2020年镇海中学高考数学模拟试题
浙江省宁波市镇海中学2020届高三第二学期5月校模拟考试数学试卷(含答案)
浙江省宁波市镇海中学2020届高三第二学期5月模拟考试数学学科注意事项：1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生必须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名；2．本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
满分150分, 考试时间120分钟。
参考公式：如果事件A , B 互斥, 那么 柱体的体积公式 P (A +B )=P (A )+P (B )V =Sh如果事件A , B 相互独立, 那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 P (A ·B )=P (A )·P (B )锥体的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n V =13Sh次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 P n (k )=C kn p k (1－p )n -k (k = 0,1,2,…, n ) 球的表面积公式 台体的体积公式S = 4πR 2 1()11223V h S S S S =++球的体积公式 其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积, V =43πR 3h 表示台体的高 其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1．已知全集=R U ,集合{}0|>=x x A ，{}10|<<=x x B ，则()=B A C U ( ▲ ) A ．{}1|<x x B ． {}10|<<x x C ．{}0|≤x x D ．R 2．已知i 是虚数单位，复数2z i =−，则(12)z i ⋅+的共轭复数为( ▲ ) A ．2i + B ．43i + C ．43i − D ．43i −− 3．已知直线,,a b m ,其中,a b 在平面α内．则“,m a m b ⊥⊥”是“m α⊥”的( ▲ )A ． 充分而不必要条件B ． 必要而不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ▲ ) A ． 3π B ．83π C ． 103π D ． 113π 5．记()()()77017211x a a x a x −=+++++，则0126a a a a +++的值为( ▲ )A ． 1B ． 2C ． 129D ． 21886．已知不等式组210,2,10,x y x x y −+≥⎧⎪≤⎨⎪+−≥⎩表示的平面区域为D ，若函数|1|y x m =−+的图象上存在区域D 上的点，则实数m 的取值范围是( ▲ )A ． [2,1]−B ． 1[2,]2−C ． 1[0,]2D ． 3[1,]2−7．甲、乙、丙、丁四个人到A ，B ，C 三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到A 景点的方案有( ▲ ) A ． 18种 B ． 12种 C ． 36种 D ． 24种8．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 的右焦点为F ,椭圆C 上的两点,A B 关于原点对称，且满足0,||||2||FA FB FB FA FB ⋅=≤≤，则椭圆C 的离心率的取值范围是( ▲ )2552.[,].[,1).[,31].[31,1)2332A B C D −−9．已知函数()()1ln 1,1{21,1x x x f x x −−>=+≤，则方程()()()3204f f x f x ⎡⎤−+=⎢⎥⎣⎦的实根个数为( ▲ )A ． 3B ． 4C ． 5D ． 610．已知直三棱柱111ABC A B C −的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱1AA , 1BB , 1CC 分别交于三点M , N , Q ,若MNQ ∆为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为( ▲ )A ． 2B ． 4C ． 22D ． 23第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题, 多空题每小题6分，单空题每小题4分, 共36分．11．双曲线:C 2214x y −=的渐近线方程为___▲__，设双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>经过点(4,1),且与C 具有相同渐近线,则C 的方程为 ▲ ． 12． 设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++−=．{}n a 的通项n a = ▲ ，数列的21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭前n 项和是 ▲ ．MA BCQD13．随机变量X 的分布列如下：X －10 1 Pabc其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝ ▲ ，方差的最大值是 ▲ ．14． 函数()()sin f x A x ωϕ=+ (0,0,π0)A ωϕ>>−<<的部分图像如图所示，则ϕ= ▲ ，为了得到()cos g x A x ω=的图像，需将函数()y f x =的图象最少向左平移 ▲ 个单位． 15．若实数,x y 满足114422xy xy ，则22xy S的取值范围是 ▲ ．16．已知24y x =抛物线，焦点记为F ，过点F 作直线l 交抛物线于,A B 两点，则2AF BF−的最小值为 ▲ ． 17．如图，在四边形ABCD 中， 1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA 和CD 交NM 的延长线于不同．．的两点,P Q ，则()·PQ AB DC −的值为 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题, 共74分。
2020年浙江省宁波市镇海中学高考数学仿真试卷(有答案解析)
A. sinx
B. cosx
C. sin2x
D. cos2x
3. 满足线性约束条件
，的目标函数 z=x+y 的最大值是（ ）
A. 1
B.
C. 2
D. 3
4. 如图，网格纸上小正方形边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A.
B.
C. 4
D.
5. 某观察者站在点 O 观察练车场上匀速行驶的小车 P 的运动情况，小车从点 A 出发的运动轨迹如 图所示．设观察者从点 A 开始随动点 P 变化的视角为 θ=∠AOP，练车时间为 t，则函数 θ=f（t） 的图象大致为（ ）
出答案． 本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体和补形是解题的关键，考查空间想象能 力．属于中档题．
5.答案：D
解析：【分析】 根据视角 θ=∠AOP 的值的变化趋势，可得函数图象的单调性特征，从而选出符合条件的选项． 本题主要考查利用函数的单调性判断函数的图象特征，属于基础题． 【解答】 解：根据小车从点 A 出发的运动轨迹可得，视角 θ=∠AOP 的值先是匀速增大，然后又减小，接着基 本保持不变，然后又减小，最后又快速增大， 故选：D．
且项数为偶数，设 n=2k，k∈N*，等差数列的公差设为 d，不妨设
，
则 a1＜0，d＞0，且 ak+1≤0，ak-1＜0 即 ak≤-1， 由 ak+1-1≥0， 则-1+kd≥ak+kd≥1，即 kd≥2， 即有 d≥2， 则|a1|+|a2|+…+|an|=-a1-a2-…-ak+ak+1+…+a2k
解析：【分析】 本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，考查了三角函数的奇偶性，为中档题． 分别把四个选项中的值代入 f（x）·sinx，逐一进行验证即可． 【解答】 解：若 f（x）=sinx，则 f（x）·sinx=sin2x 为偶函数，不符合题意；
2020年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷(3月份)(带答案)
2020 年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷（3 月 份）题号 得分一二三总分一、选择题（本大题共 10 小题，共 40.0 分）1. 设集合 A={1，2，3，4}，B={x∈N|-3≤x≤3}，则 A∩B=（ ）A. {1，2，3，4}B. {-3，-2，-1，0，1，2，3，4}C. {1，2，3}D. {1，2}2. 双曲线的渐近线方程是（ ）A. 2x±y=0B. x±2y=03. 已知公差不为零的等差数列{an}满足值为（ ）C. 4x±y=0D. x±4y=0，Sn 为数列{an}的前 n 项和，则 的A.B.C.D.4. “a＞0”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件 C. 充要条件B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件5. 函数的图象可能是（ ）A.B.C.D.6. 某射手射击所得环数 ξ 的分布列如下：ξ 78910P x 0.1 0.3 y已知 ξ 的数学期望 E（ξ）=8.9，则 y 的值为（ ）A. 0.8B. 0.6C. 0.4D. 0.27. 已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=2，CC1=2 ，E 为 CC1 的中点，则直线 AC1与平面 BED 的距离为（ ）A. 2B.C.D. 1第 1 页，共 14 页8. 对于定义域为 R 的函数 f（x），若存在非零实数 x0，使函数 f（x）在（-∞，x0）和（x0，+∞）上与 x 轴都有交点，则称 x0 为函数 f（x）的一个“界点”．则下列四个函数中，不存在“界点”的是（ ）A. f（x）=2x-x2B. f（x）=x2+bx-2（b∈R）C. f（x）=1-|x-2|D. f（x）=x-sinx9. 已知是平面内三个单位向量，若 ，则的最小值（）A.B.C.D. 510. 已知数列{an}满足 2an≤an-1+an+1（n∈N*，n≥2），则（ ）A. a5≤4a2-3a1B. a2+a7≤a3+a6C. 3（a7-a6）≥a6-a3D. a2+a3≥a6+a7二、填空题（本大题共 7 小题，共 36.0 分）11. 设 i 为虚数单位，给定复数，则 z 的虚部为______，|z|=______．12. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是______，表面积是______．13. 已知 x，y 满足条件则 2x+y 的最大值是______，原点到点 P（x，y）的距离的最小值是______ 14. 小明口袋中有 3 张 10 元，3 张 20 元（因纸币有编号认定每张纸币不同），现从中掏出纸币超过 45 元的方法有 种；若小明每次掏出纸币的概率是等可能的，不 放回地掏出 4 张，刚好是 50 元的概率为15. 在△ABC 中，∠BAC=120°，AD 为∠BAC 的平分线，AB=2AC，则 =______．16. 若函数在上有零点，则的最小值为17. 如图，椭圆的离心率为 e，F 是 Γ 的右焦点，点 P 是 Γ 上第一象限内任意一点，，，若 λ＜e，则 e 的取值范围是______．第 2 页，共 14 页三、解答题（本大题共 5 小题，共 74.0 分）18. 已知函数．（Ⅰ）求函数 f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC 中的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若求 a2+c2 的取值范围．，且，19. 如图，四棱锥 P-ABCD 中，PC 垂直平面 ABCD，AB⊥AD，AB∥CD， PD=AB=2AD=2CD=2，E 为 PB 的中点． （Ⅰ）证明：平面 EAC⊥平面 PBC； （Ⅱ）求直线 PD 与平面 AEC 所成角的正弦值．20. 在数列{an}中，a1=1，a2=3，且对任意的 n∈N*，都有 an+2=3an+1-2an． （Ⅰ）证明数列{an+1-an}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设，记数列{bn}的前 n 项和为 Sn，若对任意的 n∈N*都有，求实数 m 的取值范围．第 3 页，共 14 页21. 已知椭圆的焦点坐标为 F1（-1，0），F2（1，0），过 F2 垂直于长轴的直线交椭圆 于 P、Q 两点，且|PQ|=3． （1）求椭圆的方程； （2）过 F2 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、N，则△F1MN 的内切圆的面积是否 存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．22. 已知函数 f（x）=x2e3x （Ⅰ）若 x＜0，求证：f（x）＜ （Ⅱ）若 x＞0，恒有 f（x）≥（k+3）x+2lnx+1，求实数 k 的取值范围2020 年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷（3 月 份）答案和解析【答案】1. C2. B3. A4. C5. D6. C7. D8. D9. A10. C11. 212. 144-12π 168+6π13. 614. 3215. 316. -17. （0， ]第 4 页，共 14 页18. 解：（Ⅰ）==所以，解得，k∈Z．所以函数 f（x）的单调递增区间为，k∈Z（Ⅱ）因为，所以．所以 ．又因为，所以 3=a2+c2-ac，即 a2+c2=3+ac．而 a2+c2≥2ac，所以 ac≤3，即 a2+c2≤6．又因为 a2+c2=3+ac＞3，所以 3＜a2+c2≤6．19. （Ⅰ）证明：PC⊥平面 ABCD，故PC⊥AC．………………（2 分）又 AB=2，CD=1，AD⊥AB，所以 AC=BC= ．故 AC2+BC2=AB2，即AC⊥BC．………………（4 分）所以 AC⊥平面 PBC，所以平面 ACE⊥平面PBC． …………………………（6 分）（Ⅱ）解：PC⊥平面 ABCD，故 PC⊥CD．又 PD=2，所以 PC= ． …………（8 分）在平面 ACE 内，过点 P 作 PF 垂直 CE，垂足为 F．由（Ⅰ）知平面 ACE⊥平面 PBC，所以 PF 垂直平面 ACE．由面积法得：即．…………（10 分）又点 E 为 AB 的中点，．所以．……………………………………（12 分）又点 E 为 AB 的中点，所以点 P 到平面 ACE 的距离与点 B 到平面 ACE 的距离相等． 连结 BD 交 AC 于点 G，则 GB=2DG．所以点 D 到平面 ACE 的距离是点 B 到平面 ACE 的距离的一半，即 ．所以直线 PD 与平面 AEC 所成角的正弦值为．……………………（15 分）另解：如图，取 AB 的中点 F，如图建立坐标系．因为 PD=2，所以．所以有：C（0，0，0），D（0，1，0），，A（1，1，0），B（1，-1，0），． …………（9 分）．，．第 5 页，共 14 页设平面 ACE 的一个法量为 =（x，y，z），则取 x=1，得 y=-1，．即=．…………（13 分）设直线 PD 与平面 AEC 所成角为 θ，则 sinθ=|cos＜ ， =． …………（15分）20. 解：（Ⅰ）由 an+2=3an+1-2an 可得 an+2-an+1=2（an+1-an）． ………………（2 分）又 a1=1，a2=3，所以 a2-a1=2． 所以{an+1-an}是首项为 2，公比为 2 的等比数列．…………………（3 分）所以．…………………（4 分）所以 an=a1+（a2-a1）+…+（an-an-1）=1+2+22+…+2n=2n-1．…………（7 分）（Ⅱ）因为==．………（9 分）所以 Sn=b1+b2+…+bn= （12 分） 又因为对任意的 n∈N*都有，所以=．………恒成立，即，即当 n=1 时，．………（15 分）21. 解：（1）设椭圆方程为=1（a＞b＞0），由焦点坐标可得 c=1,由|PQ|=3，可得 =3，又 a2-b2=1，解得 a=2，b= ，故椭圆方程为=1,（2）设 M（x1，y1），N（x2，y2），不妨令 y1＞0，y2＜0，设△F1MN 的内切圆的半径 为 R，则△F1MN 的周长=4a=8，（|MN|+|F1M|+|F1N|）R=4R因此内切圆面积最大，R 就最大，此时也最大，由题知，直线 l 的斜率不为零，可设直线 l 的方程为 x=my+1，由得（3m2+4）y2+6my-9=0，得 则 令 t=， ，则 t≥1，，=，第 6 页，共 14 页则，令 f（t）=3t+ ，则 f′（t）=3- ，当 t≥1 时，f′（t） 0，f（t）在[1，+∞）上单调递增，有 f（t）≥f（1）=4，≤3，即当 t=1，m=0 时，≤3，=4R，∴Rmax= ，这时所求内切圆面积的最大值为 π．故直线 l 方程为：x=1，△F1MN 内切圆面积的最大值为 π.22. 证明：（Ⅰ）∵函数 f（x）=x2e3x，∴f′（x）=2xe3x+3x2e3x=x（3x+2）e3x．由 f′（x）＞0，得 x＜- 或 x＞0；由 f′（x）＜0，得-，∴f（x）在（-∞，- ）内单调递增，在（- ，0）内单调递减，在（0，+∞）内单调递增，∴f（x）的极大值为 f（- ）= ，∴当 x＜0 时，f（x）≤f（- ）= ＜ = ．解：（Ⅱ）∵x2e3x≥（k+3）x+2lnx+1，∴k≤，x＞0，令 g（x）=，x＞0，则 g′（x）=，令 h（x）=x2（1+3x）e3x+2lnx-1，则 h（x）在（0，+∞）上单调递增， 且 x→0+时，h（x）→-∞，h（1）=4e3+2lnx-1， ∴存在 x0∈（0，1），使得 h（x0）=0， ∴当 x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减， 当 x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，∴g（x）在（0，+∞）上的最小值是 g（x0）=，∵h（x0）=+2lnx0-1，得=，令=t0，则 2lnx0+3x0=lnx0，且 φ（1）=0，∴t=1，∴g（x0）==，∴实数 k 的取值范围是（-∞，0]． 【解析】1. 【分析】可解出集合 B，然后进行交集的运算即可． 考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算． 【解答】 解：B={0，1，2，3}；第 7 页，共 14 页∴A∩B={1，2，3}． 故选：C．2. 【分析】本题考查了双曲线的渐进方程，把双曲线的标准方程中的“1”转化成“0”即可求出渐 进方程．属于基础题．渐近线方程是 -y2=0，整理后就得到双曲线的渐近线．【解答】解：双曲线其渐近线方程是 -y2=0整理得 x ±2y=0． 故选：B．3. 解：公差不为零的等差数列{an}满足，∴=a1（a1+3d），解得 a1=-4d， ∵Sn 为数列{an}的前 n 项和，∴==．故选：A．由公差不为零的等差数列{an}满足，利用等差数列的通项公式列方程求出a1=-4d，由此能求出 的值． 本题考查等差数列的前 3 项和公式和前 1 项和的比值的求法，考查等差数列的性质等基 础知识，考查运算求解能力，是基础题．4. 解：由 a＞0，得 a+ ≥2 =2 ，是充分条件，由 a+ ≥2 ，得：a＞0，故 a＞0”是“”的充要条件，故选：C． 根据充分必要条件的定义结合不等式的性质判断即可． 本题考查了充分必要条件，考查不等式的性质，是一道基础题．5. 【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性的关系，根据函数零 点判断函数的正负是解决本题的关键． 判断函数 f（x）的奇偶性，结合图象的对称性以及函数在 x 轴右侧的函数零点判断函数 的正负进行判断即可 【解答】解：f（-x）=ln（-x+）cos（-2x）=lncos2x=-ln（x+）cos2x=-f（x），则函数 f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除 A，B，第 8 页，共 14 页令得或,所以 x 轴右侧的零点为，在上取，则，排除 C，故选：D．6. 解：由表格可知：x+0.1+0.3+y=1，7x+8×0.1+9×0.3+10×y=8.9 解得 y=0.4． 故选：C． 根据分布列的概率之和是 1，得到关于 x 和 y 之间的一个关系式，由变量的期望值，得 到另一个关于 x 和 y 的关系式，联立方程，解出要求的 y 的值． 本题是期望和分布列的简单应用，通过创设情境激发学生学习数学的情感，培养其严谨 治学的态度．在学生分析问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神，属于基础题．7. 解：如图：连接 AC，交 BD 于 O，在三角形 CC1A 中，易证 OE∥C1A，从而 C1A∥平面 BDE， ∴直线 AC1 与平面 BED 的距离即为点 A 到平面 BED 的距 离，设为 h，在三棱锥 E-ABD 中，VE-ABD= S△ABD×EC= × ×2×2× =在三棱锥 A-BDE 中，BD=2 ，BE= ，DE= ，∴S△EBD= ×2 ×=2∴VA-BDE= ×S△EBD×h= ×2 ×h=∴h=1 故选：D． 先利用线面平行的判定定理证明直线 C1A∥平面 BDE，再将线面距离转化为点面距离， 最后利用等体积法求点面距离即可 本题主要考查了线面平行的判定，线面距离与点面距离的转化，三棱锥的体积计算方法， 等体积法求点面距离的技巧，属基础题8. 解：满足“界点”的函数必须满足至少含有 2 个零点即可．A．f（x）=2x-x2 的两个零点为 2，4，当 x0=3，在（-∞，3）和（3，+∞）上与 x 轴都有 交点，满足条件． B．判别式△=b2+8＞0 恒成立，即抛物线与 x 轴恒有两个交点，在两个零点之间的任何 一个 x0 都是“界点”． C．由 1-|x-2|=0 得|x-2|=1，得 x-2=1 或 x-2=-1，即 x=3 或 x=1，函数有两个零点 1，3，存 在“界点”． D．函数 f（x）的导数 f′（x）=1-cosx≥0，即函数 f′（x）在 R 上是增函数，不可能存 在两个零点，不存在“界点”． 故选：D． 满足“界点”的函数必须满足至少含有 2 个零点即可．结合条件判断函数的零点个数即 可． 本题主要考查函数零点个数的判断，结合满足“界点”的函数必须满足至少含有 2 个零 点是解决本题的关键．第 9 页，共 14 页9. 解：根据题意设 =（1，0）， =（0，1）， 对应的点 C 在单位圆上，（ +2 ）2-（2 + ）2=3 2-3 2=0，所以| +2 |=|2 + |，|2 + |+|3 +2 - |表示 C 点到点（-2，0）和（3，2）的距离之和，过点（-2，0）和（3，2）的直线为 2x-5y+4=0，原点到直线 2x-5y+4=0 的距离为= ＜1，所以与单位圆相交，所以|2 + |+|3 +2 - |的最小值为点（-2，0）和（3，2）之间的距离，即 ． 故选：A． ，所以可以把他们当成平面直角坐标系的基向量．| +2 |=2| + |，由阿波罗尼斯圆的性质，可以转化为| +2 |=|2 + |．本题考察平面向量的坐标运算，用到了平面几何中的阿波罗尼斯圆的结论、解析几何中 直线与圆的位置关系，综合性很强，属于中档题．10. 解：∵2an≤an-1+an+1（n∈N*，n≥2），∴an-an-1≤an+1-an， ∴a4-a3≤a5-a4≤a6-a5≤a7-a6， ∴a6-a3=a6-a5+a5-a4+a4-a3≤3（a7-a6）， 即 3（a7-a6）≥a6-a3， 故选：C． 由已知可得 a4-a3≤a5-a4≤a6-a5≤a7-a6，则 a6-a3=a6-a5+a5-a4+a4-a3≤3（a7-a6），答案可求． 本题考查数列递推式，考查不等式的性质，是中档题．11. 解：=（1+i）（2 1+i）=2（i 1+i）=-2+2i，则 z 的虚部为 2，|z|==2 ．故答案为：2，2 ． 利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出． 本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12. 解：由已知中的三视图可得该几何体是一个正方体挖去一个圆锥所得的组合体，其表面积 S=2×6×6+4×4×4-9π+ ×6π×5=168+6π，几何体的体积为：=144-12π．故答案为：144-12π；168+6π． 由已知中的三视图可得该几何体是一个正方体挖去一个圆锥所得的组合体，利用公式求 解即可． 本题考查的知识点是由三视图求表面积，根据已 知中的三视图分析出几何体的形状，是解答的关 键．13. 解：作出 x，y 满足条件的可行域如图：第 10 页，共 14 页目标函数 z=2x+y 在的交点 A（2，2）处取最大值为 z=2×2+1×2=6．原点到点 P（x，y）的距离的最小值是：|OB|= ． 故答案为：6； ； 画出约束条件表示的可行域，判断目标函数 z=2x+y 的位置，求出最大值．利用可行域 转化求解距离即可． 本题考查简单的线性规划的应用，正确画出可行域，判断目标函数经过的位置是解题的 关键．14. 【分析】本题考查概率的求法，考查分类讨论思想等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 现从中掏出纸币超过 45 元的方法有 8 种情况：①6 张全取；②1 张 10 元 3 张 20 元；③2 张 10 元 2 张 20 元；④3 张 10 元 1 张 20 元；⑤2 张 20 元 1 张 10 元；⑥3 张 20 元；⑦3 张 10 元 2 张 20 元；⑧2 张 10 元，3 张 20 元．由此能求出现从中掏出纸币超过 45 元的 方法总数；小明每次掏出纸币的概率是等可能的，不放回地掏出 4 张，基本事件总数N= =15，刚好是 50 元包含的基本事件个数 M= =3，由此能求出刚好是 50 元的概率． 【解答】 解：小明口袋中有 3 张 10 元，3 张 20 元（因纸币有编号认定每张纸币不同）， 现从中掏出纸币超过 45 元的方法有 8 种情况： ①6 张全取；②1 张 10 元 3 张 20 元；③2 张 10 元 2 张 20 元； ④3 张 10 元 1 张 20 元；⑤2 张 20 元 1 张 10 元；⑥3 张 20 元；⑦3 张 10 元 2 张 20 元； ⑧2 张 10 元，3 张 20 元． ∴现从中掏出纸币超过 45 元的方法有n= + + + + + +=32．小明每次掏出纸币的概率是等可能的，不放回地掏出 4 张，基本事件总数 N= =15，刚好是 50 元包含的基本事件个数 M= =3，∴刚好是 50 元的概率 P= = = ．故答案为：32； ．15. 解：设 AC=x，则 AB=2x，在三角形 ABC 中由余弦定理得 BC2=x2+（2x）2-2•x•2x•cos120°=7x2，∴cosC== ，∴sinC= ，∴sin∠ADC=sin（60°+C）=sin60°cosC+cos60°sinC=．在△ADC 中由正弦定理得，∴，∴AD= x= × = ，故答案为：3． 设 AC=x 后，用余弦定理求出 BC，再求出 cosC，sinC，sin∠ADC，接着在△ADC 中用正第 11 页，共 14 页弦定理得 AD= AB，则 AB=3AD．本题考查了正弦定理、余弦定理，两角和的正弦，属中档题．16. 【分析】本题考查二次函数的零点问题解法，注意运用判别式大于等于 0，端点处的函数值的符 号，结合配方法，考查运算能力，属于中档题． 由题意可得△≥0，f（-1）≤0 或 f（1）≤0，化 a2-3b 为 a 的式子，由二次函数的最值求法， 可得最小值． 【解答】解：函数在[-1，1]上有零点，可得△≥0，即（a+ ）2≥4b，且 f（-1）f（1）≤0，即（ -a+b）（ +a+b）≤0；或 f（-1）≥0，f（1）≥0，-1＜- ＜1，即 a-b≤ ，a+b≥- ，-7＜a＜5．即有 a2-3b≥a2-= [（a-1）2- ]≥ ×（- ）=- ，当且仅当 a=1 时，取得最小值- ，故答案为：- ．17. 解：设直线 OP 的方程为 y=kx（k＞0），代入椭圆方程可得 P（，），，可得 Q（，），由，可得 kFQ=- ，即为=- ，化为 λ=＜e= ，可得 ＜2+k2，对 k＞0 恒成立，由 2+k2＞2，可得 a2≤2b2， 即为 a2≤2（a2-c2），可得 c≤ a，即 0＜e≤ ，故答案为：（0， ]．设直线 OP 的方程为 y=kx（k＞0），代入椭圆方程求得 P，Q 的坐标，由向量数量积为 0 的等价条件可得 OP，FQ 的斜率之积为-1，整理，结合恒成立解法可得 a，b 的关系， 可得所求离心率的范围．第 12 页，共 14 页本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的范围，考查直线方程和椭圆方程联立，化 简整理的运算能力，属于中档题．18. （Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用可求 f（x）=，利用正弦函数的单调性即可求解．（Ⅱ）由已知可求，求得 ，利用余弦定理，基本不等式可求 ac≤3，可得 a2+c2≤6，根据 a2+c2=3+ac＞3，即可得解其取值范围． 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的单调性，余弦定理，基本不等式 等知识在解三角形中的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．19. （Ⅰ）证明 PC⊥AC，AC⊥BC．推出 AC⊥平面 PBC，即可证明平面 ACE⊥平面 PBC．（Ⅱ）过点 P 作 PF 垂直 CE，垂足为 F．说明 PF 垂直平面 ACE．通过点 E 为 AB 的中 点，所以点 P 到平面 ACE 的距离与点 B 到平面 ACE 的距离相等．连结 BD 交 AC 于点 G， 则 GB=2DG．转化求解即可． 另解：建立坐标系．求出平面 ACE 的一个法量，利用空间向量的数量积求解直线 PD 与 平面 AEC 所成角即可． 本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象 能力以及计算能力．20. （Ⅰ）通过 an+2=3an+1-2an 可得 an+2-an+1=2（an+1-an）．推出{an+1-an}是首项为 2，公比为 2 的等比数列然后求解通项公式．（Ⅱ）因为=，利用裂项消项法，求解数列的和，然后求解m 的范围． 本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．21. 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，分析得出最大，R 就最大是关键．（1）设椭圆方程，由焦点坐标可得 c=1，由|PQ|=3，可得 =3，又 a2-b2=1，由此可求椭圆方程； （2）设 M（x1，y1），N（x2，y2），不妨 y1＞0，y2＜0，设△F1MN 的内切圆的径 R，则△F1MN 的周长=4a=8，（|MN|+|F1M|+|F1N|）R=4R，因此最大，R就最大．设直线 l 的方程为 x=my+1，与椭圆方程联立，从而可表示△F1MN 的面积，利 用换元法，借助于导数，即可求得结论．22. （Ⅰ）求出 f′（x）=2xe3x+3x2e3x=x（3x+2）e3x．从而 f（x）在（-∞，- ）内单调递增，在（- ，0）内单调递减，在（0，+∞）内单调递增，进而 f（x）的极大值为 f（- ）= ，由此能证明当 x＜0 时，f（x）＜ ．（Ⅱ）k≤，x＞0，令 g（x）=，x＞0，则 g′（x）=，令 h（x）=x2（1+3x）e3x+2lnx-1，则 h（x）在（0，+∞）上单调递增，推导出存在 x0∈（0，1），使得 h（x0）=0，g（x）在（0，+∞）上的最小值是 g（x0）=，由此能求出实数 k 的取值范围．第 13 页，共 14 页本题考查不等式的证明，考查实数的取值范围的求不地，考查导数性质、函数的单调性、 最值等基础知识，考运算求解能力，是中档题．第 14 页，共 14 页。
2020年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷(3月份)(带答案)
2020 年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷（3 月 份）题号 得分一二三总分一、选择题（本大题共 10 小题，共 40.0 分）1. 设集合 A={1，2，3，4}，B={x∈N|-3≤x≤3}，则 A∩B=（ ）A. {1，2，3，4}B. {-3，-2，-1，0，1，2，3，4}C. {1，2，3}D. {1，2}2. 双曲线的渐近线方程是（ ）A. 2x±y=0B. x±2y=03. 已知公差不为零的等差数列{an}满足值为（ ）C. 4x±y=0D. x±4y=0，Sn 为数列{an}的前 n 项和，则 的A.B.C.D.4. “a＞0”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件 C. 充要条件B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件5. 函数的图象可能是（ ）A.B.C.D.6. 某射手射击所得环数 ξ 的分布列如下：ξ 78910P x 0.1 0.3 y已知 ξ 的数学期望 E（ξ）=8.9，则 y 的值为（ ）A. 0.8B. 0.6C. 0.4D. 0.27. 已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=2，CC1=2 ，E 为 CC1 的中点，则直线 AC1与平面 BED 的距离为（ ）A. 2B.C.D. 1第 1 页，共 14 页8. 对于定义域为 R 的函数 f（x），若存在非零实数 x0，使函数 f（x）在（-∞，x0）和（x0，+∞）上与 x 轴都有交点，则称 x0 为函数 f（x）的一个“界点”．则下列四个函数中，不存在“界点”的是（ ）A. f（x）=2x-x2B. f（x）=x2+bx-2（b∈R）C. f（x）=1-|x-2|D. f（x）=x-sinx9. 已知是平面内三个单位向量，若 ，则的最小值（）A.B.C.D. 510. 已知数列{an}满足 2an≤an-1+an+1（n∈N*，n≥2），则（ ）A. a5≤4a2-3a1B. a2+a7≤a3+a6C. 3（a7-a6）≥a6-a3D. a2+a3≥a6+a7二、填空题（本大题共 7 小题，共 36.0 分）11. 设 i 为虚数单位，给定复数，则 z 的虚部为______，|z|=______．12. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是______，表面积是______．13. 已知 x，y 满足条件则 2x+y 的最大值是______，原点到点 P（x，y）的距离的最小值是______ 14. 小明口袋中有 3 张 10 元，3 张 20 元（因纸币有编号认定每张纸币不同），现从中掏出纸币超过 45 元的方法有 种；若小明每次掏出纸币的概率是等可能的，不 放回地掏出 4 张，刚好是 50 元的概率为15. 在△ABC 中，∠BAC=120°，AD 为∠BAC 的平分线，AB=2AC，则 =______．16. 若函数在上有零点，则的最小值为17. 如图，椭圆的离心率为 e，F 是 Γ 的右焦点，点 P 是 Γ 上第一象限内任意一点，，，若 λ＜e，则 e 的取值范围是______．第 2 页，共 14 页三、解答题（本大题共 5 小题，共 74.0 分）18. 已知函数．（Ⅰ）求函数 f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC 中的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若求 a2+c2 的取值范围．，且，19. 如图，四棱锥 P-ABCD 中，PC 垂直平面 ABCD，AB⊥AD，AB∥CD， PD=AB=2AD=2CD=2，E 为 PB 的中点． （Ⅰ）证明：平面 EAC⊥平面 PBC； （Ⅱ）求直线 PD 与平面 AEC 所成角的正弦值．20. 在数列{an}中，a1=1，a2=3，且对任意的 n∈N*，都有 an+2=3an+1-2an． （Ⅰ）证明数列{an+1-an}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设，记数列{bn}的前 n 项和为 Sn，若对任意的 n∈N*都有，求实数 m 的取值范围．第 3 页，共 14 页21. 已知椭圆的焦点坐标为 F1（-1，0），F2（1，0），过 F2 垂直于长轴的直线交椭圆 于 P、Q 两点，且|PQ|=3． （1）求椭圆的方程； （2）过 F2 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、N，则△F1MN 的内切圆的面积是否 存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．22. 已知函数 f（x）=x2e3x （Ⅰ）若 x＜0，求证：f（x）＜ （Ⅱ）若 x＞0，恒有 f（x）≥（k+3）x+2lnx+1，求实数 k 的取值范围2020 年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷（3 月 份）答案和解析【答案】1. C2. B3. A4. C5. D6. C7. D8. D9. A10. C11. 212. 144-12π 168+6π13. 614. 3215. 316. -17. （0， ]第 4 页，共 14 页18. 解：（Ⅰ）==所以，解得，k∈Z．所以函数 f（x）的单调递增区间为，k∈Z（Ⅱ）因为，所以．所以 ．又因为，所以 3=a2+c2-ac，即 a2+c2=3+ac．而 a2+c2≥2ac，所以 ac≤3，即 a2+c2≤6．又因为 a2+c2=3+ac＞3，所以 3＜a2+c2≤6．19. （Ⅰ）证明：PC⊥平面 ABCD，故PC⊥AC．………………（2 分）又 AB=2，CD=1，AD⊥AB，所以 AC=BC= ．故 AC2+BC2=AB2，即AC⊥BC．………………（4 分）所以 AC⊥平面 PBC，所以平面 ACE⊥平面PBC． …………………………（6 分）（Ⅱ）解：PC⊥平面 ABCD，故 PC⊥CD．又 PD=2，所以 PC= ． …………（8 分）在平面 ACE 内，过点 P 作 PF 垂直 CE，垂足为 F．由（Ⅰ）知平面 ACE⊥平面 PBC，所以 PF 垂直平面 ACE．由面积法得：即．…………（10 分）又点 E 为 AB 的中点，．所以．……………………………………（12 分）又点 E 为 AB 的中点，所以点 P 到平面 ACE 的距离与点 B 到平面 ACE 的距离相等． 连结 BD 交 AC 于点 G，则 GB=2DG．所以点 D 到平面 ACE 的距离是点 B 到平面 ACE 的距离的一半，即 ．所以直线 PD 与平面 AEC 所成角的正弦值为．……………………（15 分）另解：如图，取 AB 的中点 F，如图建立坐标系．因为 PD=2，所以．所以有：C（0，0，0），D（0，1，0），，A（1，1，0），B（1，-1，0），． …………（9 分）．，．第 5 页，共 14 页设平面 ACE 的一个法量为 =（x，y，z），则取 x=1，得 y=-1，．即=．…………（13 分）设直线 PD 与平面 AEC 所成角为 θ，则 sinθ=|cos＜ ， =． …………（15分）20. 解：（Ⅰ）由 an+2=3an+1-2an 可得 an+2-an+1=2（an+1-an）． ………………（2 分）又 a1=1，a2=3，所以 a2-a1=2． 所以{an+1-an}是首项为 2，公比为 2 的等比数列．…………………（3 分）所以．…………………（4 分）所以 an=a1+（a2-a1）+…+（an-an-1）=1+2+22+…+2n=2n-1．…………（7 分）（Ⅱ）因为==．………（9 分）所以 Sn=b1+b2+…+bn= （12 分） 又因为对任意的 n∈N*都有，所以=．………恒成立，即，即当 n=1 时，．………（15 分）21. 解：（1）设椭圆方程为=1（a＞b＞0），由焦点坐标可得 c=1,由|PQ|=3，可得 =3，又 a2-b2=1，解得 a=2，b= ，故椭圆方程为=1,（2）设 M（x1，y1），N（x2，y2），不妨令 y1＞0，y2＜0，设△F1MN 的内切圆的半径 为 R，则△F1MN 的周长=4a=8，（|MN|+|F1M|+|F1N|）R=4R因此内切圆面积最大，R 就最大，此时也最大，由题知，直线 l 的斜率不为零，可设直线 l 的方程为 x=my+1，由得（3m2+4）y2+6my-9=0，得 则 令 t=， ，则 t≥1，，=，第 6 页，共 14 页则，令 f（t）=3t+ ，则 f′（t）=3- ，当 t≥1 时，f′（t） 0，f（t）在[1，+∞）上单调递增，有 f（t）≥f（1）=4，≤3，即当 t=1，m=0 时，≤3，=4R，∴Rmax= ，这时所求内切圆面积的最大值为 π．故直线 l 方程为：x=1，△F1MN 内切圆面积的最大值为 π.22. 证明：（Ⅰ）∵函数 f（x）=x2e3x，∴f′（x）=2xe3x+3x2e3x=x（3x+2）e3x．由 f′（x）＞0，得 x＜- 或 x＞0；由 f′（x）＜0，得-，∴f（x）在（-∞，- ）内单调递增，在（- ，0）内单调递减，在（0，+∞）内单调递增，∴f（x）的极大值为 f（- ）= ，∴当 x＜0 时，f（x）≤f（- ）= ＜ = ．解：（Ⅱ）∵x2e3x≥（k+3）x+2lnx+1，∴k≤，x＞0，令 g（x）=，x＞0，则 g′（x）=，令 h（x）=x2（1+3x）e3x+2lnx-1，则 h（x）在（0，+∞）上单调递增， 且 x→0+时，h（x）→-∞，h（1）=4e3+2lnx-1， ∴存在 x0∈（0，1），使得 h（x0）=0， ∴当 x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减， 当 x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，∴g（x）在（0，+∞）上的最小值是 g（x0）=，∵h（x0）=+2lnx0-1，得=，令=t0，则 2lnx0+3x0=lnx0，且 φ（1）=0，∴t=1，∴g（x0）==，∴实数 k 的取值范围是（-∞，0]． 【解析】1. 【分析】可解出集合 B，然后进行交集的运算即可． 考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算． 【解答】 解：B={0，1，2，3}；第 7 页，共 14 页∴A∩B={1，2，3}． 故选：C．2. 【分析】本题考查了双曲线的渐进方程，把双曲线的标准方程中的“1”转化成“0”即可求出渐 进方程．属于基础题．渐近线方程是 -y2=0，整理后就得到双曲线的渐近线．【解答】解：双曲线其渐近线方程是 -y2=0整理得 x ±2y=0． 故选：B．3. 解：公差不为零的等差数列{an}满足，∴=a1（a1+3d），解得 a1=-4d， ∵Sn 为数列{an}的前 n 项和，∴==．故选：A．由公差不为零的等差数列{an}满足，利用等差数列的通项公式列方程求出a1=-4d，由此能求出 的值． 本题考查等差数列的前 3 项和公式和前 1 项和的比值的求法，考查等差数列的性质等基 础知识，考查运算求解能力，是基础题．4. 解：由 a＞0，得 a+ ≥2 =2 ，是充分条件，由 a+ ≥2 ，得：a＞0，故 a＞0”是“”的充要条件，故选：C． 根据充分必要条件的定义结合不等式的性质判断即可． 本题考查了充分必要条件，考查不等式的性质，是一道基础题．5. 【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性的关系，根据函数零 点判断函数的正负是解决本题的关键． 判断函数 f（x）的奇偶性，结合图象的对称性以及函数在 x 轴右侧的函数零点判断函数 的正负进行判断即可 【解答】解：f（-x）=ln（-x+）cos（-2x）=lncos2x=-ln（x+）cos2x=-f（x），则函数 f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除 A，B，第 8 页，共 14 页令得或,所以 x 轴右侧的零点为，在上取，则，排除 C，故选：D．6. 解：由表格可知：x+0.1+0.3+y=1，7x+8×0.1+9×0.3+10×y=8.9 解得 y=0.4． 故选：C． 根据分布列的概率之和是 1，得到关于 x 和 y 之间的一个关系式，由变量的期望值，得 到另一个关于 x 和 y 的关系式，联立方程，解出要求的 y 的值． 本题是期望和分布列的简单应用，通过创设情境激发学生学习数学的情感，培养其严谨 治学的态度．在学生分析问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神，属于基础题．7. 解：如图：连接 AC，交 BD 于 O，在三角形 CC1A 中，易证 OE∥C1A，从而 C1A∥平面 BDE， ∴直线 AC1 与平面 BED 的距离即为点 A 到平面 BED 的距 离，设为 h，在三棱锥 E-ABD 中，VE-ABD= S△ABD×EC= × ×2×2× =在三棱锥 A-BDE 中，BD=2 ，BE= ，DE= ，∴S△EBD= ×2 ×=2∴VA-BDE= ×S△EBD×h= ×2 ×h=∴h=1 故选：D． 先利用线面平行的判定定理证明直线 C1A∥平面 BDE，再将线面距离转化为点面距离， 最后利用等体积法求点面距离即可 本题主要考查了线面平行的判定，线面距离与点面距离的转化，三棱锥的体积计算方法， 等体积法求点面距离的技巧，属基础题8. 解：满足“界点”的函数必须满足至少含有 2 个零点即可．A．f（x）=2x-x2 的两个零点为 2，4，当 x0=3，在（-∞，3）和（3，+∞）上与 x 轴都有 交点，满足条件． B．判别式△=b2+8＞0 恒成立，即抛物线与 x 轴恒有两个交点，在两个零点之间的任何 一个 x0 都是“界点”． C．由 1-|x-2|=0 得|x-2|=1，得 x-2=1 或 x-2=-1，即 x=3 或 x=1，函数有两个零点 1，3，存 在“界点”． D．函数 f（x）的导数 f′（x）=1-cosx≥0，即函数 f′（x）在 R 上是增函数，不可能存 在两个零点，不存在“界点”． 故选：D． 满足“界点”的函数必须满足至少含有 2 个零点即可．结合条件判断函数的零点个数即 可． 本题主要考查函数零点个数的判断，结合满足“界点”的函数必须满足至少含有 2 个零 点是解决本题的关键．第 9 页，共 14 页9. 解：根据题意设 =（1，0）， =（0，1）， 对应的点 C 在单位圆上，（ +2 ）2-（2 + ）2=3 2-3 2=0，所以| +2 |=|2 + |，|2 + |+|3 +2 - |表示 C 点到点（-2，0）和（3，2）的距离之和，过点（-2，0）和（3，2）的直线为 2x-5y+4=0，原点到直线 2x-5y+4=0 的距离为= ＜1，所以与单位圆相交，所以|2 + |+|3 +2 - |的最小值为点（-2，0）和（3，2）之间的距离，即 ． 故选：A． ，所以可以把他们当成平面直角坐标系的基向量．| +2 |=2| + |，由阿波罗尼斯圆的性质，可以转化为| +2 |=|2 + |．本题考察平面向量的坐标运算，用到了平面几何中的阿波罗尼斯圆的结论、解析几何中 直线与圆的位置关系，综合性很强，属于中档题．10. 解：∵2an≤an-1+an+1（n∈N*，n≥2），∴an-an-1≤an+1-an， ∴a4-a3≤a5-a4≤a6-a5≤a7-a6， ∴a6-a3=a6-a5+a5-a4+a4-a3≤3（a7-a6）， 即 3（a7-a6）≥a6-a3， 故选：C． 由已知可得 a4-a3≤a5-a4≤a6-a5≤a7-a6，则 a6-a3=a6-a5+a5-a4+a4-a3≤3（a7-a6），答案可求． 本题考查数列递推式，考查不等式的性质，是中档题．11. 解：=（1+i）（2 1+i）=2（i 1+i）=-2+2i，则 z 的虚部为 2，|z|==2 ．故答案为：2，2 ． 利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出． 本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12. 解：由已知中的三视图可得该几何体是一个正方体挖去一个圆锥所得的组合体，其表面积 S=2×6×6+4×4×4-9π+ ×6π×5=168+6π，几何体的体积为：=144-12π．故答案为：144-12π；168+6π． 由已知中的三视图可得该几何体是一个正方体挖去一个圆锥所得的组合体，利用公式求 解即可． 本题考查的知识点是由三视图求表面积，根据已 知中的三视图分析出几何体的形状，是解答的关 键．13. 解：作出 x，y 满足条件的可行域如图：第 10 页，共 14 页目标函数 z=2x+y 在的交点 A（2，2）处取最大值为 z=2×2+1×2=6．原点到点 P（x，y）的距离的最小值是：|OB|= ． 故答案为：6； ； 画出约束条件表示的可行域，判断目标函数 z=2x+y 的位置，求出最大值．利用可行域 转化求解距离即可． 本题考查简单的线性规划的应用，正确画出可行域，判断目标函数经过的位置是解题的 关键．14. 【分析】本题考查概率的求法，考查分类讨论思想等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 现从中掏出纸币超过 45 元的方法有 8 种情况：①6 张全取；②1 张 10 元 3 张 20 元；③2 张 10 元 2 张 20 元；④3 张 10 元 1 张 20 元；⑤2 张 20 元 1 张 10 元；⑥3 张 20 元；⑦3 张 10 元 2 张 20 元；⑧2 张 10 元，3 张 20 元．由此能求出现从中掏出纸币超过 45 元的 方法总数；小明每次掏出纸币的概率是等可能的，不放回地掏出 4 张，基本事件总数N= =15，刚好是 50 元包含的基本事件个数 M= =3，由此能求出刚好是 50 元的概率． 【解答】 解：小明口袋中有 3 张 10 元，3 张 20 元（因纸币有编号认定每张纸币不同）， 现从中掏出纸币超过 45 元的方法有 8 种情况： ①6 张全取；②1 张 10 元 3 张 20 元；③2 张 10 元 2 张 20 元； ④3 张 10 元 1 张 20 元；⑤2 张 20 元 1 张 10 元；⑥3 张 20 元；⑦3 张 10 元 2 张 20 元； ⑧2 张 10 元，3 张 20 元． ∴现从中掏出纸币超过 45 元的方法有n= + + + + + +=32．小明每次掏出纸币的概率是等可能的，不放回地掏出 4 张，基本事件总数 N= =15，刚好是 50 元包含的基本事件个数 M= =3，∴刚好是 50 元的概率 P= = = ．故答案为：32； ．15. 解：设 AC=x，则 AB=2x，在三角形 ABC 中由余弦定理得 BC2=x2+（2x）2-2•x•2x•cos120°=7x2，∴cosC== ，∴sinC= ，∴sin∠ADC=sin（60°+C）=sin60°cosC+cos60°sinC=．在△ADC 中由正弦定理得，∴，∴AD= x= × = ，故答案为：3． 设 AC=x 后，用余弦定理求出 BC，再求出 cosC，sinC，sin∠ADC，接着在△ADC 中用正第 11 页，共 14 页弦定理得 AD= AB，则 AB=3AD．本题考查了正弦定理、余弦定理，两角和的正弦，属中档题．16. 【分析】本题考查二次函数的零点问题解法，注意运用判别式大于等于 0，端点处的函数值的符 号，结合配方法，考查运算能力，属于中档题． 由题意可得△≥0，f（-1）≤0 或 f（1）≤0，化 a2-3b 为 a 的式子，由二次函数的最值求法， 可得最小值． 【解答】解：函数在[-1，1]上有零点，可得△≥0，即（a+ ）2≥4b，且 f（-1）f（1）≤0，即（ -a+b）（ +a+b）≤0；或 f（-1）≥0，f（1）≥0，-1＜- ＜1，即 a-b≤ ，a+b≥- ，-7＜a＜5．即有 a2-3b≥a2-= [（a-1）2- ]≥ ×（- ）=- ，当且仅当 a=1 时，取得最小值- ，故答案为：- ．17. 解：设直线 OP 的方程为 y=kx（k＞0），代入椭圆方程可得 P（，），，可得 Q（，），由，可得 kFQ=- ，即为=- ，化为 λ=＜e= ，可得 ＜2+k2，对 k＞0 恒成立，由 2+k2＞2，可得 a2≤2b2， 即为 a2≤2（a2-c2），可得 c≤ a，即 0＜e≤ ，故答案为：（0， ]．设直线 OP 的方程为 y=kx（k＞0），代入椭圆方程求得 P，Q 的坐标，由向量数量积为 0 的等价条件可得 OP，FQ 的斜率之积为-1，整理，结合恒成立解法可得 a，b 的关系， 可得所求离心率的范围．第 12 页，共 14 页本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的范围，考查直线方程和椭圆方程联立，化 简整理的运算能力，属于中档题．18. （Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用可求 f（x）=，利用正弦函数的单调性即可求解．（Ⅱ）由已知可求，求得 ，利用余弦定理，基本不等式可求 ac≤3，可得 a2+c2≤6，根据 a2+c2=3+ac＞3，即可得解其取值范围． 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的单调性，余弦定理，基本不等式 等知识在解三角形中的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．19. （Ⅰ）证明 PC⊥AC，AC⊥BC．推出 AC⊥平面 PBC，即可证明平面 ACE⊥平面 PBC．（Ⅱ）过点 P 作 PF 垂直 CE，垂足为 F．说明 PF 垂直平面 ACE．通过点 E 为 AB 的中 点，所以点 P 到平面 ACE 的距离与点 B 到平面 ACE 的距离相等．连结 BD 交 AC 于点 G， 则 GB=2DG．转化求解即可． 另解：建立坐标系．求出平面 ACE 的一个法量，利用空间向量的数量积求解直线 PD 与 平面 AEC 所成角即可． 本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象 能力以及计算能力．20. （Ⅰ）通过 an+2=3an+1-2an 可得 an+2-an+1=2（an+1-an）．推出{an+1-an}是首项为 2，公比为 2 的等比数列然后求解通项公式．（Ⅱ）因为=，利用裂项消项法，求解数列的和，然后求解m 的范围． 本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．21. 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，分析得出最大，R 就最大是关键．（1）设椭圆方程，由焦点坐标可得 c=1，由|PQ|=3，可得 =3，又 a2-b2=1，由此可求椭圆方程； （2）设 M（x1，y1），N（x2，y2），不妨 y1＞0，y2＜0，设△F1MN 的内切圆的径 R，则△F1MN 的周长=4a=8，（|MN|+|F1M|+|F1N|）R=4R，因此最大，R就最大．设直线 l 的方程为 x=my+1，与椭圆方程联立，从而可表示△F1MN 的面积，利 用换元法，借助于导数，即可求得结论．22. （Ⅰ）求出 f′（x）=2xe3x+3x2e3x=x（3x+2）e3x．从而 f（x）在（-∞，- ）内单调递增，在（- ，0）内单调递减，在（0，+∞）内单调递增，进而 f（x）的极大值为 f（- ）= ，由此能证明当 x＜0 时，f（x）＜ ．（Ⅱ）k≤，x＞0，令 g（x）=，x＞0，则 g′（x）=，令 h（x）=x2（1+3x）e3x+2lnx-1，则 h（x）在（0，+∞）上单调递增，推导出存在 x0∈（0，1），使得 h（x0）=0，g（x）在（0，+∞）上的最小值是 g（x0）=，由此能求出实数 k 的取值范围．第 13 页，共 14 页本题考查不等式的证明，考查实数的取值范围的求不地，考查导数性质、函数的单调性、 最值等基础知识，考运算求解能力，是中档题．第 14 页，共 14 页。
2020届浙江省宁波市镇海中学高三下学期5月模拟数学试题(解析版)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】分析：利用复数的乘法运算法则及共轭复数的定义即可得结果.
详解： ，
，故选C.
点睛：本题主要考查的是复数的乘法运算及共轭复数的定义，属于简单题．解题时一定要注意 和 运算的准确性，否则很容易出现错误.
3．已知直线 ,其中 在平面 内.则“ ”是“ ”的
【详解】
取 ， 分别为 ， 的中点，连接 ， ，根据题意以 为原点，
， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
点 在侧棱 上，设 ，点 在 上，设 ，
2020届浙江省宁波市镇海中学高三下学期5月模拟数学试题
一、单选题
1．已知全集 ，集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先根据补集概念求解出 ，然后根据并集的概念求解出 的结果.
【详解】
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
故选：A.
【点睛】
本题考查集合的并集、补集混合运算，主要考查学生对并集、补集概念的理解，难度较易.
所以其体积为 ，故选C．
5．记 ，则 的值为（）
A．1B．2C．129D．2188
【答案】C
【解析】令 ，求得 ，再求 即可求得结果.
【详解】
中，
令 ，得 .
∵ 展开式中
∴
故选： .
【点睛】
二项式通项与展开式的应用：
（1）通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定项或指定项的系数等.
（2）展开式的应用：
所以此时共有 种方案，
综上，可得甲不到 景点的方案有 种方案.
故选：B.
【点睛】
浙江省宁波市镇海中学2023届高三第二学期模拟考试数学含答案
2023年高三数学模拟卷（一）第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}|20A x x =+>，{}|4B x x =>R ð，则A B =I （）A ．{2x x <-或}4x >B ．{}24x x -<≤C ．{}4x x >D ．{}24x x -<<2．已知x R ∈，则“0x >”是“23x x <”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要3．二项式210(1)(1)x x x ++-展开式中5x 的系数为（）A ．120B ．135C ．-140D ．-1624．数列{}n a 满足131,31n na a a +==-，则2023a =（）A ．12-B ．23C ．52D ．35.赵爽弦图是中国古代数学的重要发现，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.已知小正方形的面积为1，直角三角形中较小的锐角为θ，且1tan 23θ=，则大正方形的面积为（）A ．4B ．5C ．16D ．256.已知2a =r ，1b =r ，2a b -=r r ，则向量a r 在向量b r方向上的投影向量为（）A ．bB ．b- C D ．7．设1cos 0.1,10sin 0.110tan 0.1a b c ===，，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<8.表面积为4π的球内切于圆锥，则该圆锥的表面积的最小值为（）A.4π B.8π C.12π D.16π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某地区高三男生的身高X 服从正态分布()()2170,0N σσ>，则（）A ．()1700.5P X >=B ．若σ越大，则()165175P X <<越大C ．()()180160P X P X >=<D ．()()160165165170P X P X <<=<<10．随机变量ξ的分布列如右表：其中0xy ≠，下列说法正确的是（）A ．1x y +=B ．5(3)y E ξ=C ．()D ξ有最大值D ．()D ξ随y 的增大而减小11．在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：(1)过点0000(,,)P x y z ，且以(,,)(0)u a b c abc =≠为方向向量的空间直线l 的方程为000x x y y z z a b c---==.(2)过点()000,,P x y z ，且()0)=(,,v m n mnt t ≠为法向量的平面α的方程为()()()0000m x x n y y t z z -+-+-=.现已知平面236x y z α++=：，1l ：21321x y y z -=⎧⎨-=⎩，2l ：2x y z ==-，3l ：1541x y z-==-则下列说法正确的是（）A.1//l αB.2//l αC.3//l αD.1l α⊥12.定义：若数列{}n a 满足，存在实数M ，对任意n *∈N ，都有n a M ≤，则称M 是数列{}n a 的一个上界.现已知{}n a 为正项递增数列，()12n n n ab n a -=≥，下列说法正确的是（）A.若{}n a 有上界，则{}n a 一定存在最小的上界.B.若{}n a 有上界,则{}n a 可能不存在最小的上界.C.若{}n a 无上界,则对于任意的n N *∈，均存在k N *∈，使得12023n n k a a +<D.若{}n a 无上界，则存在k *∈Ν，当n k >时，恒有232023n b b b n ++<- .第II 卷（非选择题）三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．13．复数2(1i)z =-，则||z =___________．14.已知,a b 为两个正实数，且41a b +=+的最大值为___________.ξ012Px3y 23y四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设函数1()sin()cos ,3(0,),().22f x x x f ππαα=+-∈=(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)已知凸四边形ABCD 中，()241AB AC AD f BAD ∠====，，，求凸四边形ABCD 面积的最大值.19．在直角梯形ABCD 中，CD AD ⊥，22AB BC CD ===，AD =现将D AC ∆沿着对角线AC 折起，使点D 到达点P 位置，此时二面角P AC D --为3π（1）求异面直线PA ，BC 所成角的余弦值；（2）求点A 到平面PBC 的距离.21.已知椭圆22143x y +=，F 为其右焦点，(0,)M t ，(0,)N t -为椭圆外两点，直线MF 交椭圆于AB 两点.(1)若MA AF λ= ，MB uBF =，求u λ+的值；(2)若三角形NAB 面积为S ，求S 的取值范围.22．已知()sin ,[0,]f x x x π=∈，（1）求()f x 在x π=处的切线方程；（2）求证：对于12,[0,]x x π∀∈和12,0λλ∀>，且121λλ+=，都有()11221122sin sin sin x x x x λλλλ+≥+；（3）请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．高三数学第1页共8页2023.5高三数学模拟考一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．12345678BCDADBDB二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9101112ACABCCDACD三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．13．215.[1,1)e -16.316四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.【解析】（1）由题意知1sin()cos332ππα+-=，得sin()13πα+=因为0,2πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以5,336ππαπ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以32ππα+=，所以6πα=()sin cos sin 66f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫∴=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所()f x 的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）由()1fBAD ∠=，得23BAD π∠=所以四边形ABCD的面积BAC DAC S S S ∆∆=+设BAC α∠=，则()22sin 4sin 3S παααϕ⎛⎫=+-=+≤⎪⎝⎭当21sin cos 7αϕ==时，取到最大值高三数学第2页共8页18.【解析】（1）当1n =时，215160a a ++=，26425a ∴=-，当2n ≥时，由10516n n a S +++=①，得10516n n a S -+=+②，①-②得154n na a +=126440,0,255n n n a a a a +=-≠∴≠∴=，又214,{}5n a a a =∴是首项为165-，公比为45的等比数列，11644()4()555n n n a -∴=-⋅=-⋅；（2）由4(5)0n n b n a +-=，得54(5)()45n n n n b a n -=-=-，所以234444432(1)(5)5554455nn T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯-⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，2413444444432(6)(555)5555nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，两式相减得234114444444(5)5555555nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯++++--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111612516(45)5554145n n n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+-- ⎪⎝⎭-1115(5)161644455555n n n n n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---⋅=-⋅ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以145()5n n T n +=-⋅，由n n T b λ≤得1445()(5)()55n nn n λ+-⋅≤-⋅恒成立，即(5)40n n λ-+≥恒成立，5n =时不等式恒成立；高三数学第3页共8页5n <时，420455n n n λ≤-=----，得1λ≤；5n >时，412455n n n λ≥-=----，得4λ≥-；所以41λ-≤≤.19.过点D 做DO AC ⊥交AC 于O 连接OP以O 点为原点，以OA 为x 轴，在平面ABCD 内，过点O 垂直于AC 的线为y 轴，过点O 垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.(1)因为DO AC ⊥，所以PO AC ⊥，所以DOP ∠为二面角P AC D --的平面角.所以3DOP π∠=，又因为3||||2OD OP ==，所以点330,,44P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭又因为1,0,02C ⎛⎫-⎪⎝⎭，3,0,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12B ⎛⎫⎪⎝⎭所以33,,244AP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,BC =-所以333324cos ,8||||AP BCAP BC AP BC +⋅<>===所以AP 与BC 夹角的余弦值为338.高三数学第4页共8页(2)13,,244PC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭,()1,BC =-设(),,n x y z = 为平面PBC 的一个法向量，则00n PC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即13302440x y z x ⎧-+-=⎪⎨⎪-=⎩令x =1,n =-所以点A 到平面PBC的距离为||2217||AP n d n ⋅===.20.【解析】（1）记“所选取的2名学生选考物理､化学､生物科目数量相等”为事件A ，则两人选考物理､化学､生物科目数量（以下用科目数或选考科目数指代）为1的情况数为220C ，数目为2的为240C ，数目为3的有240C ，则()2222040402100C C C 35C 99P A ++==.；（2）由题意可知X 的可能取值分别为0,1,2.为0时对应概率为（1）中所求概率：()2222040402100C C C 0C 5939P X ++===；为1时，1人选考科目数为1，另一人为2或1人为2，1人为3：()1111204040402100C C C C 161C 33P X +===；为2时，1人为1，1人为3：()1120402100C C 162C 99P X ===.则分布列如图所示：X012P359916331699故X 的期望为()3516168001299339999E X =⨯+⨯+⨯=；（3）高三数学第5页共8页性别纯理科生非纯理科生总计男性305585女性10515总计4060100零假设为0H ：同时选考物理、化学、生物三科与学生性别相互独立，即同时选考物理、化学、生物与学生性别无关.()()()()()()2221003051055 5.229 3.84140608515n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯所以依据小概率值0.05α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为同时选考物理、化学、生物三科与学生性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.21.(1)设()()1122,,,A x y B x y 因为,M N 在椭圆外，所以23t >.由题意知，AB 的方程为11x y t =-+，联立椭圆方程，得221134120x y t x y ⎧=-+⎪⎨⎪+-=⎩化简，得2236(4)90y y t t+--=（*）由MA AF λ=，得()11y t y λ-=-由MB uBF =，得()22y t u y -=-所以121212112y y t tu t y y y y λ⎛⎫++=-+-+=-+ ⎪⎝⎭由（*）式可得，12126293y y t y y t+==--所以1212823y y u t y y λ⎛⎫++=-+=- ⎪⎝⎭.高三数学第6页共8页(2)1222122||||33244NAB OABS S OF y y t t∆∆==⋅⋅-=++令m =，所以21231NABm S m ∆=+因为23t >，所以m ⎛= ⎝，所以2121283,313153NAB m S m m m ∆⎛⎫==∈ ⎪ ⎪+⎝⎭+.所以S 的取值范围是83,35⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.22.【解析】（1）因为()cos f x x '=,所以cos |1x k x π===-，又()0f π=所以求()f x 在x π=处的切线方程为y x π=-+.(2)不妨设12x x ≤令122122()sin()sin sin g x x x x x λλλλ=+--，2[0,]x x ∈则11221()cos()cos g x x x x λλλλ'=+-因为122120x x x x x πλλλλ≥+>+=≥所以122cos()cos x x x λλ+≤所以()0g x '≤在2[0,]x x ∈上恒成立.所以2()()0g x g x ≥=即122122sin()sin sin x x x x λλλλ+≥+.(3)对于任意的[0,]i x π∈，任意的0(1,2,,)i i n λ>= ，11nii λ==∑都有11sin sin n ni i i ii i x x λλ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑高三数学第7页共8页证明：①当2n =时，由（2）知，命题显然成立.②假设当n k =时命题成立.即对任意的123,,,[0,]k x x x x π∈ 及0,1,2,3,,,i i k μ>= 11k i i μ==∑.都有11sin sin k ki i i i i i x x μμ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑.现设1231,,,,[0,]k k x x x x x π+∈ 及0,1,2,3,,,1i i k k λ>=+ ，111k i i λ+==∑.令1,1,2,3,,,1i i k i k λμλ+==- 则11k i i μ==∑.由归纳假设可知()()11221122111111sin sin 11k k k k k k k k k k x x x x x x x x λλλλλλλλλλ++++++⎡⎤+++++++=-+⎢⎥-⎣⎦()()11122111sin sin k k k k k x x x x λμμμλ+++≥-++++ ()[]11122111sin sin sin sin k k k k k x x x x λμμμλ+++≥-++++ ()12112111111sin sin sin sin 111k k k k k k k k x x x x λλλλλλλλ++++++⎡⎤=-++++⎢⎥---⎣⎦()12112111111sin sin sin sin 111k k k k k k k k x x x x λλλλλλλλ++++++⎡⎤=-++++⎢⎥---⎣⎦11sin k i i i x λ+==∑所以当1n k =+时命题也成立.综上对于任意的[0,]i x π∈，任意的0(1,2,,)i i n λ>= ，且11n i i λ==∑都有11sin sin n ni i i i i i x x λλ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑。
浙江省宁波市镇海中学2020届高三下学期5月模拟数学试题
浙江省宁波市镇海中学2020届高三下学期5月模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集=R U ，集合{}|0A x x =>，{}|01B x x =<<，则()U A B =（ ）A ．{}|1x x <B ．{}1|0x x <<C ．{}|0x x ≤D ．R2．已知i 是虚数单位，复数2z i =-，则(12)z i ⋅+的共轭复数为（ ） A ．2i +B ．43i +C ．43i -D ．43i --3．已知直线,,a b m ,其中,a b 在平面α内.则“,m a m b ⊥⊥”是“m α⊥”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．3πB ．83πC ．103π D ．113π 5．记77017(2)(1)(1)x a a x a x -=+++⋯⋯++，则0126a a a a +++⋯⋯+的值为（ ） A ．1B ．2C ．129D ．21886．已知不等式组210,2,10x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域为D ，若函数|1|y x m =-+的图象上存在区域D 上的点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[2,1]-B ．12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1[0,]2D ．31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7．甲、乙、丙、丁四个人到A ，B ，C 三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到A 景点的方案有（ ）A ．18种B ．12种C ．36种D ．24种8．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 的右焦点为F ，椭圆C 上的两点,A B 关于原点对称，且满足0,||||2||FA FB FB FA FB ⋅=≤≤，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A．[2 B．[3C．1]2D．1,1)-9．已知函数()()1ln 1,121,1x x x f x x -⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，则方程()()()3204f f x f x ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦的实根个数为（ ） A ．6B ．5C ．4D ．310．已知直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱1AA ，1BB ，1CC 分别交于三点M ，N ，Q ，若MNQ △为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（ ）． A ．2 B ．4C．D．二、双空题11．双曲线:C 2214x y -=的渐近线方程为_____，设双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>经过点()4,1，且与C 具有相同渐近线，则C 的方程为_____.12．设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++⋯+-=．{}n a 的通项n a =________，数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和是________．13．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则(||1)P X ==________，方差的最大值是________． 14．函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的部分图象如图所示，则ϕ=________，为了得到()cos g x A x ω=的图象，需将函数()y f x =的图象最少向左平移________个单位长度．三、填空题 15．若实数、满足114422xy xy ，则22x y S 的取值范围是 ．16．已知抛物线24y x =，焦点记为F ，过点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，则2||||AF BF -的最小值为________． 17．如图，在四边形ABCD 中，1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA 和CD 交NM 的延长线于不同．．的两点,P Q ，则·()PQ AB DC -的值为_________．四、解答题18．已知锐角ABC ∆的内角A, B, C 所对的边分别为a,b,c ，且a =sin sin sin B A b cC a b--=+.（1）求角A 的大小； （2）求b c +的取值范围.19．在三棱锥A BCD -中，2,2AB AD BD BC DC AC ======.（1）求证：BD AC ⊥；（2）若点P 为AC 上一点，且3AP PC =，求直线BP 与平面ACD 所成的角的正弦值.20．已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.21．已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，1,2P ⎛ ⎝⎭在椭圆上，离心率2e =，左、右焦点分别为12F F 、. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线y kx =（0k >）与椭圆C 交于A ，B ，连接1AF ，1BF 并延长交椭圆C 于D ，E ，连接DE ，求DE k 与k 之间的函数关系式.22．我们称满足：21(1)()k n n na k a a +-=--（*n ∈N ）的数列{}n a 为“k 级梦数列”. （1）若{}n a 是“1级梦数列”且12a =.求：231111a a ---和431111a a ---的值； （2）若{}n a 是“1级梦数列”且满足1312a <<，1220171112a a a +++=，求201814a a -的最小值；（3）若{}n a 是“0级梦数列”且112a =，设数列2{}n a 的前n 项和为n S .证明：112(2)2(1)n S n n n ≤≤++（*n ∈N ）.参考答案1．A 【解析】 【分析】先根据补集概念求解出UA ，然后根据并集的概念求解出()U AB 的结果.【详解】因为{}|0A x x =>，所以{}U 0A x x =≤，又因为{}|01B x x =<<，所以(){}U1A B x x ⋃=<，故选：A. 【点睛】本题考查集合的并集、补集混合运算，主要考查学生对并集、补集概念的理解，难度较易. 2．C 【解析】分析：利用复数的乘法运算法则及共轭复数的定义即可得结果. 详解：()()()2i,12i 2i 12i 43i z z =-∴+=-+=+，43i z ∴=-，故选C.点睛：本题主要考查的是复数的乘法运算及共轭复数的定义，属于简单题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++运算的准确性，否则很容易出现错误. 3．B 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定和性质定理可知充分性不成立、必要性成立，由此得到结果. 【详解】若//a b ，则m a ⊥，m b ⊥无法得到m α⊥，充分性不成立；若m α⊥，则m 垂直于α内所有直线，可得到m a ⊥，m b ⊥，必要性成立；∴“m a ⊥，m b ⊥”是“m α⊥”的必要而不充分条件.故选：B . 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，涉及到线面垂直的判定与性质，属于基础题. 4．C 【解析】由三视图可知，该几何体是由14个圆柱和半个圆锥的组合而成的组合体， 其中圆柱的底面半径为2，高为2，圆锥的底面半径为2，高为2， 所以其体积为221111022224233V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=，故选C ． 5．C 【解析】 【分析】令0x =，求得017a a a +++，再求7a 即可求得结果.【详解】727017(2)(1)(1)x a a x a x -=+++++中， 令0x =，得70172128a a a =+++=.∵77(2)[3(1)]x x -=-+展开式中707773(1)1a C =-=-∴0167128129a a a a +++=-=故选：C . 【点睛】二项式通项与展开式的应用：（1）通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定项或指定项的系数等. （2）展开式的应用：①可求解与二项式系数有关的求值，常采用赋值法.②可证明整除问题(或求余数).关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断. ③有关组合式的求值证明，常采用构造法. 6．A 【解析】 【分析】由不等式组210,2,10x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩作出其表示的平面区域然后根据函数|1|y x m =-+的图象是由|1|y x =-上下平移得到的，将函数|1|y x m =-+图象从下往上平移,利用数形结合法求解.【详解】不等式组210,2,10x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域D 为三角形ABC 及内部部分，如图所示：因为函数|1|y x m =-+的图象是由|1|y x =-上下平移得到的，所以由图知：将函数|1|y x m =-+图象从下往上平移，当经过点()1,2A -时，m =-2, 当函数|1|y x m =-+的最低点在BC 上时，m =1， 因为函数|1|y x m =-+的图象上存在区域D 上的点， 所以21m -≤≤， 故选：A 【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及函数图象的变换，还考查了数形结合的思想，属于基础题. 7．D 【解析】 【分析】根据题意，分两种情况讨论，（1）甲单独一个人旅游；（2）甲和乙、丙、丁中的1人一起旅游，分别求出每种情况的方案数，利用分类计数原理，即可求解. 【详解】由题意，可分为两种请况：（1）甲单独一个人旅游，在B 、C 景点中任选1个，由2种选法，再将其他3人分成两组，对应剩下的2个景点，有22326C A =种情况，所以此时共有2612⨯=种方案； （2）甲和乙、丙、丁中的1人一起旅游，先在乙、丙、丁中任选1人，与甲一起在B 、C 景点中任选1个，有11326C C =种情况，将剩下的2人全排列，对应剩下的2个景点，有222A =种情况，所以此时共有6212⨯=种方案，综上，可得甲不到A 景点的方案有121224+=种方案. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了分类计数原理，以及排列组合的综合应用，其中解答中主要优先分析排列的约束条件多的元素是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题. 8．A 【解析】 【分析】设椭圆的左焦点'F ，由椭圆的对称性结合0FA FB ⋅=，得到四边形'AFBF 为矩形，设'AF n =，AF m =，在直角ABF 中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到222m n c n m b+=，再根据2FB FA FB ≤≤，得到m n 的范围，然后利用双勾函数的值域得到22b a 的范围，然后由c e a ==.【详解】 如图所示：设椭圆的左焦点'F ，由椭圆的对称性可知，四边形'AFBF 为平行四边形， 又0FA FB ⋅=，即FA FB ⊥， 所以平行四边形'AFBF 为矩形， 所以'2AB FF c ==， 设'AF n =，AF m =，在直角ABF 中，2m n a +=，2224m n c +=，得22mn b =，所以222m n c n m b +=，令m t n =，得2212t c t b+=， 又由2FB FA FB ≤≤，得[]1,2mt n=∈， 所以221252,2c t t b ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦，所以 2251,4c b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，即2241,92b a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以c e a ==⎣⎦，所以离心率的取值范围是23⎣⎦， 故选：A. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，对称性，离心率的范围的求法以及函数值域的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.9．C 【解析】令t=f(x),则方程()()()3204ff x f x ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦等价于()3202f t t --=,在同一平面直角坐标系中作出f(x)与直线y=2x+32的图象,由图象可得有两个交点,且()3202f t t --=的两根分别为10t =和212t <<,当()10t f x ==时,解得x=2,当()()21,2t f x =∈时, f(x)有3个不等实根,综上所述, 方程()()()3204ff x f x ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦的实根个数为4,故选C.点睛:本题考查函数与方程思想和数形结合思想的应用,考查换元法的应用技巧,属于中档题. 对于函数()y f x =,我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点.即函数的零点就是指使函数值为零的自变量的值.通过化简也经常将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题. 10．D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据已知条件设(0,1,)M a -、)N b 、(0,1,)Q c ，不妨设c b a <<，则MNQ ∠为直角，所以0MN QN ⋅=推出()()20b a b c --+=，利用基本不等式即可求得斜边||MQ 的最小值. 【详解】取D ，1D 分别为AC ，11A C 的中点，连接1DD ，DB ，根据题意以D 为原点，DB ，DC ，1DD 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，点M 在侧棱1AA 上，设(0,1,)M a -，点N 在1BB 上，设)N b ，点Q 在1CC 上，设(0,1,)Q c ，不妨设，则， ．因为为直角三角形，由，得为直角，所以0MN QN ⋅=，即()()20b a b c --+=，斜边||MQ ==≥==当且仅当a b b c -=-时取等号. 故选D ．【点睛】本题考查直三棱柱的性质、空间向量的应用、基本不等式，涉及两垂直向量的数量积关系，根据条件建立空间直角坐标系是解答本题的关键，属于中档题．11．2x y =± 221123y x -=【解析】 【分析】令224x y -=，求得12y x =±，得到双曲线的渐近线的方程，根据题意，得到2a b =，，得出222214x y b b-=，将点()4,1代入方程，求得22,a b 的值，即可求得双曲线的标准方程.【详解】由题意，双曲线2214x y -=，令2204x y -=，解得224x y =，即12y x =±， 即双曲线的渐近线的方程为12y x =±， 由双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>和双曲线2214x y -=相同的渐近线，可得12b a =，即2a b =，所以222214x y b b-=，将点()4,1代入方程222214x y b b-=，即2216114b b -=，解得23b =，所以22412a b ==，所以所求双曲线的方程为221123y x -=故答案为：12y x =±，221123y x -=.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，其中解答中熟记双曲线的标准的求法，以及双曲线的渐近线的解法是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 12．221n - 221n n + 【解析】 【分析】由当2n ≥时，由123(21)2n a a n a n ++⋯+-=①，得1213(23)2(1)n a a n a n -++⋯+-=-②，①-②求出n a ，注意验证1a 是否满足该通项公式，然后利用裂项求和法求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和．【详解】解：当1n =时，12a =，当2n ≥时，由123(21)2n a a n a n ++⋯+-=①， 得1213(23)2(1)n a a n a n -++⋯+-=-②， ①-②得(21)2n n a -=， 即221n a n =-， 当1n =时也满足此式， 所以数列{}n a 的通项221n a n =-；因为221(21)(21)n a n n n ==+-+112121n n --+， 所以数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和11111111335212121S n n n =-+-++-=--++ (221)nn =+， 故答案为：221n -，221n n +． 【点睛】本题考查数列的通项公式及数列求和，重点考查了运算能力，属基础题． 13．23 23【解析】 【分析】在离散型随机变量的分布列中各随机变量对应的概率的总和为1，再由等差中项性质即可求得(||1)P X =；由均值计算公式表示，进而由方差计算公式表示方差，最后由二次函数性质即可求得最值. 【详解】因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b a c =+，又1a b c ++=，所以23a c +=，13b =， 所以(||1)(1)(1)P X P X P X ===+=-23a c =+=； 因为()101E X abc c a =-⨯+⨯+⨯=-，所以221()(1)(0)3D X a c a c a =--++-++222(1)()3c c a a c -+=--+， 所以当13a c ==时，()D X 取得最大值23．故答案为：23，23【点睛】本题考查等差数列的性质、离散型随机变量的分布列与方差，属于简单题． 14．6π-3π【解析】【分析】由图象得出A 和周期，结合周期公式得出ω，把点,23π⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式，得出6πϕ=-，根据三角函数的平移变换，得出第二空的答案. 【详解】由图知2A =，236T πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以22T πω==，所以()2sin(2)f x x ϕ=+ 把点,23π⎛⎫⎪⎝⎭代入，得2sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以22()32k k Z ππϕπ+=+∈即2()6k k Z πϕπ=-+∈，又0πϕ-<<，所以6πϕ=-所以()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭因为()2cos22sin 22sin 2236g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以要得到函数()g x 的图象需将函数()f x 的图象最少向左平移3π个单位长度． 故答案为：6π-；3π 【点睛】本题考查正弦函数的图象与性质、三角函数图象的平移变换，根据函数的图象确定函数sin()y A x ωϕ=+中的参数的主要方法：（1）A 主要是根据图象的最高点或最低点的纵坐标确定；（2）ω主要由最小正周期T 确定，而T 的值主要是根据一个周期内图象的零点与最值点的横坐标确定；（3）ϕ主要是由图象的特殊点的坐标确定． 15．24S <≤ 【解析】1122224+4=2+2(2)(2)2(22)(22)2222(22)x y x y x x y x y x y x y ++⇒+=+⇒+-⋅⋅=+22222xyS S -=⋅⋅，又22(22)022222x y x yS +<⋅⋅≤=．22022S S S <-≤，解得24S <≤ 16．2 【解析】 【分析】分直线l 斜率存在不存在两种情况分类讨论，当斜率存在时，联立直线与抛物线方程，由韦达定理可得A ,B 两点横坐标间的关系，由抛物线定义可得2||||AF BF -的表达式，转化为一个变量，求最值即可，当斜率不存在时，由通径的长可求解. 【详解】因为抛物线24y x =， 所以(1,0)F ，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，代入24y x =可得()2222240k x k x k -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ， 则121x x ⋅=．由抛物线的定义可得1||1AF x =+，2||1BF x =+，所以1222||1||1AF x BF x -=+-=+()()212122222222221121111111x x x x x x x x x x x ++-++===-+++++． 令21(1)x t t -=≥，则21x t =+， 所以2||||AF BF-21112111112222tt t t t==≥===+++++++（当且仅当t =时等号成立）；当直线l 的斜率不存在时，||||2AF BF ==, 所以2||1||AF BF -=．综上，2||||AF BF -的最小值为2．故答案为：2 【点睛】本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系，在解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线的定义在解题中的应用，属于中档题． 17．0 【解析】 【分析】 【详解】如图，连AC ，取AC 的中点E ，连ME ，NE ，则,ME NE 分别为,ADC CAB ∆∆的中位线，所以11,22EN AB ME DC ==, 所以1()2MN ME EN DC AB =+=+．由PQ 与MN 共线， 所以()PQ MN R λλ=∈，故()()()()2PQ AB DC MN AB DC AB DC AB DC λλ⋅-=⋅-=+⋅-22()02AB DC λ=-=．答案：0 点睛：（1）根据题中的AB CD =，添加辅助线是解题的突破口，得到1()2MN DC AB =+是解题的关键，然后根据向量的共线可得()PQ MN R λλ=∈，再根据向量的数量积运算求解． （2）也可利用,MN MA AB BN MN MD DC CN =++=++两式相加得到1()2MN DC AB =+．18．（1）3π；（2）(3,23⎤ 【解析】 试题分析：（1）由sin sin sin B A b c C a b --=+及正弦定理得222a b c bc =+- 1cos 2A ⇒=，由此可求角A 的大小；（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得()2sin sin 3b c B C B π⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭，，ABC ∆为锐角三角形，B 的范围为,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则,366B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，，利用正弦函数的性质即可得b c +的取值范围. （1）由sin sin sin B A b cC a b--=+及正弦定理得()()()b a b a b c c -+=-，所以222a b c bc =+- 1cos 2A ⇒=，3A π=.（2）a =3A π=，所以sin sin sin a b c A B C== 2sin 3==， ()2sin sin b c B C +=+ 22sin sin 3B B π⎡⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 3B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ABC ∆为锐角三角形，B 的范围为,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则,366B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴cos 3B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的取值范围是,12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦，∴(b c +∈.19．（1）证明见解析；（2 【解析】 【分析】（1）取BD 的中点E ，连接,AE CE ，然后由等腰三角形的性质推出,AE BD CE BD ⊥⊥，从而利用线面垂直的判定定理与性质可使问题得证；（2）以E 为坐标原点建立空间直角坐标系，然后求出相关点的坐标，再求出平面ACD 的一个法向量，从而利用空间向量的夹角公式求解即可. 【详解】解：（1）证明：取BD 的中点E ，连接,AE CE ， ∵2AB AD BD ===，∴AE BD ⊥， 同理可得CE BD ⊥， 又AECE E =，∴BD ⊥平面ACE ，又AC ⊂平面ACE ，∴BD AC ⊥.（2）∵2,AB AD BD BC DC =====∴BCD 为等腰直角三角形，且1AE CE ==，∴222AE EC AC +=，∴2AEC π∠=，即AE EC ⊥，又AE BD ⊥，且BD EC E ⋂=，∴AE ⊥平面BCD ，∴以E 为坐标原点，EC 所在直线为x 轴，ED 所在直线为y 轴，EA 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.∴(0,1,0),(0,1,0),(1,0,0),B D C A -， 设()000,,P x y z，∵3,(1,0,4AP AC AC ==，(000,,AP x y z =-，∴(00033,,(1,0,,0,44x y z ⎛-== ⎝⎭，∴0003,40,x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎪⎩∴3,0,44P ⎛ ⎝⎭，∴3,1,44BP ⎛= ⎝⎭，又(0,1,3),(1,1,0)DA DC =-=-， 设()111,,n x y z=是平面ACD 的法向量，则11110,0,00,n DA y n DC x y ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-=⎪⎪⎩⎩令11x =，得111,3y z ==，∴31,1,3n ⎛= ⎝⎭， 设直线BP 与平面ACD 所成角为θ， 则sin |cos ,|||||n BPn BP n BP θ⋅=<>=7==，∴直线BP 与平面ACD 【点睛】本题考查空间中直线与平面的位置关系、利用空间向量解决直线与平面所成角问题. (1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角后(求出是钝角时取其补角)，取其余角即为直线与平面所成的角．(2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系221sin cos θθ+＝求出其值．不要误认为直线的方向向量与平面的法向量所成夹角的余弦值即为所求．20．（1）见解析；（2）(0,1). 【解析】试题分析：（1）讨论()f x 单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对a 按0a ≤，0a >进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若0a ≤，()f x 至多有一个零点.若0a >，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，求出最小值1(ln )1ln f a a a-=-+，根据1a =，(1,)∈+∞a ，(0,1)∈a 进行讨论，可知当(0,1)∈a 时有2个零点.易知()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点；设正整数0n 满足03ln(1)n a >-，则00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3ln(1)ln a a ->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.从而可得a 的取值范围为(0,1).试题解析：（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，()()()()2221121x x x x f x ae a e ae e =+---'=+，（ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(),-∞+∞单调递减. （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.当(),ln x a ∈-∞-时，()0f x '<；当()ln ,x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(),ln a -∞-单调递减，在()ln ,a -+∞单调递增.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为()1ln 1ln f a a a-=-+. ①当1a =时，由于()ln 0f a -=，故()f x 只有一个零点；②当()1,a ∈+∞时，由于11ln 0a a -+>，即()ln 0f a ->，故()f x 没有零点； ③当()0,1a ∈时，11ln 0a a -+<，即()ln 0f a -<. 又()()4222e 2e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(),ln a -∞-有一个零点.设正整数0n 满足03ln 1n a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，则()()00000000e e 2e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->. 由于3ln 1ln a a ⎛⎫->- ⎪⎝⎭，因此()f x 在()ln ,a -+∞有一个零点. 综上，a 的取值范围为()0,1.点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数()f x 有2个零点求参数a 的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断y a =与其交点的个数，从而求出a 的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若()f x 有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.21．（1）2212x y +=；（2）3DE k k =. 【解析】【分析】（1）将点1,2P ⎛ ⎝⎭代入椭圆方程中，结合2e =和222a b c =+可得答案； （2）设()00,A x y ，则()00,B x y --，直线AD ：0011x x y y +=-，联立直线AD 、BE 与椭圆的方程消元，然后用00,x y 表示出点D E ，的坐标，然后可得答案.【详解】（1）由P ⎛ ⎝⎭在椭圆上，可得221112a b +=，a =， 又222a b c =+，可得a =1b =，1c =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=. （2）设()00,A x y ，则()00,B x y --，直线AD ：0011x x y y +=-， 代入C ：2212x y +=，得()()22220000012210x y y x y y y ⎡⎤++-+-=⎣⎦， 因为220012x y +=，代入化简得()()22000023210x y x y y y +-+-=， 设()11,D x y ，()22,E x y ，则2001023y y y x -=+，所以01023y y x -=+，011011x x y y +=-，· 直线BE ：0011x x y y -=-，同理可得02023y y x =-+，022011x x y y -=-， 所以00001200012002323232323y y x x y y =x y y y y x x -++-++=----+-+ 所以12120012120011DE y y y y k x x x x y y y y --==+---()120120121200001211y y x y y x y y y y y y y y y y -==++-++⋅- 000000133213y k x x x y y ==⋅=⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查的是椭圆方程的求法，直线与椭圆的综合问题，考查了学生的计算能力和分析转化能力，属于较难题.22．(1)43111117a a -=-- ,23111113a a -=-- ;（2）72-；(3)见解析．【解析】试题分析：（1）根据递推关系式，可求数列前四项的值，代入所求式子即可求解；（2）根据递推关系式，采用裂项相消的方法可化简条件，然后写出201814a a -构造均值不等式即可求出其最小值；（3）通过21n n n a a a +=-，利用累加法求出11n n s a a +=-，通过两边同除1n n a a +可得1111[1,2]n n n n a a a a ++-=∈，累加求1n a +的范围，从而得出结论. 试题解析：（1）{}n a 是“1级梦数列”,所以()211n n n a a a +-=--，当n=2,3,4,时，代入可求得2343111111,113117a a a a -=-=----； （2）由条件可得：111111n n n a a a +=---， ∴ 1220171201811111211a a a a a +++=-=-- 解得12018112111322232a a a a -==+⨯-- ∴ 20181111111742(32)626223222a a a a -=+⨯+--≥+-=-- 当且仅当154a =时取等号. （3）根据21n n n a a a +=-，可得11n n s a a +=-①又由21n n n a a a +=-得1111[1,2]n n n n a a a a ++-=∈ 累加得：11112n n n a a +≤-≤， 所以 1112(1)2n a n n +≤≤++② 由①②得()()()*112221n S n N n n n ≤≤∈++点睛：本题涉及数列，数学归纳法，不等式，累加，构造诸多数学思想方法，是跨章节以数列为背景的综合性问题，属于非常困难的难题.解决此类问题，需要灵活，综合运用所学知识，并且要创造性的运用到题目中，对题目所给条件，数列的递推关系式灵活变形是解决本题的关键，这需要平时大量方法积累以及运算技巧的锤炼，才可能解出此类难度的问题.。
浙江省镇海中学2020届高三下学期3月模拟测试数学试卷及答案word
镇海2020年3月高考模拟测试数学 试题卷第1卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．设集合{}1,2,3,4A =，{}33B x x =∈-≤≤N |，则A B =I （ ） A ．{}1,2,3,4 B ．{}3,2,1,0,1,2,3,4--- C ．{}1,2,3D ．{}1,22．双曲线2214x y -=的渐近线方程是（ ） A ．20x y ±=B ．20x y ±=C ．40x y ±=D ．40x y ±=3．已知公差不为零的等差数列{}n a 满足2314a a a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则31S S 的值为（ ） A ．94B ．94-C ．32D ．32-4．设a R ∈，则“0a >”是“2a a+≥ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数(ln cos 2y x x =⋅的图象可能是A ．B ．C ．D ．6．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的数学期望()8.9E ξ=，则y 的值为（ ） A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.87．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为（ ）A ．1BCD ．28．对于定义域为R 的函数()f x ，若存在非零实数0x ，使函数()f x 在()0,x -∞和()0,x +∞上与x 轴都有交点，则称0x 为函数()f x 的一个“界点”．则下列四个函数中，不存在“界点”的是（ ） A ．()22xf x x =-B ．()()22f x x bx b R =+-∈C ．()12f x x =--D ．()sin f x x x =-9．已知r a ，r b ，r c 是平面内三个单位向量，若⊥r ra b ，则232c b c +++-r r r r r a a 的最小值（ ）ABCD ．510．已知数列{}n a 满足112n n n a a a -+≤+（*n ∈N ，2n ≥），则（ ） A ．52143a a a ≤-B ．2736a a a a +≤+C ．()76633a a a a -≥-D ．2367a a a a +≥+ 第Ⅱ卷二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．设i 为虚数单位，给定复数()41i 1iz +=+，则z 的虚部为________，z =________．12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________，表面积是________．13．已知x ，y 满足条件0,40,10,x y x y x -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩则2x y +的最大值是________，原点到点(),P x y 的距离的最小值是________．14．小明口袋中有3张10元，3张20元（因纸币有编号认定每张纸币不同），现从中掏出纸币超过45元的方法有________种；若小明每次掏出纸币的概率是等可能的，不放回地掏出4张，刚好是50元的概率为________．15．在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，AD 为BAC ∠的平分线，2AB AC =，则ABAD=________． 16．若函数()213f x x a x b ⎛⎫=+++⎪⎝⎭在[]1,1-上有零点，则23a b -的最小值为________． 17．如图，椭圆Γ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为e ，F 是Γ的右焦点，点P 是Γ上第一角限内任意一点，()0OQ OP λλ=>u u u r u u u r，0FQ OP ⋅=u u u r u u u r ，若e λ<，则e 的取值范围是Γ．三、解答题（本大题共5小题，共74分） 18．（本小题满分14分）已知函数()sin cos 222x x x f x ⎫=+⎪⎭． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）设ABC ∆中的内角A ，B ，C 所对的边分别a ，b ，c ，若()f B =b =22ac +的取值范围．19．（本小题满分15分）如图，四棱锥P ABCD -中，PC 垂直平面ABCD ，AB AD ⊥，AB CD ∥，222PD AB AD CD ====，E 为PB 的中点．（Ⅰ）证明：平面EAC ⊥平面（Ⅱ）求直线PD 与平面AEC 所成角的正弦值．20．（本小题满分15分）在数列{}n a 中，11a =，23a =，且对任意的*n ∈N ，都有2132n n n a a a ++=-． （Ⅰ）证明数列{}1n n a a +-是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设12nn n n b a a +=，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，若对任意的*n ∈N 都有1n n S m a ≥+，求实数m 的取值范围．21．已知椭圆的焦点坐标为()11,0F -，()21,0F ，过2F 垂直于长轴的直线交椭圆于P ，Q 两点，且3PQ =，（1）求椭圆的方程；（2）过2F 的直线l 与椭圆交于不同的两点M ，N ，则1F MN V 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由． 22．（本题15分）已知函数()23e xf x x =．（Ⅰ）若0x <，求证：()19f x <； （Ⅱ）若0x >，恒有()()32ln 1f x k x x ≥+++，求实数k 的取值范围．镇海2020年3月高考模拟测试数学 参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．C ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．D ； 6．B ； 7．A ； 8．D ； 9．A ； 10．C ．9．提示：设(),x y =r c ，()1,0a =r ，()0,1b =r ，则221x y +=，从而232+++-=r r r r r a c a b c==≥=二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．2， 12．14412π-，1686π+；13．6； 14．32；15；15．3； 16．13-； 17．⎛ ⎝⎦17．提示：设OF c =，(),P x y ，FOQ θ∠=，则()2cos ,cos sin Q c c θθθ，由()0OQ OP λλ=>u u u r u u u r ，得2cos cos sin ,c c P θθθλλ⎛⎫⎪⎝⎭，代入椭圆方程，得2422222222cos cos sin c c c a b a θθθλ+=<，化简得()2222cos 0901cos b a θθθ>︒<<︒+恒成立，由此得2212b a ≥，即222a c ≥，故0,2e ⎛∈ ⎝⎦． 三、解答题（本大题共5小题，共74分）18．解：（Ⅰ）())21sin cos 1cos sin 2222x x x f x x x =+=-+πsin 3x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭．………………3分所以πππ2π2π232k x k -+<-<+，解得π5π2π2π66k x k -+<<+，k Z ∈． 所以函数()f x 的单调递增区间为π5π2π,2π66k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，Z k ∈………………7分（Ⅱ）因为()πsin 3f B B ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭πsin 03B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 所以π3B =．………………9分又因为b =223a c ac =+-，即223a c ac +=+．而222a c ac +≥，所以3ac ≤，即226a c +≤．………………12分 又因为2233a c ac +=+>，即226a c +≤．………………14分 19．（Ⅰ）证明：PC ⊥平面ABCD ，故PC AC ⊥． 又2AB =，1CD =，AD AB ⊥，所以AC BC ==故222AC BC AB +=，即AC BC ⊥．所以AC ⊥平面PBC ，所以平面ACE ⊥平面PBC ．………………6分 （Ⅱ）解：PC ⊥平面ABCD ，故PC CD ⊥．又2PD =，所以PC =．………………8分在平面ACE 内，过点P 作PF 垂直CE ，垂足为F ．由（Ⅰ）知平面ACE ⊥平面PBC ，所以PF 垂直平面ACE ．………………10分 由面积法得：即12CE PF PC BC ⋅=⋅． 又点E 为AB的中点，122CE PB ==．所以5PF =．………………12分 又点E 为AB 的中点，所以点P 到平面ACE 的距离与点B 到平面ACE 的距离相等． 连结BD 交AC 于点G ，则GB =2DG ．所以点D 到平面ACE 的距离是点B 到平面ACE 的距离的一半，即12PF ． 所以直线PD 与平面AEC所成角的正弦值为1220PFPD =．………………15分另解：如图，取AB 的中点F ，如图建立坐标系．因为2PD =，所以CP =()0,0,0C ，()0,1,0D，(P ，()1,1,0A ，()1,1,0B -，11,,222E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．………………9分(0,1,PD =u u u r ，()1,1,0CA =u u u r，11,,222CE ⎛=-⎝⎭u u u r 设平面ACE 的一个法量为(),,n x y z =，则0,022x y x y z +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩取1x =，得1y =-，z =即1,1,n ⎛=- ⎝⎭．………………13分 设直线PD 与平面AEC 所成角为θ，则sin cos ,n PD θ=<>==u u u r ．………………15分 20．解：（Ⅰ）由2132n n n a a a ++=-可得()2112n n n n a a a a +++-=-．………………2分 又11a =，23a =，所以212a a -=．所以{}1n n a a +-是首项为2，公比为2的等比数列．………………3分所以12nn n a a +-=．………………4分所以()()21211122221nnn n n a a a a a a -=+-++-=++++=-L L ．………………7分（Ⅱ）因为()()()()()()11112121211212121212121n n n n n n n n n n b ++++---===-------．………………9分 所以122231111111212121212121n n n n S b b b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 11121n +=--．………………12分又因为对任意的*n ∈N 都有1n n S m a ≥+，所以11112121n n m +≤----恒成立， 即1min 1112121n n m +⎛⎫≤-- ⎪--⎝⎭，即当1n =时，13m ≤-．………………15分 21．（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，由焦点坐标可得1c =，由3PQ =，可得223b a=， 解得2a =，b =22143x y += （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，不妨10y >，20y <，设1F MN ∆的内切圆的径R ， 则1F MN ∆周长48a ==，()111142F MN S MN F M F N R R ∆=++= 因此1F MN S ∆最大，R 就最大，()12121212AMNS F F y y y y =-=-, 由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=，得1y =，2y =， 则()121212AMNS AB y y y y ∆=-=-=t =，则1t ≥，则221212134313AMNt S m t t t∆===+++，令()13f t t t =+，令()13f t t t=+，当1t ≥时，()f t 在[)1,+∞上单调递增，有()()l 4f t f ≥=，1233AMN S ∆≤=，即当1t =，0m =时，1233AMN S ∆≤=，4AMN S R ∆=，∴max 34R =， 这时所求内切圆面积的最大值为9π16． 故直线l ：1x =，AMN ∆内切圆面积的最大值为9π16． 22．（本题15分） 已知函数()23e xf x x =．（Ⅰ）若0x <，求证：()19f x <； （Ⅱ）若0x >，恒有()()32ln 1f x k x x ≥+++，求实数k 的取值范围．解析：（Ⅰ）因为()23e x f x x =，所以()()32332e 3e 32e x x xf x x x x x '=+=+从而()f x 在2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭内单调递增，在2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递减，在()0,+∞内单调递增， 故()f x 的极大值为22439e f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 所以当0x <时，()2244139e949f x f ⎛⎫≤-=<= ⎪⨯⎝⎭． （Ⅱ）由()23e 32ln 1xx k x x ≥+++得，()23e 32ln 10x x x x k x x---≤>令()()23e 32ln 10x x x x g x x x---=>，则()()()23213e 2ln 10x x x x g x x x ++-'=>，令()()2313e 2ln 1xh x x x x =++-，则可知函数()h x 在()0,+∞上递增，且0x +→时，()h x →-∞，()314e 2ln110h =+->，从而存在()00,1x ∈，使得()00h x =，所以当()00,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增；所以()g x 在()0,+∞上的最小值为()03200000e 32ln 1x x x x g x x ---=由()()032000013e2ln 10x h x x x x =++-=，得032012ln e 13xx x x -=+，022000012ln e 13x x x t x -==+，则0002ln 3ln x x t +=，且()00012ln 13x t x -=+，两式相加可得()00002ln 13130t t x x ++--=，记()()002ln 1313t t t x x ϕ=++--，则()t ϕ在()0,+∞上单调递增，且()10ϕ=，所以1t =，从而()03200000000e 32ln 113310x x x x x x g x x x ----+-===，所以实数k 的取值范围为(],0-∞．。
(精选3份合集)2020届浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷
D．[Co(NH3)6]Cl3中Co的化合价是+3
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
A．质量数为32，中子数为27的钴原子，应该表示为： ，A错误；
B．H2O2为共价化合物，原子间形成共用电子对，没有电子的得失，B错误；
C．NH3存在氮氢共价键，NH4Cl存在铵根离子和氯离子间的离子键，氮氢原子间的共价键，C错误；
1.任何两个直接相连的原子在同一直线上。
2.任何满足炔烃结构的分子，其所有4个原子在同一直线上。
3.苯环对位上的2个碳原子及与之相连的2个氢原子共4个原子一定在一条直线上。
4.典型所有的原子一定共平面的有：CH2=CH2、CH CH、苯；可能共平面的有：CH2=CH—CH=CH2、 。
5.只要出现CH4、—CH3或—CX3等，即只要出现饱和碳原子，所有原子肯定不能都在同一平面上。
B．种出的钻石的结构、性能与金刚石无异，则种出的钻石和金刚石的晶体类型相同，均为原子晶体，故B正确；
C．甲烷是最简单的有机物，1个分子中只含有4个C-H键，并且符合烷烃通式为CnH2n+2，即甲烷是最简单的烷烃，故C正确；
D．甲烷分子式为CH4，具有可燃性，是可燃性气体，故D正确；
故选：A。
7．下列指定反应的离子方程式正确的是（）
C．273K、101kPa下，22.4L由NO和O2组成的混合气体中所含分子总数为NA
D．100g34%双氧水中含有H－O键的数目为2NA
【答案】B
【解析aOH溶液中发生反应：Cl2+2NaOH=NaCl+NaClO+H2O，这是一个歧化反应，每消耗0.1molCl2转移电子数为0.1mol，A项错误；
2020年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷(5月份) (含答案解析)
2020年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷（5月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A ={3,2,1,0}，B ={−1,0,1}，则A ∩B =( )A. {1,0}B. {2,1,0}C. {3,2,1}D. {2,1}2. 已知函数f(x)=axsinx +xcosx(a ∈R)为奇函数，则f(−π3)=( )A. −π6B. −√3π6C. π6D. √3π63. 已知x ，y 满足{x ≥1x +y ≤4ax +by +c ≤0且目标函数z =2x +y 的最大值为7，最小值为1，则a+b+ca = ( )A. 2B. 1C. −1D. −24. 如图，网格纸上每个小正方形的边长均为1，粗线画出的是某棱锥的三视图，则该棱锥的体积为( )A. 32B. 3C. 23D. 435. 函数f(x)=xx 2+1的图象大致是( )．A.B.C.D.6. 将函数f (x )=cos (4x −π3)的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y =g(x)的图像，则g(x)的最小正周期是( )A. π2 B. π C. 2π D. 4π7. 在△ABC 中，已知|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 2B. −2C. 2√3D. −2√38. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，P 是第一象限C 上的点，Q 为第二象限C 上的点，O 是坐标原点，若OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是( )A. (1,+∞)B. (2,+∞)C. [2,2√3)D. (√3,2)9. 函数f(x)=e x sin x 在区间[0,π2]上的值域为( )A. [0,e π2]B. (0,e π2) C. [0,e π2) D. (0,e π2] 10. 设数列{a n }的通项公式为a n =2n −7(n ∈N ∗)则|a 1|+|a 2|+⋯+|a 7|=( )A. 7B. 0C. 18D. 25二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）11. 已知复数z 满足(1+2i )z =3−4i ，i 为虚数单位，则z 的虚部是________，|z |=________． 12. 已知随机变量X 的分布列如表：若EX =2，则a =_____．13. 已知ab >0 , a +b =5，则2a+1+1b+1的最小值为__________．14. 若(2x +1x )n 的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为______．15. 已知椭圆C ：x 216+y 2b 2=1(4>b >0)的左右焦点为F 1，F 2，离心率为√32，若P 为椭圆上一点，且∠F 1PF 2=90°，则△F 1PF 2面积为______16. 2019年国际篮联篮球世界杯于8月31日到9月15日在8个城市的场馆举行，甲、乙、丙、丁四位同事拟购票去看比赛，该比赛的某购票点为他们提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．若甲没有银联卡，乙只带了现金，丙、丁用哪种方式结账都可以，甲、乙、丙、丁购票后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有________种．17.在四面体P−ABC中，若PA=3，PB=4，PC=5，底面△ABC是边长为2√3的正三角形，O为△ABC的中心，则∠PAO的余弦值为______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.在△ABC中，C−A=π2，sinB=13．(1)求sin A的值；(2)设AC=√6，求△ABC的面积．19.如图，平面ABCD⊥平面CDEF，且四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，∠BAD=∠CDA=90∘,AB=AD=DE=12CD，M是线段DE上的点，满足DM=2ME．(1)证明：BE//平面MAC；(2)求直线BF与平面MAC所成角的正弦值．20.已知数列{a n}为等差数列，a2=5，a6=13，{b n}为等比数列，b2=a4，b n+1=3b n．(1)求通项公式a n，b n；(2)求{a n⋅b n}前n项和S n．21.在平面直角坐标系xOy中，P(x0,y0)(y0≠0)是椭圆C：x22λ2+y2λ2=1(λ>0)上的点，过点P的直线l的方程为x0x2λ2+y0yλ2=1．(Ⅰ)求椭圆C的离心率；(Ⅱ)当λ=1时，设直线l与x轴、y轴分别相交于A，B两点，求△OAB面积的最小值；(Ⅲ)设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，点Q与点F1关于直线l对称，求证：点Q，P，F2三点共线．22.已知函数f(x)=(ax+1)lnx−x2+1．(1)令g(x)=f′(x)，判断g(x)的单调性；(2)当x>1时，f(x)<0，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查了集合的交集运算，根据集合A，B，得到其交集，属于基础题．【解答】解：由题意可得：A∩B={0,1}．故选A．2.答案：A解析：【分析】本题考查了正弦、余弦函数，函数的奇偶性，属于基础题．利用函数的奇偶性可求出a的值，进而可得答案．【解答】解：因为f(x)=axsinx+xcosx(a∈R)为奇函数，所以，即，所以a=0，所以，所以．故选A．3.答案：D解析：【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大最小值时所在的顶点即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值的方法，属于基础题．【解答】解：由题意得：目标函数z=2x+y在点B取得最大值为7，在点A处取得最小值为1，∴A(1,−1)，B(3,1)，∴直线AB的方程是：x−y−2=0，∴则a+b+ca=−2．故选D．4.答案：A解析：【分析】本题考查了空间几何体的三视图以及三棱锥的体积公式，属于基础题.如图所示：三棱锥N−B1MB即为所求三棱锥，根据三棱锥的体积公式即可求得其值．【解答】解：如图所示：正方体ABCD−A1B1C1D1的边长为3，M，N分别为AB，DD1的三等分点，且BM=D1N=1.三棱锥N−B1MB即为所求三棱锥，V=13×(12×1×3)×3=32，故选A．5.答案：A解析：【分析】本题考查由解析式选择函数的图象，解题关键是研究函数的性质，如单调性、奇偶性等，研究图象的特殊点，函数的值正负及变化趋势．【解答】解：由f(x)=xx2+1，当x >0时，f(x)>0，x <0时，f(x)<0，只有A 符合． 故选A ．6.答案：B解析：【分析】本题考查三角函数图像的伸缩变换． 【解答】解：由题意得g (x )=cos (12×4x −π3)=cos (2x −π3)，∴T =2π2=π．故选B ．7.答案：B解析：解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(π−π3)=2×2×(−12)=−2 故选B直接利用向量的数量积的定义即可求解本题主要考查了向量的数量积的定义的简单应用，属于基础试题8.答案：B解析： 【分析】本题考查向量加法的平行四边形法则，以及双曲线的性质． 【解答】解：由已知F (c,0),P (x 1,y 1)，因为OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由向量加法的平行四边形法则，QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0F ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以Q (−x 1,y 1) 所以(2x 1,0)=(c,0)，2x 1=c,x 1=c2，因为P 是第一象限C 上的点，所以x 1>a, 即c2>a,所以e =ca >2． 故选B ．9.答案：A解析：【分析】利用导数判断函数f(x)在[0,π2]上是增函数，由此能求出函数f(x)=e x sinx在区间[0,π2]上的值域．【解答】解：∵f(x)=e x sinx，∴f′(x)=e x(sinx+cosx)，∵x∈[0,π2]，∴f′(x)>0，∴f(x)在[0,π2]上是增函数，∴f(x)min=f(0)=0，f(x)max=f(π2)=eπ2．∴函数f(x)=e x sinx在区间[0,π2]上的值域为[0,eπ2].故选A．10.答案：D解析：解：∵数列{a n}的通项公式为a n=2n−7(n∈N∗)，∴由a n=2n−7≥0，得n≥72，∴|a1|+|a2|+⋯+|a7|=−a1−a2−a3+a4+a5+a6+a7=−(2×1−7)−(2×2−7)−(2×3−7)+2×4−7+2×5−7+2×6−7+2×7−7=25．故选：D．|a1|+|a2|+⋯+|a7|=−a1−a2−a3+a4+a5+a6+a7，由此能求出结果．本题考查数列的前7项的绝对值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数列的通项公式的合理运用．11.答案：−2；√5解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念及复数模的求法，是基础题．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z的虚部，再由复数模的公式求|z|．【解答】解：由(1+2i)z=3−4i，得z=3−4i1+2i =(3−4i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−1−2i，∴z的虚部是−2，|z|=√5．故答案为−2；√5．12.答案：0解析：【分析】本题主要考查了离散型随机变量的分布列、数学期望等知识，属于基础题，先根据概率和=1求出b，然后根据EX=2，可求出a．【解答】解：根据题意可知13+b+16+14=1，解得b=14，所以EX=13a+14×2+16×3+14×4=2，解得a=0，故答案为0．13.答案：3+2√27解析：【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于一般题．由已知得a+1+b+1=7，然后利用基本不等式求解即可．【解答】解：因为ab>0 , a+b=5，所以a+1+b+1=7，a>0，b>0所以2a+1+1b+1=17(a+1+b+1)(2a+1+1b+1)=1(3+2(b+1)+a+1)≥17(3+2√2(b+1)a+1×a+1b+1)=3+2√27，当且仅当a+1=√2(b+1)时取等号，所以2a+1+1b+1的最小值为3+2√27．故答案为3+2√27．14.答案：1120 解析：【分析】本题考查二项式系数的性质，熟练掌握二项展开式的通项是关键，是基础题．由已知求得n值，写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，则答案可求．【解答】解：由题意可知，2n=256，解得n=8．∴(2x+1x )n=(2x+1x)8，其展开式的通项T r+1=C8r⋅(2x)8−r⋅(1x)r=28−r⋅C8r⋅x8−2r，令8−2r=0，得r=4．∴该展开式中常数项的值为T5=24⋅C84=1120．故答案为1120．15.答案：4解析：【分析】本题考查了椭圆的定义、勾股定理、三角形的面积计算公式，属于中档题．先根据离心率求出b，c，设|PF1|=m，|PF2|=n.在Rt△PF1F2中，由勾股定理可得m2+n2=(2c)2，利用椭圆的定义可得m+n=2a，联立解得mn即可．【解答】解：椭圆C：x216+y2b2=1(4>b>0)的左右焦点为F1，F2，离心率为√32，∴e2=c2a2=1−b2a2=1−b216=(√32)2，∴b2=4，∴c=2√3，∴|F1F2|=2c=4√3，设|PF1|=m，|PF2|=n．在Rt△PF1F2中，由勾股定理可得m2+n2=(2c)2=48，又|PF1|+|PF2|=2a，∴m+n=8．则mn=(m+n)2−(m2+n2)2=8．∴△F1PF2的面积S=12mn=4．故答案为：4．16.答案：26解析：【分析】本题主要考查分类计数原理，考查排列与组合的应用，属于中档题．根据题意结账方式可分为三3类：第一类，当甲、丙、丁都不选微信时，则甲有2种选择，当甲选择现金，其余2人有A22=2(种)结账方式，当甲选择支付宝时，丙、丁可以银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有1+C21C21=5(种)结账方式，即2+5=7(种)结账方式；第二类，当甲、丙、丁都不选支付宝时，则甲有2种选择，当甲选择现时，其余2人有A22=2(种)结账方式，当甲选择微信时，丙、丁可以是银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有1+C21C21=5(种)结账方式，即2+5=7(种)结账方式；第三类，当甲、丙、丁都不选银联卡时，若有人使用现金，则有C31A22′=6(种)结账方式;若没有人使用现金，则有C32A22=6(种)结账方式，故有6+6=12(种)结账方式，再根据分类计数原理相加即可得结果．【解答】解：甲没有银联卡，乙只带了现金，丙、丁用哪种方式结账都可以，可分为三3类，第一类，当甲、丙、丁都不选微信时，则甲有2种选择： ①当甲选择现金，其余2人有A22=2(种)结账方式; ②当甲选择支付宝时，丙、丁可以银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有1+C21C21=5(种)结账方式．综上，有2+5=7(种)结账方式，第二类，当甲、丙、丁都不选支付宝时，则甲有2种选择： ①当甲选择现时，其余2人有A22=2(种)结账方式; ②当甲选择微信时，丙、丁可以是银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有1+C21C21=5(种)结账方式．综上，有2+5=7(种)结账方式．第三类，当甲、丙、丁都不选银联卡时，若有人使用现金，则有C31A22′=6(种)结账方式;若没有人使用现金，则有C32A22=6(种)结账方式，故有6+6=12(种)结账方式，根据分类计数原理可得共有7+7+12=26(种)结账方式．17.答案：136解析：【分析】本题考查了空间线线角的计算，重点考查了余弦定理的应用，属于中档题．【解答】解：如图：在△ABC中，连接AO并延长交BC于D，∵O为△ABC的中心，∴AD为BC边上的中线，又AB=BC=AC=2√3，∴AD=3．在△PBC中，∵PB=4，PC=5，BC=2√3，由余弦定理，在△PDC中，由余弦定理=52+(√3)2−2×5×√3×2120√3=352，在△PAD中，由余弦定理，故答案为136．18.答案：解：(1)因为C−A=π2且C+A=π−B，所以A=π4−B2，所以，即，又sinA>0，所以sinA=√33；(2)由题意可知A为锐角，故，又，∴A>B，则B为锐角，，由正弦定理得ACsinB =BCsinA，所以BC=AC·sinAsinB=3√2，又因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√33×2√23+√63×13=√63，所以．解析： 【分析】本题考查了正弦定理、三角形面积公式和两角和与差的三角函数公式，是中档题．(1)要求sin A 的值，应该用题目中的已知条件，将A 表示出来，可以得到A =π4−B2，进一步可以求出sin A ；(2)已知AC 的长度，可以根据正弦定理求出BC 的长度，再根据三角形面积公式，即可求得答案．19.答案：解：(1)连接BD ，交AC 于N ，连接MN ，由于AB =12CD ，所以DNNB =2，所以MN//BE ，由于MN ⊂平面MAC ，BE ⊄平面MAC ， 所以BE//平面MAC.(2)因为平面ABCD ⊥平面CDEF ，DE ⊥CD ，所以DE ⊥平面ABCD ，可知AD,CD,DE 两两垂直，分别以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系D −xyz ． 设AB =1则C (0,2,0),M (0,0,23),F (0,2,1),B (1,1,0),A (1,0,0)，MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−23),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,0).设平面MAC 的法向量n ⃗ =(x,y,z )，则{n ⃗ ·MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x −23z =0n ⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +2y =0，令z =3，得平面MAC 的一个法向量n⃗ =(2,1,3)，而BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,1)，设所求角为θ，则sinθ=|cos⟨n ⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩|=√4221， 故直线BF 与平面MAC 所成的角的正弦值为√4221．解析：本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题． (1)连结BD ，交AC 于N ，连结MN ，推导出MN//BE ，由此能证明BE//平面MAC ；(2)推导出DE ⊥平面ABCD ，从而AD ，CD ，DE 两两垂直，以D 为原点建立空间直角坐标系D −xyz ，利用向量法能求出直线BF 与平面MAC 所成角的正弦值．20.答案：解：(1)∵数列{a n }为等差数列，a 2=5，a 6=13，设公差为d ，∴{a 1+d =5a 1+5d =13， 解得a 1=3，d =2，∴a n =3+(n −1)×2=2n +1． ∵{b n }为等比数列，b 2=a 4，b n+1=3b n ． ∴b 2=2×4+1=9，q =b n+1b n=3，∴b 1=3，∴b n =3n ． (2)a n ⋅b n =(2n +1)·3n ，S n =3·3+5·32+7·33+⋯+3n ·(2n +1)①3S n =3⋅32+5⋅33+7⋅34+⋯+(2n +1)⋅3n+1，② ①−②，得：−2S n =9+2(32+33+⋯+3n )−(2n +1)·3n+1=9+2×9×(1−3n−1)1−3−(2n +1)·3n+1=3n+1−(2n +1)·3n+1， ∴S n =n ·3n+1．解析：(1)由已知条件利用等差数列的通项公式，求出a 1=3，d =2，从而a n =2n +1.由{b n }为等比数列，结合已知条件求得b n =3n ．(2)由a n ⋅b n =(2n +1)⋅3n ，利用错位相减法能求出{a n ⋅b n }前n 项和S n ．本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n 项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．21.答案：(本小题满分14分)解：(Ⅰ)依题a =√2λ，c =√2λ2−λ2=λ， 所以椭圆C 离心率为e =√2λ=√22.…(3分) (Ⅱ)依题意x 0≠0，令y =0，由x 0x 2+y 0y =1，得x =2x 0，则A(2x 0,0)．令x =0，由x 0x 2+y 0y =1，得y =1y 0，则B(0,1y 0)．则△OAB 的面积S △OAB =12|OA||OB|=12|2x 0y 0|=1|x0y 0|．因为P(x 0,y 0)在椭圆C ：x 22+y 2=1上，所以x 022+y 02=1． 所以1=x 022+y 02≥00√2，即|x 0y 0|≤√22，则1|x 0y 0|≥√2．所以S △OAB =12|OA||OB|=1|x0y 0|≥√2．当且仅当x 022=y 02，即x 0=±1,y 0=±√22时，△OAB 面积的最小值为√2. …(8分)(Ⅲ)由y 02λ2=1−x 022λ2>0，解得−√2λ<x 0<√2λ． ①当x 0=0时，P(0,λ)，Q(−λ,2λ)，此时k F 2P =−1，k F 2Q =−1． 因为k F 2Q =k F 2P ，所以三点Q ，P ，F 2共线． 当P(0,−λ)时，也满足．②当x 0≠0时，设Q(m,n)，m ≠−λ，F 1Q 的中点为M ，则M(m−λ2,n 2)，代入直线l 的方程，得：x 0m +2y 0n −x 0λ−4λ2=0．设直线F 1Q 的斜率为k ，则k =nm+λ=2y 0x 0，所以2y 0m −x 0n +2y 0λ=0.由{x 0m +2y 0n −x 0λ−4λ2=02y 0m −x 0n +2y 0λ=0，解得m =2x 02λ+4x 0λ24y 02+x 02−λ，n =4x 0y 0λ+8y 0λ24y 02+x 02．所以Q(2x 02λ+4x 0λ24y 02+x 02−λ,4x 0y 0λ+8y 0λ24y 02+x 02)．当点P 的横坐标与点F 2的横坐标相等时，把x 0=λ，y 02=λ22代入m =2x 02λ+4x 0λ24y 02+x 02−λ，得m =λ，则P ，Q ，F 2三点共线．当点P 的横坐标与点F 2的横坐标不相等时，直线F 2P 的斜率为k F 2P =yx 0−λ．由−√2λ≤x 0≤√2λ，x 0≠−2λ． 所以直线F 2Q 的斜率为k F 2Q =4x 0y 0λ+8y 0λ24y 02+x 022x 02λ+4x 0λ24y 02+x 02−2λ=4x 0y 0λ+8y 0λ22x 02λ+4x 0λ2−8y 02λ−2x 02λ=4x 0y 0λ+8y 0λ24x 0λ2−8y 02λ=x 0y 0+2y 0λx 0λ−2y 02=y 0(x 0+2λ)x 02+λx 0−2λ2=y 0(x 0+2λ)(x 0−λ)(x 0+2λ)=y 0x 0−λ．因为k F 2Q =k F 2P ，所以Q ，P ，F 2三点共线． 综上所述Q ，P ，F 2三点共线．…(14分)解析：(Ⅰ)利用椭圆方程，求出a ，c ，即可求椭圆C 的离心率； (Ⅱ)由x 0x 2+y 0y =1，求出A 的坐标，然后求解B 的坐标，表示三角形的面积，通过P(x 0,y 0)在椭圆C 上，利用基本不等式求解三角形OAB 面积的最小值． (Ⅲ)由x 22λ2+y 2λ2=1，求出−√2λ<x 0<√2λ.①当x 0=0时，求出P(0,λ)，Q(−λ,2λ)，证明三点Q ，P ，F 2共线．②当x 0≠0时，设Q(m,n)，m ≠−λ，F 1Q 的中点为M ，则M(m−λ2,n 2)，代入直线l 的方程，求出Q 坐标，通过点P 的横坐标与点F 2的横坐标相等时，说明P ，Q ，F 2三点共线．点P 的横坐标与点F2的横坐标不相等时，证明k F2Q =k F2P，说明Q，P，F2三点共线．本题考查直线与椭圆的综合应用，椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及分类讨论思想的应用，考查计算能力．22.答案：解：(1)由f(x)=(ax+1)lnx−x2+1，则g(x)=f′(x)=alnx+1x−2x+a，所以g′(x)=−2x2+ax−1x(x>0)．①当a≤0时，g′(x)<0，g(x)为(0,+∞)上的减函数；②当a>0时，若a2−8≤0，即0<a≤2√2时，g′(x)≤0，g(x)为(0,+∞)上的减函数；若a2−8>0，即a>2√2时，由g′(x)=0有两根，得x1=a−√a2−84>0，x2=a+√a2−84>0，∴在x∈(0,x1)上，g′(x)<0，g(x)为减函数；在x∈(x1,x2)上g′(x)>0，g(x)为增函数；在x∈(x2,+∞)上，g′(x)<0，g(x)为减函数．综上：当a≤2√2时，g(x)为(0,+∞)上的减函数；当a>2√2时，g(x)在(0,x1)和(x2,+∞)为减函数，在(x1,x2)上为增函数；(2)由(1)知，对a讨论如下，①当a≤0时，g′(x)<0，则f′(x)为(1,+∞)上的减函数，则f′(x)<f′(1)=−1+a<0，故f(x)为(1,+∞)上的减函数，由于f(1)=0，所以f(x)<f(1)=0，即a≤0时满足题意．②当a>0时，由于f′(1)=−1+a，对其讨论如下：(A)若f′(1)=−1+a≤0，即a≤1，则由(1)知，f′(x)为(1,+∞)上的减函数，则f′(x)<f′(1)=−1+a<0，所以f(x)为(1,+∞)的减函数，由于f(1)=0，所以f(x)<f(1)=0，即0<a≤1时满足题意．(B)若f′(1)=−1+a>0，即a>1，则由(1)知，当1<a≤2√2时，f′(x)为(1,+∞)上的减函数，<0，又f′(e a)=−2e a+a+a2+1e a所以存在x0∈(1,e a)，使得在x∈(1,x0)时，f′(x)>0，于是f(x)为(1,x0)上的增函数，因为f(1)=(a+1)ln1−12+1=0，所以f(x)>f(1)=0，即1<a≤2√2时不满足题意．当a>2√2时，由于x1<1，所以对x2与1的大小关系讨论如下，1)如果x2≤1，即2√2<a≤3时，由(1)知，f′(x)为(1,+∞)上的减函数，<0，又f′(e a)=−2e a+a+a2+1e则存在x0∈(1,e a)，使得在x∈(1,x0)时，f′(x)>0，于是f(x)为(1,x0)上的增函数，又f(1)=0，则f(x)>f(1)=0，即2√2<a≤3时不满足题意．2)如果x2>1，即a>3，那么由(1)知，f′(x)为(1,x2)上的增函数，则当x∈(1,x2)时，f′(x)>0，于是f(x)为(1,x2)上的增函数，又f(1)=0，则f(x)>f(1)=0，即a>3时不满足题意．综上所述，a的取值范围为(−∞,1]．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查导数中的函数不等式问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，属于难题．(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(2)通过讨论a的范围，结合函数的单调性确定a的范围即可．。
【附加15套高考模拟】【全国百强校】浙江省宁波市镇海中学2020届高三数学模拟试卷含答案
【全国百强校】浙江省宁波市镇海中学2020届高三数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.则“”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．设,a b 均为不等于1的正实数，则“1a b >>”是“log 2log 2b a >”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．体积为43的三棱锥P ABC -的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，2PA =，2ABC π∠=，则球O 的表面积的最小值为（ ） A ．8π B ．9π C ．12π D ．16π4．在四面体ABCD 中，已知AB ＝AC ＝CD ＝2，BC 22=，且CD ⊥平面ABC ，则该四面体外接球的体积（ ）A ．16πB ．12πC ．43πD ．6π5．已知集合{}2lgsin 9A x y x x==+-，则()cos22sin f x x x x A =+∈，的值域为（ ）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦ D ．2,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 6．已知函数f （x ）=x 2-ln|x|，则函数y=f （x ）的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．若直线y=a 分别与直线y=2x-3，曲线y=e x -x （x≥0）交于点A ，B ，则|AB|的最小值为（ ）A ．63ln3-B ．33ln32-C ．eD ．0.5e8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，点()00,P x y 是直线40bx ay a -+=上任意一点，若圆()()22001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（ ）． A ．(]1,2B ．(]1,4 C ．[)2,+∞ D ．[)4,+∞9．下列命题中，错误命题是 A ．“若11a b<，则0a b >>”的逆命题为真 B ．线性回归直线y bx a =+$$$必过样本点的中心(,)x yC ．在平面直角坐标系中到点()1,0和()0,1的距离的和为2的点的轨迹为椭圆D ．在锐角ABC V 中，有22sin cos A B >10．抛物线24y x =的焦点为F ，点(),P x y 为该抛物线上的动点，点A 是抛物线的准线与坐标轴的交点，则PF PA的最小值是（ ）A ．12B ．22C ．3D ．2311．下列选项中为函数1()cos(2)sin 264f x x x π=--的一个对称中心为（ ） A ．7(,0)24π B ．(,0)3π C ．1(,)34π- D ．(,0)12π12．已知抛物线（）与椭圆（）有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且轴，则椭圆的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年浙江省宁波市镇海中学高考数学适应性试卷(6月份)
2020年浙江省宁波市镇海中学高考数学适应性试卷（6月份）一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合M={1,2，3}，N={2,3，4}，则M∪N=()A. {1,2，3，4}B. {3,4}C. {1,4}D. {2,3}2.已知复数z满足(1+2z)i−1=0，其中i为虚数单位，则复数z的虚部是()A. 12B. −12C. 12i D. −12i3.在△ABC中“sinA>sinB”是“cosA<cosB”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.若a>0，b>0，且1a +1b=√ab，则a2+b2的最小值为()A. 2B. 2√2C. 4D. 4√25.设m，n是两条异面直线，则下列命题中正确的是()A. 过m且与n垂直的平面有且只有一个B. 过m且与n平行的平面有且只有一个C. 过空间一点P与m，n都平行的平面有且只有一个D. 过空间一点P与m，n都垂直的平面有且只有一个6.已知数列{a n}满足a1=1，a2=4，且2a n=n−1n a n−1+n+1na n+1(n≥2,n∈N)，则a nn的最大值为()A. 4924B. 1 C. 2 D. 537.一条直线把平面分成两部分，两条直线把平面最多分成4部分，若n条直线把平面分成最多f(n)部分，则n+1直线把平面分成最多f(n+1)为()A. f(n)+n−2B. f(n)+n−1C. f(n)+nD. f(n)+n+18.边长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1的棱上有一点P，满足|PB|+|PD1|=√5，则这样的点共有()A. 6个B. 9个C. 12个D. 18个9.已知椭圆的两焦点F1，F2和双曲线的两焦点重合，点P为椭圆和双曲线的一个交点，且cos∠F1PF2=14，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则e12+e22的最小值为()A. 1+√154B. √152C. 14D. √15410.若实数a，b满足2lna+ln(2b)≥a22+4b−2，则()A. a+b=√2+14B. a−2b=√2−14C. a2+b>3D. a2−4b<1二、填空题（本大题共3小题，共12.0分）11.扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，则扇形的面积为______ ．12.已知棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1，球O与正方体的各条棱相切，P为球O上一点，Q是△AB1C的外接圆上的一点，则线段PQ长的取值范围是______．13.设O为△ABC的外心，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，且OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗3+OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗2+OC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则cos B的最小值为______．三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14.(1−x+x2)(x+1x)8的展开式的各项系数和为(1)；常数项为(2)．15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(1)，表面积为(2)．16.已知点A(4,4)在抛物线y2=2px(p>0)上，该抛物线的焦点为F，过点A作直线l：x=−p2的垂线，垂足为B，则p=(1)，∠BAF的平分线所在的直线方程为(2)17.某学校周三要排语文、数学、英语、物理、化学、体育共六节课，有(1)种不同的排法，若体育课既不能与语文相邻，也不能与数学相邻，有(2)种不同的排法．(用具体数字作答)四、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知箱子中装有标号分别为1，2，3，4，5的五个小球．现从该箱子中取球，每次取一个球(无放回，且每球取到的机会均等)．(Ⅰ)若连续取两次，求取出的两球上标号都是奇数或都是偶数的概率；(Ⅱ)若取出的球的标号为奇数即停止取球，否则继续取，求取出次数X的分布列和数学期望E(X)．19. 如图，AB =BE =BC =2AD =2，且AB ⊥BE ，∠DAB =60°，AD//BC ，(Ⅰ)若BE ⊥AD ，求证：面ADE ⊥面BDE ；(Ⅱ)若CE =√6，求直线AD 与平面DCE 所成角的正弦值．20. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n−1=n−1na n (n ≥2,n ∈N ∗)．(Ⅰ)求a n ；(Ⅱ)若数列{b n }满足b 1=13，b n+1=b n +b n 2a n2(n ∈N ∗)，求证：b n <b n+1<1．21.已知椭圆x2a2+y2b2=1的离心率为√63，P(1,1)是椭圆上一点，直线y=13x+m与椭圆交于A，B两点(B在A的右侧且不同于P点)(Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)若直线PA的斜率为1，求直线PB的斜率；(Ⅲ)求|PA||PB|的取值范围．22.已知函数f(x)=lna2x−2√ax+alna；(Ⅰ)求证：f(x)≤a2−3；(Ⅱ)是否存在实数k，使得只有唯一的正整数a，对于x∈(0,+∞)恒有f(x)≤ea+k，若存在，请求出k的范围以及正整数a的值；若不存在请说明理由．(下表的近似值供参考)答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵M={1,2，3}，N={2,3，4}，∴M∪N={1,2，3，4}．故选：A．进行并集的运算即可．本题考查了列举法的定义，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：由(1+2z)i−1=0，得1+2z=1i =−i−i2=−i，则2z=−1−i，∴z=−12−12i．∴复数z的虚部是−12．故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了充要条件的应用、正弦定理的应用、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．在△ABC中，“sinA>sinB”，由正弦定理可得a>b⇔A>B⇔cosA<cosB．【解答】解：在△ABC中，sinA>sinB，由正弦定理可得a>b⇔A>B，又A，B∈(0,π)，∴cosA<cosB．∴在△ABC中，“sinA>sinB”是“cosA<cosB”的充要条件．故选C．4.【答案】C【解析】解：∵a>0，b>0，且1a +1b=√ab，∴√ab≥2√1a ⋅1b，可得ab≥2.当且仅当a=b=√2时取等号．∴a2+b2≥2ab≥4，当且仅当a=b=√2时取等号．则a2+b2的最小值为4，故选：C．利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了基本不等式的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：对于A，设过m的平面β，若n⊥β，则n⊥m，∴若m与n不垂直，则不存在过m的平面β与n垂直，故A不正确；对于B，过m上一点P作n的平行直线l，则m与l确定一平面α，由l⊂α，n⊄α，故n//α，故B正确；对于C，当点P与m，n中一条确定的平面与另一条直线平行时，满足条件的平面不存在，故C错误；对于D，过空间一点P与m，n都垂直的平面不存在，故D错误．故选：B．对于A，若m与n不垂直，则不存在过m的平面β与n垂直；对于B，过m上一点P作n的平行直线l，则m与l确定一平面α，由l⊂α，n⊄α，得到n//α；对于C，当点P与m，n中一条确定的平面与另一条直线平行时，满足条件的平面不存在；对于D，过空间一点P与m，n都垂直的平面不存在．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．6.【答案】C【解析】解：∵数列{a n }满足a 1=1，a 2=4，且2a n =n−1na n−1+n+1na n+1(n ≥2,n ∈N)，∴2na n =(n −1)a n−1+(n +1)a n+1， ∴数列{na n }是等差数列，首项为1，公差为d =2×4−1=7． ∴na n =7n −6，∴a n n=7n−6n 2，令f(x)=7x−6x 2，则f′(x)=−7x+12x 3=0，解得x =127，∴(an n)max =max{a11,a22}=2．故选：C ．推导出2na n =(n −1)a n−1+(n +1)a n+1，从而数列{na n }是首项为1，公差为7的等差数列，进而a n n=7n−6n 2，由此能求出a nn 的最大值．本题考查数列的第n 项与项数比值的最大值的求法，考查构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7.【答案】D【解析】解：要使这n 条直线将平面所分割成的部分最多， 则这n 条直线中任何两条不平行，任何三条不共点， 因为第n +1条直线被原n 条直线分成n +1条线段或射线， 这n +1条线段或射线将它们所经过的平面区域都一分为二， 故f(n +1)比f(n)多了n +1部分． 故选：D ．通过已知探究结果，写出一般规律，即可得解．本题考查了直线的有关知识，以及探索规律．体现了由“特殊到一般再到特殊”的思维过程，有利于培养同学们的探究意识．8.【答案】C【解析】解：根据几何对称性，A1D1，D1C1，D1D，AB，BB1，BC等价，A1B1，B1C1，AD，DC，AA1，CC1等价，所以分别考虑这两种情况，①当P点在AB上时，设PB=x，(√2)2+(1−x)2=(√5−x)2，解得：x=√5+14所以有6个P点，②当P点在AD上时，设AP=x，√x2+1+√(1−x)2+1=√5，解得：x=12所以有6个P点，所以共有12个P点，故选：C ．由正方体的对称性可知，把当P 点在AB 上时满足条件的点的个数与当P 点在AD 上时满足条件的点的个数之和求出来，再乘以6即得答案．本题考查了正方形的对称性，方程的求解，考查学生直观想象能力与运算能力，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：不妨设椭圆方程为x 2a +y 2b =1(a >b >0)，双曲线方程为x 2m −y 2n =1(m >0,n >0)．再设|PF 1|=s ，|PF 2|=t ，P 为第一象限的交点， 由椭圆和双曲线的定义可得s +t =2a ，s −t =2m ， 解得s =a +m ，t =a −m ， 在三角形F 1PF 2中，cos∠F 1PF 2=14，可得4c 2=s 2+t 2−2st ×14=a 2+m 2+2am +a 2+m 2−2am −12(a 2−m 2)， 即有3a 2+5m 2=8c 2， 可得3a 2c 2+5m 2c 2=8，即为3e 12+5e 22=8，则e 12+e 22=18(3e 12+5e 22)(e 12+e 22)=18(8+3e 22e 12+5e 12e 22)≥18(8+2√3e 22e 12⋅5e 12e 22)=18(8+2√15)=1+√154， 当且仅当3e 22e 12=5e 12e 22，即√3e 22=√5e 12，取得最小值1+√154． 故选：A ．设出椭圆方程与双曲线方程，再设|PF 1|=s ，|PF 2|=t ，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得s ，t ，再由余弦定理，可得a ，m 与c 的关系，结合离心率公式，以及基本不等式，可得所求最小值．本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，主要是离心率，考查解三角形的余弦定理，以及基本不等式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：根据题意，若实数a ，b 满足2lna +ln(2b)≥a 22+4b −2，则a >0且b >0，又由a 22+4b −2≥2×√a 22×4b −2=2√2a 2b −2，当且仅当a 2=8b 时等号成立，则有2lna +ln(2b)≥2√2a 2b −2，变形可得ln(2a 2b)−2√2a 2b +2≥0，设g(x)=lnx−2√x+2，则其导数g′(x)=1x√x =1−√xx，当0<x≤1时，g′(x)≥0，则g(x)在区间(0,1]上为增函数，当x≥1时，g′(x)≤0，则g(x)在区间[1,+∞)上为减函数，则有g(x)≤g(1)=0，若ln(2a2b)−2√2a2b+2≥0，即g(2a2b)≥0，必有2a2b=1，又a2=8b，所以a=√2，b=14，据此分析选项：对于A，a+b=√2+14，A正确；对于B，a−2b=√2−12，B错误；对于C，a2+b=94，C错误；对于D，a2−4b=1，D错误；故选：A．由基本不等式的性质，可得2lna+ln(2b)≥2√2a2b−2，变形得ln(2a2b)−2√2a2b+2≥0，然后设g(x)= lnx−2√x+2，判断其单调性，再得到g(x)≤g(1)=0，结合题意得2a2b=1，据此计算a、b的值，根据选项即可得答案．本题考查利用导数求函数的单调性、最值，涉及基本不等式的性质，属于基础题．11.【答案】2cm2【解析】解：∵扇形圆心角1弧度，所以扇形周长和面积为整个圆的12π．弧长l=2πr⋅12π=r故扇形周长C=l+2r=3r=6cm∴r=2cm扇形面积S=π⋅r2⋅12π=2cm2故答案为：2cm2由已知中，扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，我们可设计算出弧长与半径的关系，进而求出弧长和半径，代入扇形面积公式，即可得到答案．本题考查的知识点是扇形面积公式，弧长公式，其中根据已知条件，求出扇形的弧长及半径，是解答本题的关键．本题易忽略结果是带单位的，而错添2．12.【答案】[√3−√22,√3+√22]【解析】解：棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1，球O与正方体的各条棱相切，P为球O上一点，Q是△AB1C的外接圆上的一点，如图：由球O与棱长为1的正方体的各条棱相切可得切点均为棱的中点，EF=√2，球O的半径R=|OP|=√22，设M是△AB1C的外接圆的圆心，△AB1C是边长为√2的正三角形，∴外接圆半径r=|MB1|=|MQ|=√2√3，正方体ABCD−A1B1C1D1中，BD1⊥平面AB1C，即OM⊥MB1，∵OB=√32，MB=√33，∴OM=√36，∴|OQ|=|OB1|=√|OM|2+|MB1|2=√336+23=√32，∴|PQ|max=|OQ|+|OP|=√3+√22，|OP|min=|OQ|−|OP|=√3−√22，∴线段PQ长的取值范围是[√3−√22,√3+√22].故答案为：[√3−√22,√3+√22].由球O与棱长为1的正方体的各条棱相切可得切点均为棱的中点，求出EF=√2，球O的半径R=|OP|=√22，设M是△AB1C的外接圆的圆心，△AB1C是边长为√2的正三角形，外接圆半径r=|MB1|=|MQ|=√2√3，推导出|PQ|max=|OQ|+|OP|，|OP|min=|OQ|−|OP|，由此能求出线段PQ长的取值范围．本题考查线段的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】√34【解析】解：OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 3+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0即2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +6OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，因为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，同理CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 故上式可化为−(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )−32(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−3(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA⃗⃗⃗⃗⃗ )=0， 整理得(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)+32(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)+3(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−CA⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=0， 即(b 2−c 2)+32(c 2−a 2)+3(a 2−b 2)=0， 2(b 2−c 2)+3(c 2−a 2)+6(a 2−b 2)=0， 整理得−4b 2+c 2+3a 2=0，即b 2=14c 2+34a 2， 则cosB =a 2+c 2−b 22ac=a 2+c 2−14c 2−34a 28ac =34c 2+14a 22ac≥2√34×14ac 2ac=√34， 故cos B 的最小值为：√34． 故答案为：√34．作图，利用利用平面向量的运算性质整理可得到b 2=14c 2+34a 2，结合余弦定理，利用基本不等式运算即可 本题考查平面向量数量积的运算，考查数形结合思想，属于中档题．14.【答案】256126【解析】解：令x =1得：展开式各项系数的和为(1−1+1)(1+1)8=256． 因为原式=(x +1x )8−x(x +1x )8+x 2(x +1x )8，因为(x +1x )8的展开式通项为T k+1=C 8k x 8−k ⋅(1x )k =C 8k x 8−2k ． 令k =4，5，可得常数项为C 84+C 85=126．故答案为：256，126．令x=1，即可求出展开式中各项的系数和，将原式化成(x+1x )8−x(x+1x)8+x2(x+1x)8，然后研究(x+1x)8的展开式的通项，求出原式展开式的常数项．本题考查二项式赋值法求展开式系数之和，以及通项法求常数项问题．属于基础题．15.【答案】64316+16√2【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为倒放的四棱锥体A−BCDE，如图所示：所以：AB=BC=4，CD=4，故：V=13×4×4×4=643．S=4×4+2×12×4×4+2×12×4×4√2=16+16√2．故答案为：643；16+16√2首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的表面积和体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的表面积公式和体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．16.【答案】2x−2y+4=0【解析】解：因为A(4,4)在抛物线y2=2px上，所以42=2p⋅4，所以p=2，所以抛物线的方程为：y2=4x；由抛物线的方程可得焦点F(1,0)，准线方程为x=−1，由题意可得B(−1,4)，k AF=44−1=43，设∠BAF=2α，则tan2α=43，设AD平分∠BAF，则∠DAF=α，可得2tanα1−tan2α=43，解得tanα=12，即k AD=12，所以∠BAF的平分线所在的直线方程为：y−4=12(x−4)，即x−2y+4=0，故答案分别为：2，x−2y+4=0．由点A的坐标代入抛物线的方程可得p的值，进而可得就点F的坐标及准线方程，由题意可得B的坐标，求出直线AF的斜率，即∠BAF的正切值，由2倍角公式求出∠BAF的平分线的斜率，由点斜式方程求出∠BAF 的平分线所在的直线方程．本题考查抛物线的性质及角平分线的性质，属于中档题．17.【答案】720288【解析】解：根据题意，对于第一空：周三要排语文、数学、英语、物理、化学、体育共六节课，有A66=720种不同的排法，第二空：分2种情况讨论：①体育、语文、数学两两互不相邻，有A33A43=144种排法；②语文、数学两科相邻，而体育与其都不相邻，有A33A42A22=144种排法，则体育课既不能与语文相邻，也不能与数学相邻的排法有144+144=288种；故答案为：720，288．对于第一空：由排列数公式可得直接计算可得答案；对于第二空：对于第一空：①体育、语文、数学两两互不相邻，②语文、数学两科相邻，由加法原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的计算，属于基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)设事件A 为“两球上的标号都是奇数或都是偶数”，则P(A)=C 31C 21+C 21C 11C 51C 41=25．∴取出的两球上标号都是奇数或都是偶数的概率为25． (Ⅱ)由题意得X =1，2，3， 则P(X =1)=C 31C 51=35，P(X =2)=C 21C 31C 51C 41=310，P(X =3)=C 21C 11C 31C 51C 41C 31=110，∴X 的分布列为： X 1 2 3 P35 310110∴E(X)=1×35+2×310+3×110=32．【解析】(Ⅰ)设事件A 为“两球上的标号都是奇数或都是偶数”，利用古典概率计算公式能求出取出的两球上标号都是奇数或都是偶数的概率．(Ⅱ)由题意得X =1，2，3，分别求出P(X =1)，P(X =2)，P(X =3由，由此能求出X 的分布列和E(X)． 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要注意排列组合的合理运用．19.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵AB =BE =BC =2AD =2，且AB ⊥BE ，∠DAB =60°，AD//BC ，∴BD =√4+1−2×1×2×cos60°=√3， ∴AD 2+BD 2=AB 2，∴AD ⊥BD ，∵BE ⊥AD ，BD ∩BE =B ，∴AD ⊥平面BDE ， ∵AD ⊂平面ADE ，∴面ADE ⊥面BDE ．(Ⅱ)解：∵AB =BE =BC =2AD =2，且AB ⊥BE ，∠DAB =60°，AD//BC ， ∴AC =√22+22−2×2×2×cos120°=2√3，以B 为原点，BA 为x 轴，BE 为y 轴，过B 作平面ABE 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则B(0,0，0)，A(2,0，0)，E(0,2，0)，设C(x,y ，z)，(z >0)，∵AC =2√3，CE =√6，BC =2，∴{(x −2)2+y 2+z 2=12x 2+(y −2)2+z 2=6x 2+y 2+z 2=4，解得x =−1，y =12,z =112，∴C(−1,12,112)， ∵AD//BC ，BC =2AD ，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,14,√114)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−52,14,√114)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,32,−√112)， 设平面DCE 的法向量n⃗ =(a,b ，c)， 则{n ⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−52a +14b +√114c =0n ⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +32b −√112c =0，令c =1，得n ⃗ =(√118,√114,1)， 设直线AD 与平面DCE 所成角为α，∵AD//BC ，∴直线BC 与平面DCE 所成角为α， ∴sinα=|n ⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√11√119． ∴直线AD 与平面DCE 所成角的正弦值为√11119．【解析】(Ⅰ)推导出AD ⊥BD ，BE ⊥AD ，从而AD ⊥平面BDE ，由此能证明面ADE ⊥面BDE ．(Ⅱ)由余弦定理求出AC =2√3，以B 为原点，BA 为x 轴，BE 为y 轴，过B 作平面ABE 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AD 与平面DCE 所成角的正弦值．本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)解：∵数列{a n }满足a 1=1，a n−1=n−1na n (n ≥2,n ∈N ∗)．∴当n ≥2时，由a na n−1=nn−1，∴a n =a 1×a 2a 1×a 3a 2×a 4a 3×…×a na n−1=1×21×32×43×…×nn −1=na 1=1成立， ∴a n =n ．(Ⅱ)证明：∵数列{b n }满足b 1=13，b n+1=b n +b n 2a n2(n ∈N ∗)，∴b n+1−b n =b n 2a n 2=b n2n 2>0，∴b n+1>b n ， ∵b n+1−b n =b n 2a n2=b n2n 2<b n b n−1n 2，∴1b n−1b n−1<1n2<1n(n−1)=1n−1−1n，累加，得1b 2−1bn+1=1−1n ，∵b 2=49，∴1bn+1=54+1n>1，∴b n+1<1，∴b n <b n+1<1， n =1时成立，∴对任意的n ∈N ∗，b n <b n+1<1．【解析】(Ⅰ)当n ≥2时，由a na n−1=nn−1，利用累乘法能求出a n ．(Ⅱ)推导出b n+1−b n =bn 2n 2>0，b n+1>b n ，1b n −1b n−1<1n 2<1n(n−1)=1n−1−1n ，累加，得1b 2−1b n+1=1−1n ，由此能证明对任意的n ∈N ∗，b n <b n+1<1．本题考查数列的通项公式的求法，考查数列不等式的证明，考查累乘法、累加法、放缩法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)由题意可得{ e =ca =√631a 2+1b 2=1c 2=a 2−b 2，解得：a 2=4，b 2=43，所以椭圆的方程为：x 24+3y 24=1；(Ⅱ)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，因为k PA =y 1−1x 1−1=1，所以直线PA 的方程为y −1=x −1，即y =x ，联立直线PA 与椭圆的方程：{y =x x 2+3y 2−4=0，整理可得x 2=1，解得x =−1或x =1(舍)，所以A(−1,−1)，而A 在直线y =13x +m 上，所以m =−23，所以直线AB 的方程为y =13x −23， 联立直线AB 与椭圆的方程{y =13x −23x 2+3y 2−4=0，整理可得x 2−x −2=0，解得x =2或x =−1(舍)，即B(2,0)，所以直线PB 的斜率为0−12−1=−1； (Ⅲ)因为k PA +k PB =y 1−1x1−1+y 2−1x2−1=(13x 1+m−1)(x 2−1)+(13x 2+m−1)(x 1−1)(x 1−1)(x 2−1)=23x 1x 2+(m−43)(x 1+x 2)−2(m−1)(x 1−1)(x 2−1)，直线AB 与椭圆联立{y =13x +m x 24+3y 24=1整理可得：43x 2+2mx +3m 2−4=0，△=4m 2−4⋅43⋅(3m 2−4)>0，即m 2<169，且x 1+x 2=−32m ，x 1x 2=3(3m 2−4)4，①将其代入可得：k PA +k PB =23⋅34(3m 2−4)+(m−43)(−32m)−2(m−1)(x 1−1)(x 2−1)=0，所以k PA +k PB =0， 所以|PA||PB|=|x 1−1||x2−1|，因为直线AB 与椭圆有两个异于P 的交点，所以{△=4m 2−4⋅43(3m 2−4)1≠13+m，即−43<m <23或23<m <43， 当−43<m <23时，1<x 2≤2，由①可得(x 1+x 2)2−x 1⋅x 2=3，即x 12+x 22+x 1x 2=3，②设|PA||PB|=|x 1−1||x 2−1|=1−x 1x 2−1=k ，则x 1=1+k −kx 2代入②可得x 2=k 2+2k−2k 2−k+1，所以1<k 2+2k−2k 2−k+1≤2，解得k >1，当23<m <43时，−1<x 2<1， 记|PA||PB|=|x 1−1||x2−1|=1−x 11−x 2=t ，则x 1=1−t +tx 2， 代入②可得x 2=t 2−2t−2t 2+t+1，所以−1<t 2−2t−2t 2+t+1<1，解得t >1，综上所述|PA||PB|∈(1,+∞)．【解析】(Ⅰ)由题意的离心率及过的点的坐标可得a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；(Ⅱ)设A 的坐标由直线PA 的斜率为1可得，A 的横纵坐标相等，代入直线AB 的方程可得A 的横坐标与m 的关系，将直线AB 的方程与椭圆联立求出两根之和，将A 的横坐标代入求出B 的横坐标，代入直线AB 的方程可得B 的纵坐标，再将B 的坐标代入椭圆的方程可得m 的值，进而求出直线PB 的斜率；(Ⅲ)当直线AB 的与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出直线PA ，PB 的斜率之和为0，可得|PA||PB|=|x1−1||x2−1|，由判别式大于0，及P不在直线AB上，可得m的范围，对m分类可得|PA||PB|的取值范围．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于难题．22.【答案】证明：(Ⅰ)函数f(x)=lna2x−2√ax+alna，则a>0，x>0，f′(x)=1x −√ax=1−√axx，当0<x<1a时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x>1a时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，∴f(x)≤f(1a)=(a+1)lna−2，下面证明(a+1)lna−2≤a2−3，上式等价于lna≤a−1，设ℎ(a)=lna−a+1，∴ℎ′(a)=1a −1=1−aa，当0<a<1时，ℎ′(a)>0，函数ℎ(a)单调递增，当a>1时，ℎ′(a)<0，函数ℎ(a)单调递减，∴ℎ(a)≤ℎ(1)=0−1+1=0，∴lna≤a−1，∴f(x)≤a2−3；解：(Ⅱ)由(Ⅰ)可知函数f(x)max=(a+1)lna−2，∴f(x)≤ea+k，即(a+1)lna−2≤ea+k只有唯一的正整数解，∴k≥(a+1)lna−2−ea，设g(a)=(a+1)lna−2−ea，∴g′(a)=lna+a+1a−e，∴g′(1e)=0，g′(1)=2−e<0，设φ(a)=lna+a+1a−e，∴φ′(a)=1a −1a2=a−1a2，∴φ(a)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，∵φ(4)=ln4+54−e <0，φ(5)=ln5+65−e >0，∴存在a 0∈(4,5)使得g′(a 0)=0，∴g(a)在(0,1e )上单调递增，在(1e ,a 0)上单调递减，在(a 0,+∞)上单调递增， ∵g(3)=4ln3−3e −2，g(4)=5ln4−4e −2，g(5)=6ln5−5e −2， ∴g(3)>g(5)>g(4)，∴k ∈[5ln4−4e −2,6ln5−5e −2)， 此时a =4．【解析】(Ⅰ)先求导，求出函数最大值，再构造函数ℎ(a)=lna −a +1，利用导数求出函数的最值即可证明；(Ⅱ)问题转化为k ≥(a +1)lna −2−ea ，构造函数g(a)=(a +1)lna −2−ea ，求出函数单调性，根据函数值的情况，即可求出a 的值．本题考查了导数和函数单调性，最值的关系，不等式的证明，考查了转化与化归能力，运算求解能力，属于难题．。
【精品解析】2020年宁波市镇海中学高三下学期高考适应性考试数学试题
2020年宁波市镇海中学高三下学期高考适应性考试数学试题一、单选题1．在ΔABC 中,若c 2=a 2+b 2+ab ,则∠C =（ ） A ．60∘B ．90∘C ．150∘D ．120∘2．已知，1,1x y >>，且ln 1ln x y ，，成等比数列，则xy 有（ ）AB ．最大值2eC ．最小值2eD ．最大值e3．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”其中的“筹”取意于《孙子算经》中记载的算筹，古代用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如下图所示），表示一个多位数时，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，依此类推.例如3266用算筹表示就是T ≡⊥则7239用算筹可表示为（ ）A ．B ．C ．D ．4．复数12ii- (i 为虚数单位)的虚部是( ) A ．15iB ．15-C ．15i -D ．155．若数列{a n }，{b n }的通项公式分别是20192020(1)(1)2n n n n a a b n++-=-=+，，且a n ＜b n 对任意n ∈N *恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．12,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．32,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．31,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭6．定义在[,)t +∞上的函数()f x ，()g x 单调递增，()()f t g t M ==，若对任意k M >，存在()1212,x x x x <，使得()()12f x g x k ==成立，则称()g x 是()f x 在[,)t +∞上的“追逐函数”.若2()f x x =，则下列四个命题：①()21x g x =-是()f x 在[1,)+∞上的“追逐函数”；②若()ln g x x m =+是()f x 在[1,)+∞上的“追逐函数”，则1m =；③1()2g x x=-是()f x 在[1,)+∞上的“追逐函数”；④当m 1≥时，存在t m ≥，使得()21g x mx =-是()f x 在[,)t +∞上的“追逐函数”.其中正确命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．已知m ，n 为异面直线，直线 l m ，则l 与n （ ）A ．一定异面B ．一定相交C ．不可能相交D ．不可能平行8．设命题 2:()ln 21p f x x x mx =+-+在(0,)+∞上单调递增，命题:4q m <，则p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知集合2{|20}A x x x =-<， (){|log 1}B x y x ==-，则A B =（ ）A ．0,B ．1,2C ．2,D ．,010．如图，正方形.1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P ，Q 分别在直线11AB,A D 上，M 是线段PQ 的一个三等分点(靠近点P ).若||2PQ ≤，则||AM 的取值范围是（ ）A ．2[3B ．1[3C ．113[,]39D ．12[,]33二、双空题11．若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的表面积是____，体积是____12．若888018(1)(1)x x a a x a x ++-=++⋅⋅⋅+，则0a =_____；2468a a a a +++=_______．13．已知()113cos ,cos 714ααβ=-=，且02πβα<<<，则tan2α=_______________，角β=_______________.14．某学校周三要排语文、数学、英语、物理、化学、体育共六节课，有__________种不同的排法，若体育课既不能与语文相邻，也不能与数学相邻，有__________种不同的排法．（用具体数字作答）三、填空题15．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r ＝20cm ，则扇形的周长为___cm. 16．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面是边长为4的菱形，60ABC ∠=，ACBD O =，11AC AO ⊥，则三棱锥1A ABD -的外接球的表面积为________.17．在四棱锥P ABCD -中，PAB 是边长为ABCD 为矩形，2AD =，PC PD ==若四棱锥P ABCD -的顶点均在球O 的球面上，则球O 的表面积为_____．四、解答题18．设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，离心率为12，短轴长为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点2F 作一条直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，分别过P ，Q 作直线l ：2a x c=的垂线，垂足依次为S ，T ．试问：直线PT 与QS 是否交于定点?若是，求出该定点的坐标，否则说明理由．19．设函数()12ln f x a x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()2e g x x =.（1）若函数()f x 在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若在[]1,e 上至少存在一个0x ，满足()()00f x g x >，求实数a 的取值范围. 20．如图，正三棱柱111ABC A B C -中，P 为1BB 上一点，1APC 为等腰直角三角形.（1）证明P 为1BB 的中点；（2）证明：平面1APC ⊥平面11ACC A ； （3）求直线PA 与平面ABC 所成角的正弦值21．一个盒子里装有标号为1,2,3,4,5的5张标签，随机的选取两张标签. （1）若标签的选取是无放回的，求两张标签上的数字为相邻整数的概率； （2）若标签的选取是有放回的，求两张标签上的数字至少有一个为5的概率. 22．已知数列{}n a 的前n 项和2*19()88n S n n n N =+∈． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令1116(1)(1)n n n b a a +=-⋅-，求数列{}n b 的前n 项和n T.【答案与解析】1．D根据余弦定理，即可求出结果. 因为c 2=a 2+b 2+ab ， 所以，由余弦定理可得cosC =a 2+b 2−c 22ab=−ab 2ab =−12，因此∠C =120∘. 故选D本题主要考查解三角形，熟记余弦定理即可，属于基础题型. 2．C由题意利用等比数列的性质可得ln ln 1x y =，利用基本不等式，可得2ln ln ln ln 2x y x y ⎛⎫ +⎪⎝⎭≤，再根据对数运算性质，可求出xy 的最小值，从而得出结论． ∵1,1x y >>，且ln ,1,ln x y 成等比数列，ln ln 1x y ∴=；又()22ln ln ln ln ln 24xy x y x y +≤=⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()2ln 4xy ≥，即ln 2xy ≥，即2xy e ≥，当且仅当x y e ==时等号成立， 则xy 有最小值为2e .故选：C ．本题主要考查等比数列的性质，对数的运算性质，基本不等式的应用，属于基础题． 3．C由算筹含义直接求解由题意，根据古代用算筹来记数的方法，个位，百位，万位上的数用纵式表示，十位，千位，十万位上的数用横式来表示，比照算筹的摆放形式 答案：C本题容易，只需找出规律即可求解. 4．D 试题分析：(12)(12)2112(12)(12)(12)(12)55i i i i i i i i i i i ++===-+--+-+ 注意弄清概念，复数(,)a bi a b R +∈的虚部是b 而不是bi .本题易错选A . 考点：复数的运算及基本概念 5．C分n 为奇数偶数两种情况各自求出对应的a 的取值范围，再综合到一起即可． 解：当n 为奇数时，a n =-a ，b n =2+1n，∴b n >2； ∵a n ＜b n 对任意n ∈N *恒成立 ∴-a ≤2，即a ≥-2； 当n 为偶数时，a n =a ，b n =2-1n，且当n 增加时，b n 增加； ∴（b n ）min =2-12=32； ∵a n ＜b n 对任意n ∈N *恒成立 ∴a ＜32． 综上可得：-2≤a ＜32． 故选:C ．本题主要考查分类讨论思想在数列中的应用，以及数列与不等式的综合，属于基础题目． 6．B根据4个命题，依次求出M ，解方程求得x 1，x 2，运用函数的单调性和特殊值法，判断是否存在x 1＜x 2，即可得到结论．对于①，易得M ＝1，∀k ＞1，有1x 222x =-1＝k ，即为1x =，2x ＝log 2（k +1），当k ＝100log 2（k +1）， 即不存在1x ＜2x ．对于②，()()111m f g M ====，得m=M ＝1，只需检验m=1时，是否符合题意， ∀k ＞1，有1x 2＝1+ln 2x ＝k ，即为1x =，2x ＝e k ﹣1，e k ﹣1⇔k ＜e 2k ﹣2，由x ＞1时，x ﹣e 2x ﹣2的导数为1﹣2e 2x ﹣2＜0， 即有x ＜e 2x ﹣2，则存在1x ＜2x ；∴m=1满足题意对于③，易得M ＝1，∀k ＞1，有1x 2＝221x -=k ，即为1x =，212x k=-， 当k ＝4，不存在1x ＜x 2．对于④，由题意()()22mt 1f t g t M t ====-，又1m ≥时，存在t m ≥，取此时2M t =，且k>2t , 有1x 222m 1x =-＝k ，即为1x =，212k x m +=，令g （k ）12k m +=212k m-，k>2tt >， ∴g （k ）在（2t ∞+，）单调递减，∴g （k ）<g （2t ）=22t 12m t m--,又, ∴g（2t ）=0，即g （k ）<0，∴1x <2x ，故f （x ）在[1，+∞）上的“追逐函数”有②④ 故选B ．本题考查新定义的理解和运用，主要考查函数的单调性的运用，以及特殊值的运用，考查判断能力，属于中档题和易错题． 7．D先假设l 与n 平行，从而推出矛盾，再将m ，n 放置在正方体中用特例进行逐一判断. 解：若//l n ， 因为直线 lm ，则可以得到 nm ，这与m ，n 为异面直线矛盾， 故l 与n 不可能平行，选项D 正确，不妨设,m n 为正方体中的棱，即m 为棱AB ，n 为棱FG ，。
【KS5U解析】浙江省宁波市镇海中学2020届高三下学期3月模拟测试数学试题 Word版含解析
选项：令 ，令 ，则
又 ，所以
在 上单调递增
又 ，即 只有 一个零点，故 不存在“界点”．
本题正确选项：
【点睛】本题属于新定义问题，考查转化化归的数学思想．解题关键在于明确“界点”的定义，从而转化为零点个数问题．
9.已知 ， ， 是平面内三个单位向量，若 ，则 的最小值（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由“界点”定义可知，存在“界点”要求函数至少有 个零点．通过对四个函数零点个数的判断，得到最终结果．
【详解】 选项：令 ，即 ，根据 与 图像如图所示：
可知当 时，有 与 两个交点
当 时，有 个交点
因此两函数共有 个交点，故 必有“界点”；
选项：令 ，可知 ，方程恒有 个不等式根，即 必有 个零点，故 必有“界点”；
【答案】 (1). 2 (2).
【解析】
【分析】
先将复数化简，然后可结果．
【详解】解：因为
所以 的虚部为2，
故答案为： (1). 2 (2).
【点睛】此题考查复数的运算，求复数的虚部、模，属于基础题．
12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________，表面积是________．
【答案】 (1). (2).
6.某射手射击所得环数 的分布列如下：
7
8
9
10
已知 的数学期望 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分布列的概率之和是 ，得到关于 和 之间的一个关系式，由变量的期望值，得到另一个关于 和 之间的一个关系式，联立方程，解得 的值.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020年浙江省高考押题卷镇海中学考前模拟数学试题（含答案）一、选择题：每小题4分，共40分1. 已知全集{}1,2,3,4U =，{}1,3A =，{}U 2,3B =ð，则AB =（ ）A ．{}1B ．{}3C ．{}4D ．{}1,3,42. 设实数,x y 满足不等式组0034120x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．6 3. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积等于（ ）A ．31cm 6B ．31cm 3C ．31cm 2D ．32cm 34. 若双曲线()222210,0x yC a b a b-=>>）A．y = B ．2y x =± C．y =D ．12y x =± 5. 已知a ，b 是实数，则“1a >且1b >”是“1ab a b +>+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6. 函数()1211f x x x =-+-的图象可能是（ ）俯视图侧视图正视图7. 在四面体ABCD 中，BCD △是等边三角形，2ADB π∠=，二面角B AD C --的大小为α，则α的取值范围是（ ）A ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦8. 已知随机变量ξ满足()01P p ξ==-，()1P p ξ==，其中01p <<，令随机变量()E ηξξ=-，则（ ） A ．()()E E ηξ>B ．()()E E ηξ<C ．()()D D ηξ>D ．()()D D ηξ<9. 如图，P 为椭圆()22122:10x y E a b a b +=>>上的一动点，过点P 作椭圆()22222:01x y E a bλλ+=<<的两条切线PA ，PB ，斜率分别为k ，2k ．若12k k ⋅为定值，则λ=（）A ．14BC ．12D10. 已知数列{}n x 满足12x =，1n x +=()*n ∈N ，给出以下两个命题：命题p ：对任意*n ∈N ，都有11n n x x +<<；命题q ：存在()0,1r ∈，使得对任意*n ∈N ，都有11n n x r -≤+．则（ ） A ．p 真，q 真B ．p 真，q 假C ．p 假，q 真D ．p 假，q 假二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11. 若复数z 满足()()2212z -=+i i ，其中i 为虚数单位，则z = ，z = ．12. 直线142x y+=与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，则AB = ；以线段AB 为直径的圆的方程为 ． 13. 若对x ∈R ，恒有()()75601561x a x a a x a x a x +=+++++，其中0156,,,,,a a a a a ∈R ，则a = ，5a =．ADCB14. 如图所示，四边形ABCD 中，7AC AD CD ===，120ABC ∠=︒，sin BAC ∠=，则ABC △的面积为 ，BD = ．15. 学校水果店里有苹果、香蕉、石榴、橘子、葡萄、西梅6种水果，西梅数量不多，只够一人购买．甲、乙、丙、丁4位同学前去购买，每人只选择其中一种，这4位同学购买后，恰好买了其中3种水果，则他们购买水果的可能情况有 种．16. 已知平面向量a ，b ，c 满足1=a，=b 0⋅=a b ，-c a 与-c b 的夹角为6π，则()⋅-c b a 的最大值为 ．17. 设函数()33f x x x a =-++，若()f x 在[]1,1-上的最大值为2，则实数a 所有可能的取值组成的集合是 ．三、解答题：5小题，共74分18. （本题满分14分）在锐角．．ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知3b =，sin sin A a B +=． （1）求角A 的值；（2）求函数()()22cos cos f x x A x =--（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的值域．DCBA19. （本题满分15）如图，已知四棱锥P ABCD -，BC AD ∥，平面PAD ⊥平面PBA ，且DP DB =，2AB BP PA AD BC ====．（1）证明：AD ⊥平面PBA ；（2）求直线AB 与平面CDP 所成角的正弦值．20. （本题满分15）已知等差数列{}n a 的首项11a =，数列{}2n a 的前n 项和为n S ，且12S +，22S +，32S +成等比数列． （1）求通项公式n a ；（2）求证：11n na n a ⎫++<⎪⎪⎭*n ∈N ）；DCPBA21. （本题满分15）如图，F 是抛物线()220y px p =>的焦点，过F 的直线交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，其中10y >，124y y =-．过点A 作y 轴的垂线交抛物线的准线于点H ，直线HF 交抛物线于点P ，Q ．（1）求p 的值；（2）求四边形APBQ 的面积S 的最小值．22. （本题满分15）已知实数0a ≠，设函数()e ax f x ax =-．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当12a >时，若对任意的[)1,x ∈-+∞，均有()()212af x x ≥+，求a 的取值范围．注：e 2.71828=为自然对数的底数．数学试题参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．12．，，； 14．，； 15．600； 16．； 17．． 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18(Ⅱ19，.因，为的中点， 故. 同理，，.故平面. 故.因平面平面，平面平面，平面，，故平面. 则.又，是平面中的相交直线， 故平面.（II ）法一：设直线和交于点，连结，则.因，故， 则.取的中点，连结，，则， 所以就是直线与平面所成角. 不妨设中，，故 2i -+2240x y x +-=11-485{3,5}99--+BM DP DB =N PB PB DN ⊥PB AN ⊥BM PA ⊥PB ⊥DNA PB AD ⊥PAD ⊥PBA PADPBA PA =BM ⊂PBA BM PA ⊥BM ⊥PAD BMAD ⊥PB BM PBA AD ⊥PBA AB DC Q PQ PQ PA ⊥ADP ABP ⊥面面PQ PAD ⊥面PQD PAD ⊥面面PD G AG QG AG PQD ⊥面AQG ∠AB PCD 2AB =Rt AGQ ∆4AG AQ =sin AG AQG AQ ∠=所以直线与平面所成角的正弦值为. 法二：由（I ）知，，又∥，故.如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系， 不妨设，则，，，，，则，，. 设是面则，即，取，则.设直线与平面所成的角为则，所以直线与平面.20．解答：（I ）记为的公差，则对任意，，即为等比数列，公比.由，，成等比数列，得， 即，解得，即.所以，即（II ）由（I .①当②假设当， 则当因，.所以. 21．解答：（，代入，得，所以；（II ）点，则，直线，代入，得.设，则. 设到的距离分别为，由，得AB PCD 4AD ABP ⊥面BC AD BC PAB ⊥面2AB =(0,0,0)A B C (0,0,2)D (2,0,0)P AB =(1,CD =-(2,0,2)PD =-(,,)x y z =n 00CD PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n 30220x z x z ⎧--+=⎪⎨-+=⎪⎩，=1x (1,0,1)=n AB PCD θ||sin |cos ,|4||||1311AB AB AB θ⋅=<>==⋅++n n n AB PCD 4d {}na n *∈N 112222n n n n a a a da ++-=={2}n a 20dq =>12S +22S +32S +2213(2)(2)(2)S S S +=++22[2(1)2](22)[2(1)2]q q q ++=++++2q =1d =1(1)n a a n d n =+-=()n a n n *=∈N )n n*+<∈N 1n =(n k k =∈k +<n =1k k k +++220k k +-1(11k +++k +++)2n n *+<∈N 1))n a n a ++<1212y y (,0)2p 2124y y p =-=-2p =221212(,)(,)44y y A y B y ，1(1,)H y -1:(1)2y PQ y x =--24y x =2222111(216)0y x y x y -++=3344(,)(,)P x y Q x y ，2134214(4)||2y PQ x x y +=++=A B ，PQ 12d d ，11:20PQ y x y y +-=设函数，则，可得，当时，单调递减；当时，单调递增，从而当时，22．解答：（I）由，解得．①若，则当时，，故在内单调递增；当时，，故在内单调递减．②若，则当时，，故在内单调递增；当时，，故在内单调递减．综上所述，在内单调递减，在内单调递增．（II），即（﹡）．令，得，则．当时，不等式（﹡）显然成立，当时，两边取对数，即恒成立．令函数，即在内恒成立．由，得．故当时，，单调递增；当时，，单调递减.因此．令函数，其中，则，得，故当时，，单调递减；当时，，单调递增．又，，故当时，恒成立，因此恒成立，即当时，对任意的，均有成立．323112111211221|2(2)||(2)|y y y yy y y y y y y yd+--+-+--+-==3112|2|yy y+-3=1256(4)()xf x+=(0)x>24274(4)(6)'()x xf x+-=x∈()f x)x∈()f x1y S9=()(1)=0ax axf x a e a a e'=⋅-=-0x=a>(0,)x∈+∞()0f x'>()f x(0,)+∞(,0)x∈-∞()0f x'<()f x(,0)-∞a<(0,)x∈+∞()0f x'>()f x(0,)+∞(,0)x∈-∞()0f x'<()f x(,0)-∞()f x(,0)-∞(0,)+∞2()(1)2af x x+≥2(1)2axae x+≥x=12a≥122a<≤1x=-(1,)x∈-+∞2ln(1)ln2aax x++≥()2ln(1)ln2aF x x ax=+-+()0F x≤(1,)-+∞22(1)()=011a xF x ax x-+'=-=++211xa=->-2(1,1)xa∈--()0F x'>()F x2(1+)xa∈-∞，()0F x'< ()F x22()(1)2ln2ln2ln22a aF x F a aa a-=-++=--≤()2ln2ag a a=--122a<≤11()10ag aa a-'=-==1a=1(,1)2a∈()0g a'<()g a(1,2]a∈()0g a'>()g a13()ln4022g=-<(2)0g=122a<≤()0g a≤()0F x≤122a<≤[1,)x∈-+∞2()(1)2af x x≥+。