第五章 边界条件
菲涅耳公式
斯托克斯定律
2 t01t10 1 r01
r10 r01
2 (1 r01 )r12e i r01 r12e i i r r r01 r e 1 r12r01e i 1 r12r01e i
2 r12 (1 r01 ) sin r arctg 2 2 r01 (1 r12 ) r12 (1 r01 ) cos
90
0
i 0 + r = 90 r 由折射定律： sin i 0 n2 n 21 = = n1 sin r sin i 0 sin i 0 tg i 0 = = 0 sin r sin ( 90 i 0 ) 布儒斯特定律
n2 n tg i 0 = = 21 n1
n 21 =1.50 [例] 玻璃对空气的折射率为： 0 . tg i 0 = 1.50 . . i 0 = 56
i2
A2
w2
反射光束的截面积 A1 ′= A1 cosi2 透射光束的截面积 A2 = A1 cosi1
反射率
A1 S1 n1 E1 E1 W1 S1 2 R r W1 S1 A1 S1 n1 E12 E 1
2
2
R p rp , Rs rs
2
2
透射率
W2 S 2 A2 n2 E2 cos i2 n2 cos i2 2 T t 2 W1 S1 A1 n1 cos i1 n1 E1 cos i1
2
n2 cos i2 2 Tp tp n1 cos i1
n2 cos i2 2 Ts ts n1 cos i1
若光从介质n2射向介质n1 反射率
S
.
P
S
第五章热流体仿真基础知识（2）
第五章热流体仿真基础知识（2）在这个《CFD基础课程系列》⾥，针对刚刚开始，或者将要开始进⾏热流体仿真的⼯程师，我们尽量通过通俗易懂的语⾔和直观的现象来阐述CFD的概念。
在第五章的第⼀部分，我们介绍了热流体的基本⽅程，有限体积法的概念以及计算域选定的思想⽅法。
第⼆部分，我们将介绍热流体仿真中必不可少的计算域内的⽹格划分，边界条件和初始条件设置的思想⽅法和概念。
5.4计算域内的⽹格划分通过对基本⽅程的离散化，可以建⽴相邻空间之间的关系。
仿真区域的流速分布和温度分布是通过相邻空间的关系计算得到的，所以仿真区域需要被划分成许多细⼩空间。
每个被划分（分割）的细⼩空间被称为单元，单元的集合被称为⽹格。
每个单元的流速，温度都会被计算，每个单元都只有⼀个流速或者温度的值。
⽽单内的流速，温度的分布是⽆法得到的。
图5.11是⼀个中央处于⾼温，周边处于低温的例⼦。
从这个例⼦可以看到，单元越⼤⼀个值的表现范围就越⼤，流速/温度的分布就越粗糙，单元之间物理量的过渡就越不平滑。
图5.11 单元⼤⼩与仿真结果的关系⼀般来说，采⽤⼤单元（单元数少）时，计算次数少，计算时间短，但是因为分布粗糙，计算精度低。
相反，采⽤⼩单元（单元数多）时，所需计算次数多⽽计算时间长，但是计算精度会⽐较⾼。
为了保证计算时间和精度的平衡，⼀般在关注物体的周围，流场或者温度场变化⼤的区域，⽹格划分的细⼩⼀些，远离物体的区域由于物理场的变化⽐较缓和，⽹格可以划分得⼤⼀些。
⽹格划分有2⼤类，图5.12的左下图所⽰，单元形状和⼤⼩⾮常规则，称为结构⽹格。
右下图的⾮规则单元称为⾮结构⽹格。
图5.12 ⽹格划分的例⼦各种⽹格的单元种类如图3.13所⽰。
图5.13 代表性的单元种类3维仿真时，结构⽹格由6⾯体单元构成，⽽⾮结构⽹格则由4⾯体，5⾯体单元构成。
结构⽹格的6⾯体单元的形状和⼤⼩⾮常规则，具有⽹格的划分容易⽽且计算速度快的优势。
⽽⾮结构⽹格是由4⾯体和5⾯体单元组合⽽成，⽹格的划分⽐较困难，但是由于单元形状和尺⼨的⾃由度⽐较⼤，忠实体现物体形状的能⼒强，适合于具有复杂形状物体的⽹格划分。
菲涅耳公式汇总.
根据电磁场边界条件，得
cos i1 E2 cos i2 E1 cos i1 E1
H2 H1 H1
n2 E2 n1E1 n1E1
E1(n2 cos i1 n1 cos i2 ) E1 (n2 cos i1 n1 cos i2 ) 0
P光的振幅反射系数（reflectionion cofficient）
O
Y
i2
H2
1s 2 s 1s 2 s
s 光反射与折射时的电磁矢量
S光的等效折射率 s n cos i S光的振幅透射系数（transmission cofficient）
E2 2n1 cos i1 ts E1 n1 cos i1 n2 cos i2
菲涅耳公式
第五章 菲涅耳公式 与薄膜光学
一、菲涅耳公式（Fresnel formula） 电磁场边界条件：
（1）电场强度E 在界面上的平行分量连续。
（2）若界面上没有表面电流，即电流密度 j0 =0 ，磁场强度H 在界面上的平行 分量连续。 （3）磁感应强度B 在界面上的垂直分量连续。 （4）若界面上没有表面电荷，即电荷密度 ρ0 =0 ，电位移矢量D 在界面上的垂 直分量连续。
q
解： tg i 1= 1.33 1 tg i 2= 1.50 1.33
i1
i 1= 53.60 i 2= 48.440
n 1=1
r
n =1.33
2
i2
q
r = 900 i 1 = 36.940
因为三角形内角之和为 1800 ∴ q + ( 900+ r )+ ( 900 i 2 ) =1800
n 3 =1.50
《传热学》杨世铭-陶文铨-第五章对流传热理论基础
" Q" Q y y dy
v t c p t v dydx y y
第五章 对流换热
27
2t 2t Q导热 2 dxdy＋ 2 dxdy x y
Q对流 t u v t c p u t dxdy c p v t dxdy x y x y t t u v c p u v t t dxdy y x y x t t c p u v dxdy y x
u y
c) 所有物性参数（、cp、、）为常量 4个未知量:：速度 u、v；温度 t；压力 p 需要4个方程: 连续性方程(1)、动量方程(2)、能量方程(3)
第五章 对流换热 17
1 质量守恒方程(连续性方程) 流体的连续流动遵循质量守恒规律 从流场中 (x, y) 处取出边长为 dx、dy 的微元体 M 为质量流量 [kg/s] 单位时间内、沿x轴方向、 经x表面流入微元体的质量 单位时间内、沿x轴方向、经 x+dx表面流出微元体的质量
1 质量守恒方程(连续性方程) 2 动量守恒方程
二维、常物性、无内热 源、不可压缩的牛顿型 流体
u u u p 2u 2u （ u v ) Fx ( 2 2 ) x y x x y v v v p 2v 2v （ u v ) Fy ( 2 2 ) x y y x y (1) (2) (3) (4)
2t 2t Q导热 2 dxdy＋ 2 dxdy x y 单位时间内、 沿 x 方向热对流传递 到微元体的净热量：
1 2 Qx (qm )in (h u gz )in (qm )in (h)in dyu c pt 2 " " Q Q " " " " x x Q对流，x Qx Qx Q Q dx dx dx x x x x
上海交通大学传热学传热学第5章
Nu x
2 13 0.332 Re1 Pr x
12 x 13
特征数方程
Nul 0.664Re Pr
或准则方程
一定要注意上面准则方程的适用条件：
外掠等温平板、层流、无内热源
式中： Nu x
Re x Pr
hx x
努塞尔(Nusselt)数 雷诺(Reynolds)数
路德维希·普朗特 （Ludwig Prandtl， 1876-－1953）德国 力学家，现代流体力 学之父，近代力学奠 基人之一。
5
第五章 对流传热的理论基础
§ 5-3 边界层型对流传热问题的数学描写
二、速度边界层——结构和特点
结构：边界层 = 层流边界层+过渡区+湍流边界层
临界雷诺数Rec
粘性底层（层流底层）
1
Quick Review：
t hx t w t y w, x
1 L h hx dx L 0
W (m C)
2
第五章 对流传热的理论基础
2
第五章 对流传热问题的数学描写
5-1 对流传热概说 5-2 对流换热问题的数学描写 5-3 边界层型对流传热问题的数学描写 5-4 流体外掠平板传热层流分析解及比拟 理论
而
类似地：
y *
y* 0
t (t w t ) y
l
y 0
hxl
Nu x l
Nu x
cf 2
Re x
t hx t w t y w, x
(Rex 107 )
电磁场与电磁波 第五章答案
第五章 恒定磁场重点和难点该章重点及处理方法与静电场类似。
但是磁感应强度的定义需要详细介绍，尤其要强调磁场与运动电荷之间没有能量交换，电流元受到的磁场力垂直于电流的流动方向。
说明磁导率与介电常数不同，磁导率可以小于1，而且大多数媒质的磁导率接近1。
讲解恒定磁场时，应与静电场进行对比。
例如，静电场是无散场，而恒定磁场是无旋场。
在任何边界上电场强度的切向分量是连续的，而磁感应强度的法向分量是连续的。
重要公式磁感应强度定义：根据运动电荷受力： B v F ⨯=q根据电流元受力： B l F ⨯=d I 根据电流环受力： B m T ⨯=真空中恒定磁场方程： 积分形式： I ⎰=⋅ll B 0d μ⎰=⋅SS B 0d微分形式：J B 0 μ=⨯∇0=⋅∇B已知电流分布求解电场强度：1，A B ⨯∇=V V ''-'=⎰'d )(4)( 0 r r r J r A πμ2，V V ''-'-⨯'=⎰'d )()( 4)(30 r r r r r J r B πμ 毕奥─萨伐定律。
3，I ⎰=⋅ll B 0d μ安培环路定律。
面电流产生的矢量磁位及磁感应强度分别为S ''-'=⎰'d )(4)(0 r r r J r A S S πμS ''-'-⨯'=⎰'d )()(4)( 30 r r r r r J r B S S πμ 线电流产生的矢量磁位及磁感应强度分别为⎰''-'=l r r l r A d 4)(0I πμ⎰''-'-⨯'=l r r r r l r B 30 )(d 4)(I πμ矢量磁位满足的微分方程：J A 0 2μ-=∇无源区中标量磁位满足的微分方程： 0 2=∇m ϕ 媒质中恒定磁场方程： 积分形式： I l =⋅⎰l H d⎰=⋅SS B 0d微分形式：J H =⨯∇ 0=⋅∇B磁性能均匀线性各向同性的媒质：场方程积分形式：⎰=⋅lI d μl B⎰=⋅BS H 0d场方程微分形式： J B μ=⨯∇ 0=⋅∇H矢量磁位微分方程：J A 2μ-=∇矢量磁位微分方程的解： V V ''-'=⎰'d )(4)(r r r J r A πμ 恒定磁场边界条件：1，t t H H 21=。
数理经济学第五章
其中c(0)和B(0)由k (0) k0 , k (T ) kT 决定。
注2：某些特殊情形的欧拉方程
(1) F F (t , x) d 由Euler方程 Fx Fx dt d Fx 0 dt Fx C
例：找出下列泛函的极值曲线 V [ x] (tx x )dt
t0 t1
F (t , x (t ) ah(t ), x (t ) ah(t ))dt
* * t0
t1
g (a)是R R上的连续可微函数，且 g (0)为g (a)的最大值点，所以： g (0) 0, g (0) 0。
(1) g (0) {Fx (t , x (t ), x (t ))h(t )
解： min :
T 0
1 [ f ( x)] dx
2
T
0
1 [ y] dx
2
s.t. y(0) A, y(T ) Z
根据Euler定理： d 2 2 ( 1 y ) 1 y dx y y d y ( x ) ( )0 dx 1 y ( x) 2 y ( x ) c y ( x ) cx b Nhomakorabeat
dt
s.t. k f (k ) nk c k (0) k0 , k (T ) kT
解： max
T
0
u ( f (k ) nk k )e
t
dt
t
k (0) k0 , k (T ) kT 所以：F (k ) u ( f (k ) nk k )e Fk u (c)( f (k ) n)e Fk u (c)e
数理经济学
第五章 变分法
传热学第五章
h Atw t
以后除非特殊声明外,我们所说的对流换热系数皆指平均对流换
热系数,以 h 表示.
h(x)规律说明
Laminar region
x (x) h (x) 导热
Transition region
扰动
h(x)
Turbulent region
湍流部分的热阻很小,热阻主要集中在
粘性底层中.
2.按有无相变分
单相介质传热:对流换热时只有一种流体.
相变换热:传热过程中有相变发生.
物质有三态,固态,液态,气态或称三相.
相变换热有分为:
沸腾换热:(boiling heat transfer)物质由液态变为气态时发生 的换热.
凝结换热:(condensation heat transfer)物质由气态变为 液态时发生的换热. 熔化换热(melting heat transfer) 凝固换热(solidification heat transfer) 升华换热(sublimation heat transfer) 凝华换热（sublimation heat transfer ）
由上述分析可见,边界层控制着传热过程,故一些研究人员试图通过
破坏粘性底层来达到强化传热的目的,并取得了一些成果.
二、边界层微分方程组.
牛顿流体(Newtonian fluid),常物性,无内热源,耗散不计,稳态,
二维,略去重力.
完性分析已知：u，t，l 的量级为0(1) ， t 的量级为0(）
以此五个量为分析基础。
2.动量方程(momentum equation)
u v 0 x y
u
u
u x
v
u y
Fx
p x
第五章边界层理论解读
式(5-1)中的第一式为连续性方程；第二式为x方向 的动量传输方程，可简化为
(5-2) 式(5-1)中的第三式为 y 方向的动量传输方程，因为 边界层厚度δ 很小，除 1/ρ(∂p/∂y)项外，其它各项与 x 方 向上的动量传输方程相比可略而不计，可简化为 (5-3)
因为∂p/∂y=0．故x方向动量中 ∂p/∂x 可以写为全微 分dp/dx。应用上述方程组去求解边界层内流动问题时， 特别是式中 ∂p/∂x 成为全微分后，其值可由主流区的运 动方程求得。对主流区同一 y 值，不同 x 值的伯努利 方程可写为 (5-4)
4）AD 面上的动量 由于 AD 是固体表面，无流体 通过 AD 流入或流出，即质量通量为零，但由粘性力决 定的粘性动量通量是存在的，其量值为 τ0 ，所以在控 制体内由 AD 面单位时间传给流体的粘性动量为 τ0∆x。 沿 x 方向一般来说可能还会存在着压力梯度，所以 作用在 AB 面与 CD 面上的压力差而施加给控制体的冲 量为 (5-13) 由讨论边界层微分方程时我们知道 ∂p/∂y=0，所以：
而靠近固体壁面的一个薄层——称为流动边界层， 在它内部由于速度梯度较大，不能略去粘性力的作用， 但可以利用边界层很薄的特点，在边界层内把控制方程 简化后再去求解。
这种对整个区域求解的问题就转化为求解主流区内 理想流体的流动问题和靠近壁面的边界层内的流动问题。
第一节
边界层理论的基本概念
一、边界层的定义
（3）湍流区：随着进流尺寸的进一步增加，使得Rex ＞ 3×106，这时边界层内流动形态已进入湍流状态，边界 层的厚度随进流长度的增加而迅速增加。
应当注意，无论是对过渡区还是湍流区，边界层 最靠近壁面的一层始终做层流流动，这一层称为层流 底层，这主要是因为在最靠近壁面处壁面的作用使该 层流体所受的粘性力永远大于惯性力所致。这里要特 别说明的是，边界层与层流底层是两个不同的概念。 层流底层是根据有无脉动现象来划分，而边界层则是 根据有无速度梯度来划分的。因此，边界层内的流动 既可以为层流，也可以为湍流。
第五章弹性力学平面问题的有限单元法解析
(1) 平面应变问题： 如图柱形管道和长柱形坝体，具有如下特点：a纵向尺寸远大 于横向尺寸，且各横截面尺寸都相同；b 载荷和约束沿纵向不变， 因此可以认为，沿纵向的位移分量 等于零。
一悬臂梁的力学模型简化和单元划分如图： 在确立了力学模型的基础上，再把原来连续的弹性体离散化， 分为有限个单元，这些单元可以是三结点三角形、四结点任意四边 形、八结点曲边四边形等等。单元之间只在结点处相联结。平面问 题的结点为铰结点。完成单元划分以后，需要对所有单元按次序编 号，就得到了有限元的计算模型。
A
S
U
(
A
*
xx
*
yy
xy
* xy
)
t
dx
dy
上面三个积分的意义为：
W 中的第一个积分表示全部体积力作的虚功；第二个积分表示
自由边界S 上的表面力作的虚功。U 中的积分为
dU
(
x
* x
y
* y
xy
* xy
)
t
dx
dy
它表示单面体四个侧面上的应力在虚应变上作的虚功。
1 力学模型的简化 用有限元法研究实际工程结构的强度与刚度问题，首先要从工 程实际问题中抽象出力学模型，即要对实际问题的边界条件，约束 条件和外载荷进行简化，这种简化应尽可能反映实际情况，使简化 后的弹性力学问题的解答与实际相近，但也不要带来运算上的过分 复杂。 在力学模型简化过程中，必须明确以下几点 ①判断实际结构的问题类型，是 二维问题还是三维 问题；对于 平面问题，是平面应变 问题还是平面应力 问题。 ②结构是否对称 。如果是对称的，要充分利用对称条件，以简 化计算。 ③简化的力学模型必是静定 的或超静定的。
边界层理论
4.64 x
v0
4.64
x Rex
小结
一、本课的基本要求
1．掌握边界层概念及分类。 2．了解边界层微分方程的建立及求解方法。 3．了解边界层积分方程的建立及求解方法。
二、本课的重点、难点
重点：边界层概念。 难点：边界层方程的建立及求解。
l 0
vx
dy
x
AD面上的动量
τwΔx
M l
qml v0
v0
d dx
l 0
vxdyx
代入动量平衡关系
d
dx
l 0
(
v0
vx
)vx
dy
w
l l
0 0
在δ~l区域vx=v0
d
dx
(v0
0
vx )vxdy
w
称冯·卡门边界层动量积分方程。层流、紊流边界层均适用。
因由控制体导出，积分解法又称近似积分解法。
5.1 边界层概念
3．管内流动时的边界层
汇合前
层流边界层 层流 紊流边界层 紊流
L 100 d L 25 ~ 40 d
汇合后：充分发展了的管流，速度分布不变。
紊流：紊流核心区+层流底层
5.2 边界层微分方程
1．微分方程的建立
建立方法 元体分析法
连续性方程 简化
vx vy 0 x y
紊流边界 层：流体 惯性力起 主导作用
5.1 边界层概念
边界层内流动的判别标准
Rex
u0 x
u0 x
Rexc 2105
Rex<2t;Rex<3106 Rex>3106
过渡区 紊流边界层
边界层以外的区域为主流区，速度梯度为零，无黏性力作用。因
弹塑性力学-05厚壁圆筒
σθ
r
r b2 p a2 1 + 2 σ s 1 + ln − 2 2 a b −a r = σ sρ 2 a 2 p b2 2b 2 − b 2 − a 2 1 + r 2
ρ ＝b
b p l = σ s ln a
r σ r = σ s ln b
σ θ = σ s 1 + ln
r b
p=
σs
ρ 1 − 2 + 2 ln 2 b a
ρ2
塑性极限压力
σθ
σs σr
p
a
b
12
讨论： 讨论：
Mises 条件 条件:
(σ r − σ θ )2 + (σ θ
14
四、残余应力
结构经历弹塑性变形历史后零外载对应的应力。 结构经历弹塑性变形历史后零外载对应的应力。 初次加载( 时的应力： 初次加载 p*>pe ) 时的应力：σij 卸除的应力： 卸除的应力：σij e 残余应力： 残余应力：σij r
σ ij = σ ij − σ
r
e ij
15
σr = −
2. 弹塑性分析
弹性区：ρ≤ r ≤ b 弹性区： σ r = C 1 + C 2 r −2 σ θ = C 1 − C 2 r −2
边界条件： σ 边界条件：
r r=b
ρ: 弹塑性分界面的半径。 弹塑性分界面的半径。 σs
σθ a b
σr
=0
p
屈服条件： 屈服条件： σθ – σr）r=ρ = σs （
a≤r≤ ρ
ρ ≤r≤b
(整理)弹性力学第五章第五章弹性力学的求解方法和一般性原理
第五章弹性力学的求解方法和一般性原理知识点弹性力学基本方程边界条件位移表示的平衡微分方程应力解法体力为常量时的变形协调方程物理量的性质逆解法和半逆解法解的迭加原理,弹性力学基本求解方法位移解法位移边界条件变形协调方程混合解法应变能定理解的唯一性原理圣维南原理一、内容介绍通过弹性力学课程学习，我们已经推导和确定了弹性力学的基本方程和常用公式。
本章的任务是对弹性力学所涉及的基本方程作一总结，并且讨论具体地求解弹性力学问题的方法。
弹性力学问题的未知量有位移、应力和应变分量，共计15个，基本方程有平衡微分方程、几何方程和本构方程，也是15个。
面对这样一个庞大的方程组，直接求解显然是困难的，必须讨论问题的求解方法。
根据这一要求，本章的主要任务有三个：一是综合弹性力学的基本方程，并按边界条件的性质将问题分类；二是根据问题性质，确定基本未知量，建立通过基本未知量描述的基本方程，得到基本解法。
弹性力学问题的基本解法主要是位移解法、应力解法和混合解法等。
应该注意的是对于应力解法，基本方程包括变形协调方程。
三是介绍涉及弹性力学求解方法的一些基本原理。
主要包括解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理等，这些原理将为今后的弹性力学问题解建立基础。
如果你在学习本章内容时有困难，请及时查阅和复习前三章相关内容，以保证今后课程的学习。
二、重点1、弹性力学的基本方程与边界条件分类；2、位移解法与位移表示的平衡微分方程；3、应力解法与应力表示的变形协调方程；4、混合解法；5、逆解法和半逆解法；6、解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理§5.1 弹性力学的基本方程及其边值问题学习思路:通过应力状态、应变状态和本构关系的讨论，已经建立了一系列的弹性力学基本方程和边界条件。
本节的主要任务是将基本方程和边界条件作综合总结，并且对求解方法作初步介绍。
弹性力学问题具有15个基本未知量，基本方程也是15个，因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分方程。
第五章 边界条件
第五章 边界条件5-1 FLUENT 程序边界条件种类FLUENT 的边界条件包括： 1， 流动进、出口边界条件2， 壁面，轴对称和周期性边界3， Internal cell zones ：fluid, solid (porous is a type of fluid zone )4， Internal face boundaries ：fan, radiator, porous jump, wall, interior5－2 流动进口、出口边界条件FLUENT 提供了10种类型的流动进、出口条件，它们分别是：★一般形式： ★可压缩流动： 压力进口 质量进口 压力出口 压力远场★不可压缩流动： ★特殊进出口条件： 速度进口 进口通分，出口通风 自由流出 吸气风扇，排气风扇进口出口壁面orifice (interior)orifice_plate and orifice_plate-shadow流体Example: Face and Cell zones associated with Pipe Flow through orifice plate1，速度进口（velocity-inlet）：给出进口速度及需要计算的所有标量值。
该边界条件适用于不可压缩流动问题，对可压缩问题不适用，否则该入口边界条件会使入口处的总温或总压有一定的波动。
2，压力进口（pressure-inlet）：给出进口的总压和其它需要计算的标量进口值。
对计算可压不可压问题都适用。
3，质量流进口（mass-flow-inlet）：主要用于可压缩流动，给出进口的质量流量。
对于不可压缩流动，没有必要给出该边界条件，因为密度是常数，我们可以用速度进口条件。
4，压力出口（pressure-outlet）：给定流动出口的静压。
对于有回流的出口，该边界条件比outflow 边界条件更容易收敛。
该边界条件只能用于模拟亚音速流动。
5，压力远场（pressure-far-field）：该边界条件只对可压缩流动适合。
弹性力学第五章第五章弹性力学的求解方法和一般性原理
弹性⼒学第五章第五章弹性⼒学的求解⽅法和⼀般性原理第五章弹性⼒学的求解⽅法和⼀般性原理知识点弹性⼒学基本⽅程边界条件位移表⽰的平衡微分⽅程应⼒解法体⼒为常量时的变形协调⽅程物理量的性质逆解法和半逆解法解的迭加原理,弹性⼒学基本求解⽅法位移解法位移边界条件变形协调⽅程混合解法应变能定理解的唯⼀性原理圣维南原理⼀、内容介绍通过弹性⼒学课程学习，我们已经推导和确定了弹性⼒学的基本⽅程和常⽤公式。
本章的任务是对弹性⼒学所涉及的基本⽅程作⼀总结，并且讨论具体地求解弹性⼒学问题的⽅法。
弹性⼒学问题的未知量有位移、应⼒和应变分量，共计15个，基本⽅程有平衡微分⽅程、⼏何⽅程和本构⽅程，也是15个。
⾯对这样⼀个庞⼤的⽅程组，直接求解显然是困难的，必须讨论问题的求解⽅法。
根据这⼀要求，本章的主要任务有三个：⼀是综合弹性⼒学的基本⽅程，并按边界条件的性质将问题分类；⼆是根据问题性质，确定基本未知量，建⽴通过基本未知量描述的基本⽅程，得到基本解法。
弹性⼒学问题的基本解法主要是位移解法、应⼒解法和混合解法等。
应该注意的是对于应⼒解法，基本⽅程包括变形协调⽅程。
三是介绍涉及弹性⼒学求解⽅法的⼀些基本原理。
主要包括解的唯⼀性原理、叠加原理和圣维南原理等，这些原理将为今后的弹性⼒学问题解建⽴基础。
如果你在学习本章内容时有困难，请及时查阅和复习前三章相关内容，以保证今后课程的学习。
⼆、重点1、弹性⼒学的基本⽅程与边界条件分类；2、位移解法与位移表⽰的平衡微分⽅程；3、应⼒解法与应⼒表⽰的变形协调⽅程；4、混合解法；5、逆解法和半逆解法；6、解的唯⼀性原理、叠加原理和圣维南原理§5.1 弹性⼒学的基本⽅程及其边值问题学习思路:通过应⼒状态、应变状态和本构关系的讨论，已经建⽴了⼀系列的弹性⼒学基本⽅程和边界条件。
本节的主要任务是将基本⽅程和边界条件作综合总结，并且对求解⽅法作初步介绍。
弹性⼒学问题具有15个基本未知量，基本⽅程也是15个，因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分⽅程。
工程流体力学(水力学)闻德第五章-实际流体动力学基础课后答案
工程流体力学闻德课后习题答案 第五章 实际流体动力学基础5—1设在流场中的速度分布为u x =2ax ，u y =-2ay ，a 为实数，且a >0。
试求切应力τxy 、τyx 和附加压应力p ´x 、p ´y 以及压应力p x 、p y 。
解：0y x xy yx u u x y ττμ∂⎛⎫∂==+= ⎪∂∂⎝⎭24xxu p a xμμ∂'=-=-∂，24y y u p a y μμ∂'=-=∂， 4x x p p p p a μ'=+=-，4y y p p p p a μ'=+=+5－2 设例５－1中的下平板固定不动，上平板以速度v 沿x 轴方向作等速运动（如图所示），由于上平板运动而引起的这种流动，称柯埃梯（Couette ）流动。
试求在这种流动情况下，两平板间的速度分布。
（请将d 0d px=时的这一流动与在第一章中讨论流体粘性时的流动相比较）解：将坐标系ox 轴移至下平板，则边界条件为 y ＝０，0X u u ==；y h =，u v =。
由例５－1中的（11）式可得2d (1)2d h y p y yu v h x h h μ=-- （１） 当d 0d p x =时，y u v h=，速度ｕ为直线分布，这种特殊情况的流动称简单柯埃梯流动或简单剪切流动。
它只是由于平板运动，由于流体的粘滞性带动流体发生的流动。
当d 0d px≠时，即为一般的柯埃梯流动，它是由简单柯埃梯流动和泊萧叶流动叠加而成，速度分布为(1)u y y yp v h h h=-- （２） 式中2d ()2d h pp v xμ=- （３） 当p ＞０时，沿着流动方向压强减小，速度在整个断面上的分布均为正值；当p ＜０时，沿流动方向压强增加，则可能在静止壁面附近产生倒流，这主要发生p ＜－１的情况．5－3 设明渠二维均匀（层流）流动，如图所示。
若忽略空气阻力，试用纳维—斯托克斯方程和连续性方程，证明过流断面上的速度分布为2sin (2)2x gu zh z r q m=-，单宽流量3sin 3gh q r q m=。
第五章 G-L (Ginzburg-Landau)理论_695504364
(2)
5.2 G－L方程
一、有效波函数与超导体的吉布斯自由能
G－L理论的重要点：引进一个有效波函数（贋波函数）
ψ (r)
η 2 =|ψ (r ) |2 = ns (r )
(3)
|ψ (r ) |2 = ψ * (r )ψ (r )
ns (r )
超导电子密度 （随空间变化）
ψ (r ) = ns (r )eiφ (r )
（9）
边界条件 n ⋅ (−i ∇ − e* A)ψ = 0
（10）
2．对 A 取变分
GSH中与 A 有关的项：
∫ GSAH
=
V
1 [ 2m* (i
∇ − e* A)ψ * ⋅ (−i
∇ − e* A)ψ
+ 1 (∇ × A)2 − H ⋅∇ × A]dr
2μ0
同样对 A 取变分，由 δGSAH = 0
(ψ *∇ψ
−ψ∇ψ *) −
e*2 m*
|ψ
|2
A=
Js
1
μ0
∇×b
=
J
＝
s
e*ns m*
(
∇φ (r ) − e* A)
(15)
对(15)取旋度：（注意 ∇ × ∇φ = 0 ）
∇×
J
＝
s
−
e*2ns m*
∇×
A
=
−ab
(a = e*2ns = e2ns )
m*
m
(16)即为London第一方程3－9I
1957 Abrikosov进一步求解G－L方程预言了第II类超导体混合 态的周期性磁通结构
1959 Gor’kov证明G-L方程可用格林函数方法由微观理论导出 G－L理论和BCS理论
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第五章 边界条件5-1 FLUENT 程序边界条件种类FLUENT 的边界条件包括： 1， 流动进、出口边界条件2， 壁面，轴对称和周期性边界3， Internal cell zones ：fluid, solid (porous is a type of fluid zone )4， Internal face boundaries ：fan, radiator, porous jump, wall, interior5－2 流动进口、出口边界条件FLUENT 提供了10种类型的流动进、出口条件，它们分别是：★一般形式： ★可压缩流动： 压力进口 质量进口 压力出口 压力远场★不可压缩流动： ★特殊进出口条件： 速度进口 进口通分，出口通风 自由流出 吸气风扇，排气风扇进口出口壁面orifice (interior)orifice_plate and orifice_plate-shadow流体Example: Face and Cell zones associated with Pipe Flow through orifice plate1，速度进口（velocity-inlet）：给出进口速度及需要计算的所有标量值。
该边界条件适用于不可压缩流动问题，对可压缩问题不适用，否则该入口边界条件会使入口处的总温或总压有一定的波动。
2，压力进口（pressure-inlet）：给出进口的总压和其它需要计算的标量进口值。
对计算可压不可压问题都适用。
3，质量流进口（mass-flow-inlet）：主要用于可压缩流动，给出进口的质量流量。
对于不可压缩流动，没有必要给出该边界条件，因为密度是常数，我们可以用速度进口条件。
4，压力出口（pressure-outlet）：给定流动出口的静压。
对于有回流的出口，该边界条件比outflow 边界条件更容易收敛。
该边界条件只能用于模拟亚音速流动。
5，压力远场（pressure-far-field）：该边界条件只对可压缩流动适合。
6，自由出流（outflow）：该边界条件用以模拟在求解问题之前，无法知道出口速度或者压力；出口流动符合完全发展条件，出口处，除了压力之外，其它参量梯度为零。
但并不是所有问题都适合，有三种情况不能用自由出流边界条件：包含压力进口条件；可压缩流动问题；有密度变化的非稳定流动（即使是不可压缩流动）。
7，进口通风（inlet vent）：进口风扇条件需要给定一个损失系数，流动方向和环境总压和总温。
8，进口风扇（intake fan）：进口风扇条件需要给定压降，流动方向和环境总压和总温。
9，出口通风（out let vent）：排出风扇给定损失系数和环境静压和静温。
10, 排气扇（exhaust fan）：排除风扇给定压降，环境静压。
11，对称边界（symmetry）：对称边界条件适用于流动及传热场是对称的情况。
12，周期性边界（periodic）：如果我们关心的流动，其几何边界，流动和换热是周期性重复的，那么可以采取周期性边界条件。
13，固壁边界（wall）：对于粘性流动问题，FLUENT默认设置是壁面无滑移条件。
对于壁面有平移运动或者旋转运动时，可以指定壁面切向速度分量，也可以给出壁面切应力从而模拟壁面滑移。
5－3 速度进口边界条件（velocity-inlet）给出进口速度及需要计算的所有标量值。
该边界条件适用于不可压缩流动问题，对可压缩问题不适用，否则该入口边界条件会使入口处的总温或总压有一定的波动。
边界条件设置的主要输入量如图示，包括：●速度大小，方向或各速度分量；Velocity magnitude and direction or velocitycomponents●周向速度（轴对称有旋流动）；Swirl velocity (for 2D axisymmetric problemswith swirl)●静温（考虑能量）；Temperature (for energy calculations)●出流表压（对于耦合求解器）；Outflow gauge pressure (for calculations withthe coupled solvers)●湍流参数（考虑湍流计算）；Turbulence parameters (for turbulentcalculations)●……5－4 压力进口边界条件（pressure-inlet）压力进口边界条件通常用于给出流体进口的压力和流动的其它标量参数，对计算可压和不可压问题都适合。
压力进口边界条件通常用于不知道进口流率或流动速度时候的流动，这类流动在工程中常见，如浮力驱动的流动问题。
压力进口条件还可以用于处理外部或者非受限流动的自由边界。
压力边界条件的设置如图，其中第一项的表压强与绝对压强，操作压强有如下关系： 5－1 Operating pressure 输入：Define —>operating conditions另外还应注意，这里给出的表压强的大小，是入口边界上的总压。
212total static p p v ρ=+ 不可压缩流动 5—12/(1)1(1)2k k total static k p p Ma --=+ 可压缩流动 5—2压力进口条件需要输入的主要参数：● 总压；Total (stagnation) pressure●总温；Total (stagnation) temperature ● 流动方向；Flow direction ● 静压；Static pressure ● 湍流参数（用于湍流计算）；Turbulence parameters (for turbulent calculations) ●辐射参数（考虑辐射）；Radiation parameters (for calculations using the P-1model, the DTRM, the DOmodel, or the surface-to-surface model) ● 化学组分质量分数（考虑化学组分）；Chemical species mass fractions (forspecies calculations)● 混合分数及其方差（用PDF 燃烧模型）；Mixture fraction and variance (fornon-premixed or partially premixed combustion calculations) ● … …压力水平真空operatinggauge absolute p p p +=5－5 质量流量进口边界条件（mass-flow-inlet）给定入口边界上的质量流量。
主要用于可压缩流动问题，对于不可压缩问题，由于密度是常数，可以使用速度入口条件。
质量进口条件包括两种：质量流率和质量通量。
质量流率是单位时间内通过进口总面积的质量。
质量通量是单位时间单位面积内通过进口的质量。
如果是二维轴对称问题，质量流率是单位时间内通过2 弧度的质量，而质量通量是通过单位时间内通过一弧度的质量。
给定进口边界上的质量流量，此时局部进口总压是变化的，用以调节速度，从而达到给定的流量，这使得计算的收敛速度变慢。
所以，如果压力边界条件和质量边界条件都适合流动时，优先选择用压力进口条件。
对于不可压速流动，由于密度是常数，可以选择用速度进口边界条件。
5－6 压力出口边界条件（pressure-outlet）给定出口的静压（表压）。
该边界条件只能用于模拟亚音速流动。
如果当地速度已经超过音速，则该压力在计算过程中就不采用了。
压力根据内部流动计算结果给定。
其它量都是根据内部流动外推出边界条件。
该边界条件可以处理出口有回流问题，合理的给定出口回流条件，有利于解决有回流出口问题的收敛困难问题。
出口回流条件需要给定：出口静压，回流总温（如果有能量方程），湍流参数（湍流计算），回流组分质量分数（有限速率模型模拟组分输运），混合物质量分数及其方差（PDF 计算燃烧）。
如果有回流出现，给的表压将视为总压，所以不必给出回流压力。
回流流动方向与出口边界垂直。
在出口压力边界条件给定中，需要给定出口静压（表压）。
当然，该压力只用于亚音速计算。
如果局部变成超音速，则根据前面来流条件外推出口边界条件。
需要特别指出的是，这里的压力是相对于前面给定的工作压力。
FLUENT 给出了径向平衡出口边界条件供大家选择（适用于三维和轴对称有旋流动）。
这时候，只有在半径很小的区域使用给定的静压边界条件，其它地方，假定径向速度可以忽略而计算得到，压力梯度为：rv r p 2θρ=∂∂ 5—3 即使是周向旋转速度为零，该边界条件也可以用。
5－7压力远场边界条件（pressure-far-field ）如果知道来流的静压和马赫数，FLUENT 提供了的压力远场边界条件来模拟该类问题。
该边界条件只适合用理想气体定律计算密度的问题，而不能用于其它问题。
为了满足压力远场条件，需要把边界放到我们关心区域足够远的地方。
给定边界静压和温度及马赫数。
可以是亚音速，跨音速或者超音速。
并且需要给定流动方向，如果有需要还必须给定湍流量等等参数。
压力远场边界条件是一种不反射边界条件。
对于流动为亚音速流动问题，对于来波和流出波，有两个Riemann 不变量。
12--=∞∞∞γc V R n 5－4 12--=γini i c V R 5－5n 下标速度表示垂至于边界的速度大小， c 是当地音速，γ是理想气体的比热比，∞表示边界，i 表示内部区域。
根据两个不变量，我们可以得到：)(21∞+=R R V i n 5－6 )(41∞--=R R c i γ 5－7需要给出的参数：静压，马赫数，温度，来流方向，湍流参数等。
5－8 自由流出边界条件（outflow ）如果我们在求解问题前，不能知道流出口的压力或者速度，这时候可以选择流出边界条件。
这类边界条件的特点是不需要给定出口条件（除非是计算分离质量流，辐射换热或者包括颗粒稀疏相问题）。
出口条件都是通过FLUENT 内部计算得到。
但并不是所有问题都适合，如下列情况，就不能用流出边界条件：1， 包含压力进口条件 2， 可压速流动问题3， 有密度变化的非稳定流动问题（即使是不可压速流动） 用流出边界条件时，所有变量在出口处扩散通量为零。
即出口平面从前面的结果计算得到，并且对上游没有影响。
计算时，如果出口截面通道大小没有变化，采用完全发展流动假设（流动速度（温度等）分布在流动方向上不变化。
当然，在径向允许有梯度存在，只是假定在垂直出口面方向上扩散通量为零。
5－9 进口通风边界条件（inlet Vent ）需要给定进口损失系数，流动方向和进口环境总压及总温。