为2222(1)(1)410x y x y -+----+=， 即2 2 10x y ++=；故圆1C 的圆心到2210x y ++=的距离d =故||MN == （2）设()()1122,,,P x y Q x y ，则()()1112121,,,PC x y PQ x x y y =--=--，由22,1,y x m x y =+⎧⎨+=⎩化简可得222210x mx m ++-=， 故()222481840,m m m ∆=--=->解得m < 12x x m +=-，2121,2m x x -=所以()()()212121212y y x m x m x x m x x m =++=+++，又()()2211121211212113,,2PC PQ x y x x y y x x y y x y ⋅=--⋅--=--++=， 又22111x y +=故121212x x y y +=-，故()21212122x x m x x m +++=-， 将12x x m +=-，2121,2m x x -=代入可得222112m m m --+=-，解得m =又因为m <所以2m =± 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系及公共弦长度的求法，直线与圆位置关系的综合应用，由韦达定理求参数的值，平面向量数量积的运算，综合性强，计算量大，属于难题.53．（1）()0,0P 或84,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）圆过定点()0,2，42,55⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）当25b =时，AB 有最小【分析】（1）设()2,P b b -，由MP b ，得出结果；（2）因为A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径，所以圆N 的方程为()()222242224b b b x b y +-+⎛⎫++-=⎪⎝⎭，化简为()()222220x y b x y y -+++-=，由方程恒成立可知2222020x y x y y -+=⎧⎨+-=⎩，即可求得动圆所过的定点； （3）由圆M 和圆N 方程作差可得直线AB 方程，设点()0,2M 到直线AB 的距离d ，则AB =.【详解】（1）由题可知，圆M 的半径1r =，设()2,P b b -， 因为P A 是圆M 的一条切线，所以90MAP ∠=︒，所以2MP ==，解得0b =或45b =， 所以点P 的坐标为()0,0P 或84,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）设()2,P b b -，因为90MAP ∠=︒， 所以经过A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径， 其方程为()()222242224b b b x b y +-+⎛⎫++-=⎪⎝⎭， 即()()222220x y b x y y -+++-=，由2222020x y x y y -+=⎧⎨+-=⎩， 解得02x y =⎧⎨=⎩或4525x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以圆过定点()0,2，42,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．（3）因为圆N 方程为()()222242224b b b x b y +-+⎛⎫++-=⎪⎝⎭， 即()222220x y bx b y b ++-++=①又圆22:430M x y y +-+=①①-①得圆M 方程与圆N 相交弦AB 所在直线方程为 ()22230bx b y b --+-=．点()0,2M 到直线AB的距离d =所以相交弦长AB == 所以当25b =时，AB【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，考查定点问题和距离的最值问题，难度较难. 54．（1）k =（2）直线CD 过定点(1,1)- 【分析】（1）由已知结合垂径定理求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k ； （2）解法1：设切点11(,)C x y ，22(,)D x y ，动点00(,)P x y ，求出两条切线方程，计算出直线CD 的方程，从而得到定点坐标；解法2：由题意可知，O 、P 、C 、D 四点共圆且在以OP为直径的圆上，求出公共弦所在直线方程，再由直线系方程求得定点坐标. 【详解】（1）2AOB π∠=，∴点O 到l 的距离2d r =，k = （2）解法1：设切点11(,)C x y ，22(,)D x y ，动点00(,)P x y ，则圆在点C 处的切线方程为 1111()()0y y y x x x -+-=，所以221111x x y y x y +=+，即112x x y y +=同理，圆在点D 处的切线方程为222x x y y += 又点00(,)P x y 是两条切线的交点， 10102x x y y ∴+=，20202x x y y +=，所以点()11,C x y ，()22,D x y 的坐标都适合方程002x x y y +=， 上述方程表示一条直线，而过C 、D 两点的直线是唯一的， 所以直线CD 的方程为：002x x y y +=. 设(,2)P t t -，则直线CD 的方程为(2)2tx t y +-=， 即()(22)0x y t y +-+=， ∴0220x y y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，故直线CD 过定点(1,1)-.解法2：由题意可知：O 、P 、C 、D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上， 设(,2)P t t -，则此圆的方程为：()(2)0x x t y y t -+-+=， 即：22(2)0x tx y t y -+--=， 又C 、D 在圆22:2O x y +=上，两圆方程相减得():220CD l tx t y +--=， 即()(22)0x y t y +-+=， ∴0220x y y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，故直线CD 过定点(1,1)-. 【点睛】本题考查了直线与圆的相交问题，由弦长求直线斜率，只需结合弦长公式计算圆心到直线的距离，然后求得结果，在求直线恒过定点坐标时，一定要先表示出直线方程，然后在求解. 55．（1）22(1)4x y ++=（2y ≠-）；（2）证明见解析． 【分析】（1）由题可求出顶点C 的轨迹方程，再利用相关点法可求垂心H 的轨迹方程；（2）利用弦长公式可求||DE ，再利用韦达定理法求||PQ ，由||2||DE PQ =得出2221m k ≥+，然后结合判别式大于零即可证. 【详解】设ABC 的外心为1O ，半径为R ，则有22sin ABR ACB==∠，所以1πcos 13OO R ==即1(0,1)O ，设(,)C x y ，()00,H x y ，有1O C R =，即有22(1)4x y +-=（0y ≠）， 由CH AB ⊥，则有0x x =，由AH BC ⊥，则有(00(0AH BC x x y y ⋅=+=，所以有(220(3(1)12x x x y y y yy y---=-===-，则有()220014x y ++=（02y ≠-），所以ABC 垂心H 的轨迹方程为22(1)4x y ++=（2y ≠-）； （2）记点(0,1)-到直线l 的距离为d ，则有d =所以||DE==，设()11,P x y，()22,Q x y，联立2221y kx mx y=+⎧⎨+=⎩，有()2222210k x kmx m+++-=，所以()224220k m∆=+->，||PQ==由||2||DE PQ=，可得()()()()()2222222222222418141(1)8412222k m k km mk k kk k++++-=-≤-+++++，所以()22222248(1)212m mk kk++≤+++，即有()()()22222224181(1)22k k mmk k+++≤+++，所以()()()22222222418122(1)22k k mm mk k+++--≥-++，即22222222222221(1)101222k k m k mm mk k k k⎛⎫-=-⇒-≥⇒≥+⎪+++⎝⎭又0∆>，可得2212km<+，所以222112kk+<+，解得22k>，故||k>56．（1）2212xy+=；（2）10x y±-=.【分析】（1）利用22sin cos1θθ+=求得点C的轨迹E的方程.（2）设直线l的方程为1x my=-，联立直线l的方程和曲线E的方程，化简写出根与系数关系，求得MN、PQ,由1PQMN=求得m的值，从而求得直线l的方程.【详解】 （1）设(),C x y ，则,sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即cos sin yθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以2212x y +=，所以E 的方程为2212x y +=.（2）由题意知，直线l 的斜率不为0，设直线:1l x my =-，()()()1122,,,,,p p M x y N x y P x y .联立2221,1x y x my ⎧+=⎨=-⎩，消去x ，得()22+2210m y my --=，此时()281m ∆=+0>，且12222m y y m +=+，12212y y m =-+又由弦长公式得MN =整理得2212m MN m ++. 又122+=22p y y m y m =+，所以2212p p x my m -=-=+，所以222222p m PQ x m ++=+，所以1PQMN =， 所以21m =，即1m =±.综上，当1m =±，即直线l 的斜率为±1时，MN PQ =， 此时直线l 为10x y ±-=. 【点睛】求解直线和圆锥曲线相交所得弦长，往往采用设而不求，整体代入的方法来求解.。
高中解析几何典型题
高中解析几何典型题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一、直线和平面的关系题目题目1：设直线L经过平面α和β两个平面的交点A和B，问直线L在平面α和平面β之间的位置关系是怎样的？解析：直线L在平面α和平面β之间的位置关系有三种情况，分别是直线L既不垂直于平面α，也不垂直于平面β；直线L既垂直于平面α，也垂直于平面β；直线L既不垂直于平面α，但垂直于平面β。
具体位置可根据直线和平面的垂直关系来确定。
解析：点P在平面α和平面β之间的位置关系根据两个平面的相交线和点P所在位置的具体情况来确定。
如果直线L和点P的位置不同，点P在两个平面之间；如果直线L和点P的位置相同，点P在两个平面外部；如果直线L和点P的位置重合，点P在两个平面上。
题目3：已知平面α和平面β相交于直线m，直线n与直线m相交于点A，平面α和平面β的交线分别为l1和l2，求证：∠l1An=∠l2An。
解析：根据已知条件可得到∠l1An=∠mAn，∠l2An=∠mAn，即∠l1An=∠l2An。
解析：根据已知条件可得到∠A和∠B垂直于直线m，因此∠A和∠B所成的角度为90度。
通过以上的几个典型题目及其解析，我们不难看出解析几何题目的解题思路主要是根据已知条件，运用几何知识和性质来推导出结论。
在解析几何的学习过程中，学生应该注重培养逻辑思维能力和数学运算能力，多进行几何图形的分析和推理，提高解题的能力和速度。
在解析几何的学习过程中，还需要注意以下几点：1、熟练掌握基本几何知识和性质，包括直线、角、三角形、四边形等几何图形的性质和计算方法。
2、善于画图分析，对于解析几何题目一定要画出清晰准确的图形，以便更直观地理解题意和计算。
3、多练习典型题目，通过多做题目来积累经验，查漏补缺，加深对解析几何知识的理解。
4、注意总结归纳，将解析几何的各种题目和性质进行分类和总结，形成自己的知识体系。
高中解析几何是一个非常重要的学科，学生在学习过程中要认真对待，多加练习，提高理解能力和解题能力，从而取得更好的学习成绩。
高三数学习题集：解析几何与立体几何综合练习
高三数学习题集：解析几何与立体几何综合练
习
解析几何与立体几何是高中数学中的重要内容之一，对于高三学生来说，掌握这两个领域的知识和技巧至关重要。
为了帮助同学们更好地复习与训练，以下是一些解析几何与立体几何综合练习题。
一、解析几何部分
1. 已知点A(2,3)、B(5,7)，求直线AB的斜率和方程。
2. 设直线L1过点A(1,2)，斜率为1，求L1与x轴、y轴的交点坐标。
3. 已知直线L2的方程为y=2x-3，求L2与y轴的交点坐标。
4. 设四边形ABCD的顶点分别为A(1,2)、B(4,5)、C(6,1)、D(3,-2)，求四边形ABCD的周长和面积。
二、立体几何部分
1. 已知圆柱体的高为8cm，底面直径为6cm，求圆柱体的表面积和体积。
2. 设正方体的边长为3cm，求正方体的表面积和体积。
3. 设棱长为5cm的正六面体A，另有一条边长为4cm的直线段BC平行于A的一条棱，求BC与正六面体A的交点坐标。
4. 已知圆锥的高为12cm，底面半径为4cm，求圆锥的表面积和体积。
以上是一些解析几何与立体几何的综合练习题，希望同学们能够认真思考并灵活运用所学知识来解答这些问题。
通过不断练习，相信你们对解析几何与立体几何的理解和掌握会更上一层楼，为应对高考数学提供有力的支持。
加油！。
高中数学解析几何大题专项练习
高中数学解析几何大题专项练习1、椭圆G ：)0(12222>>=+b a b y a x 的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆，且点N （0，3）到椭圆上的点最远距离为.25（1）求此时椭圆G 的方程；（2）设斜率为k （k ≠0）的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点，问E 、F 两点能否关于过点P （0，33）、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由．2、已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为12A A 、，动直线:l y kx m =+与圆221x y +=相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为111222(,),(,)P x y P x y .（Ⅰ）求k 的取值范围，并求21x x -的最小值；（Ⅱ）记直线11P A 的斜率为1k ，直线22P A 的斜率为2k ，那么，12k k ⋅是定值吗？证明你的结论.3、已知抛物线2:C y ax =的焦点为F ，点(1,0)K -为直线l 与抛物线C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ． （1）求抛物线C 的方程.（2）证明：点F 在直线BD 上；（3）设89FA FB •=u u u r u u u r ，求BDK ∆的面积.．4、已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，点P （2，3）、A B 、在该椭圆上，线段AB 的中点T 在直线OP 上，且AO B 、、三点不共线． (I)求椭圆的方程及直线AB 的斜率； (Ⅱ)求PAB ∆面积的最大值．5、设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0)F ，直线l ：2a x =交x 轴于点A ，且122AF AF =u u u r u u u u r．（Ⅰ）试求椭圆的方程；（Ⅱ）过1F 、2F 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E 、M 、N 四点（如图所示），若四边形DMEN 的面积为277，求DE 的直线方程．6、已知抛物线P ：x 2=2py (p >0)．（Ⅰ）若抛物线上点(,2)M m 到焦点F 的距离为3． （ⅰ）求抛物线P 的方程；（ⅱ）设抛物线P 的准线与y 轴的交点为E ，过E 作抛物线P 的切线，求此切线方程；（Ⅱ）设过焦点F 的动直线l 交抛物线于A ，B 两点，连接AO ，BO 并延长分别交抛物线的准线于C ，D 两点，求证：以CD 为直径的圆过焦点F ．7、在平面直角坐标系xOy 中，设点(,),(,4)P x y M x -，以线段PM 为直径的圆经过原点O . （Ⅰ）求动点P 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）过点(0,4)E -的直线l 与轨迹W 交于两点,A B ，点A 关于y 轴的对称点为'A ，试判断直线'A B 是否恒过一定点，并证明你的结论.8、已知椭圆2222:1 xyMa b+=(0)a b>>的离心率为22，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为246+．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于,A B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求ABC∆面积的最大值．9、过抛物线C:22(0)y px p=>上一点2(,)pM p作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线交于A、B两点. （1）求证：直线AB的斜率为定值；（2）已知,A B两点均在抛物线C：()220y px y=≤上，若△MAB的面积的最大值为6，求抛物线的方程.10、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点(,0)F c -是长轴的一个四等分点，点A 、B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且不与y 轴垂直的直线l 交椭圆于C 、D 两点，记直线AD 、BC 的斜率分别为12,.k k（1）当点D 到两焦点的距离之和为4，直线l x ⊥轴时，求12:k k 的值； （2）求12:k k 的值.11、在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为，其焦点在圆x 2+y 2=1上．(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B ，M 是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使cos sin OM OA OB θθ=+u u u u r u u u r u u u r ． (i)求证：直线OA 与OB 的斜率之积为定值；(ii)求OA 2+OB 2．12、已知圆22222251:(,:(1616M x y M N x y +=+=的圆心为圆的圆心为N ，一动圆与圆M 内切，与圆N 外切.（Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹方程；（Ⅱ）（Ⅰ）中轨迹上是否存在一点Q ，使得MQN ∠为钝角？若存在，求出Q 点横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．13、已知点F 是椭圆)0(11222>=++a y a x 的右焦点，点(,0)M m 、(0,)N n 分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足0=⋅．若点P 满足OM +=2．(Ⅰ)求点P 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A 、B 两点，直线OA 、OB 与直线a x -=分别交于点S 、T （O 为坐标原点），试判断FS FT ⋅u u u r u u u r是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．14、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆B ：22(1)16x y -+=与点(1,0)A -，P 为圆B 上的动点，线段PA 的垂直平分线交直线PB 于点R ，点R 的轨迹记为曲线C. （1）求曲线C 的方程；（2）曲线C 与x 轴正半轴交点记为Q ，过原点O 且不与x 轴重合的直线与曲线C 的交点记为M ，N ，连结QM ，QN ，分别交直线(x t t =为常数，且2x ≠）于点E ，F ，设E ，F 的纵坐标分别为12,y y ，求12y y ⋅的值（用t 表示）.答案：1、解：（1）根据椭圆的几何性质，线段F 1F 2与线段B 1B 2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心 …………………1分 故该椭圆中,22c b a ==即椭圆方程可为22222b y x =+ ………3分设H （x,y ）为椭圆上一点，则b y b b y y x HN ≤≤-+++-=-+=其中,182)3()3(||22222…………… 4分若30<<b ，则2||,HN b y 时-=有最大值962++b b …………………5分由25350962±-==++b b b 得（舍去）(或b 2+3b+9<27,故无解)…………… 6分若182||,3,322+-=≥b HN y b 有最大值时当…………………7分由165018222==+b b 得∴所求椭圆方程为1163222=+y x ………………… 8分（1） 设),(),,(),,(002211y x Q y x F y x E ，则由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+116321163222222121y x y x 两式相减得200=+ky x ……③又直线PQ ⊥直线m ∴直线PQ 方程为331+=x k y将点Q （0,y x ）代入上式得，33100+-=x k y ……④…………………11分由③④得Q （33,332-k ）…………………12分 而Q 点必在椭圆内部116322020<+∴y x ，由此得29400294,0,2472<<<<-∴≠<k k k k 或又,故当 )294,0()0,294(⋃-∈k时，E 、F 两点关于点P 、Q 的直线对称 14分 2、解：（Ⅰ）l Q 与圆相切,1∴=221m k ∴=+ ……①由221y kx m x y =+⎧⎨-=⎩ , 得 222(1)2(1)0k x mkx m ---+=, 222222221221044(1)(1)4(1)80101k m k k m m k m x x k ⎧⎪-≠⎪⎪∴∆=+-+=+-=>⎨⎪+⎪⋅=<⎪-⎩ ,21,k ∴<11k ∴-<<,故k 的取值范围为(1,1)-.由于1221221mk x x x x k +=∴-===-， 201k ≤<Q ∴当20k =时，21x x -取最小值. 6分（Ⅱ）由已知可得12,A A 的坐标分别为(1,0),(1,0)-，121212,11y y k k x x ∴==+-， 121212(1)(1)y y k k x x ∴⋅=+-1212()()(1)(1)kx m kx m x x ++=+-2212121221()()1k x x mk x x m x x x x +++=+--2222212m mkk mk m +⋅-⋅+=22222222=22=由①，得 221m k -=，12(3k k ∴⋅==-+为定值. 12分3、解：（1） 24y x = 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，11(,)D x y -，l 的方程为1(0)x my m =-≠． （2）将1x my =-代人24y x =并整理得2440y my -+=， 从而 12124, 4.y y m y y +==直线BD 的方程为 212221()y y y y x x x x +-=⋅--，即 222214()4y y y x y y -=⋅--令120, 1.4y y y x ===得所以点(1,0)F 在直线BD 上（3）由①知，21212(1)(1)42x x my my m +=-+-=-1212(1)(1) 1.x x my my =--=因为 11(1,),FA x y =-uu r 22(1,)FB x y =-uu r， 212121212(1)(1)()1484FA FB x x y y x x x x m ⋅=--+=-+++=-u u r u u r故 28849m -=，解得 43m =±所以l 的方程为3430,3430x y x y ++=-+=又由①知 121643y y m +== 故1211161622233S KF y y ∆=•+=••=4、解：（I ）设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则2212491a ab =⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得216a =，212b =.所以椭圆的方程为2211612x y +=.…………………3分设直线AB 的方程为y kx t=+(依题意可知直线的斜率存在)，设1122(,),(,)A x yB x y ，则由2211612x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2223484480k xktx t +++-=,由∆>，得221216b k <+，122212283444834kt x x k t x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，设()00,T x y002243,3434kt tx y k k =-=++,易知00x ≠，由OT 与OP 斜率相等可得0032y x =，即12k =-， 所以椭圆的方程为2211612x y +=，直线AB 的斜率为12-.……………………6分（II ）设直线AB 的方程为12y x t=-+，即220x y t +-=，由2212 1.1612y x t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22120x tx t -+-=，224(12)0t t ∆=-->，44t -<<.………………8分12212,12.x x t x x t +=⎧⎨⋅=-⎩.||AB ===．点P 到直线AB的距离为d =于是PAB ∆的面积为12PAB S ∆==……………………10分设3()(4)(123)f t t t =-+，2'()12(4)(2)f t t t =--+，其中44t -<<. 在区间(2,4)-内，'()0f t <，()f t 是减函数；在区间(4,2)--内，'()0f t >，()f t 是增函数.所以()f t 的最大值为4(2)6f -=.于是PAB S ∆的最大值为18.…………………12分 5、解：（Ⅰ）由题意，212||22,(,0)F F c A a ==∴u u u u r -------1分 1222 AF AF F =∴u u u r u u u u rQ 为1AF 的中点------------2分2,322==∴b a即：椭圆方程为.12322=+y x ------------3分 （Ⅱ）当直线DE 与x 轴垂直时，342||2==a b DE ，此时322||==a MN ， 四边形DMEN 的面积||||42DE MN S ⋅==不符合题意故舍掉；------------4分 同理当MN 与x 轴垂直时，也有四边形DMEN 的面积不符合题意故舍掉； ------------5分当直线，MN 均与x 轴不垂直时，设DE :)1(+=x k y ，代入消去y 得：.0)63(6)32(2222=-+++k x k x k ------------6分设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+,3263,326),,(),,(222122212211k k x x k k x x y x E y x D 则 ------------7分所以 231344)(||222122121++⋅=-+=-k k x x x x x x ， ------------8分 所以 2221232)1(34||1||k k x x k DE ++=-+=， ------------9分同理222211)1]3(1)||.1323()2k k MN k k -++==+-+ ------------11分所以四边形的面积222232)11(3432)1(34212||||k k k k MN DE S ++⋅++⋅=⋅=13)1(6)21(242222++++=k k k k由22727S k k =⇒=⇒= ------------12分所以直线0DE l y -+=或0DE l y ++=或20DE l y -+=或20DE l y ++= ---------13分6、解：（Ⅰ）（ⅰ）由抛物线定义可知，抛物线上点(,2)M m 到焦点F 的距离与到准线距离相等，即(,2)M m 到2py =-的距离为3；∴ 232p-+=，解得2p =．∴ 抛物线P 的方程为24x y =． 4分（ⅱ）抛物线焦点(0,1)F ，抛物线准线与y 轴交点为(0,1)E -，显然过点E 的抛物线的切线斜率存在，设为k ，切线方程为1y kx =-．由241x yy kx ⎧=⎨=-⎩， 消y 得2440x kx -+=， 6分216160k ∆=-=，解得1k =±． 7分 ∴切线方程为1y x =±-． 8分（Ⅱ）直线l 的斜率显然存在，设l ：2p y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由222x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩ 消y 得2220x pkx p --=． 且0∆>． ∴122x x pk +=，212x x p ⋅=-；∵ 11(,)A x y ， ∴ 直线OA ：11y y xx =，与2p y =-联立可得11(,)22px p C y --， 同理得22(,)22px p D y --． 10分∵ 焦点(0,)2pF ， ∴ 11(,)2px FC p y =--u u u r ，22(,)2pxFD p y =--u u u r ， 12分∴ 1212(,)(,)22px px FC FD p p y y ⋅=--⋅--u u u r u u u r 22212121212224px px p x x p p y y y y =+=+2442221222212120422p x x p p p p p x x x x p p p =+=+=+=-∴ 以CD 为直径的圆过焦点F ． 14分7、解：（I ）由题意可得OP OM ⊥， 2分所以0OP OM ⋅=u u u r u u u u r，即(,)(,4)0x y x -= 4分即240x y -=，即动点P 的轨迹W 的方程为24x y = 5分（II ）设直线l 的方程为4y kx =-,1122(,),(,)A x yB x y ，则11'(,)A x y -.由244y kx x y =-⎧⎨=⎩消y 整理得24160x kx -+=， 6分 则216640k ∆=->，即||2k >. 7分12124,16x x k x x +==. 9分直线212221':()y y A B y y x x x x --=-+212221222212212222121222112()1()4()41444 y 44y y y x x y x x x x y x x x x x x x x x x y x x x x x x x -∴=-++-∴=-++--∴=-+-∴=+ 12分 即2144x x y x -=+所以，直线'A B 恒过定点(0,4). 13分8、解：（Ⅰ）因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为246+，所以24622+=+c a ， 1分又椭圆的离心率为，即c a =，所以c =， 2分所以3a =，c =分所以1b =，椭圆M 的方程为1922=+y x . 5分（Ⅱ）方法一：不妨设BC 的方程(3),(0)y n x n =->，则AC 的方程为)3(1--=x n y .由22(3),19y n x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得0196)91(2222=-+-+n x n x n ， 6分设),(11y x A ，),(22y x B ，因为222819391n x n -=+，所以19327222+-=n n x ， 7分 同理可得2219327n n x +-=， 8分 所以1961||22++=n n BC ，222961||n n n n AC ++=， 10分 964)1()1(2||||212+++==∆n n n n AC BC S ABC ， 12分 设21≥+=n n t ，则22236464899t S t t t ==≤++， 13分当且仅当38=t 时取等号，所以ABC ∆面积的最大值为83. 14分 方法二：不妨设直线AB 的方程x ky m =+.由22,1,9x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去x 得222(9)290k y kmy m +++-=， 6分 设),(11y x A ，),(22y x B ，则有12229kmy y k +=-+，212299m y y k -=+. ① 7分 因为以AB 为直径的圆过点C ，所以 0CA CB ⋅=u u u r u u u r. 由1122(3,),(3,)CA x y CB x y =-=-u u u r u u u r， 得 1212(3)(3)0x x y y --+=. 8分将1122,x ky m x ky m=+=+代入上式，得221212(1)(3)()(3)0k y y k m y y m ++-++-=.将 ① 代入上式，解得125m =或3m =（舍）. 10分 所以125m =（此时直线AB 经过定点12(,0)5D ，与椭圆有两个交点）， 所以121||||2ABC S DC y y ∆=-12==分设211,099t t k =<≤+，则ABC S ∆=所以当251(0,]2889t =∈时，ABC S ∆取得最大值83. 14分9、解：（1）不妨设221212,),(,)22y y A y B y p p（211222212,122MA MB AB y yk k y y p k y y p p-=-⇒+=-∴==--…………………………………5分（2）AB 的直线方程为：221111y-y (),022y y x x y y p p=--+--=即 点M 到AB的距离d =.………………………………………7分2121122112y AB x y y y p y p =-=-=+⋅-=+……… 9分又由122y y p +=-且[][]1211,0,2,0,,,y y y p p y t t p p ≤∈-+=∴∈-令23111y 422MABS p t t p ∆=⋅+=-……………………… 11分 设23()4f t p t t =-为偶函数，故只需考虑[]0,t p ∈，所以[]2322()4,()420,()0p f t p t t f t p t f t '=-=->在，上递增， 当t p =时，332max max 13()3()322MAB f t p S p p p ∆=∴=⋅= 23622p p ∴=⇒=. 故所求抛物线的方程为24y x =……………………13分 10、（Ⅰ）解：由题意椭圆的离心率12c e a ==，24a =，所以2,1,a c b ===故椭圆方程为22143x y +=， ┄┄┄┄┄┄3分 则直线:1l x =-，(2,0),(2,0)A B -，故33(1,),(1,)22C D ---或33(1,),(1,)22C D ---，当点C 在x 轴上方时，12333122,122122k k -==-==--+--， 所以12:3k k =，当点C 在x 轴下方时，同理可求得12:3k k =，综上，12:3k k =为所求． ┄┄┄┄┄┄6分(Ⅱ)解：因为12e =，所以2a c =，b =， 椭圆方程为2223412x y c +=,(2,0),(2,0)A c B c -,直线:l x my c =-，设1122(,),(,)C x y D x y ，由2223412,x y c x my c ⎧+=⎨=-⎩消x 得，222(43)690m y mcy c +--=，所以12222212222666,2(43)2(43)43669,2(43)2(43)43mc mc mc y y m m m mc mc c y y m m m ⎧++=+=⎪+++⎪⎨⎪⋅=⋅=-⎪+++⎩┄┄┄┄┄┄8分故121222222212121228()2,34412(),34c x x m y y c m c m c x x m y y mc y y c m ⎧+=+-=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=-++=⎪+⎩ ① 由121212(2)(2)k y x c k y x c -=+，及22233(2)(2)(4)44c x c x y c x -+=-=，┄┄9分得22221211212122222122121212(2)(2)(2)42()(2)(2)(2)42()k y x c c x c x c c x x x x c x c x k y x c c c x x x x ----++===++++++， 将①代入上式得22222222212222222222164124363434916412443434c c m c c k c m m k c c m c cc m m -++++===--+++，┄┄10分 注意到12120,20,20y y x c x c ⋅<-<+>，得121212(2)0(2)k y x c k y x c -=>+，┄┄11分 所以12:3k k =为所求． ┄┄┄┄┄┄12分11、解：(1)依题意，得 c =1．于是，ab =1． …………………2分 所以所求椭圆的方程为2212x y +=． ……………………………… 4分(2) (i)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221112x y +=①，222212x y +=②．又设M (x ，y )，因cos sin OM OA OB θθ=+u u u u r u u u r u u u r，故1212cos sin ,cos sin .x x x y y y θθθθ=+⎧⎨=+⎩ ……7分因M 在椭圆上，故221212(cos sin )(cos sin )12x x y y θθθθ+++=．整理得22222212121212()cos ()sin 2()cos sin 1222x x x x y y y y θθθθ+++++=．将①②代入上式，并注意cos sin 0θθ≠，得 121202x x y y +=．所以，121212OA OB y y k k x x ==-为定值． ………………………………10分(ii)2222222222121212121212()()(1)(1)1()222x x x x y y y y y y y y =-=⋅=--=-++，故22121y y +=． 又22221212()()222x x y y +++=，故22122x x +=． 所以，OA 2+OB 2=22221122x y x y +++=3． ………………………16分12、解: （Ⅰ）设动圆P 的半径为r,则151||,||44PM r PN r =-=+两式相加得|PM|+|PN|=4>|MN|由椭圆定义知，点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，焦距为23，实轴长为4的椭圆其方程为22141x y += …………6分（Ⅱ）假设存在，设Q （x,y ）.则因为MQN ∠为钝角，所以0QM QN ⋅<u u u u r u u u r(3,)QM x y =---u u u u r ，(3,)QN x y =--u u u r ，2230QM QN x y ⋅=+-<u u u u r u u u r又因为Q 点在椭圆上，所以22141x y +=联立两式得：221304x x +--<化简得：283x <， 解得：13、解：(Ⅰ) Θ椭圆)0(11222>=++a y a x 右焦点F 的坐标为(,0)a ， ………(1分)(,)NF a n ∴=-u u u r ．(,)MN m n =-u u u u rQ ，∴由0=⋅NF MN ，得02=+am n ． ………… (2分)设点P 的坐标为),(y x ，由PO ON OM +=2，有(,0)2(0,)(,)m n x y =+--，⎪⎩⎪⎨⎧=-=.2,y n x m 代入02=+am n ，得ax y 42=． ……… (4分)（Ⅱ）解法一：设直线AB 的方程为x ty a =+，211(,)4y A y a 、222(,)4y B y a ，则x y a y l OA 14:=，xy ay l OB 24:=． ………… (5分)由⎪⎩⎪⎨⎧-==a x x y a y ,41，得214(,)a S a y --， 同理得224(,)a T a y --． ………… (7分)214(2,)a FS a y ∴=--u u u r ，224(2,)a FT a y =--u u u r ，则4212164a FS FT a y y ⋅=+u u u r u u u r ． ……(8分)由⎩⎨⎧=+=ax y a ty x 4,2，得04422=--a aty y ，2124y y a ∴=-． ……… (9分)则044)4(16422242=-=-+=⋅a a a a a ． …………… (11分)因此，FS FT ⋅u u u r u u u r的值是定值，且定值为0． ……… (12分)解法二：①当AB x⊥时， (,2)A a a 、(,2)B a a -，则:2OA l y x =， :2OB l y x =-．由2,y x x a =⎧⎨=-⎩得点S 的坐标为(,2)S a a --，则(2,2)FS a a =--u u u r ． 由2,y x x a =-⎧⎨=-⎩ 得点T 的坐标为(,2)T a a -，则(2,2)FT a a =-u u u r ． (2)(2)(2)20FS FT a a a a ∴⋅=-⨯-+-⨯=u u u r u u u r． …………… (6分)②当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为()(0)y k x a k =-≠，),4(121y a y A 、),4(222y a yB ，同解法一，得4212164a FS FT a y y ⋅=+u u u r u u u r ． … (8分)由2(),4y k x a y ax =-⎧⎨=⎩，得22440ky ay ka --=，2124y y a ∴=-． …………(9分)则044)4(16422242=-=-+=⋅a a a a a ． ………… (11分)因此，FS FT ⋅u u u r u u u r的值是定值，且定值为0． ………… (12分)，所以存在.…… 13分14、解：(1)连接RA ，由题意得，RA RP =，4RP RB +=，所以42RA RB AB +=>=，…………………………………………………2分由椭圆定义得，点R 的轨迹方程是22143x y +=.……………………………4分(2)设M 00(,)x y ，则00(,)N x y --，,QM QN 的斜率分别为,QM QN k k，则002QM y k x =-，002NQ y k x =+，……………………………………………6分所以直线QM 的方程为00(2)2y y x x =--，直线QN 的方程00(2)2y y x x =-+，8分 令(2)x t t =≠，则001200(2),(2)22y y y t y t x x =-=--+，……………………10分又因为00(,)x y 在椭圆2200143x y +=，所以2200334y x =-， 所以22202201222003(3)(2)34(2)(2)444x t y y y t t x x --⋅=-==----，其中t 为常数.…14分。
高中数学基础2000题真题——解析几何
4.(2006 天津 14)设直线 ax－y＋3＝0 与圆(x－1)2＋(y－2)2＝
4 相交于 A、B 两点，且弦 AB 的长为 2 3，则 a＝_______．
5.(2016 新课标Ⅰ15)设直线 y＝x＋2a 与圆 C：x2＋y2－2ay
－2＝0 相交于 A、B 两点，若|AB|＝2 3，则圆 C 的面积为
B 两点，则|AB|＝_________．
2.(2018 新课标Ⅰ15)直线 y＝x＋1 与圆 x2＋y2＋2y－3＝0 相
交于 A、B 两点，则|AB|＝_________．
3.(2004 福建 13)直线 x＋2y＝0 被曲线 x2＋y2－6x－2y－15
＝0 所截得的弦长等于_________．
＝1 相切，则圆 C 的方程是_______________． 8.(2018 天津 12)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)、(1， 1)、(2，0)的圆的方程是_______________． 9.(2015 新课标Ⅱ7)过三点 A(1，3)、B(4，2)、C(1，－7)的圆 交 y 轴于 M、N 两点，则|MN|＝________． 10.(2011 新课标 20.1)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 y＝x2 －6x＋1 与坐标轴的交点都在圆 C 上，则圆 C 的方程是_____． 11.(2006 天津 14)若半径为 1 的圆与 y 轴的正半轴和射线 y
《真题全刷》基础 2000 题
解析几何
考点 9－1：直线的平行与垂直
1.(2009 上海 15)已知直线 l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0 与 l2： 2(k－3)x－2y＋3＝0 平行，则 k=________．
2.(2001 上海 13)a＝3 是直线 ax＋2y＋3a＝0 和直线 3x＋(a
高中数学解析几何深度练习题及答案
高中数学解析几何深度练习题及答案1. 平面几何题目一：已知平面上三点A(1, -2)，B(3, 4)，C(7, 1)，求证：三角形ABC为等腰三角形。
解答：首先计算AB、AC、BC的长度，分别利用两点之间的距离公式：AB = √[(3-1)^2 + (4-(-2))^2] = √[4 + 36] = √40AC = √[(7-1)^2 + (1-(-2))^2] = √[36 + 9] = √45BC = √[(7-3)^2 + (1-4)^2] = √[16 + 9] = √25由于AB的平方等于BC的平方，即AB^2 = BC^2，可以得出AB = BC。
因此，三角形ABC为等腰三角形。
题目二：已知平面上直线L1过点A(2, -1)，斜率为k，与直线L2：3x + ky + 5 = 0 互相垂直，求k的值。
解答：首先计算直线L2的斜率：L2: 3x + ky + 5 = 0化简得：ky = -3x - 5因此，L2的斜率k2为 -3/k。
由于L1与L2互相垂直，根据垂直直线的特性可知斜率k1与k2之积为 -1。
即 k * (-3/k) = -1。
解上述方程可以得出：k^2 = 3，因此k的两个解为k = √3 和 k = -√3。
题目三：已知直线L1：4x + 3y - 2 = 0 与直线L2垂直，并且直线L2通过点A(5,-1)，求直线L2的方程式。
解答：由于L1与L2垂直，它们的斜率之积为 -1。
L1的斜率为 -4/3，所以L2的斜率为 3/4。
通过点斜式可以得到L2的方程式：y - (-1) = (3/4)(x - 5)化简得到：y = (3/4)x + 2因此，直线L2的方程式为：y = (3/4)x + 2。
2. 空间几何题目一：已知直线L1：x = 3 - 2t，y = 5 + 3t，z = -1 + 4t，求直线L1的参数方程。
解答：直线的参数方程为x = x0 + at，y = y0 + bt，z = z0 + ct，其中(a, b, c)为直线的方向向量。
高中数学解析几何大题专项练习
高中数学解析几何大题专项练习1、已知椭圆G：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 (a>b>0)的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知F1、F2、B1、B2四点共圆，且点N（x,y）到椭圆上的点最远距离为52.1）求此时椭圆G的方程；2）设斜率为k（k≠0）的直线m与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q为EF的中点，问E、F两点能否关于直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由。
2、已知双曲线x-y=1的左、右顶点分别为A1、A2，动直线l:y=kx+m与圆x+y=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1,y1)、P2(x2,y2)。
Ⅰ）求k的取值范围，并求x2-x1的最小值；Ⅱ）记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么，k1×k2是定值吗？证明你的结论。
3、已知抛物线C:y=ax^2的焦点为F，点K(-1,0)为直线l与抛物线C准线的交点，直线l与抛物线C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D。
1）求抛物线C的方程。
2）证明：点F在直线BD上；3）设FA×FB=9，求△BDK的面积。
4、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为1/2，中点T在直线OP上，且A、O、B三点不共线。
I)求椭圆的方程及直线AB的斜率；Ⅱ)求△PAB面积的最大值。
5、设椭圆(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 (a>b>0)的焦点分别为F1(-1,0)、F2(1,0)，直线l:x=a(b^2/a)交x轴于点A，且AF1=2AF2.Ⅰ）试求椭圆的方程；Ⅱ）过F1、F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E（如图所示），若四边形DMENE的面积为27，求DE 的直线方程。
6、已知抛物线P：x^2=2py(p>0)。
Ⅰ）若抛物线上点M(m,2)到焦点F的距离为3.ⅰ）求抛物线P的方程；ⅱ）设抛物线P的准线与y轴的交点为E，过E作抛物线P的切线，求此切线方程；Ⅱ）设过焦点F的动直线l交抛物线于A、B两点，连接AO，BO并延长分别交抛物线的准线于C、D。
解析几何 高中数学试题解析版
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若椭圆x2+y2a =1(a>0)的离心率为√ 22，则a的值为( )A. 2B. 12C. 2或√ 22D. 2或12【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的性质的应用及分类讨论的思想，属于基础题．考虑a>1和0<a<1两种情况，根据离心率的公式计算得到答案．【解答】解：当a>1时，离心率为√ a−1√ a =√ 22，解得a=2；当0<a<1时，离心率为√ 1−a=√ 22，解得a=12．综上所述：a=2或a=12．故选：D2.把一个圆心角为120°的扇形卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥底面圆的半径与这个圆锥的高之比是( )A. 1∶4B. √ 2∶2C. √ 2∶√ 3D. √ 2∶4【答案】D【解析】【分析】本题考查圆锥的计算，理解圆锥的展开图中扇形的弧长等于圆锥的底面周长是关键．设母线为l，半径为r，利用圆锥的展开图中扇形的弧长等于圆锥的底面周长得到半径与母线的关系，再根据勾股地理得到高，从而可以得出结果．【解答】解：设圆锥的母线为l，底面半径为r，高为ℎ则扇形的弧长为120180π×l=23πl，由圆锥的展开图中扇形的弧长等于圆锥的底面周长，得2πr=23πl，则r=13l，再由勾股定理得ℎ=√ l2−r2=2√ 23l，故r ℎ=13l 2√ 23l =√ 24，故选D ．3.已知原点到直线l 的距离为1，圆(x −2)2+(y −√ 5)2=4与直线l 相切，则满足条件的直线l 有 ( ) A. 1条 B. 2条C. 3条D. 4条【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查点到直线的距离，圆与圆位置关系，先求出两圆的圆心和半径，判断两个圆的位置关系，从而确定公切线的直线条数． 【解答】解：∵(x −2)2+(y −√ 5 )2=4， ∴圆心坐标(2,√ 5)，半径为2， ∵以坐标原点为圆心，以1为半径， ∴圆方程x 2+y 2=1， ∴两圆圆心距√ 5+22=3， ∴两圆相外切，∴两圆有三条公切线，(两条外公切线，一条内公切线)． 故选C ．4.已知PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,−3)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,3)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(7,6,λ)，若P ，A ，B ，C 四点共面，则λ=( ) A. 9 B. −9C. −3D. 3【答案】B 【解析】【分析】由共面向量定理得PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而(7,6,λ)=x(2,1,−3)+y(−1,2,3)，由此能求出λ的值． 本题考查实数值的求法，考查共面向量定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 【解答】解：∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,−3)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,3)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(7,6,λ)， P ，A ，B ，C 四点共面，∴存在一对实数x ，y ，PC⃗⃗⃗⃗⃗ =x PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(7,6,λ)=x(2,1,−3)+y(−1,2,3)，∴{7=2x−y6=x+2yλ=−3x+3y，解得λ=−9．故选：B．5.已知点A为圆(x+3)2+(y−2)2=1上的动点，点B的坐标为(1,1)，P为x轴上一动点，则|AP|+|BP|的最小值是( )A. 3B. 4C. 5D.6【答案】B【解析】【分析】本题考查到圆上点的距离的最值及点关于线的对称点的求法，属于拔高题．根据三角形三边关系以及两点间距离公式求解即可．【解答】解：设圆心M(−3,2)，半径为1，B关于x轴的对称点B1(1,−1)，连接MB1交x轴于N点，则N即是P，因为这时|NB|=|NB1|，|NB|+|MN|=|MB1|，当P在x轴的其它位置F时，|FB|=|FB1|，借助图形可得|FB|+|FM|>|MB1|(三角形的两边和大于第三边)，所以|AP|+|BP|的最小值是为|MB1|−1=√ 42+32−1=5−1=4，此时A为线段MB1与圆的交点．故选B.6.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点，若AB的中点坐标为(1,−1)，则E的方程为( )A. x245+y236=1 B. x236+y227=1 C. x227+y218=1 D. x218+y29=1【答案】D【解析】【分析】本题考查求椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入椭圆的方程，两式相减，根据线段AB的中点坐标为(1,−1)，进而可得a，b的关系，根据右焦点为F(3,0)，求出a，b的值，即可得出椭圆的方程．【解答】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，代入椭圆方程得{x 12a 2+y 12b 2=1x 22a 2+y 22b2=1， 相减得x 12−x 22a 2+y 12−y 22b2=0， ∴x 1+x 2a 2+y 1−y 2x 1−x 2⋅y 1+y 2b2=0，∵x 1+x 2=2，y 1+y 2=−2，k AB =y 1−y2x 1−x 2=−1−01−3=12，∴2a 2+12×−2b2=0，化为a 2=2b 2，又c =3=√ a 2−b 2，解得a 2=18，b 2=9． ∴椭圆E 的方程为x 218+y 29=1．故选D ．7.已知圆C:x 2+y 2=1，直线l:x +y +2=0，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 过定点 ( ) A. (−12,−12)B. (−1,−1)C. (−12,12)D. (12,−12)【答案】A 【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆方程的综合应用，属于中档题．根据题意，设P 的坐标为(t,−2−t)，由圆的切线性质可得PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，则有点A 、B 在以PC 为直径的圆上，求出该圆的方程，与圆C 的方程联立可得直线AB 的方程，将其变形分析可得答案． 【解答】解：根据题意，P 为直线l ：x +y +2=0上的动点，设P 的坐标为(t,−2−t)， 过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA ⊥AC ，PB ⊥BC ， 则点A 、B 在以PC 为直径的圆上，又由C(0,0)，P(t,−2−t)，则以PC 为直径的圆的方程为x(x −t)+y(y +2+t)=0， 变形可得：x 2+y 2−tx +(t +2)y =0，则有{x 2+y 2=1x 2+y 2−tx +(t +2)y =0，联立可得：1−tx +(t +2)y =0，变形可得：1+2y −t(x −y)=0， 即直线AB 的方程为1+2y −t(x −y)=0，则有{1+2y =0x −y =0，解可得{x =−12y =−12，故直线AB 过定点(−12,−12)， 故选：A ．8.已知F 1，F 2是椭圆与x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，过左焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，且满足|AF 1|=2|BF 1|，|AB|=|BF 2|，则该椭圆的离心率是( ) A. 12B. √ 33C. √ 32D. √ 53【答案】B 【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，属于中档题． 利用已知条件，画出图形，通过三角形的边长关系，结合余弦定理，求解椭圆的离心率即可． 【解答】解：作出图形，如下：由题意可得：|F 1B|+|BF 2|=2a ，|AB|=|BF 2|，可得|AF 1|=a ，|AF 2|=a ，|AB|=|BF 2|=32a ，|F 1F 2|=2c ， 在△ABF 2中，由余弦定理得cos∠BAF 2=94a 2+a 2−94a 22×32a×a=13，在△AF 1F 2中，由余弦定理得cos∠BAF 2=a 2+a 2−4c 22×a×a =1−2(c a)2，所以13=1−2(ca )2，即e =c a =√ 33． 故选：B ．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
高中数学解析几何练习题
⾼中数学解析⼏何练习题解析⼏何练习题⼀选择题1.椭圆181622=+y x 的离⼼率为（） A.31 B. 21 C. 33 D. 22 2.已知抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，则p 的值为（）A.12B.1C.2D.4 3.设抛物线的顶点在原点，准线⽅程为2x =-，则抛物线的⽅程是( ) A 28y x =- B 28y x = C 24y x =- D 24y x =4.双曲线13622=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r=( ) A 3 B 2 C 3 D65.已知直线)0)(2(>+=k x k y 与抛物线C:x y 82=相交A 、B 两点，F 为C 的焦点。
若FB FA 2=,则k= A.31 B 32 C 32 D 322 6中⼼在原点，焦点在x 轴上的双曲线的⼀条渐近线经过点（4,2），则它的离⼼率为（）7过点)0,1(且与直线022=--y x 平⾏的直线⽅程是（）A 012=--y xB 012=+-y xC 022=-+y xD 012=-+y x8若圆⼼在x O 位于y 轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O 的⽅程是（）A 22(5x y +=C 22(5)5x y -+=D 22(5)5x y ++=9若直线01-+-y x 与圆2)(22=+-y a x 有公共点，则实数a 取值范围是（）A [-3 ，-1 ] B[ -1 ， 3 ] C [ -3 ，1 ] D （- ∞ ，-3 ] U [1 ，+ ∞ ）10若⼀个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离⼼率是A 45B 35C 25D 1511.若点O 和点F 分别为椭圆3422y x +的中⼼和左焦点，点P 为椭圆上点的任意⼀点，则?的最⼤值为A.2B.3C.6D.812已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB ? 的最⼩值为（）A 4-B 3-+C 4-+D 3-+13已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线⽅程为（）A 1x =B 1x =-C 2x =14设圆C 与圆x 2+（y-3）2=1外切，与直线y =0相切，则C 的圆⼼轨迹为A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆15已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB的中点到y 轴的距离为（） A 34 B 1 C 54 D 7416已知椭圆22122:1x y C a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点C 2的⼀条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于,A B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则（）A 2a =132B 2a =13C 2b =12D 2b =2 17.在平⾯直⾓坐标系xoy 中，直线0543=-+y x 与圆422=+y x 相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于A. B. D.118.椭圆)0(,12222>>=+b a by a x 的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2。
高中数学解析几何测试题(答案版)
解析几何练习题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行，则实数a 等于（ ）A 、12B 、12- C 、13D 、13-3．若直线32:1+=x y l ，直线2l 与1l 关于直线x y -=对称，则直线2l 的斜率为 （ ）A ．21B ．21- C ．2 D ．2- 4.在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0，0)，A(1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)5.直线02032=+-=+-y x y x 关于直线对称的直线方程是 （ ） A ．032=+-y xB ．032=--y xC ．210x y ++=D ．210x y +-=6.若直线()1:4l y k x =-与直线2l 关于点)1,2(对称，则直线2l 恒过定点( )A ．0,4B ．0,2C ．2,4D ．4,27．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距为31，则m ，n 的值分别为A.4和3B.-4和3C.- 4和-3D.4和-3 8．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（ ） A 相切 B 直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离 9．圆x 2+y 2－2y －1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是（ ）A.（x －2)2+(y+3)2=12B.（x －2)2+(y+3)2=2C.（x ＋2)2+(y －3)2=12D.（x ＋2)2+(y －3)2=210．已知点(,)P x y 在直线23x y +=上移动，当24x y +取得最小值时，过点(,)P x y 引圆22111()()242x y -++=的切线，则此切线段的长度为( )A ．2B ．32C ．12D ．211．经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则弦AB 所在直线方程为（ ） A ．50x y --=B ．50x y -+=C ．50x y ++=D ．50x y +-=12．直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M,N 两点，若MN ≥则k 的取值范围是（ ）A. 304⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B.[]304⎡⎤-∞-+∞⎢⎥⎣⎦，，C. ⎡⎢⎣⎦ D. 203⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 二填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.）13.已知点()1,1A -，点()3,5B ，点P 是直线y x =上动点，当||||PA PB +的值最小时，点P 的坐标是 。
高中数学解析几何典型例题
高三数学单元测试—解析几何注意事项：1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟。
2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。
考试结束，试题和答题卡一并收回。
3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD ）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案。
第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。
1．已知椭圆的离心率为21，焦点是(-3,0)，(3,0)，则椭圆方程为 （ ）A ．1273622=+y x B ．1273622=-y x C ．1362722=+y x D ．1362722=-y x 2．当a 为任意实数时，直线024)32(=+-++a y x a 恒过定点P ，则过点P 的抛物线的标 准方程是（ ）A ．y x 322=或x y 212-= B ．y x 322-=或x y 212=C ．x y 322=或y x 212-=D ．x y 322-=或y x 212=3．设双曲线x 2 –y 2=1的两条渐近线与直线围成的三角形区域（包含边界）为E,P(x,y) 为该区域内的一个动点，则目标函数y x z 23-=的取值范围为（ ）A ．[22,0] B ．[223,22] C ．[225,22] D ． [225,0] 4．短轴长为2，离心率e=3的双曲线两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交双曲线于A 、B 两点， 且|AB|=8,则△ABF 2的周长为 （ ） A ．3 B ．6 C ．12 D ．245．已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B 两点，若△ ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 （ ）A ．3B ．3C ．2D ．26．如果AC ＜0,且BC ＜0,那么直线Ax+By+C=0不通过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知抛物线mx 2=2(0)y nx n = <(0<m )与椭圆n y x 229+=1有一个相同的焦点，则动点),(n m 的轨 迹是（ ）A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分D ．直线的一部分 8．如图，在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为正三角形，底面为正方 形，侧面PAD 与底面ABCD 垂直，M 为底面内的一个动点，且满 足MP=MC ，则动点M 的轨迹为 （ ） A ．椭圆 B ．抛物线 C ．双曲线 D ．直线9．若直线mx- ny = 4与⊙O: x 2+y 2= 4没有交点，则过点P(m,n)的直线与椭圆22194x y +=的 交点个数是（ ）A ．至多为1B ．2C ．1D ．010．若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的渐近线方程是 （ ）A ．20x y ±=B ．20x y ±=C ．30x ±=D 30x y ±=11．过点P(x,y)的直线分别与x 轴和y 轴的正半轴交于A,B 两点,点Q 与点P 关于y 轴对称，O为坐标原点，若2BP PA =且OQ AB ⋅=1，则点P 的轨迹方程是 （ ） A ．22331(0,0)2x y x y +=>> B ．22331(0,0)2x y x y -=>>C ．22331(0,0)2x y x y -=>> D ．22331(0,0)2x y x y +=>> 12．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是 （ ） A ．4a B ．2()a c - C ．2()a c + D ．以上答案均有可能第Ⅱ卷二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。
历年全国高中数学联赛《解析几何》专题真题汇编
历年全国高中数学联赛《解析几何》专题真题汇编1、已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是 （ C ）(A) 33 (B) 233 (C) 33 (D) 633、若实数x, y 满足(x+5)2+(y12)2=142，则x 2+y 2的最小值为( )(A) 2 (B) 1 (C) 3 (D)2 【答案】B【解析】利用圆的知识结合数形结合分析解答，22x y +表示圆上的点（x,y ）到原点的距离。
4、直线134=+yx 椭圆191622=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有( )(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个【答案】B5、设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y +b=0和曲线bx 2+ay 2=ab 的图形是（ ）【答案】B6、过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于点P ，则线段PF 的长等于（ ） (A)163 (B) 83 (C) 1633 (D) 8 3 【答案】A【解析】抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB 所在直线方程为y=3x ，弦的中点yxO Ox yO xyyx O A. B. C.D.在y=pk =43上，即AB中点为(43，43)，中垂线方程为y=－33(x－43)+43，令y=0，得点P的坐标为163．∴PF=163．选A．7、已知M={(x，y)|x2+2y2=3}，N={(x，y)|y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M∩N≠∅，则b的取值范围是( )A．[－62，62] B．(－62，62) C．(－233，233] D．[－233，233] 【答案】A【解析】点(0，b)在椭圆内或椭圆上，⇒2b2≤3，⇒b∈[－62，62]．选A．8、方程13cos2cos3sin2sin22=-+-yx表示的曲线是（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线【答案】C9、设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是（）【答案】A【解析】设圆O1和圆O2的半径分别是r1、r2，|O1O2|=2c，则一般地，圆P的圆心轨迹是焦点为O1、O2，且离心率分别是212rrc+和||221rrc-的圆锥曲线（当r1=r2时，O1O2的中垂线是轨迹的一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆）。
高中数学解析几何复习题(圆、椭圆)
解析几何复习题（圆、椭圆）姓名： 班级：1． 已知一个圆与y 轴相切，在直线y x =截得的弦长为1l ：30x y -=上，求此圆的方程。
2． 求圆c ：22(1)(2)5x y ++-=关于点（3，4）对称的圆的方程。
3． 若点00(,)M x y 在圆222x y r +=的内部，则直线200:l x x y y r +=与圆的位置关系怎样。
4． 点M 为22:(1)(2)4c x y -+-=的点，求M 到直线:210l x y -+=的最值。
5． 已知集合22{(,)|4,}M x y x y x o =+=≥，{(,)|}N x y y x b ==+且M N ⋂≠∅，求b 的取值范围。
6． 求经过点P （2，3）与圆224x y +=相切的切线的方程。
7． 已知221:9945140o x y x +-+=，222:993610o x y x +--=的交点为A 、B ，求AB 垂直平分线的方程。
8． 若(,)p x y 是圆22(3)(3)1x y -+-=上的动点，求y x，23x y +，22x y +的最值。
9． 椭圆2244x y +=上一点P 到其左焦点的距离为72，求P 到右准线的距离。
10．已知椭圆22:14x c y +=，求椭圆C 关于直线:30l x y --=成轴对称的椭圆'c 的方程。
11．已知一直线与椭圆224936x y +=相交于A 、B 两点，弦AB 的中点为M （1，1），求AB 的方程。
12．求椭圆221164x y +=上的点P 到直线:20l x y +=的距离的最大值及此时P 点的坐标。
13．椭圆2214924x y +=上有一点M ，与两焦点12F F 、满足12MF MF ⊥，求12MF F S △。
14．椭圆221259x y +=上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，O 是原点，求||ON 。
15．以椭圆的焦点弦为直径的圆与相应的准线的位置关系如何？16．若椭圆22149x y m +=+的一条准线为92y =-，求m 的值。
全国高考数学解析几何大题精选50题(完美编辑、含答案、知识卡片)
20．（2018•江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 过点（
），焦点 F1
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（﹣ ，0），F2（ ，0），圆 O 的直径为 F1F2． （1）求椭圆 C 及圆 O 的方程； （2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P． ①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标； ②直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点．若△OAB 的面积为 ，求直线 l 的方程．
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线型道路 PB，QA，规划要求：线段 PB，QA 上的所有点到点 O 的距离均不．小．于．圆 O 的半径．已知点 A，B 到直线 l 的距离分别为 AC 和 BD（C，D 为垂足），测得 AB ＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）． （1）若道路 PB 与桥 AB 垂直，求道路 PB 的长； （2）在规划要求下，P 和 Q 中能否有一个点选在 D 处？并说明理由； （3）在规划要求下，若道路 PB 和 QA 的长度均为 d（单位：百米），求当 d 最小时， P、Q 两点间的距离．
点的圆． （1）求 C 的轨迹方程； （2）动点 P 在 C 上运动，M 满足
＝2 ，求 M 的轨迹方程．
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18．（2018•浙江）如图，已知点 P 是 y 轴左侧（不含 y 轴）一点，抛物线 C：y2＝4x 上 存在不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上． （Ⅰ）设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴；
22．（2018•上海）设常数 t＞2．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F（2，0），直线 l： x＝t，曲线Γ：y2＝8x（0≤x≤t，y≥0）．l 与 x 轴交于点 A、与Γ交于点 B．P、Q 分别是曲线Γ与线段 AB 上的动点． （1）用 t 表示点 B 到点 F 的距离； （2）设 t＝3，|FQ|＝2，线段 OQ 的中点在直线 FP 上，求△AQP 的面积； （3）设 t＝8，是否存在以 FP、FQ 为邻边的矩形 FPEQ，使得点 E 在Γ上？若存在， 求点 P 的坐标；若不存在，说明理由．
高二数学解析几何练习题及答案
高二数学解析几何练习题及答案解析几何是高中数学的重要内容之一，是数学中的一个分支，它主要研究几何图形的性质及其相互之间的关系。
对于高二学生来说，解析几何练习题的掌握与理解是非常关键的。
下面将介绍一些高二数学解析几何的典型练习题及其答案，希望能够帮助到广大学生。
练习题一：已知点A(3,4)，B(7,8)，C(5,2)，D(x,y)为AB的中点，求点D的坐标。
解答：若D为AB的中点，则有以下关系：x = (x1 + x2)/2y = (y1 + y2)/2带入坐标值可得：x = (3 + 7)/2 = 5y = (4 + 8)/2 = 6因此，点D的坐标为(5,6)。
练习题二：已知直线L过点A(2,3)，B(5,7)，求直线L的斜率和方程。
解答：直线的斜率可以通过两点间的坐标差来计算，即：斜率 k = (y2 - y1)/(x2 - x1)带入坐标值可得：k = (7 - 3)/(5 - 2) = 4/3直线经过点A(2,3)，可以得到直线的方程为：y - y1 = k(x - x1)y - 3 = (4/3)(x - 2)3y - 9 = 4x - 84x - 3y = 1因此，直线L的斜率为4/3，方程为4x - 3y = 1。
练习题三：已知点A(3,4)，B(7,8)，C(5,2)，判断三角形ABC是否为等腰三角形。
解答：要判断三角形ABC是否为等腰三角形，需要比较两边的长度是否相等。
我们可以利用两点间的距离公式来计算各边的长度。
已知点A(3,4)，B(7,8)，C(5,2)，则有：AB的长度为：√[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2] = √[(7 - 3)^2 + (8 - 4)^2] = √32AC的长度为：√[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2] = √[(5 - 3)^2 + (2 - 4)^2] = √8BC的长度为：√[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2] = √[(5 - 7)^2 + (2 - 8)^2] = √36因为√32≠√8≠√36，所以三角形ABC不是等腰三角形。
高中数学平面解析几何练习题(含解析)
高中数学平面解析几何练习题（含解析）一、单选题1．若曲线C ：2224100x y ax ay a ++--=表示圆，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()2,0- B ．()(),20,-∞-⋃+∞ C ．[]2,0-D ．(][),20,-∞-+∞2．过点1,2，且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是（ ） A ．24y x =B ．24y x =-C ．212=-x yD ．212x y =3．过 ()()1320A B --，，，两点的直线的倾斜角是（ ）A ．45︒B ．60︒C ．120D ．1354．已知()3,3,3A ，()6,6,6B ，O 为原点，则OA 与BO 的夹角是（ ） A ．0B ．πC ．π2D ．2π35．已知抛物线2:4C y x =与圆22:(1)4E x y -+=交于A ，B 两点，则||AB =（ ）A ．2B ．C ．4D ．6．已知抛物线2x my =焦点的坐标为(0,1)F ，P 为抛物线上的任意一点，(2,2)B ，则||||PB PF +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．1127．动点P ，Q 分别在抛物线24x y =和圆228130+-+=x y y 上，则||PQ 的最小值为（ ）A ．B C D 8．直线2360x y +-=关于点(1,1)对称的直线方程为（ ） A ．3220x y -+= B ．2370x y ++= C ．32120x y --=D ．2340x y +-=9．已知椭圆2222:1()0x c bb y a a +>>=的上顶点为A ，左､右焦点分别为12,F F ，连接2AF 并延长交椭圆C 于另一点B ，若12:7:3F B F B =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．14B ．13C ．12D 10．“1m =”是“直线1l ：()410m x my -++=与直线2l ：()220mx m y ++-=互相垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题11．直线2310x y -+=与5100x y +-=的夹角为________．12．已知圆:C 2220x y x ++=，若直线y kx =被圆C 截得的弦长为1，则k =_______. 13．过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为____________． 14．写出与圆221x y +=和圆()()224316x y -++=都相切的一条切线方程___________.三、解答题15．已知△ABC 底边两端点(0,6)B 、(0,6)C -，若这个三角形另外两边所在直线的斜率之积为49-，求点A 的轨迹方程．16．已知1F 、2F 是椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥．若12PF F △的面积为9，求实数b 的值．17．已知圆C ：22120x y Dx Ey +++-=关于直线x ＋2y －4＝0对称，且圆心在y 轴上，求圆C 的标准方程．18．已知椭圆C ：22142x y +=，()0,1A ，过点A 的动直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点.(1)求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；(2)是否存在常数，使得AP AQ OP OQ λ⋅+⋅为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.参考答案：1．B【分析】根据圆的一般式变形为标准式，进而可得参数范围. 【详解】由2224100x y ax ay a ++--=， 得()()2222510x a y a a a ++-=+， 由该曲线表示圆， 可知25100a a +>， 解得0a >或2a <-， 故选：B. 2．C【分析】设抛物线方程为2x my =，代入点的坐标，即可求出m 的值，即可得解； 【详解】解：依题意设抛物线方程为2x my =，因为抛物线过点1,2， 所以()212m =⨯-，解得12m =-，所以抛物线方程为212=-x y ；故选：C 3．D【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，结合直线倾斜角的范围即可得出结果. 【详解】由已知直线的斜率为 ()03tan 1018021k αα--===-≤<--，，所以倾斜角135α=． 故选：D. 4．B【分析】求出OA 和BO ，利用向量关系即可求出.【详解】因为()3,3,3A ，()6,6,6B ，则()3,3,3OA =，()6,6,6BO =---， 则3cos ,1OA BO OA BO OA BO⨯⋅<>===-⋅，所以OA 与BO 的夹角是π. 故选：B. 5．C【分析】先联立抛物线与圆求出A ，B 横坐标，再代入抛物线求出纵坐标即可求解.【详解】由对称性易得A ，B 横坐标相等且大于0，联立()222414y xx y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩得2230x x +-=，解得123,1x x =-=，则1A B x x ==，将1x =代入24y x =可得2y =±，则||4AB =. 故选：C. 6．A【分析】先根据焦点坐标求出m ，结合抛物线的定义可求答案. 【详解】因为抛物线2x my =焦点的坐标为()0,1，所以14m=，解得4m =． 记抛物线的准线为l ，作PN l ⊥于N ，作BAl 于A ，则由抛物线的定义得||||||||||3PB PF PB PN BA +=+=，当且仅当P 为BA 与抛物线的交点时，等号成立．故选：A. 7．B【分析】设2001,4P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，根据两点间距离公式，先求得P 到圆心的最小距离，根据圆的几何性质，即可得答案.【详解】设2001,4P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，圆化简为22(4)3x y +-=，即圆心为（0,4）所以点P 到圆心的距离d = 令20t x =，则0t ≥， 令21()1616f t t t =-+，0t ≥，为开口向上，对称轴为8t =的抛物线， 所以()f t 的最小值为()812f =，所以min d所以||PQ的最小值为min d =故选：B 8．D【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，,则其关于点()1,1对称的点的坐标为(2,2)x y --,代入已知直线即可求得结果.【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，,则其关于点()1,1对称的点的坐标为(2,2)x y --，以(2,2)x y --代换原直线方程中的(,)x y 得()()223260x y -+--=，即2340x y +-=.故选：D. 9．C【分析】根据椭圆的定义求得12,F B F B ，在1ABF 中，利用余弦定理求得22cos F AF ∠，在12AF F △中，再次利用余弦定理即可得解.【详解】解：由题意可得122F B F B a +=， 因为12:7:3F B F B =， 所以1273,55F B a F B a ==， 因为A 为椭圆的上顶点，所以12AF AF a ==，则85AB a =，在1ABF 中，22222211221644912525cos 82225a a a AF AB BF F AF AF ABa a +-+-∠===⨯⨯，在12AF F △中，122212121222cos F F AF AF A F A F A F F =+∠-， 即222224c a a a a =+-=，所以12c a =，即椭圆C 的离心率为12. 故选：C.10．A【分析】根据给定直线方程求出12l l ⊥的等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】依题意，12(4)(2)0l l m m m m ⊥⇔-++=，解得0m =或1m =，所以“1m =”是“直线1l ：()410m x my -++=与直线2l ：()220mx m y ++-=互相垂直”的充分不必要条件. 故选：A 11．4π##45︒ 【分析】根据直线方程可得各直线斜率，进而可得倾斜角之间的关系，从而得夹角. 【详解】直线2310x y -+=的斜率123k ，即倾斜角α满足2tan 3α=， 直线5100x y +-=的斜率215k =-，即倾斜角β满足1tan 5β=-，所以()12tan tan 53tan 1121tan tan 153βαβαβα----===-+⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭， 所以34βαπ-=，又两直线夹角的范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以两直线夹角为4π，故答案为：4π. 12．【分析】将圆C 一般方程化为标准方程，先求圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式即可解出k 的值.【详解】解：将2220x y x ++=化为标准式得()2211x y ++=，故半径为1；圆心()1,0-到直线y kx =，由弦长为1可得1=，解得k =故答案为：13．()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭． 【分析】方法一：设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；【详解】[方法一]：圆的一般方程依题意设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，（1）若过()0,0，()4,0，()1,1-，则01640110F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+-++=⎩，解得046F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22460x y x y +--=，即()()222313x y -+-=；（2）若过()0,0，()4,0，()4,2，则01640164420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得042F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22420x y x y +--=，即()()22215x y -+-=；（3）若过()0,0，()4,2，()1,1-，则0110164420F D E F D E F =⎧⎪+-++=⎨⎪++++=⎩，解得083143F D E ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以圆的方程为22814033x y x y +--=，即224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）若过()1,1-，()4,0，()4,2，则1101640164420D E F D F D E F +-++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得1651652F D E ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，所以圆的方程为2216162055x y x y +---=，即()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；故答案为：()()222313x y -+-=或 ()()22215x y -+-=或 224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭． [方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心） 设()()()()0,04,01,14,2A B C D -点，，，（1）若圆过、、A B C 三点，圆心在直线2x =，设圆心坐标为(2,)a ，则()224913,a a a r +=+-⇒===22(2)(3)13x y -+-=； （2）若圆过A B D 、、三点， 设圆心坐标为(2,)a，则2244(2)1,a a a r +=+-⇒==22(2)(1)5x y -+-=；（3）若圆过 A C D 、、三点，则线段AC 的中垂线方程为1y x =+，线段AD 的中垂线方程 为25y x =-+，联立得47,33x y r ==⇒，所以圆的方程为224765()()339x y -+-=；（4）若圆过B C D 、、三点，则线段BD 的中垂线方程为1y =， 线段BC 中垂线方程为57y x =-，联立得813,155x y r ==⇒=，所以圆的方程为()228169()1525x -y +-=． 故答案为：()()222313x y -+-=或 ()()22215x y -+-=或 224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭． 【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．14．1y =或247250x y ++=或4350x y --=【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得.【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1；圆()()224316x y -++=的圆心为()4,3C -，半径为4，圆心距为5OC =，所以两圆外切，如图，有三条切线123,,l l l ， 易得切线1l 的方程为1y =，因为3l OC ⊥，且34OC k =-，所以343l k =，设34:3l y x b =+，即4330x y b -+=，则()0,0O 到3l 的距离315b =，解得53b =（舍去）或53-，所以343:50x y l --=，可知1l 和2l 关于3:4OC y x =-对称，联立341y x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭在2l 上， 在1l 上任取一点()0,1，设其关于OC 的对称点为()00,x y ， 则0000132421314y x y x +⎧=-⨯⎪⎪⎨-⎛⎫⎪⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得002425725x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则27124252447253l k --==--+，所以直线2244:173l y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即247250x y ++=， 综上，切线方程为1y =或247250x y ++=或4350x y --=. 故答案为：1y =或247250x y ++=或4350x y --=.15．()22108136x y x +=≠【分析】设(,)A x y ，利用斜率的两点式列方程并整理可得轨迹方程，注意0x ≠. 【详解】设(,)A x y 且0x ≠，则22663649AB ACy y y k k x x x -+-=⋅==-， 整理得：A 的轨迹方程()22108136x y x +=≠. 16．3b =【分析】由题意以及椭圆的几何性质列方程即可求解. 【详解】因为12PF PF ⊥，所以1290F PF ∠=︒， 所以12F PF △为直角三角形，22212(2)PF PF c +=，122PF PF a +=， ()2221212122PF PF PF PF PF PF +=+-⋅，即()()221212242c a PF PF =-⨯⋅， 1212192F PF S PF PF =⋅=△， 所以2244490c a =-⨯=，所以2449b =⨯．所以3b =； 综上，b =3.17．22(2)16x y +-=. 【分析】由题设知圆心(,)22D EC --，且在已知直线和y 轴上，列方程求参数D 、E ，写出一般方程，进而可得其标准方程. 【详解】由题意知：圆心(,)22D EC --在直线x ＋2y －4＝0上，即－2D －E －4＝0. 又圆心C 在y 轴上，所以－2D＝0. 由以上两式得：D ＝0, E ＝－4，则224120x y y +--=， 故圆C 的标准方程为22(2)16x y +-=.18．(1)2211222x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ (2)存在，1λ=【分析】(1)①当直线l 存在斜率时，设()11,P x y 、()22,Q x y 、()00,M x y ，00x ≠，利用点差法求解； ②当直线l 不存在斜率时，易知()0,0M ，验证即可；（2）①当直线l 存在斜率时，设直线l 的方程为：1y kx =+，与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用数量积运算求解； ②当直线l 不存在斜率时，直线l 的方程为：0x =，易得(P、(0,Q ，验证即可.【详解】（1）解：①当直线l 存在斜率时，设()11,P x y 、()22,Q x y 、()00,M x y ，00x ≠，则应用点差法：22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式联立作差得：12121212()()()()042x x x x y y y y -+-++=， ∴()()()()121200121212121212002122PQ PQ PQ OM y y y y y y y y y y k k k k x x x x x x x x x x -+-+=⋅=⋅=⋅=⋅=--+-+， 又∵001PQ MA y k k x -==， ∴0000112y y x x -⋅=-，化简得22000220x y y +-=（00x ≠）， ②当直线l 不存在斜率时，()0,0M ，综上，无论直线是否有斜率，M 的轨迹方程为2211222x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；（2）①当直线l 存在斜率时，设直线l 的方程为：1y kx =+，联立221142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩并化简得：22(21)420k x kx ++-=，∴0∆>恒成立，∴122421k x x k +=-+，122221x x k ⋅=-+，又AP ()11,x k x =⋅，AQ ()22,x k x =⋅，OP ()11,1x k x =⋅+，OQ ()22,1x k x =⋅+，∴AP AQ OP OQ λ⋅+⋅()()()22121212111k x x k x x k x x λ=+⋅⋅++⋅⋅+++，()()()222222211222141212121k k k k k k λλλ-+++++=-+=-+++， 若使AP AQ OP OQ λ⋅+⋅为定值， 只需()222121λλ++=，即1λ=，其定值为3-， ②当直线l 不存在斜率时，直线l 的方程为：0x =，则有(P、(0,Q ， 又AP ()1=，AQ ()0,1=，OP (=，OQ (0,=， ∴2λλ⋅+⋅=--AP AQ OP OQ ，当1λ=时，AP AQ OP OQ λ⋅+⋅也为定值3-， 综上，无论直线是否有斜率，一定存在一个常数1λ=， 使AP AQ OP OQ λ⋅+⋅为定值3-.。
数学 解析几何 经典例题 附带答案
数学解析几何经典例题~一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．双曲线x 22－y 21＝1的焦点坐标是( ) A ．(1,0)，(－1,0) B ．(0,1)，(0，－1)C ．(3，0)，(－3，0)D ．(0，3)，(0，－3)解析： c 2＝a 2＋b 2＝2＋1，∴c ＝ 3.∴焦点为(3，0)，(－3，0)，选C.答案： C2．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线 x －ay ＝0互相垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： 当a ＝1时，直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0垂直成立；当直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0垂直时，a ＝1.所以“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0互相垂直”的充要条件．答案： C3．(2010·福建卷)以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＋2x ＝0B ．x 2＋y 2＋x ＝0C ．x 2＋y 2－x ＝0D ．x 2＋y 2－2x ＝0解析： 抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，故以(1,0)为圆心，且过坐标原点的圆的半径为r ＝12＋02＝1，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0，故选D.答案： D4．方程mx 2＋y 2＝1所表示的所有可能的曲线是( )A ．椭圆、双曲线、圆B ．椭圆、双曲线、抛物线C ．两条直线、椭圆、圆、双曲线D ．两条直线、椭圆、圆、双曲线、抛物线解析： 当m ＝1时，方程为x 2＋y 2＝1，表示圆；当m <0时，方程为y 2－(－m )x 2＝1，表示双曲线；当m >0且m ≠1时，方程表示椭圆；当m ＝0时，方程表示两条直线．答案： C5．直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π2所得的直线方程是( ) A ．－x ＋2y －4＝0 B ．x ＋2y －4＝0C ．－x ＋2y ＋4＝0D ．x ＋2y ＋4＝0解析： 由题意知所求直线与直线2x －y －2＝0垂直．又2x －y －2＝0与y 轴交点为(0，－2)．故所求直线方程为y ＋2＝－12(x －0)， 即x ＋2y ＋4＝0.答案： D6．直线x －2y －3＝0与圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E 、F 两点，则△ECF 的面积为( )A.32B.34C ．2 5 D.355解析： 圆心(2，－3)到EF 的距离d ＝|2＋6－3|5＝ 5. 又|EF |＝29－5＝4，∴S △ECF ＝12×4×5＝2 5. 答案： C 7．若点P (2,0)到双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C ．2 2D ．2 3解析： 由于双曲线渐近线方程为bx ±ay ＝0，故点P 到直线的距离d ＝2b a 2＋b2＝2⇒a ＝b ，即双曲线为等轴双曲线，故其离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 2.答案： A8．过点M (1,2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l 的方程是( )A ．x ＝1B ．y ＝1C ．x －y ＋1＝0D ．x －2y ＋3＝0解析： 由条件知M 点在圆内，故当劣弧最短时，l 应与圆心与M 点的连线垂直，设圆心为O ，则O (2,0)，∴k OM ＝2－01－2＝－2. ∴直线l 的斜率k ＝12， ∴l 的方程为y －2＝12(x －1)， 即x －2y ＋3＝0.答案： D9．已知a >b >0，e 1，e 2分别为圆锥曲线x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2－y 2b2＝1的离心率，则lg e 1＋lg e 2的值( )A ．大于0且小于1B ．大于1C ．小于0D ．等于0解析： 由题意，得e 1＝a 2－b 2a ，e 2＝a 2＋b 2a (a >b >0)， ∴e 1e 2＝a 4－b 4a 2＝1－b 4a4<1， ∴lg e 1＋lg e 2＝lg(e 1e 2)＝lga 4－b 4a 2<0. 答案： C10．已知A (－3,8)和B (2,2)，在x 轴上有一点M ，使得|AM |＋|BM |为最短，那么点M 的坐标为( )A ．(－1,0)B ．(1,0)C.⎝⎛⎭⎫225，0D.⎝⎛⎭⎫0，225 解析： 点B (2,2)关于x 轴的对称点为B ′(2，－2)，连接AB ′，易求得直线AB ′的方程为2x ＋y －2＝0，它与x 轴交点M (1,0)即为所求．答案： B11．已知椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为( )A.95B ．3 C.977 D.94解析： 设椭圆短轴的一个端点为M .由于a ＝4，b ＝3，∴c ＝7<b .∴∠F 1MF 2<90°，∴只能∠PF 1F 2＝90°或∠PF 2F 1＝90°.令x ＝±7得y 2＝9⎝⎛⎭⎫1－716＝9216， ∴|y |＝94. 即P 到x 轴的距离为94. 答案： D12．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若AF →＝FB →，BA →·BC →＝48，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝16xD ．y 2＝42x解析： 由AF →＝FB →及|AF →|＝|AC →|知在Rt △ACB 中，∠CBF ＝30°，|DF |＝p 2＋p 2＝p ， ∴AC ＝2p ，BC ＝23p ，BA →·BC →＝4p ·23p ·cos 30°＝48，∴p ＝2. 抛物线方程为y 2＝4x .答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线x 2－y 23＝1的右焦点重合，则p 的值为________． 解析： 双曲线x 2－y 23＝1的右焦点为(2,0)， 由题意，p 2＝2，∴p ＝4.答案： 414．两圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝r 2和(x －2)2＋(y ＋2)2＝R 2相交于P 、Q 两点，若点P 坐标为(1,2)，则点Q 的坐标为______．解析： ∵两圆的圆心分别为(－1,1)，(2，－2)，∴两圆连心线的方程为y ＝－x .∵两圆的连心线垂直平分公共弦，∴P (1,2)，Q 关于直线y ＝－x 对称，∴Q (－2，－1)．答案： (－2，－1)15．设M 是椭圆x 24＋y 23＝1上的动点，A 1和A 2分别是椭圆的左、右顶点，则MA 1→·MA 2→的最小值等于________．解析： 设M (x 0，y 0)，则MA 1→＝(－2－x 0，－y 0)，MA 2→＝(2－x 0，－y 0)⇒MA 1→·MA 2→＝x 20＋y 20－4＝x 20＋⎝⎛⎭⎫3－34x 20－4＝14x 20－1， 显然当x 0＝0时，MA 1→·MA 2→取最小值为－1.答案： －116．已知双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点为F 1、F 2，P 是双曲线右支上一点，且PF 1的中点在y 轴上，则△PF 1F 2的面积为________．解析： 如图，设PF 1的中点为M ，则MO ∥PF 2，故∠PF 2F 1＝90°.∵a ＝4，b ＝3，c ＝5，∴|F 1F 2|＝10，|PF 1|＝8＋|PF 2|.由|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2得(8＋|PF 2|)2＝|PF 2|2＋100，∴|PF 2|＝94，S △PF 1F 2＝12·|F 1F 2|·|PF 2|＝454. 答案： 454三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)双曲线的两条渐近线方程为x ＋y ＝0和x －y ＝0，直线2x －y －3＝0与双曲线交于A ，B 两点，若|AB |＝5，求此双曲线的方程．解析： ∵双曲线渐近线为x ±y ＝0，∴双曲线为等轴双曲线．设双曲线方程为x 2－y 2＝m (m ≠0)，直线与双曲线的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x 2－y 2＝m ， 得3x 2－12x ＋m ＋9＝0，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝m ＋93. 又|AB |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2＋[(2x 1－3)－(2x 2－3)]2＝(x 1－x 2)2＋4(x 1－x 2)2＝5(x 1－x 2)2＝5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]， ∴(5)2＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤42－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋93， 解得m ＝94. 故双曲线的方程为x 2－y 2＝94. 18．(12分)已知圆C 的方程为(x －m )2＋(y ＋m －4)2＝2.(1)求圆心C 的轨迹方程；(2)当|OC |最小时，求圆C 的一般方程(O 为坐标原点)．解析： (1)设C (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ，y ＝4－m .消去m ，得y ＝4－x ，∴圆心C 的轨迹方程为x ＋y －4＝0.(2)当|OC |最小时，OC 与直线x ＋y －4＝0垂直，∴直线OC 的方程为x －y ＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，x －y ＝0，得x ＝y ＝2. 即|OC |最小时，圆心的坐标为(2,2)，∴m ＝2.圆C 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.其一般方程为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0.19．(12分)(盐城市三星级高中20XX 届第一次联考)已知圆C 1的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝203，椭圆C 2的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且C 2的离心率为22，如果C 1、C 2相交于A 、B 两点，且线段AB 恰好为C 1的直径，求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程．解析： 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．A 、B 在椭圆上，∴b 2x 21＋a 2y 21＝a 2b 2，b 2x 22＋a 2y 22＝a 2b 2. ∴b 2(x 2＋x 1)(x 2－x 1)＋a 2(y 2＋y 1)(y 2－y 1)＝0.又线段AB 的中点是圆的圆心(2,1)，∴x 2＋x 1＝4，y 2＋y 1＝2，∴k AB ＝－b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－2b 2a 2， 椭圆的离心率为22，∴b 2a 2＝1－e 2＝12， k AB ＝－2b 2a2＝－1， 直线AB 的方程为y －1＝－1(x －2)，即x ＋y －3＝0.由(x －2)2＋(y －1)2＝203和x ＋y －3＝0得 A ⎝⎛⎭⎫2＋103，1－103. 代入椭圆方程得：a 2＝16，b 2＝8，∴椭圆方程为：x 216＋y 28＝1. 20．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e . (1)若半焦距c ＝22，且23、e 、43成等比数列，求椭圆C 的方程； (2)在(1)的条件下，直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴、y 轴分别交于M 、N 两点，P 是直线l 与椭圆C 的一个交点，且M P →＝λMN →，求λ的值；(3)若不考虑(1)，在(2)中，求证：λ＝1－e 2.【解析方法代码108001121】解析： (1)∵e 2＝23×43，∴e ＝223， ∴a ＝3，b ＝1，∴椭圆C 的方程为x 29＋y 2＝1. (2)设P (x ，y )，则⎩⎨⎧ y ＝223x ＋3x 29＋y 2＝1，解得P ⎝⎛⎭⎫－22，13. ∵M ⎝⎛⎭⎫－924，0，N (0,3)，M P →＝λMN →， ∴λ＝19. (3)证明：∵M 、N 的坐标分别为M ⎝⎛⎭⎫－a e ，0，N (0，a )， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝ex ＋ax 2a 2＋y 2b 2＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－cy ＝b 2a (其中c ＝a 2－b 2)，∴P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a . 由M P →＝λMN →得⎝⎛⎭⎫－c ＋a e ，b 2a ＝λ⎝⎛⎭⎫a e ，a ， ∴⎩⎨⎧ a e －c ＝λ·a eb 2a ＝λa ，∴ λ＝1－e 2. 21．(12分)设椭圆C ：x 2a 2＋y 22＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，A 是椭圆C 上的一点，且AF 2→·F 1F 2→＝0，坐标原点O 到直线AF 1的距离为13|OF 1|. (1)求椭圆C 的方程；(2)设Q 是椭圆C 上的一点，过Q 的直线l 交x 轴于点P (－1，0)，交y 轴于点M ，若M Q →＝2QP →，求直线l 的方程．解析： (1)由题设知F 1(－a 2－2，0)，F 2(a 2－2，0)，由于AF 2→·F 1F 2→＝0，则有AF 2→⊥F 1F 2→，所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2－2，±2a ， 故AF 1所在直线方程为y ＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫x a a 2－2＋1a ， 所以坐标原点O 到直线AF 1的距离为a 2－2a 2－1(a >2)， 又|OF 1|＝a 2－2，所以a 2－2a 2－1＝13a 2－2，解得a ＝2(a >2)，所求椭圆的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，则有M (0，k )，设Q (x 1，y 1)，由于M Q →＝2QP →，∴(x 1，y 1－k )＝2(－1－x 1，－y 1)，解得x 1＝－23，y 1＝k 3. 又Q 在椭圆C 上，得⎝⎛⎭⎫－2324＋⎝⎛⎭⎫k 322＝1， 解得k ＝±4，故直线l 的方程为y ＝4(x ＋1)或y ＝－4(x ＋1)，即4x －y ＋4＝0或4x ＋y ＋4＝0.22．(14分)已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1的一个焦点为F (0,22)，与两坐标轴正半轴分别交于A ，B 两点(如图)，向量A B →与向量m ＝(－1，2)共线．(1)求椭圆的方程；(2)若斜率为k 的直线过点C (0,2)，且与椭圆交于P ，Q 两点，求△POC 与△QOC 面积之比的取值范围．【解析方法代码108001122】解析： (1)y 216＋x 28＝1. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，且x 1<0，x 2>0.PQ 方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程并消去y ，得(2＋k 2)x 2＋4kx －12＝0，x 1＋x 2＝－4k 2＋k 2，① x 1x 2＝－122＋k 2.② 设S △QOC S △POC ＝|x 2||x 1|＝－x 2x 1＝λ，结合①②得 (1－λ)x 1＝－4k 2＋k 2，λx 21＝122＋k 2. 消去x 1得λ(1－λ)2＝34⎝⎛⎭⎫1＋2k 2>34，解不等式λ(1－λ)2>34，得13<λ<3. ∴△POC 与△QOC 面积之比的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，3.。
高中数学解析几何压轴题
高中数学解析几何压轴题一．选择题1．已知倾斜角α≠0的直线l过椭圆（a＞b＞0）的右焦点交椭圆于A、B两点，P为右准线上任意一点，则∠APB为（）A．钝角B．直角C．锐角D．都有可能2．已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线为l，一直线交双曲线于P．Q两点，交l于R点．则（）A．∠PFR＞∠QFR B ∠PFR=∠QFR C．∠PFR＜∠QFR D．∠PFR与∠AFR的大小不确定3．设椭圆的一个焦点为F，点P在y轴上，直线PF交椭圆于M、N，，则实数λ1+λ2=（）A．B．C．D．4．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C1的离心率为e，直线l与双曲线C1交于A，B两点，线段AB中点M在一象限且在抛物线y2=2px（p＞0）上，且M到抛物线焦点的距离为p，则l的斜率为（）A．B．e2﹣1C．D．e2+15．已知P为椭圆上的一点，M，N分别为圆（x+3）2+y2=1和圆（x﹣3）2+y2=4上的点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．5 B．7 C．13 D．156．过双曲线﹣=0（b＞0，a＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE 交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．设椭圆的左焦点为F，在x轴上F的右侧有一点A，以FA为直径的圆与椭圆在x轴上方部分交于M、N两点，则的值为（）A．B．C．D．8．已知定点A（1，0）和定直线l：x=﹣1，在l上有两动点E，F且满足，另有动点P，满足（O为坐标原点），且动点P的轨迹方程为（）A．y2=4xB．y2=4x（x≠0）C．y2=﹣4xD．y2=﹣4x（x≠0）9．已知抛物线过点A（﹣1，0），B（1，0），且以圆x2+y2=4的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程（）A．+=1（y≠0）B．+=1（y≠0）C．﹣=1（y≠0）D．﹣=1（y≠0）10．如图，已知半圆的直径|AB|=20，l为半圆外一直线，且与BA的延长线交于点T，|AT|=4，半圆上相异两点M、N与直线l的距离|MP|、|NQ|满足条件，则|AM|+|AN|的值为（）A．22B．20C．18D．1611．椭圆与双曲线有公共的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2=（）A．B．C．D．12．曲线（|x|≤2）与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点时，实数k的取值范围是（）A．B．（，+∞）C．D．13．设抛物线y2=12x的焦点为F，经过点P（1，0）的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则|AF|+|BF|=（）A．B．8D．14．已知双曲线上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知抛物线y=ax2上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且，则m的值为（）A．B．C．D．15．已知双曲线上存在两点M，N关于直线y=x+m对称，且MN的中点在抛物线y2=9x上，则实数m 的值为（）A．4B．﹣4C．0或4D．0或﹣41．已知倾斜角α≠0的直线l过椭圆（a＞b＞0）的右焦点交椭圆于A、B两点，P为右准线上任意一点，则∠APB为（）钝角B．直角C．锐角D．都有可能A．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：压轴题．分析：根据题设条件推导出以AB为直径的圆与右准线相离．由此可知∠APB为锐角．解答：解：如图，设M为AB的中点，过点M作MM1垂直于准线于点M1，分别过A、B作AA1、BB1垂直于准线于A1、B1两点．则∴以AB为直径的圆与右准线相离．∴∠APB为锐角．点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时作出图形，数形结合，往往能收到事半功倍之效果．2．已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线为l，一直线交双曲线于P．Q两点，交l于R点．则（）A．∠PFR＞∠QFR B．∠PFR=∠QFRC．∠PFR＜∠QFR D．∠PFR与∠AFR的大小不确定考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；压轴题．分析：设Q、P到l 的距离分别为d1，d2，垂足分别为M，N，则PN∥MQ，=，又由双曲线第二定义可知，由此能够推导出RF是∠PFQ的角平分线，所以∠PFR=∠QFR．解答：解：设Q、P到l 的距离分别为d1，d2，垂足分别为M，N，则PN∥MQ，∴=，又由双曲线第二定义可知，∴，，∴，∴RF是∠PFQ的角平分线，∴∠PFR=∠QFR故选B．点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时利用双曲线第二定义综合平面几何知识求解．3．设椭圆的一个焦点为F，点P在y轴上，直线PF交椭圆于M、N，，则实数λ1+λ2=（）A．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；压轴题．分析：设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x﹣c）．将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得（b2+a2k2）x2﹣2a2ck2x+a2c2k2﹣a2b2=0．然后利用向量关系及根与系数的关系，可求得λ1+λ2的值．解答：解：设M，N，P点的坐标分别为M（x1，y1），N（x2，y2），P（0，y0），又不妨设F点的坐标为（c，0）．显然直线l存在斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x﹣c）．将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得（b2+a2k2）x2﹣2a2ck2x+a2c2k2﹣a2b2=0．∴，．又∵，将各点坐标代入得，=．故选C．点评：本题以向量为载体，考查直线与椭圆的位置关系，是椭圆性质的综合应用题，解题时要注意公式的合理选取和灵活运用．4．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C1的离心率为e，直线l与双曲线C1交于A，B两点，线段AB中点M在一象限且在抛物线y2=2px（p＞0）上，且M到抛物线焦点的距离为p，则l的斜率为（）A．B．e2﹣1 C．D．e2+1考点：圆锥曲线的综合．专题：综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用抛物线的定义，确定M的坐标，利用点差法将线段AB中点M的坐标代入，即可求得结论．解答：解：∵M在抛物线y2=2px（p＞0）上，且M到抛物线焦点的距离为p，∴M的横坐标为，∴M（，p）设双曲线方程为（a＞0，b＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），则，两式相减，并将线段AB中点M的坐标代入，可得∴∴故选A．点评：本题考查双曲线与抛物线的综合，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．5．已知P为椭圆上的一点，M，N分别为圆（x+3）2+y2=1和圆（x﹣3）2+y2=4上的点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．5B．7C．13 D．15考点：圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：由题意可得：椭圆的焦点分别是两圆（x+3）2+y2=1和（x﹣3）2+y2=4的圆心，再结合椭圆的定义与圆的有关性质可得答案．解答：解：依题意可得，椭圆的焦点分别是两圆（x+3）2+y2=1和（x﹣3）2+y2=4的圆心，所以根据椭圆的定义可得：（|PM|+|PN|）min=2×5﹣1﹣2=7，故选B．点评：本题考查圆的性质及其应用，以及椭圆的定义，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．6．过双曲线﹣=0（b＞0，a＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE 交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：综合题；压轴题．分析：由=（+），知E为PF的中点，令右焦点为F′，则O为FF′的中点，则PF′=2OE=a，能推导出在Rt△PFF′中，PF2+PF′2=FF′2，由此能求出离心率．解答：解：∵若=（+），∴E为PF的中点，令右焦点为F′，则O为FF′的中点，则PF′=2OE=a，∵E为切点，∴OE⊥PF∴PF′⊥PF∵PF﹣PF′=2a∴PF=PF′+2a=3a在Rt△PFF′中，PF2+PF′2=FF′2即9a2+a2=4c2∴离心率e==．故选：A．点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件．7．设椭圆的左焦点为F，在x轴上F的右侧有一点A，以FA为直径的圆与椭圆在x轴上方部分交于M、N两点，则的值为（）A．B．C．D．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：计算题；压轴题．分析：若以FA为直径的圆与椭圆大x轴上方的部分交于短轴端点，则M、N重合（设为M），此时A为椭圆的右焦点，由此可知=，从而能够得到结果．解答：解：若以FA为直径的圆与椭圆大x轴上方的部分交于短轴端点，则M、N重合（设为M），此时A为椭圆的右焦点，则==．故选A．点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意合理地选取特殊点．8．已知定点A（1，0）和定直线l：x=﹣1，在l上有两动点E，F且满足，另有动点P，满足（O为坐标原点），且动点P的轨迹方程为（）A．y2=4x B．y2=4x（x≠0）C．y2=﹣4x D．y2=﹣4x（x≠0）考点：圆锥曲线的轨迹问题．专题：计算题；压轴题．分析：设P（x，y），欲动点P的轨迹方程，即寻找x，y之间的关系式，利用向量间的关系求出向量、的坐标后垂直条件即得动点P的轨迹方程．解答：解：设P（x，y），E（﹣1，y1），F（﹣1，y2）（y1，y2均不为零）由∥⇒y1=y，即E（﹣1，y）．由∥⇒．由y2=4x（x≠0）．故选B．点评：本题主要考查了轨迹方程的问题．本题解题的关键是利用了向量平行和垂直的坐标运算求得轨迹方程．9．已知抛物线过点A（﹣1，0），B（1，0），且以圆x2+y2=4的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程（）A．+=1（y≠0）B．+=1（y≠0）C．﹣=1（y≠0）D．﹣=1（y≠0）考点：圆锥曲线的轨迹问题．专题：综合题；压轴题．分析：设出切线方程，表示出圆心到切线的距离求得a和b的关系，再设出焦点坐标，根据抛物线的定义求得点A，B到准线的距离等于其到焦点的距离，然后两式平方后分别相加和相减，联立后，即可求得x和y的关系式．解答：解：设切线ax+by﹣1=0，则圆心到切线距离等于半径∴=2∴，∴a2+b2=设抛物线焦点为（x，y），根据抛物线定义可得平方相加得：x2+1+y2=4（a2+1）①平方相减得：x=4a，∴②把②代入①可得：x2+1+y2=4（+1）即：∵焦点不能与A，B共线∴y≠0∴∴抛物线的焦点轨迹方程为故选B．点评：本题以圆为载体，考查抛物线的定义，考查轨迹方程，解题时利用圆的切线性质，抛物线的定义是关键．10．如图，已知半圆的直径|AB|=20，l为半圆外一直线，且与BA的延长线交于点T，|AT|=4，半圆上相异两点M、N与直线l的距离|MP|、|NQ|满足条件，则|AM|+|AN|的值为（）A．22 B．20 C．18 D．16考点：圆与圆锥曲线的综合；抛物线的定义．专题：计算题；压轴题．分析：先以AT的中点O为坐标原点，AT的中垂线为y轴，可得半圆方程为（x﹣12）2+y2=100，根据条件得出M，N在以A为焦点，PT为准线的抛物线上，联立半圆方程和抛物线方程结合根与系数的关系，利用抛物线的定义即可求得答案．解答：解：以AT的中点O为坐标原点，AT的中垂线为y轴，可得半圆方程为（x﹣12）2+y2=100又，设M（x1，y1），N（x2，y2），M，N在以A为焦点，PT为准线的抛物线上；以AT的垂直平分线为y轴，TA方向为x轴建立坐标系，则有抛物线方程为y2=8x（y≥0），联立半圆方程和抛物线方程，消去y得：x2﹣16x+44=0∴x1+x2=16，|AM|+|AN|=|MP|+|NQ|=x1+x2+4=20．故选B．点评：本小题主要考查抛物线的定义、圆的方程、圆与圆锥曲线的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．11．椭圆与双曲线有公共的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2=（）A．B．C．D．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线、椭圆的定义，建立方程，求出|PF1|=，|PF2|=，再利用余弦定理，即可求得结论．解答：解：不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2①由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2②由①②可得|PF1|=，|PF2|=∵|F1F2|=4∴cos∠F1PF2==故选A．点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，利用双曲线、椭圆的定义，建立方程是关键．12．曲线（|x|≤2）与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点时，实数k的取值范围是（）C．D．A．B．（，+∞）考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题；压轴题．分析：如图，求出BC的斜率，根据圆心到切线的距离等于半径，求得切线BE的斜率k′，由题意可知，k′＜k≤K BC，从而得到实数k的取值范围．解答：解：曲线即x2+（y﹣1）2=4，（y≥1），表示以A（0，1）为圆心，以2为半径的圆位于直线y=1 上方的部分（包含圆与直线y=1 的交点C和D），是一个半圆，如图：直线y=k（x﹣2）+4过定点B（2，4），设半圆的切线BE的切点为E，则BC的斜率为K BC==．设切线BE的斜率为k′，k′＞0，则切线BE的方程为y﹣4=k′（x﹣2），根据圆心A到线BE距离等于半径得2=，k′=，由题意可得k′＜k≤K BC，∴＜k≤，故选A．点评：本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，倾斜角和斜率的关系，体现了数形结合的数学思想，判断k′＜k≤K BC，是解题的关键．13．设抛物线y2=12x的焦点为F，经过点P（1，0）的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则|AF|+|BF|=（）A．B．C．8D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题；压轴题．分析：根据向量关系，用坐标进行表示，求出点A，B的坐标，再利用抛物线的定义，可求|AF|+|BF|．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵P（1，0）∴=（1﹣x2，﹣y2），=（x1﹣1，y1）∵，∴2（1﹣x2，﹣y2）=（x1﹣1，y1）∴将A（x1，y1），B（x2，y2）代入抛物线y2=12x，可得，又∵﹣2y2=y1∴4x2=x1又∵x1+2x2=3解得∵|AF|+|BF|=故选D．点评：本题重点考查抛物线的定义，考查向量知识的运用，解题的关键是确定点A，B的横坐标．14．已知双曲线上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知抛物线y=ax2上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且，则m的值为（）A．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：综合题；压轴题．分析：y1=2x12，y2=2x22，A点坐标是（x1，2x12），B点坐标是（x2，2x22）A，B的中点坐标是（，）因为A，B关于直线y=x+m对称，所以A，B的中点在直线上，且AB与直线垂直=+m，由此能求得m．解答：解：y1=2x12，y2=2x22，A点坐标是（x1，2x12），B点坐标是（x2，2x22），A，B的中点坐标是（，），因为A，B关于直线y=x+m对称，所以A，B的中点在直线上，且AB与直线垂直=+m，，x12+x22═+m，x2+x1=﹣，因为，所以xx12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=，代入得，求得m=．故选B．点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．15．已知双曲线上存在两点M，N关于直线y=x+m对称，且MN的中点在抛物线y2=9x上，则实数m的值为（）A．4B．﹣4 C．0或4 D．0或﹣4考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：综合题；压轴题．分析：根据双曲线上存在两点M，N关于直线y=x+m对称，求出MN中点P（﹣，m），利用MN的中点在抛物线y2=9x上，即可求得实数m的值．解答：解：∵MN关于y=x+m对称∴MN垂直直线y=x+m，MN的斜率﹣1，MN中点P（x0，x0+m）在y=x+m上，且在MN上设直线MN：y=﹣x+b，∵P在MN上，∴x0+m=﹣x0+b，∴b=2x0+m由消元可得：2x2+2bx﹣b2﹣3=0∴M x+N x=﹣b，∴x0=﹣，∴b=∴MN中点P（﹣，m）∵MN的中点在抛物线y2=9x上，∴∴m=0或4故选D．点评：本题考查直线与双曲线的位置关系，考查对称性，考查抛物线的标准方程，解题的关键是确定MN中点P 的坐标．二．解答题（共15小题）16．已知椭圆C：，F1，F2是其左右焦点，离心率为，且经过点（3，1）（1）求椭圆C的标准方程；（2）若A1，A2分别是椭圆长轴的左右端点，Q为椭圆上动点，设直线A1Q斜率为k，且，求直线A2Q斜率的取值范围；（3）若Q为椭圆上动点，求cos∠F1QF2的最小值．考点：椭圆的简单性质；椭圆的应用．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据椭圆的离心率为，且经过点（3，1），求椭圆C的标准方程；（2）设A2Q的斜率为k'，Q（x0，y0），则可得kk'==，利用，即可求直线A2Q斜率的取值范围；（3）利用椭圆的定义、余弦定理，及基本不等式，即可求cos∠F1QF2的最小值．解答：解：（1）∵椭圆的离心率为，且经过点（3，1），建立方程，求出几何量，即可∴，∴椭圆C的标准方程为…（3分）（2）设A2Q的斜率为k'，Q（x0，y0），则，…（5分）∴kk'=及…（6分）则kk'==又…（7分）∴，故A2Q斜率的取值范围为（）…（8分）（3）设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为a，b，c，则有，由椭圆定义，有…（9分）∴cos∠F1QF2=…（10分）=…（11分）≥…（12分）==…（13分）∴cos∠F1QF2的最小值为．（当且仅当|QF1|=|QF2|时，即Q取椭圆上下顶点时，cos∠F1QF2取得最小值）…（14分）点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查椭圆的定义，考查余弦定理，考查基本不等式的运用，综合性强．17．已知椭圆x2+=1的左、右两个顶点分别为A，B．双曲线C的方程为x2﹣=1．设点P在第一象限且在双曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T．（Ⅰ）设P，T两点的横坐标分别为x1，x2，证明x1•x2=1；（Ⅱ）设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2，且•≤15，求S﹣S的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设直线AP的方程与椭圆方程联立，确定P、T的横坐标，即可证得结论；（Ⅱ）利用•≤15，结合点P是双曲线在第一象限内的一点，可得1＜x1≤2，利用三角形的面积公式求面积，从而可得S﹣S的不等式，利用换元法，再利用导数法，即可求S﹣S的取值范围．解答：（Ⅰ）证明：设点P（x1，y1）、T（x2，y2）（x i＞0，y i＞0，i=1，2），直线AP的斜率为k（k＞0），则直线AP的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，消去y，整理，得（4+k2）x2+2k2x+k2﹣4=0，解得x=﹣1或x=，故x2=．同理可得x1=．所以x1•x2=1．（Ⅱ）设点P（x1，y1）、T（x2，y2）（x i＞0，y i＞0，i=1，2），则=（﹣1﹣x1，y1），=（1﹣x1，y1）．因为•≤15，所以（﹣1﹣x1）（1﹣x1）+y12≤15，即x12+y12≤16．因为点P在双曲线上，所以，所以x12+4x12﹣4≤16，即x12≤4．因为点P是双曲线在第一象限内的一点，所以1＜x1≤2．因为S1=|y2|，S2=，所以S﹣S==由（Ⅰ）知，x1•x2=1，即．设t=，则1＜t≤4，S﹣S=5﹣t﹣．设f（t）=5﹣t﹣，则f′（t）=﹣1+=，当1＜t＜2时，f'（t）＞0，当2＜t≤4时，f'（t）＜0，所以函数f（t）在（1，2）上单调递增，在（2，4]上单调递减．因为f（2）=1，f（1）=f（4）=0，所以当t=4，即x1=2时，S﹣S的最小值为f（4）=0，当t=2，即x1=时，S﹣S的最大值为f（2）=1．所以S﹣S的取值范围为[0，1]．点评：本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力．18．设椭圆D：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足，且AB⊥AF2．（Ⅰ）若过A、B、F2三点的圆C恰好与直线l：x﹣y﹣3=0相切，求圆C方程及椭圆D的方程；（Ⅱ）若过点T（3，0）的直线与椭圆D相交于两点M、N，设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），求实数t取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用，可得F1为BF2的中点，根据AB⊥AF2，可得a，c的关系，利用过A、B、F2三点的圆C恰好与直线l：相切，求出a，即可求出椭圆的方程与圆的方程；（Ⅱ）设直线MN方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量知识，即可求实数t取值范围．解答：解：（Ⅰ）由题意知F1（﹣c，0），F2（c，0），A（0，b）．因为AB⊥AF2，所以在Rt△ABF2中，，又因为，所以F1为BF2的中点，所以又a2=b2+c2，所以a=2c．所以F2（，0），B（﹣，0），Rt△ABF2的外接圆圆心为F1（﹣，0），半径r=a，因为过A、B、F2三点的圆C恰好与直线l：相切，所以=a，解得a=2，所以c=1，b=．所以椭圆的标准方程为：，圆的方程为（x+1）2+y2=1；（Ⅱ）设直线MN方程为y=k（x﹣3），M（x1，y1），N（x2，y2），P（x，y），则直线方程代入椭圆方程，消去y可得（4k2+3）x2﹣24k2x+36k2﹣12=0，∴△=（24k2）﹣4（4k2+3）（36k2﹣12）＞0，∴k2＜，x1+x2=，x1x2=，∵，∴x1+x2=tx，y1+y2=ty，∴tx=，ty=，∴x=，y=，代入椭圆方程可得3×[]2+4×[]2=12，整理得=∵k2＜，∴0＜t2＜4，∴实数t取值范围是（﹣2，0）∪（0，2）．点评：本题考查椭圆方程与圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查直线与椭圆的位置关系，难度大19．已知F1、F2为椭圆C：的左，右焦点，M为椭圆上的动点，且•的最大值为1，最小值为﹣2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点．试判断∠MAN是否为直角，并说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设M（x'，y'），化简•=x'2+2b2﹣a2（﹣a≤x≤a），从而求最值，进而求椭圆方程；（2）设直线MN的方程为x=ky﹣6并与椭圆联立，利用韦达定理求•的值，从而说明是直角．解答：解：（1）设M（x'，y'），则y'2=b2﹣x'2，•=x'2+2b2﹣a2（﹣a≤x≤a），则当x'=0时，•取得最小值2b2﹣a2=﹣2，当x'=±a时，•取得最大值b2=1，∴a2=4，故椭圆的方程为．（2）设直线MN的方程为x=ky﹣，联立方程组可得，化简得：（k2+4）y2﹣2.4ky﹣=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=﹣，又A（﹣2，0），•=（x1+2，y1）•（x2+2，y2）=（k2+1）y1y2+k（y1+y2）+==﹣（k2+1）+k+=0，所以∠MAN为直角．点评：本题考查了圆锥曲线方程的求法及直线与圆锥曲线的位置关系应用，同时考查了向量的应用，属于难题．20．如图，P是抛物线y2=2x上的动点，点B，C在y轴上，圆（x﹣1）2+y2=1内切于△PBC，求△PBC面积的最小值．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设P（x0，y0），B（0，b），C（0，c），设b＞c．直线PB：y﹣b=，化简，得（y0﹣b）x﹣x0y+x0b=0，由圆心（1，0）到直线PB的距离是1，知，由此导出（x0﹣2）b2+2y0b﹣x0=0，同理，（x0﹣2）c2+2y0c﹣x0=0，所以（b﹣c）2=，从而得到S△PBC=，由此能求出△PBC面积的最小值．解答：解：设P（x0，y0），B（0，b），C（0，c），设b＞c．直线PB的方程：y﹣b=，化简，得（y0﹣b）x﹣x0y+x0b=0，∵圆心（1，0）到直线PB的距离是1，∴，∴（y0﹣b）2+x02=（y0﹣b）2+2x0b（y0﹣b）+x02b2，∵x0＞2，上式化简后，得（x0﹣2）b2+2y0b﹣x0=0，同理，（x0﹣2）c2+2y0c﹣x0=0，∴b+c=，bc=，∴（b﹣c）2=，∵P（x0，y0）是抛物线上的一点，∴，∴（b﹣c）2=，b﹣c=，∴S△PBC===（x0﹣2）++4≥2+4=8．当且仅当时，取等号．此时x0=4，y0=．∴△PBC面积的最小值为8．点评：本昰考查三角形面积的最小值的求法，具体涉及到抛物线的性质、抛物线和直线的位置关系、圆的简单性质、均值定理等基本知识，综合性强，难度大，对数学思想的要求较高，解题时要注意等价转化思想的合理运用．21．已知直L1：2x﹣y=0，L2：x﹣2y=0．动圆（圆心为M）被L1L2截得的弦长分别为8，16．（Ⅰ）求圆心M的轨迹方程M；（Ⅱ）设直线y=kx+10与方程M的曲线相交于A，B两点．如果抛物y2=﹣2x上存在点N使得|NA|=|NB|成立，求k的取值范围．考点：圆与圆锥曲线的综合；直线与圆相交的性质．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）设M（x，y），M到L1，L2的距离分别为d1，d2，则d12+42=d22+82．所以，由此能求出圆心M的轨迹方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（1﹣k2）x2﹣20kx﹣180=0．AB的中点为，AB的中垂线为，由，得．由此能求出k的取值范围．解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），M到L1，L2的距离分别为d1，d2，则d12+42=d22+82．…（2分）∴，∴x2﹣y2=80，即圆心M的轨迹方程M：x2﹣y2=80．…（4分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（1﹣k2）x2﹣20kx﹣180=0．①∴AB的中点为，…（6分）∴AB的中垂线为，即，…（7分）由，得②…（8分）∵存在N使得|NA|=|NB|成立的条件是：①有相异二解，并且②有解．…（9分）∵①有相异二解的条件为，∴⇒且k≠±1．③…（10分）②有解的条件是，∴，④…（11分）根据导数知识易得时，k3﹣k+40＞0，因此，由③④可得N点存在的条件是：﹣1或1＜k＜．…（12分）点评：本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．22．已知直线l1：ax﹣by+k=0；l2：kx﹣y﹣1=0，其中a是常数，a≠0．（1）求直线l1和l2交点的轨迹，说明轨迹是什么曲线，若是二次曲线，试求出焦点坐标和离心率．（2）当a＞0，y≥1时，轨迹上的点P（x，y）到点A（0，b）距离的最小值是否存在？若存在，求出这个最小值．考点：圆锥曲线的轨迹问题．专题：综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．分析：（1）联立直线l1和l2的方程，消去参数即可得到交点的轨迹方程，根据a的取值a＞0，﹣1＜a＜0，a=﹣1，a＜﹣1说明轨迹曲线，利用二次曲线判断形状，直接求出焦点坐标和离心率．（2）通过a＞0，y≥1时，说明轨迹的图形，求出轨迹上的点P（x，y）到点A（0，b）距离的表达式，通过配方讨论b与的大小，求出|PA|的最小值．解答：解：（1）由消去k，得y2﹣ax2=1①当a＞0时，轨迹是双曲线，焦点为，离心率；②当﹣1＜a＜0时，轨迹是椭圆，焦点为，离心率；③当a=﹣1时，轨迹是圆，圆心为（0，0），半径为1；④当a＜﹣1时，轨迹是椭圆，焦点为，离心率（2）当a＞0时，y≥1时，轨迹是双曲线y2﹣ax2=1的上半支．∵|PA|2=x2+（y﹣b）2==①当b＞时，|PA|的最小值为；②当b≤时，|PA|的最小值为|1﹣b|点评：本题考查知识点比较多，涉及参数方程，双曲线方程椭圆方程，圆的方程，两点的距离公式等等，涉及分类讨论思想二次函数的最值，是难度比较大，容易出错的题目，考试常靠题型，多以压轴题为主．23．如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为B'；折痕与AB交于点E，以EB和EB’为邻边作平行四边形EB’MB．若以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系（如下图）：（Ⅰ）．求点M的轨迹方程；（Ⅱ）．若曲线S是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的，等腰梯形A1B1C1D1的三边A1B1，B1C1，C1D1分别与曲线S切于点P，Q，R．求梯形A1B1C1D1面积的最小值．考点：圆锥曲线的轨迹问题；向量在几何中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：（1）设出M的坐标，根据两点关于直线对称时两点连线与对称轴垂直，且两点的中点在对称轴上，再根据平行四边形的对角线对应的向量等于两邻边对应向量的和得到点M的轨迹方程；（2）利用函数在切点处的导数值为曲线的切线斜率，求出腰A1B1的方程，分别令y=0和y=1求出与两底的交点横坐标，利用梯形的面积公式表示出梯形A1B1C1D1面积，利用基本不等式求出其最小值．解答：解：（1）如图，设M（x，y），B′（x0，2），又E（0，b）显然直线l的斜率存在，故不妨设直线l的方程为y=kx+b，则而BB′的中点在直线l上，故，①由于⇒代入①即得，又0≤x0≤2点M的轨迹方程（0≤x≤2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）易知曲线S的方程为（﹣2≤x≤2）设梯形A1B1C1D1的面积为s，点P的坐标为．由题意得，点Q的坐标为（0，1），直线B1C1的方程为y=1．对于有∴∴直线A1B1的方程为，即：令y=0得，，∴．令y=1得，，∴所以当且仅当，即时，取“=”且，时，s有最小值为．梯形A1B1C1D1的面积的最小值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分）点评：本题考查两点关于一条直线对称的充要条件；向量运算的几何意义；曲线在切点处的导数值为曲线的切线斜率；利用基本不等式求函数的最值．属于一道难题．24．（1）已知一个圆锥母线长为4，母线与高成45°角，求圆锥的底面周长．（2）已知直线l与平面α成φ，平面α外的点A在直线l上，点B在平面α上，且AB与直线l成θ，①若φ=60°，θ=45°，求点B的轨迹；②若任意给定φ和θ，研究点B的轨迹，写出你的结论，并说明理由．考点：圆锥曲线的轨迹问题；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：综合题；压轴题．分析：（1）由圆锥的母线长为4，母线与高成45°角，知高和底面半径与母线构成一个等腰直角三角形，由勾股定理可知底面半径为2，由圆周公式2πR可算出底面周长．（2）①设l∩α=C，点A在平面α上的射影为点O．建立空间直角坐标系，设|AC|=a，有A（0，0，asin60°），C（0，﹣acos60°）．设B（x，y，0），则=（0，﹣acos60°，﹣asin60°）．=（x，y，﹣asin60°）．所以．又由|•cos45°，知﹣acos60°•y+a2sin60°=a，平方整理得，由此知点B的轨迹．②设l∩α=C，点A在平面α上的射影为点O．如图建立空间直角坐标系，设|AC|=a，有A（0，0，asinφ），C（0，﹣acosφ），（0＜φ＜）．设B（x，y，0），则（6分）=（0，﹣acosφ，﹣asinφ）．=（x，y，﹣asinφ）．所以φ．由|•cosθ=a••cosθ．知cos2θ•x2+（cos2θ﹣cos2φ）y2+a2ysinφsin2φ+a2sin2φ（cos2θ﹣sin2φ）=0．故当φ=时，点B的轨迹为圆；当θ＜φ＜时，点B的轨迹为椭圆；当θ=φ＜时，点B的轨迹为抛物线；当θ＞φ时，点B的轨迹为双曲线．解答：解：（1）∵圆锥的母线长为4，母线与高成45°角，高和底面半径与母线构成一个等腰直角三角形，即高和底面半径长度一样，则由勾股定理可知底面半径为2，则由圆周公式2πR可算出底面周长4π；（2分）（2）①设l∩α=C，点A在平面α上的射影为点O．如图建立空间直角坐标系，设|AC|=a，有A（0，0，asin60°），C（0，﹣acos60°）．设B（x，y，0），则=（0，﹣acos60°，﹣asin60°）．=（x，y，﹣asin60°）．∴．又∵|•cos45°=a•．∴﹣acos60°•y+a2sin60°=a．（11分）平方整理得cos245°•x2+（cos245°﹣cos260°）y2+a2ysin60°sin120°+a2sin260°（cos245°﹣sin260°）=0．即，∴点B的轨迹椭圆；（4分）②设l∩α=C，点A在平面α上的射影为点O．如图建立空间直角坐标系，设|AC|=a，有A（0，0，asinφ），C（0，﹣acosφ），（0＜φ＜）．设B（x，y，0），则（6分）=（0，﹣acosφ，﹣asinφ）．=（x，y，﹣asinφ）．∴φ．又∵|•cosθ=a••cosθ．∴﹣acosφ•y+a2sinφ=a．（11分）平方整理得cos2θ•x2+（cos2θ﹣cos2φ）y2+a2ysinφsin2φ+a2sin2φ（cos2θ﹣sin2φ）=0．i．当cos2θ﹣cos2φ=0，即θ=φ时，上式为抛物线方程；ii．当cos2θ﹣cos2φ＞0，即θ＜φ时，上式为椭圆方程；iii．当cos2θ﹣cos2φ＜0，即θ＞φ时，上式为双曲线方程．（14分）故当φ=时，点B的轨迹为圆；当θ＜φ＜时，点B的轨迹为椭圆；当θ=φ＜时，点B的轨迹为抛物线；当θ＞φ时，点B的轨迹为双曲线．（16分）点评：第（1）题考查圆锥的性质和应用，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．第（2）题考查圆锥曲线的轨迹的求法和判断，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．25．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点，且长轴长与短轴长的比是．（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C 于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值；（3）求△PAB面积的最大值．考点：椭圆的标准方程；直线的斜率；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：压轴题．分析：（1）待定系数法求椭圆的方程．（2）设出A、B坐标，利用一元二次方程根与系数的关系，求出A、B横坐标之差，纵坐标之差，从而求出AB斜率．（3）设出AB直线方程，与椭圆方程联立，运用根与系数的关系求AB长度，计算P到AB的距离，计算△PAB面积，使用基本不等式求最大值．解答：解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为．由题意，解得a2=4，b2=2．所以，椭圆C的方程为．故点P（1，）（Ⅱ）由题意知，两直线PA，PB的斜率必存在，设PB的斜率为k，则PB的直线方程为．由得，．。
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解析几何练习题一选择题1.椭圆181622=+y x 的离心率为（ ） A.31 B. 21C. 33D. 222.已知抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，则p 的值为（ ）A.12B.1C.2D.4 3.设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是( )A 28y x =-B 28y x =C 24y x =-D 24y x =4.双曲线13622=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r=( ) A3 B 2 C 3 D65.已知直线)0)(2(>+=k x k y 与抛物线C:x y 82=相交A 、B 两点，F 为C 的焦点。
若FB FA 2=,则k=A.31 B 32 C 32 D 3226中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则它的离心率为（ ）A 6B 5 C62 D 527过点)0,1(且与直线022=--y x 平行的直线方程是（ ）A 012=--y xB 012=+-y xC 022=-+y xD 012=-+y x8若圆心在x 5O 位于y 轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O 的方程是（ ）A 22(5)5x y +=B 22(5)5x y ++=C 22(5)5x y -+= D 22(5)5x y ++=9若直线01-+-y x 与圆2)(22=+-y a x 有公共点，则实数a 取值范围是（ ） A [-3 ，-1 ] B[ -1 ， 3 ] C [ -3 ，1 ] D （- ∞ ，-3 ] U [1 ，+ ∞ ）10若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 A45 B 35 C 25 D 1511.若点O 和点F 分别为椭圆3422y x +的中心和左焦点，点P 为椭圆上点的任意一点，则FP OP ⋅的最大值为A.2B.3C.6D.812已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB • 的最小值为（ ）A 4-B 3-+C 4-+D 3-+13已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ）A 1x =B 1x =-C 2x =D 2x =-14设圆C 与圆x 2+（y-3）2=1外切，与直线y =0相切，则C 的圆心轨迹为 A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆15已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB的中点到y 轴的距离为（ ） A34B 1 C54 D 7416已知椭圆22122:1x y C a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于,A B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则（ ） A 2a=132 B 2a =13 C 2b =12D 2b =217.在平面直角坐标系xoy 中，直线0543=-+y x 与圆422=+y x 相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于A. B. D.118.椭圆)0(,12222>>=+b a by a x 的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2。
若B F F F AF 1211,,|成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ）A.14 B.55 C.12D.5-219若直线b x y +=与曲线y =324x x -,有公共点，则b 的取值范围是A ]221,221[+-B ]3,21[-C ]221,1[+-D ]3,221[-20设抛物线y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么PF =( ) A43B 8C 83D 1621设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) A 2B 3C312+ D512+ 22设O 为坐标原点，F 1，F 2是双曲线22x a－22y b ＝１（a ＞0，b ＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠F 1P F 2=60°，OP =7a ，则该双曲线的渐近线方程为 A x 3y =0B3± y = 0 C x ± 2y =02 x ± y =023已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，P AB ,12=为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为（ ）A.18B. 24C. 36D. 4824设),(00y x M 为抛物线y x C 8:2=上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0y 的取值范围是（ ）A.)2,0(B. ]2,0[C. ),2(+∞D. ),2[+∞25已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左顶点与抛物线)0(22>=p px y 的焦点的距离为4且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为)1,2(--，则双曲线的焦距为（）A.32B. 52C. 34D. 5426.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过点F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若ΔABF 2是正三角形，则椭圆的离心率为（ ） A.33 B.32 C. 23 D. 22 27椭圆1422=+y x 的两个焦点是F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则│P F 2│等于（ ） A.23 B.3 C. 27D.4 28.抛物线y=4 x 2上一点M 到焦点的距离为1，则点M 纵坐标为( ) A.1617B.1615C.87D.029.已知F 是抛物线2y =x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，│AF │+│BF │=3，则线段AB 的中点互y 轴的距离为（ ） A.43 B.1 C.45 D.47二填空题30.若双曲线11622=-my x 的离心率e=2,则m= ; 31已知抛物线x y C 8:2=，若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆)0()4(222>=+-r r y x 相切，则=r ；32已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2，焦点与椭圆221259x y -=的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。
33已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同。
则双曲线的方程为 。
34已知圆C 经过A （5，1），B （1，3）两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为___________．35圆心在原点上与直线20x y +-=相切的圆的方程为__________．36.在平面直角坐标系中，已知ΔABC 顶点A(-4,0),C(4,0)顶点B 在椭圆92522y x +=1上，则BCA sin sin sin += ;37.过双曲线13422=-y x 的左焦点F 1的直线交双曲线的左支于M ，N 两点，F 2为其右焦点，则│M F 2│+│NF 2│-│M N │= ; 三解答题38已知抛物线C 的方程C ：y 2 =2 p x （p ＞0）过点A （1，-2）.（1）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；（2）是否存在平行于OA （O 为坐标原点）的直线l 使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由。
39椭圆E 经过点A （2,3），对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为21. (1)求椭圆E 的方程； （2）求∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程.40已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(，，离心率是3t y =与椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段为直径作圆P,圆心为P 。
（1）求椭圆C 的方程； （2）若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标； （3）设Q （x ，y ）是圆P 上的动点，当t 变化时，求y 的最大值。
41已知椭圆22221x y a b+=（a>b>0）的离心率e=2，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A 、B ，已知点A 的坐标为（-a ，0）.（i ）若AB5||=，求直线l 的倾斜角； （ii ）若点Q y 0（0，）在线段AB 的垂直平分线上，且4=⋅OB OA .求y 0的值.42设1F ,2F 分别是椭圆E ：2x +22y b=1（0﹤b ﹤1）的左、右焦点，过1F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且2AF ，AB ，2BF 成等差数列。
（Ⅰ）求AB （Ⅱ）若直线l 的斜率为1，求b 的值。
43设椭圆C: ()222210x y a b a b +=>>过点（0，4），离心率为35(1)求C 的方程；(2)求过点（3，0）且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标44在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．（I ）求圆C 的方程；（II ）若圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且,OA OB ⊥求a 的值．45椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左,右焦点分别为F 1，F 2,点(,)P a b 满足212||||.PF F F =（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，若直线PF 2与圆22(1)(16x y ++-=相交于M ，N 两点，且5||||8MN AB =，求椭圆的方程。
46在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C 1：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F 1（-1,0），且点P （0,1）在C 1上。
（1） 求椭圆C 1的方程；（2） 设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2=4x 相切，求直线l 的方程。
47已知椭圆14:221=+y x C ，椭圆2C 以1C 的长轴为短轴，且与1C 有相同的离心率。
（1）求2C 椭圆的方程；（2）设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆1C 和2C 上，OA OB 2=，求直线AB 的方程。