双曲线及其标准方程优秀教案

双曲线及其标准方程

一.教学目标:

（1）知识与技能：理解双曲线的定义并能独立推导标准方程；

（2）过程与方法：通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比及数形结合等

思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力；

（3）情感态度与价值观：通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学

生用联系的观点认识问题。

二.教学重点:双曲线的定义

三.教学难点:双曲线方程的推导

四.教学过程:

(一)复习回顾

(二)双曲线的定义:

1.问题:若把椭圆定义中”距离之和”改为”距离之差”,那么动点的轨迹是什么?它的方程是怎么样的呢?

2. 双曲线的定义: 平面内与两定点的距离的差的绝对值是常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．

3.简单演示(使用几何画板).

4. （*）

注意：①（*）式中是差的绝对值，在条件下：

时为双曲线的一支（含的一支）；

时为双曲线的另一支（含的一支）.

②当时，表示两条射线.

③当时，不表示任何图形.

(三).双曲线标准方程的推导: 现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导

学生给出双曲线的方程的推导．

标准方程的推导: (1).建系设点:取过焦点的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴(如图所示)建立直角坐标系,设为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是，那么的坐标分别是．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值为.

(2)点的集合:由定义可知，双曲线就是集合：}．

(3)代数方程, ,

(4)化简方程:将这个方程移项，使式子两边平衡,再两边平方得：,移项整理两边平方可得:

(我们可以仿照椭圆的标准方程的处理方式把式子美化,使其简洁易记)

由双曲线定义，即，所以设，代入上式得：．即,这就是焦点在轴上的双曲线的标准方程．

两种标准方程的比较(引导学生归纳)：

(1) 表示焦点在x轴上的双曲线,焦点是: ,这里.

(2) 表示焦点在y轴上的双曲线,焦点是: ,这里.(只需将(1)方程的x,y互换即可得到)

强调指出：

(1)双曲线标准方程中的”标准是指的是双曲线的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上(这从建立直角坐标系可以看出来).(2)双曲线标准方程中，，但不一定大于；(3)如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．(4)双曲线标准方程中的关系是，不同于椭圆方程中．

(四).例题分析:

练习:写出下列双曲线的焦点坐标:

(1)(2)(3)(4)

例1. 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.

解: 根据双曲线的焦点在轴上，设它的标准方程为：

,所以所求双曲线的标准方程为:

(五)小结

(六)作业:课本习题8.3 第1,2,4

思考题: 当时，方程表示怎样的曲线？

(七)板书设计: