平面向量高中人教版

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人教版高中数学必修4A版平面向量基本定理课件

P
B
A
O
小结：三点共线的结论
若A、B、C三点共线，Ｏ是其所在直线外一点，则存在唯一的实数ｔ，使 OA =（1－t）OB ＋tOC，反之亦成立。
（1）若P是AB靠近A的三等分点，则OP
2 1 OP a＋ b 3 3
知识点 2 : 平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系内，分别取x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面上的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a xi + yj, 这样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对（x , y）叫做向量a的（直角）坐标，记作a （x、y）， x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，把a （x、y）叫做向量的坐标表示。
(7)已知 a (3,-1), b (1,-2), c 2a + b 则c 的坐标是 (8)已知点A, B, C的坐标分别为(2,-4) (0,6), (-8,10), 则 AB + 2 BC ; 1 BC - AC . 2 (9)已知 a + b (m, n), a - b ( p, q ), 则 a ; b .
不共线的向量，那么对于这一平面内
的任意向量 a ，存在唯一一对实数 a1
、a2 ，使
a = a1 e1 + a2 e2
» 探究定理 1. 基底 e1、e2 条件：不共线向量内涵基底组数：无数组
2.定理中a1， a 2的值是否唯一？
3.定理的价值何在？
例1. 已知：

ABCD的两条对角线相交于点M，且 AB = a ,AD = b ,用 a ,b 表示 MA和 MD

人教版高中数学必修四第二章平面向量第三节第二课时平面向量的正交分解及坐标表示教学课件

a (x, y)
① 0 = （0，0）
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做
①式叫做向量的坐标表示。
a
在y轴上的坐标，
注意：平面向量 a 的坐标跟起点终点的具体位置没有关系。
例1：如图，在直角坐标系中，
已知A(1,0) , B(0,1) , C(3,4) , D(5,7).
y
7
D
设 OAi,OBj，填空：
•
7.诗歌批评庸俗化趋势亟须扭转。文学批评的职业公信力需要树立，批评家需要贡献学术良知。果真如此，对诗歌和读者，都将是福音。
•
8.中国音乐在发展过程中，不断承传自我，吸收各地音乐，器乐发达，演奏形式丰富。金、石、土、革、丝、木、匏、竹，皆可作乐器。乐曲类型已有祭神乐、宴乐、军乐、节庆乐等区别。玄宗时已有超百人的大型交响乐团，其演员按艺术水平分为 “坐部伎”与 “立部伎”。
• 对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？
如图，i , j 是分别与x轴、y轴方向相同
的单位向量，若以 i , j 为基底，
y
对于起点在原点的向量 OA
N
OM=xi ON=y j
j
OA=OM+ON
oi
=xi +y j
A (x,y)
M
x
如图，i , j 是分别与x轴、y轴方向相同
的单位向量，若以 i , j 为基底，
j oi B
这里，我们把（x,y）叫做向量a 的坐标，记作
a (x, y)
D x
作业：
• 资料及报纸
• 谢谢观看！
•

人教版高中数学必修二第9章9.4向量的应用精品课程课后练习及详解大全

反思感悟
用向量法求长度的策略 (1)根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式 |a|2＝a2求解. (2)建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2.
跟踪训练2 在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边上的中线AD的长是
∴A→B＝－32C→D，∴A→B与C→D共线. 又|A→B|≠|C→D|，∴该四边形为梯形.
12345
4.当两人提起重量为|G|的旅行包时，两人用力方向的夹角为θ，用力大
小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为
A.30°
B.60°
C.90°
√D.120°
解析作O→A＝F1，O→B＝F2，O→C＝－G(图略)，则O→C＝O→A＋O→B，
答案物理中的向量：①物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移都具有大小和方向，因而它们都是向量. ②力、速度、加速度、位移的合成就是向量的加法，因而它们也符合向量加法的三角形法则和平行四边形法则；力、速度、加速度、位移的分解也就是向量的分解，运动的叠加也用到了向量的加法. ③动量mv是数乘向量. ④力所做的功就是作用力F与物体在力F的作用下所产生的位移s的数量积.
解析对于 A，A→B－A→C＝C→B，故 A 中结论错误；对于 B，设 θ 为向量A→B与B→C的夹角，因为A→B·B→C＝A→B·B→C·cos θ，而 cos θ<1，故A→B·B→C<A→B·B→C，故 B 中结论正确；对于 C，A→B＋A→C·A→B－A→C＝A→B2－A→C2＝0，故A→B＝A→C，所以△ABC 为等腰三角形，故 C 中结论正确；
A.v1－v2
√B.v1＋v2

平面向量的基本概念人教版高中数学

知识图谱-向量的线性运算向量的概念向量的加减法及数乘向量向量共线的条件第01讲_平面向量的基本概念错题回顾向量的线性运算知识精讲一．向量的概念：1．我们把既有大小又有方向的量叫向量.向量的表示方法：（1）用有向线段表示；（2）用字母，等表示；（3）用有向线段的起点与终点字母；（4）向量的长度称为向量的模，记作.2．有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段有向线段的三个要素：起点、方向、长度.3．零向量、单位向量概念：（1）长度为0的向量叫零向量，记作. 的方向是任意的.（2）长度为1个单位长度的向量，叫做单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.4．共线向量定义：方向相同或相反的非零向量叫共线向量；说明：我们规定与任一向量共线.5．相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.（1）向量与相等，记作；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.6．共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.二．平面向量的加减法方法：向量的加法可以运用三角形法则，要求两个向量首尾相对应，理解方法，比如说一个物体从A点运动到B点，再从B点运动到C点，那么就相当于这个物体从A点直接运动到C点．或者运用平行四边形法则，这个类似于物理里两个分力求合力的方法一样．向量的减法要求两个向量首首相对应，然后方向指向被减向量（前头那个向量）．三．两个向量共线的条件1．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：；当时与方向相同；时与方向相反；当时.2．运算定律结合律：；分配律：，3．向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数，使三点剖析一. 注意事项1. 零向量的方向是任意的，与任意向量都共线.2. 因为我们研究的平面向量是自由向量，所以在平面向量里，向量的共线和平行可以理解为一个概念，这不同于直线的共线和平行，是两个完全不一样的概念.3. 向量的加法是首尾相对应，就类似于人走路，从A点走到B 点，再从B 点走到C 点，就相当于直接从A 点走到C 点，因此，向量的减法是首首相对应，指向被减向量.4. 两个向量共线的条件:实数与向量的积是一个向量，记作：,当时与方向相同；时与方向相反.二. 必备公式题模精讲题模一向量的概念例1.1、下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度；⑦功．其中不是向量的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个例1.2、以下说法错误的是（）A、零向量与任一非零向量平行B、零向量与单位向量的模不相等C、平行向量方向相同D、平行向量一定是共线向量例1.3、下列说法正确的是（）向量就是的基线平行于A、B、长度相等的向量叫相等向量的基线C、零向量的长度等于0D、共线向量是在一条直线上的向量题模二向量的加减法及数乘向量例2.1、在平行四边形ABCD中，若|+|=|-|，则必有（）A、=B、=或=C、ABCD是矩形D、ABCD是正方形例2.2、在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记、分别为、，则=（）A、-B、+C、-+D、--例2.3、下面给出四个命题：①对于实数和向量、恒有：②对于实数、和向量，恒有③若，则有④若，则其中正确命题的个数是（）A、1B、2C、3D、4题模三向量共线的条件例3.1、，是平面内不共线两向量，已知=-k，=2+，=3 -，若A，B，D三点共线，则k的值是（）A、1B、2C、3D、4例3.2、下列命题：（1）若向量||=||，则与的长度相等且方向相同或相反；（2）对于任意非零向量若||=||且与的方向相同，则=；（3）非零向量与非零向量满足∥，则向量与方向相同或相反；（4）向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线；（5）若∥，且∥，则∥正确的个数（）A、0B、1C、2D、3例3.3、在四边形中，，，，求证：四边形是梯形.随堂练习随练1.1、下列命题正确的是（）A、方向不同的两个向量不可能是共线向量B、长度相等，方向相同的向量是相等向量C、平行且模相等的两个向量是相等向量D、若，则随练1.2、设为单位向量，（1）若为平面内的某个向量，则；(2)若与平行，则；（3）若与平行且，则.上述说法中，不正确的个数是（）A、0个B、1个C、2个D、3个随练1.3、P为四边形ABCD所在平面上一点，+++=+，则P 为（）A、四边形ABCD对角线交点B、AC中点C、BD中点D、CD边上一点随练1.4、如图，正六边形ABCDEF的中心为O，若=，=，则=____（用，来表示）．随练1.5、如图，△ABC为等腰三角形，∠A=∠B=30°，设=，=，AC边上的高为BD．若用，表示，则表达式为（）A、+B、-C、+D、-随练1.6、下列命题中正确的是（）A、与共线，与共线，则与也共线B、任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C、向量与不共线，则与都是非零向量D、有相同起点的两个非零向量不平行随练1.7、已知向量是两个不共线的向量，且向量与共线，则实数m的值为________．随练1.8、设是不共线的两个非零向量，(1)若，求证:三点共线;(2)若与共线，求实数的值．自我总结课后作业作业1、下列关于向量的命题，正确的是（）A、零向量是长度为零，且没有方向的向量B、若=-2（≠），则是的相反向量C、若=-2，则||=2||D、在同一平面上，单位向量有且仅有一个作业2、判断下列四个命题：①若则②若则③若则；④若则正确的个数是（）A、1B、2C、3D、4作业3、给出下列命题：①若||=||，则=；②若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若=，=，则=；④=的充要条件是||=||且//；⑤若//，//，则//；作业4、已知a，b为两个非零向量，（1）2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的两倍；（2）与5a的方向相反，且的模是5a的模的；（3）与2a是一对相反向量；（4）与是一对相反向量．以上说法中正确的有_________．作业5、若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足，则△ABC的形状为__________．作业6、设，是两个不共线的向量，且向量=2-与向量=+λ是共线向量，则实数λ=____．作业7、如图，已知D，E，F是正△ABC三边的中点，由A，B，C，D，E，F六点中的两点构成的向量中与共线（除外）的向量个数为（）A、2B、4C、5D、7作业8、已知△OAB中，点D在线段OB上，且OD=2DB，延长BA到C，使BA=AC．设=，=．（1）用，表示向量，；（2）若向量与+k共线，求k的值．。

人教版高中数学教案：第5章：平面向量,教案,课时第 (13)

第十三教时教材：平面向量的数量积的坐标表示目的：要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件。

过程：一、复习：1．平面向量的坐标表示及加、减、实数与向量的乘积的坐标表示 2．平面向量数量积的运算 3．两平面向量垂直的充要条件 4．两向量共线的坐标表示：二、课题：平面两向量数量积的坐标表示1．设a = (x 1, y 1)，b = (x 2, y 2)，x 轴上单位向量i ，y 轴上单位向量j ，则：i ⋅i = 1，j ⋅j = 1，i ⋅j = j ⋅i = 0 2．推导坐标公式：∵a = x 1i + y 1j , b = x 2i + y 2j∴a ⋅b = (x 1i + y 1j )(x 2i + y 2j ) = x 1x 2i 2 + x 1y 1i ⋅j + x 2y 1i ⋅j + y 1y 2j 2 = x 1x 2 + y 1y 2从而获得公式：a ⋅b = x 1x 2 + y 1y 2例一、设a = (5, -7)，b = (-6, -4)，求a ⋅b解：a ⋅b = 5×(-6) + (-7)×(-4) = -30 + 28 = -2 3．长度、角度、垂直的坐标表示1︒a = (x , y ) ⇒ |a|2 = x 2 + y 2 ⇒ |a | =22y x +2︒若A = (x 1, y 1)，B = (x 2, y 2)，则=221221)()(y y x x -+-3︒ co s θ =||||b a ba ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=4︒∵a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0 即x 1x 2 + y 1y 2 = 0（注意与向量共线的坐标表示原则）4．例二、已知A (1, 2)，B (2, 3)，C (-2, 5)，求证：△ABC 是直角三角形。

证：∵=(2-1, 3-2) = (1, 1), = (-2-1, 5-2) = (-3, 3) ∴⋅=1×(-3) + 1×3 = 0 ∴⊥∴△ABC 是直角三角形三、补充例题：处理《教学与测试》P153 第73课例三、已知a = (3, -1)，b = (1, 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x 。

人教版高中数学必修4(A版) 平面向量基本定理 PPT课件

2.3.1 平面向量基本定理
问题提出
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算法则？ 2.怎样理解向量的数乘运算λa？
（1）|λ a|=|λ ||a|；（2）λ >0时，λa与a方向相同；
λ<0时，λa与a方向相反；
λ=0时，λa=0.
3.平面向量共线定理是什么？
非零向量a与向量b共线存在唯一实数λ ，使b＝λa. 4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？
理论迁移
例1 如图，已知向量e1、e2，求作向量－2.5e1＋3e2.
C e1 e2 3e2 A －2.5e 1 O B
例2 如图，在平行四边形ABCD中， AB =a， AD =b，E、M分别是AD、DC的中点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为基底分别表示向量 AM 和 EF .
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
思考8：上述定理称为平面向量基本定理，不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a的表示式是否相同？
a
e2 a
a=λ1e1+0e2
a =0 e1 + λ 2 e2
思考7：根据上述分析，平面内任一向量a都可以由这个平面内两个不共线的向量e1，e2表示出来，从而可形成一个定理.你能完整地描述这个定理的内容吗？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

人教版高中数学必修四平面向量的基本定理及坐标表示课件 (3)

互相垂直
填要点·记疑点
单位向量
xi＋yj
有序数对(x，y)
a＝(x，y)
2.平面向量的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.
(x，y)
(x2－x1，y2－y1)
(x1＋x2，y1＋y2)
反思与感悟选定基底之后，就要“咬定”基底不放，并围绕它做中心工作，千方百计用基底表示目标向量.要充分利用平面几何知识，将平面几何知识中的性质、结论与向量知识有机结合，具体问题具体分析，从而解决问题.
反思与感悟用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来.解决此类题时，首先仔细观察所给图形.借助于平面几何知识和共线向量定理，结合平面向量基本定理解决.
跟踪训练3 如图，已知△ABC是等边三角形.
解 (1)∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°.
如图，延长AB至点D，使AB＝BD，
∵∠DBC＝120°，
解 ∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，
当堂测·查疑缺
1
2
3
4
1.等边△ABC中，与的夹角是( )A.30° B.45° C.60° D.120°
D
1
2
3
4
2.设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是_________.(写出所有满足条件的序号)解析对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2＝－2(e1－2e2)，∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底.
思考2 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i、j为基底，向量a如何表示？

人教版高中数学选修3-2教案

人教版高中数学选修3-2教案一、教学目标本节课将介绍平面向量的标志、向量和向量的运算、平面向量的数量积及其性质等内容，通过讲解与练提高学生对平面向量的认识和掌握能力。

具体目标如下：1. 理解平面向量的含义及其基本性质；2. 掌握平面向量的标志表示法；3. 了解平面向量和平面向量的运算；4. 掌握平面向量的数量积及其性质。

二、教学内容1. 平面向量的基本概念2. 向量和向量的运算3. 数量积及其性质三、教学重点和难点1. 平面向量的标志表示法；2. 平面向量及其运算；3. 数量积的概念及其性质；4. 数量积的应用。

四、教学方法1. 授课法；2. 演示法；3. 实验法；4. 讨论法。

五、教学进度安排本课时的教学进度安排如下：1. 复上节课的知识点；2. 讲授平面向量的基本概念，引出向量和向量的运算；3. 讲授向量和向量的运算；4. 讲授数量积及其性质；5. 初步应用数量积，解决相关问题；6. 课堂练。

六、教学评估1. 考查学生掌握的平面向量知识点，作为教学评估的重要内容；2. 课堂练，巩固学生的知识点掌握情况；3. 考查学生运用数量积解决相关问题的能力。

七、教学资源1. 多媒体教室；2. 教学ppt课件；3. 教学屏幕。

八、教学反思本节课上，授课老师通过讲授基本知识和展示实例，结合案例分析等方式，有效提高学生对平面向量的认识和掌握能力，但教学中也存在应注意落实的地方，如：平面向量的基本概念、数量积的概念和应用等，需要进行详细的讲解，以便学生更好地掌握平面向量的相关知识点。

新人教版高中数学必修二第六章平面向量及其应用精品教案

平面向量的概念【教学过程】一、问题导入预习教材P2－P4的内容，思考以下问题： 1．向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？ 2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？3．两个向量（向量的模）能否比较大小？4．如何判断相等向量或共线向量？向量AB →与向量BA →是相等向量吗？二、新知探究 1．向量的相关概念例1：给出下列命题：①若AB→＝DC →，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ②在▱ABCD 中，一定有AB →＝DC →；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ．其中所有正确命题的序号为________．解析：AB→＝DC →，A ，B ，C ，D 四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD 中，|AB →|＝|DC→|，AB →与DC →平行且方向相同，故AB →＝DC →，故②正确；a ＝b ，则|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同；b ＝c ，则|b |＝|c |，且b 与c 的方向相同，则a 与c 长度相等且方向相同，故a ＝c ，故③正确．答案：②③ 教师小结（1）判断一个量是否为向量的两个关键条件 ①有大小；②有方向．两个条件缺一不可．（2）理解零向量和单位向量应注意的问题 ①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等； ②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向． 2．向量的表示例2：在如图所示的坐标纸上（每个小方格的边长为1），用直尺和圆规画出下列向量：（1）OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°方向上；（2）AB→，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东方向上；（3）BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°方向上．解：（1）由于点A 在点O 北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA→|＝42，小方格的边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 的位置可以确定，画出向量OA→，如图所示．（2）由于点B 在点A 正东方向上，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 的位置可以确定，画出向量AB→，如图所示．（3）由于点C 在点B 北偏东30°方向上，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 的位置可以确定，画出向量BC→，如图所示．教师小结：用有向线段表示向量的步骤3．共线向量与相等向量例3：如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，在每两点所确定的向量中．（1）与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？（2）与a 共线的向量有哪些？解：（1）与a 的长度相等、方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →．（2）与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →．互动探究：（1）变条件、变问法：本例中若OC →＝c ，其他条件不变，试分别写出与a ，b ，c 相等的向量．解：与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，F A →；与c 相等的向量有FO→，ED →，AB →．（2）变问法：本例条件不变，与AD→共线的向量有哪些？解：与AD →共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，OA →．教师小结共线向量与相等向量的判断（1）如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量．（2）共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．（3）非零向量的共线具有传递性，即向量a ，b ，c 为非零向量，若a ∥b ，b ∥c ，则可推出a ∥c ．注意：对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．【课堂总结】1．向量的概念及表示（1）概念：既有大小又有方向的量．（2）有向线段①定义：具有方向的线段． ②三个要素：起点、方向、长度．③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →．④长度：线段AB 的长度也叫做有向线段AB →的长度，记作|AB →|．（3）向量的表示2．向量的有关概念（1）向量的模（长度）：向量AB →的大小，称为向量AB →的长度（或称模），记作|AB →|．（2）零向量：长度为0的向量，记作0．（3）单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 3．两个向量间的关系（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a ，b 是平行向量，记作a ∥b ．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a ．（2）相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a ，b 是相等向量，记作a ＝b ． ■名师点拨（1）平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．（2）共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．（3）平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．【课堂检测】1．如图，在▱ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，图中与AE →平行的向量的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ．图中与AE→平行的向量为BE →，FD →，FC →共3个．2．下列结论中正确的是（） ①若a ∥b 且|a |＝|b |，则a ＝b ； ②若a ＝b ，则a ∥b 且|a |＝|b |；③若a 与b 方向相同且|a |＝|b |，则a ＝b ； ④若a ≠b ，则a 与b 方向相反且|a |≠|b |．A ．①③B ．②③C ．③④D ．②④解析：选B ．两个向量相等需同向等长，反之也成立，故①错误，a ，b 可能反向；②③正确；④两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等．3．已知O 是正方形ABCD 对角线的交点，在以O ，A ，B ，C ，D 这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：（1）与BC→相等的向量；（2）与OB→长度相等的向量；（3）与DA→共线的向量．解：画出图形，如图所示．（1）易知BC ∥AD ，BC ＝AD ，所以与BC→相等的向量为AD →．（2）由O 是正方形ABCD 对角线的交点知OB ＝OD ＝OA ＝OC ，所以与OB→长度相等的向量为BO →，OC →，CO →，OA →，AO →，OD →，DO →．（3）与DA→共线的向量为AD →，BC →，CB →．平面向量的应用【第一课时】教学重难点教学目标核心素养向量在平面几何中的应用会用向量方法解决平面几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题数学建模、逻辑推理向量在物理中的应用会用向量方法解决物理中的速度、力学问题数学建模、数学运算【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．利用向量可以解决哪些常见的几何问题？ 2．如何用向量方法解决物理问题？二、新知探究探究点1：向量在几何中的应用角度一：平面几何中的垂直问题例1：如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE ．证明：法一：设AD→＝a ，AB →＝b ，则|a |＝|b |，a·b ＝0，又DE→＝DA →＋AE →＝－a ＋12b ，AF →＝AB →＋BF →＝b ＋12a ，所以AF →·DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12b ＝－12a 2－34a ·b ＋12b 2＝－12|a |2＋12|b |2＝0．故AF→⊥DE →，即AF ⊥DE ．法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A （0，0），D （0，2），E （1，0），F （2，1），AF →＝（2，1），DE →＝（1，－2）．因为AF →·DE →＝（2，1）·（1，－2）＝2－2＝0，所以AF→⊥DE →，即AF ⊥DE ．角度二：平面几何中的平行（或共线）问题：如图，点O 是平行四边形ABCD 的中心，E ，F 分别在边CD ，AB 上，且CE ED ＝AF FB ＝12．求证：点E ，O ，F 在同一直线上．证明：设AB→＝m ，AD →＝n ，由CE ED ＝AF FB ＝12，知E ，F 分别是CD ，AB 的三等分点，所以FO →＝F A →＋AO→＝13BA →＋12AC → ＝－13m ＋12（m ＋n ）＝16m ＋12n ， OE→＝OC →＋CE →＝12AC →＋13CD → ＝12（m ＋n ）－13m ＝16m ＋12n ．所以FO →＝OE →．又O 为FO→和OE →的公共点，故点E ，O ，F 在同一直线上．角度三：平面几何中的长度问题：如图，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD＝2，求对角线AC 的长．解：设AD→＝a ，AB →＝b ，则BD →＝a －b ，AC →＝a ＋b ，而|BD →|＝|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋4－2a ·b ＝5－2a ·b ＝2，所以5－2a ·b ＝4，所以a ·b ＝12，又|AC →|2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋4＋2a ·b ＝6，所以|AC →|＝6，即AC ＝6．用向量方法解决平面几何问题的步骤向量在物理中的应用：（1）在长江南岸某渡口处，江水以12．5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h ．渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？（2）已知两恒力F 1＝（3，4），F 2＝（6，－5）作用于同一质点，使之由点A （20，15）移动到点B （7，0），求F 1，F 2分别对质点所做的功．解：（1）如图，设AB →表示水流的速度，AD →表示渡船的速度，AC →表示渡船实际垂直过江的速度．因为AB→＋AD →＝AC →，所以四边形ABCD 为平行四边形．在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，|DC →|＝|AB →|＝12．5．|AD →|＝25，所以∠CAD ＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°．（2）设物体在力F 作用下的位移为s ，则所做的功为W ＝F ·s ．因为AB →＝（7，0）－（20，15）＝（－13，－15）．所以W 1＝F 1·AB →＝（3，4）·（－13，－15）＝3×（－13）＋4×（－15）＝－99（焦），W 2＝F 2·AB →＝（6，－5）·（－13，－15）＝6×（－13）＋（－5）×（－15）＝－3（焦）．用向量方法解决物理问题的“三步曲”三、课堂总结1．用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”2．向量在物理学中的应用（1）由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决．（2）物理学中的功是一个标量，即为力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ（θ为F与s的夹角）．四、课堂检测1．河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为（）A．10 m/s B．226 m/sC．4 6 m/s D．12 m/s解析：选B．由题意知|v水|＝2 m/s，|v船|＝10 m/s，作出示意图如图．所以小船在静水中的速度大小|v|＝102＋22＝226（m/s）．2．已知三个力f1＝（－2，－1），f2＝（－3，2），f3＝（4，－3）同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝（）A．（－1，－2）B．（1，－2）C．（－1，2）D．（1，2）解析：选D．由物理知识知f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－（f1＋f2＋f3）＝（1，2）．3．设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点，AB∥DC，试用向量证明：PQ ∥AB．证明：设DC →＝λAB →（λ＞0且λ≠1），因为PQ →＝AQ →－AP →＝AB →＋BQ →－AP →＝AB →＋12（BD →－AC →）＝AB→＋12[（AD →－AB →）－（AD →＋DC →）] ＝AB→＋12（CD →－AB →）＝12（CD →＋AB →）＝12（－λ＋1）AB→，所以PQ→∥AB →，又P ，Q ，A ，B 四点不共线，所以PQ ∥AB ．【第二课时】教学重难点教学目标核心素养余弦定理了解余弦定理的推导过程逻辑推理余弦定理的推论掌握余弦定理的几种变形公式及应用数学运算三角形的元素及解三角形能利用余弦定理求解三角形的边、角等问题数学运算【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题： 1．余弦定理的内容是什么？ 2．余弦定理有哪些推论？二、新知探究已知两边及一角解三角形：（1）（2018·高考全国卷Ⅱ）在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝（） A ．4 2 B ．30 C ．29D ．2 5（2）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝（）A ． 2B ． 3C ．2D ．3 解析：（1）因为cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×15－1＝－35，所以由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC2－2AC ·BC cos C ＝25＋1－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，所以AB ＝42，故选A ．（2）由余弦定理得5＝22＋b 2－2×2b cos A ，因为cos A ＝23，所以3b 2－8b －3＝0，所以b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＝－13舍去．故选D ．答案：（1）A （2）D 互动探究：变条件：将本例（2）中的条件“a ＝5，c ＝2，cos A ＝23”改为“a ＝2，c ＝23，cos A ＝32”，求b 为何值？解：由余弦定理得： a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以22＝b 2＋（23）2－2×b ×23×32，即b 2－6b ＋8＝0，解得b ＝2或b ＝4．规律方法：解决“已知两边及一角”解三角问题的步骤（1）用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．（2）再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．探究点2：已知三边（三边关系）解三角形：（1）在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝5，c ＝19，则最大角与最小角的和为（） A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°（2）在△ABC 中，若（a ＋c ）（a －c ）＝b （b －c ），则A 等于（） A ．90° B ．60° C ．120°D ．150°解析：（1）在△ABC 中，因为a ＝3，b ＝5，c ＝19，所以最大角为B ，最小角为A ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9＋25－192×3×5＝12，所以C ＝60°，所以A ＋B ＝120°，所以△ABC 中的最大角与最小角的和为120°．故选B ．（2）因为（a ＋c ）（a －c ）＝b （b －c ），所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12．因为A ∈（0°，180°），所以A ＝60°．答案：（1）B （2）B已知三角形的三边解三角形的方法先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．注意：若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k ，从而转化为已知三边求解．探究点3：判断三角形的形状：在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试判断△ABC 的形状．解：将已知等式变形为b 2（1－cos 2C ）＋c 2（1－cos 2B ）＝2bc cos B cos C ．由余弦定理并整理，得b 2＋c 2－b 2⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 22ac 2 ＝2bc ×a 2＋c 2－b 22ac ×a 2＋b 2－c22ab ，所以b 2＋c 2＝[（a 2＋b 2－c 2）＋（a 2＋c 2－b 2）]24a 2＝4a 44a 2＝a 2．所以A ＝90°．所以△ABC 是直角三角形．规律方法：（1）利用余弦定理判断三角形形状的两种途径①化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断． ②化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换得出关系进行判断．（2）判断三角形时经常用到以下结论①△ABC 为直角三角形⇔a 2＝b 2＋c 2或c 2＝a 2＋b 2或b 2＝a 2＋c 2． ②△ABC 为锐角三角形⇔a 2＋b 2＞c 2，且b 2＋c 2＞a 2，且c 2＋a 2＞b 2． ③△ABC 为钝角三角形⇔a 2＋b 2＜c 2或b 2＋c 2＜a 2或c 2＋a 2＜b 2．④若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝π2．三、课堂总结1．余弦定理2．余弦定理的推论cos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝a2＋c2－b22ac；cos C＝a2＋b2－c22ab．3．三角形的元素与解三角形（1）三角形的元素三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．（2）解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．四、课堂检测1．在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C＝（）A．90°B．120°C．135°D．150°解析：选B．cos B＝a2＋c2－b22ac＝25＋64－492×5×8＝12．所以B＝60°，所以A＋C＝120°．2．在△ABC中，已知（a＋b＋c）（b＋c－a）＝3bc，则角A等于（）A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选B．因为（b＋c）2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝12，所以A＝60°．3．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a＋b）2－c2＝4，且C＝60°，则ab ＝________．解析：因为C＝60°，所以c2＝a2＋b2－2ab cos 60°，即c 2＝a 2＋b 2－ab ．① 又因为（a ＋b ）2－c 2＝4，所以c 2＝a 2＋b 2＋2ab －4．②由①②知－ab ＝2ab －4，所以ab ＝43．答案：434．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断△ABC 的形状．解：由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，代入已知条件得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·c 2＋a 2－b 22ca ＋c ·c 2－a 2－b 22ab ＝0，通分得a 2（b 2＋c 2－a 2）＋b 2（a 2＋c 2－b 2）＋c 2（c 2－a 2－b 2）＝0，展开整理得（a 2－b 2）2＝c 4．所以a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2．根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．【第三课时】教学重难点教学目标核心素养正弦定理通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法逻辑推理【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．在直角三角形中，边与角之间的关系是什么？ 2．正弦定理的内容是什么？二、新知探究已知两角及一边解三角形：在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，解这个三角形．【解】因为A ＝45°，C ＝30°，所以B ＝180°－（A ＋C ）＝105°．由a sin A ＝c sin C 得a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝102．因为sin 75°＝sin （30°＋45°）＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64，所以b ＝c sin Bsin C ＝10×sin（A＋C）sin 30°＝20×2＋64＝52＋56．已知三角形的两角和任一边解三角形的思路（1）若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三个角．（2）若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．已知两边及其中一边的对角解三角形已知△ABC中的下列条件，解三角形：（1）a＝10，b＝20，A＝60°；（2）a＝2，c＝6，C＝π3．解：（1）因为bsin B＝asin A，所以sin B＝b sin Aa＝20sin 60°10＝3>1，所以三角形无解．（2）因为asin A＝csin C，所以sin A＝a sin Cc＝22．因为c＞a，所以C＞A．所以A＝π4．所以B＝5π12，b＝c sin Bsin C＝6·sin5π12sinπ3＝3＋1．互动探究：变条件：若本例（2）中C＝π3改为A＝π4，其他条件不变，求C，B, b．解：因为asin A＝csin C，所以sin C＝c sin Aa＝32．所以C＝π3或2π3．当C＝π3时，B＝5π12，b＝a sin Bsin A＝3＋1．当C＝2π3时，B＝π12，b＝a sin Bsin A＝3－1．（1）已知两边及其中一边的对角解三角形的思路①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；②如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；③如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．（2）已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；②在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：A为钝角A为直角A为锐角a>b 一解一解一解a＝b 无解无解一解a<b 无解无解a>b sin A 两解a ＝b sin A 一解a<b sin A 无解判断三角形的形状：已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若a cos B＝b cos A，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：由正弦定理得：a cos B＝b cos A⇒sin A cos B＝sin B cos A⇒sin（A－B）＝0，由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形．答案：A互动探究：变条件：若把本例条件变为“b sin B＝c sin C”，试判断△ABC的形状．解：由b sin B＝c sin C可得sin2B＝sin2C，因为三角形内角和为180°，所以sin B＝sin C．所以B＝C．故△ABC为等腰三角形．判断三角形形状的两种途径注意：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．三、课堂总结1．正弦定理条件在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c结论asin A＝bsin B＝csin C文字叙述在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等■名师点拨对正弦定理的理解（1）适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．（2）结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．（3）揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与其对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．2．正弦定理的变形若R为△ABC外接圆的半径，则（1）a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；（2）sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；（3）sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；（4）a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝2R．四、课堂检测1．（2019·辽宁沈阳铁路实验中学期中考试）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C＝（）A．33B．63C．32D．62解析：选B．由正弦定理，得ABsin C＝ACsin B，即2sin C＝3sin 60°，解得sin C＝33．因为AB＜AC，所以C＜B，所以cos C＝1－sin2C＝6 3．2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c ＝（）A．1∶2∶3 B．3∶2∶1C．2∶3∶1 D．1∶3∶2解析：选D．在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C ＝180°，所以A＝30°，B＝60°，C＝90°，所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝1∶3∶2．3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c－a cos B＝（2a－b）cos A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：选D．已知c－a cos B＝（2a－b）cos A，由正弦定理得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，所以sin（A＋B）－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，化简得cos A（sin B －sin A）＝0，所以cos A＝0或sin B－sin A＝0，则A＝90°或A＝B，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．什么是基线？2．基线的长度与测量的精确度有什么关系？3．利用正、余弦定理可解决哪些实际问题？二、新知探究测量距离问题：海上A ，B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 岛与C 岛间的距离是________．解析：如图，在△ABC 中，∠C ＝180°－（∠B ＋∠A ）＝45°，由正弦定理，可得BC sin 60°＝ABsin 45°，所以BC ＝32×10＝56（海里）．答案：56海里变条件：在本例中，若“从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角”改为“A ，C 两岛相距20海里”，其他条件不变，又如何求B 岛与C 岛间的距离呢？解：由已知在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝20，∠BAC ＝60°，即已知两边和两边的夹角，利用余弦定理求解即可．BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 60°＝102＋202－2×10×20×12＝300．故BC ＝103．即B ，C 间的距离为103海里．测量距离问题的解题思路求解测量距离问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．构造数学模型时，尽量把已知元素放在同一个三角形中．测量高度问题：如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m ．解析：由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°．又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°，解得BC ＝300 2 m ．在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006（m ）．答案：100 6互动探究：变问法：在本例条件下，汽车在沿直线AB方向行驶的过程中，若测得观察山顶D点的最大仰角为α，求tan α的值．解：如图，过点C，作CE⊥AB，垂足为E，则∠DEC＝α，由例题可知，∠CBE＝75°，BC＝3002，所以CE＝BC·sin∠CBE＝3002sin 75°＝3002×2＋6 4＝150＋1503．所以tan α＝DCCE＝1006150＋1503＝32－63．测量高度问题的解题思路高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题．常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高度．测量角度问题：岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行（如图所示），观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查．接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C处，随即以每小时103海里的速度前往拦截．（1）问：海监船接到通知时，在距离岛A多少海里处？（2）假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间．解：（1）根据题意得∠BAC＝45°，∠ABC＝75°，BC＝10，所以∠ACB＝180°－75°－45°＝60°，在△ABC中，由ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC，得AB ＝BC sin ∠ACB sin ∠BAC＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝56．所以海监船接到通知时，在距离岛A 5 6 海里处．（2）设海监船航行时间为t 小时，则BD ＝103t ，CD ＝10t ，又因为∠BCD ＝180°－∠ACB ＝180°－60°＝120°，所以BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos 120°，所以300t 2＝100＋100t 2－2×10×10t ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，所以2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12（舍去）．所以CD ＝10，所以BC ＝CD ，所以∠CBD ＝12（180°－120°）＝30°，所以∠ABD ＝75°＋30°＝105°．所以海监船沿方位角105°航行，航行时间为1个小时．（或海监船沿南偏东75°方向航行，航行时间为1个小时）测量角度问题的基本思路（1）测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，在图形中标出相关的角和距离．（2）根据实际选择正弦定理或余弦定理解三角形，然后将解得的结果转化为实际问题的解．三、课堂总结1．基线在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线实际测量中的有关名称、术语名称定义图示仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角方向角从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°）南偏西60°（指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角）方位角从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角四、课堂检测1．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的（）A．东偏北45°10′方向上B．东偏北45°50′方向上C．南偏西44°50′方向上D．西偏南45°50′方向上解析：选C．如图所示．2．如图，D，C，B三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD＝200米，点C位于BD上，则山高AB等于（）A．1002米B．50（3＋1）米C．100（3＋1）米D．200米解析：选C．设AB＝x米，在Rt△ACB中，∠ACB＝45°，所以BC＝AB＝x．在Rt△ABD中，∠D＝30°，则BD＝3AB＝3x．因为BD－BC＝CD，所以3x－x＝200，解得x＝100（3＋1）．故选C．3．已知台风中心位于城市A 东偏北α（α为锐角）度的150公里处，以v 公里/小时沿正西方向快速移动，2．5小时后到达距城市A 西偏北β（β为锐角）度的200公里处，若cos α＝34cos β，则v ＝（）A ．60B ．80C ．100D ．125解析：选C ．画出图象如图所示，由余弦定理得（2．5v ）2＝2002＋1502＋2×200×150cos（α＋β）①，由正弦定理得150sin β＝200sin α，所以sin α＝43sin β．又cos α＝34 cos β，sin 2 α＋cos 2α＝1，解得sin β＝35，故cos β＝45，sin α＝45，cos α＝35，故cos （α＋β）＝1225－1225＝0，代入①解得v ＝100．4．某巡逻艇在A 处发现在北偏东45°距A 处8海里处有一走私船，正沿南偏东75°的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以123海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇的航行方向．解：设经过t 小时在点C 处刚好追上走私船，依题意：AC ＝123t ，BC ＝12t ，∠ABC ＝120°，在△ABC 中，由正弦定理得123t sin 120°＝12tsin ∠BAC，所以sin ∠BAC ＝12，所以∠BAC ＝30°，所以AB ＝BC ＝8＝12t ，解得t ＝23，航行的方向为北偏东75°．即巡逻艇最少经过23小时可追到走私船，沿北偏东75°的方向航行．平面向量的运算【第一课时】【教学重难点】【教学目标】【核心素养】平面向量加法的几何意义理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义数学抽象、直观想象平行四边形法则和三角形法则掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会用它们解决实际问题数学抽象、直观想象平面向量加法的运算律掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行计算数学抽象、数学运算【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？ 2．向量加法的运算律有哪两个？二、新知探究探究点1：平面向量的加法及其几何意义例1：如图，已知向量a ，b ，c ，求作和向量a ＋b ＋c ．解：法一：可先作a ＋c ，再作（a ＋c ）＋b ，即a ＋b ＋c ．如图，首先在平面内任取一点O ，作向量OA→＝a ，接着作向量AB →＝c ，则得向量OB→＝a ＋c ，然后作向量BC →＝b ，则向量OC→＝a ＋b ＋c 为所求．法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图，（1）在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB→＝b ；（2）作平行四边形AOBC ，则OC→＝a ＋b ；（3）再作向量OD→＝c ；（4）作平行四边形CODE ，则OE→＝OC →＋c ＝a ＋b ＋c ．OE →即为所求．规律方法：（1）应用三角形法则求向量和的基本步骤①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合； ②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．（2）应用平行四边形法则求向量和的基本步骤 ①平移两个不共线的向量使之共起点； ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形；③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．探究点2：平面向量的加法运算例2：化简：（1）BC→＋AB →；（2）DB→＋CD →＋BC →；（3）AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →．解：（1）BC→＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →．（2）DB→＋CD →＋BC → ＝BC→＋CD →＋DB → ＝（BC→＋CD →）＋DB → ＝BD→＋DB →＝0．（3）AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A → ＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AD →＋DF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0．规律方法：向量加法运算中化简的两种方法（1）代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．（2）几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简．探究点3：向量加法的实际应用例3：某人在静水中游泳，速度为43千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？解：如图，设此人游泳的速度为OB→，水流的速度为OA →，以OA →，OB →为邻边作▱OACB ，则此人的实际速度为OA→＋OB →＝OC →．由勾股定理知|OC →|＝8，且在Rt △ACO 中，∠COA ＝60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时．规律方法：应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤（1）表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．（2）运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向量问题．（3）还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．三、课堂总结1．向量加法的定义及运算法则定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法法则三角形法则前提已知非零向量a ，b作法在平面内任取一点A ，作AB→＝a ，BC →＝b ，再作向量AC →结论向量AC→叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB→＋BC →＝AC →图形法则平行四边形法前提已知不共线的两个向量a ，b作法在平面内任取一点O ，以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作▱OACB。

高一数学平面向量 PPT课件图文

解: ka+b=k(1, 2)+(－3, 2)= (k－3,2k+2)
a－3b=(1, 2)－3(－3, 2)= (10, －4)
(ka+b)∥(a－3b)
－4(k－3)－10(2k+2)=0
K=－ 1
3
∵
ka+b=

10 3
,
4 3

=－
1 3
(a－3b)
∴它们反向
例2
思考:
此题还有没有其它解法?
分析要证A、B、D三点共线，可证 AB=λBD关键是找到λ
解： ∵BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b
∴AB=2 BD
AB∥ BD
且AB与BD有公共点B
∴ A、B、D 三点共线
例3
知识结构
平面向量小复习
知识要点例题解析巩固练习
课外作业
练习5 已知a=（1，0），b=（1，1），c =（－1，0）求λ和μ，使 c =λa +μb.
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修4
2.6《平面向量-复习》
平面向量复习
知识结构要点复习例题解析
巩固练习
制作：曾毅审校：王伟
知识结构
平面向量复习
知识要点例题解析巩固练习
课外作业
表示向量的三种表示
平
三角形法则
面
向量加法与减法
向
平行四边形法则
量
向量平行的充要条件
运算实数与向量的积
知识Байду номын сангаас点例题解析巩固练习
课外作业

人教版高中数学必修课后习题答案详解

第二章平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念练习（P77）1、略.2、AB u u u r ，BA u u u r. 这两个向量的长度相等，但它们不等.3、2AB =u u u r ， 2.5CD =u u u r ，3EF =u u u r，GH =u u u r4、（1）它们的终点相同；（2）它们的终点不同. 习题 A 组（P77） 1、（2）. 3、与DE u u u r 相等的向量有：,AF FC u u u r u u u r ；与EF u u u r相等的向量有：,BD DA u u u r u u u r ；与FD u u u r相等的向量有：,CE EB u u u r u u u r .4、与a r 相等的向量有：,,CO QP SR u u u r u u u r u u r ；与b r 相等的向量有：,PM DO u u u u r u u u r ；与c r 相等的向量有：,,DC RQ ST u u u r u u u r uu u r5、AD =u u u r6、（1）×；（2）√；（3）√；（4）×.习题 B 组（P78）1、海拔和高度都不是向量.2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与AM u u u u r同向的共有6对，与AM u u u u r 反向的也有6对；与AD u u u r 同向的共有3对，与AD u u u r反向的也有6的向量共有4对；模为2的向量有2对 2．2平面向量的线性运算练习（P84）1、图略.2、图略.3、（1）DA u u u r；（2）CB u u u r . 4、（1）c r ；（2）f u r ；（3）f u r ；（4）g u r.练习（P87）1、图略.2、DB u u u r ，CA u u u r ，AC u u u r ，AD u u u r ，BA u u u r. 3、图略. 练习（P90） 1、图略.2、57AC AB =u u u r u u u r ，27BC AB =-u u u r u u u r .说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是BC uuu r 与AB u u u r反向.3、（1）2b a =r r ；（2）74b a =-r r ；（3）12b a =-r r；（4）89b a =r r .4、（1）共线；（2）共线.5、（1）32a b -r r ；（2）111123a b -+r r；（3）2ya r . 6、图略.习题 A 组（P91）1、（1）向东走20 km ；（2）向东走5 km ；（3）向东北走km ；（4）向西南走；（5）向西北走；（6）向东南走km. 2、飞机飞行的路程为700 km ；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km.3、解：如右图所示：AB u u u r 表示船速，AD u u u r表示河水的流速，以AB 、AD 为邻边作□ABCD ，则 AC u u u r表示船实际航行的速度.在Rt △ABC 中，8AB =u u u r ，2AD =u u u r，所以AC ===u u u r 因为tan 4CAD ∠=，由计算器得76CAD ∠≈︒所以，实际航行的速度是km/h ，船航行的方向与河岸的夹角约为76°.4、（1）0r ；（2）AB u u u r ；（3）BA u u u r；（4）0r ；（5）0r ；（6）CB u u u r ；（7）0r . 5、略6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.7、略. 8、（1）略；（2）当a b ⊥r r 时，a b a b +=-r r r r9、（1）22a b --r r ；（2）102210a b c -+r r r ；（3）132a b +r r；（4）2()x y b -r .10、14a b e +=r r u r ，124a b e e -=-+r r u r u u r ，1232310a b e e -=-+r r u r u u r .11、如图所示，OC a =-u u u r r ，OD b =-u u u r r，DC b a =-u u u r r r ，BC a b =--u u u r r r .12、14AE b =u u u r r ，BC b a =-u u u r r r ，1()4DE b a =-u u u r r r，34DB a =u u u r r ，34EC b =u u u r r ，1()8DN b a =-u u u r r r ，11()48AN AM a b ==+u u u r u u u u r r r .13、证明：在ABC ∆中，,E F 分别是,AB BC 的中点，所以EF AC //且12EF AC =，即12EF AC =u u u r u u u r ；同理，12HG AC =u u u r u u u r，所以EF HG =u u u r u u u r .习题 B组（P92）1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400 km.2、不一定相等，可以验证在,a b r r不共线时它们不相等.3、证明：因为MN AN AM =-u u u u r u u u r u u u u r ，而13AN AC =u u u r u u u r ，13AM AB =u u u u r u u u r，所以1111()3333MN AC AB AC AB BC =-=-=u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.4、（1）四边形ABCD 为平行四边形，证略（2）四边形ABCD 为梯形.证明：∵13AD BC =u u u r u u u r，∴AD BC //且AD BC ≠ ∴四边形ABCD 为梯形. （3）四边形ABCD 为菱形.证明：∵AB DC =u u u r u u u r，∴AB DC //且AB DC =∴四边形ABCD 为平行四边形又AB AD =u u u r u u u r∴四边形ABCD 为菱形.5、（1）通过作图可以发现四边形ABCD 为平行四边形.（第11题）（第12题）EHGFC AB乙（第1题）（第4题(2)）BCD（第4题(3)）DCB证明：因为OA OB BA -=u u u r u u u r u u u r ，OD OC CD -=u u u r u u u r u u u r而OA OC OB OD +=+u u u r u u u r u u u r u u u r所以OA OB OD OC -=-u u u r u u u r u u u r u u u r 所以BA CD =u u u r u u u r，即∥.因此，四边形ABCD 为平行四边形.2．3平面向量的基本定理及坐标表示练习（P100）1、（1）(3,6)a b +=r r ，(7,2)a b -=-r r ；（2）(1,11)a b +=r r ，(7,5)a b -=-r r；（3）(0,0)a b +=r r ，(4,6)a b -=r r ；（4）(3,4)a b +=r r ，(3,4)a b -=-r r. 2、24(6,8)a b -+=--r r ，43(12,5)a b +=r r.3、（1）(3,4)AB =u u u r ，(3,4)BA =--u u u r ；（2）(9,1)AB =-u u u r ，(9,1)BA =-u u u r；（3）(0,2)AB =u u u r ，(0,2)BA =-u u u r ；（4）(5,0)AB =u u u r ，(5,0)BA =-u u u r4、AB ∥CD . 证明：(1,1)AB =-u u u r ，(1,1)CD =-u u u r，所以AB CD =u u u r u u u r .所以AB ∥CD .5、（1）(3,2)；（2）(1,4)；（3）(4,5)-.6、10(,1)3或14(,1)3-7、解：设(,)P x y ，由点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =u u u r u u u r ，得32AP PB =-u u u r u u ur(,)(2,3)(2,3)AP x y x y =-=--u u u r ，(4,3)(,)(4,3)PB x y x y =--=---u u u r∴3(2,3)(4,3)2x y x y --=---- ∴32(4)233(3)2x x y y ⎧-=--⎪⎪⎨⎪-=---⎪⎩∴815x y =⎧⎨=-⎩，所以点P 的坐标为(8,15)-.习题 A 组（P101）1、（1）(2,1)-；（2）(0,8)；（3）(1,2).说明：解题时可设(,)B x y ，利用向量坐标的定义解题.2、123(8,0)F F F ++=u u r u u r u u r3、解法一：(1,2)OA =--u u u r ，(53,6(1))(2,7)BC =---=u u u r而AD BC =u u u r u u u r ，(1,5)OD OA AD OA BC =+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r. 所以点D 的坐标为(1,5).解法二：设(,)D x y ，则((1),(2))(1,2)AD x y x y =----=++u u u r，由AD BC =u u u r u u u r 可得，1227x y +=⎧⎨+=⎩，解得点D 的坐标为(1,5).4、解：(1,1)OA =u u u r ，(2,4)AB =-u u u r.1(1,2)2AC AB ==-u u u r u u u r ，2(4,8)AD AB ==-u u u r u u u r ，1(1,2)2AE AB =-=-u u u r u u ur .(0,3)OC OA AC =+=u u u r u u u r u u u r，所以，点C 的坐标为(0,3)；(3,9)OD OA AD =+=-u u u r u u u r u u u r，所以，点D 的坐标为(3,9)-； (2,1)OE OA AE =+=-u u u r u u u r u u u r，所以，点E 的坐标为(2,1)-. 5、由向量,a b r r 共线得(2,3)(,6)x λ=-，所以236x =-，解得4x =-.6、(4,4)AB =u u u r ，(8,8)CD =--u u u r ，2CD AB =-u u u r u u u r ，所以AB u u u r 与CD uuur 共线.7、2(2,4)OA OA '==u u u r u u u r，所以点A '的坐标为(2,4)； 3(3,9)OB OB '==-u u u r u u u r ，所以点B '的坐标为(3,9)-；故 (3,9)(2,4)(5,5)A B ''=--=-u u u u r习题 B 组（P101）1、(1,2)OA =u u u r ，(3,3)AB =u u u r.当1t =时，(4,5)OP OA AB OB =+==u u u r u u u r u u u r u u u r，所以(4,5)P ；当12t =时，13357(1,2)(,)(,)22222OP OA AB =+=+=u u u r u u u r u u u r ，所以57(,)22P ；当2t =-时，2(1,2)(6,6)(5,4)OP OA AB =-=-=--u u u r u u u r u u u r，所以(5,4)P --；当2t =时，2(1,2)(6,6)(7,8)OP OA AB =+=+=u u u r u u u r u u u r，所以(7,8)P .2、（1）因为(4,6)AB =--u u u r ，(1,1.5)AC =u u u r，所以4AB AC =-u u u r u u u r ，所以A 、B 、C 三点共线；（2）因为(1.5,2)PQ =-u u u r ，(6,8)PR =-u u u r ，所以4PR PQ =u u u r u u u r，所以P 、Q 、R 三点共线；（3）因为(8,4)EF =--u u u r ，(1,0.5)EG =--u u u r，所以8EF EG =u u u r u u u r ，所以E 、F 、G 三点共线.3、证明：假设10λ≠，则由11220e e λλ+=u r u u r r ，得2121e e λλ=-u r uu r .所以12,e e u r u u r 是共线向量，与已知12,e e u r u u r是平面内的一组基底矛盾,因此假设错误，10λ=. 同理20λ=. 综上120λλ==.4、（1）OP =u u u r （2）对于任意向量12OP xe ye =+u u u r u r u u r，,x y 都是唯一确定的，所以向量的坐标表示的规定合理.2．4平面向量的数量积练习（P106）1、1cos ,86242p q p q p q ⋅=⋅⋅<>=⨯⨯=u r r u r r u r r .2、当0a b ⋅<r r 时，ABC ∆为钝角三角形；当0a b ⋅=r r时，ABC ∆为直角三角形.3、投影分别为0，-图略练习（P107）1、5a ==r ，b ==r ，35427a b ⋅=-⨯+⨯=-r r .2、8a b ⋅=r r ，()()7a b a b +-=-r r r r ，()0a b c ⋅+=r r r ，2()49a b +=r r .3、1a b ⋅=r r ，a =r b =r88θ≈︒.习题 A 组（P108）1、a b ⋅=-r r222()225a b a a b b +=+⋅+=-r r r r r r a b +=r r 2、BC uuu r 与CA u u u r 的夹角为120°，20BC CA ⋅=-u u u r u u u r.3、a b +==r r a b -==r r4、证法一：设a r 与b r的夹角为θ.（1）当0λ=时，等式显然成立；（2）当0λ>时，a λr 与b r ，a r 与b λr的夹角都为θ，所以 ()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==r r r r r r ()cos a b a b λλθ⋅=r r r r所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r；（3）当0λ<时，a λr 与b r ，a r 与b λr的夹角都为180θ︒-，则 ()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=-r r r r r r所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r；综上所述，等式成立.证法二：设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r，那么 11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+r r所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r；5、（1）直角三角形，B ∠为直角.证明：∵(1,4)(5,2)(6,6)BA =---=--u u u r ，(3,4)(5,2)(2,2)BC =-=-u u u r∴6(2)(6)20BA BC ⋅=-⨯-+-⨯=u u u r u u u r∴BA BC ⊥u u u r u u u r，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（2）直角三角形，A ∠为直角证明：∵(19,4)(2,3)(21,7)AB =---=u u u r ，(1,6)(2,3)(1,3)AC =-----=-u u u r∴2117(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r∴AB AC ⊥u u u r u u u r，A ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（3）直角三角形，B ∠为直角证明：∵(2,5)(5,2)(3,3)BA =-=-u u u r ，(10,7)(5,2)(5,5)BC =-=u u u r∴35350BA BC ⋅=-⨯+⨯=u u u r u u u r∴BA BC ⊥u u u r u u u r，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形6、135θ=︒.7、120θ=︒.22(23)(2)44361a b a b a a b b -+=-⋅-=r r r r r r r r ，于是可得6a b ⋅=-r r ，1cos 2a b a bθ⋅==-r r r r ，所以120θ=︒.8、23cos 40θ=，55θ=︒. 9、证明：∵(5,2)(1,0)(4,2)AB =--=-u u u r ，(8,4)(5,2)(3,6)BC =--=u u u r， ∴AB DC =u u u r u u u r ，43(2)60AB BC ⋅=⨯+-⨯=u u u r u u u r∴,,,A B C D 为顶点的四边形是矩形.10、解：设(,)a x y =r，则2292x y yx ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得55x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或55x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.于是a =r或(a =r . 11、解：设与a r 垂直的单位向量(,)e x y =r，则221420x y x y ⎧+=⎨+=⎩，解得55x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或55x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.于是e =r或(e =r . 习题 B 组（P108） 1、证法一：0()0()a b a c a b a c a b c a b c ⋅=⋅⇔⋅-⋅=⇔⋅-=⇔⊥-r r r r r r r r r r r r r r证法二：设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r ，33(,)c x y =r.先证()a b a c a b c ⋅=⋅⇒⊥-r r r r r r r1212a b x x y y ⋅=+r r ，1313a c x x y y ⋅=+r r由a b a c ⋅=⋅r r r r得12121313x x y y x x y y +=+，即123123()()0x x x y y y -+-= 而2323(,)b c x x y y -=--r r，所以()0a b c ⋅-=r r r再证()a b c a b a c ⊥-⇒⋅=⋅r r r r r r r由()0a b c ⋅-=r r r得 123123()()0x x x y y y -+-=，即12121313x x y y x x y y +=+，因此a b a c ⋅=⋅r r r r2、cos cos cos sin sin OA OBAOB OA OB αβαβ⋅∠==+u u u r u u u r u u u r u u u r .3、证明：构造向量(,)u a b =r ，(,)v c d =r.cos ,u v u v u v ⋅=<>r r r r r r，所以,ac bd u v +<>r r∴2222222222()()()cos ,()()ac bd a b c d u v a b c d +=++<>≤++r r4、AB AC ⋅u u u r u u u r的值只与弦AB 的长有关，与圆的半径无关.证明：取AB 的中点M ，连接CM ，则CM AB ⊥，12AM AB =u u u u r u u u r又cos AB AC AB AC BAC ⋅=∠u u u r u u u r u u u r u u u r，而AM BAC AC∠=u u u u r u u u r所以212AB AC AB AM AB ⋅==u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r5、（1）勾股定理：Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，则222CA CB AB +=u u u r u u u r u u u r证明：∵AB CB CA =-u u u r u u u r u u u r∴2222()2AB CB CA CB CA CB CA =-=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .由90C ∠=︒，有CA CB ⊥，于是0CA CB ⋅=u u u r u u u r∴222CA CB AB +=u u u r u u u r u u u r（2）菱形ABCD 中，求证：AC BD ⊥ 证明：∵AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，,DB AB AD =-u u u r u u u r u u u r∴22()()AC DB AB AD AB AD AB AD ⋅=+⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .∵四边形ABCD 为菱形，∴AB AD =，所以220AB AD -=u u u r u u u r∴0AC DB ⋅=u u u r u u u r，所以AC BD ⊥（第4题）（3）长方形ABCD 中，求证：AC BD =证明：∵ 四边形ABCD 为长方形，所以AB AD ⊥，所以0AB AD ⋅=u u u r u u u r∴222222AB AB AD AD AB AB AD AD +⋅+=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .∴22()()AB AD AB AD +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以22AC BD =u u u r u u u r ，所以AC BD =（4）正方形的对角线垂直平分. 综合以上（2）（3）的证明即可. 2．5平面向量应用举例习题 A 组（P113）1、解：设(,)P x y ，11(,)R x y则1111(1,0)(,)(1,)RA x y x y =-=--u u u r，(,)(1,0)(1,0)AP x y x =-=-u u u r由2RA AP =u u u r u u u r 得11(1,)2(1,)x y x y --=-，即11232x x y y =-+⎧⎨=-⎩代入直线l 的方程得2y x =. 所以，点P 的轨迹方程为2y x =. 2、解：（1）易知，OFD ∆∽OBC ∆，12DF BC =, 所以23BO BF =.（2）因为1()2AE a b =+u u u r r r所以23AO AE =u u u r u u u r ，因此,,A O E 三点共线，而且2AO OE = 同理可知：2,2BO CO OF OD ==，所以2AO BO COOE OF OD===3、解：（1）(2,7)B A v v v =-=-r u u r u u r；（2）v r 在A v u u r方向上的投影为135A Av v v ⋅=r u u ru u r .4、解：设1F u u r ，2F u u r 的合力为F u r ，F u r 与1F uu r 的夹角为θ，则31F =+u r ，30θ=︒； 331F =+u u r ，3F u u r 与1F u u r的夹角为150°.习题 B 组（P113）1、解：设0v u u r 在水平方向的速度大小为x v u u r ，竖直方向的速度的大小为y v u u r，则0cos x v v θ=u u r u u r ，0sin y v v θ=u u r u u r.ODFEABC（第2题）（第4题）设在时刻t 时的上升高度为h ，抛掷距离为s ，则001sin ,()2cos h v t gt g s v t θθ⎧=-⎪⎨⎪=⎩u u r u u r为重力加速度所以，最大高度为220sin 2v gθu u r ，最大投掷距离为20sin 2v gθu u r .2、解：设1v u r与2v u u r 的夹角为θ，合速度为v r，2v u u r与v r的夹角为α，行驶距离为d .则1sin 10sin sin v v vθθα==u rrr ，0.5sin 20sin v d αθ==r . ∴120sin d v θ=r . 所以当90θ=︒，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短. 3、（1）(0,1)-解：设(,)P x y ，则(1,2)AP x y =--u u u r . (2,22)AB =-u u u r.将AB u u u r 绕点A 沿顺时针方向旋转4π到AP u u u r ，相当于沿逆时针方向旋转74π到AP u u u r ，于是7777(2cos 22sin ,2sin 22cos )(1,3)4444AP ππππ=+-=--u u u r所以1123x y -=-⎧⎨-=-⎩，解得0,1x y ==-（2）32y x=-解：设曲线C 上任一点P 的坐标为(,)x y ，OP u u u r绕O 逆时针旋转4π后，点P 的坐标为(,)x y ''则cos sin 44sin cos44x x y y x y ππππ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩，即2()2()x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩又因为223x y ''-=，所以2211()()322x y x y --+=，化简得32y x=-第二章复习参考题A 组（P118）1、（1）√；（2）√；（3）×；（4）×.2、（1）D ；（2）B ；（3）D ；（4）C ；（5）D ；（6）B .3、1()2AB a b =-u u u r r r ，1()2AD a b =+u u u r r r4、略解：2133DE BA MA MB a b ==-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r r r2233AD a b =+u u u r r r ，1133BC a b =+u u u r r r1133EF a b =--u u u r r r，1233FA DC a b ==-u u u r u u u r r r1233CD a b =-+u u u r r r ，2133AB a b =-u u ur r r5、（1）(8,8)AB =-u u u r ，82AB =u u u r；（2）(2,16)OC =-u u u r ，(8,8)OD =-u u u r ；（3）33OA OB ⋅=u u u r u u u r.6、AB u u u r 与CD u u ur 共线.证明：因为(1,1)AB =-u u u r ，(1,1)CD =-u u u r ，所以AB CD =u u u r u u u r . 所以AB u u u r 与CD u u ur 共线.7、(2,0)D -. 8、2n =. 9、1,0λμ=-=.10、34cos ,cos 0,cos 55A B C ===11、证明：2(2)22cos6010n m m n m m -⋅=⋅-=︒-=r u r u r r u r u r ，所以(2)n m m -⊥r u r u r . 12、1λ=-. 13、13a b +=r r ，1a b -=r r . 14、519cos ,cos 820θβ==第二章复习参考题B 组（P119）1、（1）A ；（2）D ；（3）B ；（4）C ；（5）C ；（6）C ；（7）D .2、证明：先证a b a b a b ⊥⇒+=-r r r r r r.222()2a b a b a b a b +=+=++⋅r r r r r r r r ，222()2a b a b a b a b -=-=+-⋅r r r r r r r r .因为a b ⊥r r ，所以0a b ⋅=r r ，于是22a b a b a b +=+=-r rr r r r .再证a b a b a b +=-⇒⊥r r r r r r.由于222a b a a b b +=+⋅+r rr r r r ，222a b a a b b -=-⋅+r r r r r r由a b a b +=-r r r r可得0a b ⋅=r r ，于是a b ⊥r r所以a b a b a b +=-⇔⊥r r r r r r. 【几何意义是矩形的两条对角线相等】 3、证明：先证a b c d =⇒⊥r r r u r（第6题）又a b =r r，所以0c d ⋅=r u r ，所以c d ⊥r u r再证c d a b ⊥⇒=r u r r r.由c d ⊥r u r 得0c d ⋅=r u r，即22()()0a b a b a b +⋅-=-=r r r r r r所以a b =r r【几何意义为菱形的对角线互相垂直，如图所示】4、12AD AB BC CD a b =++=+u u u r u u u r u u u r u u u r r r ，1142AE a b =+u u u r r r而34EF a =u u u r r，14EM a =u u u u r r ，所以1111(4242AM AE EM a b a =+=++=u u u u r u u u r u u u u r r r r 5、证明：如图所示，12OD OP OP =+u u u r u u u r u u u u r ，由于1230OP OP OP ++=u u u r u u u u r u u u r r，所以3OP OD =-u u u r u u u r ，1OD =u u u r所以11OD OP PD ==u u u r u u u r u u u r 所以1230OPP ∠=︒，同理可得1330OPP ∠=︒所以31260P PP ∠=︒，同理可得12360PP P ∠=︒，23160P P P ∠=︒，所以123PP P ∆为正三角形.6、连接AB .由对称性可知，AB 是SMN ∆的中位线，22MN AB b ==-u u u u r u u u r r 7、（18=沿与水流方向成60°的方向前进；（2）实际前进速度大小为沿与水流方向成90︒+. 8、解：因为OA OB OB OC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以()0OB OA OC ⋅-=u u u r u u u r u u u r ，所以0OB CA ⋅=u u u r u u u r 同理，0OA BC ⋅=u u u r u u u r ，0OC AB ⋅=u u u r u u u r，所以点O 是ABC ∆的垂心.9、（1）2110200a x a y a y a x -+-=；（2）垂直；（3）当12210A B A B -=时，1l ∥2l ；当12120A A B B +=时，12l l ⊥，夹角θ的余弦cos θ=；P 2（第5题）（4）d =第三章三角恒等变换3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习（P127）1、cos()cos cos sin sin 0cos 1sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+⨯=.cos(2)cos2cos sin2sin 1cos 0sin cos παπαπαααα-=+=⨯+⨯=.2、解：由3cos ,(,)52πααπ=-∈，得4sin 5α==；所以34cos()cos cos sin sin ()444252510πππααα-=+=-+=.3、解：由15sin 17θ=，θ是第二象限角，得8cos 17θ===-；所以81158cos()cos cos sin sin 33317217234πππθθθ-+-=+=-⨯+⨯=.4、解：由23sin ,(,)32πααπ=-∈，得cos α===又由33cos ,(,2)42πββπ=∈，得sin β===.所以32cos()cos cos sin sin ((()43βαβαβα-=+=⨯+⨯-=.练习（P131）1、（1 （2 （3 （4）2-2、解：由3cos ,(,)52πθθπ=-∈，得4sin 5θ===；所以413sin()sin cos cos sin ()333525πππθθθ+=+=⨯+-=3、解：由12sin 13θ=-，θ是第三象限角，得5cos 13θ=-；所以5112cos()cos cos sin sin ()()66613213πππθθθ+=-=--⨯-=.4、解：tan tan314tan()241311tan tan 4παπαπα+++===--⨯-⋅. 5、（1）1；（2）12；（3）1；（4）；（5）原式=1(cos34cos26sin34sin 26)cos(3426)cos602-︒︒-︒︒=-︒+︒=-︒=-；（6）原式=sin 20cos70cos20sin70(sin 20cos70cos20sin70)sin901-︒︒-︒︒=-︒︒+︒︒=-︒=-.6、（1）原式=cos cos sin sin cos()333x x x πππ-=+；（2）原式=12(cos )2(sin cos cos sin )2sin()22666x x x x x πππ+=+=+；（3）原式=)2(sin cos cos sin )2sin()444x x x x x πππ=-=-；（4）原式=12(cos )cos sin sin )cos()2333x x x x x πππ=-=+.7、解：由已知得3sin()cos cos()sin 5αβααβα---=，即3sin[()]5αβα--=，3sin()5β-=所以3sin 5β=-. 又β是第三象限角，于是4cos 5β===-.因此55534sin()sin cos cos sin ()()()()444525210πππβββ+=+=--+--=. 练习（P135）1、解：因为812παπ<<，所以382αππ<<又由4cos 85α=-，得3sin 85α==-，3sin385tan 484cos 85ααα-===- 所以3424sinsin(2)2sin cos 2()()48885525αααα=⨯==⨯-⨯-=2、解：由3sin()5απ-=，得3sin 5α=-，所以222316cos 1sin 1()525αα=-=--=所以2221637cos2cos sin ()25525ααα=-=--=3、解：由sin2sin αα=-且sin 0α≠可得1cos 2α=-，又由(,)2παπ∈，得sin α===，所以sintan (2)cos ααα==-=. 4、解：由1tan 23α=，得22tan 11tan 3αα=-. 所以2tan 6tan 10αα+-=，所以tan 3α=-5、（1）11sin15cos15sin3024︒︒=︒=；（2）22cos sin cos 8842πππ-==；（3）原式=212tan 22.511tan 4521tan 22.522︒⋅=︒=-︒；（4）原式=cos452︒=. 习题 A 组（P137）1、（1）333cos()cos cos sin sin 0cos (1)sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+-⨯=-；（2）333sin()sin cos cos sin 1cos 0sin cos 222πππαααααα-=-=-⨯-⨯=-；（3）cos()cos cos sin sin 1cos 0sin cos παπαπαααα-=+=-⨯+⨯=-；（4）sin()sin cos cos sin 0cos (1)sin sin παπαπαααα-=-=⨯--⨯=.2、解：由3cos ,05ααπ=<<，得4sin 5α==，所以431cos()cos cos sin sin 666552πππααα-=+=+⨯=.3、解：由2sin ,(,)32πααπ=∈，得cos α==又由33cos ,(,)42πββπ=-∈，得sin β==，所以32cos()cos cos sin sin ()(43αβαβαβ-=+=-+⨯=4、解：由1cos 7α=，α是锐角，得sin α=== 因为,αβ是锐角，所以(0,)αβπ+∈，又因为11cos()14αβ+=-，所以sin()αβ+==所以cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++ 5、解：由60150α︒<<︒，得9030180α︒<︒+<︒又由3sin(30)5α︒+=，得4cos(30)5α︒+===-所以cos cos[(30)30]cos(30)cos30sin(30)sin30αααα=︒+-︒=︒+︒+︒+︒ 6、（1）（2）（3）2-7、解：由2sin ,(,)32πααπ=∈，得cos α==又由3cos 4β=-，β是第三象限角，得sin β===.所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-8、解：∵53sin ,cos 135A B ==且,A B 为ABC ∆的内角 ∴0,02A B ππ<<<<，124cos ,sin 135A B =±=当12cos 13A =-时，sin()sin cos cos sin AB A B A B +=+A B π+>，不合题意，舍去∴124cos ,sin 135A B ==∴cos cos()(cos cos sin sin )C A B A B A B =-+=--9、解：由3sin ,(,)52πθθπ=∈，得4cos 5θ===-.∴sin 353tan ()cos 544θθθ==⨯-=-. ∴31tan tan 242tan()311tan tan 111()42θϕθϕθϕ-+++===--⋅--⨯.31tan tan 42tan()2311tan tan 1()42θϕθϕθϕ----===-+⋅+-⨯. 10、解：∵tan ,tan αβ是22370x x +-=的两个实数根.∴3tan tan 2αβ+=-，7tan tan 2αβ⋅=-.∴3tan tan 12tan()71tan tan 31()2αβαβαβ-++===--⋅--.11、解：∵tan()3,tan()5αβαβ+=-=∴tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()αβαβααβαβαβαβ++-=++-=-+⋅-3541357+==--⨯12、解：∵::2:3:6BD DC AD =∴11tan ,tan 32BD DC AD AD αβ====∴tan tan tan tan()1tan tan BAC αβαβαβ+∠=+=-⋅1132111132+==-⨯ 又∵0180BAC ︒<∠<︒，∴45BAC ∠=︒ 13、（1）)6x π+；（23sin()3x π-；（3）2sin()26x π+；（47sin()12x π-；（5）2；（6）12；（7）sin()αγ+；（8）cos()αγ--；（9）（10）tan()βα-.14、解：由sin 0.8,(0,)2παα=∈，得cos 0.6α=∴sin22sin cos 20.80.60.96ααα==⨯⨯= 15、解：由cos 270ϕϕ=︒<<︒，得sin ϕ==∴sin 22sin cos 2((3ϕϕϕ==⨯⨯=16、解：设5sin sin 13B C ==，且090B ︒<<︒，所以12cos 13B =. ∴512120sin sin(1802)sin 22sin cos 21313169A B B B B =︒-===⨯⨯=（第12题）17、解：22122tan 33tan 211tan 41()3βββ⨯===--，13tan tan 274tan(2)1131tan tan 2174αβαβαβ+++===-⋅-⨯. 18、解：1cos()cos sin()sin 3αββαββ+++=⇒1cos[()]3αββ+-=，即1cos 3α= 又3(,2)2παπ∈，所以sin α==∴1sin 22sin cos 2(3ααα==⨯⨯=∴78cos(2)cos2cos sin 2sin (444929218πππααα-+=-=---⨯=19、（1）1sin2α+；（2）cos2θ；（3）1sin 44x ；（4）tan2θ.习题 B 组（P138） 1、略.2、解：∵tan ,tan A B 是x 的方程2(1)10x p x +++=，即210x px p +++=的两个实根∴tan tan A B p +=-，tan tan 1A B p ⋅=+ ∴tan tan[()]tan()C A B A B π=-+=-+tan tan 11tan tan 1(1)A B pA B p +-=-=-=--⋅-+由于0C π<<，所以34C π=. 3、反应一般的规律的等式是（表述形式不唯一）223sin cos (30)sin cos(30)4αααα++︒++︒=（证明略）本题是开放型问题，反映一般规律的等式的表述形式还可以是：223sin cos sin cos 4αβαβ++=，其中30βα-=︒，等等思考过程要求从角，三角函数种类，式子结构形式三个方面寻找共同特点，从而作出归纳. 对认识三角函数式特点有帮助，证明过程也会促进推理能力、运算能力的提高.4、因为12PA PP =，则2222(cos()1)sin ()(cos cos )(sin sin )αβαβαβαβ+-++=-++即22cos()22cos cos 2sin sin αβαβαβ-+=-+ 所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-3．2简单的三角恒等变换练习（P142）1、略.2、略.3、略.4、（1）1sin 42y x =. 最小正周期为2π，递增区间为[,],8282k k k Z ππππ-++∈，最大值为12；（2）cos 2y x =+. 最小正周期为2π，递增区间为[2,22],k k k Z ππππ++∈，最大值为3；（3）2sin(4)3y x π=+. 最小正周期为2π，递增区间为5[,],242242k k k Z ππππ-++∈，最大值为2.习题 A 组（ P143）1、（1）略；（2）提示：左式通分后分子分母同乘以2；（3）略；（4）提示：用22sin cos ϕϕ+代替1，用2sin cos ϕϕ代替sin 2ϕ；（5）略；（6）提示：用22cos θ代替1cos2θ+；（7）提示：用22sin θ代替1cos2θ-，用22cos θ代替1cos2θ+；（8）略.2、由已知可有1sin cos cos sin 2αβαβ+=……①，1sin cos cos sin 3αβαβ-=……②（1）②×3－①×2可得sin cos 5cos sin αβαβ=（2）把（1）所得的两边同除以cos cos αβ得tan 5tan αβ= 注意：这里cos cos 0αβ≠隐含与①、②之中3、由已知可解得1tan 2θ=-. 于是2212()2tan 42tan 211tan 31()2θθθ⨯-===---- ∴tan 24tan()4πθθ=-+4、由已知可解得sin x θ=，cos y θ=，于是2222sin cos 1x y θθ+=+=.5、()2sin(4)3f x x π=+，最小正周期是2π，递减区间为7[,],242242k k k Z ππππ++∈.习题 B 组（P143） 1、略.2、由于762790+⨯=，所以sin76sin(9014)cos14m ︒=︒-︒=︒= 即22cos 71m ︒-=，得cos7︒= 3、设存在锐角,αβ使223παβ+=，所以23απβ+=，tan()2αβ+=又tantan 22αβ=tantan 2tan()21tantan 2αβαβαβ++=-，所以tantan tan()(1tan tan )3222αααβββ+=+-= 由此可解得tan 1β=， 4πβ=，所以6πα=.经检验6πα=，4πβ=是符合题意的两锐角.4、线段AB 的中点M 的坐标为11((cos cos ),(sin sin ))22αβαβ++. 过M 作1MM 垂直于x轴，交x 轴于1M ，111()()22MOM βαααβ∠=-+=+.在Rt OMA ∆中，cos cos 22OM OA βααβ--==. 在1Rt OM M ∆中，11cos cos cos22OM OM MOM αβαβ+-=∠=11sin sin cos22M M OM MOM αβαβ+-=∠=. 于是有 1(cos cos )cos cos222αβαβαβ+-+=， 5、当2x =时，22()sin cos 1f ααα=+=；当4x =时，4422222()sin cos (sin cos )2sin cos f ααααααα=+=+-211sin 22α=-，此时有1()12f α≤≤；当6x =时，662232222()sin cos (sin cos )3sin cos (sin cos )f ααααααααα=+=+-+231sin 24α=-，此时有1()14f α≤≤；由此猜想，当2,x k k N +=∈时，11()12k f α-≤≤6、（1）345(sin cos )5sin()55y x x x ϕ=+=+，其中34cos ,sin 55ϕϕ==所以，y 的最大值为5，最小值为﹣5；（2）)y x ϕ=+，其中cos ϕϕ==所以，y ；（第4题）第三章复习参考题A 组（P146）1、1665. 提示：()βαβα=+- 2、5665. 提示：5sin()sin[()]sin[()()]44ππαβπαββα+=-++=-+--3、1.4、（1）提示：把公式tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-变形；（2 （3）2；（4）提示：利用（1）的恒等式.5、（1）原式4sin(3010)4sin 20︒-︒==︒；（2）原式=sin10sin10sin 40(sin 40cos10cos10︒︒︒︒=︒⋅︒︒=2sin 40cos40sin801cos10cos10-︒︒-︒==-︒︒；（3）原式=tan 70cos101)tan 70cos10︒︒=︒=sin702sin10sin 20cos101cos70cos20cos70︒-︒-︒⋅︒⋅==-︒︒︒；（4）原式=sin50(1sin50︒⋅= 6、（1）95；（2）2425；（3）. 提示：4422222sin cos (sin cos )2sin cos θθθθθθ+=+-；（4）1725.7、由已知可求得2cos cos 5αβ=，1sin sin 5αβ=，于是sin sin 1tan tan cos cos 2αβαβαβ==. 8、（1）左边=222cos 214cos232(cos 22cos21)αααα-++=++22242(cos21)2(2cos )8cos ααα=+===右边（2）左边=2222sin cos 2sin cos (sin cos )2cos 2sin cos 2cos (cos sin )αααααααααααα+++=++sin cos 11tan 2cos 22αααα+==+=右边（3）左边=sin(2)2cos()sin sin[()]2cos()sin sin 2cos (cos sin )αβαβααβααβααααα+-+++-+=+sin()cos cos()sin sin sin sin αβααβαβαα+-+===右边（第12（2）题）（4）左边=222234cos22cos 212(cos 22cos21)34cos22cos 212(cos 22cos21)A A A A A A A A -+--+=++-++2224222(1cos2)(2sin )tan (1cos2)(2cos )A A A A A -===+=右边 9、（1）1sin 21cos2sin 2cos222)24y x x x x x π=+++=++=++递减区间为5[,],88k k k Z ππππ++∈（222，最小值为2210、2222()(cos sin )(cos sin )2sin cos cos2sin 22)4f x x x x x x x x x x π=+--=-=+（1）最小正周期是π；（2）由[0,]2x π∈得52[,]444x πππ+∈，所以当24x ππ+=，即38x π=时，()f x 的最小值为2-()f x 取最小值时x 的集合为3{}8π.11、2()2sin 2sin cos 1cos2sin 22)14f x x x x x x x π=+=-+=-+（1）最小正周期是π21；（2）()f x 在[,]22ππ-上的图象如右图：12、()3sin cos 2sin()6f x x x a x a π++=++.（1）由21a +=得1a =-；（2）2{22,}3x k x k k Z πππ+∈≤≤.13、如图，设ABD α∠=，则CAE α∠=，2sin h AB α=，1cos hAC α=所以1212sin 2ABC h h S AB AC α∆=⋅⋅=，(0)2πα<<当22πα=，即4πα=时，ABC S ∆的最小值为12h h .第三章复习参考题B 组（P147）1、解法一：由221sin cos 5sin cos 1αααα⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，及0απ≤≤，可解得4sin 5α=， αh 1h 2l 2l 1BDE AC（第13题）13cos sin 55αα=-=，所以24sin 225α=，7cos225α=-，sin(2)sin 2cos cos2sin 444πππααα-=-=. 解法二：由1sin cos 5αα-= 得21(sin cos )25αα-=，24sin 225α=，所以249cos 2625α=.又由1sin cos 5αα-=，得sin()410πα-=.因为[0,]απ∈，所以3[,]444πππα-∈-.而当[,0]44ππα-∈-时，sin()04πα-≤；当3[,]444πππα-∈时，sin()4πα->. 所以(0,)44ππα-∈，即(,)42ππα∈ 所以2(,)2παπ∈，7cos225α=-.sin(2)450πα-=2、把1cos cos 2αβ+=两边分别平方得221cos cos 2cos cos 4αβαβ++=把1sin sin 3αβ+=两边分别平方得221sin sin 2sin sin 9αβαβ++=把所得两式相加，得1322(cos cos sin sin )36αβαβ++=，即1322cos()36αβ+-=，所以59cos()72αβ-=-3、由sin()sin 3παα++=可得3sin 2αα=4sin()65πα+=-. 又02πα-<<，所以366πππα-<+<，于是3cos()65πα+=.所以cos cos[()]66ππαα=+-=4、22sin 22sin 2sin cos 2sin 2sin cos (cos sin )sin 1tan cos sin 1cos x x x x x x x x x x x x x x+++==---由177124x ππ<<得5234x πππ<+<，又3cos()45x π+=，所以4sin()45x π+=-，4tan()43x π+=-所以cos cos[()]cos()cos sin()sin 444444x x x x ππππππ=+-=+++=，sin 10x =-，7sin 22sin cos 25x x x ==, 所以2sin 22sin 281tan 75x x x +=--，5、把已知代入222sin cos (sin cos )2sin cos 1θθθθθθ+=+-=，得22(2sin )2sin 1αβ-=. 变形得2(1cos2)(1cos2)1αβ---=，2cos2cos2αβ=，224cos 24cos 2αβ= 本题从对比已知条件和所证等式开始，可发现应消去已知条件中含θ的三角函数. 考虑sin cos θθ+，sin cos θθ这两者又有什么关系？及得上解法. 5、6两题上述解法称为消去法6、()21cos22sin(2)16f x x x m x m π=+++=+++.由 [0,]2x π∈ 得72[,]666x πππ+∈，于是有216m ++=. 解得3m =.()2sin(2)4()6f x x x R π=++∈的最小值为242-+=，此时x 的取值集合由322()62x k k Z πππ+=+∈，求得为2()3x k k Z ππ=+∈7、设AP x =，AQ y =，BCP α∠=，DCQ β∠=，则tan 1x α=-，tan 1y β=- 于是2()tan()()x y x y xyαβ-++=+-又APQ ∆的周长为2，即2x y +=，变形可得2()2xy x y =+- 于是2()tan()1()[2()2]x y x y x y αβ-++==+-+-.又02παβ<+<，所以4παβ+=，()24PCQ ππαβ∠=-+=.8、（1）由221sin cos 5sin cos 1ββββ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，可得225sin 5sin 120ββ--=解得4sin 5β=或3sin 5β=-（由(0,)βπ∈，舍去）所以13cos sin 55ββ=-=-，于是4tan 3β=-（2）根据所给条件，可求得仅由sin ,cos ,tan βββ表示的三角函数式的值，例如，sin()3πβ+，cos22β+，sin cos 2tan βββ-，sin cos 3sin 2cos ββββ-+，等等.。

人教版高中数学高一A版必修4 第二章第一节平面向量的实际背景及基本概念

第二章第一节平面向量的实际背景及基本概念1．丰富多彩的背景，引人入胜的内容．教材首先从力、位移等量讲清向量的实际背景以及研究向量的必要性，接着介绍了平面向量的有关知识．学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言与方法表述和解决数学、物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力．平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础，从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示．向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来，这样为解决有关的几何问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题．最后介绍了平面向量的应用．2．教学的最佳契机，全新的思维视角．向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的．反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题．这一章的内容虽然概念多，但大都有其物理上的来源，虽然抽象，却与图形有着密切的联系，向量应用的优越性也是非常明显的．全新的思维视角，恰当的教与学，使得向量不仅生动有趣，而且是培养学生创新精神与能力的极佳契机．3．本章充分体现出新教材特点．以学生已有的物理知识和几何内容为背景，直观介绍向量的内容，注重向量运算与数的运算的对比，特别注意知识的发生过程．对概念、法则、公式、定理等的处理主要通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括得出结论．这一章中的一些例题，教科书不是先给出解法，而是先进行分析，探索出解题思路，再给出解法．解题后有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法，有的还让学生进一步考虑相关的问题．对知识的处理，都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式，从而培养学生的思维能力．向量的坐标实际上是把点与数联系起来，进而可把曲线与方程联系起来，这样就可用代数方程研究几何问题，同时也可以用几何的观点处理某些代数问题．4作者：赵勇，永安三中教师，本教学设计获福建省教学设计大赛三等奖整体设计教学理念新的课程标准要求我们创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，创设教学情境，让学生通过主动参与、积极思考、合作交流和创新等过程，获得知识、能力、情感的全面发展．本节课将充分体现以“学生为本”的教学观念，实现课程理念、教学方式和学生学习方式的转变．教学目标1．通过力的分析等实例，了解向量的实际背景；理解向量的概念．2．理解向量的几何表示；掌握零向量、单位向量、平行向量等概念；3．理解相等向量和共线向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量的相等向量．教学重点、难点1．通过学生自主探究，并在教师的引导下，使学生理解向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示等是本节课的重点．2．难点是学生对向量的概念和共线向量的概念的理解．学情和教材分析《向量》是高中数学新教材必修四第二章第1节．向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具．向量概念引入后，全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加(减)法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系．向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用．所以，向量是高考必考的重点内容，又因为其抽象性，它还是学生在学习中的一个难学内容．本节内容是向量一章的第一节课，因此，是十分关键、重要的一节课．教学准备多媒体课件教学过程导入新课位置是几何学研究的重要内容之一，几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另外一点的位置．如图1，如何由点A确定点B的位置？图1一种常用的方法是，以A为参照点，用B点A点之间的方位和距离确定B点的位置．如，B点在A点东偏南45°，30千米处．这样，在A点与B点之间，我们可以用有向线段AB表示B点相对于A点的位置．有向线段AB就是A点与B点之间的位移．位移简明地表示了位置之间的相对关系．像位移这种既有大小又有方向的量，加以抽象，就是我们本章要研究的向量．推进新课新知探究本章引言中，我们知道，位移是既有大小，又有方向的量，你还能举出一些这样的量吗？图2请大家阅读课本2.1.1向量的物理背景与概念；2.1.2向量的几何表示．并回答下面问题： (1)什么是向量？向量和数量有何不同？ (2)向量如何表示？(3)什么是零向量和单位向量？ (4)什么是平行向量？待学生阅读完后，老师总结并展示课件： 1．什么是向量？向量和数量有何不同？(数量：只有大小，没有方向的量) 在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中，哪些是数量？哪些是向量？数量有：质量、身高、面积、体积向量有：重力、速度、加速度提问：角度，海拔，温度是向量吗？ 2．向量如何表示？(1)几何表示——向量常用有向线段表示：有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．图3 注：以A 为起点，B 为终点的有向线段记为AB →，线段AB 的长度记作|AB →|(读为模)； (2)也可以表示为a ，b ，c ，…，大小记作：|a|、|b|、|c |、…说明一：我们所说的向量，与起点无关，用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置．所以数学中的向量也叫自由向量．如图4：它们都表示同一个向量．图4练习：向量AB →和BA →是同一个向量吗？为什么？不是，方向不同．探究：向量就是有向线段吗？有向线段就是向量吗？说明二：有向线段与向量的区别：有向线段：有固定起点、大小、方向．向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向．图5有向线段AB →、CD →是不同的．图6向量AB →、CD →是同一个向量． 3．什么是零向量和单位向量？零向量：长度为0的向量，记为0；单位向量：长度为1的向量．注：零向量，单位向量都是只限制大小，不确定方向的．向量之间的关系： 4．什么是平行向量？方向相同或相反的非零向量叫平行向量．注：1.若是两个平行向量，则记为a ∥b .2．我们规定，零向量与任一向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a . 练习：判断下列各组向量是否平行？图7向量的平行与线段的平行有什么区别？练习：已知下列命题：(1)向量AB →和向量BA →长度相等；(2)方向不同的两个向量一定不平行；(3)向量就是有向线段；(4)向量0＝0；(5)向量AB →大于向量CD →.其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：B例1试根据图8中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用向量表示A 地至B 、C 两地的位移，并求出A 地至B 、C 两地的实际距离(精确到1 km)．图8请同学们阅读课本2.1.3相等向量与共线向量，并回答问题：什么是相等向量和共线向量？待学生回答后，老师总结并展示课件： 5．什么是相等向量和共线向量？长度相等且方向相同的向量叫相等向量．a ＝b ＝c A 1B 1→＝A 2B 2→＝A 3B 3→＝A 4B 4→图9注：1.若向量a ，b 相等，则记为a ＝b ；2．任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．平行向量也叫共线向量．注：任一组平行向量都可以平移到同一直线上．练习：判断下列命题是否正确：(1)两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；(2)若|a|＝|b |，则a ＝b ；(3)若AB →＝DC →，则四边形ABCD 是平行四边形；(4)平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；(5)若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ；(6)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中不正确命题的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C练习：下列说法正确的是( ) A ．若|a|>|b|，则a>b B ．若|a |＝0，则a ＝0C ．若|a|＝|b|，则a ＝b 或a ＝－bD ．若a ∥b ，则a ＝bE ．若a ＝b ，则|a|＝|b |F ．若a ≠b ，则a 与b 不是共线向量G ．若a ＝0，则－a ＝0 答案：EG例2如图10，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与OA →、OB →、OC →相等的向量．图10解：OA →＝CB →＝DO →， OB →＝DC →＝EO →， OC →＝AB →＝ED →＝FO →.练习：如图11，EF 是△ABC 的中位线，AD 是BC 边上的中线，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段表示的向量中请分别写出：图11(1)与向量CD →共线的向量有________个，分别是________________________________；(2)与向量DF →的模一定相等的向量有________个，分别是______________________；(3)与向量DE →相等的向量有________个，分别是__________．答案：(1)7 DC →、DB →、BD →、FE →、EF →、CB →、BC → (2)5 FD →、EB →、BE →、EA →、AE →(3)2 CF →、FA →课堂小结通过本节课的学习，要求大家能够理解向量的概念；掌握向量的几何表示；理解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并能进行简单的应用．作业习题2.1A 组2,5设计思路1．首先先对本节课教材内容进行分析2．教材内容的安排和处理根据我所教学生的特点，我对教材进行了如下处理，先由物理中的位置关系导入新课，然后提出问题，并要求学生带着问题去阅读课本，最后由老师总结，并对概念进行概念辨析，以加大学生的思维的深度，拓宽了学生的视野，实现本节课难点的突破，整堂课充分发挥学生的主导作用．3．教法“问题是数学的灵魂，也是学好数学的必然手段”，本节课总体上以问题串的形式，设计为七问五练．着重抓四个知识点，突出学生的“主导地位”．并通过多媒体课件的演示，直观展示向量的有关内容，激发学生的兴趣．4．学法指导以问题为载体，通过提问、阅读、归纳，练习的过程，掌握思考、讨论、交流的学习方法，并体验探究和发现的乐趣．。

人教版高中数学必修26.4平面向量的应用教案

6.4平面向量的应用教学设计证明：如图，因为平面几何问题转化为向问题中的几何元素，将几何与向量的联系，用解：第一步，建立平面D(1,1),P(x,1-x),E(0,1-x),F(x,0)(1,),(,DP x x EF x x ∴=--=DP EF DP EF∴⊥∴⊥(1)(1)DP EF x x x x =---小结：①建立坐标系；②写出用到的点的坐标及向量坐标；③进行坐标运算；④还原为几何问题。

几何问题代数化数形结合思想2、如图，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC 的长．解设AD →＝a ，AB →＝b ，则BD →＝a －b ，AC →＝a ＋b ，而|BD →|＝|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋4－2a ·b ＝5－2a ·b ＝2， ∴5－2a ·b ＝4，∴a ·b ＝12.又|AC →|2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋4＋2a ·b ＝6，∴|AC →|＝6，即AC ＝ 6.方法总结：向量在平面几何中常见的应用 (1)证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用平行向量基本定理a ∥b ⇔a ＝λb (λ∈R ，b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0(a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2))(2)证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0(a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2))(3)求线段的长度或说明线段相等，常用公式：|a |=a 2＝x 2＋y 2(a ＝(x ，y ))或AB ＝|AB →|＝x 1－x 22＋y 1－y 22(A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)) 知识探究（二）：向量在物理中的应用举例下面，我们再来感受下向量在物理中的应用。

人教版高中数学必修四2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2-2.3.3含答案

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算课时目标 1.掌握向量的正交分解，理解平面向量坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量.2.掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法、减法、数乘的坐标运算法则进行有关的运算．1．平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量，叫作把向量正交分解．(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个____________i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝____________，则________________叫作向量a 的坐标，________________叫作向量的坐标表示．(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA →＝________，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝________________________.2．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝________________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝________________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．一、选择题1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( ) A ．(－2，－1) B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)2．已知a －12b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于( ) A ．(－2，－2) B ．(2,2)C ．(－2,2)D ．(2，－2)3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( )A ．－2,1B ．1，－2C ．2，－1D ．－1,24．已知M (3，－2)，N (－5，－1)且MP →＝12MN →，则点P 的坐标为( ) A ．(－8,1) B.⎝⎛⎭⎫1，32 C.⎝⎛⎭⎫－1，－32 D ．(8，－1) 5．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →等于( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4)6．已知四边形ABCD 为平行四边形，其中A (5，－1)，B (－1，7)，C (1,2)，则顶点D 的坐标为( )A ．(－7,0)B ．(7,6)C ．(6,7)D ．(7，－6)题号 1 2 3 4 5 6 答案二、填空题7．已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，则12AC →－14BC →的坐标是________． 8．已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________.9．若向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3，2)，则x ＝________.10．函数y ＝x 2＋2x ＋2按向量a 平移所得图象的解析式为y ＝x 2，则向量a 的坐标是________．三、解答题11．已知a ＝(－2,3)，b ＝(3,1)，c ＝(10，－4)，试用a ，b 表示c .12．已知平面上三个点坐标为A (3,7)，B (4,6)，C (1，－2)，求点D 的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．能力提升13．已知P ＝{a |a ＝(1,0)＋m (0,1)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1,1)＋n (－1,1)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于( )A ．{(1,1)}B ．{(－1,1)}C ．{(1,0)}D ．{(0,1)}14．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2的图象F 按向量a 平移到F ′，F ′的函数解析式为y ＝f (x )，当y ＝f (x )为奇函数时，向量a 可以等于( )A.⎝⎛⎭⎫－π6，－2B.⎝⎛⎭⎫－π6，2 C.⎝⎛⎭⎫π6，－2 D.⎝⎛⎭⎫π6，21．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示：2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同．2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2．3.3 平面向量的坐标运算答案知识梳理1．(1)互相垂直 (2)单位向量 x i ＋y j 有序数对(x ，y ) a ＝(x ，y ) (3)(x ，y ) (x 2－x 1，y 2－y 1)2．(1)(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (2)(x 1－x 2，y 1－y 2) (3)(λx ，λy )作业设计1．D 2.D3．D [由⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝2.] 4．C [设P (x ，y )，由(x －3，y ＋2)＝12×(－8,1)， ∴x ＝－1，y ＝－32.] 5．B [∵AC →＝AB →＋AD →，∴AD →＝AC →－AB →＝(－1，－1)．∴BD →＝AD →－AB →＝(－3，－5)．]6．D [设D (x ，y )，由AD →＝BC →，∴(x －5，y ＋1)＝(2，－5)．∴x ＝7，y ＝－6.]7．(－3,6)8.112解析 ∵AC →＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)，BD →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)，又2BD →＝AC →，即(2x －4,2y －6)＝(－1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4＝－1，2y －6＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32，y ＝4，∴x ＋y ＝112. 9．－1解析 ∵A (1,2)，B (3,2)，∴AB →＝(2,0)．又∵a ＝AB →，它们的坐标一定相等．∴(x ＋3，x 2－3x －4)＝(2,0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0， ∴x ＝－1.10．(1，－1)解析函数y ＝x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1的顶点坐标为(－1,1)，函数y ＝x 2的顶点坐标为(0,0)，则a ＝(0,0)－(－1,1)＝(1，－1)．11．解设c ＝x a ＋y b ，则(10，－4)＝x (－2,3)＋y (3,1)＝(－2x ＋3y,3x ＋y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 10＝－2x ＋3y ，－4＝3x ＋y ，解得x ＝－2，y ＝2，∴c ＝－2a ＋2b .12．解 (1)当平行四边形为ABCD 时，AB →＝DC →，设点D 的坐标为(x ，y )．∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＝1，－2－y ＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－1. ∴D (0，－1)； (2)当平行四边形为ABDC 时，仿(1)可得D (2，－3)；(3)当平行四边形为ADBC 时，仿(1)可得D (6,15)．综上可知点D 可能为(0，－1)，(2，－3)或(6,15)．13．A [设a ＝(x ，y )，则P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝m ， ∴集合P 是直线x ＝1上的点的集合．同理集合Q 是直线x ＋y ＝2上的点的集合，即P ＝{(x ，y )|x ＝1}，Q ＝{(x ，y )|x ＋y －2＝0}．∴P ∩Q ＝{(1,1)}．故选A.]14．B [函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2按向量a ＝(m ，n )平移后得到y ′＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2m ＋π6＋n －2.若平移后的函数为奇函数，则n ＝2，π6－2m ＝k π＋π2(k ∈Z )，故m ＝－π6时适合．]附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。

高中数学 2.1平面向量的实际背景及基本概念教案-人教版高中全册数学教案

2.1平面向量的实际背景及基本概念一、教学目标：1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.二、教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.三、教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.四、学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.五、教具：多媒体课件六、教学设计：（一）、情景设置：（1）在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？（2）现实世界中有各种各样的量，如年龄、身高、体重、力、速度、面积、体积、温度等。

在数学上，如何正确理解、区分这些量呢？（二）、新课学习：1、图片展示：物理中常见的浮力、压力、压力等，提问：这些力有什么共同特征？（学生答）他们都是有大小和方向的量。

（板书1）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。

提问：向量和数量一样吗？它们有什么区别？（学生答）向量：既有大小，又有方向的量。

数量：只有大小，没有方向的量。

思考:时间,路程,功是向量吗?速度,加速度是向量吗?总结：向量的两要素：大小、方向2、探究学习：如何表示向量？由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量常常用数轴上的一个点表示，如3，2，-1，…而且不同的点表示不同的数量。

对于向量，我们常用带箭头的线段来表示，线段按一定比例（标度）画出，它的长度表示向量的大小，箭头表示向量的方向。

有向线段：在线段AB 的两个端点中，规定一个顺序，假设A 为起点，B 为终点，我们就说线段AB 具有方向。

人教版高中数学教案：第5章：平面向量,教案,课时第 (23)

第二十四教时教材：复习三——平面向量的坐标运算、定比分点过程：一、复习：平面向量坐标的概念，运算法则，定比分点二、例题：1．已知四边形的顶点坐标为A (1,2)，B (2,5)，C (8,14)，D (3,5)，求证：四边形ABCD 是一个梯形。

证：∵=(2,3), =(6,9) 且2×9-3×6=0 ∴∥又∵AB =(1,3), =(-5,-9) 而1×(-9)-3×(-5)≠0 ∴AB∥∴ABCD 为梯形2．设a = (1,x )，b = (-1,3)，且2a + b ∥a -2b ，试求x 。

解：2a + b = (1,), a -2b = (3, x -6)∵2a + b ∥a -2b ∴1×(x -6) - (2x +3)×3 = 0 ⇒ x = -3 3．已知：A (1,-2)，B (2,1)，C (3,2)，D (-2,3)，1︒求证：A ，B ，C 三点不共线2︒以、AC 为一组基底来表示AD ++CD解：1︒∵=(1,3), AC =(2,4) ∵1×4-3×2≠0 AC ∴A ，B ，C 三点不共线2︒++=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1) = (-12,8) 设：AD +BD +CD = m AB + n AC 即：(-12,8) = (m + 2n , 3m + 4n )∴⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧+=+=-2232438212n m n m n m ∴++= 32-22 4．已知M (1,-3)，N (4,6)，P (x ,3)，且三点共线，求点P 分有向线段MN 所成的比λ及x 的值。

解：36)3(341---=--=x x λ 解得：λ= 2, x = 35．已知△ABC 的顶点是A (x 1, y 1)，B (x 2, y 2)，C (x 3, y 3)，求△ABC 的重心G 的坐标(x , y )。

人教版高中数学必修第二册： 6.3.1平面向量基本定理【课件】

其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是（ B ）
A．①②
B．①③
C．①④
D．③④
解： ①与不共线；② = − ，则与共线； ③ 与不共
线； ④ = −，则与共线．由平面向量基底的概念知，只有不
共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．故选B.
于是∆是直角三角形.
1. 在∆中， = ，
Ԧ
= ，若，分别在，边上，
2
1
A）
且 = 2， = 2.则向量 + 表示（
Ԧ
3
A.
B.
3
C.
D.
解：如图所示， = + ，
2
因为 = 2，所以 = 3 .
Ԧ 1 ， 2 的方向分解，能
发现什么？
如图，过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；
过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N，
则 = + . 由与1 共线，与2 共线可得，存在实数
1 ，2 ，使得 = 1 1 ， = 2 2 ，所以Ԧ = 1 1 + 2 2 .
也就是说，与1 ， 2 都不共线的向量都可以表示成
Ԧ
1 1 + 2 2
的形式.
问题3 当是与
Ԧ
Ԧ
1 或 2 共线的非零向量时，是否也可以表
示成1 1 + 2 2 的形式？当是零向量呢？
Ԧ
平面内任一向量都可以按
Ԧ
1 ， 2 的方向分解，表示成1 1 + 2 2
存在唯一一个实数，使 = .
Ԧ
思考根据这一定理，我们知道，位于同一直线上的向量可以由位于
这条直线上的一个非零向量表示.那么，平面内任一向量是否可以由

人教版高中数学必修第二册6.3.1-6.3.3 平面向量基本定理、正交分解及坐标表示同步精练

人教版高中数学必修第二册6.3.1-6.3.3平面向量基本定理、正交分解及坐标表示、加、减运算的坐标表示同步精练【考点梳理】考点一：平面向量基本定理1.平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e2.2.基底：若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.考点二平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.考点三平面向量的坐标表示1.在平面直角坐标系中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为i ，j ，取{i ，j }作为基底.对于平面内的任意一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y ).，在直角坐标平面中，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0).考点三平面向量加、减运算的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，数学公式文字语言表述向量加法a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和向量减法a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么向量AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.【题型归纳】题型一：基底的概念问题1．（2021·全国·高一课时练习）已知向量12,e e 不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是（）A ．12e e -与21e e -B ．1223e e -与1232-e e C ．122--e e 与1224+e e D ．122e e -与122e e -2．（2021·全国·高一课时练习）设12e e ，是不共线的两个向量，则下列四组向量不能构成基底的是（）A ．1e 与12e e +B ．12e 2e -与21e 2e -C ．12e 2e -与214e 2e -D ．12e e +与12e e -3．（2021·河北巨鹿中学高一阶段练习）设12{,}e e 是平面内所有向量的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（）A ．122e e +和12e e -B ．1242e e +和2124e e -C ．122e e -和2142e e -D ．122e e +和122e e +题型二：基底表示向量问题4．（2021·全国·高一课时练习）我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BC a =，BA b =，3BE EF =，则BF =（）A ．1292525a b +B ．16122525a b +C ．4355a b+D ．3455a b+5．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，等腰梯形ABCD 中，3AB BC CD AD ===，点E 为线段CD 上靠近C 的三等分点，点F 为线段BC 的中点，则FE =（）A ．1151818AB AC -+B ．1111189AB AC -+C ．114189AB AC -+D ．1526AB AC -+6．（2021·广东高州·高一期末）如图，四边形ABCD 中，22BC AE ED ==，34BF BE =，则CF =（）A ．3548BA CB+B ．3143BA BC-C ．1548BA BC-+D ．3548BA BC+题型三：平面向量基本定理7．（2021·重庆·西南大学附中高一阶段练习）如图所示，已知点G 是ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ，AC 两边交于M ，N 两点（点N 与点C 不重合），设xAB AM =，y AC AN =，则11x y+的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．68．（2021·湖南·长沙市湘郡长德实验学校高一阶段练习）在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，A N A B A C λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的值为（）A ．12B ．13C ．14D ．19．（2021·江苏·盐城中学高一阶段练习）如图，在ABC 中，23AN NC =，P 是BN 上一点，若13AP AB AC λ=+，则实数λ的值为（）A ．13B ．16C ．23D ．14题型四：平面向量的坐标表示10．（2021·重庆实验外国语学校高一期中）设i 、j 是平面直角坐标系内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，O 为坐标原点，若2OA i j =+，34OB i j =+，则32OA OB +的坐标是（）A ．()8,11B ．()9,14C ．()7,6D ．()5,2--11．（2020·四川省遂宁市第二中学校高一期中（理））已知点A (1,3)-，B ()2,2-，O 为坐标原点，则下列结论错误的是（）A ．AB 的坐标是()3,5-B ．35BA i j =-+，其中(1,0),(0,1)i j ==C ．若线段AB 的中点为M ，则OM =11,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．OA 在OB 上的投影是2212．（2021·云南·昆明八中高一期中）已知四边形ABCD 是边长为2的正方形，P 为平面ABCD 内一点，则()()PA PB PC PD +⋅+的最小值为（）.A ．1-B ．2-C ．4-D ．6-题型五：由向量线性运算结果求参数13．（2021·全国·高一课前预习）已知a =(-5，6)，b =(-3，2)，c =(x ，y )，若a -3b +2c =0，则c 等于（）A ．(-2，6)B ．(-4，0)C ．(7，6)D ．(-2，0)14．（2021·全国·高一课时练习）已知12(2,1),(1,3),(1,2)===-e e a ，若1122a e e λλ=+，则实数对1(λ，2)λ为（）A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,1)--D ．无数对15．（2021·全国·高一课时练习）已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，AB=BC=2，AD=1，梯形所在平面内一点P 满足BA BC +=2BP ，则PC PD =（）A ．-2B ．-1C ．-2D ．-22题型六：由向量线性运算解决几何问题16．（2021·河南焦作·高一期中）如图，A ，B ，C 是圆О上的三个不同点，且120AOB ∠=︒，30AOC ∠=︒，则OC =（）．A ．232333OA OB +B ．232333OA OB -C ．3333OA OB +D ．3333OA OB -17．（2021·江苏南京·高一期末）在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，1AB =，2AC =，D 是ABC 内一点，且45DAB ∠=︒设(,)AD AB AC R λμλμ=+∈，则（）A ．20λμ+=B ．20λμ-=C ．2λμ=D ．2μλ=18．（2021·天津·南开中学高一期末）如图，在矩形ABCD 中，3,4,AB BC E ==为AD 上一点，BE AC ⊥，若BA BE AC λμ=+，则λμ-的值为（）A ．15B ．725C ．1625D ．1题型七：由向量线性运算解决最值和范围问题19．（2021·浙江温州·高一期末）已知平面向量a ，b ，c （a 与b 不共线），满足2a b c -==，1c a c b -=-=，设(),c a b λμλμ=+∈R ，则λμ+的取值范围为（）A ．[)2,2,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦B ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[)2,+∞D ．(],2-∞20．（2021·江苏·南京师大附中高一期末）在扇形OAB 中，o 60AOB ∠=，1OA =，C 为弧AB 上的一个动点，且OC xOA yOB =+．则4x y +的取值范围为（）A ．[1,4)B ．[1,4]C ．[2,3)D ．[2,3]21．（2021·湖南·高一期中）已知ABC 的边BC 的中点为D ，点G 为AD 的中点，GBC 内一点P （P 点不在GBC 边界上）满足,AP AB AC λμλμ=+∈R ，，则λμ+的取值范围是（）A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,2题型八：利用坐标求向量的模22．（2021·山东邹城·高一期中）已知向量()1,0a =，()2,4b =r，则a b +=（）A ．5B ．5C ．7D ．2523．（2021·全国·高一课前预习）已知向量1(2,0),(,1),2==-a b 则2a b +=（）A ．3B ．5C ．23D ．524．（2021·辽宁丹东·高一期末）在ABC 中，π3A =，4AB =，则4CB AB →→-的最小值是（）A ．42B ．43C ．62D ．63【双基达标】一、单选题25．（2021·全国·高一课时练习）若{}12e e ，是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（）A ．12e e -，21e e -B ．12e e -，12e e +C ．212e e -，212e e -+D ．122e e +，124e 2e +26．（2021·全国·高一课时练习）在ABC 中，点D 在CB 的延长线上，且4CD BD ==r AB sAC +，则r s -等于（）A ．0B ．45C ．83D ．327．（2021·全国·高一课时练习）已知()3,1AB =uu u r，()4,3AC =--，则BC =（）A ．()7,4--B ．()7,4C ．()1,4-D ．()1,428．（2021·全国·高一课时练习）已知i ､j 分别是方向与x 轴正方向､y 轴正方向相同的单位向量，O 为坐标原点，设()()()2211OA x x i x x j x =++--+∈R ，则点A 位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限29．（2021·全国·高一课时练习）已知(1,3)a =-，且(1,3),(2,6)A B --，下列等式：①a OA =；②2OB a =-uu u r r ；③3AB a =-；④0OA OB a ++=．其中，正确的有（）A ．l 个B ．2个C ．3个D ．4个30．（2021·全国·高一单元测试）设m R ∈，向量(1,2)a =-，(,1)b m n =-.若2a b a +=，则m ，n 的值分别是（）A ．1，-1B ．1，-3C ．1，-2D ．1，231．（2021·全国·高一单元测试）在ABC 中，(3,1)A ，AB 的中点为(2,4)D ，ABC 的重心(3,4)G ，则B ，C 的坐标分别为（）A ．(1,7)，(4,5)B ．(1,7)，(5,4)C ．(7,1)，(4,5)D ．(7,1)，(5,4)32．（2021·全国·高一课时练习）已知向量i =(1,0)，j =(0,1)，对于该坐标平面内的任一向量a ，给出下列四个结论：①存在唯一的一对实数x ，y ，使得a =(x ,y )；②若x 1，x 2，y 1，y 2∈R ，a =(x 1,y 1)≠(x 2,y 2)，则x 1≠x 2且y 1≠y 2；③若x ，y ∈R ，a =(x ,y )，且a ≠0，则a 的始点是原点O ；④若x ，y ∈R ，a ≠0，且a 的终点坐标是(x ,y )，则a =(x ,y )．其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【高分突破】一：单选题33．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，在ABC 中，2AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，AD 为BC 边上的高，M 为AD 的中点，若AM AB BC λμ=+，则λμ+的值为（）A ．53B ．12-C ．12D ．2334．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，在ABC 中，2BD DC =．若AB a =，AC b =，则AD =（）A ．2133a b+r r B ．2133a b-C ．1233a b+D ．1233a b-35．（2021·江西赣州·高一期中）已知1,0OA OB OA OB ==⋅=，点C 满足(),OC OA OB R λμλμ+=+∈且AOC 30∠=，则λμ等于（）A ．13B ．1C ．33D ．336．（2021·湖南·高一期末）已知对任意的平面向量(),AB a b =，把AB 绕其起点沿逆时针方向旋转φ角得到向量(cos sin ,sin cos )AP a b a b φφφφ=-+，叫着把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转φ角得到点P .已知()1,2A ，()12,222B -+，把点B 绕点A 沿顺时针方向旋转4π得到点P ，则P 的坐标为（）A ．()1,3B ．()0,1C ．()2,5D ．()1,3--37．（2021·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高一阶段练习）已知平行四边形ABCD 中，AD =(3,7)-，(4,3)AB =，对角线AC ，BD 交于点O ，则CO 的坐标为（）A ．1,52⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,52⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,52⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．1,52⎛⎫- ⎪⎝⎭38．（2021·安徽·宣城市励志中学高一阶段练习）“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD 中，ABC 满足“勾3股4弦5”，且3AB =，E 为AD 上一点，.BE AC ⊥若BE BA BC λμ=+，则1λμ+的值为（）A ．925-B ．725C ．1625D ．1二、多选题39．（2021·全国·高一课时练习）设a 是已知的平面向量，向量a ，b ，c 在同一平面内且两两不共线，其中真命题是（）A ．给定向量b ，总存在向量c ，使a b c =+；B ．给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a b c λμ=+；C ．给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a b c λμ=+；D ．若||2a =，存在单位向量b ，c 和正实数λ，μ，使a b c λμ=+，则336λμ+>．40．（2021·广东·江门市新会第二中学高一阶段练习）如果12,e e 是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是（）A ．λ1e +μ2e (λ，μ∈R )可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α内任一向量a ，使a =λ1e +μ2e 的实数对(λ，μ)有无穷多个C ．若向量λ11e +μ12e 与λ21e +μ22e 共线，则λ1μ2-λ2μ1=0D ．若实数λ，μ使得12λμ+=0e e ，则λ=μ=041．（2021·全国·高一课时练习）设向量()2,0a =，()1,1b =r，则（）A ．a b=r r B ．()//a b b -C ．()a b b-⊥D ．a 与b 的夹角为4π42．（2021·湖南·长沙市第二十一中学高一期中）已知向量(),3a m =，()2,4b =-，若()a b a +⊥，则（）A ．1m =或3m =-B ．1m =-或3m =C ．2a b +=或10a b +=rr D ．2a b +=或26a b +=43．（2021·全国·高一课时练习）已知向量()1,0i =，()0,1j =，对平面内的任一向量a ，下列结论中错误的是（）A ．存在唯一的一对实数x ，y ，使得(),a x y =rB ．若1x ，2x ，1y ，2y ∈R ，()()1122,,a x y x y =≠，则12x x ≠，且12y y ≠C ．若x ，y R ∈，(,)a x y =，且0a ≠，则a 的起点是原点OD ．若x ，y R ∈，0a ≠，且a 的终点坐标是(),x y ，则(),a x y =r44．（2021·广东普宁·高一期中）设1234A A A A 、、、是平面直角坐标系中相异的四点，若1312()A A A A λλ=∈R ，1412()A A A A μμ=∈R ，且112λμ+=，则称34,A A 调和分割12,A A ，已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是（）A ．A 、B 、C 、D 四点共线B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C 、D 可能同时在线段AB 上D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上三、填空题45．（2021·全国·高一单元测试）已知点()3,1A -，()4,2B --，点P 是直线AB 上一点，且满足2AP PB =，则点P 的坐标是___________.46．（2021·浙江·宁波市北仑中学高一期中）已知两点12(2,1),(1,3)P P --，点P 在直线12PP 上，且满足122||||3PP PP =，则点P 的坐标为___________.47．（2021·全国·高一课时练习）设点A （1，3），()3,B n -，()2,1C m +-．若2AB BC =-，则mn 的值为________．48．（2021·北京市西城区教委高一阶段练习）如图，在ABC 中，点D ，E 分别在BC ，AC 上，且,2BD DC AE EC ==，若DE x AB y AC =+，则x y +=___________.49．（2021·江西·景德镇一中高一期中）在ABC 中，,M N 分别是边,AB AC 的中点，点O 是线段MN 上，异于端点的一点，且()400OA OB OC λλ++=≠，则λ=____________.四、解答题50．（2021·全国·高一课时练习）（1）已知a ＝(－1，2)，b ＝(1，－1)，c ＝(3，－2)，且有c ＝p a ＋q b ，试求实数p ，q 的值；（2）已知a ＝(2，1)，b ＝(1，－3)，c ＝(3，5)，把a ，b 作为一组基底，试用a ，b 表示c .51．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成30°角，求AC 和BD 的坐标.52．（2021·全国·高一课时练习）.如图，在△OAB 中，11,42OC OA OD OB ==，AD 与BC 交于点M ，设,OA a OB b→==在线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过M 点，设OE ＝p OA ，OF ＝q OB ，求证：17p ＋37q＝1.53．（2021·浙江省桐庐中学高一期中）如图，在平面四边形ABCD 中，2AC CD AD BC ====，BC CA ⊥.（1）求BA BD ⋅的值；（2）若P 是线段AD 上一点（含端点），求3PC PD +的取值范围.【答案详解】1．D 【分析】根据基底不共线原则判断即可.【详解】解：只要两向量不共线便可作为基底，故对于A 选项，()1221e e e e -=--，共线，不满足；对于B 选项，121232322⎛⎫-=- ⎪⎝⎭e e e e ，共线，不满足；对于C 选项，()12122422+=---e e e e 共线，不满足；对于D 选项，122e e -与122e e -不共线，故满足.故选：D.2．C 【分析】在同一平面内,只要两个向量不共线，就可以作为这个平面的一组基底，逐项判断即可.【详解】对于A 选项：设121e e e =λ+，12e e ，是不共线的两个向量，1=1=0λ⎧∴⎨⎩,无解,1e ∴与12e e +不共线，1e ∴与12e e +可以构成一组基底；对于B 选项：设()1221=e 2e 2e e λ--，12e e ，是不共线的两个向量，1=22=λλ-⎧∴⎨-⎩,无解，12e 2e ∴-与21e 2e -不共线，12e 2e ∴-与21e 2e -可以构成一组基底；对于C 选项：设()1221=e 24e 2e e λ--，12e e ，是不共线的两个向量，1=21=2=42λλλ-⎧∴∴-⎨-⎩，，()21212e 2e 1=4e 2e ∴---，12e 2e ∴-与214e 2e -共线，12e 2e ∴-与214e 2e -不能构成一组基底；对于D 选项：设()1212=e e e e λ-+，12e e ，是不共线的两个向量，1=1=λλ⎧∴⎨-⎩,无解,12e e +∴与12e e -不共线，12e e +∴与12e e -可以构成一组基底；故选：C3．C 【分析】根据基底不共线的性质，判断各选项是否存在实数λ使基底有线性关系，若存在即共线，不可作为基底.【详解】作基底的两个向量一定不共线，A 、B 、D ：不存在实数λ，使11222()e e e e λ+=-、122142(24)e e e e λ+=-、12122(2)e e e e λ+=+，故可以作基底；C ：21122(4)22e e e e =---，即存在2λ=-，故它们共线，不能作为基底.故选：C 4．B 【分析】由题意结合平面向量基本定理可得33()44BF BC BF BA =+-+，从而可求得结果【详解】因为此图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且BC a =，BA b =，3BE EF =，所以34BF BC CF BC EA =+=+3()4BC EB BA =++33()44BC BF BA =+-+93164BC BF BA =-+，解得16122525BF BC BA =+，即16122525BF a b =+，故选：B 5．A 【分析】利用平面向量的加法和减法以及平面向量的基本定理求解.【详解】1123FE FC CE BC CD =+=+，112()233AC AB BA CB ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，1122122993AC AB AB AC AB =-+--，1151818AB AC =-+，故选：A.6．A 【分析】依据图形，结合向量的加法，减法，数乘运算的运算律利用BA ，BC 表示CF .【详解】3313344248BF BE BA BC BA BC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，3348CF BF BC BA BC BC =-=+-=35354848BA BC BA CB -=+．故选：A.7．A 【分析】由G 为ABC 的重心，可得()13AG AB AC =+，结合AM x AB =，AN y AC =，根据M G N ，，三点共线，得到x y ，的关系式，即可得到答案【详解】延长AG 交BC 与点H ,H 为BC 中点,G 为ABC 的重心，()()2211133333111123AG AH AB AC AB AC AM AN A x yx y M AN ⎛⎫∴==⨯+=+=+=+ ⎪⎝⎭M G N 、、三点共线11133x y +=,113x y+=故选:A 8．A 【分析】设BM tBC =，可根据向量关系得出()1AM t AB t AC =-+，即可得出.【详解】由题可设BM tBC =，则()()1AM AB BM AB tBC AB t AC AB t AB t AC =+=+=+-=-+，N 为AM 中点，()1111222AN AM t AB t AC ∴==-+,又A N A B A C λμ=+u u u r u u u r u u u r，()11=1,22t t λμ∴-=，12λμ∴+=.故选：A.9．B 【分析】由题意，可根据向量运算法则得到()215AP m AC m AB =+-，从而由向量分解的唯一性得出关于λ的方程，求出λ的值.【详解】由题意及图：()()1AP AB BP AB mBN AB m AN AB mAN m AB =+=+=+-=+-,又23AN NC =,所以25AN AC =,所以()215AP m AC m AB =+-,又13AP AB AC λ=+,所以12153m m λ-=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：51,66m λ==.故选：B.10．B 【分析】写出OA 、OB 的坐标，利用平面向量线性运算的坐标表示可求得结果.【详解】由已知条件可得()1,2OA =，()3,4OB =，因此，()()()3231,223,49,14OA OB +=+=.故选：B.11．D 【分析】利用向量的坐标运算逐一判断.【详解】解：对A ：()()2,2(1,3)3,5AB =---=-，故正确；对B ：当(1,0),(0,1)i j ==时，35(3,0)(0,5)(3,5)i j BA -+=-+=-=，故正确；对C ：由已知线段AB 的中点坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，则OM =11,22⎛⎫⎪⎝⎭，故正确；对D ：OA 在OB 上的投影为22262222OB OBOA --==-+⋅，故错误．故选：D ．【点睛】本题考查向量的坐标运算，考查向量的几何意义，是基础题．12．C 【分析】建立如图所示的直角坐标系，设(),P x y ，求出()()PA PB PC PD +⋅+224(1)4(1)4x y =-+--，即得解.【详解】建立如图所示的直角坐标系，则()0,0A ，()2,0B ，()2,2C ()0,2D .设(),P x y ，则(),PA x y =--，()2,PB x y =--，()2,2PC x y =--，(),2PD x y =--，所以()()()()()2222,222,422248PA PB PC PD x y x y x y y+⋅+=--⋅--=-+-224(1)4(1)4x y =-+--.所以当1x =，1y =时，()()PA PB PC PD +⋅+取得最小值4-.故选：C 【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，考查平面向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.13．D 【分析】根据平面向量加减、数乘运算的坐标表示列出方程组，解方程组即可.【详解】∵a -3b +2c =0，∴(-5，6)-(-9，6)+(2x ，2y )=(0，0)，即2-590-226-600x x y y +==⎧⎧∴⎨⎨+==⎩⎩，，，，即c =(-2，0).故选：D .14．B 【分析】由1122a e e λλ=+表示出坐标关系，利用向量相等建立关系即可求解.【详解】()11221212,23e e λλλλλλ+=++，1122a e e λλ=+，∴12121223λλλλ-=+⎧⎨=+⎩，解得1211λλ=-⎧⎨=⎩．∴实数对1(λ，2)(1λ=-，1)．故选：B ．15．B 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，根据BA BC +=2BP ，求得点P 的坐标，从而可求得,PC PD 的坐标，即可得出答案.【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，因为AD ∥BC ，∠ABC=90°，AB=BC=2，AD=1，所以B (0，0)，A (0，2)，C (2，0)，D (1，2)，所以BA =(0，2)，BC =(2，0)，因为BA BC +=2BP ，所以2BP =(0，2)+(2，0)=(2，2)，故BP =(1，1)，故P (1，1)，PD =(0，1)，PC =(1，-1)，所以()01111·PC PD =⨯+⨯-=-.故选：B .16．D 【分析】如图，建立直角坐标系，设圆的半径为1，则可求出,,A B C 的坐标，即可得到向量,,OA OB OC 的坐标，由于,OA OB 不共线，所以利用平面向量基本定理进行求解即可【详解】解：如图，建立直角坐标系，设圆的半径为1，因为120AOB ∠=︒，30AOC ∠=︒，所以1331(1,0),,,,2222A B C ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以1331(1,0),,,,2222OA OB OC ⎛⎫⎛⎫=-==-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为,OA OB 不共线，所以由平面向量基本定理可知存在一对有序实数,λμ，使OC OA OB λμ=+，所以3113,(1,0),2222λμ⎛⎫⎛⎫--=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以13223122λμμ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得3333λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以3333OC OA OB =-，故选：D17．B 【分析】根据Rt △ABC 构建平面直角坐标系，可知B 、C 的坐标分别为(1，0)、(0，2)，应用含参数的坐标表示向量AD ，由平面向量基本定理(,)AD AB AC R λμλμ=+∈，坐标运算求得参数λ、μ的关系即可求判断选项.【详解】如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系则B 点的坐标为(1，0)，C 点的坐标为(0，2)∵∠DAB ＝45°，所以设D 点的坐标为(m ，m )(m ≠0)(,)(1,0)(0,2)(,2)AD m m AB AC λμλμλμ==+=+=则λ＝m ，且μ＝12m ，∴2λμ=，即20λμ-=故选：B 18．D 【分析】借助于矩形建立直角坐标系，利用坐标法求解.【详解】建立如图示坐标系，由3,4,AB BC ==则有：()()()()0,0,4,0,0,3,4,3,B C A D 因为E 为AD 上一点，可设(),3,E x 所以()()()=0,3,=,3,=4,3BA BE x AC -.因为BE AC ⊥，所以=0BE AC ，即490x -=，解得：94x =，所以9,34E ⎛⎫⎪⎝⎭.由BA BE AC λμ=+得：94=0433=3λμλμ⎧+⎪⎨⎪-⎩，解得：16=259=25λμ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，所以=1λμ-.故选：D 19．A 【分析】设,,a OA b OB c OC ===，由已知条件判断出222AC BC AB +=，即ABC 是等腰直角三角形，以C 为坐标原点，OA OB 、所在的边为x y 、轴的正半轴建立平面直角坐标系，则()()1,00,1A B 、，(),O x y ，得222x y +=，再由(),c a b λμλμ=+∈R 得111x y λμ++-+=，设2cos ,2sin x y θθ==，求出x y +范围可得答案【详解】设,,a OA b OB c OC ===，则2a b OA OB BA OC c -=-====，1,1c a OC OA AC c b OC OB BC -=-==-=-==，所以222AC BC AB +=，即ABC 是等腰直角三角形，以C 为坐标原点，OA OB 、所在的边为x y 、轴的正半轴建立平面直角坐标系，如图，则()()1,00,1A B 、，(),O x y ，因为2c =，所以222x y +=，因为(),c a b λμλμ=+∈R ，所以()()()1,1,,x x y x y y λμ--+--=--，所以x x x λλμ--=-，y y y μλμ--=-，两式相加得()()()x x y y λμλμλμ-+=+-++-，所以1111x yx y x y λμ+=++-+-+=，因为222x y +=，所以设2cos ,2sin x y θθ==，所以()[]2cos sin 2sin 2,24x y πθθθ⎛⎫+=+=+∈- ⎪⎝⎭，因为,a b 不共线，所以,,O A B 不共线，所以1x y +≠，所以[)(]2,11,2x y +∈-，[)(]13,00,1x y +-∈-，[)111,,13x y ⎛⎤∈+∞-∞- ⎥+-⎝⎦，所以[)2,2,3λμ⎛⎤+∈-∞+∞ ⎥⎝⎦，故选：A.20．A【分析】以O 为原点，OB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，令COB θ∠=，则0,60θ⎡⎤∈⎣⎦，则234sin 4cos 3x y θθ+=-+，易知()234cos sin 3f θθθ=-为减函数，即可得出结果.【详解】以O 为原点，OB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，令COB θ∠=，则0,60θ⎡⎤∈⎣⎦，因为1OA =，则()10B ,，13,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,()cos ,sin C θθ，又OC xOA yOB =+，则cos 23sin 2x y x θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则1cos sin 32sin 3y x θθθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则233sin 4cos 3x y θθ+=-+，又0,60θ⎡⎤∈⎣⎦，易知()23sin 4cos 3f θθθ-+=为减函数，由单调性易得其值域为[]1,4.故选：A.21．A【分析】先以BC 为x 轴，D 为原点建立坐标系，得到对应坐标，再根据向量关系解得()222y n λμ=--，结合题意知0y n <<，即解得结果.【详解】以BC 为x 轴，D 为原点建立如图坐标系．设()()()(),,0,0,G m n B a C a P x y -，，，，则()2,2A m n ，()()()2,22,22,2AP x m y n AB a m n AC a m n =--=---=--，，，由AP AB AC λμ=+，有222222x m a m a m y n n n λλμμλμ-=--+-⎧⎨-=--⎩，故()222y n λμ=--，∵点P 在GBC 内，∴0y n <<即()0222n n λμ<--<，解得112λμ<+<.故选：A ．22．B【分析】根据向量的坐标运算求解模长即可.【详解】根据题意，向量()1,0a =，()2,4b =r ，则()3,4a b +=，故9165a b +=+=.故选：B ．23．B【分析】利用向量的坐标运算可得2(1,2)a b +=r r ，即得.【详解】∵向量1(2,0),(,1),2==-a b ∴12(2,0)2(,1)(1,2)2a b +=+⋅-=r r ，∴222125a b +=+=r r .故选：B.24．D【分析】建立平面直角坐标系，得到向量的坐标，转化为函数最值问题进而得出答案.【详解】如图建立平面直角坐标系，设()(),30C x x x >，∴()4,3CB x x →=--，()4,0AB →=，∴()4124,43CB AB x x →→-=--，∴22327444694444CB AB x x x ⎛⎫-=-+=-+ ⎪⎝⎭，∴34x =时，4CB AB →→-的最小值为：334632⋅=.故选：D.25．B【分析】不共线的向量能作为基底，逐一判断选项即可.【详解】不共线的向量能作为基底，因为()1221e e e e -=--，所以向量12e e -，21e e -共线，故排除A ；假设1212(e e e e λ-=+），解得=1=1λλ⎧⎨-⎩，无解，所以向量12e e -，12e e +不共线，故B 正确；因为()212122e e e e =-+--，所以212e e -，212e e +-共线，故排除C ；因为()121212422e e e e =++，所以122e e +，1224e e +共线，故排除D ，故选：B26．C【分析】根据4CD BD ==r AB sAC +，利用平面向量的基本定理求解.【详解】因为点D 在CB 的延长线上，且4CD BD =，所以444333CD CB AB AC ==-，又因为CD r AB sAC =+，所以44,33r s ==-，所以83r s -=，故选：C27．A【分析】由向量减法法则计算．【详解】(4,3)(3,1)(7,4)BC AC AB =-=---=--故选：A.28．D【分析】由向量的正交分解可得A 点坐标，由横纵坐标的符号可确定所在象限.【详解】由题意得：()221,1A x x x x ++-+-210x x ++>，210x x -+-<A ∴位于第四象限故选：D.29．D【分析】根据向量的坐标表示及运算，逐项判定，即可求解.【详解】因为向量(1,3)a =-，且(1,3),(2,6)A B --，由向量(1,3)OA =-，所以a OA =，所以①正确；由向量(2,6)OB =-，2(2,6)a -=-，所以2OB a =-uu u r r ，所以②正确；由向量(3,9)AB =-，3(3,9)a -=-，所以3AB a =-，所以③正确；由②知2OB a =-uu u r r 且a OA =，则20OA OB a OB a ++=+=，所以④正确.故选：D.30．A【分析】根据平面向量的坐标运算以及向量相等即可求出．【详解】因为()()1,3,22,4a b m n a +=+-=-，所以12,34m n +=-=-，解得,11m n ==-．故选：A ．31．B【分析】根据中点坐标公式以及重心的坐标公式即可解出．【详解】设()()1122,,,B x y C x y ，所以11322142x y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得111,7x y ==，1212333143x x y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，解得225,4x y ==，所以B ，C 的坐标分别为(1,7)，(5,4)．故选：B ．32．A【分析】根据平面向量的基本定理、向量的坐标表示，及向量始点、终点与向量坐标的关系，即可判断各项的正误.【详解】由平面向量基本定理，存在唯一的一对实数x ，y 使a xi y j =+，①正确；举反例，a =(1,0)≠(1,3)，但1=1，②错误；由向量可以平移，所以a =(x ,y )与a 的始点是不是原点无关，③错误；当a 的终点坐标是(x ,y )时，a =(x ,y )是以a 的始点是原点为前提的，④错误．故选：A33．D【分析】利用平面向量的加法、数乘运算以及平面向量的基本定理即可求解.【详解】因为在ABC 中，2AB =，3BC =,60ABC ∠=︒，AD 为BC 边上的高，所以在ABD △中，112BD AB ==，又13,3BC BD BC =∴=，AD AB BD ∴=+13AB BC =+，M 为AD 的中点，111226AM AD AB BC ∴==+，11,,26AM AB BC λμλμ=+∴==，23λμ∴+=，故选：D.34．C【分析】根据2BD DC =．且AB a =，AC b =，利用平面向量的加法,减法和数乘运算求解.【详解】因为2BD DC =．且AB a =，AC b =，所以AD AC CD =+，13AC CB =+()13AC AB AC =+-，1233AB AC =+，1233a b =+.故选：C35．D【分析】建立平面直角坐标系，求得λμ，由此确定正确选项.【详解】由于1,0OA OB OA OB ==⋅=，以O 为原点建立如图所示平面直角坐标系，所以(),C λμ，则3tan 30,33μλλμ︒===.故选：D36．C【分析】由已知可得(2,22)AB =-，然后根据所给的定义可得AP 的坐标，从而可求出点P 的坐标【详解】解：由()1,2A ，()12,222B -+，得(2,22)AB =-，则由题意可得2cos()22sin(),2sin()22cos()4444AP ππππ⎛⎫=------+- ⎪⎝⎭2222222,2222222⎛⎫=-⨯+⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭(1,3)=所以点P 的坐标为()2,5，故选：C37．C【分析】根据题意可得AC AB AD =+，再由12CO AC =-求出.【详解】平行四边形ABCD 中，AD =(3,7)-，(4,3)AB =，()1,10AC AB AD ∴=+=，O 为AC 中点，11,522CO AC ⎛⎫∴=-=-- ⎪⎝⎭.故选：C.38．C【分析】由题意建立如图所示的直角坐标系，设(),3E a ，根据BE AC ⊥，得490AC BE a ⋅=-=，解得94a =，再根据BE BA BC λμ=+得到94,433μλ⎧=⎪⎨⎪=⎩解之即得解.【详解】由题意建立如图所示的直角坐标系，因为3AB =，4BC =，则()0,3A ，()0,0B ，()4,0C .设(),3E a ，则()4,3AC =-，(),3BE a =，因为BE AC ⊥，所以490AC BE a ⋅=-=，解得94a =，由BE BA BC λμ=+，得()()9,30,34,04λμ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以94,43 3.μλ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得1,916λμ=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以11625λμ=+.故选：C .39．ABD【分析】利用平面向量基本定理依次判断，即得解【详解】对于选项A ，给定向量a 和b ，只需求得其向量差a b -即为所求的向量c ，故总存在向量c ，使a b c =+，故A 正确；对于选项B ，当向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线时，向量b ，c 可作基底，由平面向量基本定理可知结论成立，故B 正确；对于选项C ，取(4,4),2,(1,0)a b μ===，无论λ取何值，向量b λ都平行于x 轴，而向量c μ的模恒等于2，要使a b c λμ=+成立，根据平行四边形法则，向量c μ的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量c 使等式成立，故C 错误；对于选项D ，2222()2cos ,4a b c b c λμλμλμ=+=++<>=，又b ，c 不共线，2224λμλμ∴++>，即2()4λμ+>，即2λμ+>，3323323λμλμλμ++≥⋅=（当且仅当λμ=时等号成立），23236λμ+>⨯=，得336λμ+>，故D 正确故选：ABD ．40．ACD【分析】利用平面向量的基本定理可判断A 、B 、D ；利用向量共线定理可判断C ；从而得出答案.【详解】根据平面向量的基本定理可知A 正确、B 错误；根据向量共线定理，存在唯一的非零实数λ，使得()11122122e e e e λμλλμ+=+，即1212λλλμλμ=⎧⎨=⎩，消去λ可得12210λμλμ-=，故C 正确；若实数λ，μ有一个不为0，不妨设0λ≠，则12e e μλ=-，此时12,e e 共线，这与已知矛盾，所以λ=μ=0，故D 正确.故选：ACD41．CD【分析】根据给定条件对各选项逐一推理计算并判断作答.【详解】因向量()2,0a =，()1,1b =r ，则2a =，2b =，A 不正确；()1,1a b -=-，而1111-⨯≠⨯，即a b -与b 不共线，B 不正确；而()1,1a b -=-，则()11110⨯+-⨯=，()a b b -⊥，C 正确；222221012cos ,22011a b ⨯+⨯==+⋅+，又0,a b π≤〈〉≤，于是得,4a b π〈〉=，即a 与b 的夹角为4π，D 正确.故选：CD42．AC【分析】根据向量垂直的坐标表示，由题中条件求出m ，再由向量模的坐标表示，求出a b +，即可得出结果.【详解】因为向量(),3a m =，()2,4b =-，所以()2,1b m a +=+-r r ，若()a b a +⊥，则()()2130m m +⨯+-⨯=，即2230m m +-=，解得1m =或3m =-，故A 正确，B 错；当3m =-时，()()22212b m a +=++-=；当1m =时，()()222110a b m +=++-=；故C 正确，D 错.故选：AC.43．BCD【分析】根据平面向量的定义及坐标表示一一判断可得；【详解】解：对于A ：平面向量的横纵坐标是确定的，故A 正确；对于B ：如果两个向量不相等，则其横纵坐标不完全相等，即1(x ，12)(y x ≠，2)y ，则12x x ≠或12y y ≠；故B 错误；对于C ：平面向量是可以平移的，所以起点不一定是坐标原点，故C 错误；对于D ：平面向量是由起点和终点坐标决定的，应该等于终点坐标减起点坐标，故D 错误；故选：BCD ．44．AD【分析】根据题设条件可先判断出1A 、2A 、3A 、4A 四点共线，从而判断出选项A ，然后可设()0,0A 、()10B ,、(),0C c 、(),0D d ，结合题设条件可得112c d+=，然后对各选项一一判断即可.【详解】∵1312()A A A A λλ=∈R ，1412()A A A A μμ=∈R ∴1312//A A A A ，1412//A A A A ∴1A 、2A 、3A 、4A 四点共线∵平面上的点C ，D 调和分割点A ，B∴A 、B 、C 、D 四点共线，故A 正确；由题意可设()0,0A 、()10B ,、(),0C c 、(),0D d ，则()(),01,0c λ=，()(),01,0d μ=.∴c λ=，dμ=∵112λμ+=∴112c d+=对于B ，若D 是线段AB 的中点，则12d =，代入到112c d+=，c 不存在，故B 错误；对于C ，若C 、D 同时在线段AB 上，则01c ≤≤，01d ≤≤，代入到112c d+=，可得1c d ==，此时C 、D 重合，与题意不符，故C 错误；对于D ，若C 、D 同时在线段AB 的延长线上，则1c >，1d >，所以112c d +<，与112c d+=矛盾，故C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上，故D 正确.故选：AD.45．55,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】先求出AP 的坐标，再得点P 坐标．【详解】由已知(7,1)AB =--，由2AP PB =得2142(,)333AP AB ==--，所以P 点坐标为14255(,)(3,1)(,)3333--+-=--．故答案为：55,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭46．43,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或【分析】分点P 在线段12PP 的反向延长线、点P 在线段12PP 上以及点P 在线段12PP 的延长线上三种情况，结合平面向量的线性坐标运算即可求出结果.【详解】若点P 在线段12PP 的反向延长线上，又因为122||||3PP PP =，则有1223PP PP =-，设(),P x y ，则()()122,1,1,3PP x y PP x y =-+=---，所以()()22132133x x y y ⎧-=---⎪⎪⎨⎪+=--⎪⎩，解得89x y =⎧⎨=-⎩，即()8,9P -；若点P 在线段12PP 上，又因为122||||3PP PP =，则有1223PP PP =设(),P x y ，则()()122,1,1,3PP x y PP x y =-+=---，所以()()22132133x x y y ⎧-=--⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，解得4535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即43,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；若点P 在线段12PP 的延长线上，又因为122||||3PP PP =，则显然不成立；故答案为:43,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或(8,9)-.47．15【分析】根据A ，B ，C 三点的坐标可求出(4,3),2(210,22)AB n BC m n =---=--+，根据2AB BC =-，即可得出2104223m n n --=-⎧⎨+=-⎩，从而可求出m ，n 的值，进而求出mn 的值．【详解】(4,3),(5,1)AB n BC m n =--=+--，2(210,22)BC m n -=--+；2AB BC =-；∴2104223m n n --=-⎧⎨+=-⎩；解得35m n =-⎧⎨=-⎩；15mn ∴=．故答案为：15．48．13-【分析】根据向量的加减运算化简可得.【详解】因为,2BD DC AE EC ==，则()111111232326DE DC CE BC AC AC AB AC AB AC =+=-=--=-+，所以11,26x y =-=，则13x y +=-.故答案为：13-.49．5【分析】利用向量线性运算可化简得到()5280OA OM ON λ-++=，设OM tON =，整理可得()()5280OA t ON λ-++=，由向量,OA ON 不共线可构造方程求得结果.【详解】M 是AB 中点，2OM OA OB ∴=+；同理可得：2ON OA OC =+；()()4242OA OB OC OA OM OA ON OA λλ∴++=+-+-()5280OA OM ON λ=-++=，,,M O N 三点共线，∴可设OM tON =，()()5280OA t ON λ∴-++=，,OA ON 不共线，50280t λ-=⎧∴⎨+=⎩，解得：54t λ=⎧⎨=-⎩，5λ∴=.故答案为：5.50．（1）p ，q 的值分别为1，4；（2）c ＝2a －b .【分析】（1）用坐标表示出p a ＋q b ，由向量相等可求得,p q ；（2）设c ＝m a ＋n b ，用坐标表示后，再由向量相等可得,m n ，从而得结论．【详解】解因为a ＝(－1，2)，b ＝(1，－1)，c ＝(3，－2)，所以p a ＋q b ＝p (－1，2)＋q (1，－1)＝(－p ＋q ，2p －q )．又因为c ＝p a ＋q b ，所以3,22,p q p q -+=⎧⎨-=-⎩解得1,4.p q =⎧⎨=⎩故所求p ，q 的值分别为1，4.（2）设c ＝m a ＋n b ，m ，n ∈R.因为m a ＋n b ＝m (2，1)＋n (1，－3)＝(2m ＋n ，m －3n )，且c ＝m a ＋n b ＝(3，5)，所以23,35,m n m n +=⎧⎨-=⎩解得2,1.m n =⎧⎨=-⎩故c ＝2a －b51．3131(,)22AC -+=，3131(,)22BD ---=【分析】依题意B ，D 分别是30°，120︒角的终边与单位圆的交点，设()11,B x y ，()22,D x y ．由三角函数的定义，求出B 、D 的坐标，再根据向量的坐标表示和向量的加减运算可得.【详解】解：由题知B ，D 分别是30°，120︒角的终边与单位圆的交点．设()11,B x y ，()22,D x y ．由三角函数的定义，得13cos302x ︒==，11sin 302y ︒==，∴31,22B ⎛⎫ ⎪⎝⎭．21cos1202x ︒==-，23sin1202y ︒==，∴13,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．()0,0A ∴31,22AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13,22AD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．∴3131(,)22AC AB AD -+=+=，3131(,)22BD AD AB ---=-=52．证明见解析【分析】由,,B M C 三点共线计算可得1(1)4OM ma m b →=+-，由,,A M D 三点共线，计算可得1(1)2OM na n b →=+-，即可求得1377OM a b →→=+，由,,E M F 三点共线，计算可得()1(1)OM OE OF b p a q λλλλ→→=+-=+-，消去λ,即可证得结果.【详解】因为,,B M C 三点共线，所以存在实数m ，使得11(1)(1)(1)44OM mOC m OB m OA m OB ma m b →=+-=⋅+-=+-，又,,A M D 三点共线，所以存在实数n ，使得1(1)(1)2OM nOA n OD na n b →=+-=+-,由于,a b →→不共线，所以1411(1)2m n m n ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩,解得4717m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故1377OM a b →→=+.因为,,E M F 三点共线，所以存在实数λ，使得()1(1)OM OE OF b p a q λλλλ→→=+-=+-,1,73(1),7p q λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去λ,得17p ＋37q ＝1.53．（1）236+（2）33,213PC PD ⎡⎤+∈⎣⎦【分析】（1）利用基底法求向量的数量积；（2）设PD AD λ=uu u r uuu r ，[]0,1λ∈，化简可得2136438PC PD λ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，从而确定3PC PD +的取值范围.（1）解：因为2AC CD AD BC ====，所以ACD △是边长为2等边三角形，因为BC CA ⊥，所以ACB △是直角边长为2等腰直角三角形，且22BA =，45BAC ∠=︒，60CAD ∠=︒，所以()BA BD BA BA AD BA BA BA AD⋅=⋅+=⋅+⋅()()()222cos 1806045842cos 4530BA AD =+⋅︒-︒-︒=+︒+︒23218422362222⎛⎫=+⨯-⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭；（2）解：由P 是线段AD 上一点（含端点），设PD AD λ=uu u r uuu r ，[]0,1λ∈，222344168PC PD PD DC AD DC AD AD DC DC λλλ+=+=+=+⋅+，有222cos 23AD DC π⋅=⨯⨯=-，故2213641646438PC PD λλλ⎛⎫+=-+=-+ ⎪⎝⎭，当18λ=时，3PC PD +取最小值为3；当1λ=时，3PC PD +取最小值为213.。

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平面向量教学目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等，进行向量计算理解向量共线的充要条件。

能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量。

要求学生理解点P 分有向线段21P P 所成的比λ的含义和有向线段的定比分点公式，并能应用解题。

教学难点：根据图形判定向量是否平行、共线、相等，进行向量计算理解向量共线的充要条件。

能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量。

要求学生理解点P 分有向线段21P P 所成的比λ的含义和有向线段的定比分点公式，一、实例：老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。

提出课题：平面向量1．意义：既有大小又有方向的量叫向量。

例：力、速度、加速度、冲量等注意：1︒数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。

2︒从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。

2．向量的表示方法： 1︒几何表示法：点—射线有向线段——具有一定方向的线段有向线段的三要素：起点、方向、长度记作（注意起讫）2︒字母表示法：AB 可表示为a （印刷时用黑体字） P95 例用1cm 表示5n mail （海里）3．模的概念：向量AB 记作：|AB | 模是可以比较大小的4．两个特殊的向量：1︒零向量——长度（模）为0的向量，记作0。

0的方向是任意的。

注意0与0的区别2︒单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。

A B A(起点) B （终点） a例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？答：不是。

因为零上零下也只是大小之分。

例：AB 与BA 是否同一向量？答：不是同一向量。

例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。

二、向量间的关系：1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

记作：a ∥b ∥c 规定：0与任一向量平行2．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

记作：a =b 规定：0=0任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。

3．共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上，所以平行向量也叫共线向量。

OA =a OB =b OC =c例：（P95）略变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）变式三：与向量共线的向量有哪些？（FE DO CB ,,）三、向量的加法一、提出课题：向量是否能进行运算？1.某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和：AC BC AB =+2、若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ，则两次的位移和：AC BC AB =+ 3、某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ，则两次的位移和：AC BC AB =+ 4、船速为AB ，水速为BC ，a bcA BCA BCA BC则两速度和：AC BC AB =+提出课题：向量的加法二、1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。

注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量） 2．三角形法则：强调：1︒“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点 2︒可以推广到n 个向量连加3︒a a a =+=+004︒不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则 3．例一、已知向量a 、b ，求作向量a +b 作法：在平面内取一点，作a OA = b AB = 则b a OB +=4．加法的交换律和平行四边形法则上题中b +a 的结果与a +b 是否相同验证结果相同从而得到：1︒向量加法的平行四边形法则 2︒向量加法的交换律：a +b =b +a 5．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )证：如图：使a AB =, b BC =, c CD =则(a +b ) +c =AD CD AC =+ a + (b +c ) =AD BD AB =+ ∴(a +b ) +c =a + (b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。

ABCOABaaabbba +b a +b a a b b b a a ABCDaca +b+cb a +b b+c四、向量的减法1．用“相反向量”定义向量的减法1︒“相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量。

记作 -a 2︒规定：零向量的相反向量仍是零向量。

-(-a ) = a任一向量与它的相反向量的和是零向量。

a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 0 3︒向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。

即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。

2．用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3．求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量 ∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a作法：在平面内取一点O ，作OA = a , AB = b 则BA = a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量。

注意：1︒AB 表示a - b 。

强调：差向量“箭头”指向被减数 2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b )显然，此法作图较繁，但最后作图可统一。

4．a ∥b ∥c a - b = a + (-b ) a - b例一、设a 表示“向东走3km ”，b 表示“向北走3km ”，则a + b 表示向东北走23km 解：OB = OA +ABOABa B’b -b bB a + (-b ) a b O a bBa ba -ba -b A B B B’ a -ba ab b O A O Ba -b B A O -b Ba +b bO a A233322=+=OB (km )例二、试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

证：由向量加法法则： AB = AO +OB , DC = DO +OC 由已知：AO =OC , DO =OB∴AB =DC 即AB 与CD 平行且相等 ∴ABCD 为平行四边形例三、在正六边形中，若OA = a , OE = b ，试用向量a 、b 将OB 、OC 、OD 表示出来。

解：设正六边形中心为P则=++=+=OA OE OA PB OP OB )(a + b=+=PC OP OC a + b + a + b由对称性：OD = b + b + a五、实数与向量的积1．引入新课：已知非零向量a 作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a)OC =BC AB OA ++=a +a +a =3aPN =MN QM PQ ++=(-a )+(-a )+(-a )=-3a讨论：1︒3a 与a 方向相同且|3a |=3|a|2︒-3a 与a 方向相反且|-3a |=3|a| 2．从而提出课题：实数与向量的积实数λ与向量a 的积，记作：λa定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa1︒|λa |=|λ||a|2︒λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa=03．运算定律：结合律：λ(μa )=(λμ)a①第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa②A BCa aaaO A BCa -a -a-a-NMQP第二分配律：λ(a +b )=λa+λb ③结合律证明：如果λ=0，μ=0，a=0至少有一个成立，则①式成立如果λ≠0，μ≠0，a ≠0有：|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a||(λμ)a |=|λμ|| a |=|λ||μ||a|∴|λ(μa )|=|(λμ)a|如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a同向；如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a反向。

从而λ(μa )=(λμ)a第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，a=0至少有一个成立，则②式显然成立如果λ≠0，μ≠0，a≠0当λ、μ同号时，则λa 和μa同向，∴|(λ+μ)a |=|λ+μ||a |=(|λ|+|μ|)|a| |λa +μa |=|λa |+|μa |=|λ||a |+|μ||a |=(|λ|+|μ|)|a |∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与a同向即：|(λ+μ)a |=|λa +μa|当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λa同向当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μa同向还可证：|(λ+μ)a |=|λa +μa|∴②式成立第二分配律证明：如果a=0，b =0中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立当a≠0，b ≠0且λ≠0，λ≠1时1︒当λ>0且λ≠1时在平面内任取一点O ，作=OA a =AB b =1OA λa=11B A λb则=OB a +b =1OB λa+λb由作法知：AB ∥11B A 有∠OAB=∠OA 1B 1 |AB |=λ|11B A |OAB B 1A 1==||||||||111AB B A OA OA λ ∴△OAB ∽△OA 1B 1=||1OB OB λ ∠AOB=∠ A 1OB 1因此，O ，B ，B 1在同一直线上，|1OB |=|λOB | 1OB 与λOB 方向也相同λ(a +b )=λa+λb当λ<0时可类似证明：λ(a +b )=λa+λb ∴ ③式成立4．例一（见P104）略三、向量共线的充要条件（向量共线定理）1．若有向量a (a ≠0)、b ，实数λ，使b =λa则由实数与向量积的定义知：a 与b为共线向量若a 与b 共线(a ≠0)且|b |：|a |=μ，则当a 与b 同向时b =μa当a 与b 反向时b =-μa从而得：向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ使b =λa七、平面向量基本定理1．是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？ 2．对于平面上两个不共线向量1e ，2e 是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？——提出课题：平面向量基本定理1e ，2e 是不共线向量，a是平面内任一向量OA =1e OM =λ11e OC =a=OM +ON =λ11e +λ22eOB =2e ON =λ22e11e2eaON B C得平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e注意几个问题：1︒ 1e 、2e 必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底2︒ 这个定理也叫共面向量定理3︒λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量已知向量1e ，2e 求作向量-2.51e +32e 。