构造函数法在高等数学中的应用

构造辅助函数在高等数学中的应用

摘要：证明等式和不等式是高等数学中的常见问题，证明方法也多种多样。论文通过几个例子，从研究题目的条件和结论人手，巧妙构造适当的辅助函数进行解题，既能简化证明，又能培养学生的创新思维能力。

构造辅助函数是数学解题的一个很好的工具，辅助函数是使问题转化的桥梁，通过恰当的构造辅助函数可以帮助我们解决很多数学问题，使问题简单化，构造辅助函数的方法是多种多样的，有时需要巧妙的灵活运用，构造辅助函数法还需要进一步探索和总结

如何构造辅助函数是高等数学解题中的难点，看似无章可循，但仔细研究不失基本方法和一般规律 文章通过详尽的实例讲明了辅助函数在中值问题不等式恒等式函数求极限讨论方程的根及计算积分求函数值中的运用

关键词：构造辅助函数；中值定理；恒等式与不等式；

在解题过程中，如果用思维定势来探求解题途径比较困难时，我们不妨换一下思维角度，从问题的结构和特点出发，构造一个与问题相关的辅助函数，实现问题的转化，从而使问题得到证明。本文通过对高等数学中中值问题、不等式的证明、恒等式的证明、函数求极限问题、讨论方程的根及计算积分求函数值这几类问题，应用构造辅助函数进行求解，从不同题型总结归纳了辅助函数的思想和具体的方法

一、有关中值定理命题的证明的应用

1.1构造辅助函数证明中值存在性问题

设()x f ，()x g 在[]b a ,连续，在()b a ,可导。()()0==b f a f 而[]b a x ,∈∀，()0≠x g 证明至少存在一点∈ξ()b a ,使()()()()ξξξξf g g f ''=

分析：由于所证命题含有导数形式，我们大胆猜想它积分后的形式。为此我们分下面几步走：

(一) 将结论化为()()()()x f x g x g x f ''=

(二) 移项并同时除以()x g 2得：()()

()()()

0''2=-x g x f x g x g x f (三) 求积分，并令之为()x F

()()()()()()

()()()()()()x g x f a g a f x g x f dt t g t f t g t g t f x F x

=-=-=⎰02'' 则()x F 就是我们要找的辅助函数。

证明

由于()x f ，()x g 在[]b a ,连续，在()b a ,可导且()()0==b f a f 则()x F 在[]b a ,满足罗尔中值定理，存在∈ξ()b a ,，使得()0'=ξF 即()()()()()

0''2=-ξξξξξg f g g f 也即

()()()()ξξξξf g g f ''=即为所证

二、在证明不等式中的应用

1.2构造辅助函数证明不等式

1.2.1构造辅助函数用单调性证明不等式

构造辅助函数的方法灵活多变，不同的知识段有着不同的技巧和方法，用函数单调性证明不等式常用的方法有：（１）用不等式两边“求差”构造辅助函数．（２）用不等式两边适当“求商”构造辅助函数．（３）根据不等式两边结构，构造“形似”辅助函数．（４）如果不等式中涉及到幂指函数形式，则可通过取对数将其化为易于证明的形式，再根据具体情况由以上所列方法构造辅助函数

设()1,0∈x ，证明221ln 1x x x <++）（）（

分析：利用“求差”构造辅助函数2

21ln 1x x x x F -++=）（）（）（，再根据)(x F 在区间（0,1）

的单调性证明之。 证明 令221ln 1x x x x F -++=）（）（）（ ，则x x x x F 21ln 21ln '2

-+++=）（）（）（ ]1[ln 12"x x x

x F -++=）（）（ x x x g -+=）（）（1ln ,则()()1,001111'∈<+-=-+=

x x x x x g ）（,所以）（x g 在）（1,0∈x 单调递减，从而<）（x g 00=）（g ，0"<）（x F ;）

（x F '在）（1,0∈x 单调递减，从而<）（x F '00'=）（F ，所以)(x F 在）（1,0∈

x 单调递减，<)(x F 0)0(=F ， 故221ln 1x x x <++）（）（

1.2.2构造辅助函数用拉格朗日定理证明不等式

对于一些不等式,我们观察它的形式，不难发现，对不等式进行适当的变形，我们可以构造出辅助函数）（x F ，）（x F 能够满足拉格朗日中值定理

a

a b a b b a b -<<-ln , 其中b a <<0; 分析：a b a b ln ln ln -=，不等式a

a b a b b a b -<-<-ln ln ）（b a <<0，∵0>-a b 故可将原不等式恒等变形为a

a b a b b 1ln ln 1<--<观察此不等式，我们可以发现中间式子符合拉格朗日中值公式的形式，故我们可以构造辅助函数x x F ln =）（，()b a x ,∈

证明：令x x F ln =）（由拉格朗日中值定理条件，可知至少存在一点()b a ,∈ξ使得

a b a F b F x F -=)

(-)('）（ ∵,1'ξξ=）（

F b a <<ξ，∴a b 111<<ξ 因此有a a b a b b 1ln ln 1<--< 故a

a b a b b a b -<<-ln

1.2.3构造辅助函数用最大值（或最小值）证明不等式

对于某些函数不等式，若)('x F 在()b a ,变号时，不易有函数单调性证明，此时可考虑用最值进行证明。

证明：当1

e x -≤11 分析：将不等式改写成()11≤-x e x (1

f -=1，只要证明()x f

的最大值为1或小于1即可。

证明：令()()x e x x f -=1，则()⎪⎩

⎪⎨⎧<<<==<>-=.10,00,00

,0'x x x xe x f x

所以，函数()x f 的极大值也即最大值为()10=f ，

故()()x

e x x

f -=1≤()10=f (1

e x -≤11

三、在证明恒等式中的应用

1.3构造辅助函数证明恒等式

证明：当11<<-x 时，x x

x 21arctan arcsin -= 分析：可将等式x

x

x 21arctan arcsin -=变形为01arctan arcsin 2=--x x x ，引入辅助函数x x

x x F 21arctan arcsin --=）（，观察等式的右边为常数0，，即要证明此复合函数

为常数函数，只须证明函数的一阶导数为零即可。证明恒等式0)(c x F =的一般步骤是先对)(x F 求导，得到0)('=x F ，从而说明函数)(x F 是一个常数，即c x F =)(，然后代入特殊值0x ，求出0c c =。