第四章 角动量守恒 刚体力学
刚体力学与角动量守恒
刚体力学与角动量守恒刚体力学是力学的一个重要分支，研究物体在无限小的时间内不发生形变的情况下的运动规律。
而角动量守恒是刚体力学中的一个重要定律，描述了刚体在无外力作用下的自旋运动。
在这篇文章中，我们将探讨刚体力学与角动量守恒之间的关系以及其应用。
首先，我们需要了解什么是刚体。
刚体是指在物理上不发生形变的物体，可以看作由无穷多个质点组成的系统。
刚体的运动可以分为平动和转动两部分，其中转动运动是刚体力学中的重点。
刚体的转动运动是围绕着某一轴旋转，通常以质心为参考点。
为了描述这一运动，我们引入了一个重要的物理量——角动量。
角动量（L）是刚体围绕某一轴旋转时的物理量，与旋转轴、质量分布和旋转速度有关。
角动量的大小等于物体的惯性力矩（I）与角速度（ω）的乘积，即L = Iω。
惯性力矩是描述物体对旋转的抵抗能力的物理量，与物体的质量分布和轴的位置有关。
角速度是刚体沿旋转轴旋转的速度，是刚体运动状态的另一个关键参数。
根据角动量守恒定律，当刚体没有受到外力矩的作用时，其角动量守恒。
这意味着在刚体的自旋运动中，当外力矩为零时，刚体的角动量保持不变。
这一定律可以用数学方式简洁地表示为L1 = L2，即初始角动量等于末态角动量。
角动量守恒定律在现实生活中有许多重要应用。
一个典型的例子是冰漂移。
当冰上的人或物体开始漂移时，它们所施加的摩擦力不会改变总的角动量。
这是因为旋转轴的位置对角动量的贡献始终保持不变，从而使漂移运动平稳而持续。
另一个应用是天体物理学中的行星运动。
根据角动量守恒定律，行星在太阳的引力作用下绕着太阳旋转时，其角动量保持不变。
这使得行星能够保持固定的轨道，实现稳定的运动。
除了应用外，角动量守恒定律也与刚体力学的其他定律相互作用。
例如，动量守恒定律和能量守恒定律。
这些定律一起构成了力学的基础，揭示了物体在不同运动状态下的行为规律。
总之，刚体力学与角动量守恒是物理学中重要的概念和定律。
通过理解刚体的旋转运动和角动量的定义，我们可以更好地描述和解释刚体在无外力矩作用下的行为。
大学物理复习第四章知识点总结
大学物理复习第四章知识点总结大学物理复习第四章知识点总结一．静电场：1.真空中的静电场库仑定律→电场强度→电场线→电通量→真空中的高斯定理qq⑴库仑定律公式：Fk122err适用范围：真空中静止的两个点电荷F⑵电场强度定义式：Eqo⑶电场线：是引入描述电场强度分布的曲线。
曲线上任一点的切线方向表示该点的场强方向，曲线疏密表示场强的大小。
静电场电场线性质:电场线起于正电荷或无穷远，止于负电荷或无穷远，不闭合，在没有电荷的地方不中断，任意两条电场线不相交。
⑷电通量：通过任一闭合曲面S的电通量为eSdS方向为外法线方向1EdS⑸真空中的高斯定理：eSoEdSqi1int只能适用于高度对称性的问题：球对称、轴对称、面对称应用举例：球对称：0均匀带电的球面EQ4r20(rR)(rR)均匀带电的球体Qr40R3EQ240r(rR)(rR)轴对称：无限长均匀带电线E2or0(rR)无限长均匀带电圆柱面E(rR)20r面对称：无限大均匀带电平面EE⑹安培环路定理：dl0l2o★重点：电场强度、电势的计算电场强度的计算方法：①点电荷场强公式+场强叠加原理②高斯定理电势的计算方法：①电势的定义式②点电荷电势公式+电势叠加原理电势的定义式：UAAPEdl(UP0)B电势差的定义式：UABUAUBA电势能：WpqoPP0EdlEdl(WP00)2.有导体存在时的静电场导体静电平衡条件→导体静电平衡时电荷分布→空腔导体静电平衡时电荷分布⑴导体静电平衡条件:Ⅰ.导体内部处处场强为零,即为等势体。
Ⅱ.导体表面紧邻处的电场强度垂直于导体表面，即导体表面是等势面⑵导体静电平衡时电荷分布:在导体的表面⑶空腔导体静电平衡时电荷分布:Ⅰ.空腔无电荷时的分布：只分布在导体外表面上。
Ⅱ.空腔有电荷时的分布(空腔本身不带电，内部放一个带电量为q的点电荷)：静电平衡时，空腔内表面带-q电荷，空腔外表面带+q。
3.有电介质存在时的静电场⑴电场中放入相对介电常量为r电介质，电介质中的场强为：E⑵有电介质存在时的高斯定理：SDdSq0,intE0r各项同性的均匀介质D0rE⑶电容器内充满相对介电常量为r的电介质后，电容为CrC0★重点：静电场的能量计算①电容：②孤立导体的电容C4R电容器的电容公式C0QQUUU举例：平行板电容器C圆柱形电容器C4oR1R2os球形电容器CR2R1d2oLR2ln()R1Q211QUC(U)2③电容器储能公式We2C22④静电场的能量公式WewedVE2dVVV12二.静磁场：1.真空中的静磁场磁感应强度→磁感应线→磁通量→磁场的高斯定理⑴磁感应强度：大小BF方向：小磁针的N极指向的方向qvsin⑵磁感应线：是引入描述磁感应强度分布的曲线。
定轴转动刚体的角动量守恒
在量子力学中，角动量是一个重要的物理量，描述了粒子的转动状态，角动量守 恒是粒子运动的基本规律之一。
在工程学中的应用
机械系统设计
在机械系统设计中，角动量守恒是重要的设计准则之一，用 于确保机械系统的稳定性和可靠性。
航空航天工程
在航空航天工程中，飞行器的稳定性和控制需要遵循角动量 守恒的原理，通过合理设计飞行器的结构和姿态控制系统， 可以保持飞行器的稳定。
定轴转动刚体的角动量守恒
contents
目录
• 引言 • 定轴转动刚体的角动量 • 角动量守恒的推导 • 角动量守恒的应用 • 结论
01 引言
主题简介
角动量守恒是物理学中的一个基 本原理，它描述了刚体绕固定轴 转动的角动量保持不变的规律。
在定轴转动的情况下，刚体的角 动量是一个重要的物理量，它与 刚体的转动惯量和角速度有关。
01
02
03
预测运动规律
角动量守恒是确定刚体转 动运动规律的重要依据， 可以用来预测刚体的运动 轨迹和周期等。
指导实验设计
在实验设计中，可以利用 角动量守恒来设计实验装 置，确保实验结果的准确 性和可靠性。
解决实际问题
角动量守恒在解决实际问 题中具有广泛的应用，如 陀螺仪、航天器姿态控制 等。
04 角动量守恒的应用
角动量守恒定律在许多领域都有 广泛的应用，如天文学、力学、
航天工程等。
角动量守恒的定义
角动量守恒是指刚体在不受外力矩作用或者外力矩的矢量和为零的情况下，刚体绕 固定轴转动的角动量保持不变。
角动量是描述刚体转动状态的物理量，它等于刚体的转动惯量与角速度的乘积。
在定轴转动的情况下，刚体的角动量是一个常数，不随时间变化。
物理-定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律
或 Lz = I = 恒量
当刚体相对惯性系中某给定转轴的合外力矩为 零时，该刚体对同一转轴的角动量保持不变。
——对转轴的角动量守恒定律
二、定轴转动中的角动量守恒
说明 1、 关于该守恒定律的条件：
Mz Miz 0
特别地，若每一个力的力矩均为零，即 则
二、定轴转动中的角动量守恒
M iz ri Fi sini 0 的几种情况
10
f
20
O1 R1 A
R2 O2 fB
随堂练习
当两圆柱接触处无相对滑动时，两者转速相反
10
20
O1 R1 A
R2 O2 B
且两者接触点的线速率相等！
二、定轴转动中的角动量守恒
由定轴转动的角动量定理
Mz
dLz dt
若刚体所受对转轴的合外力矩 M z 0，则有
dLz d ( I ) 0
dt
dt
二、定轴转动中的角动量守恒
(3) 对共轴非刚体系（其中各质元到转轴的距离可 变则）系：统的转动惯量可变，此时系统对转轴的角动量守恒，
即：I =恒量
• 特别地，若各质元的 保持一致，
Lz =I =恒量
当 I 增大时， 就减小； 当 I 减小时， 就增大 。
二、定轴转动中的角动量守恒
例如：花样滑冰运动员在冰面上旋转时 运动了角动量守恒定律
（1）
（2）
（3）
二、定轴转动中的角动量守恒
2、对转轴的角动量守恒定律的适用范围： • 不仅适用于刚体， • 也适用于绕同一转轴转动的任意质点系。
二、定轴转动中的角动量守恒
3、对转轴的角动量守恒的几种典型表现 (1) 对定轴刚体：I 不变， 大小和方向均不变；
大学物理04角动量守恒习题解答
刚体力学-角动量习题
第1页
一、选择题
1. 已知地球的质量为m，太阳的质量为M，地心与日心的距离为R
，引力常数为G，则地球绕太阳作圆周运动的角动量为 [ A ]
m( l )2 2
0
ml 2 3
mx2
O
1l m m
2
第9页
三、计算题
1. 如图所示，一质量为M的均匀细棒，长为l，上端可绕水平轴O自 由转动，现有一质量为m的子弹，水平射入其下端A而不穿出，此 后棒摆到水平位置后又下落。棒的转动惯量J= Ml2/3 ，如不计空气 阻力并设 mM。求 （1）子弹射入棒前的速度v0； （2） 当棒转到与水平位置的夹角为30时，A点的速度及加速度。
(A) 只有(1)是正确的。 (B) (1)、(2)正确，(3)、(4)错误 (C) (1)、(2)、(3)都正确，(4)错误。 (D) (1)、(2)、(3)、(4)都正确。
解 对上述每一句话进行分析： （1）正确 √ （2）正确 √
（3）错误 × （4）错误 ×
第5页
一、选择题
5. 关于力矩有以下几种说法： (1) 对某个定轴而言，内力矩不会改变刚体的角动量。
所受的合外力矩的大小M =
大小β= 2g 3l 。
3 2
mgl
，此时该系统角加速度的
解 M 2mg l mg l 3 mgl
2 22
M J
2m
o
mg
经典力学中的刚体运动与角动量守恒
经典力学中的刚体运动与角动量守恒经典力学是物理学的基石，而刚体运动是其中的重要组成部分。
在经典力学中，刚体是指其内部各点之间的相对位置不会改变的物体。
刚体运动的研究对于理解物体的运动规律和力学原理具有重要意义。
而在刚体运动中，角动量守恒是一个基本定律，它在解释和预测刚体运动中的各种现象和现象起到了重要作用。
首先，我们来了解一下什么是刚体。
刚体是指其内部各点之间的相对位置不会改变的物体。
在刚体运动中，刚体的形状和大小保持不变，只有整体的平动和转动。
刚体运动可以分为平动和转动两种基本形式。
平动是指刚体作为一个整体沿直线运动，而转动是指刚体绕某个轴旋转运动。
在刚体运动中，角动量守恒是一个基本定律。
角动量是刚体运动中一个重要的物理量，它描述了刚体绕某个轴旋转的性质。
角动量的大小与刚体的转动惯量和角速度有关。
转动惯量是刚体旋转惯性的度量，它与刚体的质量分布和旋转轴的位置有关。
角速度是刚体绕某个轴旋转的速度，它与刚体的旋转角度和旋转时间有关。
根据角动量守恒定律，刚体在没有外力作用下，其角动量保持不变。
这意味着刚体在旋转过程中，如果没有外力矩作用，其角动量大小和方向都保持不变。
这一定律对于解释和预测刚体运动中的各种现象和现象起到了重要作用。
例如，我们可以通过角动量守恒定律解释刚体的自转现象。
当一个刚体在空中自由旋转时，其自转速度会逐渐减小，最终停止旋转。
这是因为在自转过程中，刚体内部的分子之间存在一定的摩擦力，这个摩擦力会逐渐减少刚体的角动量。
根据角动量守恒定律，刚体的角动量保持不变，因此刚体的自转速度会逐渐减小，最终停止旋转。
另一个例子是陀螺的运动。
陀螺是一种经典的刚体运动现象，它在旋转过程中保持平衡。
这是因为陀螺在旋转过程中，其角动量保持不变。
当陀螺受到外力作用时，由于角动量守恒定律，陀螺会产生一个与外力垂直的角动量，从而保持平衡。
角动量守恒定律还可以解释刚体运动中的其他现象，如陀螺的进动、陀螺的预cession、陀螺的进动和退动等。
角动量守恒原理：角动量在不受外力的情况下保持不变的原理
角动量守恒原理：角动量在不受外力的情况下保持不变的原理第一章：引言角动量是物体旋转运动的重要物理量，它描述了物体旋转时的动量。
在自然界中，角动量在不受外力作用的情况下保持不变，这一原理被称为角动量守恒原理。
本文将介绍角动量的概念、计算方法以及角动量守恒原理的基本内容。
第二章：角动量的概念角动量是描述物体绕某一轴旋转运动时的动量，它与物体的质量、转动轴和角速度有关。
角动量的计算公式为L = Iω，其中L表示角动量，I表示物体的转动惯量，ω表示角速度。
物体的转动惯量描述了物体绕着某一轴旋转时对于改变自身状态的抵抗能力，它与物体的质量分布和旋转轴的位置有关。
第三章：角动量的计算方法要计算物体的角动量，需要知道物体的质量、转动轴和角速度。
对于简单的系统，可以使用简化的计算方法。
例如，对于刚体绕固定轴旋转的情况，可以使用角动量公式L = Iω进行计算。
而对于复杂的系统，可以通过积分的方法来计算物体的转动惯量。
第四章：角动量守恒原理的基本内容角动量守恒原理是指在没有外力作用的情况下，系统的总角动量保持不变。
这意味着系统内部发生的旋转运动不会改变系统的总角动量。
例如，当一个刚体在没有外力作用下绕固定轴旋转时，刚体的角动量保持不变。
这是因为刚体内部各部分的角动量相互抵消，总角动量保持不变。
第五章：角动量守恒原理的应用角动量守恒原理在物理学的研究中有着广泛的应用。
在天体力学中，角动量守恒原理被用来解释行星绕太阳旋转的原因。
由于太阳系是一个封闭系统，在没有外力作用的情况下，行星绕太阳的角动量保持不变。
在量子力学中，角动量守恒原理被用来解释原子和分子的旋转行为。
在工程领域中，角动量守恒原理被用来分析和设计旋转机械设备，例如风力发电机和涡轮机。
第六章：角动量守恒原理的实验验证角动量守恒原理已经通过大量的实验进行了验证。
其中一个经典的实验是陀螺实验。
陀螺是一个具有自由旋转的物体，当陀螺开始旋转时，由于角动量守恒原理，陀螺的轴会保持固定方向。
力学、赵凯华、第四章 角动量守恒. 刚体力学-5
3 3 2 1 2 mv L ML + m( L) 4 4 3
9 1 3mv 4 ML + ML 16 3
=8.89 rad/s
②对杆、子弹、地球系统机械能守恒
1 1 9 L 3 2 2 ( ML + mL ) ( Mg + mg L)(1 cosq ) 2 3 16 2 4
(5)
3 g cos q
a
ct
a
7
N N 13
(6) mg sin q ,
由 (3)(4)(5)(6)
可解得：
l t
7
4 mg 7
cos q
v 13 4 $ mg cos q t $ N mg sin q l 7 7 mg N 153 sin 2 q + 16 7
a tg 1
M I
d 1 2 1 2 Mdq I dq Id I I o qo qo o dt 2 2 q q
A外 + A非保内 E EO
A外 0
A非保内 0
E EO const
例：长为 l 质量为m的细棒，可绕其一 端在铅直平面内自由转动。设棒原来静止 在水平位置，现让其自由摆下。求①棒摆 到铅直位置时的角速度和摆下端点A的速 度，②棒在竖直位置时，轴O受的作用力。
q0 q0
q
q
外力矩做功
dA Mdq P M dt dt
3、定轴转动刚体的动能定理
A内 0
1 1 2 A外 mi vi mi vio i 2 i 2
1 2 1 2 Mdq I I o θo 2 2
第四章 刚体力学
r F 1
转动 平面
r F
r F 2
r r
（2 ）
MZ = rF sin = F d 2 2
d = r sin是转轴到力作
用线的距离，称为力臂 用线的距离，称为力臂。
r F 1
r F
r F 2
r （3） F 对转轴的力矩为零， 1 对转轴的力矩为零，
在定轴转动中不予考虑。 在定轴转动中不予考虑。
转动 平面
用 r 乘以上式左右两端： i 乘以上式左右两端：
Fri sini + fi ri sinθi = mri α i i
2
设刚体由N 个点构成， 设刚体由 个点构成，对每个质点可写出上述 类似方程， 类似方程，将N 个方程左右相加，得： 个方程左右相加，
∑Fr sin + ∑ f r sinθ = ∑(mr )α
2. 刚体定轴转动定律
对刚体中任一质量元 m i
O’
ω
r ri
mi
O
r 外力 Fi -外力
r fi
r fi -内力
θi i
r F i
应用牛顿第二定律，可得： 应用牛顿第二定律，可得：
r r r Fi + fi = mai i
采用自然坐标系，上式切向分量式为： 采用自然坐标系，上式切向分量式为：
F sini + fi sinθi = maiτ = mriα i i i
dω M = Jα = J dt
α 转动惯量是转动 （1） M 一定，J ） 一定， 惯性大小的量度； 惯性大小的量度； （2) 刚体产生角加速度 α 原因是受外力矩 M 作用。 M 与 α
是投影量（代数量）， 同正负。
（3） M 与J是对同一转轴而言的，J是大于零的。 和转轴有关， 和质量分布有关； （4）J 和转轴有关，J 和质量分布有关；同一个物体 对不同转轴的转动惯量不同。 对不同转轴的转动惯量不同。
第4章-刚体力学.
解：碰撞前角动量
M
L1
mv
l 2
(1)
碰撞后角动量
L2 J
( 2)
且
mv
J
Jm
JM
m( l )2 2
M l2 12
( 3)
碰撞过程中，M的重力矩为零，m的重力矩忽略不计。由角动量守恒，得
6mv
(3m M )l
问：i）碰撞过程中，水平动量是否守恒？为什么？
第四章 刚体力学
刚体：不发生形变的物体（理想模型）
刚体运动形式：平动 转动（绕某轴线转动）
（固）定轴转动，定轴可以穿过刚体，也可以在刚体之外。
任一垂直于转轴的平面称为转动平面。 设某个转动平面与转轴交于o点， 则该转动平面上所有质点均
绕o点作圆周运动（半径不同）。
o v P r )
M Mi外
L Li
则
M i外
d
Li dt
四、角动量守恒 1.质点所受外力矩为零，角动量守恒；
2.单个刚体，当M 0时，J 恒量
推广到非刚体，则有 J ， 或者J ， ，但J11 J22
生活中的例子：芭蕾舞、滑冰、跳水
3.系统（一般是质点— 刚体系统）
O
x l
dm m1
M r
dMr
l m1 gxdx m1g l 2
0
l
l2
m1g
l 2
一维运动与刚体转动类比记忆
质量m
位置矢量r 速度v
加速度a
质点受力 F
力作功A
F
力学中的角动量守恒知识点总结
力学中的角动量守恒知识点总结在力学中，角动量守恒是一个重要的概念。
角动量守恒指的是，在没有外力矩作用的情况下，系统的角动量保持不变。
本文将对力学中的角动量守恒进行详细的知识点总结。
一、角动量的定义在力学中，角动量（Angular momentum）是描述物体转动状态的重要物理量。
它与旋转质量、角速度以及物体与旋转轴之间的距离有关。
角动量的定义为：L = Iω其中，L是角动量，I是物体对于旋转轴的转动惯量，ω是角速度。
二、角动量守恒的基本原理角动量守恒的基本原理可以通过力矩的定义来解释。
根据力矩的定义，我们知道系统的总力矩等于物体对旋转轴的角动量的时间变化率。
当系统的总力矩为零时，物体的角动量保持不变，即角动量守恒。
三、角动量守恒的条件角动量守恒的条件有两个：1. 系统中没有外力矩作用：只有在没有外力矩作用的情况下，系统的角动量才能保持不变。
外力矩的作用会改变物体的角动量。
2. 系统中没有剩余内部力矩：剩余内部力矩是指系统内部各个物体间相互作用产生的力矩。
若系统中存在剩余内部力矩，则系统的角动量将发生变化。
四、角动量守恒的应用角动量守恒在力学中有着广泛的应用，下面列举一些常见的应用：1. 刚体转动：在刚体转动过程中，如果没有外力矩作用，刚体的角动量将保持不变。
这可以用来解释陀螺仪的原理和行星绕太阳运动的规律。
2. 行星运动：根据角动量守恒定律，行星绕太阳的运动过程中，行星的角动量保持不变。
这解释了行星在椭圆轨道上运动的原理。
3. 自行车滑行：当骑自行车的人抬起双脚滑行时，由于没有外力矩作用，人和自行车的角动量保持不变。
这解释了为什么人和自行车能够保持平衡。
4. 飞盘的旋转：当人抛出飞盘时，飞盘的角动量保持不变。
这也是为什么飞盘能够在空中旋转的原因。
五、小结角动量守恒是力学中的一个重要概念，它描述了系统在没有外力矩作用的情况下，角动量保持不变的规律。
角动量守恒在刚体转动、行星运动、自行车滑行等许多方面都有着广泛的应用。
转动力学刚体的转动平衡与角动量守恒
转动力学刚体的转动平衡与角动量守恒转动力学是力学研究的一个重要分支，它主要研究刚体的旋转运动。
刚体的旋转运动受到力矩和角加速度的作用，其中转动平衡和角动量守恒是转动力学的基本原理。
一、转动平衡刚体的转动平衡是指刚体处于稳定的旋转状态，不受到外力的扰动，既不会产生角加速度，也不会改变角速度。
要实现转动平衡，必须满足以下条件：1. 力矩平衡条件力矩平衡条件是指刚体上作用的力矩的代数和为零。
对于一个刚体绕固定轴的旋转运动，力矩平衡条件可以表示为：∑M = ∑(r × F) = 0其中，∑表示对刚体上所有力矩求和，r表示作用力的杠杆臂，F表示作用力。
根据力矩平衡条件，可以求解出刚体的转动平衡状态。
2. 重心位置与支撑点位置的关系对于一个转动平衡的刚体，重心必须位于支撑点上方以保持稳定。
当重心位于支撑点下方时，刚体会不稳定，并发生滚动现象。
3. 稳定、不稳定和中立平衡刚体的转动平衡可以分为稳定、不稳定和中立平衡三种情况。
当刚体偏离平衡位置时，稳定平衡会使刚体回复原位置，而不稳定平衡会使刚体继续偏离平衡位置。
中立平衡则是指刚体在偏离平衡位置后，不会有任何变化。
二、角动量守恒角动量守恒是指一个刚体在没有外力矩作用下，角动量的大小和方向保持不变。
对于一个旋转的刚体，角动量可以表示为：L = Iω其中，L表示角动量，I表示转动惯量，ω表示角速度。
根据角动量守恒定律，在没有外部力矩作用下，刚体的角动量将保持不变。
三、应用举例下面通过一个实际例子来说明转动平衡和角动量守恒的应用。
假设有一个均匀的圆盘，圆盘质量为M，半径为R。
将圆盘以转轴垂直于盘面且通过重心的方式固定，使其处于转动平衡状态。
此时，圆盘的转动平衡可以通过力矩平衡条件来解释。
由于圆盘的重心位于转轴上，且没有施加外力矩，所以∑M=0，根据这个条件可以得到圆盘上各点产生的力矩之和为零。
进一步分析可以发现，圆盘上受重力的作用产生的力矩沿转轴方向相互抵消，所以圆盘能够保持转动平衡。
第四章 角动量守恒定律
vdt
r
dS
1
r vdt
2
rv2恒矢量
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一.角动量
lrm vrP
大小 rm ： svin
方向：右手法则
单位k： gm 2/s v
r
O
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二.力矩 (moment)
F
M rF
M
r
大小rF： sin
O
方向：右手法则
L1 0
开始爬行后两只猴子相对于地面的速
率分别为 v1和v2
ddL Lt2 MR 1 (v m 1 k 1 m m R 2)2 g v 2 k k m R
O
m1g m2 g
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若m1m2,
dL 0 dt
L2 0
L 2 R 1 v 1 k m R 2 v 2 k m
vm
v0
rm b
现在你正浏览到当前第十七页，共三十三页。
vm
v0
rm b
解：粒子的运动是在金原子核对它的有心力的作用下 进行的，所以它对金原子核所在的位置是角动量守恒的 ，同时，由粒子和金原子核所组成的系统机械能也是守恒
的。
根据角动量守恒有： v0bvmrm
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一、刚体的平动和转动
A
A
1. 刚体的平动
连接刚体中任意两点的
B
A
线段在运动中始终保持平行
B
。
特点:
刚体上所有点的 运动轨迹 、 rB、 v、a都 相同,
可用质点运动来描述。
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角动量守恒
Liz
Li
cos(
2
)
mi Ri vi
sin
z
v i
mi
ri
Ri
Li
O
y
x
Liz mi ri vi miri 2
刚体对Oz轴的角动量为
Lz Liz miri2 ( miri2 )
i
i
i
令 J z miri2
mg T2 ma2 (1) T1 mg ma1 (2)
T2 2r T1r J (3)
2r a2 r a1
2g
19r
2r
T2
m
a2
mg
r
T1
m a1
mg
例12. 一质量为m，长为l 的均质细杆，转轴在o点， 距A端l/3。今使棒从静止开始由水平位置绕o点转动， 求：水平位置的角速度和角加速度。
Mz dt dt
两边乘以dt，并积分
M t2
t1
z
d
t
L2
L1
刚体对定轴的角动量定理：在某一时间段内，作用
在刚体上的外力之冲量矩等于刚体的角动量增量。
当 J 转动惯量是一个恒量时，有
M J d 或
dt
M J
转动定律：刚体在作定轴转动时，刚体的角加速
度与它所受到的合外力矩成正比，与 刚体的转动惯量成反比。
2
1 (
2
mi ri 2 ) 2
Ek
1 2
J 2
设在外力矩 M 的作用下，刚体绕定轴发生角位移d
元功： dW Md
大学物理第四章
二、平动和转动
1、平动 当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直
线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动叫 平动（translation）。
平动时，刚体内各质点在任一时 刻具有相同的速度和加速度。
刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的 运动，如质心。
可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。
如：车轮的滚动。
返回 退出
3、刚体的定轴转动 定轴转动时，刚体上各点都绕同一固定转轴作
不同半径的圆周运动。
在同一时间内，各点转过的圆弧长度不同，但 在相同时间内转过的角度相同，称为角位移，它可 以用来描述整个刚体的转动。
作定轴转动时，刚体内各点具 有相同的角量，包括角位移、角速 度和角加速度。但不同位置的质点 具有不同的线量，包括位移、速度 和加速度。
直角坐标系中，采用用 、 ，如图所示：
最后，刚体绕定轴转动时，需
要一个坐标来描述，选定参考方 z
向后，转动位置用表示。
p
总的说来，刚体共有6个自由
度，其中3个平动自由度，3个转 动自由度。
y
物体有几个自由度，它
o
的运动定律可归结为几个
独立的方程。
x
返回 退出
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§4-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律 一、力矩
v r
返回 退出
三、定轴转动定律
对刚体中任一质量元
mi
受外力 Fi 和内力 fi
应用牛顿第二定律，可得：
F ifi m ia i
采用自然坐标系，上式切向分量式为：
F isii n fisi i n m ia it m ir i
F ir isiin fir isiin m ir i2
刚体定轴转动角动量守恒定律解析
2
d
dt
R0
t
t
d dt
0
0
01
ut
(
2m
)
1 2
arctan[ M ]
0
2mu2t 2
MR2
dt
第四u章( 2Mm
1
刚) 2体力学
R
8 22
大学 物理
4-4 刚体定轴转动的角动量守恒定律
角动量守恒定律在工程技术上的应用
陀螺仪与导航
陀螺仪：能够绕其对称轴高速 旋转的厚重的对称刚体。
l 2
处)
解得
t
2 m2
v1 v2
m1g
O
关于摩擦力矩 在x处取dm，dm m1 dx
x l
l
dm
元摩擦力 df dmg
m1
元摩擦力矩 dMr df x dmg x
总摩擦力矩
M r
dMr
l m1 gxdx m1g l 2
0
l
l2
m1g
l 2
第四章 刚体力学
4
大学 物理
4-4 刚体定轴转动的角动量守恒定律
例 一长为l，质量为m0的杆可绕支点O自由转动。一质量为
m，速度为v的子弹射入距支点为a的棒内。若棒偏转角为
30°。问子弹的初速度为多少。
解： 射入过程角动量守恒：
o
mva
1 3
m0l
2
ma2
30°
la
转动过程机械能守恒：
v
1 1 23
m0l 2
ma2
2
mga1 cos30
m0 g
l 2
1 cos30
v 1 ma
g 2 6
刚体的转动
解 以m1 ， m2 ， m 为研究对象
m1g T1 m1a
T2 m2 g m2a
T1r
T2r
J
1 mr2
2
a r
T2
T2
m2
m2 g
(m1 m2 )g
(m1
m2
1 2
m)r
0
t
(m1 m2 )gt
(m1
m2
1 2
m)r
mr
T1
T1
m1
m1 g
17
例4-3:一长为l 质量为m 匀质细杆竖直放置,其下端与一固
0
3
平行轴定理 J z' J z Md2
J z' 刚体绕任意轴的转动惯量
J z 刚体绕通过质心的轴
d 两轴间垂直距离
z
x M,L
O dx
x
L
J
2 L
x2dx
1 12
ML2
2
z' z
M
d C
13
例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量
J L R2dm m R2 0
例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
dl m
R
O
ds 2 rdr
dm ds
dJ r2dm
J
R
dJ
1
mR2
0
2
m
R2
Rm dr
r O
14
例4-1:一轻绳绕在半径r =20 cm的飞轮边缘,在绳端施以F=98 N的拉力, 飞轮的转动惯量 J=0.5 kg·m2,飞轮与转轴间的摩擦不计,求(1)飞轮的 角加速度 (2)如以重量P =98 N的物体挂在绳端,计算飞轮的角加速度
需将力分别向垂直于轴以及平行于轴方向 做正交分解，如图所示
第4章 刚体的运动
角动量的时间变化率。
非相对论情况d下L ， 转I d动惯量II为常量：
dt dt 所以，经典力学中刚体的转动定理可表示为：
M I
➢当外力矩一定时，转动惯量越大，则角加速度越小。说明 转动惯量I是刚体转动惯性大小的量度。
例题 4-5
设 m1 > m2，定滑轮可看作匀质圆盘，其质量为M 而半径为r 。绳的质量不计且与滑轮无相对滑动，
Li ri pi
对时间求导： dLi
dt
d dt ( ri pi
)
dri dt
pi
ri
dpi dt
vi mivi ri fi ri fi Mi
其中：
fi
dpi dt
Mi ri fi
为第i个质元所受的作用力； 为fi对转轴的力矩。
对整个刚体： dL d
外力矩持续作用一段时间后，刚体的角速度才会改变。
由转动定理： Mdt dL
t2
Mdt
t1
L2dL
L1
L2
L1
I 2
I 1
式中
t2 t1
Mdt
称为合外力矩在
Δt
=
t2-t1内的冲量矩(N·m
·s)。
角动量定理：刚体所受合外力矩的冲量矩等于刚体在同一
时间内角动量的增量。
➢角动量定理对非刚体也成立，此时：
由平行轴定理：
z
I
Ic
Mh 2
1 12
ML2
Mh 2
当h=L/2时，与(1)的情况相同，由上式：
zc h
C
L、M
I 1 ML2 Mh 2 1 ML2 M( 1 L )2 1 ML2
12
12
2
刚体角动量守恒的条件(一)
刚体角动量守恒的条件(一)刚体角动量守恒的条件刚体角动量的守恒是刚体力学中的一个重要定律，它在许多物理问题的研究中发挥着重要的作用。
下面将逐点介绍刚体角动量守恒的条件。
刚体的定义•刚体是指形状不变的物体，其各点之间的相对位置在运动过程中保持不变。
•刚体的角动量是描述刚体旋转状态的重要物理量。
刚体的角动量定义•刚体的角动量定义为刚体上各点的质点角动量之和。
•刚体的角动量大小为角动量矢量的模，方向垂直于刚体的旋转轴。
刚体角动量守恒的条件•刚体在没有外力矩作用下，刚体的角动量守恒。
•外力矩为零时，刚体的角动量守恒。
刚体角动量守恒的推导1.刚体的角动量定义为刚体上各点的质点角动量之和。
2.根据牛顿第二定律和角动量的定义，可推导出刚体角动量的变化率与刚体上的力矩之间存在线性关系。
3.当刚体上没有外力矩作用时，根据力矩与角动量的关系，刚体的角动量守恒。
4.即刚体角动量的初态等于末态，刚体角动量守恒。
刚体角动量守恒的应用•刚体角动量守恒可用于解答物体旋转时的稳定问题。
•刚体角动量守恒可用于解析物体的旋转加速度和角速度的关系。
注意事项•刚体角动量守恒的条件仅适用于没有外力矩作用或外力矩为零的情况。
•刚体的角动量守恒是在不考虑摩擦力等外力干扰的理想条件下成立的。
以上是关于刚体角动量守恒的条件的介绍，刚体角动量守恒是刚体力学中一个重要的原理，可以用于解决物体旋转稳定性和加速度问题。
在应用时需要注意适用条件和理想性假设。
刚体角动量守恒的研究对于理解刚体的运动规律和相关问题具有重要意义。
刚体角动量守恒的实例刚体角动量守恒的条件是在没有外力矩作用或外力矩为零的情况下成立的，下面将通过实例来进一步解释刚体角动量守恒的应用。
实例一：旋转物体的角动量守恒一个质量为m的小球以角速度ω0绕垂直轴线旋转，初始角动量为L0。
1.当没有外力矩作用时，旋转物体的角动量守恒。
2.根据角动量守恒定律，初始角动量等于末态的角动量，即L0 =L1。
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当MZ= 0 时，LZ = 常量—来自点对轴的角动量守恒。例4、一小球用摆长为L的轻绳系于O点，开始时将小 球移开使绳与竖直方向成角，并给小球一水平初速 度v0使小球绕O点旋转，若希望在运动过程中，绳与 竖直方向的最大瞬时夹角为90°，问v0 应多大？
解：小球运动过程中受重力和绳中张 力的作用。张力不作功机械能守恒：
L rmv sin 常量
因而掠面速度： dS r dr sin 1 rv sin 常 量 dt 2dt 2
例3、发射一宇宙飞船去考察一质量为m1，半径为R的 行星。当飞船静止于空间中距行星中心r=4R时，以初
速v0发射一质量为m2(m2远小于飞船质量)的探测器，要
使探测器正好能掠着行星表面着陆，角应多大？
则质点系对O点的角动量为： L ri mivi
质点系中各质点所 受外力对O点的力矩和为： M ri Fi
而质点系中内力总是成对出现的，因而对同一参考点
而言，内力矩之和总为零。因而质点系对一参考点的
角动量定理为：
M
ri
Fi
dL dt
质点系相对参考点O的角动量随时间的变化率等于所
角动量守恒定律是自然界普遍适用的一条基本规律。
力矩M = 0的条件：（1）力臂 r = 0 （有心力作用），
（2）力F = 0，（3） r 与F 相互平行。
例1、质点运动时，位矢r 在单位时 间内扫过的面积称为掠面速度。试 证明：作匀速直线运动的质点，其 掠面速度为常数。
解：质点作匀速直线运动，受合外
三、质点系对质心的角动量定理和守恒定律
前述角动量定理和角动量守恒定律都是相对某惯
性系的，若参考系是一非惯性系，则还要考虑各质点
有外力对该点力矩的矢量和。 当 M 0 时， L 恒矢量
当外力对参考点O的力矩矢量和为零时，质点系对该 点的角动量守恒。
2、质点系对轴的角动量定理与角动量守恒
考虑质点系中质点都在垂直于Z轴的平面上运动的情 形，可得出质点系对轴的角动量定理：
MZ
dLZ dt
,
或
ri Fi
s in i
d dt
1 2
mv02
1 2
mv2
mgL c os
O
L v
v0 mg
重力对竖直轴无力矩，张力过O点也对竖直轴无力矩， 因而对竖直轴角动量守恒：
mv0L sin mvL
求出：
v0
2gL
cos
二、质点系的角动量定理、角动量守恒
1、质点系对一参考点的角动量定理与角动量守 恒
设一质点系中各质点相对参考点O的位矢用 ri (i= 1,2,3,…)，各质点的运动速度用 vi (i= 1,2,3,…) 表示，
LZ r1 p1 sin
Z
r1
P2
P P1
P1 为质点动量 P 在与Z轴 相
垂直的平面上的分量， r1 也在该平面上。
同样，力 F 对Z轴的力矩：
M Z r1F1 sin
F1 为力在垂直于Z轴平面上的分量
Z
r1
F2
F F1
质点对轴的角动量定理为：
MZ
dLZ dt
力对Z轴的力矩等于质点对Z轴的角动量随时间的变 化率。也可认为是质点对Z轴上任一点O的角动量定 理在Z轴上的投影。
第四章 角动量守恒 刚体力学
§4－1 角动量定理与角动量守恒
一、质点的角动量定理与角动量守恒
1、质点对一参考点的角动量 •定义：动量为 mv 的质点，相对某
一参考点O的角动量（动量矩）为
L r mv r P
mv
r
O
大小： L rmvsin
方向：满足右手螺旋法则。
2、力对一参考点的力矩
rimivi sini
质点系对Z轴的角动量随时间的变化率等于质点系所 受一切外力对Z轴的力矩之和。
当 MZ 0 时，LZ rimivi sini 常量
当质点系所受一切外力对Z轴的力矩之和=0时，质点 系对Z轴的角动量守恒。
3、角动量守恒定律可以解释星系的圆盘形结构。
观察表明银河系及许多星系都呈扁平的圆盘形结构。 银河系最初可能是球形的，由于某种原因（如与其它 星系的相互作用）而具有一定的角动量。正是这个角 动量的存在，使球形的银河系不会在引力作用下凝聚 （坍缩）成一团，而只能形成具有一定半径的圆盘形 结构。这是因为在凝聚过程中，角动量守恒（r2ω=常 量）要求转速随 r 的减小而增大，因而使离心力增大， 它往往比引力增大得更快，最终引力会和离心力相互 平衡，即角动量守恒限制了星系在垂直于转轴方向的 进一步坍缩。但角动量守恒并不妨碍星系沿转轴方向 的坍缩，因为对这种坍缩，角动量守恒不要求增加转 速。故星系最终坍缩成圆盘状，在沿轴向坍缩过程中 减少的引力势能将以辐射的形式释放掉。
而
dt dr
dt
(mv )
v
dt (mv)
0
dt
dt dL
r
d
(mv )
r
F
M
dt
dt
质点所受的合外力对某一参考点的力矩等于质点对 该点的角动量对时间的变化率—角动量定理。
若质点所受的合外力矩
则 dL 0
dt
M 0
或 L 常矢量
如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零，则 质点对该固定点的角动量矢量保持不变—角动量守恒 定律 。
•定义：力F相对某一参考点O的力矩为： M rF
r
F
大小： M rF sin
O
方向：满足右手螺旋法则。
若质点同时受多个力作用，则对一参考点的力
矩矢量和等于合力对该点的力矩：
r F1
r
F2
r
Fn
r
Fi
3、质点dL对 参 考d点(r的角m动v量) 定d理r、角m动v 量 r守 恒d定(m律v)
解：探测器飞行过程中只
v0
受到行星的引力，因而对
O点的角动量守恒：
m2
r
v
R
O
m2v0r sin m2vR
m1
又由机械能守恒：
1 2
m2v02
G
m1m2 r
1 2
m2v
2
G
m1m2 R
代入r=4R，求出
sin 1
4
1
3Gm1 2Rv02
4、质点对轴的角动量定理、角动量守恒定律
动量为 P 的质点对Z轴的角动量：
力F＝0，因而对原点O的力矩＝0，
对O点的角动量守恒。角动量大小
rmv sin 常量
因而掠面速度：
ds
1 v t oH 2
1
v
oH
1
vrsin
常量
dt
t
2
2
例2、行星运动的开普勒第二运动定律：行星对太阳 的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。
解：行星在太阳引力（有心力） 作用下沿椭圆轨道运动，因而 行星在运行过程中，它对太阳 的角动量守恒