分式单元复习与巩固精讲精练
2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式(含解析)
2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式（含解析）1.了解分式、分式方程的概念，进一步发展符号感；2．熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力；3．能解决一些与分式有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识；4．通过学习能获得学习代数知识的常用方法，能感受学习代数的价值。
考点1：分式的概念1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式；3.分式有意义的条件：B≠0；4.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0考点2：分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M是不等于零的整式）.考点3：分式的运算考点4：分式化简求值（1）有括号时先算括号内的；（2）分子/分母能因式分解的先进行因式分解；（3）进行乘除法运算（4）约分；（5）进行加减运算，如果是异分母分式，需线通分，变为同分母分式后，分母不变，分子合并同类项，最终化为最简分式；（6）带入相应的数或式子求代数式的值【题型1：分式的相关概念】【典例1】（2022•怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解答】解：分式有：，，，整式有：x，，x2﹣，分式有3个，故选：B．【典例2】（2023•广西）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠﹣1B．x≠0C．x≠1D．x≠2【答案】A【解答】解：∵分式有意义，∴x+1≠0，解得x≠﹣1．故选：A．1．（2022•凉山州）分式有意义的条件是（）A．x＝﹣3B．x≠﹣3C．x≠3D．x≠0【答案】B【解答】解：由题意得：3+x≠0，∴x≠﹣3，故选：B．2．（2023•凉山州）分式的值为0，则x的值是（）A．0B．﹣1C．1D．0或1【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x2﹣x＝0且x﹣1≠0，解得：x＝0，故选：A．【题型2：分式的性质】【典例3】（2023•兰州）计算：＝（）A．a﹣5B．a+5C．5D．a 【答案】D【解答】解：＝＝a，故选：D．1．（2020•河北）若a≠b，则下列分式化简正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【答案】D【解答】解：∵a≠b，∴，故选项A错误；，故选项B错误；，故选项C错误；，故选项D正确；故选：D．2．（2023•自贡）化简：＝x﹣1．【答案】x﹣1．【解答】解：原式＝＝x﹣1．故答案为：x﹣1．【题型3：分式化简】【典例4】（2023•广东）计算的结果为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝＝．故本题选：C．1．（2023•河南）化简的结果是（）A．0B．1C．a D．a﹣2【答案】B【解答】解：原式＝＝1．故选：B．2．（2023•赤峰）化简+x﹣2的结果是（）A．1B．C．D．【答案】D【解答】解：原式＝+＝＝，故选：D．【题型4：分式的化简在求值】【典例5】（2023•深圳）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝3．【答案】，．【解答】解：原式＝•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝．1．（2023•辽宁）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝3．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝x+2，当x＝3时，原式＝3+2＝5．2．（2023•大庆）先化简，再求值：，其中x＝1．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝﹣+＝＝＝＝，当x＝1时，原式＝＝．3．（2023•西宁）先化简，再求值：，其中a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根．【答案】，6．【解答】解：原式＝[﹣]×a（a﹣b）＝×a（a﹣b）﹣＝﹣＝；∵a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根，∴a+b＝﹣1ab＝﹣6，∴原式＝．1．（2023春•汝州市期末）下列分式中，是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、＝，不是最简分式，不符合题意；B、＝＝，不是最简分式，不符合题意；C、是最简分式，符合题意；D、＝＝﹣1，不是最简分式，不符合题意；故选：C．2．（2023秋•岳阳楼区校级期中）如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（）A．不变B．扩大2倍C．扩大4倍D．缩小2倍【答案】B【解答】解：∵＝＝×2，∴如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值扩大2倍，故选：B．3．（2023•河北）化简的结果是（）A．xy6B．xy5C．x2y5D．x2y6【答案】A【解答】解：x3（）2＝x3•＝xy6，故选：A．4．（2023秋•来宾期中）若分式的值为0，则x的值是（）A．﹣2B．0C．2D．【答案】C【解答】解：由题意得：x﹣2＝0且3x﹣1≠0，解得：x＝2，故选：C．5．（2023秋•青龙县期中）分式的最简公分母是（）A．3xy B．6x3y2C．6x6y6D．x3y3【答案】B【解答】解：分母分别是x2y、2x3、3xy2，故最简公分母是6x3y2；故选：B．6．（2023春•沙坪坝区期中）下列分式中是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解；A、是最简二次根式，符合题意；B、＝，不是最简二次根式，不符合题意；C、＝＝，不是最简二次根式，不符合题意；D、＝﹣1，不是最简二次根式，不符合题意；故选：A．7．（2023春•原阳县期中）化简（1+）÷的结果为（）A．1+x B．C．D．1﹣x【答案】A【解答】解：原式＝×＝×＝1+x．故选：A．8．（2023•门头沟区二模）如果代数式有意义，那么实数x的取值范围是（）A．x≠2B．x＞2C．x≥2D．x≤2【答案】A【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故选：A．9．（2023春•武清区校级期末）计算﹣的结果是（）A．B．C．x﹣y D．1【答案】B【解答】解：﹣＝＝．故答案为：B．10．（2023春•东海县期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝﹣，故选：C．11．（2023秋•莱州市期中）计算的结果是﹣x．【答案】﹣x．【解答】解：÷＝•（﹣）＝﹣x，故答案为：﹣x．12．（2023秋•汉寿县期中）学校倡导全校师生开展“语文阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读的页数为（用含a、b、m的最简分式表示）．【答案】．【解答】解：由题意得：平均每天比原计划要多读的页数为：﹣＝﹣＝，故答案为：．13．（2023春•宿豫区期中）计算＝1．【答案】1．【解答】解：＝＝＝1，故答案为：1．14．（2023•广州）已知a＞3，代数式：A＝2a2﹣8，B＝3a2+6a，C＝a3﹣4a2+4a．（1）因式分解A；（2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．【答案】（1）2a2﹣8＝2（a+2）（a﹣2）；（2）..【解答】解：（1）2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）；（2）选A，B两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式（答案不唯一），＝＝．15．（2023秋•思明区校级期中）先化简，再求值：（），其中．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（﹣）＝÷＝•＝，当x＝﹣1时，原式＝＝．16．（2023秋•长沙期中）先化简，再求值：，其中x＝5．【答案】，．【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝，当x＝5时，原式＝＝．17．（2023•盐城一模）先化简，再求值：，其中x＝4．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（+）•＝•＝•＝x﹣1，当x＝4时，原式＝4﹣1＝3．18．（2022秋•廉江市期末）先化简（﹣x）÷，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值．【答案】﹣，0．【解答】解：原式＝（﹣）•＝﹣•＝﹣，∵（x+1）（x﹣1）≠0，∴x≠±1，当x＝0时，原式＝﹣＝0．1．（2023秋•西城区校级期中）假设每个人做某项工作的工作效率相同，m个人共同做该项工作，d天可以完成若增加r个人，则完成该项工作需要（）天．A．d+y B．d﹣r C．D．【答案】C【解答】解：工作总量＝md，增加r个人后完成该项工作需要的天数＝，故选：C．2．（2023秋•长安区期中）若a＝2b，在如图的数轴上标注了四段，则表示的点落在（）A．段①B．段②C．段③D．段④【答案】C【解答】解：∵a＝2b，∴＝＝＝＝＝，∴表示的点落在段③，故选：C．3．（2023秋•东城区校级期中）若x2﹣x﹣1＝0，则的值是（）A．3B．2C．1D．4【答案】A【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2﹣1＝x，∴x﹣＝1，∴（x﹣）2＝1，∴x2﹣2+＝1，∴x2+＝3，故选：A．4．（2023秋•鼓楼区校级期中）对于正数x，规定，例如，，则＝（）A．198B．199C．200D．【答案】B【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（1）+f（1）＝2，f（2）＝＝，f（）＝＝，f（2）+f（）＝2，f（3）＝＝，f（）＝＝，f（3）+f（）＝2，…f（100）＝＝，f（）＝＝，f（100）+f（）＝2，∴＝2×100﹣1＝199．故选：B．5．（2023秋•延庆区期中）当x分别取﹣2023，﹣2022，﹣2021，…，﹣2，﹣1，0，1，，，…，，，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（）A．﹣1B．1C．0D．2023【答案】A【解答】解：当x＝﹣a和时，＝＝0，当x＝0时，，则所求的和为0+0+0+⋯+0+（﹣1）＝﹣1，故选：A．6．（2022秋•永川区期末）若分式，则分式的值等于（）A．﹣B．C．﹣D．【答案】B【解答】解：整理已知条件得y﹣x＝2xy；∴x﹣y＝﹣2xy将x﹣y＝﹣2xy整体代入分式得＝＝＝＝．故选：B．7．（2023春•铁西区月考）某块稻田a公顷，甲收割完这块稻田需b小时，乙比甲多用0.3小时就能收割完这块稻田，两人一起收割完这块稻田需要的时间是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：乙收割完这块麦田需要的时间是（b+0.3）小时，甲的工作效率是公顷/时，乙的工作效率是公顷/时．故两人一起收割完这块麦田需要的工作时间为＝（小时）．故选：B．8．（2023春•临汾月考）相机成像的原理公式为，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．下列用f，u表示v正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵，去分母得：uv＝fv+fu，∴uv﹣fv＝fu，∴（u﹣f）v＝fu，∵u≠f，∴u﹣f≠0，∴．故选：D．9．（2023•内江）对于正数x，规定，例如：f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，计算：f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝（）A．199B．200C．201D．202【答案】C【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，f（4）＝＝，f（）＝＝，…，f（101）＝＝，f（）＝＝，∴f（2）+f（）＝+＝2，f（3）+f（）＝+＝2，f（4）+f（）＝+＝2，…，f（101）+f（）＝+＝2，f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝2×100+1＝201．故选：C．10．（2023春•灵丘县期中）观察下列等式：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，…＝﹣将以上等式相加得到+++…+＝1﹣．用上述方法计算：+++…+其结果为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由上式可知+++…+＝（1﹣）＝．故选A．11．（2023秋•顺德区校级月考）先阅读并填空，再解答问题．我们知道，（1）仿写：＝，＝，＝．（2）直接写出结果：＝．利用上述式子中的规律计算：（3）；（4）．【答案】（1），；；（2）；（3）；（4）．【解答】解：（1），＝；＝，故答案为：，；；（2）原式＝1﹣+++...++＝1﹣＝；故答案为：；（3）＝＝1﹣+﹣+﹣+⋯⋯+＝1﹣＝；（2）原式＝×（）+×（）+×（）+...+×（）＝（）＝＝．12．（2023秋•株洲期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：，；解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真”或“假”）；（2）将假分式化为带分式；（3）如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值．【答案】（1）真；（2）x﹣2+；（3）﹣1或﹣3或11或﹣15．【解答】解：（1）分式是真分式；故答案为：真；（2）；（3）原式＝，∵分式的值为整数，∴x+2＝±1或±13，∴x＝﹣1或﹣3或11或﹣15．13．（2023秋•涟源市月考）已知，求的值．解：由已知可得x≠0，则，即x+．∵＝（x+）2﹣2＝32﹣2＝7，∴．上面材料中的解法叫做“倒数法”．请你利用“倒数法”解下面的题目：（1）求，求的值；（2）已知，求的值；（3）已知，，，求的值．【答案】（1）；（2）24；（3）．【解答】解：（1）由，知x≠0，∴．∴，x•＝1．∵＝x2+＝（x﹣）2+2＝42+2＝18．∴＝．（2）由＝，知x≠0，则＝2．∴x﹣3+＝2．∴x+＝5，x•＝1．∵＝x2+1+＝（x+）2﹣2+1＝52﹣1＝24．∴＝．（3）由，，，知x≠0，y≠0，z≠0．则＝，＝，y+zyz＝1，∴+＝，+＝，+＝1．∴2（++）＝++1＝．∴++＝．∵＝++＝，∴＝．14．（2022秋•兴隆县期末）设．（1）化简M；（2）当a＝3时，记M的值为f（3），当a＝4时，记M的值为f（4）．①求证：；②利用①的结论，求f（3）+f（4）+…+f（11）的值；③解分式方程．【答案】（1）；（2）①见解析，②，③x＝15．【解答】解：（1）＝＝＝＝＝；（2）①证明：；②f（3）+f（4）+⋅⋅⋅+f（11）＝＝＝＝；③由②可知该方程为，方程两边同时乘（x+1）（x﹣1），得：，整理，得：，解得：x＝15，经检验x＝15是原方程的解，∴原分式方程的解为x＝15．15．（2023春•蜀山区校级月考）【阅读理解】对一个较为复杂的分式，若分子次数比分母大，则该分式可以拆分成整式与分式和的形式，例如将拆分成整式与分式：方法一：原式＝＝＝x+1+2﹣＝x+3﹣；方法二：设x+1＝t，则x＝t﹣1，则原式＝＝．根据上述方法，解决下列问题：（1）将分式拆分成一个整式与一个分式和的形式，得＝；（2）任选上述一种方法，将拆分成整式与分式和的形式；（3）已知分式与x的值都是整数，求x的值．【答案】（1）；（2）；（3）﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5．【解答】解：（1）由题知，，故答案为：．（2）选择方法一：原式＝＝．选择方法二：设x﹣1＝t，则x＝t+1，则原式＝＝＝＝＝．（3）由题知，原式＝＝＝＝．又此分式与x的值都是整数，即x﹣4是39的因数，当x﹣4＝±1，即x＝3或5时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±3，即x＝1或7时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±13，即x＝﹣9或17时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±39，即x＝﹣35或43时，原分式的值为整数；综上所述：x的值为：﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5时，原分式的值为整数．16．（2023春•兰州期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：．解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真分式”或“假分式”）；（2）将假分式化为整式与真分式的和的形式：＝2+．若假分式的值为正整数，则整数a的值为1，0，2，﹣1；（3）将假分式化为带分式（写出完整过程）．【答案】（1）真分式；（2）2+；1，2，﹣1；（3）x﹣1﹣．【解答】解：（1）由题意得：分式是真分式，故答案为：真分式；（2）＝＝2+，当2+的值为正整数时，2a﹣1＝1或±3，∴a＝1，2，﹣1；故答案为：2+；1，2，﹣1；（3）原式＝＝＝x﹣1﹣．1．（2023•湖州）若分式的值为0，则x的值是（）A．1B．0C．﹣1D．﹣3【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x﹣1＝0，且3x+1≠0，解得：x＝1，故选：A．2．（2023•天津）计算的结果等于（）A．﹣1B．x﹣1C．D．【答案】C【解答】解：＝＝＝＝，故选：C．3．（2023•镇江）使分式有意义的x的取值范围是x≠5．【答案】x≠5．【解答】解：当x﹣5≠0时，分式有意义，解得x≠5，故答案为：x≠5．4．（2023•上海）化简：﹣的结果为2．【答案】2．【解答】解：原式＝＝＝2，故答案为：2．5．（2023•安徽）先化简，再求值：，其中x＝．【答案】x+1，．【解答】解：原式＝＝x+1，当x＝﹣1时，原式＝﹣1+1＝．6．（2023•广安）先化简（﹣a+1）÷，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．【答案】；﹣1．【解答】解：（﹣a+1）÷＝•＝．∵﹣2＜a＜3且a≠±1，∴a＝0符合题意．当a＝0时，原式＝＝﹣1．7．（2023•淮安）先化简，再求值：÷（1+），其中a＝+1．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（+）＝÷＝•＝，当a＝+1时，原式＝＝．8．（2023•朝阳）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝3．【答案】，1．【解答】解：原式＝[+]•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝1．。
初中数学《分式》全章复习与巩固(基础巩固练习)
【基础巩固练习】一.选择题1．下列各式：（﹣m ）2，，，x 2+y 2，5，，中，分式有（ ） A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 2.把分式yx x +2中的x y 、都扩大3倍，则分式的值( )． A.扩大3倍 B.扩大6倍C.缩小为原来的31D.不变 3．下列各式中，正确的是( )． A.yx y x y x y x +-=--+- B.y x y x y x y x ---=--+- C.y x y x y x y x -+=--+- D.y x y x y x y x ++-=--+- 4.式子222x x x +--的值为0，那么x 的值是（ ） A ．2 B ．－2C ．±2D ．不存在 5．化简﹣等于（ ） A ． B ．C ．﹣D ．﹣6.下列分式中，最简分式是( )． A.21521y xy B.y x y x +-22 C.222x xy y x y-+- D.y x y x -+22 7．将分式方程2514326242y y y y+-+=--化为整式方程时，方程两边应同乘（ ）． A ．()()2642y y -- B ．()23y -C ．()()423y y --D ．()()232y y -- 8.方程14233x x x -+=--的解是（ ） A ．0B ．2C ．3D ．无解二.填空题9．若x ＞，那么的值是______________． 10．当x ______时，分式121-+x x 有意义． 11．当x ______时，分式122+-x 的值为正． 12．2232)()(yx y x -÷＝______． 13.化简：（+）= ．14.写出下列分式中的未知的分子或分母：（1）2218324()m n m mn =；（2）2()a b ab a b -=；（3）22()x xy x y x --=． 15．分式方程1712112-=-++x x x 若要化为整式方程，在方程两边同乘的最简公分母是______．16．方程256x x x x -=--的解是______． 三.解答题17.计算2312212422a a a a ⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭；（2）222244244x x x x x x x +-++++．18.已知1x =2111242x x x +-+--． 19. 已知345x y z ==，求23x y x y z+-+的值． 20.济南与北京两地相距480km ，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h 到达，已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的3倍，求高铁列车的平均行驶速度．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】B ；【解析】解：（﹣m ）2，，x 2+y 2，5，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．，分母中含有字母，因此是分式． 故选B ．2. 【答案】D ；【解析】23322333()x x x x y x y x y⨯⨯==+++. 3. 【答案】A ；【解析】()()x y x y x y x y x y x y-+---==---++. 4. 【答案】B ；【解析】由题意+2=0x 且220x x --≠，解得2x =-.5. 【答案】B ；【解析】解：原式=+=+==，故选B . 6. 【答案】D ；7. 【答案】D ；【解析】原方程的最简公分母为()()232y y --.8. 【答案】D ；【解析】解分式方程得3x =，经检验，3x =为原方程的增根.二.填空题9. 【答案】1；【解析】若x ＞，不等式两边同时乘以5，得到5x ＞2，则2﹣5x ＜0，∴|2﹣5x|=5x ﹣2， 那么==1．. 10.【答案】12≠； 11.【答案】12<-；【解析】要使分式的值为正，需210x +<，解得12x <-. 12.【答案】4x y ； 【解析】264324232()()x x x y x y y y y x-÷=⋅=. 13.【答案】a ；【解析】解：原式=•=（a +3）•=a ．14.【答案】（1）4n （2）2a ab - （3）x15.【答案】21x -；16.【答案】10x =；【解析】去分母得，()()()625x x x x -=--，化简得：10x =，经检验，10x =是原方程的根.三.解答题17.【解析】解：（1）2312212422a a a a ⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭ 3(2)122(2)2(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤++-=+÷-⎢⎥⎢⎥+-+-+-+-⎣⎦⎣⎦ 3186(2)(2)(2)(2)a a a a a a ++=÷+-+- 3(6)(2)(2)3(2)(2)6a a a a a a ++-==+-+． （2）原式2(4)(2)(2)4222(2)(2)222x x x x x x x x x x x x x ++-+-+=+=+=+++++． 18.【解析】解：原式2111224x x x =-++--22(2)(2)144x x x x --+=+-- 222413444x x x --=+=---．当1x ===19.【解析】解： 设345x y z k ===，则3x k =，4y k =，5z k =． 所以347723324351010x y k k k x y z k k k k ++===-+-⨯+⨯． 20.【解析】解：设普通快车的速度为xkm/时，由题意得：﹣=4，解得：x=80，经检验：x=80是原分式方程的解，3x=3×80=240，答：高铁列车的平均行驶速度是240km/时．。
(全册系列精选)华东师大初中数学八年级下册《分式》全章复习与巩固(提高)巩固练习
【巩固练习】一.选择题1．下列关于x 的方程，其中不是分式方程的是（ ） A.ab a a x +=+1 B.x a b x b a +=-11 C.b x a a x 1-=+ D.1=-+++-nx m x m x n x 2．b a b a b a b a b a b a -+⨯-+÷-+22)()(的结果是（ ） A ．b a b a +- B ．b a b a -+ C ．2)(b a b a -+ D ．13．分式方程)2(6223-+=-x x x x 的解是（ ） A ．0 B ．2C ．0或2D ．无解 4．（2016春•相城区期末）若分式方程=2+有增根，则a 的值为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．0 5．某农场挖一条480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x 米，那么下列方程正确的是（ ）A ．480480420x x -=+ B ．480480204x x -=+ C ．480480420x x -=- D ．480480204x x -=- 6．化简22)11(y x xy y x -⋅-的结果是( )． A ．y x +1 B ．y x +-1 C ．x y - D ．y x -7.若关于x 的方程2403x x a x -+=-有增根，则a 的值为（ ）． A ．13 B ．-11 C ．9 D ．38. 甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则经过ah 相遇；若同向而行，则经过bh 甲追上乙．那么甲的速度是乙的（ ）A ．a b b +倍B ．b a b +倍C ．a b b a +-倍D ．b a b a-+倍 二.填空题9．若分式1||2--x x x 的值为0，则x 的值为______． 10．已知，则= ．11．化简2222936a b a b ab =-______；2426aa ab -＝______． 12．=-+---|3|)12()21(01______．13．计算()()2232a ab --并把结果化成只含有正整数指数幂形式为______． 14．“神威一号”计算机运算速度为每秒384000000000次，其运算速度用科学记数法表示，为______次/秒．15．若分式方程127723=-+-xa x x 的解是0x =，则a =______． 16．a 个人b 天可做c 个零件(设每人速度一样)，则b 个人用同样速度做a 个零件所需天数是________．三.解答题17.（1）已知13a a +=，求221a a +，441a a+的值； （2）已知2217a a +=，求1a a-的值． 18.已知x 2﹣x ﹣6=0，求的值．19.a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+会产生增根？ 20.（2016•聊城）为加快城市群的建设与发展，在A ，B 两城市间新建一条城际铁路，建成后，铁路运行里程由现在的120km 缩短至114km ，城际铁路的设计平均时速要比现行的平均时速快110km ，运行时间仅是现行时间的，求建成后的城际铁路在A ，B 两地的运行时间．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C ；【解析】分式方程是分母含有未知数的等式.2. 【答案】B ；【解析】2222()()()()a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b++++-++÷⨯=⨯⨯=----+--. 3. 【答案】D ；【解析】去分母得，()3226x x =-+，解得2x =是增根.4. 【答案】A ；【解析】解：已知方程去分母得：x=2（x ﹣4）+a ，解得：x=8﹣a ，由分式方程有增根，得到x=4，即8﹣a=4，则a=4．故选：A5. 【答案】A ；【解析】原计划所用时间为480x ，实际所用时间为48020x +，选A ． 6. 【答案】B ； 【解析】22111()()()xy y x xy x y x y xy x y x y x y--⋅=⋅=---++. 7. 【答案】D ；【解析】因为所给的关于x 的方程有增根，即有30x -=，所以增根是3x =．而3x = 一定是整式方程240x x a -+=的根，将其代入得23430a -⨯+=，所以3a =．8. 【答案】C ；【解析】不妨设甲乙两人开始时相距s 千米，甲的速度为1v ，乙的速度为2v ，则根据题意有1212(),().s a v v s b v v =+⎧⎨=-⎩于是 1212()()a v v b v v +=-， 所以 21()()a b v b a v +=-，即12v a b v b a +=-．甲的速度是乙的a b b a +-倍． 二.填空题9. 【答案】0；【解析】由题意20x x -=且||10x -≠，解得0x =.10.【答案】； 【解析】解：设=k ，则x=2k ，y=3k ，z=4k ，则===．11.【答案】32ab a b -；312b a-； 【解析】222222993363(2)2a b a b ab a b ab ab a b a b ==---；2663242(12)12ab ab b a a a a a==---. 12.【答案】4；【解析】101()1)|3|21342--+-=-+=. 13.【答案】841a b； 【解析】()()2232624841a ab a a b a b -----==. 14. 【答案】113.8410⨯；15.【答案】7；【解析】将0x =代入原方程，解得7a =.16.【答案】2a c； 【解析】每人每天做c ab个零件，b 个人用同样速度做a 个零件所需天数是 21c ab a a b a ab b c c÷÷=⨯⨯=． 三.解答题17.【解析】解：（1）因为13a a+=，所以0a ≠， 所以2213a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以22129a a ++=． 所以2217a a +=．同理可得44147a a +=． （2）因为2217a a +=，所以22125a a +-=，所以215a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1a a -= 18.【解析】解：∵x 2﹣x ﹣6=0，∴x 2=x+6，∴把x 2=x+6代入：原式=6(6)636x x x x +++++ =26642x x x x ++++ =66742x x x ++++ =6848x x ++ =68(6)x x ++ =18所以原式的值是18. 19.【解析】解：方程两边都乘以(2)(2)x x +-，得2(2)3(2)x ax x ++=-．整理得(1)10a x -=-．当1a =时，方程无解．当1a ≠时，101x a =--． 如果方程有增根，那么(2)(2)0x x +-=，即2x =，或2x =-．当2x =时，1021a -=-，所以4a =-； 当2x =-时，1021a -=--，所以6a =． 所以当4a =-或6a =时，原方程会产生增根． 20.【解析】解：设城际铁路现行速度是xkm/h ． 由题意得：×=．解这个方程得：x=80．经检验：x=80是原方程的根，且符合题意． 则×=×=0.6（h ）．答：建成后的城际铁路在A ，B 两地的运行时间是0.6h ．。
浙教版初中数学七年级下册《分式》全章复习与巩固(提高)知识讲解
《分式》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．3．掌握分式的四则运算．4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系．5．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．【知识网络】【要点梳理】【405794 分式全章复习与巩固知识要点】要点一、分式的有关概念及性质1．分式一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式AB才有意义.2.分式的基本性质（M为不等于0的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点二、分式的运算1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． 3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算a b a bc c c±±=；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.（2）乘法运算a c acb d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算a c a d adb d bc bc÷=⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘. （4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方。
2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式及应用(含解析)
2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式及应用（含解析）1.了解分式、分式方程的概念，进一步发展符号感．2．熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力．3．能解决一些与分式有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识．【题型1：分式方程及其解法】【典例1】（2023•凉山州）解方程：＝．【答案】x＝2．【解答】解：去分母得：x（x﹣1）＝2，去括号得：x2﹣x＝2，移项得：x2﹣x﹣2＝0，∴（x﹣2）（x+1）＝0，∴x＝2或x＝﹣1，将x＝2代入原方程，原方程左右相等，∴x＝2是原方程的解．将x＝﹣1代入，使分母为0，∴x＝﹣1是原方程的增根，∴原方程的解为：x＝21．（2023•山西）解方程：．【答案】x＝．【解答】解：由题意得最简公分母为2（x﹣1），∴原方程可化为：2+2x﹣2＝3．∴x＝．检验：把x＝代入2（x﹣1）＝1≠0，且原方程左边＝右边．∴原方程的解为x＝．2．（2023•陕西）解方程：．【答案】x＝﹣．【解答】解：原方程两边同乘x（x+5）去分母得：2x2﹣x（x+5）＝（x+5）2，去括号得：2x2﹣x2﹣5x＝x2+10x+25，移项，合并同类项得：﹣15x＝25，解得：x＝﹣，经检验，x＝﹣是分式方程的解，故原方程的解为：x＝﹣．3．（2022•眉山）解方程：＝．【答案】x＝4．【解答】解：＝，方程两边同乘（x﹣1）（2x+1）得：2x+1＝3（x﹣1），解这个整式方程得：x＝4，检验：当x＝4时，（x﹣1）（2x+1）≠0，∴x＝4是原方程的解．4．（2022•西宁）解方程：﹣＝0．【答案】x＝7．【解答】解：方程两边同乘以x（x+1）（x﹣1）得：4（x﹣1）﹣3（x+1）＝0．去括号得：4x﹣4﹣3x﹣3＝0，移项，合并同类项得：x＝7．检验：当x＝7时，x（x+1）（x﹣1）≠0，∴x＝7是原方程的根．∴x＝7．【题型2：分式方程的应用】【典例2】（2023•通辽）某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同．（1）求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？（2）每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．【答案】（1）每台A型机器每天搬运货物90吨，每台B型机器每天搬运货物100吨；（2）购买A型机器12台，B型机器18台时，购买总金额最低是54万元．【解答】解：（1）设每台A型机器每天搬运货物x吨，则每台B型机器每天搬运货物（x+10）吨，由题意得：，解得：x＝90，当x＝90时，x（x+10）≠0，∴x＝90是分式方程的根，∴x+10＝90+10＝100，答：每台A型机器每天搬运货物90吨，每台B型机器每天搬运货物100吨；（2）设购买A型机器m台，购买总金额为w万元，由题意得：，解得：10≤m≤12，w＝1.5m+2（30﹣m）＝﹣0.5m+60；∵﹣0.5＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝12时，w最小，此时w＝﹣0.5×12+60＝54，∴购买A型机器12台，B型机器18台时，购买总金额最低是54万元．1．（2023•长春）随着中国网民规模突破10亿，博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作3000个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，问原计划平均每天制作多少个摆件？【答案】200个摆件．【解答】解：设原计划平均每天制作x个摆件，根据题意，得，解得x＝200，经检验，x＝200是原方程的根，且符合题意，答：原计划平均每天制作200个摆件．2．（2023•宁夏）“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍．（1）求两种型号玩具的单价各是多少元？根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：甲：＝+30，解得x＝5，经检验x＝5是原方程的解．乙：＝1.6×，解得x＝65，经检验x＝65是原方程的解．则甲所列方程中的x表示B型玩具的单价，乙所列方程中的x表示A型玩具的数量（2）该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进A型玩具多少个？【答案】（1）B型玩具的单价；A型玩具的数量；（2）116个．【解答】解：（1）根据所列方程即可知，甲所列方程中的x表示B型玩具的单价；乙所列方程中的x表示A型玩具的数量；故答案为：B型玩具的单价；A型玩具的数量；（2）设可购进A型玩具a个，则B型玩具（200﹣a）个，根据题意得：8a+5（200﹣a）≤1350，a≤116，∴整数a最大值是116，答：最多可购进A型玩具116个3．（2023•黑龙江）2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空．某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．【答案】（1）A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；（2）共有6种购买方案；（3）m＝5．【解答】解：（1）设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件（x+10）元，根据题意得：＝，解得：x＝40，经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意，∴x+10＝40+10＝50．答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；（2）设购买y件A款文化衫，则购买（300﹣y）件B款文化衫，根据题意得：，解得：275≤y≤280，又∵y为正整数，∴y可以为275，276，277，278，279，280，∴共有6种购买方案；（3）设购买300件两款文化衫所需总费用为w元，则w＝50×0.7y+（40﹣m）（300﹣y）＝（m﹣5）y+300（40﹣m），∵（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，∴w的值与y值无关，∴m﹣5＝0，∴m＝5．答：m的值为5．4．（2023•泸州）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）10元；（2）该商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3000元．【解答】解：（1）设该商场节后每千克A粽子的进价为x元，根据题意，得，解得x＝10或x＝﹣12（舍去），经检验，x＝10是原分式方程的根，且符合题意，答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元；（2）设该商场节前购进m千克A粽子，总利润为w元，根据题意，得12m+10（400﹣m）≤4600，解得m≤300，w＝（20﹣12）m+（16﹣10）（400﹣m）＝2m+2400，∵2＞0，∴w随着m增大而增大，当m＝300时，w取得最大值，最大利润为2×300+2400＝3000（元），答：该商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3000元．【题型3：与分式方程的解有关的问题】【典例3】（2023•黑龙江）已知关于x的分式方程+1＝的解是非负数．则m的取值范围是（）A．m≤2B．m≥2C．m≤2且m≠﹣2D．m＜2且m≠﹣2【答案】C【解答】解：分式方程去分母得：m+x﹣2＝﹣x，解得：x＝，由分式方程的解是非负数，得到≥0，且﹣2≠0，解得：m≤2且m≠﹣2，故选：C1．（2023•齐齐哈尔）如果关于x的分式方程的解是负数，那么实数m的取值范围是（）A．m＜﹣1B．m＞﹣1且m≠0C．m＞﹣1D．m＜﹣1且m≠﹣2【答案】D【解答】解：将分式方程两边同乘（x+1），去分母可得：2x﹣m＝x+1，移项，合并同类项得：x＝m+1，∵原分式方程的解是负数，∴m+1＜0，且m+1+1≠0，解得：m＜﹣1且m≠﹣2，故选：D．2．（2023•淄博）已知x＝1是方程的解，那么实数m的值为（）A．﹣2B．2C．﹣4D．4【答案】B【解答】解：将x＝1代入方程，得：﹣＝3，解得：m＝2．故选：B．3．（2023•巴中）关于x的分式方程+＝3有增根，则m＝﹣1．【答案】见试题解答内容【解答】解：方程两边同乘（x﹣2）得：x+m﹣1＝3（x﹣2），由题意得：x＝2是该整式方程的解，∴2+m﹣1＝0，解得：m＝﹣1，故答案为：﹣1．1．（2023秋•乐亭县期中）解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（）A．1﹣2＝﹣3x B．1﹣2（x﹣1）＝﹣3xC．1﹣2（1﹣x）＝﹣3x D．1﹣2（x﹣1）＝3x【答案】B【解答】解：解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为：1﹣2（x﹣1）＝﹣3x，故选：B．2．（2023秋•株洲期中）分式方程的解是（）A．x＝﹣9B．x＝﹣6C．x＝5D．x＝﹣2【答案】A【解答】解：原方程去分母得：7（x+3）＝2（2x﹣3），去括号得：7x+21＝4x﹣6，移项，合并同类项得：3x＝﹣27，系数化为1得：x＝﹣9，经检验，x＝﹣9是分式方程的解，故选：A．3．（2022秋•朔城区期末）若关于x的分式方程无解，则n＝（）A．﹣1B．0C．1D．【答案】A【解答】解：，去分母，得x+x+2＝n﹣1，合并同类项、系数化为1，得，由题意可知，分式方程的增根为x＝﹣2，即有，解得n＝﹣1．故选：A．4．（2023秋•冷水滩区校级期中）2023年5月12日是我国第15个全国防灾减灾日，我校组织八年级部分同学进行了两次地震应急演练，在优化撤离方案后，第二次平均每秒撤离的人数比第一次的多15，结果2000名同学全部撤离的时间比第一次节省了240秒，若设第一次平均每秒撤离x人，则x满足的方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由题意得：＝+240，故选：A．5．（2022秋•天河区校级期末）已知关于x的方程有增根，则a的值为（）A．4B．5C．6D．﹣5【答案】D【解答】解：∵方程有增根，∴x﹣5＝0，∴x＝5，，x＝3（x﹣5）﹣a，x＝3x﹣15﹣a，把x＝5代入整式方程解得a＝﹣5，故选：D．6．（2024•辽宁模拟）解分式方程时，将方程两边都乘同一个整式．得到一个一元一次方程，这个整式是（）A．x B．x﹣1C．x（x+1）D．x（x﹣1）【答案】D【解答】解：将两边同时乘以x（x﹣1）即可得到一个一元一次方程，故选：D．7．（2022秋•五常市期末）若关于x的方程无解，则m的值为0或4．【答案】0或4．【解答】解：，2（2x+1）＝mx，4x+2＝mx，（4﹣m）x＝﹣2，∵方程无解，可分为以下两种情况：①分式方程没有意义时，x＝0或﹣，此时m＝0，②整式不成立时，4﹣m＝0，∴m＝4，故答案为：0或4．8．（2023秋•新田县期中）甲，乙，丙三管齐开，12分钟可以注满全池，乙，丙，丁三管齐开，15分钟可注满全池．甲，丁两管齐开，20分钟注满全池，如果是四管齐开，需要10分钟可以注满全池．【答案】10．【解答】解：设分别打开甲，乙，丙，丁四个进水管，注满全池所用的时间分别为a分钟，b分钟，c分钟，d分钟．根据题意得：，三式相加得：2（）＝，∴＝，则四管齐开，需要10分钟可以注满全池．故答案为：10．9．（2023秋•岱岳区期中）解方程：（1）；（2）．【答案】（1）x＝2；（2）无解．【解答】解：（1）去分母得：2x+1＝5x﹣5，解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的解；（2）去分母得：16+x2﹣4＝x2+4x+4，解得：x＝2，经检验x＝2是增根，分式方程无解．10．（2023秋•平南县期中）今年杭州亚运会期间，某商店用3000元购进一批亚运会吉祥物，很快售完，第二次购进时，每个吉祥物的进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10个．（1）求第一次购进的每个吉祥物的进价为多少元？（2）若两次购进的吉祥物售价均为96元，且全部售出，则该商店两次购进吉祥物的总利润为多少元？【答案】（1）50元；（2）1700元．【解答】解：（1）设第一次每个的进价为x元，则第二次进价为（1+20%）x，根据题意得：，解得：x＝50，经检验：x＝50是方程的解，且符合题意，答：第一次购进的每个吉祥物的进价为50元；（2）70×（）﹣3000×2＝1700（元），答：该商店两次购进吉祥物的总利润为1700元．11．（2023秋•南县期中）《非机动车管理办法》规定：电动自行车驾驶人和乘坐人员应该戴安全头盔．某商店用1600元购进一批电动车头盔，销售发现供不应求，于是，又用5400元再购进一批头盔，第二批头盔的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵10元．第一批头盔进货单价多少元？【答案】见试题解答内容【解答】解：设第一批头盔进货单价为x元，则第二批头盔进货单价为（x+10）元，根据题意得：＝3×，解得：x＝80，经检验，x＝80是所列方程的解，且符合题意．答：第一批头盔进货单价为80元．12．（2023秋•兴宾区期中）某公司接到制作15000件冰墩墩的订单，为了尽快完成任务，该公司实际每天制作冰墩墩的件数是原计划每天制作件数的1.5倍，结果提前10天完成任务．（1）求原计划每天制作多少件冰墩墩？（2）该公司原计划每天支付给工人的总工资是1000元，实际每天支付给工人的总工资比原计划增长了20%，完成任务后，该公司实际支付的工资与原计划相比多还是少？多或者少的具体数额是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设原计划每天制作x件冰墩墩，则实际每天制作1.5x件冰墩墩，根据题意得：﹣＝10，解得：x＝500，经检验，x＝500是所列方程的解，且符合题意．答：原计划每天制作500件冰墩墩；（2）完成任务后，该公司原计划支付的工资总额为1000×＝1000×30＝30000（元）；该公司实际支付的工资总额为1000×（1+20%）×＝1200×20＝24000（元）．∵24000＜30000，30000﹣24000＝6000（元），∴公司实际支付的工资比原计划少了，少了6000元．答：该公司实际比原计划少支付工资6000元．1．（2023秋•大渡口区校级期中）若关于x的方程有正整数解，且关于x的不等式组有且只有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为﹣4．【答案】﹣4．【解答】解：方程的解为x＝，根据题意，得，解得a＜1，a为奇数且a≠﹣5．∵不等式的解集为﹣5≤x＜，且只有3个整数解，∴﹣3＜≤﹣2，解得﹣7＜a≤1．综上：﹣7＜a＜1，a为奇数且a≠﹣5，∴a＝﹣3，﹣1．∵﹣3﹣1＝﹣4，∴符合条件的所有整数a的和为﹣4故答案为：﹣4．2．（2023秋•祁阳县期中）a为何值时，关于x的方程+＝无解？【答案】见试题解答内容【解答】解：由原方程得：2（x+2）+ax＝3（x﹣2），整理得：（a﹣1）x＝﹣10，（i）当a﹣1＝0，即a＝1时，原方程无解；（ii）当a﹣1≠0，原方程有增根x＝±2，当x＝2时，2（a﹣1）＝﹣10，即a＝﹣4；当x＝﹣2时，﹣2（a﹣1）＝﹣10，即a＝6，即当a＝1，﹣4或6时原方程无解．（1）1﹣＝（2）﹣＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）去分母得：x2﹣25﹣x﹣5＝x2﹣5x，解得：x＝，经检验x＝是分式方程的解；（2）去分母得：3x+3﹣2x+2＝1，解得：x＝﹣4，经检验x＝﹣4是分式方程的解．3．（2023•新化县模拟）某工厂对零件进行检测，引进了检测机器．已知一台检测机的工作效率相当于一名检测员的20倍．若用这台检测机检测900个零件要比15名检测员检测这些零件少3小时．（1）求一台零件检测机每小时检测零件多少个？（2）现有一项零件检测任务，要求不超过7小时检测完成3450个零件．该厂调配了2台检测机和30名检测员，工作3小时后又调配了一些检测机进行支援，则该厂至少再调配几台检测机才能完成任务？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设一名检测员每小时检测零件x个，由题意得：﹣＝3，解得：x＝5，经检验：x＝5是分式方程的解，20x＝20×5＝100，答：一台零件检测机每小时检测零件100个；（2）设该厂再调配a台检测机才能完成任务，由题意得：（2×100+30×5）×7+100a×（7﹣3）≥3450，解得：a≥2.5，∵a为正整数，∴a的最小值为3，答：该厂至少再调配3台检测机才能完成任务．4．（2022秋•代县期末）为缓解忻州至太原段的交通压力，促进两市经济发展．山西省委决定修建“太忻大道”，现“太忻大道”正在建设中．甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工30天完成该项工程的，这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程．（1）若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？（2）若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程？【答案】（1）乙队单独施工，需要30天才能完成该项工程；（2）乙队至少施工18天才能完成该项工程．【解答】解：（1）设乙队单独施工，需要x天才能完成该项工程，∵甲队单独施工30天完成该项工程的，∴甲队单独施工90天完成该项工程，根据题意可得：+15（+）＝1，解得：x＝30，检验得：x＝30是原方程的根，答：乙队单独施工，需要30天才能完成该项工程；（2）设乙队参与施工y天才能完成该项工程，根据题意可得：×36+y×≥1，解得：y≥18，答：乙队至少施工18天才能完成该项工程．5.（2023•兴庆区校级模拟）宁夏中宁县素有“枸杞之乡”的美誉，某商场从中宁县枸杞批发市场购进甲、乙两种不同价位的枸杞，甲种枸杞共用了2000元，乙种枸杞共用了2400元．已知乙种枸杞每千克进价比甲种枸杞每千克进价多8元，且购进的甲、乙两种枸杞的数量相同．（1）求甲、乙两种枸杞每千克的进价．（2）该商场将购进的甲、乙两种枸杞进行销售，甲种枸杞的销售单价为60元，乙种枸杞的销售单价为88元．销售过程中发现甲种枸杞销量不好，商场决定：甲种枸杞销售一定数量后按原销售单价的七折销售；乙种枸杞销售单价不变，要使两种枸杞全部售完共获利不少于2460元，问甲种枸杞按原销售单价至少销售多少千克？【答案】（1）甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；（2）20件．【解答】解：（1）设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为（x+8）元．根据题意，得，＝，解得x＝40．经检验，x＝40是原方程的解．答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；（2）甲乙两种商品的销售量为＝50．设甲种商品按原销售单价销售a件，则，（60﹣40）a+（60×0.7﹣40）（50﹣a）+（88﹣48）×50≥2460，解得a≥20．答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．6．（2022•南岗区校级一模）某中学为了创建书香校园，去年购买了一批图书．其中故事书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购买的故事书与用800元购买的文学书数量相等．（1）求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元？（2）若今年文学书的单价比去年提高了25%，故事书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买文学书和故事书共200本，且购买文学书和故事书的总费用不超过2120元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设去年文学书单价为x元，则故事书单价为（x+4）元，根据题意得：，解得：x＝8，经检验x＝8是原方程的解，当x＝8时x+4＝12，答：去年文学书单价为8元，则故事书单价为12元．（2）设这所学校今年购买y本文学书，根据题意得．8×（1+25%）y+12（200﹣y）≤2120，y≥140，∴y最小值是140；答：这所中学今年至少要购买140本文学书．7．（2022春•大观区校级期末）已知，关于x的分式方程＝1．（1）当a＝2，b＝1时，求分式方程的解；（2）当a＝1时，求b为何值时分式方程＝1无解；（3）若a＝3b，且a、b为正整数，当分式方程＝1的解为整数时，求b的值．【答案】（1）x＝；（2）或b＝5；（3）b可取3、29、55、185这四个数．【解答】解：（1）把a＝2，b＝1代入分式方程中，得，方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），2（x﹣5）﹣（1﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），2x2+3x﹣13＝2x2﹣7x﹣15，10x＝﹣2，x＝，检验：把x＝代入（2x+3）（x﹣5）≠0，所以原分式方程的解是x＝．答：分式方程的解是x＝．（2）把a＝1代入分式方程得，方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），（x﹣5）﹣（b﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），x﹣5+2x2+3x﹣2bx﹣3b＝2x2﹣7x﹣15，（11﹣2b）x＝3b﹣10，①当11﹣2b＝0时，即，方程无解；②当11﹣2b≠0时，，时，分式方程无解，即，b不存在；x＝5时，分式方程无解，即，b＝5．综上所述，或b＝5时，分式方程无解．（3）把a＝3b代入分式方程中，得：方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），3b（x﹣5）+（x﹣b）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），整理得：（10+b）x＝18b﹣15，∴，∵，且b为正整数，x为整数，∴10+b必为195的因数，10+b≥11，∵195＝3×5×13，∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195，但1、3、5小于11，不合题意，故10+b可以取13、15、39、65、195这五个数．对应地，方程的解x为3、5、13、15、17，由于x＝5为分式方程的增根，故应舍去．对应地，b只可以取3、29、55、185，所以满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．8．（2022春•宁波期末）我们把形如x+＝a+b（a，b不为零），且两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称为“十字分式方程”．例如x+＝4为十字分式方程，可化为x+＝1+3，∴x1＝1，x2＝3．再如x+＝﹣6为十字分式方程，可化为x+＝（﹣2）+（﹣4），∴x1＝﹣2，x2＝﹣4．应用上面的结论解答下列问题：（1）若x+＝﹣5为十字分式方程，则x1＝﹣2，x2＝﹣3．（2）若十字分式方程x﹣＝﹣2的两个解分别为x1＝m，x2＝n，求的值．（3）若关于x的十字分式方程x﹣＝﹣k﹣1的两个解分别为x1，x2（k＞0，x1＞x2），求的值．【答案】（1）﹣2：﹣3（2）﹣（3）﹣【解答】解：（1）x+＝﹣5可化为x+＝（﹣2）+（﹣3），∴x1＝﹣2，x2＝﹣3．（2）由已知得mn＝﹣5，m+n＝﹣2，∴+＝＝＝＝﹣．（3）原方程变为x﹣2﹣＝﹣k﹣3，∴x﹣2+＝k+（﹣2k﹣3）∴x1﹣2＝k，x2﹣2＝﹣2k﹣3，∴＝＝﹣．1．（2023•海南）分式方程＝1的解是（）A．x＝6B．x＝﹣6C．x＝5D．x＝﹣5【答案】A【解答】解：去分母，得1＝x﹣5，移项，得﹣x＝﹣5﹣1，合并同类项，得﹣x＝﹣6，系数化为1，得x＝6，经检验，x＝6是原方程的解，∴方程的解是x＝6．故选：A．2．（2023•大连）解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（）A．1+3＝3x（1﹣x）B．1+3（x﹣1）＝﹣3xC．x﹣1+3＝﹣3x D．1+3（x﹣1）＝3x【答案】B【解答】解：分式方程的两侧同乘（x﹣1）得：1﹣3（x﹣1）＝﹣3x．故选：B．3．（2023•淄博）为贯彻落实习近平总书记关于黄河流域生态保护和高质量发展的重要讲话精神，某学校组织初一、初二两个年级学生到黄河岸边开展植树造林活动．已知初一植树900棵与初二植树1200棵所用的时间相同，两个年级平均每小时共植树350棵．求初一年级平均每小时植树多少棵？设初一年级平均每小时植树x棵，则下面所列方程中正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：设初一年级平均每小时植树x棵，根据题意可得：，故选：D．5．（2023•日照）若关于x的方程﹣2＝的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＞﹣B．m＜C．m＞﹣且m≠0D．m＜且m≠【答案】D【解答】解：﹣2＝，去分母得，2x﹣4（x﹣1）＝3m，整理得，2x﹣4x+4＝3m，解得，x＝，∵分式方程的解为正数，∴4﹣3m＞0且，∴m＜且m≠．故选：D．6．（2023•重庆）若关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，且关于y的分式方程+＝2的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为13．【答案】13．【解答】解：解不等式组，得：，∵原不等式组的解集为：x＜﹣2，∴﹣≥﹣2，∴a≤5，解分式方程+＝2，得y＝，∵y＞0且y≠1，∴＞0且≠1，∴a＞﹣2且a≠1，∴﹣2＜a≤5，且a≠1，∴符合条件的整数a有：﹣1，0，2，3，4，5，∴﹣1+0+2+3+4+5＝13．故答案为：13．7．（2023•广西）解分式方程：．【答案】见试题解答内容【解答】解：，方程两边同乘x（x﹣1）得：2x＝x﹣1，移项解得：x＝﹣1．将x＝﹣1代入x（x﹣1）≠0，∴x＝﹣1是原分式方程的解．8．（2023•连云港）解方程＝﹣3．【答案】见试题解答内容【解答】解：去分母得：2x﹣5＝3x﹣3﹣3（x﹣2），去括号得：2x﹣5＝3x﹣3﹣3x+6，移项得：2x﹣3x+3x＝5﹣3+6，合并同类项得：2x＝8，把x的系数化为1得：x＝4，检验：把x＝4代入最简公分母x﹣2＝4﹣2＝2≠0，故原分式方程的解为：x＝4．9．（2022•河南）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A 种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．【答案】（1）菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元；（2）本次购买最少花费2250元．【解答】解：（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，根据题意得：＝+3，解得x＝20，经检验，x＝20是原方程的解，答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元；（2）设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗（100﹣m）捆，∵A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，∴m≤100﹣m，解得m≤50，设本次购买花费w元，∴w＝20×0.9m+30×0.9（100﹣m）＝﹣9m+2700，∵﹣9＜0，∴w随m的增大而减小，∴m＝50时，w取最小值，最小值为﹣9×50+2700＝2250（元），答：本次购买最少花费2250元．。
华东师大初中数学八年级下册《分式》全章复习与巩固(提高)巩固练习(精选)
【巩固练习】一.选择题1．下列关于x 的方程，其中不是分式方程的是（ ） A.ab a a x +=+1 B.x a b x b a +=-11 C.b x a a x 1-=+ D.1=-+++-nx m x m x n x 2．b a b a b a b a b a b a -+⨯-+÷-+22)()(的结果是（ ） A ．b a b a +- B ．b a b a -+ C ．2)(b a b a -+ D ．13．分式方程)2(6223-+=-x x x x 的解是（ ） A ．0 B ．2C ．0或2D ．无解 4．（2016春•相城区期末）若分式方程=2+有增根，则a 的值为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．0 5．某农场挖一条480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x 米，那么下列方程正确的是（ ）A ．480480420x x -=+ B ．480480204x x -=+ C ．480480420x x -=- D ．480480204x x -=- 6．化简22)11(yx xy y x -⋅-的结果是( )． A ．y x +1 B ．y x +-1 C ．x y - D ．y x -7.若关于x 的方程2403x x a x -+=-有增根，则a 的值为（ ）． A ．13 B ．-11 C ．9 D ．38. 甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则经过ah 相遇；若同向而行，则经过bh 甲追上乙．那么甲的速度是乙的（ ）A ．a b b +倍B ．b a b +倍C ．a b b a +-倍D ．b a b a-+倍 二.填空题9．若分式1||2--x x x 的值为0，则x 的值为______．10．已知，则= ．11．化简2222936a b a b ab =-______；2426aa ab -＝______． 12．=-+---|3|)12()21(01______．13．计算()()2232a ab --并把结果化成只含有正整数指数幂形式为______．14．“神威一号”计算机运算速度为每秒384000000000次，其运算速度用科学记数法表示，为______次/秒．15．若分式方程127723=-+-xa x x 的解是0x =，则a =______． 16．a 个人b 天可做c 个零件(设每人速度一样)，则b 个人用同样速度做a 个零件所需天数是________．三.解答题17.（1）已知13a a +=，求221a a +，441a a+的值； （2）已知2217a a +=，求1a a-的值． 18.已知x 2﹣x ﹣6=0，求的值．19.a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+会产生增根？ 20.（2016•聊城）为加快城市群的建设与发展，在A ，B 两城市间新建一条城际铁路，建成后，铁路运行里程由现在的120km 缩短至114km ，城际铁路的设计平均时速要比现行的平均时速快110km ，运行时间仅是现行时间的，求建成后的城际铁路在A ，B 两地的运行时间．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C ；【解析】分式方程是分母含有未知数的等式.2. 【答案】B ；【解析】2222()()()()a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b++++-++÷⨯=⨯⨯=----+--. 3. 【答案】D ；【解析】去分母得，()3226x x =-+，解得2x =是增根.4. 【答案】A ；【解析】解：已知方程去分母得：x=2（x ﹣4）+a ，解得：x=8﹣a ，由分式方程有增根，得到x=4，即8﹣a=4，则a=4．故选：A5. 【答案】A ；【解析】原计划所用时间为480x ，实际所用时间为48020x +，选A ． 6. 【答案】B ； 【解析】22111()()()xy y x xy x y x y xy x y x y x y--⋅=⋅=---++. 7. 【答案】D ；【解析】因为所给的关于x 的方程有增根，即有30x -=，所以增根是3x =．而3x = 一定是整式方程240x x a -+=的根，将其代入得23430a -⨯+=，所以3a =．8. 【答案】C ；【解析】不妨设甲乙两人开始时相距s 千米，甲的速度为1v ，乙的速度为2v ，则根据题意有1212(),().s a v v s b v v =+⎧⎨=-⎩于是 1212()()a v v b v v +=-， 所以 21()()a b v b a v +=-，即12v a b v b a +=-．甲的速度是乙的a b b a +-倍． 二.填空题9. 【答案】0；【解析】由题意20x x -=且||10x -≠，解得0x =.10.【答案】； 【解析】解：设=k ，则x=2k ，y=3k ，z=4k ，则===．11.【答案】32ab a b -；312b a-； 【解析】222222993363(2)2a b a b ab a b ab ab a b a b ==---；2663242(12)12ab ab b a a a a a==---. 12.【答案】4；【解析】101()1)|3|21342--+-=-+=.13.【答案】841a b ； 【解析】()()2232624841a ab a a b a b -----==. 14. 【答案】113.8410⨯；15.【答案】7；【解析】将0x =代入原方程，解得7a =.16.【答案】2a c； 【解析】每人每天做c ab个零件，b 个人用同样速度做a 个零件所需天数是 21c ab a a b a ab b c c÷÷=⨯⨯=． 三.解答题17.【解析】解：（1）因为13a a+=，所以0a ≠， 所以2213a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以22129a a ++=． 所以2217a a +=．同理可得44147a a+=． （2）因为2217a a +=，所以22125a a +-=，所以215a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1a a -= 18.【解析】解：∵x 2﹣x ﹣6=0，∴x 2=x+6，∴把x 2=x+6代入：原式=6(6)636x x x x +++++ =26642x x x x ++++ =66742x x x ++++=6848x x ++ =68(6)x x ++ =18所以原式的值是18. 19.【解析】解：方程两边都乘以(2)(2)x x +-，得2(2)3(2)x ax x ++=-．整理得(1)10a x -=-．当1a =时，方程无解．当1a ≠时，101x a =--． 如果方程有增根，那么(2)(2)0x x +-=，即2x =，或2x =-．当2x =时，1021a -=-，所以4a =-； 当2x =-时，1021a -=--，所以6a =． 所以当4a =-或6a =时，原方程会产生增根． 20.【解析】解：设城际铁路现行速度是xkm/h ． 由题意得：×=．解这个方程得：x=80．经检验：x=80是原方程的根，且符合题意． 则×=×=0.6（h ）．答：建成后的城际铁路在A ，B 两地的运行时间是0.6h ．。
必刷基础练【第15章《分式》章节复习巩固】(解析版)
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）基础第15章《分式》章节复习巩固考试时间：100分钟 试卷满分：100分阅卷人得分一、选择题(共10题；每题2分，共20分)1．（2分）（2022八上·覃塘期中）若分式2(2)(3)4x x x +--的值为零，则x 的值是（ ）A ．-2B ．3C ．2D ．3或-2【答案】B【完整解答】解： 分式2(2)(3)4x x x +--的值为零，∴(x +2)(x −3)=0①x 2−4≠0②，由①得2x =-或3x =，由②得2x ≠且2x ≠-，综上所述，x 的值是3x =故答案为：B ．【思路引导】分式值等于的条件是分子等于0且分母不等于0，据此列出混合组，求解即可.2．（2分）（2022八上·覃塘期中）下列等式中正确的是()A ．22b b a a=B ．1a ba b--=--C ．0.10.330.22x y x yx y x y--=++D ．221x y x y x y-=-+【答案】D【完整解答】解：A 、分式中分子分母都平方，等式不成立，故A 选项错误；B 、变符号分子得−（a ＋b ），故B 选项错误；C 、分子分母同乘10，分母中的y 也要乘10，故C 选项错误；D 、先把分母分解因式得（x ＋y ）（x −y ），分子分母约分即可，故D 选项正确．故答案为：D ．【思路引导】分式的基本性质是分式的分子、分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变，而A 选项的分子乘的是b ，分母乘的a ，只有当a=b 的时候才成立；B 选项的分子除的是（a+b ），分母除的是（a-b ），只有当b=0的时候才成立；C 选项的分子乘的是10，分母中只有0.2x 乘10，y 没有乘10，故此选项不成立；D 选项的分子与分母同时除以了（x-y ），符合分式的性质，故成立.3．（2分）（2022八上·莱西期中）在式子5a ，31x +，3x y +，2a a，3x y +中，分式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【完整解答】解：在式子5a ，31x +，3x y +，2a a ，3x y +中，5a为整式，31x +，3x y +，2a a，3x y +是分式，故答案为：D ．【思路引导】根据分式的定义逐项判断即可。
分式精讲精练55道
2022-2023学年八年级数学下学期复习备考高分秘籍（苏科版）专题1.5分式精讲精练（11大核心考点深度分类导练，例题11道+变式44道）【知识梳理】1.分式的有关概念：分式有意义的条件是 不为零；分式无意义的条件是分母 ；分式值为零的条件是 为零且 不为零．注意：分式有意义的条件是分母不为0，无意义的条件是分母为0．分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0．2.分式的性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个 的整式，分式的值 ．用式子表示为)0()0(≠÷÷=≠⋅⋅=C C B C A B A C CB C A B A注意：（1） 是分式变形的理论依据，所有分式变形都不得与此相违背，否则分式的值改变；（2）将分式化简，即 ，要先找出分子、分母的 ，如果分子、分母是多项式，要先将它们分别 ，然后再 ，约分应彻底；（3）巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题，可应用逆向思维，把要求的算式和已知条件由两头向中间凑的方式来求代数式的值．3．分式的加减运算 加减法法则：① 同分母的分式相加减：分母 ， 相加减②异分母的分式相加减：先，变为同分母的分式，然后再加减．注意：（1）分式加减运算的运算法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．（2）异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的．求最简公分母的方法是：①将各个分母分解因式；②找各分母系数的最小公倍数；③找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的，满足②③的因式之积即为各分式的最简公分母．4.分式的乘除运算（1）乘法法则：分式乘分式，用作为积的分子，作为积的分母．乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．（2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式．注意：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去．5.分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先算，再将除法化为，进行化简，最后进行加减运算．若有括号，先算括号里面的．灵活运用运算律，运算结果必须是分式或整式．【典例剖析】【例1】要使分式x1(x1)(x2)有意义，x的取值应满足（ ）A．x≠﹣2B．x≠1C．x≠﹣2或x≠1D．x≠﹣2且x≠1【变式训练】1．（2023春•洛江区校级月考）下列各式中，分式的个数为（ ）a2x1，xπ1，―3ab，12x+y，12x y，12x+y．A．5B．4C．3D．22．（2023•余姚市校级模拟）若代数式x1x1有意义，则x的取值范围是（ ）A．x≠1B．x≠﹣1C．x＞1D．x＞﹣1 3．（2023春•原阳县月考）下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（ ）A ．x a|x|2B ．x 2x 1C ．3x 1x2D ．x 22x 214．（2023•河北模拟）式子2a ﹣a ÷b 可以化为（ ）A ．abB ．―abC ．2a ―abD ．2a ―b a【例2】若分式|x|2x 2的值为零，则x 的值为 ﹣2 ．【变式训练】5．（2023•瑞安市模拟）若分式2x 4x 3的值为0，则x 的值为（ ）A ．x ＝2B ．x ＝3C ．x ＝﹣2D ．x ＝06．（2022秋•大连期末）分式x 249x 7的值为零，则x 的值为（ ）A ．±7B ．7C ．﹣7D ．07．（2023春•鼓楼区校级月考）下列关于分式的判断，正确的是（ ）A ．当x ＝2时，x 1x 2的值为零B ．当x 为任意实数时，3x 21的值总为正数C ．无论x 为何值，3x 1不可能得整数值D ．当x ≠3时，x 3x有意义8．（2023春•原阳县月考）有一个分式，两位同学分别说出了它的一些特点，甲：分式的值不可能为0；乙：分式有意义时的取值范围是m ≠1；请你写出满足上述全部特点的一个分式： ．【例3】将分式x yx 2y 中x 、y 的值都变为原来的2倍，则该分式的值（ ）A ．变为原来的2倍B ．变为原来的4倍C ．不变D ．变为原来的一半【变式训练】9．（2023春•西乡塘区校级月考）如果把分式3xyx y 中的x 、y 同时扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）A ．缩小为原来的12B ．扩大为原来的2倍C ．扩大为原来的4倍D ．不变10．（2023春•宜宾月考）下列各分式正确的是（ ）A ．b a =b 2a2B ．x 6x3=x 2C ．x 25xx 210x 25=xx 5 D ．―x 1x y =x 1x y11．（2023春•原阳县月考）不改变分式3x 1x 27x 2的值，使分式的分子、分母中x 的最高次项的系数都是正数，应该是（ ）A ．3x 1x 27x 2B ．3x 1x 27x 2C ．3x 1x 27x 2D ．3x 1x 27x 212．（2023•佛山一模）已知b ＞a ＞0，下列选项正确的是（ ）A ．ab ＜a 1b 1B ．a b ＞a 1b 1C ．1a 21＜1(a 1)2D ．ab ＜a mb m【例4】分式a3b 2和59a 2b的最简公分母是 ．【变式训练】13．（2023春•宜宾月考）下列各分式中，是最简分式的是（ ）A ．xyx 2B ．y 2yxyC ．x 2y 2x yD ．x 2y 2x y14．（2022秋•思明区期末）若9x9△是一个最简分式，则△可以是（ ）A ．xB ．13C ．3D ．3x15．（2023春•宜宾月考）23x 2(x y)，23x 3y ，12xy 的最简公分母是 ．16．（2022秋•新华区校级期末）有分别写有x ，x +1，x ﹣1的三张卡片，若从中任选一个作为分式()x 21的分子，使得分式为最简分式，则应选择写有 的卡片．【例5】化简x 2y 2(y x)2的结果是 ．【变式训练】17．约分①36xy 2z 36yz 2②m 242m m 2③82mm216．18．约分：（1）36xy2z36yz2（2）82mm216（3）m244m 2m m2．19．通分：（1）x6ab2，y9a2bc；（2）1x216，12x8．20．通分：（1）4a5b2c，3c10a2b，5b2ac2（2）x(2x4)2，16x3x2，2xx24．【例6】已知1a―1b=13，则abb a的值等于 3 ．【变式训练】21．（2023•海曙区校级一模）若ab=2，则2a bb= ．22．（2023•荔湾区校级开学）已知3m6的值为正整数，则整数m的值为 ．23．（2022秋•福清市期末）已知分式2x ax b（a，b为常数）满足表格中的信息：x的取值20.5c 分式的值无意义03则c的值是 ．24．（2022秋•九龙坡区校级期末）已知x2=y3=z5≠0，则分式3x2y z5x2y3z的值为 ．【例7】计算（xy﹣x2）÷x yxy的结果（ ）A．1yB．x2y C．﹣x2y D．﹣xy【变式训练】25．（2022秋•阳谷县期末）计算(x2x)2÷x24x22x的结果是 ．26．（2023•襄州区开学）计算（ab）2÷（2a25b）⋅a5b= ．27．计算：（1）ab⋅ba2；（2）(a2―a)÷aa1；（3）x21y÷x1y2．28．计算：（1）8m2n4⋅(―3m4n3)÷(―m2n2)；（2）xx21÷x2yx2x；（3）―(mn)5⋅(―n2m)4÷(―mn)4；（4）(xy+x2)÷x22xy y2xy⋅x yx3．【例8】计算：x2x1―x+1＝ ．【变式训练】29．（2023•阳城县一模）化简x2x24―x22xx24x4的结果是（ ）A．1xx2B．x1x2C．xx2D．1x230．（2023•东港区校级一模）观察下列各式：a1＝1，a2=25，a3=14，…，它们按一定规律排列，第n个数记为a n，且满足则1a n+1a n+2=2a n+1，则a2023＝ ．31．计算：（1）21a+a22a3(a1)2（2）11x+2x1x2．32．计算：（1）x2x1―x―1（2）x2x22x―x1x24x4（3）(xy―x2)(1x+1y x)（4）（x﹣1―8x1）÷x3x1．【例9】同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同．爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”，这个时候小明若有所思，如果爸爸、妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为x元/升，第二次加油汽油单价是y元/升（x≠y），妈妈每次加满油箱，需加油a升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸、妈妈谁更合算呢？（ ）A．爸爸B．妈妈C．一样D．不确定【变式训练】33．（2022秋•南岗区期末）某次列车平均提速vkm/h，用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km，可求得提速前列车的平均速度为 km/h．34．（2022秋•裕华区校级期末）某生产车间要制造a个零件，原计划每天制造x个，后为了供货需要，每天多制造6个，可提前 天完成任务．35．（2022•思明区校级模拟）生活中有这么一个现象：“有一杯a克的糖水里含有b克糖，如果在这杯糖水里再加入m克糖（仍不饱和），则糖水更甜了”，其中a＞b＞0，m＞0．（1）加入m克糖之前糖水的含糖率A＝ ；加入m克糖之后糖水的含糖率B＝ ；（2）请你解释一下这个生活中的现象．36．有A，B两箱水果，A箱水果重量为（a﹣1）2kg，B箱水果重量为（a2﹣1）kg（其中a＞1），售完后，两箱水果都卖了120元．（1）哪箱水果的单价要高些？（2）两箱水果中高的单价是低的单价的多少倍？【例10】化简（1）2a4a24+1 （2）x2y2x22xy y2÷（x2―xyx y）【变式训练】37．（2023春•沙坪坝区校级月考）计算：（1）x22xx1―11x；（2）x4x3÷(x―3―7x3)．38．（2023春•兴化市月考）计算：（1）2x2―xx2；（2）2aa24⋅a2a+aa2．39．（2023•南京一模）计算（1a1―a21a22a1）÷a2aa1．40．（2023•榆次区一模）下面是小敏同学化简分式(5x2―1)⋅x3x29的过程，请认真阅读并完成相应任务．解：原式=(5x2―1)⋅x3(x3)(x3)……第一步=51x2⋅1x3……第二步=4x2⋅1x3⋯⋯第三步=4x2x6……第四步任务一：填空：①第一步中分母的变形用到的公式是 ；②第 步开始出现错误，错误的原因是 ；任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果．【例11】已知ab=54，求aa b+ba b―b2a2b2的值．【变式训练】41．（2023•镇海区校级模拟）先化简，再求值：x1x22x1÷（x2x1x1―x﹣1）―1x2，然后从﹣1，0，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值．42．（2023•雁塔区校级四模）先化简，再求值：x2x2x÷(1x1+1―x)，其中x＝﹣3．43．（2023•天长市一模）已知A=xy y2y2x2÷(1x y―1x y)．（1）化简A；（2）当x2+y2＝13，xy＝﹣6时，求A的值．44．（2018秋•闵行区期末）阅读材料：已知xx21=13，求x2x41的值解：由xx21=13得，x21x=3，则有x+1x=3，由此可得，x41x2=x2+1x2=（x+1x）2﹣2＝32﹣2＝7；所以，x2x41=17．xx2x1=a，用a的代数式表示x2x4x21的值．请理解上述材料后求：已知。
浙教版初中数学七年级下册《分式》全章复习与巩固(基础)知识讲解
《分式》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．3．掌握分式的四则运算．4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数,科学记数法.构建和发展相互联系的知识体系．5．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．【知识网络】【要点梳理】【分式全章复习与巩固知识要点】要点一、分式的有关概念及性质1．分式一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式AB才有意义.2.分式的基本性质（M为不等于0的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点二、分式的运算1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算a b a b c c c±±= ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.（2）乘法运算 a c ac b d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算 a c a d ad b d b c bc÷=⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.（4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方.4．零指数. 5.负整数指数6.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.7.科学记数法（1）把一个绝对值大于10的数表示成10n a ⨯的形式，其中n 是正整数，1||10a ≤<（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即10n a -⨯的形式，其中n 是正整数，1||10a ≤<.用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法.要点三、分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.要点四、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.【典型例题】类型一、分式及其基本性质1、在ma y x xy x x x x 1,3,3,)1(,21,12+++π中，分式的个数是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C ； 【解析】()21131x x a x x x y m+++，，，是分式. 【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．2、当x 为何值时，分式293x x -+的值为0？ 【思路点拨】先求出使分子为0的字母的值，再检验这个值是否使分母的值等于0，当它使分母的值不等于0时，这个值就是要求的字母的值．【答案与解析】解： 要使分式的值为0，必须满足分子等于0且分母不等于0．由题意，得290,30.x x ⎧-=⎨+≠⎩ 解得3x =．∴ 当3x =时，分式293x x -+的值为0． 【总结升华】分式的值为0的条件是：分子为0，且分母不为0，即只有在分式有意义的前提下，才能考虑分式值的情况.举一反三：【变式】（1）若分式的值等于零，则x ＝_______；（2）当x ________时，分式没有意义．【答案】（1）由24x -＝0，得2x =±. 当x ＝2时x －2＝0，所以x ＝－2；（2）当10x -=，即x ＝1时，分式没有意义． 类型二、分式运算3、（2017•青浦区一模）计算：÷（a ﹣1）+． 【思路点拨】结合分式混合运算的运算法则进行求解即可．【答案与解析】解：原式=×+ =+ =+ =．【总结升华】本题考查了分式的混合运算，解答本题的关键在于熟练掌握分式混合运算的运算法则．举一反三：【变式】（2015•滨州）化简：÷（﹣）【答案】解：原式=÷=• =﹣．4、计算：（1）5231010-⨯⨯； （2）134139m npmn p ----÷； （3）22223a a b b ⎛⎫-⎛⎫÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）1322233(3)(2)(3)mn m n m n ----÷． 【思路点拨】（1）题和（2）题只有乘除运算，按幂的乘法和除法法则进行计算；（3）题中出现了分式，可先将每一个分式转化为整数指数幂，然后再用法则计算；（4）题中出现了整数幂的乘法、除法、乘方计算；先算乘方，再算乘除．【答案与解析】解：（1）原式5233133103103101000-+-=⨯=⨯=⨯=； （2）原式5111(4)3(1)252221(39)33n m n p m n p m p ---------=÷==； （3）原式242222244994a a a b b b ba =÷= 242222999444ab a a--+-===； （4）原式333244333(2)(3)m n m n m n ---=-÷32434334(3)4443236363m m n m n n +-------⨯==-=-． 【总结升华】（1）整数指数幂的运算结果一般要用正整数指数幂来表示．如：（4）题中的结果得到4436m n --后，还要化为4436m n -．（2）进行混合运算时特别要注意运算顺序．5、用科学记数法表示下列各数：（1）0.00001；（2）0.000000203；（3）-0.000135；（4）0.00067【答案与解析】解：（1）0.00001＝510-；（2）0.000000203＝72.0310-⨯；（3）-0.000135＝41.3510--⨯；（4）0.00067＝46.710-⨯.【总结升华】注意在10n a -⨯中n 的取值是这个数从左边起第一个不是零的数前面零的个数（包括小数点前边的零）．类型三、分式方程的解法【 分式全章复习与巩固 例6（1）】6、解方程23222x x x -=+- 【答案与解析】解：23222x x x -=+-方程两边同乘以()()22x x -+，得()()()()2232222x x x x x --+=+-72x =27x =检验： 当27x =时，最简公分母()()22x x -+≠0， ∴27x =是原方程的解. 【总结升华】分式方程一定要记得检验.举一反三：【变式】()1231244x x x -=---， 【答案】解： 方程两边同乘以()24x -，得()()12422332x x x =---=-∴ 检验：当32x =-时，最简公分母()240x -≠， ∴32x =-是原方程的解． 类型四、分式方程的应用7、（2015•东莞二模）某市为治理污水，需要铺设一条全长为600米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加20%，结果提前5天完成这一任务，原计划每天铺设多少米管道？【思路点拨】先设原计划每天铺设x 米管道，则实际施工时，每天的铺设管道（1+20%）x 米，由题意可得等量关系：原计划的工作时间﹣实际的工作时间=5，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答．【答案与解析】解：设原计划每天铺设x 米管道，由题意得：﹣=5，解得：x=20，经检验：x=20是原方程的解．答：原计划每天铺设20米管道．【总结升华】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．举一反三：【变式】小明家、王老师家、学校在同一条路上，并且小明上学要路过老师家，小明到王老师家的路程为3 km ，王老师家到学校的路程为0.5 km ，由于小明的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校、王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的速度是他步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20 min ，王老师步行的速度和骑自行车的速度各是多少?【答案】解：设王老师步行的速度为x km/h ，则他骑自行车的速度为3x km/h.根据题意,得230.50.520360x x ⨯+=+． 解这个方程，得5x =．经检验5x =是原方程的根且符合题意．当5x =时，315x =．答：王老师步行的速度为5km/h ，他骑自行车的速度为15km/h ．。
初二数学八上第十五章分式知识点总结复习和常考题型练习
第十五章 分式一、知识框架 ：二、知识概念：1.分式：形如AB，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.2.分式有意义的条件：分母不等于0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a bc c c±±=⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：a c ad cbb d bd±±=⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c acb d bd⨯=⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d adb d bc bc÷=⨯=⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭8.整数指数幂：⑴m n m na a a +⨯=（m n 、是正整数）⑵()nm mn aa =（m n 、是正整数）⑶()nn n ab a b =（n 是正整数）⑷m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >）⑸nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 是正整数）⑹1n na a -=（0a ≠，n 是正整数） 9.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).常考例题精选1.(2015·宜昌中考)若分式有意义，则a 的取值范围是 ( ) A.a=0 B.a=1 C.a ≠-1D.a ≠02.(2015·丽水中考)把分式方程=转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以 ( ) A.xB.2xC.x+4D.x(x+4)3.(2015·宜宾中考)分式方程 - =的解为 ( ) A.3B.-3C.无解D.3或-34.(2015·海南中考)今年我省荔枝喜获丰收，有甲、乙两块面积相同的荔枝园，分别收获荔枝8 600kg和9 800kg，甲荔枝园比乙荔枝园平均每亩少60kg，问甲荔枝园平均每亩收获荔枝多少kg?设甲荔枝园平均每亩收获荔枝xkg，根据题意，可得方程( )A.=B.=C.=D.=5.(2015·河池中考)若分式有意义，则x的取值范围是.6.(2015·白银中考)若代数式-1的值为零，则x= ________.7.(2015·齐齐哈尔中考)若关于x的分式方程=-2有非负数解，则a的取值范围是.8.(2015·呼和浩特中考)化简：÷.9.(2015·连云港中考)先化简，再求值：÷，其中m=-3，n=5.10.(2015·凉山州中考)某车队要把4000t货物运到雅安地震灾区(方案定后，每天的运量不变).(1)从运输开始，每天运输的货物吨数n(单位：t)与运输时间t(单位：天)之间有怎样的函数关系式?(2)因地震，到灾区的道路受阻，实际每天比原计划少运20%，则推迟1天完成任务，求原计划完成任务的天数.11.(2015·重庆中考)先化简，再求值：÷，其中x是不等式3x+7>1的负整数解.12.(2015·玉溪中考)某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球.回校后，王老师和李老师编写了一道题：同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元?13.(2015·娄底中考)为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4 800元.已知甲、乙两车单独运完此垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元.(1)求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟? (2)若单独租用一台车，租用哪台车合算?1．(2015·黔西南州)分式1x －1有意义，则x 的取值范围是( )A ．x>1B ．x ≠1C ．x<1D ．一切实数2．下列各分式与ba 相等的是( )A .b 2a 2B .b ＋2a ＋2C .aba 2 D .a ＋b 2a3．下列分式的运算正确的是( )A .1a ＋2b ＝3a ＋b B ．(a ＋bc )2＝a 2＋b 2c 2C .a 2＋b 2a ＋b ＝a ＋bD .3－a a 2－6a ＋9＝13－a4．(2015·泰安)化简(a ＋3a －4a －3)(1－1a －2)的结果等于( )A ．a －2cB ．a ＋2C .a －2a －3D .a －3a －25．若x ＝3是分式方程a －2x －1x －2＝0的根，则a 的值是( )A ．5B ．－5C ．3D ．－36．已知a＝－0.32，b＝－3－2，c＝(－13)－2，d＝(－13)0，比较a，b，c，d的大小关系，则有( )A．a＜b＜c＜d B．a＜d＜c＜bC．b＜a＜d＜c D．c＜a＜d＜b7．学完分式运算后，老师出了一道题“化简：x＋3x＋2＋2－xx2－4”．小明的做法是：原式＝（x＋3）（x－2）x2－4－x－2x2－4＝x2＋x－6－x－2x2－4＝x2－8x2－4；小亮的做法是：原式＝(x＋3)(x－2)＋(2－x)＝x2＋x－6＋2－x＝x2－4；小芳的做法是：原式＝x＋3x＋2－x－2（x＋2）（x－2）＝x＋3x＋2－1x＋2＝x＋3－1x＋2＝1.其中正确的是( )A．小明B．小亮C．小芳D．没有正确的8．已知关于x的分式方程mx－1＋31－x＝1的解是非负数，则m的取值范围是( )A．m>2 B．m≥2C．m≥2且m≠3 D．m>2且m≠39．(2015·鄂尔多斯)小明上月在某文具店正好用20元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜1元，结果小明只比上次多用了4元钱，却比上次多买了2本．若设他上月买了x 本笔记本，则根据题意可列方程( )A.24x＋2－20x＝1 B.20x－24x＋2＝1 C.24x－20x＋2＝1 D.20x＋2－24x＝110．如果a，b，c是非零实数，且a＋b＋c＝0，那么a|a|＋b|b|＋c|c|＋abc|abc|的所有可能的值为( )A．0 B.1或－1 C．2或－2 D．0或－211．已知空气的单位体积质量是0.001 239 g/cm3，则用科学记数法表示该数为．12．当x ＝1时，分式x －b x ＋a 无意义；当x ＝2时，分式2x －b3x ＋a的值为0，则a＋b ＝ ．13．计算：(a 2b)－2÷(2a －2b －3)－2＝ (结果只含有正整数指数幂)．14．(2015·长沙)方程5x ＝7x －2的解是x ＝ ．15．若b a －b ＝12，则3a 2－5ab ＋2b 22a 2＋3ab －6b 2的值是 ．16．若(x －y －2)2＋|xy ＋3|＝0，则(3x x －y －2x x －y )÷1y的值是 ．17．轮船在顺流中航行64 km 与在逆流中航行34 km 一共用去的时间，等于该船在静水中航行180 km 所用的时间．已知水流的速度是每小时3 km ，求该船在静水中的速度．设该船在静水中的速度为x km /h ，依题意可列方程 ．18．(2015·黑龙江)关于x 的分式方程m x 2－4－1x ＋2＝0无解，则m＝ ．19．计算或化简：(1)38－2－1＋|2－1|； (2)2x x 2－4－1x －2；(3)3－a2a－4÷(a＋2－5a－2)．20．解分式方程：(1)1x－x－2x＝1; (2)12x－1＝12－34x－2.21．化简求值：(1)(2015·淮安)先化简(1＋1x－2)÷x－1x2－4x＋4，再从1，2，3三个数中选一个合适的数作为x的值，代入求值；(2)已知x2x2－2＝3，求(11－x－11＋x)÷(xx2－1＋x)的值．22．当x 取何值，式子3(2x －3)－1与12(x －1)－1的值相等．23． (2015·宜宾)近年来，我国逐步完善养老金保险制度，甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老保险金15万元和10万元，甲计划比乙每年多缴纳养老保险金0.2万元．求甲、乙两人计划每年分别缴纳养老保险金多少万元？24．小明去离家2.4 km 的体育馆看球赛，进场时，发现门票还放在家中，此时离比赛还有45 min ，于是他立即步行(匀速)回家取票，在家取票用时2 min ，取到票后，他马上骑自行车(匀速)赶往体育馆．已知小明骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少20 min ，骑自行车的速度是步行速度的3倍．(1)小明步行的速度是多少？(2)小明能否在球赛开始前赶到体育馆？25．某开发商要建一批住房，经调查了解，若甲、乙两队分别单独完成，则乙队完成的天数是甲队的1.5倍；若甲、乙两队合作，则需120天完成．(1)甲、乙两队单独完成各需多少天？(2)施工过程中，开发商派两名工程师全程监督，需支付每人每天食宿费150元．已知乙队单独施工，开发商每天需支付施工费为10000元．现从甲、乙两队中选一队单独施工，若要使开发商选甲队支付的总费用不超过选乙队的，则甲队每天的施工费最多为多少元？(总费用＝施工费＋工程师食宿费)。
专题5.18 分式与分式方程(全章复习与巩固)(巩固篇)八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)
专题5.18分式与分式方程（全章复习与巩固）（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．下列式子是分式的是（）A ．2a b -B ．5yπ+C ．8x x+D ．1+x2．无论a 取何值，下列分式中，总有意义的是（）A ．311a -B ．2a a-C ．211a a --D ．221a a +3．下列分式从左到右变形正确的是（）A ．22a ab b +=+B ．22a ab b=C ．1-=--a bb aD ．22b a ab=4．下列分式是最简分式的是（）A ．93b aB ．22ab a bC ．a b a b+-D ．2a a ab-5．关于式子222111x x xx x ++÷--，下列说法正确的是（）A ．当1x =时，其值为2B ．当=1x -时，其值为0C ．当10x -＜＜时，其值为正数D ．当1x -＜时，其值为正数6．已知关于x 的方程4124x mx -=+的解是负数，那么m 的取值范围是（）A ．4m >-B ．4m <-C ．4m <-且8m ≠-D ．4m >-且8m ≠-7．已知关于x 的分式方程133k x x =-的解是正数，则k 的取值范围为（）A ．3k ≤B ．3k ≤且0k ≠C ．3k <D ．3k <且0k ≠8．若关于x 的方程2142mx x =--有解，则m 应满足（）A ．0m ≠B ．14m ≠C ．0m ≠且14m ≠D ．m 不存在9．解关于x 的方程2=-1-1+1x k x x x x -不会产生增根，则k 的值是（）A ．2B ．1C ．2k ≠且2k ≠-D ．无法确定10．八年级学生去距学校10km 的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．如果设骑车学生的速度为km/min x ，那么下面所列方程中正确的是（）A ．1010220x x =++B ．1010202x x=-C ．1010220x x =⨯+D ．1010202x x=+二、填空题11．要把分式212x y 与213xy 通分，其最简公分母为______．12．已知113m n-=，则分式2322m mn n m mn n +---的值为_____．13．已知113x y -=，则分式2322x xy yx xy y+---的值为______________．14．若21(1)(2)12x A Bx x x x +=+++++恒成立，则A +B ＝____．15．若关于x 的方程301ax x+=-无解，则a 的值为______．16．一组按规律排列的式子：()25811234,,,0b b b b ab a a a a--≠ ，其中第7个式子是_____．17．已知分式方程11(1)(2)x mx x x -=--+的解x 满足25x -≤≤，求m 的取值范围．18．一次函数y ＝（a ﹣5）x +a 的图像不经过第三象限；且关于x 的分式方程2322axx x =---有整数解，则满足条件的整数a 的和为_____．三、解答题19．已知123x y x-=-，x 取哪些值时：(1)y 的值是正数；(2)y 的值是负数；(3)y 的值是零；(4)分式无意义．20．计算：(1)（1﹣1x ）÷21x x-；(2)（1+32-m ）÷22144m m m --+•222m m --．21．先化简，再求值：2139b b b ---÷243b b b -+，其中b 与2，4构成ABC 的三边，且b为整数．22．解方程：(1)21155x x=+--；(2)()()11223x x x x -=--+．23．国庆节期间，几名大学生包租了一辆车准备从市区到郊外游览，租金为300元，出发时，又增加了两名学生，总人数达到x 名．(1)原来平均每名学生需分摊车费元，现在平均每名学生需分摊车费元；(2)开始包车的几名学生平均每人可比原来少分摊多少钱？24．“一带一路”的战略构想为国内许多企业的发展带来了新的机遇，其中华为企业凭信自身实力在国际上得到快速发展，华为手机也越来越受到国际消费者的喜爱；成都某手机专P和Mate30两款手机，两款手机售价如表：卖店经销华为40售价型号去年国庆假期售价（元/部）今年元旦假期售价（元/部）P4*******华为40华为Mate3050004500假设两款手机的进价始终保持不变．P手机数量相同，且去年国庆假期利润为若今年元旦假期和去年国庆假期卖出的华为404.5万元，今年元旦假期利润为2.25万元．P手机进价为多少元？(1)求每部华为40P的进价多400元，专卖店考虑到即将到来的五一促销(2)若每台Mate30的进价比40活动，预计用不少于32万元且不多于32.1万元的资金购进这两款手机共90部，请问有哪几种进货方案？如果购进的手机全部（按今年元旦假期的售价）销售出去，哪种方案获得的利润最大？参考答案1．C【分析】根据分式的定义作答．解：A、是多项式，故本选项不符合题意；B、是多项式，故本选项不符合题意；C、分母中含有字母x，是分式，故本选项符合题意；D 、是多项式，故本选项不符合题意；故选：C ．【点拨】本题主要考查的是分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．2．D【分析】根据分式有意义的条件逐项判断即可．解：A ．当1a =时，分式311a -没有意义．故本选项不合题意；B ．当0a =时，分式2a a-没有意义．故本选项不合题意；C ．当1a =时，分式211a a --没有意义．故本选项不合题意；D ．因为20a ≥，所以2210a +≠，所以分式221a a +总有意义，故本选项符合题意．故选：D ．【点拨】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．3．C【分析】利用分式的基本性质，进行计算逐一判断即可解答．解：A ．22a ab b +≠+，故A 不符合题意；B ．22≠a a b b，故B 不符合题意；C ．()1a b a bb a a b --==----，故C 符合题意；D ．()220b b a ab=≠，故D 不符合题意；故选：C ．【点拨】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．4．C【分析】根据最简分式的定义依次判断即可．解：A ：93=3b ba a，不符合题意；B ：2=221ab a b a，不符合题意；C ：a ba b+-是最简分式，符合题意；D ：2=1a a ab a b--，不符合题意；故选：C ．【点拨】本题考查最简分式，解题的关键是熟知一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式．5．D【分析】先根据分式的四则运算法则化简分式并确定x 的取值范围，然后根据x 的取值范围和分式的性质逐项排查即可解答．解：222111x x x x x ++÷--＝2(1)1(1)(1)x x x x x+-⋅-+＝1x x+，∵210x -¹，∴1x ≠或1x ≠-，0x ≠，∴A ．由1x ≠，故A 说法错误，不符合题意；B ．由1x ≠-，故B 说法错误，不符合题意；C ．当10x ﹣＜＜时，10x x+<，故C 说法错误，不符合题意；D ．当1x -＜时，10x x+>，故D 说法正确，符合题意．故选：D ．【点拨】本题主要考查了分式的四则混合运算、分式有意义的条件、分式的意义等知识点，明确分式有意义的条件是解答本题的关键．6．C【分析】先解分式方程求出方程的解，再根据解是负数、240x +≠求解即可得．解：4124x mx -=+，方程两边同乘以()24x +，得424x m x -=+，解得42m x +=， 关于x 的方程4124x mx -=+的解是负数，402m +∴<且42402m +⨯+≠，解得4m <-且8m ≠-，故选：C ．【点拨】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．7．D【分析】先求出分式方程的解33x k=-，再根据解是整数，得到3k <，最后根据分母不为0，得到0k ≠，即可得到k 的取值范围．解：方程两边同时乘以()31x x -，得：33x kx -=，33x k∴=-， 分式方程的解是正数，30k ∴->，3k ∴<，0x ≠ ，330x -≠，0x ∴≠且1x ≠，0k ∴≠，3k ∴<且0k ≠，故选：D ．【点拨】本题考查分式方程的解，正确表示分式方程的解是求解本题的关键．8．C【分析】通过取分母把分式方程化为整式方程，用含m 的式子表示x ，进而即可求解．解：2142mx x =--，去分母，得()12m x =+．去括号，得12mx m =+．移项，得12mx m =-．x 的系数化为1，得12x m=-． 关于x 的方程2142mx x =--有解，122m∴-≠±．14m ∴≠且0m ≠．故选：C ．【点拨】本题主要考查解分式方程，掌握去分母，把分式方程化为整式方程是关键．9．C【分析】先将分式方程化为整式方程，解得1=2x k ，根据题意可得1x ≠±，从而求出k的值．解：去分母得，(+1)=(1)x x k x x --，解得1=2x k ，∵方程2=-1-1+1x k x x x x -不会产生增根，∴1x ≠±，∴1±12k ≠，即±2k ≠．故选：C ．【点拨】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．10．B【分析】设骑车学生的速度为/min xkm ，则汽车的速度为2/min xkm ，根据题意列方程即可得到答案．解：设骑车学生的速度为/min xkm ，则汽车的速度为2/min xkm ，根据题意，得：1010202x x=-，故选B ．【点拨】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．11．226x y 【分析】根据确定最简公分母的步骤找出最简公分母即可．解：2222221312,2636y xx y x y xy x y ==，最简公分母为226x y ；故答案为：226x y ．【点拨】此题考查最简公分母，解题关键在于掌握确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．12．35##0.6【分析】先把条件式113m n-=化为3,m n mn -=-再整体代入代数式求值即可.解：113m n-=，去分母得：3,n m mn -=3,m n mn \-=-∴()()2323222m n mnm mn n m mn n m n mn-++-=----63333255mn mn mn mn mn mn -+-===---故答案为：35【点拨】本题考查的是已知条件式求解分式的值，把条件式变形，再整体代入求值是解本题的关键.13．35##0.6【分析】根据分式的加减将已知等式变形为3y x xy -=，代入分式即可求解．解：∵113x y-=，∴3y xxy-=，即3y x xy -=，∴2322x xy y x xy y +---()232x y xy x y xy -+=--6332xy xy xy xy-+=--3=5．故答案为：35．【点拨】本题考查了分式的求值，分式的加减，正确的计算是解题的关键．14．2.【分析】根据异分母分式加减法法则将12A B x x +++进行变形，继而由原等式恒成立得到关于A 、B 的方程组，解方程组即可得.解：()()()()()()()212121212A x B x A B x A B A Bx x x x x x +++++++==++++++，又∵21(1)(2)12x A Bx x x x +=+++++∴221A B A B +=⎧⎨+=⎩，解得13A B =-⎧⎨=⎩，∴A +B ＝2，故答案为2.【点拨】本题考查了分式的加减法，恒等式的性质，解二元一次方程组，得到关于A 、B 的方程组是解题的关键.15．0或-3【分析】先去分母化为整式方程，根据分式方程无解得到x =0或x =1或3+a =0，将解代入整式方程求出a 即可．解：去分母，得3x +a （x -1）=0，∴（3+a ）x-a =0，∵原分式方程无解，∴x =0或x =1或3+a =0，当x =0时，a =0；当x =1时，3+0=0，无解；∴a =0，当3+a =0时，解得a =-3，故答案为：0或-3．【点拨】此题考查了根据分式方程解的情况求参数，正确掌握解分式方程的解法是解题的关键．16．207b a-【分析】根据分子的变化得出分子变化的规律，根据分母得变化得出分母变化的规律，根据分数符号的变化规律得出分数符号的边化规律，即可得到该组式子的变化规律，进而可得出结论．解：分子为b ，其指数为2，5，8，11，…，其规律为31n -，分母为a ，其指数为1，2，3，4，…，其规律为n ，分数符号为-，+，-，+，…，第n 个式子是()311n n n b a --，∴第7个式子是207ba-，故答案为：207b a-．【点拨】本题考查分式的定义，规律型：数字的变化类，解题关键在于理解题意找到变换规律．17．0＜m ≤7且m ≠3【分析】求出分式方程的解，利用已知条件列出不等式，解不等式即可．解：分式方程11(1)(2)x m x x x -=--+的解为：x =m -2，∵分式方程有可能产生增根1或-2，∴m -2≠1且m -2≠-2，∴m ≠3且m ≠0，∵分式方程11(1)(2)x m x x x -=--+的解x 满足-2≤x ≤5，∴-2≤m -2≤5，解得：0≤m ≤7，综上，m 的取值范围为：0＜m ≤7且m ≠3．【点拨】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，考虑分式方程有可能产生增根是解题的关键．18．6【分析】根据一次函数(5)y a x a =-+的图象不经过第三象限，且关于x 的分式方程2322ax x x =---有整数解，可以求得a 的整数值，然后将它们相加即可．解： 一次函数(5)y a x a =-+的图象不经过第三象限，∴500a a -<⎧⎨⎩，解得05a <，由2322ax x x =---可得：43x a=-， 关于x 的分式方程2322ax x x =---有整数解，a 为整数，31a ∴-=±，32a -=-，34a -=±，解得4a =或2a =或5a =或7a =或1a =-，由上可得，2a =或4，246+= ，∴满足条件的整数a 的和为6，故答案为：6．【点拨】本题考查一次函数的性质、分式方程的解，解题的关键是求出a 的整数值．19．(1)213x <<(2)1x >或23x <(3)1x =(4)23x =【分析】（1）y 的值是正数，则分式的值是正数，则分子与分母一定同号，分同正与同负两种情况，列不等式组，即可求解；（2）y 的值是负数，则分式的值是负数，则分子与分母一定异号，应分分子是正数，分母是负数和分子是负数，分母是正数两种情况进行讨论，列不等式组，即可求解；（3）分式的值是0，则分子等于0，分母不等于0，列不等式组，即可求解；（4）分式无意义的条件是分母等于0．（1）解：y 的值是正数，10230x x ->⎧∴⎨->⎩或10230x x -<⎧⎨-<⎩，解得123x x >⎧⎪⎨<⎪⎩或123x x <⎧⎪⎨>⎪⎩故当213x <<时，y 为正数；（2）解：y 的值是负数，10230x x ->⎧∴⎨-<⎩或10230x x -<⎧⎨->⎩，解得123x x >⎧⎪⎨>⎪⎩或123x x <⎧⎪⎨<⎪⎩故当1x >或23x <时，y 为负数；（3）解：当10230x x -=⎧⎨-≠⎩时，即1x =时，y 值为零；（4）解：当230x -=时，即23x =时，分式无意义．【点拨】本题主要考查了分式的定义，分式的值，分式有意义的条件．掌握分式的概念及分式的值为正或负时，分子与分母的符号关系是解题的关键．20．(1)x (2)2-【分析】（1）根据分式的减法和除法可以解答本题；（2）根据分式的乘除法和加法可以解答本题．（1）解：原式211x x x x x -=⋅=-；（2）解：原式()()()()2221232112m m m m m m m---+=⋅⋅-+--122112m m m m +-=⋅⋅+-2=-．【点拨】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．21．1,14b -【分析】先根据分式的混合运算化简，然后根据三角形的三边关系得出3b =或4或5，根据分式有意义的条件得出5b =，代入化简后的式子进行计算即可求解．解：原式=133(3)(3)(4)b b b b b b b ++⋅-+--=113(3)(4)b b b +---41(3)(4)b b b -+=--14b =-，b 与2，4构成ABC 的三边，4242b ∴-<<+，26b ∴<<，b 为整数，3b ∴=或4或5，30b -≠ 且30b +≠且0b ≠且40b -≠，3b ∴≠且3b ≠-且0b ≠且4b ≠，5b ∴=，当5b =时，原式=1154=-．【点拨】本题考查了分式的化简求值，三角形三边关系，分式有意义的条件，掌握以上知识是解题的关键．22．(1)8x =；(2)52x =-．【分析】两边同乘以()5x -去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；两边同乘以()()23x x -+去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．（1）解：去分母得：215x =-+-，解得：8x =，检验：把8x =代入5x -得：850-≠，∴分式方程的解为8x =；（2）解：去分母得：()()()3231x x x x +--+=，解得：52x =-，检验：把52x =-代入()()23x x -+得：()()230x x -+≠，∴分式方程的解为52x =-．【点拨】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．23．(1)3002x -，300x (2)()6002x x -【分析】（1）根据题意列代数式即可；（2）根据题意列出分式，然后根据分式加减运算法则求解即可．（1）解：∵增加了两名学生，总人数达到x 名∴原来的学生数为2x -∵租金为300元∴原来平均每名学生需分摊车费3002x -元，现在平均每名学生需分摊车费300x元．故答案为3002x -，300x ．（2）解：由题意可得：()()()3003002300300600222x x x x x x x x ---==---．答：开始包车的几名学生平均每人可比原来少分摊()6002x x -元钱．【点拨】本题主要考查了列代数式，分式的加减运算等知识点，根据题意列出代数式和分式是解答本题的关键．24．(1)每部华为40P 手机进价为3300元(2)方案1：购进30部华为40P 手机，60部Mate30手机；方案2：购进31部华为40P 手机，59部Mate30手机；方案3：购进32部华为40P 手机，58部Mate30手机；方案1获得的利润最大【分析】（1）设每部华为40P 手机进价为x 元，根据数量=总利润÷每部的销售利润结合今年元旦假期和去年国庆假期卖出的华为40P 手机数量相同，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购进华为40P 手机m 部，则购进Mate30手机()90m -部，根据总价=单价×数量结合预计用不少于32万元且不多于32.1万元的资金购进这两款手机共90部，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围，再结合m 为正整数即可得出各进货方案，算出对应利润，比较大小即可．（1）解：设每部华为40P 手机进价为x 元，依题意得：450002250043003800x x=--，解得：3300x =，经检验，3300x =是原方程的解，且符合题意．答：每部华为40P 手机进价为3300元．（2）每台Mate30手机的进价为33004003700+=（元）．设购进华为40P 手机m 部，则购进Mate30手机()90m -部，依题意得：()()33003700903200003300370090321000m m m m ⎧+-≥⎪⎨+-≤⎪⎩，解得：130322m ≤≤，又∵m 为正整数，∴m 可以为30，31，32，∴共有3种进货方案，方案1：购进30部华为40P 手机，60部Mate30手机，可获得利润为：()()3800330030450037006063000-⨯+-⨯=元；方案2：购进31部华为40P 手机，59部Mate30手机，可获得利润为：()()3800330031450037005962700-⨯+-⨯=元；方案3：购进32部华为40P 手机，58部Mate30手机，可获得利润为：()()3800330032450037005862400-⨯+-⨯=元．∴方案1获得的利润最大．【点拨】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．。
2024年中考数学一轮复习考点精讲及专题精练—分式
2024年中考数学一轮复习考点精讲及专题精练—分式→➊考点精析←一、分式1．分式的定义（1）一般地，整式A 除以整式B，可以表示成AB的形式，如果除式B 中含有字母，那么称AB为分式．（2）分式AB中，A 叫做分子，B 叫做分母．【注意】①若B≠0，则AB有意义；②若B=0，则AB无意义；③若A=0且B≠0，则AB=0．2．分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示为(0)A A C C B B C ⋅=≠⋅或(0)A A C C B B C÷=≠÷，其中A，B，C 均为整式．3．约分及约分法则（1）约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．（2）约分法则把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分．【注意】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式．4．最简分式分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．【注意】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．5．通分及通分法则（1）通分根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分．（2）通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；③若分母是多项式，则先分解因式，再通分．【注意】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．6．最简公分母几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．7．分式的运算（1）分式的加减①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：a c a cb b b±±=．②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示为：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=．（2）分式的乘法乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：a c a cb d b d⋅⋅=⋅．（3）分式的除法除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．用式子表示为：a c a d a db d bc b c⋅÷=⋅=⋅．（4）分式的乘方乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：((nn n a a n b b=为正整数，0)b ≠．（5）分式的混合运算含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．→➋真题精讲←考向一分式的有关概念1．分式的三要素：（1）形如AB的式子；（2）,A B 均为整式；（3）分母B 中含有字母．2．分式的意义：（1）有意义的条件是分式中的字母取值不能使分母等于零，即0B ≠．（2）无意义的条件是分母为0．（3）分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0．1．（2020·湖南衡阳·中考真题）要使分式11x -有意义，则x 的取值范围是（）A ．1x >B ．1x ≠C ．1x =D ．0x ≠【答案】B【分析】根据分式有意义的条件即可解答．【解析】根据题意可知，10x -≠，即1x ≠．故选：B ．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为0是解决问题的关键．2．（2020·浙江金华·中考真题）分式52x x +-的值是零，则x 的值为（）A ．5B ．2C ．－2D ．－5【答案】D【分析】分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零．【解析】解：依题意，得x+5=0，且x-2≠0，解得，x=-5,且x≠2,即答案为x=-5．故选：D ．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．3．（2020·湖南郴州·中考真题）若分式11x +的值不存在，则x =__________．【答案】-1【分析】根据分式无意义的条件列出关于x 的方程，求出x 的值即可．【解析】∵分式11x +的值不存在，∴x+1=0，解得：x=-1，故答案为：-1．【点睛】本题考查的是分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解答此题的关键．4．（2020·湖北黄石·中考真题）函数13y x =+-的自变量x 的取值范围是（）A ．2x ≥，且3x ≠B ．2x ≥C ．3x ≠D ．2x >，且3x ≠【答案】A【分析】根据分式与二次根式的性质即可求解．【解析】依题意可得x-3≠0，x-2≥0解得2x ≥，且3x ≠故选A ．【点睛】此题主要考查函数的自变量取值，解题的关键是熟知分式与二次根式的性质．考向二分式的基本性质分式基本性质的应用主要反映在以下两个方面：（1）不改变分式的值，把分式的分子、分母中各项的系数化为整数；（2）分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．5.分式233x yxy+中的x 、y 的值都扩大到原来的2倍，则分式的值为A ．扩大为原来2倍B ．缩小为原来的12倍C ．不变D ．缩小为原来的14倍【答案】B【解析】∵若x 、y 的值都扩大到原来的2倍，则为()()()223462312312432323x y x y x y x yxy xy xy xy++++===⋅∴把分式233x y xy +中的x 、y 的值都扩大到原来的2倍，则分式的值为原来的12，故选B ．【点睛】本题考查了分式的基本概念和性质的相关知识．这类题目的一个易错点是：在没有充分理解题意的情况下简单地通过分式的基本性质得出分式值不变的结论．对照分式的基本性质和本题的条件不难发现，本题不符合分式基本性质所描述的情况，不能直接利用其结论．因此，在解决这类问题时，要注意认真理解题意．6．（2019·江苏扬州·中考真题）分式13-x 可变形为()A ．13x+B ．-13x+C ．31-x D ．1-3x -【答案】D【分析】根据分式的基本性质逐项进行判断即可.【解析】A.13x +≠13-x ，故A 选项错误；B.-13x +=13-x -≠13-x，故B 选项错误；C.65x ==-13-x ，故C 选项错误；D.1-3x -=1x-3)-（=13-x，故D 选项正确，故选D.【点睛】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．考向三分式的约分与通分约分与通分的区别与联系：1．约分与通分都是根据分式的基本性质，对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值；2．约分是针对一个分式而言，约分可使分式变得简单；3．通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式．7.关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确A ．211x x +-约分的结果是1x B ．分式211x -与11x -的最简公分母是x-1C ．22xx 约分的结果是1D ．化简221x x --211x -的结果是1【答案】D 【解析】A 、211x x +-=11x -，故本选项错误；B 、分式211x -与11x -的最简公分母是x2-1，故本选项错误；C 、22x x =2x ，故本选项错误；D 、221x x --211x -=1，故本选项正确，故选D ．【点睛】本题主要考查分式的通分和约分，这是分式的重要知识点，应当熟练掌握．8．（2023·湖南·统考中考真题）已知5x =，则代数式2324416x x ---的值为________．【答案】13【分析】先通分，再根据同分母分式的减法运算法则计算，然后代入数值即可．【详解】解：原式=()()()()()34244444x x x x x +--+-+()()31244x x x -=-+34x =+ 5x =333145493∴===++x 故答案为：13.【点睛】本题主要考查了分式通分计算的能力，解决本题的关键突破口是通分整理．9．（2023·四川遂宁·统考中考真题）先化简，再求值：2221111x x x x -+⎛⎫⋅+ ⎪-⎝⎭，其中112x -⎛⎫= ⎪⎝⎭．【答案】1x x-，12【分析】先根据平方差公式，完全平方公式和分式的运算法则对原式进行化简，然后将1122x -⎛⎫== ⎪⎝⎭代入化简结果求解即可．【详解】解：2221111x x x x -+⎛⎫⋅+ ⎪-⎝⎭()()()21111x x x x x-+=⋅+-1x x-=，当1122x -⎛⎫== ⎪⎝⎭时，原式21122-==．【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握平方差公式，完全平方公式和分式的运算法则是解题关键．10.（2020.成都市中考模拟）关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确A ．211x x +-约分的结果是1xB ．分式211x -与11x -的最简公分母是x-1C ．22xx约分的结果是1D ．化简221x x --211x -的结果是1【答案】D 【解析】A 、211x x +-=11x -，故本选项错误；B 、分式211x -与11x -的最简公分母是x2-1，故本选项错误；C 、22x x =2x ，故本选项错误；D 、221x x --211x -=1，故本选项正确，故选D ．【点睛】本题主要考查分式的通分和约分，这是分式的重要知识点，应当熟练掌握．11．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）分式22x x -与282x x-的最简公分母是_______，方程228122-=--x x x x的解是____________．【答案】()2x x -x=-4【分析】根据最简公分母的定义得出结果，再解分式方程，检验，得解．【解析】解：∵()222x x x x -=-，∴分式22x x -与282x x-的最简公分母是()2x x -，方程228122-=--x x x x，去分母得：()2282x x x -=-，去括号得：22282x x x -=-，移项合并得：2280x x +-=，变形得：()()240x x -+=，解得：x=2或-4，∵当x=2时，()2x x -=0，当x=-4时，()2x x -≠0，∴x=2是增根，∴方程的解为：x=-4．【点睛】本题考查了最简公分母和解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法．考向四分式的运算（1）分式的加减运算：异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母．（2）分式的乘除运算：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去．（3）分式的乘方运算，先确定幂的符号，遵守“正数的任何次幂都是正数，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数”的原则．（4）分式的混合运算有乘方，先算乘方，再算乘除，有时灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．注意运算顺序，计算准确．12．（2023·广东·统考中考真题）计算32a a+的结果为（）A ．1aB ．26a C ．5aD ．6a【答案】C【分析】根据分式的加法运算可进行求解．【详解】解：原式5a=；故选：C ．【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键．13．（2023·天津·统考中考真题）计算21211x x ---的结果等于（）A ．1-B ．1x -C ．11x +D ．211x -【答案】C【分析】根据异分母分式加减法法则进行计算即可．【详解】解：()()()()21212111111x x x x x x x +-=----+-+()()1211x x x +-=-+()()111x x x -=-+11x =+；故选：C ．【点睛】本题考查了异分母分式加减法法则，解答关键是按照相关法则进行计算．14．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）化简422x x +-+的结果是（）A ．1B ．224x x -C ．2x x +D ．22x x +【答案】D【分析】根据分式的加减混合运算法则即可求出答案.【详解】解：422x x +-+()()4222x x x ++-=+22x x =+.故选：D.【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键在于熟练掌握分式加减混合运算法则.15．（2023·湖北武汉·统考中考真题）已知210x x --=，计算2221121-⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭x x x x x x 的值是（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】A【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后把21x x =+代入原式即可求出答案．【详解】解：2221121-⎛⎫-÷⎪+++⎝⎭x x x x x x =()()()()2121111x x x x x x x x x ⎡⎤-+-÷⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦=()()()21111x x x x x x +-⋅+-=21x x +，∵210x x --=，∴21x x =+，∴原式=21x x +=1，故选：A.【点睛】本题考查分式的混合运算及求值．解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则．16．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）化简：2222142442x x x x x x x x x+--⎛⎫-÷= ⎪--+-⎝⎭_______．【答案】12x -【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解．【详解】解：2222142442x x x x x x x x x+--⎛⎫-÷ ⎪--+-⎝⎭()()()()()2221242x x x x x x x x x +----=⨯--()()2222442x x x x xx x x ---+=⨯--12x =-；故答案为：12x -．【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．17．（2020·山西中考真题）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．229216926x x x x x -+-+++2(3)(3)21(3)2(3)x x x x x +-+=-++第一步32132(3)x x x x -+=-++第二步2(3)212(3)2(3)x x x x -+=-++第三步26(21)2(3)x x x --+=+第四步26212(3)x x x --+=+第五步526x =-+第六步任务一：填空：①以上化简步骤中，第_____步是进行分式的通分，通分的依据是____________________或填为_____________________________；②第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________________________；任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．【答案】任务一：①三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；②五；括号前是“-”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；任务二：726x -+；任务三：最后结果应化为最简分式或整式，答案不唯一，详见解析．【分析】先把能够分解因式的分子或分母分解因式，化简第一个分式，再通分化为同分母分式，按照同分母分式的加减法进行运算，注意最后的结果必为最简分式或整式．【解析】任务一：①三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；故答案为：三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；②五；括号前是“-”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；故答案为：五；括号前是“-”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；任务二：解；229216926x x x x x -+-+++2(3)(3)21(3)2(3)x x x x x +-+=-++32132(3)x x x x -+=-++2(3)212(3)2(3)x x x x -+=-++26(21)2(3)x x x --+=+26212(3)x x x ---=+726x =-+．任务三：解：答案不唯一，如：最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形；分式化简不能与解分式方程混淆，等．【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，分式的化简，掌握以上两种以上是解题的关键．考向五分式化简求值18．（2023·广东深圳·统考中考真题）先化简，再求值：22111121x x x x -⎛⎫+÷ ⎪--+⎝⎭，其中3x =．【答案】1x x +，34【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x 的值代入进行计算即可．【详解】22111121x x x x -⎛⎫+÷ ⎪--+⎝⎭()()()21111x x x x x +-=÷--111x x x x -=⨯-+1xx =+∵3x =∴原式33314==+．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．19．（2023·四川眉山·统考中考真题）先化简：214111x x x -⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，再从2,1,1,2--选择中一个合适的数作为x 的值代入求值．【答案】12x +；1【分析】先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据求值即可．【详解】解：214111x x x -⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭()()2211111x x x x x x +--⎛⎫-÷ ⎪---⎝⎭=()()()12122x x x x x =--⋅-+-12x =+，∵1x ≠，2±，∴把=1x -代入得：原式1112==-+．【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．20．（2023·山东烟台·统考中考真题）先化简，再求值：2695222a a a a a -+⎛⎫÷++ ⎪--⎝⎭，其中a 是使不等式112a -≤成立的正整数．【答案】33a a -+；12-【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数a 的值，再代入数据计算即可．【详解】解：2695222a a a a a -+⎛⎫÷++ ⎪--⎝⎭()()()23225222a a a a a a -+-⎡⎤=÷+⎢⎥---⎣⎦()2234522a a a a --+=÷--()()()232233a a a a a --=⋅-+-33a a -=+，解不等式112a -≤得：3a ≤，∵a 为正整数，∴1a =，2，3，∵要使分式有意义20a -≠，∴2a ≠，∵当3a =时，552320223a a ++=++=--，∴3a ≠，∴把1a =代入得：原式131132-==-+．【点睛】本题主要考查了分式化简求作，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．21．（2023·江西·统考中考真题）化简2111x x x x x x-⎛⎫+⋅ ⎪+-⎝⎭．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：解：原式()()()()()()21111111x x x x x x x x x x⎡⎤-+-=+⋅⎢⎥+-+-⎣⎦……解：原式221111x x x x x x x x--=⋅+⋅+-……(1)甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号）①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程．【答案】(1)②，③；(2)见解析【分析】（1）根据所给的解题过程即可得到答案；（2）甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则求解，最后根据分式的乘法计算法则求解即可；乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可．【详解】（1）解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，故答案为：②，③；（2）解：甲同学的解法：原式()()()()()()21111111x x x x x x x x x x⎡⎤-+-=+⋅⎢⎥+-+-⎣⎦()()()()221111x x x x x x x x x =⋅+++---+()()()()211112x x x x x x =⋅+-+-2x =；乙同学的解法：原式221111x x x x x x x x--=⋅+⋅+-()()()()111111x x x x x x x x x x=⋅+⋅+-+--+11x x =-++2x =．【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．22．（2023·山东枣庄·统考中考真题）先化简，再求值：222211a a a a a ⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，其中a 的值从不等式组1a -<<的解集中选取一个合适的整数．【答案】21a a a --，12【分析】先根据分式的混合运算法则，进行化简，再选择一个合适的整数，代入求值即可．【详解】解：原式222223111a a a a a a a ⎛⎫=-÷ ⎪-⎝⎭---()2222111a a aa a a =⋅----21a aa =--；∵220,10a a ≠-≠，∴0,1a a ≠≠±，23=<=，∴1a -<<0,1,2，∵0,1a a ≠≠±，∴2a =，原式2122221--==．【点睛】本题考查分式的化简求值，求不等式组的整数解．熟练掌握相关运算法则，正确的进行计算，是解题的关键．23．（2023·山东滨州·统考中考真题）先化简，再求值：22421244a a a a a a a a -+-⎛⎫÷- ⎪--+⎝⎭，其中a 满足1216cos6004a a -⎛⎫-⋅+ ⎪⎭︒=⎝．【答案】244a a -+；1【分析】先根据分式的加减计算括号内的，然后将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，求得2430a a -+=的值，最后将2430a a -+=代入化简结果即可求解．【详解】解：22421244a a a a a a a a -+-⎛⎫÷- ⎪--+⎝⎭()()()()()22221422a a a a a a a a a a ⎡⎤+---=÷⎢⎥--⎢⎥⎣⎦()()()()222142a a a a a a a a +----=÷-()222244a a a a a a a--=⨯--+()22a =-244a a =-+；∵1216cos6004a a -⎛⎫-⋅+ ⎪⎭︒=⎝，即2430a a -+=，∴原式2=431011a a -++=+=．【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则以及负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行求解．24．（2023·湖北荆州·统考中考真题）先化简，再求值：222222x y x xy y x y x y x y x y ⎛⎫--+--÷ ⎪+-+⎝⎭，其中112x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0(2023)y =-．【答案】-x x y，2【分析】根据分式的运算法则，先将分式进行化简，再将x 和y 的值代入即可求出答案．【详解】解：222222x y x xy y x y x y x y x y⎛⎫--+--÷ ⎪+-+⎝⎭()()()22x y x y x y x y x y x y x y⎡⎤--+=-⋅⎢⎥++--⎢⎥⎣⎦2x y x y x y x y x y x y⎛⎫--+=-⋅ ⎪++-⎝⎭x x y x y x y+=⋅+-xx y=-1122x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，0(2023)1y =-=∴原式2221x x y ===--．故答案为：-x x y ，2．【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，解题的关键在于熟练掌握分式的运算法则、零次幂、负整数次幂．。
专题16.14 《分式》全章复习与巩固(专项练习)八年级数学下册基础知识专项讲练(华东师大版)
专题16.14 《分式》全章复习与巩固（专项练习）一、单选题1．（2019·河北衡水市·八年级期末）下列代数式中，属于分式的是（ ） A ．5xB ．3xy C ．3xD 2．（2019·安徽九年级专题练习）体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是x 米/秒，则所列方程正确的是（ ）A ．4 1.2540800x x ⨯-=B ．800800402.25x x -= C ．800800401.25x x-= D ．800800401.25x x-= 3．（2018·山西九年级专题练习）若代数式4xx -有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x =0B ．x =4C ．x ≠0D ．x ≠44．（2015·山西九年级专题练习）关于x 的分式方程52a x x =-有解，则字母a 的取值范围是（ ）A ．5a =或0a =B ．0a ≠C ．5a ≠D ．5a ≠且0a ≠5．（2020·河南洛阳市·八年级期中）生物学家发现一种病毒的长度约为0.000043mm ，用科学记数法表示这个数的结果为（单位：mm ）（ ） A ．4.3×10﹣5B ．4.3×10﹣4C ．4.3×10﹣6D ．43×10﹣5 6．（2019·全国八年级单元测试）已知a 、b 为实数且ab =1，设P =1a+1+1b+1,Q =a a+1+bb+1，则P 、Q 的大小关系为（ ） A ．P ＞QB ．P ＜QC ．P =QD ．大小关系不能确定7．（2019·全国八年级单元测试）几名同学租一辆面包车去旅游，面包车的租价为240元，出发时又增加了2名同学，结果每个同学比原来少分摊了4元钱车费，设参加旅游的同学共x 人，则所列方程为（ ） A ．240x−240x−2=4 B ．240x−2−240x =4 C ．240x−240x+2=4D ．240x+2−240x=48．（2019·全国九年级专题练习）若分式242x x -+的值等于0，则x 的值是( )A ．2B ．2-C ．2±D ．不存在9．（2019·全国八年级单元测试）如果分式2xx+y 中的x 和y 都同时缩小为原来的12，那么分式的值（ ） A ．缩小到原来的12B ．缩小到原来的14C ．不变D ．扩大 2 倍10．（2018·全国八年级单元测试）若02(3)2(36)x x ----有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x>3B ．x<2C ．32x x ≠≠或D ．32x x ≠≠且11．（2019·全国八年级单元测试）设24932321x A Bx x x x -=---+- (A ，B 为常数)，则( ) A ．71A B =⎧⎨=⎩B ．49A B =⎧⎨=-⎩C ．17A B =⎧⎨=⎩D ．3513A B =-⎧⎨=⎩12．（2019·全国八年级单元测试）下列各式计算正确的是( ) A ．111a b a b+=+ B ．2m m ma b ab⋅=C ．11b b a a a+÷= D ．110a b b a+=-- 13．（2019·全国八年级单元测试）计算2269243m m m m m-+-⋅--的结果是( ) A ．32m m -+ B ．23m m +- C ．32m m +- D ．23m m -+ 14．（2018·全国八年级单元测试）已知a ＝21()2-，b ＝－|-12|，c ＝(－2)3，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．b ＜a ＜c B ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b二、填空题15．（2019·上海宝山区·七年级期末）化简:a b a b b a+--22＝ __________. 16．（2019·全国八年级单元测试）已知x 为正整数，分式x+1x−1的值也是整数，则x 的值可能为_________.17．（2019·江苏无锡市·八年级期末）若分式方程1x−3−2=k 3−x 有增根,则k 的值是_________. 18．（2019·全国八年级单元测试）对于正数x ，规定f(x)＝1x x +，例如f(3)＝331+＝34，f(13)＝13113+＝14，计算：f(2020)＋f(2019)＋…＋f(1)＋f(11)＋f(12)＋…+ f(12019)＋f(12020)＝_________．19．（2019·全国八年级单元测试）分式方程1xx -＝()321x -－2的解为_____．20．（2018·全国八年级单元测试）如果13x x-=,那么221x x +的值为__________.21．（2018·全国八年级单元测试）分式2,,1298y z x z x yx xy z -+-的最简公分母是 ______________. 22．（2019·全国八年级单元测试）已知x －3y ＝0，且y≠0，则222(1)y x yx y x-+⋅-的值等于________．23．（2019·安徽九年级专题练习）化简：（1221121x xx x x ++÷=--+）_____．24．（2018·全国八年级单元测试）当x ＝________时，分式15x x -+的值与12x x --的值互为相反数．25．（2020·安徽七年级期中）计算：0113()22-⨯+-=______．26．（2018·全国八年级单元测试）当x =______，分式132x x +-的值为零． 27．（2019·四川资阳市·八年级期中）若a 2＋5ab －b 2＝0，则b a －ab的值为_____．28．（2018·贵州遵义市·中考模拟）若单项式2a x+1b 与﹣3a 3b y+4是同类项，则x y =_____．29．（2018·全国八年级单元测试）分式3x x 、313a+b a +、22m n m n+-、222x x -中，最简分式的个数是____个．三、解答题30．（2018·全国八年级单元测试）计算（1）．22324()()()a b c bc c ab a⋅÷--; （2）35(2)242x x x x +÷----(3)．222412()()4421x x xx x x x---⋅-+-+; （4）解方程:313221x x+=--31．（2019·全国八年级单元测试）先化简，再求值：(x－2＋32x+)÷2212x xx+++，其中x＝(π－2019)0(13)－1.32．（2019·全国八年级单元测试）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？32．（2020·河南洛阳市·八年级期中）在“母亲节”前期，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，销售过程中发现康乃馨比玫瑰销售量大，店主决定将玫瑰每枝降价1元促销，降价后30元可购买玫瑰的数量是原来购买玫瑰数量的1.5倍，求降价后每枝玫瑰的售价是多少元？34．（2019·保定市第一中学分校八年级期末）观察以下等式：第1个等式：10101 1212++⨯=，第2个等式：11111 2323++⨯=，第3个等式：12121 3434++⨯=，第4个等式：13131 4545++⨯=，第5个等式：14141 5656++⨯=，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：(用含n的等式表示)，并证明.参考答案1．C【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，从而得出答案．【详解】根据分式的定义A．是整式，答案错误；B．是整式，答案错误；C．是分式，答案正确；D．是根式，答案错误；故选C．【点拨】本题考查了分式的定义，在解题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．2．C【分析】先分别表示出小进和小俊跑800米的时间，再根据小进比小俊少用了40秒列出方程即可．【详解】小进跑800米用的时间为8001.25x秒，小俊跑800米用的时间为800x秒，∵小进比小俊少用了40秒，方程是800800401.25x x-=，故选C．【点拨】本题考查了列分式方程解应用题，能找出题目中的相等关系式是解此题的关键．3．D【解析】由分式有意义的条件:分母不为0，即x-4≠0，解得x≠4，4．D 【分析】根据题意先解关于x 的分式方程，求得x 的值，然后再依据“关于x 的分式方程52a x x =-有解”，即0x ≠且2x ≠建立不等式，进而即可求a 的取值范围. 【详解】 解：52a x x =-， 去分母得：()52x ax -=， 去括号得：510x ax -=，移项，合并同类项得：()510a x -=， ∵关于x 的分式方程52a x x =-有解， ∵50a -≠，0x ≠且2x ≠， 即5a ≠， 系数化为1得：105x a=-， ∵1005a ≠-且1025a≠-， 即5a ≠，0a ≠，综上所述：关于x 的分式方程52ax x =-有解，则字母a 的取值范围是5a ≠，0a ≠， 故选：D. 【点拨】本题考查分式方程，熟练掌握分式方程的求解方法以及根据分式方程的解和分母不为0的前提求字母的取值范围是解题的关键. 5．A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．0.000043的小数点向右移动5位得到4.3，所以0.000043用科学记数法表示为4.3×10﹣5，故选A．【点拨】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．6．C【解析】【分析】分别通分化成同分母的分式相加，再根据同分母分式相加的法则进行计算，最后比较即可．【详解】解：P=1a+1+1b+1=b+1+a+1（a+1）（b+1）=b+a+2（a+1）（b+1）∵ab=1，∵Q=aa+1+bb+1=a(b+1)+b(a+1)（a+1）（b+1）=2ab+a+b（a+1）（b+1）=2+a+b（a+1）（b+1）∵P=Q，故选：C．【点拨】本题考查分式的加减法则的运用和学生的计算能力，解题关键是熟练掌握法则，题目比较好，难度适中．7．B【解析】设参加旅游的同学共x 人，原有人数为（x -2）人，根据每个同学比原来少分摊了4元钱车费，列方程． 【详解】解：设参加旅游的同学共x 人，原有人数为（x -2）人， 由题意得，240x−2−240x=4故选：B ． 【点拨】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可． 8．A 【解析】 【分析】分式等于零：分子等于零，且分母不等于零． 【详解】 解：由题意，得 x 2-4=0，且x+2≠0， 解得，x=2． 故选A ． 【点拨】本题考查分式有意义的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 9．C 【解析】 【分析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数或者整式，分式的值不变，可得答案． 【详解】解：分式2xx+y 中的x 和y 都同时缩小为原来的12，那么分式的值不变，故C 符合题意；【点拨】本题考查分式基本性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数或者整式，分式的值不变． 10．D 【分析】根据零指数幂和负整数幂有意义的条件进行解答． 【详解】若式子有意义，则x -3≠0且3x -6≠0， 解得：x≠3且x≠2． 故选D ． 【点拨】本题主要考查零指数幂和负指数次幂有意义这一个条件． 11．A 【解析】 【分析】对等式右边通分加减运算和，再根据对应项系数相等列方程组求解即可． 【详解】()()()()()()()()()()1323249321321321A x B x A B x A B x x x x x x x --+--+-+-+-+-＝＝．所以3429A B A B ＝＝-⎧⎨+⎩，解得71A B ⎧⎨⎩＝＝．故选A ． 【点拨】此题考查了分式的减法，比较灵活，需要熟练掌握分式的加减运算． 12．D 【解析】【分析】根据分式的运算法则对各选项逐一判断即可.【详解】 A. 11aba b ab ++=，故该选项错误； B. m ma b ⋅=2m ab ，故该选项错误； C.1bb a a +÷=11baba b b ⨯=++，故该选项错误； D.11a b b a +--=11a b a b ---=0, 故该选项正确.故选D.【点拨】本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键.13．A【分析】将第一个分式的分子、分母进行因式分解后，再约分即可得解.【详解】2269243m m m m m -+-⋅--， =2(3)2·(2)(2)3m m m m m --+--， =32m m -+.故选A.【点拨】本题考查分式的乘法，约分是分式乘法的关键.14．C【解析】【分析】根据乘方的运算、绝对值的定义将a 、b 、c 去括号、去绝对值后进行比较即可.【详解】a ＝221()242﹣＝＝，b ＝﹣|﹣12|＝12﹣，c ＝（﹣2）3＝﹣8，∵c ＜b ＜a.故选C. 【点拨】 本题主要考查乘方和绝对值的运算，熟练掌握运算法则是解答的关键.15．a+b【解析】【分析】将原式通分相减，然后用平方差公式分解因式，再约分化简即可。
华东师大初中数学八年级下册《分式》全章复习与巩固(基础)知识讲解
《分式》全章复习与巩固（基础）：【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．3．掌握分式的四则运算．4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数,科学记数法.构建和发展相互联系的知识体系．5．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．【知识网络】【要点梳理】【分式全章复习与巩固知识要点】要点一、分式的有关概念及性质1．分式一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式AB才有意义.2.分式的基本性质（M为不等于0的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点二、分式的运算1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算a b a b c c c±±= ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.（2）乘法运算 a c ac b d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算 a c a d ad b d b c bc÷=⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.（4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方.4．零指数. 5.负整数指数6.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.7.科学记数法（1）把一个绝对值大于10的数表示成10n a ⨯的形式，其中n 是正整数，1||10a ≤<（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即10n a -⨯的形式，其中n 是正整数，1||10a ≤<.用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法.要点三、分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.要点四、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.【典型例题】类型一、分式及其基本性质1、在ma y x xy x x x x 1,3,3,)1(,21,12+++π中，分式的个数是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C ； 【解析】()21131x x a x x x y m+++，，，是分式. 【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．2、当x 为何值时，分式293x x -+的值为0？ 【思路点拨】先求出使分子为0的字母的值，再检验这个值是否使分母的值等于0，当它使分母的值不等于0时，这个值就是要求的字母的值．【答案与解析】解： 要使分式的值为0，必须满足分子等于0且分母不等于0．由题意，得290,30.x x ⎧-=⎨+≠⎩ 解得3x =．∴ 当3x =时，分式293x x -+的值为0． 【总结升华】分式的值为0的条件是：分子为0，且分母不为0，即只有在分式有意义的前提下，才能考虑分式值的情况.举一反三：【变式】（1）若分式的值等于零，则x ＝_______；（2）当x ________时，分式没有意义．【答案】（1）由24x -＝0，得2x =±. 当x ＝2时x －2＝0，所以x ＝－2；（2）当10x -=，即x ＝1时，分式没有意义． 类型二、分式运算3、（2017•青浦区一模）计算：÷（a ﹣1）+． 【思路点拨】结合分式混合运算的运算法则进行求解即可．【答案与解析】解：原式=×+ =+ =+ =．【总结升华】本题考查了分式的混合运算，解答本题的关键在于熟练掌握分式混合运算的运算法则．举一反三：【变式】（2015•滨州）化简：÷（﹣）【答案】解：原式=÷=• =﹣．4、计算：（1）5231010-⨯⨯； （2）134139m npmn p ----÷； （3）22223a a b b ⎛⎫-⎛⎫÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）1322233(3)(2)(3)mn m n m n ----÷． 【思路点拨】（1）题和（2）题只有乘除运算，按幂的乘法和除法法则进行计算；（3）题中出现了分式，可先将每一个分式转化为整数指数幂，然后再用法则计算；（4）题中出现了整数幂的乘法、除法、乘方计算；先算乘方，再算乘除．【答案与解析】解：（1）原式5233133103103101000-+-=⨯=⨯=⨯=； （2）原式5111(4)3(1)252221(39)33n m n p m n p m p ---------=÷==； （3）原式242222244994a a a b b b ba =÷= 242222999444ab a a--+-===； （4）原式333244333(2)(3)m n m n m n ---=-÷32434334(3)4443236363m m n m n n +-------⨯==-=-． 【总结升华】（1）整数指数幂的运算结果一般要用正整数指数幂来表示．如：（4）题中的结果得到4436m n --后，还要化为4436m n -．（2）进行混合运算时特别要注意运算顺序．5、用科学记数法表示下列各数：（1）0.00001；（2）0.000000203；（3）-0.000135；（4）0.00067【答案与解析】解：（1）0.00001＝510-；（2）0.000000203＝72.0310-⨯；（3）-0.000135＝41.3510--⨯；（4）0.00067＝46.710-⨯.【总结升华】注意在10n a -⨯中n 的取值是这个数从左边起第一个不是零的数前面零的个数（包括小数点前边的零）．类型三、分式方程的解法【 分式全章复习与巩固 例6（1）】6、解方程23222x x x -=+- 【答案与解析】解：23222x x x -=+-方程两边同乘以()()22x x -+，得()()()()2232222x x x x x --+=+-72x =27x =检验： 当27x =时，最简公分母()()22x x -+≠0， ∴27x =是原方程的解. 【总结升华】分式方程一定要记得检验.举一反三：【变式】()1231244x x x -=---， 【答案】解： 方程两边同乘以()24x -，得()()12422332x x x =---=-∴ 检验：当32x =-时，最简公分母()240x -≠， ∴32x =-是原方程的解． 类型四、分式方程的应用7、（2015•东莞二模）某市为治理污水，需要铺设一条全长为600米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加20%，结果提前5天完成这一任务，原计划每天铺设多少米管道？【思路点拨】先设原计划每天铺设x 米管道，则实际施工时，每天的铺设管道（1+20%）x 米，由题意可得等量关系：原计划的工作时间﹣实际的工作时间=5，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答．【答案与解析】解：设原计划每天铺设x 米管道，由题意得：﹣=5，解得：x=20，经检验：x=20是原方程的解．答：原计划每天铺设20米管道．【总结升华】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．举一反三：【变式】小明家、王老师家、学校在同一条路上，并且小明上学要路过老师家，小明到王老师家的路程为3 km ，王老师家到学校的路程为0.5 km ，由于小明的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校、王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的速度是他步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20 min ，王老师步行的速度和骑自行车的速度各是多少?【答案】解：设王老师步行的速度为x km/h ，则他骑自行车的速度为3x km/h.根据题意,得230.50.520360x x ⨯+=+． 解这个方程，得5x =．经检验5x =是原方程的根且符合题意．当5x =时，315x =．答：王老师步行的速度为5km/h ，他骑自行车的速度为15km/h ．。
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分式单元复习与巩固一、知识网络二、目标认知学习目标1．以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式．2．类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．3．类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算，掌握这些法则．4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系．5．结合分析和解决实际问题，讨论能够化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．重点1．分式的基本性质；2．分式的四则运算；3．分式方程的解法．难点1. 分式的四则混合运算；2. 根据实际问题列出分式方程．三、知识要点梳理知识点一、分式的相关概念及性质1.分式的定义：设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，则式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.注：判断一个代数式是否是分式，主要看分式的分母是否含有未知数。
另外不能把原式变形（如约分等）后再实行判断，而只能根据它的本来面目实行判断。
例如：对于来说，，我们不能因为是整式，就判断也是整式，事实上是分式。
2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．注：如果分子分母有公因式，要实行约分化简.3.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（M为不等于零的整式）.知识点二、分式的运算1.基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下：；2.零指数.3.负整数指数4.约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．注：（1）约分的主要步骤：先把分式的分子，分母分解因式，然后约去分子分母中的相同因式的最低次幂，同时把分子分母中系数的最大公约数约去；（2）约分的依据是分式的基本性质；（3）若分式的分子、分母中有多项式，则要先分解因式，再约分．（4）当分式的分子与分母的因式只差一个符号时，要先处理好符号再约分，因式变号规则如下：（其中n为自然数）。
（5）分式的分子，分母的多项式中有部分项不同时，不得将其中的一部分相同的项约去（约分只能约分子分母中相同的因式）。
5.通分根据分式的基本性质，异分母的分式能够化为同分母的分式，这个过程称为分式的通分．注：(1)通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有相同因式的最高次幂的积；(2)不要把通分与去分母混淆，通分的依据是分式的基本性质，去分母的依据是等式的基本性质．6.分式的加减法法则(1)同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；(2)异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则实行计算．7.分式的乘除法法则两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘．注：（1）在分式的乘法运算中，当分子和分母都是单项式时，此时乘法运算能够直接使用法则计算：（2）分子、分母是多项式时，要先分解因式，看能否约分，然后再乘：（3）分式的除法能够统一成分式的乘法：（4）分式乘除法中的符号法则与有理数乘除法的符号法则相同。
8.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．注：分式混合运算应根据式子的特点，选择灵活简便的方法计算或化简。
知识点三、分式方程1.分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2.分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．注：解分式方程必须检验，验根时把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根。
3.分式方程的增根问题(1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根；(2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．知识点四、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而准确列出方程，并实行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．四、规律方法指导1.分式的概念需注意的问题(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则能够理解为除号，还含有括号的作用；(2)分式的分子能够含字母，也能够不含字母，但分母必须含有字母．2.约分需明确的问题(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；(3)约分是对分子、分母的整体实行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式．3.确定最简公分母的方法(1)最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；(2)最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.4.列分式方程解应用题的基本步骤(1)审——仔细审题，找出等量关系;(2)设——合理设未知数;(3)列——根据等量关系列出方程；(4)解——解出方程;(5)验——检验增根；(6)答——答题．类型一：分式及其基本性质1．当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（）A. B. C. D.思路点拨：一个分式有无意义，取决于它的分母是否等于0。
即若是一个分式，则有意义B≠0。
当x＝0时，x2＝0，所以选项A不是；当x＝－时，2x＋1＝0，所以选项B不是；因为x2≥0，所以x2＋1＞0，即不论x为何实数，都有x2＋1≠0，所以选项C是；当x＝±1时，｜x｜－1＝0，所以选项D不是。
答案：C。
总结升华：分式有意义的条件是分母不为零，无意义的条件是分母为零。
2．若分式的值等于零，则x＝_______；思路点拨：根据分式的值为零的条件，即：如果是一个分式，且＝0能够得到A=0 ，B≠0.解析：由x2－4＝0，得x＝±2. 当x＝2时x－2=0，所以x＝－2；总结升华：分式等于零的条件是：分子等于零，分母不等于零，两个条件缺一不可。
3．求分式的最简公分母。
思路点拨：对于三个分式的分母中的系数2，4，6，取其最小公倍数12；对于三个分式的分母中的字母，字母x为底的幂的因式，取其最高次幂x3，字母y为底的幂的因式，取其最高次幂y4，再取字母z。
所以三个分式的公分母为12x3y4z。
指出：12x3y4z ，24x6y6z，48x5y9z，……都是上述三个分式的公分母，其中12x3y4z是这些公分母中最简单的一个，称为最简公分母。
解析：最简公分母为12x3y4z总结升华：各分式分母中的系数是最小公倍数与所有的字母（或因式）的最高次幂的积，叫做最简公分母。
举一反三：【变式1】（1）已知分式的值是零，那么x的值是（）A．－1 B．0 C．1 D．±１（2）当x________时，分式没有意义．【答案】（1）由题意知，当x－1=0，且x＋1≠0时，分式的值等于0，所以x=1．故应选C．（2）当x－1=0，即x=1时，分式没有意义．【变式2】下列各式从左到右的变形准确的是（）A． B．C． D．【答案】A．类型二：分式的运算技巧(一) 通分约分4．化简分式：思路点拨：本题若通过常规方法：各分式分别通分计算非常复杂；根据分式特征，可通过约分化简分式后再计算，这是分式计算常用的技巧．我们在通分之前，先要观察分式的特征，多项式能先因式分解的先因式分解，能先约分化简的尽量先约分以达到简便计算的目的．解析：原式总结升华：观察题目中分式的特点是寻找解题思路的关键．举一反三：【变式1】顺次相加法计算：【答案】注：本题若采用常用的直接通分再相加的方法，则运算较为繁琐；若通过先把两个分式相加减，化简后再把所得结果与第三个分式相加减，顺次运算，则运算较为简单．【变式2】整体通分法计算：【答案】原式注：本题若把单独通分，则运算较为复杂；一般情况下，把分母为1的整式看作一个整体实行通分，运算较为简便．（二）裂项或拆项或分组运算5．巧用裂项法计算：思路点拨：本题出现了10个分式相加，无法直接通分；而本题分式的特征比较特殊，事实上分式，凡是符合上述特征的分式都可适用裂项法，裂项后便能够相互抵消，起到简便运算的功效．解析：原式总结升华：分式计算时先对分式的分子与分母因式分解有利于发现分式之间的联系．举一反三：【变式1】分组通分法计算：【答案】原式注：当出现三个以上异分母分式相加减时，可考虑分组通分法，分组的原则是使分组后各组运算的结果出现分子是常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便．【变式2】巧用拆项法计算：【答案】原式注：本题如果先通分，运算量非常大，考虑到分子分母是齐次多项式，把分子降次化简后，分式就相当简单，起到简便运算的效果．类型三：条件分式求值的常用技巧6．参数法已知，求的值．思路点拨：当已知条件为形如的连比等式，所要求值的分式是一个含有而又不易化简的分式时，通常设，将其变形为,然后再代入分式求值．解析：设，则，代入总结升华：引入一个设而不求的未知数会引出意想不到的效果．举一反三：【变式1】整体代入法已知，求的值.【答案】本题是上面例子的变式，我们可把条件变换成适合所求分式中的代数式的形式，如把去分母化为的形式代入原式,而原式，这样就达到了整体代入，化简求值的效果．【变式2】倒数法：在求代数式的值时，有时出现条件或所求分式不易变形，但当分式的分子、分母颠倒后，变形就非常的容易，这样的问题适合通常采用倒数法．已知：，求的值．【答案】【变式3】主元法：当已知条件为两个三元一次方程，而所求的分式的分子与分母是齐次式时，通常我们把三元看作两元，即把其中一元看作已知数来表示其它两元，代入分式求出分式的值．已知：，求的值．【答案】由上述两个方程易得代入分式化简得.类型四：解分式方程的方法解分式方程的基本思想是去分母，课本介绍了在方程两边同乘以最简公分母的去分母的方法，现再介绍几种灵活去分母的技巧．（一）与异分母相关的分式方程7．解方程=思路点拨：等号两边只有一个分式时，使用交叉相乘的方法解析：7x=5（x－2），解得x=－5经检验，x=－5是原分式方程的根。
总结升华：注意去分母、去括号和移项等过程中的符号问题.举一反三：【变式1】换元法解方程：=－3【答案】设y=x－2，则x=y+2,原方程变为=－2亦即0=－2矛盾．故原方程无解．（二）与同分母相关的分式方程8．解方程=2+思路点拨：如果有同分母分式，先实行同分母分式的加减法。