压杆的临界应力

2 200109
200106 100
用柔度表示的临界压力：
Fcr
2E 2
•
A
≥p——细长杆(大柔度杆)，
当压杆的长细比λ＜λp时，欧拉公式已不适用。在工程
上，一般采用经验公式。在我国的设计手册和规范中给
出的是直线公式和抛物线公式。
二、中柔度杆临界应力的经验公式
1.ss>scr>sp时采用经验公式：
2E 2
小柔度杆
中柔度杆
O
s
a ss
b
p
大柔度杆
2E sp
l
i
例1：三根材料、长度均相同、两端均为球铰支座的细 长杆结构，各自的截面形状如图，求三根杆的临界应力 之比以及临界力之比。
解：
s cr a :s cr b :s cr c
2E
2 1
2E : 22
2E
:
2 3
i12 :i2 2 :i32
从而求得：
F
3 8
FN max
3 8
40.5
15.2KN
例4：图示结构，CF为铸铁圆杆，直径
d1=10cm，[s]=120MPa , E=120GPa。 BE为A3钢圆杆, 直径d2=5cm，
[s]=160MPa, E=200GPa, 如横梁视为刚
性，a＝2m，求许可荷载F。
A
解：1、结构为一次超静定求杆内力
MA 0:
2FNB 4FNC 6F 0
E F
D BC
a
a
a
F
FNB
F
变形条件：BE
1 2
BC
A BC
D
FNc
由：
N 代入 EA
FNB 2
1
FNC 2
200109 3.14 0.052 2 120109 3.14 0.12
4
4
FNC 4.8FNB
E
代入第一式后求解得：
FNB 0.283 F , FNC 1.36 F
I1 : I2 : I3 A1 A2 A3
d4
64
d4
: 64
d 4
2
:
64
d2
4
d 2
2
4
d2 d2
d2
2
4
44
4
1:1:5
Fcra:Fcrb:Fcrc s cra A1:s crb A2:s crc A3
1:2:20
例2：图示圆截面压杆d=40mm，σs=235MPa。求可以用经验 公式σcr=304-1.12λ (MPa)计算临界应力时的最小杆长。
F2
[Nc ] 1.36
180kN
a
a
F D a
10-5 提高压杆稳定性的措施
一、从材料方面考虑 1.细长压杆：提高弹性模量E
2.中粗压杆和粗短压杆：提高屈服强度ss
二、从柔度方面考虑 1.采用合理的截面形状：
（1）各方向约束相同时： 1)各方向惯性矩I相等—采用正方形、圆形截面； 2)增大惯性矩I—采用空心截面； （2）压杆两方向约束不同时：使两方向柔度接近相等， 可采用两个主惯性矩不同的截面，如矩形、工字形等。
①直线公式：
s cr a b
1)∵scr<ss，∴ s s a b
，得到：0
a
ss
b
2) p≥≥0—中粗杆(中柔度杆)；
3)对于A3钢：
0
a ss
b
304 240 60 1.12
4）对于式中的系数a,b，下表给出了一些常用材料的数值。
表 10-2 直线公式的系数 a 和 b
材料 A3 钢 优质碳钢 硅钢 铬钼钢 铸铁 强铝 松木
目录
压杆稳定 \提高压杆稳定性的措施
2.减少压杆支承长度：
（1）直接减少压杆长度；
（2）增加中间支承；
F
解： s
a ss
b
304 235 61.6
1.12
由
l
i
s
得：
l
0.04
l
s
i
61.6
4 0.7
0.88 m
目录
§10-4 压杆的稳定性计算
一、稳定性条件：
Fm a x
Fcr [nst ]
式中 Fmax
Fcr
[nst ]
------压杆所受最大工作载荷 ------压杆的临界压力 ------压杆的规定稳定安全系数
2.欧拉公式应用范围：
①线弹性状态下的大柔度杆：slj≤sp，即
2E 2
≤s
p
说明： 在推导欧拉公式时,使用了挠曲线的近似微分方程，
在推导该方程时, 应用了胡克定律。因此，欧拉公式也 只有在满足胡克定律时才能适用。
∴
≥
2E sp
p
3.注意 对于A3钢，E=200GPa，sp=200MPa：
p
a(MPa) 304 461 578 9807 332.2 373 28.7
b(MPa) 1.12 2.568 3.744 5.296 1.454 2.15 0.19
②抛物线公式： s cr a1 b12
a
1和b
是与材料有关的常数，可从有关的手册中查到。
1
2、scr=sS时，不存在失稳问题，应考虑强度问题强度破
mc 0 NAB sin300 1500Q2000 0
1500 C 30o
F 500
BD
F
3 8
N AB
二、计算并求临界荷载
A C
F
B
NAB
i
I A
(D4 d 4)
64
(D2 d 2)
D2 d 2 16mm 4
4
1500
1500 lAB cos300 1730mm
1 C 30o
F 500
BD
l 11730 108
i
16
A
A3钢，λp=100,
λ＞λp，用欧拉公式
Fcr
2E 2
A
121 .54
10 3
N
121 .54kN
三、根据稳定条件求许可荷载
由：
Fcr FN max
[nst ]
FN max
Fcr [nst ]
121 .54 3
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40.5KN
坏，采用强度公式：
scr s s
三、临界应力总图
1. 细长杆 ( p ), 用欧拉公式
2. 中长杆 ( s p ), 用经验公式 3. 粗短杆 ( s ), 用强度条件
s cr
2E
s
cr
2
s cr
a
b
s s
cr
s
s s s cr s s
sp
s cr a b
s cr
稳定性条件也可以表示成：
nst
Fcr Fm ax
[nst ]
式中 nst 为压杆实际的工作稳定安全系数。
例3 ：托架，AB杆是圆管，外径D=50mm，内径d=40mm，两端为
球铰，材料为A3钢，E=206GPa,p=100。若规定[nst]=3,试确 定许可荷载F。
解：一、分析受力 取CBD横梁研究
A
BC
2、求杆许可荷载：
a
a
（1）以BE杆为标准：
[FNB
]
[s
]A
160106
3.14 4
0.052
314kN
F D a
F1
FNB
0.283
1110kN
2）按压杆FC计算： [FNC ] [s w ]A
l
i
1 2 0.1
80
4
0.26
[s w ] 0.26[s y ]
A
E BC
[FNC ] 245kN