平面向量高中人教版

平面向量

教学目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量

与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等，进行向量计

算理解向量共线的充要条件。能用两个不共线向量表示一个向量； 或一个向量分解为两个向量。要求学生理解点P 分有向线段21P P 所成的

比λ的含义和有向线段的定比分点公式，并能应用解题。

教学难点：根据图形判定向量是否平行、共线、相等，进行向量计算理解向量共线的充要条件。能用两个不共线向量表示一个向量； 或一个向量分解为两个向量。要求学生理解点P 分有向线段21P P 所成的比λ的含义和有向线段的定比分点公式，

一、实例：老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，

问：猫能否追到老鼠？（画图）

结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。

提出课题：平面向量

1．意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量

等

注意：1︒数量与向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大

小；

向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。

2︒从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学

体系，用以研究空间性质。

2． 向量的表示方法： 1︒几何表示法：点—射线

有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作（注意起讫）

2︒字母表示法：AB 可表示为a （印刷时用黑体字） P95 例 用1cm 表示5n mail （海里）

3． 模的概念：向量AB 记作：|AB | 模是可以比较大小的

4． 两个特殊的向量：

1︒零向量——长度（模）为0的向量，记作0。0的方向是任意的。 注意0与0的区别

2︒单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。

A B A(起点) B （终点） a

例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？

答：不是。因为零上零下也只是大小之分。 例：AB 与BA 是否同一向量？

答：不是同一向量。 例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？ 答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。 二、向量间的关系：

1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

记作：a ∥b ∥c 规定：0与任一向量平行

2． 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

记作：a =b 规定：0=0

任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。 3． 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。

OA =a OB =b OC =c

例：（P95）略

变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）

变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）

变式三：与向量共线的向量有哪些？（FE DO CB ,,）

三、向量的加法 一、 提出课题：向量是否能进行运算？

1.某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，

则两次的位移和：AC BC AB =+

2、 若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ，

则两次的位移和：AC BC AB =+ 3、某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+ 4、船速为AB ，水速为BC ，

a b

c

A B

C

A B

C

A B

C

则两速度和：AC BC AB =+

提出课题：向量的加法

二、1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。

注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量） 2．三角形法则：

强调：

1︒“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点 2︒可以推广到n 个向量连加

3︒a a a =+=+00

4︒不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则 3．例一、已知向量a 、b ，求作向量a +b 作法：在平面内取一点， 作a OA = b AB = 则b a OB +=

4

．加法的交换律和平行四边形法则

上题中b +a 的结果与a +b 是否相同 验证结果相同 从而得到：1︒向量加法的平行四边形法则 2︒向量加法的交换律：a +b =b +a 5．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )

证：如图：使a AB =, b BC =, c CD =

则(a +b ) +c =AD CD AC =+ a + (b +c ) =AD BD AB =+ ∴(a +b ) +c =a + (b +c )

从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。

A

B

C

O

A

B

a

a

a

b

b

b

a +

b a +b a a b b b a a A

B

C

D

a

c

a +b+c

b a +b b+c

四、向量的减法

1．用“相反向量”定义向量的减法

1︒“相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量。记作 -a 2︒规定：零向量的相反向量仍是零向量。-(-a ) = a

任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 0 3︒向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。 2．用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：

若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3．求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量 ∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a

作法：在平面内取一点O ， 作OA = a , AB = b 则BA = a - b

即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量。 注意：1︒AB 表示a - b 。强调：差向量“箭头”指向被减数 2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b )

显然，此法作图较繁，但最后作图可统一。

4．a ∥b ∥c a - b = a + (-b ) a - b

例一、设a 表示“向东走3km ”，b 表示“向北走3

km ”，

则a + b 表示向东北走23km 解：OB = OA +AB

O

A

B

a B’

b -b b

B a + (-b ) a b O a b

B

a b

a -b

a -

b A B B B’ a -b

a a

b b O A O B

a -

b B A O -b B

a +

b b

O a A