《经济数学基础上》离线作业解答
经济数学基础作业答案
1．判断()3f x x x =+奇偶性2．判断函数221y x =+的单调性3．例如，sin cos ,x y x y x =+=4．下列函数是由哪些简单函数复合而成？（1）2lg(1)y x =- （2）cos 3x y =（3）arctan(1y = （4）2cos 3y x =5．某商品的需求函数为105Q P =-。
试将收益R 表示为需求量Q 的函数6．某厂生产Q 单位某产品的成本为C 元，其中固定成本为200元，每生产1单位产品，成本增加10元。
假设该产品的需求函数为1502QP -=,且产品均可售出。
试将改产品的利润L 元表示为产量Q 单位的函数7．考察数列1(1)n n ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭-8． 考察数列11n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭9．函数1()2x y =，讨论极限,,111()()()lim lim lim 222x x xx x x →-∞→+∞→∞是否存在10．考察函数2225()1x f x x +=+当x →∞时的变化情况。
11．求 01sinlim x x x →。
12．计算极限211lim 1x x →-13．求31(432).lim x x x →-+14．求22367lim 49x x x x →-++15．求 sin3tan50lim x x x →。
16．求201cos lim x x x →-17．求1lim(1)x x x →∞-18求52lim(1)x x x →∞+19．讨论函数224()x f x x x +⎧=⎨+⎩ 00x x ≥<在0x =处的连续性。
20．例：设函数 3().y f x x ==，用导数定义求(2)f '求导函数()f x '，并求(3)f '。
21．例：设 22log cos 42x y x x π=++，求 y '22．求y x =的导数23．求sin 2ln y x x =•的导数24例：设sin 3,y x =求y '25求210(27)y x =+ 的导数26例：设2,x y e =求 0.,x y y =''''解：27．求函数cos x y e x -=的二阶及三阶导数解：28．例：确定函数2()ln(1)f x x x =-+的单调增减区间。
国开【形考】《经济数学基础》形考任务1-4答案
国开【形考】《经济数学基础》形考任务1-4答案形考任务一题目1：函数的定义域为（）.答案：题目1：函数的定义域为（）.答案：题目1：函数的定义域为（）.答案：题目2：下列函数在指定区间上单调增加的是（）.答案：题目2：下列函数在指定区间上单调增加的是（）.答案：题目2：下列函数在指定区间上单调减少的是（）.答案：题目3：设，则（）.答案：题目3：设，则（）.答案：题目3：设，则=（）．答案：题目4：当时，下列变量为无穷小量的是（）.答案：题目4：当时，下列变量为无穷小量的是（）.答案：题目4：当时，下列变量为无穷小量的是（）.答案：题目5：下列极限计算正确的是（）.答案：题目5：下列极限计算正确的是（）.答案：题目5：下列极限计算正确的是（）.答案：题目6：（）.答案：0题目6：（）.答案：-1题目6：（）.答案：1题目7：（）.答案：题目7：（）.答案：（）.题目7：（）.答案：-1题目8：（）.答案：题目8：（）.答案：题目8：（）.答案：（）.题目9：（）.答案：4题目9：（）.答案：-4题目9：（）.答案：2题目10：设在处连续，则（）.答案：1题目10：设在处连续，则（）.答案：1题目10：设在处连续，则（）.答案：2题目11：当（），（）时，函数在处连续.答案：题目11：当（），（）时，函数在处连续.答案：题目11：当（），（）时，函数在处连续.答案：题目12：曲线在点的切线方程是（）.答案：题目12：曲线在点的切线方程是（）.答案：题目12：曲线在点的切线方程是（）.答案：题目13：若函数在点处可导，则（）是错误的．答案：，但题目13：若函数在点处可微，则（）是错误的．答案：，但题目13：若函数在点处连续，则（）是正确的．答案：函数在点处有定义题目14：若，则（）.答案：题目14：若，则（）.答案：1题目14：若，则（）.答案：题目15：设，则（）．答案：题目15：设，则（）．答案：题目15：设，则（）．答案：题目16：设函数，则（）.答案：题目16：设函数，则（）.答案：题目16：设函数，则（）.答案：题目17：设，则（）.答案：题目17：设，则（）.答案：题目17：设，则（）.答案：题目18：设，则（）.答案：题目18：设，则（）.答案：题目18：设，则（）.答案：题目19：设，则（）.答案：题目19：设，则（）.答案：题目19：设，则（）.答案：题目20：设，则（）.答案：题目20：设，则（）.答案：题目20：设，则（）.答案：题目21：设，则（）.答案：题目21：设，则（）.答案：题目21：设，则（）.答案：题目22：设，方程两边对求导，可得（）.答案：题目22：设，方程两边对求导，可得（）.答案：题目22：设，方程两边对求导，可得（）.答案：题目23：设，则（）.答案：题目23：设，则（）.答案：题目23：设，则（）.答案：-2题目24：函数的驻点是（）.答案：题目24：函数的驻点是（）.答案：题目24：函数的驻点是（）.答案：题目25：设某商品的需求函数为，则需求弹性（）.答案：题目25：设某商品的需求函数为，则需求弹性（）.答案：题目25：设某商品的需求函数为，则需求弹性（）.答案：形考任务二题目1：下列函数中，（）是的一个原函数．答案：题目1：下列函数中，（）是的一个原函数．答案：题目1：下列函数中，（）是的一个原函数．答案：题目2：若，则（）. 答案：题目2：若，则（）．答案：题目2：若，则（）. 答案：题目3：（）. 答案：题目3：（）．答案：题目3：（）. 答案：题目4：（）．答案：题目4：（）．答案：题目4：（）．答案：题目5：下列等式成立的是（）．答案：题目5：下列等式成立的是（）．答案：题目5：下列等式成立的是（）．答案：题目6：若，则（）. 答案：题目6：若，则（）．答案：题目6：若，则（）. 答案：题目7：用第一换元法求不定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题目7：用第一换元法求不定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题目7：用第一换元法求不定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题目8：下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（）．答案：题目8：下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（）．答案：题目8：下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（）．答案：题目9：用分部积分法求不定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题目9：用分部积分法求不定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题目9：用分部积分法求不定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题目10：（）. 答案：0题目10：（）．答案：0题目10：（）. 答案：题目11：设，则（）. 答案：题目11：设，则（）．答案：题目11：设，则（）. 答案：题目12：下列定积分计算正确的是（）．答案：题目12：下列定积分计算正确的是（）．答案：题目12：下列定积分计算正确的是（）．答案：题目13：下列定积分计算正确的是（）．答案：题目13：下列定积分计算正确的是（）．答案：题目13：下列定积分计算正确的是（）．答案：题目14：计算定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题目14：（）．答案：题目14：（）．答案：题目15：用第一换元法求定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题目15：用第一换元法求定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题目15：用第一换元法求定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题目16：用分部积分法求定积分，则下列步骤正确的是（）．答案：题目16：用分部积分法求定积分，则下列步骤正确的是（）．答案：题目16：用分部积分法求定积分，则下列步骤正确的是（）．答案：题目17：下列无穷积分中收敛的是（）．答案：题目17：下列无穷积分中收敛的是（）．答案：题目17：下列无穷积分中收敛的是（）．答案：题目18：求解可分离变量的微分方程，分离变量后可得（）．答案：题目18：求解可分离变量的微分方程，分离变量后可得（）．答案：题目18：求解可分离变量的微分方程，分离变量后可得（）．答案：题目19：根据一阶线性微分方程的通解公式求解，则下列选项正确的是（）．答案：题目19：根据一阶线性微分方程的通解公式求解，则下列选项正确的是答案：题目19：根据一阶线性微分方程的通解公式求解，则下列选项正确的是（）．答案：题目20：微分方程满足的特解为（）．答案：题目20：微分方程满足的特解为（）．答案：题目20：微分方程满足的特解为（）．答案：形考任务三题目1：设矩阵，则的元素（）．答案：3题目1：设矩阵，则的元素a32=（）．答案：1题目1：设矩阵，则的元素a24=（）．答案：2题目2：设，，则（）．答案：题目2：设，，则（）答案：题目2：设，，则BA =（）．答案：题目3：设A为矩阵，B为矩阵，且乘积矩阵有意义，则为（）矩阵．答案：题目3：设为矩阵，为矩阵，且乘积矩阵有意义，则C为（）矩阵．答案：题目3：设为矩阵，为矩阵，且乘积矩阵有意义，则C为（）矩阵．答案：题目4：设，为单位矩阵，则（）答案：题目4：设，为单位矩阵，则(A - I )T =（）．答案：题目4：，为单位矩阵，则A T–I =（）．答案：题目5：设均为阶矩阵，则等式成立的充分必要条件是（）．答案：题目5：设均为阶矩阵，则等式成立的充分必要条件是（）．答案：题目5：设均为阶矩阵，则等式成立的充分必要条件是（）．答案：题目6：下列关于矩阵的结论正确的是（）．答案：对角矩阵是对称矩阵题目6：下列关于矩阵的结论正确的是（）．答案：数量矩阵是对称矩阵题目6：下列关于矩阵的结论正确的是（）．答案：若为可逆矩阵，且，则题目7：设，，则（）．答案：0题目7：设，，则（）．答案：0题目7：设，，则（）．答案：-2, 4题目8：设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）．答案：题目8：设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）．答案：题目8：设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）．答案：题目9：下列矩阵可逆的是（）．答案：题目9：下列矩阵可逆的是（）．答案：题目9：下列矩阵可逆的是（）．答案：题目10：设矩阵，则（）．答案：题目10：设矩阵，则（）．答案：题目10：设矩阵，则（）．答案：题目11：设均为阶矩阵，可逆，则矩阵方程的解（）．答案：题目11：设均为阶矩阵，可逆，则矩阵方程的解（）．答案：题目11：设均为阶矩阵，可逆，则矩阵方程的解（）．答案：题目12：矩阵的秩是（）．答案：2题目12：矩阵的秩是（）．答案：3题目12：矩阵的秩是（）．答案：3题目13：设矩阵，则当（）时，最小．答案：2题目13：设矩阵，则当（）时，最小．答案：-2题目13：设矩阵，则当（）时，最小．答案：-12题目14：对线性方程组的增广矩阵做初等行变换可得则该方程组的一般解为（），其中是自由未知量答案：题目14：对线性方程组的增广矩阵做初等行变换可得则该方程组的一般解为（），其中是自由未知量．答案：题目14：对线性方程组的增广矩阵做初等行变换可得则该方程组的一般解为（），其中是自由未知量．选择一项：A.B.C.D.答案：题目15：设线性方程组有非0解，则（）．答案：-1 题目15：设线性方程组有非0解，则（）．答案：1题目15：设线性方程组有非0解，则（）．答案：-1题目16：设线性方程组，且，则当且仅当（）时，方程组有唯一解．答案：题目16：设线性方程组，且，则当（）时，方程组没有唯一解．答案：题目16：设线性方程组，且，则当（）时，方程组有无穷多解．答案：题目17：线性方程组有无穷多解的充分必要条件是（）．答案：题目17线性方程组有唯一解的充分必要条件是（）．：答案：题目17：线性方程组无解，则（）．答案：题目18：设线性方程组，则方程组有解的充分必要条件是（）．答案：题目18：设线性方程组，则方程组有解的充分必要条件是（）．答案：题目18：设线性方程组，则方程组有解的充分必要条件是（）答案：题目19：对线性方程组的增广矩阵做初等行变换可得则当（）时，该方程组无解．答案：且题目19：对线性方程组的增广矩阵做初等行变换可得则当（）时，该方程组有无穷多解．答案：且题目19：对线性方程组的增广矩阵做初等行变换可得则当（）时，该方程组有唯一解．答案：题目20：若线性方程组只有零解，则线性方程组（）答案：解不能确定题目20：若线性方程组有唯一解，则线性方程组（）．答案：只有零解题目20：若线性方程组有无穷多解，则线性方程组（）．答案：有无穷多解形考任务四一、计算题（每题6分，共60分） 1.解：y ′=(e −x 2)′+(cos 2x)′=(−x 2)′·e −x 2−2sin 2x =−2xe −x 2−2sin 2x综上所述，y ′=−2xe −x 2−2sin 2x2.解：方程两边关于x 求导：2x +2yy ′−y −xy ′+3=0 (2y −x)y ′=y −2x −3 ， dy =y−3−2x 2y−xdx3.解：原式=∫√2+x 2d(12x 2)=12∫√2+x 2d(2+x 2)=13(2+x 2)32+c 。
中南大学网络教育《经济数学基础(专科) 》在线作业二及参考答案
中南大学网络教育在线作业及参考答案(一) 单选题1.设为同阶可逆矩阵,则()。
(A)(B) 存在可逆矩阵,使(C) 存在可逆矩阵,使(D) 存在可逆矩阵和,使参考答案：(D)2. n阶矩阵A可逆的充分必要条件是()。
(A) 任一行向量都是非零向量(B) 任一列向量都是非零向量(C)(D)当参考答案：(D)3.设是矩阵A的两个不同的特征值,的特征向量,则有是()。
(A) 线性相关(B)线性无关(C)对应分量成比例(D)可能有零向量参考答案：(B)4.设为可导函数，则()。
(A)(B)(C)(D)参考答案：(B)5.设n阶矩阵A非奇异,是A的伴随矩阵,则()。
(A)(B)(C)(D)参考答案：(C)6.(A) 当时仅有零解(B) 当时必有非零解(C) 当时仅有零解(D) 当时必有非零解参考答案：(D)7. 设A、B都是n阶方阵,下面结论正确的是()。
(A) 若A、B均可逆,则A+B可逆(B) 若A、B均可逆,则AB可逆.(C) 若A+B可逆,则A－B可逆(D) 若A+B可逆,则A,B均可逆参考答案：(B)8.设三次函数,若两个极值点及其对应的两个极值均为相反数,则这个函数的图形是()。
(A) 关于y轴对称(B)关于原点对称(C)关于直线y=x轴对称(D)以上均错参考答案：(B)9.下列函数中不为的原函数的是()。
(A)(B)(C)(D)参考答案：(D)10.有非零解的充分必要条件是()。
(A)(B)(C)(D)参考答案：(C)11.设的特征向量,则()。
(A) 对任意都是A的特征向量(B) 存在常数是A的特征向量(C) 当不可能是A的特征向量(D) 存在惟一的一组常数是A的特征向量参考答案：(C)12.曲线与x轴所围图形面积可表示为()。
(A)(B)(C)(D)参考答案：(C)13.( )。
(A) 必有一个等于零(B)都小于n(C)一个小于n,一个等于n(D)都等于n参考答案：(B)14.设是n阶矩阵A的特征值,且齐次线性方程组的基础解系为,则A的属于的全部特征向量是()。
经济数学基础12--国家开放大学电大学习网形考作业题目答案
经济数学基础12一、单项选择题1.函数的定义域为（）.A.B.C.D.正确答案:A2.下列函数在指定区间上单调增加的是（）.A.B.C.D.正确答案:C3.设，则（）.A.B.D.正确答案:B4.当时，下列变量为无穷小量的是（）.A.B.C.D.正确答案:A5.下列极限计算正确的是（）.A.B.C.D.正确答案:B6.（）.A.-1B.0D.2正确答案:B7.（）.A.B.C.5D.-5正确答案:A8.（）.A.B.C.D.正确答案:A9.（）.A.1B.0D.2正确答案:C10.设在处连续，则（）.A.-1B.0C.D.1正确答案:D11.当（），（）时，函数在处连续.A.B.C.D.正确答案:D12.曲线在点的切线方程是（）.A.B.C.D.正确答案:A13.若函数在点处可导，则（）是错误的．A.函数在点处有定义B.函数在点处连续C.，但D.函数在点处可微正确答案:C14.若，则（）.A.B.C.D.正确答案:D15.设，则（）．A.B.C.D.正确答案:B16.设函数，则（）.A.B.C.D.正确答案:C17.设，则（）.A.B.C.D.正确答案:D18.设，则（）.A.B.C.D.正确答案:A19.设，则（）.A.B.C.D.正确答案:B20.设，则（）.A.B.C.D.正确答案:C21.设，则（）.A.B.C.D.正确答案:A22.设，方程两边对求导，可得（）.A.B.C.D.正确答案:C23.设，则（）.A.1B.C.D.-1正确答案:B24.函数的驻点是（）.A.B.C.D.正确答案:C25.设某商品的需求函数为，则需求弹性（）.A.B.C.D.正确答案:A26.下列函数中，（）是的一个原函数．A.B.C.D.正确答案:B27.若，则（）.A.B.C.D.正确答案:B28.（）．A.B.C.D.正确答案:A29.（）．A.B.C.D.正确答案:A30.下列等式成立的是（）．A.B.C.D.正确答案:B31.若，则（）．A.B.C.D.正确答案:B32.用第一换元法求不定积分，则下列步骤中正确的是（）．A.B.C.D.正确答案:D33.下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（）．A.B.C.D.正确答案:D34.用分部积分法求不定积分，则下列步骤中正确的是（）．A.B.C.D.正确答案:C35.（）.A.B.C.1D.0正确答案:D36.设，则（）.A.B.C.D.正确答案:C37.下列定积分计算正确的是（）．A.B.C.D.正确答案:A38.下列定积分计算正确的是（）．A.B.C.D.正确答案:B39.计算定积分，则下列步骤中正确的是（）．A.B.C.D.正确答案:C40.用第一换元法求定积分，则下列步骤中正确的是（）．A.B.C.D.正确答案:A41.用分部积分法求定积分，则下列步骤正确的是（）．A.B.C.D.正确答案:D42.下列无穷积分中收敛的是（）．A.B.C.D.正确答案:C43.求解可分离变量的微分方程，分离变量后可得（）．A.B.C.D.正确答案:A44.根据一阶线性微分方程的通解公式求解，则下列选项正确的是（）．A.B.C.D.正确答案:D45.微分方程满足的特解为（）．A.B.C.D.正确答案:C46.设矩阵，则的元素（）．A.1B.2C.3D.-2正确答案:C47.设，，则（）．A.B.C.D.正确答案:A48.设A为矩阵，B为矩阵，且乘积矩阵有意义，则为（）矩阵．A.B.C.D.正确答案:A49.设，为单位矩阵，则A T–I=（）．A.B.C.D.正确答案:D50.设均为阶矩阵，则等式成立的充分必要条件是（）．A.B.C.D.正确答案:D51.下列关于矩阵的结论正确的是（）．A.若均为零矩阵，则有B.若，且，则C.对角矩阵是对称矩阵D.若，，则正确答案:C52.设，，则（）．A.2B.0C.-2D.4正确答案:B53.设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）．A.B.C.D.正确答案:A54.下列矩阵可逆的是（）．A.B.C.D.正确答案:A55.设矩阵，则（）．A.B.C.D.正确答案:C56.设均为阶矩阵，可逆，则矩阵方程的解（）．A.B.C.D.正确答案:B57.矩阵的秩是（）．A.0B.1C.2D.3正确答案:D58.设矩阵，则当（）时，最小．A.12B.8C.4D.-12正确答案:D59.对线性方程组的增广矩阵做初等行变换可得则该方程组的一般解为（），其中是自由未知量．A.B.C.D.正确答案:B60.设线性方程组有非0解，则（）．A.-1B.0C.1D.2正确答案:A61.设线性方程组，且，则当（）时，方程组有无穷多解．A.t=2B.C.t=0D.正确答案:B62.线性方程组无解，则（）．A.B.C.D.正确答案:C63.设线性方程组，则方程组有解的充分必要条件是（）．A.B.C.D.正确答案:C64.对线性方程组的增广矩阵做初等行变换可得则当（）时，该方程组无解．A.且B.且C.且D.且正确答案:B65.若线性方程组有唯一解，则线性方程组（）．A.只有零解B.有无穷多解C.无解D.解不能确定正确答案:A二、计算题1.设，求．解：=−x2'·e−x2−2sin2x=−2xe−x2−2sin2x综上所述，2.已知，求．解：方程两边关于求导：，3．计算不定积分．解：原式=。
《经济数学基础》习题答案及试卷（附答案）
习题解答第一章 经济活动中的函数关系分析实训一（A ）1．填空题：（1）(,2][2,)-∞-+∞ ； （2）()3,5； （3）1x； （4）2x e ；2x e ； （5）473x -，提示：由()()47433433g f x x x =+=+-⎡⎤⎣⎦，所以()473x g x -=．2．（1）tan(2)y x =；（2）（3）y=；（4）y=lg(sin 2)x ．3．（1）cos y u =，1xu e =-； （2）ln y u =，222u x x =-+；（3）y =1u x =+；（4）y lg u v =，v =实训一（B ）1．由已知可知2110x -<-<，得到201x <<，即定义域为()()1,00,1- ．2．由()21f x x -=，可得()()2111f x x -=-+，所以()()21f x x =+．也可令1x t -=．3．（1）u y e =，sin u v =，2v x =；（2）log uv ay =，21u x =+，sin v w =，2w x =． 4． ()()()log log log a a a f x f y x y xy f xy +=+==；()()log log log a a axx f x f y x y f y y ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭． 实训二 （A ）1．填空题：（1）y =（2）[]1,3-； （3）2π-，4π； （4）12，π． 2．（1）⨯；（2）⨯；（3）⨯；（4）√．3．（1）由()cos 21y x =+，解得21arccos x y +=，()1arccos 12x y =-， 所以，()()11arccos 12fx x -=-．定义域：[]1,1x ∈-；值域：11,22y π-⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦（2）由()1ln 2y x =++，解得12y x e -+=，12y x e -=-，所以，()112x fx e --=-定义域：(),x ∈-∞+∞；值域：()2,y ∈-+∞ 4．【水面波纹的面积】设面积为S （2cm ），时间为t （s ），则()22502500S t t ππ==【仪器初值】()0.04200.800208986.58Q Q e Q e -⨯-===解得0.808986.582000Q e =≈．实训二（B ）1．由()x a f x x b +=+，解得反函数为()11a bx f x x --=-． 由已知()1x a f x x b -+=+，可得1a bx x a x x b-+=-+，相比较，可得a 为任意实数，1b =-．2．由()ln x x ϕ=，()21ln 3g x x ϕ=++⎡⎤⎣⎦，可得()221ln 3ln 3x x g x e e e ϕ+=⋅⋅=⎡⎤⎣⎦所以，()213x g x e+=．实训三【商品进货费用】 设批次为x ，由题意： 库存费：11250030000242C x x=⋅⋅=； 订货费：2100C x =． 【原料采购费用】设批量为x ，库存费用为1C ，进货费用为2C ，进货总费用为12C C C =+．1122C x x=⋅⋅= 23200640000200C xx=⋅=所以进货总费用为：12640000C C C x x=+=+． 【商品销售问题】设需求函数关系式为：d Q ap b =+，其中p 为定价． 由已知可得：1000070700073a ba b=+⎧⎨=+⎩，解得1000a =-，80000b =，所以100080000d Q p =-+； 供给函数为：1003000s Q p =+平衡状态下：价格70p =；需求量10000d Q =． 【商品盈亏问题】设()()()()2015200052000L x R x C x x x x =-=-+=-．()6001000L =； 无盈亏产量：()0L x =，解得400x =． 【供给函数】答案：1052PQ =+⋅． 【总成本与平均成本】总成本()1306C Q Q =+，[]0,100Q ∈． 平均成本()13061306Q C Q Q Q+==+，[]0,100Q ∈．第一章自测题一、填空题1、[2,1)(1,1)(1,)---+∞2、(,)-∞+∞3、(,1)a a --4、23x x -5、2ln(1)x -6、arcsin 2x7、cos(ln )x8、2142R Q Q =-+9、22()2505;()6248100R x x x L x x x =-=-+- 10、6P = 二、选择题1、C2、B3、B4、D5、C三、计算解答题1、（1）22log , 1y u u x ==+（2）1x y u e ==+ 2、1()1 , ()1f x x f x x -=+=- 四、应用题1、（1） 6 , 8P Q == （2） 3.5 , 3P Q == （3） 6.5 , 7P Q ==2、（1）()10200C x x =+，()200()10C x C x x x==+ （2）()15R x x =（3）()()()5200L x R x C x x =-=-，无盈亏点：40x =五、证明题（略）第二章 极限与变化趋势分析实训一（A ）1．（1）×；（2）√；（3）×；（4）×；（5）√． 2．（1）收敛，且lim 0n n x →∞=；（2）发散，lim n n x →∞=∞；（3）收敛，且lim 2n n x →∞=；（4）发散．3．（1）收敛，且lim 2x y →∞=；（2）收敛，且0lim 1x y →=；（3）收敛，且lim 1x y →+∞=；（4）发散．【产品需求量的变化趋势】lim lim 0t t t Q e -→+∞→+∞==．实训一（B ）（1）无穷大；（2）无穷大；（3）无穷大；（4）无穷大． 【人影长度】越靠近路灯，影子长度越短，越趋向于0．实训二 （A ）1．填空题（1）5；（2）2；（3）1；（4）13；（5）∞；（6）∞；（7）2． 2．（1）()()()()2211111112lim lim lim 21121213x x x x x x x x x x x x →→→-+-+===---++； （2）(222211lim2x x x x x x →→→===--；（3）()()2322000222lim lim lim 211x x x x x x x x x x x x x →→→---===---； （4）()()211121111lim lim lim 111112x x x x x x x x x →→→--⎛⎫-===-⎪---++⎝⎭． 3．（1）222112lim lim 2111x x x x x x x →+∞→+∞-⎛⎫-==- ⎪+--⎝⎭； （2）()()()1121lim lim lim 22222222n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞⎛⎫++++-⎛⎫-=-==- ⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭． 【污染治理问题】由题意可知，该问题为等比级数问题，首项为a ，公比为45，则设n 周后所剩污染物为n a ，则45nn a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为4lim 05nn a →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，可以确定随着时间的推移能将污染物排除干净．【谣言传播】 （1）1lim (t)lim11ktt t P ae -→∞→∞==+；（2）121(t)0.8110t P e-==+，可解得2ln 407.38t =≈．实训二（B ）1．填空题（1）32π-； （2）0；0．（无穷小与有界函数的乘积为无穷小）（3）0a =，2b =-．2．（1）()3320lim3h x h x x h→+-=；（2）442x x x →→→===．3．由()3lim 30x x →-=，且232lim 43x x x kx →-+=-，可得()23lim 20x x x k →-+=，解得3k =-．4．由题意可知()()21116lim lim 511x x x x x ax bx x→→--++==--，可得7a =-，6b =．实训三 （A ）1．填空题（1）1e -；（2）3e -；（3）e ；（4）e ；（5）3k =；（6）5050.1230⨯⨯=万元，()55010.125038.1⨯+-=万元，50.125041.1e ⨯=万元． 2．（1）6e -；（2）1e -；（3）2e -；（4）01e =． 3．（1）0.042003 6.68rtPe e ⨯==万元； 2.25o P =万元．（2）24.38t p =万元；24.43t p =万元．实训三（B ）1．（1）(()0111lim 1lim 1lim 11x x x x x x e x x x --→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎛⎫⎛⎫-=-=-==⎢⎥⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦；（2）()15lim 15xx x x e →→∞=+=；（3）()1111111lim lim 11xxx x xx e ---→→=+-=；（4）()()()1000ln 121limlim ln 12limln 12x x x x x x x xx →→→+=+=+ ()()112limln 12lnlim 12ln 2x xx x x x e →→=+=+==．2．322lim lim 122x xc x x x c c e e x c x c →∞→∞+⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以3c =． 实训四 （A ）1．填空题 （1）(]0,3；（2）()243,110,1x x x f x x ⎧-+≤-=⎨>⎩；（3）()0lim 1x f x -→=-，()0lim 0x f x +→=，()0lim x f x →不存在； （4）()(),22,-∞--+∞ ； （5）1x =，2x =；（6）1k =．2．图略，()0lim 1x f x -→=，()0lim 0x f x +→=，()0lim x f x →不存在． 3．()()1lim 11x f x f -→==，()1lim 2x f x +→=，因为()()11lim lim x x f x f x -+→→≠，所以()f x 在1x =处不连续．【个人所得税计算】个人所得税的起征点为月收入3500元．850035005000-=，50000.2555455⨯-=；1200035008500-=，85000.25551145⨯-=．【出租车费用】图略，()8, 322, 3836, 8x f x x x x x ≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩．实训四 （B ）1．图略，()()0lim 10x f x f -→=-=，()0lim 0x f x +→=，因为()()11lim lim x x f x f x -+→→≠，所以()f x 在0x =处不连续．2．由连续的定义可知：()()220lim 1xx k f x e →==+=．3．因为()01f =，()01lim sin00x x f x→=≠（无穷小与有界函数的乘积）， 所以0x =为第一类的可去间断点．第二章自测题一、填空题 1、1- 2、1 3、12- 4、345、221,02,0x x x x ⎧+=⎪⎨≠⎪⎩6、1-7、100 ; 0 8、0.035; 5.15e(万)(万)二、选择题1、C2、A3、C4、A5、B 三、计算解答题1、（1）原式=211(1)1 lim lim0(1)(1)1x xx xx x x→→--==+-+（2）原式=lim lim x x=1lim2x==-（3）设1xe t-=，则ln(1)x t=+，0x→时，0t→，原式=10011lim lim1ln(1)ln(1)limln(1)t ttttt ttt→→→==+⋅++1111lnln[lim(1)]ttet→===+（4）原式=sin[lim sin[limx x→+∞=s i n[l]s i n00x===2、(0)2f=00l i m()l) x x xf x---→→→==00lim lim(12x x--→→==+=00lim()lim(2)2x xf x x++→→=+=lim()2(0)xf x f→∴==()f x∴在0x=点连续，从而()f x在(,)-∞+∞内连续.四、应用题第三章经济最优化问题分析实训一（A ）1．填空题（1）45x ； （2）2313x -； （3）23x ； （4）5232x --；（5）2ln 2x ； （6）1ln10x ； （7）0； （8）0．2．2log y x =，1ln 2y x '=．212ln 2x y ='=，122ln 2x y ='=．3．（1）()141y x -=-，即43y x =-； （2）()222y x +=--，即22y x =-+； （3）cos y x '=，312x k y π='==，切线方程为123y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即126y x π=-． 实训一（B ）1．()()()20001sin010limlim lim sin 00x x x x f x f x f x x x x→→→-'====-．2．()()()()000002lim h f x h f x f x h f x h →+-+--()()()()0000022lim2h f x h f x hh f x h f x h →+-=+--()()()()00000022limlim 12h h f x h f x hh f x h f x h →→+-=⋅=+--． 其中()()()00002lim2h f x h f x f x h→+-'=，()()()()()00000021limh h f x f x h f x f x h f x →='+----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦． 3．因为3,02⎛⎫⎪⎝⎭不在21y x =上，不是切点．设过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭与21y x =相切的切线的切点坐标为21,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则切点为21,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线方程为：()2312Y X a a a -=--，有已知3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭在切线上，带入可得1a =，所以切线方程为：()121y x -=--，即23y x =-+．实训二 （A ）1．（1）223146y x x x '=+-； （2）11'ln n n y nx x x --=+； （3）21'41y x x =++； （4）2cosx cosx sinx'(x 1)x y +-=+． 2．（1）22'1xy x =+； （2）22'2sin3x 3cos3x x x y e e =+； （3）'y = （4）22sec cos122'csc sinx 2tan 2cos sin222x x y x x x x ====．3．（1）''2y =； （2）''2x x y e xe --=-+（3）222222(1x )2(2x)''224(1x )x y x x --+-==-+--； （4）2322222(1x)2''2arctanx 1(1x )x x x y x +-=++++． 4．（1）2212dy x xdx y y --+==；（2）x y x y dy y e y xy dx e x xy x++--==--． 【水箱注水】由24r h =，12r h =，22311133212h v r h h h πππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，两边求导得214v h h π''=，由已知2v '=，3h =，带入可得： 1294h π'=，89h π'=所以水位上升的速度为89π米/分．【梯子的滑动速度】由题意可得22100x y +=，两边求导可得：220dx dy xy dt dt +=，即dx y dy dt x dt=-， 将8y =，6x =，0.5dy dt =带入可得：820.563dy dt =-⨯=-．所以梯子的另一端华东的速度为23米/秒．负号表示运动方向． 实训二 （B ）1．（1）11(1ln )e x e x y x x x e -=+++； （2）()()1112121y x x x ⎫'=--⎪⎪-+⎭． 2．()()cos sin x x y e x f e x ''=++． 3．将1y y xe -=两边对x 求导可得：0y y dy dy e xe dx dx --=，即1y ydy e dx xe =-．…………（1） 将0,1x y ==带入（1）可得：y e '=． 对（1）继续求导，()()()22121y y y y y y y e xe e e xy e y e xe ''----''==-．4．（1）22x z z xy x ∂'==∂， 22y zz yx y ∂'==∂； （2）2xy x z z ye xy x ∂'==+∂，2xy y z z xe x y∂'==+∂． 实训三 （A ）1．填空题（1）单调递增区间，(),0-∞；单调递减区间()0,+∞． （2）6a =-．（3）驻点． （4）()00f x ''<．2．()()3444110y x x x x x '=-=-+=，得驻点1230,1,1x x x ==-=，单调递增区间：()()1.0 1.-+∞ ，单调递减区间：()().10.1-∞- ．3．()()23693310y x x x x '=--=-+=，得驻点121,3x x =-=．又由于：66y x ''=-，()1120y ''-=-<，所以11x =-为极大点，极大值为0； ()360y ''=>，所以23x =为极小点，极小值为32-．【定价问题】21200080R PQ P P ==-，25000502500050(1200080)6250004000C Q P P =+=+-=-， 224000160T Q P ==-，21200080625000400024000160L R C T P P P P =--=--+-+28016160649000P P =-+-160161600L P '=-+=，解得：101P =， 167080L =．【售价与最大利润】1100200Q p =-，21100200R PQ P P ==-；220019004400L R C P P =-=+-，40019000L P '=-+=，解得 4.75P =此时：150Q =，112.5L =． 【最小平均成本】210000501000050x x c x x x ++==++；21000010c x '=-+=，解得100x =．【最大收入】315x R px xe -==，33155x x R exe--'=-3(155)0x x e-=-=，解得：3x =，此时115p e -=，145R e -=．实训三 （B ）1．（1）设()1xf x e x =--，()10xf x e '=->（0x >），说明()f x 在0x >时单调递增，又()00f =，所以，当0x >时，()()00f x f >=，所以不等式成立． （2）设()()ln 1f x x x =-+，()1101f x x'=->+（0x >），说明()f x 在0x >时单调递增，又()00f =，所以，当0x >时，()()00f x f >=，所以不等式成立． 2．()cos cos3f x a x x '=+，没有不可导点，所以cos cos 033f a πππ⎛⎫'=+=⎪⎝⎭，得2a =．又()2sin 3sin3f x x x ''=--，03f π⎛⎫''=<⎪⎝⎭，所以3x π=为极大值点，极大值为3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭【采购计划】 设批量为x ，采购费：132********200C x x =⨯=； 库存费：222xC x =⨯=；总费用：12640000C C C x x=+=+； 264000010C x'=-+=，解得800x =唯一驻点， 所以采购分4次，每次800吨，总费用最小．第三章自测题一、填空题 1． 2 2． 12-3． 21x -4． 1-5． 212c o s x xx+ 6． 17． 2l n3x + 8． 2 ; 09． 11ln ; ln y x y x yxy y x x xy --+⋅⋅+10． 12x =二、选择题1、C2、A3、A4、D5、A 三、计算解答题1、（1）([1]y x '''=+=+[12]()1x =⋅⋅⋅==（2）222()()2x x x x y e x e x xe e --'''=⋅+⋅-=- 2、方程221x y xy +-=两边对x 求导，得22()0x y y y x y ''+⋅-+= 解得：22y xy y x-'=-，将0,1x y ==代入，得切线斜率12k =，所以，切线方程为：11(0)2y x -=-，即：220x y -+=. 3、定义域(,)-∞+∞2363(2)y x x x x '=-=- 令0y '=，得驻点120,2x x ==递增区间：(,0)-∞、(2,)+∞ 递减区间：(0,2)极大值：(0)7f = 极小值：(2)3f = 四、应用题1、50S t ==(50)50dSt dt'== 所以，两船间的距离增加的速度为50千米／小时. 2、第四章 边际与弹性分析实训一（A ）1．填空题（1）0.2x ∆=， 2.448y ∆=， 2.2dy =． （2）1x dy edx ==． （3）12dy x dx x ⎛⎫=+⎪⎝⎭． （4）cos(21)x +，2cos(21)x +． （5）[]()f g x '，[]()()f g x g x ''．2．（1）(12)dy x dx =+； （2）221dy dx x =+； （3）222(22)x x dy xe x e dx --=-； （4）322(1)dy x x dx -=-+； （5）23(1)1dy dx x =-+； （6）1dx dy x nx=． 3．()ln 11x y x x '=+++，11ln 22x y ='=+，所以11ln 22x dy dx =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 【金属圆管截面积】2s r π=，2200.05ds r r πππ=∆=⨯=．实训一（B ）1．（1）2sec x ；（2）1sin 5x 5；（3）2x ；（4）232x ；（5）21x +；（6）arctan x ． 2．将x yxy e+=两边对x 求导，()1x yy xy ey +''+=+，解得：x y x ye yy x e ++-'=-，所以x y x ye ydy dx x e++-=-．3．（1110.001 1.00052≈+⨯=；（20.02221 2.001783⎛⎫==≈+= ⎪⨯⎝⎭； （3）()ln 1.01ln(10.01)0.01=+≈； （4）0.0510.05 1.05e ≈+=． 【圆盘面积的相对误差】2s r π=，0.2r ∆≤()'2s ds s r r r r π∆≈=∆=∆（1）()()22482240.29.65s ds cm cm πππ∆≈=⨯⨯==； （2）2220.22 1.67%24r r r s ds s s r r ππ∆∆∆≈===⨯≈． 实训二 （A ）1．（1）()2'2x f x xe =；（2）[]1'()(1)a bf x x e a x ac --=++．2．（1）()21900110090017751200C =+⨯=；17757190036C ==． （2）()39002C '=，表示第901件产品的成本为32个单位；()51000 1.673C '=≈，表示第1001件产品的成本为53个单位． 3．（1）(50)9975R =；9975199.550R ==． （2）()502000.0250199R '=-⨯=，表示第51件产品的收入为199个单位． 4．22()()100.01520050.01200L R x C x x x x x x =-=---=--，50.020L x '=-=，解得唯一驻点250x =，所以当每批生产250个单位产品时，利润达到最大．实训二（B ）1．()()()()()242,04282, 4x x x x L x R x C x x x ⎧--+≤≤⎪=-=⎨⎪-+>⎩， 即()232,0426, 4x x x L x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩，求导()3,041, 4x x L x x -+≤<⎧'=⎨->⎩，令()0L x '=解得3x =百台（唯一驻点） 所以每年生产300台时，利润达到最大．()()430.5L L -=-万元，在最大利润的基础上再生产1百台，利润将减少0.5万元．2．()0.50.25C a a =+（万元）()2152R a aa =- ()22150.50.25 4.750.522a L a a a a a =---=-+-令() 4.750L a a '=-+=，解得 4.75a =（百台）又()10L a ''=-<，有极值的第二充分条件，可知当 4.75a =为最大值（唯一驻点） 所以该产品每年生产475台时，利润最大．实训三 （A ）1．填空题 （1）1axy=；（2）21x Ey Ex ==；（3）1ln()4p η=-；（4）()334η=，()41η=，()554η=． 2．（1）15x η=； （2）3(3)5η=，价格为3时，价格上涨1%，需求下降0.6%，缺乏弹性；(5)1η=，价格为5时，价格上涨1%，需求下降1%，单位灵敏性； 6(6)5η=，价格为6时，价格上涨1%，需求下降1.2%． 3．（1）500P =元时，100000Q =张． （2）18002ppη=-．（3）1η=时，18002600p p p =-⇒=所以：当0600p ≤<时，1η<；当600900p <≤时，1η>．实训三 （B ）1．（1）224202EQ x x Q Ex Q x '==--，243x EQ Ex ==-，所以价格增长5%，需求量减少6.7%；（2）()()3220R x xQ x x x ==--，x =403Q =．2．（1）2Q P '=-，48P Q ='=-，经济意义：在价格4P =的基础上，增加一个单位，需求量减少8个单位．（2）22275P P Q Q P η'=-=-，4320.542359P η===，经济意义，在4P =的基础上涨1%，需求减少0.54%．（3）375R PQ p p ==-，3375375p p p pη-=-，(4)0.46η=，经济意义，在4P =的基础上，若价格上涨1%，收入上涨0.46%．（4）198(6)0.46234η-=≈-，经济意义，在6P =的基础上，若价格上涨1%，收入减少0.46%． （5）375R p p =-，275305R p p '=-=⇒=，又6R p ''=-，()5300R ''=-<，所以由极值的第二充分条件，可知5P =时，总收入最大．第四章自测题一、填空题 1． 22 ; 2xxe e2．212x 3． arctan x4． 0.1 ; 0.63 ; 0.6 5． 45 ; 11 ; 456．10 ; 10% ; 变动富有弹性 7． 15%20% 8． 10% 二、选择题1、C2、B3、D4、A5、C 三、计算解答题1、（1）2222222()()2(2)x x x x y x e x e xe x e x ''''=⋅+⋅=+⋅2222222(1)x x x x e x e x e x =+=+ 22(1)xd y y d x xe x d x'∴==+ （2）222sin(12)[sin(12)]y x x ''=+⋅+2222s i n (12)c o s (12)(12)x x x '=+⋅+⋅+ 24s i n (24)x x =+ 24s i n (24)d y y d x x x d x'∴==+ 2、方程242ln y y x -=两边对x 求导，得31224dy dyy x dx y dx⋅-⋅⋅= 解得，3221dy x y dx y =-，3221x y dy dx y ∴=-3、四、应用题1、（1）()60.04C Q Q '=+ ()300()60.02C Q C Q Q Q Q==++（2）2300()0.02C Q Q'=-+令()0C Q '=，得Q = （3）2()()(204)204R Q P Q Q Q Q Q Q =⋅=-⋅=-2()()() 4.0214300L Q R Q C Q Q Q =-=-+- ()8.0414L Q Q '=-+ 令()0L Q =，得Q =2、 4Q P '=-（1）(6)24Q '=-，6P =时，价格上升1个单位，需求量减少24个单位.（2）22224(1502)15021502P P P Q P Q P P η''=-⋅=-⋅-=-- 24(6)13η=6P =时，价格变动1%，需求量变动2413% （3）23()()(1502)1502R P Q P P P P P P =⋅=-⋅=-33(1502)1502E R P PR P P E P R P P''=⋅=⋅--2215061502P P -=-61113P EREP==-6P =时，若价格下降2%，总收入将增加2213%第五章 经济总量问题分析实训一（A ）1．填空题（1）3x ，3x C +； （2）3x ，3x C +； （3）cos x -，cos x C -+；（4C ； （5）arctan x ，arctan x C +．2．（1）B ； （2）C ； （3）D ； （4）A ．3．（1）5322225x x C -+；（2）31cos 3xx e x C --+；（3）21x x C x-++； （4）(2)ln 2xe C e+． 4．（1）1arctan x C x--+；（2）sin cos x x C ++． 【曲线方程】由题意()21f x x '=+，所以()()()23113f x f x dx x dx x x C '==+=++⎰⎰，又过点()0,1带入，得到1C =，所以曲线方程为：()3113f x x x =++． 【总成本函数】由题意可得()220.01C x x x a =++，又固定成本为2000元，所以 ()220.012000C x x x =++． 【总收入函数】()()278 1.2780.6R x x dx x x C =-=-+⎰，由()000R C =⇒=，所以总收入函数为()2780.6R x x x =-．实训一（B ）1．填空题（1）sin 2ln x x x +；（2）223cos3x e x +；（3）ln x x C +． 2．（1）D ； （2）B ．3．（1）322233331u u u I du u du u u u -+-⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭⎰⎰ 2133ln 2u u u C u=-+++； （2）)32332333I dx x x C ===-+⎰；（3）()222222121212arctan 11x x I dx dx x C x x x x x ++⎛⎫==+=-++ ⎪++⎝⎭⎰⎰； （4）()()()1111tttt te e I dt edt e t C e +-==-=-++⎰⎰．实训二 （A ）1．填空题 （1）212x ； （2）x e --； （3）ln x ； （4）arctan x ； （5）23x x +； （6）arcsin x ． 2．（1）B ； （2）B ．3．（1）()()()11cos 2121sin 2122I x d x x C =++=++⎰； （2）()()3212313139I x x C =+=++；（3）()()231ln ln ln 3I x d x x C ==+⎰；（4）111xx I e d e C x ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭⎰．4．（1）sin sin sin x xI e d x eC ==+⎰； （2）()()11ln 11x xx I d e e C e =+=+++⎰；（3）()()2222ln 22d x x I x x C x x -+==-++-+⎰；（4）22221111111x x x I dx dx x x x ++-⎛⎫==+- ⎪+++⎝⎭⎰⎰ 21l n (1)a r c t a n 2x x x C=++-+． 5．（1）()x x x x x I xd e xe e dx xe e C -----=-=-+=--+⎰⎰；（2）()()()ln 1ln 1ln 1I x dx x x xd x =+=+-+⎰⎰()()11ln 1ln 111x x x x dx x x dx x x +-=+-=+-++⎰⎰()()l n 1l n 1x x x x C =+-+++． 【需求函数】由已知，()111000ln3100033p pQ p dp C ⎛⎫⎛⎫=-⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰ 又因为0p =时，1000Q =，代入上式，得到0C =．所以，()110003pQ p ⎛⎫= ⎪⎝⎭．【资本存量】由已知，32()2(1)y I t dt t C ===++⎰⎰因为0t =时，2500498y C C =+=⇒= 所以，322(1)498y t =++．实训二 （B ）1．填空题（1）ln ()f x C +；（2）arctan(())f x C +；（3）'()()xf x f x C -+． 2．（1）()()2arctan 1x x x d e I e C e ==++⎰；（2）()()11131431dx I dx x x x x ⎛⎫==-⎪-+-+⎝⎭⎰⎰113l n 3l n 1l n 441x I x x C C x -=⎡--+⎤+=+⎣⎦+；（3）()()2arctan 111dxI x C x ==++++⎰；（4）()22222x x x x x I x d e x e e dx x e xe dx -----=-=-+=--⎰⎰⎰()22222x x x x x x I x e xe e C x e xe e C ------=----+=-+++． 【物体冷却模型】设()T t 为t 时刻物体的温度，由冷却定律可得：0()dTk T T dt=-， 分离变量0dT kdt T T =-，两边积分0dTkdt T T =-⎰⎰，可得：()0ln ln T T kt c -=+，0()kt T t T ce =+．由已知()0100T =，()160T =，020T =，带入得到：80c =，ln 2k =-， 所以ln2()2080t T t e -⋅=+， 当ln 23020803te t -⋅=+⇒=．实训三 （A ）1．填空题 （1）122lim(1)nn i i n n→∞=+∑；（2）2)x dx -；（3）2π；（4）0． 2．（1）12010(3)3S x dx =+=⎰； （2）12218(2)3S x x dx -=--=⎰；（3）1303(1)4S x dx =-=⎰或034S ==⎰．实训三 （B ）1．（1）分割：将[]0,4n 等分，每份长度为4n ；（2）近似代替：2412823i i n iA n n n⎡⎤+⎛⎫∆=⋅+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（3）求和：()2212221111281281282nnni ii i n n n in n iA A n nn===++++≈∆===∑∑∑； （4）取极限：()2211282lim16n n n n A n→∞++==． 2．1sin xdx π⎰．3．22211113ln ln 222x dx x x x ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰．实训四 （A ）1．填空题（1）64；（2）1；（3）2π；（4）3；（5）1． 2．（1）()()()44341118111144I x d x x =--=-=⎰； （2）()()44223328I x dx xx =+=+=⎰；（几何上为直角三角形的面积）（3）22242200111222x x e I e dx e -===⎰； （4）2112111xx I e d e e x =-=-=⎰（5）01cos sin 222x x x I dx πππ++===⎰； （6）0；（利用当积分区间为对称区间，被积函数为奇函数时定积分的性质） （7）121211122222235I xdx xdx xdx xdx -=+=+=+=⎰⎰⎰⎰；（8）02sin 4I xdx π==⎰．（利用定积分的周期性）【资本存量问题】 （1）434211214I t ===⎰（万元）；（4）33224422820 6.87x xtx x ⎛⎫==-=⇒=≈ ⎪⎝⎭⎰．【投资问题】01000P =，200A = 0.05()200T t tdP e dt-= 0.05()0.05020040004000TT t T t P edt e -==-+⎰ 10t =，0.5400040002595t P e=-+= 因为0.515741600T P e-≈<，所以，此项投资不恰当．实训四 （B ）1．因为()1229214x dx --+=-⎰，()1129214x dx -+=⎰，()20216x dx +=⎰，()21214x dx +=⎰， ()3222213x dx +=⎰， 所以应该分两种情况： （1）因为()3403kf x dx =⎰，()()332240221816333k f x dx x dx -+=-==⎰⎰ 所以，0k =； （2）因为()()102112f x dx f x dx ---=⎰⎰，由对称性可知1k =-．2．对()21f x dx -⎰作代换令1x t -=（切记：定积分的换元要换限，积分值不变），则有：()()21011f x dx f t dt --=⎰⎰，所以，()()21101101112tte f x dx f t dt dt dt e t ---==+++⎰⎰⎰⎰ ()()()()001101011132ln 1ln 2ln 121t t td e ed te t e t e --+=++=+++=+++⎰⎰． 3．()()()()11111111I xf x dx xdf x x f x f x dx ----'===-⎰⎰⎰()()()()21111110x f f e f f --=+--=+-=．因为()()222x x f x e xe --'==-，()f x 为奇函数，所以()()110f f +-=．【储存费用问题】第五章自测题一、填空题 1．sin x x e c ++2．5314453x x x c -++ 3．ln xdx4．21ln 2x c +5．196．327．94π8．21200 ;200Q Q - 9．二、选择题1、D2、B3、A4、B5、C 三、计算解答题 1、（1）原式=1111()(3)(2)532dx dx x x x x =--+-+⎰⎰ 113[l n 3l n 2]l n 552x x x c cx -=--++=++ （2）原式=22111112sin ()cos cos cos1d x x x πππ-==-⎰2、（1）222222212(1)()()(1)(1)x x x F x G x dx dx x x x x ++++==++⎰⎰22111()arctan 1dx x c x x x=+=-+++⎰（2）222222212(1)3()()(1)(1)x x x F x G x dx dx x x x x -+--==++⎰⎰ 22131()3arctan 1dx x c x x x=-=--++⎰3、原式=31222(1)(1)1)33x x =+=+=⎰⎰四、应用题 1、（1）32412)2(24S x x dx x x =-=-=（2）1100()()1x x S e e dx ex e =-=-=⎰2、（1）2()()(100020)C Q C Q dQ Q Q dQ '==-+⎰⎰2311000103Q Q Q c =-++(0)9000C = ，9000c ∴=， 321()10100090003C Q Q Q Q ∴=-++ ()3400R Q Q = 321()()()10240090003L Q R Q C Q Q Q Q =-=-++- （2）令()()R Q C Q ''=，得60Q = 最大利润(60)99000L =（元） 3、.期末考试（90分钟）一、选择题（每题3分，共9分）1、设()0, 0x f x k x ≠=⎪=⎩在0x =处连续，问k =（ ）。
《经济数学基础》答案
第17题: 下面哪一个可以用泊松分布来衡量( B)。
A一个班学生们的身高B一段道路上碰到坑的次数C投掷硬币时遇到正面朝上的概率D某稀有金属的半衰期长短第18题: 线性回归方法是做出这样一条直线，使得它与坐标系中具有一定线性关系的各点的( C)为最小。
A水平距离的平方和B垂直距离的和C垂直距离的平方和D垂直距离的平方第19题: 当两变量的相关系数接近相关系数的最小取值-1时，表示这两个随机变量之间( B)。
A几乎没有什么相关性B近乎完全负相关C近乎完全正相关D可以直接用一个变量代替另一个第20题: 关于概率，下列说法正确的是( ABC)。
A是度量某一事件发生的可能性的方法B概率分布是不确定事件发生的可能性的一种数学模型C值介于0和1之间D所有未发生的事件的概率值一定比1小第21题: 下列哪些方面需要用到概率知识分析其不确定性( ABC )。
A外汇走势B不良贷款率预测C证卷走势D税收确认第22题: 什么样的情况下，可以应用古典概率或先验概率方法( BD )。
A不确定有什么样的结果空间B不确定结果的范围是已知的C不确定结果发生的概率不一样D不确定结果具有等可能性第23题: 关于协方差，下列说法正确的有( ABD )。
A协方差体现的两个随机变量随机变动时的相关程度B如果P=1，则I 和n有完全的正线性相关关系C方差越大，协方差越大D Cov(x,η)=E(X-EX)( η-Eη)第24题: 关于中位数，下列理解错误的有( BC )。
A当所获得的数据资料呈偏态分布时，中位数的代表性优于算术平均数B当观测值个数为偶数时,(n+1)/2位置的观测值，即X（n+1）/2为中位数C当观测值个数为偶数时，（n+1）/2位置的观测值，X（n+1）/2为中位数D将资料内所有观测值从小到大一次排列，位于中间的那个观测值，称为中位数第25题: 线性回归时，在各点的坐标为已知的前提下，要获得回归直线的方程就是要确定该直线的( BD )。
2020年最新电大《经济数学基础》考试题及答案 完整版
经济数学基础形成性考核册及参考答案作业（一）（一）填空题 1.___________________sin lim=-→xxx x .答案：0 2.设 ⎝⎛=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续，则________=k .答案：1 3.曲线x y =在)1,1(的切线方程是 .答案：2121+=x y 4.设函数52)1(2++=+x x x f ，则____________)(='x f .答案：x 2 5.设x x x f sin )(=，则__________)2π(=''f .答案：2π- （二）单项选择题 1. 函数212-+-=x x x y 的连续区间是（ ）答案：D A ．),1()1,(+∞⋃-∞ B ．),2()2,(+∞-⋃--∞C ．),1()1,2()2,(+∞⋃-⋃--∞D ．),2()2,(+∞-⋃--∞或),1()1,(+∞⋃-∞ 2. 下列极限计算正确的是（ ）答案：B A.1lim=→xx x B.1lim 0=+→xx xC.11sinlim 0=→x x x D.1sin lim =∞→xx x3. 设，则（ ）．答案：BA ．B ．C ．D ．4. 若函数f (x )在点x 0处可导，则( )是错误的．答案：BA ．函数f (x )在点x 0处有定义B ．A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠C ．函数f (x )在点x 0处连续D ．函数f (x )在点x 0处可微5.当0→x 时，下列变量是无穷小量的是（ ）. 答案：C A ．x2 B ．xxsin C ．)1ln(x + D ．x cos (三)解答题 1．计算极限（1）21123lim221-=-+-→x x x x （2）218665lim 222=+-+-→x x x x x（3）2111lim0-=--→x x x （4）3142353lim 22=+++-∞→x x x x x （5）535sin 3sin lim 0=→x x x （6）4)2sin(4lim22=--→x x x 2．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+=0sin 0,0,1sin )(x x xx a x b x x x f ，问：（1）当b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处有极限存在？ （2）当b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处连续.答案：（1）当1=b ，a 任意时，)(x f 在0=x 处有极限存在； （2）当1==b a 时，)(x f 在0=x 处连续。
经济数学基础课后答案
习 题 四1．设总体X 服从正态分布N ()6212,,,, 3,10X X X ⋯是它的一组样本，∑==6161i i X X（1）写出X 所服从的分布； （2）求X ＞11的概率.解 （1）X ～N ⎪⎪⎭⎫⎝⎛63,102，即X ～N ⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,10.（2）{}{}⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--=≤-=231011 2310 111 111 X P X P X P ＞⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-Φ-=231011 1 =1-Φ(0.8165) .解法一：{}().2061.0 7939.01 82.0111=-≈Φ-≈＞X P解法二：查表得：Φ(0.81) = 0.7910， Φ(0.82) = 0.7939，可以求出一条过点（0.81，0.7910）、（0.82，0.7939）的直线，其方程为：(),.x .....y 81081082079100793*******---+= 对于x ∈(0.81，0.82)，我们用上述直线方程近似Φ(x )，则有 Φ (0.8165)().7929.081.08165.081.082.07910.07939.07910.0≈---+≈ 故{}()2071.0 7929.01 8165.0111=-=Φ-=＞X P这种方法，称为线性插值法；利用线性插值法，可以提高查表精度.2. 设X 1，X 2，…，X n 是总体X 的样本， ∑==ni i X n X 11，分别按总体服从下列指定分布求E (X )，D (X ).（1）X 服从0-1分布：{}()1011,k ,p p k X P kk =-==-；（2）X 服从二项分布：{}(),k ,p p C k X P km kk m 01=-==-1，2，…，m ；（3）X 服从泊松分布：{}k k k X P k,0,e !＞λλλ-===0，1，2，…；（4）X 服从均匀分布：f (x ) =⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-其他； 0 1,,b x a ,a b（5）X 服从指数分布：f (x ) =().0,0e ＞＞λλλx x - 解（1）X 服从0-1分布，EX =p ，DX =p (1-p ),故.· 1 1 1 1111p npn EX n X E n X n E X E ni i n i i n i i ==∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=⎪⎭⎫⎝⎛∑====∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=⎪⎭⎫⎝⎛∑====ni in i i n i i DX n X D n X n D X D 121211 1 1 ()().111 · 1 2p p np np n-=-=（2）X 服从二项分布，EX =mp ，DX =mp (1-p )，同（1），可以求得().p mp nX D ,mp X E -==11（3）X 服从泊松分布EX =λ，DX =λ，同（1），可以求得：E X =λ，D X =n1λ.（4）X 服从均匀分布()1222a b DX ,ba EX -=+=， 同（1），可以求得()na b X D ,b a X E 1222-=+=.（5）X 服从指数分布其他211λλ==DX ,EX ,同（1），可以求得211λλn X D ,EX ==.注 一般地讲，设X 1，X 2，…，X n 是总体X 的样本，∑==ni i X n X 11，若X 的样本与方差均存在，则 .DX nX D ,EX X E 1== 对于本题，也可以先证明上述一般结果，再把一般结果分别应用到各个小题.3．设总体X 服从正态分布()230.,N μ，X 1，X 2，…，X n 是总体X 的一组样本，X 是样本均值，试问：样本容量n 至少应取多大，才能使{}.95.01.0 ≥-＜μX P解 X ～N ()230.,μ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n.,N X 230μ～ 故{}1.0 ＜μ-X P.n n n n n n /..n /.X n /..P 132313333010303010-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=ΦΦΦΦΦμ＜＜根据题目的要求,.n ,.n 97503950132≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛≥-⎪⎪⎭⎫⎝⎛ΦΦ查表得Φ(1.96)=0.975. 故..n .n57349613≥≥， 因为n 只能取正整数，所以，样本容量n 至少应取35.4．设X 1，X 2，…，X 6为正态总体N ()220,的一个样本，求⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑=612546i i .X P ＞. 解 由X i ～N ()220，（i =1，2， (6)， 知20-i X ～N （0，1）（i =1，2，…，6），且它们相互独立，故()14122X X i ～, ∑=6122641i i X X ）（～ 所以 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑=＞6.5461i 2i X P ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑=6i i X P 12＞1.63541＝=0.955．设总体X 和Y 相互独立，都服从正态分布N （30，32），X 1，X 2，…，X 20，Y 1，Y 2，…，Y 25分别是来自X 和Y 的样本.求＞0.4Y X -的概率.解 由X i ～N （30，32）（i =1，2，…，20），Y i ～N （30，32）（i =1，2，…，25）， 知),203(30,2N X ～),253(30,2N Y ～又X 与Y 相互独立，所以X 与Y 也相互独立.从而 )，253＋203(0，22N Y X ～－即).(0,0.92N Y X ～- 故{}4.0>-Y X P{}4.0·2>-=Y X P{}[]4.01·2<--=Y X P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=9.004.012Φ()[]4444.012Φ-= ()67.012-= 66.0=.6．设X 和Y 是来自正态总体N (μ , σ2)的容量为n 的两个样本均值.试确定n ，使得两个样本均值之差超过σ的概率大约为0.01.解 ,1,~2⎪⎭⎫⎝⎛σμn N X,1,~2⎪⎭⎫ ⎝⎛σμn N Y因为X ，Y 是两个不同的样本，故X 与Y 相互独立，X 与Y 也相互独立.从而 ,2,0~2⎪⎭⎫⎝⎛-σn N Y X故{}σ>-Y X P{}σ>-=Y X P 2{}[]σ<--=Y X P 12⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=σσn Φ2012 .212⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n Φ 根据题设,01.0212≈⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n Φ ,995.02≈⎪⎪⎭⎫⎝⎛n Φ 查表得2n,58.2≈ n =13.3128.所以n 可以取13或14.7.设X 服从正态分布N （2,σμ），1021,,,X X X ⋯是X 的样本.试求下列概论：（1）().3.210125.0221012⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-∑≤=σμσi i X P（2）().3.210125.0221012⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-∑≤=σσX X p i i解 (1)()(),10,,2,1,~2⋯=i N X i σμ()(),10,2,11,0~2⋯=-i N X i σμ从而 ()∑⎪⎭⎫⎝⎛-=10122,10~i i X χσμ即()()∑-=10122.10~12i i X χμσ记()()∑-==101222, . 10~,1i i W X W 于是则χμσ()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑≤-≤=1012223.210125.0i i X P σμσ()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑≤-≤==101222315.2i i X P μσ{}235.2≤≤=W P{}{}5.223<-≤=W P W P {}[]{}[]5.21231≥-->-=W P W P{}{}235.2>-≥=W P W P）分布表， （查1001.099.02=-=n χ .98.0=(2) 根据样本方差的性质，()()∑--=101222,110~1i i X X χσ记 ()()∑-==101222, ,9~,1i i x W X X W 于是则σ()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤∑-≤=2210123.210125.0σσi i X X P()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑≤-≤==101222315.2i i X X P σ{}235.2≤≤=W P{}{}5.223<-≤=W P W P {}[]{}[]5.21231≥-->-=W P W P {}{}235.2>-≥=W P W P 005.0975.0-= .97.0=8.用附表4求下列各式中的λ值：(){};95.0912=>λχP ）（(){};01.0922=<λχP ）（ (){};025.01532=>λχP ）（ (){};025.01542=<λχP ）（解 （1）.325.3＝直接查表得λ（2）由(){},01.092=<λχP得(){},99.092=>λP χ 查表得.088.2=λ（3）直接查表，.488.27=λ （4）由(){},025.0152=<λP χ 得{}，＝＞975.0)5(2λP χ 查表得.262.6=λ9.用附表5求下列各式中的λ值：（1）(){};05.010=>λt P（2）(){};90.010=<λt P （3）(){};05.010=>λt P （4）(){};01.010=<λt P （5）(){}.025.0150=>λt P 解 （1）.228.2＝直接查表得λ（2）(){}90.010=<λt P 由 得 (){},10.010=>λt P 查表得.812.1=λ(){}0,05.0103>=>λλ知）由（t P 故有(){},10.010=>λt P 查表得.812.1=λ(){},0 ,01.0104<=<λλ知）由（t P (){}01.010=->-λt P(){}()002.010>-=->λλt P查表，.764.2764.2-==-λλ， 比较大，）因为（1505=n 由(){},025.0150=>λt P 知(){},05.0150=>λt P查表得.96.1=λ10.用附表6求下列各式的λ值：(){};05.0981=>λ，）（F P(){};05.09,82=<λF P ）（ (){};95.015,103=>λF P ）（(){}.90.015,104=<λF P ）（解 (1)先找05.0=a 的表，在该表中，找9,821==n n 对应的λ值，可知.23.3=λ （2）在这里先复习一下F 分布的一个性质：若F~F ()(). ,~1, ,m n F Fn m 则利用上述性质，可得： (),05.08,91=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<λF P (),05.018,9=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>λF P查表得,39.31=λ故.295.039.31≈=λ (){},95.010,153=>λF P ）（(){},05.015,10=<λF P(),05.010,151=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<λF P(),05.0110,15=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>λF P 查表得,85.21=λ.351.085.21==λ (){},90.015,104=<λF P ）（(){},10.015,10=>λF P 查表得.06.2=λ11.设总体X 服从标准正态分布N （0,1）n X X X ,,,,21 为其样 本，S 2为样本方差，X 为样本均值，求D (X ), E (S 2).解 ⎪⎭⎫⎝⎛∑==n i i X n D X D 11)((1)⎪⎭⎫ ⎝⎛∑==n i i X D n 121 ∑==ni i DX n 121 n .n 21=.1n= （2）解法一：()22i i i EX DX EX +=01+=().,,2,11n i ==()22X E X D X E +=01+=n,1n=故()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑--==ni i X X n E S E 12211()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑--==n i i X X E n 1211⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+--==n i i i X X X X E n 122211 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∑+--===n i n i i i X n X X X E n 1122211⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅∑--==212211X n X n X X E n n i i⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑--==n i i X n X E n 12211⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑--==ni i X nE EX n 12211 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-⨯-=n n n n 1111 ()111--=n n.1= 解法二：()()()[]22X X E X X D XX E i i i -+-=-()0+-=X X D i()X X D i-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=n X X X X D n i 21⎪⎭⎫ ⎝⎛----+--=+-n i i i X n X n X n n X n X n D 11111111 +⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-111i i X n D X n D⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n i i X n D X n D X n n D 1111 ()+-+++=-ii DX n n DX n DX n 221212111 n i DX n DX n 21211+++ ()个个 i n i n n n n n n --+++-+++=222212211111 ()()2221111-+-=n n n n .1nn -= 故()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑--==ni i XX n E S E 12211()∑--==n i i X X E n 1211()∑--==n i i X X E n 1211 ∑--==n i n n n 1111 ()111--=n n .1=12. A 牌灯泡的平均寿命为1400小时，标准差为200小时.B 牌灯泡的平均寿命为1200小时，标准差为100小时，从两种牌子的灯泡中各取250个进行测试.问A 牌灯泡的平均寿命至少大于B 灯泡寿命（1）180小时，（2）230小时的概率分别是多少？解 （1）因为题中未给出两种牌子灯泡的寿命所服从的分布，因而不能严格地利用其分布进行计算.题中考虑的问题主要是对250个灯泡进行测试，因试验的数比较多，故可以使用中心极限定理.按照中心极限定理,Y X 与近似地服从正态分布.22001400,250X N ⎛⎫ ⎪⎝⎭近似服从，21001200,250Y N ⎛⎫ ⎪⎝⎭近似服从，根据题意, X Y 与相互独立，故().200,200,250100250200,1200140022N N Y X 即－近似服从⎪⎪⎭⎫⎝⎛+- 从而 {}{}1801180≤--=>-Y X P Y X P()1801F -= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--≈2002001801Φ ()4142.11--=Φ()[]4142.111Φ--=()4142.1Φ=.9213.0≈注 在查表时，表中没有1.4142，因而需要使用()41.1Φ ()922200421920730..Φ ,.==进行线性插值，可得()()()()[]41.142.141.142.141.14142.141.14142.1ΦΦΦΦ---+≈ .9213.0={}2302>-Y X P ） （ {}2301≤--=Y X P ()2301F -=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2002002301Φ ()983.011213.21-=-=Φ 017.0=.注 2.1213未在表中，但与表中的2.12比较接近，在对精度要求不太高的情况下，可以用2.12来代替2.1213. 如果对精度要求比较高，就需要使用（1）中使用的线性插值方法.13.分别从方差为20和35的正态总体中抽取容量为8和10的两个样本，求第一个样本方差是第2个样本方差两倍以上的概率范围. 解 对于第1个样本.20 ,8211==σn 对于第2个样本 .35 ,10222==σn 统计量(),n ,n F ~S S F 11212222121--=σσ即 ().9,7~35/20/2221F S S F =故 {}22212S S P ≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥=22221S S P⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯≥⋅=2203520352221S S P⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥=5.335/20/2221S S P{}.5.3≥=F P 查F 分布表{},05.029.3=>F P{}.025.020.4=>F P由 {}{}{},20.45.329.3>>≥>>F P F P F P 可得 {},025.05.305.0>≥>F P 即 {}.025.0205.02221>⋅≥>S S P所求的概率范围为（0.025，0.05）.14.设n X X X ,,,21 是取自正态总体()2,σμN 的一个样本，S 2为样本方差，求满足等式95.05.122≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤σS P 的最小n 值. 解由 ,95.05.122≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤σS P知 ,05.05.122≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧>σS P即 ()())(.05.015.1122A n S n P ≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-σ 依题设，易知()221σS n -服从自由度为()1-n 的2x 分布. 根据上侧分位数的定义，我们得到如下等式 ()() .05.011205.022=⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-n S n P χσ（B ） 由（A ）、（B ）两个式子，可以得到()() .115.1205.0->-n n χ（C ） （A ）式与（C ）式等价，因此满足（C ）式的最小n 值即为满足（A ）式的最小n 值.查表并整理得n()()()()115.1115.11205.0205.0->----n n n n n χχ2 1 1.5 3.841 ×3 2 3 5.991 ×4 3 4.5 7.815 × 25 24 36 36.415 × 26 25 37.5 37.652 × 27 26 39 38.885 √ 28 27 40.5 40.113 √故所求的最小n 值为27.15. 已知X 服从n 个自由度的t 分布，求证X 2服从自由度为 （1，n ）的F 分布，即()n F X ,1~2 证 当()()时n W N U 2~,1,0~χ()n t n~/W UX ＝()1~,/2222χU nW U X 又=所以().,1~/1//222n F nW U n W U X ==16.设92,,,1X X X 是来自正态总体）（22,0N 的简单随机样本，求系数a ,b ,c ,使 ()()()298762543221X X X X c X X X b X X a Q ++++++++=服从χ2分布，并求其自由度.解 由于X i 独立同分布，有()(),2.2 ,0~,2,0~2212N X X N X i +(),2.3 ,0~2543N X X X ++(),42 ,0~29876N X X X X +++从而()()()(), 1 ~121, 1 ~81225432221χχX X X X X +++ ()(). 1 ~161224321χX X X X +++由χ2分布的可加性知，()()()29876254322116112181X X X X X X X X X ++++++++ ().3~2χ所以，当分布，的服从自由度为时，23Q 161,121,81χc b a ==().3~Q 2χ即17.设随机变量X 和Y 相互独立，且都服从正态分布N （0，32），X 1, X 2,…, X 9和Y 1,Y 2, …,Y 9分别来自总体X 和Y 的简单随机样本，试证统计量292221921Y Y Y X X X T ++++++=服从自由度为9的t 分布.证 首先将X i ,Y i 分别除以3，使之化为标准正态.令()).1,0(~,1,0~,9,,2,1,3,3N Y N X i Y Y X X i i i i i i ''=='='则 再令()().1,0~3.9,0~,X 921N X N X X X X '''++'+'='则().9~,222/92/22/12χY Y Y Y Y '+++='因此 2/92/22/1921292221921Y Y Y X X X Y Y Y X X X T +++'++'+'=++++++= .,9/3/222相互独立，且Y X Y X Y X ''''=''=由服从t 分布统计量的典型模式知，T 服从自由度为9的t 分布，即T ~t ( 9 ).18.设总体X 服从正态分布N (),,2σμ从中抽取一个样本X 1,X 2,…,X n +1. 记()∑∑==--==n i n i ni n i n .X X n S ,X n X 1212111试证：().1~11--⋅++n t S n X X n nnn 分析：因为()()分布知，由t ,n ~S n n11222--χσ分子需要一个服从标准正态分布的随机变量，故只需证明σnn X X n n -++11()1,0~N 即可.证 ().2,~,2,~X 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+n N X N n n σμσμ,1,0~21⎪⎭⎫⎝⎛+-+σn n N X X n n 故 (), ,N ~n nX X n n X X U n n n n 101111+⋅-=+-=++σσ()()相互独立，、且W n S n W nU , 1~1222--=χσ所以 ().1~1/--=n t n W U T又 ()1/11221--+⋅-=+n S n n n X X T n nn σσ,11+⋅-=+n nX X X n n n 从而().1~11-+⋅-+n t n n S X X n n 19. 设X 1,X 2,…,X n 是来自总体()2,σμN 的样本，记∑==ni n 11d .μ-i X 试证：()().π21d ,π22n D E σσ⎪⎭⎫ ⎝⎛-==ｄ证明 记,μ-=i i X Y 则().,,2,1,,0~2n i N Y i =σ()()dy eπ21222σσμy ii y Y E X E -∞+∞-⎰==-dy eπ220222⎰=∞+-σσy y .π2e π2202 22σσσ=-=∞+-y ()()()()[]22iiii Y E Y E Y D X D -==-μ()22π2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=σi i EY DY 22π20σσ-+=,π212σ⎪⎭⎫⎝⎛-=所以 ()()∑-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑-===ni i n i iX E n X n E E 1111d μμ.π2π21σσ=⋅=n n ()()∑-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑-===ni i ni i X D n X n D D 12111d μμ.π212n σ⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 20.设总体X 服从正态分布N (62，100)，为使样本均值大于60的概率不小于0.95，问样本容量n 至少应取多大？解 设需要样本容量为n , 则(),1,0~/N n X nX ⋅-=-σμσμ{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-=>n n X P X P 106260106360()().95.02.02.01≥=--=n Φn Φ查标准正态分布表，得 ().95.064.1≈Φ 所以 .24.672.064.164.12.02=⎪⎭⎫⎝⎛≥⇒≥n n故样本容量至少应取68.21.设X 1,X 2,…,X 9为来自总体X ～N (a ,22),Y 1,Y 2,…,Y 16为来自总体Y ～N (b ,22)的两个相互独立的简单随机样本. 记()()∑∑==-=-=911612221i j j i .YY Q ,X X Q求满足下列各式的常数.,,,,,212121γγββαα {}{};05.0)1(1121=≤=≥a Q P a Q P {};9.0)2(1=<-βa X P;9.0)3(22=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-βQ b Y P.05.0)4(112212=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥γγQ Q P Q Q P解 从而由题设知,4)1(2σ==DX()∑-===912211)8(~414i i X X Q W χ，故 {}.05.0442121=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥≡≥ααQ P Q P{}().507.1584,05.005.202)8(05.201===≥χαχW P 类似地 {},05.0444111111=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=≤αααW P Q P Q P.733.2)8(495.201==χα 所以 .028.62;932.10733.2421==⨯=αα()()(),1,0~233/29/21N a X a X a X U -=-=-=σ {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=<-112323ββa X P a X P,9.02311=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=βU P查标准正态分布得.093.1,64.12311==ββ所以 ()(),1,0~24/216/)3(2N b Y bY b Y U -=-=-=σ()()∑-===1612222.15~414j j Y Y Q W χ可见 ().15~15/22t W U T =即 ()(),15~615415/41222t Q Y Q bY T -=-=所以 .9.01541542222=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-ββQ b Y P Q b Y P查表得{}{}.9.0753.1 10.0753.1=<=≥T P T P ， 可知 .113.0 ,753.115422==ββ即()()可得由,8,15~18/15/F 412F Q Q =,05.01588/15/212212=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥γγQ Q P Q Q P,05.01588/15/112112=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤γγQ Q P Q Q P因此 ().0375.622.38,15158205.02=⇒==γγF().709.0645.2115,81158105.01=⇒==γγF习 题 五1. ∑==ni i X n X X X X X 1n 21,1,,,的样本，是总体设 ()∑--==n i i X X n S 122, 11分别按总体服从下列分布求().2S E （1）X 服从均匀分布：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=,0,,1)(b x a a b x f（2）X 服从泊松分布：{},0,e !>==-λλλx x X P x.),2,1,0( =x（3）X 服从二项分布：()()xm x x p P C x X P m--==1().,2,1,0m x =解 ，因为DX S E =)(2故由方差的计算公式可以直接求出E (S 2).（1）X 服从均匀分布()().1222a b DX S E -== （2）X 服从泊松分布 ().2λ==DX S E （3）X 服从二项分布()().12p np DX S E -==2. 设X 1,X 2,…,X n 是总体X 的一个样本,.μ=EX 试证：()∑-==n i i X n S 12201ˆμ是总体方差的无偏估计量. 证 由期望公式有()()()∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑-===ni i X E n X n E S E 12n 1i 2i 2011ˆμμ ∑=⋅===n i i DX nDX n DX n 1.11所以，()∑-==ni iX n S 12201ˆμ是DX 的无偏估计量 . 3. 对样本X 1,X 2,…,X n 作变换()()0,,≠-=m m a a X m Y i i 为常数 试证：;)1(a mYX +=.1)2(222Y X S mS =证 ()得由因为a X m Y m i i -=≠,0)1(,1a Y m X i i +=∑∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+====n i n i i i a Y m n X n X 11111∑+==n i i a Y m n 111a Y m Y n m n i i +=∑⋅==1111其他.()∑--=-n i i X X X n S 12211)2( ∑⎪⎭⎫⎝⎛--+-==n i i a Y m a Y m n 121111()∑--=-n i i Y Y m n 122 111()∑--⋅=-n i i Y Y n m 122 111.122Y S m=4. 设X 1 , X 2 , … , X n 是X 的一样本，试证估计量,11∑==ni i X n X ,)a a (X a W ni i i ini i 1011=≥=∑∑==为常数，都是EX 的无偏估计，且X 的方差不超过W 的方差.证 ∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑===ni i n i i EX n X n E X E 1111因为X 与X i 同分布，所以EX i =EX .故 EX X E =同理，∑=∑===ni i i i ni i EX a X a E EW 11.1EX a EX ni i =∑==所以.的无偏估计都是与EX W X由于∑∑⋅=====n i n i i i a DX DX a DW DX nX D 1122,,1根据柯西不等式 ∑=∑≥==n i n i i i a a n 1212,1)(得 ,1DX nDW ≥从而有 .DW X D ≤5. 从某种灯泡的总体中，随机抽取10个样本，测得其寿命(小时)为1520 1483 1827 1654 1631 1483 1411 1660 1540 1987试求方差的无偏估计 .解 因为()∑-==n i i X X n S 122 1是方差的无偏估计量，故只要计算S 2的值.1411148316311654182714831520(101++++++=X)198715401660+++ 6.1619=()()∑∑-=--===n i n i i i X X X n S 112226.161991 11=30892.49.6. 设X 1,X 2,…,X n ()2≥n 为正态总体()2,σμN 的一个样本，适当选择常数C ，使()∑-=+-11221n i i i .X X C 的无偏估计为σ解 设()().112121∑-=-=+n i i i n X X C ,X ,,X X ϕ由期望的定义与性质可得()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑-=-=+112121 ,,, n i i i n X X C E X X X E ϕ()∑+-=-=++1121212n i ii i i X X X X E C[]∑+-=-=++112121)()(2)(n i i i i i X E X X E X E C()[]∑+-=-=++112121)()(2)(n i i i i i X E X E X E X E C[]∑-+-=-=+1122221)()()(n i ii X E EX EX X E C ()(),21221122σσσσ=-=∑+=-=n C C n i故 ().121-=n C7. 设总体X 的密度函数是⎩⎨⎧><<=-. ,,,x ，x );x (f 其他00101αααα n x x x ,,,21 是一组样本值，求参数α的最大似然估计量.解 似然函数.1111-=-=∏=∏=ααααini n ini x x L.ln )1(ln ln 1∑-+==ni i x n L αα,0ln d dlnL 1=∑+==ni i x n αα 得 .)ln 1(ln 111-==∧∑=∑=ni i mi ix n x n α 8. 设总体X 服从韦布尔分布，密度函数是0,0,0e );(1>>>=--αθθαθαθαx x x f x其中α为已知，X 1, X 2, … , X n 是来自X 的样本,求参数θ的最大似然估计. 解 似然函数 αθαθαiX i ni X L --==e Π11.e Π11αθααθiX i ni nnX --==∑∑--++===n i ni i i X X n n L 11.ln )1(ln ln ln αθααθ∑=-==n i i X n L 1,0d dln αθθ 从而得到111)1(ˆ-==∑=∑=ni i ni iX n Xn Q αα 9.设总体X 服从马克斯韦尔分布，密度函数是⎪⎩⎪⎨⎧≤>>=-0,0,0,0,e π4);(2)(32x x x x f x ααααX 1, X 2, … , X n 是总体X 的样本，求α的最大似然估计. 解 似然函数2eπ4Π321⎪⎭⎫ ⎝⎛-==ααi x i ni X L21e π4Π321∑⎪⎭⎫ ⎝⎛--==⋅⋅=n i i X n i ni X αα ∑-===ni i i n i X n X L 122211-ln 3π4Πln ln αα∑=+-==ni i X n L 123023d dln ααα 所以 ∑==n i i X n a 12.32ˆ10.已知某电子仪器的使用寿命服从指数分布，密度函数是0,0e );(>>=-λλλλx x f x今随机抽取14台，测得寿命数据如下(单位：小时)1812 1890 2580 1789 2703 1921 2054 1354 1967 2324 1884 2120 2304 1480 求λ的最大似然估计值. 解 由于指数分布λ的最大似然估计2013 ,11==∑==∧X X Xn n i i又λ所以 .20131=∧λ 11.设总体X 服从［a , b ］区间上的均匀分布，n x x x ,,,21⋯是总体X 的一组样本,求a 和b 的最大似然估计量.解 似然函数()=b a x x x L n ,,,,2,1 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-. ,0,,,,,)(121其他b x x x a a b n n由于似然方程组()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=∂∂=-=∂∂++,0,0L 11n n a b n bL a b n a 无解，不存在驻点，考虑边界上的点， 因为,,,,21b x x x a n ≤≤故有{},,,,m in 21n x x x a ≤{}.,,,m a x 21n x x b ≥a b -越小L 越大，所以当{}==b x x x a n ,,,,m in 21 {}时，n x x x ,,,m ax 21 L 取到最大值.即：{}{}n n x x x b x x x a ,,,m ax ,,,,m in 2121 ==∧∧是a , b 的最大似然估计量. 12.设总体X 的密度函数为()0,0e1, >>=-θθθθx x f x问∑==ni i X n X 11是否为θ的无偏估计？为什么？ 解 因总体X 是服从参数θλ1=的指数分布，由指数分布的期望公式知，,1θλ==EX又 ,EX X E =所以 . ,的无偏估计是即θθX X E =13.求习题7,10,11中的参数的矩估计. 解 （7）由于()⋅+=⋅⎰=⎰∞-+∞=-1d 01d ,1αααααx x x x x xf EX故，11V =+αα解得 .111V V -=α 取 ∑===ni iX X n V 11.1ˆ 所以α的矩估计量.1ˆXX-=α（10）已知，x x f λλ-=e )(.11,1ˆ1111V EX V X X n V ni i===∑===λλ，所以 .201311ˆ1ˆ1===X V λ（11）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==+==),(31,222221b ab a EX V b a EX V即 ⎩⎨⎧=++=+,3,22221V b ab a V b a ⎪⎩⎪⎨⎧-+=--=⇒.)(3,)(321212121V V V b V V V a 用 ∑===ni K iK V ），K X n V 1,21( 1ˆ估计 得 ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=，S X b ，S X a20203ˆ3ˆ其中 ∑-==n i i X X n S 1220.)(114．对球的直径作了5次测量，测量的结果是37.6 33.636.6 32.6 37.6(厘米)，试求样本均值和样本方差.解 35.6)37.632.636.637.633.6(51=++++=X (厘米)∑++++=-==n i i X X S 122222203.001.002.002.0(41)(41.105.5)02.042-⨯=15．在一批螺丝钉中，随机抽取16个，测其长度(厘米)为：2.23 2.21 2.20 2.24 2.22 2.25 2.21 2.24 2.25 2.23 2.25 2.21 2.24 2.23 2.25 2.22设螺丝钉的长度服从正态分布，试求总体均值μ的90％置信区间. (1)若已知σ＝0.01 (2)若σ未知解 (1)由于已知σ＝0.01，α＝0.1 .64.105.02==u u α所以μ的置信区间为23216116010641160106411.X X ..X ,..X ni i ==⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∑= 故得μ的90％置信区间为(2.226，2.234)(2)由(1)知23.2=X00028.0 0042.0151)(15116122=⨯∑=-==i i X X S 由α＝0.10，查自由度为15的t 分布，得分位数,223.240167.0753.123.2)1(.753.1)15(21.0=⨯-=--=n S n t X t α( 2.237.X t n α+=得EX 的置信度为0.9的置信区间为(2.223，2.237).16．设正态总体的方差σ2为已知，问抽取的样本容量n 应为多大，才能总体均值μ的置信度为0.95的置信区间长不大于L .解 正态总体置信区间长为,22n σu α.96.1025.02==u u α由题意 .96.1422222L n σL nσu ≤⨯⇒≤σ故 2237.15Lσn ≥.17．在测量反应时间中，一心理学家估计的标准差是0.05秒，为了以95％的置信度使他的平均反应时间的估计误差不超过0.01秒，应取容量为多大的测量样本？解 若假定反应时间X 服从正态分布，则由16题解的结果可以直接求出n .06.96)02.005.0(37.15)01.02(05.022222=≥⨯==n L ，σ 所以应取样本容量n ＝97.若没有正态性假定，则可用切贝绍夫不等式进行估计，但比较粗，此题因n 较大，故可以假定其服从正态分布.18．对某机器生产的滚珠轴承随机抽取196个样本，测得直径的均值为0.826厘米，样本标准差0.042厘米，求滚珠轴承均值的95％与99％置信区间.解 因样本容量n 较大，故可假定滚珠轴承的直径x 服从正态分布.由已知.042.0826.0 196===，S X ，n .58.296.1005.0025.02===U ，u u α将上述各值代入置信区间公式中，可得)196042.096.1826.0 196042.096.1826.0(⋅+⋅-，).832.0 ,820.0(≈)14042.058.2826.0 14042.058.2826.0(⋅+⋅-，).834.0 ,818.0(≈19．在一批铜丝中，随机抽取9根，测得其抗拉强度为：578 582 574 568 596 572 570 584 578设抗拉强度服从正态分布，求σ2的置信度为0.95的置信区间.解 由于铜丝抗拉强度服从正态分布，σ2的置信区间为.)1()1()1()1(22 12222⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----n S n n S n ααχχ，经计算 ∑===ni i X X 1,57891.592)(912=∑-=i i X X .535.17)8( ,180.2)8(2025.012975.02====χλχλ 置信区间为 (33.76，271.56).20．求习题14的期望与方差的0.90置信区间. 解 由14题知.5,105.5,35.642=⨯==-n S X.711.0)4(,488.9)4(,132.2)4(295.0205.09.0===χχtμ的置信区间 ⎝⎛⨯--5105.5132.235.64， )372.6 ,328.6(5105.5132.235.64≈⎪⎪⎭⎫⨯+- 2σ的置信区间⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯⨯--711.04105.5 ,488.94105.544 ).00309.0 ,00023.0(≈*21．为比较A 牌与B 牌灯泡的寿命，随机抽取A 牌灯泡10只，测得平均寿命1400=A X 小时，样本标准差=A S 52小时；随机抽取B 牌灯泡8只，测得平均寿命=B X 1250小时，样本标准差=B S 64小时，设总体都服从正态分布，且方差相等，求二总体均值B A μμ-的95％置信区间.解 由题设22BA σσ=，故两总体均值差的置信区间为 )([ 21X X -,11)2(2121n n S n n t w++-+-α ]11)((212121n n S n n t X X W+++-α (*) ,56.57281064)18(52)110( 2)1()1(2222=-+-+-=-+-+-=B A BB A A W n n S n S n S.120.2)16(,1.278110156.571105.021=≈+=+t n n S W将以上各数值代入(*)，得B A μμ-的置信区间为(92.65，207.35).22．从二正态总体X 、Y 中分别抽取容量为16和10的两个样本，求得∑∑=-=-==16110122.180)(038)(i i i i Y Y X X ，试求方差比22yx σσ的95％置信区间.解 已知380) ,1016161i 2i 21=∑-===X X n n （，∑===-=101i 222122033.25180)(，S S ，y y i 从而又α＝0.05，查F 分布上侧分位数表，得F 0.025(15, 9) = 3.77, F 0.025(9, 15) = 3.12， 代入方差比的置信区间⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----22211222221212)1 ,1(,)1,1(1S S n n F S S n n F αα 得 0.95置信区间为).95.3,34.0(2033.2512.32033.2577.31=⎪⎭⎫ ⎝⎛，23．在某一地区中，随机对100名成年居民作民意测验，有80％的居民支持粮食调价，求在该地区的所有居民中，支持粮食调价的比率的0.95与0.99的置信区间.解 因为100,9.08.01.08.0ˆ=≤≤=n ，p是大样本，由比率的置信区间公式⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--n p p u p n p pu p )ˆ1(ˆˆ,)ˆ1(ˆˆ22αα得 .0784.004.096.11002.08.096.1)ˆ1(ˆ2=⨯=⨯=-n p p u α所以置信区间为(0.7216，0.8784).同理可得置信度为0.99的置信区间为 )04.058.28.0,04.058.28.0(⨯+⨯- ≈(0.697，0.903)*24．欲估计某县城拥有洗衣机的家庭所占比率，随机抽查了15户，其中6户有洗衣机，求该县城购置洗衣机家庭比率的0.99置信区间. 解 利用二项分布和F 分布的关系∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-n k kn k k n np f p f F p p C μ,)1()1(12 其中)(x F 是自由度为n f μ21=和)1(22+-=n n f μ的F 分布函数，可得p 的α-1置信区间,22,1111⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++b f f a f f其中),2,2()1(),,(2112/2122/2-+-==-f f F f b f f F f a αα而),(21f f F β是自由度为),(21f f 的F 分布水平β上侧分位数.我们利用上面公式求p 的0.90置信区间)ˆ,ˆ(21p p，其中15=n ，6=n μ，90.01=-α，10.0=α；自由度n f μ21=，20)1(22=+-=n n f μ，由附表可直接查出F 0.05(f 2，f 1)＝F 0.05(20，12)＝2.54；该表中查不到F 0.05(f 1+2，f 2-2)＝F 0.05(14, 18)，故用线性内插法求其近似值：由附表6，有F 0.05(10, 18)＝2.41，F 0.05(15, 18)＝2.27 则F 0.05(14, 18)≈F 0.05(15, 18)+[]18) (15,18) (10,0.050.05F F - ＝2.27+0.2(2.41-2.27)＝2.298.由此，得105.0-F (14, 18)＝1/2.298＝0.435. 从而，有a ＝f 2F 0.05(f 2, f 1)＝20×2.54＝50.8，b ＝(f 2-1)105.0-F (f 1+2，f 2-1)＝18×0.435＝7.83.于是1ˆp＝191.08.50121211=+=+a f f , 2ˆp＝.641.083.714142211=+=+++b f f最后，求得p 的0.90置信区间为(0.191，0.641).*25.设总体X 的期望为μ，方差为σ2，分别抽取容量为n 1、n 2的两个独立随机样本，1X ，2X 为两个样本的均值，试证：如果a ，b 是满足a +b =1的常数，则Y ＝a 1X +b 2X 就是μ的无偏估计量，并确定a ，b ，使DY 最小.证 由两个样本独立知1X 与2X 独立，有EY ＝E (a 1X +b 2X )＝aE 1X +bE 2X ＝a μ+b μ＝μ(a +b )＝μ，所以Y 是μ的无偏估计量.DY ＝D (1X a +2X b )＝12X D a +22X D b＝a 2·DX n n b DX n n 222212111⋅+ =.22212σ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n b n a为使DY 最小，需求2212n b n a +的最小值. 设 g (a )＝12n a +.)1()1(21212222n n a n a n n a -+=- g ′(a )＝.)1(222112n n a n a n --令 g ′(a )＝0， 得 a ＝211n n n +，由于a +b =1,所以，b ＝211n n n +. 将a =211n n n +，b =211n n n +代入DY 中， 得 (DY )min ＝212n n +σ.*26．设总体X 、Y 相互独立，且X ～N (μ1，σ2)，Y ～N (μ2，σ2)，从中分别取容量为n 1，n 2的简单随机样本，记21S ，22S 为样本方差，试证：当常数a ，b 满足a +b ＝1时，Z ＝a 21S +b 22S 是σ2的无偏估计量，并确定a ，b ，使DZ 最小.证 因为21S 与22S 是来自两个总体的样本方差，故相互独立.由期望和方差的性质，有EZ ＝E (a 21S +a 22S )=aE 21S +bE 22S ,又21S 与22S 都是σ2的无偏估计量，故 EZ ＝a σ2+b σ2=σ2(a +b )=σ2.DZ =a 2D 21S +b 2D 22S=a 2·1214-n σ+b 21224-n σ=42212211σ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-n b n a .(*)为使DZ 达到最小值，仿25题g (a )=)1)(1()1)(1()1(1)1(12121222212----+-=--+-n n a n a n n a n a ， 求 g ′(a )=0， 即可得到 a =21,21212211-+-=-+-n n n b n n n .代入DZ 中，得 (DZ )min =22214-+n n σ.注：在(*)式中用到D (S 2)＝124-n σ这一结论.因为∑-=-=ni i X X S n 12222)(11σσ～)1(2-n x .已知Γ(α，β)的方差等于2βα，而χ2(n )＝Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛21，2n ，故χ2(n )的方差等于2n ，于是)1(2122-=⎪⎭⎫⎝⎛-n S n D σ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12)(42n S D σ.习 题 六 5.由经验知某味精厂袋装味精的重量X ～N(μ，σ2)，其中μ＝15，σ2＝0.05，技术革新后，改用机器包装，抽查8个样品，测得重量为(单位:克)：14.7 15.1 14. 8 15 15.3 14.9 15.2 14.6. 已知方差不变，问机器包装的平均重量是否仍为15？(显著水平α＝0.05) 解 待检验的假设是H 0 : μ＝15. 取统计量U ＝nX σ15-，在H 0成立时，U ～N (0，1).查表知P ｛｜U ｜≥1.96｝＝0.05. 根据样本值计算得X ＝14.95，6325.0805.01595.140-=-=U .因｜U 0｜＝0.6325＜1.96故H 0相容，即不能否认机器包装的平均重量仍为15.6.已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N (4.550，0.1082)，现观测了九炉铁水，其平均含碳量为4.484，如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.550(α＝0.05)？ 解 待检验的假设是H 0 : μ＝4.550. 因X ＝4.484，故 ｜U 0｜＝833.19108.0550.4=-X .在H 0成立条件下，U ～N (0，1)，查表知P {｜U ｜＞1.96}＝0.05. 而｜U 0｜＝1.833＜1.96，故H 0相容，即不能否认现在生产的铁水平均含碳量仍为4.550.7．在某砖厂生产的一批砖中，随机地抽测6块，其抗断强度为：32.66 30.06 31. 64 30.22 31.8731.05公斤/厘米2.设砖的抗断强度X ～N (μ，1.12).问能否认为这批砖的抗断强度是32.50公斤/厘米2(α＝0.01)？ 解 待检验的假设是H 0 : μ＝32.5 在H 0成立条件下统计量 nX U σ5.32-=～N (0，1)，查表知 P {｜U ｜＞2.58}＝0.01. 由样本值算得X ＝31.25｜U 0｜＝78.261.15.3225.31=-＞2.58.故否定H 0，即不能认为这批砖的抗断强度为32.50公斤/厘米2.8．某厂生产的钢筋断裂强度X ～N (μ，σ2)，σ＝35(公斤/厘米2)，今从现在生产的一批钢筋中抽测9个样本，得到的样本均值X 较以往的均值μ大17(公斤/厘米2).设总体方差不变，问能否认为这批钢筋的强度有明显提高(α＝0.05，α＝0.1)？ 解 待检验的假设是H 0 : μ≤μ0. 取统计量nX U σμ0-=， 由题设知 X -μ0＝17，U ＝457.193517=查表得 P {U ＞1.64}＝0.05，故α＝0.05时，H 0相容，即在α＝0.05水平下不能认为这批钢筋的强度有明显提高. 当 α＝0.1时，查表得P {U ＞1.29}＝0.1， U ＝1.457＞1.25，故应否定H 0，即在α＝0.1水平下可以认为这批钢筋的强度有明显提高.9．某灯泡厂生产的灯泡平均寿命是1120小时，现从一批新生产的灯泡中抽取8个样本，测得其平均寿命为1070小时，(样本方差S 2＝1092(小时2)，试检验灯泡的平均寿命有无变化(α＝0.05和α＝0.01)？ 解 待检验的假设是H 0 : μ＝1120. 取统计量T ＝nSX 1120-，在H 0成立条件下，T ～t (n -1).由样本值 X ＝1070，S ＝109，得 T 0＝81091120-1070＝1. 297.当α＝0.05时，查t 分布临界值表，得t 0.05(7)＝2.365，因｜T 0｜＝1.297＜2.365，故H 0相容，即在α＝0.05水平下不能认为平均寿命有显著变化. 当α＝0.01时，查t 分布临界值表，t 0.01(7)＝3.499，｜T 0｜＝1.297＜3.499.故H 0相容，即在α＝0.01水平下不能认为灯泡的平均寿命有显著变化. 10．正常人的脉博平均为72次/分，今对某种疾病患者10人，测其脉博为54 68 65 77 70 64 69 72 6271(次/分).设患者的脉博次数X 服从正态分布，试在显著水平α＝0.05下，检验患者的脉博与正常人的脉博有无差异？ 解 待检验的假设是H 0 : μ＝72(σ未知). 取统计最T ＝nX 72-，当H 0成立时，T ～t (n -1). 由样本值算得X ＝67.2，∑=--==n i i X X n S 122178.40)(11，故 ｜T 0｜＝3947.2106.3472-67.2=. α＝0.05时，查t 分布临界值表得t 0.05(9)＝2.262，而｜T 0｜＝2.3947＞2.262.故否定H 0，即在显著水平α＝0.05下，患者的脉博与正常人的脉博有显著差异.11．过去某工厂向A 公司订购原材料，自订货日开始至交货日止，平均为49.1日，现改为向B 公司订购原料，随机抽取向B 公司订的8次货，交货天数为： 46 38 40 39 52 35 48 44问B 公司交货日期是否较A 公司为短(α＝0.05)？ 解 待检验的假设是H 0 : μ≥49.1. 使用统计量T ＝nSX 1.49-，α＝0.05，自由度为7，查t 分布临界值表t 0.1(7)＝1.895，故H 0在检验水平α＝0.05的否定域为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-= 1.895＜81.49-S X V .由样本值算得X ＝42.75，S 2＝32.7832， 因此 S ＝5.7257.87257.51.4975.420-=T = -3.137＜-1.895，。
经济数学基础作业4解答
经济数学基础作业4解答经济数学基础作业4解答一、填空题1、函数)1ln(14)(-+-=x x x f 的定义域为解：∵⎪⎩⎪⎨⎧>-≠-≥-010)1ln(04x x x ，⎪⎩⎪⎨⎧>≠-≤1114x x x ，⎪⎩⎪⎨⎧>≠≤124x x x∴函数)1ln(14)(-+-=x x x f 的定义域为：]4,2()2,1(⋃2、函数2)1(3-=x y 的驻点是 ，极值点是 ，它是极 值点 解：)1(6-='x y ，6=''y ， 令0)1(6=-='x y ，得1=x所以函数的驻点是1=x ，极值点是)0,1( 因为06>=''y ，所以它是极小值点 3、设某商品的需求函数为210)(p ep q -=，则需求弹性=p E解：2)5(10)()(22p eep p q p q pE p p p -=-⋅='⋅=-- 4、若线性方程组⎩⎨⎧=+=-002121x x x x λ有非0解，则=λ答：1-=λ5、设线性方程组b =AX ，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-→010********1t A ，则t 时，方程组有唯一解答：当01≠+t ，即1-≠t 时，方程组有唯一解 二、单项选择题1、下列函数在指定区间),(+∞-∞上单调增加的是（ ）A 、x sinB 、x eC 、2xD 、x -3 解：x sin 、2x 不是单调函数，x -3是减函数，所以应选B2、设x x f 1)(=，则=))((x f f （ ） A 、x 1 B 、21xC 、xD 、2x解：x xx f x f f ===11)(1))((，所以应选C 3、下列积分计算正确的是（ ）A 、0)(3112=+⎰-dx x x B 、0211=+⎰--dx e e xx C 、⎰-=110sin xdx x D 、0211=-⎰--dx e e xx 解：因为2xx e e --是奇函数， 所以0211=-⎰--dx e e xx ，应选D 4、设线性方程组b X A n m =⨯有无穷多解的充分必要条件是（ ）A 、m A r A r <=)()(B 、n A r <)(C 、n m <D 、n A r A r <=)()( 答：应选D5、设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=+33212321212ax x x a x x a x x ，则方程组有解的充分必要条件是（ ）A 、0321=++a a aB 、0321=+-a a aC 、0321=-+a a aD 、0321=++-a a a解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡213211321321000110011110110011121110011a a a a a a a a a a a a 若方程组有解，则0213=--a a a ，即0321=-+a a a ，应选C 三、解答题1、求解下列可分离变量的微分方程： （1）y x e y +=' 解：由y x e y +='，得y x e e dx dy ⋅=，从而dx e edyx y =，两边积分得： dx e dy e x y ⎰⎰=-，c e e x y +=--（2）23yxe dx dy x=解：dx xe dy y x =23，两边积分得： dx xe dy y x ⎰⎰=23，c e xe y x x +-=3 2、求解下列一阶线性微分方程：（1）22x y x y =-'解：这是一阶线性微分方程，xx P 2)(-=，2)(x x Q = ))(()()(c dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰-)()(ln 22ln 2)2(2)2(c dx e x e c dx ex ex x dxx dxx+=+⎰⎰=----⎰⎰)()(222ln 2c x x c dx x x e x +=+⋅=-⎰ （2）x x xyy 2sin 2=-' 解：这是一阶线性微分方程，xx P 1)(-=，x x x Q 2sin 2)(= ))(()()(c dx e x Q e y dxx P dx x P +⎰⎰=⎰-)2sin 2()2sin 2(ln ln )1()1(c dx xe x e c dx xex ex x dxx dxx+=+⎰⎰=⎰⎰----⎰⎰+-=+=+⋅=)2cos ()22sin ()12sin 2(c x x c x xd x c dx xx x x3、求解下列微分方程的初值问题：（1）y x e y -='2，0)0(=y解：y xee dx dy 2=，dx e dy e x y 2=，两边积分得：c e e x y +=221 ∵0)0(=y ，∴21=c ，从而所求解为 21212+=x y e e （2）0=-+'x e y y x ，0)1(=y 解：x e x y x y 11=+'，这是一阶线性微分方程，x x P 1)(=，x e xx Q 1)(= )())((11)()(c dx e xe e c dx e x Q e y dx x x dx x dx x P dxx P +⎰⎰=+⎰⎰=⎰⎰--)(1)(ln ln c xdx xe x c dx e x e e xx x x+⋅=+⋅=⎰⎰- )(1)(1c e xc dx e x x x +=+=⎰ ∵0)1(=y ，∴e c -=，从而所求解为 )(1e e xy x-=4、求解下列线性方程组的一般解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+-=-+03520230243214321431x x x x x x x x x x x解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----000011101201111011101201351223111201 所以得方程组的一般解为⎩⎨⎧-=+-=4324312x x x x x x （其中3x ，4x 为自由未知量）（2）⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+-+=++-5114724212432143214321x x x x x x x x x x x x解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---3735037350241215114712412111112 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000005357531054565101000005357531024121 所以得方程组的一般解为：⎪⎩⎪⎨⎧+-=+--=535753545651432431x x x x x x5、当λ为何值时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+--=-+-=+--λ43214321432143211095733223132245x x x x x x x x x x x x x x x x 有解，并求一般解解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------141826203913103913102451110957332231131224511λλ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→800000000039131015801λ 当08=-λ，8=λ时线性方程组有解，其一般解为：⎩⎨⎧-+-=-+-=3913158432431x x x x x x （其中3x ，4x 为自由未知量）6、a ，b 为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=--bax x x x x x x x x 3213213213221有唯一解、无穷多解或无解解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---1140112011113122111111b a b a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---→3300212110111111402121101111b a b a 01、当03≠+a ，即3-≠a 时方程组有唯一解；02、当033=-=+b a ，即3-=a ，3=b 时方程组有无穷多解； 03、当03=+a ，03≠-b ，即3-=a ，3≠b 时方程组无解。
中南大学网络教育《经济数学基础(专科) 》在线作业一及参考答案
中南大学网络教育在线作业及参考答案(一) 单选题1.若处()。
(A) 不可导(B) 可导，且(C) 取得极大值(D) 取得极小值参考答案：(D)2. 下列结论中正确的是()。
(A) 周期函数都是有界函数(B) 基本初等函数都是单调函数(C) 奇函数的图形关于坐标原点对称(D) 偶函数的图形关于坐标原点对称参考答案：(C)3.设存在的最高阶导数n为()。
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3参考答案：(C)4. 下列函数中为偶函数的是()。
(A)(B)(C)(D)参考答案：(A)5.若上的最大值为()。
(A)(B)(C)(D)参考答案：(B)6.设函数内连续，则必有()。
(A) 内的有界函数(B) 内必有最大值和最小值(C) 之间的任何值(D) 若至少有一个根参考答案：(D)7.若内()。
(A) 只有一点(B) 至少有一点(C) 没有一点(D) 不能确定是否有参考答案：(D)8.设有间断点,则()。
(A)(B)(C)(D)参考答案：(D)9.若函数处可导，则极限()=。
(A)(B)(C)(D)参考答案：(D)10.设,则()。
(A) 对任意(B) 对任意(C) 函数f(－x)单调增加(D) 函数－f(－x)单调增加参考答案：(D)11.下列函数在区间上单调减少的是()。
(A)(B)(C)(D)参考答案：(B)设函数,则f(x)是()。
(A) 偶函数(B)无界函数(C)周期函数(D)单调函数参考答案：(B)13.设函数的增量,等于()。
(A) -1(B) 0(C) 1(D)参考答案：(B)14.当的极限()。
(A) 等于2(B) 等于0(C) 为(D) 不存在,但不为参考答案：(D)若函数处可导，则()是错误的。
(A) 函数(B)(C) 函数处连续(D) 函数处可微参考答案：(B)16. 下列极限计算正确的是()。
(A)(B)(C)(D)参考答案：(B)17.设的数值为()。
(A)(B)(C)(D) 均不对参考答案：(C)18.设函数对任意x均满足为非零常数,则()。
经济数学基础作业册及参考答案(有些习题仅给答案没
《经济数学基础》作业册及参考答案（有些习题仅给答案没附解答过程）作业（一）（一）填空题 1.___________________sin lim=-→xxx x .答案：0 2.设 ⎝⎛=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续，则________=k .答案：13.曲线x y =＋1在)2,1(的切线方程是.答案：2321+=x y 4.设函数52)1(2++=+x x x f ，则____________)(='x f .答案：x 2 5.设x x x f sin )(=，则__________)2π(=''f .答案：2π-（二）单项选择题1.当x →+∞时，下列变量为无穷小量的是（ ）答案：Dxx D C x B x A exx sin ..1.)1ln(.212-++ 2. 下列极限计算正确的是（ ）答案：B A.1lim=→xx x B.1lim 0=+→xx xC.11sinlim 0=→x x x D.1sin lim =∞→xxx3. 设y x =lg2，则d y =（ ）．答案：B A ．12d x x B ．1d x x ln10C ．ln10x x d D ．1d xx 4. 若函数f (x )在点x 0处可导，则( )是错误的．答案：BA ．函数f (x )在点x 0处有定义B ．A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠C ．函数f (x )在点x 0处连续D ．函数f (x )在点x 0处可微5.若f (x 1)=x,则f ’(x)=（ ）. 答案：B A ．21x B ．—21xC ．x 1D ．—x 1(三)解答题1．计算极限（1）=-+-→123lim 221x x x x )1)(1()1)(2(lim1+---→x x x x x = )1(2lim 1+-→x x x = 21-（2）8665lim 222+-+-→x x x x x =)4)(2()3)(2(lim 2----→x x x x x = )4(3lim 2--→x x x = 21（3）x x x 11lim--→=)11()11)(11(lim 0+-+---→x x x x x =)11(lim+--→x x x x =21)11(1lim 0-=+--→x x（4）=+++-∞→423532lim 22x x x x x 32423532lim 22=+++-∞→xxx x x （5）=→x x x 5sin 3sin lim0535sin 33sin 5lim 0x x x x x →=53（6）=--→)2sin(4lim 22x x x 4)2sin()2)(2(lim 2=-+-→x x x x2．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+=0sin 0,0,1sin )(x x xx a x b x x x f ，问：（1）当b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处有极限存在？ （2）当b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处连续.答案：（1）1sin 0lim )(0lim )1sin (0lim )(0lim ===+=++--→→→→xxx f b b xx x f x x x x当1=b ，a 任意时，)(x f 在0=x 处有极限存在； （2）f(0)= a =1)0(lim 0==→b f x当1==b a 时，)(x f 在0=x 处连续。
国家开放大学电大专科《经济数学基础12》网络课形考网考作业试题及答案(第一套)(Word最新版)
国家开放高校电大专科《经济数学基础12》网络课形考网考作业试题及答案(第一套) 通过整理的国家开放高校电大专科《经济数学基础12》网络课形考网考作业试题及答案(第一套)相关文档，渴望对大家有所扶植，感谢观看！国家开放高校电大专科《经济数学基础12》网络课形考网考作业试题及答案(第一套) 考试说明：本课程形成性考核成果占总成果的50%，共100分。
其中包括：作业：包括4次测验，每次满分100分，折合实际成果为15分，共60分。
学习活动：包括4次，每次10分，共40分形考任务（共60分）作业一单项选择题（每题4分，共100分）题目1 函数的定义域为（）. 选择一项：题目2 下列函数在指定区间上单调增加的是（）. 选择一项：题目3 设，则=（）．选择一项：题目4 当时，下列变量为无穷小量的是（）. 选择一项：题目5 下列极限计算正确的是（）. 选择一项：题目6 （）. 选择一项：A. 1 B. 0 C. 2 D. -1 题目7 . 选择一项：A. 5 B. -5 题目8 . 选择一项：题目9 题目10 选择一项：D. 2 题目11 当时，函数. 选择一项：题目12 曲线的切线方程是（）. 选择一项：题目13 若函数处可导，则（）是错误的．选择一项：题目14 题目15 题目16 题目17 题目18 题目19 题目20 题目21 题目22 题目23 题目24 题目25 作业二题目1 题目2 题目3 题目4 题目5 题目6 题目7 题目8 题目9题目10 题目11 题目12 题目13 题目14 题目15 题目16 题目17 题目18 题目19 题目20 作业三题目1 题目2 题目3 题目4 题目5 题目6 题目7 题目8 题目9 题目10 题目11 题目12 题目13 题目14 题目15 题目16 题目17 题目18 题目19 题目20 作业四答案如下：8、解：答案如下：学习活动（总40分）活动一：问卷答题（占形考总分的10% 题目1 形考任务中共有（）次学习活动。
经济数学基础作业(一)参考答案
经济数学基础作业（一）（一）填空题1.___________________sin lim0=-→xxx x . 答案：0解：x x x x sin lim 0-→=011sin lim 1)1(lim 00=-=-=-→→xxx simx x x因为2.设 ⎝⎛=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续，则________=k .答案：1 1k )0()(lim )(lim )0(,1)1(lim )(lim ,1)1(lim )(lim ox ox 2ox ox 2ox ox ---=====+==+=+++→→→→→→，所以是：而函数连续的充要条件解：f x f x f k f x x f x x f3.曲线x y =+1在(1,2)的切线方程是 . 答案：y=12x+32解：曲线)(x f y =在),(00y x 点的切线方程公式是))((00/0x x x f y y -=-2321),1(212-y ,21)1(,21)()(/21/21/+=-====-x y x f x x x f 即：所以有：4.设函数52)1(2++=+x x x f ，则____________)(='x f .答案：x 2 解：因为)1(+x f =4)1(41222++=+++x x x ，所以,4)(2+=x x f x x f 2)(/=5.设x x x f sin )(=，则__________)2π(=''f ..答案：2π-解：2π2π02πsin 2π2π2)2π(,sin 2)sin ()(,sin )(/////-=-=-=-=-+=+=con f x x conx x x conx conx x f xconx x x f （二）单项选择题1. 当+∞→x 时，下列变量为无穷小量的是（ D ）A ．)1ln(x +B ． 12+x xC ．21x e - D ． xxsin2. 下列极限计算正确的是（ B ） A.1lim=→xx x B.1lim 0=+→xx x C.11sinlim 0=→x x x D.1sin lim =∞→xxx3. 设y x =lg 2，则d y =（ B ）． A ．12d x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．1d xx 4. 若函数f (x )在点x 0处可导，则( B )是错误的．A ．函数f (x )在点x 0处有定义B ．A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠C ．函数f (x )在点x 0处连续D ．函数f (x )在点x 0处可微5．/1(),()f x f x x==则（ B ） A ．21x B ．—21xC ．1xD ．1x (三)解答题1．计算极限（1）、2112lim )1)(1(2)-1)(x -x (lim 123lim 11221-=+-=+-=-+-→→→x x x x x x x x x x 解： （2）、212143lim )4)(2()3-(x )2(lim 8665lim 22222=--=--=---=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x 解：21111lim )1x -1(11lim )1x -1()1x -1(11lim 11lim).3(0000-=+--=+--=++--=--→→→→x x x x x x x x x x x ）（解：（4）32423532lim 423532lim 423532lim 22222222=+++-=+++-=+++-∞→∞→∞→x x x x xx x x x x x x x x x x x 解：535355sin 1lim 33sin lim 535sin 533sin lim 5sin 3sin lim)5(0000=••=••=→→→→xx x x x x x x x x x x x x x x 解：42)2sin(lim )2(lim 2)2sin(2lim )2sin()2)(2(lim )2sin(4lim )6(222222=--+=--+=--+=--→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x 解：2．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+=0sin 0,0,1sin )(x x x x a x b x x x f ， 问：（1）当b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处有极限存在？ （2）当b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处连续..1)0()(lim )(lim 0)(21),(lim )(lim 0x )(,,1sin lim )(lim ,0lim 1sin lim )1sin(lim )(lim 1000000a b f x f x f x x f b x f x f x f xxx f b b b x x b x x x f x x x x x x x x x x ===========+=+=+=-+-+++----→→→→→→→→→→，即：点连续，所以在）因为（。
经济数学基础课后答案(概率统计第三分册)
习 题 一1.写出下列事件的样本空间： (1) 把一枚硬币抛掷一次； (2) 把一枚硬币连续抛掷两次；(3) 掷一枚硬币，直到首次出现正面为止；(4) 一个库房在某一个时刻的库存量(假定最大容量为M ).解 (1) Ω={正面，反面} △ {正，反}(2) Ω={(正、正)，(正、反)，(反、正)，(反、反)} (3) Ω={(正)，(反，正)，(反，反，正)，…} (4) Ω={x ；0 ≤x ≤ m } 2.掷一颗骰子的试验，观察其出现的点数，事件A ＝“偶数点”，B ＝“奇数点”，C ＝“点数小于5”，D ＝“小于5的偶数点”，讨论上述各事件间的关系.解 {}{}{}{}{}.4,2,4,3,2,1,5,3,1,6,4,2,6,5,4,3,2,1=====D C B A ΩA 与B 为对立事件，即B ＝A ；B 与D 互不相容；A ⊃D ，C ⊃D.3. 事件A i 表示某个生产单位第i 车间完成生产任务，i ＝1，2，3，B 表示至少有两个车间完成生产任务，C 表示最多只有两个车间完成生产任务，说明事件B 及B －C 的含义，并且用A i (i ＝1，2，3)表示出来.解 B 表示最多有一个车间完成生产任务，即至少有两个车间没有完成生产任务. 313221A A A A A A B ++=B －C 表示三个车间都完成生产任务321321321321＋＋＋A A A A A A A A A A A A B =321321321321321321321A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A C ++++++=321A A A C B =-4. 如图1－1，事件A 、B 、C 都相容，即ABC ≠Φ，把事件A ＋B ，A ＋B ＋C ，AC ＋B ，C －AB 用一些互不相容事件的和表示出来.解 B A A B A +=+C B A B A A C B A ++=++C B A B B AC +=+BC A C B A C B A AB C ++=-5.两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在，举例说明.解 两个对立的事件一定互不相容，它们不可能同时发生，也不可能同时不发生；两个互不相容的事件不一定是对立事件，它们只是不可能同时发生，但不一定同时不发生. 在本书第6页例2中A 与D 是对立事件，C 与D 是互不相容事件. 6.三个事件A 、B 、C 的积是不可能事件，即ABC ＝Φ，问这三个事件是否一定互不相容?画图说明.解 不一定. A 、B 、C 三个事件互不相容是指它们中任何两个事件均互不相容，即两两互不相容.如图1－2，事件ABC ＝Φ，但是A 与B 相容.7. 事件A 与B 相容，记C ＝AB ，D ＝A+B ，F ＝A －B. 说明事件A 、C 、D 、F 的关系.解 由于AB ⊂A ⊂A+B ，A －B ⊂A ⊂A+B ，AB 与A －B 互不相容，且A ＝AB ＋(A －B). 因此有A ＝C +F ，C 与F 互不相容， D ⊃A ⊃F ，A ⊃C.8. 袋内装有5个白球，3个黑球，从中一次任取两个，求取到的两个球颜色不同的概率. 解 记事件A 表示“取到的两个球颜色不同”. 则有利于事件A 的样本点数目＃A ＝1315C C .而组成试验的样本点总数为＃Ω＝235+C ，由古典概率公式有P (A )＝=Ω##A 2815281315=C C C (其中＃A ，＃Ω分别表示有利于A 的样本点数目与样本空间的样本点总数，余下同)9. 计算上题中取到的两个球中有黑球的概率.解 设事件B 表示“取到的两个球中有黑球”则有利于事件B 的样本点数为＃25C B =.1491)(1)(2825=-==C C B P B P －10. 抛掷一枚硬币，连续3次，求既有正面又有反面出现的概率.解 设事件A 表示“三次中既有正面又有反面出现”, 则A 表示三次均为正面或三次均为反面出现. 而抛掷三次硬币共有8种不同的等可能结果，即＃Ω＝8，因此图1－1图1－2143821#1)(1)(=-=Ω-=-=A A P A P ＃ 11. 10把钥匙中有3把能打开一个门锁，今任取两把，求能打开门锁的概率.解 设事件A 表示“门锁能被打开”. 则事件A 发生就是取的两把钥匙都不能打开门锁.15811)(1)(21027==Ω-=-=CC A A P A P －＃＃ 从9题－11题解中可以看到，有些时候计算所求事件的对立事件概率比较方便. 12. 一副扑克牌有52张，不放回抽样，每次一张，连续抽取4张，计算下列事件的概率：(1)四张花色各异； (2)四张中只有两种花色.解 设事件A 表示“四张花色各异”；B 表示“四张中只有两种花色”.，113113113113452##C C C C A ， C Ω== ） ＋#2132131133131224C C C C C C B （= 105013##)(4524.C ΩA A P ===30006048＋74366##)(452 ）（.C ΩB B P ===13. 口袋内装有2个伍分、3个贰分，5个壹分的硬币共10枚，从中任取5枚，求总值超过壹角的概率.解 设事件A 表示“取出的5枚硬币总值超过壹角”.)＋(＋C ＝##25231533123822510C C C C C C A C Ω ， = 50252126)(.ΩA A P ＝＝＃＃＝14. 袋中有红、黄、黑色球各一个，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率：A ＝“三次都是红球” △ “全红”，B ＝“全白”，C ＝“全黑”，D ＝“无红”，E ＝“无白”，F ＝“无黑”，G ＝“三次颜色全相同”，H ＝“颜色全不相同”，I ＝“颜色不全相同”.解 ＃Ω＝33＝27，＃A ＝＃B ＝＃C ＝1， ＃D ＝＃E ＝＃F ＝23＝8， ＃G ＝＃A ＋＃B ＋＃C ＝3，＃H ＝3！＝6，＃I ＝＃Ω－＃G ＝24271)()()(===C P B P A P 278)()()(===F P E P D P 982724)(,92276)(,91273)(======I P H P G P 15. 一间宿舍内住有6位同学，求他们中有4个人的生日在同一个月份的概率. 解 设事件A 表示“有4个人的生日在同一个月份”.＃Ω＝126，＃A ＝21124611C C0073.01221780##)(6＝＝ΩA A P =16. 事件A 与B 互不相容，计算P )(B A +. 解 由于A 与B 互不相容，有AB ＝Φ，P (AB )＝0.1)(1)()(=-==+AB P AB P B A P17. 设事件B ⊃A ，求证P (B )≥P (A ）. 证 ∵B ⊃A∴P (B -A )＝P (B ) - P (A ) ∵P (B -A )≥0 ∴P (B )≥P (A )18. 已知P (A )＝a ，P (B )＝b ，ab ≠0 (b ＞0.3a )，P (A －B )＝0.7a ，求P (B +A )，P (B -A )，P (B ＋A ).解 由于A －B 与AB 互不相容，且A ＝(A -B )＋AB ，因此有P (AB )＝P (A )-P (A -B )＝0.3aP (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )＝0.7a ＋b2P (B -A )＝P (B )-P (AB )＝b -0.3aP(B ＋A )＝1-P (AB )＝1-0.3a19. 50个产品中有46个合格品与4个废品，从中一次抽取三个，计算取到废品的概率. 解 设事件A 表示“取到废品”，则A 表示没有取到废品，有利于事件A 的样本点数目为＃A ＝346C ，因此P (A )＝1-P (A )＝1-3503461C C ΩA－＝＃＃ ＝0.225520. 已知事件B ⊃A ，P (A )＝ln b ≠ 0，P (B )＝ln a ，求a 的取值范围.解 因B ⊃A ，故P (B )≥P (A )，即ln a ≥ln b ,⇒a ≥b ，又因P (A )＞0，P (B )≤1，可得b ＞1，a ≤e ，综上分析a 的取值范围是：1＜b ≤a ≤e21. 设事件A 与B 的概率都大于0，比较概率P (A )，P (AB )，P (A +B )，P (A )+P (B )的大小(用不等号把它们连接起来).解 由于对任何事件A ，B ，均有AB ⊂A ⊂A +B且P (A +B )＝P (A )＋P (B )-P (AB )，P (AB )≥0，因此有P (AB )≤P (A )≤P (A +B )≤P (A )＋P (B )22. 一个教室中有100名学生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(设一年以365天计算).解 设事件A 表示“100名学生的生日都不在元旦”，则有利于A 的样本点数目为＃A ＝，而样本空间中样本点总数为＃Ω＝，所求概率为1001003653641##1)(1)(-=Ω-=-=A A P A P= 0.239923. 从5副不同手套中任取4只手套，求其中至少有两只手套配成一副的概率.解 设事件A 表示“取出的四只手套至少有两只配成一副”，则A 表示“四只手套中任何两只均不能配成一副”.21080##)(4101212121245===C C C C C C ΩA A P 62.0)(1)(=-=A P A P24. 某单位有92％的职工订阅报纸，93％的人订阅杂志，在不订阅报纸的人中仍有85％的职工订阅杂志，从单位中任找一名职工求下列事件的概率： (1)该职工至少订阅一种报纸或期刊； (2)该职工不订阅杂志，但是订阅报纸.解 设事件A 表示“任找的一名职工订阅报纸”，B 表示“订阅杂志”，依题意P (A )＝0.92，P (B )＝0.93，P (B ｜A )＝0.85P (A ＋B )＝P (A )＋P (A B )＝P (A )＋P (A )P (B ｜A )＝0.92＋0.08×0.85＝0.988P (A B )＝P (A ＋B )-P (B )＝0.988－0.93＝0.05825. 分析学生们的数学与外语两科考试成绩，抽查一名学生，记事件A 表示数学成绩优秀，B表示外语成绩优秀，若P (A )＝P (B )＝0.4，P (AB )＝0.28，求P(A ｜B )，P (B ｜A )，P (A ＋B ).解 P (A ｜B )＝7.04.028.0)()(==B P AB PP (B ｜A)＝7.0)()(=A P AB PP (A ＋B )＝P (A )＋P (B )-P (AB )＝0.5226. 设A 、B 是两个随机事件. 0＜P (A )＜1，0＜P (B )＜1，P (A ｜B )＋P (A ｜B )＝1. 求证P (AB )＝P (A )P (B ).证 ∵P ( A ｜B )＋P (A ｜B )＝1且P ( A ｜B )＋P (A ｜B )＝1∴P ( A ｜B )＝P (A ｜B ))(1)()()()()()(B P AB P A P B P B A P B P AB P --==P (AB )［1-P (B )］＝P ( B )［P ( A )-P ( AB )］整理可得P (AB )＝P ( A ) P ( B )27. 设A 与B 独立，P ( A )＝0.4，P ( A ＋B )＝0.7，求概率P (B ). 解 P ( A ＋B )＝P (A )＋P (A B )＝P ( A )＋P (A ) P ( B )⇒ 0.7＝0.4＋0.6P ( B )⇒ P ( B )＝0.528. 设事件A 与B 的概率都大于0，如果A 与B 独立，问它们是否互不相容，为什么?3解 因P ( A )，P ( B )均大于0，又因A 与B 独立，因此P ( AB )＝P ( A ) P ( B )＞0，故A 与B 不可能互不相容.29. 某种电子元件的寿命在1000小时以上的概率为0.8，求3个这种元件使用1000小时后，最多只坏了一个的概率. 解 设事件Ai表示“使用1000小时后第i 个元件没有坏”，i ＝1，2，3，显然A 1，A 2，A 3相互独立，事件A 表示“三个元件中最多只坏了一个”，则A＝A 1A 2A 3＋1A A 2A 3＋A 12A A 3＋A 1A 23A ，上面等式右边是四个两两互不相容事件的和，且P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝0.8P ( A )＝[][])()(3)(12131A P A P A P +＝0.83＋3×0.82×0.2 ＝0.89630. 加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的废品率分别为0.3，0.2，0.2，并且任何一道工序是否出现废品与其他各道工序无关，求零件的合格率. 解 设事件A 表示“任取一个零件为合格品”，依题意A 表示三道工序都合格.P (A )＝(1－0.3)(1－0.2)(1－0.2)＝0.44831. 某单位电话总机的占线率为0.4，其中某车间分机的占线率为0.3，假定二者独立，现在从外部打电话给该车间，求一次能打通的概率；第二次才能打通的概率以及第m 次才能打通的概率(m 为任何正整数).解 设事件A i 表示“第i 次能打通”，i ＝1，2，…，m ，则P (A 1)＝(1－0.4)(1－0.3)＝0.42 P (A 2)＝0.58 × 0.42＝0.2436 P (A m )＝0.58m －1 × 0.4232. 一间宿舍中有4位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每人任取一副眼镜，求每个人都没有拿到自己眼镜的概率.解 设A i 表示“第i 人拿到自己眼镜”，i ＝1,2,3,4. P ( A i )＝41，设事件B 表示“每个人都没有拿到自己的眼镜”. 显然B 则表示“至少有一人拿到自己的眼镜”. 且B ＝A 1＋A 2＋A 3＋A 4.P (B )＝P (A 1＋A 2＋A 3＋A 4)＝∑∑∑-+-=≤≤≤≤4141414321)()()()(i j i k j i k j i i i i A A A A P A A A P A A P A p ＜＜＜P (A i A j )=P (A i )P (A j ｜A i )=)41(1213141≤≤=⨯j i ＜ P (A i A j A k )=P (A i )P (A j ｜A i )P (A k ｜A i A j )=41×31×21=241（1≤i ＜j ＜k ≤4） P (A 1A 2A 3A 4) =P (A 1)P (A 2|A 1)P (A 3|A 1A 2)×P (A 4｜A 1A 2A 3)=2411213141=⨯⨯⨯ 85241241121414)(3424=-⨯+⨯-⨯=C C B P83)(1)(=-=B P B P33. 在1，2，…，3000这3000个数中任取一个数，设A m ＝“该数可以被m 整除”，m ＝2，3，求概率P (A 2A 3)，P (A 2＋A 3)，P (A 2－A 3). 解 依题意P (A 2)＝21，P (A 3)＝31P (A 2A 3)＝P (A 6)＝61P (A 2＋A 3)＝P (A 2)＋P (A 3)－P (A 2A 3)＝32613121=-+ P (A 2－A 3)＝P (A 2)－P (A 2A 3)＝316121=-34. 甲、乙、丙三人进行投篮练习，每人一次，如果他们的命中率分别为0.8，0.7，0.6，计算下列事件的概率： (1)只有一人投中； (2)最多有一人投中； (3)最少有一人投中.解 设事件A 、B 、C 分别表示“甲投中”、“乙投中”、“丙投中”，显然A 、B 、C 相互独立.设A i 表示“三人中有i 人投中”，i ＝0,1,2,3,依题意，)()()() ()(0C P B P A P C B A P A P ===0.2×0.3×0.4×=0.024P ( A 3 )=P ( ABC )=P ( A ) P ( B ) P ( C )4=0.8×0.7×0.6=0.336P (A 2)=P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )=0.8×0.7×0.4＋0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6=0.452 (1) P (A 1)＝1－P (A 0)－P (A 2)－P (A 3)＝1－0.024－0.452－0.336＝0.188(2) P (A 0＋A 1)＝P (A 0)＋P (A 1)＝0.024＋0.188＝0.212 (3) P (A ＋B ＋C )＝P (0A )＝1－P (A 0)＝0.97635. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为0.4及0.5，问谁先投中的概率较大，为什么?解 设事件A 2n -1B 2n 分别表示“甲在第2n －1次投中”与“乙在第2n 次投中”，显然A 1，B 2，A 3，B 4，…相互独立.设事件A 表示“甲先投中”.⋯+++=)()()()(543213211A B A B A P A B A P A P A P⋯⨯⨯⨯⨯=＋＋＋0.40.5)(0.60.40.50.60.42 743.014.0=-=计算得知P (A )＞0.5，P (A )＜0.5，因此甲先投中的概率较大.36. 某高校新生中，北京考生占30％，京外其他各地考生占70％，已知在北京学生中，以英语为第一外语的占80％，而京外学生以英语为第一外语的占95％，今从全校新生中任选一名学生，求该生以英语为第一外语的概率.解 设事件A 表示“任选一名学生为北京考生”，B 表示“任选一名学生，以英语为第一外语”. 依题意P (A )＝0.3，P (A )＝0.7，P (B ｜A)＝0.8，P (B ｜A )＝0.95. 由全概率公式有P (B )＝P (A )P (B ｜A )＋P (A )P (B ｜A )＝0.3×0.8＋0.7×0.95＝0.90537. A 地为甲种疾病多发区，该地共有南、北、中三个行政小区，其人口比为9 : 7 : 4，据统计资料，甲种疾病在该地三个小区内的发病率依次为4‰，2‰，5‰，求A 地的甲种疾病的发病率.解 设事件A 1，A 2，A 3分别表示从A 地任选一名居民其为南、北、中行政小区，易见A 1，A 2，A 3两两互不相容，其和为Ω.设事件B 表示“任选一名居民其患有甲种疾病”，依题意：P (A 1)＝0.45，P (A 2)＝0.35，P (A 3)＝0.2，P (B ｜A 1)＝0.004，P (B ｜A 2)＝0.002，P (B ｜A 3)＝0.005＝∑=31)|()(i i i A B P A P＝ 0.45 × 0.004 + 0.35 × 0.002 + 0.2 × 0.005＝0.003538. 一个机床有三分之一的时间加工零件A ，其余时间加工零件B ，加工零件A 时，停机的概率为0.3，加工零件B 时停机的概率为0.4，求这个机床停机的概率.解 设事件A 表示“机床加工零件A ”，则A 表示“机床加工零件B ”，设事件B 表示“机床停工”.)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=37.0324.0313.0=⨯+⨯= 39. 有编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的3个口袋，其中Ⅰ号袋内装有两个1号球，1个2号球与1个3号球，Ⅱ号袋内装有两个1号球和1个3号球，Ⅲ号袋内装有3个1号球与两个2号球，现在先从Ⅰ号袋内随机地抽取一个球，放入与球上号数相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，计算第二次取到几号球的概率最大，为什么?解 设事件A i 表示“第一次取到i 号球”，B i 表示第二次取到i 号球，i ＝1，2，3.依题意，A 1，A 2，A 3构成一个完全事件组.41)()(,21)(321===A P A P A P41)|()|(,21)|(131211===A B P A B P A B P41)|()|(,21)|(232221===A B P A B P A B P61)|(,31)|(,21)|(333231===A B P A B P A B P应用全概率公式∑==31)|()()(i i j i j A B P A P B P 可以依次计算出4811)(,4813)(,21)(321===B P B P B P . 因此第二次取到1号球的概率最大. 40. 接37题，用一种检验方法，其效果是：对甲种疾病的漏查率为5％(即一个甲种疾病患者，经此检验法未查出的概率为5％)；对无甲种疾病的人用此检验法误诊为甲种疾病患者的概率为1％，在一次健康普查中，某人经此检验法查为患有甲种疾病，计算该人确实患有此病的概率.解 设事件A 表示“受检人患有甲种疾病”，B 表示“受检人被查有甲种疾病”，由37题计算可5知P (A )＝0.0035，应用贝叶斯公式)|()()|()()|()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=01.09965.095.00035.095.00035.0⨯⨯⨯=＋25.0= 41. 甲、乙、丙三个机床加工一批同一种零件，其各机床加工的零件数量之比为5 : 3 : 2，各机床所加工的零件合格率，依次为94％，90％，95％，现在从加工好的整批零件中检查出一个废品，判断它不是甲机床加工的概率.解 设事件A 1，A 2，A 3分别表示“受检零件为甲机床加工”，“乙机床加工”，“丙机床加工”，B 表示“废品”，应用贝叶斯公式有∑==31111)|()()|()()|(i i i A B P A P A B P A P B A P7305020＋1030＋06.05.006.05.0=⨯⨯⨯⨯=....74)|(1)|(11=-=B A P B A P42. 某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车4种交通工具，其概率分别为5％，15％，30％，50％，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100％，70％，60％与90％，已知该旅行者误期到达，求他是乘坐火车的概率.解 设事件A 1，A 2，A 3，A 4分别表示外出人“乘坐飞机”，“乘坐火车”，“乘坐轮船”，“乘坐汽车”，B 表示“外出人如期到达”.∑==41222)|()()|()()|(i i i A B P A P A B P A P B A P1.05.04.03.03.015.0005.03.015.0⨯+⨯+⨯+⨯⨯==0.20943. 接39题，若第二次取到的是1号球，计算它恰好取自Ⅰ号袋的概率.解 39题计算知P (B 1)＝21，应用贝叶斯公式21212121)()|()()|(111111=⨯==B P A B P A P B A P44. 一箱产品100件，其次品个数从0到2是等可能的，开箱检验时，从中随机地抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收，若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率.解 设事件A i 表示一箱中有i 件次品，i ＝0, 1, 2. B 表示“抽取的10件中无次品”，先计算P ( B )∑++⨯===20101001098101001099)1(31)|()()(i i i C C C C A B P A P B P37.0)(31)|(0==B P B A P45. 设一条昆虫生产n 个卵的概率为λλ-=e !n p nn n =0, 1, 2, …其中λ＞0，又设一个虫卵能孵化为昆虫的概率等于p (0＜p ＜1). 如果卵的孵化是相互独立的，问此虫的下一代有k 条虫的概率是多少?解 设事件A n ＝“一个虫产下几个卵”，n ＝0，1，2….B R ＝“该虫下一代有k 条虫”，k ＝0，1，….依题意λλ-==e !)(n p A P nn n⎩⎨⎧≤≤=-nk qp C n k A B P kn k k n n k 00)|(＞其中q =1－p . 应用全概率公式有∑∑∞=∞===kn n k n n n k n k A B P A P A B P A P B P )|()()|()()(0∑∞=-λ--λ=l n k n k n q p k n k n n !)(!!e !∑∞=-λ--λλk n k n kk n q k p !)()(e !)(6由于q k n kn k n k n k n q k n q λ∞=--∞=-∑∑=-λ=-λe !)()(!)()(0，所以有 ,2,1,0e)(e e !)()(===--k kp k p B P pp q k k λλλλλ7习 题 二1. 已知随机变量X 服从0－1分布，并且P {X ≤0}＝0.2，求X 的概率分布.解 X 只取0与1两个值，P {X ＝0}＝P {X ≤0}－P {X ＜0}＝0.2，P {X ＝1}＝1－P {X ＝0}＝0.8. 2. 一箱产品20件，其中有5件优质品，不放回地抽取，每次一件，共抽取两次，求取到的优质品件数X 的概率分布.解 X 可以取0, 1, 2三个值. 由古典概型公式可知{})2,1,0(2202155===-m C C C m X P mm 依次计算得X 的概率分布如下表所示：3. 上题中若采用重复抽取，其他条件不变，设抽取的两件产品中，优质品为X 件，求随机变量X 的概率分布.解 X 的取值仍是0, 1, 2.每次抽取一件取到优质品的概率是1/4，取到非优质品的概率是3/4,且各次抽取结果互不影响，应用伯努利公式有{}1694302=⎪⎭⎫⎝⎛==X P{}1664341112=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P {}1614122=⎪⎭⎫⎝⎛==X P4. 第2题中若改为重复抽取，每次一件，直到取得优质品为止，求抽取次数X 的概率分布. 解 X 可以取1, 2, …可列个值. 且事件{X = n }表示抽取n 次，前n －1次均未取到优质品且第n 次取到优质品，其概率为41431⋅⎪⎭⎫⎝⎛-n . 因此X 的概率分布为 {}⋯=⎪⎭⎫⎝⎛==-,2,143411n n X P n5. 盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个为旧球，采取不放回抽取，每次一个直到取得新球为止，求下列随机变量的概率分布. (1)抽取次数X ； (2)取到的旧球个数Y .解 (1)X 可以取1, 2, 3, 4各值.{}{}4491191232431=⨯====X P X P {}22091091121233=⨯⨯==X P {}2201991011121234=⨯⨯⨯==X P (2) Y 可以取0, 1, 2, 3各值 .{}{}4310====X P Y P {}{}44921====X P Y P {}{}220932====X P Y P {}{}220143====X P Y P 6. 上题盒中球的组成不变，若一次取出3个，求取到的新球数目X 的概率分布. 解 X 可以取0, 1, 2, 3各值.{}2201031233===C C X P{}2202713122319===C C C X P{}22010823121329===C C C X P{}22084331239===C C X P7. 已知P {X ＝n }＝p n，n ＝1, 2, 3, …, 求p 的值.8解 根据{}∑=∞=11n n X P ＝, 有 ∑∞=-==111n n pp P 解上面关于p 的方程，得p ＝0.5.8. 已知P {X ＝n }=p n， n ＝2, 4, 6, …，求p 的值.解 1122642=-=⋯+++p p p p p解方程，得p =2±/29. 已知P {X ＝n }=cn , n =1, 2, …, 100, 求c 的值. 解 ∑=+⋯++==10015050)10021(1n c c cn ＝解得 c ＝1/5050 .10. 如果p n ＝cn ＿2，n =1, 2, …, 问它是否能成为一个离散型概率分布，为什么?解 ,1121∑=∑∞=∞=n n n n c p 由于级数∑∞=121n n 收敛, 若记∑∞=121n n =a ,只要取ac 1=, 则有∑∞=1n n p =1,且p n ＞0. 所以它可以是一个离散型概率分布.11. 随机变X 只取1, 2, 3共三个值，其取各个值的概率均大于零且不相等并又组成等差数列，求X 的概率分布.解 设P {X ＝2}＝a ，P {X ＝1}＝a －d , P {X =3}=a +d . 由概率函数的和为1，可知a =31, 但是a －d 与a +d 均需大于零,因此｜d ｜＜31, X 的概率分布为其中d 应满足条件：0＜｜d ｜＜312. 已知{}λ-==e !m c λm X P m ,m =1, 2, …, 且λ＞0, 求常数c . 解{}∑∑∞=-∞====11e!1m m m m c m X p λλ由于∑∑∞=∞==+=10e !1!m mm mm m λλλ, 所以有∑∞=---=-=-=11)e 1(e )1e (e !m m c c m c λλλλλ 解得 λ--=e 11c13. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，直到有一人投中为止，假定甲、乙二人投篮的命中率分别为0.4及0.5，求： (1)二人投篮总次数Z 的概率分布； (2)甲投篮次数X 的概率分布； (3)乙投篮次数Y 的概率分布.解 设事件A i 表示在第i 次投篮中甲投中，j 表示在第j 次投篮中乙投中，i =1, 3, 5, …, j =2, 4, 6,…,且A 1, B 2, A 3, B 4，…相互独立.(1){}{}1222321112---=-=k k k A B A B A p k Z P = (0.6×0.5)1-k ·0.4= 0.4(0.3)1-k k=1, 2, …{})(2212223211k k k k B A B A B A p k Z P ---===0.5×0.6×(0.6×0.5)1-k =0.3kk=1, 2, …(2) {}{}12223211---==n n n A B A B A p n X P{}n n n n B A B AB A p 212223211---+)5.06.04.0()5.06.0(1⨯+⨯=-n,2,13.07.01=⨯=-n n (3) {}4.0)(01===A P Y P{}{}{}122121121211+--+==n n n n n A B A B A P B A B A P n Y P)4.05.05.0(6.0)5.06.0(1⨯+⨯⨯⨯=-n，2,13.042.01=⨯=-n n 14. 一条公共汽车路线的两个站之间，有四个路口处设有信号灯，假定汽车经过每个路口时遇到绿灯可顺利通过，其概率为0.6，遇到红灯或黄灯则停止前进，其概率为0.4，9求汽车开出站后，在第一次停车之前已通过的路口信号灯数目X 的概率分布(不计其他因素停车).解 X 可以取0, 1, 2, 3, 4 .P { X ＝0 } ＝0.4 P { X ＝1 }＝0.6×0.4＝0.24 P { X ＝2 } ＝0.62×0.4＝0.144 P { X ＝3 } ＝0.63×0.4＝0.0864 P { X ＝4 } ＝0.64＝0.129615. ⎩⎨⎧∈=.,0],[,sin )(其他，b a x x x f问f (x )是否为一个概率密度函数，为什么?如果(1).π23,)3( ;π,0)2( ;2π,0======b a b a b a π解 在［0, 2π］与［0, π］上，sin x ≥0,但是,1d sin π0≠⎰x x,1d sin 2π0=⎰x x 而在⎥⎦⎤⎢⎣⎡π23,π上,sin x ≤0.因此只有(1)中的a , b 可以使f (x )是一个概率密度函数.16. ⎪⎩⎪⎨⎧≤=-.0,00e)(,22x x cx x f cx ，＞其中c ＞0，问f (x )是否为密度函数，为什么?解 易见对任何x ∈(－∞ , ＋∞) , f ( x ) ≥ 0，又1d e 202=⎰-∞+x cx cxf (x )是一个密度函数 .17.⎩⎨⎧+=.0.2＜＜,2)(其他，a x a x x f问f ( x )是否为密度函数，若是，确定a 的值；若不是，说明理由. 解 如果f ( x )是密度函数，则f ( x )≥0，因此a ≥0，但是，当a ≥0时，444|d 2222≥+==⎰⨯++a x x a a a a 由于x x f d )(⎰+∞∞-不是1，因此f ( x )不是密度函数. 18. 设随机变量X ～f ( x )⎪⎩⎪⎨⎧∞++=.,0,,)1(π2)(2其他＜＜x a x x f 确定常数a 的值，如果P { a ＜ x ＜ b } ＝0.5，求b 的值.解)arctan 2π(2arctan π2d )1(π22a x x x a a-π==+⎰⎰+∞+∞ 解方程 π2⎪⎭⎫ ⎝⎛a arctan － 2π=1 得 a = 0{}b x x x f b x P b barctan π2|arctan π2d )(000==⎰=＜＜ 解关于b 的方程：π2arctan b =0.5 得 b =1.19. 某种电子元件的寿命X 是随机变量，概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥=.100,0,100100)(2＜x x x x f3个这种元件串联在一个线路中，计算这3个元件使用了150小时后仍能使线路正常工作的概率.解 串联线路正常工作的充分必要条件是3个元件都能正常工作. 而三个元件的寿命是三个相互独立同分布的随机变量，因此若用事件A 表示“线路正常工作”，则3])150([)(＞X P A P ={}32d 1001502150=⎰∞+x x X P ＝＞ 278)(=A P 20. 设随机变量X ～f ( x )，f ( x )＝A e－|x|，确定系数A ；计算P { |X | ≤1 }. 解 A x A x A x x 2d e 2d e10||=⎰=⎰=∞+-∞+∞--解得 A ＝21 {}⎰⎰---==≤10||11d e d e 211||x x X P x x632.0e 11≈-=-21. 设随机变量Y 服从［0, 5］上的均匀分布，求关于x 的二次方程4x 2＋4xY +Y +2=0有实数根的概率.解 4x 2+4xY +Y +2=0. 有实根的充分必要条件是△＝b 2－4ac =16Y 2－16(Y +2)=16Y 2－16Y －32≥0 设事件P (A )为所求概率.则{}{}{}120321616)(2-≤+≥=≥--=Y P Y P Y Y P A P=0.622. 设随机变量X ～ f ( x )，⎪⎩⎪⎨⎧-=.,01||,1)(2其他，＜x xcx f确定常数c ，计算.21||⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤X P 解 π|arcsin d 1111211c x c x x c ==-⎰=--c =π131arcsin 2d 1121||0212121 2=π=-π=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤⎰-xx x X P 23. 设随机变量X 的分布函数F ( x )为⎪⎩⎪⎨⎧≥=.1,1,10,0,0)(x x x A x x F ＜＜，＜ 确定系数A ，计算{}25.00≤≤X P ，求概率密度f ( x ). 解连续型随机变量X 的分布函数是连续函数，F (1)＝F (1－0)，有A ＝1.⎪⎩⎪⎨⎧=.,0,10,21)(其他＜＜x xx f {}5.0)0()25.0(25.00=-=≤≤F F X P24. 求第20题中X 的分布函数F ( x ) . 解 {}t x X P x F t xd e 21)(||-∞-⎰=≤= 当t ≤ 0时，x t xt x F e 21d e 21)(=⎰=∞- 当t ＞0时，t t t x F t x t t x d e 21d e 21d e 21)(-00||⎰+⎰=⎰=-∞--∞-x x ---=-+=e 211)e 1(212125. 函数(1+x 2)－1可否为连续型随机变量的分布函数，为什么? 解 不能是分布函数，因F (－∞)＝ 1 ≠ 0. 26. 随机变量X ～f ( x )，并且)1(π)(2x ax f +=,确定a 的值；求分布函数F ( x )；计算{}1||＜X P . 解 a x a x x a ==⎰+=∞+∞-∞+∞-arctan πd )1(π12因此a =1x xt t t x F ∞-∞-=⎰+=arctan π1d )1(π1)(2x arctan π121+= {}⎰+=⎰+=-12112d )1(π12d )1(π11||x x x x X P ＜21arctan π210==x27. 随机变量X 的分布函数F ( x ) 为：⎪⎩⎪⎨⎧≤-=.2,02,1)(2x x xA x F ，＞确定常数A 的值，计算{}40≤≤X P . 解 由F ( 2＋0 )＝F ( 2 )，可得4,041==-A A{}{})0()4(4X 040F F P X P -=≤=≤≤＜=0.7528. 随机变量X ～f ( x )，f ( x )＝,ee xx A-+确定A 的值；求分布函数F ( x ) .解 ⎰+=⎰+=∞∞-∞∞--x A x A xx x x d e 1e d e e 12A A x 2πe arctan ==∞∞-因此 A ＝π2，x txt t t x F ∞-∞--=+=⎰e arctan π2d )e e (π2)(x e arctan π2=29. 随机变量X ～f ( x )，⎪⎩⎪⎨⎧=.,00,π2)(2其他＜＜a x xx f确定a 的值并求分布函数F ( x ) .解 220222ππd π21a x x x a a ==⎰= 因此，a = π 当0＜x ＜π时，⎰=x x t t x F 0222πd π2)(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=π1,π0,π0,0)(22x x xx x F ＜＜ 30. 随机变量X 的分布函数为)0(0,e 22210,0)(22＞＞a x ax x a x x F ax⎪⎩⎪⎨⎧++-≤=-求X 的概率密度并计算⎭⎬⎫⎩⎨⎧a X P 10＜＜. 解 当x ≤ 0时，X 的概率密度f ( x ) ＝0；当x ＞ 0时，f ( x ) ＝F′ ( x )⎪⎩⎪⎨⎧≤=-.0,e 2,0,0)(23＞ x x a x x f ax)0()1(1010F a F a x P a x P -=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧＜＜＜08.0e 2511≈-=- 31. 随机变量X 服从参数为0.7的0－1分布，求X 2，X 2－2X 的概率分布.解 X 2仍服从0－1分布，且P { X 2＝0 } ＝P { X ＝0 } ＝0.3，P {X 2＝1}＝P {X＝1}＝0.7X 2－2X 的取值为－1与0 , P {X 2－2X ＝0}其他＝P { X ＝0 } ＝0.3P { X 2－2X ＝－1 } ＝1－P { X ＝0 } ＝0.732. 已知P { X ＝10n} ＝P { X ＝10-n}＝,,2,1,31=n n Y =l gX ，求Y 的概率分布.解 Y 的取值为±1, ±2 , …P { Y =n } =P { l gX =n } =P { X =10n } =31P { Y =－n } =P { l gX =－n } =P { x =10-n } ＝31 n ＝1 ,2 , …33. X 服从［a , b ］上的均匀分布，Y =ax +b (a ≠0)，求证Y 也服从均匀分布.证 设Y 的概率密度为f Y ( y ) ，X 的概率密度为f X ( x )，只要a ≠ 0，y = ax + b 都是x 的单调函数. 当a ＞ 0时，Y 的取值为［a 2+b , ab +b ］,ax y h b y a y h x y1)(,)(1)(='='-== ],,[,)(1])([)()(2b ab b a y a b a y h f y h y f X Y ++∈-='=当],[2b ab b a y ++∈时，f Y ( y ) =0.类似地，若a ＜0，则Y 的取值为［ ab +b , a 2+b ］⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤+--=.,0,,)(1)(2其他b a y b ab a b a y f Y因此，无论a ＞0还是a ＜0，ax +b 均服从均匀分布.34. 随机变量X 服从［0 , 2π］上的均匀分布Y =cos X , 求Y 的概率密度f Y ( y ).解 y =cos x 在［0, 2π］上单调，在(0 , 1)上，h ( y ) = x =arccos yh′ ( y ) = 211y -- , f x ( x ) = π2 , 0 ≤ x ≤ 2π. 因此⎪⎩⎪⎨⎧-=.0,10,1π2)(2其他，＜＜y yy f Y35. 随机变量X 服从(0 , 1)上的均匀分布，Y =e x, Z =｜ln X ｜，分别求随机变量Y 与Z 的概率密度f Y ( y ) 及f Z ( z ) .解 y = e x在(0 , 1)内单调 , x =ln y 可导，且x′y = y1, f X ( x ) =1 0 ＜ x ＜ 1 , 因此有⎪⎩⎪⎨⎧.,0,e 1,1)(其他 ＜＜y yy f Y在(0 , 1)内ln x ＜ 0｜ln x ｜=-ln x 单调，且x = e z -，x′z ＝－e z -，因此有⎩⎨⎧∞+=-.,0,0e )(其他＜＜，z z f z z36. 随机变量X ～f ( x ) ，⎩⎨⎧≤=-0,00,e )(x x xf x ＞ Y =X , Z = X 2 , 分别计算随机变量Y 与Z 的概率密度f y ( y ) 与f Z ( z ) .解 当x ＞ 0时，y =x 单调，其反函数为x = y 2 , x′y = 2y⎪⎩⎪⎨⎧≤=-.0,0,0,e 2)(2y y y y f y Y ＞当x ＞ 0时z ＝x 2也是单调函数，其反函数为x =z , x′ z =z21⎪⎩⎪⎨⎧≤=-.0,00e 21)(z ，z zz f zz ＞37.随机变量X ～f ( x )，当x ≥ 0时,)1(2)(2x x f +=π, Y =arctan X ,Z =X1,分别计算随机变量Y 与Z 的概率密度f Y ( y ) 与fz ( z ) . 解 由于y = arctan x 是单调函数，其反函数x =tan y , x′ y =sec 2y 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-2π,0内恒不为零，因此，当0 ＜ y ＜π2时，π2)tan 1(π2sec )(22=+=y y y f Y 即Y 服从区间(0 , 2π)上的均匀分布.z = x 1在x ＞0时也是x 的单调函数，其反函数x =z 1, x′ z =21z-.因此当z ＞0时，)1(π2])1(1[π21)(222z zz z fz +=+-=⎪⎩⎪⎨⎧≤+=0,00,)1(π2)(2z z z z f z ＞ 即Z =X1与X 同分布. 38. 一个质点在半径为R ，圆心在原点的圆的上半圆周上随机游动. 求该质点横坐标X 的密度函数f X ( x ) .解 如图，设质点在圆周位置为M ，弧MA 的长记为L ，显然L 是一个连续型随机变量，L 服从［0，πR ］上的均匀分布.⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0π0,π1)(其他，R l Rl f LM 点的横坐标X 也是一个随机变量，它是弧长L 的函数，且X ＝ R cos θ ＝ R cosRL函数x = R cos l / R 是l 的单调函数 ( 0＜ l ＜ πR ) ,其反函数为l ＝ R arccosRx 22xR R l x--='当－R ＜ x ＜ R 时，L′x ≠ 0，此时有2222π1π1)(x R R x R R x f X -=⋅--=当x ≤ －R 或x ≥ R 时，f X ( x ) ＝0 .39. 计算第2 , 3 , 5 , 6 , 11各题中的随机变量的期望. 解 根据第2题中所求出的X 概率分布，有2138223815138210=⨯+⨯+⨯=EX 亦可从X 服从超几何分布，直接计算2120521=⨯==N N nEX 在第3题中21161216611690=⨯+⨯+⨯=EX亦可从X 服从二项分布(2，41)，直接用期望公式计算：21412=⨯==np EX在第5题中(1) 3.122014220934492431=⨯+⨯+⨯+⨯=EX (2) 3.022013220924491430=⨯+⨯+⨯+⨯=EY在第6题中，25.2220843220108222027122010=⨯+⨯+⨯+⨯=EX在第11题中，⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=d 313312d 311EX图2-131｜＜d ＜｜0 d 22+=40. P { X = n } =nc, n =1, 2, 3, 4, 5, 确定C 的值并计算EX .解 160137543251==++++=∑=c c c c c c n c n13760=C 137300551==∑⋅==C n c n EX n 41. 随机变量X 只取－1, 0, 1三个值，且相应概率的比为1 : 2 : 3，计算EX .解 设P { X ＝－1 } ＝ a ，则P { X ＝0 } ＝2a , P { X ＝1 } ＝3a ( a ＞0 ) ，因a + 2a + 3a = 1 , 故a ＝1/631631620611=⨯+⨯+⨯-=EX 42. 随机变量X 服从参数为0.8的0－1分布，通过计算说明EX 2是否等于( EX )2? 解 EX ＝P { X ＝1 } ＝0.8，( EX )2＝0.64EX 2＝1×0.8＝0.8＞( EX )243. 随机变量X ～f ( x ) ，f ( x ) ＝0.5e - | x |，计算EX n，n 为正整数. 解 当n 为奇数时，)(x f x n是奇函数，且积分x x xn d e 0-∞⎰收敛，因此0d e5.0||=⎰=-∞+∞-x x EX x n n当n 为偶数时，x x x x EX x n x n n d e 5.02d e 5.00||-∞+-∞+∞-⎰=⎰=!)1(d e 0n n x x x n =+Γ=⎰=-∞+44. 随机变量X ～f ( x ) ，⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤=.,0,21,2,10,)(其他＜＜x x x x x f 计算EX n(n 为正整数) . 解 x x x x x x x f x EXn n n nd )2(d d )(21101⎰-+⎰=⎰=+∞+∞-1)2(21)12(122121-+--+++=++n n n n n )2()1(222++-=+n n n45. 随机变量X ～f ( x ) ，⎩⎨⎧≤≤=.,0,10,)(x cx x f bb ,c 均大于0，问EX 可否等于1，为什么?解 11d d )(10=+=⎰=⎰∞+∞-b cx cx x x f b 而2d 101+=⎰=+b cx cx EX b 由于方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+1211b c b c无解，因此EX 不能等于1. 46. 计算第6，40各题中X 的方差DX . 解 在第6题中，从第39题计算知EX ＝49， 22012152208492201084220272=⨯+⨯+=EX DX ＝EX 2－( EX )2≈0.46在第40题中，已计算出EX ＝137300, c cn n c n EX n n 15515122=∑=⨯∑=== =137900DX =EX 2-(EX )2≈1.7747. 计算第23，29各题中随机变量的期望和方差.其他其他解 在第23题中，由于f ( x ) ＝x21（0＜x ＜1）,因此31d 21=⎰=x xxEX51d 22102=⎰=x xx EXDX = EX 2－ ( EX )2 =454 在第29题中，由于f ( x ) ＝2π2x( 0＜x ＜π ) , 因此π32d π2π022=⎰=x xEX2πd π22π0232=⎰=x x EX DX ＝EX 2－ ( EX )2=18π248. 计算第34题中随机变量Y 的期望和方差. 解 EY =π2d 1π2d )(12=⎰-=⎰∞+∞-y y y y y yf Y EY 2=21d 1π21022=⎰-y y y DY =222π28ππ421-=-49. 已知随机变量X 的分布函数F ( x ) 为：F ( x ) =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+≤-++-.1,11022101,2211,022x x ，x x x x x x ，＜－，＜，＜计算EX 与DX .解 依题意，X 的密度函数f ( x ) 为：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-+=.010,101,1)(其他，＜，＜，x x x x x f解 EX ＝0d )1(d )1(0101=-⎰++⎰--x x x x x xEX 2=61d )1(d )1(102012=-⎰++⎰-x x x x x x DX =61 50. 已知随机变量X 的期望E X ＝μ，方差DX ＝σ2，随机变量Y = σμ-X , 求EY 和DY .解 EY =σ1( EX －μ ) ＝0 DY =2σDX=151. 随机变量Y n ～B ( n , 41) ,分别就n =1, 2, 4, 8, 列出Y n 的概率分布表，并画出概率函数图 .其中a = 1/65536 . 图略 .52. 设每次试验的成功率为0.8，重复试验4次，失败次数记为X ，求X的概率分布 . 解 X 可以取值0, 1, 2, 3, 4 .相应概率为P ( X ＝m ) ＝m m mC 2.08.0444⨯⨯-- ( m=0, 1, 2, 3, 4 ) 计算结果列于下表53. 设每次投篮的命中率为0.7，求投篮10次恰有3次命中的概率 ；至少命中3次的概率 .解 记X 为10次投篮中命中的次数，则 X ～B ( 10 , 0.7 ) .{}009.03.07.0373310≈==C X P{}{}{}{}21013=-=-=-=≥X P X P X P X P=1－0.310－10×0.7×0.39－45×0.72×0.38≈0.998454．掷四颗骰子，求“6点”出现的平均次数及“6点”出现的最可能（即概率最大）次数及相应概率.解 掷四颗骰子，记“6点”出现次数为X ，则X ～B （4，61）.EX = np =32由于np + p = 65，其X 的最可能值为［ np + p ］=0{}1296625)65(04===X P 若计算{}12965001==X P ，显然{}{},3,2==x P x P{}4=x P 概率更小.55．已知随机变量X ～B （n , p ），并且EX =3，DX =2，写出X 的全部可能取值，并计算{}8≤X P .解 根据二项分布的期望与方差公式，有⎩⎨⎧==23npq np 解方程，得q =32，p =31，n =9 .X 的全部可能取值为0, 1, 2, 3, …, 9 .{}{}918=-=≤X P X P= 1－9)31(≈ 0.999956．随机变量X ～B （n ，p ），EX =0.8，EX 2=1.28，问X 取什么值的概率最大，其概率值为何? 解 由于DX = EX 2－(EX)2=0.64, EX =0.8, 即⎩⎨⎧==8.064.0np npq 解得 q = 0.8，p = 0.2，n = 4 .由于np +p =1，因此X 取0与取1的概率最大，其概率值为{}{}4096.08.0104=====X P X P57．随机变量X ～B （n , p ），Y =e aX，计算随机变量Y 的期望EY 和方差DY .解 随机变量Y 是X 的函数，由于X 是离散型随机变量，因此Y 也是离散型随机变量，根据随机变量函数的期望公式，有 ｝｛ ｝｛∑+==∑==∑+==∑∑====-==-==-ni n a i n i a in ni ai ni na i n i a i n ni ni in i i n ai ai q p q p C i X P EY q p q p C qp C i X P EY 022022000)e ()e ()e ()e ()e (e en ap n ap q q DY 22)e ()e (+-+=58. 从一副扑克牌（52张）中每次抽取一张，连续抽取四次，随机变量X ，Y 分别表示采用不放回抽样及有放回抽样取到的黑花色张数，分别求X ，Y 的概率分布以及期望和方差. 解 X 服从超几何分布，Y 服从二项分布B （4，21）.)4,3,2,1,0(45242626===-m C C C m X P m m ｝｛)4,3,2,1,0()21()21(44===-m C m Y P mm m ｝｛具体计算结果列于下面两个表中.X 0 1 2 3 4 P46/833 208/833 325/833208/833 46/833Y 0 1 2 3 4 P1/164/166/164/161/161 2214171651485226522641252264211===⨯===⨯⨯⨯=--⋅⋅==⨯==npq DY np EY N n N N N N N n DX N N n EX 59. 随机变量X 服从参数为2的泊松分布，查表写出概率4,3,2,1,0,==m m X P ｝｛并与上题中的概率分布进行比较.X0 1 2 3 4 P0.13530.27070.27070.18040.090260．从废品率是0.001的件产品中，一次随机抽取500件，求废品率不超过0.01的概率. 解 设500件中废品件数为X ，它是一个随机变量且X 服从N=，1N =100，n =500的超几何分布.由于n 相对于N 较小，因此它可以用二项分布B （500，0.001）近似.又因在二项分布B （500，0.001）中，n =500比较大，而p =0.001非常小，因此该二项分布又可用泊松分布近似，其分布参数λ=np =0.5.}∑=≈≤=≤⎩⎨⎧=-505.0999986.0e !5.05X 001.0500m m m P XP ｝｛ 61.某种产品每件表面上的疵点数服从泊松分布，平均每件上有0.8个疵点，若规定疵点数不超过1个为一等品，价值10元；疵点数大于1不多于4为二等品，价值8元；4个以上者为废品，求： （1）产品的废品率； （2）产品价值的平均值解 设X 为一件产品表面上的疵点数目，（1）｝｛｝＞｛314≤-=X P X P ∑==-==30014.01m m X P ｝｛（2）设一件产品的产值为Y 元，它可以取值为0，8，10.)(61.98088.0101898.08 110418 10108800元｝｛｝＜｛｝｛｝｛｝｛≈⨯+⨯=≤+≤==⨯+=⨯+=⨯=X P X P Y P Y P Y P EY62．设书籍中每页的印刷错误服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误的页数与有2个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率.解 设一页书上印刷错误为X ，4页中没有印刷错误的页数为Y ，依题意，｝｛｝｛21===X P X P 即 λλλλ--=e !2e2解得λ=2，即X 服从λ=2的泊松分布.2e 0-===｝｛X P p显然Y ～B )e ,4(2-84e 4-===p Y P ｝｛63．每个粮仓内老鼠数目服从泊松分布，若已知一个粮仓内，有一只老鼠的概率为有两只老鼠概率的两倍，求粮仓内无鼠的概率. 解 设X 为粮仓内老鼠数目，依题意λλλλ--⨯====e !22e2212｝｛｝｛X P X P解得λ=1.1e 0-==｝｛X P。
经济数学基础习题答案
经济数学基础习题答案经济数学基础习题答案在学习经济学时，经济数学是一个必不可少的工具。
它帮助我们理解和分析经济现象，并提供了解决经济问题的方法。
然而，在学习经济数学时，我们经常会遇到一些难题，需要用到一些特定的技巧和方法。
在本文中，我将为你提供一些经济数学基础习题的答案，希望能帮助你更好地理解和应用这些知识。
1. 需求曲线和供给曲线的交点是市场均衡点。
求解市场均衡价格和数量。
答案：市场均衡点是需求曲线和供给曲线的交点。
需求曲线表示消费者对商品的需求量，供给曲线表示生产者提供的商品数量。
市场均衡价格是指消费者愿意购买的商品数量等于生产者愿意提供的商品数量时的价格。
市场均衡数量是指在市场均衡价格下，消费者愿意购买的商品数量等于生产者愿意提供的商品数量。
2. 计算弹性需求的公式是什么？如果价格上涨10%，需求量下降20%，该商品的价格弹性是多少？答案：弹性需求的公式是：价格弹性 = （需求量变化的百分比）/（价格变化的百分比）。
根据题目中的数据，需求量下降20%，价格上涨10%。
所以，价格弹性 = -20% / 10% = -2。
这意味着该商品的价格弹性为-2，即价格上涨10%，需求量下降20%。
3. 计算边际效用的公式是什么？如果某人消费第一个苹果的边际效用是10，第二个苹果的边际效用是8，第三个苹果的边际效用是6，那么他消费第四个苹果的边际效用是多少？答案：边际效用是指消费一个额外单位的商品所带来的额外满足感。
计算边际效用的公式是：边际效用 = （总效用变化）/（消费量变化）。
根据题目中的数据，第一个苹果的边际效用是10，第二个苹果的边际效用是8，第三个苹果的边际效用是6。
所以，第四个苹果的边际效用 = （6-8）/（3-2）= -2。
这意味着消费第四个苹果的边际效用是-2。
4. 计算利润的公式是什么？如果某公司的总收入是1000，总成本是800，那么该公司的利润是多少？答案：利润是指企业在生产和销售商品过程中所获得的净收益。
最新秋经济数学基础形考任务三网上作业参考答案资料
精品文档2018年秋季经济数学基础形考任务三网上作业参考答案2018年秋季国家开放大学经济数学基础网上作业此作业是针对单项选择题1 ）．=a设矩阵（，则的元素题目24选择一项： A. 2B. 1C. -2D. 32正确答案是：2 设，，则（）．题目选择一项：A.B.C.D.正确答案是：3设为有意义，则C为（）矩矩阵，且乘积矩阵矩阵，为题目阵．选择一项：A.精品文档．精品文档B.C.D.正确答案是：4 ）．设，为单位矩阵，则（题目选择一项：A.B.C.D.正确答案是：5设均为阶矩阵，则等式成立的充分必要条件是题目）．（选择一项：A. 均为对称矩阵或B.C.D.正确答案是：6下列关于矩阵的结论正确的是（）．题目选择一项：精品文档．精品文档，则若，且A.B. 若，，则C. 对角矩阵是对称矩阵均为零矩阵，则有D. 若正确答案是：对角矩阵是对称矩阵7 ）．设，，则（题目选择一项： A. -2B. 2C. 0D. 4: -2, 4正确答案是：8）．均为设阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（题目选择一项：A.B.C.D.正确答案是：9）．下列矩阵可逆的是（题目选择一项：A.精品文档．精品文档B.C.D.正确答案是：10 ）．，则（设矩阵题目选择一项：A.B.C.D.精品文档．精品文档正确答案是：11设）．均为阶矩阵，可逆，则矩阵方程的解（题目选择一项：A.B.C.D.正确答案是：12）．矩阵的秩是（题目选择一项： A. 1B. 3C. 2D. 02正确答案是：13 最小．）时，（，则当设矩阵题目选择一项： A. 2 精品文档．精品文档 B. 0C. 1D. -22正确答案是：14 的增广矩阵做初等行变换可对线性方程组题目得），其中是自由未知量．则该方程组的一般解为（选择一项：A.B.C.D.正确答案是：15 ）．（解，则0设线性方程组有非题目选择一项： A. 1B. 0C. -1精品文档．精品文档D.1正确答案是：16 ）时，方程组没有，且，则当（设线性方程组题目唯一解．选择一项：=0 t A.B.≠1t C.D.正确答案是：17线性方程组）．有无穷多解的充分必要条件是（题目选择一项：A.B.C.D.正确答案是：18 ）．，则方程组有解的充分必要条件是（设线性方程组题目选择一项：A.B.精品文档．精品文档C.D.正确答案是：19 的增广矩阵做初等行变换可对线性方程组题目得则当（）时，该方程组有唯一解．选择一项：A.且B.且C.D.正确答案是：20．）（若线性方程组有唯一解，则线性方程组题目选择一项：有无穷多解A.B. 只有零解C. 无解解不能确定D.精品文档．精品文档正确答案是：只有零解精品文档．。
经济数学基础参考答案
经济数学基础参考答案经济数学基础参考答案经济数学作为经济学的基础学科，是一门研究经济现象和经济问题的数学方法和工具的学科。
它主要包括微观经济学中的边际分析、优化理论、均衡分析等内容，以及宏观经济学中的增长理论、稳定性分析等内容。
下面将对一些经济数学基础问题给出参考答案。
1. 边际分析边际分析是微观经济学中的重要工具，用于研究经济主体在面临选择时的决策行为。
边际效用是指消费者对于某种商品消费量的微小变动所带来的满足程度的变化。
边际成本是指生产者在生产过程中增加或减少一单位产品所需要的额外成本。
2. 优化理论优化理论是经济数学中的核心内容之一，用于研究经济主体在面临有限资源时如何做出最优决策。
最优化问题可以通过建立数学模型，并运用微积分方法求解。
例如，消费者的最优消费组合可以通过构建效用函数和预算约束条件，利用拉格朗日乘数法求解。
3. 均衡分析均衡分析是经济学中的一个重要概念，用于研究市场中供求关系的平衡状态。
市场均衡是指市场上商品的供给量与需求量相等的状态。
通过建立供求函数，可以求解市场均衡价格和数量。
当市场价格高于均衡价格时，供大于求，市场会出现过剩；当市场价格低于均衡价格时，求大于供，市场会出现短缺。
4. 增长理论增长理论是宏观经济学中的一个重要领域，研究经济增长的原因和机制。
经济增长可以通过生产函数来描述，其中包括劳动力、资本和技术进步等要素。
经济增长模型可以分为新古典增长模型、内生增长模型等。
新古典增长模型强调资本积累对经济增长的作用，内生增长模型则将技术进步视为经济增长的内生因素。
5. 稳定性分析稳定性分析是宏观经济学中的一个重要内容，研究经济系统的稳定性和动态行为。
稳定性分析可以通过线性化和稳定性条件来进行。
线性化是将非线性模型在均衡点附近进行线性近似，从而简化分析。
稳定性条件是指系统在均衡点附近的特征根的实部小于零，即稳定性矩阵的特征值为负。
以上是对经济数学基础问题的一些参考答案。
经济数学作为经济学的基础学科，对于理解和分析经济现象和经济问题具有重要意义。
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厦门大学网络教育2018-2019学年第一学期
《经济数学基础上》离线作业解答
学习中心： 年级： 专业： 学号： 姓名： 成绩：
一、单项选择题（每小题3分，共２４分）
1．函数
y =的定义域是( C ) . A ．[1,1]-； B ．1(e ,e)-； C ．1(e ,1]-； D ．(0,1].
2．下列各对函数中，为同一函数的是（ A ）
A ．;ln 2)ln(2x y x y ==与
B ．x y x y tan 2)2tan(==与；
C ．2
)(x y x y ==与； D ．1112+-=-=x x y x y 与。
3．设函数()y f x =在0x x =处有定义，且0x x <时，()0f x '>；0x x >时，()0f x '<，则0x x =为函数()y f x =的（ C ）.
A ．驻点；
B ．极大值点；
C ．极小值点；
D ．以上都不对.
4．函数3
212y x x =-在区间(1,3)内满足（ D ）．
A. 单调上升；
B. 单调下降；
C. 先单调上升再单调下降；
D. 先单调下降再单调上升. 5．设生产x 个单位的总成本函数为C （x ）=7x 2012
x 2
++，则生产6个单位产品时的边际成本是（ C ）
A.6
B.20
C.21
D.22 6．设=)(x f x
x )21ln(-，当补充定义=)(x f ( D )时，)(x f 在x =0点连续。
A. 1 B. 2 C. e 2 D. 2- 7．函数71423-+=x x y 在),(+∞-∞内( B )。
A. 单调减少
B. 单调增加
C. 图形上凸
D. 图形下凸 ８．设函数)(x f 可导，又)(x f y -=，则'y =（ B ）
A.)('x f
B.)('x f --
C.)('x f -
D.)('x f -
二、填空题（每小题4分，共20分）
1．++∞→n n n
n )2(lim 2e 。
2．设)(x e f y -=, 则=dx
dy )(x x e f e --'- 。
3．设122(1),0()e ,0x kx x x f x x ⎧⎪++≠=⎨⎪=⎩
，在0=x 处连续，则2k =.
4．设某商品的需求量Q 是价格P 的函数， )(P Q Q ==P e 005.03-=（0>P ），则价格P 为100单位时，需求对价格的弹性为 2
1 。
5．设某产品生产x 单位的总成本函数120
110)(2
x x C +=，则生产120单位产品时 的边际成本是 2 。
三、计算题（每小题8分，共40分）
1、求0lim
sin 3x x x
→。
解： x 3sin x lim 1→x =1lim →x x 3cos 31=31。
2、求tgx
x x )21ln(lim 0++→。
解：00ln(12)2lim lim 2x x x x tgx x
++→
→+== 3、求1x
→
解：
()11122
1
11x x x x →→→-==
()11121lim 222
x x →→===+
4、已知y =dx dy 。
解：1'2y x
=。
5、已知ln(y x =，求
dx
dy 。
解：'y =。
四、应用题（10分）
设长方形的长与宽的3倍之和为18，那么长方形的长和宽各为多少时，长方形的面积为最大？
解：设长方形的宽为x ，则长为183x -，于是，面积为(183)y x x =-.
令1860y x '=-=，则3x =（惟一驻点），又60y ''=-<，故长为9，宽为3 时，长方形的面积最大. 五、证明题（6分）
证明：当0x >时，2
ln (1).2
x x x -<-- 证明：设2
()ln (1).2
x f x x x =-++. 因为21()+1011x f x x x x '=-+=-<--，故函数()f x 在(0,)+∞上单调减少.
于是，当0x >时，()(0)f x f <，即2
ln (1).2
x x x -<--。