分式单元复习与巩固精讲精练

分式单元复习与巩固

一、知识网络

二、目标认知

学习目标

1．以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式．

2．类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．

3．类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算，掌握这些法则．

4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系．5．结合分析和解决实际问题，讨论能够化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．

重点

1．分式的基本性质；

2．分式的四则运算；

3．分式方程的解法．

难点

1. 分式的四则混合运算；

2. 根据实际问题列出分式方程．

三、知识要点梳理

知识点一、分式的相关概念及性质

1.分式的定义：

设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，则式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.

注：判断一个代数式是否是分式，主要看分式的分母是否含有未知数。另外不能把原式变形（如约分等）

后再实行判断，而只能根据它的本来面目实行判断。例如：对于来说，，我们不能因为是整式，就判断也是整式，事实上是分式。

2.最简分式：

分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．

注：如果分子分母有公因式，要实行约分化简.

3.分式的基本性质：

分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（M为不等于零的整式）.

知识点二、分式的运算

1.基本运算法则

分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下：

；

2.零指数

.

3.负整数指数

4.约分

把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．

注：

（1）约分的主要步骤：先把分式的分子，分母分解因式，然后约去分子分母中的相同因式的最低次幂，同时把分子分母中系数的最大公约数约去；

（2）约分的依据是分式的基本性质；

（3）若分式的分子、分母中有多项式，则要先分解因式，再约分．

（4）当分式的分子与分母的因式只差一个符号时，要先处理好符号再约分，因式变号规则如下：

（其中n为自然数）。

（5）分式的分子，分母的多项式中有部分项不同时，不得将其中的一部分相同的项约去（约分只能约分子分母中相同的因式）。

5.通分

根据分式的基本性质，异分母的分式能够化为同分母的分式，这个过程称为分式的通分．

注：

(1)通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有相同因式的最高次

幂的积；

(2)不要把通分与去分母混淆，通分的依据是分式的基本性质，去分母的依据是等式的基本性质．

6.分式的加减法法则

(1)同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；

(2)异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则实行计算．

7.分式的乘除法法则

两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘．

注：（1）在分式的乘法运算中，当分子和分母都是单项式时，此时乘法运算能够直接使用法则计算：（2）分子、分母是多项式时，要先分解因式，看能否约分，然后再乘：（3）分式的除法能够统一成分式的乘法：（4）分式乘除法中的符号法则与有理数乘除法的符号法则相同。

8.分式的混合运算顺序

先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．

注：分式混合运算应根据式子的特点，选择灵活简便的方法计算或化简。

知识点三、分式方程

1.分式方程的概念

分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

2.分式方程的解法

解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．

注：解分式方程必须检验，验根时把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根。

3.分式方程的增根问题

(1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未

知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根；

(2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．

知识点四、分式方程的应用

列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、

恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而准确列出方程，并实行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．

四、规律方法指导

1.分式的概念需注意的问题

(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则能够理解为除号，还含有

括号的作用；

(2)分式的分子能够含字母，也能够不含字母，但分母必须含有字母．

2.约分需明确的问题

(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；

(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式

的思考过程相似；

(3)约分是对分子、分母的整体实行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式．

3.确定最简公分母的方法

(1)最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；

(2)最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.

4.列分式方程解应用题的基本步骤

(1)审——仔细审题，找出等量关系;

(2)设——合理设未知数;

(3)列——根据等量关系列出方程；

(4)解——解出方程;

(5)验——检验增根；

(6)答——答题．

类型一：分式及其基本性质

1．当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（）

A. B. C. D.

思路点拨：一个分式有无意义，取决于它的分母是否等于0。即若是一个分式，则有意义B≠0。

当x＝0时，x2＝0，所以选项A不是；当x＝－时，2x＋1＝0，所以选项B不是；因为x2≥0，所以x2

＋1＞0，即不论x为何实数，都有x2＋1≠0，所以选项C是；当x＝±1时，｜x｜－1＝0，所以选项D不是。

答案：C。

总结升华：分式有意义的条件是分母不为零，无意义的条件是分母为零。