9-一阶电路和二阶电路

uL t
O
τ
t
− RI 0
RL电路的时间常数： 电路的时间常数： 电路的时间常数 则有
L τ= R
t ≥ 0+
t
iL = I 0 e
uL
−
t
τ
− d iL = −L = − RI 0 e τ dt
t ≥ 0+
三、一阶电路的零输入响应的结论
1. 求解 电路和 电路零输入响应的输入 求解RC电路和 电路零输入响应的输入——输出方程 电路和RL电路零输入响应的输入 输出方程 是一阶齐次方程， 是一阶齐次方程，方程的解的函数形式为 r (t ) = r (0+ )e pt ，令 特征根 p = −1 τ ，则 τ 是电路的时间常数，RC电路的时间常 是电路的时间常数， 电路的时间常 数 τ = RC ，RL电路的时间常数τ = L R 。因此，零输入响应 电路的时间常数 因此， 亦为
d iL L + Ri L = 0 dt
RS S(t = 0) iL
+
US
iL (0 + ) = iL (0 − ) = I 0
+
R L uL
-
-
iL = I 0 e
uL
R − t L
t ≥ 0+
t ≥ 0+
R − t d iL = −L = − RI 0 e L dt
iL I0 0.368I 0 O
τ1
τ2
τ3
t
理论上要经过无限长时间u 才衰减至零， 理论上要经过无限长时间 C才衰减至零，工程上一般 认为换路后， 时间过渡过程结束。 认为换路后，经过 3τ ~ 5τ 时间过渡过程结束。
t
0
τ
2τ
3τ
0.05U0
4τ
5τ
uC U0
0.368U0 0.135U0
0.0184U0 0.0068U0
r (t ) = r (0+ )e
− t
τ
为响应的初始值） （ r (0 + )为响应的初始值）
y(t) = y(0+ )e τ
RC电路 电路 RL电路 电路
−
t
uC (0+) = uC (0－) iL(0+)= iL(0－)
2. RC电路和 电路中的零输入响应电压和零输入响应电 电路和RL电路中的零输入响应电压和零输入响应电 电路和 流都以同一时间常数按指数规律变化。 以后， 流都以同一时间常数按指数规律变化。经过 4τ ~ 5τ 以后， 可认为响应已接近于零，过渡过程即告结束。 可认为响应已接近于零，过渡过程即告结束。
10Ω
iC
12Ω
20Ω
6V
10Ω
20Ω
iR
10µF
uC
iC
iC
10µF + uC R 12Ω
20Ω
iR
10µF + uC 20Ω
-
-
二、RL电路的零输入响应 电路的零输入响应
图示电路， 断开电路中的电流和电压已稳定 断开电路中的电流和电压已稳定， 断开 图示电路，S断开电路中的电流和电压已稳定，S断开 前一瞬间的电感电流 iL (0 − ) = us R s = I 0 。S断开后电路中 断开后电路中 的响应是零输入响应。 的响应是零输入响应。 电路方程 初始条件 解得
零输入响应
电路在没有输入激励的情况下， 电路在没有输入激励的情况下，仅由非零原 始储能（即由u 始储能（即由 C(0－)和iL(0－)决定的电路中的储 和 决定的电路中的储 能）所引起的响应
动态 电路 响应
零状态响应
电路在零状态下[即 电路在零状态下 即uC(0－)＝0 、 iL(0－)＝0]， ＝ ＝ ， 仅由输入激励引起的响应
第九章 一阶电路和二阶电路
重点
1.时间常数 的概念及物理意义 时间常数τ的概念及物理意义 时间常数 2.三要素法分析一阶电路 三要素法分析一阶电路 3.二阶零输入响应的三种情况 二阶零输入响应的三种情况
难点
1.电容电压、电感电流不连续的一阶电路 电容电压、 电容电压 2.一阶和二阶电路的阶跃响应概念及求解 一阶和二阶电路的阶跃响应概念及求解
电路的零输入响应（ 一、RC电路的零输入响应（ZIR） 电路的零输入响应 ）
图示电路， 闭合前一瞬间的电容电压 闭合前一瞬间的电容电压u 图示电路，S闭合前一瞬间的电容电压 C(0－)＝U0，S ＝ 闭合后电路中的响应是零输入响应。 闭合后电路中的响应是零输入响应。 电路方程 初始条件 解得
duC RC + uC = 0 dt
S(t = 0)
+
C
i R
+ uR
u C (0 + ) = u C (0 − ) = U 0
uC = U 0e
− t RC
-
uc
t ≥ 0+
t
duC U 0 − RC = e i = −C dt R
t ≥ 0+
uC U0
uC =U0e
t − RC
i U0 R
O
uC (τ ) = 0.368U 0 uC (2τ ) = 0.135U 0 u C (3τ ) = 0.05U 0 u (5τ ) = 0.0068U C 0 t τ 2τ 3τ 4τ 5τ
i ），在换 非零状态的电路 （ uC ( 0− ) ≠ 0 、L ( 0− ) ≠ 0 ），在换
路以后，由输入激励和非零原始储能共同产生的响 路以后， 应称为全响应。 应称为全响应。 对于线性电路， 对于线性电路，全响应为零输入响应和零状态响 应之和。 应之和。 对于直流激励的一阶动态电路，通常采用三要素 对于直流激励的一阶动态电路，通常采用三要素 直流激励的一阶动态电路 法求解。 求解。
伏特 库仑 安培 ⋅ 秒 [τ ] = ⋅ ＝ 安培 ＝[秒] 安培 伏特
（3） 的大小反映了一阶电路过渡过程的进展速度，是反 ） 的大小反映了一阶电路过渡过程的进展速度， τ 映过渡特性的一个重要物理量， 越大，电惯性越大， 映过渡特性的一个重要物理量， 越大，电惯性越大，相同 τ 初始值情况下，放电时间越长。 初始值情况下，放电时间越长。
U0 −RC i= e R
t
t
O
从图中可以看出， 从图中可以看出，uC和 i 都是从各自的初始值按相同的指 1 的大小。 数规律衰减， 数规律衰减，衰减的快慢取决于指数函数中 的大小。仅取 RC 决于电路的结构和元件的参数。 决于电路的结构和元件的参数。
e
−
t RC
是一个衰减因子， 具有时间的量纲 具有时间的量纲。 是一个衰减因子，RC具有时间的量纲。对于给定的
i 例9-2-2 求图示电路换路后的响应 uC 、C 、iR 。
S(t = 0)
12Ω
10Ω
iC
20Ω
6V
20Ω
iR
10µF µF
uC
9-3 一阶电路的零状态响应
零状态响应（ ）：电路在零初始状态下 零状态响应（ZSR）：电路在零初始状态下（动态元件初始 ）：电路在零初始状态下（ 储能为零），由外施激励引起的响应。 储能为零），由外施激励引起的响应。 ），由外施激励引起的响应
S(t = 0)
R
i
R & Im
& U sm
uS
L
jω L
(a)
(b)
例 9-3-2
在图（ 在图（a）所示电路中，已知 uC ( 0− ) = 0， 所示电路中，
的波形如图（ 所示， is 的波形如图（b）所示，求 uC 、iC 。
iC
iS / A
5
iS
R
C
uC
O
2
t /s
(a)
(b)
9-4 一阶电路的全响应
iL
解得
iL = ( 0 .2 − 0 .2 e −5 t ) A t ≥ 0+
2ε (t )V
2H u L
u L = 2 e −5 t ε (t ) V
iL / A
0 .2
t ≥ 0+
uL / V
2
(b)
O
t /s
O
t /s
二、电路方程及解的一般形式
dr + ar = f ( t ) dt
式中r为待求响应， 为由激励决定的右端项 为由激励决定的右端项， 式中 为待求响应，f(t)为由激励决定的右端项，其函数形 为待求响应 式取决于激励的函数形式。 式取决于激励的函数形式。 通解 特解 全解
一、电路方程
开关S闭合以后电 图（a）所示电路，已知 iL ( 0 − ) = 0 ，开关 闭合以后电 ）所示电路， 路中的响应即为零状态响应。 路中的响应即为零状态响应。
S(t = 0)
8Ω
R a 6Ω iL
+
4V
i
8Ω
+
2H u L
-
-
b
(a)
d iL 2 + 10 i L = 2 dt
10Ω
(一) 直流激励的零状态响应
r(0+)=0； 以电容开路，电感短路求rf， rf为常量。 且 rf(0+)= rf，故
r = rf + [1 − rf ]e
−
t
τ
(1) RC串联电路直流激励下 的响应 串联电路直流激励下Uc的响应 串联电路直流激励下 S(t=0) R + +u – + C R US uC uC (0－)=0 i – –
uC =US −USe
−
t RC
=US(1−e
−
t激励下I (2) RL串联电路直流激励下 L的响应 串联电路直流激励下