均值不等式练习题(一)
数学课后训练：第一章§平均值不等式
平均值不等式练习1已知x ＞0，y ＞0，且x ＋2y ＝1，则11xy+的最小值是（ ）．A ．2+ B ．3+ C ．2+ D ．7+2当x ＞0时，212y x x 3+＝的最小值为( ）．AB ．3CD ． 3已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是（ )． A ．3 B ．4 C ．92 D ．1124设x ，y ∈R ＋，且xy －(x ＋y ）＝1，则下列不等式正确的是( )． A ．)21x y +≥ B ．1xy ≤ C ．)21x y +≤ D ．)21xy ≥5若a 是正实数，2a 2＋3b 2＝10,则的最大值等于__________．6已知lg x ＋lg y ＝2，则11xy+的最小值为__________．7求证：21x+≥．8在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＋BC ＝1(定值），将图形沿AB 的中垂线折叠，使点A 落在点B 上,求图形未被遮盖部分面积的最大值．参考答案1 答案:B ∵x ，y ∈(0，＋∞)，x ＋2y ＝1，∴112221+2x y x y y x xyxyxy+++=+=++≥当且仅当2y x xy=，即x =，也就是当12y =-，1x =时等号成立,故11xy+的最小值为3+．2 答案:A22133132222x x y x x x =+=++≥== 当且仅当23122x x=，即x =3 答案：B∵222(2)2x y xy x y +⎛⎫=⋅≤ ⎪⎝⎭，∴228=2222x y x y xy x y +⎛⎫++≤++ ⎪⎝⎭，即(x ＋2y )2＋4（x ＋2y ）－32≥0． 又x ＞0,y ＞0，∴x ＋2y ≥4．当且仅当x ＝2,y ＝1时取等号，即x ＋2y 的最小值是4． 4 答案：A ∵xy －（x ＋y ）＝1,∴212x y x y xy +⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，当且仅当x ＝y 时等号成立．∴（x ＋y )2－4(x ＋y ）－4≥0．∴x y +≥2x y +≤-（舍去）．5∵a ＞0，2a 2＋3b 2＝10,∴a =≤222232a b ++=222366a b ++=1066+==．当且仅当=即2a 2－3b 2＝6，即a 2＝4,223b =时，等号成立． 6 答案：15∵lg x ＋lg y ＝2，∴lg xy ＝2，∴xy ＝102＝100,∴1111005x y xyxy++=≥==， 当且仅当x ＝y ＝10时等号成立．7 答案：证明：设t 则t ≥1，∴222422t 1111x t t t t =-+=++-≥=． 当且仅当22tt=，即t =，x =∴21x≥．8 答案：分析:根据题意先列出解析式,利用解析式中的关系及平均值不等式的定理求解．解：如图，将图形沿AB 的中垂线折叠,使点A 落在点B 上，未被遮盖部分是Rt △ACD ．设BC ＝a ，AC ＝b ，b ＜a ，则a ＋b ＝1,tan =b B a，∠ADC ＝2∠B ，DC ＝b cot 2B ．∴Rt △ACD 的面积：222211=cot 2=222a b S b B b ab -⋅1121=4a a a (-)(-)⋅ 11=324a a ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1(34≤-．当且仅当12=a a ,即=2a 时,max1=(34S-． 故图形未被遮盖部分面积的最大值是1(34-．。
均值不等式练习题及答案
均值不等式练习题及答案均值不等式练习题及答案均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。
是求范围问题最有利的工具之一，在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。
尤其要注意它的使用条件。
a2?b21. 若a,b?R，则a?b?2ab 若a,b?R，则ab? 22 2. 若a,b?R，则时取“=”） *a?b?ab2若a,b?R，则a?b?*2ab 2?*a?ba2?b2ab??3. 均值不等式链：若a、b都是正数，则，当且仅当a?b22?ab2时等号成立。
平均数）一、基本技巧技巧1：凑项例已知x?技巧2：分离配凑4，求函数y?4x?2?1的最大值。
x?5 x2?7x?10的值域。
例求y?x?1技巧3：利用函数单调性例求函数y?2的值域。
技巧4：整体代换例已知x?0,y?0，且19??1，求x?y的最小值。
xy典型例题1. 若正实数X，Y 满足2X+Y+6=XY ，则XY 的最小值是a?b?22. 已知x＞0,y＞0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值cd是A.0B.1C.D.23. 若不等式x+ax+4≥0对一切x∈平分圆x2+y2-2x-4y-6=0，则2+1的最小值是abA.1B.C.4D.3+225. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y的最小值是 .6. 已知x,y?R?，且满足xy??1，则xy的最大值为34 ab11?的最小值为 ab1A B C 1 D 7. 设a?0,b?0.3与3的等比中项，则8. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是A.428B.C.D.659. 若a?0,b?0,a?b?2，则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是．①ab?1；②；③ a2?b2?2；④a3?b3?3；⑤11??ab210.设a＞b＞0，则a?11?的最小值是 abaa?b1234 11.下列命题中正确的是12A、y?x?的最小值是B、y?的最小值是xC、y?2?3x?4x的最大值是2? D值是2?12. 若x?2y?1，则2x?4y的最小值是______ 、y?2?3x?4x的最小均值不等式应用一．均值不等式1.若a,b?R，则a2?b2?2ab 若a,b?R，则ab2. 若a,b?R*，则a?b2*a?b222a?b时取“=”）ab 若a,b?R，则a?b?22aba?b?若a,b?R，则ab??） ?? ?2a?b2注：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．求最值的条件“一正，二定，三取等”均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域y＝3x解：y＝3x＋11y＝x＋xx13x ＝∴值域为[，+∞）2x1x· ＝2； x1x· =－2x1≥22x1当x＞0时，y＝x＋≥x11当x＜0时， y＝x＋= －≤－2xx∴值域为解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x?54，求函数y4x?2?14x?5的最大值。
均值不等式(基本不等式+知识点+例题+习题)pdf版
t
t
t
答案：[2, )
例 2 求函数 y x2 3 的最小值． x2 1
解析：令 x2 1 t,t 1，则 x2 t2 1 ，带入原式化简得 y t 2 2 2 ， t
当 t 2 即 t 2 时等号成立． t
答案： 2 2
例 3 已知 x 1，求 f (x) x2 x 1 的最小值． 2x 1
2
2
2 | 10
[不等式] 练习答案：
1
2
38
对勾函数：
形如 f (x) ax b (ab 0) 的函数． x
利用对勾函数性质可解决均值不等式等号不成立时的情况．
性质
a 0,b 0
y
a 0,b 0 y
图像
2 ab
Obxab a NhomakorabeaO
x
-2 ab
定义域
值域 奇偶性 渐近线
{x | x 0}
2
题型四：分离换元法求最值（二次比一次或一次比二次时用）
例 1 求函数 y x2 3 (x 1) 的值域． x 1 2
解析：令 x 1 t,t 3 ，则 x t 1，带入原式得到 y (t 1)2 3 t 4 2 ，
2
t
t
t 4 2 2 t 4 2 2 ，当 t 4 即 t 2 时等号成立．
解析：构造对勾函数 y 3x 12 ，由函数性质可知 x (3, ) 时函数单调递减， x
故
y
3x
12 x
y(3)
13
．
答案： (, 13]
练习 1 练习 2
已知 x 0 ，求函数 y x 4 的最小值． x4
已知 x 3，求函数 y 2x 3 的值域． 2x
利用均值不等式求最值练习题一
利用均值不等式求最值练习题一1．（2020春•西城区校级月考）已知a＞0，b＞0，a+b＝1，若11==a ba bαβ++，，则α+β的最小值是（ ）A．3 B．4 C．5 D．62．（2020春•蚌埠期末）已知x+1＞y＞0，则x++的最小值为（ ） A．﹣1 B． C．2﹣1 D．3﹣13．（2020春•沙坪坝区校级期末）正数m，n满足m+n＝2，则+的最小值为（ ） A． B． C． D．24．（2020春•西安区校级期末）已知0＜x＜1，则的最小值为（ ）A．9 B． C．5 D．5．（2020春•南昌期末）已知a，b＞0，且满足a2+ab＝1，则3a+b的最小值为（ ） A． B． C．2 D．26．（2020春•九龙坡区校级期中）若x，y∈R+，且，则3x+4y的最小值是（ ）A．5 B． C． D．7．（2019秋•南城县校级期末）已知正数x，y满足x+y＝1，且≥m，则m的最大值为（ ） A． B． C．2 D．48．（2019秋•淮安期末）函数y＝2x+（x＞1）的最小值是（ ）A．2 B．4 C．6 D．89．（2019秋•诸暨市期末）已知a，b＞0，a+b＝1，则的最小值是（ ） A． B． C． D．10．（2020•兖州区模拟）已知正数m，n满足m（n﹣1）＝8n，则m+2n的最小值是（ ） A．18 B．16 C．8 D．1011．（2020春•宣城期末）已知x＞0，y＞0，2x+y＝2xy，若x+ay的最小值为8，则正实数a的值为（ ）A．2 B． C．3 D．12．（2020春•如皋市期末）设a＞0，b＞0，且2a+b＝1，则（ ）A．有最小值为4 B．有最小值为C．有最小值为 D．无最小值13．（2020春•浙江期末）实数x，y，x＞﹣1，且满足xy+y＝﹣x+3，则x+y的最小值是（ ）A．1 B． C．2 D．314．（2020•镇海区校级模拟）若a＞0，b＞0，且，则a2+b2的最小值为（ ）A．2 B． C．4 D．15．（2020春•工农区校级期末）若正数x，y满足x+4y﹣xy＝0，则的最大值为（ ） A． B． C． D．116．（2020春•南关区校级期中）若x＞0，则的最小值为（ ）A． B． C．1 D．17．（2020春•沙坪坝区校级期中）已知实数x，y满足x+y＝1，﹣1＜x＜1，则的最小值为（ ） A． B． C．5 D．218．（2020春•昌吉市期中）若a＞0，b＞0，a+2b＝3，则的最小值为（ ） A．5 B．6 C．8 D．919．（2020•滨海新区模拟）已知正实数a，b满足a+b＝1，则的最小值为（ ） A．13 B．11 C．10 D．920．（2020•和平区二模）已知a，b＞0，，则当取最小值时，的值为（ ） A．2 B． C．3 D．421．（2020春•四川月考）已知实数a＞0，b＞1满足a+b＝5，则+的最小值为（ ） A． B． C． D．22．（2020•邯郸模拟）设m，n为正数，且m+n＝2，则的最小值为（ ）A． B． C． D．23．（2020•济宁模拟）已知实数a，b满足ab＞0，则﹣的最大值为（ ） A．2﹣ B．2+ C．3﹣2 D．3+224．（2019秋•梅河口市校级期末）已知a，b为正数，4a2+b2＝7，则的最大值为（ ） A． B． C． D．225．（2019秋•开封期末）已知m＞0，n＞0，，若不等式m+n≥﹣x2+2x+a对已知的m，n及任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A．[8，+∞） B．[3，+∞） C．（﹣∞，3] D．（﹣∞，8]26．（2019秋•楚雄州期末）已知x＞0，y＞0，若不等式恒成立，则正数m的最小值是（ ）A．2 B．4 C．6 D．827．（2020•湖北模拟）若不等式﹣m≥0对x∈（0，）恒成立，则实数m的最大值为（ ）A．7 B．8 C．9 D．1028．（2019秋•滨海新区期末）若正数x，y满足x2+xy﹣2＝0，则3x+y的最小值是（ ）A．4 B． C．2 D．429．（2020春•重庆期末）已知关于x的一元二次不等式kx2﹣x+1＜0的解集为（a，b），则2a+b的最小值是（ ）A．6 B．5+2 C．3+2 D．330．（2020春•襄城区校级月考）若正实数x，y满足4x+y＝xy，且恒成立，则实数a的取值范围为（ ）A．[﹣1，4] B．（﹣1，4） C．[﹣4，1] D．（﹣4，1）31．（2020春•浙江期中）已知正实数x，y，z满足x2+y2+z2＝1，则u＝的最小值是（ ） A．9 B．3 C．4 D．532．（2020春•驻马店期末）已知正实数x，y满足x+2y＝2xy．则x+y的最小值为（ ）A．4 B． C． D．33．（2020春•渝中区校级期末）已知实数a＞0，b＞0，＝，则a+2b的最小值为（ ） A．2 B．6 C．3 D．334．（2020春•合肥期末）已知a＞0，b＞0，且不等式≥恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A．[﹣4，4] B．（﹣∞，4] C．[﹣4，+∞） D．[﹣3，3]35．（2020春•丽水期末）已知实数x，y满足x＞y＞0，且x+y＝1，则的最小值为（ ） A． B．+ C．3+2 D．236．（2020春•路南区校级月考）若a，b为大于1的实数，且满足a+b＝ab，则的最小值是（ ）A．2 B．4 C．6 D．837．（2020•浙江模拟）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c＝0，且使|2a+b|最大时，的最小值为（ ）A． B． C．﹣2 D．238．（2019秋•越城区校级期末）已知x，y都是正实数，则+的最大值为（ ） A． B． C． D．39．（2020春•湖北期末）若x＞0，y＞0，且＝1，则2x+y的最小值为（ ） A．2 B．2 C． D．4+240．（2020•天津）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则++的最小值为 ．参考答案1．（2020春•西城区校级月考）已知a＞0，b＞0，a+b＝1，若11==a ba bαβ++，，则α+β的最小值是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6解：∵a＞0，b＞0，a+b＝1，若11==a ba bαβ++，∴α+β＝a+b++＝1+＝3+≥3+2＝5，当且仅当，也即当a＝b＝时，α+β取最小值5．故选：C．2．（2020春•蚌埠期末）已知x+1＞y＞0，则x++的最小值为（ ） A．﹣1 B． C．2﹣1 D．3﹣1解：根据题意，x++＝+++﹣1＝（+）+（+）﹣1，又x+1＞y＞0，则+≥2＝2，当且仅当x+y+1＝2时等号成立，+≥2＝，当且仅当x﹣y+1＝时等号成立，故x++＝（+）+（+）﹣1≥3﹣1，当且仅当x+1＝，y＝时等号成立．故选：D．3．（2020春•沙坪坝区校级期末）正数m，n满足m+n＝2，则+的最小值为（ ） A． B． C． D．2解：∵正数m，n满足m+n＝2，∴（m+1）+（n+2）＝5，+＝1，∴+＝（+）（+）＝++≥+2＝，当且仅当m＝，n＝时“＝”成立，故选：B．4．（2020春•西安区校级期末）已知0＜x＜1，则的最小值为（ ）A．9 B． C．5 D．解：因为＝+＝（+）（x+1﹣x）＝++．∵0＜x＜1，∴x＞0且1﹣x＞0，，当且仅当，即时，取得最小值2．∴的最小值为．故选：B．5．（2020春•南昌期末）已知a，b＞0，且满足a2+ab＝1，则3a+b的最小值为（ ） A． B． C．2 D．2解：∵a2+ab＝1，∴．即3a+b＝＝．当且仅当a＝时取等号．∴3a+b的最小值为，故选：C．6．（2020春•九龙坡区校级期中）若x，y∈R+，且，则3x+4y的最小值是（ ）A．5 B． C． D．解：∵x，y∈R+，且，∴3x+4y＝＝＝，当且仅当，即时等号成立，故选：A．7．（2019秋•南城县校级期末）已知正数x，y满足x+y＝1，且≥m，则m的最大值为（ ） A． B． C．2 D．4解：根据题意，正数x，y满足x+y＝1，则＝+＝（y+1）+﹣4+（x+1）+﹣4＝（+）﹣5，又由+＝（+）[（x+1）+（y+1）]＝[8++]≥，当且仅当x＝y＝时等号成立，则＝（+）﹣5≥﹣5＝，即的最小值为，若≥m，则m的最大值为；故选：B．8．（2019秋•淮安期末）函数y＝2x+（x＞1）的最小值是（ ）A．2 B．4 C．6 D．8解：因为y＝2x+＝2（x﹣1）++2＝6，当且仅当2（x﹣1）＝即x＝2时取等号，此时取得最小值6．故选：C．9．（2019秋•诸暨市期末）已知a，b＞0，a+b＝1，则的最小值是（ ） A． B． C． D．解：∵a，b＞0，a+b＝1，∴由权方和不等式可得，（，“＝”），故选：A．10．（2020•兖州区模拟）已知正数m，n满足m（n﹣1）＝8n，则m+2n的最小值是（ ） A．18 B．16 C．8 D．10解：∵正数m，n满足m（n﹣1）＝8n，∴．∴m+2n＝≥10+＝18，当且仅当，即m＝12，n＝3时取等号，∴m+2n的最小值为18．故选：A．11．（2020春•宣城期末）已知x＞0，y＞0，2x+y＝2xy，若x+ay的最小值为8，则正实数a的值为（ ）A．2 B． C．3 D．解：因为x＞0，y＞0，2x+y＝2xy，所以＝2，x+ay＝（x+ay）（）×＝（2a+1+）≥（2a+1+2）＝，当且仅当时取等号，由题意可得，＝8，则正实数a＝．故选：D．12．（2020春•如皋市期末）设a＞0，b＞0，且2a+b＝1，则（ ）A．有最小值为4 B．有最小值为 C．有最小值为 D．无最小值解：∵a＞0，b＞0，且2a+b＝1，∴b＝1﹣2a＞0，解得0＜a＜．∴＝+＝+﹣2＝（a+1﹣a）（+）﹣2＝3++﹣2≥2+1＝2+1，当且仅当a＝﹣1，b＝3﹣2时取等号．∴有最小值2+1． 故选：B．13．（2020春•浙江期末）实数x，y，x＞﹣1，且满足xy+y＝﹣x+3，则x+y的最小值是（ ）A．1 B． C．2 D．3解：实数x，y，x＞﹣1，且满足xy+y＝﹣x+3，∴3﹣（x+y）＝xy≤，化为：（x+y+6）（x+y﹣2）≥0，∵x＞﹣1，∴y＝＞0，∴x+y+6＝x+1++4≥8．解得x+y≥2，当且仅当x＝y＝1时取等号．∴x+y的最小值是2．故选：C．14．（2020•镇海区校级模拟）若a＞0，b＞0，且，则a2+b2的最小值为（ ）A．2 B． C．4 D．解：∵a＞0，b＞0，且，∴≥2，可得ab≥2．当且仅当a＝b＝时取等号．∴a2+b2≥2ab≥4，当且仅当a＝b＝时取等号．则a2+b2的最小值为4，故选：C．15．（2020春•工农区校级期末）若正数x，y满足x+4y﹣xy＝0，则的最大值为（ ）A． B． C． D．1解：因为正数x，y满足x+4y﹣xy＝0，所以x+4y＝xy即＝1，x+y＝（x+y）（）＝5+≥5+4＝9，当且仅当且＝1，即y＝3，x＝6时取等号，此时x+y取得最小值9，则的最大值为．故选：A．16．（2020春•南关区校级期中）若x＞0，则的最小值为（ ）A． B． C．1 D．解：因为x＞0，则＝＝，当且仅当即x＝1时取等号，故选：D．17．（2020春•沙坪坝区校级期中）已知实数x，y满足x+y＝1，﹣1＜x＜1，则的最小值为（ ） A． B． C．5 D．2解：由x+y＝1可得x+1+y＝2，则＝（）（x+1+y）×＝（+5），当且仅当且x+y＝1即x＝﹣，y＝时取等号，故选：A．18．（2020春•昌吉市期中）若a＞0，b＞0，a+2b＝3，则的最小值为（ ） A．5 B．6 C．8 D．9解：∵（）（a+2b）＝（312）≥×（15+2＝9等号成立的条件为，即a＝b＝1时取等，所以的最小值为9．故选：D．19．（2020•滨海新区模拟）已知正实数a，b满足a+b＝1，则的最小值为（ ） A．13 B．11 C．10 D．9解：由＝＝1∵a+b＝1，∴＝（）（a+b）＝5+，当且仅当b＝，a＝时取等号． ∴的最小值为9+1＝10故选：C．20．（2020•和平区二模）已知a，b＞0，，则当取最小值时，的值为（ ） A．2 B． C．3 D．4解：由得，，等号成立时，即b＝2a，此时故选：C．21．（2020春•四川月考）已知实数a＞0，b＞1满足a+b＝5，则+的最小值为（ ） A． B． C． D．解：因为a＞0，b＞1满足a+b＝5，则+＝（+）[a+（b﹣1）]×，＝，当且仅当时取等号，故选：A．22．（2020•邯郸模拟）设m，n为正数，且m+n＝2，则的最小值为（ ） A． B． C． D．解：当m+n＝2时，，因为，当且仅当m+1＝n+2，即时取等号，则，即最小值为．故选：D．23．（2020•济宁模拟）已知实数a，b满足ab＞0，则﹣的最大值为（ ） A．2﹣ B．2+ C．3﹣2 D．3+2解：∵ab＞0，则﹣＝＝＝＝3， 当且仅当时取等号，此时取得最大值为3．故选：C．24．（2019秋•梅河口市校级期末）已知a，b为正数，4a2+b2＝7，则的最大值为（ ） A． B． C． D．2解：因为4a2+b2＝7，则＝＝≤＝2，当且仅当4a2＝1+b2时，取得最大值．故选：D．25．（2019秋•开封期末）已知m＞0，n＞0，，若不等式m+n≥﹣x2+2x+a对已知的m，n及任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A．[8，+∞） B．[3，+∞） C．（﹣∞，3] D．（﹣∞，8]解：∵，当且仅当时等号成立，∴﹣x2+2x+a≤9，即a≤x2﹣2x+9＝（x﹣1）2+8，∴a≤8．故选：D．26．（2019秋•楚雄州期末）已知x＞0，y＞0，若不等式恒成立，则正数m的最小值是（ ）A．2 B．4 C．6 D．8解：因为x＞0，y＞0，正数m；∴＝，因为不等式恒成立，所以，即，解得，所以m≥4．故选：B．27．（2020•湖北模拟）若不等式﹣m≥0对x∈（0，）恒成立，则实数m的最大值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10解：根据题意，x∈（0，），则1﹣4x＞0，则＝+＝[4x+（1﹣4x）]（+）＝5++≥5+2×＝9，当且仅当1﹣4x＝2x时等号成立，则的最小值为9，若不等式﹣m≥0对x∈（0，）恒成立，即式≥m恒成立，必有m≤9恒成立， 故实数m的最大值为9；故选：C．28．（2019秋•滨海新区期末）若正数x，y满足x2+xy﹣2＝0，则3x+y的最小值是（ ）A．4 B． C．2 D．4解：因为x2+xy﹣2＝0，所以＝，所以3x+y＝3x+＝2x+≥4，当且仅当x＝1时等号成立，故选：A．29．（2020春•重庆期末）已知关于x的一元二次不等式kx2﹣x+1＜0的解集为（a，b），则2a+b的最小值是（ ）A．6 B．5+2 C．3+2 D．3解：由（a，b）是不等式kx2﹣x+1＜0的解集，所以a，b是方程kx2﹣x+1＝0的两个实数根， 所以a+b＝，ab＝，且k＞0；所以a+b＝ab，且a＞0，b＞0；即+＝1；所以2a+b＝（2a+b）•（+）＝3++≥3+2＝3+2，当且仅当b＝a时“＝”成立；所以2a+b的最小值为3+2．故选：C．30．（2020春•襄城区校级月考）若正实数x，y满足4x+y＝xy，且恒成立，则实数a的取值范围为（ ）A．[﹣1，4] B．（﹣1，4） C．[﹣4，1] D．（﹣4，1）解：因为正实数x，y满足4x+y＝xy，所以，所以x+＝（x+）（）＝2+＝4，当且仅当且，即x＝2，y＝8时取得等号，此时取得最小值4，因为恒成立，所以4＞a2﹣3a，解可得，﹣1＜a＜4．故选：B．31．（2020春•浙江期中）已知正实数x，y，z满足x2+y2+z2＝1，则u＝的最小值是（ ） A．9 B．3 C．4 D．5解：∵正实数x，y，z满足∴x2+y2+z2＝1，∴0＜z＜1，0＜1﹣z＜1，由基本不等式可得，z（1﹣z）＝，当z＝1﹣z即z＝时取等号，∵x2+y2+z2＝1，∴1﹣z2＝x2+y2≥2xy，当且仅当x＝y＝时取等号，∴＝≥1，∴，则u＝＝4，当且仅当x＝y＝，z＝时取等号，此时取得最小值4．故选：C．32．（2020春•驻马店期末）已知正实数x，y满足x+2y＝2xy．则x+y的最小值为（ ）A．4 B． C． D．解：∵正实数x，y满足x+2y＝2xy，∴＝2，即+＝2，∴x+y＝（）•（+）＝+1++≥+2＝+，当且仅当x2＝2y2时，等号成立，则x+y的最小值为+，故选：D．33．（2020春•渝中区校级期末）已知实数a＞0，b＞0，＝，则a+2b的最小值为（ ） A．2 B．6 C．3 D．3解：令s＝a+1，t＝b+1，则s＞1，t＞1，且＝，∴a+2b＝（s﹣1）+2（t﹣1）＝s+2t﹣3，而s+2t＝2（s+2t）•（）＝2（1+++2）≥2×（3+2）＝2（3+），当且仅当＝，即s＝t时，等号成立．∴s+2t的最小值为2（3+），∴a+2b＝s+2t﹣3≥2（3+）﹣3＝3+4．故选：D．34．（2020春•合肥期末）已知a＞0，b＞0，且不等式≥恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A．[﹣4，4] B．（﹣∞，4] C．[﹣4，+∞） D．[﹣3，3]解：因为a＞0，b＞0，且不等式≥恒成立，所以≥m2，即10+≥m2，因为10+＝16，当且仅当即a＝b时取等号，m2≤16，所以﹣4≤m≤4．故选：A．35．（2020春•丽水期末）已知实数x，y满足x＞y＞0，且x+y＝1，则的最小值为（ ） A． B．+ C．3+2 D．2解：因为实数x，y满足x＞y＞0，且x+y＝1，所以x＞1﹣x＞0，解可得1＞x＞＞y＞0，则＝＝，＝（）[（3﹣2x）+（2x﹣1）]，＝[3+]＝，当且仅当＝时取等号，故选：B．36．（2020春•路南区校级月考）若a，b为大于1的实数，且满足a+b＝ab，则的最小值是（ ）A．2 B．4 C．6 D．8解：若a，b为大于1的实数，且满足a+b＝ab，所以（a﹣1）（b﹣1）＝1，即，故＝4（b﹣1）+（a﹣1）＝4b+a﹣5，同时a，b为大于1的实数，且满足a+b＝ab，整理得．所以4a+b＝＝4+，（当且仅当a＝2b时，等号成立） 故4b+a﹣5的最小值为9﹣5＝4．故选：B．37．（2020•浙江模拟）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c＝0，且使|2a+b|最大时，的最小值为（ ）A． B． C．﹣2 D．2解：∵4a2﹣2ab+4b2﹣c＝0，∴＝（a﹣）2+，由柯西不等式得，[（a﹣）2+][22+（）2]≥[2（a﹣）+b•]2＝|2a+b|2故当|2a+b|最大时，有＝，∴a＝b，c＝10b2，∴＝﹣+＝（）2﹣＝（）2﹣2，当b＝时，取得最小值为﹣2． 故选：C．38．（2019秋•越城区校级期末）已知x，y都是正实数，则+的最大值为（ ） A． B． C． D．解：因为x，y都是正实数，则+＝＝1+＝1+≤．当y＝2x时取等号，∴+的最大值为．故选：B．39．（2020春•湖北期末）若x＞0，y＞0，且＝1，则2x+y的最小值为（ ） A．2 B．2 C． D．4+2解：（法一）＝1可变形为，所以2x+y＝（4x+2y）＝[（3x+3）+（x+2y）]﹣＝[（3x+3）+（x+2y）]（）﹣＝[4+]﹣≥﹣＝，当且仅当x+2y＝3x+3即x＝，y＝时取等号，（法二）原式可得y＝，则2x+y＝2x+＝≥2+＝+， 当且仅当，即x＝时取“＝”故选：C．40．（2020•天津）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则++的最小值为 4．解：a＞0，b＞0，且ab＝1，则++＝+＝+≥2＝4，当且仅当＝，即a＝2+，b＝2﹣或a＝2﹣，b＝2+取等号，故答案为：4。
不等式-均值不等式-练习题
即 2 a2c b2a c2b a b c bc ca ab .
4.解：由于
2010 i 1
1
x 2008 i
x 2009 i
2010
x i1 i
x 2009 i
1
x 2009 i
.
令 yi xi
1
x 2009 i
，则对任意的1 i 2010 ，有
4
3
我们有 ab bc ac 1 a b c2 1 1 a ，（1）
4
3
4 12 4
以及 ab bc ac 1 a b c 1 bc
4
4
a 1 a 1 bc 1 1 bc bc ，（2）
4
44
y2009 i
1 2009
2009
x2009 i
1
x2009 i
2009
1
2009xi2009
2009
2009
2010
1
x2009 i
2010
1 2009
20092010 2010
1
即有
yi
1 2009
2009 2010
2009
均值不等式【高考题】
利用一、求最值之杨若古兰创作直接求 例1、若x,y 是负数，则(x +1)2+(y +1)2的最小值是【】2y LXA.3B.7C .4D .922例2、设X ,”R ,a >1,b >1,若a x -b y -3,a +b =23,则1+1的最大值为【】xyA.2B.3C.1D.122练习1.若x >0，则x +2的最小值为.x练习2.设x ,y 为负数,则(x +y )(1+4)的最小值为【】xyA.6B.9C.12D 15练习3.若a >0,b >0,且函数f (x )-4x 3一ax 2-2bx +2在x -1处有极值，则ab 的最大值等于【】A.2B.3C.6D.9练习4.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，贝1J x -吨. 练习5.求以下函数的值域：（a +b ）2的最小值是【】cd A.0B.4C.2D.1 例3、已知a>0,b >0,c >0且a +b +c —1,则（1一1）（1一1）（1一1）最小值为【】abcA.5B.6C.7D.8凑系数例4、若x ,y e R +，且x +4y -1，则x .y 的最大值是. 练习1.已知x ,y E R +，且满足x +y =1，则孙的最大值为. 34练习2.当0<x <4时，求y -x (8-2x )的最大值.凑项例5、若函数f (x )-x +1(x >2)在x -a 处取最小值，则a -【】x -2⑴y-3x 2+2：2⑵ 练习6.已知x >0,y >0, 1 y -x + x x ,a ,b ,y 成等差数列，x , d ,y 成等比数列，则A-1+2B-1+3C-3D-4练习1.已知x <5，求函数尸4，一2+，的最大值.44%—5 练习2.函数，+%(%>3)的最小值为【】%—3A.2B.3C.4D.5练习3.函数2%2+3(%>0)的最小值为【】% A-艰BYCWD-微 两次用不等式例6、已知抽a +log b >1，贝I3a +9b 的最小值为 22例7、已知a >0,b >0，则1+1+2%a 的最小值是【】ab A-2B-2R C-4D-5例8、设a >b >c >0，则2a 2+L -10ac +25c 2的最小值是【aba (a -b ) A-2B-4C-2V 5D-5练习1.设a >b >0，A-1B-2C-3D-4 练习2.设a >b >0，则a 2+1的最小值是【】b (a —b )A-2B-3C-4D-5练习3.设a >b >0，则a +1的最小值是【】 十b (2a -b )A-33/2B-3<3C-232D-33/4222 练习4.设a >2b >0，则(a -b )2+9的最小值是-b (a-2b ) 换元例9、若%2+y 2二4,则％-y 的最大值是-练习1.设a ,b G R ,a 2+2b 2=6,则a +b 的最小值是【】 A--22B--52C--3D--732 例10、设%,y 是实数，且%2+y 2=4,则S =2%y 的最小值是【】%+y -2A --2B--、2C-2-2k D-2(<2+1)练习1.若%2+y2T 盯则最大值是%y —±,%+y -1 练习2.若0<a <1,0<%<y <1,且(log x )(log y )二1则冲【】aa 消元例11、设x ,y ,z 为正实数，满足%.2y +3z =0，则竺的最小值是. xz练习1.已知实数a ,b ,c 〉0满足a +b +c =9,ab +b c +ca=24,，则b 的取值范围为 两次用 11 a 2+—+j aba (a —b ) 的最小值是【例12、已知负数x,y,z满足x2+y2+z2=1,则S=上z的最小值是【】2xyzA.3B.3a+；")C.4D.2(v2+1)练习1.已知负数x,y,z满足x2+y2+z2=1,则S=上的最小值是【】2xyz2A.3B.9C.4D.2c2练习2.已知x,y,z均为负数，则盯+y z的最大值是【】x2+y2+z2A.q初C.2,/2D.2V3练习3.已知实数x,y,z满足x2+y2+z2=1,则尤xy+yz的最大值是全体代换例13、已知〃>0,b>0,a+b=2，贝y=1+4的最小值是【】abA.7B.4C.9D.5例14、函数y=a-(a>0,a01)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0(mn>0)上，则I—+—的最小值为.mn例15、设a>0,b>0,若4万是3a与3b的等比中项，则1+1的最小值为abA.8B.4C.1D.14、例16、已知a,b,c都是正实数，且满足log(9a+b)=log abb，则使4a+b>c恒成93立的c的取值范围是A.[4,2)B.[0,22)C.[2,23)D.(0,25]练习1.函数klogG+3)」(〃>0且a=1)的图象恒过定点A，若点A在直线a mx+ny+1=0上，其中mn>0,则1+2的最小值为.mn练习2.若x,y e R+,且2x+y=1，则L1的最小值为.xy练习3.已知x>0,y>0，且1+9=1，求x+y的最小值.xy练习4.若x,y e R+且2x+y=1，求11的最小值.+xy练习5.已知a,b,x,y e R+且ab［，求x+y的最小值.+=1xy练习6.已知x>1,x>1,xx2=1000,则上+▲的最小值等于【I1212lg x lg x12A.4B,4<6C,7+2、落D.7—261-33练习7.若0<x<1,a,b为常数，则竺+上的最小值是x 1一x练习8.已知a >b >也,+'>与恒成立，则m 的取值范围是a -bb -ca 一c 练习9.a ,b e(0,+8),a +3b =1,则+_L 最小值为aa33b分离法【分式】例17、已知t >0，则函数y ='2一4t +1的最小值为.t例18、已知x >5,则f (x )=x 2一4x +5有【】 22x -4A.£大值58.最小值50最大值1口.最小值1 练习1.求y =x 2+7x +10(x >_1)的值域.x +1练习2.若x >1,则函数y =x +1+上的最小值为.'xx 2+1放缩法——解不等式例19、设x ,y 为实数，若4x 2+y 2+町=1,则2x +y 的最大值 是.例20已知2+1=2(x >0,y >0)，则xy 的最小值是.xy 例21、若a 是1+2b 与1_2b 的等比中项，则2ab 的最大值为【】a +2bA.空B.,翔C.V5D.\；215丁"5"万 练习1.若实数x ,y 满足x 2+y 2+町=1，则x +y 的最大值是. 练习2.若正实数X ,Y 满足2X +Y +6=XY ,则XY 的最小值是 练习3.已知x >0,y >0,x +2y +2町=8,则X +2y 的最小值是【】A.3B.4C.£D.q练习4.已知a >0,b >0,ab -（a +b ）=1，求a +b 的最小值.练习5：已知5+2=2（X >0,y >0）恒成立，则xy 的最小值是. Xy 练习6.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值. 练习7.若实数X ,y 满足4X +4y =2X +1+2y +1则t=2X +2y 的取值范围是 取平方例22、若a ,b ,c >0且a 2+2ab +2ac +4bc =12，则a +b +c 的最小值是【】A.2x /3B .3C .2D .<3练习1.若a ,b ,c>0且a （a+b+c ）+bc =4-2a ，则2a +b +c 的最小值为【】A -<3-1B .\；3+1C .2七3+2D.2,；3-2练习2.已知X ,y 为正实数，3X +2y =10，求函数w =3X +2y 的最值.取平方+解不等式 例23、已知a>0,b>0,c >0且a +b+c =1,则a 2+b 2+c 2最小值为【】A.1B.1C.1D.1结合2单3调性4——5与函数例24、若a ,b e R +,a +b=1,则ab+-1的最小值为【】abA.41B.41C.°1D,2 44224-练习1,求函数丫_%2+5的值域. y _E练习2.求以下函数的最小值，并求取得最小值时工的值. ⑴y _X 2+3X +1,（X >0）（2）y _2X +—,X >3X X -3（3）y _2sin X +—i —,X e （0,兀）sin X练习3.已知0<%<1,求函数y =\X E ）的最大值. 练习4.0<X <2,求函数y _.X 2F 的最大值.3 练习5.设a ,b e R +且2a+b_1,S_2ab-4a 2-b 2的最大值是【】A.2-1B.2-1C.2+1D.2+122例25、已知0+b_1，则a 4+b 4的最小值是【】A.1B.£C.1D.1练习1.若实数a ,b ,c 满足2a +2b =2a +b ,2a +2b +2c =2a +b +c ,则c 的最大值是 用另一个公式例26、函数、3+4=7的最大值为.练习1.已知a ,b G R+,a 2+吃=1,，则a 、瓦的最大值是【】2 A.1B.1C.32D.三212例27、已知a 〉0,b >0,c >0且a+b+c =1,则工+_!+_!最小值为【】a 2b 2c 2A.12B.11C.21D.27直接取值【讨论】例28、a 2+b 2-1,b 2+c 2-2,c 2+a 2=2,则ab +bc +ca 的最小值【】A.右一1B.1_、,3C.-1_,运D.1+；32222利用二、恒成立成绩例1、若a ,b e R ，且ab>0，则以下不等式中，恒成立的是【】 A,a 2+b 2>2ab B-a +b>2、/abC 112ba 、C*-+->^=D--+->2ababbab 例2、设a ,b ,c 是互不相等的负数， A*|a -b 1<1a -c 1+1b -c I B,a 2+—>a +1a 2a0*I a -b I +>2D *a+3-a+1<a+2-aa -b例3、设a >0,b>0,则以下不等式中不恒成立的是【••••a 2+b 2+2>2a +2b *I a —b I >a —例4、已知不等式a+y )(i+a )>9对任意正实数羽》恒成立，则正实数a xy的最小值为【】 A.8B.6C.4D.2例5、若直线x +y =1通过点M (cos a ,sin 。
均值不等式练习题精编版
60．已知正数 满足 ，则 的最大值为．
62．设 均为正实数，且 ，则 的最小值为____________．
65．函数 的图象恒过定点A,若点A在直线 上,其中 ,则 的最小值为_______.
66．已知 ，且 ，则 的最小值是.
67．一环保部门对某处的环境状况进行了实地测量，据测定，该处的污染指数等于附近污染源的污染强度与该处到污染源的距离之比．已知相距 的 ， 两家化工厂(污染源)的污染强度分别为 和 ，它们连线上任意一点处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和．现拟在它们之间的连线上建一个公园，为使两化工厂对其污染指数最小，则该公园应建在距 化工厂公里处．
56．在等式 的值为
57．若 ，且函数 在 处有极值，则 的最大值等于_.
58．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与它速度的平方成正比，除燃料费外其它费用为每小时 元.当速度为 海里/小时时，每小时的燃料费是 元.若匀速行驶 海里，当这艘轮船的速度为___________海里/小时时，费用总和最小.
43．已知函数 的定义域为 ，则实数 的取值范为.
44．(1） 成立当且仅当 均为正数.（2） 的最小值是
（3） 的最大值是 （4） 成立当且仅当 .
以上命题是真命题的是
45．设 是△ 内一点,且 · ， ，定义 ，其中 分别是△ 、△ 、△ 的面积，若 ，则 的最小值是.
46．若实数 满足 ， ，则 的最大值是.
71．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为 元/ ，中间两道隔墙建造单价为 元/ ，池底建造单价为 元/ ，水池所有墙的厚度忽略不计．
(完整版)28道基本不等式均值不等式练习题
基本不等式习题1．若,0>>b a 则下列不等式成立的是 （ ） A.ab b a b a >+>>2 B.b ab b a a >>+>2C.ab b b a a >>+>2D.b b a ab a >+>>22．已知点(,)A m n 在直线21x y +=上，其中0mn >，则21m n +的最小值为 （ ）A.B.8C.9D.123．已知0,2b a ab >>=，则22a b a b+-的取值范围是（ ） A ．(],4-∞- B ．(),4-∞- C ．(],2-∞- D ．(),2-∞-4．已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则11x y+的最小值是A ．6B ．5C ．3+．5．设0,1a b >>，若3121a b a b +=+-，则的最小值为A.4+6．若正数,x y 满足35,x y xy +=则34x y +的最小值是（ ）A.245B.285C.6D.5 8．若0a b >> 且3322a b a b -=-，则+a b 的取值范围是（ ）A ．()0,+∞B ．()1,+∞C ．()1,2D ．41,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ 9．若两个正实数y x ,满足141=+y x ，且不等式m m y x 342-<+有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．)4,1(- B ．),4()1,(+∞--∞ C ．)1,4(- D ．),3()0,(+∞-∞10．已知正数,,a b c 满足,,a b ab a b c abc +=++=则c 的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛34,0B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛34,21C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛3431，D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛34,1 11．已知0,0a b >>，如果不等式212m a b a b+≥+恒成立，那么m 的最大值等于（ ）A ．10 B ．7 C ．8 D ．913．正实数a ，b 满足123a b+=，则()()12a b ++的最小值是 ． 15．若b a ab b a +=+则）（,log 43log 24的最小值是 ． 16．若点()1,1A 在直线022=-+ny mx 上，其中,0>mn 则11m n+的最小值为 ． 18．若221a ab b -+=，a ，b 是实数，则a b +的最大值是 ．19．若实数,0x y >且1xy =，则2x y +的最小值是 ，2242x y x y++的最小值是 ． 20．已知0,0,2,2x y xy x y xy m >>=+≥-若恒成立，则实数m 的最大值为 . 21．0,0>>y x ，112=+yx ，若m m y x 222+>+恒成立，则m 的取值范围是 ． 22．已知实数,x y 满足0x y >>，且2x y +=，则1224x y x y ++-的最小值为 ． 23．若正实数,a b 满足115a b a b+++=，则a b +的最大值是________． 24．设,0,5a b a b ,1++3a b 的最大值为________.25．已知正数y x ,满足111=+yx ，则1914-+-y y x x 的最小值为 ． 26．若0,0>>y x ，且2421=+++y x y x ，则y x 57+的最小值为__________． 27．已知32x ≥，则22211x x x -+-的最小值为 ． 28．已知0x >，0y >，1x y +=，则2221x y x y +++的最小值为 ．。
均值不等式及其应用(针对练习)(原卷版)
第一章集合与常用逻辑用语、不等式1.4.2均值不等式及其应用（针对练习）针对练习针对练习一均值不等式的内容及辨析1． ,a b R ∈，下列不等式始终成立的是A ．()2221a b a b +>--B ．22a b ab +≥C ．2a b+≥D ．22a b ab+⎛⎫≥ ⎪⎝⎭2．若0a b >>，则下列不等式成立的是（）A ．2a ba b +>>>B ．2a b a b +>>>C ．2a ba b +>>>D ．2a ba b +>>>3．下列不等式中正确的是（）A ．224a b ab+≥B ．44a a+≥C ．221242a a ++≥+D ．2244a a+≥4．下图称为弦图，是我国古代三国时期赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，我们新教材中利用该图作为“（）”的几何解释．A ．如果a b >，b c >，那么a c >B ．如果0a b >>，那么22a b >C ．对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立D ．如果a b >，0c >那么ac bc >5．若,a b R +∈，则下列关系正确的是（）A．2112a b a b+≤≤≤+B．2112a ba b+≤≤≤+C2112a ba b+≤≤≤+D2112a b a b+≤≤≤+针对练习二均值不等式的简单应用6．设正实数,x y 满足21x y +=，则xy 的最大值为（）A ．12B ．14C ．18D ．1167．已知0m >，0n >，且0m n +-=，则mn 的最大值是（）A ．1BC ．3D ．58．正实数a ，b 满足25a b +=，当b =（）时，ab 取得最大值.A ．254B ．258C ．52D ．549．已知21a b -=，则139ba⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为（）A ．4BC．D10．已知两个正数,,m n 满足3mn =，则3m n +的最小值为（）A ．3B ．6CD针对练习三均值不等式相关拓展公式的应用11．已知0a >，0b >，1a b +=，则以下不等式正确的是（）A ．114ab+≤、B+≥C ．221a b +≥D ．2214ab a b +≥12．已知0x >，0y >，且2x y +=，则下列结论中正确的是（）A ．22xy+有最小值4B ．xy 有最小值1C ．22x y +有最大值4D 有最小值413．已知0a >，0b >，且1a b +=．下述四个结论①14ab >；②ln ln 0a b +<；③1916a b +≥；④2212a b +≥.其中所有正确结论的编号是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④14．已知0a >，0b >，且2a b +=，则下列式子不恒成立的是（）A ．222a b +≥B ．124a b ->C ．22log log 0a b +≥D 2+≤15．已知0a ≥，0b ≥，且4a b +=，则（）A ．3ab ≤B ．5ab ≥C ．228a b +≥D ．2212a b +≤针对练习四均值不等式“1”的妙用16．已知0a >，0b >，431a b +=，则13b a+的最小值为（）A ．13B ．19C ．21D ．2717．若正数,x y 满足315xy +=，则34x y +的最小值是（）A ．245B ．285C ．5D ．618．已知实数，,0,191a b a b >+=，则119ab+的最小值为（）A ．100B ．300C ．800D ．40019．已知0a >，0b >，32a b ab +=，则a b +的最小值为（）A ．2B ．3C ．2D ．220．设0a >，1b >，若2a b +=，则411ab +-的最小值为（）针对练习五对勾函数与均值定理的关系与区别21．下列各函数中，最小值为4的是（）A ．4y x x=+B ．4sin (0)sin y x x xπ=+<<C ．34log log 3x y x =+D ．4x x y e e -=+22．若0x >，则下列说法正确的是（）A的最小值为2B ．11x x ++的最小值为1C ．122x x+的最小值为2D ．1lg lg x x+的最小值为223．已知0a ≠,下列各不等式恒成立的是A ．12a a+>B ．12a a+≥C ．12a a+≤-D ．12a a+≥24．函数()933y x x x =+>-的最小值是（）A ．2B ．4C ．6D ．925．已知函数4y x x=+，()0,4x ∈，则该函数（）A ．有最大值5，无最小值B ．无最大值，有最小值4C ．有最大值5和最小值4D ．无最大值和最小值针对练习六分式最值问题26．函数21()1x x f x x ++=-（1x >）的最小值为（）A ．B ．3+C ．2+D ．527．若函数()()22422x x f x x x -+=>-在x a =处取最小值，则=a （）28．若72x ，则2610()3x x f x x -+=-有（）A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值229．若a ，b ，c 均为正实数，则2222ab bca b c +++的最大值为（）A ．12B ．14C ．2D 30．设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（）A ．0B ．3C ．94D ．1针对练习七均值不等式的综合应用31．已知1F ，2F 是椭圆22:12516x yC +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）．A ．13B ．12C ．25D ．1632．如图，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ､AC 两边交于M ､N两点（M ､N 与B ､C 不重合），设AB xAM = ，AC y AN = ，则1111x y +++的最小值为（）A ．12B ．23C ．34D ．4533．已知0a >，0b >，在()32111133ax bx x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭的展开式中，若3x 项的系数为2，则11a b+的最小值为（）A ．12B ．2C ．34D ．4334．已知tan tan 1αβ=，则cos cos αβ的最大值为（）A ．12B ．14C．2D．435．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且51a =，则下列选项不正确的是（）A ．372a a +≥B ．462a a +≥C ．76210a a -+≥D ．191911a a a a +=+。
均值不等式的应用(习题+标准答案)
均值不等式的应用(习题+答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：均值不等式应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式练习题
均值不等式练习题1. 练习题一已知非零实数a、b满足ab<0，证明(a+b)/2 > √ab.解：我们将证明这个不等式是基于均值不等式的。
首先，根据均值不等式，我们知道对于任意两个正数x和y，有(x + y)/2 ≥ √xy.因此，我们可以推导出(a + b)/2 > √ab.首先，根据已知条件ab < 0，我们可以得出a和b有不同的符号。
假设a>0，b<0，那么我们可以得到√ab = √(a*(-b)) = √(a * -1 * (-b)) = √(a * 1 * b) = √(ab) < 0.另一方面，由于a>0，b<0，所以(a + b)/2 = (a + b)/2 > a/2 + b/2 > √ab + √ab = 2√ab > √ab.综上所述，我们证明了(a + b)/2 > √ab.2. 练习题二已知非零实数a、b、c满足abc = 1，证明a/b + b/c + c/a ≥ a + b + c.解：我们将证明这个不等式是基于均值不等式的。
首先，根据均值不等式，我们知道对于任意三个正数x、y、z，有(x/y + y/z + z/x)/3 ≥ (x + y + z)/(x + y + z)，即(x/y + y/z + z/x) ≥ (x + y + z).因此，我们可以推导出(a/b + b/c + c/a)/3 ≥ (a + b + c)/(a + b + c)，即(a/b + b/c + c/a) ≥ (a + b + c).首先，根据已知条件abc = 1，我们可以得到a、b、c有不同的符号。
假设a>0，b<0，c>0，那么我们可以得到b/c < 0，c/a > 0，那么a/b +b/c + c/a = a/b + (b/c) + (c/a) > a/√(bc) + (-1) + √(bc)/a = (a^2 - bc)/a√(bc) = (a^2 - 1)/a√(bc) = (a - 1/a)/√(bc).另一方面，由于abc = 1，我们知道√(bc) = 1/√a，所以(a - 1/a)/√(bc)= (a - 1/a)√a = (a^2 - 1)/a ≥ a + b + c.综上所述，我们证明了(a/b + b/c + c/a) ≥ (a + b + c).3. 练习题三已知非零实数a、b满足a+b = 2，证明a^2b^2(a^2+b^2) ≤ 2.解：我们将通过变量替换的方法来证明这个不等式。
均值不等式【高考题】
应用一、求最值 直接求例1、若x ，y 是正数，则22)21()21(xy y x +++的最小值是【 】 A ．3 B ．27 C ．4 D ．29例2、设yx b a b a b a R y x yx11,32,3,1,1,,+=+==>>∈则若的最大值为【 】 A. 2 B.23 C. 1 D. 21 练习1.若0x >，则2x x+的最小值为 . 练习2.设,x y 为正数, 则14()()x y xy++的最小值为【 】 A.6 B. 9 C. 12 D. 15练习3.若0,0>>b a ,且函数224)(23+--=bx ax x x f 在1=x 处有极值，则ab 的最大值等于【 】 A.2 B ．3 C ．6 D ．9练习4.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨. 练习5.求下列函数的值域：（1）22213x x y += （2）xx y 1+= 练习6.已知0x >，0y >，x a b y ，，，成等差数列，x c d y ，，，成等比数列，则2()a b cd+的最小值是【 】A.0B.4C.2D.1例3、已知0,0,01,a b c a b c >>>++=且则111(1)(1)(1)a b c---最小值为【 】 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 凑系数例4、若x y ∈+R ，，且14=+y x ，则x y ⋅的最大值是 ． 练习1.已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 . 练习2. 当40<<x 时，求(82)y x x =-的最大值.例5、若函数)2(21)(>-+=x x x x f 在x a =处取最小值，则a =【 】 A.21+B ．31+C ．3D ．4练习1.已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值. 练习2.函数1(3)3x x x +>-的最小值为【 】 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 练习3.函数232(0)x x x+>的最小值为【 】A. B. 两次用不等式例6、已知22log log 1a b +≥，则39ab+的最小值为__________.例7、已知0,0a b >>，则11a b++ 】A.2 B ．．4 D ．5 例8、设0a b c >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值是【 】A.2B.4C.5 练习1.设0a b >>，则()211a ab a a b ++-的最小值是【 】 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 练习2.设0a b >>，则21()a b a b +-的最小值是【 】 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 练习3.设0a b ≥>，则1(2)a b a b +-的最小值是【 】A. C. 练习4.设20a b >>，则29()(2)a b b a b -+-的最小值是 .例9、若y x y x -=+则,422的最大值是 .练习1.设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是【 】 A ．22-B ．335-C ．3-D ．27-例10、设,x y 是实数，且224,x y +=则22xyS x y =+-的最小值是【 】A.2-B.C. 2-1) 练习1.若221,x y +=1xyx y +-则最大值是练习2.若01,01,a x y <<<≤<且(log )(log )1a a x y =则xy 【 】 A.无最大值也无最小值 B.无最大值但有最小值 C.有最大值但无最小值 D.有最大值也有最小值 消元例11、设,,x y z 为正实数，满足230x y z -+=，则2y xz的最小值是 .练习1。
均值不等式及其应用练习题含答案
均值不等式及其应用练习题（1）1. 如果二次函数y=ax2+bx+1的图象的对称轴是x=1，并且通过点A(−1, 7)，则()A.a=2，b=4B.a=2，b=−4C.a=−2，b=4D.a=−2，b=−42. 在下列函数中，最小值是2的是()A.y=x2+2xB.y=√x2+2√x2+2C.y=7x+7−xD.y=x2+8x(x>0)3. 下列不等式中，正确的是( )A.a+4a ≥4 B.a2+b2≥4ab C.√ab≥a+b2D.x2+3x2≥2√34. 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC=a，BC= b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E．则该图形可以完成的所有的无字证明为( )A.a+b2≥√ab(a>0, b>0) B.a2+b2≥2ab(a>0, b>0)C.√ab≥21a +1b(a>0, b>0) D.a2+b22≥a+b2(a≥0, b>0)5. 若0<x<y<1，则下列结论正确的是（）A. B.e x>e x−y C.x n<y n，n∈N∗ D.log x y>log y x6. 下列函数中，最小值是2的是（ ） A.y =a 2−2a+2a−1(a >1) B.y =√x 2+2√x 2+2C.y =x 2+1x2D.y =x2+2x7. 若2x +4y =4，则x +2y 的最大值是________．8. 已知x ，y 均为正实数，且满足1x+1y +3xy=1，则x +y 的最小值为________．9. 定义max {a,b}={a(a ≥b)b(a <b)，已知实数x ，y 满足x 2+y 2≤1，设z =max {x +y, 2x −y}，则z 的取值范围是________．10. 若实数a >b ，则下列不等式正确的是________.(填序号) (1)a +c >b +c ；(2)ac <bc ；(3)1a<1b ；(4)a 2>b 2.11. 已知函数f(x)＝−2x 2+7x −3． （1）求不等式f(x)>0的解集；（2）当x ∈(0, +∞)时，求函数y =f(x)x的最大值，以及y 取得最大值时x 的值．12. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y （单位：万元）与机器运转时间x （单位：年）的关系式为y =−x 2+18x −25(x ∈N ∗)．则当每台机器运转多少年时，年平均利润最大，并求最大值．13. 设函数y ＝ax 2+bx +3(a ≠0)．（1）若不等式ax 2+bx +3>0的解集为(−1, 3)，求a ，b 的值；（2）若a +b ＝1，a >0，b >0，求1a +4b 的最小值．参考答案与试题解析均值不等式及其应用练习题（1）一、选择题（本题共计 3 小题，每题 5 分，共计15分）1.【答案】B【考点】二次函数的性质【解析】由对称轴是x=1可得b2a=−1，又因为图象过点A(−1, 7)，代入解析式得a−b=6，从而解得结果．【解答】解：∵对称轴是x=1，∴b2a=−1.∵图象过点A(−1, 7)，∴a−b=6，∴a=2，b=−4.故选B．2.【答案】C【考点】基本不等式【解析】由基本不等式求最值的规则，逐个选项验证可得．【解答】解：A，x的正负不确定.当x>0时，y的最小值为2，故错误；B，当取等号时x2+2=1，即x2=−1，不存在实数x满足，故错误；C，y=7x+7−x≥2√7x⋅7−x=2，当且仅当7x=7−x，即x=0时取等号，故正确．D，y=x2+8x (x>0)≥2√x2⋅8x=4√2x，积不是定值，故错误.故选C.3.【答案】D【考点】基本不等式【解析】利用基本不等式成立的条件，判断选项的正误即可．【解答】解：当a<0时，则a+4a≥4不成立，故A错误；当a=1，b=1时，a2+b2<4ab，故B错误；当a=4，b=16时，则√ab<a+b2，故C错误；由均值不等式可知D项正确．故选D.二、多选题（本题共计 3 小题，每题 5 分，共计15分）4.【答案】A,C【考点】基本不等式及其应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可得：CD2=AC⋅BC，因为OD≥CD，所以a+b2≥√ab(a>0, b>0)．由于CD2=DE⋅OD，所以DE=CD 2OD =aba+b2，所以由CD≥DE，整理得：√ab≥2aba+b =21a+1b(a>0, b>0)．故选AC.5.【答案】A,B,C【考点】利用不等式比较两数大小【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】A,C【考点】基本不等式及其应用【解析】根据应用基本不等式的基本条件，分别判断即可求出．【解答】解：对于A，y=a 2−2a+2a−1=(a−1)2+1a−1=(a−1)+1a+1≥2√(a−1)⋅1a−1=2，当且仅当a−1=1a−1，即a=2时取等号，故A正确；对于B，y=√x2+2√x2+2≥2，当且仅当√x2+2=√x2+2，即x2=−1时取等号，显然不成立，故B错误；对于C，y=x2+1x2≥2√x2⋅1x2=2，当且仅当x=±1时取等号，故C正确；对于D，当x<0时，无最小值，故D错误．故选AC.三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）7.【答案】2【考点】基本不等式及其应用【解析】由基本不等式可得4＝2x+4y≥2√2x⋅4y=2√2x+2y，即可求解．【解答】解：由基本不等式可得，4=2x+4y≥2√2x⋅4y=2√2x+2y，当且仅当x=2y且2x+4y=4，即y=12，x=1时取等号，∴2x+2y≤4，∴x+2y≤2.则x+2y最大值是2．故答案为：2.8.【答案】6【考点】基本不等式及其应用【解析】由1x +1y+3xy=1可得xy＝x+y+3，然后结合基本不等式即可求解．【解答】由1x +1y+3xy=1可得xy＝x+y+(3)又因为xy≤(x+y2)2，所以(x+y2)2≥x+y+3，，即(x+y)2−4(x+y)−12≥0，即(x+y−6)(x+y+2)≥0，所以x+y≤−2或x+y≥(6)又因为x，y均为正实数，所以x+y≥6（当且仅当x＝y＝3时，等号成立），即x+y 的最小值为（6）9.【答案】[3√55, √5]不等式比较两数大小【解析】直线为AB将约束条件x2+y2≤1，所确定的平面区域分为两部分，如图，令z1=x+ y，点(x, y)在在半圆ACB上及其内部；令z2=2x−y，点(x, y)在四边在半圆ADB上及其内部（除AB边）求得，将这两个范围取并集，即为所求．【解答】解：(x+y)−(2x−y)=−x+2y，设方程−x+2y=0对应的直线为AB，∴Z={x+y,(−x+2y≥0)2x−y,(−x+2y<0)，直线为AB将约束条件x2+y2≤1，所确定的平面区域分为两部分，令z1=x+y，点(x, y)在半圆ACB上及其内部，如图求得−3√55≤z1≤√2；令z2=2x−y，点(x, y)在半圆ADB上及其内部（除AB边），求得−3√55≤z2≤√5．如图综上可知，z的取值范围为[−3√55, √5]；故答案为：[−3√55, √5]10.【答案】(1)不等式的基本性质【解析】由不等式的性质逐项判断即可．【解答】解：已知a>b，则a+c>b+c，(1)正确；当c≥0时，(2)显然不正确；当a，b满足其中一个为0时，(3)显然无意义；取a=1，b=−2可知a2<b2，(4)不正确．故答案为：(1).四、解答题（本题共计 3 小题，每题 5 分，共计15分）11.【答案】由题意得−2x2+7x−3>0，因为方程−2x2+7x−3＝0有两个不等实根x1=12，x2＝3，又二次函数f(x)＝−2x2+7x−3的图象开口向下，所以不等式f(x)>0的解集为{x|12<x<3}．由题意知，y=f(x)x =−2x2+7x−3x=−2x−3x+7，因为x>0，所以y=−2x−3x +7=7−(2x+3x)≤7−2√6，当且仅当2x=3x ，即x=√62时，等号成立．综上所述，当且仅当x=√62时，y取得最大值为7−2√6．【考点】基本不等式及其应用【解析】（1）结合二次方程与二次不等式的关系及二次不等式的求法即可求解，（2）先进行分离，然后结合基本不等式即可求解．【解答】由题意得−2x2+7x−3>0，因为方程−2x2+7x−3＝0有两个不等实根x1=12，x2＝3，又二次函数f(x)＝−2x2+7x−3的图象开口向下，所以不等式f(x)>0的解集为{x|12<x<3}．由题意知，y=f(x)x =−2x2+7x−3x=−2x−3x+7，因为x>0，所以y=−2x−3x +7=7−(2x+3x)≤7−2√6，当且仅当2x=3x ，即x=√62时，等号成立．综上所述，当且仅当x =√62时，y 取得最大值为7−2√6．12. 【答案】解：根据题意，年平均利润为yx =−x −25x+18，∵ x >0，∴ x +25x≥2√x ×25x=10，当且仅当x =5时，等号成立， ∴ 当x ＝5时，年平均利润最大， 最大值为：−10+18=8(万元). 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】确定年平均利润函数，利用基本不等式求函数的最值，即可得到结论． 【解答】解：根据题意，年平均利润为yx =−x −25x+18，∵ x >0，∴ x +25x≥2√x ×25x=10，当且仅当x =5时，等号成立， ∴ 当x ＝5时，年平均利润最大， 最大值为：−10+18=8(万元). 13.【答案】由已知可得，x ＝−1，x ＝3是ax 2+bx +3＝0的两根， 故{−ba =23a=−3 ，解可得，a ＝−1，b ＝2， a +b ＝1，a >0，b >0， ∴ 1a +4b =(1a +4b )(a +b)＝5+ba +4a b≥5+2√4=9，当且仅当ba =4ab且a +b ＝1即a =13，b =23时取等号，此时取得最小值9． 【考点】基本不等式及其应用 【解析】（1）由已知可得，x ＝−1，x ＝3是ax 2+bx +3＝0的两根，结合方程根与系数关系可求；（2）由已知可得1a +4b =(1a +4b )(a +b)＝5+ba +4a b，然后利用基本不等式即可求解．【解答】由已知可得，x ＝−1，x ＝3是ax 2+bx +3＝0的两根，故{−ba =23a =−3，解可得，a ＝−1，b ＝2， a +b ＝1，a >0，b >0， ∴ 1a +4b =(1a +4b )(a +b)＝5+ba +4a b≥5+2√4=9，当且仅当ba =4a b且a +b ＝1即a =13，b =23时取等号，此时取得最小值9．。
(完整版)高一均值不等式练习题大全
基本不等式练习题1、若实数x，y 满足x2 +y2 = 4 ，求xy 的最大值
2、若 x>0,求f (x) = 4x +9
x
的最小值;
3、若x < 0 ，求y =x +1
x
的最大值
4、若x<0,求f (x) = 4x +9
x
的最大值
5、求f (x) = 4x +
9
x -5
(x>5)的最小值.
6、若x，y∈R+，x+y=5，求xy 的最值
7、若x，y∈R+，2x+y=5，求xy 的最值
8、已知直角三角形的面积为4 平方厘米，求该三角形周长的最小值
基本不等式练习题
1 12
1、求 y = + x x - 3
(x > 3) 的最小值.
2、求 y = x (5 - x ) (0 < x < 5) 的最大值.
3、求 y = x (1- 4x )(0 < x < 1
) 的最大值。
4
4、求 y = + 3x x (x < 0) 的最大值.
5、若 x > 2 ，求 y = 2x - 5 + 1 x - 2
的最小值
6、若 x < 0 ，求 y = x 2 + x +1 x
的最大值。
x 2 + 3 7、求 y
.
8（1）用篱笆围成一个面积为 100m 2 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。
最短的篱笆是多少？
（2）段长为 36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?。
均值不等式练习题解析版
均值不等式练习题班级_______姓名____________1. 已知x,y∈R+，xy=2x+y，则x+y取得最小值时，x=．2. 若a>0，b>0，且a+b=4，则下列不等式恒成立的是_______________①1ab ≤14②1a+1b≤1③√ab≥2③a2+b2≥83. 下列结论正确的是______________①若a,b∈R，则ba +ab≥2②若x<0，则x+4x ≥−2√x⋅4x=−4③若ab≠0，则b2a +a2b≥a+b④若x<0，则2x+2−x>24. “a>0，b>0”是“ab<(a+b2)2”的条件5. “x+1x>2”是“x>1”的条件6. 设a>1，b>1且ab−(a+b)=1，下列结论正确的是_______________①a+b有最小值2+2√2②a+b有最大值2+2√2③ab有最大值√2+1④ab有最小值2+2√27. 设m∈R且m≠0，“不等式m+4m>4”成立的一个必要不充分条件是( )①m≠2②m>0且m≠2③m>2④m≥28. 设直线x=t(t>0)与曲线y=x2+2和x轴分别交于A，B两点，C(t+1t,2)，则△ABC面积的最小值为．9. 若不等式(x+y)(ax +4y)≥16对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为．10. 已知a>0，b>0，若a+b=4，则a2+b2的最小值为．11. 已知x>0，y>0，且x+2y=2，那么xy的最大值是．12. 已知x>54，则函数y=4x+14x−5的最小值为．13. 已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时（设月租金均为50元的整数倍），就会多一套房子不能出租．设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用（设没有出租的房子不需要花这些费用），则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为元．14. 已知0<x<1，当x=_______时，√x(1−x)的值最大．15. 已知x>−1，求x+4x+1的值最小值.16. 设a，b，c∈R，求证：b+ca +c+ab+a+bc≥6．17. 设ab≠0，利用基本不等式有如下证明：ba +ab=b2+a2ab≥2abab=2．试判断这个证明过程是否正确．若正确，请说明每一步的依据；若不正确，请说明理由．18. 某工厂有一面长14m的旧墙，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126m2的厂房．工程条件是：①修1m新墙的费用为a元；②修1m旧墙的费用是a4元；③用拆去1m旧墙所得的材料建1m新墙的费用为a2元．经过讨论有两种方案（设利用旧墙的矩形厂房的一面边长为x m）：方案1：利用旧墙的一段为矩形厂房的一面边长(x<14)：方案2：利用旧墙为矩形厂房的一面边长(x≥14)．则如何利用旧墙，即x为多少时建墙费用最省?答案1. √2+12. ④【解析】4=a +b ≥2√ab （当且仅当 a =b 时，等号成立），即 √ab ≤2，ab ≤4，1ab ≥14，选项①，③不成立；1a +1b =a+b ab=4ab ≥1，选项②不成立；a 2+b 2=(a +b )2−2ab =16−2ab ≥8，选项④成立．3. ④ 【解析】对于①，当 ab <0 时不成立； 对于②，若 x <0，则 x +4x =−(−x +4−x)≤−2√(−x )⋅4−x =−4，当且仅当 x =−2 时，等号成立，因此②选项不成立；对于③，取 a =−1，b =−2，b 2a +a 2b=−92<a +b =−3，所以③选项不成立；对于④，若 x <0，则 2x +2−x >2 成立． 4. 既不充分也不必要【解析】当 a >0，b >0 时，a+b 2≥√ab ，即 ab ≤(a+b 2)2，当 a =b 时，ab <(a+b 2)2 不成立，故“a >0，b >0”不是“ab <(a+b 2)2”的充分条件．当 ab <(a+b 2)2 时，a ，b 可以异号，故 a >0，b >0 不一定成立，故“a >0，b >0”不是“ab <(a+b 2)2”的必要条件．故“a >0，b >0”是“ab <(a+b 2)2”的既不充分也不必要条件．5. 必要而不充分6. ① 【解析】因为 a >1，b >1 且 ab −(a +b )=1，所以 1+a +b =ab ≤(a+b 2)2，则 (a +b )2−4(a +b )−4≥0，得 a +b ≥2+2√2 或 a +b ≤−2√2+2（舍去），当且仅当 a =b =1+√2 时等号成立．因为 a +b =ab −1≥2+2√2，所以 ab ≥3+2√2，当且仅当 a =b 时等号成立． 7. ①8. √2．【解析】由 {x =t,y =x 2+2可得 A (t,t 2+2)，所以 ∣AB∣=t 2+2，则 △ABC 的面积S=12×∣∣t +1t−t ∣∣×(t 2+2)=12×t 2+2t =12(t +2t )≥12×2√t ×2t=√2,当且仅当 t =2t ，即 t =√2 时等号成立，所以 △ABC 面积的最小值为 √2．9. 4【解析】因为不等式 (x +y )(a x +4y)≥16 对任意正实数 x ，y 恒成立，所以 16≤[(x +y )(ax +4y )]min，令 f (x )=(x +y )(ax +4y )(a >0)，则f (x )=a +4+ay x+4x y ≥a +4+2√ayx ⋅4x y=a +4+4√a,当且仅当 xy =√a2时取等号， 所以 a +4√a ++4≥16，解得 a ≥4， 因此正实数 a 的最小值为 4． 10. 8 11. 12【解析】因为 x >0，y >0，且 x +2y =2， 所以 xy =12x ⋅2y ≤12×(x+2y 2)2=12×(1)2=12，当且仅当 x =2y =1，即 x =1，y =12 时，取等号，故 xy 的最大值是 12． 12. 7【解析】因为 x >54，所以 4x −5>0．y =4x +14x−5=(4x −5)+14x−5+5≥2+5=7． 当且仅当 4x −5=14x−5，即 x =32时等号成立．法二：因为 x >54，令 yʹ=4−4(4x−5)2=0，得 x =1 或 x =32，当 54<x <32 时，yʹ<0，函数单调递减； 当 x >32 时，yʹ>0，函数单调递增．所以当 x =32时函数取得最大值为：4×32+14×32−5=7．13. 3300【解析】设利润为 y 元，租金定为 3000+50x (0≤x ≤70,x ∈N ) 元．则 y =(3000+50x )(70−x )−100(70−x )=(2900+50x )(70−x )=50(58+x )(70−x )≤50(58+x+70−x 2)2，当且仅当 58+x =70−x ，即 x =6 时，等号成立，故每月租金定为 3000+300=3300（元）时，公司得最大利润．14. 0<x <1⇒√x >0，√1−x >0⇒√x ⋅√1−x ≤x+(1−x )2=12，即 √x (1−x )≤12（当且仅当 x =1−x ，即 x =12时，等号成立）， 所以当 x =12 时，√x (1−x ) 的最大值为 12． 第三部分 15.x >−1⇒x +1>0⇒x +4x +1=(x +1)+4x +1−1≥2√(x +1)⋅4x +1−1=3(当且仅当x +1=4x +1,即x =1时,等号成立⇒当x =1时,x +4x +1的最小值为3.16. ba +ab≥2c b +bc ≥2a c +ca ≥2} ⇒b+c a +c+ab +a+bc ≥6（当且仅当 a =b =c 时，等号成立）．17. 这个证明过程不正确．过程中b 2+a 2ab≥2ab ab这一步不成立，这是因为 ab 的正负没有确定．18. 设利用旧墙的矩形厂房的一面边长为 x m ，则另一面边长为 126xm ．若利用旧墙的一段为矩形厂房的一面边长，则修旧墙的费用为 x ⋅a 4元，剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为 (14−x )⋅a2 元，其余的建新墙的费用为 (2x +2×126x−14)⋅a 元，总费用为y =a 4x +(14−x )a 2+a (2x +252x−14)=a (7x 4+252x −7)=7a (x4+36x−1)(0<x <14).因为 x 4+36x≥2√x4⋅36x=6，0<x <14，所以当且仅当 x =12 时，y min =7a (6−1)=35a （ 元）．若利用旧墙为矩形厂房的一面边长，则修旧墙的费用为 a4⋅14=7a2元，建新墙的费用为 (2x +252x−14)⋅a 元，总费用为 y=72a +a (2x +252x −14)=72a +2a (x +126x−7)(x ≥14).设14≤x1<x2，则x1+126x1−(x2+126x2)=(x1−x2)(1−126x1x2)<0(x1x2>126),所以m=x+126x 在[14,+∞)上为增函数，所以当x=14时，y min=72a+2a(14+12614−7)=35.5a（元）．综上可知，采用方案1，即利用旧墙12m为矩形厂房的一面边长，可使建墙费用最省．。
均值不等式练习题
均值不等式一、 知识点：二、习题讲解：例１：（1）求的最小值(2）求的最小值(3）已知2>x ,求21-+=x x y 的最小值变式训练：1. 已知0>x ,求x x y 42--=的最大值2.当1->x 时，求()11++=x x x f 的最小值3.已知45<x ,求函数54124-+-=x x y 的最大值4.已知R c b a ∈、、，求证：ac bc ab c b a ++≥++2225.423(0)y x x x =-->的最大值是243-６． 12,33yx x x =+>- 7．12sin ,(0,)sin y x x xπ=+∈例2：（1)已知210<<x ,求()x x y 2121-=的最大值(2)已知：a 、b 都是正数,且1a b +=,1a a α=+，1b b β=+，求αβ+的最小值变式训练：1.已知310<<x ,求函数()x x y 31-=的最大值２.当时,求(82)y x x =-的最大值。
３.设230<<x ,求函数)23(4x x y -=的最大值。
4．已知01x <<,求函数(1)y x x =-；5.203x <<,求函数(23)y x x =-6．若21x y +=,则24x y +的最小值是_＿_＿＿＿7.已知,x y R +∈,且满足134x y +=,则ｘｙ的最大值为 ＿___＿＿__。
例3：求函数()11332->+++=x x x x y 的最小值变式训练:１.231,(0)x x y x x ++=>2．设⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx ,则函数x x y 2sin 1sin 22+=的最小值为3. 已知25≥x ，则()42542-+-=x x x x f 的最小值4.2y =的最小值是5.求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
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b
a
A 一个公式的应用
×
练习一
1. 判断下列函数能否用本公式求最值？
(1) y = x2 + 81 (x ≠ 0)
x2
(2) y = sin x(7 − sin x)
(3) y = x2 + 2 + 1
x2 + 2 2.求证 : x 2 + 2 ≥ 1
2 x2 +1
A 一个公式的应用
×
练习二
1、已知a、b、c、d都是正数，求证：
3.2均值不等式练习题
1．已知
1 a
<
1 b
<
0
，则下列结论不正确的
是（ D ）
（A）a2<b2 （B）ab<b2
（C）ba
+
a b
>
2
（D）|a|+|b|>|a+b|
2．下列结论中，错用算术平均值与几何
平均值不等式作依据的是（ B ）
（A）x，y均为正数，则 x + y ≥ 2
yx
（B）a为正数，则
为（ A ）
（A）(b, ab]
（B）( ab, a + b)
2
（C）(−∞,
a
+ 2
b
)
∪
(a,
+∞（) D）
(b,
a
+ 2
b
)
7．在下列函数中，最小值是2的函数为
（C ）
（A）
y
=
x 5
+
5 x
,(x
∈
R,
且x
≠
0)
（B） y = lg x + 1 (1 < x < 10)
lg x
（C） y = 3x + 3−x (x ∈ R)
例2 求下列函数的最值，并求相应的x值.
(1) y = 8 x 2 + 1
2x2
(x ≠ 0)
(2) y = x(8 − 3x) (0 < x < 2)
A 一个公式的应用
×
例4 某金店有一不准确的天平（臂长 不等），顾客要买一串金项链，店主分别 把项链放于左右两盘各称一次，然后把两 次称得重量的算术平均数作为项链的重量, 问这种称法是否合理？
a+b 2
4．若a，b∈R，且a≠b，在下列式子
中，恒成立的个数是（ D ）
① a2+3ab>2b2；② a5+b5>a3b2+a2b3；
ab
③ a2+b2≥2(a－b－1)；④
+ >2 ba
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
5．设a，b，c是区间(0，1)内三个互不相等
的实数，且满足 p
=
调 递减 ；当x=
为 68 ；
]，函数在这个区间上单
2 5
时，函数有最 小 值
5
（3）若x∈[4，+∞)，函数在这个区间 上单调 递增 ；当x= 4 时，函数 有最 小 值为 37 ；
例1 已知a,b,c是不全相等的正数，求证：
a(b2 +c2) +b(c2 +a2) +c(a2 +b2) > 6abc
1
y= 2
时，xy的最大值是
1 4
。
14．求证： 4 + a ≥ 7 .(a>3)
a−3
4 + a = 4 +(a − 3) + 3≥ 4 + 3 = 7 a−3 a−3
15．已知函数的解析式 y = 4 + 9x
2
x
（1）若x>0，当x= 3 时，函数有最 小 值
为 12 ；
（2）若x∈
(0,
2 5
(
a 2
+
2 a
)(a
+
1 a
)
≥
4
（C）lgx+logx10≥2，其中x>1 （D） x2 + 2 ≥ 2
x2 +1
3．若a>b>0，则下列不等式正确的是（ C）
2ab a + b
（A）
< a+b
2
<
ab
（B）
a+b 2
< 2ab < a+b
ab
（C）
2ab <
ab < a + b
a+b
2
（D） ab < 2ab < a + b
(ab + cd )(ac + bd ) ≥ 4abcd
2、求下列函数的最大（小）值
(1) y = x
(x > 1)
x −1
(2) y = 2 − 3x − 4 (x > 0)
x
logc
a
+ 2
logc
b，q
=
logc
a
+ 2
b
,
r=Leabharlann 1 2 logca+b 2
，则p，q，r的大小关系是（
C
）
（A）q>p>r （B）q<p<r
（C）r<q<p （D）q<r<p
6．已知全集U=R，集合 M = (b, a + b) ，集
2
合 N = ( ab, a)，其中a>b>0，则 M ∩ ðU N
lgx·lgy的最大值是（ D ）
（A）2
1
（C）4
（B） 1
2
（D）4
11．已知函数y=2+3x2+2x72 ，当x= ± 3 时, 函数有最 小 值是 20 。
12．若x>3，函数y = x + 1 ，当x=4 时,
x−3
函数有最 小 值是 5 .
1
13．若x>0，y>0，且x+y=1，当x= 2 ,
（D）
y
= sin x + 1 (0 < sin x
x<π) 2
8．已知0<x<1，则x(1－3x)取最大值时x
的值是（ B ）
1
（A） 3
3
（C） 4
1
（B） 6 （D） 2
3
9． 设x，y∈R，且x+y=5，则3x+3y的最
小值是（ D ）
（A）10
（B）6 3
（C）4 6
（D）18 3
10．已知x>1，y>1，且lgx+lgy=4，那么