电磁场基本方程
电磁场与电磁波公式整理
电磁场与电磁波公式整理第一章A：矢量恒等式()()()A B C B C A C A B ×=×=×i i i ()()()A B C B A C C A B ××=−i i ()uv u v v u ∇=∇+∇ ()uA u A A u ∇=∇+∇i()0U ∇×∇=()0A ∇∇×=i 2()U U ∇∇=∇i2()()A A A ∇×∇×=∇∇−∇iVSAdV A dS ∇=∫∫i iVCAdS A dl ∇×=∫∫in V S AdV AdS e ∇×=×∫∫ n V S udV udS e ∇=∫∫n S C udS udl e ×∇=∫∫ 2)V S u v u dV udSnv v ∂+∇∇=∇∂∫∫i22(()VSuu v v dV uv dS n nv u ∂∂−=−∇∇∂∂∫∫ B：三种坐标系的积分元以及梯度、散度、旋度、和拉普拉斯运算⑴直角坐标系位置矢量微分元：x y z dr dx dy dz e e e =++面积元：,,x y z d dydz d dxdz d dxdy s s s === 体积元：dv dxdydz = x y z u u uu e e e x y z ∂∂∂∇=++∂∂∂ y x z A A A A x y z∇=∂∂∂++∂∂∂i x yz A x y z A A A x yz e ee∂∂∂∇×=2222222u u u u x y z ∇∂∂∂=++∂∂∂()uA u A u A ∇×=∇×+∇×()A B B A A B∇×=∇×−∇×i i i ()()()A B A B B A A B B A ∇=∇×+∇+×∇×+×∇×i i i ()()()()A B A B B A B A A B ∇××=∇−∇+∇−∇i i i i⑵圆柱坐标系位置矢量微分元：z dr d d dz e e e ρφρρφ=++面积元：,,z d d dz d d dz d d d s s s ρφρφρρρφ=== 体积元：dv d d dz ρρφ=z u u u u z e e e ρφρρφ∂∂∂∇=++∂∂∂ ()()()11A A A z A z ρρρφρρρφ∂∂∂∇=++∂∂∂i1z e e e A z A A Az ρφρρφρρφ∂∂∂∇×=∂∂∂22222211()u u u u z ρρρρρφ∂∂∂∂=++∇∂∂∂∂⑶球坐标系位置矢量微分元：sin r r r dr dr d d e e e θφθθφ=++面积元：2sin ,sin ,r d d d d r drd d rdrd r s s s θφθθφθφθ=== 体积元：2sin dv drd d r θθφ=1sin ru u u u r r r e e e θφθθφ∂∂∂∇=++∂∂∂22111()(sin )sin sin r A r r r r rA r A A φθθθθθφ∂∂∂∇=++∂∂∂i2sin 1sin sin re re r e A r ArrA r A r θφθθφθθθφ∂∂∂∇×=∂∂∂ 22222222111()(sin sin sin u u uu r r r r r r θθθθφθ∇∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂ C：几个定理散度定理：v s FdV F dS ∇=∫∫i i斯托克斯定理：s c F dS F dl∇×=∫∫i i亥姆霍茨定理：()()()F r u r A r =−∇+∇×格林定理：n V S FdV F dS e ∇=∫∫i i高斯定理和环路定理：第二章表一：电荷和电流的三种密度表二：电场和磁场表四：介质中的电（磁）场感应强度:电磁感应定律S in B dS d d dt dt ϕε=−=−∫i in C in E dl ε=∫i S C S d Bd dt tE dl ∂∂=−∫∫i i 积分形式 1.如果回路静止则有：S C S Bd tE dl ∂∂=−∫∫i BE t∂∇×=−∂ 2.导体以速度v 在磁场中运动 ： ()CC v B dl E dl ×=∫∫i i3.导体在时变场中运动：()CS S B d tC v B dl E dl ∂∂−×=+∫∫∫i i i表五：麦克斯韦方程组：。
工程电磁场
E m j Bm
Bm 0
Dm m
不再含有场量对时间t的偏导数，从而使时谐电磁场的分析得 以简化。
例4-2：写出与时谐电磁场对应的复矢量(有效值)或瞬时矢量，
H x jH 0 sin cos(x cos )e
jz sin
E
U e ln( b / a
U I ez ln( b / a ) 2
同轴电缆中的电磁能流
单位时间内流入内外导体间的横截面A的总能量为 b UI P S dA 2d UI A a 2 2 ln b / a 这表明： • 穿出任一横截面的能量相等，电源提供的能量全部被负载吸收。
时变电磁场中媒质分界面上的衔接条件的推导方式与前三章类同，归纳如下：
e n H 2 H 1 k e n E 2 E1 0
E2t E1t
B1n B2n
D2n D1n
e n B2 B1 0
tan 1 1 tan 2 2
时谐电磁场
4.2.1 时谐电磁场的复数表示
E(r, t ) ex Exm r cost x r e y Eym r cost y r ez Ezm r cost z r
（三要素） 是角频率，Exm、Eym、Ezm及x、y、z 分别是 电场强度在直角坐标系下的三个分量的振幅和初相位。 采用相量表示法，上式可表示为如下复矢量(相量)，即
~ j
通常的磁导率
通常的介电常数
表征磁介质中的 磁化损耗
在高频时谐电磁场以上参数通常是频率的函数
当电介质同时存在电极化损耗和欧姆损耗时，其等效复介电 常数可写为 ~ e j 为了表征电介质中损耗的特性，通常采用损耗角的正切
电磁场基本方程
一、电磁场的源——电荷与电流1、电荷与电荷密度宏观上可以用“电荷密度”来描述带电体的电荷分布。
定义体电荷密度为30m C d d lim−→∆⋅=∆∆=VQV Q V ρ其中Q ∆是体积元V ∆内包含的总电荷量。
当电荷存在于一无限薄的薄层或者截面很小的细线上时，可用面电荷密度或线电荷密度来描述20m C d d lim−→∆⋅=∆∆=SQS Q S S ρ10m C d d lim −→∆⋅=∆∆=lQl Q l l ρ一个体积为V 、表面积为S 、线长为l 上包含的电荷总量可以分别对上述三式进行体、面、线积分得到，即∫∫∫=VV Q d ρ、∫∫=SS S Q d ρ、∫=ll lQ d ρ2、电流与电流密度任取一个面，穿过此面的电流定义为单位时间内穿过此面的电荷量，即As C d d lim10或−→∆⋅=∆∆=tQt Q I t 电流的正方向规定与正电荷的运动方向。
体电流密度是一个矢量，方向为正电荷的运动方向，大小等于垂直于运动方向上的单位面积上的电流。
电流密度的大小可表示为20m A lim−→∆⋅∆∆=SI J S 体电流密度矢量由体电荷密度和正电荷的运动速度确定，即vJ r r ⋅=ρ对于任意曲面，穿过此曲面的总电流为∫∫⋅=SSJ I r r d 同样，可以定义面电流密度为10m A lim −→∆⋅∆∆=l IJ l S vJ S S r r ⋅=ρ∫⋅=ls lJ I r r d 3、电流连续性方程（电荷守恒定律）在一个体电荷密度为ρ的带电体内任取一个封闭曲面S ，某瞬间从此封闭曲面流出的电流为i(t)，则()∫∫∫∫∫−=−==⋅V S V t t Q t i S J d d d d d d ρr r 即电流连续性方程（电荷守恒定律）的积分形式。
若体积V 是静止的，则对时间的微分和体积分的次序可以交换，结合散度定理，有∫∫∫∫∫∫∫∫∂∂−=⋅=⋅∇V S V Vt S J V J d d d ρr r r于是，对于任意体积V ，都有tJ ∂∂−=⋅∇ρr 即电流连续性方程（电荷守恒定律）的微分形式。
麦克斯韦方程组数学表达式
麦克斯韦方程组数学表达式麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程，它由四个方程组成，分别为高斯定律、法拉第电磁感应定律、安培环路定理和法拉第电磁感应定律的积分形式。
这四个方程的数学表达式如下：1. 高斯定律（电场电荷密度定理）：$$ablacdotmathbf{E}=frac{rho}{epsilon_0}$$其中，$ablacdotmathbf{E}$表示电场的散度，$rho$表示电荷密度，$epsilon_0$为真空介电常数。
2. 法拉第电磁感应定律（电动势定理）：$$oint_Cmathbf{E}cdotdmathbf{l}=-frac{d}{dt}int_Smathbf{B}cdot dmathbf{A}$$ 其中，$C$表示一条封闭路径，$mathbf{E}$表示电场强度，$mathbf{B}$表示磁场强度，$S$表示该路径所围成的面积。
3. 安培环路定理（磁场电流密度定理）：$$ablatimesmathbf{B}=mu_0mathbf{J}+mu_0epsilon_0frac{partialm athbf{E}}{partial t}$$其中，$ablatimesmathbf{B}$表示磁场的旋度，$mathbf{J}$表示电流密度，$mu_0$为真空磁导率，$epsilon_0$为真空介电常数。
4. 法拉第电磁感应定律的积分形式（法拉第电磁感应定律的通量定理）：$$oint_Smathbf{E}cdotdmathbf{A}=-frac{d}{dt}int_Vmathbf{B}cdot dmathbf{V}$$ 其中，$S$表示一个封闭曲面，$mathbf{E}$表示电场强度，$mathbf{B}$表示磁场强度，$V$表示该曲面所围成的体积。
第2章--电磁场基本方程---2
l
a 2
2 a
故 E ˆ U
ln
b a
同轴线内最大电场强度EM发生于内导体表面处:
EM
U a ln
b a
c) EM最大值发生于
dEM da
U (a ln
b a
)2
(ln
b a
1)
0
得
ln b 1
b e
a
a
故
a b 1.8 0.662cm
e 2.718
15
电磁场
第二章 电磁场基本方程
例 3 设有二块无限大带电平行平面, 面上分别带有均匀 电荷, 上极板电荷密度是-ρs(C/m2), 下极板为+ρs(C/m2), 两 极板间距离为d(m), 如图3 - 3所示。试求平行板内、外各 点的电场强度。
解: 由高斯定理的微分形式 E ， 得电荷密度为 0
0 E
用球坐标中的散度公式
A
1 r2
(r 2 Ar ) r
1
r sin
(sin A )
1
r sin
A
可得
0
(r>a)
o E0
15 2a3
(a2
r2)
(r<a)
21
电磁场
第二章 电磁场基本方程
2 .1 .4 比奥-萨伐定律, 磁通密度
H dl I
l －－－－安培环路定律
物理意义: 磁场强度H沿闭合路径的线积分等于该路径所
包围的电流I。
I: 传导电流的代数和。
可方便地计算一些具有对称特征的磁场分布。
因为S面是任意取的, 所以
( H ) ds J ds
s
S
H J 32
麦克斯韦方程组电磁场的基本定律
麦克斯韦方程组电磁场的基本定律麦克斯韦方程组被誉为电磁学的基石，它是电场和磁场之间相互作用的数学描述。
通过这组方程，我们可以了解电磁场的本质及其基本行为。
本文将详细介绍麦克斯韦方程组的四个方程以及它们的物理意义。
一、麦克斯韦方程组的引入麦克斯韦方程组由19世纪物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦于1864年首次提出。
他基于法拉第电磁感应定律和库仑定律，将电场和磁场统一起来，形成了这组方程。
麦克斯韦方程组包括四个方程：高斯定律、高斯磁定律、法拉第电磁感应定律和安培环路定律。
这四个方程共同描述了电磁场的生成、传播和相互作用。
二、麦克斯韦方程组的四个方程1. 高斯定律高斯定律描述了电场的产生和分布规律。
它表明电场线从正电荷出发，经过电场中的介质，最终到达负电荷。
高斯定律的数学形式为：∮S E·dA = ε0∫V ρdV其中，S表示任意闭合曲面，E表示电场强度，dA表示曲面元素的面积，ε0为真空中的介电常数，ρ为电荷密度，V表示包围电荷体积。
2. 高斯磁定律高斯磁定律描述了磁场的分布规律。
与高斯定律类似，高斯磁定律指出磁场线无法孤立存在，它们必然会形成闭合回路。
高斯磁定律的数学表达式为：∮S B·dA = 0其中，S表示闭合曲面，B表示磁场强度，dA表示曲面元素的面积。
3. 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律描述了磁场变化产生的感应电场。
根据这个定律，当磁场的磁感线与一个闭合电路相交时，电路内将会产生感应电动势。
法拉第电磁感应定律可以用如下方程表示：∮C E·dl = -d(∫S B·dA)/dt其中，C表示闭合回路，E表示感应电场，dl表示沿闭合回路的微元弧长，S表示以闭合回路为边界的任意曲面。
4. 安培环路定律安培环路定律描述了磁场中的电流分布规律。
根据这个定律，一个闭合回路上的磁场的环路积分等于通过该回路的电流总和的倍数。
安培环路定律的数学形式为：∮C B·dl = μ0(∫S J·dA + ε0∫S E·dA/dt)其中，C表示闭合回路，B表示磁场强度，dl表示沿闭合回路的微元弧长，S表示以闭合回路为边界的任意曲面，J表示电流密度，μ0为真空中的磁导率。
电磁场基本方程
（高）
—— 麦克斯韦方程组的微分形式
在界面处，场不连续，微分关系不能用了， 在界面处，场不连续，微分关系不能用了， 要代之以界面关系： 要代之以界面关系： (1)′′ ′′ E1t = E2t n (2)′′ ′′ D1n − D2n = σ 0 t 1 r r r 2 ′′ H1t − H2t = ( j0S ×en ) ⋅ et (3)′′ σ0，j0S B = B (4)′′ ′′ 2n 1n (1)′— (4)′和(1)′′ (4)′′ 构成了完备的方程组， ′′— ′′ 构成了完备的方程组 ′ ′ ′′ 了完备的方程组， 在一定初始条件和边界条件下， 在一定初始条件和边界条件下，就可以求解电 磁场了。 磁场了。
二者形式上是对称的。公式中差了一个负号， 二者形式上是对称的。公式中差了一个负号， 这恰恰反映了能量转化和守恒的规律： 这恰恰反映了能量转化和守恒的规律：
例如图示情况： 例如图示情况：
r r ∂D E ↑ ，( ) ↑ ∂t
r E感 线
r r E与E感反向
r r ∂B H ↑， )↑ ( ∂t
磁场的增加以电场的削弱为代价（能量守恒） 磁场的增加以电场的削弱为代价（能量守恒）。
例题
麦氏方程组积分形式
方程组再现
(1) — (4)是积分形式的麦克斯韦方程组(Maxwell 是积分形式的麦克斯韦方程组 是积分形式的 equations)。 。 是由于没有 方程组形式上的不对称， 方程组形式上的不对称， 磁荷， 单独的磁荷 也没有相应于传导电流的“磁流”。 单独的磁荷， 也没有相应于传导电流的“磁流” 该方程组在宏观领域证明是完全正确的， 但在 该方程组在宏观领域证明是完全正确的， 微观领域并不完全适用。 微观领域并不完全适用。 那里需要考虑量子效应， 那里需要考虑量子效应， 量子电动力学。 从而建立更为普遍的量子电动力学 从而建立更为普遍的量子电动力学。 外还有洛仑兹力公式 除(1) — (4)外还有洛仑兹力公式： 外还有洛仑兹力公式：
电磁场理论
电磁场理论电磁场理论，是电磁学的一个重要分支，研究电荷的运动对周围空间所形成的电场和磁场的影响，以及电流产生的磁场对周围空间所形成的电场和磁场的影响。
电磁场理论的基本方程包括麦克斯韦方程组和洛伦兹力密度方程。
麦克斯韦方程组是电磁场理论的基础，它包含了四个基本方程：1. 高斯定律：电场的通量与被包围电荷量之比等于电场强度在该点的值。
$$\abla \\cdot \\mathbf{E}=\\frac{\\rho}{\\varepsilon_{0}}$$2. 麦克斯韦—法拉第定律：磁场感应强度的闭合线圈输出电动势等于穿过该线圈的时间变化磁通量。
$$\abla \\times \\mathbf{E}=-\\frac{\\partial \\mathbf{B}}{\\partial t}$$3. 法拉第定律：导体中的电流与其上产生的磁场强度成正比。
$$\abla \\cdot \\mathbf{B}=0$$4. 安培定律：电流的旋度等于该点磁场的旋度与电场强度之和。
$$\abla \\times \\mathbf{B}=\\mu_{0} \\mathbf{J}+\\mu_{0}\\varepsilon_{0} \\frac{\\partial \\mathbf{E}}{\\partial t}$$其中，$\\rho$ 为电荷密度，$\\mathbf{E}$ 为电场强度，$\\mathbf{B}$ 为磁场感应强度，$\\mu_0$ 为真空中的磁导率，$\\varepsilon_0$ 为真空中的介电常数，$\\mathbf{J}$ 为电流密度。
洛伦兹力密度方程是磁场产生力的关系式，它描述了电磁场对电荷的作用力，即洛伦兹力：$$\\mathbf{f}=q\\left(\\mathbf{E}+\\mathbf{v} \\times\\mathbf{B}\\right)$$其中，$\\mathbf{v}$ 为电荷的速度。
电磁场基本方程
（1）分析电场是否具有对称性。 （2）取合适的高斯面(封闭面)，即取在E相等的曲面上。
（3）E相等的面不构成闭合面时，另选法线方向垂直于E
的面，使其成为闭合面。
（4）分别求出
D ds
s
，从而求得 D 及 E 。
qi
S内
16
高等教育出版社出版
2.1.3 电流密度，电荷守恒定律
电流 —— 电荷的定向运动而形成，用i 表示，其大小定义为： 单位时间内通过某一横截面S的电荷量，即
E
EdS S
4 r2E
01o 43Vr0d3V
E 0r ,Do0r
a
r
3o
3
高等教育出版社出版
13
例2 如图所示，同轴线的内外导体半径分别为a 和b。在内外导体间加电压U，则内导体通过的 电流为I，外导体返回的电流为-I。
a)设内外导体上单位长度的带电量分别为
作为封闭面，还应加上前后圆盘底面，但是它们与 D相平行，因而没有通量
穿过，不必考虑。
于是
sD d sD ˆ2l ll
得
D ˆ l , 2
E D ˆ l
ab
2
14
高等教育出版社出版
b) UlEd la b2 l d2 l ln b a 故
利用斯托克斯定理 E dS E dl
S
C
导出： E0
表明静电场是无旋场。
静电场的基本性质 （1）静电场是由通量源、不是 由旋涡源产生的场； （2）静电场是有源无旋场。
高等教育出版社出版
12
例1 求真空中均匀带电球体的电场强度和电通密度分布。已
知球体半径为a ，电 荷密度为 0 。
电磁场基本方程
推导2
ˆ) 0 Id l ( I ' dl ' R F 2 l' 4 R l
r'
I' I R
r
电流元作用在电流元上的力
ˆ) 0 Idl ( I ' dl 'R dF 4 R2
线圈对线圈的作用可以表示为
l
F Id l B
作业 2.1-2
高斯定理解题步骤： （1）分析电场是否具有对称性。 （2）取合适的高斯面(封闭面)，即取在E相等的曲面上。 （3）E相等的面不构成闭合面时，另选法线 n ˆ E 的面，
使其成为闭合面。
D ds s （4）分别求出 ，从而求得 D 及 E 。 qi S内
第2章 电磁场基本方程
主要内容 • 静态电磁场的基本定律 • 法拉第电磁感应定律和全电流定律 • Maxwell方程组 • 电磁场的边界条件 • 坡印廷定理和坡印廷矢量
1
§2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量
基本定理
静电场： (1)
l
E dl 0即 E ds 0
17
§2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律
三、全电流连续性原理
a) 各个电流特点如下 1.传导电流：在导体中，由自由电子的定向运动形成： Jc E 2.运流电流：在真空和气体中，带电粒子的定向运动形成： Jv ρ v v 3.位移电流：电通量密度的时间变化率 J d D 传导电流、运流电流和位移电流之和称为全电流：
U ln b a
同轴线内最大电场强度EM发生于内导体表面处：
EM U a ln b a
c) EM最大值发生于
dEM U b (ln 1) 0 b 2 da (a ln a ) a
电磁场与电磁波--麦克斯韦方程组
erykEm sin(t
kz)
对时间 t 积分，得
r B
r ey
kEm
cos(t
kz)
2.6 麦克斯韦方程组
rr
B = H
r H
r ey
kEm
cos(t
kz)
rr
D E
r D
erx
Em
cos(t
kz
)
rr 以上各个场矢量都应满足麦克斯韦方程，将以上得到的 H和 D 代入式
erx ery erz
r H
r
t
H 0
r
E /
r E t
2.6 麦克斯韦方程组
时变电场的激发源除了电荷以外，还有变化的磁场；而时变磁场的激 发源除了传导电流以外，还有变化的电场。电场和磁场互为激发源， 相互激发。
时变电磁场的电场和磁场不再相 互独立，而是相互关联，构成一 个整体 —— 电磁场。电场和磁 场分别是电磁场的两个分量。
r H
x
y
z
erx
H y z
erx
k 2 Em
sin(t
kz)
Hx Hy Hz
r
D t
erx
Dx t
erx Em sin(t kz)
由
r H
r D
t
k 2 2
作业：思考题 : 2.16, 2.18 习 题 : 2.20, 2.22
代入麦克斯韦方程组中，有
限定形式的麦克斯韦方程
r H
r E
t
(
r E
r
t
(
r H
)
(H) 0
r
( E)
r E)
（线性、各向 同性均匀媒质）
电磁场计算
电磁场计算
电磁场的计算可以通过安培环路定理和法拉第电磁感应定律来实现。
1. 安培环路定理：根据安培环路定理，通过一条封闭回路内的磁场的总和应等于通过该回路内的电流的总和的乘积，即
∮B·dl = μ0I，其中B是磁场强度，l是回路的长度，I是通过
回路的电流，μ0是真空中的磁导率。
这个定理可以用来计算
回路周围的磁场。
2. 法拉第电磁感应定律：法拉第电磁感应定律描述了磁场变化产生的电场。
根据这个定律，当一个导体回路被一个随时间变化的磁场穿过时，回路内将产生感应电动势。
这个电动势可以通过以下公式计算：ε = -dφ/dt，其中ε是感应电动势，φ是磁
通量，t是时间。
通常情况下，磁通量可以通过B·A计算得到，其中B是磁场强度，A是回路面积。
这个定律可以用来计算
磁场变化产生的感应电动势。
基于以上两个定律，可以进行电磁场的计算，通常通过数值求解来计算复杂的电磁场分布。
这需要采用适当的数值方法，如有限差分法或有限元法，以离散化电磁场方程并进行数值求解。
另外，还可以使用电磁场模拟软件，如ANSYS、COMSOL等，来进行电磁场的计算和仿真。
麦克斯韦方程组的积分式中表示变化的磁场产生电场的方程是
麦克斯韦方程组的积分式中表示变化的磁场产生电场的方程是
麦克斯韦方程组是电磁场理论的基本方程组，包括4个方程，分别是高斯定律、法拉第电磁感应定律、安培环路定理和电磁场的无源性。
其中，法拉第电磁感应定律描述了变化的磁场如何产生电场。
法拉第电磁感应定律可以表示为：
∮E·dl = - d(∮B·dA)/dt
其中，∮E·dl表示沿闭合回路的电场环量，∮B·dA表示通过该回路的磁感应强度与回路所围面积的积分，dt表示时间的微元，d(∮B·dA)/dt表示磁感应强度随时间的变化率。
这个方程告诉我们，当磁场随时间变化时，会在空间中产生一个电场，这个电场的环量和磁场的变化率有关。
这个电场的产生机制就是磁感应定律。
根据这个方程，我们可以看出，只有当磁场随时间变化时，才会产生电场。
这个电场的方向和大小取决于磁场的变化率和闭合回路上的形状和取向。
这个方程对于理解电磁感应现象非常重要，如变压器、电感等电磁设
备的工作原理都与此相关。
同时，这个方程也是麦克斯韦方程组中的一个重要方程，与其他方程共同描述了电磁场的行为和相互关系。
有源区和无源区的麦克斯韦方程
有源区和无源区的麦克斯韦方程
麦克斯韦方程是描述电磁场行为的基本方程组，包括四个方程：两个高斯定律方程和两个法拉第电磁感应定律方程。
这些方程对于理解电磁场的性质和行为非常重要，它们揭示了电磁场的产生、传播和相互作用的规律。
对于有源区，即存在电荷和电流的区域，麦克斯韦方程可以更直观地描述电磁场的行为。
第一个高斯定律方程表明电场线从正电荷流向负电荷，呈现出辐射状的形态。
第二个高斯定律方程说明磁场线是闭合的，不存在单磁极。
法拉第电磁感应定律方程则描述了电场和磁场的相互作用，当电场变化时，磁场产生感应电流；当磁场变化时，电场产生感应电动势。
相比之下，无源区是指电荷和电流密度为零的区域，也就是没有外部电荷和电流的存在。
在无源区，麦克斯韦方程可以简化为两个方程：第一个高斯定律方程和第二个法拉第电磁感应定律方程。
这两个方程描述了电场和磁场的分布以及相互作用，但与有源区相比，无源区不包含电荷和电流的产生和消失过程。
无论是有源区还是无源区，麦克斯韦方程都是研究电磁场行为的基础。
它们揭示了电磁场的本质和运动规律，对于理解电磁波传播、电磁感应等现象具有重要意义。
通过对麦克斯韦方程的研究，我们可以更好地理解电磁场的特性，并应用于电磁学、无线通信、光学
等各个领域的研究和应用中。
有源区和无源区的麦克斯韦方程是描述电磁场行为的基本方程组，它们揭示了电磁场的产生、传播和相互作用的规律。
通过对这些方程的研究，我们能够更好地理解电磁场的性质和行为，为相关领域的研究和应用提供理论基础。
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2.1.2 高斯定理，电通量密度
除电场强度E外，描述电场的另一个基本量是电通量 密度D，又称为电位移矢量。在简单媒质中，电通量 密度由下式定义:
D ECm
ε是媒质的介电常数 点电荷q有， 电通量为
，在
Dr
真q空中ε=ε0
r
，则对真空中的
ÑS
D dS
q r
r
q
第二章 电磁场基本方程
通量仅取决于点电荷量q，而与所取球面的半径无关。
库仑定律表达为
F
r
qq r
N
式中，q1和q2的单位是库仑(C)，r的单位是米(m)，ε0
是真空的介电常数:
.
F m
第二章 电磁场基本方程
设某点试验电荷q所受到的电场力为F，则该点的电场强
度为
E F V m q
由库仑定律知，在离点电荷q距离为r处的电场强度为
E
r
q r
第二章 电磁场基本方程
第二章 电磁场基本方程
本章重点及知识点
➢恒定电流的电场的基本特性 ➢磁感应强度与磁场强度 ➢恒定磁场的基本方程 ➢磁介质中的场方程 ➢自感与互感的计算 ➢磁场能量与能量密度
第二章 电磁场基本方程
本章内容安排
2.1 静态电磁场基本定律和基本场矢量 2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律 2.3 麦克斯韦方程组 2.4 电磁场的边界条件 2.5 坡印廷定理和坡印廷矢量 2.6 唯一性定理
T
磁通量密度为B的磁场对电流元Idl的作用力为
F Idl B
运动速度为v的电荷Q表示，
Idl = JAdl
= v Adlv
= Qv
第二章 电磁场基本方程
其中A为细导线截面积，得
F Qv B
对于点电荷q，上式变成
F qv B
通常将上式作为B的定义公式。点电荷q在静电场中所 受的电场力为qE，因此，当点电荷q以速度v在静止电 荷和电流附近时，它所受的总力为
称之为安培环路定律。Ñl H dl I
表明： ➢磁场强度H沿闭合路径的线积分等于该路径所包围的 电流I ➢计算一些具有对称特征的磁场分布
因为S面是任意取的s (， H所)以dS必S有J dS
H J
第二章 电磁场基本方程
2.1.5 两个补充的基本方程 1 基本方程一 静电场中E沿任何闭合路径的线积分恒为零:
F q(E v B)
第二章 电磁场基本方程
2.1.4 安培环路定律，磁场强度 对于无限长的载流直导线，若以ρ为半径绕其一周积 分B，可得：
蜒l B dl
l
I
d
I
Ñl B dl I
在简单媒质中，H由下式定义：
H B Am
第二章 电磁场基本方程
H为磁场强度，μ是媒质磁导率。在真空中μ＝μ0 ，则
第二章 电磁场基本方程
2.1 静态电磁场基本定律和基本场矢量
2.1.1 库仑定律和电场强度
F
r
K
qq r
其中，K是比例常数，r是两
点电荷间的距离，r为从q1指 向 q2 的 单 位 矢 量 。 若 q1 和 q2 同号，该力是斥力，异号时
为吸力。 两点电荷间的作用力
第二章 电磁场基本方程
比例常数K与力，电荷及距离所用单位有关。在SI制中，
ÑS J
dS
dQ dt
第二章 电磁场基本方程
➢ 微分形式
J v
t
3 微分形式的电流连续性方程
( H ) J
H J v t
(
H
)
J
D t
H J D t
第二章 电磁场基本方程
4 位移电流密度即J d
Jd
D t
应用斯托克斯定理，便得到其积分形式：
➢闭合的磁力线穿进封闭面多少条，也必然要穿出同 样多的条数
➢结果使穿过封闭面的磁通量恒等于零
第二章 电磁场基本方程
2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律
2.2.1 法拉第电磁感应定律 1 定律内容 导线回路所交链的磁通量随时间改变时，回路中将感 应一电动势，而且感应电动势正比于磁通的时间变化 率。楞次定律指出了感应电动势的极性，即它在回路 中引起的感应电流的方向是使它所产生的磁场阻碍磁 通的变化。 2 定律数学表达式 d m
dt
第二章 电磁场基本方程
3 定律积分形式
Ñl E
dl
d dt
S
B
dS
说明：
B
S t dS Ñl (v B) dl
➢右边第一项是磁场随时间变化在回路中“感生”的
电动势
➢第二项是导体回路以速度v对磁场作相对运动所引
起的“动生”电动势。
第二章 电磁场基本方程
4 定律微分形式
E B t
Q V vdV
上式对不V 同 D的dVV都V应vd成V立，则两边被积函数必定相等，
于是，
D v
第二章 电磁场基本方程
2.1.3 比奥-萨伐定律，磁通量密度来自两个载流回路间的作用力
蜒 F
Idl (I 'dl ' r)
l l'
r
r是电流元 I′dl′至Idl的距
离，μ0是真空的磁导率:
根据立体角概念可知， ➢当所取封闭面非球面时, 穿过它的电通量将与穿过 一个球面的相同，仍为q ➢如果在封闭面内的电荷不止一个，则利用叠加原理， 穿出封闭面的电通量总和等于此面所包围的总电量 1 高斯定理积分形式
ÑS D dS Q
第二章 电磁场基本方程
2 高斯定理微分形式 若 封 闭 面 所 包 围 的 体 积 内 的 电 荷 是 以 体 密 度 ρv 分 布 的，则所包围的总电量为
意义： ➢随时间变化的磁场将激发电场，称该电场为感应电 场，不同于由电荷产生的库仑电场 ➢库仑电场是无旋场即保守场 ➢而感应电场是旋涡场，其旋涡源就是磁通的变化
第二章 电磁场基本方程
2.2.2 位移电流和全电流定律
1 微分形式基本方程
E B t
H J
D v B
2 电荷守恒定律
➢积分形式
Η m
F Ñl Idl B
蜒 B
4
l
I
'dl ' r r
0
4
I 'dl ' r l' r
第二章 电磁场基本方程
矢量B可看作是电流回路 l′作用于单位电流元(Idl=1 A·m)的磁场力，表征电流回路l′在其周围建立的磁场特 性，称为磁通量密度或磁感应强度。
N Am
V s m
Wb m
利用斯托克斯定理得Ñl E dl
E 0
说明： ➢静电场是无旋场即保守场 ➢静电场的保守性质符合能量守恒定律，与重力场 性质相似 ➢物体在重力场中有一定的位能
第二章 电磁场基本方程
2 基本方程二
静磁场的特性则正好相反，
ÑS B dS 0
说明：
B
➢自然界中并不存在任何单独的磁荷，磁力线总是闭 合的