第四章：z分数、正态分布和概率教材课程
新教材高中数学第四章概率与统计25正态分布课件新人教B版选择性
【补偿训练】 设随机变量 X～N(0，1)，
Φ(0.25) ＝0.598 7，Φ(0.51) ＝0.695 0，求：
(1)Φ－0.25 ；
(2)P(0.25<X≤0.51) .
【解析】(1)Φ－0.25 ＝1－Φ(0.25) ＝1－0.598 7＝0.401 3. (2)P(0.25<X≤0.51) ＝P(X<0.51) －P(X<0.25) ＝Φ(0.51) －Φ(0.25) ＝0.695 0－0.598 7
数学考试试卷满分是 150 分，设在一次考试中，某班学生的分数 X 近似服从正态 分布，且均值为 110，标准差为 20. (1)求这个班在这次数学考试中分数在 90 分以上的概率； (2)若这个班的学生共 54 人，求这个班在这次数学考试中 130 分以上的人数．
【解析】(1)由题意可知，分数 X～N(110，202)，μ＝110，σ＝20， P(X≥90)＝P(X≥110－20)＝P(X≥μ－σ)， 因为 P(X≤μ－σ)＋P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＋P(X≥μ＋σ) ＝2P(X≤μ－σ)＋0.683＝1，所以 P(X≤μ－σ)＝0.158 5， 所以 P(X≥90)＝1－P(X≤μ－σ)＝1－0.158 5＝0.841 5.
为什么 σ 决定正态曲线的“胖瘦”？ 提示：σ 越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ 越小，
说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”．
2．正态分布
(1)定义：一般地，如果随机变量 X 落在区间a，b 内的概率，总是等于 φμ，σ(x) 对
应的正态曲线与 x 轴在区间a，b 内围成的_面___积___，则称 X 服从参数为 μ 与 σ 的正 态分布，记作 X～N(μ，σ2)，此时_φ__μ_，__σ_(_x_)__称为 X 的概率密度函数，μ 是 X 的 __均__值___，σ 是 X 的__标__准__差___，σ2 是则D(X)等于( ) A．0.8 B．0.64 C．0.642 D．6.4 【解析】选B.因为X～N(10，0.64)，所以D(X)＝0.64.
正态分布示范教案
正态分布示范教案第一章：正态分布的定义与特征1.1 引入：通过现实生活中的例子（如考试分数、人的身高等）引导学生了解正态分布的概念。
1.2 讲解正态分布的定义：一个连续型随机变量X服从正态分布，如果其概率密度函数为f(x) = (1/σ√(2π)) e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))，其中μ是分布的均值，σ是分布的标准差。
1.3 分析正态分布的特征：均值、标准差、对称性、拖尾现象等。
1.4 练习：让学生通过图表或计算器观察正态分布的特性。
第二章：正态分布的参数估计2.1 引入：讲解参数估计的概念，以及正态分布参数估计的重要性。
2.2 讲解均值和标准差的点估计：利用样本均值和样本标准差来估计总体均值和总体标准差。
2.3 讲解置信区间：以样本均值为例，讲解如何计算置信区间，并解释其含义。
2.4 练习：让学生运用给出的数据，计算正态分布的均值和标准差的点估计，以及置信区间。
第三章：正态分布的假设检验3.1 引入：讲解假设检验的概念，以及正态分布假设检验的应用。
3.2 讲解单样本Z检验：通过给出样本数据，引导学生了解如何进行正态分布的单样本Z检验。
3.3 讲解两样本Z检验：通过给出两个样本数据，引导学生了解如何进行正态分布的两样本Z检验。
3.4 练习：让学生运用给出的数据，进行正态分布的假设检验。
第四章：正态分布的应用4.1 引入：讲解正态分布在日常生活中的应用，如质量控制、医学等领域。
4.2 讲解正态分布的应用案例：如某产品的质量控制，如何利用正态分布进行控制限的确定。
4.3 讲解正态分布在其他领域的应用：如医学中正常值的判断、心理测量等。
4.4 练习：让学生通过实例，运用正态分布解决实际问题。
第五章：总结与拓展5.1 总结：回顾本章所讲内容，让学生掌握正态分布的定义、特征、参数估计和假设检验。
5.2 拓展：讲解其他连续型分布，如t分布、卡方分布等，以及它们与正态分布的关系。
5.3 练习：让学生运用所学的知识，解决更复杂的实际问题。
正态分布 课件
总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。
正态分布在概率和统计中占有重要地位。
4、正态曲线的性质
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（μ－σ，μ＋σ]
0.6826
（μ－2σ，μ＋2σ]
0.9544
（μ－3σ，μ＋3σ]
0.9974
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
（4）曲线与x轴之间的面积为1.
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)
（5）若 固定, 随 值的变化而沿x轴平移, 故 称为位置参数
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定 .σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
5、特殊区间的概率:
m-a
m+a
x=μ
若X~N ,则对于任何实数a>0,概率 为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面积随着 的减少而变大。这说明 越小, 落在区间 的概率越大，即X集中在 周围概率越大。
4
0.04
[0.5,1)
8
0.08
[1,1.5)
15
0.15
[1.5,2)
22
0.22
[2,2.5)
25
0.25
[2.5,3)
14
0.14
[3,3.5)
6
0.06
[3.5,4)
4
0.04
[4,4.5)
2
0.02
11
高尔顿钉板实验的 频率分布直方图
这条曲线具有 “中间高，两头低” 的特征，像这种类型的曲线, 就是（或近似地是）以下函数的图像:
卫生统计学七版 第四章常用概率分布剖析
二项分布的概率函数
n为总例数，X为得到其中一种结果的 次数，
为得到这种结果的概率 ， !为阶乘
n！ n （n 1 ） （n 2） 1 0! 1 例: 3! 3 2 1 6
例4 （ 1 P63） 用针灸治疗头痛，假定结果不是 有效就是无效，每一例有效的概率为。某医生用此 方法治疗头痛患者3例， 2例有效的概率是多少？ P( X )C X X (1 )n X n 2 2 3 2 P(2)C (1 ) 3
（ 1 ）估计身高在 130cm以上者所占比例 查附表1得： （ 1.46 ） 0.0721
Z分布
该地8岁男孩身高在130cm以上者约占该地8岁男孩总数 的7.21%。
(2)身高在120～128cm者占该地8岁男孩总数的百分比
120 123.02 z1 0.63 4.79 128 128 123.02 z2 1.04 4.79 120
二项分布的正态近似计算方法：
Poisson分布的正态近似计算方法：
例5-15（P76） 即例5-6，某地钩虫感染率为 13%，如果随机抽查当地150人，至少有20人感染钩虫的 概率有多大？
例4 （ 2 P64） 如果例4 -1中 0.6，随机治疗3例，有效 例数为0例、 1例、 2例和3例的概率各多大？ 1例及1例以上有 效的概率多大？ n 3 X 0
0 .6
P(0) C 0 0 (1 )30 3 P(0) 10.60 0.43 0.064
3! 321 0 C 1 3 0! (30) ! 1321 P( X 1) 1 P(0) 10.0640.936
第二节
Poisson分布
正态分布完整课件
正态分布完整课件一、教学内容本节课的教学内容选自人教版小学数学六年级下册第117页至119页，主要学习了正态分布的概念及其图形表示。
通过本节课的学习，让学生能够理解正态分布的特点，学会绘制正态分布图，并能够运用正态分布解决实际问题。
二、教学目标1. 理解正态分布的概念，掌握正态分布图的绘制方法。
2. 能够运用正态分布解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 培养学生的观察能力、动手操作能力和团队协作能力。
三、教学难点与重点重点：正态分布的概念及其图形表示。
难点：正态分布图的绘制方法和在实际问题中的运用。
四、教具与学具准备教具：PPT、黑板、粉笔、正态分布图模板。
学具：笔记本、尺子、圆规、剪刀、彩笔。
五、教学过程1. 情景引入：教师通过展示一组身高数据，引导学生观察数据的分布情况，引发学生对分布图的兴趣。
2. 自主学习：学生自主阅读教材，了解正态分布的概念，并尝试绘制正态分布图。
3. 课堂讲解：教师通过PPT讲解正态分布的特点，演示正态分布图的绘制方法，并解释正态分布在实际生活中的应用。
4. 动手操作：学生分组合作，根据给定的数据绘制正态分布图，并交流分享绘制心得。
5. 例题讲解：教师通过PPT展示典型例题，讲解解题思路，引导学生运用正态分布解决实际问题。
6. 随堂练习：学生独立完成随堂练习题，巩固所学知识。
8. 课后作业：学生完成课后作业，进一步巩固正态分布的知识。
六、板书设计板书内容：正态分布的特点、正态分布图的绘制方法、正态分布的应用。
七、作业设计数据：一组学生的身高（单位：cm）：140, 145, 150, 155, 160, 165, 170, 175, 180。
答案：略答案：略八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课通过引导学生观察实际数据，激发学生对正态分布的兴趣。
在课堂讲解过程中，注意运用PPT和黑板辅助教学，使学生更好地理解正态分布的概念和图形表示。
同时，通过分组合作和动手操作，培养学生的团队协作能力和观察能力。
医学统计学. 正态分布及其应用
表4.6 参考值范围的制定
45
例4.24 某地调查正常成年男子200人的红 细胞数，得均数 X =55.26×1012/L，标准 差S=0.38×1012/L，试估计该地正常成年 男子红细胞数的95%参考值范围。
46
解：该地正常成年男子红细胞数的95%参考值范围为
下限：
X－1.96S =55.26 － 1.96×0.38=54.52(×1012/L)
生不同位置、不同形状正态分布， （x1，x2）范围内的面积也不同， 计算起来很麻烦。
22
三、标准正态分布 为了计算方便，对于正态或近似正态 分布的资料，只要得出均数和标准 差，可通过标准转化，转化成求标 准正态曲线下横轴自-∞到z的面积。 为了便于应用，统计学家按Φ(z)编 制了标准正态分布曲线下的面积表， 由此表可查出曲线下某区间的面积， 这样就可对符合正态分布资料的频 数分布作出估计。
曲线下在区间(μ－2.58σ，μ＋2.58σ)的面积为99%。
16
■μ士σ范围内的面积占正态曲线下面积的68.27％，也
就是说有68.27％的变量值分布在此范围内。
68.27%
-
+
17
μ士1.64σ范围内的面积占正态曲线下面积的90％，也就是 说有90％的变量值分布在此范围内。
90%
5%
线,近似于数学上的正态分布曲线。
7
一.正态分布的概念和特征
1.正态分布的概念
在医学卫生领域中，许多变量的频 数分布是中间(靠近均数处)频数多，两边 频数少，且左右对称。如人体的许多生 理、生化指标等。这种变量的频数分布 规律可用概率论中的一种重要的随机变 量分布—正态分布(Normal distribution)加 以描述。
概率论与数理统计之正态分布
转化为标准正态分布
P(8100 Yn 10000)
标准化
P 2.5
Yn np np(1 p)
50
(50) (2.5) 1 0.9938 0.0062
37
例：某电站供应10000户居民用电，设在高峰时每户用电的概率为0.8 各用户用电多少是相互独立的，求：
(1)同一时刻有8100户以上用电的概率； (2)若每户用电功率为100W，则电站至少需要多少电功率才能保证以
1
z2
e 10 , z R
10
§4.4 二维正态分布
定义： 二维随机变量 (X ,Y )服从二维正态分布，记作
(
X
,Y
)
~
N(x
,
y
,
2 x
,
2 y
,
r)
其中 x, y ,x 0, y 0, r( r 1) 是参数.
26
§4.4 二维正态分布
定理1：设二维连续随机变量
(X
,Y
)
~
N(x
,
Q /100 8000 1.96
Q 807840
38
40
39
15-16，五. 设每个零件上的瑕疵点个数服从泊松分布P(1)，现 随机抽取100个零件，根据中心极限定理，求100个 零件上总瑕疵点个数不多于120个的概率.
正态分布的前世今生
一、邂逅，正态曲线的首次发现 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理，4.5节
二、寻找随机误差分布的规律（正态分布的确立） 三、正态分布的各种推导 四、正态分布开疆扩土 五、正态魅影
正态分布性质，4.3节
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
定义：设随机变量 X 的概率密度为
正态分布大数定律与中心极限定理
0
1 e 2
x2 2
2 dx 2
0
1 e 2
x2 2
dx 1
第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理பைடு நூலகம்
0
1 （ 2 ）(0) ； 由（ 1 ）容易得到（ 2 ）。 2 （3） x 1 x
1 e 2
x2 2
dx
P ( X x ) F ( x )且F ( x )
x
f ( x )dx ，或f ( x ) F ( x )
x2 x1
P ( x1 X x 2 ) F ( x 2 ) F ( x1 ) f ( x )dx
第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理
1.正态变量的密度函数 设连续型随机变量 X 的概率密度为 ( x ) 1 f ( x) e 2 , x 2
2 2
和标准正态密度
1 ( x) e 首先都具有一般密度函 数的非负规范性，另外 ， 2 标准正态密度由于是偶 函数，还具有对称区间 积分的特殊性
f ( x )dx ( x )dx 1且 ( x )是偶函数
1 e 2
x2 2
2 dx 2
( x )2 2 2
dx
t x
k k t e dt 2
t2 2
则： k 0
z
t2 2
k 1, 3, 5,
k
2 k
k 2
2
k
2
0 t e dt
k
2
4.2.5 正态分布 课件(共44张PPT)- 高中数学人教B版(2019)选择性必修第二册.ppt
为正态分布的“3 原则”.
例 2 假设某个地区高二学生的身高服从正态分布，且均值为 170（单位： cm， 下同），标准差为 10. 在该地区任意抽取一名高二学生，求这名学生的身高：
（1）不高于 170 的概率； （2）在区间 [160，180] 内的概率； （3）不高于 180 的概率.
假设 ∼ (100，0.5)，那么 ( ) = 50， ( ) = 25 ，用正态分布
近似二项分布的话有 ∼ (50，52)，那么 P(X 50) P(49.5 X 50.5)
P
0.1
X
50 5
0.1
.
又因为
X
5
50
N
(0，1)
，所以
P
0.1
X
5
50
0.1
=
Φ(0.1)
−
Φ( − 0.1) = Φ(0.1) − [1 − Φ(0.1)] = 2 Φ(0.1) − 1 = 2 × 0.5398 − 1 = 0.0796.
（4）所有矩形的面积之和为 1.
事实上，很多服从二项分布的随机变量分布列的直观图都具有类似的特点. 例如，若
∼
50 ，1 2
，则其 分布列 可用图 （1）表示 ；若
∼
100
，1 2
，则其
分布列 可用图 （2）表示
.
由以上三图可以看出，当 充分大时， ∼ ( , ) 的直观表示总是具有中间 高、两边低的“钟形”. 而且，对不同的参数，只是钟形的宽度和高度不一样而已. 那 么，是否存在一个函数 ( )，它对应的图象能够近似这些钟形（如图（2）所示） 呢？如果这样的函数存在的话，要计算 落在某区间内的概率，只需计算对应曲 线与 轴在适当区间所围成的面积即可.
第四章 概率与概率分布
第三节 随机变量及其分布
一、 随机变量 （一） 随机变量的定义
表示随机现象观测结果的变量称为随机变量。随 机变量可用X、Y、Z……表示。 （二）随机变量的类型 1、离散型随机变量
只能取有限个或可列个孤立值的随机变量称为离 散型随机变量。 2、连续型随机变量
取值连续充满某一区间的随机变量称为连续型随 机变量。
二 、随机变量的概率分布
（一）离散型随机变量的概率分布 掌握一个离散型随机变量的概率分布规
律，必须掌握两点： 1、随机变量X所取的可能值是什么？ 2、随机变量X取每一个可能值的概为多少？
p( X x1) p1, p( X x2 ) p2 , p( X xn ) pn
离散型随机变量的分布规律可用分布列 的形式来表示。
Y yi
P(Y yi ) Pi
0 0.14
1 0.22
2 0.64
离散型随机变量的概率分布具有下面两 个重要性质：
1、随机变量取任何值时，其概率都是非负 的。即 P1≥0， ≥P02 ，…… ≥0P。n 2、随机变量取遍所有可能值时，相应的概 率之和等于1，即
n
pi 1
i 1
P（-0.52<u<1.34） = P（–∞<u<1.34）- P（–∞<u<-0.52） =0.9099 - 0.3015 =0.6084
2、已知u的取值落入某一区间的概率 ， 求u值。 [例13]已知P（u<x）=0.0869，求x P（u<x）=0.0869 查标准正态分布表（1） P（–∞<u<-1.36）=0.0869 即P（u<-1.36）=0.0869 X=-1.36
第二节 随机事件的概率
4 第4章 z-score,probability and binormial
# A outcomes probability ( A) total # outcomes
Population
4 p(black) 80% 5
28
…然后猜测样本
?
总体1
Inferential Statistics
样本
?
总体2
是来自哪个总体?
29
正态曲线
Y 1 2s
2
e
( X m ) 2 / 2s 2
100%的总体 包括在曲线下方
30
正态曲线
1. 正态曲线的形状肖似一口挂钟，呈对称分 布。其均值、中数、众数对应于同一个数 值。 2. 大部分的原始分数都集中分布在均值附近， 极端值相对而言是比较少的。 3. 曲线两端向靠近横轴处不断延伸，但始终 不会与横轴相交。正态分布是最常见的分 布， 单峰和具对称性.
z
( X m)
s
z2
z
(76 70) 3
3
70
X = 76
8
z 分布中的Z 分数(分布3)
m=0 s=1 zx = 2
1
0
zx = 2
9
分布间的比较
m s X z
82 70 70
12 12 3
76 76 76
-.5 .5 2
10
我们可以把分布按标准差分成6份
m = 70 s=3 70 + 3 = 73 70 + 6 = 76 70 - 3 = 67
70 - 6 = 64
3
64
67
70
73
76
11
由Z分数转换回原始分数
如果分布中的总体/样本的均值和标准 差已知，Z分数也可转换回原始分数。
正态分布示范教案
正态分布示范教案【教案】一、教学目标1.知识目标：学生掌握正态分布的基本概念、标准正态分布的性质和正态分布的标准化方法。
2.能力目标：学生能够根据给定的正态分布的参数，计算相应的概率和区间。
3.情感目标：培养学生对数理统计的兴趣，增强数学思维和计算能力。
二、教学内容1.正态分布的基本概念及性质2.标准正态分布3.正态分布的标准化方法三、教学过程1.导入（10分钟）通过一个问题引入正态分布的概念，例子：“班级100名同学的数学考试成绩呈正态分布，平均成绩为70分，标准差为8分，问有多少学生的成绩在60分到80分之间？”引导学生思考并预测。
2.普及正态分布的概念（20分钟）简述正态分布的定义和性质，并引导学生理解正态分布的特点和应用，如图形呈钟形对称，均值、中位数和众数相等，标准差决定了曲线的陡缓程度等。
3.标准正态分布的引入（15分钟）引导学生了解标准正态分布的概念及特性，如均值为0，标准差为1，曲线在x轴两边分别为无穷远。
引导学生思考标准正态分布与一般正态分布的关系。
4.标准化方法的介绍（20分钟）通过具体的例子，教师示范如何将一般正态分布标准化为标准正态分布。
引导学生理解标准化的意义和方法，并进行实际操作练习。
5.应用计算（25分钟）通过多个实际问题，让学生应用所学的知识计算正态分布概率和区间。
如计算一些数值对应的标准分数，计算一段区间内的概率等。
6.总结与拓展（10分钟）总结正态分布的基本概念、标准正态分布的性质和正态分布的标准化方法，引导学生思考正态分布的实际应用领域，拓展学生的思维。
四、教学资源与评价教学资源：教材、白板、标准化表格等。
评价方式：课堂练习、小组讨论、个人作业等。
五、教学反思。
第4章 概率及正态分布
正态分布的概率
概率是曲线下的面积! 概率是曲线下的面积!
ϕ (x )
P(a ≤ x ≤ b) = ∫ f (x)dx = ?
a
b
a
b
x
左右各一个标准差范围内的面积：68.27% 左右各一个标准差范围内的面积：68.27%; 左右各一个标准差范围内的面积：95.45% 左右各一个标准差范围内的面积：95.45%; 左右各一个标准差范围内的面积：99.73% 左右各一个标准差范围内的面积：99.73%;
第四节 大数定理与中心极限定理
大数定理
少量的随机现象是没有稳定性规律的； 少量的随机现象是没有稳定性规律的； 大量随机现象构成的总体，呈现的规律具有稳定性， 大量随机现象构成的总体，呈现的规律具有稳定性，有关 这一系列的定理， 大数定理； 这一系列的定理，称大数定理； 大数定理有：贝努里大数定理、切贝谢夫大数定理； 大数定理有：贝努里大数定理、切贝谢夫大数定理；P163 大数定理说明了大量现象的稳定规律：频率值趋于概率值， 大数定理说明了大量现象的稳定规律：频率值趋于概率值， 平均值趋于期望值。 平均值趋于期望值。 例如，一家一户，在自然的生育的情况下， 例如，一家一户，在自然的生育的情况下，生男生女纯属 偶然，但统计成千上万户的结果后，其性别比约为1/2将 偶然，但统计成千上万户的结果后，其性别比约为 将 是稳定的。 是稳定的。 所以，大数定理是把偶然性因素消除掉， 所以，大数定理是把偶然性因素消除掉，使共性表现出来 大数定理抽样调查的大样本（ ≧ 大数定理抽样调查的大样本（n≧50)提供了理论基础 提供了理论基础
正态分布的概率密度与分布函数
Φ(x) 1
x t2
e 2 dt .
2 π
(x) 的性质：
(0) 0.5; () 1; (x) 1 (x).
§4、1 正态分布得概率密度与分布函数
例1、设X服从标准正态分布N (0 ,1) , 求
(1) P( X 1.96); (2) P(1.6 X 2.5).
解: (1) P( X 1.96) (1.96) 0.975;
求导得到 Y 的概率密度
fY ( y)
1
1 y
y 2e 2,
2π0,y 0; y Nhomakorabea.所得的分布称为自由度为1的 2分布.
§4、1 正态分布得概率密度与分布函数
小结
1.正态分布N ( , 2 )的概率密度：
f (x)
1
2 π
e
(
x )2 2 2
,
x
.
2.标准正态分布N (0 ,1)的概率密度与分布函数：
2
e t2 2dt
所以,
D(X ) 2 , (X ) .
x t
2π ,
§4、2 正态分布得数字特征
正态分布的参数 是该分布的数学期望,另一个 参数 是该分布的标准差.
正态分布得概率密度完全由数学期望和方差决定、
§4、2 正态分布得数字特征
定理2、设随机变量 X 服从正态分布，则k 阶中心矩
则 X 的数学期望为 _____ , 方差为 ______.
解: X 的概率密度可以写为
f (x)
1 2π
1
exp[
(x 2(
1)2 1 )2
]
2
2
由此可知, X ~ N (1 , 1) . 于就是有E,( X ) 1 , D( X ) 1.
正态分布说课课件
四、教学方法分析
教学 问题1
如何引导学生理解正态分布？
教学 如何引导学生了解正态分布的特征？ 问题2 启发引导法：引导学生观察正态曲线和动图展示，了解σ和μ的实际意义
如何引导学生建立正态分布模型解决问题？ 教学 问题3
五、教学过程分析
提创出问设题情境 引入新课
高斯：正态分布
提问出问题题探究 新课讲解
设计意图：通过数学史的介绍，提升学生对本节课的兴趣
复第二习环旧节知：问题探究、新课讲解
前面学习了离散型随机变量，那么，对于连续型随机变量我们该如何研究呢？
问题1：(1) 如何描述这100个样本误差数据的分布?
(2) 如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布?
追问：随着样本数据量增大，分组 越来越多，组距越来越小，得到的 图形有什么特征？
设计意图：通过对动画的展示，让学生感悟参数μ和σ对正态曲线的影 响，以及结合离散型随机变量的研究，了解μ和σ的实际意义
问题4：观察正态分布曲线我们可以知道，是一个对称图形，那么下面 我们来看一下特殊区间内的概率
若X ~ N (, 2 ),则
3 原则
P( X ) 0.6827;
P( 2 X 2 ) 0.9545;
问题2 观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点?
追问 正态分布曲线是如何刻画随机变量的概率分布的呢？
设计意图：通过问题2和追问，让学生发现并总结正态曲线的性质，提升学生 逻辑推理和数学直观想象核心素养
第三环节：问题思考，性质探究
问题3 一个正态分布由参数μ和σ完全确定，这两个参数对正态曲线的形 状有何影响? 它们反映正态分布的哪些特征?μ和σ的意义是什么？
7.5 正态分布
CONTENTS
《正态分布》说课稿
《正态分布》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《正态分布》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程、板书设计这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析《正态分布》是高中数学选修 2-3 中的重要内容，它是概率论与数理统计中的核心概念之一。
正态分布在实际生活中有着广泛的应用，例如，学生的考试成绩、产品的质量指标、人群的身高体重等许多随机变量都近似地服从正态分布。
通过对正态分布的学习，学生能够更好地理解随机现象，掌握用概率统计的方法解决实际问题的能力。
本节课是在学生已经学习了随机变量及其概率分布的基础上进行的，为后续学习其他统计知识奠定了基础。
二、学情分析学生在之前的学习中已经接触了离散型随机变量及其概率分布，对概率的概念和计算有了一定的了解。
但正态分布是连续型随机变量的概率分布，其概念和性质相对抽象，学生理解起来可能会有一定的困难。
此外，学生的数学运算能力和逻辑推理能力还有待提高，在教学中需要注重引导和启发。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解正态分布的概念和正态曲线的特点。
（2）掌握正态分布的概率计算方法。
（3）能够运用正态分布解决实际问题。
2、过程与方法目标（1）通过观察正态曲线，培养学生的观察能力和分析能力。
（2）通过推导正态分布的概率计算公式，培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生感受数学与实际生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
（2）培养学生严谨的科学态度和勇于探索的精神。
四、教学重难点1、教学重点（1）正态分布的概念和正态曲线的特点。
（2）正态分布的概率计算方法。
2、教学难点（1）正态曲线特点的理解。
（2）正态分布的概率计算。
五、教法与学法1、教法为了突出重点、突破难点，我将采用讲授法、直观演示法和启发式教学法相结合的教学方法。
通过直观演示正态曲线，让学生获得感性认识；通过讲授法，让学生系统地掌握正态分布的知识；通过启发式教学法，引导学生思考问题，培养学生的思维能力。
正态分布z分数
正态分布z分数
正态分布的 Z 分数，也称标准正态分布的 Z 分数，通常表示一个数值在标准正态分布曲线上的位置，以标准差为 1 和均值为 0 的标准正态分布为基准。
Z 分数可以用来标准化（标准化）任何正态分布，以便进行比较和统计推断。
计算 Z 分数的公式如下：
X Z
μσ−
=
其中：
• Z 是 Z 分数。
• X 是原始数据点。
•μ 是总体的均值（或样本的均值）。
•σ 是总体的标准差（或样本的标准差）。
Z 分数的计算将原始数据点减去均值，然后除以标准差，从而将数据标准化为标准正态分布。
在标准正态分布中，Z 分数为 0 表示数据点与均值相等，正的Z 分数表示数据点高于均值，负的Z 分数表示数据点低于均值。
Z 分数还可以用于计算累积分布函数（CDF），以确定数据点落在某个值以下的概率。
在统计学中，Z 分数常用于假设检验、置信区间计算和标准化数据。
这使得 Z 分数成为一个非常有用的工具，用于分析和比较不同数据集的分布。
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➢心理学的抽样 ➢概率是指从某个总体中得到特定样本的可能性
概率
概率
应该怎么抽才是随机取样？
随机取样
➢总体中的每个个体有同样的机会被选择 ➢抽样时所选择的样本中的个体不止一个
每次抽取的概率都一样
抽到圣诞老人的概率
5 9
抽到圣诞老人的概率
4
回置取样
8
回置取样
➢Sampling with replacement ➢一种取样方法，在选择下一个个体（下次取样
Z分数、正态分布 和概率
By 甘廷婷
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开心一刻
影响心理学的40项研究： 人类依恋
➢ 基本实验
➢ 铁丝妈妈 vs 绒布妈妈
– “一个是柔软、温暖的母亲， – 一个是有着无限耐心、可以24小时提供
奶水的母亲”
➢ 刚出生小猴 ➢ “证明了爱存在三个变量：
– 触摸、运动、玩耍
➢ 将新生婴儿要直接放在母亲的肚子上；抚摸 ➢ 仅仅向婴儿提供奶瓶是不够的，还必须抱着婴儿来回摇动，并且要对其
Z1 X-1* Z1
Z分数与原始分数
➢如果一名男性在IQ测试得分为130，Z分数？ ➢如果一名男性在IQ测试得分为90，Z分数？
一名学生在某测验中所得的z分数为-0.5，该测验的均值为20， 标准差为8，那么该学生所对应的原始分数是多少呢？
Z分数与原始分数
Z分数与原始分数
➢Z分数可以将整个分布标准化
微笑道
的积极刺激，让孩子能够感到父母的存在，并能从他们那里得到安全感
影响心理学的40项研究： 人类依恋
➢“绝望之井”实验
– 黑屋子；头朝下 – 那只猴子后来出现了严重的、持久的、抑郁性的精神病理学
行为 – 即使在放出来9个月之后，还是抱着胳膊呆呆坐着，而不像
➢若将一个分布中的所有原始分数转化为z分数 ，所得的新分布就被称为z分数分布，也叫标 准分布（standardized distribution）
➢总体：
Z X -
➢样本
_ Z X -X
s
标准分布的转化
概率
➢推论统计所必需的概念 ➢根据样本的信息推断总体信息实际是一个概率 ➢日常生活中的概率
一般的猴子东张西望探索周遭
➢早期严重而持久的孤立——恐惧 ➢长期剥夺幼童的母爱——儿童沮丧、绝望、焦
虑
➢父母尽量避免与孩子的长期分离。
➢ 第一次的离差是15，第二次是20，第二次好吗？ ➢ 标准差反映的是个体和平均值的距离的平均值 ➢ 考虑相对于标准差的距离 ➢ 第一次：
– （85-70）/5=3 – 与均值的距离是3个标准差 ➢ 第二次：
– (90-70)/7=2.86 – 与均值的距离是2.86个标准差
你如何解释76分数？
你如何解释76分数？
变化了平均 值的结果
你如何解释76分数？
变化了标准 差的结果
Z分数与原始分数
Z X -
➢原始分数大于平均数：z符号为“+” ➢原始分数小于平均数：z符号为“-” ➢Z分数的含义：
原始分数与均值之间相差几个标准差
之前），将每个已选择个体放回总体
正态分布
正态分布的特征
标准差不同的正态分布
标准正态分布
➢正态分布通过标准化过程得到标准正态分布
➢整个曲线下面积为1，介于横轴上任意两点a、 b之间的曲线下的面等于a<X<b的概率
正态分布与概率
正态分布与概率
正态分布的特征
➢形状与原始分布完全相同
– 对称、偏态 – 每个分数的相对位置
➢均值为=0 ➢标准差=1
例题1
附表1： z对应的 概率是右侧
例题2
例题3
➢插值法 ➢标准IQ测验的平均分是100，标准差是15，如
果你想在考试中位于前15%，则你必须考多少 分？
例题4
谢谢大家