导数及其应用同步练习及答案

第一章 导数及其应用1.1 变化率与导数1. 设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，函数的改变量y ∆为【 】 A .()x x f ∆+0 B .()x x f ∆+0 C .()x x f ∆⋅0 D .()()00x f x x f -∆+2. 一质点运动的方程为221t s -=，则在一段时间[]2,1内的平均速度为【 】 A .－4 B .－8 C .6 D . －63. 曲线=y x x 32+在2x =处的切线的斜率为【 】A . 7B . 6C . 5D . 4 4. 在曲线12+=x y 的图象上取一点（1，2）及附近一点()y x ∆+∆+2,1，则xy ∆∆为 【 】A .21+∆+∆xxB .21-∆-∆xx C .2+∆x D .xx ∆-∆+125. 将半径为R 的球加热，若球的半径增加R ∆，则球体积的平均变化率为【 】 A .()()2324443R R R R R πππ⋅∆+⋅∆+∆ B .()224443R R R R πππ+⋅∆+∆C .24R R π⋅∆D .24R π6.某质点的运动方程是2(21)s t t =--，则在t=1s 时的瞬时速度为 【 】A ．－1B ．－3C ．7D ．137.物体按照s (t )=3t 2+t +4的规律作直线运动，则在4s 附近的平均变化率为 . 8.已知物体的运动方程是23(s t t t=+秒,s 米)，则物体在时刻t = 4时的速度v = .9.求2x y =在0x x =附近的平均变化率.10． 求曲线y =f (x )=x 2+1在点P (1，2)处的切线方程.11.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和第5h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．1.2 导数的运算1. 函数y = (2x ＋1) 3在x = 0处的导数是 【 】A .0B .1C .3D .6 2.函数y =x 2co sx 的导数为 【 】 A . y ′=2x co sx －x 2s i nx B . y ′=2x co sx +x 2s i nx C . y ′=x 2co sx －2xs i nx D . y ′=x co sx －x 2s i nx 3. 已知函数f (x ) = a x 2 ＋c ，且(1)f '=2 ， 则a 的值为 【 】A .1B .2C .－1D . 04. 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 【 】 A ．(x - 1)3+3(x - 1) B ．2(x - 1)2 C ．2(x - 1) D ．x – 15.若函数()f x 的导数为221x -+，则()f x 可以等于 【 】 A . .321x -+ B .1x + C ..4x - D .323x x-+6.函数2sin(2)y x x =+导数是【 】A ..2cos(2)x x +B .22sin(2)x x x +C .2(41)cos(2)x x x ++D .24cos(2)x x + 7.设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()221f x x x f '=+⋅，则()0f '等于【 】A .0B .4-C .2-D .2 8. 若xex f 1)(-=，则0(12)(1)limt f t f t→--=.9．设函数32()2f x x ax x '=++， (1)f '= 9，则a = . 10.函数2x y a =的导函数是 .11. 求下列函数的导数：（1）y =21x； （2）y = (2x 2 – 5x + 2)e x ； （3）y =32121xxx++； （4）lny =.1.3 导数在研究函数中的应用1. 函数1x 3x )x (f 23+-=是减函数的区间为【 】A . (2,)+∞B . (,2)-∞C . (,0)-∞D . (0,2)2.下列结论中正确的是【 】 A . 导数为零的点一定是极值点B . 如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极大值C . 如果在x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极小值D . 如果在0x 附近的左侧0)('<x f ，右侧0)('>x f ，那么)(0x f 是极大值 3.函数3()34f x x x =-，[0,1]x ∈的最大值是【 】 A .1 B .12C .0D .-14．设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则【 】 A ．3a >- B ．3a <- C ．13a >- D ．13a <-5. 函数2()2ln f x x x =-的递增区间是【 】A .1(0,)2B .11(,0)(,)22-+∞及 C .1(,)2+∞ D .11(,)(0,)22-∞-及6.对于R 上可导的任意函数f （x ），且'(1)0f =若满足（x －1）f x '（）>0，则必有【 】 A .f （0）＋f （2）<2f （1） B .f （0）＋f （2）≥2f （1） C .f （0）＋f （2）>2f （1） D .f （0）＋f （2）≥2f （1）7.已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为【 】 A .－1<a <2 B .－3<a <6 C .a <－1或a >2 D .a <－3或a >68. 已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间] ,[2a 上的最大值为433， 则a 等于【 】A . －23 B .21 C . －21 D . －21或－239.函数y ＝223a bx ax x x f +++=)(在1=x 时， 有极值10， 那么b a ,的值为 . 10．函数()ln 0)f x x x x = (>的单调递增区间是 ．11. 已知c 2bx 3x )x (f 3++=， 若函数)x (f 的一个极值点落在x 轴上， 求23c b +的值. 12. 已知函数,a x 9x 3x )x (f 23+++-= (1) 求)x (f 的单调递减区间；(2) 若)x (f 在区间]2,2[ -上的最大值为20， 求它在该区间上的最小值. 13.设函数()(0)kx f x xe k =≠（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若函数()f x 在区间(1,1)-内单调递增，求k 的取值范围.1.4 生活中的优化问题举例1.把总长为16 m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 m2. 2.将正数a 分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成_____和___.3.在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为___时，它的面积最大4.有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？ 5.学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm 2，上、下两边各空2dm ，左、右两边各空1dm .如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？6. 当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？7.某厂生产产品x 件的总成本32()120075c x x=+(万元)，已知产品单价P(万元)与产品件数x足:2k P x=，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少件时总利润最大？8．已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，求这种矩形中面积最大者的边长．9. 一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？10.请您设计一个帐篷.它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图所示）.试问当帐篷的顶点O 到底面中心1o 的距离为多少时，帐篷的体积最大？ 【注：1,3VS h V S h=⋅=⋅ 柱体底锥体底】11.某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x （单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积）1.5 定积分的概念1．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区【 】 A ．［0，2e ］ B ．［0，2］ C ．［1，2］ D ．［0，1］ 2．已知自由落体运动的速率gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为【 】 A ．320gt B ．20gt C ．220gt D ．620gt3. 曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积是【 】A .4B .52C .3D .24．dx e e x x ⎰-+1)(=【 】A ．ee 1+B ．2eC ．e2 D ．ee 1-5．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为【 】 A ．294e B ．22e C ．2e D ．22e6．如果1N 力能拉长弹簧1cm ，为将弹簧拉长6cm ，所耗费的功是【 】 A ．0.18 B ．0.26 C ．0.12 D ．0.287．将边长为1米的正方形薄片垂直放于比彼一时为ρ的液体中，使其上距液面距离为2米，则该正方形薄片所受液压力为【 】A ．⎰32dx x ρ B ．()⎰+212dx x ρ C ．⎰1dx x ρ D ．()⎰+321dx x ρ8．将和式)21 (2)111(lim nn n n +++++∞→表示为定积分 ．9．曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为．10.设物体的速度v 与时间t 的函数关系为v ＝v (t)，那么它在时间段[a ，b ]内的位移s 用定积分表示为 .11．计算定积分21(1)x dx +ò.12. 一物体按规律x ＝b t 3作直线运动，式中x 为时间t 内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x ＝0运动到x ＝a 时，阻力所作的功．1.6 微积分基本定理1.下列各式中，正确的是【 】 A .)()()(///a fb f dx x f ba -=⎰ B .)()()(///b f a f dx x f ba-=⎰C .)()()(/a fb f dx x f ba-=⎰D .)()()(/b f a f dx x f ba-=⎰2.已知自由落体的运动速度g gt v (=为常数)，则当[]2,1∈t 时，物体下落的距离是【 】 A .g21 B .g C .g23 D .g 23.若,2ln 3)12(1+=+⎰adx xx 则a 的值是【 】A .6B .4C .3D .2 4. 12x dx ⎰等于【 】A .14B .12C .13D .25.)(x f 是一次函数，且⎰⎰==1010617)(,5)(dx x xf dx x f ，那么)(x f 的解析式是【 】A .34+xB .43+xC .24+-xD .43+-x6. 计算定积分：dx x x ⎰+20)sin (π＝ .7. 计算下列定积分：（1）⎰--312)4(dx x x ；（2）dx x ⎰-222cos ππ.8. 计算dxx⎰421.9. 计算dx e x 21⎰.10．求曲线xxx y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积．1.7 定积分的简单应用1.由x xy ,1=轴及2,1==x x 围成的图形的面积为【】A .ln 2B .lg 2C . 12D .12.由曲线[])(.,,,),0)()((b a b x a x b a x x f x f y <==∈≤=和x 轴围成的曲边梯形的面积S = 【 】A .()b a f x dx ⎰B . ()b a f x dx -⎰C .[]()b a f x a dx -⎰D .[]()baf x b dx -⎰3. 如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm 处，则克服弹力所做的功为【 】A . 0.28JB . 0.12JC . 0.26JD . 0.18J4. 给出以下命题：⑴若()0ba f x dx >⎰，则f (x )>0； ⑵20sin 4x dx =⎰π；⑶f (x )的原函数为F (x )，且F (x )是以T 为周期的函数，则0()()aa T Tf x dx f x dx +=⎰⎰；其中正确命题的个数为【 】 A . 1 B . 2 C . 3 D . 05．一质点做直线运动，由始点起经过t s 后的距离为s =41t 4- 4t 3 + 16t 2，则速度为零的时刻是【 】A .4s 末B .8s 末C .0s 与8s 末D .0s ，4s ，8s 末6.一物体在力()41F x x =-(单位:N)的的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x =1m 处运动到x =3m 处， 则力()F x 所作的功为【 】A . 10JB . 12JC . 14JD . 16J7．已知)(x f 为一次函数，且10()2()f x x f t dt =+⎰，则)(x f = .8.一质点在直线上从时刻t =0秒以速度34)(2+-=t t t v （米/秒）运动，则该质点在时刻t =3秒时运动的路程为 .9. 一物体沿直线以速度()23v t t =-（t 的单位为:秒，v 的单位为:米/秒）的速度作变速直线运动，求该物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程?10. 求曲线1y x=和2y x =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积. 11.求抛物线2x y =与直线x y x y 2,==所围图形的面积．参考答案第一章 导数及其应用1.1 变化率与导数1.D2.D3. A4.C5.B6.B7. 253t +∆8. 125169. 2020)(x x x y -∆+=∆，所以xx x x xy ∆-∆+=∆∆220)(xx xx x x x x ∆+=∆-∆+∆+=02202022所以2x y =在0x x =附近的平均变化率为x x ∆+02. 10.22210[(1)1](11)2|limlim2x x x x x xy xx=∆→∆→+∆+-+∆+∆'===∆∆，所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为22(1)y x -=-即20x y -=. 11.在第2h 时和第5h 时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(5)f 根据导数定义，0(2)()f x f x f xx+∆-∆=∆∆22(2)7(2)15(27215)3x x x x+∆-+∆+--⨯+==∆-∆所以0(2)limlim (3)3x x f f x x∆→∆→∆'==∆-=-∆同理可得:(6)f '=3.在第2h 时和第5h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-和3，说明在2h 附近，原油温度大约以3 C /h 的速率下降，在第5h 附近，原油温度大约以3C /h 的速率上升．1.2 导数的运算1.D2.A3.A4.A5.D6.C7.B8. e2-（或12--e ） 9.6 10. 2ln x y a a =11. 【解析】利用导数公式及运算法则进行运算.（1）y = x –2 ，y ′= –2x –2 – 1 = – 2x –3 = –32x（或y ′=422)()1(xx x'-='）= –2x –3 = –32x.（2））y ′ = (2x 2 – 5x + 2) ′e x + (2x 2 – 5x + 2) (e x ) ′= (4x – 5) e x + (2x 2 – 5x + 2) e x = (2x 2 – x – 3) e x （3）y ′ =)1()2()1(32'+'+'xx x = (x –1) ′ + (2x –2) ′ + (x –3) ′ = –x –2 – 4x –3 –3x –4 = –432341xxx--.(4）可看成ln ,y u u ==， v = x 2 + 1复合而成.x u v xy y u v ''''=⋅⋅=1211(2)2v x u -⋅⋅1221(1)22x x -=+⋅21xx ==+.1.3 导数在研究函数中的应用1.D2.B3.A4.B5.C6.C7. D8.D9.43113a a b b ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩或 10. 1[,)e+∞ 11.b3x 3)x (f 2+='， 设)x (f 的极值点为（)0,m ， 则0)m (f ,0)m (f ='=所以,0b 3m 30c 20b 3m 23⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⨯+ 所以,0c 2bm 2,0c 2bm 3bm =+=++-所以22c )bm (=，,c )b (b 22=-所以.0c b 23=+12. (1) .9x 6x 3)x (f 2++-='令1x 0)x (f -<⇒<'或,3x > 所以函数)x (f 的单调递减区间为)1,(--∞ ， ),3(∞+ .(2) 因为,a 2a 18128)2(f +=+-+=- ,a 22a 18128)2(f +=+++-=所以)2(f )2(f ->. 因为在)3,1( -上0)x (f >'， 所以)x (f 在]2,1[ -上单调递增， 又由于)x (f 在]1,2[-- 上单调递减，因此)2(f 和)1(f -分别是)x (f 在区间]2,2[ -上的最大值和最小值， 于是有2a 20a 22-=⇒=+. 故,2x 9x 3x )x (f 23-++-=因此72931)1(f -=--+=-， 即函数)x (f 在区间]2,2[ -上的最小值为7-.13. （1）()()()()''1,01,00kx f x kx e f f =+==，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =.（2）由()()'10kx f x kx e =+=，得()10x k k=-≠，若0k >，则当1,x k ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，当1,,x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，若0k <，则当1,x k ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，当1,,x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，（3）由（2）知，若0k >，则当且仅当11k-≤-，即0<1k ≤时，函数()f x ()1,1-内单调递增， 若0k <，则当且仅当11k -≥，即1k ≥-时，函数()f x ()1,1-内单调递增，综上可知，函数()f x ()1,1-内单调递增时，k 的取值范围是[)(]1,00,1- .1.4 生活中的优化问题举例1. 162.2a2a3.23R4.（1）正方形边长为x ，则V =（8－2x )·(5－2x )x =2(2x 3－13x 2+20x )(0<x <25)V ′=4(3x 2－13x +10)(0<x <25)，V ′=0得x =1 根据实际情况，小盒容积最大是存在的，∴当x =1时，容积V 取最大值为18. 5.设版心的高为x dm ，则版心的宽为128xdm ，此时四周空白面积为128512()(4)(2)12828,0S x x xx xx=++-=++>.求导数，得'2512()2S x x=-.令'2512()20S x x=-=，解得16(16x x ==-舍去）.于是宽为128128816x==.当(0,16)x ∈时，'()S x <0；当(16,)x ∈+∞时，'()S x >0.因此，16x =是函数()S x 的极小值，也是最小值点.所以，当版心高为16dm ，宽为8dm 时，能使四周空白面积最小.答：当版心高为16dm ，宽为8dm 时，海报四周空白面积最小.6. S =2Rh π+22R π⇒h =RR S ππ222-⇒V (R )=RR S ππ222-πR 2=3221)2(21RSR R R S ππ-=-)('R V )=026R S π=⇒ ⇒R h R Rh R 222622=⇒+=πππ．7.258.设位于抛物线上的矩形的一个顶点为（x ，y ），且x ＞0，y ＞0， 则另一个在抛物线上的顶点为（－x ，y ）， 在x 轴上的两个顶点为（－x ，0）、（x ，0），其中0＜ x ＜2． 设矩形的面积为S ，则S ＝2 x （4－x 2），0＜ x ＜2． 由S′（x ）＝8－6 x 2＝0，得x ＝332，易知x ＝34是S 在（0，2）上的极值点， 即是最大值点，所以这种矩形中面积最大者的边长为332和38．9.假设每次进书x 千册，手续费与库存费之和为y 元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即2x，故有y ＝x150×30＋2x ×40，y′＝－24500x＋20， 令y′＝0，得x ＝15，且y″＝39000x，f″(15)＞0，所以当x ＝15时，y 取得极小值，且极小值唯一， 故 当x ＝15时，y 取得最小值，此时进货次数为15150＝10（次）．即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少．10.设正六棱锥的高为x m ，则正六棱锥底面边长为（单位：m ）.于是底面正六边形的面积为（单位：m 2）：236((9)42S x==- .帐篷的体积为（单位：m 3）：22321())1)(3)3927)2322V x x x x x x x x ⎡⎤=-+=-+=--++⎢⎥⎣⎦(13)x <<求导数，得2()23)2V x x x '=-+-；令()0V x '=解得x =-3(不合题意，舍去)，x =1.当0<x <1时，()0V x '>，V(x )为增函数；当1<x <3时，()0V x '<，V(x )为减函数. 所以当x =1时，V(x )最大.即当OO 1为2m 时，帐篷的体积最大.11.设楼房每平方米的平均综合费用为()f x 元，则 ()()2160100001080056048560482000f x x x x x⨯=++=++()10,x x Z+≥∈()21080048f x x '=-， 令 ()0f x '= 得 15x =当 15x > 时，()0f x '>；当 015x <<时，()0f x '< 因此当15x =时，()f x 取最小值()152000f =；答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层.1.5 定积分的概念1.B2.C3.C4.D5.D6.A7.A8.dxx⎰+111 9.dx x ⎰-12)1( 10. ()bas v t dt =ò11.所求定积分是1,201x x y y x ====+，与所围成的梯形面积，即为如图阴影部分面积，面积为52.即：215(1)2x dx +=ò.12. 物体的速度233)(btbt dtdx V ='==．媒质阻力9)3(t kb bt k kv F zu ===k 为比例常数，k>0．当x =0时，t=0；当x =a 时，311)(bat t ==，又ds=vdt ，故阻力所作的功为327713032032727727)3(111ba kt kb dt bt k dt v k dt v kv ds F W t t t zu zu ====⋅==⎰⎰⎰⎰.1.6 微积分基本定理1.C2.C3.D4.C5.A6.218π+ 7. （1）203（2）π28.2ln 2ln 4ln ln 14242=-==⎰xdx x. 9.1022121021)2(21xxxex d edx e ==⎰⎰)1(212-=e .10. 首先求出函数xx x y 223++-=的零点：11-=x ，02=x ，23=x .又易判断出在)0 , 1(-内，图形在x 轴下方，在)2 , 0(内，图形在x 轴上方，所以所求面积为dx x xxA ⎰-++--=0123)2(dx x xx ⎰++-+223)2(1237=.1.7 定积分的简单应用1.A2.B3.D4.B5.D6.C7.1x -8. 0米 9.∵当302≤≤t 时，()230≤v t t =-；当352≤≤t 时，()230≥v t t =-.∴物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程352302(32)(23)S t dx t dx =-+-⎰⎰=9929(10)442++=(米).10. 曲线1y x =和2x y =在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y =－x +2和y =2x －1，它们与x 轴所围成的三角形的面积是43.11.解两个方程组⎩⎨⎧==x y x y ,2和⎩⎨⎧==xy x y 2,2得抛物线与两直线的交点分别为)1,1(与)4,2(．故所求面积为21S S S +=dx x x dx x x )2()2(2211-+-=⎰⎰67=．37.710≈⨯（J ）．作 者 于华东责任编辑 庞保军。