考虑剪胀性与状态相关的钙质砂双屈服面模型研究
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p d = dε v / dε qp ，其中 dε v = dε1 + 2dε 3 ， dε q = 2(dε1 −
f 2 = p − pm = 0
式中： p m 为历史最大压力。
(4)
dε 3 ) பைடு நூலகம் 3 ，上标“p”表示塑性。试验表明，与黏土
相比，砂土的剪胀性不仅与剪应力比有关，而且还 依赖于材料的密实程度。基于临界状态的概念，K. Been 和 M. G. Jefferies 差，即
[10]
以上定义的两个屈服面如图 1 所示，它们分别 用于考虑剪应力比变化和常应力比下平均正应力变 化引起的塑性加载。
q f1 = 0 f2 = 0
引入土的松密状态参数ψ，
它是当前孔隙比 e 与相同压力下的临界孔隙比 ec 之
ψ = e − ec = e − [e Γ − λc ln( p′ / pa )]
天然钙质砂
(6)
Δe
p p1 p2 dε v = dε v + dε v =
(7)
重塑钙质砂 py o p′ ln p′
根据式(5)～(7)，可得钙质砂增量应力–应变关 系的矩阵形式为 1 ⎡ 1 + ⎧dε q ⎫ ⎢ 3G H1 ⎨ ⎬=⎢ d ⎩dε p ⎭ ⎢ ⎢ ⎣ H1 关的塑性硬化模量。 3.3 弹、塑性模量 弹性模量 G，K 与孔隙比和平均正应力有关， 采用如下形式[11]：
第 25 卷 第 10 期 2006 年 10 月
岩石力学与工程学报 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering
Vol.25 No.10 Oct.，2006
考虑剪胀性与状态相关的钙质砂 双屈服面模型研究
孙吉主1 2，罗新文1
，
(1. 武汉理工大学 土木工程与建筑学院，湖北 武汉 430070；2. 中国科学院 岩土力学重点实验室，湖北 武汉 430071)
(1)
式中： e Γ 和 λc 均为确定临界状态线的材料参数，pa 为大气压力。ψ ＞0时，土体处于松散状态；ψ ＜0 时，为密实土。 ψ 值越小，土体越密。 本文将状态参数引入剪胀方程，建立与状态相 关的剪胀函数表达式。在三轴压缩应力空间中剪胀 性函数定义为
o
p
d = d 0 ( M + mψ − η )
～ 3]
。目前，考虑颗粒破碎影响的
1
引
言
砂土应力应变理论模型研究较少[4]，T. S. Ueng 和 T. J. Chen[5]采用 Rowe 的最小能比原理并考虑颗粒 破碎引起的能量耗散， 建立了砂土的应力剪胀关系； 而对普通砂土模型的研究成果相对较多，如近年来 一些学者 [6
～ 9]
钙质砂是海洋生物成因的 CaCO3 含量超过 50% 的粒状材料，在我国南海诸岛分布广泛，其显著特 点是孔隙比高、在较低应力水平下就会产生颗粒破 碎现象，导致其压缩性、剪胀和强度特性等与普通
第 25 卷
第 10 期
孙吉主等. 考虑剪胀性与状态相关的钙质砂双屈服面模型研究
e
• 2147 •
关，另一部分与平均正应力加载有关，并定义剪胀 函数 d = dε / dε ，塑性增量应变可表示为
p1 v p q
p dε q =
η 1 1 p′dη = dq − dp ′ H1 H1 H1
⎛ dη 1 ⎞ d ⎟ dq − ⎜ − ⎜ ⎟ dp ′ H1 ⎝ H1 H 2 ⎠
颗粒破碎时，在常应力比路径下产生的塑性变形很 小。据此提出了砂土单屈服面模型，采用的锥形屈 服面为
f1 = q − η y p ′ = 0
(3)
式中： η y 为屈服剪应力比，且 η y = q / p ′ ，在三轴 应力空间中，q， p ′ 分别为剪应力和平均有效正应
′ + 2σ 3 ′) / 3 。 力，且 q = σ 1 − σ 3 ， p′ = (σ 1
·2146·
岩石力学与工程学报
2006 年
本文通过对重塑和原状钙质砂压缩试验的对 比，提出颗粒破碎会引起附加孔隙比增量，在临界 状态土力学的理论框架内，通过在剪胀函数中引入 状态参数并考虑等向压缩的屈服，建立了 1 个考虑 颗粒破碎影响的钙质砂的弹塑性本构模型，数学描 述简单，对 1 种土只需采用 1 组材料参数，可以描 述较大的密度和压力范围内钙质砂的应力应变响 应，数值模拟与三轴试验结果吻合较好。
与石英砂相比，钙质砂由于富含强度较低的碳 酸钙，在低围压下也会产生颗粒破碎现象，颗粒破 碎对钙质砂的剪胀性和强度有显著的影响。为了考 虑颗粒破碎引起的塑性变形，本文在基于应力比的 开口屈服面基础上，提出了“帽盖”屈服面，即
2
状态相关的剪胀性
在土的应力应变特性模拟过程中，一个重要问
题是如何描述其剪胀性。在三轴应力空间，剪胀性 定义为塑性体应变增量与塑性偏应变增量之比：
⎤ ⎥ ⎧ dq ⎫ H1 ⎥ ⎬ η 1 1 ⎥⎨ ⎩dp′⎭ +d + K H1 H 2 ⎥ ⎦ −
η
图2
天然与重塑钙质砂的各向等压压缩曲线 reconstituted calcareous sand
(8)
Fig.2 Isotropic compression behavior of natural and
将状态参数引入了砂土的本构模型
等， 克服了以前将松、 密砂土视为不同介质的缺点。
收稿日期：2005–08–23；修回日期：2005–11–01 基金项目：国家自然科学基金资助项目(40402024)；中国科学院岩土力学重点实验室开放研究基金资助项目(Z110506) 作者简介：孙吉主(1970–)，男，博士，1993 年毕业于武汉科技大学爆破工程专业，现任副教授，主要从事岩土力学理论与数值模拟方面的研究工作。 E-mail：sunjizhu@ yahoo.com.cn
根据式(13)，常剪应力比下塑性加载模量 H 2 取
式中：n， h0 为模型参数； 〈 〉 为算法符号，且 x＜0 时， 〈 x〉 = 0；x≥0 时， 〈 x〉 = x。计算结果表明，硬 化参数 h 随密度变化时，模型预测效果更好。 由式(10)可知， H 1 依赖于当前应力比与峰值应 力比 η p = M + n〈−ψ 〉 之差，它随土体的状态而变化。 因此，土体较密 (ψ ＜ 0) 时， η p＞M ；较松 (ψ＞ 0) 时或达到临界状态(ψ = 0)时，η p = M 。 在 η ＜η p 和
Abstract：Based on the different compression behaviors of natural and reconstituted calcareous sand，it is presented that the additional void ratio can cause particle breakage of natural calcareous sand. Within the frame work of critical state soil mechanics，an elastoplastic model including the state parameters and cap yield surface is developed. A unique set of parameters for a given sand is needed over a full range of densities and stress levels. By making comparisons of predictions with triaxial test，it is demonstrated that the model provides satisfactory simulation of strength and dilatancy of calcareous sand. Key words：soil mechanics；particle breakage；state parameter；dilatancy；calcareous sand 陆源砂差异较大[1
H2 =
1 + e0 p′ bΔe
(14)
4
模型标定与验证
上述模型一共含有 12 个参数，弹性和临界状态
⎛ py ⎞ e = e + Δe = e + Δei ⎜ ⎜ p′ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
* * b
(2.97 − e) 2 G = G0 1+ e 2(1 + ν ) K =G 3(1 − 2ν )
⎫ ppa ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭
(9)
(12)
式中： Δei 为初始附加孔隙比；b为模型参数，反应 了颗粒破碎的速度。对当前附加孔隙比进行微分， 可得颗粒破碎引起钙质砂的增量体应变为
3.2 应力–应变关系 将增量应变分解为弹性和塑性两部分，分别建 立与增量应力的关系。各向同性的弹性应力–应变 关系如下：
1 ⎫ dq 3G ⎪ ⎪ ⎬ 1 e dε v = dp ′ ⎪ ⎪ K ⎭
e = dε q
(5)
3
模型描述
[11]
式中：G，K 分别为弹性剪切模量和体积模量；上 3.1 双屈服面 对普通砂土而言，H. B. Poorooshasb等 的试 验结果表明：当压力不是很大，不至于引起明显的 标“e”表示弹性分量。 不考虑与屈服面 f 2 相关的塑性剪应变，假设塑 性体应变由两部分组成：一部分与剪应力比加载有
式中： H 1 ， H 2 分别为与屈服面 f 1 = 0 和 f 2 = 0 相
图 2 中 e， e * 分别为天然和重塑(充分破碎)钙质 砂的孔隙比，在一定应力水平范围，假设重塑钙质 砂在压缩过程中颗粒不再破碎，p y 为钙质砂屈服或 颗粒大量破碎的起始压力，附加孔隙比 Δe 为相同应 力水平下天然钙质砂由于颗粒破碎与重塑钙质砂的 孔隙比之差。因而天然钙质砂压缩孔隙比可表示为
摘要：根据重塑和原状钙质砂压缩特性的不同，提出颗粒破碎会引起原状钙质砂的附加孔隙比增量。在临界状态 土力学的理论框架内，通过引入状态参数和帽盖屈服面，建立 1 个考虑颗粒破碎影响的钙质砂的弹塑性本构模型， 在较大密度和应力水平范围内对 1 种土只需采用 1 组材料参数。通过与三轴试验结果比较，模型能较好地描述钙 质砂的强度和剪胀性。 关键词：土力学；颗粒破碎；状态参数；剪胀性；钙质砂 中图分类号：TU 41 文献标识码：A 文章编号：1000–6915(2006)10–2145–05
STUDY ON A TWO-YIELD SURFACE MODEL WITH CONSIDERATION OF STATE-DEPENDENT DILATANCY FOR CALCAREOUS SAND
SUN Jizhu1 2，LUO Xinwen1
，
(1. School of Civil Engineering and Architecture，Wuhan University of Technology，Wuhan，Hubei 430070，China； 2. Key Laboratory of Rock and Soil Mechanics，Institute of Rock and Soil Mechanics，Chinese Academy of Sciences， Wuhan，Hubei 430071，China)
(2)
图1 Fig.1 p-q 空间的双屈服面 Double yield surfaces in p-q stress space
由式(2)可知，剪胀性依赖于当前应力比与相态 转换应力比 η d = M + mψ 之差，而 η d 随材料的密实 状态参数 ψ 而线性变化。对于松散土(ψ ＞0)，在到 达临界状态( η = M 和ψ = 0 同时成立，d = 0)之前， 总有 d＞0，即模型对于松砂在临界破坏之前的响应 总是剪缩；对于密实土(ψ ＜ 0) ，存在有相态转换应 力比 η d ＜M，在该状态剪胀性为 0，模型响应从剪 缩切换到剪胀。
p2 dε v = bΔe
式中： G0 为材料常数， ν 为泊松比。 对与剪应力比增量相关的塑性模量 H 1 ， 考虑与 密实状态的相关性，本文采用如下形式： Gh H1 = ( M + n〈−ψ 〉 − η )
η
(10) (11)
为如下形式：
dp ′ (1 + e0 ) p′
(13)
h = h0 (1 − e)
f 2 = p − pm = 0
式中： p m 为历史最大压力。
(4)
dε 3 ) பைடு நூலகம் 3 ，上标“p”表示塑性。试验表明，与黏土
相比，砂土的剪胀性不仅与剪应力比有关，而且还 依赖于材料的密实程度。基于临界状态的概念，K. Been 和 M. G. Jefferies 差，即
[10]
以上定义的两个屈服面如图 1 所示，它们分别 用于考虑剪应力比变化和常应力比下平均正应力变 化引起的塑性加载。
q f1 = 0 f2 = 0
引入土的松密状态参数ψ，
它是当前孔隙比 e 与相同压力下的临界孔隙比 ec 之
ψ = e − ec = e − [e Γ − λc ln( p′ / pa )]
天然钙质砂
(6)
Δe
p p1 p2 dε v = dε v + dε v =
(7)
重塑钙质砂 py o p′ ln p′
根据式(5)～(7)，可得钙质砂增量应力–应变关 系的矩阵形式为 1 ⎡ 1 + ⎧dε q ⎫ ⎢ 3G H1 ⎨ ⎬=⎢ d ⎩dε p ⎭ ⎢ ⎢ ⎣ H1 关的塑性硬化模量。 3.3 弹、塑性模量 弹性模量 G，K 与孔隙比和平均正应力有关， 采用如下形式[11]：
第 25 卷 第 10 期 2006 年 10 月
岩石力学与工程学报 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering
Vol.25 No.10 Oct.，2006
考虑剪胀性与状态相关的钙质砂 双屈服面模型研究
孙吉主1 2，罗新文1
，
(1. 武汉理工大学 土木工程与建筑学院，湖北 武汉 430070；2. 中国科学院 岩土力学重点实验室，湖北 武汉 430071)
(1)
式中： e Γ 和 λc 均为确定临界状态线的材料参数，pa 为大气压力。ψ ＞0时，土体处于松散状态；ψ ＜0 时，为密实土。 ψ 值越小，土体越密。 本文将状态参数引入剪胀方程，建立与状态相 关的剪胀函数表达式。在三轴压缩应力空间中剪胀 性函数定义为
o
p
d = d 0 ( M + mψ − η )
～ 3]
。目前，考虑颗粒破碎影响的
1
引
言
砂土应力应变理论模型研究较少[4]，T. S. Ueng 和 T. J. Chen[5]采用 Rowe 的最小能比原理并考虑颗粒 破碎引起的能量耗散， 建立了砂土的应力剪胀关系； 而对普通砂土模型的研究成果相对较多，如近年来 一些学者 [6
～ 9]
钙质砂是海洋生物成因的 CaCO3 含量超过 50% 的粒状材料，在我国南海诸岛分布广泛，其显著特 点是孔隙比高、在较低应力水平下就会产生颗粒破 碎现象，导致其压缩性、剪胀和强度特性等与普通
第 25 卷
第 10 期
孙吉主等. 考虑剪胀性与状态相关的钙质砂双屈服面模型研究
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关，另一部分与平均正应力加载有关，并定义剪胀 函数 d = dε / dε ，塑性增量应变可表示为
p1 v p q
p dε q =
η 1 1 p′dη = dq − dp ′ H1 H1 H1
⎛ dη 1 ⎞ d ⎟ dq − ⎜ − ⎜ ⎟ dp ′ H1 ⎝ H1 H 2 ⎠
颗粒破碎时，在常应力比路径下产生的塑性变形很 小。据此提出了砂土单屈服面模型，采用的锥形屈 服面为
f1 = q − η y p ′ = 0
(3)
式中： η y 为屈服剪应力比，且 η y = q / p ′ ，在三轴 应力空间中，q， p ′ 分别为剪应力和平均有效正应
′ + 2σ 3 ′) / 3 。 力，且 q = σ 1 − σ 3 ， p′ = (σ 1
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岩石力学与工程学报
2006 年
本文通过对重塑和原状钙质砂压缩试验的对 比，提出颗粒破碎会引起附加孔隙比增量，在临界 状态土力学的理论框架内，通过在剪胀函数中引入 状态参数并考虑等向压缩的屈服，建立了 1 个考虑 颗粒破碎影响的钙质砂的弹塑性本构模型，数学描 述简单，对 1 种土只需采用 1 组材料参数，可以描 述较大的密度和压力范围内钙质砂的应力应变响 应，数值模拟与三轴试验结果吻合较好。
与石英砂相比，钙质砂由于富含强度较低的碳 酸钙，在低围压下也会产生颗粒破碎现象，颗粒破 碎对钙质砂的剪胀性和强度有显著的影响。为了考 虑颗粒破碎引起的塑性变形，本文在基于应力比的 开口屈服面基础上，提出了“帽盖”屈服面，即
2
状态相关的剪胀性
在土的应力应变特性模拟过程中，一个重要问
题是如何描述其剪胀性。在三轴应力空间，剪胀性 定义为塑性体应变增量与塑性偏应变增量之比：
⎤ ⎥ ⎧ dq ⎫ H1 ⎥ ⎬ η 1 1 ⎥⎨ ⎩dp′⎭ +d + K H1 H 2 ⎥ ⎦ −
η
图2
天然与重塑钙质砂的各向等压压缩曲线 reconstituted calcareous sand
(8)
Fig.2 Isotropic compression behavior of natural and
将状态参数引入了砂土的本构模型
等， 克服了以前将松、 密砂土视为不同介质的缺点。
收稿日期：2005–08–23；修回日期：2005–11–01 基金项目：国家自然科学基金资助项目(40402024)；中国科学院岩土力学重点实验室开放研究基金资助项目(Z110506) 作者简介：孙吉主(1970–)，男，博士，1993 年毕业于武汉科技大学爆破工程专业，现任副教授，主要从事岩土力学理论与数值模拟方面的研究工作。 E-mail：sunjizhu@ yahoo.com.cn
根据式(13)，常剪应力比下塑性加载模量 H 2 取
式中：n， h0 为模型参数； 〈 〉 为算法符号，且 x＜0 时， 〈 x〉 = 0；x≥0 时， 〈 x〉 = x。计算结果表明，硬 化参数 h 随密度变化时，模型预测效果更好。 由式(10)可知， H 1 依赖于当前应力比与峰值应 力比 η p = M + n〈−ψ 〉 之差，它随土体的状态而变化。 因此，土体较密 (ψ ＜ 0) 时， η p＞M ；较松 (ψ＞ 0) 时或达到临界状态(ψ = 0)时，η p = M 。 在 η ＜η p 和
Abstract：Based on the different compression behaviors of natural and reconstituted calcareous sand，it is presented that the additional void ratio can cause particle breakage of natural calcareous sand. Within the frame work of critical state soil mechanics，an elastoplastic model including the state parameters and cap yield surface is developed. A unique set of parameters for a given sand is needed over a full range of densities and stress levels. By making comparisons of predictions with triaxial test，it is demonstrated that the model provides satisfactory simulation of strength and dilatancy of calcareous sand. Key words：soil mechanics；particle breakage；state parameter；dilatancy；calcareous sand 陆源砂差异较大[1
H2 =
1 + e0 p′ bΔe
(14)
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模型标定与验证
上述模型一共含有 12 个参数，弹性和临界状态
⎛ py ⎞ e = e + Δe = e + Δei ⎜ ⎜ p′ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
* * b
(2.97 − e) 2 G = G0 1+ e 2(1 + ν ) K =G 3(1 − 2ν )
⎫ ppa ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭
(9)
(12)
式中： Δei 为初始附加孔隙比；b为模型参数，反应 了颗粒破碎的速度。对当前附加孔隙比进行微分， 可得颗粒破碎引起钙质砂的增量体应变为
3.2 应力–应变关系 将增量应变分解为弹性和塑性两部分，分别建 立与增量应力的关系。各向同性的弹性应力–应变 关系如下：
1 ⎫ dq 3G ⎪ ⎪ ⎬ 1 e dε v = dp ′ ⎪ ⎪ K ⎭
e = dε q
(5)
3
模型描述
[11]
式中：G，K 分别为弹性剪切模量和体积模量；上 3.1 双屈服面 对普通砂土而言，H. B. Poorooshasb等 的试 验结果表明：当压力不是很大，不至于引起明显的 标“e”表示弹性分量。 不考虑与屈服面 f 2 相关的塑性剪应变，假设塑 性体应变由两部分组成：一部分与剪应力比加载有
式中： H 1 ， H 2 分别为与屈服面 f 1 = 0 和 f 2 = 0 相
图 2 中 e， e * 分别为天然和重塑(充分破碎)钙质 砂的孔隙比，在一定应力水平范围，假设重塑钙质 砂在压缩过程中颗粒不再破碎，p y 为钙质砂屈服或 颗粒大量破碎的起始压力，附加孔隙比 Δe 为相同应 力水平下天然钙质砂由于颗粒破碎与重塑钙质砂的 孔隙比之差。因而天然钙质砂压缩孔隙比可表示为
摘要：根据重塑和原状钙质砂压缩特性的不同，提出颗粒破碎会引起原状钙质砂的附加孔隙比增量。在临界状态 土力学的理论框架内，通过引入状态参数和帽盖屈服面，建立 1 个考虑颗粒破碎影响的钙质砂的弹塑性本构模型， 在较大密度和应力水平范围内对 1 种土只需采用 1 组材料参数。通过与三轴试验结果比较，模型能较好地描述钙 质砂的强度和剪胀性。 关键词：土力学；颗粒破碎；状态参数；剪胀性；钙质砂 中图分类号：TU 41 文献标识码：A 文章编号：1000–6915(2006)10–2145–05
STUDY ON A TWO-YIELD SURFACE MODEL WITH CONSIDERATION OF STATE-DEPENDENT DILATANCY FOR CALCAREOUS SAND
SUN Jizhu1 2，LUO Xinwen1
，
(1. School of Civil Engineering and Architecture，Wuhan University of Technology，Wuhan，Hubei 430070，China； 2. Key Laboratory of Rock and Soil Mechanics，Institute of Rock and Soil Mechanics，Chinese Academy of Sciences， Wuhan，Hubei 430071，China)
(2)
图1 Fig.1 p-q 空间的双屈服面 Double yield surfaces in p-q stress space
由式(2)可知，剪胀性依赖于当前应力比与相态 转换应力比 η d = M + mψ 之差，而 η d 随材料的密实 状态参数 ψ 而线性变化。对于松散土(ψ ＞0)，在到 达临界状态( η = M 和ψ = 0 同时成立，d = 0)之前， 总有 d＞0，即模型对于松砂在临界破坏之前的响应 总是剪缩；对于密实土(ψ ＜ 0) ，存在有相态转换应 力比 η d ＜M，在该状态剪胀性为 0，模型响应从剪 缩切换到剪胀。
p2 dε v = bΔe
式中： G0 为材料常数， ν 为泊松比。 对与剪应力比增量相关的塑性模量 H 1 ， 考虑与 密实状态的相关性，本文采用如下形式： Gh H1 = ( M + n〈−ψ 〉 − η )
η
(10) (11)
为如下形式：
dp ′ (1 + e0 ) p′
(13)
h = h0 (1 − e)