方阵的特征值与特征向量(1).ppt
方阵的特征值与特征向量
证明 则
∵ (λE − A)Τ = λE − AΤ
λE − A = (λE − A)
Τ Τ
= λE− A
得到 A 与 AT 有相同的特征多项式， 则它们的特征值相同。
21
性质2 实对称矩阵的不同 不同特征值的特征向量相互正交 正交。 不同 正交
P 即设 λ1, λ2 是实对称矩阵A的两个不同的特征值， 1, P2
( 2)
x1, x2 ,⋯, xn 是齐次方程（3）的非零解。
因为X为非零向量， 则（3）有非零解
⇔ λE − A = 0
(4)
6
设 p1, p2 ,⋯, ps 是方阵 A的对应于特征值 λ 定理1 定理1 的线性无关的特征向量,则
k1 p1 + k2 p2 +⋯+ ks ps (k1, k2 ,⋯, ks 是不全为零的常数.)
列向量 X , 使方程 AX = λX
(1)
λX − AX =θ 即 (λE − A) X =θ ( 2) , （2）式说明特征向量 X 的坐标 x1, x2 ,⋯ xn 是齐次 特征向量
非零解。 方程（2）的非零解 非零解
5
（1）式也可写成 即
λX − AX =θ
(λE − A) X =θ
(λ − a11)x1 − a12x2 +⋯− a1n xn = 0 − a x + (λ − a )x +⋯− a x = 0 21 1 22 2 2n n (3) ⋯ ⋯ ⋯ − an1x1 − an2 x2 +⋯+ (λ − ann )xn = 0
−1 k2 p2 = k2 −1 1
x3 = k2
(k2任意实数）
方阵的特征值与特征向量
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练习题3: P143 判断下列命题是否正确．
(1) 如果 i 是方阵 A 的特征值，则 i 对应的特征
向量构成的集合 N(i E A) {x | (i E A)x 0};
(错)
(2) 方阵 A 的任何一个特征值一定对应无穷多个特征向量;
(对)
(3) 由于方阵 A 和 AT有一样的特征值, 故他们也有一样的
再由Ax x可得
x A1 Ax A1 x A1x
A1 x 1 x 故 1是矩阵A 1的特征值, 且x是A 1对应于 1
的特征向量.
16
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下证： Ax A x.
当A可逆时, 即 A 0时,
由 12 n A，知 0， 再由Ax x可得
A x A Ix AAx Ax A x
分别对应于 k , m , 1, 1 A 的特征向量。
14
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证明 2 Ax x
AAx Ax Ax x A2 x 2 x
再继续施行上述步骤 m 2次，就得 Am x m x 故m 是矩阵Am的特征值,且 x是 Am 对应于m的特
征向量.
15
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3当A可逆时, 由 12 n A，知 0，
1 1 1
2.
设A
2 1
2 1
21
求 A 的特征值与特征向量.
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感谢您的欣赏
27
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11
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当 2 3 1 时，齐次线性方程组为 A E x 0
2 1 0 1 0 1
A
E
4 1
2 0
0 1
第二节方阵的特征值和特征向量
3 4 1
1 1 0
000
~
1 0 0
0 1 0
0 00,
0
得基础解系
p1
10.
故对应特征值1=2的所有特征向量为 kp1 (k0).
当2=3=1时, 解方程组( A–E )x = 0. 由
A
E
2 4 1
1 2 0
001
~
1 0 0
0 1 0
1 2 0
,
1
得基础解系
p2
21.
故对应特征值2=3=1的所有特征向量为kp2(k0).
§5.2 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的概念
定义: 设A是n阶方阵, 如果数和n维非零列向量x
使关系式
Ax = x 成立, 那末这样的数称为方阵A的特征值, 非零向量x 称为A的对应于特征值的特征向量.
说明1: 特征向量x 0, 特征值问题是对方阵而言的; 说明2: n阶方阵A的特征值, 就是使齐次线性方程组
例3:
求矩阵A
=
2 0 4
1 2 1
301 的特征值和特征向量.
解: 矩阵A的特征多项式为:
2 1 1
| A–E | = 0 2 0 = –(1+)(2–)2,
4 1 3
所以A的特征值为: 1=–1, 2=3=2.
当1=–1时, 解方程组( A+E )x = 0. 由
A
E
1 0 4
1 3 1
x = A-1(Ax) = A-1(x) = (A-1x).
所以,
A-1x = -1x
由此我们还证明了: 若x是A的属于特征值的特
征向量, 则x也是矩阵A-1的属于特征值-1的特征向量.
第5章 特征值与特征向量ppt课件
tr(A ) 1 2 n.
设 i 为方阵的一个特征值,则由方程(iEA)x0
可求得非零解 x pi .
特征向量
本节 上页 下页
5.1 矩阵特征值与特征向量
例1
求矩阵
A
3
5
1 1
的特征值与特征向量.
解
EA3
5
1
10.
(4)(2)0.
A 的 特 征 值 为 1 4 ,2 2 .
定义1 设A为n阶方阵, λ是一个数,若存在非零列向量x,使得
Ax x,
则称λ是A的一个特征值,非零列向量x称为A的对应于特征值 λ的特征向量.
本节 上页 下页
5.1 矩阵特征值与特征向量
Ax x,
(EA)x0.
它有非零解的充分必要条件是系数行列式
EA 0.
a11 a12 a21 a22
an1 an2
本节 上页 下页
5.1 矩阵特征值与特征向量
6 6 0 1 0 1
1
1 2 : 2EA3
3
00 1 1.
p1
1
.
3 6 3 0 0 0
1
对应的全部特征向量为 c1p1 (c1 0).
3 6 0 1 1 0
2 3 1: EA3 6 00 0 0.
3 6 0 0 0 0
2
0
p2
1
,
p3 0.
ห้องสมุดไป่ตู้
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5.1 矩阵特征值与特征向量
3 1 0 1 0 0
0
1 2 : 2EA4
1 00 1 0.
p1
0
.
特征值与特征向量的应用PPT
定义 方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为方阵Ａ的迹. 记为 tr A aii i . 二、特征值和特征向量的性质 推论１ ｎ阶方阵Ａ可逆Ａ的ｎ个特征值全不为零. 若数λ为可逆阵的Ａ的特征值， 则 1 为 A1 的特征值． 推论２ 推论３ 则 k 为 kA 的特征值． 1 推论４ 则 A 为 A 的特征值．
注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有 b1 b 2 T . , a1 a2 an bn
施密特（Schmidt）正交化法 设 1 , 2 ,, r 是向量空间Ｖ的一个基，要求向量空 间Ｖ的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单 位向量 1 , 2 ,, r ，使 1 , 2 ,, r 与 1 , 2 ,, r 等价， 此问题称为把 1 , 2 ,, r 这组基标准正交化. 1）正交化 令 1 1
则 1 , 2 ,, r 两两正交，且与 1 , 2 ,, r 等价. 2）标准化 令 1
1
1
1 , 2
1
2
2 , , r
1
r
r ,
就得到Ｖ的一个标准正交向量组. 如果 1 , 2 ,, r 是Ｖ的一组基，则 1 , 2 ,, r 就是
1 2 P, ( p1 , p2 , , pn ) n 所以 P 1 AP , 即Ａ与对角矩阵Λ相似．
定理 ｎ阶矩阵Ａ能与对角矩阵Λ相似 Ａ有ｎ阶线性无关的特征向量． 推论 如果ｎ阶矩阵Ａ有ｎ个不同的特征值，则矩阵Ａ 可相似对角化．
1 , 2 2 2 1 1 , 1 1 , r 2 , r r 1 , r r r 1 2 r 1 1 , 1 2 , 2 r 1 , r 1
方阵的特征值与特征向量
2 当A可逆时, 0,
由Ax x可得
xA
1
Ax A x A
1
1
x
A1 x 1 x
故 1是矩阵A 1的特征值, 且x是A 1对应于 1 的特征向量.
16
矩阵
A 和 AT 的特征值相同。
3．
f AT E AT 证明
22
四、思考题 1、满足Ax=λx的x一定是A的特征向量. 2、如果x1 , , xs是A对应于特征值λ的特 征向量,则 k1 x1 k s xs也是A对应于λ的 特征向量. 3、设 1 , , n 是矩阵A的特征值, 1 ,, n是矩阵B的特征值,则1 1 ,, n n 是矩阵A+B的特征值.
( 2) 当A可逆时, 1是A 1的特征值.
证明
1 Ax x A2 x 2 x A Ax Ax Ax x
m 2 次，就得 Am x m x 再继续施行上述步骤
故 m 是矩阵Am的特征值, 且 x 是 Am 对应于m的特 征向量.
4
1 0 2 所以A的特征值为 1 2, 2 3 1.
当 1 2时, 解方程( A 2 E ) x 0.由
6
3 1 0 A 2E 4 1 0 1 0 0 得基础解系
所以k
1
p (k 0)是对应于
1 0 0 ~ 0 1 0 , 0 0 0 0 p1 0 , 1
23
思考题解答
1、不一定,如果x≠0,则x是A的一个特征 向量.
2、不一定,如果 k1 , k 2 ,, k s不全为零时, 是A对应于λ的特征向量.
线性代数课件特征值和特征向量
§2 相 似 矩 阵
一. 相似矩阵的定义和性质 定义6.3 设A ,B都是n阶方阵,若存在可逆矩阵P, 使
P-1AP=B 则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵 A与B相似. P-1AP=B称为对A进行相似变换, 可逆矩阵P称为把A 变成B 的相似变换矩阵. A与B相似记作A~B.
类似地有1k:x11+2kx22+…+skxss=0
(k=0,1,…,s-1),
即
(x1ξ1,x2ξ2,...,xsξs)11MM 12 O L L 12M ss11(0,0,L,0)
1 s L ss1
所以有 (x11, x22,…, xss)=(0, 0, …, 0)
即, xjj=0, 但j0, 故xj=0, (j=1,2,…,s)
1+2+…+n=a11+a22+…+ann 12…n=detA
定理6.2 设1,2,…,s是方阵A的互异特征值,1, 2,…, s是 分别属于它们的特征向量, 那么1,2,…,s线性无关.
证明 设 x11+x22+…+xss=0, 则
A(x11+x22+…+xss)=0,
即
1x11+2x22+…+sxss=0
例设4 3阶方阵A的特征值为1, -1, 2, 求|A*+3A-2E|. 解 由于A的特征值都不为0, 故A可逆.而|A|=-2 于是 A*=AA-1=-2A-1. 于是
A*+3A-2E=-2A-1 +3A-2E=(A)
(A)的3个特征值为:(1)=-1,(-1)=-3,(2)=3, 于是 |A*+3A-2E|=|(A)|=(-1)(-3)3=9
方阵的特征值与特征向量
§3 方阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量的定义设A 为n 阶方阵，p 是某个n 维非零列向量. 一般来说，n 维列向量Ap 未必与p 线性相关，也就是说向量Ap 未必正好是向量p 的倍数. 如果对于取定的n 阶方阵A ，存在某个n 维非零列向量p ，使得Ap 正好是p 的倍数，即存在某个数λ使得λAp =p ，这样的向量就是A 的相应的特征向量.下面正式给出方阵的特征值和特征向量的定义.定义3.1 设()ij n na ⨯=A 为n 阶实方阵. 若存在某个数λ和某个n 维非零列向量p 使λA p =p， 则称λ是A 的一个特征值，称p 是A 的属于特征值λ的一个特征向量.为了求出A 特征值和特征向量，我们把λAp =p 改写成()λ-=n E A p 0. 再把λ看成待定参数，那么p 就是齐次线性方程组()λ-=n E A x 0的任意一个非零解. 显然，它有非零解当且仅当它的系数行列式为零：0λ-=n E A .定义3.2 带参数λ的n 阶方阵λ-n E A 称为A 的特征方阵，它的行列式λ-n E A 称为A 的特征多项式. 称0λ-=n E A 为A 的特征方程. 根据行列式的定义可知有以下等式111212122212n n n n n na a a a a a a a a λλλλ-------=---n E A()()()1122n na aa λλλ=---+ , (1)在省略的各项中不含λ的方次高于2n -的项, 所以n 阶方阵A 的特征多项式一定是λ的n 次多项式. A 的特征方程的n 个根（复根，包括实根或虚根, r 重根按r 个计算）就是A 的n 个特征值. 在复数范围内, n 阶方阵一定有n 个特征值.综上所述, 对于给定的n 阶实方阵()i j a =A , 求它的特征值就是求它的特征多项式(1)的n 个根. 对于任意取定的一个特征值0λ，A 的属于这个特征值0λ的特征向量，就是对应的齐次线性方程组0()λ-=n E A x 0的所有的非零解. 注意: 虽然零向量也是0()λ-=n E A x 0的解，但0不是A 的特征向量!二、关于特征值和特征向量的若干结论定理3.1 n 阶方阵A 和它的转置矩阵T A 必有相同的特征值. 证 由矩阵转置的定义得到矩阵等式()TT λλ-=-n n E A E A . 再由行列式性质1知道()TTλλλ-=-=-n n n E A E A E A. 这说明A 和T A 必有相同的特征多项式,因而必有相同的特征值. 证毕 定理3.2 设12,,,n λλλ 的n 阶方阵()i j a =A 的全体特征值，则必有()111,nn ni i iii i i atr λλ======∑∑∏A A .这里，()tr A 为()i j a =A 中的n 个对角元之和，称为A 的迹（trace ）.A 为A 的行列式. 证 在关于变量λ的恒等式()()()()112111nn nnn n i i i i λλλλλλλλλλλ-==⎛⎫-=---=-++- ⎪⎝⎭∑∏n E A中取0λ=即得 ()()111nnnii λ=-=-=-∏A A ，所以必有1nii λ==∏A .再据行列式定义可得()()()1122n n a a a λλλλ-=---+n E A ｛()!1n -个不含n λ和1n λ-的项｝ 11n nn i i i a λλ-=⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∑ ｛()!1n -个不含n λ和1n λ-的项｝比较λ-n E A 的上述两个等式两边的1n λ-项的系数, 即得11n ni i ii i aλ===∑∑. 证毕定理3.3 设A 为n 阶方阵.()1110mm m m f x a x a xa x a --=++++ 为m 次多项式.()1110m m m m f a a a a --=++++n A A A A E为对应的A 的方阵多项式. 如果λ=Ap p ，则必有()()f fλ=A p p . 这说明()f λ必是()f A 的特征值. 特别, 当()f =A O 时，必有()0f λ=，即A 的特征值必是对应的m 次多项式()f x 的根.证 先用归纳法证明,对于任何自然数k , 都有k k λ=A p p . 当1k =时,显然有λ=Ap p . 假设k k λ=A p p 成立, 则必有()()11k k k k k λλλ++====A p A A p A p Ap p 。
第一节 矩阵的特征值与特征向量
2. 特征值与特征向量的求法
Ax = λ x ⇒ ( A − λ E ) x = 0 或 ( λ E − A) x = 0
已知
x ≠ 0, 所以齐次线性方程组有非零解
⇔ A− λE = 0 或 λE − A = 0
定义2： An×n 定义 ：
= aij
( )
λE − A =
, 数λ n×n λ − a11 − a12 L − a 21 λ − a 22 L
*
(
−1
的特征值。 ) 的特征值。
B = A2 − 3 A + E 的特征值和 B 的特征值为1,2,3，求 例： 设矩阵 A 的特征值为 ，
1 −1 1 例：设 A = 2 − 2 2 −1 1 −1 求： （1） A 的特征值和特征向量。 ） 的特征值和特征向量。
x1 = x 2 − x 3
A
1 −1 1 1 − 1 1 = 2 − 2 2 → 0 0 0 − 1 1 − 1 0 0 0
自由未知量: 自由未知量 x 2 , x 3
−1 1 p1 = 0 , p2 = 1 得基础解系 1 0
它的基础解系， 任意 n 个线性无关的向量都是 它的基础解系， 1 0 0 0 1 0 L 取单位向量组 ε 1 = ， ε 2 = ， ， ε n = M M M 0 0 1 作为基础解系。 作为基础解系。
解： 第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值 第一步：写出矩阵 的特征方程 求出特征值. 的特征方程，
−1 − λ A− λE = −4 1 2 ( 2 − λ ) ( λ − 1) = 0
特征值特征向量定义.ppt
例设
A 3 2， 1 0
则有
X1
1 1
O，使得
AX1
3 1
2 0
1 1
1 1
1X1
，
所以 1 是A的特征值，对应的特征向量为 X1 .
有
X2
2 1
O，使得
AX 2
3 1
2 0
2 1
4 2
2
2 1
2X2
，
所以 2 是A的特征值，对应的特征向量分别为 X2 .
对于 1.
§4.1 矩阵的特征值与特征向量
（一） 特征值特征向量的定义
定义4.1 设A是 n 阶方阵，如果存在数
和 n 维非零向量 X 使
AX X
则称 为方阵A的一个特征值，X 为方阵A对应于或
属于特征值 的一个特征向量。
特征值公式实现了矩阵乘法向数乘的转换。
特征值问题在经济理论，自动控制，稳定性理论 等方面有着非同寻常的用途。
得基础解系
0
，
A对应于
1＝2
1 的全部特征向量为：
c
0 0,c
0
1
将 2＝1 代入方程组 (I A)X O,整理得
x2
x3
2 x1 , x1
1
取 x1 1 得基础解系
2
,
1
A对应于 2＝1 的全部特征向量为：
1 c 2
,c 0
1
此二重特征值 1对应了一个线性无关的特征向量。
性质2
X ,Y 是A 属于同一特征值 0 的特征向量，且 X Y O X Y 也是A 属于 0 的特征向量。
证 AX 0 X , X O, AY 0Y ,Y O A( X Y ) AX AY 0 X 0Y 0( X Y )
五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件
,n
的列(行)
向量都是单位向量且两两正交．
由此可知A的列向量组构成 Rn的 一个标准正交基。
同样的方法，行向量组也是。
例3 判别下列矩阵是否为正交矩阵．
1
1 1
2
1 2 1
1 3 1 2,
1 3 1 2 1
解 （2）由于
1
9 8
8 9 1
4
9 4
1
9 8
9 9
4 9
4 9
9 7 9
1 1
,
e2
2 2
,
,er
r r
,
那么 e1, e2 , , er为W的一个标准正交基 .
上述
由线
性无关
向量
组1
,,
构造
r
出正交
向量组1,, r的过程,称为施密特正交化过程 .
例1 用施密特正交化方法，将向量组
a1 (1,1,1,1)T , a2 (1, 1, 0, 4)T , a3 (3, 5,1, 1)T
9 4
9
所以它是正交矩阵．
2
1
9 8
8 9 1
4
9 4
.
9 9 9
4 9
4 9
7 9
8 9 1
4
9 4
T
1 0
0 1
0 0
9 4
9
9 7
9
0
0
1
提示：此法为 定义法，利用定理3如何证明？
定理2 设A, B皆是n阶正交矩阵,则
1 A 1或1
2 AT 即A1 也是正交矩阵.
A1 x 1 x 故 1是矩阵A 1的特征值, 且x是A 1对应于 1
05.第五讲 矩阵的特征值和特征向量(1)
爱启航在线考研第五讲 矩阵的特征值和特征向量【考试要求】1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量．2．理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法．3．掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．考点：特征值和特征向量的概念和计算 1. 特征值和特征向量的定义定义 设A 是n 阶矩阵，若存在数λ和n 维非零列向量x 使λ=Ax x成立，即 ()λ−=E A x 0有非零解，则称λ为A 的一个特征值，此时，非零解x 称为A 的对应于特征值λ的特征向量.注：由定义， λ是n 阶方阵A 的特征值 ⇔ =0λ−E A ，这时，齐次方程组()λ−=E A x 0的非零解都是矩阵A 属于特征值λ的特征向量.例如，122322236−⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦A ，有1111111⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ，故1λ=为A 的特征值，111⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为A 的对应于特征值1λ=特征向量.【例1】 若12不是方阵A 的特征值，则2−E A 为可逆矩阵，对吗？为什么？爱启航在线考研【例2】已知三阶矩阵3212231x y −⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦A 有一个特征向量1123⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ，则______,_______x y ==，1P 所对应的特征值1_______λ=.2. 特征多项式和特征方程关于λ的n 次多项式 ()111212122212=n nn n nna a a a a a f a a a λλλλλ−−−−−−=−−−−E A称为A 的特征多项式，=0λ−E A称为A 的特征方程（也可写作=0λ−E A ），它的根称为A 的特征根，A 的特征根即A 的特征值.3. 求具体矩阵的特征值和特征向量⬧ 第一步 解特征方程，求A 的特征值——如何快速提出因式(λ+a )？提不出时怎么对三次多项式因式分解？⬧ 第二步 求每个特征值对应的特征向量——如何更快捷高效？求“全部特征向量”应如何表述？爱启航在线考研【例3】求146025003⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的特征值与特征向量.注：上（下）三角矩阵的特征值即为主对角线上的元素.【例4】 求矩阵433231213−−⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 的特征值与特征向量. 注：若矩阵B 有二重特征值124λλ==，且求得两个对应无关特征向量12,αα，则如何表示124λλ==对应的全部特征向量？【例5】 求矩阵220212020−⎛⎫ ⎪=−− ⎪ ⎪−⎝⎭A 的特征值和特征向量.爱启线考研考点：特征值和特征向量的性质1）设12,,,s ⋯ααα都是矩阵A 属于特征值λ的特征向量，则1122s s k k k ++⋯+ααα也是矩阵A 属于特征值λ的特征向量（12,,,s k k k ⋯不全为0）；2）矩阵A 属于不同特征值的特征向量线性无关；推论：若12,αα分别是A 属于不同特征值的特征向量，则12+αα不是A 的特征向量. 3）k 重特征值至多有k 个线性无关的特征向量； 4）设n 阶方阵A 的n 个特征值为12,,,n λλλ 则有1()ni i tr λ==∑A ，12n λλλ=A ；推论：A 可逆当且仅当0(1,2,,)i i n λ≠=.5）设λ为A 的任一特征值，α是对应特征向量： ①110()m m m m f a a a −−=+++A A A E ，则()f λ为矩阵()f A 的特征值. 对应特征向量α；12,λλ爱启航在线考研注：a ）由①可知，若()=f A O ，则A 的任一特征值λ都满足方程()=0f λ（即特征值只能取()=0f λ的解），但()=0f λ的解不一定都是A 的特征值；b ）A 的特征向量都是()f A 的特征向量，但()f A 的特征向量不一定是A 的特征向量（当A 可对角化，()f x 是一一对应时，A 与()f A 具有相同的特征向量）；c ）有以下常用结论成立（设A 的全部特征值为12,,...,n λλλ）：⬧ a b +E A 的全部特征值为12,,,n a b a b a b λλλ+++；⬧ m A 的全部特征值为12,,,m m m n λλλ；⬧ a b +E A 与A 具有完全相同的特征向量.②若A 可逆，则0λ≠，且1λ是矩阵1−A 的特征值，对应特征向量α；③若0λ≠，则λA是矩阵*A 的特征值，对应特征向量α；④若1−=P AP B ，则λ为B 的特征值，对应特征向量1−P α.6） n 阶矩阵T A A 和有相同的特征值，但对应的特征向量不一定相同.爱启航在线考研7）（哈密顿—凯莱定理）若n 阶方阵A 的特征多项式为111()n n n n f a a a λλλλλ−−−==++++E A则有111()n n n n f a a a −−++++==A A O A A E【例1】设A 是3阶可逆矩阵，其逆矩阵的特征值为111,,234，则1）A 的特征值为________________；2）22+A A E -的特征值为________________； 3）A *的特征值为________________； 4）*−E A 的值为________________.【例2】设n 阶方阵A 的每行元素之和为(0)a a ≠且2a =A ，则()24***+−A A E 的一个特征值为___________.【例3】 设A 是三阶矩阵，有一特征值为3，且()6tr ==A A 求A 的所有特征值.爱启航在线考研考点：相似矩阵及其性质 1. 相似矩阵的定义设A ，B 是两个n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P ，满足-1=P AP B ，则矩阵A 与B 相似，记作~A B .2. 矩阵相似的性质若~A B ，则 ① ()()f f A B （()f x 为多项式），11~−−A B （若可逆），~T T A B ，**~A B ；② , , ()(), ()()r r tr tr λλ=−=−==A B E A E B A B A B ；若~,~A B C D ，则⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A OB O OC OD 【例1】 设矩阵20001010x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 与矩阵20001000y ⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦B 相似，则 ______,_______x y ==.【例2】设n 阶方阵A 有n 个特征值0,1,2,,1n −，且方阵B 与A 相似，则+B E =___________.爱启航在线考研考点：矩阵的相似对角化 1. 相似对角化的定义若矩阵A 与对角阵Λ相似，即存在可逆矩阵P ，使1−=P AP Λ则称A 可以相似对角化，记为A Λ，称Λ是A 的相似标准形.注: 若有1−=P AP Λ（即AΛ）1）Λ主对角线上的元素即为A 的全部特征值；2）P 的各列向量均为A 的特征向量，且次序与Λ主对角线上的特征值相对应； 3）可逆矩阵P 的列向量组线性无关，即n 阶矩阵A 有n 个线性无关的特征向量.【例1】 设三阶方阵A 相似于对角阵，()22,3r ==A A A ，则A 的特征值为________. 【例2】如果方阵A 与对角矩阵111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥−⎣⎦D 相似，则10A =__________. A.E B. A C. −E D. 10E爱航在线考研2. 矩阵可相似对角化的充要条件（教你抓特点！）A Λ⇔ A 恰有n 个线性无关的特征向量；⇔ 对于A 的每个i k 重特征值i λ，都有i k 个无关特征向量； ⇔ 对于A 的每个i k 重特征值i λ，()i i n r k λ−−=E A3. 矩阵可相似对角化的充分条件①n 阶矩阵A 有n 个不同的特征值⇒A Λ（高频）②n 阶矩阵A 是实对称矩阵⇒AΛ（高频）；【例3】 判断下列矩阵是否可相似对角化（1）110021003⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ； （2）110010002⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ； （3）110020001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦C . 【例4】 判断矩阵,A B 是否相似，并说明理由. 其中100314220,020003001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B爱启航在线考研【例5】 设A 为3阶方阵，已知,,3−+−E A E A E A 都不可逆，问A 是否相似于对角矩阵？为什么？ 【例6】x 为何值时，下列方阵可对角化？001123100x x ⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦A4. 相似对角化的计算方法（求可逆矩阵P 和对角矩阵Λ，使1−P AP =Λ）第一步 解特征方程=0λ−E A ，求A 所有的特征值和对应特征向量； 第二步 将A 的特征值作为主对角元写成对角阵，即为Λ，对应特征向量作为列向量，依次按顺序排成P .（注：由上述过程可知，相似变换阵P 实际上由若干方程组的基础解系组成. 由于方程组的基础解系不唯一，因此P 不唯一）【例7】 （2015节选）设矩阵023133124−⎛⎫ ⎪=−− ⎪ ⎪−⎝⎭A ，求可逆矩阵P ，使1−P AP为对角阵.爱启航在线考研【例8】 设三阶方阵A 有特征值1，1，2，与之对应的三个线性无关的特征向量分别为,,αβγ，令()1,1,2diag =Λ，则满足1−=P AP Λ的相似变换阵P =________.A. ()2,,ααγB. (),,+αββγC. (),,αγβD. ()2,,+ααβγ爱启航在线考研考点：实对称矩阵及其性质 1. 实对称矩阵的定义对于实矩阵A ，若T A =A ，则A 为实对称矩阵.2. 正交矩阵1）定义：若n 阶方阵A 满足T T ==AA A A E ，称A 是正交矩阵；2）性质： ①A 为正交矩阵，则1T −=A A ；②正交矩阵的行列式等于1或-1；③正交矩阵的行（列）向量长度均为1，且行（列）向量两两正交..证：设正交矩阵123123123a a a b b b c c c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，由T =AA E 有 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010001333222111321321321c b a c b a c b a c c c b b b a a a 有222123123123123123100a a a a a a b b b a a a c c c ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩， 31212322212331212310b a b a b a b b b b c b c b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ ， 112233232311222123001c a c a c a c c c b b b c c c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 若令()1123,,Ta a a α=，()2123,,Tb b b α=， ()3123,,Tc c c α=即111213122223132333100010001T T T T T T T T T αααααααααααααααααα⎧===⎪===⎨⎪===⎩ □3.1）特征值全是实数；2）必能相似对角化，且存在正交矩阵Q ，使1T −==Q AQ Q AQ Λ； 3）不同特征值的特征向量必定正交；爱启航4）k 重特征值必定有k 个线性无关的特征向量；5）非零特征值的个数（重根按重数计）等于矩阵的秩. 【例1】设A 为实对称矩阵，12141,53a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα分别是属于A 的相异特征值1λ与2λ的特征向量，则a =__________.4. 实对称矩阵的正交相似对角化（求正交阵Q 和对角阵Λ，使1T −==Q AQ Q AQ Λ）第一步 求A 所有的特征值和对应特征向量；第二步 将属于同一特征值的特征向量正交化，再将所有特征向量单位化； 第三步 写出Q 和Λ.爱启【例2】（2007改编）设实对称矩阵B 的特征值为1232,1λλλ=−==，对应于特征值2−的特征向量为1(1,1,1),T =−α 对应于特征值1的特征向量为23(1,1,0),(1,0,1)T T ==−αα，求正交矩阵Q ，使T Q AQ 为对角阵.。
方阵的特征值与特征向量
（其中可能有重根）， 1, 2 ,, n 就是 A 的全部特征值。
3. 对每个特征值 i ，求解属于它的特征向量，
即解齐次线性方程组（i E A)x 0 的基础解系
若求得基础解系为1 , 2 ,, t ，则 A 的属于特征值 i
的全部特征向量即为 x k11 k22 ktt .
其中
k
（
1 1
4 0 2
0 0 0
0 0 0
1 r2 2r1 0
3 6
1 3
r2(16)
1 0
3 1
1 1
0 0 0
0
0
2 0
1 0 1
2
r13r2 0 1 1
2
0 0 0
得对应的方程组
x1 x2
故当 k1x1 k2 x2 0 时， k1x1 k2 x2 是矩阵 A 的属于特 征值 0 的特征向量。
为讨论方阵的特征值与特征向量的计算方法，把式（4.2）
改写为
（E A)x 0
（4.3）
这是 n 个方程 n 个未知量的齐次线性方程组， n 阶矩阵 A
的特征值就是使该齐次线性方 E A 0 的单根时，则称其为
单特征值，否则称为重特征值。
求 n 阶方阵 A 的特征值与特征向量的步骤：
1. 求出矩阵 A 的特征多项式 f () E A ,
即计算行列式 E A
2. 解特征方程 E A 0 ，求出它的全部解（根） 1, 2 ,, n
1
2
1 (3 )
1 2( 3 )
4 2
4 0 2
令 A E 0 ，解得 A 的特征值为 1 2 0, 3 3
对应于 1 2 0 ，求解齐次线性方程组 (A 0E)x 0 的基础解系
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主要内容： 一、特征值与特征向量的定义 二、特征值与特征向量的相关定理 三、特征值与特征向量的求解
§2 方阵的特征值与特征向量
定义: 设A是n阶矩阵,如果数λ和n维非 零列向量x使关系式 Ax= λx (1)
成立,那么,这样的数λ称为方阵A的特征 值,非零向量x称为对应于特征值λ的 特征向量.
§2 方阵的特征值与特征向量
当1 2 =1时, 对应的特征向量应满足
1 0 0 1 x1 0
0
1
1
0
x2
0
,
0
1
1
0
x3
0
1 0 0 1 x4 0
0
1
解得对应的特征向量为p1
1 1
,
p2
0 0
,
0
1
0
1
而全部特征向量为k1
1 1
,
解得x1 x2 ,
所以对应的特征向量可取为
p2
1
1
.
§2 方阵的特征值与特征向量
说明:
若pi是方阵A的对应于特征值i的特征向量, 则kpi (k 0)也是对应于i的特征向量.
§2 方阵的特征值与特征向量
例 若λ是矩阵A的特征值,证明
(1) m是Am的特征值 m是任意常数;
(2) 当A可逆时, 1是A1的特征值.
k2
0 0
(k1 ,
k2不同时为0).
0
1
§2 方阵的特征值与特征向量
当3 4 =-1时, 对应的特征向量应满足
1 0 0 1 x1 0
0
1
1
0
x2
0
,
0
1
1
0
x3
0
1 0 0 1 x4 0
0
1
解得对应的特征向量为p3
1
,
1
p4
§2 方阵的特征值与特征向量
说明: (1)若是A的特征值,则 k是Ak的特征值;
(2) () ( A)是的特征值 (其中 () a0 a1 am m是的多项式, ( A) a0E a1A am Am也是A的多项式).
§2 方阵的特征值与特征向量
说明:
设 n阶方阵 A aij 的特征值为1, 2, , n,
3 2
1
1
3
2
x1 x2
0 0
,
即
x1 x1
x2 x2
0, 0.
解得x1 x2 ,
所以对应的特征向量可取为p1
1 1 .
§2 方阵的特征值与特征向量
当2 4时,由
3 4
1
1
3
4
x1 x2
0 0
,
即
1 1
1 1
x1 x2
0 0
说明: A的特征值就是特征方程的解.
§2 方阵的特征值与特征向量
例
求A
3 1
31的特征值和特征向量.
解 A的特征多项式为
3 1 (3 )2 1 (4 )(2 ) 1 3
所以A的特征值为1 2, 2 4.
§2 方阵的特征值与特征向量
当1 2时, 对应的特征向量应满足
§2 方阵的特征值与特征向量
由Ax= λx 得(A- λE)x =O, (2)
这是未知数个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必 要条件是系数行列式| A- λE |=0, (3)
即
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n 0
an1
an2
ann
上式是以λ为未知数的一元n次方程,称为方阵A的特征方程. 记f (λ) =| A- λE |称为方阵A的特征多项式.
§2 方阵的特征值与特征向量
说明:
1.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合 仍是属于这个特征值的特征向量．
2.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而 言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一 个特征向量不能属于不同的特征值．
§2 方阵的特征值与特征向量
总结 求矩阵特征值与特征向量的步骤：
1. 计算A的特征多项式 det A E;
0 0
,
0
1
0
1
而全部特征向量为k3
1
1
k4
0 0
(
k3
,
k4不同时为0).
0
1
§2 方阵的特征值与特征向量
定理
设1, 2, , m是方阵A的m个特征值,
p1, p2, , pm依次是与之对应的特征向量,
如果1, 2 , , m各不相等,则 p1, p2 , , pm 线性无关.
证 因λ是A的特征值,故有p≠O使Ap= λp.于是
1 A2 p A( Ap) A( p) ( Ap) 2 p,
故 2 是矩阵A2的特征值, 且 x 是 A2 对应于 2的特征向量.
§2 方阵的特征值与特征向量
2 当A可逆时,由Ap p, 有p A1 p,
因p 0, 知 0, 故A1 p 1 p 所以 1是矩阵A1的特征值, 且x是A1对应于 1的特征向量.
则有
(1) 1 2 n a11 a22 ann; (2) 12 n A .
§2 方阵的特征值与特征向量
0 0 0 1
例
求A
0 0
0 1
1 0
0
的特征值和特征向量.
0
Hale Waihona Puke 100解 A的特征多项式为
0 0 1
AE 0
0
1 1
0 ( 2 1)2
0
1 0 0
所以A的特征值为1 2 1, 3 4 1.
2. 求特征方程 det A E 0的全部根1, 2 ,
, n ,就是A的全部特征值;
3. 对于特征值i ,求齐次方程组 A iE x 0
的非零解, 就是对应于i的特征向量.