数论中的基础概念

1群、环、域概念

A1：加法的封闭性：如果a 和b 属于G ，则a+ｂ也属于G

A2：加法结合律：对G 中的任意元素a,b,ｃ,ａ＋(b+c)=（a ＋ｂ)+c

A3:加法单位元:G 中存在一个元素0，使得对于G 中的任意元素ａ，有a+０=０+a

A4:加法逆元:对于Ｇ中的任意元素a ，G 中一定存在一个元素a,使得

ﻩ a+（-a)＝（－a)＋a ＝０

Ａ5：加法交换律:对于Ｇ中的任意元素a 和b ，有a+b=ｂ+a

M1:乘法的封闭性:如果a 和b 属于Ｇ,则ａｂ也属于G

M2:乘法结合律：对于G 中的任意元素a,b,ｃ有ａ(bc)＝(ab ）c

M3：乘法分配了:对于Ｇ中的任意元素a,b,ｃ,有a(b ＋c)＝ab+ac 和(a ＋ｂ)ｃ=ac+ｂc

M4：乘法交换律：对于G 中的任意元素a ，b 有a ｂ＝ba

M5:乘法单位元:对于G 中的任意元素a,在Ｇ中存在一个元素１，使得a1=１a ＝ａ

M6:无零因子:对于G 中的元素ａ,b,若ab=0，则必有a=0或ｂ=0

M7：乘法逆元：如果a 属于G ，且a 不为０,则G 中存在一个元素1-a ，使得 111==--a a aa

满足A1--－A ４称为群

满足A1--－Ａ5称为可交换群

满足Ａ1-－-M ３称为环

满足A1---M ４称为可交换换

满足A １---Ｍ６称为整环

满足A1－－-M ７称为域

2循环群：如果群中的每一个元素都是一个固定元素)(G a a ∈的幂k a （k 为整数), 则称群G 是循环群。我们认为元素a 生成了群G ，或者说ａ是群G 的

生成元。

循环群总是交换群

3模运算

)mod ()mod (n b n a =则称整数ａ和b 是模n 同余的，可以表示为：)(mod n b a ≡ 若b 整除ａ。则用符号：a |b 表示。其性质可表示如下：

①如果a|1,那么a=-1或1。

②如果ａ｜ｂ,且b|a ，那么a=b 或ａ=-b

③任何不等于零的数整除0

④如果b ｜g 且b|h ，那么对任意整数m,n 都有b ｜(mg ＋nh)

证明性质④：

如果b|g ，那么1g b g ⨯=,ｇ为整数。

如果b ｜h ，那么1h b h ⨯=，h 为整数。

于是：)(1111nh mg b nbh mbg nh mg +⨯=+=+

因此b 整除mg+nh.

同余的性质:

１如果ｎ|（ａ-b),,那么()n b a mod ≡

2()n b a mod ≡隐含()n a mod b ≡

3()n b a mod ≡,()n c b mod ≡隐含()n a mod c ≡

性质1证明：

如果)(|b a n -,那么k ∃，k 为整数。使得()kn b a =-，

ﻩﻩ则有()[]()n b n kn b n a kn b a mod mod )mod (=+=⇒+=

即得()n b a mod ≡。

性质２证明：

由()n b a mod ≡得：)mod ()mod (n b n a =即Z r k k ∈∃,,21，满足

⎩⎨⎧+=+=r n k b r

n k a 21……① 由①可推出()n k k a b )(12-=-,由性质1可知()n a mod b ≡成立

则得证。

性质3证明:

由性质2证明过程知:Z r k k k ∈∃,,,321满足:

()()⎩

⎨⎧-=--=-n k k b c n k k a b )()(2312……② 由②可以推出()n k k c a )(21-=-，由性质1可知()n a mod c ≡

模算术运算有如下性质:

1()()[]()n b a n n b n a mod mod mod mod +=+

2()()[]()n b a n n b n a mod -mod mod -mod =

3()()[]()n b a n n b n a mod mod mod mod ⨯=⨯

性质１证明：

设()a r n a =mod ，()b r n =mod b 则Z k j ∈∃,,使得⎩⎨

⎧+=+=kn

r b jn r a b a 那么有: ()()()()()()()[]n

n b n a n

r r n n k j r r n

kn r jn r n b a b a b a b a mod mod mod mod mod mod mod +=+=+++=+++=+

即得证。

性质２证明:

由性质1证明过程知Z k j ∈∃,使得⎩

⎨

⎧+=+=kn r b jn r a b a 那么有： ()()()()()()()[]n

n b n a n

r r n n k j r r n

kn r jn r n b a b a b a b a mod mod -mod mod -mod --mod --mod -==+=+=

性质3证明:

前半段证明如上，

()()()()()()[]n

n b n a n

r r n jkn n k r j r r r n

jkn kn r jn r r r n b a b a a b b a a b b a mod mod mod mod mod mod mod 22⨯==+++=+++=⨯

定义比n 小的非负整数集合为(){}1,,1,0-=n Z n 。这个集合称为剩余类集,或 模n 的剩余类。