双曲线及其标准方程优秀教案
优秀教案双曲线及其标准方程
良机网首页高中青年数学教师优秀课教案:双曲线及其标准方程(一)高中青年数学教师优秀课教案：双曲线及其标准方程（一）教学目标：（1）知识与技能：与椭圆定义类比，深刻理解双曲线的定义并能独立推导出双曲线标准方程；（2）过程与方法：通过定义及标准方程的深刻开采与探究，使学生进一步体验认识类比发现及数形结合等思想方法的运用，提高学生的不雅察与探究能力；（3）情感态度与价值不雅：通过教师指导下的学生交流探索勾当，发学生的学习兴趣，培养学生用联系的不雅点认识问题。
教学重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用教学难点：双曲线定义中关于绝对值，2a<2c的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多电视台，一根拉链，小夹子教学过程：一、复习提问师：椭圆定义是什么？生：最简单的面内与两个定点的间隔之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆。
（幻灯片展示椭圆图形及其定义）二、新课引入1、设问师：最简单的面内与两个定点的间隔之差等于常数的点的轨迹是什么？学生思虑（老师在黑板上画出两个点,使F1在左侧,F2在右侧.记=2c,2c>0）。
师：在椭圆里到两个定点的间隔的和这个常数是正数，那么，最简单的面内到两定点的差这个常数还一定是正数吗生：不一定。
师：多是什么数呢？（学生甲回答：是正数，负数或零）师：当常数是零时动点的轨迹是什么？生：是线段F1F2的中垂线。
老师做出的中垂线。
师：当常数是正数时的点的位置在什么地方？生：在线段F1F2的中垂线的右侧。
师：当常数是负数时的点的位置在什么地方？生：在线段F1F2的中垂线的左侧。
师：最简单的面内与两个定点的间隔之差等于非零常数的点的轨迹究竟是是什么呢？我们一路做一个实验来探索。
2、实验：（师生共同完成）道具：一根拉链详细作法：老师在拉开的拉链双侧各取一点打结（实验前已经丈量好，使两结之间的间隔小于两定点间的间隔），请两位同学协助将两点别离固定在定点F1，F2处，使拉链头在的上方。
《双曲线及其标准方程》教案
《双曲线及其标准方程》教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解双曲线的定义及其几何性质；（2）掌握双曲线的标准方程及其应用。
2. 过程与方法：（1）通过观察图形，培养学生的空间想象能力；（2）利用代数方法，求解双曲线的标准方程。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学知识的兴趣；（2）培养学生的团队合作精神，提高解决问题的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）双曲线的定义及其几何性质；（2）双曲线的标准方程及其应用。
2. 教学难点：（1）双曲线标准方程的求解过程；（2）理解双曲线几何性质与标准方程之间的关系。
三、教学准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备；2. 学具：教材、笔记本、作图工具。
四、教学过程1. 导入新课（1）复习相关知识：椭圆的定义及其标准方程；（2）提问：椭圆与双曲线有什么关系？它们在几何性质上有什么区别？2. 自主学习（1）学生自主阅读教材，了解双曲线的定义及其几何性质；3. 合作探究（1）学生分组讨论，探究双曲线的标准方程及其求解方法；4. 课堂讲解（1）讲解双曲线的定义及其几何性质；（2）讲解双曲线的标准方程及其求解过程。
5. 巩固练习（1）学生完成课后练习题，巩固所学知识；（2）教师点评练习题，解答学生疑问。
五、课后作业1. 完成教材课后练习题；2. 调查生活中有关双曲线应用的实例，下节课分享。
六、教学拓展1. 对比椭圆、双曲线在几何性质上的异同，引导学生思考它们的联系和应用场景。
2. 介绍双曲线在其他领域的应用，如物理学中的电磁波传播、天文学中的星系运动等。
七、课堂小结2. 强调双曲线在实际应用中的重要性。
八、教学反思1. 教师对本节课的教学内容、教学方法进行反思，思考如何提高教学效果。
九、课后跟进1. 教师通过批改作业，了解学生对双曲线知识的掌握情况，针对性地进行辅导。
2. 学生根据课堂学习和课后练习，查漏补缺，巩固双曲线知识。
十、教学评价1. 学生对本节课的学习情况进行自我评价，反思自己在学习过程中的表现。
双曲线及其标准方程优秀教案
双曲线及其标准方程一.教学目标:（1）知识与技能：理解双曲线的定义并能独立推导标准方程；（2）过程与方法：通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比及数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力；（3）情感态度与价值观：通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题。
二.教学重点:双曲线的定义三.教学难点:双曲线方程的推导四.教学过程:(一)复习回顾(二)双曲线的定义:1.问题:若把椭圆定义中”距离之和”改为”距离之差”,那么动点的轨迹是什么?它的方程是怎么样的呢?2. 双曲线的定义: 平面内与两定点的距离的差的绝对值是常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．3.简单演示(使用几何画板).4. （*）注意：①（*）式中是差的绝对值，在条件下：时为双曲线的一支（含的一支）；时为双曲线的另一支（含的一支）.②当时，表示两条射线.③当时，不表示任何图形.(三).双曲线标准方程的推导: 现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导．标准方程的推导: (1).建系设点:取过焦点的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴(如图所示)建立直角坐标系,设为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是，那么的坐标分别是．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值为.(2)点的集合:由定义可知，双曲线就是集合：}．(3)代数方程, ,(4)化简方程:将这个方程移项，使式子两边平衡,再两边平方得：,移项整理两边平方可得:(我们可以仿照椭圆的标准方程的处理方式把式子美化,使其简洁易记)由双曲线定义，即，所以设，代入上式得：．即,这就是焦点在轴上的双曲线的标准方程．两种标准方程的比较(引导学生归纳)：(1) 表示焦点在x轴上的双曲线,焦点是: ,这里.(2) 表示焦点在y轴上的双曲线,焦点是: ,这里.(只需将(1)方程的x,y互换即可得到)强调指出：(1)双曲线标准方程中的”标准是指的是双曲线的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上(这从建立直角坐标系可以看出来).(2)双曲线标准方程中，，但不一定大于；(3)如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．(4)双曲线标准方程中的关系是，不同于椭圆方程中．(四).例题分析:练习:写出下列双曲线的焦点坐标:(1)(2)(3)(4)例1. 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.解: 根据双曲线的焦点在轴上，设它的标准方程为：,所以所求双曲线的标准方程为:(五)小结(六)作业:课本习题8.3 第1,2,4思考题: 当时，方程表示怎样的曲线？(七)板书设计:。
3.2.1双曲线及其标准方程(教案)
3.2.1双曲线及其标准方程一．教学目标1.能直观认识双曲线的几何特征，会识别双曲线的定义和相关概念，能从椭圆，双曲线定义的形成中感受它们的内在联系与区别，能初步应用双曲线的定义解决一些简单的问题.2.能根据双曲线的几何特征选择适当的平面直角坐标系，根据双曲线的定义的代数表达类比导出双曲线的标准方程，能识别焦点在不同坐标上的双曲线的标准方程，能说出标准方程中特征量的关系，能初步应用双曲线的定义和标准方程解决一些关联问题.3.通过类比学习双曲线定义和标准方程的过程，提升学生直观想象和运算求解的能力. 二．教学重难点双曲线的几何特征，双曲线的定义及标准方程三．教学过程1.复习回顾椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？怎么推导而来？设计意图：对旧知识的复习巩固为引入新知做好铺垫.2.探究定义提出新知:在椭圆定义中，到两定点的距离之“和”改为到两定点的距离之“差”为定值，则曲线的轨迹又会如何？可利用什么工具来展示？实验活动要求：取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选择一点,分别固定在点F1，F2上,把笔尖放在点M处,拉开或闭拢拉链,笔尖经过的点可画出什么样的曲线？大家开始分组合作，尝试实验.设计意图：实际操作，学生并不能准确的画出图象，但可强化学生对双曲线几何特征的认识|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a上面两条合起来叫做双曲线||MF1|-|MF2||=2a（差的绝对值）设计意图：多媒体展示，引导学生抽象出双曲线的定义定义探究1：平面内到两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值为常数的动点的轨迹叫做双曲线. ||MF 1|-|MF 2||=2a , F 1，F 2叫双曲线的焦点， |F 1F 2| =2c (2c ＞0)叫做焦距.问：类比椭圆的定义此定义是否可以为双曲线定义.常数即2a 的分析（1）2a ＜2c （图一） 双曲线图一 图二 图三(2)2a ＝2c （图二）两条射线（3）2a ＞2c 不表示任何图形（4）2a ＝0（图三）F 1F 2的中垂线定义探究2：平面内到两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值为非零常数（小于|F 1F 2|）的动点的轨迹叫做双曲线.||MF 1|-|MF 2||=2a (2a <2c ), F 1，F 2叫双曲线的焦点， |F 1F 2| =2c (2c ＞0)叫做焦距.设计意图：通过强化双曲线概念的建立过程，提高学生思维的严谨性与语言的表达能力，同时让学生获得焦点，焦距的概念.3.推导方程过焦点F 1，F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴(如图所示)建立直角坐标系. 解：根据题目可设),(y x M ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，由a MF MF 2||||21±=-，得a y c x y c x 2)()(2222±=+--++a y c x y c x 2)()(2222±+-=++⇒22222224)(4)()(a y c x a y c x y c x ++-±+-=++⇒222)(y c x a a cx +-±=-⇒])[()(22222y c x a a cx +-=-⇒)()(22222222a c a y a x a c -=--⇒，F1F2F'F'MM'令222b a c =-（0>b ），得222222b a y a x b =-，即12222=-b y a x ． 设计意图：类比椭圆标准方程的推导过程，明确曲线的方程的大致步骤，以此为载体，深化学生对曲线与方程的关系的理解.思考：如果焦点在y 轴上，它的标准方程又是怎样？——把上面方程的x 2和y 2互换即可，即方程为 双曲线的标准方程当焦点在x 轴上，中心在原点时，方程形式：12222=-by a x 当焦点在y 轴上，中心在原点时，方程形式：12222=-bx a y 参数a,b,c 的关系222b a c +=（0,,>c b a ） a MF MF 2||||21±=-（实轴长） c F F 2||21=（焦距） 设计意图：形成和完善双曲线标准方程的概念4.巩固新知例1 一动点到两定点F 1(-3, 3 )、F 2(3 ,3)的距离差为4，则动点轨迹为（ ）A 、双曲线B 、双曲线一支C 、不存在D 、一条射线例2写出以下双曲线的焦点坐标（1）221169x y -=（2）221169y x -=例3已知双曲线两个焦点分别为F 1(-5,0), F 2(5,0),双曲线上一点P 到F 1，F 2距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.例4如果方程22112x y m m-=--表示的是双曲线，求m 的取值范围 设计意图：进一步巩固双曲线的概念与双曲线的标准方程.5.课堂小结22221(0,0)y x a b a b-=>>设计意图：及时梳理，提炼与升华所学知识.6生活中双曲线（1）建筑（2）天文在1970年以前就已经确定了610颗彗星，其中245颗的轨道是椭圆，295颗的轨道是抛物线，还有70颗是沿着双曲线轨道运行.只有沿着椭圆轨道运行的彗星能够在以后回归，其它的均要不停地向宇宙深处飞去（3）定位导航(Time Difference of Arrival)利用声波或电磁波到达两点的时间差来确定点的位置的方法设计意图：双曲线的实际应用，感受数学课堂与实际的联系.7．布置作业（1）教材P121 1，2，3（2）思考：已知有相距8公里的A、B两座城镇；某日B城镇听到了山体滑坡带来的轰鸣声，二十秒后A城镇听到了这次声音，设声速为340米/秒，你作为救援队队长如何及时找到灾情发生地前去救援呢？。
教案双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程教学目标：1. 了解双曲线的定义和性质。
2. 学会如何求解双曲线的标准方程。
3. 能够运用双曲线的性质和标准方程解决实际问题。
教学内容：第一章：双曲线的定义与性质1.1 双曲线的定义1.2 双曲线的性质第二章：双曲线的标准方程2.1 双曲线的标准方程2.2 双曲线标准方程的求解方法第三章：双曲线的渐近线3.1 渐近线的定义3.2 渐近线与双曲线的关系第四章：双曲线的焦点和顶点4.1 焦点的定义和性质4.2 顶点的定义和性质第五章：双曲线的参数方程5.1 参数方程的定义5.2 双曲线的参数方程求解方法教学过程：第一章：双曲线的定义与性质1.1 双曲线的定义【讲解】双曲线是平面上到两个定点（焦点）距离之差等于常数的点的轨迹。
【例题】求点P(x, y)到两个定点F1(-3, 0)和F2(3, 0)距离之差等于4的点的轨迹方程。
1.2 双曲线的性质【讲解】1. 双曲线的中心在原点。
2. 双曲线的焦点在x轴上。
3. 双曲线的实轴是连接两个焦点的线段。
4. 双曲线的渐近线是y=±(b/a)x。
【练习】判断双曲线的焦点位置和渐近线方程。
第二章：双曲线的标准方程2.1 双曲线的标准方程【讲解】双曲线的标准方程为：x^2/a^2 y^2/b^2 = 1。
【例题】求双曲线的标准方程，已知焦点在x轴上，实轴长为2a，焦距为2c。
2.2 双曲线标准方程的求解方法【讲解】求解双曲线标准方程的方法有：1. 直接法：根据双曲线的定义和性质，列出方程。
2. 代换法：将双曲线的参数方程代入标准方程求解。
【练习】求解双曲线的标准方程，给定焦点和实轴长。
第三章：双曲线的渐近线3.1 渐近线的定义【讲解】双曲线的渐近线是y=±(b/a)x。
【例题】求双曲线的渐近线方程，已知双曲线的标准方程为x^2/4 y^2/3 = 1。
3.2 渐近线与双曲线的关系【讲解】渐近线与双曲线相交于两个点，这两个点的坐标满足双曲线的方程。
双曲线教学设计共3篇 双曲线课程讲解
双曲线教学设计共3篇双曲线课程讲解下面是整理的双曲线教学设计共3篇双曲线课程讲解，以供参考。
双曲线教学设计共1双曲线及其标准方程教学设计一.教学目标: 1.知识目标:掌握双曲线的定义并会推导其方程.2.能力目标:能根据已知条件,选择恰当的形式的双曲线方程解题;加深对类比,化简,分类讨论的思想的理解与运用.3.情感目标:利用教学内容促进学生对量变,质变规律的理解和对学生进行爱国主义教育.二.教学重点与难点分析: 本节的教学重点是准确理解双曲线的定义.本节的教学难点是选择恰当的双曲线方程解题.三.教学方法和学习方法的设计: 教法:1.在教学目标的指导下,采用”信息环境下情境性问题解决”教学模式实施教学.这种方法是以问题为中心,以学生主动探索数学知识和强化创新意识为主要特征的探究型教学方式.在探索过程中经历”提出问题———分析问题———分组讨论———提炼总结———深化反思”五个不同的教学环节.在整个教学过程中,教师利用问题引路,学生独立思考和分组讨论,从而自己解决问题.2.通过课件和动画展示数学知识的发生﹑发展过程;帮助学生理解抽象的数学概念;借助信息技术实现数学思维的“再现”.学法:在教师的组织,点拨,引导作用下,通过学生积极思考,大胆想象,总结规律,自己不能解决的问题通过小组讨论解决,充分发挥他们的主体作用,让学生置身于提出问题﹑思考问题﹑解决问题的动态过程中.四.媒体选择:多媒体课件.39五.教学过程设计: 探索问题一: 定圆圆O1内含于定圆圆O2,当圆M与圆O2内切而与圆O1外切时, 圆M的圆心M的轨迹是什么曲线? 学生: 是椭圆.教师: 面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆.若将“距离之和”改为“距离之———差”.那将会出现什么情况呢? 探索问题二: 设圆O1,圆O2外离,其半径分别为r1,r2.动圆圆M与圆O1内切而与圆O2外切,求动圆M的圆心M的轨迹又是什么曲线? 分析: 设动圆M半径为r,有O2M?O1M??r2?rr?r1??r1?r2 教师: 谁能画出点M的轨迹?(没反应)困难在哪里呢? 学生: 动圆M有无数个,画起来困难.所以点M的轨迹画不出来! (课件演示) 教师:原来点M的轨迹是一条开口向左的,向外伸展的不封闭的一条曲线,这是单曲线吗?:是否还有其他情况? 学生:如果圆M与圆O1外切而与圆O2内切情况会怎样? 此时, O1M?O2M??r1?rr?r2??r1?r2.大概是开口向右的一条曲线吧.课件演示.教师:我们把上述两条曲线称为双曲线(演示课件).请给出双曲线的定义.学生:平面内与两个定点的距离的差的绝对值是常数的点的轨迹.教师:好.请看——(课件演示)当圆O1与圆O2外切时,虽然MO1?MO2?r1?r2?O1O2,但点在线段O1O2的两侧,是两条射线.动点M必定满足一个什么样的特定条件? 40学生:应在前面的叙述中,在”常数”后加上附加条件”小于O1O2”.教师:如果这个常数为0呢?这时点的轨迹是什么? 学生:平面内与两个定点O1,O2的距离的差的绝对值是0的点的轨迹是线段O1O2的垂直平分线.所以这个常数不能为0.教师:这就完整了.称O1,O2为双曲线的焦点.它与椭圆定义比较又有和联系呢? 学生:在椭圆定义中,由三角形两边之和大于第三边的要求,而双曲线的定义中应满足三角形的两边之差的绝对值小于第三边的要求.教师:如此复杂的曲线和平面几何中最简单的结论紧密联系,这充分反映了事物间的和谐的本质属性.问题延伸: 教师:利用平面直角坐标系,我们可以求出该曲线方程,这就是数形结合的思想.问题是如何建立平面直角坐标系? 学生:以O1,O2所在的直线为x轴,线段O1O2的中垂线为y轴,建立直角坐标系.教师:为什么不以O1或O2为原点建立直角坐标系呢? 学生:那样的话, O1与O2就不能关于y轴对称,从前面我们学习的椭圆方程的推导过程中知道,所得的方程较繁.教师:对.请同学们自行推导双曲线方程.(学生推演,教师归纳).教师:同学们都能得出方程?c2?a2?x2?a2y2??c2?a2?a2.仿照推导椭圆方程的方法.可x2y2令c?a?b.则得焦点在x轴上的双曲线方程: 2?2?1.类似地,当焦点在y轴上ab222时,(或者说以O1O2所在的直线为y轴.线段O1O2的中垂线为x轴建立直角坐标系).双曲线的方程是———y2x2 学生: 2?2?1ab 41教师:它们都是双曲线的标准方程.焦点在二次项系数为正的字母所表示的轴上.思考问题一: 例1.(1)已知双曲线两个焦点的坐标为F1??5,0?,F2?5,0?,双曲线上一点P到F1,F2的距离的差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程.(2)已知双曲线的中心是坐标原点,焦点在y轴上,焦距为12,且经过点P?2,?5?,求双曲线的方程.(3).求过点A2,43和B?2,?4的双曲线标准方程.(第(1),(2)小题为课本的例习题.) (请三位同学板演,再请三位同学讲评.第(1),(2)小题略.第3小题不少学生仍分焦点在x,y轴的情况求解.过程较繁.) 学生:第(3)题他解对了,但比较繁.我认为只要设mx2?ny2?1.然后把两点坐标分别代入,1得到两个二元一次方程组成的方程组,解得m?1, n??,表明它是双曲线,同时表示不6存在过这两点的椭圆.教师:对!讲得有道理.求中心在原点的椭圆.双曲线标准方程,只需两个独立变量.这是它们的本质属性.理解这一点,解题运算量就小多了.教师:上述图形的变化过程反映了事物在一定范围内由量的积累引起质的变化情况.它包括了目前我们所学的几种曲线.现在让我们来了解双曲线在军事上的一些应用.思考问题二:一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s.(1)爆炸点应在什么样的曲线上? (2)已知A,B两地相距800m,并且此时声速为340ms,求曲线的方程.(3)要想确定爆炸点的准确位置.应采取什么措施? (学生分组讨论.教师巡视指导.把学生解答用投影仪展示.) 学生(1)由声速及A,B两处听到爆炸声的时间差为2s,可知A,B两处与爆炸点的距离的42差为PA?PB?680?800,因此爆炸点应该位于以A,B为焦点的双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处更远,所以爆炸点应在靠近B处的一支上.(2)如图,建立直角坐标系xoy,使A,B两点在x轴上,并且点O与线段AB中点重合.设爆炸点P的坐标为?x,y?.则PA?PB?340?2?680 ?AB 即2a?680,a?340.又AB?800 所以2c?800,c?400b2?c2?a2?因为PA?PB?680?0 所以x?0.x2y2所求双曲线方程为??1(x?0)(3).利用两个不同的观测点侧得同一炮弹爆炸声的时间差,可以确定爆炸点所在的双曲线的方程但不能确定爆炸点的准确位置.如果再增设一个观测点C,利用B, C (或A, C)两处侧得的爆炸声的时间差,可以求出另一个双曲线的方程.解这两个方程组成的方程组,就可以确定爆炸点的准确位置.变式一:若将“在A处听到爆炸声的时间比在B 处晚2s”改为“在A处听到爆炸声的时间比在B处晚40s”那么爆炸点P应在什么样的曲线上? 17变式二:若将“A,B两地相距800m”改为“A,B两地相距600m” 那么爆炸点P应在什么样的曲线上? 变式三:假若在A,B两处同时听到爆炸声, 那么爆炸点P又在怎样的曲线上呢? 六.小结: 1.双曲线的定义,关键词是绝对值的差小于F1F2.432.求双曲线方程要注意选择方程的形式,以简化计算.3.主要思想方法有类比思想及特殊与一般量变与质变的辨证关系.七.教学效果: 这节课充分发挥了多媒体教学的优势,教学设计充分体现”主导----主体”现代教学思想,彻底地改变了传统教学过程汇总学生被动接受知识的状态,学生能够自主探索获取知识,愿意学习也学会学习;学生主动参与的意识提高了.通过多媒体教学,教师把学生引上探索问题之路,调动了每一个学生学习的主动性和创造性,体现了学生的主体地位,有利于学生潜能的开发和创造性思维的培养.44双曲线教学设计共2双曲线及其标准方程一、学习目标：【知识与技能】:1、通过教学,使学生熟记双曲线的定义及其标准方程,并理解这一定义及其标准方程的探索推导过程.2、理解并熟记双曲线的焦点位置与两类标准方程之间的对应关系.【过程与方法】: 通过“实验观察”、“思考探究”与“合作交流”等一系列数学活动,培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力,使学生学会数学思考与推理,学会反思与感悟,形成良好的数学观.【情感、态度与价值观】: 通过实例的引入和剖析,让学生再一次感受到数学来源于实践又反作用于实践;生活中处处有数学.二、学情分析：1、在学生已学习椭圆的定义及其标准方程和掌握“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念之后,学习双曲线定义及其标准方程,符合学生的认知规律,学生有能力学好本节内容;2、由于学生数学运算能力不强,分析问题、解决问题的能力,逻辑推理能力,思维能力都比较弱,所以在设计的时候往往要多作铺垫,扫清他们学习上的障碍,保护他们学习的积极性,增强学习的主动性.三、重点难点：教学重点:双曲线的定义、标准方程教学难点:双曲线定义中关于绝对值,2a三、教学过程：【导入】1、以平面截圆锥为模型，让学生认识双曲线，认识圆锥曲线；2、观察生活中的双曲线；【设计意图:让学生对圆锥曲线整体有所把握,体会数学来源于生活.】探究一活动1：类比椭圆的学习，思考：研究双曲线，应该研究什么？怎么研究？从而掌握本节课的主线：实验、双曲线的定义、建系、求双曲线的标准方程；活动二：数学实验：(1)取一条拉链，拉开它的一部分，(2)在拉链拉开的两边上各取一点，分别固定在点F1，F2 上，(3)把笔尖放在拉头点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线。
《双曲线及其标准方程》教案
《双曲线及其标准方程》教案一、教学目标：1. 让学生理解双曲线的定义及其性质。
2. 让学生掌握双曲线的标准方程及其应用。
3. 培养学生的数学思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 双曲线的定义2. 双曲线的性质3. 双曲线的标准方程4. 双曲线方程的求解方法5. 双曲线在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 双曲线的定义与性质2. 双曲线的标准方程及其求解方法3. 双曲线在实际问题中的应用四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索双曲线的定义与性质。
2. 利用案例分析法，让学生了解双曲线的标准方程及其应用。
3. 运用数形结合法，帮助学生直观理解双曲线的特点。
4. 开展小组讨论法，培养学生合作解决问题的能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过展示生活中常见的双曲线现象，引发学生对双曲线的兴趣。
2. 讲解双曲线的定义与性质：引导学生通过观察图形，总结双曲线的特点，进而给出双曲线的定义，并讲解其性质。
3. 介绍双曲线的标准方程：借助实例，引导学生理解双曲线标准方程的推导过程，并掌握其求解方法。
4. 应用实例：让学生运用双曲线方程解决实际问题，体会双曲线在实际中的应用价值。
5. 课堂小结：对本节课的主要内容进行总结，强调双曲线及其标准方程的重要性。
6. 布置作业：设计具有针对性的习题，巩固学生对双曲线及其标准方程的理解。
六、教学评价：1. 通过课堂提问、作业批改和课堂表现，评估学生对双曲线定义和性质的理解程度。
2. 通过课后习题和实践项目，评估学生对双曲线标准方程的掌握及应用能力。
3. 结合小组讨论和课堂互动，评估学生的合作能力和数学思维能力。
七、教学拓展：1. 探讨双曲线在其他领域的应用，如物理学中的引力定律、天文学中的星系运动等。
2. 介绍双曲线的进一步研究，如双曲线几何性质的深入分析和双曲线方程的多种求解方法。
八、教学资源：1. 教学PPT和教学视频，用于展示双曲线的图形和实例。
双曲线及其标准方程精品教案
双曲线及其标准方程（第一课时）（一）教课目的掌握双曲线的定义，会推导双曲线的标准方程，能依据条件求简单的双曲线标准方程．（二）教课教程【复习发问】由一位学生口答，教师板书．问题 1：椭圆的第必定义是什么？问题 2：椭圆的标准方程是如何的？【新知探究】1．双曲线的观点假如把上述定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程双是如何的呢？（1）演示如图，定点F1、 F2是两个按钉，MN 是一个细套管，点 M 挪动时， MF1MF2是常数，这样就画出双曲线的一支，由MF2MF1是同一个常数，可以画出双曲线的另一支．这样作出的曲线就叫做双曲线．（ 2）设问①定点 F1、 F2与动点M不在同一平面内，可否获得双曲线？请学生回答，不可以．指出一定“在平面内”．② M 到F1与F2两点的距离的差有什么关系？请学生回答，M 到F1与F2的距离的差的绝对值相等，不然只表示双曲线的一支，即MF1MF2是一个常数．③这个常能否会大于或等F1F2？请学生回答，应小于F1F2 且大于零．当常数F1 F2 时，轨迹是以F1、 F2为端点的两条射线；当常数F1F2 时，无轨迹．（3）定义在此基础上，指引学生归纳出双曲线的定义：平面内与两个定点F1、 F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1 F2）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程此刻我们能够用近似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思虑、回想椭圆标准方程的推导方法，随即指引学生给出双曲线标准方程的推导．（ 1）建系设点取过焦点 F1、 F2的直线为 x 轴，线段 F1F 的垂直平分线为 y 轴成立在直角坐标系（如图）．设 M x， y 为双曲线上随意一点，双曲线的焦距为2c c 0F c，、 F c，0 ，又设点M与F1、 F2 ，则 1 0 2的距离的差的绝对值等于常数2a 2a 2c ．（ 2）点的焦合由定义可知，双曲线上点的会合是P M MF1MF22a （ 3）代数方程x c 2 y 2 x c 2 y 2 2a（4）化简方程由一位学生演板，教师巡视，将上述方程化为x c 2 y2 x c 2 y2 2a移项两边平方后整理得：cx a2 a x c 22y两边再平方后整理得：c2 a2 x2 a 2 y2 a 2 c 2 a2由双曲线定义知 2c 2a 即c a ，∴ c2 a2 0，设c2 a2 b2 b 0 代入上式整理得：x2 y2 1 a 0， b 0a2 b2这个方程叫做双曲线的标准方程．它所表示的双曲线的焦点在x 轴上，焦点是F c，、 F c，0 ，这里 2 2 2．1 02 c a b假如双曲线的焦点在y 轴上，即焦点F1 0， c ， F2 0， c ，能够获得方程y 2 x21 a 0， b 0a2 b2这个方程也是双曲线的标准方程．教师应该指出：（ 1）双曲线的标准方程与其定义可联系起来记忆，定义中有“差”，则方程“－”号连接，（ 2）双曲线方程中 a 0 ， b 0 ，但a不必定大于 b ；（ 3）假如x2的系数是正的，那么焦点在x轴上，假如y2的系数是正的，那么焦点在y轴上，有别于椭圆经过比较分母的大小来判断焦点的地点；（ 4 ）双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2 a 2 b2，不同于椭圆方程中c2 a2 b2．【例题剖析】例 1 说明：椭圆x2 y2 1 与双曲线x2 15 y2 15 的焦点同样．25 9由一位学生板演达成，答案都是4，0 ．例 2 已知两点 F1 5，0 、 F2 5，0 ，求与它们的距离的差的绝对值为 6 的点的轨迹方程．假如把上边的 6 改为 12，其余条件不变，会出现什么状况？由教师解说解：按定义，所求点的轨迹是以F1、 F2为焦点的双曲线．这里 a 3 ， c 5 ，∴ b2 c2 a 2 25 9 16 故所求双曲线的方程为x2 y2 9 116若 2a 12，则2c 10 且2a 2c ，因此动点无轨迹．（三）随堂练习1．求合适以下条件的双曲线的标准方程．（ 1）a 4，b 3 ；（ 2）焦点（ 0，－ 6），（ 0， 6），经过点（ 2，－ 5）．2．已知方程mx2 ny 2 m n m 0 m n ，求它的焦点坐标．x2 y 21表示双曲线，求 m 的取值范围．3．已知方程m m2 1答案： 1．（ 1）x2 y 2 1或 y 2 x2 1 ；（2）y2x2 1；2．0，m2 n2 ；16 9 16 9 20 16 mn 3．m 2 或 m 1（四）总结提炼1．双曲线定义m MF1 MF2 2a 2a F1F2（ F1， F2为定点， a 为常数）图形标准方程x2 y21 a 0， b 0y 2 x 21 a 0， b 0 a2 b2 a2 b2焦点坐标F1 c，0 ， F2 c，0 F1 0， c ， F2 0， ca ，b， c 关系c2 a2 b2 c a 0， cb 02．双曲线的标准方程可一致写成Ax 2 By2 1 AB 0．若A 0 ， B 0 表示焦点在 x 轴上的双曲线，若 A 0 ， B 0 则表示焦点在y 轴上的双曲线．（五）部署作业1．已知平面上定点F1、F2及动点M，命题甲：“MF1 MF2 2a （a为常数）”，命题乙：“ M 点轨迹是F1、F2为焦点的双曲线” ，则甲是乙的（）A ．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件2．已知A 0，5 ，B 0，5 ， PA PB 2a ，当 a 3和5时， P 点的轨迹为（）A ．双曲线和一条直线B ．双曲线和二条射线C．双曲线一支和一条直线 D ．双曲线一支和一条射线3．双曲线4x2 y2 64 0 上一点P到它的一个焦点的距离等于1，则点P到另一焦点的距离等于 ___________ ；若P到它的一个焦点的距离等于17，则点P到另一焦点的距离等_____________ ．4．假如椭圆x2 y 2 1与双曲线x2 y2 1的焦点同样，那么 a __________．4 a 2 a 2x2y25．已知方程 14 a5 a（1）a为什么值时方程表示双曲线；（2）证明这些双曲线有共同焦点．6．已知双曲线的一个焦点坐标为F1 0， 13 ，双曲线上一点P 到两焦点距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程．答案：1． B；2． D；3．17， 1 或 33；4． 1；5． 5 a 4 ，当 5 a 4 时，方程x2 y 21 表示双曲线．方程可表示4 a 5 a为 y2a x 2 1 c2 5 a 4 a 1，焦点坐标为（0，± 1）．5 4 ay2 x 2 6．1．144 25 （六）板书设计（一）复习发问问题 1问题 2 （二）双曲线的观点1演示2设问3定义双曲线及其标准方程（一）（三）双曲线的标准方程1．标准方程的推导2．说明（四）例题与练习例 1例 2练习（五）小结。
双曲线及其标准方程教案
双曲线及其标准方程教案一、教学目标：1.了解双曲线的定义。
2.熟练掌握双曲线的标准方程。
3.能够利用标准方程确定双曲线的基本性质。
二、教学重难点：1.双曲线的标准方程。
2.双曲线的性质及应用。
三、教学过程：Step 1 引入新知识（5分钟）1.师生共同回顾了上一节所学的椭圆，问：椭圆有哪些特点？2.引入新知识：同椭圆一样，双曲线也是一个有两个焦点的曲线。
Step 2 新知呈现（10分钟）1.定义：- 双曲线是平面上满足椭圆定义中的定理四的所有点的集合。
- 双曲线有两个相交的分支，分别在两个焦点的两侧。
2.双曲线的标准方程：- 对于顶点在原点的双曲线：方程形式为：x²/a² - y²/b² = 1 （横轴为 x 轴）方程形式为：y²/a² - x²/b² = 1 （横轴为 y 轴）- 对于顶点不在原点的双曲线：方程形式为：(x - h)²/a² - (y - k)²/b² = 1 （横轴为 x 轴）方程形式为：(y - k)²/a² - (x - h)²/b² = 1 （横轴为 y 轴）3.教师讲解并分析标准方程的含义。
Step 3 梳理知识点（5分钟）1.对比椭圆和双曲线的标准方程。
2.总结双曲线的基本性质。
Step 4 拓展练习（15分钟）1.同学们一起完成教材上的例题，巩固标准方程的应用。
2.同学们根据已学知识，互相出题，进行小组内自主练习。
3.教师带领同学们讨论与解答疑惑。
Step 5 活动延伸（15分钟）1.让同学们观看相关视频，了解更多有关双曲线的知识。
2.设计小组活动，让同学们根据已学知识进行双曲线的绘制，提高运用能力。
四、教学反思：通过本节课的教学，使学生了解了双曲线的定义及其标准方程，掌握了双曲线的基本性质和应用。
在教学过程中，通过引入新知识、新知呈现、梳理知识点、拓展练习和活动延伸等多种教学方法，提高了学生的学习兴趣和参与度，培养了学生的综合运用能力，同时也发现了一些问题和不足，为进一步优化教学提供了思路。
双曲线及其标准方程教学设计(教案)
双曲线及其标准方程教学设计(教案)一、教学目标：1. 让学生理解双曲线的定义及其性质。
2. 让学生掌握双曲线的标准方程及其求法。
3. 培养学生运用双曲线解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 双曲线的定义与性质2. 双曲线的标准方程3. 双曲线方程的求法4. 双曲线在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：双曲线的定义、性质、标准方程及其求法。
2. 教学难点：双曲线方程的求法及其应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探索双曲线的性质与标准方程。
2. 利用数形结合法，让学生直观地理解双曲线的特点。
3. 运用实例分析法，培养学生解决实际问题的能力。
五、教学过程：1. 导入新课：简要介绍双曲线的起源和发展，激发学生的学习兴趣。
2. 自主学习：让学生通过阅读教材，了解双曲线的定义与性质。
3. 课堂讲解：讲解双曲线的标准方程及其求法，引导学生掌握关键步骤。
4. 例题分析：分析典型例题，让学生学会运用双曲线方程解决实际问题。
5. 巩固练习：布置适量练习题，让学生巩固所学知识。
6. 课堂小结：总结本节课的主要内容，提醒学生注意双曲线在实际问题中的应用。
7. 课后作业：布置作业，让学生进一步巩固双曲线及其标准方程的知识。
六、教学评价：1. 评价学生对双曲线定义和性质的理解程度。
2. 评价学生是否能熟练掌握双曲线的标准方程及其求法。
3. 评价学生是否能运用双曲线方程解决实际问题。
七、教学资源：1. 教材：双曲线及其标准方程相关章节。
2. 课件：双曲线图像、性质和标准方程的示例。
3. 练习题：涵盖双曲线定义、性质、标准方程及应用的题目。
八、教学进度安排：1. 第一课时：介绍双曲线定义与性质。
2. 第二课时：讲解双曲线的标准方程及其求法。
3. 第三课时：例题分析与实际应用。
4. 第四课时：巩固练习与课堂小结。
九、教学反思：1. 反思教学方法是否有效，学生是否能积极参与。
2. 反思教学内容是否适合学生的认知水平。
教案双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解双曲线的定义及其性质；（2）掌握双曲线的标准方程及其变化规律。
2. 过程与方法：（1）通过实例分析，培养学生的观察和分析能力；（2）运用数形结合的方法，引导学生探索双曲线的标准方程。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学美的欣赏，培养其对数学的兴趣；（2）培养学生团结协作、积极探究的精神。
二、教学重难点1. 教学重点：双曲线的定义、性质及标准方程。
2. 教学难点：双曲线标准方程的推导和应用。
三、教学过程1. 导入：（1）回顾椭圆的定义和标准方程；（2）通过提问，引出双曲线的概念。
2. 自主学习：（1）让学生根据已有知识，尝试描述双曲线的特征；3. 合作交流：（1）分组讨论，让学生探究双曲线的标准方程；4. 知识拓展：（1）介绍双曲线在实际应用中的例子；（2）引导学生思考双曲线与其他几何图形的关系。
四、课堂练习1. 填空题：（1）双曲线是平面上一对_____为定值的点的轨迹；（2）双曲线的标准方程为_____。
2. 解答题：（1）已知双曲线的方程为\(\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1\)，求证它是双曲线；（2）求双曲线\(\frac{x^2}{4} \frac{y^2}{3} = 1\) 的实轴长和虚轴长。
五、课后作业1. 复习双曲线的定义、性质和标准方程；2. 完成课后练习题，巩固所学知识；3. 探索双曲线在其他领域的应用。
六、教学评价1. 评价目标：了解学生对双曲线及其标准方程的理解和掌握程度。
2. 评价方法：（1）课堂练习的完成情况；（2）课后作业的质量；（3）学生对双曲线实际应用案例的分析能力。
七、教学反思1. 反思内容：（1）学生对双曲线定义和性质的理解程度；（2）学生在探索双曲线标准方程过程中的困难与问题；（3）教学方法是否适合学生的学习需求。
2. 改进措施：（1）针对学生的掌握情况，调整教学进度和难度；（2）采用更多直观的教学工具，如图形软件，以增强学生的直观感受；（3）鼓励学生提问和参与课堂讨论，提高学生的主动学习意识。
双曲线及其标准方程一优秀教案
双曲线及其标准方程<一>彭山杨树1．双曲线(1)定义平面内与两个定点F1，F2的距离的等于常数( 且大于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的，两焦点间的距离叫做双曲线的．(2)双曲线的集合描述设点M是双曲线上任意一点，点F1，F2是双曲线的焦点，则由双曲线的定义可知，双曲线就是集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0<2a<|F1F2|}．2．双曲线的标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程焦点坐标a，b，c的关系1．判一判(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．()(2)在双曲线标准方程x2a2－y2b2＝1中，a>0，b>0且a≠b.()(3)双曲线的标准方程可以统一为Ax2＋By2＝1(其中AB<0)．() 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)假设双曲线x24－y216＝1上一点M到左焦点的距离为8，则点M到右焦点的距离为________．(2)双曲线x2－4y2＝1的焦距________．(3)双曲线的两焦点坐标是F1(0,3)，F2(0，－3)，b＝2，则双曲线的标准方程是________．(4)以下方程表示焦点在y轴上的双曲线的有________(把序号填在横线上)．①x2－y22＝1；②x2a＋y22＝1(a<0)；③y2－3x2＝1；④x2cosα＋y2sinα＝1⎝⎛⎭⎪⎫π2<α<π.探究1双曲线标准方程的认识例1方程x2k－5－y2|k|－2＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是()A．k>5 B．k>5或－2<k<2 C．k>2或k<－2 D．－2<k<2【跟踪训练1】命题p：方程x22m－y2m－6＝1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：方程x2m＋1＋y2m－1＝1表示双曲线．(1)假设命题p为真命题，求m的取值范围；(2)假设命题q为假命题，求m的取值范围；(3)假设命题p或q为真命题，且命题p且q为假命题，求m的取值范围．探究2双曲线的标准方程例2求满足以下条件的双曲线的标准方程．(1)焦点在坐标轴上，且过M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，325，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫473，4两点； (2)两焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)，且过P ⎝ ⎛⎭⎪⎫352，2.【跟踪训练2】 求适合以下条件的双曲线的标准方程．(1)a ＝4，经过点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，－4103； (2)经过点(3,0)，(－6，－3)； (3)与椭圆x 225＋y 25＝1有共同焦点，且过点(32，2)的双曲线的方程．探究3 双曲线定义的应用例3 如图，假设F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)假设双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)假设P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积．[条件探究] 假设例3条件“|PF 1|·|PF 2|＝32”改成“|PF 1|∶|PF 2|＝2∶5”，其他条件不变，求△F 1PF 2的面积．.【跟踪训练3】 (1)P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝17，求|PF 2|的值．作业1：1．设θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，则关于x ，y 的方程x 2sin θ＋y 2cos θ＝1所表示的曲线是( )A ．焦点在y 轴上的双曲线B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在x 轴上的椭圆2．双曲线x 216－y 29＝1，则双曲线的焦点坐标为( )A ．(－7，0)，(7，0)B ．(－5,0)，(5,0)C ．(0，－5)，(0,5)D ．(0，－7)，(0，7)3．双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m4．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是____________．5．双曲线的两个焦点F 1，F 2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的方程．双曲线及其标准方程<一>1．双曲线 (1)定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的□01差的绝对值等于常数(□02小于|1F 2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的□03焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的□04焦距．(2)双曲线的集合描述设点M是双曲线上任意一点，点F1，F2是双曲线的焦点，则由双曲线的定义可知，双曲线就是集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0<2a<|F1F2|}．2．双曲线的标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程□05x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)□06y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)焦点坐标F1□07(－c,0)；F2□08(c,0)F1□09(0，－c)；F2□10(0，c) a，b，c的关系c2＝a2＋b21．对双曲线定义中关键词的理解(1)假设将“小于|F1F2|〞改为“等于|F1F2|〞，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)．假设将其改为“大于|F1F2|〞，其余条件不变，此时动点轨迹不存在．(2)假设将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹成为双曲线的一支．(3)假设将“等于非零常数〞改为“等于零〞，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．2．对双曲线标准方程中参数的理解(1)c2＝a2＋b2，c>a>0，其中c最大，可以a＝b，a<b，a>b，其中a，b，c构成如图的直角三角形，我们把它称为“特征三角形〞．(2)方程中的两个参数a与b，确定双曲线的形状和大小，是双曲线的定型条件，焦点F1，F2的位置，是双曲线的定位条件，它决定双曲线标准方程的类型．(3)方程Ax2＋By2＝C表示双曲线的充要条件是：ABC≠0，且AB<0，假设AC>0，则焦点在x轴上；假设AC<0，则焦点在y轴上．1．判一判(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．()(2)在双曲线标准方程x2a2－y2b2＝1中，a>0，b>0且a≠b.()(3)双曲线的标准方程可以统一为Ax2＋By2＝1(其中AB<0)．() 答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)假设双曲线x24－y216＝1上一点M到左焦点的距离为8，则点M到右焦点的距离为________．(2)双曲线x2－4y2＝1的焦距________．(3)双曲线的两焦点坐标是F1(0,3)，F2(0，－3)，b＝2，则双曲线的标准方程是________．(4)以下方程表示焦点在y轴上的双曲线的有________(把序号填在横线上)．①x 2－y 22＝1；②x 2a ＋y 22＝1(a <0)；③y 2－3x 2＝1；④x 2cos α＋y 2sin α＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<α<π.答案 (1)4或12 (2)5 (3)y 25－x24＝1 (4)②③④探究1 双曲线标准方程的认识例1 方程x 2k －5－y 2|k |－2＝1对应的图形是双曲线，那么k 的取值范围是( )A ．k >5B ．k >5或－2<k <2C ．k >2或k <－2D ．－2<k <2[解析] ∵方程对应的图形是双曲线，∴(k －5)(|k |－2)>0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ k －5>0，|k |－2>0或⎩⎪⎨⎪⎧k －5<0，|k |－2<0. 解得k >5或－2<k <2. [答案] B 拓展提升双曲线方程的认识方法将双曲线的方程化为标准方程的形式，假设双曲线的方程为x 2m ＋y 2n ＝1，则当mn <0时，方程表示双曲线．假设⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，n <0，则方程表示焦点在x 轴上的双曲线；假设⎩⎪⎨⎪⎧m <0，n >0，则方程表示焦点在y 轴上的双曲线．【跟踪训练1】 命题p ：方程x 22m －y 2m －6＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：方程x 2m ＋1＋y 2m －1＝1表示双曲线．(1)假设命题p 为真命题，求m 的取值范围； (2)假设命题q 为假命题，求m 的取值范围；(3)假设命题p 或q 为真命题，且命题p 且q 为假命题，求m 的取值范围．解(1)据题意⎩⎪⎨⎪⎧m －6<0，2m >0，－(m －6)>2m ，解之得0<m <2；故命题p 为真命题时m 的取值范围为(0,2)．(2)假设命题q 为真命题，则(m ＋1)(m －1)<0，解得－1<m <1，故命题q 为假命题时m 的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．(3)由题意，命题p 与q 一真一假，从而当p 真q 假时有⎩⎪⎨⎪⎧0<m <2，m ≤－1或m ≥1.解得1≤m <2；当p 假q 真时有⎩⎪⎨⎪⎧m ≤0或m ≥2，－1<m <1.解得－1<m ≤0；故m 的取值范围是(－1,0]∪[1,2)．探究2 双曲线的标准方程例2 求满足以下条件的双曲线的标准方程．(1)焦点在坐标轴上，且过M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，325，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫473，4两点； (2)两焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)，且过P ⎝ ⎛⎭⎪⎫352，2.[解] (1)当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．∵M ，N 在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (－2)2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3252b 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4372a 2－42b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝－116，1b 2＝－19(不符合题意，舍去)．当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．∵M ，N 在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫3252a 2－4b2＝1，42a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫4372b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝19，1b 2＝116，即a 2＝9，b 2＝16.∴所求双曲线方程为y 29－x 216＝1.(2)由可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，代入点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫352，2可得454a 2－4b 2＝1，① 又a 2＋b 2＝25，②由①②联立可得a 2＝9，b 2＝16，∴双曲线方程为x 29－y 216＝1. [解法探究] 例2(1)有没有其他解法呢？解 ∵双曲线的焦点位置不确定，∴设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)． ∵M ，N 在双曲线上，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋454n ＝1，169×7m ＋16n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－116，n ＝19，∴所求双曲线方程为－x 216＋y 29＝1，即y 29－x 216＝1.拓展提升利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤(1)定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能．(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)．(3)寻关系：根据条件列出关于a ，b ，c (m ，n )的方程组．(4)得方程：解方程组，将a ，b ，c (m ，n )代入所设方程即为所求．【跟踪训练2】 求适合以下条件的双曲线的标准方程．(1)a ＝4，经过点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，－4103； (2)经过点(3,0)，(－6，－3)；(3)与椭圆x 225＋y 25＝1有共同焦点，且过点(32，2)的双曲线的方程．解 (1)当焦点在x 轴上时，设所求标准方程为x 216－y 2b 2＝1(b ＞0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝－1615×1609＜0，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求标准方程为y 216－x 2b 2＝1(b ＞0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝9，∴所求双曲线的标准方程为y 216－x29＝1.(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋0＝1，36m ＋9n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝－13，∴所求双曲线的标准方程为x 29－y 23＝1.(3)∵x 225＋y 25＝1的焦点坐标为(－25，0)，(25，0)，由题意得，所求双曲线的焦点坐标为(±25，0)，设所求的双曲线方程为x 2a 2－y 220－a2＝1， 又(32，2)在双曲线上，∴18a 2－220－a 2＝1，得a 2＝20－210，∴所求的双曲线方程为x 220－210－y 2210＝1.探究3 双曲线定义的应用例3 如图，假设F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)假设双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)假设P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积．[解] 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22.由于c －a ＝5－3＝2,10>2,22>2，故点M 到另一个焦点的距离为10或22. (2)将|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6，两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100. 在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.[条件探究] 假设例3条件“|PF 1|·|PF 2|＝32”改成“|PF 1|∶|PF 2|＝2∶5”，其他条件不变，求△F 1PF 2的面积．解 由|PF 1|∶|PF 2|＝2∶5，|PF 2|－|PF 1|＝6，可知|PF 2|＝10，|PF 1|＝4，∴S △F 1PF 2＝12×4×46＝8 6.拓展提升双曲线定义的两种应用(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，假设该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；假设该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．(2)双曲线中的焦点三角形双曲线上的点P 与其两个焦点F 1，F 2连接而成的三角形PF 1F 2称为焦点三角形．令|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ，因|F 1F 2|＝2c ，所以有①定义：|r 1－r 2|＝2a .②余弦公式：4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos θ.③面积公式：S △PF 1F 2＝12r 1r 2sin θ.一般地，在△PF 1F 2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决．【跟踪训练3】 (1)P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝17，求|PF 2|的值．解 由双曲线方程x 264－y 236＝1可得a ＝8，b ＝6，c ＝10，由双曲线的图象可得点P 到右焦点F 2的距离d ≥c －a ＝2，因为||PF 1|－|PF 2||＝16，|PF 1|＝17，所以|PF 2|＝1(舍去)，或|PF 2|＝33.(2)双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，假设双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解 由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos60°，所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，则S △F1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.1.双曲线的定义中，一定要注意的几点(1)前提条件“平面内〞不能丢掉，否则就成了空间曲面，不是平面曲线了. (2)不可漏掉定义中的常数小于|F 1F 2|，否则，当2a ＝|F 1F 2|时，||PF 1|－|PF 2||＝2a 表示两条射线；当||PF 1|－|PF 2||>2a 时，不表示任何图形.(3)不能丢掉绝对值符号，假设丢掉绝对值符号，其余条件不变，则点的轨迹为双曲线的一支. 2.求双曲线的标准方程时，应注意的两个问题 (1)正确判断焦点的位置.(2)设出标准方程后，再运用待定系数法求解．求双曲线的标准方程也是从“定形〞“定式〞和“定量〞三个方面去考虑．“定形〞是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式〞是根据“形〞设双曲线标准方程的具体形式；“定量〞是指用定义法或待定系数法确定a ，b 的值.1．设θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，则关于x ，y 的方程x 2sin θ＋y 2cos θ＝1所表示的曲线是( )A ．焦点在y 轴上的双曲线B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在x 轴上的椭圆 答案 B解析 由题意，知x 2sin θ－y 2－cos θ＝1，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，所以sin θ＞0，－cos θ＞0，则方程表示焦点在x 轴上的双曲线．应选B.2．双曲线x 216－y 29＝1，则双曲线的焦点坐标为( )A ．(－7，0)，(7，0)B ．(－5,0)，(5,0)C ．(0，－5)，(0,5)D ．(0，－7)，(0，7) 答案 B解析 由双曲线的标准方程可知a 2＝16，b 2＝9，则c 2＝a 2＋b 2＝16＋9＝25，故c ＝5.又焦点在x 轴上，所以焦点坐标为(－5,0)，(5,0)．3．双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m 答案 B解析 ∵A ，B 在双曲线的右支上，∴|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 1|－|AF 2|＝2a ，∴|BF 1|＋|AF 1|－(|BF 2|＋|AF 2|)＝4a .∴|BF 1|＋|AF 1|＝4a ＋m .∴△ABF 1的周长为4a ＋m ＋m ＝4a ＋2m .4．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是____________．答案 x 22－y 2＝1解析 解法一：椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，因为双曲线过点P (2,1)，所以4a 2－1b 2＝1.又a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求双曲线方程是x 22－y 2＝1.解法二：设所求双曲线方程为x 24－λ＋y 21－λ＝1(1<λ<4)，将点P (2,1)的坐标代入可得44－λ＋11－λ＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线方程为x 22－y 2＝1.5．双曲线的两个焦点F 1，F 2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的方程．解 假设以线段F 1F 2所在的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则双曲线的方程为标准形式，即x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意得2a ＝24,2c ＝26.∴a ＝12，c ＝13，b 2＝132－122＝25.双曲线的方程为x 2144－y 225＝1；假设以线段F 1F 2所在直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系．则双曲线的方程为y 2144－x 225＝1.。
双曲线及其标准方程教学设计(教案)
双曲线及其标准方程教学设计(教案)第一章：双曲线的概念引入1.1 教学目标：(1) 使学生了解双曲线的起源和发展历程。
(2) 通过实例让学生感受双曲线的几何性质。
1.2 教学内容：(2) 双曲线的历史：介绍双曲线在数学、天文学和物理学等领域的应用，让学生了解双曲线的重要性。
(3) 双曲线的图形展示：利用多媒体展示双曲线的图形，让学生感受双曲线的美丽和神秘。
1.3 教学方法：(1) 实例分析：通过具体的例子，让学生感受双曲线的特点。
(3) 多媒体展示：利用多媒体展示双曲线的图形，增强学生的直观感受。
第二章：双曲线的标准方程2.1 教学目标：(1) 使学生掌握双曲线的标准方程及其实际应用。
(2) 培养学生利用双曲线标准方程解决实际问题的能力。
2.2 教学内容：(1) 双曲线的标准方程：介绍双曲线标准方程的推导过程，让学生理解并掌握双曲线标准方程。
(2) 双曲线标准方程的应用：通过实例，让学生了解双曲线标准方程在实际问题中的应用。
2.3 教学方法：(1) 讲解与演示：教师讲解双曲线标准方程的推导过程，利用图形演示双曲线标准方程的特点。
(2) 实例分析：让学生通过解决实际问题，掌握双曲线标准方程的应用。
(3) 练习与讨论：让学生在课堂上练习双曲线标准方程的计算，分组讨论解决问题。
第三章：双曲线的性质3.1 教学目标：(1) 使学生了解双曲线的基本性质。
(2) 培养学生利用双曲线性质解决实际问题的能力。
3.2 教学内容：(1) 双曲线的性质：介绍双曲线的几何性质，如渐近线、离心率等。
(2) 性质的应用：通过实例，让学生了解双曲线性质在实际问题中的应用。
3.3 教学方法：(1) 讲解与演示：教师讲解双曲线的性质，利用图形演示性质的特点。
(2) 实例分析：让学生通过解决实际问题，掌握双曲线性质的应用。
(3) 练习与讨论：让学生在课堂上练习双曲线性质的计算，分组讨论解决问题。
第四章：双曲线方程的求解4.1 教学目标：(1) 使学生掌握求解双曲线方程的方法。
《双曲线及其标准方程》教案
《双曲线及其标准方程》教案一、教学目标1. 让学生理解双曲线的定义和性质。
2. 引导学生掌握双曲线的标准方程及其应用。
3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 双曲线的定义与性质定义：双曲线是平面上到两个定点（焦点）距离之差为常数的点的轨迹。
性质：双曲线是中心对称图形，具有对称性、渐进线等性质。
2. 双曲线的标准方程形式：\(\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > 0, b > 0\)）焦点：\((\pm c, 0)\)，其中\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)实轴：\(x = \pm a\)虚轴：\(y = \pm b\)渐近线：\(y = \pm\frac{b}{a}x\)三、教学重点与难点1. 重点：双曲线的定义、性质和标准方程。
2. 难点：双曲线标准方程的推导和应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探索双曲线的性质和标准方程。
2. 利用数形结合法，直观展示双曲线的几何特征。
3. 运用实例分析法，让学生学会解决实际问题。
五、教学安排1. 第一课时：介绍双曲线的定义与性质。
2. 第二课时：推导双曲线的标准方程。
3. 第三课时：应用双曲线的标准方程解决实际问题。
4. 第四课时：巩固练习，拓展提高。
教案仅供参考，具体实施时可根据学生实际情况进行调整。
六、教学策略1. 利用多媒体课件，展示双曲线的图形，增强学生对双曲线几何形状的认识。
2. 设计具有梯度的练习题，让学生在实践中掌握双曲线的标准方程。
3. 组织小组讨论，促进学生之间的交流与合作，提高解决问题的能力。
七、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对双曲线定义、性质和标准方程的理解程度。
2. 练习题：评价学生运用双曲线标准方程解决实际问题的能力。
3. 小组讨论：评价学生在团队合作中的表现和解决问题的能力。
八、教学反馈1. 课堂讲解：通过提问、回答问题等方式，了解学生对双曲线知识点的掌握情况。
教学设计2：3.2.1 双曲线及其标准方程
2222x c y x c y a()()2，222222（）（）x c y x c y a()()2，222cx a a x c y()，22222222c a x a y a c a()()，c a b，代入化简得：（强调优化结构）令22222221(0,0)x ya ba b.从上述过程可以看到，双曲线上的任意一点的坐标都是上述方程的解，反过来，以上述方程的解为坐标的点与双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值为2a,即以上述方程的解为坐标的点都在双曲线上，所以上述方程是双曲线的标准方程。
追问5：焦点在y轴上的双曲线标准方程？师生活动：得到焦点在x轴上的双曲线的标准方程后，让学生类比回答焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是什么．当学生类比焦点在y轴上的椭圆的标准方程，回答22221y xa b-=（a＞0，b＞0）后，可通过如下两个方面对22221x ya b-=，22221y xa b-=（a＞0，b＞0）进行比较：一是两个焦点的位置（在x轴上还是在y轴上）与负号的位置，二是方程中,x y与,a b的对应位置，要使他们认识到：若2x项的系数是正数，则双曲线的焦点在x轴上；若2y项的系数是正数，则双曲线的焦点在y轴上．对于双曲线，要强调a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小判断焦点在哪一条坐标轴上．四、例题例1设双曲线的两个焦点分别为F1(−5,0),F2(5,0),双曲线上一点P与F1，F2的距离绝对值等于6，求双曲线标准方程.解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为22221(0,0)x ya ba b由2c=10，2a=6，得c=5，a=3，因此，b2=52−32=16.所以，双曲线得标准方程为221.916x y例2 已知A，B两地相距800 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s，且声速为340求炮弹爆炸点的轨迹方程．分析：双曲线的应用。
2340PB点轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的右支。
双曲线及其标准方程教案
双曲线及其标准方程教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解双曲线的定义及其性质；（2）掌握双曲线的标准方程及其求法；（3）能够运用双曲线及其标准方程解决相关问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳双曲线的性质，提高学生的逻辑思维能力；（2）运用数形结合的方法，引导学生理解双曲线的标准方程的求法；（3）培养学生的动手实践能力，提高学生解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣，培养学生的探索精神；（2）培养学生合作交流的能力，提高学生的团队协作意识；（3）培养学生面对挑战，勇于克服困难的意志。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）双曲线的定义及其性质；（2）双曲线的标准方程及其求法。
2. 教学难点：（1）双曲线标准方程的求法；（2）运用双曲线及其标准方程解决实际问题。
三、教学方法1. 情境导入法：通过展示与双曲线相关的实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生进入学习状态。
2. 讲授法：系统讲解双曲线的定义、性质及其标准方程，使学生掌握双曲线的基本知识。
3. 案例分析法：分析典型例题，引导学生运用双曲线及其标准方程解决问题，提高学生的实践能力。
4. 小组讨论法：组织学生分组讨论，培养学生的合作精神和团队意识。
四、教学过程1. 导入新课：展示与双曲线相关的实际问题，引导学生关注双曲线在实际生活中的应用。
2. 讲解双曲线的定义及其性质：结合图形，讲解双曲线的定义，引导学生理解双曲线的性质。
3. 讲解双曲线的标准方程：引导学生观察双曲线的性质，引导学生归纳出双曲线的标准方程。
4. 案例分析：分析典型例题，引导学生运用双曲线及其标准方程解决问题。
5. 小组讨论：组织学生分组讨论，探讨双曲线及其标准方程在实际问题中的应用。
五、课后作业1. 复习双曲线的定义及其性质；2. 复习双曲线的标准方程及其求法；3. 完成课后练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对双曲线定义及其性质的理解程度。
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双曲线及其标准方程
一.教学目标:
（1）知识与技能：理解双曲线的定义并能独立推导标准方程；
（2）过程与方法：通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比及数形结合等
思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力；
（3）情感态度与价值观：通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学
生用联系的观点认识问题。
二.教学重点:双曲线的定义
三.教学难点:双曲线方程的推导
四.教学过程:
(一)复习回顾
(二)双曲线的定义:
1.问题:若把椭圆定义中”距离之和”改为”距离之差”,那么动点的轨迹是什么?它的方程是怎么样的呢?
2. 双曲线的定义: 平面内与两定点的距离的差的绝对值是常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．
3.简单演示(使用几何画板).
4. （*）
注意：①（*）式中是差的绝对值，在条件下：
时为双曲线的一支（含的一支）；
时为双曲线的另一支（含的一支）.
②当时，表示两条射线.
③当时，不表示任何图形.
(三).双曲线标准方程的推导: 现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导
学生给出双曲线的方程的推导．
标准方程的推导: (1).建系设点:取过焦点的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴(如图所示)建立直角坐标系,设为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是，那么的坐标分别是．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值为.
(2)点的集合:由定义可知，双曲线就是集合：}．
(3)代数方程, ,
(4)化简方程:将这个方程移项，使式子两边平衡,再两边平方得：,移项整理两边平方可得:
(我们可以仿照椭圆的标准方程的处理方式把式子美化,使其简洁易记)
由双曲线定义，即，所以设，代入上式得：．即,这就是焦点在轴上的双曲线的标准方程．
两种标准方程的比较(引导学生归纳)：
(1) 表示焦点在x轴上的双曲线,焦点是: ,这里.
(2) 表示焦点在y轴上的双曲线,焦点是: ,这里.(只需将(1)方程的x,y互换即可得到)
强调指出：
(1)双曲线标准方程中的”标准是指的是双曲线的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上(这从建立直角坐标系可以看出来).(2)双曲线标准方程中，，但不一定大于；(3)如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．(4)双曲线标准方程中的关系是，不同于椭圆方程中．
(四).例题分析:
练习:写出下列双曲线的焦点坐标:
(1)(2)(3)(4)
例1. 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.
解: 根据双曲线的焦点在轴上，设它的标准方程为：
,所以所求双曲线的标准方程为:
(五)小结
(六)作业:课本习题8.3 第1,2,4
思考题: 当时，方程表示怎样的曲线？
(七)板书设计:。