压杆的临界应力
材料力学10压杆稳定_1欧拉公式
◆ 本例中，三杆截面面积基本相等，但由于其形状不同， Imin 不
同，致使临界力相差很大。最合理的截面形状为圆环形。
14
[例3] 图示各杆均为圆形截面细长压杆。已知各杆的材料及直径相 等。问哪个杆先失稳？ 解：由于各杆的材料及 截面均相同，故只需比
1.3 a F F F
较其相当长度 l 即可
a
杆A： 2 l 2a
F
F
2 1
0.7
压杆两端固定可轴向移动：
0.5
6
上述弹性压杆临界力的计算公式称为欧拉公式
Fc r
π 2 EI
l
2
说明： 1）欧拉公式的适用范围：线弹性（ ≤ p）
2）在压杆沿各个方向约束性质相同的情况下（即各个方向上 的 相等），I 应取最小值 3） l 称为压杆的相当长度
2
2000年10月25日上午10 时，南 京电视台演播中心由于脚手架 失稳使屋顶模板倒塌，导致死 6 人，伤 34 人。
3
2010年1月3日，通往昆明新机场的一座在建桥梁施工时因 支撑结构中的压杆失稳而坍塌，共导致 40 余人死伤。
4
二、压杆的临界力 使压杆由稳定向失稳转化的轴向压力的界限值称为压杆的临界力， 记作 Fcr 。即当 F ＜ Fcr ： 压杆稳定 F ≥ Fcr ： 压杆失稳 亦可将压杆的临界力 Fcr 理解为使压杆失稳的最小轴向压力
hb3 1 Iy 90 403 48 108 m 4 12 12
根据欧拉公式，此压杆的临界力
Fcr
π 2 EI y l
2
23.8 kN
11
[例2] 一端固定，一端自由的中心细长压杆。已知杆长 l = 1m , 材 料的弹性模量 E = 200 GPa。当分别采用图示三种截面时，试计算 其临界力。
压杆的临界应力
a
1和b
是与材料有关的常数，可从有关的手册中查到。
1
2、scr=sS时，不存在失稳问题，应考虑强度问题强度破
坏，采用强度公式：
scr s s
三、临界应力总图
例1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ三根材料、长度均相同、两端均为球铰支座的细 长杆结构，各自的截面形状如图，求三根杆的临界应力 之比以及临界力之比。
解：
s cr a :s cr b :s cr c
②柔度(细长比)： l L
i
2.欧拉公式应用范围：
①线弹性状态下的大柔度杆：slj≤sp，即
p 2E l2
≤s
p
说明： 在推导欧拉公式时,使用了挠曲线的近似微分方程，
在推导该方程时, 应用了胡克定律。因此，欧拉公式也 只有在满足胡克定律时才能适用。
∴
l≥
p 2E sp
lp
3.注意 对于A3钢，E=200GPa，sp=200MPa：
A
E BC
[FNC ] 245kN
F2
[Nc ] 1.36
180kN
a
a
F D a
10-5 提高压杆稳定性的措施
一、从材料方面考虑 1.细长压杆：提高弹性模量E
2.中粗压杆和粗短压杆：提高屈服强度ss
二、从柔度方面考虑 1.采用合理的截面形状： （1）各方向约束相同时：
1)各方向惯性矩I相等—采用正方形、圆形截面； 2)增大惯性矩I—采用空心截面； （2）压杆两方向约束不同时：使两方向柔度接近相等， 可采用两个主惯性矩不同的截面，如矩形、工字形等。
p2E
l
2 1
p2E : l22
p2E
:
l
4PB应力计算公式
4PB应力计算公式
临界应力的计算公式就是欧拉公式：r+ v- e= 2。
具体情况介绍：
1、压杆处于临界平衡状态时(fp=fpcr )，其横截面上的正应力称为临界应力。
材料在力的作用下将发生变形。
通常把满足虎克定律规定的区域称弹性变形区。
把不满足虎克定律和过程不可逆的区域称塑性变形区。
由弹性变形区进入塑性变形区称之为屈服。
其转折点称为屈服点。
该点处的应力称为屈服应力或临界应力。
2、确定压杆的临界力是计算稳定问题的关键，临界力既不是外力，也不是内力。
它是压杆在一定条件下所具有的反映它承载能力的一个标志。
不同的压杆具有不同的临界力，它的大小与压杆的长度、截的形状和尺寸、两端的支承情况以及材料的性质有关。
细长杆（λ≥λ1）的临界力计算式——欧拉公式
长度系数μ：两端固定μ=0.5
一端固定，另一端铰支：μ=0.7
两铰支：μ=1
一端固定，另一端自由：μ=2
3、临界力计算的一般步骤：
①确定长度系数μ。
若压杆两端的支承情况在四周相同，则μ值相同。
若压杆的支承在两个形心主惯性平面内的约束条件不同，则应分别选用相应的长度系数μ（μx或μy）的值。
②计算柔度l。
根据压杆的实际尺寸，及两端的约束情况，分别计算出在两个形心主惯性平面内的柔度，从而得到lmax。
③确定临界力的计算式。
根据最大的柔度λmax，确定压杆的类型及临界力的计算公式。
细长压杆的临界力公式—欧拉公式.
细长压杆的临界⼒公式—欧拉公式.10.2 细长压杆的临界⼒公式—欧拉公式⼀、两端铰⽀压杆的临界⼒图9—4为两端受压杆件，⼈们经过对不同长度（l ），不同截⾯（I ），不同材料（E ）的压杆在内⼒不超过材料的⽐例极限时发⽣失稳的临界⼒P cr 研究得知： 22lPcr EI=π（9—1）式中：π—圆周率；E —材料的弹性摸量；l —杆件长度；I —杆件截⾯对⾏⼼主轴的惯性矩。
图9-4当杆端在各⽅向的约束情况相同时，压杆总是在抗弯刚度最⼩的纵向平⾯内失稳，所以（9-1）式中的惯性矩应取截⾯最⼩的形⼼惯性矩I min 。
瑞⼠科学家欧拉（L.Eular ）早在18世纪，就对理想细长压杆在弹性范围的稳定性进⾏了研究。
从理论上证明了上述（9-1）式是正确的，因此（9-1）式⼜称为计算临界⼒的欧拉公式。
⼆、杆端⽀承对临界⼒的影响图9-5（a）（b）（c）（d）⼯程上常见的杆端⽀承形式主要有四种，如图9-5所⽰，欧拉进⼀步研究得出各种⽀承情况下的临界⼒。
如⼀端固定，⼀端⾃由的杆件，这种⽀承形式下压杆的临界⼒，只要在（9-1）式中以2l 代替l 即可。
()222l P cr EI=π（a ）同理，可得两端固定⽀承的临界⼒为()225.0l P cr EI=π（b ）⼀端固定，⼀端铰⽀压杆的临界⼒为 ()227.0l P cr EIπ（c ）式（a ），(b)，(c)和（9-1）可归纳为统⼀的表达式()22l P cr µπEI = （9-2）式中l µ称为压杆计算长度，µ称为长度系数，⼏种不同杆端⽀承的各µ值列于表9—1中，µ反映了杆端⽀承情况对临界⼒的影响。
表9-1 各种杆端⽀承压杆的长度系数图例9.1 图⽰轴⼼受压杆，截⾯⾯积为10mm ?20mm 。
已知其为细长杆，弹性模量E=200GPa ，试计算其临界⼒。
2m20图9-6单位：mm解：由杆件的约束形式可知：7.0=µ4333min1067.112102012mm hb I I y ?=?===临界⼒：223320010 1.67101076.2 1.076()(0.7 2.510)cr EI P N kN l ππµ====?? 三、临界应⼒和柔度在临界⼒的作⽤下，细长压杆横截⾯上的平均应⼒叫做压杆的临界应⼒，⽤cr σ表⽰。
工程力学28-压杆的临界应力
——重点
（1） P cr S时： cr 临界a应力总b图
cr
a b
s
a s b
s
s p称为中柔度杆，用经验公式求其临界应力。
（2） S 时： cr S
S 称为小柔度杆，其临界应力为屈服极限。
目录
4
总结：
•压杆柔度
l μ的四种取值情况
i
i
I A
•临界柔度
P
2E P
9-
与长度、截面性质、约束条件有关
目录
4
2
2.欧拉公式的适用范围 着眼点——临界应力在线弹性内（小于比例极限）
cr
2E 2
P
2E P
P
P 时称为大柔度杆（或长细杆），用欧拉公式求临界力；
P 时称为中、小柔度杆,不能用欧拉公式求临界力。
3 目录
3.经验公式、临界应力总图
直线型经验公式
32. 压杆的临界应力
1.临界应力和柔度
（1）临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力
Fcr cr A （2）细长压杆的临界应力：
cr
Fcr A
2EI (E 2
即： cr
（3）柔度：
l i
2E 2
i I — 惯性半径
A
— —杆的柔度（或长细比）
P 比例极限
•临界应力
s
a s b
s 屈服极限
P
(大柔度杆) cr
2E 2
欧拉公式
S P (中柔度杆)cr a b直线公式
s (小柔度杆) cr s 强度问题
材料力学压杆稳定第3节 欧拉公式及经验公式
S
P
2、抛物线型经验公式
在工程实际中，对于中、小柔度压杆的临界应力计 算，也有建议采用抛物线型经验公式的，此公式为
cr a1 b12
式中 a1 、b1 与是与材料
有关的常数，其单位是
MPa。与前式中的 a 、
b 值是不同。
根据欧拉公式与抛物线 经验公式，得低合金结
构钢等压杆的 cr总图。
定计算中的一个重要综合参数。
• 如果压杆在不同的纵向平面内具有不同的柔度值， 由于压杆失稳首先发生在柔度最大的纵向平面内。 因此，压杆的临界应力应按柔度的最大值计算。
二、欧拉公式的适用范围
欧拉公式是在材料符合胡克定律条件下，即在线弹
性范围内，推导出来的。因此只有当cr p 时欧拉
公式才适用，即
临界应力形式 的欧拉公式
临界应力形式 的欧拉公式
cr
2E 2
式中柔度 是一个无量纲的量，它综合反映了压杆
的长度 l 、杆端的约束以及截面尺寸对临界应力 cr
的影响。对于一定材料的压杆，其临界应力仅与柔
度 有关， 值越大，则压杆越细长，临界应力 cr 值也越小，压杆越容易失稳。所以柔度 是压杆稳
cr
2E 2
p
或
P
E
P
大柔度杆或细长杆：对于结构钢的 p 2108 Pa、 E 21011Pa，则由上式可算得欧拉公式的适用
范围为 100；同理对于铸铁，欧拉公式的适用 范围为 80 。这类杆称为大柔度杆或细长杆。
三、经验公式
若压杆的柔度 P，则这种压杆的临界力不能再
cr a1 b12
cr
2E 2
压杆临界力的计算公式
压杆临界力的计算公式1.欧拉公式：欧拉公式是压杆稳定性分析中最常用的一种方法。
根据欧拉公式，压杆的临界力可以通过以下公式计算：Pcr = ((π^2)EI) / ((KL)^2)其中，Pcr表示压杆的临界力，E表示材料的弹性模量，I表示压杆的截面面积惯性矩，K表示杆的端部支座的系数，L表示杆的长度。
欧拉公式适用于较细长的压杆，在其它条件相同的情况下，杆的截面越大，临界力就越大；杆的长度越长，临界力就越小。
同时，欧拉公式适用于直线变形的杆，不能用于弯曲变形。
2.莱昂哈德公式：莱昂哈德公式是考虑了杆的端部支座的影响，在欧拉公式的基础上进行修正的公式。
该公式计算压杆的临界力如下：Pcr = ((KLEI) / (r + ((2L)/π)) ^ 2)其中，Pcr表示压杆的临界力，E表示材料的弹性模量，I表示压杆的截面面积惯性矩，K表示杆的端部支座的系数，L表示杆的长度，r表示杆的端部支座的半径。
3. Adomian分解法：Adomian分解法是一种近似求解非线性微分方程的方法，在压杆临界力的计算中也有应用。
该方法通过将非线性方程分解为无穷级数的形式，然后将其逐级近似求解。
Adomian分解法的具体步骤如下：-(1)将压杆的平衡方程进行分解：Mx''(x)+f(x)=0，其中，M表示压杆的弯矩，f(x)表示外力。
-(2)将平衡方程表示为无穷级数的形式：x''(x)=∑An(x)。
-(3)通过逐级近似求解无穷级数，得到压杆临界力。
Adomian分解法的优点是可以处理非线性问题，但是在具体应用中需要取不同级数的项进行求解，并选择适当的近似方法。
4.极限平衡法：极限平衡法是一种通过平衡条件来确定压杆临界力的方法，它适用于复杂的压杆分析问题。
该方法的基本思想是，在压杆失稳之前，杆的初始形状必须满足平衡条件。
具体步骤如下：-(1)假设杆的初始形状（如弯曲、扭转等）。
-(2)根据平衡条件计算外力和内力。
怎样推导压杆的临界力和临界应力公式
怎样推导压杆的临界力和临界应力公式压杆（也称为压杆杆件或柱件）是一种承受压力的结构元素，常见于建筑、机械以及其他工程领域。
为了确定压杆在受力时的安全性，需要推导出压杆的临界力和临界应力公式。
首先，需要理解压杆在受力时的基本概念。
假设有一根长度为L、截面积为A的无限细长压杆，其两端受到等大反向的压力P。
压杆在受到压力时会发生弯曲，压杆的形状会发生改变。
当压力达到一定临界值时，压杆将完全失去稳定，从而发生屈曲（即压杆产生弯曲形变）。
临界力和临界应力是指当压力达到一定临界值时，压杆发生屈曲的压力和应力。
推导过程如下：1. 经典欧拉公式（Euler公式）欧拉公式是分析以柱轴为边界的理想无限长压杆屈曲的基本公式。
该公式基于以下假设：-压杆是均质、各向同性的杆件；-杆件的材料性质可用弹性线性理论描述；-压杆长度远大于其最小截面尺寸，即L>>d(d为压杆的最小截面尺寸)。
欧拉公式表达式如下：Pcr = (π²EI) / L²其中，Pcr为压杆的临界力，E为杨氏模量，I为压杆截面的惯性矩，L为压杆长度。
2. 完整欧拉公式（Timoshenko-Bazant公式）欧拉公式只适用于边界条件为完全铰接（即不受弯曲力矩）的压杆。
然而，在实际情况中，压杆的边界条件一般为受到端部弯曲力矩的约束。
在这种情况下，完整欧拉公式（Timoshenko-Bazant公式）需要被使用。
完整欧拉公式修正了边界条件的影响，并考虑到了剪切变形和截面的非对称性。
完整欧拉公式的表达式如下：Pcr = (π²EI) / [L²(1 + αL / r)^²]其中，α为修正系数，考虑了压杆的边界条件，r为截面回转半径。
3.临界应力临界应力的定义是在压杆屈曲时，杆件中最大的应力值。
根据杆件截面受到均匀分布的压力P，应力σ可以表示为：σ=P/A将欧拉公式（或完整欧拉公式）中的临界力Pcr代入上述表达式可得到临界应力的表达式。
第十章压杆稳定 第4节 临界应力的经验公式
查表得 a = 461 MPa、b = 2.568 MPa 临界应力 临界力
cr a bz 461 2.567 64.7 294.9 MPa
Fcr cr A 162.7 kN
3）由于连杆在 x-y、x-z 两个平面内的柔度 z = 64.7、y = 57.4 比 较接近，故该连杆横截面的设计较为合理。
iy
Iy A
14100 5.05 mm 552
y
y l2
iy
0.5 580 57.4 11.6
因为λz = 64.7 >λy ，故连杆将在 x-y 平面内失稳。
2）计算临界力 由优质碳钢 s = 306 MPa，查表得
p 100
s 60
由于 s < z < p ，连杆属于中长杆，故采用直线公式计算临界力
此时，立柱为中柔度杆，应用直线公式计算临界力
由表 10-2 查得 a = 304 MPa，b = 1.12 MPa 临界应力 临界力
cr a b 304 1.12 75 220 MPa
Fcr cr A 220 48.541 1068 kN
[例2] 图示连杆，已知材料为优质碳钢，弹性模量 E = 210 GPa，屈服 极限 s = 306 MPa。试确定该连杆的临界力Fcr ，并说明横截面的设计 是否合理。 解： 由于连杆在两
个方向上的约束情
况不同，故应分别 计算连杆在两个纵 向对称平面内的柔 度，柔度大的那个 平面为失稳平面。
1）计算柔度 在 x-y 平面（弯曲中性轴为 z 轴）： 两端铰支
z = 1
l1 = 750 mm
A 24 12 2 6 22 552 mm2
两根材料和柔度都相同的压杆临界应力和临界压力
两根材料和柔度都相同的压杆临界应力和临界压力
标题:两根材料和柔度都相同的压杆临界应力和临界压力
正文:
压杆是指一根两端固定且被施加压力的杆件,通常用于支撑重物或进行结构工程等应用。
压杆的临界应力和临界压力是研究压杆稳定性的重要问题。
如果两根材料和柔度都相同的压杆受到相同的力,那么它们是否会发生破裂或弯曲,取决于它们的形状和尺寸。
在这种情况下,我们可以使用以下公式来计算压杆的临界应力和临界压力:
临界应力= (1.385 * F_p / L^2) * A^3 / (4 * π * L^4)
其中,F_p是压杆的施加压力,L是压杆的长度,A是压杆的截面面积。
临界压力= 2 * F_p / (3 * π * L^2)
其中,F_p是压杆的施加压力,L是压杆的长度。
需要注意的是,上述公式仅适用于形状和尺寸相同的压杆。
如果两根压杆的形状和尺寸不同,那么它们的临界应力和临界压力也会不同。
此外,压杆的临界应力和临界压力也取决于压杆的材料和强度。
对于不同的材料,它们的临界应力和临界压力也会有所不同。
例如,对于钢,它们的临界应力和临界压力通常在200MPa以上;而对于铜,它们的临界应力和临界压力通常在50MPa左右。
压杆的临界应力和临界压力是研究压杆稳定性的重要问题,可以帮助我们更好地设计和控制结构的稳定性。
压杆的临界应力
一、欧拉临界应力公式及使用范围
1.临界应力：临界压力除以压杆横截面面积得到的压应力， 称为临界应力，用slj (scr)表示；
s = —— slj=
—P—lj
=
p2EI
———
A (l)2 A
p2E slj= ———
(l/i)2
lj
p2E
l2
式中， ① i I —横截面对微弯中性轴的惯性半径； A
例4：图示结构，CF为铸铁圆杆，直径
d1=10cm，[s]=120MPa , E=120GPa。 BE为A3钢圆杆, 直径d2=5cm，
[s]=160MPa, E=200GPa, 如横梁视为刚
性，a＝2m，求许可荷载F。
A
解：1、结构为一次超静定求杆内力
MA 0:
2FNB4FNC6F0
E F
D BC
lp
p2200109
200106
100
用柔度表示的临界压力：
p 2E Fcr l2 • A
l≥lp——细长杆(大柔度杆)，
当压杆的长细比λ＜λp时，欧拉公式已不适用。在工程 上，一般采用经验公式。在我国的设计手册和规范中给
出的是直线公式和抛物线公式。
二、中柔度杆临界应力的经验公式
1.ss>scr>sp时采用经验公式：
①直线公式：
scrabl
1)∵scr<ss，∴
ss abl
，得到：l0
a
ss
b
2) lp≥l≥l0—中粗杆(中柔度杆)；
3)对于A3钢： l0a bss 31 0. 12 4240 60
4）对于式中的系数a,b，下表给出了一些常用材料的数值。
工程力学第3节 欧拉公式及经验公式
Fcr 2 EI cr A ( l ) 2 A
令
i
I A
2 2 2 Ei E cr 2 l 2 ( l ) ( )
cr a1 b12
2 cr 2E
P
例11-5 3 根材料相同的圆形截面压杆，均为一端固 定、一端自由，如图所示，直径均为 d 100mm，皆 P 200 MPa， 由 Q235 钢制成，材料的 E 206 GPa， a 304 MPa， S 235 MPa， b 1.12 MPa。试求各杆 的临界载荷。
cr a b S
a S S b
注意：仅当压杆的柔度 S时，才能用上式求解！ 例：对于 Q235 钢： S 235MPa ，a 304 MPa ，
b 1.12 MPa
a S 304 235 63 S 1.12 b
综述 （1）
对于由合金钢、铝合金、铸铁等制作的 压杆，根据其柔度可将压杆分为三类：
P 的压杆，称为大柔度杆或细长杆
由欧拉公式 计算其临界应力 （2）S
cr 2E p
2
P 的压杆，称为中柔度杆或中长杆
由直线型经验公 式计算临界应力
cr a b
中柔度杆的 在 60 ~ 100 之间。实验指出，这种压 杆的破坏性质接近于大柔度杆，也有较明显的失稳 现象。
三、经验公式 若压杆的柔度 P，则这种压杆的临界力不能再 按欧拉公式计算。对于此类压杆，工程中通常采用 以实验结果为依据的经验公式来计算其临界应力。 1、直线型经验公式
工程力学材料力学杆的稳定计算与校核
17
HOHAI UNIVERSITY
§10-3 欧拉公式的适用范围
λP 为材料参数，不同的材料有不同的值。
如Q235钢， σP =200MPa E =200MPa
三、中小柔度杆的临界应力
λP =100
λ ≥ λP 为弹性失稳
λ < λP σcr >σP 压杆的失稳称为非弹性失稳
此时欧拉公式不再适用，工程上常以试验结果为依据的经验公 式来计算这类压杆的临界应力。如直线公式
HOHAI UNIVERSITY
工程中存在着很多受压杆件。
对于这些细长的压杆，其破坏并非由于强度不足，而是由 于荷载（压力）增大到一定数值后，不能保持原有直线平衡 形式而失效。
1
HOHAI UNIVERSITY
1. 两端铰支细长压杆，当F力较小时，杆在力F 作用下将保持原有直线平衡形式。 此时，在其侧向施加微小干扰力使其弯曲，当 干扰力撤除后，杆仍可回复到原来的直线形式。 可见这种直线平衡形式是稳定的。
两端固定细长压杆，长度0.5l范围内与两端铰支细长 压杆挠曲线形状相同。
π2EI Fcr = (0.5l)2
11
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类比法
Fcr
l
Fcr 0.7l 0.3l
一端固定，另一端铰支的细长压杆，在0.7l范围内与两端铰支 细长压杆挠曲线形状相同。
Fcr =
π2EI (0.7l)2
σcr=a-b λ
a、b为与材料有关的常数，由试验确定。
x = l，w = 0
得 Asinkl = 0
由 Asinkl=0 得 A=0（不可能）
x Fcr
l
或 sinkl = 0 即 kl = nπ (n = 0,1,2…）
压杆稳定的临界应力
压杆稳定的临界应力压杆稳定是指在外力作用下，压杆保持不发生失稳的状态。
而临界应力是指使得压杆发生失稳的最小应力。
了解了这两个概念，我们就可以探究压杆稳定的临界应力是如何产生的。
我们需要明确压杆的定义。
压杆是一种长条形结构，在两端固定，并且受到一个或多个外力的作用。
这个外力可以是压力、重力或其他形式的载荷。
当压杆受到压力时，会发生弯曲、屈曲或失稳等现象。
我们关注的是当压杆处于临界应力下时的失稳情况。
在研究压杆稳定的临界应力时，我们需要考虑两个重要因素：材料的强度和杆的几何形状。
材料的强度是指杆材料能够承受的最大应力，它与杆的强度和刚度有关。
而杆的几何形状则会影响杆的屈曲和失稳情况。
当外力作用于压杆上时，压杆会产生内应力。
内应力的大小与杆的形状、材料的强度和外力的大小有关。
当外力超过了压杆的临界应力时，压杆就会发生失稳。
这是因为在临界应力下，压杆内部的应力超过了材料的强度极限，导致杆发生弯曲或屈曲。
压杆稳定的临界应力与压杆的长度、截面形状和材料强度有关。
对于同一材料和截面形状，当压杆的长度增加时，临界应力也会增加。
这是因为较长的压杆容易发生弯曲或屈曲。
而对于相同长度的压杆，当截面形状越大，临界应力也越大。
这是因为更大的截面形状能够提供更高的强度和刚度，使得压杆更加稳定。
材料的强度也会影响压杆的临界应力。
强度较高的材料能够承受更大的应力，因此具有较高的临界应力。
在工程设计中，我们通常会选择适当的材料和截面形状，以确保压杆在所受外力下能够保持稳定。
了解压杆稳定的临界应力对于工程设计和结构分析至关重要。
在实际应用中，我们需要根据杆的长度、截面形状和所受外力的大小来计算临界应力，以确保压杆的稳定性。
通过合理选择材料和截面形状，我们可以提高压杆的临界应力，使其更加稳定。
压杆稳定的临界应力是指压杆在外力作用下保持稳定的最小应力。
压杆的稳定性与材料的强度、杆的几何形状和外力的大小有关。
通过研究和计算压杆的临界应力，我们可以确保结构的稳定性和安全性。
压杆的临界力和临界应力
压杆的临界力和临界应力
如图11-4所示给 出了临界应力与柔度 之间的关系曲线，称 为临界应力总图，该 图表示了临界应力随 柔度的变化规律。
图11-4
压杆的临界力和临界应力
通过上面的分析可知，当构件受 到轴向压力作用时，需要考虑稳定性 问题。在此过程中，应首先根据杆的 情况计算其柔度值，再确定临界应力 的计算公式，并进行稳定计算。
压杆的临界力和临界应力
【例11-1】
压杆的临界力和临界应力
图11-5
压杆的临界力和临界应力
压杆的临界力和临界应力
工程力学
压杆的临界力和临界应力
压杆的临界力和临界应力
1.2
临界应力
临界应力是指在临界力作用下压杆横截面上的
压应力。在材料服从胡克定律的条件下，压杆临界应
力的欧拉公式为
（11-2）
其中，
（11-3）式中，
σcr为临界应力；E为材料拉（压）弹性模量；λ为压
杆的柔度；i为惯性半径；I为轴惯性矩；A为杆横截
面面积。
压杆的临界力和临界应力
压杆的临界力和临界应力
（3）λ≤λs，杆是小柔度杆，即短粗杆。这类 杆在失稳前工作应力就已达到屈服极限，材料发生 较大的塑性变形，从而丧失工作能力，即这类杆失 效的原因是因强度问题，而非失稳。因此，对于小 柔度杆只需考虑强度问题即可，临界应力为
σcr=σ0
压杆的临界力和临界应力
工程力学
压杆的临界力和临界应力
1.1
临界力
临界力是反映压杆稳定的承载能力指标，临界力越大，压杆 的稳定性越好。在材料服从胡克定律的条件下，压杆临界力的计 算公式为
（11-1） 式中，Pcr为临界力；EI是抗弯刚度；μ为支座长度系数，数值 取决于杆两端的约束形式（见表11-1）；l为杆的长度。 式（11-1）常称为欧拉公式，它说明压杆的临界力与杆的长 度、截面形状尺寸、两端的约束形式及材料有关。细长的杆临界 力小，稳定性差。
稳定应力计算公式
稳定应力计算公式一、压杆稳定（欧拉公式）1. 细长压杆（理想情况）- 对于两端铰支的细长压杆，其临界力F_cr的计算公式为：F_cr=frac{π^2EI}{l^2}，其中E为材料的弹性模量，I为压杆截面的最小惯性矩，l为压杆的长度。
- 相应的临界应力σ_cr计算公式为：σ_cr=frac{F_cr}{A}=frac{π^2E}{λ^2}，这里A是压杆的横截面面积，λ=(l)/(i)称为柔度，i = √(frac{I){A}}是截面的惯性半径。
2. 一端固定、一端自由的细长压杆。
- 临界力F_cr=frac{π^2EI}{(2l)^2}- 临界应力σ_cr=frac{F_cr}{A}=frac{π^2E}{(2λ)^2}3. 一端固定、一端铰支的细长压杆。
- 临界力F_cr=frac{π^2EI}{(0.7l)^2}- 临界应力σ_cr=frac{F_cr}{A}=frac{π^2E}{(0.7λ)^2}二、梁的整体稳定。
1. 单向受弯钢梁的整体稳定临界弯矩M_cr- 对于双轴对称工字形截面简支梁，在纯弯曲作用下（荷载作用在梁的最大刚度平面内），其临界弯矩M_cr的计算公式为：M_cr=(π)/(l)√(EIyGJ)<=ft(1 + frac{π^2EIy}{l^2GJ})其中Iy为梁绕弱轴y的惯性矩，GJ为梁的扭转刚度（G为剪切模量，J为截面的扭转常数），l为梁的跨度。
- 临界应力σ_cr=frac{M_cr}{W_x}，W_x为梁绕强轴x的抗弯截面系数。
2. 考虑不同荷载作用形式和梁的侧向支撑情况时。
- 对于有侧向支撑的梁，临界弯矩会根据支撑间距等因素进行修正。
例如，对于跨中受集中荷载P的简支梁，其临界弯矩M_cr可近似按下式计算：M_cr=β_b(π)/(l)√(EIyGJ)<=ft(1 + frac{π^2EIy}{l^2GJ})其中β_b是根据荷载类型、作用位置等因素确定的系数。
提高压杆稳定性的措施
大致相同，所以对大柔度钢压杆不宜选用优质钢材，以避免造成浪
费。
对于中、小柔度压杆，从计算临界应力的抛物线公式可以看出， 采用强度较高的材料能够提高其临界应力，即能提高其稳定性。
目录
压杆稳定\提高压杆稳定性的措施 2．减小压杆的柔度
从压杆的临界应力总图得知，压杆的柔度= l 越小，其临界
i
应力越大，压杆的稳定性越好。为了减小柔度,可以采取如下措施。 （1）加强杆端约束
建筑力学
压杆稳定\提高压杆稳定性的措施
提高压杆稳定性的措施
提高压杆的稳定性就是增大压杆的临界力或临界应力。可以从 影响临界力或临界应力的诸种因素出发,采取下列一些措施。
1.合理地选择材料
对于大柔度压杆，临界应力cr=
π 2E 2
，故采用E值较大的材料
能够增大其临界应力，也就能提高其稳定性。由于各种钢材的E值
使y = z 。
(a)
(b)
目录
压杆稳定\提高压杆稳定性的措施 应当注意，对于组合截面压杆要用缀板将其牢固地连成一个整
体，否则压杆将变成为几个单独分散的压杆，严重地降低稳定性。 对于组合截面压杆还要考虑其局部失稳的问题，应对其局部的稳定 性进行计算，包括局部稳定性的校核和由局部稳定条件确定缀板的 间距等，详见有关书籍，这里不再细述。
压杆的杆端约束两端固定，那末由欧拉公式可知其 临界力将变为原来的四倍。
目录
压杆稳定\提高压杆稳定性的措施
（2）减小杆的长度
杆长l越小，则柔度 越小。在工
程中，通常用增设中间支撑的方法来达 到减小杆长。例如两端铰支的细长压杆， 在杆中点处增设一个铰支座(如图)，则 其相当长度μl为原来的一半，而由欧拉 公式算得的临界应力或临界力却是原来 的四倍。当然增设支座也相应地增加了 工程造价，故设计时应综合加以考虑。
【材料力学课件】压杆的临界应力
15-3 压杆的临界应力如上节所述，欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的。
为了判断压杆失稳时是否处于弹性范围，以及超出弹性范围后临界力的计算问题，必须引入临界应力及柔度的概念。
压杆在临界力作用下，其在直线平衡位置时横截面上的应力称为临界应力，用表示。
压杆在弹性范围内失稳时，则临界应力为：（15-3）式中称为柔度，为截面的惯性半径，即,（15-4）式中Ｉ为截面的最小形心主轴惯性矩，Ａ为截面面积。
柔度又称为压杆的长细比。
它全面的反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形状对临界力的影响。
柔度在稳定计算中是个非常重要的量，根据所处的范围，可以把压杆分为三类：1.细长杆（）当临界应力小于或等于材料的比例极限时，即压杆发生弹性失稳。
若令（15-5）则时，压杆发生弹性失稳。
这类压杆又称为大柔度杆。
对于不同的材料，因弹性模量Ｅ和比例极限各不相同，的数值亦不相同。
例如A3钢，，，用式（15-5）可算得。
2. 中长杆（）这类杆又称中柔度杆。
这类压杆失稳时，横截面上的应力已超过比例极限，故属于弹塑性稳定问题。
对于中长杆，一般采用经验公式计算其临界应力，如直线公式：（15-6）式中a 、b 为与材料性能有关的常数。
当时，其相应的柔度为中长杆柔度的下限，据式（15-6）不难求得：例如Ａ3钢，，，，代入上式算得。
3. 粗短杆（）这类杆又称为小柔度杆。
这类压杆将发生强度失效，而不是失稳。
故上述三类压杆临界应力与的关系，画出曲线如图15-7为压杆的临界应力图。
不同的工程设计中，式计算临界应力，如抛物线公式（和也是和材料有关的常数）等，请读者注意查阅相关 的设计规范。
和值钢优质碳钢两处用螺栓夹紧。
已知,, ,材料的弹性模量,，A3钢的属于弹性稳定问题。
在x-y平面内:A3钢的，属于弹塑性稳定问题。
由表15-1查得:，故此杆的临界载荷为。
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1 C 30o
F 500
BD
l 11730 108
i
16AA3钢，λp=来自00,λ＞λp，用欧拉公式
Fcr
2E 2
A
121 .54
10 3
N
121 .54kN
三、根据稳定条件求许可荷载
由：
Fcr FN max
[nst ]
FN max
Fcr [nst ]
121 .54 3
40.5KN
a(MPa) 304 461 578 9807 332.2 373 28.7
b(MPa) 1.12 2.568 3.744 5.296 1.454 2.15 0.19
②抛物线公式： s cr a1 b12
a
1和b
是与材料有关的常数，可从有关的手册中查到。
1
2、scr=sS时，不存在失稳问题，应考虑强度问题强度破
目录
压杆稳定 \提高压杆稳定性的措施
2.减少压杆支承长度：
（1）直接减少压杆长度；
（2）增加中间支承；
A
BC
2、求杆许可荷载：
a
a
（1）以BE杆为标准：
[FNB
]
[s
]A
160106
3.14 4
0.052
314kN
F D a
F1
FNB
0.283
1110kN
2）按压杆FC计算： [FNC ] [s w ]A
l
i
1 2 0.1
80
4
0.26
[s w ] 0.26[s y ]
A
E BC
[FNC ] 245kN
2E 2
小柔度杆
中柔度杆
O
s
a ss
b
p
大柔度杆
2E sp
l
i
例1：三根材料、长度均相同、两端均为球铰支座的细 长杆结构，各自的截面形状如图，求三根杆的临界应力 之比以及临界力之比。
解：
s cr a :s cr b :s cr c
2E
2 1
2E : 22
2E
:
2 3
i12 :i2 2 :i32
从而求得：
F
3 8
FN max
3 8
40.5
15.2KN
例4：图示结构，CF为铸铁圆杆，直径
d1=10cm，[s]=120MPa , E=120GPa。 BE为A3钢圆杆, 直径d2=5cm，
[s]=160MPa, E=200GPa, 如横梁视为刚
性，a＝2m，求许可荷载F。
A
解：1、结构为一次超静定求杆内力
①直线公式：
s cr a b
1)∵scr<ss，∴ s s a b
，得到：0
a
ss
b
2) p≥≥0—中粗杆(中柔度杆)；
3)对于A3钢：
0
a ss
b
304 240 60 1.12
4）对于式中的系数a,b，下表给出了一些常用材料的数值。
表 10-2 直线公式的系数 a 和 b
材料 A3 钢 优质碳钢 硅钢 铬钼钢 铸铁 强铝 松木
I1 : I2 : I3 A1 A2 A3
d4
64
d4
: 64
d 4
2
:
64
d2
4
d 2
2
4
d2 d2
d2
2
4
44
4
1:1:5
Fcra:Fcrb:Fcrc s cra A1:s crb A2:s crc A3
1:2:20
例2：图示圆截面压杆d=40mm，σs=235MPa。求可以用经验 公式σcr=304-1.12λ (MPa)计算临界应力时的最小杆长。
坏，采用强度公式：
scr s s
三、临界应力总图
1. 细长杆 ( p ), 用欧拉公式
2. 中长杆 ( s p ), 用经验公式 3. 粗短杆 ( s ), 用强度条件
s cr
2E
s
cr
2
s cr
a
b
s s
cr
s
s s s cr s s
sp
s cr a b
s cr
F
解： s
a ss
b
304 235 61.6
1.12
由
l
i
s
得：
l
0.04
l
s
i
61.6
4 0.7
0.88 m
目录
§10-4 压杆的稳定性计算
一、稳定性条件：
Fm a x
Fcr [nst ]
式中 Fmax
Fcr
[nst ]
------压杆所受最大工作载荷 ------压杆的临界压力 ------压杆的规定稳定安全系数
F2
[Nc ] 1.36
180kN
a
a
F D a
10-5 提高压杆稳定性的措施
一、从材料方面考虑 1.细长压杆：提高弹性模量E
2.中粗压杆和粗短压杆：提高屈服强度ss
二、从柔度方面考虑 1.采用合理的截面形状：
（1）各方向约束相同时： 1)各方向惯性矩I相等—采用正方形、圆形截面； 2)增大惯性矩I—采用空心截面； （2）压杆两方向约束不同时：使两方向柔度接近相等， 可采用两个主惯性矩不同的截面，如矩形、工字形等。
稳定性条件也可以表示成：
nst
Fcr Fm ax
[nst ]
式中 nst 为压杆实际的工作稳定安全系数。
例3 ：托架，AB杆是圆管，外径D=50mm，内径d=40mm，两端为
球铰，材料为A3钢，E=206GPa,p=100。若规定[nst]=3,试确 定许可荷载F。
解：一、分析受力 取CBD横梁研究
MA 0:
2FNB 4FNC 6F 0
E F
D BC
a
a
a
F
FNB
F
变形条件：BE
1 2
BC
A BC
D
FNc
由：
N 代入 EA
FNB 2
1
FNC 2
200109 3.14 0.052 2 120109 3.14 0.12
4
4
FNC 4.8FNB
E
代入第一式后求解得：
FNB 0.283 F , FNC 1.36 F
2.欧拉公式应用范围：
①线弹性状态下的大柔度杆：slj≤sp，即
2E 2
≤s
p
说明： 在推导欧拉公式时,使用了挠曲线的近似微分方程，
在推导该方程时, 应用了胡克定律。因此，欧拉公式也 只有在满足胡克定律时才能适用。
∴
≥
2E sp
p
3.注意 对于A3钢，E=200GPa，sp=200MPa：
p
2 200109
200106 100
用柔度表示的临界压力：
Fcr
2E 2
•
A
≥p——细长杆(大柔度杆)，
当压杆的长细比λ＜λp时，欧拉公式已不适用。在工程
上，一般采用经验公式。在我国的设计手册和规范中给
出的是直线公式和抛物线公式。
二、中柔度杆临界应力的经验公式
1.ss>scr>sp时采用经验公式：
mc 0 NAB sin300 1500Q2000 0
1500 C 30o
F 500
BD
F
3 8
N AB
二、计算并求临界荷载
A C
F
B
NAB
i
I A
(D4 d 4)
64
(D2 d 2)
D2 d 2 16mm 4
4
1500
1500 lAB cos300 1730mm