均值不等式练习题(一)
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a+b 2
4．若a，b∈R，且a≠b，在下列式子
中，恒成立的个数是（ D ）
① a2+3ab>2b2；② a5+b5>a3b2+a2b3；
ab
③ a2+b2≥2(a－b－1)；④
+ >2 ba
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
5．设a，b，c是区间(0，1)内三个互不相等
的实数，且满足 p
=
（D）
y
= sin x + 1 (0 < sin x
x<π) 2
8．已知0<x<1，则x(1－3x)取最大值时x
的值是（ B ）
1
（A） 3
3
（C） 4
1
（B） 6 （D） 2
3
9． 设x，y∈R，且x+y=5，则3x+3y的最
小值是（ D ）
（A）10
（B）6 3
（C）4 6
（D）18 3
10．已知x>1，y>1，且lgx+lgy=4，那么
调 递减 ；当x=
为 68 ；
]，函数在这个区间上单
2 5
时，函数有最 小 值
5
（3）若x∈[4，+∞)，函数在这个区间 上单调 递增 ；当x= 4 时，函数 有最 小 值为 37 ；
例1 已知a,b,c是不全相等的正数，求证：
a(b2 +c2) +b(c2 +a2) +c(a2 +b2) > 6abc
例2 求下列函数的最值，并求相应的x值.
(1) y = 8 x 2 + 1
2x2
(x ≠ 0)
(2) y = x(8 − 3x) (0 < x < 2)
A 一个公式的应用
×
例4 某金店有一不准确的天平（臂长 不等），顾客要买一串金项链，店主分别 把项链放于左右两盘各称一次，然后把两 次称得重量的算术平均数作为项链的重量, 问这种称法是否合理？
为（ A ）
（A）(b, ab]
（B）( ab, a + b)
2
（C）(−∞,
a
+ 2
b
)
∪
(a,
+∞（) D）
(b,
a
+ 2
b
Байду номын сангаас
)
7．在下列函数中，最小值是2的函数为
（C ）
（A）
y
=
x 5
+
5 x
,(x
∈
R,
且x
≠
0)
（B） y = lg x + 1 (1 < x < 10)
lg x
（C） y = 3x + 3−x (x ∈ R)
lgx·lgy的最大值是（ D ）
（A）2
1
（C）4
（B） 1
2
（D）4
11．已知函数y=2+3x2+2x72 ，当x= ± 3 时, 函数有最 小 值是 20 。
12．若x>3，函数y = x + 1 ，当x=4 时,
x−3
函数有最 小 值是 5 .
1
13．若x>0，y>0，且x+y=1，当x= 2 ,
b
a
A 一个公式的应用
×
练习一
1. 判断下列函数能否用本公式求最值？
(1) y = x2 + 81 (x ≠ 0)
x2
(2) y = sin x(7 − sin x)
(3) y = x2 + 2 + 1
x2 + 2 2.求证 : x 2 + 2 ≥ 1
2 x2 +1
A 一个公式的应用
×
练习二
1、已知a、b、c、d都是正数，求证：
logc
a
+ 2
logc
b，q
=
logc
a
+ 2
b
,
r
=
1 2 logc
a+b 2
，则p，q，r的大小关系是（
C
）
（A）q>p>r （B）q<p<r
（C）r<q<p （D）q<r<p
6．已知全集U=R，集合 M = (b, a + b) ，集
2
合 N = ( ab, a)，其中a>b>0，则 M ∩ ðU N
(ab + cd )(ac + bd ) ≥ 4abcd
2、求下列函数的最大（小）值
(1) y = x
(x > 1)
x −1
(2) y = 2 − 3x − 4 (x > 0)
x
1
y= 2
时，xy的最大值是
1 4
。
14．求证： 4 + a ≥ 7 .(a>3)
a−3
4 + a = 4 +(a − 3) + 3≥ 4 + 3 = 7 a−3 a−3
15．已知函数的解析式 y = 4 + 9x
2
x
（1）若x>0，当x= 3 时，函数有最 小 值
为 12 ；
（2）若x∈
(0,
2 5
(
a 2
+
2 a
)(a
+
1 a
)
≥
4
（C）lgx+logx10≥2，其中x>1 （D） x2 + 2 ≥ 2
x2 +1
3．若a>b>0，则下列不等式正确的是（ C）
2ab a + b
（A）
< a+b
2
<
ab
（B）
a+b 2
< 2ab < a+b
ab
（C）
2ab <
ab < a + b
a+b
2
（D） ab < 2ab < a + b
3.2均值不等式练习题
1．已知
1 a
<
1 b
<
0
，则下列结论不正确的
是（ D ）
（A）a2<b2 （B）ab<b2
（C）ba
+
a b
>
2
（D）|a|+|b|>|a+b|
2．下列结论中，错用算术平均值与几何
平均值不等式作依据的是（ B ）
（A）x，y均为正数，则 x + y ≥ 2
yx
（B）a为正数，则
4．若a，b∈R，且a≠b，在下列式子
中，恒成立的个数是（ D ）
① a2+3ab>2b2；② a5+b5>a3b2+a2b3；
ab
③ a2+b2≥2(a－b－1)；④
+ >2 ba
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
5．设a，b，c是区间(0，1)内三个互不相等
的实数，且满足 p
=
（D）
y
= sin x + 1 (0 < sin x
x<π) 2
8．已知0<x<1，则x(1－3x)取最大值时x
的值是（ B ）
1
（A） 3
3
（C） 4
1
（B） 6 （D） 2
3
9． 设x，y∈R，且x+y=5，则3x+3y的最
小值是（ D ）
（A）10
（B）6 3
（C）4 6
（D）18 3
10．已知x>1，y>1，且lgx+lgy=4，那么
调 递减 ；当x=
为 68 ；
]，函数在这个区间上单
2 5
时，函数有最 小 值
5
（3）若x∈[4，+∞)，函数在这个区间 上单调 递增 ；当x= 4 时，函数 有最 小 值为 37 ；
例1 已知a,b,c是不全相等的正数，求证：
a(b2 +c2) +b(c2 +a2) +c(a2 +b2) > 6abc
例2 求下列函数的最值，并求相应的x值.
(1) y = 8 x 2 + 1
2x2
(x ≠ 0)
(2) y = x(8 − 3x) (0 < x < 2)
A 一个公式的应用
×
例4 某金店有一不准确的天平（臂长 不等），顾客要买一串金项链，店主分别 把项链放于左右两盘各称一次，然后把两 次称得重量的算术平均数作为项链的重量, 问这种称法是否合理？
为（ A ）
（A）(b, ab]
（B）( ab, a + b)
2
（C）(−∞,
a
+ 2
b
)
∪
(a,
+∞（) D）
(b,
a
+ 2
b
Байду номын сангаас
)
7．在下列函数中，最小值是2的函数为
（C ）
（A）
y
=
x 5
+
5 x
,(x
∈
R,
且x
≠
0)
（B） y = lg x + 1 (1 < x < 10)
lg x
（C） y = 3x + 3−x (x ∈ R)
lgx·lgy的最大值是（ D ）
（A）2
1
（C）4
（B） 1
2
（D）4
11．已知函数y=2+3x2+2x72 ，当x= ± 3 时, 函数有最 小 值是 20 。
12．若x>3，函数y = x + 1 ，当x=4 时,
x−3
函数有最 小 值是 5 .
1
13．若x>0，y>0，且x+y=1，当x= 2 ,
b
a
A 一个公式的应用
×
练习一
1. 判断下列函数能否用本公式求最值？
(1) y = x2 + 81 (x ≠ 0)
x2
(2) y = sin x(7 − sin x)
(3) y = x2 + 2 + 1
x2 + 2 2.求证 : x 2 + 2 ≥ 1
2 x2 +1
A 一个公式的应用
×
练习二
1、已知a、b、c、d都是正数，求证：
logc
a
+ 2
logc
b，q
=
logc
a
+ 2
b
,
r
=
1 2 logc
a+b 2
，则p，q，r的大小关系是（
C
）
（A）q>p>r （B）q<p<r
（C）r<q<p （D）q<r<p
6．已知全集U=R，集合 M = (b, a + b) ，集
2
合 N = ( ab, a)，其中a>b>0，则 M ∩ ðU N
(ab + cd )(ac + bd ) ≥ 4abcd
2、求下列函数的最大（小）值
(1) y = x
(x > 1)
x −1
(2) y = 2 − 3x − 4 (x > 0)
x
1
y= 2
时，xy的最大值是
1 4
。
14．求证： 4 + a ≥ 7 .(a>3)
a−3
4 + a = 4 +(a − 3) + 3≥ 4 + 3 = 7 a−3 a−3
15．已知函数的解析式 y = 4 + 9x
2
x
（1）若x>0，当x= 3 时，函数有最 小 值
为 12 ；
（2）若x∈
(0,
2 5
(
a 2
+
2 a
)(a
+
1 a
)
≥
4
（C）lgx+logx10≥2，其中x>1 （D） x2 + 2 ≥ 2
x2 +1
3．若a>b>0，则下列不等式正确的是（ C）
2ab a + b
（A）
< a+b
2
<
ab
（B）
a+b 2
< 2ab < a+b
ab
（C）
2ab <
ab < a + b
a+b
2
（D） ab < 2ab < a + b
3.2均值不等式练习题
1．已知
1 a
<
1 b
<
0
，则下列结论不正确的
是（ D ）
（A）a2<b2 （B）ab<b2
（C）ba
+
a b
>
2
（D）|a|+|b|>|a+b|
2．下列结论中，错用算术平均值与几何
平均值不等式作依据的是（ B ）
（A）x，y均为正数，则 x + y ≥ 2
yx
（B）a为正数，则