格林公式曲线积分与路径无关的条件
3 格林(Green)公式
c o
C
x 2 ( y)
x
同理可证
P dxdy L P ( x , y )dx D y
两式相加得
(2)
Q P ( )dxdy L Pdx Qdy y D x
L3 D3 D2 L2
若区域D 由按段光 滑的闭曲线围成.如图, 将 D 分成三个既是X 型又是 Y 型的区域 D1 ,D2 ,D3 .
AC
Pdx Qdy
AB
Pdx Qdy.
Pdx Qdy ..
因为在 D 内曲线积分与路线无关，所以
AC
Pdx Qdy Pdx Qdy
AB
BC
由于直线段 BC 平行于 x 轴，所以 dy 0 ， 从而由积分中值定理可得 u u( x x , y ) u( x , y )
如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
G G G
一维单连通
二维单连通
一维单连通
二维不连通
一维不连通
二维单连通
如果对于区域 G 内任意指定的两点 A、B 以及 G 内 从点 A 到点 B 的任意两条曲线 L1，L2 有
L1 Pdx Qdy
y
L1
L
1 2 3
L Pdx Qdy L Pdx Qdy L Pdx Qdy
1 2 3
L Pdx Qdy
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
L3
D3
D2
L2
D1
L1
L
(3)
若区域不止由一条闭曲 线所围成.添加直线段 AB,CE. 则 D 的边界曲线由 AB,L2 ,BA, AFC,CE, L3 , EC 及 CGA 构成. D
格林(Green)公式曲线积分与路径无关的条
格林公式在数学物理方程、电动力学、流体力学等领域有 广泛的应用，是连接数学与物理世界的重要桥梁。
格林公式的历史背景
发展历程
格林公式是微积分学中的重要内 容，它的起源可以追溯到19世纪 上半叶，当时数学家开始研究如 何将线积分转化为面积分的问题。
贡献人物
乔治·格林（George Green）在 1830年代对这一领域做出了重大 贡献，他通过引入所谓的“格林 函数”来研究平面上向量场的性 质。
格林公式在解决曲线积分问题中的优势
简化计算过程
通过格林公式，可以将复杂的曲线积分问题 转化为面积分问题，从而简化计算过程。
提供解决问题的新思路
格林公式为解决曲线积分问题提供了新的思 路和方法，有助于拓展解题思路。
04
曲线积分与路径无关的应用实例
物理学中的磁场问题
磁场线闭合
在磁场中，如果曲线积分的路径无关，那么磁场线必然是闭合的。这意味着磁场没有源点或漏点，即不存在磁单 极。
磁通量不变
在磁场中，如果曲线积分的路径无关，那么通过某一区域的磁通量将保持不变。这意味着磁场不会因为路径的改 变而发生改变。
电学中的电场问题
电势差恒定
在电场中，如果曲线积分的路径无关，那么电势差将保持恒定。这意味着电场不会因为路径的改变而 发生改变。
电场线闭合
在电场中，如果曲线积分的路径无关，那么电场线必然是闭合的。这意味着电场没有源点或漏点，即 不存在电荷聚集点。
通过格林公式，可以判断一个曲线积分是否 与路径无关，为解决相关问题提供依据。
格林公式与曲线积分的关系证明
利用向量场的散度性质
通过向量场的散度性质，可以推导出格林公 式，从而证明其与曲线积分的关系。
高等数学第三节 格林公式 平面上曲线积分与路径无关条件
其中曲线积分是按沿Ｌ的正向计算的，公式 ①
称为格林公式.
其中曲线积分是按沿Ｌ的正向计算的，公式 ①
称为格林公式.
y
C y = 2(x) L
B D
A y =1(x)
E
Oa
bx
证明 假定穿过区域 D 内部且平行于坐标轴的直
线与 D 的边界曲线的交点不超过两个 (如图所示).
于是根据二重积分
的计算法，有
D
P y
d
b a
12((xx))Py dydx
y
C y = 2(x) L
D
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A y =1(x)
E
Oa
bx
a b{P [x,2(x) ]P [x,1(x)d ]x.}
第十一章 曲线积分与曲面积分
*第三节 格林公式 平面上曲线积分与路径无 关的条件
一、格林(Green)公式
二、平面上曲线积分与路径 无关的条件
一、格林(Green)公式
定理(格林定理) 设 D 是以分段光滑曲线 L 为边界的平面有界闭区域，函数 P(x, y) 及 Q(x, y) 在 D 上具有一阶连续的偏导数，则
解 显然，用这段路径来计算是很复杂且困难.
能否换一条路径呢？为此计P算 ,Q. 其中 P(x, y) y x
= x2y + 3xex, Q(x,y)1x3ysiny,
3
得
Px2Q.
y
x
显P(然 x,y)Q ,(x,y) ,P,Q在 全D 平 上面 连 . 域 续 y x
mdmπa2mπa2.
D
数学分析21.3格林公式、曲线积分与路线的无关性(含习题及参考答案)
第二十一章 重积分3格林公式、曲线积分与路线的无关性一、格林公式概念：当区域D 的边界L 由一条或几条光滑曲线所组成时，规定边界曲线的正方向为：当人沿边界行走时，区域D 总在他的左边. 与正方向相反的方向称为负方向，记为-L.定理21.11：若函数P(x,y), Q(x,y)在闭区域D 上连续，且有连续的一阶偏导数，则有格林公式：⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰+L Qdy Pdx . L 为区域D 的边界曲线，并取正方向.证：根据区域D 的不同形状，可分三种情形来证明： (1)若区域D 既是x 型区域，又是y 型区域(如图1)，即 平行于坐标轴的直线和L 至多交于两点，该区域D 可表示为： φ1(x)≤y ≤φ2(x), a ≤x ≤b 或ψ1(x)≤x ≤ψ2(x), c ≤y ≤d.这里y=φ1(x)和y=φ2(x)分别为曲线⌒ACB 和⌒AEB 的方程, x=ψ1(x)和x=ψ2(x) 分别为曲线⌒CAE 和⌒CBE的方程, ∴⎰⎰∂∂Dd x Qσ=⎰⎰∂∂)()(21y y d c dx x Q dy ψψ=⎰d c dy y y Q )),((2ψ-⎰d c dyy y Q )),((1ψ=⎰⋂CBE dy y x Q ),(-⎰⋂CAE dy y x Q ),(=⎰⋂CBE dy y x Q ),(+⎰⋂EAC dy y x Q ),(=⎰L dy y x Q ),(.同理可证：-⎰⎰∂∂Dd y Pσ=⎰L dx y x P ),(. 即有⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰+L Qdy Pdx . (2)若区域D 是一条按段光滑的闭曲线围成(如图2)，则先用几段光滑曲线将D 分成有限个既是x 型又是y 型的子区域，然后逐块按(1)得到它们的格林公式，相加即可.图2中区域D 可分成三个既是x 型又是y 型的区域D 1,D 2,D 3，则有⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂1D d y P x Q σ+⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂2D d y P x Q σ+⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂3D d y P x Q σ =⎰+1L Qdy Pdx +⎰+2L Qdy Pdx +⎰+3L Qdy Pdx =⎰+L Qdy Pdx.(3)若区域D 由几条闭曲线所围成(如图3)， 可适当添加直线AB, CE,把区域转化为(2)的情况处理.图D 的边界线由AB,L 2,BA,⌒AFC ,CE,L 3,EC 及⌒CGA构成. 由(2)知 ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋂⋂CGA EC l CE AFCBA l AB32(Pdx+Qdy)=()⎰⎰⎰++132L L L (Pdx+Qdy)=⎰+L Qdy Pdx .注：格林公式可写为：⎰⎰∂∂∂∂Dd QP y x σ=⎰+L Qdy Pdx .例1：计算⎰AB xdy ，其中曲线AB 为半径为r 的圆在第一象限部分. 解：如图，对半径为r 的四分之一圆域D 应用格林公式有⎰⎰-D d σ=⎰-L xdy =⎰OA xdy +⎰AB xdy +⎰BO xdy =⎰AB xdy . ∴⎰AB xdy =⎰⎰-Dd σ=-41πr 2.例2：计算I=⎰+-Ly x ydxxdy 22, 其中L 为任一不包含原点的闭区域的边界线.解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂22y x x x =22222)(y x x y +-, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂22y x y y =22222)(y x x y +- 在上述区域D 上连续且有界，∴⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂Dd yx yx y x x x σ2222=0. 由格林公式可得I=0.注：在格林公式中，令P=-y, Q=x ，则得到一个计算平面区域D 的面积S D 的公式：S D =⎰⎰Dd σ=⎰-L ydx xdy 21.例3：如图，计算抛物线(x+y)2=ax (a>0)与x 轴所围的面积.解：曲线⌒AMO由函数y=x ax -, x ∈[0,a]， 直线OA 为直线y=0， ∴S D =⎰-ydx xdy 21=⎰-OA ydx xdy 21+⎰⋂-AMO ydx xdy 21=⎰⋂-AMO ydx xdy 21=dx x ax ax ax a ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0)(1221=dx ax a ⎰-02121=dx x a a⎰4=62a .二、曲线积分与路线的无关性概念：若对于平面区域D 上任一封闭曲线，皆可不经过D 以外的点而连续收缩于属于D 的某一点，则称此平面区域为单连通区域，否则称为复连通区域。
格林公式曲线积分与路径的无关性
y
M
解 曲线 ¼ AMO 由函数 y ax x , x [0, a]
O
N A(a,0) x
图 21 17
表示, ONA 为直线 y 0 , 于是
SD
1 2
Ñ x dy
y dx
1
2
x dy y dx 1
ONA
2
¼ AMO x dy y dx
1
2
¼ AMO x dy y dx
»AB P dx Q dy
与路线的选择无关, 故当
B( x, y) 在 D 内变动时, 其
积分值是 B( x, y) 的函数, 即有
u( x, y) P dx Q dy . »AB
取 x 充分小, 使 C( x x , y) D , 则函数
u( x , y)
对于 x 的偏增量(图21-20)
值定理可得
xu
P dx Q dy
BC
xx
x P(t , y)dt P( x x , y)x ,
其中 0 1. 根据 P( x , y) 在 D 上连续, 于是有
u lim xu lim P( x x , y) P( x , y).
x x0 x x0
同理可证
u Q( x , y). 所以证得 y
(
x
x 1.5 0.5)2
1
dx
4arctan 0.5 2arctan 2.
注1 定理 21.12 中对“单连通区域”的要求是重要 的.如本例若取沿 y 轴由点 A 到点 D 的路径 , 虽 然算起来很简单,但却不可用.因为任何包含 的单连通区域必定含有奇点 E . 又如本节例 2,对任 何不包含原点的单连通区域, 已证得在这个区域内 的任何封闭曲线 L 上, 皆有
高等数学《格林公式》
在整个平面内恒有 Q 2x P ,
x
y
所以曲线积分与路径无关．
应用: 对某些第二类曲线积分可改变其路径简化计算.
例 1 计算 ( x2 2xy)dx ( x2 y4 )dy. 其中 L 为由点
L
O(0,0)到点 A(1,1)的曲线弧 y sin x . 2
y
A(1,1) L
解 记 P( x, y) x2 2xy,Q( x, y) x2 y4,
(Q P )dxdy P( x, y)dx Q( x, y)dy
D x y
D
(1) 公式(1)叫做格林公式.
y
证明(1)
d
若区域D 既是X 型 x 1( y)
又是Y 型,即平行于
坐标轴的直线和D+
A c
至多交于两点.
oa
E y 2(x)
D
B
x 2( y)
Cy 1(x) b
x
D {( x, y)1( x) y 2( x),a x b}
滑的闭曲线围成.如图,
将D 分成三个既是X 型又是 Y 型的区域D1,D2 ,D3 .
L3 D3
D1
L1
D2 L2
D L
(Q P )dxdy
(Q P )dxdy
D x y
x D1 D2 D3 y
(Q x
P y
)dxdy
(
Q x
P y
)dxdy
(
Q x
P y
)dxdy
D1
D2
D3
( )Pdx Qdy Pdx Qdy
则称曲线积分 P( x, y)dx Q( x, y)dy 在 G 内与
L
路径无关。
09 第四节 格林公式
3) 利用第二类曲线积分可求闭曲线所围区域的面积 利用第二类曲线积分可求闭曲线所围区域的面积.
∂Q ∂ P − )dxdy = ∫ Pdx + Qdy 格林公式: 格林公式 ∫∫ ( ∂y D ∂x ∂D +
的面积A 闭区域 D 的面积 = ∫∫ dxdy .
D
取 P = 0, Q = x , 得 A =
解 记原积分 = ∫ P ( x , y )dx + QP ( x , y )dy ,
x 则 Q x = e cos y , Py = e cos y − m ,
y
D
O
L
x
Ax
作定向线段 OA : y = 0, x : 0 → a , 它与 所围闭区域记为 D, 它与L所围闭区域记为
则原积分 =
L+ OA
o
A(a,0)
曲线弧 AO : y = ax − x , x : a → 0,
∴A= −
∂D +
0
∫ ydx = −( ∫
OA
+
∫ ) ydx
AO a
1 2
1 2 = 0 − ∫a ( ax − x )dx = ∫ ( a x − x )dx = a . 0 6 1 1 或 : A = ∫ xdy − ydx = ( ∫ + ∫ ) xdy − ydx 2 ∂D + 2 OA AO a a 1 2 1 0 a = ∫a [ x( − 1) − ( ax − x )]dx = ∫ 0 xdx = 6 a . 4 2 2 ax
xdy − ydx ∫ x 2 + y 2 = ∫∫ 0 dxdy = 0 . L D
o
L
D
格林公式·曲线积分和路线的无关性
(ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分
L Pdx Q dy
与路线无关, 只与 L 的起点及终点有关;
(iii) P dx Qdy 是 D 内某一函数 u( x , y) 的全微分, 即在 D 内有 du P dx Qdy;
u( x, y) P dx Q dy . AB
(iv)
在 D 内处处成立
P
Q .
y x
有关定理的说明：
(1) 开区域G 是一个单连通域.
(2) 函数 P( x, y), Q( x, y)在G 内具有一阶连
续偏导数.
两条件缺一不可
(i) 沿 D 内任一按段光滑封闭曲线 L, 有
L P dx Q dy 0;
(ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分
( )dxdy
D x y
x D1 D2 D3 y
D1
(
Q x
P y
)dxdy
D2
(
Q x
P y
)dxdy
D3
(
Q x
P y
)dxdy
L1 Pdx Qdy L2 Pdx Qdy L3 Pdx Qdy
L Pdx Qdy
L3 D3
D1
(L1, L2 , L3对D来说为正方向) L1
D2 L2
M
曲线AMO 由函数
A(a,0) N
y ax x, x [0,a]表示,
A
1 2
L
xdy
ydx
1
2 ONA
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
曲线积分与路径无关的定义曲线积分与路径无关的条件二元函数
∂y
∂ 2u = ∂P ∂ 2u = ∂Q ∴ ∂P = ∂Q ∂x∂y ∂y ∂x∂y ∂x ∂y ∂x
" ⇐"设在单连通区域 G内有 ∂P = ∂Q , ∂y ∂x
由定理 3，起点 : M 0 ( x0 , y0 ), 终点 : M ( x, y) 的曲线积分在 G内与路径无关 .
Δ (x,y)
⋅ L2
A
o
x
二、曲线积分与路径无关的条件
定理 设开区域G 是一个单连通域, 函数 P( x, y), Q( x, y)在G 内具有一阶连续偏导数,
则 曲 线 积 分 ∫ Pdx + Qdy 在 G 内 与 路 径 无 关 L
（或沿G 内任意闭曲线的曲线积分为零）的充 要条件是∂P = ∂Q 在G 内恒成立.
即 ∂u = P( x, y) ∂u = Q( x, y)
∂x
∂y
事实上，
∂u = lim u( x + Δx, y) − u(x, y)
∂x Δx→0
Δx
( x+Δx, y) ( x, y)
∫ ∫−
= lim ( xo , y0 )
( xo , y0 )
Δx→0
Δx
∫ ∫ ∫ (x,y)
+
( x, y)
∫ ∫ ∫ ∵ = = −
L1
L2
L2 −
∫ ∫ ∴ L1
+ L2 −
=0
y
⋅c L1
B
G
⋅ L2
A
即, ∫C = 0
o
x
"⇐"设A, B ∈ G, L1, L2为从A → B 的任意两条光滑曲线
∫ ∫ ∵
一曲线积分与路径无关的定义二曲线积分与路径无关的条
例 1验 证(eyx)dx (xye2y)d. y与 路 径 无 关 ，
L
并 求 之 。 其 中L为 过 三 点 o(0,0)， A(0,1)， B(1,2)
的 圆 周 ， 由 o(0,0)到 B(1,2)的 曲 线 弧 .
解 设 P ( x ,y ) e y x ,Q ( x ,y ) x y 2 e y .
A
则 称 曲 线 积 分 L P d Q xdoy
x
在G内与路径无关,否则与路径有关.
L1PdxQdyL2PdxQdyLPdQ x d 0y.
LL 1(L 2)
二、曲线积分与路径无关的条件
定理 2 设 开 区 域 G 是 一 个 单 连 通 域 , 函 数 P ( x , y ),
因此，在 xoy 面内， xy2dxx2ydy是某个函数
u (x, y) 的全微分。 取 x 0 0 ,y 0 0 .
u (x ,y)0 xx0 2 d x 0 yx 2ydyx
2y 2
2
.
四、小结
与路径无关的四个等价命题
条 在 单 连 通 开 区 域 D 上 P (x ,y)Q ,(x ,y)具 有 连 件 续 的 一 阶 偏 导 数 , 则 以 下 四 个 命 题 成 立 .
C 所围的闭区域为 D。
G
G 是单连通的，因此， DG .
于是，在 D 内
P y
Q x
.
CD
应用格林公式，有
C P (x ,y )d x Q (x ,y )d y ( Q x P y)d0. D
即，在 G 内曲线积分 L P (x ,y)d x Q (x ,y)dy
等 (1) 在 D 内 LPdQ x 与 dy路径无关 价 (2 ) C P d Q x d 0 ,闭 y C 曲 D线
格林公式
由格林公式得
C
Pdx
Qdy
D
(
Q x
P y
)d
0
定理2的应用
(1)求 Pdx Qdy
L
若积分与路径无关，可选取简单路径计算.
2
(
x
)
L
L3
L4
L1
L2
L3
L4
L1
L2
x
b
a
a P( x,1( x)) dx b P( x,2( x))dx b [P( x,1( x)) P( x,2( x))] dx
a
b
L1 y 1( x)
a P d P( x, y)dx
I
Q
D
(
x
P )d
y
0
P y
y2 x2 ( x2 y2 )2
Q x
(0,0) D 在D内不能用格林公式
在D内取一圆周l x2 y2 r 2 , r 0
记L及l所围成的复连通区域为D1
在D1 应用格林公式得
Ll
xdy x2
L1
（三）应用
Q
D
(
x
P )d
y
L
Pdx
Qdy
1.求 P( x, y)dx Q( x, y)dy
L
例1.(1)求 y4dx 4xy3dy，L : x2 y2 4, 取正向
解
L
设L所围闭区域D : x2 y2 4
格林公式及曲线积分与路径无关的等价条件
1 2 (ab cos 2 ab sin 2 ) d ab 2 0
y
xd y yd x 2 l x y2 xd y yd x 0 d xd y 0 2 2 D1 x y
l
o D1
L
x
L l
2 0
r 2 cos 2 r 2 sin 2 d 2 2 r
二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理2. 设D 是单连通域 , 函数 具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价: (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 在D 内
其中L为一无重点且不过原点
解: 令
则当x 2 y 2 0时,
设 L 所围区域为D, 当(0,0) D 时, 由格林公式知
y
L
o
x
2 2 2 在 D 内作圆周 l : x y r , 取逆时 当(0,0) D 时,
针方向, 记 L 和 lˉ 所围的区域为 D1 , 对区域 D1 应用格 林公式 , 得
a
b
4. 两类曲线积分的联系
L P d x Q d y
P d x Q d y R d z
第三节 格林公式及其应用
一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件
一、 格林公式
单连通区域 ( 无“洞”区 区域 D 分类 域 ) 多连通区域 ( 有“洞”区
L D
域) 域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左 在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
格林公式平面曲线积分与路径无关的条件
图 10-12
二、 平面上曲线积分与路径无关的定义与条件
(10-8) (10-9)
二、 平面上曲线积分与路径无关的定义与条件
函数P(x,y)，Q(x,y)满足定理4的条件时，表达式 P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某个二元函数u(x,y)的全微分.因此可解决一 类特殊的一阶微分方程——全微分方程.
一、 格林公式
规定区域D的边界曲线L的正向:当观察者沿L的某个方 向行进时，区域D总在它的左侧，则该方向即为L的正向， 称该方向的边界曲线L为D的正向边界曲线.例如，对于区 域(x,y)|x2+y2<1，逆时针方向的圆周x2+y2=1是它的正向 边界曲线；对于区域(x,y)|1<x2+y2<2，逆时针方向的圆 周x2+y2=2与顺时针方向的圆周x2+y2=1共同组成了它的 正向边界曲线.
图 10-7
【例10】
一、 格林公式
求I=∫Lexsiny－ b(x+y)dx+(excos y－ ax)dy，其中a,b为正的 常数，L为从点A(2a,0)沿 曲线y=2ax－x2到点 O(0,0)的弧(见图10-8).
图 10-8
一、 格林公式
一、 格林公式
本例中，通过添加一段简单的辅助 曲线，使它与所给曲线构成一封闭曲线， 然后利用格林公式把所求曲线积分化为 二重积分来计算.在利用格林公式计算曲 线积分时，这是常用的一种方法.
(10-7)
二、 平面上曲线积分与路径无关的定义与条件
与路径无关,可以取先从M0(x0,y0)到M(x,y),然后沿平行于x 轴的直线段从M(x,y)到Nx+Δx,y作为上式右端曲线积分的路径 (见图10-11),于是
格林公式积分与路径无关的条件
格林公式积分与路径无关的条件格林公式听起来像是高深莫测的数学魔法，但其实它也挺有趣的，咱们就从最基础的开始聊聊吧。
想象一下你在一个阳光明媚的日子，跟朋友一起在公园散步，手里还拿着冰淇淋。
这时候，突然你发现了一条小路，旁边的小河波光粼粼，真是让人心情大好。
格林公式就像这条小路，帮助我们在平面上计算一些有趣的东西，像是区域的面积，流动的水，或者是风的方向。
说到这里，咱们得先弄明白“路径无关”的意思。
简单说，就是不管你走哪条路，最后的结果都是一样的。
就像你去朋友家，不管你是走左边的街，还是右边的巷子，最终都能到达。
是不是很酷？在数学的世界里，如果你能找到一个这样“稳稳的”路径，那就意味着你可以轻松搞定积分问题，不用担心那些弯弯绕绕的曲线。
就像你选择吃冰淇淋的口味，巧克力还是草莓，结果都是美味的。
咱们得提到格林公式的前提条件。
哎，听起来好像有点复杂，其实就是要确保你所研究的区域是“简单”的，没什么奇怪的洞或者尖尖的角。
就像你在家里打扫卫生，只有地面干净，才能找到丢失的钥匙。
如果你的区域里有缺口，那就得小心翼翼，积分的结果可能就跟你想象的完全不同。
记住，别让复杂的形状把你搞晕了。
干净利落的区域才能给你带来清晰的答案。
除了区域的整洁，曲线的光滑也是非常重要的。
想象一下，如果你在河边骑自行车，结果发现路上满是坑坑洼洼，你肯定骑得晃晃荡荡的，没法顺利前进。
格林公式也一样，它希望你走的路径是平滑的，没有尖锐的转弯。
否则，你的计算可能会像骑在不平坦的路上，得不偿失。
哎，这就好比你跟朋友约好了一起去吃饭，结果她半路上停下来购物，那你肯定得在外面等得无聊透顶。
说到底，格林公式的美妙之处在于它能把复杂的事物简化成简单的计算。
就像在厨房做饭，材料繁多的时候，能找到一个万能的调味料，那真是省时又省力。
使用格林公式，你就可以把多条曲线的积分问题转化为简单的区域积分，一举两得。
是不是很爽快？数学的魅力就在于，它能把看似复杂的东西变得明了，像剥开洋葱一样，层层解开。
第7讲 格林公式(2)
质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到 点B(3, 4), 在此过程中受力 F 作用, F 的大小等于点 M
到原点的距离, 其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为
锐角, 求变力 F 对质点M 所作的功. ( 考研 )
解: 由图知 故所求功为
D
作业
P197 5 7 奇数小题
Q ( x 2 y ) 2 xy. x x
Q P 即， 在整个 xoy 面内恒成立。 y x
因此，在 xoy 面内， xy 2dx x 2 ydy 是某个函数
u (x, y) 的全微分。 取 x0 0, y0 0.
u( x , y ) 0 x 0 dx 0
0 0
y
பைடு நூலகம்
x
AD DB
例3 验证：在 xoy 面内， xy 2dx x 2 ydy 是某个函数 u (x, y) 的全微分，并求出一个这样的函数。 解 这里
P ( x , y ) xy 2 ,
Q( x , y ) x 2 y .
且
P ( xy 2 ) 2 xy, y y
y
2 1
L2
o L1 1
x
L1 : y 0, x : 0 1.
L2 : x 1, y : 0 2.
y y ( e x ) dx ( xe 2 y )dy L
L (e y x )dx ( xe y 2 y )dy L (e y x )dx ( xe y 2 y )dy
闭曲线C D
( 3) 在D内存在U ( x , y )使 du Pdx Qdy
Q P (4) 在D内, y x
格林公式的推导
格林公式的推导
格林公式是一个重要的数学定理，它建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线的曲线积分之间的关系。
以下是格林公式的推导过程：
第一步，设D是一个简单封闭曲线围成的平面区域，函数$P(x,y)$和$Q(x,y)$在
D上具有一阶连续偏导数。
第二步，根据曲线积分和路径无关的条件，我们知道，如果存在一个函数$f(x,y)$，使得$Pdx + Qdy = f(x,y)ds$，其中$ds$是曲线D上的弧长，则曲线积分$\int_{L} Pdx + Qdy$与路径无关。
第三步，根据二重积分的性质，我们知道如果存在一个函数$f(x,y)$，使得$Pdx + Qdy = f(x,y)ds$，则$\int_{D} (Pdx + Qdy) = \int_{D} f(x,y)dxdy$。
第四步，根据第一步和第二步，我们可以得到$\int_{L} Pdx + Qdy = \int_{D} f(x,y)dxdy$。
这就是格林公式的推导过程。
需要注意的是，格林公式只适用于封闭曲线围成的区域。
如果区域不是封闭的，需要添加额外的边界条件或者采用其他方法进行处理。
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记L及l所围成的复连通区域为D1 应用格林公式得
Ll
x
dy x2
ydx y2
(Q x
P y
)dxdy
0
D1
其中l的方向取顺时针方向 于是
L
xdy x2
ydx y2
l
xdy ydx x2 y2
2 0
r2 cos2q r2 sin 2q
r2
dq
2
dy ydx
x2 y2
2 0
r2 cos2q r2 sin 2q
一、格林公式
❖单连通与复连通区域 设D为平面区域 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于
D 则称D为平面单连通区域 否则称为复连通区域 ❖区域的边界曲线的方向
当观察者沿区域D的边界曲线L行走时 如果左手在区域 D内 则行走方向是L的正向
单连通区域
复连通区域
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❖定理1 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成 函数P(x y)及Q(x y)
在D上具有一阶连续偏导数 则有
(Q x
P)dx y
dy
L
Pdx
Qdy
——格林公式
D
其中L是D的取正向的边界曲线 >>>
应注意的问题: 对复连通区域D 格林公式右端应包括
沿区域D的全部边界的曲线积分 且边界的 方向对区域D来说都是正向
定理证明
下页
格林公式:
(
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
D
❖用格林公式计算区域的面积
设区域D的边界曲线为L 则
A
1 2
L
xdy
ydx
提示: 在格林公式中 令Py Qx 则有
L ydx xdy 2dxdy
或
A
dx
dy
1 2
L
xdy
ydx
D
D
下页
格林公式:
(
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
D
❖用格林公式计算区域的面积
设区域D的边界曲线为L 则
A
1 2
L
xdy
ydx
例1 求椭圆xacosq ybsinq 所围成图形的面积A
r2
dq
2
二、平面上曲线积分与路径无关 ❖曲线积分与路径无关 的条件
设G是一个开区域 P(x y)、Q(x y)在区域G内具有一阶 连续偏导数
如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点 B的任意两条曲线L1、L2 等式
L1 PdxQdy L2 PdxQdy
恒成立 就说曲线积分 L PdxQdy 在 G 内
D
为顶点的三角形闭区域
解 令 P0 Q xey2 则 Q P ey2 x y
因此 由格林公式有
提示:
要使 Q P ey2 x y
只需 P0
Q xey2
下页
格林公式:
(
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
D
❖用格林公式计算二重积分
例 2 计算 ey2dxdy 其中 D 是以 O(0 0) A(1 1) B(0 1)
L
xdy x2
ydx y2
0
提示:
这里
P
y x2 y2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Q
x2
x
y2
当x2y20时 有
Q x
y2 x2 (x2 y2)2
P y
下页
例 4
计算
L
xdy x2
ydx y2
其中 L 为一条无重点、分段光滑且
不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向
解 记L所围成的闭区域为D
当(0 0)D时 在D内取一圆周l: x2y2r2(r>0)
解 设L是由椭圆曲线 则
AA11 xxddyyyyddxx 11 22((aabbssinin22qqaabbccooss22qq))ddqq
22 LL
22 00
1 ab 2 dq ab 20
下页
格林公式:
(
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
D
❖用格林公式计算二重积分
例 2 计算 ey2dxdy 其中 D 是以 O(0 0) A(1 1) B(0 1)
与路径无关 否则说与路径有关
下页
二、平面上曲线积分与路径无关的条件
❖曲线积分与路径无关
曲线积分 L Pdx Qdy 在 G 内与路径无关相当于沿 G 内任
意闭曲线 C 的曲线积分 L Pdx Qdy 等于零
这是因为 设L1和L2是G内任意两条从 点A到点B的曲线 则L1(L2)是G内一条任 意的闭曲线 而且有
则
2xydx x2dy 2xydx x2dy 2xydx x2dy
D
为顶点的三角形闭区域
解 令 P0 Q xey2 则 Q P ey2 x y
因此 由格林公式有
ey2dxdy
xey2 dy
D
OA ABBO
xey2 dy 1xex2 dx 1 (1e1)
0
2
OA
下页
格林公式:
(
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
D
❖用格林公式求闭曲线积分
例3 设L是任意一条分段光滑的闭曲线 证明
0
是否一定成立？
提示: >>>
下页
L
Pdx
Qdy与路径无关
L
Pdx
Qdy
0
P y
Q x
.
例 5 计算 2xydx x2dy 其中 L 为抛 L
物线yx2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧
解 这里P2xy Qx2
因为 P Q 2x 所以积分 y x
2xydx x2dy 与路径无关
L
选择从O(0 0)到A(1 0)再到B(1 1)的折线作为积分路线
2xydx x2dy 0
L
证 令P2xy Qx2 则
Q x
P y
2x
2x
0
因此 由格林公式有
L2xydx x2dy 0dxdy0 D
下页
例 4
计算
L
xdy x2
ydx y2
其中 L 为一条无重点、分段光滑且
不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向
解 记L所围成的闭区域为D
当(0 0)D时 由格林公式得
PdxQdy PdxQdy
L1
L2
PdxQdy PdxQdy 0
L1
L2
PdxQdy
L1
L2 PdxQdy 0
L1(L2) PdxQdy 0
下页
二、平面上曲线积分与路径无关的条件
❖曲线积分与路径无关
曲线积分 L Pdx Qdy 在 G 内与路径无关相当于沿 G 内任 意闭曲线 C 的曲线积分 L Pdx Qdy 等于零
L
Pdx
Qdy
0
P y
Q x
.
❖应用定理2应注意的问题
(1)区域G是单连通区域
(2)函数P(x y)及Q(x y)在G内具有一阶连续偏导数 如果这两个条件之一不能满足 那么定理的结论不能保 证成立
讨论:
设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲
线
L的方向为逆时针方向
问
L
xdy x2
ydx y2
❖定理2 (曲线积分与路径无关的判断方法) 设函数 P(x y)及 Q(x y)在单连通域 G 内具有一阶连续偏导
数 则曲线积分 L Pdx Qdy 在 G 内与路径无关(或沿 G 内任意
闭曲线的曲线积分为零)的充分必要条件是等式 P Q y x
在 G 内恒成立 >>>定理证明
下页
L
Pdx
Qdy与路径无关