数学分析中极限的化归转化思想方法
在“数学分析”中渗透数学思想的教学意义——化归与转化思想
化归 与转化 思想 。就 是把未 知 的数学 问题转 化
展 ，都是 由数 学思想 的突破 而引起 的 。可 以说 数学 为在 已学 知识 内可能解 决 的 问题 的一 种思想 ，其 特
思想 在数 学分 析 的发展 与完善 中起 着重要 的作用 。 点就 是实 现化 复杂 为简单 的转化 、从 不熟悉 向熟 悉
元 法 降阶法 等等 ，但任 何一 种数学 方 法都反 映 了一 知识 迈 进 ，使 低 一级 知识 向高一 级 知 识纵 深 发展 。
例如连续 函数 、导数 、定积分 、级数 的收敛等定义
收 稿 日期 ：２０１２—０２—２４ 基 金项 目 ：新世纪 教 改工程 ２０１０年项 目 （２０１０ＪＧＡ０７８）
深刻 、更本 质 ，具 有更 高 的概括水 平 。基本 的数 学 化 归思想 在数 学分 析 中起 着如 下两 种作用 ：
思 想包 括 ：符号 化思想 、公 理化 与结 构思想 、函数
（一 ）化 归 与转 化思 想对 数 学分 析 理论 起着 杠
与方 程 思 想 、数 形 结合 思 想 、化 归 思 想 、转 化 思 杆放 大作 用『１］
从 数 学发展 史来讲 ，微积分 的产生标 志着 从初 定 的数学思 想 ，如换元 法 实际上 就是转 化思 想 的具
等数 学到 高等数 学 的飞跃 ．经 过历 代数学 家们 的努 体 表 现 。
力 ．微积 分发展 成 为今天 具有 广泛 应用 意义 的数学
二 、化 归 与转化 思想
基础 学科— —数 学 分析 。数学 分析 理论 的每 一次发
一 些常用的函数 ，如指数函数、三角函数、对数 函 其 几何 意 义是 ：满 足 定理 三 个 条件 的 曲线 ｆ（Ｘ１在
化归思想在极限中的应用
分类号:017单位代码:10452毕业论文（设计）化归思想在极限中的应用姓名高云学号200901010352年级 2009专业数学与应用数学系（院）理学院指导教师王广兰2013年4月14日摘要本文根据已有的研究成果,论述了化归思想在极限中的应用.首先概述了化归思想的含义、化归思想的原则、化归思想的模式及化归思想的方法,然后说明了化归思想在极限中的地位和作用.本文的中心任务是利用化归将问题化繁为简、化难为易,化未知为已知,化抽象为具体的思想.以极限为出发点,分析总结数学分析中的定义、定理和推论是如何利用化归转化的思想得出新的定义、定理和推论,并通过列举实例进一步介绍了化归思想在数学分析中理论分析和解题过程中的具体应用.力求对数学化归思想的研究来指导自己的学习,达到从实践上升到理论的地步.关键词：化归思想；微积分；极限；级数ABSTRACTBased on the existing research results, this paper discusses the application of the transformation of ideas in the mathematical analysis. Firstly, it discourse the meaning of the idea, the principle of the idea, the mode of the idea and the method of the idea, and then illustrate the position and role of the transformation of ideas in mathematical analysis. The central task of this paper is using the ideas of the transformation,which is the use of normalized issues to simplify, the transformation of the unknown to the known, of the abstract to the concrete thinking.To achieve the transformation between the limits, differentiation, integration and progression,this paper summarizes and analyses how this knowledge,including definition, theorems and corollaries ,deduces new ones with the transformation of ideas starting form the limit in the mathematical analysis，and then describes the specific application of the theoretical analysis and problem-solving process in mathematical analysis by way of the idea.Strive to guide their own learning through the reserch of the transformation, to the point where rising from theoryto practice .Key words: transformation thoughts;calculus; limit; series目录1 引言 (1)2 化归思想 (1)2．1化归思想的概念 (1)2．2化归思想的方法 (1)3 化归思想在极限中的地位和作用 (2)4 化归思想方法在极限中的应用 (3)4.1数列极限与函数极限之间的化归 (3)4.2非规范的极限与规范极限之间的化归 (4)4.3不定式极限与洛比达法则之间的化归 (4)4.5极限与定积分之间的化归 (6)4.6多元函数的极限与一元函数的极限之间的化归 (6)5 结论 (8)致谢 (10)1 引言化归思想的内涵是在人们的学习数学解决问题的过程中，经常会遇到一些使用通常的方法而无法解决的未知的、复杂的、困难的、陌生的或非标准的抽象问题，因此采用“迂回的战术”，就是对于那些复杂的、困难的、陌生的或非标准的抽象问题，通过变形、转化将问题归结为对我们来说相对简单的、熟悉的、标准的、具体的或已知的问题的一种思想方法．化归实质上就是化繁为简，以简驭繁，化抽象为具体，以具体形象抽象，化未知为已知，以已知探索未知的过程．化归思想在数学分析中具有广泛的应用性，几乎渗透到数学分析的各个分支．比如：导数的定义化归为极限；求微分化归为求导数；二重积分与累次积分之间的转化；一些公式中的化归如格林公式、斯托克斯公式公式等等．化归思想在数学的学习中占有及其重要的位置，正确地理解化归思想将对我们数学的学习有很大的帮助[]3．2 化归思想2．1化归思想的概念所谓的化归思想就是把一些复杂的、陌生的、难以解决的问题进行变换转化变形,化为简单的、熟悉的、已经解决或容易解决的问题的一种思想方法．简单来说化归方法就是将复杂化为简单、未知化为已知、抽象化为具体、一般化为特殊以达到解决问题的目的的一种途径，如在积分中常用的换元法就是一种化归方法．通常化归思想方方法的结构由化归对象、化归目标和化归方法组成．化归对象是指所要解决的问题中需要转化的部分；化归目标是经过转化要达到的已有解决方法的规范问题；化归方法则是为了达到化归目标的要求所要采取的手段、措施和技术．化归思想方法可以用示意图表示，如下图1[]8：图1 化归思想方法示意图2．2化归思想的方法我们经常用到的化归思想方法主要有四种[]5：1．变形法，包括恒等变形及非恒等变形，通常所用的换元法就是一种变形法；2．典型化方法，就是把一般性问题转化为个别特殊典型问题的情况；3．逐步逼进法，也称作退步法，就是“退”，“退”到问题的开始而又不失重要性的地方，当然这里“退”又是为了以后的“进”，往前进，因此又称为逼进法；4．RMI（即关系映射的简称）方法，RMI方法可由如下图2思路框图形象说明其运用过程：ϕ−−−→映射-1ϕ逆映射图2 RMI思路框图[]5曾有人提出这样一个问题:“假设你现在有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，该怎么做？”对此，一人答道：“从水龙头处将水壶接满水，把水壶放在煤气灶上，再点燃煤气灶”，提出者认肯了这一回答．但他又追问：“现在水壶中已有足够的水，其他条件都没有变，又该怎样做呢？”．这时被提问者往往会很有自信的回答道：“把水壶放在煤气灶上，再点燃煤气灶．”但这一回答却并不能让提出者满意，因为在提出者看来，更为恰当的回答是：“只有物理学家才会这样做，而数学家则会倒去壶中水，并声称他已经把后一问题回归成先前已经解决的问题了[]9．这个故事恰好说明了化归思想方法在数学中的体现．例如，在计算二重积分时，通常都将二重积分化为累次积分，累次积分再化为定积分进行计算，最后得到结果．这就实现了由繁到简的化归过程．所以说化归思想实质上就是根据研究对象的某一性质通过特定的方法将原问题转化为我们熟知的某一问题，从而使原问题得到认知的过程．3 化归思想在极限中的地位和作用数学分析是数学系最重要的一门基础课．数学分析从发现、发展至形成严谨的理论，这一整个体系都可以看出化归思想的脉络[]1,化归转化思想已经渗透到它的各个分支．《数学分析》是有关无穷小量的分析的学科，通过它首先建立极限的概念，当极限概念一经建立，求极限的方法一经找到，整个学科的基本概念，如导数，连续，积分等的概念也就在极限的基础上发展起来了，因而对于此类问题益以从其本质作为出发点进行解决，即以求极限来解决．这样化归思想就将数学分析中的基本概念、基本理论都转化为已知概念—极限，其化归的思想的应用可见一斑．同时，在解决问题的过程中化归思想的脉络就更清楚了．如在计算00010-∞∙∞ ∞∞∞；；；；型极限，总是应用变形法化归为00型或∞∞极限计算，高阶导数可通过降阶化归为一阶导数，又如重积分、曲线积分、曲面积分都是通过降维化归为定积分进行计算．可以毫不夸张地说，数学分析这门学科正是利用无穷小量的分析建立起来的，而其一切概念、理论最后皆可化归到极限的概念和理论上去．极限思想与化归思想是建立数学分析的两条主要思想脉络，数学分析理论的发展、推广与化归是互为依存的．4 化归思想方法在极限中的应用《数学分析》全课程共包括四大部分：极限理论、一元函数微积分、级数理论、多元函数微积分．而一元函数、级数、多元函数相关的概念、结论、定理等相关知识是建立在极限的基础上的．如果我们把上述概念、结论、定理等看做珠子，那么极限就是这串珠成串的线．化归思想揭示了极限与这些概念的关系，以下就具体分析了化归思想在这四部分中的体现．4.1数列极限与函数极限之间的化归海涅归结原则把函数极限归结为数列极限问题来处理，从而我们应用归结原则和数列极限的有关性质就可以解决函数极限的问题，同样也可以利用函数极限的性质来解决数列极限的一些问题，归结原则实现了函数极限与数列极限之间的转化．归结原则[11]的内容可表述如下：()0lim x x f x A →=⇔对任意以0x 为极限的数列{}n x ；0n x x ≠，总有()lim n n f x A →∞=． 例4．1 证明函数极限柯西收敛准则的充分性：设函数()f x 在()'0;o U x δ内有定义，对任意的0ε>存在()'δδ<，使得对任何()''00,,x x U x δ∈都有()()'''f x f x ε-<，则极限()0lim x x f x →存在．【此题出华东师范大学数学系编写的《数学分析》第三版】 证 设数列{}()0'0;n x U x δ⊂，且0lim n n x x →∞=．由假设对给定的正数ε，存在相应的正数'δδ<，只要()'''00,,x x U x δ∈，便有()()'''f x f x ε-<．对上述的δ，由于0lim n n x x →∞=，则由数列极限柯西收敛准则，存在相应正数N ，对一切,m n ，都有()00,,n m x x U x δ∈，因此()()0m n f x f x ε-<．于是由数列(){}n f x 的柯西收敛知，它在极限存在，记为A ，即()lim n n f x A →∞=．设{}n y 为含于()'0;o U x δ的另外一个使0lim n n y x →∞=得数列，如上所证lim n n y →∞存在，记为B ，现证B A =．为此，考察数列{}1122:,,,,...,,,...n n n z x y x y x y ，易见{}()00U ,n z x δ⊂且0lim n n z x →∞=仍如上所证,(){}n f z 也收敛．于是作为(){}n f z 的两个子列(){}n f x ,(){}n f y 必有相同的极限．故有归结原则得：()0lim x x f x A →=．4.2非规范的极限与规范极限之间的化归有些情况下的极限值是无法直接求出的，但是可以转化为我们已知的极限的形式或者它的变形的形式，如两个重要的极限:0sin lim 1x x x →=()101lim 1+lim 1xx x x x e x →∞→⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，和一些等价的无穷小量，如：()()211cos 02x x x -→ ，()sin 0x x x → ，()arctan 0x x x → ，()()ln 10x x x +→ 等很多极限都可以化归为这些极限的形式或者它们变形的形式来求解．例4．2 求()()()21sin 1lim 13x x x x →--+． 解 由等价无穷小量可得()()()()()()2121sin 1lim 131lim 13x x x x x x x x →→--+-=-+0=．4.3不定式极限与洛比达法则之间的化归 两个无穷大量或无穷小量之比的极限成为不等式极限，即00型和∞∞，这类的极限用洛比达法则进行求解，而对于00010-∞∙∞ ∞∞∞；；；；这些由00和∞∞的变形形式的极限要化为前两种中极限来求解．但要注意的是洛比达法则（L ’Hospital ）是对函数而言的，既不能在数列形式下直接应用，因为对于离散变量n N +∈是无法求导数的．若要应用则必须通过海涅定理化归为函数后再求导数．例4．3 求()()01cos 2lim sin sin ln 12x x x x x x x →+-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【此题为南京大学2002年研究生入学考试试题】．分析 利用无穷小量计算极限值，L ’Hospital 法则的运用．解 由于1sin sin 22x x x - ，()ln 1x x + ，因此 ()()()()()00201cos 2lim sin sin ln 121cos 2lim 1211ln 1sin 122lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x→→→+-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭+-=⎡⎤++++⎢⎥+⎣⎦= ()()0ln 111lim 114x x x x x x →+⎡⎤=+++⎢⎥+⎣⎦ 94=． 4.4极限与级数之间的化归纵观整个级数理论部分可知，全部的级数理论都是在极限的基础上建立起来的，可以说级数的每一部分都与极限有着极大的关联．（1）求极限转化为级数．当所要证明数列的极限为0时，可以利用级数收敛的必要条件：若级数1n n u ∞=∑收敛，则lim 0n n u →∞=．例4．4 .1证明()!2!lim 0n n n a →∞= (1)a > 分析 通过观察可知直接求解极限值不容易，有极限值为0可以联想到级数收敛的必要条件， 即只讨论讨论级数()!2!n n a∑的收敛性即可，由正项级数的比式判别法可知，此级数收敛，由级数收敛，故由级数收敛的必要条件得证． （2）求极限转化为级数例4．4．2 设级数n a ∑收敛，证明0lim n n x x a a n+→=∑∑． 解 因[]()110,x x n ≤∈∞，且()111x x nn ≤+，所以1x n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调一致有界，又n a ∑收敛，从而n a ∑在[]0,∞上一致收敛，由阿贝耳判别法知n x a n ∑在[]0,∞上一致收敛，显然()1,2,n x a n n = ，在[]0,∞连续，由连续性定理知n x a n∑在[]0,∞上连续，故 00lim lim n n n x x x x a a a n n ++→→==∑∑∑．4.5极限与定积分之间的化归形如1lim n n n k a k →∞=∑的数列极限化归为计算定积分．计算1lim nn n k a k →∞=∑时，先将n a k 表示成1k f n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭的形式，其中f 是[]0,1上的连续函数，然后利用公1011lim n n k k k f f n n n →∞=⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑⎰． 例4．5 求()3341lim 12n n n →∞+++ 的极限． 分析 把极限化为某一定积分的极限，以便用定积分来计算．解()334333311lim 12112lim 1lim n n n n i n nn n n n n i n n →∞→∞→∞=+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∑ 311lim n n i i n n →∞=⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭∑ 是函数3()f x x =在区间[]0,1上的一个积分和的极限．取等分分割，1i x n ∆=，而i i n ξ=恒为小区间[]11,,i i i i x x n n --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的右端点，其中1,2,,.i n = 所以有 ()133341040111lim 1244n n x dx x n →∞+++===⎰ ．4.6多元函数的极限与一元函数的极限之间的化归多元函数因具有多个变量函数的复杂性增强，其性质和特征与一元函数有很大的不同，所以在计算多元函数的极限计算时就有更多的技巧，需要灵活运用．有时我们可以将多元函数的极限问题，通过变量替换可化归为一元函数的极限问题来讨论通过降低维数求解．具体为对二元函数作适当的变换()()x t y t ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩，可以使得二元函数(),f x y 在点(),P x y 的极限转化为一元函数在点()P t 的极限，则可见其转化．例4．6 ．1 设()()()()()2222-,,0,0,0,,0,0x y xy x y x y f x y x y ⎧ ≠⎪+=⎨⎪ =⎩．证()()(),0,0lim ,0x y f x y →=．证 对函数的自变量做极坐标变换cos sin x r y r ϕϕ=⎧⎨=⎩．这时()(),0,0x y →等价于对任何ϕ都有0r →．由于()222222,01sin 4414f x y x y xy x y r r ϕ--=+=≤，因此，对任何0ε>，只须取δ=0r δ<=<时，不管ϕ取什么值都有(),0f x y ε-<即()()(),0,0lim ,0x y f x y →=．例4．6．2 讨论极限()()()()242,,,0,0y x f x y x y y x -=≠+在()0,0点的极限是否存在．分析 判断一个二元函数的极限是否存在有两种方法，直接求出极限，或者选择两个特定方向来化归为一元函数的极限来求极限值，若这两个极限值不相等，则说明二元函数的极限不存在．解 当(),x y 沿直线y mx =趋于()0,0，即x x =，y mx =时，有()()()()2420000lim ,lim ,lim 1x x x y y mx mx x f x y f x y mx x →→→→=-===+．但当当(),x y 沿直线2y x =趋于()0,0，即2x y =，y y =时，()()()22240000lim ,lim ,lim 0x y y y x y y y f x y f x y y y →→→→=-===+．两个极限值相等，所以()()242,y x f x y y x -=+在()0,0的极限不存在．5 结论通过上面对化归思想在数学分析理论知识和实例中的论述，可以看到它在数学分析中的地位和作用，及其应用一斑．在解题和理论分析的过程正确运用化归思想，不仅能起到化繁为简、化难为易、化抽象为一般的效果，帮助我们深入理解课本知识，真正的消化吸收．还可以培养我们的创造能力，启迪思维，深化认识，这对我们今后的学习有着及其重要的意义[]2．参考文献[1]Maxine Pfankuch．Thingking Tools and Variation［J］.New Zealand．The university of Auckland．2005．[2]S.S.Kutateladze．Excursus into the History of Calculus[J]．Russia．Sobolev Institute of Mathematics．2007.[3]John Fauvel,Milton keynes．The Role of the History Mathe-matics in the Teaching and Learning of mathematics[J]．2006．[4]林远华．化归思想在数学分析解题中的应用[J]．广西．河池师专学报．2002．[5]侯林波，郑月．化归思想在数学分析中的应用[J]．黄河科技学院民族学院．2011．[6]叶宝存．浅谈化归思想在数学分析中的应用[J]．北京．自然科学出版社．2005．[7]赵小云，叶立军．数学化归思维论[J]．北京．科学出版社．2005．[8]陈向阳．浅谈数学分析中的化归思想和化归方法[J]．桂林．桂林市教育学院学报．1996．[9]杨丽星．浅论数学分析中极限的化归转化思想方法[J]．丽江．丽江师范高等专科学校数理系．2002[10]王延源．浅谈化归法的应用[J]．临沂．临沂师范学院学报．2003．[11]华东师范大学数学系．数学分析上册[M]．第三版．北京．高等教育出版社．2001．[12]华东师范大学数学系．数学分析下册[M]．第三版．北京．高等教育出版社．2001．[13]谢效训．化归思想方法在数学分析教学中的应用[J]．山东．枣庄师专学报．1998．[14]徐厚文．浅谈化归法[J]．山西．山西省雁北煤炭工业学校．[15]凌瑞璧．浅谈数学分析中的化归思想[J]．广西．广西教育学院学报．1995．[16]陈纪修，於嵩华，金路．数学分析上册[M]．北京．高等教育出版社．2000.致谢本论文是在导师王广兰老师的悉心指导下完成的．导师渊博的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远．不仅使我树立了远大的学术目标、掌握了基本的研究方法，还使我明白了许多待人接物与为人处世的道理．本论文从选题到完成，每一步都是在导师的指导下完成的．在此，谨向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢!2013年4月14日。
转化和化归_数学思想方法
• [评析] 1.在运用补集的思想解题时，一 定要搞清结论的反面是什么，“所有弦都 不能被直线y＝m(x－3)垂直平分”的反面 是“至少存在一条弦能被直线y＝m(x－3) 垂直平分”，而不是“所有的弦都能被直 线y＝m(x－3)垂直平分”．
[评析] 本题如果从已知条件 a23＝a1·a9⇒(a1＋2d)2＝ a1(a1＋8d)，解得 a1 与 d 的关系后，代入所求式子： aa21＋＋aa43＋＋aa190＝a1a＋1＋d＋a1＋a12＋d3＋d＋a1＋a18＋d9d，也能求解，但 计算较繁锁，易错．因此，把抽象数列转化为具体的简单 的数列进行分析，可以很快得到答案．
(1)若 a2＋b2＝1，可设 a＝cosα，b＝sinα； (2)若 a2＋b2≤1，可设 a＝rcosα，b＝rsinα(0≤r≤1)； (3)对于 1－x2，∵|x|≤1，由|cosθ|≤1 或|sinθ|≤1 知， 可设 x＝cosθ 或 x＝sinθ.
• [例3] 试求常数m的范围，使曲线y＝x2的 所有弦都不能被直线y＝m(x－3)垂直平 分．
[解析] 设 t＝sinx＋cosx， 则 t＝ 2sinx＋π4，t∈[－ 2， 2]， 而 sinxcosx＝21[(sinx＋cosx)2－1]＝12(t2－1)， 于是 y＝f(t)＝a2－a(sinx＋cosx)＋sinxcosx ＝a2－at＋12(t2－1)＝12t2－at＋a2－12
• [解析] 由题意得A＝{y|y>a2＋1或y<a}，B ＝{y|2≤y≤4}，我们不妨先考虑当A∩B＝∅时 a的取值范围．如图：
高中数学思想----转化与化归思想
转化与化归思想[思想方法解读] 转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法．一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．转化与化归思想是实现具有相互关联的两个知识板块进行相互转化的重要依据，如函数与不等式、函数与方程、数与形、式与数、角与边、空间与平面、实际问题与数学问题的互化等，消去法、换元法、数形结合法等都体现了等价转化思想，我们也经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化，在复习过程中应注意相近主干知识之间的互化，注重知识的综合性． 转化与化归思想的原则(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律． (4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决．体验高考1．(2016·课标全国乙)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100等于( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97 答案 C解析 由等差数列性质，知S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1，∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.2．(2016·课标全国丙)已知4213532,4,25,a b c ===则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <aD ．c <a <b答案 A解析 因为4243552,42,a b ===由函数y ＝2x 在R 上为增函数知b <a ；又因为24213,33324,255a c ====由函数23y x =在(0，＋∞)上为增函数知a <c .综上得b <a <c .故选A.3．(2016·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin Cc .(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .(1)证明 根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C . 代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c 中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin C k sin C，变形可得 sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，所以sin A sin B ＝sin C . (2)解 由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)知，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B .故tan B ＝sin B cos B＝4.高考必会题型题型一 正难则反的转化例1 已知集合A ＝{x ∈R |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x ∈R |x <0}，若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围．解 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}， 即U ＝{m |m ≤－1或m ≥32}．若方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均为非负，则⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，x 1＋x 2＝4m ≥0，⇒m ≥32，x 1x 2＝2m ＋6≥0所以使A ∩B ≠∅的实数m 的取值范围为{m |m ≤－1}．点评 本题中，A ∩B ≠∅，所以A 是方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0①的实数解组成的非空集合，并且方程①的根有三种情况：(1)两负根；(2)一负根和一零根；(3)一负根和一正根．分别求解比较麻烦，我们可以从问题的反面考虑，采取“正难则反”的解题策略，即先由Δ≥0，求出全集U ，然后求①的两根均为非负时m 的取值范围，最后利用“补集思想”求解，这就是正难则反这种转化思想的应用，也称为“补集思想”．变式训练1 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－373，－5 解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立． 由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0， 即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，所以m ＋4≥2t －3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.所以使函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5.题型二 函数、方程、不等式之间的转化 例2 已知函数f (x )＝eln x ，g (x )＝1e f (x )－(x ＋1)．(e ＝2.718……)(1)求函数g (x )的极大值；(2)求证：1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)(n ∈N *)．(1)解 ∵g (x )＝1ef (x )－(x ＋1)＝ln x －(x ＋1)，∴g ′(x )＝1x －1(x >0)．令g ′(x )>0，解得0<x <1； 令g ′(x )<0，解得x >1.∴函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴g (x )极大值＝g (1)＝－2.(2)证明 由(1)知x ＝1是函数g (x )的极大值点，也是最大值点，∴g (x )≤g (1)＝－2，即ln x －(x ＋1)≤－2⇒ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时等号成立)， 令t ＝x －1，得t ≥ln(t ＋1)(t >－1)． 取t ＝1n (n ∈N *)时，则1n >ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln ⎝⎛⎭⎫n ＋1n ，∴1>ln 2，12>ln 32，13>ln 43，…，1n >ln ⎝⎛⎭⎫n ＋1n ，叠加得1＋12＋13＋…＋1n >ln(2·32·43·…·n ＋1n )＝ln(n ＋1)．即1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)．点评 解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围． 变式训练2 设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1. (1)解 由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x －2，x ∈R . 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，ln 2)ln 2 (ln 2，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )单调递减 ↘2－2ln 2＋2a单调递增 ↗故f (x )的单调递减区间是(－∞，ln 2)， 单调递增区间是(ln 2，＋∞)， f (x )在x ＝ln 2处取得极小值，极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2－2ln 2＋2a .(2)证明 设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ， 于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . 由(1)知当a >ln 2－1时，g ′(x )取最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )>0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0， 所以g (x )在R 内单调递增．于是当a >ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)， 都有g (x )>g (0)．而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>0. 即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1. 题型三 主与次的转化例3 已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－23，1 解析 由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5， 令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1. 对－1≤a ≤1，恒有g (x )<0，即φ(a )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ φ(1)<0，φ(－1)<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2<0，3x 2＋x －8<0， 解得－23<x <1.故当x ∈⎝⎛⎭⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0. 点评 主与次的转化法合情合理的转化是数学问题能否“明朗化”的关键所在，通过变换主元，起到了化繁为简的作用．在不等式中出现两个字母：x 及a ，关键在于该把哪个字母看成变量，哪个看成常数．显然可将a 视作自变量，则上述问题即可转化为在[－1,1]内关于a 的一次函数小于0恒成立的问题．变式训练3 设f (x )是定义在R 上的单调递增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－1,1]恒成立，则x 的取值范围为______________． 答案 (－∞，－1]∪[0，＋∞) 解析 ∵f (x )是R 上的增函数， ∴1－ax －x 2≤2－a ，a ∈[－1,1]．(*) (*)式可化为(x －1)a ＋x 2＋1≥0对a ∈[－1,1]恒成立． 令g (a )＝(x －1)a ＋x 2＋1.则⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝x 2－x ＋2≥0，g (1)＝x 2＋x ≥0， 解得x ≥0或x ≤－1，即实数x 的取值范围是(－∞，－1]∪[0，＋∞)． 题型四 以换元为手段的转化与化归例4 是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间[0，π2]上的最大值是1？若存在，则求出对应的a 的值；若不存在，请说明理由． 解 y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32＝1－cos 2x ＋a cos x ＋58a －32＝－(cos x －a 2)2＋a 24＋58a －12.∵0≤x ≤π2，∴0≤cos x ≤1，令cos x ＝t ，则y ＝－(t －a 2)2＋a 24＋58a －12，0≤t ≤1.当a 2>1，即a >2时，函数y ＝－(t －a 2)2＋a 24＋58a －12在t ∈[0,1]上单调递增， ∴t ＝1时，函数有最大值y max ＝a ＋58a －32＝1，解得a ＝2013<2(舍去)；当0≤a2≤1，即0≤a ≤2时，则t ＝a2时函数有最大值，y max ＝a 24＋58a －12＝1，解得a ＝32或a ＝－4(舍去)；当a2<0，即a <0时， 函数y ＝－(t －a 2)2＋a 24＋58a －12在t ∈[0,1]上单调递减，∴t ＝0时，函数有最大值y max ＝58a －12＝1，解得a ＝125>0(舍去)，综上所述，存在实数a ＝32，使得函数在闭区间[0，π2]上有最大值1.点评 换元有整体代换、特值代换、三角换元等情况．本题是关于三角函数最值的存在性问题，通过换元，设cos x ＝t ，转化为关于t 的二次函数问题，把三角函数的最值问题转化为二次函数y ＝－(t －a 2)2＋a 24＋58a －12，0≤t ≤1的最值问题，然后分类讨论解决问题．变式训练4 若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (－∞，－8]解析 设t ＝3x ，则原命题等价于关于t 的方程t 2＋(4＋a )t ＋4＝0有正解，分离变量a ，得a ＋4＝－⎝⎛⎭⎫t ＋4t ， ∵t >0，∴－⎝⎛⎭⎫t ＋4t ≤－4， ∴a ≤－8，即实数a 的取值范围是(－∞，－8]．高考题型精练1．若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是( ) A ．(－∞，518] B ．(－∞，3]C ．[518，＋∞) D ．[3，＋∞)答案 C解析 f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3， 由于f (x )在区间[1,4]上单调递减， 则有f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0，即t ≥32(x ＋1x )在[1,4]上恒成立，因为y ＝32(x ＋1x )在[1,4]上单调递增，所以t ≥32(4＋14)＝518，故选C.2．已知函数f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是( )A ．[23，＋∞)B ．(23，＋∞)C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞) 答案 D解析 ∵f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，∴log 12m ＝－log 12n ，∴mn ＝1，∴0<m <1，n >1，∴m ＋3n ＝m ＋3m 在m ∈(0,1)上单调递减，当m ＝1时，m ＋3n ＝4，∴m ＋3n >4.3．过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( )A ．2a B.12a C ．4a D.4a答案 C解析 抛物线y ＝ax 2(a >0)的标准方程为x 2＝1a y (a >0)，焦点F (0，14a )，取过焦点F 的直线垂直于y 轴， 则|PF |＝|QF |＝12a ，所以1p ＋1q＝4a .4．已知函数f (x )＝(e 2x ＋1＋1)(ax ＋3a －1)，若存在x ∈(0，＋∞)，使得不等式f (x )<1成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，e ＋23(e ＋1))B ．(0，2e ＋1)C ．(－∞，e ＋23(e ＋1))D ．(－∞，1e ＋1)答案 C解析 因为x ∈(0，＋∞)，所以2x ＋1>1， 则e 2x ＋1＋1>e ＋1，要使f (x )<1，则ax ＋3a －1<1e ＋1，可转化为：存在x ∈(0，＋∞)使得a <e ＋2e ＋1·1x ＋3成立．设g (x )＝e ＋2e ＋1·1x ＋3，则a <g (x )max ， 因为x >0，则x ＋3>3， 从而1x ＋3<13，所以g (x )<e ＋23(e ＋1)，即a <e ＋23(e ＋1)，选C.5．已知f (x )＝33x ＋3，则f (－2 015)＋f (－2 014)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 016)＝________.答案 2 016解析 f (x )＋f (1－x )＝33x ＋3＋331－x ＋3＝33x ＋3＋3x3＋3x ＝3x ＋33x ＋3＝1， ∴f (0)＋f (1)＝1，f (－2 015)＋f (2 016)＝1，∴f (－2 015)＋f (－2 014)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 016)＝2 016.6．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c ，使得f (c )>0，求实数p 的取值范围是________． 答案 (－3，32)解析 如果在[－1,1]内没有值满足f (c )>0，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0，f (1)≤0⇒⎩⎨⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32⇒p ≤－3或p ≥32，取补集为－3<p <32，即为满足条件的p 的取值范围．故实数p 的取值范围为(－3，32)．7．对任意的|m |≤2，函数f (x )＝mx 2－2x ＋1－m 恒为负，则x 的取值范围是________________． 答案 (7－12，3＋12) 解析 对任意的|m |≤2，有mx 2－2x ＋1－m <0恒成立， 即|m |≤2时，(x 2－1)m －2x ＋1<0恒成立． 设g (m )＝(x 2－1)m －2x ＋1，则原问题转化为g (m )<0恒成立(m ∈[－2,2])．所以⎩⎪⎨⎪⎧g (－2)<0，g (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2x －3>0，2x 2－2x －1<0， 解得7－12<x <3＋12， 即实数x 的取值范围为(7－12，3＋12)． 8．(2016·天津模拟)已知一个几何体的三视图如图所示，如果点P ，Q 在正视图中所示位置：点P 为所在线段的中点，点Q 为顶点，则在几何体侧面上，从P 点到Q 点的最短路径的长为________．答案 a 1＋π2解析 由三视图，知此几何体是一个圆锥和一个圆柱的组合体，分别沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面并展开铺平，如图所示．则PQ ＝AP 2＋AQ 2＝a 2＋(πa )2＝a 1＋π2. 所以P ，Q 两点在侧面上的最短路径的长为a 1＋π2.9．求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围． 解 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以(1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．(2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)>0，f (1)>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0， 解得x <2或x >4.即x 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．10．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若m ，n ∈[－1,1]，m ＋n ≠0时，有f (m )＋f (n )m ＋n>0. (1)证明f (x )在[－1,1]上是增函数；(2)解不等式f (x 2－1)＋f (3－3x )<0；(3)若f (x )≤t 2－2at ＋1对∀x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数t 的取值范围． 解 (1)任取－1≤x 1<x 2≤1，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)x 1－x 2(x 1－x 2)． ∵－1≤x 1<x 2≤1，∴x 1＋(－x 2)≠0，由已知f (x 1)＋f (－x 2)x 1－x 2>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x )在[－1,1]上是增函数．(2)因为f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且在[－1,1]上是增函数，不等式化为f (x 2－1)<f (3x －3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－1<3x －3，－1≤x 2－1≤1，－1≤3x －3≤1，解得x ∈(1，43]． (3)由(1)知，f (x )在[－1,1]上是增函数，所以f (x )在[－1,1]上的最大值为f (1)＝1，要使f (x )≤t 2－2at ＋1对∀x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，只要t 2－2at ＋1≥1⇒t 2－2at ≥0，设g (a )＝t 2－2at ，对∀a ∈[－1,1]，g (a )≥0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝t 2＋2t ≥0，g (1)＝t 2－2t ≥0 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧t ≥0或t ≤－2，t ≥2或t ≤0， 所以t ≥2或t ≤－2或t ＝0.11．已知函数f (x )＝2|x －1|－a ，g (x )＝－|2x ＋m |，a ，m ∈R ，若关于x 的不等式g (x )≥－1的整数解有且仅有一解－2.(1)求整数m 的值；(2)若函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝12g (x )的图象的上方，求实数a 的取值范围． 解 (1)由g (x )≥－1，即－|2x ＋m |≥－1，|2x ＋m |≤1，得－m －12≤x ≤－m ＋12. ∵不等式的整数解为－2，∴－m －12≤－2≤－m ＋12， 解得3≤m ≤5.又∵不等式仅有一个整数解－2，∴m ＝4.(2)函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝12g (x )的上方， 故f (x )－12g (x )>0对任意x ∈R 恒成立， ∴a <2|x －1|＋|x ＋2|对任意x ∈R 恒成立．设h (x )＝2|x －1|＋|x ＋2|，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ，x ≤－2，4－x ，－2<x ≤1，3x ，x >1，则h(x)在区间(－∞，1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数，∴当x＝1时，h(x)取得最小值3，故a<3，∴实数a的取值范围是(－∞，3)．--。
函数极限的归结原理应用
函数极限的归结原理应用1. 什么是函数极限的归结原理函数极限的归结原理，也称为函数极限的替换原理，是数学分析领域的基本理论之一。
它是一种用来确定函数在某一点的极限值的方法。
归结原理的核心概念是，如果函数在某一点处的极限存在，并且在该点附近的所有邻域内，函数与另一个函数的差的绝对值可以任意小，则这两个函数具有相同的极限值。
2. 函数极限的归结原理的应用范围函数极限的归结原理在数学分析的各个领域都有广泛的应用。
以下是一些应用范围的例子：•极限计算：函数极限的归结原理是计算极限值的重要工具。
通过将给定函数与一个已知函数的差化为极限较为容易计算的形式，可以简化极限计算的过程。
•导数计算：在微分学中，导数是一个函数在某一点处的变化率。
函数极限的归结原理可以用于计算导数。
通过将函数化为极限的形式，可以得到函数在该点的导数。
•积分计算：在积分学中，积分是计算函数面积的一种方法。
函数极限的归结原理可以用于计算积分。
通过将函数化为极限的形式，可以得到函数的积分。
•级数求和：在级数学中，级数是一系列数的无穷和。
函数极限的归结原理可以用于求和级数。
通过将级数拆分为两个或多个级数的差，可以简化级数的求和计算。
3. 函数极限的归结原理的实例应用为了更好地理解函数极限的归结原理的应用，以下是一些实例应用的情况。
3.1 极限计算问题描述计算函数 f(x) = (3x^2 + 2x + 1) / (x - 1) 在 x = 1 处的极限。
解决方法首先，我们可以将函数化简为以下形式：f(x) = (3x^2 + 2x + 1) / (x - 1) = (x + 1)(3x + 1) / (x - 1)接下来，我们可以通过函数极限的归结原理来计算极限。
我们选择一个与函数中的 (x - 1) 相同的函数 g(x) = x - 1，并进行化简：f(x) = ((x + 1)(3x + 1) / (x - 1)) * (g(x) / g(x))化简后得到：f(x) = ((x + 1)(3x + 1) * g(x)) / ((x - 1) * g(x))在 x = 1 处，g(x) = 1 - 1 = 0，而分子 ((x + 1)(3x + 1) * g(x)) 在 x = 1 处等于 2，分母 ((x - 1) * g(x)) 在 x = 1 处等于 0。
数学八种思维方法
数学八种思维方法2021-03-26 17:55:33网络整理1.代数思想这是基本的数学思想之一，小学阶段的设未知数x，初中阶段的一系列的用字母代表数，这都是代数思想，也是代数这门学科最基础的根！2.数形结合是数学中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。
“数缺形时少直观，形无数时难入微”是我国著名数学家华罗庚教授的名言，是对数形结合的作用进行了高度的概括。
初高中阶段有很多题都涉及到数形结合，比如说解题通过作几何图形标上数据，借助于函数图象等等都是数形给的体现。
3.转化思想在整个初中数学中，转化(化归)思想一直贯穿其中。
转化思想是把一个未知(待解决)的问题化为已解决的或易于解决的问题来解决，如化繁为简、化难为易，化未知为已知，化高次为低次等，它是解决问题的一种最基本的思想，它是数学基本思想方法之一。
4.对应思想方法对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。
如直线上的点(数轴)与表示具体的数是一一对应。
5.假设思想方法假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。
假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。
6.比较思想方法比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。
在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。
7.符号化思想方法用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学内容，这就是符号思想。
如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。
如定律、公式等。
8.极限思想方法事物是从量变到质变的，极限方法的实质正是通过量变的无限过程达到质变。
浅谈数学思想方法之化归与转化思想
化； 分类 讨论 思想 体现 了局 部与 整体 的相互 转化 ， 以 所
以上 三种思 想方 法都 是 转 化 思想 的具 体 体 现 ， 而分 析 法 、 证法 、 反 待定 系数 法 、 造法 、 构 换元 法等 都是转 化 的
手段。
、
１２ 命题 动 向 ．
高 考 中十分 重视化 归 与转化 思想 的考查 ， 在选 择 、 填 空及 解答 题 中均会 有 所 体 现 ， 以要 求 考 生熟 悉 化 所
由倒数 法则
∈～ 一 ） （，ｏ （ 每 ｕ ＋ 。 。
２ ２ 正 与 反 的 相 互 转 化 ．
可知 ｂ ａ ０所 以ａ ＜ ０ ａ ＞ ０ ｌ ｌ ｌ ＜ ＜ ， ＋ｂ ， ｂ ，ｌ ＞ 。 ｂ ａ
所 以（ ） ，２ 、 ３ 错 误 。又 口、 １对 （） （ ） ６都 小 于 ０ 所 以 ，
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归 与转 化 的各 种 变换 方 法 ， 有 意识 地 运 用数 学 变 换 并
的方 法 ， 灵活解 决 有 关 的数 学 问题 。高 考 中 突 出考 查
一
０
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些 常用 的Байду номын сангаас 换方 法 ， 如数 与形 的转化 、 特殊 与一般 的
从 上游 漂流而 下 的一 只 巨大 的汽 油 灌 ， 已知 只 有 ５发
选 项 为 Ｂ ．
解 法二 ： 殊 值法 ， ａ一一 ３ ６ 一４ 则 直接 得 特 令 ，一 ，
＞０ 由均值 定理 得 ，
旦 ＋＿ ａ
ａ Ｄ
有些 数学 问题 ， 如果 直接从 正面人 手求 解难 度大 ，
化归与转化思想在高考数学解题中的运用
GUAN ＧＤONG JIAO YU GAO ZHONG2021年第2化归与转化思想在高考数学解题中的运用■甘肃省秦安县第二中学罗文军yxo化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图像、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法.1．化归与转化的思想方法：解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的.2．化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则；（2）简单化原则；（3）和谐化原则；（4）直观化原则；（5）正难则反原则3．化归与转化的途径：（1）从问题的反面思考；（2）局部向整体的转化；（3）未知向已知转化；（4）固定向重组的转化；（5）抽象向具体转化；（6）个别向一般的转化；（7）数向形的转化；（8）定量向定性的转化；（9）主元向辅元的转化.以下结合一些经典试题，谈谈化归与转化思想在高三解题中的运用.题型一：化归与转化思想简单化原则的体现化归与转化思想简单化原则在解题中的体现主要有：（1）将比较代数式的大小的问题，运用同构法，通过构造函数，化归为利用函数的单调性根据自变量的大小比较函数值的大小或者根据函数值的大小比较自变量的大小；（2）将概率与统计问题化归为集合间的基本关系与基本运算问题.例1.若2a +log 2a ＝4b +2log 4b ，则（）A.a ＞2b B.a ＜2b C.a ＞b 2 D.a ＜b 2【解析】由指数幂的运算性质和对数的运算性质可得，2a +log 2a ＝4b +2log 4b ＝22b +log 2b ，又因为22b +log 2b ＜22b +log 22b ＝22b +1+log 2b ，所以2a +log 2a ＜22b +log 22b .令ｆ（ｘ）＝2x +log 2ｘ，由指数函数和对数函数性质以及函数单调性的性质可得ｆ（ｘ）在（0，+∞）上单调递增，由ｆ（a ）＜ｆ（2a ），可得a ＜2b .【评析】本题考查了指数幂和对数的运算，函数的单调性的性质，构造函数后，把问题化归与转化为根据函数单调性，由函数值的大小比较自变量的大小，体现了化归与转化思想的简单化原则.例2.设命题p ∶4x-3≤1，命题q ∶x 2-（2a+1）x +a （a +1）≤0.若劭p 是劭q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是__________.【解析】由4x-3≤1，得１２≤x ≤１，记A ＝{x │１２≤x ≤１}；由x ２-（２a+1）x+a （a+1）≤0，可得a ≤x ≤a +1，记B ＝{x │a ≤x ≤a +1}.因为劭p 是劭q 的必要不充分条件，所以q 是p 的必要不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件，所以A 芴B ，所以a ≤１２，a+１≥11，解得0≤a ≤１２，所以实数a 的取值范围是[0，１２].【评注】本题的解答中，先把两个命题中的不等式的解集分别用集合A 和集合B 表示，再由劭p 是劭q 是的必要不充分条件转化为p 是q 的充分不必要条件，再转化为集合A 为集合B 的真子集，解得a 的范围.题型二：化归与转化思想直观化原则的体现化归与转化思想直观化原则在解题中的体现主要有：（1）画出函数图像后，利用函数图像研究函数的性质，进而直观的解决与函数有关的问题；（2）立体几何问题中，将立体问题平面化，画出轴截面或者中截面，利用平面几何问题破解题目.例3.设a ，b ∈R ，则|“a ＞b ”是“a a ＞b b ”的（）A.充要不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充要也不必要条件【解析】构造函数ｆ（ｘ）＝x x ＝ｘ２，ｘ≥0-x ２，ｘ＜1函数图像如图1，由图像可知ｆ（ｘ）＝x x 在R 上单调递增.当a ＞b 时，ｆ（a ）＞ｆ（b ），即a a ＞b b ，a ＞b 圯a a ＞b b .当ｆ（a ）＞ｆ（b ），即a a ＞b b 时，a ＞b ，a a ＞b b 圯a ＞b ，所以a ＞b 圳a a ＞b b ，“a ＞b ”是“a a ＞b b ”的充要条件，故选C.【评注】本题是一道比较复杂的充分必要条件问题，通过观察题目，通过类比和联想，运用化归与转化思想，构造函数ｆ（ｘ）＝x x 后，画出这个函数的图像，运用图像法判断这个函数在其定义域R 上为单调递增函数，把a 和b 看成这个函数的两个自变量，a a 和b b 分别看成这个函数的函数值ｆ（a ）29数学有数和ｆ（b），由增函数的性质可以得出，ａ＞b圳a a＞b b，所以ａ＞b是a a＞b b的充分必要条件，体现了化归与转化思想的简单化和直观化原则.例4.已知某个机械零件是由两个有公共底面的圆锥组成的，且这两个圆锥有公共点的母线互相垂直，把这个机械零件打磨成球形，该球的半径最大为1，设这两个圆锥的高分别为h1，h２，则h1+h２的最小值为________．【答案】22姨.【解析】由题意可知，打磨后所得半径最大的球是由这两个圆锥构成的组合体的内切球，内切球的半径R=1，如图为这个组合体的轴截面示意图，圆O为内切球的轴截面，E，F，G，H分别为切点，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，OH，由题意可知AB⊥BC，AD⊥DC，AC＝h1+h2，R＝OE＝OF＝OG＝OH＝1，则S四边形ABCD＝S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD，即AB×BC＝１２R×AB+１２R×BC+１２R×CD+１２R×AD＝１２R（2AB+2BC）＝R（AB+BC），所以AB×BC＝AB+BC.由基本不等式可得AB×BC＝AB+BC≥2AB×BC姨，则AB×BC≥4，当且仅当AB＝BC时等号成立．所以（h1+h2）2＝AC2＝AB2+BC2≥2AB×BC≥8，当且仅当AB＝BC时等号成立，故h1+h2的最小值为22姨.【评注】本题的解答运用了化归与转化的思想，通过研究组合体和其内切球的轴截面，把空间立体几何问题化归为平面几何问题，做到了把问题直观化的原则.题型三：化归与转化思想熟悉化原则的体现化归与转化思想熟悉化原则在解题中的体现主要有：（1）不等式题目中，把含一个参数的不等式恒成立问题，通过分离变量，化归为求函数在给定区间上的最值问题；（2）立体几何题目中，利用长方体或者正方体模型，把一些三棱锥、四棱锥和三棱柱的外接球问题化归为熟悉的长方体或者正方体的外接球问题.例5.若对任意的ｘ∈（0，+∞），ax-ln（2ｘ）≥1恒成立，则实数a的最小值是_______【解析】由已知可得，对任意的ｘ∈（0，+∞），a≥ln（2ｘ）+1ｘ恒成立，令g（ｘ）＝ln（2ｘ）+1ｘ，g′（ｘ）＝１ｘ·ｘ-ln（2ｘ）ｘ2＝1-ln（2ｘ）ｘ2，令g′（ｘ）＝0，则1-ln（2ｘ）＝0，则ｘ＝e2，当0＜ｘ＜e2时，g′（ｘ）＞0，g（ｘ）单调递增；当ｘ＞e2时，g′（ｘ）＜0，g（ｘ）单调递减，所以当ｘ＝e2时，g（ｘ）取得最大值g（ｘ）max＝g（e2）＝ln e+1e2＝4e，所以a≥4e，所以a的最小值为4e.【评注】本题的解答运用了分离变量法，分离变量后，构造函数后，把a≥g（ｘ）在（0，+∞）上恒成立等价转化为a≥[g（ｘ）]max（ｘ∈（0，+∞）），转化为求函数g（ｘ）在（0，+∞）上的最大值问题，g（ｘ）的最大值即为a的最小值，本题体现了化归与转化思想的熟悉化原则.例6.设数列{a n}的前n项为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＝2a n S n-2S2n.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在正数k，使（1+S1）（1+S2）…（1+S n）≥k2n+1姨对一切正整数n都成立？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由.解：（1）因为当n≥2时，a n＝2a n S n-2S2n，所以a n＝2S2n2S n-1，n≥2，所以（S n-S n-1）（2S n-1）＝2S2n，所以S n-S n-1＝-2S n S n-1，所以１S n-１S n-1＝2，n≥2，所以数列{１S n}是以１S1＝1为首项，以2为公差的等差数列，所以１S n＝1+2（n-1）＝2n-1，所以S n＝１2n-1，所以，当n≥2时，a n＝S n-S n-1＝１2n-1-１2n-３＝-2（2n-1）（2n-3），因为a1＝S1＝1，所以a n＝1，n=1-2（2n-1）（2n-3）.n≥≥2（2）设ｆ（n）＝（1+S1）（1+S2）…（1+S n）2n+1姨，则ｆ（n+1）ｆ（n）＝2n+22n+1姨2n+3姨＝4n2+8n+44n2+8n+3姨＞1，所以ｆ（n）在n∈N鄢上递增，要使ｆ（n）≥k恒成立，只需要ｆ（n）min≥k，因为ｆ（n）min＝ｆ（1）＝2３姨３，所以0＜k≤2３姨3.【评注】第（1）问运用了数列的前n项和S n与通项a n之间的关系a n＝S n-S n-1（n≥2），把a n转化为S n-S n-1，再合并同类项后运用取倒数法，再根据等差数列的定义得出数列{１S n}的通项公式，再得出数列{a n}的通项公式；第（2）问分离变量后构造函数ｆ（n），用作商法判断ｆ（n）的单调性，把不等式ｆ（n）≥k在n∈N鄢上恒成立等价转化为ｆ（n）min≥k（n∈N鄢），两问都运用到了化归与转化思想.AEBFHDGOC302021年第2GUAN ＧＤONG JIAO YU GAO ZHONG2021年第2题型四：化归与转化思想和谐化原则的体现化归与转化思想和谐化原则在解题中的体现主要有：（1）解三角形问题中利用正弦定理实现边角的互化；（2）在三角函数问题中，将形如y=a sin x+b cos x 的函数问题利用辅助角公式化归为形如y=A sin （棕x+渍）的函数问题；（3）解析几何中，将两直线垂直化归为斜率乘积为-1或者方向向量的数量积为0；（4）将形如滋＝y -b x -a形式的最值问题，转化为动直线斜率的最值问题.例7.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b -c ＝a ·cos C -c ·cos A .（1）求角A ；（2）若a ＝3，求b +2c 的最大值.【解析】（1）因为b -c ＝a ·cos C -c ·cos A ，由正弦定理可得，sin B -sin C ＝sin A cos C -sin C cos A ，所以sin B -sin C ＝sin （A -C ）所以sin （A +C ）-sin C ＝sin （A -C ），所以sin A cos C +cos A sin C -sin C ＝sin A cos C -cos A sin C ，所以cos A ＝１２，因为0＜A ＜仔，所以A ＝仔３.（2）由（1）可得，C ＝２仔３-B ，由正弦定理得，a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，所以３sin 仔３＝b sin B ＝c sin （２仔３-B ），所以b ＝2３姨sin B ，c ＝2３姨sin （２仔３-B ），所以b +2c ＝2３姨sin B +4３姨sin （２仔３-B ）＝2３姨（2sin B +３姨cos B ）＝221姨sin （B +渍），其中tan 渍＝３姨2，渍∈（0，仔2），由B ∈（0，２仔３），存在B 使得B +渍＝仔2，所以sin （B +渍）的最大值为1，所以b+２c 的最大值为221姨.【评注】第（1）问运用正弦定理实现边转化为角，再逆用两角差的正弦公式，运用内角和定理以及诱导公式，再运用两角和的正弦公式和两角差的正弦公式，得出cos A 的值，得出角A 的值；第（2）问运用了正弦定理将关于边的最值问题化为角的最值问题，运用三角形内角和定理以及诱导公式，再运用辅助角公式，化为三角函数在给定范围上的最值问题；两问都运用了化归与转化思想，体现了和谐化原则.例8.已知函数f （ｘ）＝ｘ2ｘ-1，则f （12019）+f （22019）+f （32019）+…+f （20182019）的值为_____.【解析】由于直接计算有困难，先探求一般的规律，因为f （ｘ）＝ｘ2ｘ-1，所以f （1-ｘ）＝1-ｘ2（1-ｘ）-1＝1-ｘ1-2ｘ＝ｘ-12ｘ-1，所以f （ｘ）+f （1-ｘ）＝1，倒叙相加可得f （12019）+f （22019）+f （32019）+…+f （20182019）＝1009.【评注】本题的解答中体现了特殊问题转化为一般化，运用了化归与转化思想，先通过探究在宏观上把握问题的一般规律，再将特殊问题破解.题型五：化归与转化思想的正难则反原则在解题中的体现化归与转化思想的正难则反原则在高中数学解题中的体现主要有：（1）间接证明方法中的反证法在解题中的运用；（2）概率问题中对立事件和互斥事件的概率公式的运用.例9.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a １＝1+2姨，S 3＝9+32姨.（1）求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；（2）设b n ＝S n n（n ∈N 鄢），求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【解析】（1）设公差为d ，由已知得ａ1＝2姨+1，3ａ1+3d ＝9+32姨姨，所以d ＝2，故a n ＝2n -1+2姨，S n ＝n （n +2姨）．（2）证明：由（1）得b n ＝S n n＝n +2姨.假设数列{b n }中存在三项b p 、b q 、b r （p 、q 、r 互不相等）成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即（q +2姨）2＝（p +2姨）（r +2姨），所以（q 2-pr ）+（2q -p-r ）2姨＝0.因为p ，q ，r ∈N 鄢，所以q ２-pr ＝0，2q-p-r ＝0姨，所以（p+r 2）２＝pr ，（p-r ）２＝0，所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列.【评注】本题的解答的第（2）问中运用了反证法，先反设假定要证的结论不成立，而设出结论的反面成立，将这个反设作为条件，运用等比数列的定义和通项公式，通过推理，得出p ＝r 与已知条件相矛盾，所以反设错误，所以要证明的结论成立，反证法归属于间接证明方法，第（2）问运用了化归与转化的思想.例10.掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A +B 发生的概率为____.【答案】23.【解析】掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P （A ）＝26＝13，P （B ）＝46＝23，所以P （B ）＝1-P （B ）＝1-23＝13，显然A 与B 互斥，从而P （A+B ）＝P （A ）+P （B ）＝13+13＝23.【评注】先由古典概型概率公式求出事件A 和事件B 的概率，再由对立事件概率公式求出事件B 的对立事件B 的概率，再由互斥事件概率公式，把事件A+B 的概率化归为求P （A ）和P （B ）的和，运用了化归与转化思想.责任编辑徐国坚31。
高考数学化归与转化思想及方法讲解
高考数学化归与转化思想及方法讲解化归与转化的思想方法是中学数学中的重要思想方法之一，也是高考数学中重点考查的思想方法.化归与转化的思想就是将复杂或陌生、新颖的数学问题、数学信息和数学情景转化为简单或已知的数学知识和成熟的经验方法，从而解决问题的策略.化归与转化的思想,遵循以下五项基本原则: (1)化繁为简的原则. (2)化生为熟的的原则. (3)等价性原则. (4)正难反则易即逆向思维原则.当问题从正面解决困难时,可以转化为问题的逆否命题或考虑反证法.(5)形象具体化原则.将抽象的数学信息转化为可以观察,或者能够定性研究的具体问题.下面通过一些具体例子说明化归与转化思想中主要的一些方法.1.用构造法实现化归与转化例1 已知,3232,x y y x R y x --+>+∈且那么（ ）0y x .<+A 0y x .>+B 0 x y .<C 0 x y .>D分析：已知不等式两边都含有y x ,两个变量，而学生目前只学习一元函数，为此先把不等式化为yyxx 3232->---，使它的两边都只含有一个变量，于是可以构造辅助函数xxx f --=32)(，通过构造函数,把不等式问题化归为函数单调性问题.解：把原不等式化为y yxx3232->---，即)(3232y yxx ----->-.设.32)(xx x f --=因为函数xx--3,2均为R 上的增函数,所以xxx f --=32)(是R 上的增函数. 不等式)(3232y yxx----->-即)()(y f x f ->,0>+->∴y x y x 即,故选B .2.转换变量实现化归与转化例2设1log)2()(log 222+--+=t x t x y ,若t 在]2,2[-上变化时,y 恒取正值,求x 的取值范围.分析:本题中,如果把y 看作x 的函数,则该题就是一个有限制条件的定义域问题,解法较为复杂.由于t 在]2,2[-上变化,所以如果转换思维角度,把y 看作t 的函数,则y 就是关于t 的一次函数或常数函数.原命题的陈述方式变为:关于t 的函数y ，当自变量t 在]2,2[-上变化时，y 恒大于零，求字母x 的取值范围.从而有以下简捷解法. 解:设.1log2)(log)1(log)(2222+-+-==x x t x t f y 则)(x f 为一次函数或常数函数.当]2,2[-∈t 时,0)(>x f 恒成立,则⎩⎨⎧>>-,0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-01log3log 4log22222x x x ,解得1l o g 2-<x 或210,3log2<<∴>x x 或8>x ,所以x 的取值范围是).,8()21,0(+∞3.用换元法实现化归与转化例3已知,R a ∈求函数)cos )(sin (x a x a y --=最小值.分析:把函数)cos )(sin (x a x a y --=展开后,可以观察到该函数是关于x x x x cos sin cos sin +⋅与的三角函数式,因此可以把x x cos sin +看作一个量,把该函数式转化为一个二次函数在给定区间上的最值问题. 解:设xx t cos sin +=,则].2,2[),4sin(2-∈+=t x t π而),1(21]1)cos [(sin 21cos sin 22-=-+=⋅t x x x x所以x x x x a a t f y co s s i n )c o s (s i n )(2⋅++-==2121)1(212222-+-=-+-=a at t t at a ].2,2[,2121)(2122-∈-+-=t a a t（1）若22≤≤-a 时，当;2121)(,2m i n -==a t f a t （2）若2>a 时，)(t f 在]2,2[-上单调递减，;212)2()(2m in +-==a a f t f （3）若2-<a ，)(t f 在]2,2[-上单调递增，212)2()(2min ++=-=a af t f .4．用数形结合实现化归与转化例4 已知不等式22)12(x a x ⋅<-的解集中只有三个整数解,求实数a 的取值范围. 分析:如果本题从不等式的角度去考虑,将比较繁琐.如果画出函数22)(,)12()(ax x g x x f =-= 的大致图像（如图1所示）,从图像上可以看到,要使不等式成立,必须 0>a ,而且满足22)12(x a x ⋅<-的图像在y 轴的右边,由此看到，解集中三个整数解分别为3,2,1，而4不再是不等式的解，从而由函数值的大小关系，解得实数a 的取值范围. 通过数形结合,把求不等式中字母a 的问题,化归为两个二次函数在几个关键值的大小问题. 解:在同一坐标系中画出22)(,)12()(ax x g x x f =-=（0>a ）的大致图像图像,如图1所示.从图1中看到,要使不等式22)12(x a x ⋅<-的解集中只有三个整数解,那么这三个解只能是3,2,1.所以⎩⎨⎧≥<)4()4()3()3(g f g f 即⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅<22224735a a 解得.1649925≤<a 这就是实数a 的取值范围. 5.用分离变量法实现化归与转化例5 若不等式012≥++ax x 对一切]21,0(∈x 成立,则a 的最小值为 .分析:要求a 的最小值,需要求出a 的取值范围.若通过讨论一元二次不等式在给定区间上恒成立，可能较繁琐.若把字母a 单独分离出来,放于不等式的一边,则另一边是关于x 的函数关系式.通过求函数式的值域或范围,可以求得字母a 的取值范围.解:因为]21,0(∈x ,所以可以把不等式012≥++ax x 化为:)1(x x a +-≥.设x x x f 1)(+=, ]21,0(∈x .因为xx x f 1)(+=在]21,0(∈x 时单调递减,所以25)1( ,25)(-≤+-≥x x x f .要使不等式)1(xx a +-≥对一切]21,0(∈x 成立,则25-≥a ,所以a 的最小值为25-.6.用特殊化法实现化归与转化例6 已知|,0,3||,1|=⋅==OB OA OB OA 点C 在ABC ∠内,且30=∠AOC .设),(R n m OB n OA m OC ∈+=,则=nm ( )31 .A 3 .B 33.C 3 .D图1解析：本题若按通常解法，需要根据向量所给出的平面几何关系，把OB n OA m OC +=两边平方后，得到n m ,关系式，从中求出nm ,比较繁琐.现在如果把n m ,特殊化,如取1=m 则OB AC //.由AC OA AOC OA ⊥=∠=,30,1|| 得33||=AC ,所以31=n ,则3=nm ,由此判断选择支D C A ,,错误,故B 正确.7.用导数实现化归与转化例7 已知函数22()ln (0)f x x a x x x=++>， （I ）令1a =，求函数()f x 在2x =处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 在[1,)+∞上单调递增，求a 的取值范围.分析:本题是一个非基本初等函数在某点处切线和单调性的问题.在（I ）中,把1a =代入函数的解析式后,再求函数的导数,得()f x 在2x =处的切线斜率,最后写出方程.在（Ⅱ）中,先求函数22()ln (0)f x x a x x x=++>的导函数)(x f ',再令0)(≥'x f 在[1,)+∞上恒成立,求得a 的取值范围. 通过导数的几何意义,把非基本初等函数的切线和单调性问题,化归为求导函数值和不等式恒成立问题,这是导数的重要贡献之一. 解:（I ）由2222()ln ,'()2af x x a x f x x x x x=++=-+得切线的斜率k '(2)4f ==切点坐标（2，5+ln 2）， 所求切线方程为(5ln 2)4(2)y x -+=-,即02ln 34=+--y x（Ⅱ）若函数为[1,)+∞上单调增函数，则()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立，即不等式2220ax x x-+≥在[1,)+∞上恒成立 也即222a x x ≥-在[1,)+∞上恒成立.令22()2,x x xϕ=-上述问题等价于m ax (),a x ϕ≥而22()2x x xϕ=-为在[1.)+∞上的减函数， 则max ()(1)0,x ϕϕ==于是0a ≥为所求.8.用定义、公式、定理、图形和已知结论等实现化归与转化例8已知数列{}n a 的前n 项和322+=n S n ,求数列{}n a 的通项n a .分析:数列{}n a 的前n 项和已知,根据前n 项和定义n n a a a S +++= 21得,当2≥n 时,1--=n n n S S a ,把数列{}n a 的前n 项和问题转化为数列的通项问题. 这是最常见和应用最广泛的解题方法,它蕴含着最直接的化归与转化的思想.解:因为322+=n S n ,所以当2≥n 时, 1--=n n n S S a 243)1(23222-=---+=n n n , 又当1=n 时,53211=+==S a ,所以⎩⎨⎧=≥-=1,52,24n n n a n .9.利用命题的否定或反证法实现化归与转化例9 已知下列三个方程: 03442=+-+a ax x , 0)1(22=+-+a x a x ,0222=-+a ax x 至少有一个方程有实数根,求实数a 的取值范围.分析:若从题设入手,三个方程至少有一个有实数根,则需要分为三类,即有一个方程有实根,有两个方程有实根, 有三个方程有实根.而且前两类中又各有三种情况,比较复杂.因此考虑该问题的相反情况即:三个方程都没有实根.求得a 的范围后,再在R 上求补集.该转化较好的体现了正难反则易的思想.解:假设三个方程均无实根，则有⎪⎩⎪⎨⎧<--<-<+--）（）（）（30)2(4)2(2 041)-(a 1 0)34(4)4(2222a a a a a ，解（1）得：,2123<<-a 解（2）得：,311>-<a a 或解（3）得：.02<<-a 所以三个方程均无实数解时.123-<<-a 因此三个方程至少有一个实数解时a 的取值范围是123-≥-≤a a 或.10.利用归纳类比实现化归与转化例10 在球面上有四个点C B A P 、、、,如果PC PB PA 、、两两互相垂直，如图2所示,且,a PC PB PA ===那么这个球面的面积是( )223.a A π 223 .a B π 23 .a C π 2433.a D π解析:本题若只从题设条件入手,不易确定PC PB PA 、、与球心及球的半径的关系，因此不易找到等量关系进行计算.若类比我们熟悉的球与多面体的组合体,则可以联想到球的内接正方体. PC PB PA 、、看作正方体顶点P 处的三条棱（如图3）,正方体的体对角线PD 就是球的直径. 通过类比, 确定了球心及半径与已知条件的关系,把问题转化为球的内接正方体P C B AD图3P ABC图2问题.所以球的半径a r 23=,球的表面积2234a rS ππ==.故选C .化归与转化的思想贯穿于解题行为的始终,化归与转化的方法精彩纷呈,不胜枚举.让我们深刻理解化归与转化的精髓,把握化归与转化的方法,进一步提高分析问题和解决问题的能力.。
数学分析中的化归法
数学分析中的化归法目录摘要 (1)Abstract (1)1. 绪论 (2)1.1 化归法的背景 (2)2. 详谈化归法 (3)2.1 化归法的分类 (3)2.2 常见的化归方法及化归思想 (3)2.2.1 化归的方法 (3)2.2.2 化归的思想 (4)2.3 化归法的原则 (5)2.3.1 化归的方向与一般模式 (5)2.3.2 化归法的原则 (5)3. 数学分析中的化归 (6)3.1 化归思想在数学分析中的显化 (6)3.2化归法在数学分析解题中的体现 (12)3.2.1 在极限中的体现 (12)3.2.2 在微分中的体现 (15)3.2.3 在积分中的体现... .. (16)3.2.4 在级数中的体现 (22)3.3如何在数学分析的学习中培养化归意识 (24)4.小结 (25)参考文献 (26)致谢 (27)数学分析中的化归法摘要：化归法是数学中常用的一种研究和解决数学问题的方法，有着重要的作用和意义。
何谓“化归”，从字面上看可以理解为转化和归结的的意思。
化归法主要是将一些不熟悉和未解觉的问题通过各种转化，变成我们已经熟悉和解决的问题或是容易解决的问题，从而达到证明和求解的目的，它是解决难题的有效途径；数学分析是一门内容复杂的课程，主要研究极限、导数、积分、级数等内容。
化归法自始至终都渗透在数学分析教材中,因为数学分析所研究得对象是函数，而研究函数的方法是极限，在数学分析中所有的概念几乎都离不开极限，而极限是为了使一些实际问题的求解更精确而产生的，在求这些实际问题的过程中都运用到了化归法。
化归法在数学分析中有着广泛的应用，在数学分析中有很多的问题都可以用化归的思想来解决。
关键词：化归；化归法；数学分析；化归法的应用中图分类号：O1-0The reduction method of mathematical analysisAbstract: Reduction method is a common method of researching and solving the mathematics problems which plays an important role and has big significance. What is “reduction”, it can be literally understood as the transformation and resolution. In order to achieve the purpose of proving and solving, reduction is mainly to transform some unfamiliar and unsolved problems into familiar and solved problems or the problem which is easy to solve, it is an effective approach of solving the difficult problems. Mathematical analysis is a complex course, mainly studies the limit, derivative, integral, series etc. Reduction method always infiltrates in teaching of mathematical analysis, because the research object of mathematical analysis is the function, and studies on the function of the method is the limit, in the mathematical analysis, all the concepts are almost inseparable from the limit, and the existence of limit is to make some resolutions of practical problem more precise, the reduction method is used in the process of solving the practical problem. Reduction has a wide range of applications in mathematical analysis; a lot of problems can be solved by the reduction.Key words: Reduction; Reduction method; Mathematical analysis; The application of reduction method1 绪论数学问题的解决往往有很多的方式、方法，在这些方式、方法中有一个共同的特点，就是化归。
高中数学中转化与化归思想方法
高中数学中转化与化归思想方法转化与化归思想是高中数学中非常重要的解题方法之一、它通过转化和化归问题的方式，将原问题转化为已知问题或相对简单的问题，从而更方便地解决问题。
接下来，我们将详细介绍转化与化归思想的基本原理、步骤和一些常见应用。
转化与化归思想的基本原理可以总结为两点：一是利用数学中的等价关系，将问题中的未知量或条件转化为已知量或更简单的条件；二是通过变量代换、形式转化等方式，改变问题的表达方式或结构，使其更适合我们已知的解题方法。
在具体解题过程中，我们可以按照以下步骤进行：1.通读题目，理解问题的要求和条件。
这一步非常重要，要确保我们对问题的内容和目标有清晰的理解。
2.找到问题中的关键信息和未知量。
这些信息和未知量通常会包含在问题的描述、条件或要求中，我们需要将其抽象出来并进行变量表示。
3.分析问题的性质和特点。
我们需要考虑问题的数学特征、结构和求解方法，以便选择合适的转化和化归方法。
4.进行变量代换或形式转化。
基于问题的性质和特点，我们可以选择合适的变量代换或形式转化方式，将问题转化为已知问题或者更简单的问题。
常用的方法包括平移到原点、找到对称性、消元法等。
5.解决转化后的问题。
一旦将问题转化为已知问题或相对简单的问题，我们可以利用已有的数学知识和解题方法来解决问题。
6.反向思考，回归原问题。
解决了转化后的问题后，我们需要反向思考，将解答归还给原问题，确保解答符合原有的要求和条件。
转化与化归思想在高中数学中的应用非常广泛。
1.几何问题。
几何问题中涉及的角、线段、面积等都可以进行变量代换和形式转化，从而简化计算和求解。
2.代数问题。
代数问题中的方程、不等式、函数等可以通过变量代换和形式转化来简化计算和解决问题。
3.概率问题。
概率问题中涉及到的事件、概率等可以通过变量代换和形式转化来简化计算和求解。
4.数列问题。
数列问题中的数列、通项公式等可以通过变量代换和形式转化来简化计算和求解。
总之，转化与化归思想在高中数学中是一种非常重要的解题方法。
高中数学思想之转化与化归的思想（非常重要）
⾼中数学思想之转化与化归的思想（⾮常重要）【⾼考展望】解决数学问题时，常遇到⼀些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类⽐、联想等思维过程，选择运⽤恰当的数学⽅法进⾏变换，将原问题转化为⼀个新问题（相对来说，对⾃⼰较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的⽬的，这⼀思想⽅法我们称之为“转化与化归的思想⽅法”转化与化归思想在⾼考中占有相当重要的地位，可以说⽐⽐皆是，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等等.各种变换、具体解题⽅法都是转化的⼿段，转化的思想⽅法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中.⾼考对本讲的考查为：（1）常量与变量的转化：如分离变量，求范围等。
（2）数与形的互相转化：若解析⼏何中斜率、函数中的单调性等。
（3）数学各分⽀的转化：函数与⽴体⼏何、向量与解析⼏何等的转化。
（4）出现更多的实际问题向数学模型的转化问题。
【知识升华】转化与化归思想⽅法，就是在研究和解决有关数学问题时采⽤某种⼿段将问题通过变换使之转化，进⽽得到解决的⼀种⽅法.⼀般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题变换转化为已解决的问题.解题的过程就是“化归”的过程，不断地改变待解决的问题，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有⽤的东西为⽌.1．转化与化归应遵循的原则（1）熟悉化原则：将陌⽣的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运⽤熟知的知识、经验和⽅法来解决.（2）简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的⽬的，或获得某种解题的启⽰和依据.（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所呈现的和谐统⼀的形式，或者转化命题，使其有利于运⽤某种数学⽅法或符合⼈们的思维规律.（4）直观化原则：将⽐较抽象的问题转化为⽐较直观的问题来解决.（5）正难则反原则：当问题正⾯讨论遇到困难时，可考虑问题的反⾯，设法从问题的反⾯去探求，使问题获解.2．转化与化归的基本类型（1）正与反、⼀般与特殊的转化，即正难则反，特殊化原则.（2）常量与变量的变化，即在处理多元问题时，选取其中的变量（或参数）当“主元”，其他的变量看作常量.（3）数与形的转化，即利⽤对数量关系的讨论来研究图形性质，也可利⽤图形直观提供思路，直观地反映函数或⽅程中的变量之间的关系.（4）数学各分⽀之间的转化，如利⽤向量⽅法解⽴体⼏何问题，⽤解析⼏何⽅法处理平⾯⼏何、代数、三⾓问题等.（5）相等与不等之间的转化，如利⽤均值不等式、判别式等.（6）实际问题与数学模型的转化.3．常见的转化⽅法（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.（2）换元法：运⽤“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、⽅程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.（3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换、获得转化途径.（4）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化.（5）构造法：“构造”⼀个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题.（6）坐标法：以坐标系为⼯具，⽤计算⽅法解决⼏何问题.（7）类⽐法：运⽤类⽐推理，猜测问题的结论.（8）特殊化⽅法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题.（9）⼀般化⽅法：当原问题是某个⼀般化形式问题的特殊形式且⼜较难解决时，可将问题通过⼀般化的途径进⾏转化.（10）等价问题法：把原问题转化为⼀个易于解决的等价命题，达到转化⽬的.（11）加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即把命题的结论加强为原命题的充分条件，反⽽能将原命题转化为⼀个较易证明的命题，加强命题法是⾮等价转化⽅法.（12）补集法：如果正⾯解决原问题有困难，可把原问题结果看作集合A，⽽把包含该问题的整体问题的结果类⽐为全集U，通过解决全集U及补集获得原问题的解决.以上所列的⼀些⽅法是互相交叉的，不能截然分割.4．利⽤转化与化归的思想解决问题的模式可图⽰如下：注：本⽂节选⾃⾼中数学归纳总结精析。
化归思想在数学分析中的应用
化归思想在数学分析中的应用化归是数学的灵魂,它是数学中解决问题的一种非常重要的方法。
简单的化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉的问题的一种数学思想,即把数学中待解决或未解决的问题,通过观察、分析、联想、类比等思维过程,并选择恰当的变换、转化,归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上,最终解决原始问题。
由此可见,运用化归的方法可以使要解决的问题简算化、熟悉化、具体化。
这种思想现在已经渗透到数学学习的各个分支中,特别是在数学分析中。
一、极限中的化归思想1.数列问题化归为级数问题数列的敛散性和级数的敛散性实质上是等价的。
事实上,设x1=a1,…,x n=a1+a2+…+a n(n≥1),则数列收敛{x n}级数收敛∞n=1a n,当二者都收敛时有limx→∞x n=∞n=1a n。
因此,判定数列{x n}的敛散性与求limx→∞x n存在与否,可归结为判定∞n=1a n的敛散性与求S=∞n=1a n.例1证明limx→∞(n+1)!(2n)!!=0.证明设a n(n+1)!(2n)!!,则有limn→∞a n+1a n=limn→∞n+22n+2=12<1,因此由比式判别法的极限形式知:∞n=1=∞n=1a n(n+1)!(2n)!!是收敛的,所以limn→∞(n+1)!(2n)!!=0.2.数列极限化归为函数极限海涅定理说明数列极限和函数极限是可以相互转化的,而计算函数极限有“L’Hospital法则”“泰勒公式”这样强有力的方法可以利用,从而在计算数列极限时,应优先考虑将其转化为函数极限。
一般方法是:选取函数f(x)与数列{x n},使a n=f(x n)且x n→a(n→∞),于是有limn→∞a n=limn→∞f(x n)=limn→∞f(x)。
这样计算数列极限就转化为计算函数极限了,这种化归思想在某些时候是特别有效的。
例2计算limn→∞[ne-n(ne-1)].解设x=1n,那么n→∞就相当于x=1n→0,于是有limn→∞n[ne-n(ne-1)]=limx→0x-1[e x-1]=limx→0xe x-e x+1x2,那么原式=limx→∞xe x-e x+1x2(利用了L’Hospital法则)=limx→∞xe x+e x-e x2x=limx→∞12e x=12.3.多元函数极限化归为一元函数极限多元函数极限的计算,有许多技巧,需要灵活掌握和运用。
试论数学分析中极限的化归转化思想方法(图文)
试论数学分析中极限的化归转化思想方法(图文)论文导读：作为数学思想方法的“主梁”之一，化归转化思想已经渗透到数学的各个分支中。
特殊化和一般化以及他们之间的彼此转化和相互作用，是数学分析中的重要思想和方法。
1、数列极限化归为函数极限来求。
关键词：化归转化思想，极限，数学分析当我们面对的数学问题不能用已知模型加以解决时，就会考虑其它意义上的解题策略，其中首要的一个就是化归转化策略。
作为数学思想方法的“主梁”之一，化归转化思想已经渗透到数学的各个分支中。
化——就是变化原问题，转化原问题，变换原问题；归——就是变化，转化，变换原问题是有目的，有方向的，其目的就是变化出一个已知数学模型，就是通过变化使面临的问题转化为自己会解决的问题。
化归——是指把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去，最终求得原问题解答的一种手段和方法。
在解决数学问题时，若按照思维习惯处理陷入困境时，可以把思维转到另外的可逆方向，眼光不能完全落在原问题的结论上，而应该是去寻觅，追溯一些熟知的结果，促使要解决的问题转化为某个已经解决了的问题，从而通过化归转化思想转化并解决原问题，其基本思维过程如下：化归基本思维通过分析《数学分析》中的极限部分，对其中所蕴含的化归转化思想进行了分析和探讨，并挖掘出常用的五种化归转化的思想：一般与特殊、有限与无限、数与形之间的转化以及映射变换、化正为反的化归转化思想：一、特殊与一般之间的转化：特殊化和一般化以及他们之间的彼此转化和相互作用，是数学分析中的重要思想和方法。
论文参考。
一般化与特殊化之间的转化综观数学分析中有关基本概念的形成和引入，有关基本理论与方法的建立与发展，都经历着由特殊到一般的认识发展过程。
1、数列极限化归为函数极限来求。
海涅定理（实现了数列极限与函数极限之间的相互转化）：对任意以为极限的数列例求分析：将所求转化为，这样就可以利用罗必达法则来计算了。
转化与化归思想方法
转化与化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位,数学问题的解决,总离不开转化与化归,如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段,转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中.1.转化与化归的原则1熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经验来解决.2简单化原则：将复杂问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据.3直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决.4正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反面去探讨,使问题获解.2.常见的转化与化归的方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时,思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形,也就是转化到另一种情境使问题得到解决,这种转化是解决问题的有效策略,同时也是成功的思维方式.常见的转化方法有：1直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.2换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等,把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.3数形结合法：研究原问题中数量关系解析式与空间形式图形关系,通过互相变换获得转化途径.4等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题,达到化归的目的.5特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的问题、结论适合原问题.随着国家经济的发展,科技的发达,人才的需求,中国教育的改革,数学新课标的出现,在对学生的知识与技能,数学思想及情感与态度等方面的要求,学生在数学的学习方法也应该要相应改变了,要满足社会的需要.化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化.除极简单的数学问题外,每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的.从这个意义上讲,解决数学问题就是从未知向已知转化的过程,同时在生活中许许多多的事情也需要往已知的方面转化,把事情简单化,这对以后学生的能力与德育方面有很大的帮助.化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想,解题的过程实际上就是一步步转化的过程.数学中的转化比比皆是,如未知向已知转化,复杂问题向简单问题转化,新知识向旧知识的转化,命题之间的转化,数与形的转化,空间向平面的转化,高维向低维转化,多元向一元转化,高次向低次转化,超越式向代数式的转化,函数与方程的转化等,都是转化思想的体现.新的教学体制的出现,化归与转化的思想将是贯穿整个中学教学的一种主要的思想,所以在教学过程中要把这种思想溶入进去,让学生体会个中的精髓.关健词化归；转化；分析；联想１.化归与转化解决数学问题时,常遇到一些问题直接求解较为困难,通过观察、分析、类比、联想等思维过程,选择运用恰当的数学方法进行变换,将原问题转化为一个新问题相对来说,对自己较熟悉的问题,通过新问题的求解,达到解决原问题的目的,这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”.化归与转化思想的核心,是以可变的观点对所要解决的问题进行变形,就是在解决数学问题时,不是对问题进行直接进攻,而是采取迂回的战术,通过变形把要解决的问题,化归为某个已经解决的问题.从而求得原问题的解决.它的基本形式有：化未知为已知,化难为易,化繁为简,化曲为直等等.化归与转化的思想也不是随时能用,或随便用的,它需要遵循一定的原则,从而达到转化的正确性,实现这种思想的作用.下面我就来谈谈我对这种方法的理解.２．化归与转化的原则化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化.转化有等价转化和非等价转化,等价转化的作用就不用说,而不等价转换,如果没明确的附加条件,那就失去它的价值了.所以化归与转化就需要遵循一定的原则:2.1熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决.除了及少数的原始知识外,整个中学的数学知识的学习就是在实现转化为旧的知识而得到的.例如:学二元一次方程就用化元法转化为一元一次方程;学一元二次方程用降幂法转化为一元一次方程;函数与方程之间的转化等等.2.2简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据.这个原则大部分学生都知道,他们都会想把问题简单化,达到求解的过程.这个原则可以在无以记数的数学简便方法中体现出来.2.3和谐化原则：化归问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式,或者转化命题,使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律.也就是说整个转化的过程中,要符合思维规律,虽然思维可以多样化,可以无以为边的想象,但也要能被人接受并能理解.体现出现在国家倡导的和谐社会.2.4直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决.这个主要在函数与图象的联系中体现出来.把某些枯燥乏味的代数问题转化为图形来解决,能直观的解决问题.2.5正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反面去探求,使问题获解.反证法的应用把这个原则表现的淋漓尽致,学生能理解到其中的精髓可是可以受用无穷的,包括在生活中的应用.2.6 现实化原则:所学所用所理解的道理要用于社会实践,同时要满足社会人才的需求.3．化归与转化的方法化归与转化的方法,在千变万化的题目中,方法也各不相同,也无以统计,这里就只讲解几中常用,学生也容易理解的.3.1 直接转化法:直接把新的知识转化为前续知识.这个在讲解新课的时候,尽量让学生去体会,让他们能自己解决新的问题,获取新的知识,接着把新的知识吸收,继续解决新的问题.3.2 构造法:这个是个重要的方法,有不少题目,不能直接解决和转化,缺少了媒介,让不少学生无从下手,这时就需要构造一个数学情境,建立一个数学模型,把问题溶入进去,使问题简单化,直观化,从而达到求解的过程.3.3 数与形的转化:这个主要用于函数问题的解答和某些图型中的某些量的关系.数形结合是数学学习的一种重要的思想.3.4 换元法:这个重要是把一些繁杂的,但又有重复性的题目简单化,更直观.这个主要用于方程的解答.3.5 相等与不相等之间的转化:这个主要用与不等式的证明和函数区间.3.6 实际问题与数学理论的转化:理论联系实际的一种方法.也是学生情感方面的培养.3.7 特殊与一般之间的转化:公式法解一元二次方程就是把特殊的一般化了.同时也可以说把具体的抽象化了.3.8 数学各分支之间的转化:数学本来就是一个连贯的整体,把各分支有机的联系起来,让人感到它的魄力.同时也能解决数学以外的我问题.5 总结提炼数学新课标要求学生不仅要学会知识,还要能用所学的知识解决新问题,并能总结归纳,化为新的知识并接受,这样才能满足社会人才的需求.化归与转化就是将待解决或未解决的问题,通过转化归结为一个已经能解决的问题,或者归结为一个比较容易解决的问题,或者归结为一个已为人们所熟知的具有既定解决方法和程序的问题,最终求得原问题的解决.懂得化归和转化的基本方向是简单化、熟悉化、和谐化.化归和转化需要广泛和灵活的联想,联想的基础是扎实的基础知识、基本技能和基本方法.熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼,要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系.为了实施有效的化归,既可以变更问题的条件,也可以变更问题的结论,既可以变换问题的内部结构,又可以变换问题的外部形式,既可以从代数的角度去认识问题,又可以从几何的角度去解决问题.。
2019届高三数学二轮复习极限突破：专题三：转化与化归思想
专题三：转化与化归思想【考情分析】转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等．各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中。
数学问题解答题离不开转化与化归，它即是一种数学思想又是一种数学能力，高考对这种思想方法的考查所占比重很大，是历年高考考查的重点。
预测2019年高考对本讲的考查为：（1）常量与变量的转化：如分离变量，求范围等。
（2）数与形的互相转化：若解析几何中斜率、函数中的单调性等。
（3）数学各分支的转化：函数与立体几何、向量与解析几何等的转化。
（4）出现更多的实际问题向数学模型的转化问题。
【知识交汇】转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。
从某种意义上说，数学题的求解都是应用已知条件对问题进行一连串恰当转化，进而达到解题目的的一个探索过程。
1．转化有等价转化与非等价转化。
等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。
非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。
2．常见的转化方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式。
常见的转化方法有：（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；（2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题；（3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化；（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；（5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径；（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径；（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题；（8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化；（9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价（10）补集法：（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集A C U 获得原问题的解决。
转化与化归的思想方法
2010高考数学考点预测： 转化与化归的思想方法化归与转化的思想确是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思想方法，化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题，将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题。
事实上，解题的过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向熟知转化的过程，因此每解一道题，无论是难题还是易题，都离不开化归。
例如，对于立体几何问题，通常要转化为平面几何问题，对于多元问题，要转换为少元问题，对于高次函数，高次方程问题，转化为低次问题，特别是熟悉的一次，二次问题，对于复杂的式子，通过换元转化为简单的式子问题等等。
化归灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法。
在高考中，对化归思想的考查，总是结合对演绎证明，运算推理，模式构建等理性思维能力的考查进行，因此可以说高考中的每一道试题，都在考查化归意识和转化能力。
高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化。
1. 转化运算．例 1.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ）A ．1BCD ．2分析: 动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点, 横坐标相同，那么MN 就是纵坐标之差，即sin cos MN x x =-求最值。
解: sin cos 4MN x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭评注:审题要审准，读懂题意，将问题学会转化。
例2．（2008湖北卷，理14）已知函数()2xf x =,等差数列{}x a 的公差为2.若246810()4f a a a a a ++++=,则212310log [()()()()]f a f a f a f a ⋅⋅⋅= .分析：题目中的已知条件很容易求得24681a a a a a ++++，而所求的为212310log [()()()()]f a f a f a f a ⋅⋅⋅可以转化为等差数列{}x a 的前10项之和，根据公差，可以把前10项之和转化为用246810a a a a a ++++表示出来，从而求得。
高考数学题中蕴含的转化与化归思想
高考数学题中蕴含的转化与化归思想1. 引言1.1 转化与化归思想在高考数学题中的重要性在高考数学题中，转化和化归思想是非常重要的。
转化思想指的是将原问题转化为一个易解的问题，从而简化问题的求解过程。
在解决高考数学题时，很多题目可能会涉及到复杂的计算或者几何图形，如果能够巧妙地运用转化思想，将题目转化为熟悉的形式，就会大大减少解题的难度。
而化归思想则是将原问题化归为已知问题或者基本形式，通过对问题的重新组织和变换，将其简化为易于解决的形式。
化归思想通常适用于代数题目，通过找到问题之间的联系和规律，可以有效地解决复杂的代数问题。
在高考数学中，很多题目都需要考生灵活运用转化和化归思想，只有具备这种思维方式，才能更快地解决问题，提高解题效率。
转化与化归思想在高考数学题中扮演着至关重要的角色。
培养这种思维方式不仅可以帮助考生更好地解决数学问题，还有助于提高数学学科的学习兴趣和能力。
对于高考数学考生来说，掌握转化与化归思想是至关重要的，也是解决数学难题的有效方法之一。
2. 正文2.1 转化思想在高考数学题中的运用转化思想在高考数学题中的运用是非常重要的。
在解决数学问题的过程中，常常需要通过转换问题的形式或者思路来找到解决问题的方法。
转化思想可以帮助我们从不同角度去看待问题，找到问题的本质，从而更有效地解决问题。
在高考数学题中，转化思想通常可以表现为将一个复杂的问题转化为一个简单的问题，然后再逐步解决。
在解决代数方程的过程中，可以通过代数运算的性质将方程化简，将未知数提取出来，从而得到更简单的形式。
又在解决几何题的过程中，可以通过画图、构造辅助线等方法将原问题转化为一个更易解的几何问题。
转化思想的运用可以帮助我们更快地找到解题的突破口，提高解题的效率。
通过不断练习和积累经验，我们可以逐渐提高转化思想的运用能力，更加熟练地解决高考数学题。
在备战高考的过程中，我们应该注重培养转化思想，不断尝试将问题转化为更简单的形式，从而更好地应对各种数学题目。
高中数学-化归与转化思想
一、 考点回顾化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。
转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题。
化归转化思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中。
转化有等价转化与不等价转化。
等价转化后的新问题与原问题实质是一样的，不等价转则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。
应用化归转化思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化。
常见的转化有： 1、等与不等的相互转化等与不等是数学中两个重要的关系，把不等问题转化成相等问题，可以减少运算量，提高正确率；把相等问题转化为不等问题，能突破难点找到解题的突破口。
2、正与反的相互转化对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较难的问题，可先攻其反面，从而使正面问题得以解决。
3、特殊与一般的相互转化对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题，可先用特殊情形探求解题思路或命题结论，再在一般情况下给出证明，这不失为一种解题的明智之举。
4、整体与局部的相互转化整体由局部构成，研究某些整体问题可以从局部开始。
5、高维与低维的相互转化事物的空间形成，总是表现为不同维数且遵循由低维想高维的发展规律，通过降维转化，可把问题有一个领域转换到另一个领域而得以解决，这种转化在复数与立体几何中特别常见。
6、数与形的相互转化通过挖掘已知条件的内涵，发现式子的几何意义，利用几何图形的直观性解决问题，使问题简化。
7、函数与方程的转化 二、经典例题剖析例1、设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>．（Ⅰ）令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．解析：（Ⅰ）讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值只需求出()F x 的导数'()F x 即可解决；（Ⅱ）要证当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+，可转化为证1x >时2ln 2ln 10x x a x -+->，亦即转化为1x >时()0f x >恒成立；因(1)0f =，于是可转化为证明()(1)f x f >，即()f x 在(1,)+∞上单调递增，这由（Ⅰ）易知。
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试论数学分析中极限的化归转化思想方法
作者：杨丽星
作者单位：丽江师范高等专科学校数理系
刊名：
科技信息
英文刊名：SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION
年，卷(期)：2010，""(12)
被引用次数：0次
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